Flexion-compuesta 3p6nq
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Lecci´ on 11
Flexi´ on compuesta y flexi´ on compuesta desviada Contenidos 11.1. Distribuci´ on de tensiones normales est´ aticamente equivalentes a la combinaci´ on de esfuerzos axiles y momentos flectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 11.2. Flexi´ on compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 11.3. Flexi´ on compuesta desviada . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 11.4. N´ ucleo central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 11.5. Secciones sin zona de tracci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . 142 11.6. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
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Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales
11.1
Distribuci´ on de tensiones normales est´ aticamente equivalentes a la combinaci´ on de esfuerzos axiles y momentos flectores
Una barra trabaja a flexi´ on compuesta cuando est´a sometida a un estado de cargas tal que al deformarse se originan tensiones est´aticamente equivalentes en cada secci´on a un esfuerzo axil y a un momento flector (My (x) o Mz (x)). Trabaja a flexi´on compuesta desviada si junto al axil act´ uan sendos momentos flectores (My (x) y Mz (x)). En estos casos el eje neutro no pasa por el centro de gravedad, pudiendo localizarse dentro o fuera de la secci´ on, dependiendo de los valores de las solicitaciones.
11.2
Flexi´ on compuesta
Las distribuciones de tensiones normales para el momento actuando seg´ un el eje y o el eje z son, respectivamente
σx (x, y, z) = σx (x, y, z) =
N (x) Iz z − Iyz y + My (x) 2 S Iy Iz − Iyz N (x) Iy y − Iyz z + Mz (x) 2 S Iy Iz − Iyz
(11.1) (11.2)
En la Figura 11.1 se muestra la distribuci´on de tensiones en una secci´on sometida a flexi´on compuesta seg´ un el eje y.
Figura 11.1 Distribuci´ on de tensiones en una secci´on sometida a flexi´on compuesta seg´ un el eje y (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez
Flexi´ on compuesta y flexi´ on compuesta desviada
139
Si los ejes son principales de inercia, las expresiones 11.1 y 11.2 se simplifican:
σx (x, y, z) = σx (x, y, z) =
11.3
N (x) My (x) z + S Iy N (x) Mz (x) y + S Iz
(11.3) (11.4)
Flexi´ on compuesta desviada
Si junto al axil act´ uan sendos momentos My (x) y Mz (x), la distribuci´ on de tensiones normales es la dada por la ecuaci´on (7.10)
σx (x, y, z) =
Iy y − Iyz z N (x) Iz z − Iyz y + My (x) + Mz (x) 2 2 S Iy Iz − Iyz Iy Iz − Iyz
(11.5)
Si los ejes son principales de inercia, Iyz = 0, por tanto σx (x, y, z) =
Mz (x) N (x) My (x) + z+ y S Iy Iz
(11.6)
En la Figura 11.2 se muestra la distribuci´on de tensiones resultante de sumar las tensiones debidas a un axil y las tensiones debidas a sendos momentos My (x) y Mz (x).
Figura 11.2 Distribuci´ on de tensiones en una secci´on sometida a una solicitaci´on de flexi´on compuesta desviada
(c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez
140
11.4
Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales
N´ ucleo central
Existen materiales que trabajan muy bien a compresi´on y tienen un mal comportamiento a tracci´ on, lo que los hace ideales para su uso en elementos estructurales que trabajen fundamentalmente a compresi´on. No obstante, las cargas axiles siempre act´ uan con cierta excentricidad. Por tanto, interesa delimitar la zona de la secci´ on transversal en la que la acci´ on de un axil de compresi´ on no provoca tracciones. Esta zona se denomina n´ ucleo central. Ya se ha comentado anteriormente que el eje neutro en flexi´on compuesta o flexi´on compuesta desviada no pasa por el centro de gravedad de la secci´on. Esto implica que la secci´on y el eje neutro pueden intersecarse o no. Si la secci´on y el eje neutro se cortan, ´este dividir´ a a la secci´ on en dos partes: una trabajar´a a tracci´on y otra a compresi´on. Si la secci´ on y el eje neutro no se intersecan, toda la secci´on trabajar´a a tracci´on o a compresi´ on seg´ un el sentido del axil. Teniendo en cuenta ´esto, se puede definir el n´ ucleo central de una secci´ on como el lugar geom´etrico de los puntos en los que la aplicaci´ on de un axil de compresi´ on implica l´ıneas neutras tangentes al contorno de la secci´ on sin intersecarla. Las l´ıneas L1 y L2 de la secci´ on de la Figura 11.3 se corresponden con los ejes neutros al aplicar un axil en los puntos 1 y 2, respectivamente. La l´ınea L3 corresponde al eje neutro para un axil aplicado en el punto 3; en los tres casos, toda la secci´on estar´ıa comprimida o traccionada dependiendo del sentido del axil. La l´ınea L4 corresponde al eje neutro para un axil aplicado en el punto 4; en este caso se producen tracciones y compresiones en la secci´on.
Figura 11.3 Concepto de n´ ucleo central En una secci´on sometida a flexi´ on compuesta desviada, como se muestra en la Figura 11.4, los momentos pueden expresarse en funci´on del esfuerzo axil y sus excentricidades como Mz (x) = N (x) ey My (x) = N (x) ez Sustituyendo (11.7) en (11.5) y reordenando, se obtiene ey Iy − ez Iyz ez Iz − ey Iyz 1 σx (x, y, z) = N (x) + y+ z 2 2 S Iy Iz − Iyz Iy Iz − Iyz siendo la ecuaci´ on del eje neutro (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez
(11.7)
(11.8)
Flexi´ on compuesta y flexi´ on compuesta desviada
ey Iy − ez Iyz ez Iz − ey Iyz 1 + y+ z=0 2 2 S Iy Iz − Iyz Iy Iz − Iyz
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(11.9)
Figura 11.4 Axil actuando exc´entricamente sobre una secci´on El proceso para la determinaci´on del contorno del n´ ucleo central consiste en tomar como eje neutro las tangentes al contorno de la secci´on (de ecuaci´on ay + bz + 1 = 0) e identificar coeficientes con la ecuaci´on (11.9). Se puede comprobar que las coordenadas (ey , ez ) de un axil de compresi´on al que corresponde un determinado eje neutro, son 1 (a Iz + b Iyz ) S (11.10) 1 ez = (a Iyz + b Iy ) S Si los ejes y y z son principales de inercia, las ecuaciones (11.10) se simplifican ey =
a Iz = a i2z S (11.11) b Iy 2 ez = = b iy S siendo iy e iz los radios de giro de la secci´on respecto a los eje y y z, respectivamente: r r Iy Iz (11.12) iy = iz = S S Para definir el contorno del n´ ucleo central, es necesario estudiar las tangentes a la secci´ on en un n´ umero suficiente de puntos. Si la secci´on esta formada por tramos rectil´ıneos, la obtenci´ on del contorno se puede simplificar. Para ello se har´a uso de la siguiente propiedad: si la l´ınea neutra correspondiente a un axil aplicado con A B B excentricidad eA y y ez pasa por el punto de coordenadas ey , ez , se cumple que B la l´ınea neutra correspondiente al axil aplicado en eB y y ez pasa por el punto de A A coordenadas ey , z = ez . En la Figura 11.5, L1 , L2 , L3 , L4 y L5 son los ejes neutros correspondientes a la aplicaci´ on de un axil en los puntos 1, 2, 3, 4 y 5, respectivamente. Haciendo uso de la propiedad mencionada en el p´arrafo anterior, se puede afirmar que en la secci´on de la Figura 11.5, el segmento 12 contiene los puntos del n´ ucleo central correspondientes a ey =
(c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez
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Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales
los ejes neutros que giran alrededor de O. Esto es, como L1 pasa por O, el eje neutro de O pasar´a por 1 y como L2 pasa por O, el eje neutro de O pasar´a por 2. Por tanto, el segmento 12 es parte de la l´ınea neutra correspondiente al axil aplicado en O. De acuerdo con la propiedad citada anteriormente, mientras el axil recorra el segmento 12 las l´ıneas neutras girar´ an alrededor de O desde L1 hasta L2 . Por este motivo, en las secciones con el contorno definido por tramos rectil´ıneos, el contorno del n´ ucleo puede ser calculado uniendo mediante rectas los puntos de aplicaci´on del axil de compresi´on a los que corresponden los ejes neutros que son tangentes al contorno de la secci´on sin intersecarla.
Figura 11.5 Determinaci´on del n´ ucleo central
11.5
Secciones sin zona de tracci´ on
Hay materiales cuya resistencia a tracci´ on es tan peque˜ na que no es considerada en los c´alculos. Para el caso de elementos construidos con estos materiales y que van a estar sometidos a un axil exc´entrico, es necesario conocer la posici´on del eje neutro que separa la zona de la secci´ on que trabaja (zona comprimida) de la que no trabaja (zona traccionada).
Figura 11.6 Determinaci´on del n´ ucleo central Sea una secci´on gen´erica, con eje de simetr´ıa coincidente con el eje z. Se supondr´a que el esfuerzo axil N act´ ua en el punto C, sobre el eje de simetr´ıa, a una distancia a del borde y fuera del n´ ucleo central, como se muestra en la Figura 11.6. La secci´on est´ a sometida a flexi´ on compuesta seg´ un el eje y. Por tanto, el eje neutro es perpendicular al eje z. Como se ha visto en apartados anteriores, las tensiones (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez
Flexi´ on compuesta y flexi´ on compuesta desviada
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normales son proporcionales a su distancia al eje neutro. As´ı, un elemento diferencial dS, a una distancia z del eje neutro, tendr´a como tensi´on σ = kz. Para determinar la distancia del punto de actuaci´on del axil al eje neutro, zc , se establecen las condiciones de equilibrio de fuerzas y de momentos. As´ı, la resultante de las tensiones que act´ uan en la zona activa (sombreada en la figura) ha de ser igual al esfuerzo axil N (x): Z Z Z (11.13) k z dS = k z dS = k Qen σx dS = N (x) = S
S
S
siendo Qen el momento est´ atico de la zona comprimida respecto al eje neutro. Adem´ as ha de verificarse que el momento de la resultante de las tensiones de compresi´ on respecto al eje neutro ha de ser igual al momento del axil respecto a dicho eje. Z Z Z 2 (11.14) k z dS = k z 2 dS = k Ien z σx dS = N (x) zc = S
S
S
siendo Ien el momento de inercia de la zona comprimida respecto al eje neutro. Dividiendo (11.14) por (11.13) se obtiene zc zc =
Ien Qen
(11.15)
Los valores de Qen e Ien son funci´on de la inc´ognita zc . Por tanto, resolviendo la ecuaci´ on resultante, se determina la posici´on del eje neutro referida al punto de aplicaci´ on del axil.
11.6
Ejercicios propuestos
Ejercicio 11.1 La secci´ on transversal de la viga en T que se muestra en la Figura 11.7, est´a sometida a flexi´ on compuesta desviada.
Figura 11.7 Secci´ on en T sometida a flexi´on compuesta desviada Obtener: 1. Las propiedades est´ aticas de la secci´on: ´area S e inercias principales IyG , IzG (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez
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Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales
2. La expresi´ on anal´ıtica de la distribuci´on de tensiones normales 3. La ecuaci´ on del eje neutro 4. La representaci´ on gr´ afica de la distribuci´on de tensiones normales Datos: h = 90 mm , b = 82 mm , eala = 10 mm , ealma = 7 mm N
= −300 kN , My = 50 kN·m , Mz = 30 kN·m
Soluci´ on: 1. Las propiedades est´ aticas de la secci´on: ´area S e inercias principales IyG , IzG S = 1380 mm2 IyG = 979 · 103 mm4 IzG = 462 · 103 mm4 2. La expresi´ on anal´ıtica de la distribuci´on de tensiones normales σx (y, z) = −10, 869 + 4, 329y + 1, 021z
(Fuerzas en N y longitudes en mm)
3. La ecuaci´ on del eje neutro y = 2, 511 − 0, 236z 4. La representaci´ on gr´ afica del eje neutro y de la distribuci´on de tensiones normales
Figura 11.8 Secci´ on en T sometida a flexi´on compuesta desviada. Distribuci´on de tensiones normales
(c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez
Flexi´ on compuesta y flexi´ on compuesta desviada
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Ejercicio 11.2 Para la secci´ on transversal de la Figura 11.9
Figura 11.9 Secci´on romboidal Obtener: 1. Las propiedades est´ aticas de la secci´on: ´area S e inercias principales IyG , IzG 2. El n´ ucleo central de la secci´on Soluci´ on: 1. Las propiedades est´ aticas de la secci´on: ´area S e inercias principales IyG , IzG h2 2 h4 = 48
S= IyG = IzG
2. El n´ ucleo central de la secci´on Tabla 11.1 Coordenadas de los v´ertices del n´ ucleo central de la secci´on V´ertice 1 2 3 4
Coordenadas ey ez h 12 h − 12 h − 12 h 12
h 12 h 12 h − 12 h − 12
(c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez
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Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales
Figura 11.10 Secci´ on romboidal. N´ ucleo central Ejercicio 11.3 En la Figura 11.11 se muestra una secci´on transversal rectangular, sometida a un axil de compresi´ on exc´entrico. Se itir´a que la resistencia del material a tracci´on es nula.
Figura 11.11 Secci´ on rectangular sometida a un axil de compresi´on exc´entrico Obtener: 1. La distancia d del punto C de aplicaci´on del axil a la cara superior de la secci´on 3 para que ´esta est´e comprimida del canto h 4 Soluci´ on: 1. La distancia d del punto C de aplicaci´on del axil a la cara superior de la secci´on 3 para que ´esta est´e comprimida del canto h 4
d=
h 4
(c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez
Flexi´ on compuesta y flexi´ on compuesta desviada Contenidos 11.1. Distribuci´ on de tensiones normales est´ aticamente equivalentes a la combinaci´ on de esfuerzos axiles y momentos flectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 11.2. Flexi´ on compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 11.3. Flexi´ on compuesta desviada . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 11.4. N´ ucleo central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 11.5. Secciones sin zona de tracci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . 142 11.6. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
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Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales
11.1
Distribuci´ on de tensiones normales est´ aticamente equivalentes a la combinaci´ on de esfuerzos axiles y momentos flectores
Una barra trabaja a flexi´ on compuesta cuando est´a sometida a un estado de cargas tal que al deformarse se originan tensiones est´aticamente equivalentes en cada secci´on a un esfuerzo axil y a un momento flector (My (x) o Mz (x)). Trabaja a flexi´on compuesta desviada si junto al axil act´ uan sendos momentos flectores (My (x) y Mz (x)). En estos casos el eje neutro no pasa por el centro de gravedad, pudiendo localizarse dentro o fuera de la secci´ on, dependiendo de los valores de las solicitaciones.
11.2
Flexi´ on compuesta
Las distribuciones de tensiones normales para el momento actuando seg´ un el eje y o el eje z son, respectivamente
σx (x, y, z) = σx (x, y, z) =
N (x) Iz z − Iyz y + My (x) 2 S Iy Iz − Iyz N (x) Iy y − Iyz z + Mz (x) 2 S Iy Iz − Iyz
(11.1) (11.2)
En la Figura 11.1 se muestra la distribuci´on de tensiones en una secci´on sometida a flexi´on compuesta seg´ un el eje y.
Figura 11.1 Distribuci´ on de tensiones en una secci´on sometida a flexi´on compuesta seg´ un el eje y (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez
Flexi´ on compuesta y flexi´ on compuesta desviada
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Si los ejes son principales de inercia, las expresiones 11.1 y 11.2 se simplifican:
σx (x, y, z) = σx (x, y, z) =
11.3
N (x) My (x) z + S Iy N (x) Mz (x) y + S Iz
(11.3) (11.4)
Flexi´ on compuesta desviada
Si junto al axil act´ uan sendos momentos My (x) y Mz (x), la distribuci´ on de tensiones normales es la dada por la ecuaci´on (7.10)
σx (x, y, z) =
Iy y − Iyz z N (x) Iz z − Iyz y + My (x) + Mz (x) 2 2 S Iy Iz − Iyz Iy Iz − Iyz
(11.5)
Si los ejes son principales de inercia, Iyz = 0, por tanto σx (x, y, z) =
Mz (x) N (x) My (x) + z+ y S Iy Iz
(11.6)
En la Figura 11.2 se muestra la distribuci´on de tensiones resultante de sumar las tensiones debidas a un axil y las tensiones debidas a sendos momentos My (x) y Mz (x).
Figura 11.2 Distribuci´ on de tensiones en una secci´on sometida a una solicitaci´on de flexi´on compuesta desviada
(c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez
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Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales
N´ ucleo central
Existen materiales que trabajan muy bien a compresi´on y tienen un mal comportamiento a tracci´ on, lo que los hace ideales para su uso en elementos estructurales que trabajen fundamentalmente a compresi´on. No obstante, las cargas axiles siempre act´ uan con cierta excentricidad. Por tanto, interesa delimitar la zona de la secci´ on transversal en la que la acci´ on de un axil de compresi´ on no provoca tracciones. Esta zona se denomina n´ ucleo central. Ya se ha comentado anteriormente que el eje neutro en flexi´on compuesta o flexi´on compuesta desviada no pasa por el centro de gravedad de la secci´on. Esto implica que la secci´on y el eje neutro pueden intersecarse o no. Si la secci´on y el eje neutro se cortan, ´este dividir´ a a la secci´ on en dos partes: una trabajar´a a tracci´on y otra a compresi´on. Si la secci´ on y el eje neutro no se intersecan, toda la secci´on trabajar´a a tracci´on o a compresi´ on seg´ un el sentido del axil. Teniendo en cuenta ´esto, se puede definir el n´ ucleo central de una secci´ on como el lugar geom´etrico de los puntos en los que la aplicaci´ on de un axil de compresi´ on implica l´ıneas neutras tangentes al contorno de la secci´ on sin intersecarla. Las l´ıneas L1 y L2 de la secci´ on de la Figura 11.3 se corresponden con los ejes neutros al aplicar un axil en los puntos 1 y 2, respectivamente. La l´ınea L3 corresponde al eje neutro para un axil aplicado en el punto 3; en los tres casos, toda la secci´on estar´ıa comprimida o traccionada dependiendo del sentido del axil. La l´ınea L4 corresponde al eje neutro para un axil aplicado en el punto 4; en este caso se producen tracciones y compresiones en la secci´on.
Figura 11.3 Concepto de n´ ucleo central En una secci´on sometida a flexi´ on compuesta desviada, como se muestra en la Figura 11.4, los momentos pueden expresarse en funci´on del esfuerzo axil y sus excentricidades como Mz (x) = N (x) ey My (x) = N (x) ez Sustituyendo (11.7) en (11.5) y reordenando, se obtiene ey Iy − ez Iyz ez Iz − ey Iyz 1 σx (x, y, z) = N (x) + y+ z 2 2 S Iy Iz − Iyz Iy Iz − Iyz siendo la ecuaci´ on del eje neutro (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez
(11.7)
(11.8)
Flexi´ on compuesta y flexi´ on compuesta desviada
ey Iy − ez Iyz ez Iz − ey Iyz 1 + y+ z=0 2 2 S Iy Iz − Iyz Iy Iz − Iyz
141
(11.9)
Figura 11.4 Axil actuando exc´entricamente sobre una secci´on El proceso para la determinaci´on del contorno del n´ ucleo central consiste en tomar como eje neutro las tangentes al contorno de la secci´on (de ecuaci´on ay + bz + 1 = 0) e identificar coeficientes con la ecuaci´on (11.9). Se puede comprobar que las coordenadas (ey , ez ) de un axil de compresi´on al que corresponde un determinado eje neutro, son 1 (a Iz + b Iyz ) S (11.10) 1 ez = (a Iyz + b Iy ) S Si los ejes y y z son principales de inercia, las ecuaciones (11.10) se simplifican ey =
a Iz = a i2z S (11.11) b Iy 2 ez = = b iy S siendo iy e iz los radios de giro de la secci´on respecto a los eje y y z, respectivamente: r r Iy Iz (11.12) iy = iz = S S Para definir el contorno del n´ ucleo central, es necesario estudiar las tangentes a la secci´ on en un n´ umero suficiente de puntos. Si la secci´on esta formada por tramos rectil´ıneos, la obtenci´ on del contorno se puede simplificar. Para ello se har´a uso de la siguiente propiedad: si la l´ınea neutra correspondiente a un axil aplicado con A B B excentricidad eA y y ez pasa por el punto de coordenadas ey , ez , se cumple que B la l´ınea neutra correspondiente al axil aplicado en eB y y ez pasa por el punto de A A coordenadas ey , z = ez . En la Figura 11.5, L1 , L2 , L3 , L4 y L5 son los ejes neutros correspondientes a la aplicaci´ on de un axil en los puntos 1, 2, 3, 4 y 5, respectivamente. Haciendo uso de la propiedad mencionada en el p´arrafo anterior, se puede afirmar que en la secci´on de la Figura 11.5, el segmento 12 contiene los puntos del n´ ucleo central correspondientes a ey =
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Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales
los ejes neutros que giran alrededor de O. Esto es, como L1 pasa por O, el eje neutro de O pasar´a por 1 y como L2 pasa por O, el eje neutro de O pasar´a por 2. Por tanto, el segmento 12 es parte de la l´ınea neutra correspondiente al axil aplicado en O. De acuerdo con la propiedad citada anteriormente, mientras el axil recorra el segmento 12 las l´ıneas neutras girar´ an alrededor de O desde L1 hasta L2 . Por este motivo, en las secciones con el contorno definido por tramos rectil´ıneos, el contorno del n´ ucleo puede ser calculado uniendo mediante rectas los puntos de aplicaci´on del axil de compresi´on a los que corresponden los ejes neutros que son tangentes al contorno de la secci´on sin intersecarla.
Figura 11.5 Determinaci´on del n´ ucleo central
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Secciones sin zona de tracci´ on
Hay materiales cuya resistencia a tracci´ on es tan peque˜ na que no es considerada en los c´alculos. Para el caso de elementos construidos con estos materiales y que van a estar sometidos a un axil exc´entrico, es necesario conocer la posici´on del eje neutro que separa la zona de la secci´ on que trabaja (zona comprimida) de la que no trabaja (zona traccionada).
Figura 11.6 Determinaci´on del n´ ucleo central Sea una secci´on gen´erica, con eje de simetr´ıa coincidente con el eje z. Se supondr´a que el esfuerzo axil N act´ ua en el punto C, sobre el eje de simetr´ıa, a una distancia a del borde y fuera del n´ ucleo central, como se muestra en la Figura 11.6. La secci´on est´ a sometida a flexi´ on compuesta seg´ un el eje y. Por tanto, el eje neutro es perpendicular al eje z. Como se ha visto en apartados anteriores, las tensiones (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez
Flexi´ on compuesta y flexi´ on compuesta desviada
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normales son proporcionales a su distancia al eje neutro. As´ı, un elemento diferencial dS, a una distancia z del eje neutro, tendr´a como tensi´on σ = kz. Para determinar la distancia del punto de actuaci´on del axil al eje neutro, zc , se establecen las condiciones de equilibrio de fuerzas y de momentos. As´ı, la resultante de las tensiones que act´ uan en la zona activa (sombreada en la figura) ha de ser igual al esfuerzo axil N (x): Z Z Z (11.13) k z dS = k z dS = k Qen σx dS = N (x) = S
S
S
siendo Qen el momento est´ atico de la zona comprimida respecto al eje neutro. Adem´ as ha de verificarse que el momento de la resultante de las tensiones de compresi´ on respecto al eje neutro ha de ser igual al momento del axil respecto a dicho eje. Z Z Z 2 (11.14) k z dS = k z 2 dS = k Ien z σx dS = N (x) zc = S
S
S
siendo Ien el momento de inercia de la zona comprimida respecto al eje neutro. Dividiendo (11.14) por (11.13) se obtiene zc zc =
Ien Qen
(11.15)
Los valores de Qen e Ien son funci´on de la inc´ognita zc . Por tanto, resolviendo la ecuaci´ on resultante, se determina la posici´on del eje neutro referida al punto de aplicaci´ on del axil.
11.6
Ejercicios propuestos
Ejercicio 11.1 La secci´ on transversal de la viga en T que se muestra en la Figura 11.7, est´a sometida a flexi´ on compuesta desviada.
Figura 11.7 Secci´ on en T sometida a flexi´on compuesta desviada Obtener: 1. Las propiedades est´ aticas de la secci´on: ´area S e inercias principales IyG , IzG (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez
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Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales
2. La expresi´ on anal´ıtica de la distribuci´on de tensiones normales 3. La ecuaci´ on del eje neutro 4. La representaci´ on gr´ afica de la distribuci´on de tensiones normales Datos: h = 90 mm , b = 82 mm , eala = 10 mm , ealma = 7 mm N
= −300 kN , My = 50 kN·m , Mz = 30 kN·m
Soluci´ on: 1. Las propiedades est´ aticas de la secci´on: ´area S e inercias principales IyG , IzG S = 1380 mm2 IyG = 979 · 103 mm4 IzG = 462 · 103 mm4 2. La expresi´ on anal´ıtica de la distribuci´on de tensiones normales σx (y, z) = −10, 869 + 4, 329y + 1, 021z
(Fuerzas en N y longitudes en mm)
3. La ecuaci´ on del eje neutro y = 2, 511 − 0, 236z 4. La representaci´ on gr´ afica del eje neutro y de la distribuci´on de tensiones normales
Figura 11.8 Secci´ on en T sometida a flexi´on compuesta desviada. Distribuci´on de tensiones normales
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Flexi´ on compuesta y flexi´ on compuesta desviada
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Ejercicio 11.2 Para la secci´ on transversal de la Figura 11.9
Figura 11.9 Secci´on romboidal Obtener: 1. Las propiedades est´ aticas de la secci´on: ´area S e inercias principales IyG , IzG 2. El n´ ucleo central de la secci´on Soluci´ on: 1. Las propiedades est´ aticas de la secci´on: ´area S e inercias principales IyG , IzG h2 2 h4 = 48
S= IyG = IzG
2. El n´ ucleo central de la secci´on Tabla 11.1 Coordenadas de los v´ertices del n´ ucleo central de la secci´on V´ertice 1 2 3 4
Coordenadas ey ez h 12 h − 12 h − 12 h 12
h 12 h 12 h − 12 h − 12
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Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales
Figura 11.10 Secci´ on romboidal. N´ ucleo central Ejercicio 11.3 En la Figura 11.11 se muestra una secci´on transversal rectangular, sometida a un axil de compresi´ on exc´entrico. Se itir´a que la resistencia del material a tracci´on es nula.
Figura 11.11 Secci´ on rectangular sometida a un axil de compresi´on exc´entrico Obtener: 1. La distancia d del punto C de aplicaci´on del axil a la cara superior de la secci´on 3 para que ´esta est´e comprimida del canto h 4 Soluci´ on: 1. La distancia d del punto C de aplicaci´on del axil a la cara superior de la secci´on 3 para que ´esta est´e comprimida del canto h 4
d=
h 4
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