Factor-trinomio-cuadrado-perfecto.pdf 2p3768

Como Aprendo Álgebra Adolfo Chapuz Benítez Factorización-Trinomio-Cuadrado-Perfecto 1.- Cómo factorizar un Trinomio Cuadrado Perfecto.

a 2  2ab  b 2  (a  b) 2

a 2  2ab  b 2  (a  b) 2

Se llama trinomio cuadrado perfecto porque tiene 3 términos y es el resultado de elevar al cuadrado un binomio de la forma (a  b) o (a  b) . Por ejemplo x 2  12 x  36 es un trinomio, pero además es cuadrado perfecto porque existe ( x  6) tal que ( x  6) 2  x 2  12 x  36 . Por otro lado x 2  x  3 es un trinomio, pero NO ES cuadrado perfecto porque no existe un binomio (a  b) que al elevarlo al cuadrado nos de cómo resultado

x2  x  3 … … es decir no se puede escribir como x 2  x  6  (a  b) 2 . Entonces existen trinomios que son cuadrados perfectos y otros que no lo son…

La pregunta del millón de dólares… Si tengo un trinomio ¿Cómo saber si es cuadrado perfecto o no? Un trinomio es cuadrado perfecto si tiene la forma a 2  2ab  b 2 . Es decir, se debe poder escribir como “el cuadrado del primero…más el doble el primero por el segundo…más el cuadrado del segundo” Su factorización simplemente consiste en identificar a , b y sustituirlo en la expresión (a  b) 2 . Para ver cómo hacerlo veamos algunos ejemplos paso a paso:

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Como Aprendo Álgebra Adolfo Chapuz Benítez Factorización-Trinomio-Cuadrado-Perfecto Ejemplo 1. Supongamos que queremos factorizar x 2  10 x  25 1.-Ordena las potencias de mayor a menor…

x 2  10 x  25 2.- Compara cada elemento del trinomio a factorizar con los elementos del trinomio cuadrado perfecto…

x 2  10 x  25 a 2  2ab  b 2 3.- Extraer las raíces cuadradas de los extremos del trinomio para identificar a y b … a  x 2  x , b  25  5 …por lo tanto a  x y b  5 .

4.-Verificar que el término 2ab sea exactamente el término “intermedio” del trinomio que quieres factorizar...

x 2  10 x  25 a 2  2ab  b 2 En este caso verificamos que 2ab  2( x)(5)  10 x , por lo que 2ab  10 x y es exactamente el término de “en medio” del trinomio x 2  10 x  25 … …y por lo tanto el trinomio cuadrado es perfecto. 5.- La factorización es muy simple, sólo debes sustituir a y b en a  b  . 2

En este ejemplo la factorización queda como x 2  10 x  25  ( x  5) 2

( a  b) 2 Todos los Derechos Reservados. www.comoaprendomatematicas.com

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Como Aprendo Álgebra Adolfo Chapuz Benítez Factorización-Trinomio-Cuadrado-Perfecto Ejemplo 2. Factorizar x 2  12 x  36 1.-Ordena las potencias de mayor a menor…

x 2  12 x  36 2.- Compara cada elemento del trinomio a factorizar con los elementos del trinomio cuadrado perfecto…

x 2  12 x  36

a 2  2ab  b 2 3.- Extraer las raíces cuadradas de los extremos del trinomio para identificar a y b … a  x 2  x , b  36  6 …por lo tanto a  x y b  6 .

4.-Verificar que el término 2ab sea exactamente el término “intermedio” del trinomio que quieras factorizar...

x 2  12 x  36 a 2  2ab  b 2 En este caso verificamos que 2ab  2( x)(6)  12 x , por lo que 2ab  12 x y es exactamente el término de “en medio” del trinomio x 2  12 x  36 … …y por lo tanto el trinomio cuadrado es perfecto. 5.- La factorización es muy simple… En este ejemplo la factorización queda como x 2  12 x  36  ( x  6) 2

( a  b) 2


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2 Ejemplo 3. Factorizar y  18 y  81

1.-Ordena las potencias de mayor a menor…

y 2  18 y  81 2.- Compara cada elemento del trinomio a factorizar con los elementos del trinomio cuadrado perfecto, en este caso agregamos el signo negativo…

y 2  18 y  81

a 2  2ab  b 2 3.- Extraer las raíces cuadradas de los extremos del trinomio para identificar a y b …

a

y 2  y , b  81  9 …por lo tanto a  y y b  9 .

NOTA: en este caso no es necesario agregarle el signo “menos” a b, ya que el signo se considera hasta el final de la factorización. 4.-Verificar que el término 2ab sea exactamente el término “intermedio” del trinomio que quieras factorizar...

y 2  18 y  81

a 2  2ab  b2 En este caso verificamos que 2ab  2( y)(9)  18 y , por lo que 2ab  18 y y es exactamente el término de “en medio” del trinomio y 2  18 y  81 … …y por lo tanto el trinomio cuadrado es perfecto. 5.- La factorización es muy simple… Todos los Derechos Reservados. www.comoaprendomatematicas.com

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Como Aprendo Álgebra Adolfo Chapuz Benítez Factorización-Trinomio-Cuadrado-Perfecto En este ejemplo la factorización queda como y 2  18 y  81  ( y  9) 2 Ejemplo 4. Factorizar x 2  2 x  1 *Compara cada elemento del trinomio a factorizar con los elementos del trinomio cuadrado perfecto, en este caso agregamos el signo negativo…

x2  2x  1 a 2  2ab  b2 * Extraer las raíces cuadradas de los extremos del trinomio para identificar a y b … a  x 2  x , b  1  1 …por lo tanto a  x y b  1 .

*Verificar que el término 2ab sea exactamente el término “intermedio” del trinomio que quieras factorizar...

x2  2x  1

a 2  2ab  b2 En este caso verificamos que 2ab  2( x)(1)  2 x , por lo que 2ab  2 x y es exactamente el término de “en medio” del trinomio x 2  2 x  1 … …y por lo tanto el trinomio cuadrado es perfecto. *La factorización es muy simple… 2 2 En este ejemplo la factorización queda como x  2 x  1  ( x  1)


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Como Aprendo Álgebra Adolfo Chapuz Benítez Factorización-Trinomio-Cuadrado-Perfecto Ejemplo 5. Factorizar 16 z 2  24 z  9 * Extraer las raíces cuadradas de los extremos del trinomio para identificar a y b … a  16 z 2  16 z 2  4 z , b  9  3 …por lo tanto a  4 z y b  3 .

*Verificar que el término 2ab sea exactamente el término “intermedio” del trinomio que quieres factorizar...

16 z 2  24 z  9

a 2  2ab  b2 En este caso verificamos que 2ab  2(4 z)(3)  24 z , por lo que 2ab  24 z y es exactamente el término de “en medio” del trinomio 16 z 2  24 z  9 … …y por lo tanto el trinomio cuadrado es perfecto. *La factorización es muy simple… 2 2 En este ejemplo la factorización queda como 16 z  24 z  9  (4 z  3)

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Como Aprendo Álgebra Adolfo Chapuz Benítez Factorización-Trinomio-Cuadrado-Perfecto Ejemplo 6. Factorizar 9 x 2  48x  64 * Extraer las raíces cuadradas de los extremos del trinomio para identificar a y b … a  9 x 2  9 x 2  3x , b  64  8 …por lo tanto a  3x y b  8 .


9 x 2  48x  64

a 2  2ab  b2 En este caso verificamos que 2ab  2(3x)(8)  48x , por lo que 2ab  48x y es exactamente el término de “en medio” del trinomio 9 x 2  48x  64 … …y por lo tanto el trinomio cuadrado es perfecto. *La factorización es muy simple… 2 2 En este ejemplo la factorización queda como 9 x  48x  64  (3x  8)



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Como Aprendo Álgebra Adolfo Chapuz Benítez Factorización-Trinomio-Cuadrado-Perfecto Ejemplo 7. Factorizar 25r 2  100r  100 * Extraer las raíces cuadradas de los extremos del trinomio para identificar a y b … a  25r 2  25 r 2  5r , b  100  10 …por lo tanto a  5r y b  10 .


25r 2  100r  100

a 2  2ab  b2 En este caso verificamos que 2ab  2(5r )(10)  100r , por lo que 2ab  100r y es exactamente el término de “en medio” del trinomio 25r 2  100r  100 … …y por lo tanto el trinomio cuadrado es perfecto. *La factorización es muy simple… 2 2 En este ejemplo la factorización queda como 25r  100r  100  (5r  10)


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Como Aprendo Álgebra Adolfo Chapuz Benítez Factorización-Trinomio-Cuadrado-Perfecto

Ejemplo 8. Factorizar

1 2 4 A  A4 81 9

1 , pero 81 no te preocupes, solamente sigue los pasos anteriores, pero con más cuidado. Aunque este ejemplo parece un poco más complicado (por la fracción)

* Extrae las raíces cuadradas de los extremos del trinomio para identificar a y b … a

1 2 1 1 1 A  A2  A  A… 81 81 9 81

1 b  4  2 …por lo tanto a  A y b  2 . 9


1 2 4 A  A4 81 9

a 2  2ab  b2 1 4 4 En este caso verificamos que 2ab  2( A)(2)  A , por lo que 2ab  A y es 9 9 9 1 2 4 A  A4… exactamente el término de “en medio” del trinomio 81 9 …y por lo tanto el trinomio cuadrado es perfecto. *La factorización es muy simple… En este ejemplo la factorización queda como


1 2 4 1 A  A  4  ( A  2) 2 81 9 9

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Como Aprendo Álgebra Adolfo Chapuz Benítez Factorización-Trinomio-Cuadrado-Perfecto Ejemplo 9. Factorizar

1 2 z  4 z  100 25


1 2 z  25

1 1 1 z2  z  z… 25 5 25

b  100  10 …por lo tanto a 

1 z y b  10 . 5


1 2 z  4 z  100 25

a 2  2ab  b2 1 20 z  4 z , por lo que 2ab  4 z y es En este caso verificamos que 2ab  2( z )(10)  5 5 1 2 z  4 z  100 … exactamente el término de “en medio” del trinomio 25 …y por lo tanto el trinomio cuadrado es perfecto. *La factorización es muy simple… En este ejemplo la factorización queda como


1 2 1 z  4 z  100  ( z  10) 2 25 5

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Como Aprendo Álgebra Adolfo Chapuz Benítez Factorización-Trinomio-Cuadrado-Perfecto Ejemplo 10. Factorizar

1 2 z  2z  5 5


1 2 1 2 1 1 z  z  z z… 5 5 5 5

b  5 …por lo tanto a 

1 z y b 5. 5


1 2 z  2z  5 5

a 2  2ab  b2 En este caso verificamos que 2ab  2(

1 z )( 5 )  2 z , por lo que 2ab  2 z y es 5

exactamente el término de “en medio” del trinomio

1 2 z  2z  5 … 5

…y por lo tanto el trinomio cuadrado es perfecto. *La factorización es muy simple… En este ejemplo la factorización queda como


1 2 1 z  2z  5  ( z  5)2 5 5

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Como Aprendo Álgebra Adolfo Chapuz Benítez Factorización-Trinomio-Cuadrado-Perfecto Para practicar. Determinar si los siguientes trinomios cuadrados son perfectos, en caso afirmativo realizar dicha factorización.

1.x 2  16 x  64 2. y 2  4 y  4 3.z 2  14 z  49 4.r 2  20r  100 5.x 2  22 x  110 6. 100 x 2  60 x  9 7.64 2  32  4 8.16 2  40  25 9.49 A 2  56 A  16 1 10.  2  6   36 4 1 11. x 2  5 x  100 16 1 12. z 2  3 z  36 16

13.  2  8  16


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