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INSTITUTO DE FÍSICA DA UFBA DEPARTAMENTO DE FÍSICA DO ESTADO SÓLIDO DISCIPLINA: FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL III (FIS 123)

FLUXO E DIVERGENTE DE UM CAMPO VETORIAL Os conceitos de divergente e rotacional estão relacionados aos de fluxo e de circulação respectivamente.

Nesta e na próxima secção, faremos uma definição precisa destes conceitos e os

associaremos com alguns fenômenos físicos conhecidos.

FLUXO E INTEGRAL DE SUPERFÍCIE 1. SUPERFÍCIE ABERTA 1a. Fluxo através de uma superfície aberta plana Suponha inicialmente uma superfície plana de área 𝐴 dentro de um campo de velocidades 𝑣⃗. Este campo pode ser, por exemplo, um rio, um fluxo de gás dentro de uma tubulação, etc. Neste primeiro enfoque, vamos supor que o campo seja uniforme (ou seja, a velocidade é a mesma para todos os pontos desse espaço e a direção e sentido se mantem constante) e que a superfície esteja perpendicular ao campo. Definimos então [ Quantidade de fluido que atravessa a superfície A no tempo  t ] [ FLUXO ] =  =  (sup. aberta) [ unidade de tempo]

Podemos expressar esta definição em termos de 𝑣 e de 𝐴 com a seguinte consideração: num tempo ∆𝑡 , cada partícula do fluido percorre uma

distância

𝑣∆𝑡.

Assim,

se construirmos um

paralelepípedo de base 𝐴 e altura 𝑣∆𝑡, notaremos que

toda a

partícula que estiver dentro desta "caixa" atravessa a superfície 𝐴 no tempo ∆𝑡. As partículas que estiverem fora não conseguirão atravessar a superfície. Assim, a quantidade de fluido que atravessa a superfície 𝐴 no tempo ∆𝑡 será simplesmente o volume dessa "caixa", que vale

𝑣∆𝑡𝐴 . O fluxo será então Φ=

𝑣∆𝑡 𝐴 = 𝑣𝐴 ∆𝑡

1

Suponha agora que a superfície 𝐴 esteja inclinada de um ângulo

, como mostra a figura. Observe que a quantidade de fluido que atravessa 𝐴 no tempo ∆𝑡 é a mesma que atravessa 𝐴 𝑇 (que é a projeção de 𝐴 em um plano perpendicular às linhas de campo) . Assim Φ𝐴 = Φ𝐴𝑇 = 𝑣𝐴 𝑇 . Como 𝐴 𝑇 = 𝐴 cos ,

logo

Φ𝐴 = 𝑣 𝐴 cos𝜃

Podemos simplificar esta relação, usando o vetor área 𝐴⃗, que é definido como:

 módulo : área A   A   direção : perpendicu lar `a superfície A  o  sentido : é tal que   90

(𝟏) 

Desta forma, podemos escrever o fluxo de um campo vetorial uniforme v para uma superfície plana como sendo:

⃗⃗⃗⃗ Φ=𝑣 ⃗⃗⃗⃗. 𝐴

(𝟐)

1b. Fluxo através de um conjunto de superfícies planas A figura ao lado mostra uma superfície constituída por uma junção de 𝑁 superfícies planas, onde ⃗⃗⃗⃗ 𝐴 𝑗 é o vetor associado à cada área 𝐴𝑗 . Suponha que cada superfície é atravessada por um campo de velocidades 𝑣⃗𝑗 que varia de uma região a outra, mas que permanece uniforme na superfície 𝐴𝑗 . Como o fluxo é uma grandeza aditiva, o fluxo total será:

Φ = Φ1 + Φ2 + Φ3 … = 𝑣⃗1 . 𝐴⃗1 + 𝑣⃗2 . 𝐴⃗2 + 𝑣⃗3 . 𝐴⃗3 … 𝑁

Φ = ∑ 𝑣⃗𝑗 . 𝐴⃗𝑗 𝑗=1

1c. Integral de Superfície (superfície aberta) Considere agora uma campo de velocidades 𝑣⃗ não uniforme, isto é, um campo onde tanto o módulo quanto a direção e sentido variam de ponto a ponto. Queremos calcular o fluxo através de uma superfície que não é necessariamente plana. Para isso seguiremos o seguinte procedimento: 

Dividimos a superfície em pequenas superfícies de área 𝐴𝑗 , de forma que: - 𝐴𝑗 seja aproximadamente plana

2

- O campo 𝑣⃗𝑗 nessa superfície seja aproximadamente constante 

Definimos o vetor 𝐴⃗𝑗 de acordo com a definição (1)



O fluxo no elemento de área 𝐴𝑗 será ∆Φ𝑗 ≅ 𝑣 ⃗⃗⃗⃗𝑗 . ∆𝐴⃗𝑗



O fluxo total através da superfície será aproximadamente 𝑁

Φ ≅ ∑𝑣 ⃗⃗⃗⃗𝑗 . ∆𝐴⃗𝑗 𝑗



Para encontrarmos o valor exato do fluxo, fazemos

𝐴𝑗 → 0.

Definimos então integral de

superfície ao limite: 𝑁

Φ = ∫𝑣 ⃗⃗⃗⃗. 𝑑𝐴⃗ = lim ∑ 𝑣⃗𝑗 . ∆𝐴⃗𝑗 ∆𝐴𝑗→0

𝑗

2. SUPERFÍCIE FECHADA 2a. Fluxo através de uma superfície fechada de faces planas Seja  uma superfície fechada dentro de um campo vetorial 𝑣⃗. Definimos:

𝐹𝐿𝑈𝑋𝑂 ]= Φ=[ (𝑠𝑢𝑝. 𝑓𝑒𝑐ℎ𝑎𝑑𝑎)

[

𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝒔𝒂𝒊 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂 ] [ ] 𝑑𝑒 ∑ 𝑛𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 ∆𝑡 𝑒𝑚 ∑ 𝑛𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 ∆𝑡 − [𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜] [𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜]

(𝟑)

Apliquemos esta definição para o caso de uma superfície fechada, constituída pela junção de várias superfícies planas, dentro de um campo vetorial 𝑣⃗ uniforme (veja figura):

Para calcularmos o fluxo, definiremos um vetor ⃗⃗⃗⃗ 𝐴 𝑗 tal que:

  módulo : área A   A j   direção : perpendicular `a superfície A    sentido: aponta sempre para fora da superficie

(𝟒)

De acordo com o exemplo da figura acima, notamos que o fluido sai de  através de 𝐴1 e 𝐴2 e entra por 𝐴4 , 𝐴4 e 𝐴5 . Usando a relação (𝟐) e as definições (𝟑) e (𝟒), teremos: 3

5

ΦΣ = 𝑣⃗. 𝐴⃗1 + 𝑣⃗. 𝐴⃗2 + 𝑣⃗. 𝐴⃗3 + 𝑣⃗. 𝐴⃗4 + 𝑣⃗. 𝐴⃗5 = ∑ 𝑣⃗. 𝐴⃗𝑗

(𝟓)

𝑗=1

Observe que nas superfícies 𝐴3 , 𝐴4 e 𝐴5 o vetor 𝐴⃗𝑗 forma com 𝑣⃗ um ângulo  , tal que 90° <

 < 270°, de sorte que 𝑣⃗. 𝐴⃗𝑗 = 𝑣𝐴𝑗 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑗 é negativo neste caso. Podemos generalizar estas considerações, supondo agora uma superfície fechada constituída por 𝑁 superfícies planas. Mais ainda: podemos supor que o campo não seja mais uniforme, mas que possa variar de região para região, com a condição de que assuma um valor constante 𝑣⃗𝑗 na superfície

𝐴𝑗 . O fluxo será portanto: 𝑁

ΦΣ = ∑ 𝑣 ⃗⃗⃗⃗𝑗 . 𝐴⃗𝑗

(𝟔)

𝑗

2b. Integral de Superfície Suponha agora que uma superfície fechada , de formato qualquer, seja inserida em um campo vetorial 𝑣⃗ não uniforme. Para definirmos o fluxo, tomaremos o seguinte procedimento: a. Dividimos a superfície em pequenas superfícies de área 𝐴𝑗 de forma que: - 𝐴𝑗 seja aproximadamente plana - O campo 𝑣⃗j nessa superfície seja aproximadamente constante b. Definimos o vetor 𝐴⃗𝑗 de acordo com (𝟒) c. O fluxo no elemento de área 𝐴𝑗 será ∆Φ𝑗 ≅ 𝑣⃗𝑗 . ∆𝐴⃗𝑗 d. O fluxo total através de  será aproximadamente 𝑁

Φ ≈ ∑ 𝑣⃗𝑗 . ∆𝐴⃗𝑗 𝑗

e. Para encontrarmos o valor exato do fluxo, fazemos 𝐴𝑗 → 0. Definimos então integral de superfície ao limite: 𝑁

∮ 𝑣⃗. 𝑑𝐴⃗ = lim ∑ 𝑣⃗𝑗 . ∆𝐴⃗𝑗 ∆𝐴𝑗→0

𝑗

f. O fluxo de um campo de velocidades através de uma superfície fechada  tem o seu significado físico definido por (𝟑). Contudo, podemos estender esse significado para qualquer campo vetorial 𝐺⃗ , de forma que: 4

𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 (… )𝑞𝑢𝑒 𝒔𝒂𝒊 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 (… )𝑞𝑢𝑒 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂 [ ] [ ] 𝑑𝑒 ∑ 𝑛𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 ∆𝑡 𝑒𝑚 ∑ 𝑛𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 ∆𝑡 ⃗ ⃗ Φ = ∮ 𝐺 . 𝑑𝐴 = − [𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜] [𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜] onde (...) é uma palavra que depende de qual seja o campo 𝐺⃗ considerado. Assim, se

𝐺⃗ = 𝑣⃗ (campo de velocidades), (...) = fluido 𝐺⃗ = 𝐽⃗ (densidade de corrente), (...) = carga 𝐺⃗ = 𝑆⃗ (vetor de Poynting), (...) = energia eletromagnética ⃗⃗ (campo elétrico) ou 𝐺⃗ = 𝐵 ⃗⃗ (campo magnético), o fluxo será uma quantidade tal No caso de 𝐺⃗ = 𝐸 que:

  [ número de linhas de campo que saem de ] - [ número de linhas de campo que entram em ]

O DIVERGENTE DE UMA FUNÇÃO VETORIAL Do estudo precedente é fácil verificar que se Φ ≠ 0, haverá divergência ou convergência (divergência negativa) do campo em relação à superfície fechada . Mas agora, ao invés de concentrarmos no fluxo em uma região do espaço, desejamos fazer este estudo em relação a um ponto e em suas vizinhanças. A ideia central, portanto, é fazer a superfície tender a zero e calcular o fluxo nesse limite. Contudo, se diminuirmos a superfície, o fluxo também irá diminuir, até se anular no limite 𝐴𝑗 → 0 . Porém, se calcularmos a razão entre o fluxo através de 𝐴𝑗 pelo volume 𝑉𝑗 , observaremos que ela tenderá a um valor limite quando

𝑉𝑗 → 0. É justamente esta propriedade que estamos buscando. Definimos então, o

divergente de uma função vetorial 𝐺⃗ à grandeza:

∮ 𝐺⃗ . 𝑑𝐴⃗𝑗 ) div𝐺⃗ = lim ( ∆𝑉𝑗 →0 ∆𝑉𝑗 1. Teorema de Gauss Seja uma superfície fechada  dentro de um campo vetorial 𝐺⃗ . Ao dividirmos a superfície em duas superfícies fechadas 1 e

2, veremos que a soma dos fluxos através

destas duas

superfícies reproduzirá o fluxo original, uma vez que os vetores

𝑑𝐴⃗1 e 𝑑𝐴⃗2 , que descrevem a interface entre 1 e 2, têm mesmo módulo e direção, mas sentidos opostos. Assim, devemos ter Φ = Φ1 + Φ2

5

Se dividirmos a superfície  em 𝑁 superfícies fechadas, a soma dos fluxos através de todas essas superfícies reproduzirá o fluxo original, isto é: 𝑁

∮ 𝐺⃗ . 𝑑𝐴⃗ = ∑ 𝐺⃗ . 𝑑𝐴⃗𝑗 𝑗

Observe que podemos reescrever esta expressão na forma: 𝑁

∮ 𝐺⃗ . 𝑑𝐴⃗𝑗 ∮ 𝐺⃗ . 𝑑𝐴⃗ = ∑ ( ) ∆𝑉𝑗 ∆𝑉𝑗 𝑗

Ao armos ao limite de ∆𝑉𝑗 → 0, a quantidade entre os parênteses é o próprio divergente de 𝐺⃗ e a somatória, por definição, é a integral de volume. Assim

∮ 𝐺⃗ . 𝑑𝐴⃗ = ∫(div𝐺⃗ )𝑑𝑉 2. O divergente em coordenadas cartesianas



Seja um vetor G , expresso em termos das coordenadas cartesianas :

⃗⃗⃗⃗ 𝐺⃗ = 𝐺𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑖⃗⃗ + 𝐺𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑗⃗⃗ + 𝐺𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑘 Seja

também um volume V constituído por uma

caixa retangular de lados x, y e z. Vamos calcular o fluxo através desta caixa:  



  G.dA , dividi-lo pelo volume V

e fazer o limite V  0. Note que  pode ser calculado somando-se os fluxos através de cada face da caixa. No entanto, como estamos supondo que a caixa tem dimensões pequenas é razoável supor que, em cada face, o campo é aproximadamente constante e igual ao valor calculado em seu centro. Assim, o valor do fluxo para cada





face i, será :  i  G i  A i . Podemos ver na figura que os



vetores A em cada face são:

  A1  x z j   A3  x z j   A5  x y k

  A2  y z i   A 4  y z i   A 6  x y k

6





O fluxo na face 1 deverá ser então 1  G(1)  A1  Gy (1)xz . Note que Gy(1) é a componente y do campo no centro da face 1. Qual é a relação entre Gy(1) e a componente y do campo no centro da caixa Gy(x,y,z) ? Escrevendo Gy(1) como:

G y (1)  G y (x, y 

y , z) 2

obtemos do cálculo diferencial: Gy (x, y, z)  Gy (x, y  onde 1  1 ( x, y, z)

Logo: 1  (Gy 

Gy y y , z)   1y 2 y 2

lim 1  0

e

x 0 y0 z0

Gy y  1y)xy y 2

onde Gy  Gy (x, y, z)

Escrevendo Gx  Gx (x, y, z) e Gz  Gz (x, y, z) , chegamos ao fluxo das demais faces da caixa:

 2  G x (2)yz  (G x 

G x x   2 x )yz x 2

 3  Gy (3)xz  (Gy 

Gy y  1y)xz y 2

 4  G x (4)yz  (G x   5  G z (5)xy  (G z 

G x x   2 x )yz x 2

G z z   3 z)xy z 2

 6  G z (6)xy  (G z 

G z z   3 z)xy z 2

O fluxo através da caixa será portanto:

G y G z  G    2 (1   2   3 ) x y z  i =  x  y z  x  i 1 6

 



Como V = x y z e



 , então: V  0 V

div G  lim

𝑑𝑖𝑣𝐺⃗ =

𝜕𝐺𝑥 𝜕𝐺𝑦 𝜕𝐺𝑧 + + 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

Se introduzimos o operador vetorial diferencial nabla

⃗⃗= ∇

𝜕 𝜕 𝜕 𝑖⃗⃗ + 𝑗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗ 𝑘 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

teremos:

7

⃗⃗. 𝐺⃗ = 𝑑𝑖𝑣𝐺⃗ = ∇

𝜕𝐺𝑥 𝜕𝐺𝑦 𝜕𝐺𝑧 + + 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

BIBLIOGRAFIA 1. Purcell E.M., Curso de Física de Berkeley - vol.2, Ed. Edgard Blucher, 1973, São Paulo. 2. Feynmam R., Lectures on Physics - vol. 2, Fondo Educativo Interamericano, 1972, Bogotá 3. Hsu, H.P., Análise vetorial, Livros Técnicos e Científicos, 1972, Rio de Janeiro.

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