Formulario 1m565u
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- Pages: 6
Formulario di Fluidodinamica con definizioni e costanti
1
FORMULARIO -
EQUAZIONE DEL TRASPORTO DI REYNOLDS
dB (t ) / dt = ∫ ( d ( ρb) / dt ) dV + ∫ ρb * (u * n) dS Vo
So
Dove B(t) è la grandezza fisica estensiva e risulta essere uguale a :
∫ρ
B (t ) =
* b ( t ) dV
V (t )
Dove Voè il volume di controllo(regione di osservazione fissa nello spazio) mentreV(t) è il volume materiale(cioè la porzione di materia che seguiamo durante il moto).
- EQUAZIONE MASSICA)
DI
CONSERVAZIONE
DELLA
MASSA(
O
DELLA
PORTATA
Ipotesi: -Flusso stazionario; -Caratteristiche del flusso costanti sulle suo attraverso le quali vi è flusso di massa; _
_
M in = M out
ρin *Uin* Sin = ρout *Uout* Sout Tale formula è ottenuta considerando che per come abbiamo def. il volume materiale la massa non può che conservarsi quindi: d M / d t =0 e quindi applicando Reynolds otteniamo la formula sopra citata
-
EQUAZIONE DI BILANCIO DELLA QUANTITA’ DI MOTO
Ipotesi: -Flusso stazionario; -Caratteristiche del flusso costanti sulle suo attraverso le quali vi è flusso di massa. Questa formula è stata ricavata considerando che per un sistema la derivata fatta rispetto al tempo dalla quantità di moto risulta essere uguale alla risultante delle forze esterne agenti sul sistema cioè: d Q / d t = F_ e poi applicando sempre il teorema di Reynolds. n
F = ∑((ρi *Ui * (Ui * ni) + Pr*ni) * Si) − ρgV i =1
Formulario di Fluidodinamica con definizioni e costanti
2
Dove « i « sono le superfici attraverso le quali vi è flusso di massa e F_ è la risultante delle forze (è in vettore quindi avrà due componenti essendo l’espressione precedente una relazione vettoriale e quindi andrà proiettata sugli assi) che devo applicare per tener fermo il condotto.
-
EQUAZIONE DI CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA PER I SISTEMI CHIUSI
Ipotesi: -Flusso stazionario; -M costante; -Potenza termica e meccanica costanti nel tempo; -sistema caratterizzato da un unico valore delle sue grandezze all’interno del volume di controllo(cioè la grandezza può variare nel tempo ma non varia da punto a punto).
2
−
2
−
m*[u / 2+ gz+e)Tfin−(u / 2+ gz+e)Tiniz] =(L+Q)*∆t _
_
Dove L e Q sono la potenza meccanica e termica.
etfin-et iniz=Cv *( Ttfin-Ttiniz) Infatti come sappiamo l’energia interna dipende solo dalla temperatura(per le sostanze incomprimibili e per i gas perfetti) e non dal tipi di trasf. Effettuata; quindi se io considero ue trasf. Per le quali si ha la stesa variazione di temperatura la variazione di energia interna sarà uguale.QUINDI LA VARIAZIONE DI ENERGIA INTERNA IN UNA QUALSIASI TRASF. SARA’ UGUALE ALLA VARIZIONE DI ENERGIA INTERNA IN UNA TRASF. ISOCORA NELLA QUALE APPUNTO etfin-et iniz=Cv *( Ttfin-Ttiniz).
-
EQUAZIONE DI CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA PER I SISTEMI APERTI
Ipotesi: -Flusso stazionario; -una sola sup di ingrasso e una sola suo di uscita ; -sistema caratterizzato da un unico valore delle sue grandezze sulle sup attraverso le quali vi è flusso di massa(cioè la grandezza può variare nel tempo ma non varia da punto a punto sulle sup.).
_
2
−
2
−
m*[u / 2+gz+e+P/ ρ)Sout−(u /2+gz+e+P/ ρ)Sin] =Lm+Q _
_
L m è il lavoro meccanico depurato del termine di pressione ed m è la portata massica.
Formulario di Fluidodinamica con definizioni e costanti
3
Tale relazione dev’essere verificata come per l’eq, di conservazione della massa in ogni istante fra ingresso e uscita. L’eq. di conservazione dell’energia per i sistemi aperti può anche essere scritta in altro modo; infatti l’espressione fra parentesi quadre è un bilancio di energia fra ingesso e uscita ESPRESSO PER UNITA’ DI MASSA. Allora il volume specifico v =V/m =1/ ρ ; di conseguenza P/ ρ =P* v Ricordandoci che l’entalpia( che corrisponde al calore scambiato in una trasf. Isobara) per unità di massa è def come : h=P *v +e e allora P / ρ +e=h e quindi la formula precedente puo essere riscritta utilizzando l’entalpia h :
h= P *v + e = * ∆ T
_
2
2
−
−
m*[u / 2 + gz+ h)Sout − (u / 2 + gz+ h)Sin] = Lm+ Q -
EQUAZIONE DI BERNOULLI
Ipotesi: -Flusso stazionario; -Forze di volume conservative; -forze viscose trascurabili; -densità ρ=cost
u 2 / 2 + gz + P / ρ = cos t -
LEGGE DI STEVINO
La pressione varia solo con la quota se il fluido è fermo e allora se mi muovo all’interno dello stesso fluido , punti aventi la stessa quota devono avere la stessa pressione ( cioè le suo. Isopressione sono sup. isolivello) :
P(y)= Po + ρ * g * h L’eq di Bernoulli si applica fra due punti che si trovano sulla stessa linea di corrente ed è una sorta di legge di conservazione dell’energia ristretta ai soli temini meccanici(manca infatti l’energia interna per unità di massa“e”)
-
LEGGE DI STATO DEI GAS PERFETTI P * V = m* R* T
Oppure :
P*V = n * ℜ * T
Formulario di Fluidodinamica con definizioni e costanti
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Dove R è la costante del gas ( ad esempio per l’aria R= 287 J/ (Kg *K )) mentre ℜ è la costante universale del gas e vale ℜ =8314 J/ (Kmole *K ). Su dimostra che la costante di un gas si calcola facendo il rapporto fra la costante universale e la massa molare del gas ( massa in Kg di una quantità di materia pari ad una Kmole)che per l’aria vale M=28,97 Kg/Kmole
R= ℜ / M= 8314 J/ (Kmole * K ) = 287 J /( Kg * K ) 28,97 Kg/Kmole Un’altra formulazione della legge di stato dei gas perfetti è:
P/ ρ = R* T Ricordiamo inoltre che l’aria è un gas biatomico quindi :
Cv= 5\2 R -
TRASFORMAZIONE ISOTERMA(T=COST) P * V= COST P/ p = COST
-
TRASFORMAZIONE ADIABATICA
Contiene in se tutte e tre le trasf e infatti per k= 0 otteniamo la trasf. Isobara, per k=1 abbiamo la trasf. Isoterma e per k =infinito otteniamo la trasf isocora):
P * V K = COST Oppure l’altra formula è:
P
ρK
=COST
Oppure:
Tf Ti
=(
Pf Pi
)
k −1 k
COSTANTI DENSITA’ Densità è def come il rapporto fra la massa e il volume della sostanza cioè:
ρ=M/V Aria
Formulario di Fluidodinamica con definizioni e costanti
5
ρ =1,23 Kg / m^3 Acqua
ρ =1000 Kg / m^3 CALORE SPECIFICO: E’ def. come il calore da fornire in una ben precisa trasf. Per avere una variazione unitaria di temperatura espresso per unità di massa ; il calore specifico è quindi una funzione di linea quindi fissato lo stato( caratterizzato per un sistema semplice da due grandezze fisiche intensive e indip.) avremo un valore di calore specifico per ogni trasd. Che si può effettuare partendo da quello stato.
Cs= (d q / d T)trasf. Quelli tabellati sono il calore specifico per una trasf. Isocora e isobara nell’ipotesi che il lavoro scambiato siansolo lavoro di variazione di volume.PER L’ARIA TALE VALORI SONO: ARIA
= 718
J / Kg*K
Cv=1005 J / Kg*K Ricordando sempre che =Cv +R per la relazione di Mayer valida per i gas perfetti. Per i liquidi essendo il modulo di comprimilità elevato ( quindi bisogna applicare delle enormi varizioni di pressione per avere piccole variazioni relative di volume specifico) e allora supporremo che tutte le trasf siamo a volume costante e quindi abbiamo solo il Cs. ACQUA
Cs= 4186,8
J / Kg*K
EQUIVALENTE MECCANICO DELLA CALORIA:
1 Kcal corrisponde al calore da fornire a 1 kg d’acqua per aumentare la sua temperatura di 1C in particolare da 14,5C a 15,5 C.
Essa equivale in Joule a:
1 Kcal= 4186,8 J CAVALLO VAPORE: Def come la potenza sviluppata da un cavallo per sollevare un peso di 75 Kgforza alla velocità di 1 m/sec. Potenza= L/ t = ( F*s)/ t= F* v
1 Cvapore = 735 W
Formulario di Fluidodinamica con definizioni e costanti
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FORMULARIO -
EQUAZIONE DEL TRASPORTO DI REYNOLDS
dB (t ) / dt = ∫ ( d ( ρb) / dt ) dV + ∫ ρb * (u * n) dS Vo
So
Dove B(t) è la grandezza fisica estensiva e risulta essere uguale a :
∫ρ
B (t ) =
* b ( t ) dV
V (t )
Dove Voè il volume di controllo(regione di osservazione fissa nello spazio) mentreV(t) è il volume materiale(cioè la porzione di materia che seguiamo durante il moto).
- EQUAZIONE MASSICA)
DI
CONSERVAZIONE
DELLA
MASSA(
O
DELLA
PORTATA
Ipotesi: -Flusso stazionario; -Caratteristiche del flusso costanti sulle suo attraverso le quali vi è flusso di massa; _
_
M in = M out
ρin *Uin* Sin = ρout *Uout* Sout Tale formula è ottenuta considerando che per come abbiamo def. il volume materiale la massa non può che conservarsi quindi: d M / d t =0 e quindi applicando Reynolds otteniamo la formula sopra citata
-
EQUAZIONE DI BILANCIO DELLA QUANTITA’ DI MOTO
Ipotesi: -Flusso stazionario; -Caratteristiche del flusso costanti sulle suo attraverso le quali vi è flusso di massa. Questa formula è stata ricavata considerando che per un sistema la derivata fatta rispetto al tempo dalla quantità di moto risulta essere uguale alla risultante delle forze esterne agenti sul sistema cioè: d Q / d t = F_ e poi applicando sempre il teorema di Reynolds. n
F = ∑((ρi *Ui * (Ui * ni) + Pr*ni) * Si) − ρgV i =1
Formulario di Fluidodinamica con definizioni e costanti
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Dove « i « sono le superfici attraverso le quali vi è flusso di massa e F_ è la risultante delle forze (è in vettore quindi avrà due componenti essendo l’espressione precedente una relazione vettoriale e quindi andrà proiettata sugli assi) che devo applicare per tener fermo il condotto.
-
EQUAZIONE DI CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA PER I SISTEMI CHIUSI
Ipotesi: -Flusso stazionario; -M costante; -Potenza termica e meccanica costanti nel tempo; -sistema caratterizzato da un unico valore delle sue grandezze all’interno del volume di controllo(cioè la grandezza può variare nel tempo ma non varia da punto a punto).
2
−
2
−
m*[u / 2+ gz+e)Tfin−(u / 2+ gz+e)Tiniz] =(L+Q)*∆t _
_
Dove L e Q sono la potenza meccanica e termica.
etfin-et iniz=Cv *( Ttfin-Ttiniz) Infatti come sappiamo l’energia interna dipende solo dalla temperatura(per le sostanze incomprimibili e per i gas perfetti) e non dal tipi di trasf. Effettuata; quindi se io considero ue trasf. Per le quali si ha la stesa variazione di temperatura la variazione di energia interna sarà uguale.QUINDI LA VARIAZIONE DI ENERGIA INTERNA IN UNA QUALSIASI TRASF. SARA’ UGUALE ALLA VARIZIONE DI ENERGIA INTERNA IN UNA TRASF. ISOCORA NELLA QUALE APPUNTO etfin-et iniz=Cv *( Ttfin-Ttiniz).
-
EQUAZIONE DI CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA PER I SISTEMI APERTI
Ipotesi: -Flusso stazionario; -una sola sup di ingrasso e una sola suo di uscita ; -sistema caratterizzato da un unico valore delle sue grandezze sulle sup attraverso le quali vi è flusso di massa(cioè la grandezza può variare nel tempo ma non varia da punto a punto sulle sup.).
_
2
−
2
−
m*[u / 2+gz+e+P/ ρ)Sout−(u /2+gz+e+P/ ρ)Sin] =Lm+Q _
_
L m è il lavoro meccanico depurato del termine di pressione ed m è la portata massica.
Formulario di Fluidodinamica con definizioni e costanti
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Tale relazione dev’essere verificata come per l’eq, di conservazione della massa in ogni istante fra ingresso e uscita. L’eq. di conservazione dell’energia per i sistemi aperti può anche essere scritta in altro modo; infatti l’espressione fra parentesi quadre è un bilancio di energia fra ingesso e uscita ESPRESSO PER UNITA’ DI MASSA. Allora il volume specifico v =V/m =1/ ρ ; di conseguenza P/ ρ =P* v Ricordandoci che l’entalpia( che corrisponde al calore scambiato in una trasf. Isobara) per unità di massa è def come : h=P *v +e e allora P / ρ +e=h e quindi la formula precedente puo essere riscritta utilizzando l’entalpia h :
h= P *v + e = * ∆ T
_
2
2
−
−
m*[u / 2 + gz+ h)Sout − (u / 2 + gz+ h)Sin] = Lm+ Q -
EQUAZIONE DI BERNOULLI
Ipotesi: -Flusso stazionario; -Forze di volume conservative; -forze viscose trascurabili; -densità ρ=cost
u 2 / 2 + gz + P / ρ = cos t -
LEGGE DI STEVINO
La pressione varia solo con la quota se il fluido è fermo e allora se mi muovo all’interno dello stesso fluido , punti aventi la stessa quota devono avere la stessa pressione ( cioè le suo. Isopressione sono sup. isolivello) :
P(y)= Po + ρ * g * h L’eq di Bernoulli si applica fra due punti che si trovano sulla stessa linea di corrente ed è una sorta di legge di conservazione dell’energia ristretta ai soli temini meccanici(manca infatti l’energia interna per unità di massa“e”)
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LEGGE DI STATO DEI GAS PERFETTI P * V = m* R* T
Oppure :
P*V = n * ℜ * T
Formulario di Fluidodinamica con definizioni e costanti
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Dove R è la costante del gas ( ad esempio per l’aria R= 287 J/ (Kg *K )) mentre ℜ è la costante universale del gas e vale ℜ =8314 J/ (Kmole *K ). Su dimostra che la costante di un gas si calcola facendo il rapporto fra la costante universale e la massa molare del gas ( massa in Kg di una quantità di materia pari ad una Kmole)che per l’aria vale M=28,97 Kg/Kmole
R= ℜ / M= 8314 J/ (Kmole * K ) = 287 J /( Kg * K ) 28,97 Kg/Kmole Un’altra formulazione della legge di stato dei gas perfetti è:
P/ ρ = R* T Ricordiamo inoltre che l’aria è un gas biatomico quindi :
Cv= 5\2 R -
TRASFORMAZIONE ISOTERMA(T=COST) P * V= COST P/ p = COST
-
TRASFORMAZIONE ADIABATICA
Contiene in se tutte e tre le trasf e infatti per k= 0 otteniamo la trasf. Isobara, per k=1 abbiamo la trasf. Isoterma e per k =infinito otteniamo la trasf isocora):
P * V K = COST Oppure l’altra formula è:
P
ρK
=COST
Oppure:
Tf Ti
=(
Pf Pi
)
k −1 k
COSTANTI DENSITA’ Densità è def come il rapporto fra la massa e il volume della sostanza cioè:
ρ=M/V Aria
Formulario di Fluidodinamica con definizioni e costanti
5
ρ =1,23 Kg / m^3 Acqua
ρ =1000 Kg / m^3 CALORE SPECIFICO: E’ def. come il calore da fornire in una ben precisa trasf. Per avere una variazione unitaria di temperatura espresso per unità di massa ; il calore specifico è quindi una funzione di linea quindi fissato lo stato( caratterizzato per un sistema semplice da due grandezze fisiche intensive e indip.) avremo un valore di calore specifico per ogni trasd. Che si può effettuare partendo da quello stato.
Cs= (d q / d T)trasf. Quelli tabellati sono il calore specifico per una trasf. Isocora e isobara nell’ipotesi che il lavoro scambiato siansolo lavoro di variazione di volume.PER L’ARIA TALE VALORI SONO: ARIA
= 718
J / Kg*K
Cv=1005 J / Kg*K Ricordando sempre che =Cv +R per la relazione di Mayer valida per i gas perfetti. Per i liquidi essendo il modulo di comprimilità elevato ( quindi bisogna applicare delle enormi varizioni di pressione per avere piccole variazioni relative di volume specifico) e allora supporremo che tutte le trasf siamo a volume costante e quindi abbiamo solo il Cs. ACQUA
Cs= 4186,8
J / Kg*K
EQUIVALENTE MECCANICO DELLA CALORIA:
1 Kcal corrisponde al calore da fornire a 1 kg d’acqua per aumentare la sua temperatura di 1C in particolare da 14,5C a 15,5 C.
Essa equivale in Joule a:
1 Kcal= 4186,8 J CAVALLO VAPORE: Def come la potenza sviluppata da un cavallo per sollevare un peso di 75 Kgforza alla velocità di 1 m/sec. Potenza= L/ t = ( F*s)/ t= F* v
1 Cvapore = 735 W
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