Factorizacion 2v3l5g

24 Factorización Factor común ab  ac  a(b  c )

Ejemplo 1: Factorizar, si es posible 10b  30ab 2 :



10b  30ab 2  10 b  3ab 2



 10b 1  3ab 

Los términos son divisibles entre 10

En el caso de las variables se toma como factor común las que se repiten en todos los términos y con el exponente más pequeño. Todos los factores comunes se pueden factorizar en un paso. Ejemplo 2: Factorizar, si es posible 6xy 3  9nx 2 y 3  12nx 3 y 3  3n 2 x 4 y 3 :



6xy 3  9nx 2 y 3  12nx 3 y 3  3n 2 x 4 y 3  3xy 3 2  3nx  4nx 2  n 2 x 3



En este caso el factor común es 3xy 3 . Si tu multiplicas el factor común por cada uno de los términos que están dentro del paréntesis obtendrás como resultado la expresión original. Ejemplo 3: Factorizar, si es posible 

x 4 y 5 2x 3 y 7 x 4 y 6   : 12 21 15

Por partes: 

 x 4 y 5 2x 3 y 7 x 4 y 6  x 4 y 5 2x 3 y 7 x 4 y 6        12 21 15 21 15   12

Cuando todos son negativos un factor común es -1



x3y5 3

 x 2y 2 xy     Ojo: No te olvides del signo.  7 5  4

En las fracciones se tiene que obtener el factor común de los numeradores y de los denominadores. Ejemplo 4: Factorizar, si es posible 4x 2  2x  1  8x 2x  1 2

25

El factor común también puede ser una expresión entre paréntesis siempre y cuando se repita en todos los términos. El factor común en este caso es 4x(2x-1). 4x 2  2x  1  8x 2x  1  4x( 2x  1) x  2 2x  1   4x( 2x  1) x  4x  2 Simplificando  4x( 2x  1) 2  3x  2

Ejercicios Encuentra el factor común y factoriza las siguientes expresiones: 1.  8n  8 = 2.  13x  5 = 3.  x  3xy 2 = 2 3 4.  5x y  10xy =

5.   2ab 3  14b 2c 3 = 6.  16x 2  12  6 = 7.  6x  5y  5xy = 2 3 8.  16xy z  4x y  8 =

9.  5x 8  3x 3  4x 5 = 3 2 10.  20p  18p  12p =

11.  7 x 5  9x 4  3x 3 = 12.  24y

15

 9y 3  3y =

13.  48x 2 y  16xy 2  33xy = 14.  14y 3 z 5  28y 3 z 6  9xy 2 z 2 =

26

15.  24x 6  8x 4  4x 3 y = 16.  7x 4 y 9  21x 3 y 7 z 5  35y 8 z 9 = 3 5 3 6 2 2 17.  14y z  28y z  9xy z =

18.  a 2b 2c 2  a 2c 2 x 2  a 2c 2 y 2 = 2 3 2 3 2 2 3 19.  55m n x  110 m n x  220m y =

20.  93a 3 x 2 y  62a 2 x 3 y 2  124a 2 x = 2 2 4 3 21.  40x y  16xy  64xy =

22.  36xy 2 z 3  36x 3 y 2 z  9x 2 yz = 4 2 5 3 3 23.   3x y  15x y  18x y =

24.  5a 2b 4c 2  15a 0b1c 2  25abc = 6 7 6 6 5 2 25.  18x y  12x y  9x y =

26.  40x 2 y 4 z  8x 6 y 2 z 2  4x 3 y = 27.

a 5b 3 a 6b 6 3a 7b 5   = 32 24 40

28.  x  x 2  x 3  x 4 = 29.  a 6  3a 4  8a 3  4a 2 = 30.  x15  x12  2x 9  3x 6 = 3 3 2 2 4 2 2 31.  2x y  6xyz  3x y  9y z =

32.   35a 4b 3  50a 7b 3  150a6b 2  70a 0b 4 =

27

33.  25x 7  10x 5  15x 3  5x 2 = 34.  9a 2  12ab  15a 3b 2  24ab 3 = 35.  16x 3 y 2  8x 2 y  24x 4 y 2  40x 2 y 3 = 36.  12m 2n  24m 3n 2  36m 4n 3  48m 5n 4 = 37. 100a 2b 3c  150ab 2c 2  50ab 3c 3  200abc 2

= 38.  x x  2   3 x  2  = 39.  7 x 4x  3   1 4x  3 = 40.  4x 2x  1  2x  1 = 2 41.  4x 2x  1  1 2x  1 =

2 42.  5x x  3   3 x  3  =

7 6 43.  4p 2r  3  3 2r  3 =

5 3 2 44.  6x  2x  7   4x  2x  7   2x  2x  7 

3 2 45.  6x  2x  5  2x  2x  5   2x  5 =

28

29 Factorización Diferencia de cuadrados a 2  b 2  ( a  b)(a  b)

Ejemplo 1: Factorizar, si es posible x 2  1 : x 2  1   x  1 x  1 No importa el orden de los paréntesis

La raíz cuadrada de x 2 es x y la de 1 es 1, estos valores sustitúyelos en los binomios conjugados (a  b )(a  b ) . Ejemplo 2: Factorizar, si es posible 3a 2  12b 2 :



3a 2  12b 2  3 a 2  4b 2



 3 a  2b  a  2b 

Encuentra el factor común Aplica la diferencia de cuadrados

Ejemplo 3: Factorizar, si es posible  x  1 :

  1  x

   Hay otra diferencia de cuadrados  1 x  1 x  1 Factorizado completamente

x4  1  x2  1 x2  1 x

Ejercicios

4

2

30 Factorizar completamente las siguientes expresiones algebraicas: 1. a 2  4 = 2. 9  b 2 = 3. 1  4m 2 = 4. 16  n 2 = 5. a 2  25 = 6. 1  y 2 = 7. x 2  81 = 8. x 2  9 = 9. 16  x 2 = 10. 1  4x 2 = 11. 25  36x 2 = 12. 4a 2  9 = 13. x 2  y 2 = 14. 16a 2  9b 2 = 15. x 2  36y 2 = 16. 25  16y 4 = 17. 25  36x 4 = 18. 4x 2  81y 4 = 19. 81a 4  16b 2 = 20.

1  9a 2 = 4

31

21. 1 

a2 = 25

22.

1 4x 2  = 16 49

23.

x2 y2  = 36 49

a2 x6  24. = 36 25

25. a 4  4b 4 = 26. a 10  49b 12 = 27. 361x 14  1 = 28. x 2 y 2  1 = 29. 100  x 2 y 6 = 30. 1  49a 2 b 2 = 31. 49  64x 2 y 2 = 32. 25x 2 y 4  121 = 33. a 2 b 8  c 2 = 34. 100m 2 n 4  169y 6 = 35. 196x 2 y 4  225z 12 = 36. 256a 12  289b 4 m 10 = y 2z4 x2  37. = 100 81

38. 45m 3  5mn 2 =

32 39. 147w 2  3z 4 = 40. x 5  x 3 = 41. 8x 2  50x 2 y 2 = 42. 9x 2 y 2  4x 2 = 43. a 2 m 4 n 6  144 = 44. 1  9a 2 b 4 c 6 d 8 = 45. 25   x  y  2 = 46.  x  y  2  16 = 47. a 2   3b  2  2 = 48.  x  y  2   c  d  2 = 49. x 4  y 4 = 50. x 4  16 = 51. n 4  81 = 52. 2x 4  32y 8 =

33 Factorización Suma o diferencia de cubos a 3  b 3  (a  b )(a 2  ab  b 2 ) a 3  b 3  (a  b )(a 2  ab  b 2 )

Ejemplo 1: Factorizar, si es posible x 3  8 : La raíz cúbica de x 3 es x y la de 8 es 2, por lo tanto:



x 3  8   x  2  x 2  2x  2 2





  x  2  x  2x  4 2

Ojo con los signos!!



Ejemplo 2: Factorizar, si es posible 108x 4 w 6  4xy 3 :



108x 4 w 6  4xy 3  4x 27 x 3 w 6  y 3

 

 



 



 4x 3xw 2  y 3xw 2  3xw 2  y   y 2  4x 3xw 2  y 9x 2 w 4  3xw 2 y  y 2 2





Recuerda que primero debes encontrar el factor común, y después tratar de aplicar alguna de las técnicas de factorización. Para encontrar la raíz cúbica de una variable hay que dividir el exponente entre 3, como 3 w 6  w 2 .

Ejemplo 3:

34 Factorizar, si es posible 64x 6  y 6 :



 

 



64x 6  y 6  4x 2  y 2  4x   4x 2 y 2  y 2  4x 2  y 2 16x 4  4x 2 y 2  y 4 diferencia de cuadrados. 4 2 2   2x  y  2x  y  16x  4x y  y 4



2



2





Se deben factorizar completamente todas las expresiones aunque sea con diferentes técnicas y no hay que olvidar los factores en la respuesta final. Ejercicios: Factorizar completamente las siguientes expresiones algebraicas: 1. y 3  1 = 2. x 3  27 = 3. a 3  125 = 4. x 3  64 = 5. 1  8x 3 = 6. 1  216m 3 = 7. 1  343n 3 = 8. 1000x 3  1 = 9. 27  8y 3 = 10. 64a 3  729 = 11. x 3  y 3 = 12. x 3  y 3 = 13. m 6  n 9 = 14. 1  27a 3 b 3 = 15. y 6  x 9 = 16. m 6  b 6 =

35 17. 64m 9  n 3 = 18. 8a 3  27b 6 = 19. 512  27a 9 = 20. x 6  8y 12 = 21. 1  729x 6 = 22. 27m 3  64n 9 = 23. 343x 3  512y 6 = 24. a 6  125b12 = 25. x12  y 12 = 26. 1 

125 = a12

27. a 3 

28.

b3 = 1000

8 3 1 3 x  y = 27 64

29. 343a 3  125b 3 c = 30. a 3b 3  8c 3 = 31. x 3 y 6  27a 6b 3 = 32. a 3b 3  x 6 = 33. x 3 y 6  216y 9 = 34. a 3b 3 x 3  1 = 35. 16x 3  2y 3 = 36. 64a  a 4 = 37. x 3 y 6  216y 9 =

36

38. 54w 4  128wn 9 = 39. 7a 7  7ab 6 = 40. 5x 3  40y 3 = 41. 5x 3  625y 3 =. 42. 15a 3  40b 3 = 43. 2n 4  16n = 44. 5x 3  40y 3 = 45. 3x 4  240xy 3 = 46. 16y 6  250x 3 = 47. 40x6 z 5  625y 9 z 2 = 48. x 6  y 6 = 49. x 9  y 9 = 50. 1   x  y  3 = 51. 8 a  b  3   a  b  3 = 52.  x  y  3  27 =

37 Factorzación Trinomio cuadrado perfecto a 2  2ab  b 2  (a  b ) 2 a 2  2ab  b 2  (a  b ) 2

Ejemplo 1: Factorizar, si es posible x 2  6x  9 : Primero hay que verificar la expresión es un trinomio cuadrado perfecto, la raíz cuadrada de x 2 es x y la de 9 es 3, el término medio debe ser el doble producto de estas raíces: 6x. El signo que va adentro del paréntesis de la factorización corresponde al signo medio del trinomio. Por lo tanto: x 2  6x  9   x  3 

2

Ejemplo 2: Factorizar, si es posible  64x 2  80xy  25y 2 :





 64x 2  80xy  25y 2   64x 2  80xy  25y 2 Sacar factor común    8 x  5y 

2

Ejemplo 3: Factorizar, si es posible 45x 4  30x 2 y  20y 2 :



45x 4  30x 2 y  20y 2  5 9x 4  6x 2 y  4y 2



Primero se encuentra el factor común que es 5, después verificar si la expresión en el paréntesis es trinomio cuadrado perfecto: 9x 4  3x 2 , 4y 2  2y , el doble producto = 12x 2 y , como no corresponde con el término medio, entonces ya no se puede factorizar más.

Ejercicios

38 Factorizar completamente las siguientes expresiones algebraicas: 1.  x 2  2x  1 = 2.  x 2  10x  25 = 3.  y 2  8y  16 = 4.   x 2  4x  4 = 5.  a 2  12a  36 = 6.  25  10t  t 2 = 7.  9x 2  6x  1 = 2 8.  25y  10y  1 =

9. 1 + 49 a2 – 14 a = 10.  9x 2  12x  4 = 11.  16x 2  56x  49 = 12.  9y 2  6yz  z 2 = 2 2 13.  4x  4xy  y =

14.  u 2  8uv  16 v 2 = 2 2 15. 36x  60xy  25y =

16.  49x 2  56xy  16y 2 = 2 2 17.  16x  40xy  25y =

39 18.  9x 2  12xy  4y 2 = 19. 36 + 12m2 + m4 = 20. 1 + a10 – 2a5 = 21.  a 4  12a 2  36 = 22.  a 8  18a 4  81 = 23.  400x 10  40x 5  1 = 24. 16 + 40 x2 + 25 x4 = 25. 121 + 198x6 + 81 x12 = 26.  25a 2 b 2  20ab  4 = 27.  9b 2  30a 2 b  25a 4 = 28.  16  104x 2  169x 4 = 2 4 2 29.  1  14x y  49x y =

30.  a 2  24am 2 x 2  144m 4 x 4 = 31.  49m 6  70am 3 n 2  25a 2 n 4 = 32.  100x 10  60a 4 x 5 y 6  9a 8 y 12 = 33.  3x 2  30x  75 = 34.  2x 2  28x  98 = 2 35.  3y  24y  48 =

40 36. 1 – 2a3 + a6 = 37.  a 4  2a 2 b 2  b 4 = 38.  a 6  2a 3 b 3  b 6 = 2 39.   x  y   2 x  y   1 =

40. ( m – n ) 2 + 6 ( m – n ) + 9 = 41. ( a + x ) 2 – 2 ( a + x ) ( x + y ) + ( x + y )2  Factorización

Trinomio de la forma x2 + bx + c (coeficiente igual a uno)

Ejemplo 1: Factorizar, si es posible x 2  7 x  12 : Cuando se tiene un trinomio de segundo grado y una variable el primer término de cada paréntesis es la raíz cuadrada del término al cuadrado x 2  x .

 x 

x 2  7 x  12  x

Ahora hay que buscar dos números enteros que con sus respectivos signos, sumados den como resultado el término medio y multiplicados den como resultado el último término: 34  7

3  4  12

Hay que sustituir estos números en el paréntesis, por lo tanto: x 2  7 x  12   x  3  x  4 

Ejemplo 2: Factorizar, si es posible x 2  3x  28 :

41

 x 

x 2  3x  28  x

Ahora hay que buscar dos números enteros que con sus respectivos signos, sumados den como resultado el término medio y multiplicados den como resultado el último término: 47  3

 4  7  28 Ojo con los signos!!

Por lo tanto: x 2  3x  28   x  7  x  4 

Ejemplo 3: Factorizar, si es posible  11 y 2  y 4  18 : Primero hay que acomodarlo en orden descendente: y 4  11 y 2  18 El primer término de cada factor es

y 4  y 2 por lo tanto:





y 4  11 y 2  18  y 2  9 y 2  2



Factorizar nuevamente   y  3  y  3  y  2



2



Ejercicios Factorizar completamente las siguientes expresiones algebraicas: 1.  x 2  7 x  10 = 2.  a 2  4a  3 = 3.  x 2  9x  8 = 4.  m 2  12m  11 = 2 5.  y  y  30 =

6.  a 2  2a  35 = 7.  c 2  13c  14 =

42 8.  x 2  7 x  6 = 9.  x 2  x  6 = 10.  a 2  18a  45 = 11.  y 2  9y  15 = 12.  y 2  9y  20  = 13.  c 2  5c  24 = 14.  x 2  3x  2 = 15.  12  8n  n 2 = 16.  x 2  10x  21 = 17.  a 2  7a  18 = 18.  n 2  6n  16 = 19.  x 2  5x  36 = 20.  m 2  13m  30 = 21.  a 2  11ab  18b 2 = 2 2 22.  x  12xy  45y =

23.  m 2  mn  56n 2 = 24.  c 2  11cd  28d 2 = 25.  5  4x  x 2 = 26.   14  5n  n 2 =

43 27.  30  y  y 2 = 28.   x 2  5x  6 = 29.    x 2  3x  10 = 30.   a 2  4a  3 = 31.  28  a 2  11a = 32.  15  2y  y 2 = 33.  21a 2  4ax  x 2 = 34.  x 4  x 2  6 = 35.  x 4  5x 2  6 = 36.  y 4  7 y 2  30 = 37.  x 10  x 5  20 = 38.  x 4  7ax 2  60a 2 = 39.  x 8  x 4  240 = 40.  2x 2  18x  16 = 41.  5x 2  5x  10 = 42.  9x 2  36x  45 = 43.  ax 2  5ax  6a = 44.  x 3  12 x 2  20 x = 45.  a 2 b 2  8ab  15 =

44 46.  a 4 b 4  2a 2 b 2  99 = 47.  x 4 y 4  x 2 y 2  132 = 2 48.  x  x  3   3x x  3  2 x  3  =

2 49.  m  n   5 m  n   24 =

45 Factorización Polinomio Cubo Perfecto a 3  3a 2 b  3ab 2  b 3  ( a  b) 3 a 3  3a 2 b  3ab 2  b 3  (a  b) 3

Ejemplo 1: Hallar si 8 x 3  12 x 2  6 x  1 es el cubo de un binomio Veamos si cumple las condiciones La raíz cúbica de 8x3 es 2x La raíz cúbica de 1 es 1 3 (2x)2 = 12x2, segundo término 3(2x)(1)2 , tercer término Cumple las condiciones, y como todos sus términos son positivos la expresión dada es el cubo de (2x+1), o de otro modo, (2x-1) es la raíz cúbica de la expresión dada. 8 x 3  12 x 2  6 x  1

= (2x-1)3

Ejemplo 2: Hallar si 8 x 6  54 x 2 y 6  27 y 9  36 x 4 y 3 es el cubo de un binomio. Ordenando la expresión, se tiene: 8 x 6  36 x 4 y 3  54 x 2 y 6  27 y 9

La expresión tiene cuatro términos

La raíz cúbica de 8x 6 es 2x 2 La raíz cúbica de  27 y 9 es 3 y 3 3(2x2)2(3y3) = 36 x 4 y 3 , segundo término 3(2x2) (3y3) 2 = 54 x 2 y 6 , tercer término

y como los términos son alternativamente positivos y negativos, la expresión dada es el cubo de ( 2x 2 - 3 y 3 ), es decir: 8 x 6  54 x 2 y 6  27 y 9  36 x 4 y 3 = ( 2x 2 - 3 y 3 )3 Ejemplo 3: Factorizar 1  12a  48a 2  64a 3 : Aplicando el procedimiento anterior veamos que esta expresión es el cubo de (1+4a); luego: 1  12a  48a 2  64a 3 = (1+4a)3

46 Ejemplo 4: Factorizar a 9  18a 6 b 5  108a 3b10  216b15 Aplicando el procedimiento anterior, vemos que esta expresión es el cubo de (a3-6b5); luego: a 9  18a 6 b 5  108a 3 b10  216b15 = (a3-6b5)3 Ejercicios Factoriza las siguientes expresiones ordenándolas previamente 1.  a 3  3a 2  3a  1 = 2.  27  27 x  9 x 2  x 3 3.  m3  3m 2 n  3mn 2  n3 = 4.  1  3a 2  3a  a 3 = 5.  8  12a 2  6a 4  a 6 = 6.  125 x 3  1  75 x 2  15 x = 7.  8a 3  36a 2b  54ab 2  27b3 = 8.  27m3  108m 2 n  144mn 2  64n3 = 9.  x 3  3x 2  3 x  1 = 10.  1  12a 2b  6ab  8a 3b3 = 11.  125a 3  150a 2b  6ab 2  8b3 = 12.  8  36 x  54 x 2  27 x 3 = 13.  8  12a 2  6a 4  a 6 = 14.  a 6  3a 4 b 3  3a 2 b 6  b 9 =

47 15.  x 9  9 x 6 y 4  27 x 3 y 8  27 y 12 = 3 2 2 3 16.  64 x  240 x y  300 xy  125 y =

17.  216  756a 2  882a 4  343a 6 = 12 8 5 4 10 15 18.  125 x  600 x y  960 x y  512 y =

19.  3a 12  1  3a 6  a 18 = 20.  m 3  3am 2 n  3a 2 mn 2  a 3 n 3 = 21.  1  18a 2 b 3  108a 4 b 6  216a 6 b 9 = 9 12 6 4 3 8 22.  64 x  125 y  240 x y  300 x y =

48 Factorización

Agrupación

Ejemplo 1: Factorizar, si es posible x 3  3x 2  5x  15 :





x 3  3x 2  5x  15  x 3  3x 2    5x  15 Agrupar de dos en dos  x 2  x  3  5  x  3  Sacar factor común de cada uno 2  x  x  3   5 x  3  Sacar el signo para que queden iguales 2  x  5  x  3 Resultado de sacar factor común (x -3)





Ejemplo 2: Factorizar, si es posible 3ax  2by  2bx  6a  3ay  4b : En este caso son seis términos por lo que podrías intentar agrupar tres y tres términos. En algunas ocasiones es conveniente reordenar los términos para agrupar, en este caso puedes poner los términos que sean múltiplos: 3ax  2by  2bx  6a  3ay  4b  3ax  6a  3ay  2by  2bx  4b

Agrupa Saca factor común Reordena los términos

  3ax  6a  3ay     2by  2bx  4b   3a x  2  y   2b y  x  2  3a y  x  2   2b y  x  2

Saca factor común

  3a  2b  y  x  2 

Ejemplo 3: Factorizar, si es posible x 2  8x  16  w 2 : Intenta factorizar la expresión igual que las anteriores. ¿Pudiste factorizarla? En algunas ocasiones no podrás factorizar expresiones sacando factor común , en este ejemplo se pueden agrupar los tres primeros términos:





x 2  8x  16  w 2  x 2  8x  16  w 2

Ahora en lugar de sacar factor común hay que factorizar utilizando la técnica del trinomio cuadrado perfecto.

49 x 2  8x  16  w 2   x  4  w 2 Es una diferencia de cuadrados 2

   x  4   w   x  4   w    x  4  w  x  4  w 

Ejemplo 4: Factorizar, si es posible x 3  3x 2  3x  1 : x 3  3x 2  3x  1  x 3  1  3x 2  3x Reordenar los términos  x 3  1  3x 2  3x Agrupar términos 3 El primer paréntesis es una suma de cubos  x  1  3x x  1 factor común





 

 







  x  1 x 2  x  1  3x x  1 Factorización   x  1 x 2  x  1  3x Factor común (x + 1)







  x  1 x  2x  1 Simplificando

Aplicando la técnica de trinomio cuadrado perfecto  Aplicar leyes de exponentes

  x  1

3

2

  x  1 x  1

Resultado final

Ejercicios Factorizar completamente las siguientes expresiones algebraicas. 1. x 3  2x 2  x  2 = 2. y 3  3y 2  y  3 = 3. 4x 3  6x 2  2x  3 = 4. 6x 3  2x 2  3x  1 = 5. 4y 3  8y 2  y  2 = 6. 2a 3  3a 2  2a  3 = 7. 3x 4  12x 2  x 2  3 = 8. 6y 4  9y 2  2y 2  3 = 9. 4y 4  12y 2  y 2  3 = 10. 3a 4  6a 2  2a 2  4 = 11. 6a  5b  12ad  10bd =

2

50 12. x 2  y  3x 2 z  3yz = 13. a 2  ab  ax  bx = 14. am  bm  an  bn = 15. ax  2bx  2ay  4by = 16. a 2 x 2  3bx 2  a 2 y 2  3by 2 = 17. 3m  2n  2nx4  3mx 4 = 18. x 2  a 2  x  a 2 x = 19. 4a 3  1  a 2  4a = 20. x  x 2  xy 2  y 2 = 21. 3abx 2  2y 2  2x 2  3aby = 22. 3a  b 2  2b 2 x  6ax = 23. 4a 3 x  4a 2 b  3bm  3amx = 24. 6ax  3a  1  2x = 25. 3x 3  9ax 2  x  3a = 26. 2a 2 x  5a 2 y  15by  6bx = 27. 2x 2 y  2xz 2  y 2 z 2  xy 3 = 28. x 2  x  y  y 2 = 29. x 2  4y 2  x  2y = 30. x 2  3ax  3a  1 = 31. x 2  2x  1  y 2 = 32. x 2  2xy  y 2  9a = 33. 4a 2  b 2  2bx  x 2 =

51 34. a 2  2ab  b 2  16c 2 = 35. 9x 2  6xy  y 2  4 = 36. a 6  3a 4  3a 2  1 = 37. 1  8m 3  6m  12m 2 = 38. x 3 y 6  8y 3  12xy4  6x 2 y 5 = 39. x 3  3x 2  3x  1  a 3 = 40. x 2  6x  9  y 2  4y  4 = 41. 2x 3  nx 2  2xz 2  nz 2  3ny 2  6xy 2 42. 3x 3  2axy  2ay 2  3xy 2  2ax 2  3x 2 y = 43. a 2 b 3  n 4  a 2 b 3 x 2  n 4 x 2  3a 2 b 3 x  3n 4 x =

52 Factorización

Trinomios de la forma ax2+bx+c (coeficiente diferente a uno)

Por el método de agrupación Ejemplo 1: Factorizar, si es posible 4x 2  5x  1 : Primero hay que acomodar el trinomio en la forma ax 2  bx  c , después distinguir quienes son a, b y c:

a=4

b=-5

c=1

Multiplicamos a por c : 4  1  4 Buscamos dos números que multiplicados den ac = 4 y sumados sean b = -5:

  4     1  4

 4    1  5

Sustituimos el término medio por los dos factores que encontramos (con todo y variable):

4x 2  4x  x  1

y ahora resolvemos por agrupación:





4 x 2  4 x  x  1  4 x 2  4 x    x  1  4x x  1  1 x  1   4x  1 x  1

Ejemplo 2: Factorizar, si es posible 12x 2  2xy  4y 2 : Primero sacamos factor común:



12x 2  2xy  4y 2  2 6x 2  xy  2y 2 Buscamos ac y b:

ac  6    2 

b  1

 12 Dos números que multiplicados den -12 y sumados -1:

 4  3  12

Seguimos el procedimiento anterior:



 4  3  1

53



12x 2  2xy  4y 2  2 6x 2  4xy  3xy  2y 2



 

 2  6x 2  4xy  3xy  2y 2





 2   2x 3x  2y   y  3 x  2y    2 2x  y  3x  2y 

Método de prueba y error Ejemplo 1: Factorizar, si es posible 3x 2  13x  10 : Buscar todos los factores que multiplicados nos den el primer término, que en este caso es 3. Los únicos factores son 3 y 1. Abrimos paréntesis y escribimos en cada uno como primer término estos números con todo y variable:



3x 2  13x  10  3x

 x 

Como segundo término tendremos dos factores que multiplicados nos den el término independiente, en este caso 10, tenemos que considerar también los signos del trinomio.

Como el término medio es negativo y el último es positivo los dos factores tienen que ser negativos. Lista de factores:  2    5   10

 1    10  10

Escogemos los primeros factores: 3x 2  13x  10   3x  2  x  5 

Ahora verificamos si la factorización es correcta: Producto de extremos

( 3x )    5   15x

 3x  2 x  5  Producto de medios

 2  x  2x

Sumamos estos productos:  15x    2x   17x Este número debe ser igual al término medio del trinomio que queremos factorizar, por lo tanto esa factorización es incorrecta. Se intenta nuevamente la factorización de dos formas, la primera es cambiando el orden de los factores y la segunda es con otros factores.

54 Intentaremos cambiando los últimos factores. 3x 2  13x  10   3x  10  x  1

Verificamos:

Producto de extremos: ( 3x )    1  3x Producto de medios :   10    x   10x Sumamos los productos:  3x    10x   13x El resultado de la suma es igual al término medio de trinomio por lo tanto esta factorización es correcta.

Ejemplo 2: Factorizar, si es posible  6x 2  11 xy  10y 2 :



 6x 2  11 xy  10y 2   6x 2  11 xy  10y 2



Factor común

Factores de 6 : 2*3, 6*1. Factores de -10: (-2)(5), (2)(-5), (-1)(10), (1)(-10).





Utilizando los factores subrayados:  6x 2  11 xy  10y 2    3x  2y  2x  5y  Verificar utilizando producto de extremos : 3x( 5y )  15xy Producto de medios: 2y ( 2x )  4xy Sumando los productos :  15xy  4xy  11 xy , es correcto porque es igual al término medio del trinomio. Resultado:  6x 2  11xy  10y 2   3x  2y  2x  5y 

Ejercicios Factorizar completamente las siguientes expresiones algebraicas.

55 1.  2x 2  3x  2 = 2.  3x 2  5x  2 = 3.  2x 2  5x  3 = 4.  5x 2  2x  3 = 5.  3x 2  10x  7 = 6.  2x 2  11 x  15 = 2 7.  5y  16y  3 =

2 8.  3y  2y  5 =

9.  6x 2  7 x  2 = 10.  3  11a  10a 2 = 11.  m  6  15m 2 = 12.  14m 2  31m  10 = 13.  22t 2  29t  6 = 14.  4w 2  13w  3 = 15.  12m 2  13m  35 = 16.  20z 2  9z  20 = 17.  12r 2  17r  5 = 18.   5x 2  13x  16 = 19.   2a 2  5a  2 =

56 20.   4a 2  15a  9 = 21.   6x 2  6  5x = 22.   12x 2  x  6 = 23.   8a 2  14a  15 = 24.   9x 2  3x  2 = 25.   4x 2  4xy  3y 2 = 26.   6x 2  7xy  3y 2 = 27.  7x 2  10xy  3y 2 = 28.  15x 2  xy  2y 2 = 29.  15x 2  2xy  2y 2 = 30.   8m 2  10mn  3n 2 = 31.   8x 2  9xy  y 2 = 32.  12x 2  28xy  8y 2 = 33.  8x 2  2x  20 = 34.  18x 2  21x  6 = 35.  12a 2  34ab  24b 2 = 36.  8x 2  20xy  8y 2 = 37.  6a 4  5a 2  25 = 38.  5x 6  4x 3  12 =

57 39.  10x 8  29x 4  10 =

58

40.  7 x 6  33x 3  10 = 41.  3x 2 y 2  2xy  5 = 42.  6a 2 x 2  5ax  21 = 43.  20x 2 y 2  9xy  20 = 44.  4x 2  7mnx  15m 2 n 2 = 45.  12x 3  12x 2  45x = 46.  6ab 2  5ab  a = 47.

6x 5 y  25 x 4 y 2  4x 3 y 3 =

2 48.  4 x  1  8 x  1  3 =

2 49. 6 r  3  13 r  3  5 =

59 Factorización Estrategia general de factorización

Inicio 1 Sacar Factor común

2 Contar número de términos

3 Seleccionar técnica de factorización de acuerdo al número de términos

2 términos

4 términos

3 términos • • •

Diferencia de Cuadrados• Diferencia de Cubos • Suma de Cubos •

Trinomio cuadrado perfecto Trinomio de la forma x2+bx+c Trinomio de la forma ax2+bx+c

4 Factorizar

SI

Ir al

2

5 Verificar si se puede volver a factorizar

NO

Fin

•

Agrupación

60 Factorización Autoevaluación Factorizar completamente las siguientes expresiones algebraicas 1. 5a 2  a 2. y 2  7 y  12 3. 1  x 3 4. 5h 2  2h  3 5. bdk  4bk  3kd  12k 6. x 2  9 7. 27a 3  64b 3 8.  x 2  5x  6 9. 15h 2  9hk  35hj  21kj 10. u 3  v 3 11. 1  m 2 12. 49a 4  28a 2 b 4  4b 8 13. 8y 2  3yx  5x 2 14. 9a 4  36b 4 15 8a 6  1 16. 2x 2  3xy  2y 2 17. 9x 2  4y 2 18. x 2  6xy  9y 2 19. 16m 3  2 20. 6x 2  5xy  4y 2 21. x 3  y 3 z 3 22. 3u 3 z  243uz 23. x 2  10x  7 24. m 4  n 4 25. 16x 2 y  8xy  y 26. s 4 t 4  8st 27. y 4  3y 2  4 28. 27a 2  a 5 b 3 29. m 2  6m  3 30. 25m 2  16n 2 31. 4xy 2  12xy  9x 32. 6s 2  7st  3t 2

33. y 2  16 34. 8b 9  18b 3 35. 18u 2  24uv  8 v 2 36. 2x 2  6xy  10xz 37. x 3  x 2  72x 38. 27x 7 z  2xz 39. 4a 5  10a 4  10a 3 40. a 2  2am  m 2  4b 2 41. 54  2x 9 42. x 2  2x  35 43. 5x 5  5y 4 x 44. 30b 2  34bc  8c 2 45. x 9  y 9 46. 16b 8  24b 4 c 3  9c 6 47. 9a 4  36b 4 48. 6bc  9c 2  12cd  8be  12ce  16de 49. r 6  s 12 50. 4x 2  a 2  y 2  4xy  2ab  b 2 51. 2x 3  2x 2  8x 52. y 2  2xy  x 2  y  x 53. x 3  3x 2  9x  27 54. 4 a  b  2  5 a  b   6 55. 16 x 7  48 x 5  96 x 3  128 x 56. 1  a 6 b 6 57. 2am  3an  2bm  3bn 58. x 3 y  9xy 3 59. m 4  n 4 60. a 4  2a 2 b 2  b 4  a 2 b 2 61. 5a 4  5a 62.  a  b  2  4 c  d  2 63. x 2  2x  1  y 2  6yz  9z 2 64. 5u 2  4uv  2 v 2 65.  3x 2  18x  15

Respuestas

61 Factor Común 1.  8 n  1 2. No se puede factorizar 2 3.  x1  3y  2 4.  5xy xy  2  2 3 5.  2b  ab  7c  2 6.  2 8x  6x  3  7. No se puede factorizar 2 3 8.  4 4xy z   x y  2  3 5 2 9.  x  5x  3  4x  2 10.  2p10p  9p  6  3 11.  x  7 x 2  9x  3  14 2 12.  3y  8y  3y  1 13.  xy 48x  16y  33 2 2 3 4 14.  y z 14yz  28yz  9x  3 3 15.  4x  6x  2x  y  7 4 2 3 5 9 16.  7 y  x y  3x z  5yz  2 2 3 4 17.  y z 14yz  28yz  9x  18. a 2 c 2  b 2  x 2  y 2  19. 55m 2  n 3 x  2n 3 x 2  4y 3  20. 31a 2 x 3axy  2x 2 y 2  4  2 2 21.  8xy  5x  2y  8y  2 2 22.  9xyz 4yz  4x y  x  3 2 2 23.   3x y  xy  5x  6y  2 3 24.  5bc a b c  3c  5a  5 2 5 4 25.  3x y  6xy  4xy  3  2 3 4 2 26.  4x y 10y z  2x yz  x  27.

a 5b 3 8

 1 ab 3 3a 2 b 2    3 5 4

  

28. x1  x  x 2  x 3  29. a 2  a 4  3a 2  8a  4  30. x 6  x 9  x 6  2 x 3  3  3 2 2 2 3 2 31.  y  2x y  6xz  3x y  9yz  2 4 7 6 2 32.   5b  7a b  10a b  30a  14b  33. 5x 2  5x 5  2x 3  3x  1 34. 3a 3a  4b  5a 2 b 2  8b 3 

35. 8x 2 y  2xy  1  3x 2 y  5y 2  36. 12m 2 n1  2mn  3m 2 n 2  4m 3 n 3  37. 50abc 2ab 2  3bc  b 2 c 2  4c  38.   x  2  x  3  39.   4x  3  7 x  1 40.   2x  1 4x  1 2 41.   2x  1  8x  4x  1 2 42.   x  3   5x  15x  3  6 43.   2r  3  8 pr  12 p  3 2 3 44.  2x  2x  7   3x  2x  1 3 2 45.   2x  5   6x  2x  1 Diferencia de Cuadrados 1.  a  2  a  2  2.  3  b  3  b  3.  1  2m  1  2m  4.  4  n  4  n  5.  a  5  a  5  6.  1  y  1  y  7.  x  9  x  9  8. No se puede factorizar 9.  4  x  4  x  10.  1  2x  1  2x  11.  5  6x  5  6x  12.  2a  3  2a  3  13.  x  y  x  y  14. No se puede factorizar 15.  x  6y  x  6y  16.  5  4y 2  5  4y 2  17.  5  6x 2  5  6x 2  18.  2 x  9 y 2  2 x  9 y 2  19.  9a 2  4b  9a 2  4b  1  1  2 2    a  a  21.  1   1   5  5   1 2 x  1 2 x     22.    4 7  4 7 

20.   3a   3a 

x 6

y  x 7  6

y 7

23.     

62 

3



3



a x a x 24.       6 5  6 5 

25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36.

a  2b a  2b  a  7b a  7b  19x  119x  1 2

2

2

2

5

6

5

6

7

7

 xy  1 xy  1

10  xy 10  xy  3

3

 1  7ab  1  7ab   7  8xy  7  8xy 

 5xy  11  5xy  11  ab  cab  c  10mn  13y 10mn  13y  14xy  15z 14xy  15z  16a  17b m 16a  17b m  2

2

4

4

2

3

2

6

2

6

2

2

5

 x yz 2  x yz 2    9  10 9  10 38. 5m 3m  n  3m  n 

37. 

6

3

6

2

  

39. 3 7w  z 2  7 w  z 2  40. x 3  x  1 x  1 41. 2 x 2  4  5 y  4  5 y  42. x 2  3y  2  3y  2  43.  am 2 n 3  12 am 2 n 3  12  44. 1  3ab 2 c 3 d 4 1  3ab 2 c 3 d 4  45.  5   x  y   5   x  y   46.  x  y  4  x  y  4  47.  a  3b  2  a  3b  2  48.   x  y    c  d    x  y    c  d   49.  x 2  y 2  x  y  x  y  50.  x 2  4  x  2  x  2  51.  n 2  9 n  3  n  3  52. 2 x 2  4y 4  x  2y 2  x  2y 2  Suma o Diferencia de Cubos 1. 2. 3. 4. 5.

 y  1  y 2  y  1  x  3   x 2  3x  9   a  5  a 2  5a  25  x  4  x 2  4x  16  1  2 x  1  2 x  4 x 2 

5

6.  1  6m  1  6m  36m 2  7.  1  7n  1  7n  49n 2  8.  10x  1 100x 2  10x  1 9.  3  2y   9  6y  4y 2  10.  4a  9  16a 2  36a  81 11.  x  y   x 2  xy  y 2  12.  x  y   x 2  xy  y 2  13.  m 2  n 3  m 4  m 2 n 3  n 6  14.  1  3ab  1  3ab  9a 2b 2  15.  y 2  x 3  y 4  x 3 y 2  x 6  16.  m 2  b 2  m 4  m 2b 2  b 4  17.  4m 3  n 16m 6  4m 3n  n 2  18.  2a  3b 2  4a 2  6ab 2  9b 4  19.  8  3a 3  64  24a 3  9a 6  20.  x 2  2y 4  x 4  2x 2 y 4  4y 8  21. 1  9x 2 1  9x 2  81x 4  22.  3m  4n 3  9m 2  12mn 3  16n 6  23.  7 x  8y 2  49x 2  56xy 2  64y 4  24.  a 2  5b 4  a 4  5a 2b 4  25b 8  25.  x 4  y 4  x 8  x 4 y 4  y 8  

26.  1  

5  5 25  1 4  8  4  a  a a 

b  2 ab b 2     a  10  10 100   1  4 2 1 1 2 2 28.  x  y  x  xy  y  4  9 6 16  3 

27.  a 

29. No se puede factorizar 30.  ab  2c   a 2 b 2  2abc  4c 2  31.  xy2  3a 2b  x 2 y 4  3xy2a 2b  9a 4b 2  32.  ab  x 2  a 2b 2  abx 2  x 4  33.  xy 2  6y 3  x 2 y 4  6xy5  36y 6  34.  abx  1  a 2b 2 x 2  abx  1 35. 2 2x  y   4x 2  2xy  y 2  36. a 4  a  16  4a  a 2  37. y 6  x  6   x 2  6x  36 respuesta de la número 33 es también posible 38. 2 w 3w  4n3  9 w2  12 wn 3  16n 6  39. 7a a 2  b 2  a 4  a 2b 2  b 4  40. 5 x  2y   x 2  2xy  4y 2 

63 41. 5 x  5y   x 2  5xy  25y 2  42. 5 (3a3 + 8b3) 43. 2n (n – 2) (n2 + 2n + 4) 44. 5 (x + 2y) (x2 – 2xy + 4y2)  45. 3x (x – 2y) (x2 + 2xy + 4y2) 46. 2 (2y2 – 5x) (4y4 + 10xy2 + 25x2) 47. 5z2 (2x2z + 5y3) (4x4z2 – 10x2y3z + 25y6) 48.  x  y  x  y   x 4  x 2 y 2  y 4  49.  x  y   x 2  xy  y 2  x 6  x 3 y 3  y 6  50.  1  x  y  1  x  y  x 2  2xy  y 2  51.  3a  b   3a 2  6ab  7b 2  52.  x  y  3  x 2  2 xy  y 2  3 x  3 y  9  Trinomio Cuadrado Perfecto 1.  x  1 2 2.  x  5  2 3.  y  4  2 4.  x  2  2 5.  a  6 2 6.  5  t  2 7.  3x  1 2 8.  5y  1 2 9.  7a  1 2 10.  3x  2  2 11.  4x  7  2 12.  3y  z  2 13.  2x  y  2 14.  u  4 v  2 15.  6x  5y  2 16.  7 x  4 y  2 17.  4x  5y  2 18.  3x  2y  2 2 19.  6  m 2  2 20. 1  a 5 

21.  a 2  6 2 22.  a 4  9 2 23.  20x5  1 2 24.  4  5x 2  2

25. 11  9x 6  26.  5ab  2  2 2 27.  3b  5a 2  2 28.  4  13x 2  2 29. 1  7 x 2 y  2

30.  a  12m 2 x 2  2 31.  7m 3  5an 2  2

32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41.

10x

5

 3a 4 y 6

3 x  5 

2 x  7 



2

2

3 y  4 

2 2

 1  a  2 1  a  a 2  2

 a  b 2  a  b 2  a  b  2  a 2  ab  b 2  2  x  y  1 2  m  n  3 2 a  y 2

Trinomio x2+bx+c 1.  x  5 x  2 2.  a  3  a  1 3.  x  8 x  1 4.  m  11  m  1 5.  y  6 y  5 6.  a  5 a  7  7.  c  14 c  1 8.  x  6 x  1 9.  x  3  x  2  10.  a  15  a  3  11. No se puede factorizar 12.  y  5  y  4  13.  c  8 c  3 14.  x  2  x  1 15.  n  6 n  2  16.  x  7  x  3 17.  a  9  a  2  18.  n  8 n  2 19.  x  9 x  4 20.  m  15  m  2 

64 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49.

 a  9b  a  2b   x  15y  x  3y   m  8n  m  7n   c  7d  c  4d    x  5  x  1   n  7  n  2   y  6  y  5    x  2  x  3    x  5  x  2    a  3  a  1   a  7  a  4    y  3  y  5    x  7a  x  3a 

x x y x x x

2 2 2 5 2 4

11. (5a + 2b)3 12. (2 + 3x)3 13. No se puede factorizar 14. (a2 + b3)3 15. (x3 - 3y4)3 16. (4x + 5y)3 17. (6 - 7a2)3 18. (5x4 + 8y5)3 19. (a6 + 1)3 20. (m - an)3 21. (1 + 6a2b3)3 22. (4x3 - 5y4)3 Agrupación

   3  x  2   3  y  10  5  x  4   12a  x  5a   16  x  15   3 x2  2 2

2

5

2

4

2 x  8  x  1 5 x  2  x  1 9 x  5  x  1 a x  2  x  3  x x  2  x  10   ab  3 ab  5

a b x y 2

2

2

2

  11  x

 11 a 2 b 2  9 2



y  12 2

 x  3 x  2 x  1  m  n  8 m  n  3



Polinomio Cubo Perfecto 1. (a + 1)3 2. (3 - x)3 3. (m + n)3 4. (1 - a)3 5. (a2 + 2)3 6. (5x + 1)3 7. (2a - 3b)3 8. (3m + 4n)3 9. No se puede factorizar 10. No se puede factorizar

1.  x 2  1 x  2  2.  y 2  1  y  3  3.  2x 2  1 2x  3 4.  2x 2  1 3x  1 5.  4y 2  1  y  2  6.  a 2  1 2a  3  7. No se puede factorizar 8.  3y 2  1 2y 2  3  9.  4y 2  1 y 2  3  10.  3a 2  2 a 2  2 11.  6a  5b  1  2d  12.  x 2  y  1  3z  13.  a  b  a  x  14.  m  n  a  b  15.  x  2y  a  2b  16.  x 2  y 2  a 2  3b  17.  3m  2n   x 4  1 18.  x  a 2  1  x  19.  a 2  1 4a  1 20.  x  y 2  x  1 21. No se puede factorizar 22.  1  2x   3a  b 2  23.  4a 2  3m  ax  b  24.  2x  1 3a  1 25.  3x 2  1 x  3a  26.  2x  5y   a 2  3b  27.  2x  y 2  xy  z 2 

65 28.  x  y  x  y  1 29.  x  2y  x  2y  1 30.  x  1 x  3a  1 31.  x  y  1 x  y  1 32. No se puede factorizar 33.  2a  b  x  2a  b  x  34.  a  b  4c  a  b  4c  35.  3x  y  2 3x  y  2  36.  a  1 3  a  1 3 37.  1  2m  3 38. y 3  xy  2  3 2 39.   x  1  a  x  1  a x  1  a 2 40.  x  y  1 x  y  5 41.  2x  n   x 2  z 2  3y 2  42.  3x  2a   x 2  xy  y 2  43.  a 2b 3  n 4  x 2  3x  1



Trinomio ax2+bx+c 1.  2x  1 x  2 2.  3x  1 x  2  3.  2x  3  x  1 4. No se puede factorizar 5.  x  1 3x  7  6.  2x  5  x  3  7.  5y  1 y  3  8.  3y  5  y  1 9.  3x  2  2x  1 10.  5a  3  2a  1 11.  3m  2  5m  3  12.  7m  2  2m  5  13.  11 t  2  2t  3  14.  4w  1 w  3  15.  3m  7  4m  5  16.  4z  5  5z  4  17.  3r  5  4r  1 18. No se puede factorizar 19.   2a  1 a  2  20.   4a  3  a  3  21.   3x  2  2x  3  22.   3x  2  4x  3  23.   4a  3  2a  5  24.   3x  2  3x  1



25.  2x  3y  2x  y  26.  2x  3y  3x  y  27.  7 x  3y  x  y  28.  3x  y  5x  2y  29. No se puede factorizar 30.   4m  n  2m  3n  31.   8x  y  x  y  32. 4 3 x  y  x  2 y  33. 2 4x 2  x  10  34. 3 3x  2  2x  1 35. 2 2a  3b  3a  4b  36. 4 2x  y  x  2y  37.  2a 2  5 3a 2  5  38.  x 3  2  5x 3  6 39.  2x 4  5  5x 4  2  40.  7 x 3  2  x 3  5 41.  3xy  5  xy  1 42.  3ax  7  2ax  3  43.  4xy  5  5xy  4  44.  4x  5mn  x  3mn  45. 3x 2x  3  2x  5  46. a 3b  1 2b  1 47. x 3 y  6x  y  x  4y  48.  2x  5  2x  3  49.  3r  14  2r  7  Autoevaluación 1. a 5a  1 2.  y  4  y  3 3.  1  x  1  x  x 2  4.  5h  3 h  1 5. k  b  3 d  4  6.  x  3  x  3 7.  3a  4b   9a 2  12ab  16b 2  8.   x  3  x  2  9.  5h  3k  3h  7 j 10.  u  v   u 2  uv  v 2  11. No se puede factorizar 2 12.  7a 2  2b 4  13.  8y  5x  y  x 

66 14. 9 a 4  4b 4  15.  2a 2  1 4a 4  2a 2  1 16.  2x  y  x  2y  17.  3x  2y  3x  2y  18.  x  3y  2 19. 2 2m  1  4m 2  2m  1 20.  2x  y  3x  4y  21.  x  yz   x 2  xyz  y 2 z 2  22. 3uz  u 2  81 23. No se puede factorizar 24.  m  n  m  n   m 2  n 2  25. y  4x  1 2 26. st  st  2   s 2t 2  2st  4  27.  y  2  y  2   y 2  1 28. a 2  3  ab    9  3ab  a 2b 2  29. No se puede factorizar 30.  5m  4n  5m  4n  31. x 2y  3  2 32.  3s  t  2s  3t  33. No se puede factorizar 34. 2b 3  2b 3  3 2b 3  3 35. 2 9u 2  12uv  4 v 2  36. 2 x( x  3 y  5 z ) 37. x x  9 x  8  38. xz 27 x 6  2  39. 2a 3  2a 2  5a  5 

40.   a  m   2b   a  m   2b  41. 2 3  x 3  9  3x 3  x 6  42. No se puede factorizar 43. 5x x  y  x  y   x 2  y 2  44. 2 5b  c  3b  4c  45.  x  y   x 2  xy  y 2  x 6  x 3 y 3  y 6  2 46.  4b 4  3c 3  47. 9 a 4  4b 4  48.  3c  4e  2b  3c  4d  49.  r  s 2  r  s 2  r 4  r 2 s 4  s 8  50.   2x  y    a  b    2x  y    a  b   51. 2x x 2  x  4  52.  y  x    y  x   1 53.  x  3  2  x  3  54.  4 a  b   3    a  b   2 55. 2x 2x 2  4 56.  1  ab  1  ab   1  a 2b 2  a 4b 4  57.  a  b  2m  3n  58. xy x  3y  x  3y  59. No se puede factorizar 60.  a 2  b 2   ab   a 2  b 2   ab 61. 5a a  1  a 2  a  1 62.   a  b   2  c  d     a  b   2  c  d   63.   x  1   y  3z    x  1   y  3z   64. No se puede factorizar 65.  3 x  5 x  1 3