Fisica Preuniversitario 20-04-2014 6a3nn

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES

GESTION - I/2014 FÍSICA

.

FÍSICA PARA ESTUDIANTES DEL

PREUNIVERSITARI O

1

F A C U LT A D D E I N G E N I E R Í A

Física para Estudiantes del Preuniversitario de Ingeniería

Copyright 2014 Todos los derechos reservados UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERÍA Ing. José Alberto Riveros Salazar

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación puede reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. Impreso en Bolivia. Printed in Bolivia

Índice INTRODUCCIÓN

CA PÍTU LO

4

1

CAMPOS MAGNÉTICOS DE CORRIENTES CONSTANTES INTRODUCCIÓN

5

FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UNA CARGA EN MOVIMIENTO

6

FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UNA CORRIENTE

17

TORQUE MAGNÉTICO SOBRE UNA CORRIENTE

19

FLUJO MAGNÉTICO Y LEY DE GAUSS

21

LEY DE BIOT – SAVART

23

LEY CIRCUITAL DE AMPERE

29

CA PÍTU LO

2

PROPIEDADES MAGNÉTICAS DE LA MATERIA INTRODUCCIÓN

37

CAMPO MAGNETIZANTE

39

FERROMAGNETISMO

42

HISTÉRESIS

44

MAGNETISMO DE NÚCLEO DE Fe

46

CA PÍTU LO

3

CAMPOS VARIANTES CON EL TIEMPO LEY DE FARADAY

50

CONDUCTORES EN MOVIMIENTO A TRAVÉS DE CAMPOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO55 LEY DE LENZ

55

INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA Y EL PRINCIPIO DE LA RELATIVIDAD

58

AUTOINDUCCIÓN

59

COMPORTAMIENTO DE LOS CIRCUITOS R-L

61

ENERGÍA Y DENSIDAD DE ENERGÍA EN B

65

INDUCCIÓN MUTUA, BOBINAS DE INDUCCIÓN Y TRANSFORMADORES

69

CA PÍTU LO

4

OSCILACIONES Y CORRINTE ALTERNA DEFINICIÓN

72

CONSIDERACIONES ENERGÉTICAS

78

CIRCUITO RLC

82

CIRCUITO EN PARALELO SIN FUENTES

82

CASO RLC EN PARALELO, SUPERAMORTIGUAMIENTO

84

CASO RLC EN PARALELO, AMORTIGUAMIENTO CRÍTICO

85

CASO RLC EN PARALELO, SUBAMORTIGUADO

86

CIRCUITO EN SERIE SIN FUENTES

87

CONCEPTO DE FASOR

88

FUNCIÓN EXCITATRIZ COMPLEJA

88

IMPEDANCIA COMPLEJA

89

NOTACIÓN Fasorial

93

DIAGRAMAS FASORIALES

95

VALORES EFICACES DE CORRIENTE Y TENSIÓN

95

DEFINICIÓN

95

POTENCIA MEDIA EN CORRIENTE ALTERNA

97

POTENCIA ANTIVA, POTENCIA APARENTE, POTENCIA REACTIVA

98

POTENCIA COMPLEJA ,RESUMEN

100

CA PÍTU LO

5

ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS INTRODUCCIÓN

101

CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO

101

ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS PLANAS

103

ENERGÍA Y MOMENTO DE UNA ONDA

107

EFECTO FOTOELÉCTRICO

108

I N G. J O S E A L B E RT O R IV E R O S SA L A Z A R

Introducción

El propósito de la presente publicación es el de servir como texto introductorio de FÍSICA BÁSICA PARA ESTUDIANTES DE INGENIERÍA en cursos universitarios. Antes que nada, disfrute el material del tema. Usted ha elegido una carrera emocionante, pero los mismos factores que hacen que así sea constituyen también un desafío. En ocasiones debe esforzarse hasta los límites de sus habilidades mentales si quiere tener éxito, pero la recompensa del mismo será magnífica. Quiero expresar mi agradecimiento a todas las personas que me brindaron su ayuda, estímulo y sugerencias de gran valor, en verdad muchas gracias.

Ing. José A. Riveros S. CONTENIDO TEMÁTICO GESTIÓN I-2014 1. Introducción 2. Vectores en dos dimensiones 3. Cinemática Unidimensional  Movimiento Rectilíneo Uniforme (M.R.U.)  Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.)  Caída Libre 4. Cinemática Bidimensional  Movimiento Parabólico PRIMER EXAMEN PARCIAL: MIERCOLES 26-03-2014 5. Movimiento Circular 6. Dinámica Lineal 7. Dinámica Circular SEGUNDO EXAMEN PARCIAL: DOMINGO 04-05-2014 8. Estática 9. Trabajo, Energía y Potencia 10. Cantidad de Movimiento. TERCER EXAMEN PARCIAL: DOMINGO 22-06-2014 EXAMEN RECUPERATORIO: MIERCOLES 25-06-2014 (TODOS LOS TEMAS) P.S.A.: JUEVES 17-07-2014 MODALIDAD DE EVALUACIÓN Primer Parcial Segundo Parcial Tercer Parcial Calificación Docente Calificación Auxiliar TOTAL

30 Puntos 30 Puntos 30 Puntos 5 Puntos 5 Puntos 100 Puntos

El primer, segundo y tercer parcial incluyen una Defensa del examen. Examen de recuperación solo para estudiantes que hayan obtenido un promedio entre 40 y 50 puntos del total, incluye casos especiales que por motivos debidamente justificados no hayan podido rendir uno de los parciales. Este examen no tiene Defensa. REGLAS DE LA MATERIA



      

En las evaluaciones parciales, incluido el de recuperación, los estudiantes solo deberán portar su credencial, carnet de identidad, lápiz, goma y calculador científica solo para las evaluaciones de Física y Química. Está Prohibido ingresar al examen con mochilas, libros, cuadernos, celulares y otros. Estudiante que se encuentre haciendo fraude (con chanchullo), tiene nota CERO y abandona la prueba. Estudiantes que se encuentren conversando en el examen tendrán como sanción 10% menos de su calificación. La reincidencia en este punto contemplará la anulación del examen. La asistencia a clases es voluntaria, una vez iniciada la clase ningún estudiante puede abandonar la clase. Los estudiantes que ingresen de forma posterior deben mantener la misma regla. La calificación docente estará compuesta de 20% Asistencia y 80% en prácticas que serán emitidas en cada una de las clases para su presentación en la siguiente clase. Una vez ingresado al aula es estudiante deberá apagar su celular o ponerlo en modo silencio. Mantener limpias las aulas.

1

Capítulo

INTRODUCCIÓN “El egoismo cierra los corazones, y la generosidad los abre. Educar es abrir corazones.” P: BERTRAN

1.1 QUE ES LA FÍSICA? La física (del latín physica) es una ciencia natural que estudia las propiedades del espacio, el movimiento, el tiempo, la materia y la energía, así como sus interacciones. La física es una de las más antiguas disciplinas, tal vez la más antigua a través de la inclusión de la astronomía Durante la revolución científica del siglo XVII surgió para convertirse en una ciencia moderna, única por derecho propio. (Física matemática & química cuántica). La física no es sólo una ciencia teórica; es también una ciencia experimental. (Química, biología y electrónica). 1.2 LAS BIFURCACIONES DE LA FÍSICA Se agrupan en cinco teorías principales: 1. Mecánica Clásica.

7

2. Electromagnetismo. 3. Relatividad. 4. Termodinámica y mecánica estadística. 5. Mecánica cuántica. 1.2.1. Mecánica Clásica. Se conoce como mecánica clásica a la descripción del movimiento de cuerpos macroscópicos velocidades muy pequeñas en comparación con la velocidad de la luz. Existen dos formulaciones: a) Mecánica Newtoniana. b) Mecánica Analítica. 1.2.1.a. Mecánica Newtoniana. Lleva intrínsecos los preceptos de Newton, tres ecuaciones formuladas por Newton: La primera Ley de Newton, La segunda Ley de Newton y la Tercera Ley de Newton Conocidas también como mecánica vectorial, porque varias magnitudes se las debe definir su vector en un sistema de referencia inercial privilegiado. 1.2.1.b. Mecánica Analítica. Es una formulación matemática abstracta sobre la mecánica. Existen dos formulaciones: a) Mecánica Lagrangiana.- Joseph Louis Lagrange. b) Mecánica Hamiltoniana.- William Hamilton. 1.2.2. Electromagnetismo

8

El electromagnetismo describe la interacción de partículas cargadas con campos eléctricos y magnéticos. La teoría clásica del electromagnetismo se basa en la fuerza de Lorentz y en las ecuaciones de Maxwell. Se dividen en dos: a)

Electrostática.- Es el estudio de las interacciones entre cargas en reposo. (Ley de Coulomb).

b)

Electrodinámica.- Es el estudio de las interacciones entre cargas en movimiento y la radiación. (James Clerk Maxwell - Teoría cuántica).

1.2.3. Relatividad. La relatividad es la teoría formulada principalmente por Albert Einstien a principios del siglo XX, y se divide en dos cuerpos de investigación: a)

La relatividad espacial.- Einstien, Lorentz y Minkowski, entre otros, unificaron los conceptos de espacio y tiempo, en un ramado tetradimensional al que se le denominó espacio-tiempo.

b)

La relatividad general.- Estudia la interacción gravitatoria como una deformación en la geometría del espacio - tiempo (Cálculo Tensorial).

1.2.4. Termodinámica y mecánica estadística La termodinámica trata los procesos de transferencia de calor, que es una de las formas de energía, y cómo se puede realizar un trabajo con ella. La mecánica estadística trata los procesos de transferencia del calor a nivel molecular. 1.2.5 Mecánica Cuántica.

9

La mecánica cuántica es las ramas de la física que trata los sistemas atómicos y subatómicos, y sus interacciones con radiación electromagnética, en términos de cantidades observables. 1.3. LAS CANTIDADES FÍSICAS, LOS PATRONES Y LAS UNIDADES. Los elementos primarios de la física son las cantidades físicas que se utilizan para expresar sus leyes. Entre ellas se encuentran la longitud, la masa, el tiempo, la fuerza, la velocidad, la densidad, la resistividad, la temperatura, la intensidad luminosa, la intensidad de campo magnético y muchas otras. Se dice que se ha definido una cantidad física (por ejemplo: la masa) cuando se han establecido un conjunto de procedimientos, o, si se quiere, de recetas, para medir esa cantidad y asignarle unidades, tales como el Kilogramo. De inmediato surgen ciertas preguntas: a)

¿Cuántas cantidades básicas han de seleccionarse?

b)

¿Cuáles deben ser estas cantidades básicas?

c)

¿Quién va a seleccionar estas cantidades básicas?

La respuesta a las dos primeras preguntas es que se ha de seleccionar el menor número posible de cantidades físicas que conduzcan a una descripción completa de la física en los términos más simples. La respuesta a la tercera pregunta depende de un acuerdo internacional. Es la Oficina Internacional de Pesos y Medidas, establecida en 1875 en una localidad cercana a Paris, de donde emanan estos asuntos. La página web relacionada es: http://www.bipm.org Luego para que se pueda elegir una cantidad básica como unidad patrón esta debe cumplir dos características: la primera es que debe ser accesible y la segunda es que debe ser invariable. 1.3.1. El sistema Internacional de Unidades.

10

La decimocuarta (XIV) Conferencia General de Pesos y Medidas (1971), seleccionó como unidades básicas 7 (cantidades) Magnitudes y 2 Complementarias. MAGNITUD Longitud Masa Tiempo Intensidad de Corriente Temperatura Cantidad de Sustancia Intensidad Luminosa

SÍMBOL UNIDAD O Metro m Kilogram o Kg Segundo s Ampere Kelvin

A K

Mol

mol

Candela

Cd

1.3.1.1. Metro.- El metro es la longitud de la trayectoria recorrida por la luz en el vacío durante un intervalo de tiempo de 1/ 299 792 458 de un segundo.

86 ❑

Kr ( ≅ 606 [ nm ] ) .

1.3.1.2. Kilogramo.- El kilogramo es la unidad de masa, es igual a la masa del prototipo internacional del Kilogramo. 1.3.1.3. Segundo.- Es la duración de 9 192 631 770 períodos de radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133. 1.3.1.4. El Ampere.- El amperio es la corriente constante que, mantenida en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud finita, de sección transversal circular despreciable, y se coloca un metro en el vacío, producirá entre estos conductores una fuerza igual a 2× 10−7 [ N ] (newtons) por metro de longitud. 1.3.1.5. El Kelvin.- El kelvin, unidad de temperatura termodinámica, es la fracción 1/273,6 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua.

11

1.3.1.6. El mol.- Es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0,012 Kilogramos de carbono 12. 1.3.1.7. La Candela.- La candela es la intensidad luminosa en una dirección dada, una fuente de radiación monocromática de frecuencia que emite 540x1012 hertz y cuya intensidad energética en esa dirección es de 1/683 Watt por estereorradián. 1.3.1.8. Magnitudes y Unidades Complementarias del S.I. MAGNITUD Ángulo Plano Ángulo Sólido

UNIDAD Radian estereorrad ián

SÍMBOL O rad sr

1.3.1.9. El Radián.- El radián es el ángulo plano que, teniendo su vértice en el centro de un circulo, intercepta en la circunferencia del mismo, un arco cuya longitud es igual al radio del círculo.

1.3.1.10. El estereorradián.- El estereorradián es el ángulo sólido que teniendo su vértice en el centro de una esfera, recorta de ésta una área equivalente a la de un cuadrado cuyo lado es igual al radio de la esfera.

12

1.3.2. Sistema M.K.S. (Metro, Kilogramo, Segundo) Adopta como unidades y magnitudes fundamentales al metro de longitud, al kilogramo de masa y al segundo de tiempo, es decir: MAGNITUD Longitud Masa Tiempo

UNIDA SIMBOL D O metro m Kilogra mo kg segund o s

1.3.3. Sistema C.G.S. (Centímetro, Gramo, Segundo) Las magnitudes y unidades fundamentales de este sistema son: MAGNITUD Longitud Masa Tiempo

UNIDA SIMBOL D O centím etro cm gramo g segund o s

1.3.4. Sistema Técnico Métrico M. Kgf. S. Son unidades y magnitudes fundamentales es en este sistema: metro de longitud, Kilogramo-fuerza de fuerza y segundo de tiempo:

13

MAGNITU D UNIDAD Longitud metro KilogramoFuerza fuerza Tiempo segundo

SIMBOLO m Kgf s

La unidad de masa en el Sistema Técnico Métrico es la Unidad Técnica de Masa ó [U.T.M.], luego 1 [UTM]=9.8 [Kg]. La deducción viene de la Ley de Newton de donde:

m=

F a

F=m∙ a

si hacemos un análisis de sus unidades:

m=

[

]

F[ Kgf ] F Kgf ∙ s 2 = =m [ UTM ] a m m a 2 s

[]

1.3.5. Sistema Inglés Absoluto. Las unidades y magnitudes elegidas en este sistema son: pie de longitud, libra de masa y segundo de tiempo: MAGNITUD Longitud Masa Tiempo

UNIDA SIMBOL D O pie (foot) ft libra lb segund o s

1.3.6. Sistema Inglés Técnico. Considera como unidades y magnitudes fundamentales al pie de longitud, a la librafuerza de fuerza y al segundo de tiempo_

14

UNIDA SIMBOL D O pie (foot) ft librafuerza lbf segund o s

MAGNITUD Longitud Fuerza Tiempo

El slug se define como la masa que se desplaza a una aceleración de 1 [ft/s²] cuando se ejerce una fuerza de una libra sobre ella. La unidad de masa en el Sistema Inglés Técnico es el slug ó [slug], luego 1 [slug]=14.59 [Kg]. La deducción viene de la Ley de Newton de donde:

m=

F a

F=m∙ a

si hacemos un análisis de sus unidades:

m=

[

]

F[lgf ] F lgf ∙ s 2 = =m [ slug ] a ft ft a 2 s

[ ]

1.3.7. Otras Unidades. 1.3.7.1. Otras Unidades de Longitud.- La pulgada, la yarda, la braza, la legua, la milla terrestre, la milla marina ó náutica, el milímetro, el micrón o micra (µ), al angstrom, el año luz, el parsec, etc. 1.3.7.2. Otras Unidades de Masa.- La onza avoirdupois, la onza troy, la arroba, el quintal, la tonelada métrica, la tonelada larga, la tonelada corta, etc. 1.3.7.3. Otras Unidades de volumen.- El litro, el mililitro, el decímetro cúbico, la pulgada cúbica, el barril, el galón americano, el galón inglés, la pinta, etc. 1.3.7.4. Otras Unidades de Velocidad.- El Kilómetro por hora [Km/h],, el nudo que es igual a 1 [milla marina/hora], el mach que es igual a la velocidad del sonido (331 [m/s]), etc.

15

1.3.7.5. Otras Unidades de Energía.- La caloría, la Kilocaloría, el Kilovatio-hora, el pie-libra, el BTU (British Thermal Unit), el electrónvolt, etc. 1.3.7.6. Otras Unidades de Potencia.- El KiloWatt, el caballo de fuerza (H.P.=Hourse Power), el caballo vapor (C.V.=Cheval-Vapeur), el BTU por hora (BTU/h), la caloría por segundo (cal/s), etc. 1.3.7.7. Otras Unidades de Presión.- La atmósfera, al columna de mercurio (mmHg), la columna de agua, los torricellis, los bares y los milibares, el Kilogramo fuerza por centímetro cuadrado (Kgf/cm2), etc. MAGNITUDES

SISTEMA ABSOLUTO

Longitud Masa Tiempo Temperatura Intensidad Luminosa Corriente Eléctrica Cantidad

SISTEMA

SI –

C.G.S.

F.P.S.

M.K.S. m Kg s ºK cd

cm g s ºC

pie lb s ºF

TÉCNICO EUROP INGLÉ EO m UTM s

S pie slug s ºR

A de

mol

sustancia Fuerza

N=

Dina =

Poundal =

kg.f

lb.f

Velocidad

Kg.m/s2 m/s

g.cm/s2 cm/s

lb.pie/s2 pie/s

m/s

pie/s

m/s2

cm/s2

pie/s2

m/s2

pie/s2

J = N.m

ergio =

poundal.pie

kg.f.m

lb.f.pi

W = J/s

dina.cm ergio/s

Aceleración Trabajo Energía Potencia

o

poundal.pie/ kg.f.m/ s

Presión

Pa =

dina/cm2

poundal/pie2

Calor

N/m2 cal

cal

BTU

1.4. FACTORES DE CONVERSIÓN.

16

s

e lb.f.pi e/s

Son equivalencias numéricas que nos permiten cambiar de un sistema de unidades a otro. En física para resolver un determinado problema, previamente es necesario uniformar las unidades, es decir, convertir todos los datos del problema a un mismo sistema de unidades. Ángulos Planos Unidad



‘

‘‘

1 grado

1

60

3600

1.745 × 10-2 2.778 × 10-3

1 minuto

1.667 × 10-2

1

60

2.909 × 10-4 4.630 × 10-5

1 segundo

2.778 × 10-4 1.667 × 10-2

1

4.848 × 10-6 7.716 × 10-7

1 radian

1 revolución

Radian

Rev.

57.30

3438

2.063 × 105

1

0.1592

360

2.16 × 104

1.296 × 106

6.283

1

1 [mil] = 5,625×10-2 [rad] [rad]

1 [gon] = 0,9 [grados] = 1,570 796×10-2

Ángulo Sólido 1 [esfera] = 4 [esteradianes] = 12.57 [esteradianes]

Longitud Unidad

1 centímetro

1 metro

cm

metro

Km

pulg.

pie

milla

1

10-2

10-5

0.3937

3.281 × 10-2

6.214 × 10-6

100

1

10-3

39.37

3.281

6.214 × 10-4

17

1 kilometro

105

1000

1

3.937 × 104

3281

0.6214

1 pulgada

2.540

2.540 × 10-2

2.540 × 10-

1

8.333 × 10-2

1.578 × 10-5

0.3048

3.048 × 10-

12

1

1.894 × 10-4

6.336 × 104

5280

1

1 pie

30.48

5

4

1 milla

1.609 × 105

1609

1.609

1 [angstrom] = 10-10 [m] 1 [año luz] = 9.4600 × 1012 [Km] 1 [yarda] = 3 [pies] 1 [milla náutica] = 1852 [m] 1 [parsec] = 3.084 × 1013 [Km] 1 [vara] = 16.5 [ft] 1 [braza] = 6 [pies] 1 [mil] = 10-3 [pulg] 1 [micrón] (m) = 1×10-6 [m] -3 1 pica [computadora 1/6 in] = 4,233 333×10 [m] 1 pica [impresoras] = 4,217 518×10-3 [m] 1 punto [computadora 1/72 in] = 3,527 778×10-4 [m] 1 punto [impresora] = 3,514 598×10-4 [m] 1 unidad astronómica (au) = 1,495 979×1011 [m]

Área

Unidad

m2

cm2

pie2

pulg2

mil circular

1 metro2

1

104

10.76

1550

1.974 × 109

10-4

1

1.076 × 10-

0.1550

1.974 × 105

1 cm2

3

1 pie2

9.290 × 10-2

929.0

1

144

1.833 × 108

1 pulgada2

6.452 × 10-4

6.452

6.944 × 10-

1

1.273 × 106

1 mil

5.067 × 10-

3

5.067 × 10- 5.454 × 10- 7.854 × 10-

18

1

10

circular

6

9

7

1 milla2 = 2.788 × 108 pies2 = 640 acres 1 acre = 4,046 873×103 m2 2×10-4 kg 1 grano = 6,479 891×10-5 kg 000 kg 1 hectárea (ha) = 10000 m2

1 acre = 43.600 pies2 1 carat, métrico = 1 ton. métrica (t) = 1 1 barn (b) = 1×10-28 m2

Volumen Unidad

m3

cm3

l

pie3

pulg3

1 metro3

1

106

1000

35.31

6.102 × 104

10-6

1

1 cm3

1 litro

1.000 × 10-

1.000 × 10- 3.531 × 10- 6.102 × 10-

1000

3

5

2

1

3.531 × 10-

61.02

3

1 pie3

2.832 × 102

1 pulgada3

1.639 × 10-

2

2.832 × 104

28.32

1

1728

1.639 × 10- 5.787 × 10-

16.39

5

2

1

4

1 U.S galón = 4 U.S. cuartos = 8 U.S. pintas = 128 U.S. onzas = 231 pulg 3 1 galón británico = 277.4 pulg3 1 litro = 1000.028 cm3 -1 3 1 barril [42 galones] (bbl) = 1,589 873×10 m 1 cord (128 ft3) = 3 3,624556 m 1 cucharada = 1,478 ×10-5 m3 1 cucharadita = 4,928 ×10-6 m3 1 taza = 2,365 882×10-4 m3

Masa Unidad

g

Kg

slug

19

u

oz

lb

ton

1 gramo

1

0.001

6.852 × 10-5

6.024 × 1023

3.527 × 10-2

2.205 × 10-3

1.102 × 10-6

1000

1

6.852 × 10-2

6.204 × 1026

35.27

2.205

1.102 × 10-3

1 slug

1.459 × 104

14.59

1

8.789 × 1027

514.8

32.17

1.609 × 10-2

1u

1.660 × 10-24

1.660 × 10-27

1.137 × 10-28

1

1 onza

28.35

2.835 × 10-2

1.943 × 10-3

1.708 × 1025

1

6.250 × 10-2

3.125 × 10-5

1 libra

453.6

0.4536

3.108 × 10-2

2.732 × 1026

16

1

0.0005

9.072 × 105

907.2

62.16

5.465 × 1029

3.2 × 104

2000

1

1 kilogramo

1 tonelada

5.855 × 3.660 × 10-26 10-27

1.829 × 10-30

Densidad

Unidad

slug/pie3

Kg/m3

g/cm3

lb/pie3

lb/pulg3

1 slug/pie3

1

515.4

0.5154

32.17

1.862 × 10-2

1 Kg/m3

1.940 × 10-3

1

0.001

6.243 × 10-2

2.613 × 10-5

1 g/cm3

1.940

1000

1

62.43

3.613 × 10-2

1 lb/pie3

3.108 × 10-2

16.02

1.602 × 10-2

1

5.787 × 10-4

1 lb/pulg3

53.71

2.768 × 104

27.68

1728

1

20

Tiempo Unidad

año

día

1 año

1

365.2

1 día

2.738 × 10-

1

hora

minuto

8.766 × 103 5.289 × 105

1.141 × 10- 4.167 × 104

1 minuto

1440

8.640 × 104

1

60

3600

1

60

2

1.901 × 10- 6.944 × 10- 1.667 × 106

1 segundo

3.156 × 107

24

3

1 hora

segundo

4

2

3.169 × 10- 1.157 × 10- 2.778 × 10- 1.667 × 108

5

4

1 minuto [sideral] = 59,836 17 s 1 día [sideral] = 8 616,409 s 815×107 s

1

2

1 segundo [sideral] = 0,997 269 6 s 1 año [sideral] = 3,155

Rapidez Unidad

pie/s

Km/h

m/s

milla/h

cm/s

nudo

1 pie/s

1

1.097

0.3048

0.6818

30.48

0.5925

1 Km/h

0.9113

1

0.2778

0.6214

27.78

0.5400

3.281

3.6

1

2.237

100

1.944

1 m/s

21

1 milla/h

1 cm/s

1.467

1.609

3.281 × 10- 3.6 × 10-2

0.4470

1

44.70

0.8689

0.01

2.237 × 10-

1

1.944 × 10-

2

1 nudo

1.688

2

1.852

0.5144

2

1.151

1 nudo = 1 milla náutica/h millas/h

51.44

1

1 milla/min. = 88.02 pie/s = 60.00

Fuerza Unidad

dina

N

lb

poundal

gf

Kgf

1

10-5

2.248 × 10-6

7.233 × 10-

1.020 × 10-3

1.020 × 10-6

1 dina

1 Newton

1 libra

1 poundal

1 gf

1 Kgf

5

105

1

0.248

7.233

102.0

0.1020

4.448 × 105

4.448

1

32.17

453.6

0.4536

1.3983 × 104

0.1383

3.108 × 10-2

1

14.10

1.410 × 10-2

2.205 × 10-3

7.903 × 10-

1

0.001

2.205

70.93

1000

1

980.7

9.807 × 105

9.807 × 10-3

9.807

1 Kgf = 9.807 N

2

1 lb = 32.17 poundal

Presión

22

atm

dina/cm2

pulg de agua

cm de Hg

N/m2

lb/pulg2

lb/pie2

1

1.013 × 106

406.8

76

1.013 × 105

14.70

2116

1 dina/cm2

9.869 × 10-7

1

4.015 × 10-4

7.501 × 10-5

0.1

1.450 × 10-5

2.089 × 10-3

1 pulg de agua a 4C

2.458 × 10-3

2491

1

0.1868

249.1

3.613 × 10-2

5.202

1 cm de Hg a 0 C

1.316 × 10-2

1.33 × 104

5.353

1

1333

0.1934

27.85

1 N/m2

9.869 × 10-6

10

4.015 × 10-3

7.501 × 10-4

1

1.450 × 10-4

2.089 × 10-2

1 lb/pulg2

6.805 × 10-2

6.895 × 104

27.68

5.171

6.895 × 103

1

144

1 lb/pie2

4.725 × 10-4

478.8

0.1922

3.591 × 10-2

47.88

6.944 × 10-3

1

Unidad

1 atm.

1 bar = 106 dina/cm2

1 milibar = 106 dina/cm2

Potencia Unidad

1 Btu.

Btu/h

pie lb/s

hp

cal/s

kw

Watt

1

02161

3.929 × 10-

7.000

2.930

0.2930

4

1 pielb/s

4.628

1

1.818 × 10- 0.3239 1.356 × 103

3

23

1.356

1 hp

2545

550

1

178.2

0.7457

745.7

1 cal/s

14.29

3.087

5.613 × 10-

1

4.186 × 10-

4.186

1 kw

3413

737.6

1.341

238.9

1

1000

1 Watt

3.413

0.7376

0.001

1

3

3

1.314 × 10- 0.2389 3

Carga Unidad

abcoul

amph

coul

statcoul

1

2.778 × 10-3

10

2.998 × 1010

1 amph

360

1

3600

1.079 × 1013

1 culombio

0.1

2.778 × 10-4

1

2.998 × 109

3.336 × 10-

9.266 × 10-

3.336 × 10-

1

11

14

10

1 abculombio

1 statculombio

1 carga electrónica = 1.602 × 10-19 culombio

Corriente Unidad

1 abamperio

1 amperio

abamp

amp (A)

statamp

1

10

2.998 × 1010

0.1

1

2.998 × 109

24

1 statamperio

3.336 × 1011

3.336 × 10-

1

10

1 gilbert (Gi) = 0,795 774 7 A

Potencial, Fuerza Electromotriz Unidad

1 abvoltio

abvoltio

voltio (V)

statvoltio

1

10-8

3.336 × 1011

1 voltio

1 statvoltio

108

1

3.336 × 10-3

2.998 × 1020

299.8

1

Resistencia Unidad

1 abohmio

abohmio

ohmio

statohmio

1

10-9

1.113 × 1021

1 ohmio

109

1.113 × 10-

1

12

1 statohmio

8.987 × 1020

8.987 × 1011

1

Capacitancia Unidad

abf

faradio

25

f

statf

1

109

10-9

8.987 × 1020

1 faradio

10-9

1

106

8.987 × 1011

1 microfaradio

10-15

10-6

1

8.987 × 105

1 statfaradio

1.113 × 10-

1.113 × 10-

1.113 × 10-

1

21

12

6

1 abfaradio

Inductancia abhenry

henry

h

mh

stathenry

1

10-9

0.001

10-6

1.113 × 10-

109

1

106

1000

1.113 × 10-

1 microhenry

1000

10-6

1

0.001

1.113 × 10-

1 milihenry

106

0.001

1000

1

1.113 × 10-

1 stathenry

8.987 × 1020

8.987 × 1011

8.987 × 1017

8.987 × 1014

1

Unidad

1 abhenry

1 henry

Flujo Magnético Unidad

maxwell weber

26

21

12

18

15

1 maxwell

1

10-8

1 weber

108

1

Campo Magnético Unidad

gauss tesla

miligaus s

1 gauss

1

10-4

1000

1 tesla

104

1

107

0.001

10-7

1

1 miligauss

Energía, Trabajo y Calor Unida d

1 btu

1 ergio

Btu

ergi o

pielb hph

J

cal

kwh

eV

MeV

kg

uma

1

1.05 5 × 1010

777.9

3.92 9× 10-4

1055

252.0

2.930 × 10-4

6.58 5× 1021

6.58 5× 1015

1.17 4× 10-14

7.07 4× 1012

9.48 1× 10-11

1

7.376 × 10-8

3.72 5× 10-14

10-7

2.389 × 10-8

2.778 × 10-

6.24 2× 1011

6.24 2× 105

1.11 3× 10-24

670. 5

14

27

1 pielb

1.28 5× 10-3

1.35 6× 107

1

5.05 1× 10-7

1.35 6

0.323 9

3.766 × 10-7

8.46 4× 1018

8.46 4× 1012

1.50 9× 10-17

9.08 2× 109

1 hph

2545

2.68 5× 1013

1.980 × 106

1

2.68 5× 106

6.414 × 105

0.745 7

1.67 6× 1025

1.67 6× 1019

2.98 8× 10-11

1.80 0× 1016

1 Julio

9.48 1× 10-4

107

0.737 6

3.72 5× 10-7

1

0.528 9

2.778 × 10-7

6.24 2× 1018

6.42 4× 1012

1.11 3× 10-17

6.70 5× 109

1 caloría

3.96 8× 10-3

4.18 6× 107

3.087

1.55 9× 10-6

4.18 9

1

1.163 × 10-6

2.61 3× 1019

2.61 3× 1013

4.65 9× 10-17

2.80 7× 1010

1 Kwh

3413

306 × 1013

2.655 × 106

1.34 1

3.6 × 106

8.601 × 105

1

2.24 7× 1025

2.27 0× 1019

4.00 7× 10-11

2.41 4× 1016

1 eV

1.51 9× 10-22

1.60 2× 10-12

1.182 × 10-

5.96 7× 10-26

1.60 2× 10-19

3.827 × 10-

4.450 × 10-

1

10-6

20

26

1.78 3× 10-36

1.07 4× 10-9

1.51 9× 10-16

1.60 2× 10-6

1.12 × 10-

5.96 7× 10-20

1.60 2× 10-3

3.827 × 10-

4.450 × 10-

106

1

1.78 3× 10-30

1.07 4× 10-3

1 Kg

8.52 1× 1013

8.98 7× 1023

6.629 × 1016

3.34 8× 1010

8.98 7× 1016

2.147 2.497 × 1016 × 1010

5.61 0× 1035

5.61 0× 1029

1

6.02 5× 1026

1 unidad de masa atómic a

1.41 5× 10-13

1.49 2× 10-3

1.100 × 10-

5.55 8× 10-17

1.49 2× 10-10

3.564 × 10-

9.31 × 108

931. 0

1.66 0× 10-27

1

1 MeV

19

13

10

1 vatio segundo (W·s) = 1 J 1 kilovatio hora (kW·h) = 3,6×106 J

28

14

11

20

4.145 × 1017

1 kilocaloría (cal) = 4,186 8×103 J

1.5. NOTACIÓN CIENTÍFICA O POTENCIAS DE 10. A menudo, en física se trabaja con cantidades muy grandes o muy pequeñas, resultando sumamente incómodo manejar números con muchos ceros. Para manejar números en notación científica debemos conocer las siguientes reglas: a)

Si la potencia de 10 es positiva, la coma decimal debe correrse a la derecha tantos lugares como indique la potencia.

b)

Si la potencia de 10 es negativa, la coma decimal debe correrse a la izquierda tantos lugares como indique la potencia.

Ejemplos.2,77x106=2770000 -34,84x103=-34840=-3,484x104 2,65x10-3=0,00265 71,24x10-5=0.0007124=7,124x10-4 -0.68x10-4=-0.000068=-6.8x10-5 La notación científica facilita muchos tipos de cálculos numéricos. Es especialmente útil en manipulaciones en que intervengan números muy grandes o muy pequeños. Como ejemplo. Consideremos 2 x 1020 por 3 x 10-15 dividido por 8 x l08.

( 2× 1020 )( 3 × 10−15) ( 2 ) ( 3 ) 8

8 × 10

=

8

×10 20−15−8=0,75× 10−3=7,5 ×10−4

Con el fin de facilitar el manejo de cantidades que sean múltiplos de diez, se dispone de prefijos que señalan el orden de magnitud de una cantidad grande o pequeña. Estos múltiplos y submúltiplos se presentan a continuación: Factor

Nombre

Símbolo

29

1024

yotta

Y

1021

zetta

Z

1018

exa

E

1015

peta

P

1012

tera

T

109

giga

G

106

mega

M

103

kilo

k

102

hecto

h

10

deca

da

10-1

deci

d

10-2

centi

c

10-3

mili

m

10-6

micro

m

30

10-9

nano

n

10-12

pico

p

10-15

femto

f

10-18

atto

a

10-21

zepto

z

10-24

yocto

y

1.6. ANÁLISIS DIMENSIONAL. A la hora de emplear una ecuación para resolver un determinado problema de física, puede no estar seguro de sí una ecuación es correcta o no. Una forma rápida de salir de dudas, es revisar las unidades de ambos de la ecuación, si existiera algún error, este se pondrá en evidencia por la diferencia de unidades de un miembro de la ecuación con respecto al otro. Un análisis correcto de las unidades y/o dimensiones de las magnitudes físicas nos permitirá: 

 

Relaciona una magnitud física con otras elegidas como fundamentales. Establecer el grado de verdad de una fórmula. Elaborar fórmulas empíricas para fenómenos de simple desarrollo.

1.6.1 FORMULAS DIMENSIONALES

31

Designamos con este nombre a aquellas relaciones de igualdad mediante las cuales una magnitud derivada queda expresada en base a las magnitudes fundamentales de un modo general. Así, si [ x ] es la fórmula dimensional de x , tal que:

[ x ]=L a M b T c θd I e J f N g Aquí se debe reflexionar en torno a: “Las fórmulas dimensionales se obtienen a partir de fórmulas matemáticas o físicas” a)

Área A:

A=b ∙h

Fórmula Matemática

[ A ] =[ b ] ∙ [ h ] =L∙ L [ A ] =L2 Unidad de b)

Volumen V:

Fórmula Dimensional 2

A=m

V=A∙h

Fórmula Matemática

[ V ] =[ A ] ∙ [ h ] =L2 ∙ L [ V ] =L3 Unidad de

Fórmula Dimensional V =m3

1.6.2 ECUACIONES DIMENSIONALES Son aquellas relaciones de igualdad en donde algunas magnitudes son conocidas y las otras, o no lo son, o tienen dimensiones desconocidas. Si tratamos con magnitudes físicas: L3 ∙ M ∙ [ X ] −L3 [ Y ] =L3 ∙ M ∙ T −1

Luego las incógnitas son:

[ X ] ,[ Y ]

Luego las incógnitas son:

r ,s,u

Si tratamos con números: Ls ∙T 3 ∙ θ−2=L 4 ∙ T r ∙ θ2 r −u De donde deducimos que:

32

1.

Las magnitudes físicas así como sus unidades no cumplen con las leyes de la adición o sustracción, pero sí con las demás operaciones aritméticas. L2+ L2 + L2=L2

2.

L∙ T −2−LT −2=L T −2

Todos los números en sus diferentes formas son cantidades adimensionales, y su fórmula dimensional es la unidad.

[ √3 ] =1

[ 2∙ π ∙ rad ] =1

[ sen 45° ] =1

[ log 19 ] =1 1.6.3 PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL Toda ecuación será dimensionalmente correcta si los términos que componen una adición o sustracción son de iguales dimensiones, y si en ambos de la igualdad aparecen las mismas magnitudes afectadas de los mismos exponentes.

[ A ] + [ B ]= [ C ] −[ D ] → [ A ] =[ B ] =[ C ] = [ D ]

“ No es pobre el que tiene poco, sino aquél que teniendo mucho, desea todavía tener más” EPICURO

33

2

Capítulo

VECTORES EN DOS DIMENSIONES “El egoísmo cierra los corazones, y la generosidad los abre. Educar es abrir corazones.” P: BERTRAN 2.1. VECTORES Y ESCALARES Un vector es la expresión que proporciona la medida de cualquier magnitud vectorial. Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son: ORIGEN.- O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector. MODULO.- Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo. DIRECCIÓN.- Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene. SENTIDO.- Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.

34

El sistema de referencia que usaremos, como norma general, es el Sistema de Coordenadas Cartesianas. Un cambio en la posición de una partícula se llama un desplazamiento. Dirección del desplazamiento Trayectoria del Desplazamiento La flecha representa sólo el efecto neto del movimiento. No el movimiento real El cambio de posición desde el punto gráficamente por el segmento dirigido sentido del movimiento.

P1

hasta el punto

P1´P2

P2

se representa

con una flecha para indicar el

Por lo tanto, un desplazamiento está caracterizado por una longitud y una dirección. Las cantidades que se comportan como desplazamientos se llaman vectores. (En latín transportador). Son aquellas que quedan descritas mediante: Magnitud, Sentido y dirección. Ejemplo.- Desplazamiento, Velocidad, Aceleración, Fuerza, Cantidad de movimiento

Las cantidades que pueden especificarse en forma completa por un número y una unidad y que, por lo tanto, tienen solamente magnitud, se llaman escalares.

35

Ejemplo.- La Masa, La Longitud, El Tiempo, La Densidad, La Energía, La Temperatura Las operaciones con escalares siguen las reglas del álgebra ordinaria. 2.2. TIPOS DE VECTORES 2.2.1. Vectores Paralelos. Dos o más vectores se dice que son paralelos, cuando poseen la misma dirección, sin importar el sentido, módulo o localización en el espacio de estos. A´

A´ B´

A´

B´

B´

2.2.2. Vectores Perpendiculares. Son vectores perpendiculares aquellos que se cortan en 90º, o que sus líneas de acción se cortan en ángulo recto (90º).

B´

A´

B´

´ C

A´

B´

A´

2.2.3. Vectores Coplanares o Colineales. Se denominan vectores Coplanares a aquellos que se hallan en el mismo plano y Colineales a aquellos que se encuentran sobre la misma línea de acción. B´

B´

A´

A´

36

2.2.4. Vectores Concurrentes. Se denominan vectores concurrentes a aquellos cuyas líneas de acción se intersectan en un solo punto. A´

B´

´ C ´ D

2.2.5. Vector Cero. ´ | es cero. A=0 ´ Un vector A´ es igual a cero, si su módulo | A , si | A´ |=0 . Tal vector es denominado vector cero, cuya dirección y sentido son arbitrarios. 2.3. ADICIÓN DE VECTORES La suma de vectores solamente está definida para vectores de la misma naturaleza, en consecuencia no tiene sentido sumar vectores fuerza con vectores velocidad. 2.3.1. Método Geométrico. 2.3.1.1. Suma de Vectores de Cola a Punta. El método consiste en dibujar los vectores como segmentos dirigidos con la dirección y sentido real de estos. Si dos vectores se encuentran en la misma recta también podemos usar aritmética, pero no así si los vectores no se encuentran en la misma recta.

37

La regla general para sumar vectores en forma gráfica (con regla y transportador), que de hecho es la definición de cómo se suman vectores, es la siguiente: a) Use una misma escala para las magnitudes. b) Trace uno de los vectores, digamos

V1 .

c) Trace el segundo vector, V 2 , colocando su cola en la punta del primer vector, asegurándose que su dirección sea la correcta. d) La suma o resultante de los dos vectores es la flecha que se traza desde la cola del primer vector hasta la punta del segundo.

2.3.1.2. Método del Paralelogramo. En este método se trazan ambos desde un origen común y se forma un paralelogramo usando los dos como lados adyacentes. La resultante es la diagonal que se traza desde el origen común hasta el vértice más lejano.

2.3.2. Métodos Analíticos.

38

2.3.2.1. Por resolución de triángulos. Al efectuar la construcción geométrica del vector suma, la figura siempre es un triángulo. Este triángulo en la mayoría de los casos es oblicuángulo (pocas veces es rectángulo). Se emplea las leyes de senos y de cosenos si el triángulo es oblicuángulo, se emplea el teorema de Pitágoras si el triángulo es rectángulo. Para ambos teoremas se debe considerar que: TEOREMA DE SENOS

| A´ | sen α

=

|B´ | sen β

=

|R´ | sen γ

´ A+ ´ B´ R=

Dónde:

TEOREMA DE LOS COSENOS

2

2

2

2

2

2

2

2

2

|R´ | =|A´ | +|B´ | −2| A´ |∙| A´ |∙ cos γ

| A´ | =|R´ | +|B´ | −2|R´ |∙|B´ |∙ cos α |B´ | =| A´ | +|R´ | −2| A´ |∙|R´ |∙ cos β

39

α + β+ γ =180°

2.3.2.2. Por descomposición y composición de vectores. Sistemas de coordenadas rectangulares.- En el estudio de la teoría y aplicación de vectores es necesario introducir un sistema de coordenadas rectangulares (cartesianas). Estos sistemas se emplean para localizar puntos y luego dibujar a los vectores.

SISTEMA DE COORDENADAS EN EL ESPACIO SISTEMA DE COORDENADAS EN EL PLANO

Descomposición de vectores.- Descomponer un vector A´ significa proyectarlo ortogonalmente sobre cada uno de los ejes coordenados x, y, obteniendo de esta manera los componentes rectangulares a´ x y a´ y .

|a´ x|=| A´ |∙cos θ

|a´ y|=|B´ |∙ sen θ

|a´ x|=| A´ |∙cos α

|a´ y|=| A´ |∙ cos β

40

�

|a´ z|=| A´ |∙ cos γ

Composición de vectores.- Es el proceso inverso a la descomposición.

| A´ |=√|a´ x|2+|a´ y|2

|a´ y| |a´ x|

tan θ=

θ=tan

−1

|a´ y| |áx|

( )

| A´ |=√|a´ x|2+|a´ y|2+|a´ z|2 cos α =

cos β=

�

cos γ=

|a´ x| |A´ |

|a´ y| | A´ |

|áz| | A´ |

|áx|

(| |)

;

α =cos−1

;

β=cos−1

;

γ =cos−1

´ A

|a´ y|

( | |) A´

|a´ z|

(| | ) ´ A

2.4. SUSTRACCIÓN DE VECTORES Si A´ y relación:

B´

son dos vectores, su diferencia

41

´ B´ A−

está definido por la

2.5. VECTORES UNITARIOS Son vectores que tienen de módulo la unidad y, en general, lo denotaremos por “ u ”. ua=

´ A | A´ |

Para un sistema de coordenadas ya sea en el plano o en el espacio la notación será la siguiente:

SISTEMA DE COORDENADAS EN EL ESPACIO SISTEMA DE COORDENADAS EN EL PLANO

2.6. EXPRESIÓN DE UN VECTOR EN VECTORES UNITARIOS

a´ x =|a´ x|í a´ y =|a´ y| ´j

| A´ |=√|a´ x|2+|a´ y|2

42

�

a´ x =|a´ x|í a´ y =|a´ y| ´j a´ z=|a´ z|k´

| A´ |=√|a´ x|2+|a´ y|2+|a´ z|2

2.7. MULTIPLICACIÓN DE VECTORES Es útil definir tres clases de operaciones de multiplicación en las que intervienen vectores: 1.

Multiplicación de un vector por un escalar

2.

Multiplicación de dos vectores de modo que el resultado sea una escalar. (Producto Escalar – Producto Punto).

3.

Multiplicación de dos vectores de modo que el resultado sea un vector. (Producto Vectorial – Producto Punto).

2.7.1. Multiplicación de un vector por un escalar. ´) un escalar positivo y A´ un vector, la expresión m∙ ( A ´ | con la misma dirección y sentido es un vector de magnitud m∙| A que A´ . Sea

m

A´

´ 2A

´ 4A

´ −4 A

´ −2 A

43

Propiedades del producto por escalares. Distributividad ´ ´ ´ ( m+ n ) A=m ∙ A+n ∙A ´ B ´ )=m∙ A´ +m∙ B ´ m∙ ( A+

Asociatividad ´ ) =( m∙ n ) ∙ A=m∙ ´ m∙ ( n A n ∙ A´ Multiplicación de un escalar

m=1

por

A´

´ A´ 1∙ A= Multiplicación de un escalar

m=−1

A´

por

´ ´ −1 ∙ A=− A Multiplicación de un escalar

m=0

por

A´

´ 0 ∙ A=0 2.7.2. Producto Escalar (Producto Punto). El producto escalar de dos vectores se puede construir, tomando la componente de un vector en la dirección del otro vector y multiplicándola por la magnitud del otro vector. Esto se puede expresar de la forma: ´ |A´ |∙|B´ |∙ cos θ A´ ∙ B=

| A´ |∙ cos θ

A´ θ

B´

2.7.2.1. Propiedades del producto escalar Conmutatividad ´ B´ ∙ A´ A´ ∙ B=

44

Distributividad ´ B ´ ) ∙ C= ´ A ´ ∙ C+ ´ A ´ ∙ B´ ( A+ Asociatividad ´ )= ( k ∙ A ´ ) ∙ B= ´ A ´ ∙( k ∙ B ´) k ∙ ( A´ ∙ B 2.7.2.2. Producto escalar a partir de sus componentes Sea

A´

y

B´

dos vectores cuyas componentes son:

´ |a´ x|í +|a´ y| ´j+|a´ z|k´ A= ´ |b´ x|í +|b´ y| ´j+|b´ z|k´ B= Entonces: ´ (|a´ x|í+|a´ y|´j+|a´ z| k´ ) ∙ (|´bx|í+|b´ y| ´j+|b´ z|k´ ) A´ ∙ B= ´ (1 ) ∙ ( 1 ) ∙ cos 0 °=1 í ∙ í =´j ∙ ´j=k´ ∙ k=

´ (1 ) ∙ ( 1 ) ∙ cos 90 °=0 í ∙ ´j=í ∙ ´k= ´j∙ k= ´ |a´ x|∙|b´ x|+|á y|∙|b´ y|+|a´ z|∙|b´ z| A´ ∙ B= 2.7.3. Producto Vectorial (Producto Cruz). Dados dos magnitudes, A´ y B´ , que forman un ángulo θ , podemos construir una nueva magnitud como el producto vectorial de estas dos: ´ A´ × B ´ C= Esta magnitud es también vectorial, con las propiedades:

´ C B´

θ A´

45

MÓDULO Es igual al producto de los módulos de los dos vectores por el valor absoluto del seno del ángulo que forman. Equivalentemente, es el área del paralelogramo que definen ambos vectores.

|C´ |=| A´ × B´ |=| A´ |∙|B´ |∙|sen θ| De aquí se deduce que las dimensiones del producto vectorial equivalen al producto de las dimensiones de los factores. Así, si A´ ´ tiene las dimensiones: es una posición y B´ es una fuerza, C ´ A´ × B ´ C=

[ C ] = [ A ][ B ] =L ( ML T 2 ) Y en el SI se medirá en

N∙m .

DIRECCIÓN Es perpendicular al plano definido por los vectores

A´

y

B´ .

SENTIDO Es dado por la regla de la mano derecha; si colocamos nuestra mano derecha de forma que los dedos sigan el sentido de giro desde el primer vector, A´ , hacia el segundo vector , B´ , por el camino mas corto, entonces el pulgar extendido apunta en sentido de ´ . A´ × B El producto vectorial entre dos vectores es nulo si uno de estos dos últimos son nulos o si uno de estos dos últimos son paralelos. 2.7.3.1. Propiedades del producto vectorial. Distributividad ´ C´ )= A ´ × B+ ´ A ´ × C´ A´ × ( B+ ´ B ´ ) × C= ´ A ´ × C´ + B´ × C ´ ( A+ Conmutatividad ´ ´ ×B ´ A´ × B=− A

46

Asociatividad ´ ´ ×B ´ )= A ´ × ( k ∙ B´ ) ( k ∙ A´ ) × B=k ∙( A 2.7.3.2. Producto vectorial en términos de las componentes. Sea

A´

y

B´

dos vectores cuyas componentes son:

´ |a´ x|í +|a´ y| ´j+|a´ z|k´ A= ´ |b´ x|í +|b´ y| ´j+|b´ z|k´ B= Entonces: ´ (|a´ x|í+|á y|´j+|áz| ´k ) × (|b´ x|í+|´b y|´j+|b´ z|k´ ) A´ × B= í ×í = ´j× ´j= k´ × k´ =( 1 ) ∙ ( 1 ) ∙ sen 0 °=0 í × ´j=k´ í × ´k=−´j

´j ×í =−k´ ´j × k´ =í

k´ ×í = ´j k´ × ´j=−í

´ =( a y b z−a z b y ) í −( ax b z−az b x ) ´j+ ( a x b y −a y b x ) k´ A´ × B

“No hay camino a la felicidad, la felicidad es el camino” WAYNE DYER

47

3

Capítulo

CINEMÁTICA UNIDIMENSIONAL “Es mejor encender una pequeña vela que maldecir la oscuridad”. CONFUCIO

3.1

MECÁNICA La mecánica la más antigua de las ciencias físicas, es el estudio del movimiento de los objetos. La descripción del movimiento corresponde a la parte de la mecánica llamada cinemática. La relación del movimiento con las fuerzas asociadas a él y con las propiedades de los objetos que se mueven corresponde a la dinámica.

3.2

CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA Un objeto que se mueve también puede girar. También puede ocurrir que un cuerpo vibre conforme se mueve como, por ejemplo, una gota de agua que cae. Estas complicaciones pueden evitarse evitarse considerando el movimiento de un cuerpo idealizado llamado partícula. Matemáticamente, se considera a una partícula como un punto, es decir, como un objeto sin extensión, de tal forma que no intervienen las consideraciones relativas a las rotaciones o las vibraciones. Los cuerpos que solo tienen movimiento de traslación se comportan como partículas.

48

Un observador dirá que un movimiento es traslacional si los ejes (por ejemplo “x”, “y”, “z”) de un referncial que, en forma imaginaria, está rigidamente sujeto al objeto, siempre permanecen paralelos a los ejes del referencial del observador (digamos “x”, “y”, “z”). DEFINICIONES

Antes de hacer la descripción del movimiento, es necesario definir algunos conceptos y variables físicas que se usarán en este curso. Cinemática: describe el movimiento de los cuerpos en el universo, sin considerar las causas que lo producen. Movimiento: es el cambio continuo de la posición de un objeto en el transcurso del tiempo. Partícula: el concepto intuitivo que tenemos de partícula corresponde al de un objeto muy pequeño que puede tener forma, color, masa, etc., como por ejemplo un grano de arena. El concepto físico abstracto es una idealización de un objeto considerado como un punto matemático sin dimensiones, que tendrá sólo posición, masa y movimiento de traslación. Esto significa que cualquier objeto puede ser considerado como partícula, independiente de su tamaño, considerando su masa concentrada en un punto que lo representa. Ejemplos de objetos que se pueden considerar como una partícula son un átomo, una hormiga, un avión, la Tierra, etc., en este último caso se justifica si se estudia su movimiento de traslación en torno al Sol.

3.3

VELOCIDAD PROMEDIO (VELOCIDAD MEDIA) El desplazamiento, la velocidad y la aceleración de una partícula son vectores.

49

3.4

3.5

VELOCIDAD INSTANTÁNEA

MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN CON VELOCIDAD VARIABLE

3.6

MOVIMIENTO RECTILÍNEO

3.7

LA ACELERACIÓN

3.8

MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE VARIADO

3.9

CAIDA LIBRE

3.10

LEY DE FARADAY.- (1831) Faraday – Henry.

Ef. Faraday: “Todo

variable crea una corriente eléctrica”.

“Cada problema lleva en si mismo, la semilla de su propia solución” ANÓNIMO

50

4

Capítulo

CINEMÁTICA BIDIMENSIONAL “No es grande el que siempre triunfa, sino el que nunca se rinde y siempre persiste”

DEFINICIÓN.En general e1 movimiento de los objetos verdaderos se realiza en el espacio real tridimensional. E1 movimiento de una partícula que se realiza en un plano es un movimiento en dos dimensiones, si el movimiento se realiza en el espacio, se produce en tres dimensiones. En este capítulo se estudia la cinemática de una partícula que se mueve sobre un plano. Ejemplos de un movimiento en dos dimensiones son el de un cuerpo que se lanza al aire, tal como una pelota, un disco girando, el salto de un canguro, el movimiento de planetas y satélites, etc. El movimiento de los objetos que giran en una órbita cuya trayectoria es una circunferencia, se conoce como movimiento circunferencial; es un caso de movimiento en dos dimensiones, que también es estudiado en este capítulo. El vuelo de una mosca, el de un avión o el movimiento de las nubes se produce en tres dimensiones. El amor desinteresado existe: es el único al que se puede dar el nombre de amor. ANTHONY DE MELLO

51

5

Capítulo

MOVIMIENTO CIRCULAR “Oír un solo instrumento en la sinfonía del amor es privarse de la armonía del concierto. Amar es escuchar a todos.” 5.1

INTRODUCCIÓN. Otro caso particular de movimiento en dos dimensiones es el de una partícula que se mueve describiendo una trayectoria circunferencial, con velocidad v . y

Se define movimiento circular como aquél cuya trayectoria es una circunferencia. Del mismo modo que el movimiento rectilíneo está referido a un eje, el movimiento circular necesita también referirse a un eje, llamado por z eso eje de rotación.

R R y

x

x

5.2

DESPLAZAMIENTO ANGULAR.

52

Q(t2)

En cinética circular, la posición angular se indica mediante el radio de giro R , y el ángulo de barrido θ . y

S P(t1)

R x

Una partícula que gira ubicada en un punto P(t 1 ) a una distancia R del origen, describe una circunferencia en torno al origen. La posición de la partícula puede expresarse en coordenadas polares ( R ,θ ) , donde la única coordenada que cambia en el tiempo es el ángulo θ . Si la partícula se mueve desde P(t ) hasta un punto Q(t ) , el arco de 1

longitud

S

2

recorrido por la partícula, y el ángulo, se definen como:

S=R ∙ θ Luego: θ=

S R

Se observa que el ángulo es una variable adimensional, pero se asigna como unidad de medida el nombre del ángulo, llamado radian, con el símbolo [ rad ] . Luego se define un radian cuando

S=R , en este caso:

S R θ= = =1 [ rad ] R R Como en una circunferencia S=2 πR , y el desplazamiento angular es θ=360 ° , se concluye que el ángulo de una vuelta completa, medido en radianes es:

53

S 2 πR 360 °=θ= = =2 π [ rad ] R R 180 °=π [ rad ] 1 [ rad ]=57,30 ° y que por ejemplo,

5.3

π 45 °= [ rad ] . 4

VELOCIDAD ANGULAR MEDIA E INSTANTÁNEA. ´ , es el cociente del desplazamiento La velocidad angular media, ω angular neto, ∆ θ=θ2−θ1 , entre el tiempo total transcurrido, ∆ t=t 2−t 1 como sige: θ −θ ´ ∆θ= 2 1 ω= ∆ t t 2−t 1 La velocidad angular instantánea, ω , es el límite al que tiende la velocidad media cuando el tiempo transcurrido ∆ t , tiende a cero. ∆θ ∆t→0 ∆ t ω= lim ¿

ω=¿ ´ lim

∆t→0

Sus unidades de medida son

[ ] rad s

, recordando que el radian no es una

unidad de medida, por lo que en el análisis dimensional se obtiene para estas variable de

[] 1 s

. De la definición de esta variable se deduce

además que para la rotación de un cuerpo alrededor de un eje, todas las partículas tiene la misma velocidad angular. Suele emplearse también

[ ]

[ R . P . M . ] = rev

min

como unidad de velocidad

angular, aunque son unidades de frecuencia. 5.4

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME.

54

Examinaremos ahora el caso especial en que una partícula se mueve con velocidad constante en una trayectoria circular, cuando una partícula describe ángulos iguales en tiempos iguales. Como veremos, tanto la velocidad como la aceleración son de magnitud constante, pero ambas cambian de dirección continuamente. Esta situación se llama movimiento circular uniforme. Considerando que las velocidades angulares media e instantánea son iguales, entonces: ´ ω=ω=

∆ θ θ2−θ1 = ∆ t t 2−t 1

Tomando en cuenta que nuestra partícula parte del inicio t 1 =0 [ s ] obtendremos la siguiente ecuación: ω=

θ1=0 °

y

θ2 θ = t2 t

5.4.1

PERIODO. El periodo es el tiempo que emplea una partícula en realizar una vuelta o completar un ciclo. T=

5.4.2

tiempo total tiempo = Nº de vueltas 1 vuelta

FRECUENCIA. La frecuencia es el número de vueltas o ciclos que realiza una partícula en una unidad de tiempo. f=

Nº de vueltas vueltas = tiempo total unidad de tiempo

1 1 f = = =1 [ Hertz ] =1 [ Hz ] T [s] 5.4.3

ACELERACIÓN CENTRIPETA

55

Si Q(t2) en el instante inicial t i el objeto tiene una velocidad inicial v i y en el instante posterior t f tiene una velocidad final v f , como la rapidez es constante entonces v i=v f y cambia sólo la dirección de la velocidad. Se puede calcular la aceleración media a´ de la partícula usando la definición:

y

∆ v v f −vi a´ = = ∆t ∆t Los vectores v f y v i tienen la misma magnitud v , ya que la velocidad es constante, pero sus direcciones son diferentes. P(t1)

x

vf vi ∆v

Se puede obtener ∆ v geométricamente. En la circunferencia la longitud del arco ∆ S , es aproximadamente igual al lado del triángulo que une los puntos de v f y v i . Observando que estos dos triángulos son semejantes, se tiene la siguiente relación de semejanza de triángulos: R v = ∆S ∆v De donde obtenemos: ∆ v=

v ∙∆S R

Reemplazando este valor de aceleración media, se obtiene:

56

∆v

en la magnitud de la

a´ =

∆v v ∆S = ∙ ∆t R ∆t

Si ∆ t es muy pequeño, tendiendo a cero. En el límite cuando ∆ t → 0 , a´ → a y se puede escribir: a= lim

∆t→ 0

[

v ∆S ∙ R ∆t

]

Como la velocidad y el radio son constantes y no dependen del tiempo: a=

[ ]

v ∆S ∙ lim R ∆ t →0 ∆t

Luego

aC =a=

v = lim

∆t→ 0

[ ] ∆S ∆t

entonces:

v v2 ∙ v= R R

Entonces en el movimiento circunferencial con rapidez constante, la aceleración apunta hacia el centro de la circunferencia, por lo que se llama aceleración centrípeta aC . y

5.5

MOVIMIENTO CIRCULAR VARIADO.

El movimiento circular es variado cuando la velocidad angular cambia al transcurrir el tiempo, se dice que existe una aceleración angular. 5.5.1

ACELERACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA. Sean ω1 y ω2 las velocidades angulares para t 1 y t 2 respectivamente, la aceleración angular media, α´ , se define como el x cociente del cambio neto de velocidad, ∆ ω=ω 2−ω 1 , entre el tiempo ∆ t=t 2−t 1 . total transcurrido, ∆ ω ω 2−ω1 α´ = = ∆t t 2−t 1

57

La aceleración angular instantánea α , es el límite al que tiende la aceleración angular media cuando ∆ t tiende a cero: ∆ω ∆t→ 0 ∆ t α = lim ¿

α´ =¿ lim

∆ t →0

[ ]

rad , recordando que el radian s2 no es una unidad de medida, por lo que en el análisis dimensional Sus unidades de medida son

se obtiene para estas variable de 5.5.2

ECUACIONES DEL UNIFORMEMENTE VARIADO.

[ ] 1 s2

.

MOVIMIENTO

CIRCULAR

El desplazamiento, velocidad y aceleración angular son análogos a sus variables lineales. Así las ecuaciones cinemáticas del movimiento de rotación con aceleración angular constante tienen la misma forma que las correspondientes al movimiento lineal haciendo los reemplazos x por θ , v por ω y a por α , por lo que las ecuaciones del movimiento angular son: ω f =ωo +αt ω2f =ω2o +2 αθ 1 2 θ=ωo t+ α t 2

58

1 θ= ( ωo +ω f ) t 2 5.5.3

ACELERACION TANGENCIAL Para el caso en que durante el movimiento circunferencial de la partícula cambia la velocidad tanto en dirección como en magnitud, la velocidad siempre es tangente a la trayectoria, pero ahora la aceleración ya no es radial, sino que forma un ángulo cualquiera con la velocidad.

a

aC

aT

En este caso es conveniente escribir la aceleración en dos componentes vectoriales, una radial hacia el centro ac y otra tangente a la trayectoria aT , entonces la magnitud de la aceleración instantánea

a

se puede obtener de:

a=√ a2C +a2T En esta ecuación, la componente radial de la aceleración es la aceleración centrípeta originada por el cambio en la dirección de la velocidad y la componente tangencial es producida por el cambio de la magnitud de la velocidad. 5.6

RELACIÓN LINEALES.

ENTRE

LAS

VARIABLES

ANGULARES

Y

Para toda partícula que gira describiendo una trayectoria circunferencial, existe una relación entre las magnitudes angulares con las correspondientes lineales. 5.6.1

DESPLAZAMIENTO.

59

Consideremos una partícula girando en una trayectoria circular de radio R y en sentido contrario a la manecillas del reloj. θ=

S R

De donde: S=θ ∙ R 5.6.2

VELOCIDAD. De la definición de velocidad lineal o tangencial tenemos: ∆ S=R ∙ ∆ θ v =R

v=

∆S , si ∆t

entonces:

∆θ ∆t

∆θ luego la ecuación que relaciona la velocidad ∆t angular con la velocidad lineal o tangencial es: ω=

Pero:

v =R ∙ ω 5.6.3

ACELERACIÓN. De la definición de aceleración lineal tenemos: a=

∆v ∆t

Para el intervalo de tiempo pequeño, ∆ t ∆ v=R ∙ ∆ ω a=R

Pero:

∆ω ∆t α=

∆ω ∆t

luego:

a=R∙ α

60

5.7

TRANSMISIÓN DE MOVIMIENTO. 5.7.1

POLEAS CONECTADAS MEDIANTE CORREAS.

5.7.2

POLEAS CONECTADAS CONCENTRICAMENTE.

5.7.3

ENGRANAJES CONECTADOS TANGENCIALMENTE.

6

Capítulo

DINÁMICA LINEAL

6.1 INTRODUCCIÓN

61

La dinámica estudia el movimiento de los cuerpos considerando las causas que lo producen. Es una rama de la Mecánica que abarca casi toda la Mecánica Clásica. En la Mecánica Clásica se restringe el estudio a los cuerpos grandes comparados con el tamaño de un átomo y para velocidades pequeñas comparadas con la de la luz. Isaac Newton (1642-1727) es el principal creador de la Mecánica Clásica. La Mecánica Relativista estudia el movimiento de las partículas subatómicas, que se mueven a muy altas velocidades, es más general que la Mecánica Clásica a la que incluye como caso particular. Su creador fue A. Einstein (1879 – 1955). Antes de Galileo la mayoría de los filósofos pensaba que se necesitaba una influencia externa para mantener a un cuerpo en movimiento. A la influencia externa que hace que un cuerpo este detenido o en movimiento se le llama una fuerza. ¿Qué es fuerza? En física se identifica una fuerza por el efecto que produce. Uno de los efectos de una fuerza es cambiar el estado de reposo o de movimiento del cuerpo, más concretamente, una fuerza cambia la velocidad de un objeto, es decir produce una aceleración. Entonces los efectos de la fuerza neta son dos: cambiar el estado de movimiento de un cuerpo o producir una deformación, o ambas cosas simultáneamente. Se llama fuerza neta a la fuerza resultante a la suma de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo. Si la fuerza neta es cero, la aceleración es cero, el movimiento es con velocidad igual a cero (cuerpo detenido) o con velocidad constante. Cuando un cuerpo está en reposo o se mueve con velocidad constante, se dice que está en equilibrio. Para una fuerza usaremos el símbolo F . Se pueden distinguir dos grandes clases de fuerzas: fuerzas de o, representan el resultado del o físico entre el cuerpo y sus alrededores; y fuerzas de acción a distancia que actúan a través del espacio sin que haya o físico entre el cuerpo y sus alrededores.

62

Para que el concepto de fuerza sea exacto se debe establecer un método para medirla.

El instrumento para medir fuerzas se llama dinamómetro, es un resorte que se estira sobre una escala. Este procedimiento es válido para pequeños alargamientos del resorte, ya que si la fuerza es muy intensa, se puede deformar y no volver a su forma original. Fuerza Normal. Cuando un cuerpo está en o con otro, el primero ejerce una fuerza al segundo, que impide que lo atraviese. Esta fuerza se conoce como NORMAL. Tiene dirección perpendicular a la superficie de separación 6.2 PRIMERA LEY DE NEWTON La primera Ley de Newton se puede enunciar de la siguiente manera: “Un cuerpo en reposo permanecerá en reposo y uno en movimiento continuara en movimiento con velocidad constante, a menos que actúe una fuerza sobre el cuerpo que altere su estado de reposo o de movimiento” Esto significa que la partícula se encuentra en equilibrio de traslación, y se cumple la condición: ´ ∑ F=0 a´ =0

63

La primera Ley de Newton se conoce también como Ley de la Inercia, porque define un sistema de referencia inercial. Un sistema de referencia inercial es aquel en el cual si sobre un cuerpo no actúa fuerza alguna, este se mueve con velocidad constante. 6.3 CONCEPTO DE MASA La inercia es la propiedad de la materia que hace que se resista a cualquier cambio de movimiento, ya sea en su dirección o rapidez. La masa es el término que se usa para cuantificar la inercia. Como mide la resistencia de un cuerpo a cambiar su estado de movimiento o de reposo, se le llama masa inercial, y está determinada por la razón entre la fuerza neta sobre el cuerpo y su aceleración. Otro método para encontrar la masa consiste en comparar las fuerzas gravitacionales ejercidas sobre dos objetos, uno de ellos de masa desconocida y el otro de masa conocida, cuando la masa se mide de esta forma se llama masa gravitacional. 6.4 SEGUNDA LEY DE NEWTON La segunda Ley de Newton se puede enunciar de la siguiente manera: “La aceleración de un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo e inversamente proporcional a su masa”. Escrita como:

en términos matemáticos, la Segunda Ley de Newton se expresa

´ a´ ∑ F=m Esta ecuación fundamental muy sencilla y completa, se conoce como la ecuación fundamental de movimiento. La Segunda Ley de Newton es un expresión vectorial y equivale a tres ecuaciones escalares,

∑ F x =ma x

,

∑ F y =m a y

64

,

∑ F z =m az

La Segunda Ley de Newton se puede usar para definir la unidad de medida de una fuerza. En el sistema internacional, la unidad de medida de fuerza se llama Newton, que se simboliza por N . Se observa que la primera Ley de Newton es un caso particular de la segunda ley cuando la fuerza neta es cero. 6.5 PESO. Todos los cuerpos que se dejan en libertad cerca de la superficie terrestre caen con la aceleración de gravedad. Si dos partículas que tienen masas m1 y m 2 están separadas una distancia r medida desde sus centros, como se muestra en la figura, la fuerza de atracción gravitacional FG ejercida por la masa m1 sobre la masa m2 tiene una magnitud de:

FG =G

Donde

m 1 m2 r2 G=6.672 ×10

−11

2

Nm 2 Kg

.

Cuando un cuerpo es dejado en libertad en las cercanías de la superficie terrestre, cae con la aceleración de gravedad, es la fuerza peso P la que le imprime al cuerpo una aceleración g , aplicado la Segunda Ley de Newton: ´ a´ ∑ F=m ´ P=m g´

65

Como g es la misma para dos cuerpos, la relación de los pesos es igual a la relación de las masas de os cuerpos, o sea: g=

P1 P 2 = m1 m2

El peso depende de g , varía con la ubicación geográfica y disminuye con la altura, por lo tanto no es una propiedad del cuerpo y no se debe confundir con la masa.

6.6 TERCERA LEY DE NEWTON Cada vez que un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro cuerpo, este reacciona ejerciendo una fuerza sobre el primero. Las fuerzas en cada cuerpo son de igual magnitud, y actúan en la misma línea de acción, pero son de sentido contrario.

Esta propiedad de las fuerzas fue demostrada experimentalmente y expresada por Newton en su Tercera Ley de Movimiento, que se enuncia como sigue: “Si dos cuerpos interactúan, la fuerza que el cuerpo 1 ejerce sobre el cuerpo 2 es igual y opuesta a la fuerza que el cuerpo 2 ejerce sobre el cuerpo 1”. Escrita en términos de una ecuación se puede escribir: ´ 12=− F´ 21 F

66

Si una de las fuerzas que intervienen en la interacción entre dos cuerpos se llama acción, la otra recibe el nombre de reacción, por esto la Tercera Ley de Newton se conoce también con el nombre de Ley de Acción y Reacción. Para que una pareja de fuerzas se consideren como fuerzas de acción y reacción, deben cumplir los siguientes requisitos simultáneamente: deben tener igual magnitud, la misma dirección, sentido opuesto, actuar en cuerpos diferentes y actuar en parejas. Al aplicar las leyes de Newton se deben identificar todas las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo y dibujar un diagrama de cuerpo libre. Un diagrama de cuerpo libre es un esquema donde se muestra el cuerpo aislado o un punto que lo representa, en el que se dibujan todas las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo. Sobre este esquema se elige un sistema de referencia conveniente para aplicar las leyes de Newton. Cuando se considera un sistema mecánico con varios cuerpos, se debe hacer el diagrama de cuerpo libre y aplicar las leyes de Newton para cada componente del sistema. A menos que se diga lo contrario, las cuerdas y poleas que formen parte de un sistema mecánico se considerarán de masa despreciable comparada con la masa de los cuerpos en estudio y las cuerdas y cables se consideraran inextensibles.

6.7 FUERZA DE ROCE. Cuando un cuerpo es arrojado sobre una superficie común o cuando un objeto se mueve a través de un medio viscoso como el agua o aire, después de cierto tiempo se detiene, porque experimenta una resistencia a su movimiento debido a la interacción del cuerpo con el medio que lo rodea.

67

Una fuerza de resistencia de esa naturaleza se llama fuerza de roce o de fricción. La fuerza de roce es paralela a la superficie en el punto de o entre dos cuerpos y tiene dirección apuesta al movimiento, nunca ayudan al movimiento.

La fuerza de roce que actúa sobre los cuerpos en reposo se llama fuerza de roce estático, y se escribe F S . La máxima fuerza de roce estática es igual a la mínima fuerza necesaria para iniciar el movimiento. Cuando el bloque esta en movimiento, la fuerza se hace menor a la F Smax , en este caso se llama fuerza de roce cinética F K . La fuerza aplicada no

68

equilibrada con la aplicada es igual a

FS FS

produce la aceleración del cuerpo. Si la fuerza el bloque se mueve con velocidad constante.

Experimentalmente se encuentra que para dos tipos de superficies dadas, las fuerzas de roce estática y cinética son aproximadamente independientes del tamaño del área de las superficies en o y son proporcionales a la fuerza normal.

La fuerza de roce estático, F S , es opuesta a la fuerza aplicada y la constante de proporcionalidad con la normal se llama coeficiente de roce estático, μS , entonces la magnitud de la fuerza de roce estático es: FS≤ μS N Cuando el bloque está apunto de moverse, la fuerza de roce estático es máximo, F Smax , lo mismo que el coeficiente de roce es máximo, μSmax , entonces: F Smax=μ Smax N La fuerza de roce cinético es opuesta al movimiento, es aproximadamente independiente de la velocidad con que se mueven las superficies, para velocidades pequeñas, si la velocidad aumenta hasta valores muy altos, comienza a sentirse el efecto de la fricción con el medio donde se mueve el cuerpo. La constante de proporcionalidad con la normal se llama coeficiente de roce cinético, μk , entonces la magnitud de la fuerza de roce cinético es: F k =μk ∙ N

69

Las expresiones de fundamentales.

FS

y

F k son empíricas, no representan leyes físicas

μs y cinético μk Los coeficientes de roce estático son constantes adimensionales. Sus valores dependen de la naturaleza de las superficies en o y en general para un par de superficies dadas μSmax > μ k .

μs

SUPERFICIES Articulaciones Humanas

μk 0.02

0.003

Acero - Hielo

0.028

0.09

Hielo - Hielo

0.1

0.03

Esquí - Nieve

0.1

0.05

Acero - Acero

0.15

0.09

0.3

0.25

Caucho - Madera

0.7

0.6

Madera -Madera

0.7

0.4

Vidrio - Vidrio

0.9

0.4

1

0.3

Caucho (húmedo)

–

Cemento

Caucho – Cemento (seco)

70

7

Capítulo

DINÁMICA ROTACIONAL

INTRODUCCIÓN Una partícula que se mueve sobre una trayectoria circular de radio R con rapidez constante, se encuentra sometida a una aceleración radial de magnitud v2/R. Por la segunda ley de Newton, sobre la partícula actúa una fuerza en la dirección de a, hacia el centro de la circunferencia, cuya magnitud es: FC =ma c =m

v2 R

Por ser proporcional a la aceleración centrípeta, la fuerza Fc se llama fuerza centrípeta. Su efecto es cambiar la dirección de la velocidad de un cuerpo. Se puede sentir esta fuerza cuando se hace girar a un objeto atado a una cuerda, ya que se nota el tirón del objeto. Las fuerzas centrípetas no son diferentes de otras fuerzas ya conocidas, su nombre se debe a que apunta hacia el centro de una trayectoria circunferencial. Cualquiera de las fuerzas ya conocida pueden actuar como fuerza centrípeta si producen el efecto correspondiente, como ser la tensión de una cuerda, una fuerza de roce, alguna componente

71

de la normal, la fuerza gravitacional en el caso de movimientos de planetas y satélites, etc. Para un cuerpo como un vehículo o un vagón de tren que se mueven describiendo una trayectoria curva de radio r, sobre el vehículo debe actuar una fuerza centrípeta para evitar que continúe moviéndose en línea recta y se salga de la pista; esta es la fuerza para hacer que el vehículo gire por la pista curva. La fuerza centrípeta necesaria la da el roce de los neumáticos o las pestañas de las ruedas del tren. Para no tener que confiar en el roce o reducir el desgaste de los rieles y pestañas, la carretera o la vía pueden inclinarse, como en la figura. A la inclinación de la pista o vía se le llama ángulo de peralte Hasta la mitad, aproximadamente, del siglo XVII, fue creencia general que la luz consistía en una corriente de corpúsculos. Estos corpúsculos eran emitidos por focos luminosos, tales como el sol o la llama de una bujía, y se alejaban del foco en línea recta. Podían penetrar las sustancias transparentes y se reflejaban en las superficies de los cuerpos opacos. Cuando los corpúsculos penetraban en el ojo, excitaban el sentido de la vista. LENTES Una lente es un medio transparente limitado por dos superficies curvas (generalmente esférica) aunque una de las curvas de la lente puede ser plana. El foco objeto fo o primer punto focal de una lente, es la porción del objeto * la cual los * paralelo al eje principal (q α) después de atravesar la lente. La distancia de fo a la lente se denomina distancia focal objeto y se designa con f , luz.

1.1.1

72

8

Capítulo

ESTÁTICA

“Podrán cortar todas las flores, pero no podrán detener la primavera”. PABLO NERUDA 8.1 INTRODUCCIÓN En general un cuerpo puede tener tres tipos distintos de movimiento simultáneamente. De traslación a lo largo de una trayectoria, de rotación mientras se está trasladando, en este caso la rotación puede ser sobre un eje que pase por el cuerpo, y si a la vez este está girando en torno a un eje vertical, a la rotación del eje del cuerpo rotante se le llama movimiento de precesión, y de vibración de cada parte del cuerpo mientras se traslada y gira.

73

Cuando un cuerpo está en rotación, cada punto tiene un movimiento distinto de otro punto del mismo cuerpo, aunque como un todo se esté moviendo de manera similar, por lo que ya no se puede representar por una partícula. Pero se puede representar como un objeto extendido formado por un gran número de partículas, cada una con su propia velocidad y aceleración.

AL tratar la rotación del cuerpo, el análisis se simplifica si se considera como un objeto rígido y se debe tener en cuenta las dimensiones del cuerpo. 8.2 CUERPO RÍGIDO Se define como un cuerpo ideal cuyas partes tienen posiciones relativas fijas entre sí cuando se somete a fuerzas externas, es decir es no deformable. El movimiento general de un cuerpo rígido es una combinación de movimiento de traslación y de rotación. 8.3 TORQUE O MOMENTO DE UNA FUERZA Cuando se aplica una fuerza en algún punto de un cuerpo rígido, el cuerpo tiende a realizar un movimiento de rotación en torno a algún eje.

74

La propiedad de la fuerza para hacer girar al cuerpo se mide con una magnitud física que llamamos torque o momento de la fuerza. Se prefiere usar el nombre de torque y no momento. Porque este último se emplea para referirnos al momento lineal, al momento angular o al momento de inercia, que son todas magnitudes físicas diferentes para las cuales se usa el mismo término. Analizaremos cualitativamente el efecto de rotaci{on que una fuerza puede producir sobre un cuerpo rígido. Consideremos como cuerpo rígido a uan regla fija en un punto O ubicado en un extremo de la regla, como se muestra en la figura, sobre el cual puede tener una rotación y describamos el efecto que alguna fuerza de la misma magnitud actuando en distintos puntos, produce sobre la regla fija en O . La fuerza

F1

aplicada en el punto a produce en torno a O una totación en sentido antihorario, la fuerza F2 aplicada en el punto b produce una rotación en sentido horario y con mayor rapidez de rotación que en a , la fuerza F3 aplicada en b , pero en la dircción de la línea de acción que pasa por O , no produce rotación, F 4 que actúa inclinada en el punto b produce una rotación horaria, pero con menor rapidez de rotación que la que produce F2 ; F5 y F6 aplicadas perpendiculares a la regla, saliendo y entrando en el plano de la figura respectivamente, no producen rotación.

Por lo tanto existe una cantidad que produce la rotación del cuerpo rígido relacionada con la fuerza, que es lo que definimos como el torque de la fuerza. Se define el torque τ o momento M de una fuerza F que actúa sobre algún punto del cuerpo rígido, en una posición r respecto de

75

cualquier origen O , por el que puede pasar un eje sobre el cual se produce la rotación del cuerpo rígido, al producto vectorial entre la posición r y la fuerza aplicada F , por la siguiente expresión: ´ M ´ ´τ =´r × F= El torque es una magnitud vectorial, si α es el ángulo entre valor numérico, por definición del producto vectorial, es:

r

y

F , su

´ |=|´r|(|F´ |sen α ) |τ´|=|M

Su dirección es siempre perpendicular al plano de los vectores r y F , cuyo diagrama vectorial se muestra en la figura a continuación, su sentido está dado por la regla del producto vectorial, la regla del sentido de avance del tornillo o la regla de la mano derecha.

En la regla de la mano derecha los cuatro dedos de la mano derecha apuntan F a través del ángulo α , la a lo largo de r y luego se giran hacia dirección del pulgar derecho estirado da la dirección del troque y en general de cualquier producto vectorial. Por convención se considera el torque positivo si la rotación que produciría la fuerza es en sentido antihorario, se considera el torque negativo si la rotación que produciría la fuerza es en sentido horario; esto si ilustra en la figura siguiente:

76

La unidad de medida del torque en el SI es el pero no se llama joule).

[ Nm ] (igual que para trabajo,

El torque de una fuerza depende de la magnitud y dirección de F y de su punto de aplicación respecto del origen O . Si la fuerza F pasa por O y ´r =0 el torque es cero. Si α =0 ° o 180 ° , es decir, F está sobre la línea de acción de ´r , F sen α=0 y el torque es cero. F ´r , sólo esta es la componente de perpendicular a F⟘ . r sen α componente realiza torque, y se le puede llamar es la ´ , es la distancia perpendicular desde el eje componente perpendicular a F de rotación a la línea de acción de la fuerza, a r ⟘ se le llama brazo de ´ . palanca de F F sen α

Entonces, la magnitud del torque se puede escribir como: ´ |=|´r|(|F´ |sen α ) =|F´ |(|´r|sen α ) =|´r| F⟘ =|F ´ |r ⟘ |τ´|=|M

77

8.4 EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO Por definición una partícula puede tener solo movimiento de traslación. Si la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula es cero, la partícula está moviéndose con velocidad constante o está en reposo; en este último caso se dice que está en equilibrio estático. Pero el movimiento de un cuerpo rígido en general es de traslación y de rotación. En este caso, si la resultante tanto de las fuerzas como de los torques que actúan sobre el cuerpo rígido es cero, este no tendrá aceleración lineal ni aceleración angular, y si está en reposo, estará en equilibrio estático. Para que un cuerpo rígido este en equilibrio estático se deben cumplir dos requisitos simultáneamente, llamados condiciones de equilibrio. La primera condición de equilibrio es la Primera Ley de Newton, que garantiza el equilibrio de traslación. ´ ∑ F=0 ´ 1 + F´ 2+ …+ F ´ n=0 F

La segunda condición de equilibrio, corresponde al equilibrio de rotación, se enuncia de la siguiente forma: “la suma vectorial de todos los torques externos que actúan sobre un cuerpo rígido alrededor de cualquier origen es cero”.

∑ M´ =0 ´ 1+ M ´ 2 +…+ M ´ n =0 M

Como estas ecuaciones vectoriales son equivalentes a seis ecuaciones escalares, resulta un sistema final de ecuaciones con seis incógnitas, por lo que limitaremos el análisis a situaciones donde todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido, están en el plano x− y , donde también obviamente se encuentra ´r . Con esta restricción se tiene que tratar sólo con tres ecuaciones escalares, dos de la primera condición de equilibrio y una de la segunda, entonces el

78

sistema de ecuaciones vectorial se reduce a las siguientes ecuaciones escalares:

∑ F x=0, ∑ F y =0, ∑ M O=0 Cuando se tratan problemas con cuerpos rígidos se debe considerar la fuerza de gravedad o el peso del cuerpo, e incluir en los cálculos el torque producido por su peso. Para calcular el torque debido al peso, se puede considerar como si todo el peso estuviera concentrado en un solo punto, llamado centro de gravedad. 8.5 CENTRO DE GRAVEDAD Debido a que un cuerpo es una distribución continua de masa, es cada una de sus partes actúa la fuerza de gravedad. El centro de gravedad es la posición donde se puede considerar actuando la fuerza de gravedad neta, es el punto ubicado en la posición promedio donde se encuentra el peso total del cuerpo.

Para un objeto simétrico homogéneo, el centro de gravedad se encuentra en el centro geométrico, pero no para un objeto irregular.

79

8.6 CENTRO DE MASA Es la posición geométrica de un cuerpo rígido donde se puede considerar concentrada toda la masa, corresponde a la posición promedio de todas las

80

partículas de masa que forman el cuerpo rígido. El centro de masa de cualquier objeto simétrico homogéneo, se ubica sobre su eje de simetría. Cuando se estudia el movimiento de un cuerpo rígido se puede considerar la fuerza neta aplicada en el centro de masa y analizar el movimiento del centro de masa como si fuera una partícula.

Cuando la fuerza es el peso, entonces se considera aplicado en el centro de gravedad. Para casi todos los cuerpos cerca de la superficie terrestre, el centro de masa es equivalente al centro de gravedad, ya que la gravedad es prácticamente constante, esto es, si g es constante en toda la masa, el centro de gravedad coincide con el centro de masa. 8.7 PROCEDIMIENTO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE ESTÁTICA Para aplicar las condiciones de equilibrio, es recomendable seguir las siguientes instrucciones, que corresponde a dibujar el DCL del cuerpo rígido: a)

Aislar al cuerpo rígido del sistema con un límite imaginario.

b)

Dibujar los vectores que representen las fuerzas en el punto de aplicación donde las fuerzas efectivamente actúan.

c)

Elegir un sistema de coordenadas conveniente para descomponer las fuerzas, donde dibujar la componente perpendicular a l posición.

d)

Elegir un eje de rotación O adecuado en el cuerpo rígido, donde se anulen los torques de fuerzas desconocidas.

.

81

9

Capítulo

TRABAJO Y ENERGÍA “El que no posee el don de maravillarse ni de entusiasmarse más le valdría estar muerto, porque sus ojos están cerrados”. ALBERT EINSTEIN

9.1 INTRODUCCIÓN El problema fundamental de la Mecánica es describir como se moverán los cuerpos si se conocen las fuerzas aplicadas sobre él. Sin embargo, el problema es, más difícil cuando la fuerza que actúa sobre una partícula y por lo tanto, su aceleración, no son constantes. En este capítulo extendemos el análisis a fuerzas que dependen de la posición de la partícula, comunes en la naturaleza, como la fuerza gravitacional o las fuerzas elásticas. Este análisis nos conduce a los conceptos de Trabajo y Energía Cinética y al desarrollo del teorema trabajo-energía, incorporaremos a la ley de conservación de la energía, concepto éste que ha desempeñado un papel importante en el desarrollo de la física. Los conceptos de trabajo y energía se fundamentan en las Leyes de Newton por lo que no requiere ningún principio físico nuevo. 9.2 TRABAJO EFECTUADO POR UNA FUERZA CONSTANTE Consideremos una partícula sobre la cual actúa una fuerza constante F , y supongamos el caso más sencillo en el que el movimiento tiene lugar en línea

82

recta en dirección de la fuerza. En tal situación definimos el trabajo W efectuado por la fuerza sobre la partícula de masa m como el producto de la magnitud de la fuerza F y la magnitud del desplazamiento x a través del cual actúa la fuerza. W =F ∙ x

Si la fuerza constante no actúa en la dirección del desplazamiento, definimos el trabajo efectuado por la fuerza sobre la partícula como el producto de la componente de la fuerza a lo largo de la línea del movimiento y la magnitud del desplazamiento x . La componente y de la fuerza, perpendicular al desplazamiento, no F realiza Ftrabajo sobre el cuerpo. y m

α

dirección del desplazamiento

Fx desplazamiento x

Si α es el ángulo medio desde el desplazamiento el valor del trabajo W es ahora:

x

hacia la fuerza

F ,

W = ( F ∙cos α ) ∙ x Nótese que podemos escribir la anterior ecuación ya sea como ( F ∙ cos α ) ∙ x o como F ∙ ( x ∙ cos α ) . Esto sugiere que el trabajo puede calcularse de dos maneras diferentes, que dan el mismo resultado: ya sea que multipliquemos la magnitud del desplazamiento por la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento, o que multipliquemos la magnitud de la fuerza por la componente del desplazamiento en la dirección de la fuerza. x ∙ cos α

F F

α 83

x α F ∙ cos α

x

De modo que el trabajo debe ser expresable como un producto escalar. W = F´ ∙ r´ De la expresión anterior, por definición de producto escalar, queda claro que el trabajo puede ser positivo, negativo o cero. Su unidad de medida en el SI es [ N ∙ m ] que se llama Joule (abreviado [ J ] ). Otras fuerzas actúan sobre la partícula de masa m (peso, roce, normal, etc.), por loq eu la ecuación anterior se refiere sólo al trabajo realizado por la fuerza F en particular; las otras fuerzas también pueden realizar trabajo. El trabajo total sobre la partícula es la suma escalar de los trabajos realizados por cada una de las fuerzas. 9.3 TRABAJO EFECTUADO UNIDIMENSIONAL

POR

UNA

FUERZA

VARIABLE:

CASO

Consideremos ahora el trabajo efectuado por una fuerza que no sea constante. Hagamos que la fuerza actúa solamente en una dirección, la cual tomaremos como la dirección x , y hagamos que varíe su magnitud con x de acuerdo con la función F( x ) , desde una posición x i hasta una posición x f F( x )

xf

xi

Dividamos el desplazamiento total en un número de anchura igual ∆ x . F( x )

∆ W n=Fn ∙ ∆ x

84

x N

de intervalos pequeños

Fn

∆x

x

Consideremos un intervalo cualquiera, en el cual existe un pequeño desplazamiento ∆ x . Durante este pequeño desplazamiento la fuerza F( x ) tiene un valor Fn casi constante, y la pequeña cantidad de trabajo ∆ W n que se efectúa en ese intervalo es, aproximadamente, ∆ W n=Fn ∙ ∆ x De acuerdo a la figura anterior observamos que esta cantidad es simplemente el área del rectángulo sombreado. Por lo tanto, si la curva descrita por F( x ) , se divide en N intervalos pequeños, entonces, el trabajo total realizado por la fuerza variable es aproximadamente igual a la suma de las áreas de todos los rectángulos. W =∆ W 1 +∆ W 2+ …+∆ W N W =F 1 ∙ ∆ x + F 2 ∙ ∆ x+ …+ F N ∙ ∆ x O sea: N

W =∑ Fn ∙ ∆ x n=1

Donde la letra griega sigma ( ∑ ❑ ) significa la suma de todos los intervalos N desde una posición x i hasta una posición x f . Si los intervalos se hacen muy pequeños, el trabajo realizado por la fuerza variable es exactamente igual al área bajo la curva. F( x )

85

Trabajototal efectuado por la fuerza F ( x ) xi xf x Podemos obtener un resultado exacto para el trabajo efectuado por F( x ) si hacemos que ∆ x tienda a cero y el número N de intervalos tienda a infinito. De aquí el resultado exacto sea: N

N

W = lim

∑ Fn ∙ ∆ x

∆ x → 0 n=1

la relación:

lim

xf

∑ F n ∙ ∆ x=∫ F ( x) ∙ dx

∆ x→ 0 n=1

xi

Numéricamente, esta cantidad es exactamente igual al área entre la curva F( x ) y el eje x entre los límites x i y x f . Podemos escribir el trabajo total efectuado por la fuerza variable F( x ) al desplazar un cuerpo desde x i hasta

xf

así:

xf

W =∫ F ( x ) ∙ dx xi

Puesto que hemos eliminado la notación vectorial de esta ecuación unidimensional, debemos tener sumo cuidado al poner el signo de F , que +¿ es positivo si F está en dirección de x ¿ y negativo si F está en −¿ dirección de x ¿ . Como un ejemplo de fuerza variable, consideremos un resorte que actúe sobre una partícula de masa m . La partícula se mueve en dirección horizontal, la cual tomamos que se a la dirección x , con el origen ( x=0 [ m ] ) representando la posición de la particula cuando el resorte está relajado.

86

F s=0 x=0

x=0 Sobre la partícula actúa una fuerza externa Fext en dirección opuesta a la F s . Suponemos que la fuerza externa es siempre fuerza del resorte aproximadamente igual a la fuerza del resorte, de modo que la partícula esté en equilibrio en todo momento ( a=0

[ ] m 2 s

).

Sea desplazada la partícula una distancia x desde su posición original en x=0 . Si el agente externo ejerce una fuerza Fext sobre la partícula, el resorte ejercerá una fuerza externa F s . Esta fuerza está dada con bastante aproximación por: F s=−k ∙ x Donde k es una constante positiva, llamada la constante de fuerza del resorte. La fuerza F s ejercida por el resorte es una fuerza de restitución. F s=−k ∙ x Fext x

x=0 Consideremos primero el trabajo efectuado sobre la partícula por el resorte cuando la partícula se mueve desde la posición x i hasta la posición x f , el trabajo realizado por el resorte es: xf

xf

W s =∫ F s (x ) ∙ dx=∫ (−kx ) ∙ dx xi

xi

87

1 2 1 2 W s = k xi − k x f 2 1 Para mantener a la partícula en equilibrio, al fuerza Fext debe ser de igual magnitud que la fuerza del resorte pero de signo opuesto, de modo que Fext =+kx . Luego: xf

xf

W ext =∫ F ext ( x ) ∙ dx=∫ ( + kx ) ∙ dx xi

xi

1 1 W s = k x2f − k x 2i 2 1 9.4 ENERGÍA CINÉTICA Y EL TEOREMA TRABAJO – ENERGÍA Una fuerza no equilibrada aplicada a una partícula cambiará ciertamente el estado de movimiento de la partícula. La segunda Ley de Newton nos proporciona un modo de analizar este cambio de movimiento. Consideremos no es trabajo efectuado sobre una partícula por una sola fuerza sino el trabajo neto W neto efectuado por todas las fuerzas que actúen sobre la partícula. Existen dos maneras de hallar el trabajo neto. La primera es hallar todas las fuerzas que actúan sobre la partícula, y tratar esta fuerza neta como única fuerza al calcular el trabajo. Fneta=F 1 + F2 +…+ F n rf

W neto=∫ F neta ∙ dr ri

Por el segundo método, calculamos el trabajo realizado por cada una de las fuerzas que actúan en la partícula, y luego puesto que el trabajo es escalar, podemos sumar el trabajo hecho por cada fuerza para hallar el trabajo neto. rf

W 1=∫ F 1 ∙ dr ri

rf

,

W 2=∫ F 2 ∙ dr ri

W neto=W 1+W 2+ …+W n

88

rf

,…

W n=∫ F n ∙dr ri

Sabemos que una fuerza neta desequilibrada aplicada a una partícula cambiará su estado de movimiento al acelerarla, digamos de una velocidad inicial v i a una velocidad final v f . Bajo la influencia de la fuerza, la partícula se mueve de x i v f . El trabajo hecho es:

a

x f , y acelera de manera uniforme de

vi

a

W neto=F neta ( x f −x i )=ma ( x f −x i) Puesto que la aceleración

a

es constante, podemos usar la ecuación:

v 2f =v 2i +2 a ( x f −x i ) Para obtener: a ( x f −x i) =

1 2 2 ( v −v ) 2 f i

Luego: 1 1 W neto= m v 2f − m v 2i 2 2 Es decir, el resultado del trabajo neto en la partícula ha consistido en producir un cambio en el valor de la cantidad punto f . Esta cantidad se denomina la definición:

1 m v 2 desde el punto i hasta el 2 energía cinética K de la partícula, con

1 2 K= m v 2 En terminas de la energía cinética K, podemos escribir

W neto

como:

W neto=K f −K i=∆ K Esta última ecuación es la representación matemática de un importante resultado llamado teorema trabajo-energía, el cual, puede enunciarse como sigue: “El trabajo neto efectuado por las fuerzas que actúan sobre una partícula es igual al cambio en la energía cinética de la partícula”.

89

Aun cuando lo hemos derivado para el caso de una fuerza resultante constante, el teorema del trabajo-energía es válido en general también para fuerzas no constantes. Al igual que el trabajo, la energía cinética es una cantidad escalar; a diferencia del trabajo, la energía cinética nunca en negativa. La unidad de medida de la energía cinética es el Joule, [J]. 9.5 POTENCIA. Definimos la Potencia como la razón a la cual se efectúa el trabajo. La ´ desarrollada por un agente que ejerza una fuerza potencia promedio P particular sobre un cuerpo es el trabajo total efectuado por esa fuerza sobre el cuerpo dividido por el intervalo de tiempo total, o sea: ´ =W P t La potencia instantánea P=

P

producida por un agente es:

∆W ∆t

Si la potencia es constante en el tiempo, entonces P= P´ y W =P ∙ t . La unidad de potencia en el SI es el Joule por segundo, llamado watt (abreviado [W]). Si consideramos la expresión para la potencia instantánea P y realizamos ´ ∙ ∆ r , se puede escribir la potencia como: la aproximación ∆ W = F P=

´ ∙∆r F = F´ ∙ v´ ∆t

Se puede definir una nueva unidad de energía en términos de la unidad de potencia, llamada kilowatt-hora. 9.6 FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS. Para ilustrar el comportamiento de los sistemas conservativos, consideraremos el movimiento unidimensional de una partícula sobre la que

90

actúan tres fuerzas diferentes: La fuerza de un resorte, F s=−kx , la fuerza de la gravedad, W =mg , y la fuerza de fricción, Fr =μN . 1.

La fuerza de un resorte.

2.

La fuerza de la gravedad.

3.

La fuerza de fricción.

Si un cuerpo se mueve bajo la acción de una fuerza que no efectúe un trabajo total durante un recorrido completo, entonces la fuerza es conservativa; de lo contrario, es no conservativa. Si el trabajo efectuado por una fuerza para mover un cuerpo desde una posición inicial hasta una posición final es independiente de la trayectoria seguida entre los dos puntos, entonces la fuerza es conservativa; de lo contrario es no conservativa.

91

9.7 ENERGÍA POTENCIAL La energía potencial puede ser definida sólo para fuerzas conservativas como la fuerza de un resorte o la fuerza de gravedad; no existe, pues, para fuerzas no conservativas, tales como la fricción. La energía potencial, representada por el símbolo U , es la energía de configuración de un sistema. Es la energía almacenada en un sistema a causa de la posición relativa u orientación de las partes de un sistema. Consideremos un sistema en el que únicamente actúe una fuerza, y hagamos que la fuerza sea conservativa. Cuando cambiamos la configuración del sistema, tal como el movimiento de una de sus partes, la fuerza conservativa efectúa un trabajo W . Definimos que el cambio en la energía potencial ∆ U correspondiente a un cambio particular en la configuración es: ∆ U =−W El cambio en la energía potencial durante el proceso es el negativo del trabajo efectuado por la fuerza conservativa. 9.8 CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA. Cuando una partícula se mueve por la acción de una fuerza conservativa, por el teorema del trabajo y la energía se tiene que el trabajo realizado por la fuerza es igual a la variación de energía cinética de la partícula: W =∆ K Pero como la fuerza es conservativa, entonces expresiones del trabajo se tiene:

W =−∆U . Igualando ambas

∆ K =−∆ U ∆ K + ∆U =0 ∆ ( K +U ) =0 Esta ecuación puede escribirse también de la siguiente forma: K f −K i +U f −U i=0

92

K i +U i=K f +U f Se puede definir la energía mecánica total como la suma de la energía cinética y la energía potencial: E=K + U Entonces se obtiene la ley de conservación de la energía mecánica, que se escribe como: Ei=E f E=cte La ley de conservación de la energía mecánica establece que la energía mecánica total de un sistema permanece constante si las únicas fuerzas que realizan trabajo sobre el sistema son conservativas. Si las fuerzas presentes en un sistema mecánico no son conservativas, como ocurre en los sistemas reales, la energía aparentemente no se conserva, porque se transforma en otro tipo de energía. W NC +W C =∆ K Como

W C =−∆U

entonces:

W NC=∆ K +∆ U W NC=K f −K i+U f −U i W NC=( K f +U f ) −( K i +U i ) W NC=E f −Ei Es decir, el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas es igual al cambio de energía mecánica total del sistema. Ei=E f −W NC

93

.

10 Capítulo

COLISIONES

“El que no posee el don de maravillarse ni de entusiasmarse más le valdría estar muerto, porque sus ojos están cerrados”. ALBERT EINSTEIN

INTRODUCCIÓN ¿Cómo puede un karateca partir un montón de ladrillos?, ¿por qué un porrazo es más doloroso sobre el cemento que sobre el pasto?, ¿por qué cuando se salta desde un lugar alto es conveniente flexionar las rodillas al llegar al suelo?. Para entender y responder estas preguntas hay que recordar el concepto de inercia. Todos sabemos que es más fácil detener una pelota pequeña que una grande que se mueva con la misma velocidad ¿por qué?. Estas acciones están relacionadas con la inercia (masa) de los objetos en movimiento, y esta idea de inercia en movimiento está incluida en el concepto de momento, término que se refiere a los objetos que se mueven.

94

MOMENTO LINEAL El concepto de momento lineal se usa para denotar la inercia en movimiento. El momento lineal p de una partícula de masa m que se mueve con velocidad v, se define como el producto de la masa de un objeto por su velocidad: P=mv

índice A Índice 1, 1 Índice 1, 1 Índice 1, 1 Índice 2, 2 Índice 3, 3 Índice 1, 1 Índice 1, 1 B Índice 1, 1 Índice 1, 1 Índice 1, 1 Índice 2, 2 C Índice 1, 1 Índice 1, 1 Índice 1, 1 Índice 2, 2 Índice 1, 1 Índice 1, 1 Índice 1, 1

D Índice Índice Índice Índice

1, 1, 1, 1,

1 1 1 1

E Índice 1, 1 Índice 1, 1 Índice 1, 1 Índice 2, 2 Índice 1, 1 Índice 1, 1 Índice 1, 1 G Gauss 1, 1 Índice 1, 1 Índice 1, 1 Índice 1, 1 Índice 1, 1 Índice 1, 1

95

H Índice 1, 1 Índice 1, 1 Índice 1, 1 Índice 1, 1 Índice 2, 2 Índice 1, 1 Índice 1, 1 Índice 1, 1 Índice 1, 1 Índice 1, 1 Índice 1, 1 K Índice 1, 1 L Índice 1, 1 Índice 2, 2 Índice 1, 1 Índice 1, 1 Índice 2, 2 Índice 1, 1

Índice Índice Índice Índice

1, 1, 1, 1,

1 1 1 1

M Índice 1, 1 Índice 1, 1 Índice 1, 1 Índice 2, 2 N Índice 1, 1 Índice 1, 1 Índice 1, 1 Índice 2, 2 Índice 1, 1 Índice 1, 1 Índice 1, 1 R Índice 1, 1 Índice 1, 1

S Índice 1, 1 Índice 1, 1 Índice 1, 1 Índice 2, 2 Índice 1, 1

Índice 1, 1 Índice 1, 1

Índice 1, 1 Índice 2, 2

T Índice 1, 1 Índice 1, 1 Índice 1, 1

W Índice 1, 1 Índice 1, 1 Índice 1, 1

96

Índice 2, 2 Índice 1, 1 Índice 1, 1 Índice 1, 1 Índice 1

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