Finales Aga 4v2b6l

UTN. FRBA Tema: 1

ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

23 de Mayo de2012

Apellido y nombres del alumno: ......................................................................Legajo: …………. 1

2

3

4

5

Calificación final

La condición para aprobar el examen es tener como mínimo tres ejercicios correctamente resueltos. Usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios para justificar sus respuestas. NO USE LAPIZ.

 2 4 − 4   1) Sea la transformación lineal T: R →P2 / la matriz asociada es ME E’ (T)=  1 b − b  1 b − 2   3 2 E: base canónica de R , E’= {1, x, x } base de P2 3

a) Encuentre, si existen, los valores de b∈R tales T no sea epimorfismo ( sobreyectiva). b) Para b = 0

obtenga

T -1 (1 – x2)

2) Analice la verdad o la falsedad de las siguientes proposiciones. Justifique sus respuestas. a) Si el polinomio característico de la matriz A∈ ℜ 3x3 es p(λ)=(λ-2)(λ-1)2 y S = {(X∈ ℜ 3x1/ 2x1+x2 -x3 =0} es autoespacio de A, entonces A es diagonalizable. b) Sea F: V→ W una transformación lineal y {v1, v2} ⊂ V. Si {F(v1), F(v2)} es linealmente dependiente, entonces{v1, v2} es linealmente dependiente.

 x − y −1 = 0 3) Dada la recta r:  3 y − z − 2 = 0

Halle las ecuaciones de las rectas paralelas a r, que

contienen al punto (1, t, -2) y tales que su distancia a r vale

10 11

4) Sea la ecuación en R3: Ax 2 − y 2 + Bz 2 = D Halle la ecuación canónica, identifique y grafique la superficie cuya traza con el plano XZ es  x = 2 sent  la curva C:  y = 0 0 ≤ t ≤ 2π y que pasa por el punto (0, 1, 6).  z = 3 cos t 

 0 − 1  no es diagonalizable en R, pero es 5) Verifique que la matriz M =  1 0  k diagonalizable en C. Aplique el proceso de diagonalización para demostrar que M = I si k es múltiplo de 4.

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Evaluación final: Álgebra y Geometría Analítica Tema 1

24/7/2012

Apellido y nombres del alumno: ..................................................................................................... Legajo: ................................ Corrigió:………………………… La condición para aprobar este examen es tener bien resueltos, como mínimo: a) Dos ejercicios de Geometría Analítica y uno de Álgebra, o b) Dos ejercicios de Álgebra y uno de Geometría Analítica.

1

2

3

4

5

Calificación final

IMPORTANTE: usted debe presentar, en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios. NO USE LÁPIZ.

 

x −k

1) Sea el haz de planos x + 2y + z − 1 + α (2x − y) = 0 con α ∈ R y la recta s : y = 3

 z = −2

a) Halle k ∈ R , si existe, para que la recta s esté incluida en alguno de los planos del haz. b) Para k = −3 obtenga, si existe, la intersección de la recta s con el eje del haz.

2) Halle la ecuación canónica y grafique: a) el paraboloide hiperbólico de eje z, vértice en el origen y que pasa por los puntos P(2,1,1) y Q(4,3,−1) . 2   x = −2 − t b) la curva de ecuaciones paramétricas  2  y = 1 + t

con t ≥ 0 . Identifique la curva e

indique el sentido de recorrido en el gráfico de la misma.

3) Determine justificando su respuesta, el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: a) Si T : V → W es una transformación lineal y {v 1, v 2 , v 3 } es una base de V, entonces {T(v 1 ), T(v 2 ), T(v 3 )} es una base de W. b) Si los vectores columna de una matriz A ∈ R 2x2 son unitarios y ortogonales, entonces A es inversible y A −1 = A t 4) Dados los subespacios de R4 : S 1 = {(x, y, z, t) ∈ R 4 / x + y + 3z − t = 0 ∧ x − 3z = 0} y ⊥ S 2 = gen{(3,0,1,0). (3,−1,0,1)} , halle una base de S 1 + S 2 ¿La suma es directa? Justifique su respuesta. 5) a) Dada la transformación lineal T : R 2 → R 2 / − 1 y 4 son autovalores de T asociados a los autovectores (3,−1) y (2,0) respectivamente, determine justificando, si existe una única transformación lineal que cumpla con los datos indicados. b) ¿T es diagonalizable? En caso afirmativo halle una matriz A y otra diagonal D, distintas, semejantes entre si y ambas asociadas a T.

UTN FRBA

Final de Álgebra y Geometría Analítica

31/7/2012 Tema 1 Apellido y nombre del alumno:………………………………………………… Leg.: ………….. Corrigió: ……………………………………………Revisó: ……………………………………….... La condición para aprobar esta evaluación es tener bien resueltos como mínimo tres ejercicios. 1

2

3

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5

Calificación final

IMPORTANTE: usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios, para justificar sus respuestas. No use lápiz.

2 2  1 1 1) Sea A =  1 −1  0 1  Definir un subespacio

0 0  −1 2 y S = { X ∈ R4x1 / A X = At X }  1 0  1 2  T ⊂ R4x1 tal que: S ⊕ T = R4x1

2) Dada la ecuación: 2x2 + Ay2 = Bz Encontrar los valores de A y B para los cuales la ecuación representa un paraboloide cuya intersección con el plano z = - 2 es una circunferencia de radio 3. Dar una parametrización de dicha circunferencia. Graficar la superficie.

3) Graficar la región del plano complejo definida por:

{ z ∈ C / Re(4 / z ) > 1 ,

Im(i z 2 ) ≤ 1

}

4) Dado el haz de planos: α ( x - y + 3 ) + β ( x +y + z - 1 ) = 0 Definir una transformación lineal F: R3 → R3 que verifique simultáneamente: i) La imagen de F es uno de los planos del haz. ii) El núcleo de F está contenido en la imagen de F. iii) (1, -2, 0) es autovector de F asociado al autovalor 2. Nota: No es necesario hallar la fórmula de F. Es suficiente justificar claramente por qué la transformación lineal propuesta queda bien definida.

5) Analizar la validez de cada una de las siguientes proposiciones: a) La ecuación

3x2 + kxy + 3y2 = 1 (en R2) representa una elipse para cualquier k real.

b) Sea A ∈ R5x5 tal que el conjunto solución del sistema A X = 0 es un subespacio de dimensión 4. Si det (A – 2I) = 0 , entonces A es diagonalizable.

UTNFRBA

FINAL DE ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

Apellido y nombres: ............................................................... Corrigió:………………………….. 1 a

b

2 a

3 a

b

10-12-2012

Nro de Legajo..........................

Revisó: ………………… 4 a

b

5 a

b

Calificación b

Por favor: No use lápiz y mantenga el celular apagado. 1) Dada la recta L que contiene a los puntos A(1,0,0) y B(2,1,0). a) Encuentre el plano que contiene a la recta L y es perpendicular al plano xy, grafique indicando las trazas del plano. b) Calcule la distancia del plano al origen.

{

}

2) Sabiendo que el núcleo de una transformación en R3 es S = (x , y, z ) ∈ R 3 / x − y + z = 0 y que la imagen es su complemento ortogonal. a) Defina una Transformación Lineal que cumpla las condiciones anteriores, indique en que teorema se basa para definirla y justifique que se cumple su hipótesis. 0 0 0   b) Si M (T ) B, B =  0 0 0  es la matriz asociada a una T.L. con las 0 0 1   condiciones dadas, escriba una posible base B y justifique. 3) a) Halle las matrices asociadas a dos endomorfismos F y G de R2, tal que F provoque una simetría con respecto al eje y, y G una dilatación al doble en la dirección de x y una contracción de coeficiente ½ en la dirección de y. b) Obtenga FoG, indique los autovalores y autovectores y realice un gráfico que muestre la imagen a través de FoG de un cuadrado unitario.

{

}

4) Dado el conjunto A = z = x + y i ∈ C / z z + z + z = 4 Im(z)

a) Grafique el lugar geométrico de los puntos del plano complejo pertenecientes al conjunto A. b) Parametrice la curva definida por el conjunto A e indique su trayectoria. 5) Dada la ecuación

σ : x 2 + Ay 2 + (A + 1) z 2 = A 2 + 1 en R 3

Halle los valores de A de manera que la ecuación corresponda a: a) Un cilindro, e indique el tipo y realice un gráfico aproximado en cada caso.

{

(

)

}

b) Una superficie tal que: σ ∩ ( x = 3) = (x , y, z ) = 3 , 2 cos( t ) , 2 sen ( t ) ∧ t ∈ [0 , 2π ) , identifique la superficie y grafíquela.

FINAL ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA FECHA: 17 de diciembre 2012 Apellido y nombres del alumno: ……………………………… 1

2

3

Tema: 1

Legajo Nº…………………..

4

5

Calificación final

La condición para aprobar el examen es tener como mínimo tres ejercicios correctamente resueltos. Usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios para justificar sus respuestas. NO USE LAPIZ

1) Dada la superficie de ecuación: A ( x − 1) + B ( y − 2 ) + Cz 2 = 1 a) Encuentre la ecuación canónica, identifique y grafique la superficie que cumple simultáneamente las condiciones i) e ii): i) la intersección de la superficie con el plano x = 1 es la curva de ecuación ( x, y, z ) = (1 ; 2 + 2 cos t ; 3 sen t ) con 0 ≤ t ≤ 2π ii) la intersección de la superficie con el plano z = 0 es una hipérbola equilátera. b) Identifique y grafique para A=0 ; B=1 y C=1 ___________________________________________________________________________ 2

2

2) Halle una parametrización de la trayectoria de un punto que se mueve sobre la cónica de ecuación: y 2 + 2 y + 2 x + 3 = 0 comenzando el movimiento en el punto ( −3; −3) y finalizando −3 en el punto  ;0   2



___________________________________________________________________________  4 0 0 3) Sea una transformación lineal F : P2 → P2 / M BB ( F ) =  0 4 0   0 0 3   2

{

siendo B = 1 ; x ; x + x

} base de P

2

a) Encuentre, si existen, todos los polinomios p(x) = a + bx + cx2

tales que:

F ( p ( x ) ) = 3x + 3x b) ¿Es F un isomorfismo? En caso afirmativo, defina la transformación inversa de F. ___________________________________________________________________________ 2

4) Sean S1 = {( x, y, z ) ∈ R3 / ( x, y, z ) = ( t , 2t , −3t ) ; t ∈ R} y S2 = {( x, y, z ) ∈ R3 / x − k = y = z} Halle “k” para que S2 sea un subespacio de R3 y para el valor de “k” hallado, encuentre una base y la dimensión de la suma: S1 + ( S2 )⊥ ___________________________________________________________________________ 5) Analice el valor de verdad de las siguientes afirmaciones, justificando su respuesta: 3 1 − i entonces z 36 = 1 2 2 b) ∀A ∈ R mxn ∀B ∈ R mxn : rango ( A + B ) = rango ( A ) + rango ( B )

a) Si z = −

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Álgebra y Geometría Analítica. Evaluación final - Tema 1

18/02/13

Apellido y nombres del alumno: ............................................................. Leg .…………… Corrigió: …………………………………………………………………………………. La condición para aprobar este examen es tener bien resueltos, como mínimo: a) los dos ejercicios de Geometría Analítica y uno de Álgebra, o b) dos ejercicios de Álgebra y uno de Geometría Analítica. 1

2

3

4

5

Calificación final

IMPORTANTE: usted debe presentar en las hojas que entrega EL DESARROLLO de todos los ejercicios, para JUSTIFICAR sus respuestas. NO USE LÁPIZ.

1) a) La recta r es perpendicular a la recta s : (x, y, z) = (4,0,2) + k (2,-1,1). Además r pasa por el origen y está contenida en el plano xy. Encuentre las ecuaciones cartesianas paramétricas de r.

x − y = 4 , determine si s y t son coplanares o alabeadas. En caso de ser −y + z = 2

b) Dada la recta t: 

coplanares, halle la ecuación del plano que las contiene. _________________________________________________________________________ 2 2) Sea la superficie S de ecuación: A ( x-2 ) + B y2 + z2 = 1 . Halle, si existen, Ay B si se sabe que la

x=2  intersección de S con el plano x=2 es la curva dada por y=2cost con 0 ≤ t ≤ 2π y la traza de S con z=sent  el pl(x,y) es una circunferencia. Identifíque S. Grafique la superficie para A = B =

1

4 _____________________________________________________________________ 3) Establezca la verdad o la falsedad de las siguientes afirmaciones, demostrando en cada caso: a) No existe k real tal que: 4 x 2 + 2kxy + y 2 = 5 represente una un par de rectas paralelas.

b) En el plano complejo, las expresiones z + i = z − 1 ∧ 0 ≤ Arg(z) ≤ π corresponde a una semirrecta que tiene origen en z=0 y está incluida en el segundo cuadrante. ________________________________________________________________________ 4) Encuentre una base y la dimensión del subespacio W1 ∩ W2 , siendo

 a b   a b   W1 =   a + b + c + d = 0 y W2 =  b + c + d = 0 ∧ b + c + a = 0  subespacios de    c d   c d   ℜ 2 x 2 . La suma W1 + W2 ¿es directa? _________________________________________________________________________ 3 0 0 





5) a) Dada la matriz M BB = 0 2 0 asociada a la trasformación lineal T: ℜ 3 → ℜ 3 en la base   0 0 - 3  B = {(1,0,0),(-2,7,-2),(-1,1,-1)} , halle el transformado del vector (3, -1, 1) utilizando dicha matriz. b) Encuentre, si es posible, una transformación lineal F : ℜ 2 → ℜ 3 tal que Im (F) = W ⊥ y Nu = {(x, y) / x - 2y = 0} , siendo W = {(a,b,c) / a + b + c = 0} . Justifique. Nota: no es necesario que encuentre la expresión analítica de F.

UTN FRBA

Final de Álgebra y Geometría Analítica

25/2/2013 Tema 1

Apellido y nombre del alumno:………………………………………………… Corrigió: …………………………………………… La condición para aprobar esta evaluación es tener bien resueltos como mínimo tres ejercicios. 1

2

3

4

5

Calificación final

IMPORTANTE: usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios, para justificar sus respuestas. No use lápiz.

1) Sean los planos π : x + 2y – z + 1 = 0,

β : 3 x + 2y – 2 = 0 y el punto P( 2, -2, 3).

Halle la ecuación de la recta r tal que r // π ; r ⊂ β

y P ∈ r.

2) Sea la superficie de ecuación 8 x2 + k y2 + z2 = 9 a) Calcule h y k reales sabiendo que la intersección de la superficie con el plano

π : z = h, es una hipérbola equilátera. b) Para k = -1, identifique y grafique la superficie. 3) Dados los subespacios de R4 S = gen { (0, 2, 1, 0) , (1, -1, 0, 0) } y W = { ( x, y, z, t) / x – z = 0 ∧ 2x + y – z = 0 } Defina una transformación lineal T: R4 → R4 tal que Im(T) = S⊥ + W

y Nu(T) = S⊥ ∩ W

Nota: No es necesario hallar la fórmula de T. Debe justificar por qué está bien definida.

0 1 2   4) Sea A =  1 0 a  0 0 b   a) Halle los valores de a y b para que 1 sea autovalor doble (de multiplicidad algebraica 2) y A sea diagonalizable. b) Considere b = 0 y analice la validez de la siguiente afirmación: Para cualquier a ∈ R ,

100

A

1 1     1 = 1 0  0    

Nota: no es necesario calcular A100

 z + i ≤ z −1 5) Halle todos los z ∈ C que verifican:  3  z −1− i = 0

Examen Final de Álgebra y Geometría Analítica- Tema 1 Apellido y nombre del alumno: .........................................

4/3/2013 Legajo: ........................

Importante: -Para aprobar este examen debe tener bien resueltos 3 ejercicios, como mínimo. - Debe presentar el desarrollo completo de todos los ejercicios, justificando correctamente todas las resoluciones. No use lápiz. 1 2 3 4 5 Calificación Final

1) Obtener la ecuación del plano α determinado por la proyección de P(1,−1,2) sobre el plano π : x + 3y + 12 = 0 ; el punto Q(2,1,3) y la intersección de la recta t : (x, y, z) = λ(4,−1,2) con el plano coordenado xy.  − 1 1 0  hallar 2) a) Dada la transformación lineal T : R 2x2 → R 2x3 / T(A) = A.M con M =   3 − 3 0 una base de Nu(T).  2h + 3 4h − 3k 0   pertenece a b) Obtener todos los valores de h y k reales sabiendo que  5 0   −5 Im(T).

3) Demostrar justificando: a) Si A matriz cualquiera de orden n y B matriz no regular de orden n, entonces A.B es matriz no regular. b) Si A es una matriz diagonalizable de orden n, su determinante es el producto de sus autovalores. 4) a) Dados los subespacios S = { p(x) = a + bx ∈ P1 / p(2) = p( −1)} W = gen{− 3 + 2x} ⊂ P1 , analizar justificando si S ⊕ W = P1

y

b) Obtener los autovalores y autovectores de la transformación lineal F : P1 → P1 / F(a + bx) = b + ax

5) a) Hallar la ecuación cartesiana e identificar la cónica cuya expresión compleja es z + 6 = 10 − z (z ∈ C) . Graficar la cónica. b) Hallar los valores de A y B reales para que A(x − 3) 2 − y 2 + B(z + 1) 2 = 1 corresponda a la ecuación de un hiperboloide de dos hojas cuya intersección con el plano z + 1 = 0 sea una hipérbola con un foco en (5,0,−1) .