Fuerzas Hidrostaticas Sobre Una Superficie Curva 1p5y6u

FACULTAD DE INGENIERÍA, ARQUITECTURA Y URBANISMO ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL TRABAJO: FUERZAS HIDROSTÁTICAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS

INTEGRANTES: 1.

FUSTAMANTE, TAPIA YEYSON

2.

GOMEZ TEJADA, KEYKO

3.

MONDRAGON HUIMAN, YELTSIN DANIEL

4.

NUÑEZ TORRES, ROYMER DANIEL

5.

PEREZ RAMOS, JHON AMBERLY

6.

SANTISTEBAN GONZALES, ARTURO

7.

TARRILLO PÉREZ, LADY MARGOTH

DOCENTE: Mg. Tc. Ing. LOAYZA RIVAS CARLOS ADOLFO

CURSO: MECÁNICA DE FLUIDOS I

Pimentel, 16 de mayo de 2016

MECANICA DE FLUIDOS I FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE UNA SUPERFICIE CURVA

1

INTRODUCCION

En el siguiente capítulo sobre las FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE UNA SUPERFICIE CURVA donde aprenderemos a calcular la fuerza resultante, magnitud, dirección, que ejerce un líquido sobre una superficie curva. Este trabajo se basa en los conceptos básicos de superficies sumergidas aplicando que los fluidos no pueden aplicar fuerzas, tampoco las pueden recibir, solo es posible aplicar o recibir fuerza de un fluido si se aplica sobre una superficie. En otras palabras, las fuerzas que interactúan sobre fluidos están asociadas a superficies, entonces se define una nueva magnitud, la presión.

MG. ING.CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS

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GRUPO N° 04 – (USS)


2

JUSTIFICACION El presente trabajo nos ayudara a descubrir los principios que gobiernan la generación de fuerzas resultantes por la acción de los fluidos sobre superficies curvas. Es de vital importancia en el estudio de la estática de fluidos, ya que estudia las condiciones de equilibrio de los fluidos en reposo, y cuando se trata sólo de líquidos, se denomina hidrostática. Desde el punto de vista de la ingeniería Civil es más importante el estudio de los líquidos en reposo que de los gases, por lo cual aquí se hará mayor hincapié en los líquidos y, en particular, en el agua. Dentro de este tema a sustentar plasmaremos lo relacionado con las fuerzas de presión sobre superficies planas. Esperando así cumplir con las expectativas de nuestro docente, y lograr contribuir al incremento en nuestro saber científico.


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3

ÍNDICE INTRODUCCIÓN .............................................................................................................................................................. 1 JUSTIFICACIÓN ................................................................................................................................................................ 2 FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE UNA SUPERFICIE CURVA ................................................................... 5 FUERZA HIDROSTÁTICA SOBRE UNA SUPERFICIE PLANA ........................................................... 5 COMPONENTE HORIZONTAL ....................................................................................................................... 7 COMPONENTE VERTICAL .............................................................................................................................. 7 DETERMINACION DEL CENTRO DE PRESIONES ............................................................................... 9 COMPONENTES DE LA FUERZA HIDROSTATICA DE UNA SUPERICIE INCLINADA ....................... 12 TABLA PARA CALCULAR CENTROIDES ............................................................................................................ 14 FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS ...................................................................... 15 COMPONENTE HORIZONTAL ............................................................................................................................. 16 FUERZA HORIZONTAL ................................................................................................................................ 17 COMPONENTE VERTICAL .................................................................................................................................... 19 FUERZA VERTICAL ....................................................................................................................................... 20 FUERZAS DEBIDO A LA PRESIÓN DE LÍQUIDOS SOBRE SUPERFICIES CURVAS ............................. 21 PROBLEMAS DE APLICACIÓN ............................................................................................................................... 22 PROBLEMAS N° 1........................................................................................................................................................ 24 PROBLEMAS N° 2........................................................................................................................................................ 26 PROBLEMAS N° 3........................................................................................................................................................ 29 PROBLEMAS N° 4........................................................................................................................................................ 32 BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................................................................. 37


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4

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL:  Determinar la fuerza de presión ejercida en superficies curvas en o con un fluido. OBJETIVOS ESPECÍFICOS:  Analizar la distribución de fuerzas actuantes sobre una superficie curva sumergida.  Calcular las componentes horizontales y verticales de la fuerza de presión sobre superficies curvas.  Calcular la fuerza resultante total sobre una superficie curva.


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5

FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE UNA SUPERFICIE CURVA Para conocer y determinar las fuerzas hidrostaticas sobre superficie curvas nos apoyaremos en las definiciones y conceptos de las fuerzas hidrostaticas sobre supericies planas.

FUERZA HIDROSTÁTICA SOBRE UNA SUPERFICIE PLANA Consideremos el caso general en que el plano donde se encuentra la superficie plana sumergida “A” forme un ángulo “α” con el plano piezométrico.


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6

Determinación de la Fuerza (F) -

La fuerza elemental dF debida a la presión sobre el elemento dA es:

p  h

dF  p.dA ;

Pero

dF  hdA ;

Además:

Luego:

h  ysen

dF  ysendA.................(1)

- Siendo paralelas todas las fuerzas dF (ya que son normales a cada dA), la fuerza resultante F, debida a la presión será: F   dF , sustituyendo (1)

 F   ysendA

F  sen  ydA.......... .....( 2) Por definición de centro de gravedad: Dónde:

 ydA  Y

G

A ………….. (3).

 ydA  momento del área con respecto al eje X YG  Ordenada del centro de gravedad A  Área total de la superficie plana sumergida

(3) en (2):

F  senYG A …………. (4); pero YG sen  hG

 F  hG A................( ) Es decir: “La fuerza hidrostática sobre una superficie plana sumergida, es igual a la presión relativa al centro de gravedad, multiplicada por el área”.


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7

COMPONENTES DE LA FUERZA: El objetivo es determinar la 𝐹𝐻 𝑦 𝐹𝑉 ejercidas sobre el fluido y su 𝐹𝑅 ; 𝑙𝑎 𝐹𝑅 actúa a través del centro de curvatura. Para poder visualizar el sistema de fuerza total debemos aislar el volumen del flujo, a manera de cuerpo libre, y mostrar todas la fuerzas que actúan sobre el cómo apreciamos en la figura COMPONENTE HORIZONTAL (FH): La pared vertical solida ejerce fuerzas horizontales sobre el fluido en o con ella, como reacción a las fuerzas ocasionadas por la presión del fluido. Esta parte del sistema se comporta de la misma forma que las paredes verticales estudiadas con anterioridad. ¿Cómo actúan las fuerzas? F1 : Es la fuerza resultante sobre la parte vertical izquierda y se analiza similar que las paredes verticales medida hasta una profundidad h. F2a : Es la fuerza resultante sobre la pared vertical derecha y se analiza similar que las paredes verticales medidas hasta una profundidad h. F2b : Es la fuerza que actúa sobre la parte derecha, en el área proyectada por la superficie curva en el plano vertical. La magnitud de F2b se encuentra bajo el mismo procedimiento desarrollado para superficies planas. F2b = γhc A = Ph hc , representa la profundidad hasta el centroide del área proyectada. hc = h + s/2 Entonces: F2b = Fh = γsw(h + s⁄2)


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8

Según las relaciones vistas F2b es el centro de presión del área proyectada: hp − hc =

Ic hc A

Para un rectángulo el área proyectada es: ws 3 Ic = 12 El área viene dada por: w s3 s2 hp − hc = = 12(hc )(sw) 12hc

COMPONENTE VERTICAL (Fv) Hacia abajo sólo actúa el peso del fluido Hacia arriba sólo la componente vertical Fv. 𝐹v = Wfluido , donde W = γf . Vf  𝑊 = 𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜  𝑉 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑓l𝑢𝑖𝑑𝑜 Donde el volumen es el producto del área de la sección transversal del volumen por la longitud o ancho de interés(w) 𝑭𝒗 = 𝜸 (𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏) = 𝜸𝑨w Actúa en la línea del centroide del volumen

FUERZA RESULTANTE (FR) Esta viene a ser la suma de los cuadrados de sus componentes. 𝐹𝑅 = √𝐹ℎ 2 + 𝐹𝑣 2


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La fuerza resultante actúa en un ángulo 𝜙 en relación con la horizontal en dirección tal que su línea de acción pasa por el centro de curvatura dela superficie. 𝐹𝑉 𝜙 = tan−1 ( ) 𝐹𝐻 DETERMINACIÓN DEL CENTRO DE PRESIONES -

La línea de acción de la fuerza resultante “F” corta a la superficie en un punto que se llama centro de presiones, que no coincide en general con el centro de gravedad (sólo en las superficies horizontales coinciden, porque Yg=Yp)

-

Para determinar las coordenadas del centro de presiones (Xp, Yp); se utiliza el teorema de los momentos (Teorema de Varignon): “El momento de la resultante es igual a la suma de los momentos de las componentes” 1. Cálculo de Yp Aplicando el teorema de los momentos respecto al eje “X”, se tiene: MR   dF  y ;

Pero

MR  F  y p . Donde:

M R  Momento de la resultante

 dF  y  Momento de las componentes  F  y p   y  dF.......... ......( 5)

De (1) dF  ysendA (1) y (4) en (5): (senyG A) y p   y (ysendA)

Yp


y 

2

dA

yG A

--



Dónde:

y

2

10

dA  I x  momento de inercia de la superficie “A”, respecto al eje “x”.

 En (6): Y p 

Ix .....................(7) yG .A

Pero es muy usual trabajar con los momentos de inercia respecto a los ejes centroidales, paralelos a los ejes “x” e “y”. Para ello aplicamos el teorema de Steiner Respecto al eje x : I x  I x  AYG2 .....................(8)

(8) en (7):

I x  AYG2 Yp  YG A AYG2 Ix Yp   YG A YG A

Yp 

Ix  YG YG A

Y p  YG 

Ix ......( ) YG A

Donde:

Ix 0 YG A

Es decir: El centro de presiones está debajo del centro de gravedad, excepto en las superficies horizontales que coinciden (Y p  YG )


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11

2. Cálculo de Xp Ahora aplicamos el teorema de los momentos respecto al eje Y: MR   dF  x ; Pero MR  F  X p

 F  X p   x  dF(9)

(1) y (4) en (9): (senYG A) X p   x(ysendA)

Xp 

 xydA(10) YG A

 xydA  I

Donde:

xy

Producto de inercia de la superficie “A”, respecto a los ejes “x” e “y”.

 en (10): X p 

I xy YG A

(11) .

Aplicando Steiner respecto a los ejes centroidales x e y , se tiene: I xy  I xy  X G YG A (12)

(12) en (11): X p 


I xy  X G YG A YG A

Xp 

I xy X G YG A  YG A YG A

Xp 

I xy  XG YG A

--



X p  XG 

12

I xy ( ) YG A

El valor I xy puede ser positivo o negativo de modo que el “” puede encontrarse a uno u otro lado de G. Basta que la superficie plana inclinada tenga un eje de simetría para que

I xy   , en cuyo caso: X p  XG

Comentario: Por lo general las situaciones de interés se relacionan con superficies planas que tienen uno o dos ejes de simetría, de modo que sólo se trata de determinar el valor de “Yp”.

COMPONENTES DE LA FUERZA HIDROSTÁTICA DE UNA SUPERFICIE PLANA INCLINADA:


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13

Fh  Fsen

Fh  hGSsen Fh  h G S v FH  pG Sv

FV  F cos 

FV  hGS cos 

FV  hGSh FV  p GSh Siendo:

FV  hGSh

Luego:


FV  

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14

“Para calcular las componentes de la resultante total de las presiones, sobre una superficie inclinada, se toman superficies imaginarias, que resultan de las proyecciones de dicha superficie sobre planos perpendiculares a dichas componentes”.


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15

TABLA PARA CALCULAR CENTROIDES.


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16

FUERZAS HIDROSTÁTICAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS FUERZAS DE PRESIÓN SOBRE SUPERFICIES CURVAS La Resultante total de las fuerzas de presión que obran sobre una superficie curva, está formada por la suma de los elementos diferenciales de fuerza (dF=pdA) normales a la superficie. La magnitud y posición de la Resultante de estas fuerzas elementales, no puede determinarse fácilmente por los métodos usados para superficies planas. Sin embargo, se pueden determinar con facilidad las componentes horizontal y vertical de la Resultante para luego combinarlas vectorialmente. Considérense las fuerzas que obran sobre el prisma de líquido ilustrado en la fig.(A), limitado por la superficie libre a-o, por la superficie vertical plana o-b, y por la superficie curva a-b. El peso de este volumen es una fuerza “w” vertical hacia abajo, y actuando de derecha a izquierda, sobre o-b está la fuerza horizontal P h  h G A v , en donde “Av” es el área de la superficie plana vertical imaginaria, uno de cuyos bordes es ob. Estas fuerzas se mantienen en equilibrio por fuerzas iguales y opuestas de reacción de la superficie curva a-b. Se deduce en consecuencia, que la componente horizontal de la Resultante total de las presiones sobre una superficie curva es igual, y está aplicada en el mismo punto, que la fuerza que actúa sobre la superficie plana vertical formada al proyectar en dirección horizontal la superficie curva. Por otra parte, la componente vertical de dicha Resultante total sobre la superficie curva es igual al peso del líquido que se encuentra encima de ésta, y está aplicada en el centro de la gravedad del volumen líquido. Un razonamiento semejante demostrará que cuando el líquido se encuentra debajo de la superficie curva, la componente vertical es igual al peso del volumen imaginario del líquido que se encontraría encima de la superficie y está aplicada hacia arriba pasando por su centro de gravedad.


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17

Por ejemplo la componente vertical de la Resultante total de presiones, ejercida sobre la componente radial o de abanico de la fig. (B), es igual al peso del volumen representado por LNM y actúa hacia arriba pasando por “G” como se indica.

CASO DE SUPERFICIE CON CURVATURA EN DOS DIMENSIONES En algunos casos, el cálculo de las fuerzas totales que actúan sobre superficies irregulares se hace muy complejo, por lo que analizamos las componentes horizontal y vertical de éstas fuerzas. Para efectos de nuestras deducciones consideremos la superficie curva de la figura, la que soporta una presión debida al líquido y en la que representamos las componentes de la fuerza total aplicada en ella.


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18

A) COMPONENTE HORIZONTAL Se calcula de la misma manera que para el caso de superficies planas, pero utilizando el área proyectada, y es aplicada en el centro de gravedad.

Integrando tenemos:

Donde hG viene a ser la distancia de la superficie al centro de gravedad de la superficie plana proyectada.


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 FUERZA HORIZONTAL La fuerza horizontal sobre cada una de las superficies planas verticales ya fue determinada.

Independientemente si la superficie es curva o plana, la fuerza horizontal es igual a la fuerza de presión que actúa sobre la proyección de la superficie curva sobre un plano vertical, perpendicular a la dirección de la fuerza. Esta fuerza puede calcularse mediante el prisma de presiones o usando 𝐹 = 𝑃𝐶𝐺 𝑥 𝐴


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20

PUNTO DE APLICACIÓN DE LA FUERZA HORIZONTAL:

B) COMPONENTE VERTICAL Es igual al peso del fluido Real o Imaginario ubicado por encima de la superficie curva.


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 FUERZA VERTICAL La fuerza vertical sobre cada una de las superficies planas horizontales es igual al peso del líquido sobre ella. Si hacemos que el ancho de las superficies planas sea muy pequeño, podemos llegar a tener la superficie curva y la fuerza vertical termina siendo igual al peso del líquido entre la superficie sólida y la superficie libre del líquido:

Donde VOL viene a ser el volumen del fluido por encima de la superficie curva, hasta la superficie del fluido.


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La línea de acción de la fuerza vertical pasa por el Centro de Gravedad del Volumen considerado. FUERZAS DEBIDO A LA PRESIÓN DE LÍQUIDOS SOBRE SUPERFICIES CURVAS: ¿Cuál es la fuerza sobre una superficie curva si el líquido está por debajo? La situación es la misma que para el caso de superficies planas. La fuerza vertical es igual al peso del fluido que existiría entre la superficie curva y la horizontal definida por la superficie del líquido.


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PLOBLEMAS DE APLICACIÓN PROBLEMA N° 01 Calcule las magnitudes de las componentes horizontales y verticales de la fuerza que el fluido ejerce sobre la compuerta, luego calcule la fuerza resultante así como su dirección. La superficie de cilíndrica con la una longitud de 1.5 m.

Cálculo de la componente vertical. 𝑓𝑣 = 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑒𝑟𝑔𝑖𝑑𝑎 𝑓𝑣 = 𝑔. 𝜌ℎ2 𝑜. 𝑣𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑑𝑜 𝑣 = (𝐴1 + 𝐴2 )𝑏 𝑣 = (ℎ1 𝑅 + 𝜋

𝑅2 )𝑏 4

1,202 𝑣 = (2,80𝑥1,20 + ) 1,50 4 𝑣 = 6,74 𝑚3 𝑓𝑣 = 9,8𝑥1000𝑥6,74 𝑓𝑣 = 66.052 𝐾𝑁


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24

Cálculo de la componente horizontal.

𝑓𝐻= 𝑝𝑐𝑔 . 𝐴𝑝 𝑝𝑐𝑔 = 𝜌𝐻2 𝑂. ℎ𝑐𝑝 𝑝𝑐𝑔 = 100𝑥9,8𝑥3.4 𝑝𝑐𝑔 = 33. .320 𝑓𝐻= 33.32𝑥1,5𝑥1,2 𝑓𝐻= 59,976 𝐾𝑁 Fuerza resultante.

𝐹𝑅 = √𝐹𝑉 2 + 𝐹𝐻 2 𝐹𝑅 = √66.0522 + 59,9762 𝐹𝑅 = 7960 𝐾𝑁


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25

PROBLEMA 2 La figura que se muestra, ilustra una sección de un depósito de agua de 6 mts. de longitud. La pared abc del depósito está articulado en “c” y es soportado en “a” por un tirante. El segmento bc de la pared es un cuadrante de circunferencia de 1.20 m de radio. a) Determinar la fuerza “T” que ejerce el tirante b) Determinar la Resultante total de presiones que obra sobre la compuerta c) Determinar la Fuerza Resultante sobre la articulación, c, despreciando el peso de la pared.

Solución: a) Determinar la fuerza “T” que ejerce el tirante

Ph  hG A  (1000 Kg 3 )(0.60m)( 6.00x1.20m 2 )  4320Kg m

Ph  4320Kg 1 La posición de “P” está a ( x1.20m)  0.40m arriba de “C” 3

ó


hP  0.80m

--



Pv  W  6m

26

r 2 Kg   6m(1.20m) 2 1000 3  6785Kg 4 m

Pv  6785Kg “Pv” esta aplicada en el centro de gravedad del cuadrante del círculo, el cual se encuentra a:

4r 4(1.20m)   0.51m , a la izquierda de “oc” 3 3

x p  0.51m Para calcular “T”, se halla tomado momentos respecto a la articulación “c” como sigue:

1.50T  W(0.51m)  Ph (0.40m)   Reemplazando valores:

T  3458 Kg b) Determinar la resultante total de presiones que obra sobre la compuerta. P  (4320) 2  (6785) 2  8043Kg

P  8043Kg La dirección, sentido y la posición de “P” se halla componiendo vectorialmente Pv y Ph en su intersección. Como todos los componentes elementales de “P” son normales a la superficie de la compuerta y pasan, por consiguiente, por el punto “o”, se concluye que “P” pasará también por “o”.


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27

c) Determinar la Fuerza Resultante sobre la articulación, despreciando el peso de la pared.

F

-)

H

   T  Ph  Rh  

Rh  T  Ph

Rh  (3458  4320)kg Rh  862kg

Rh  862kg 

F

-)

V

   R V  PV  

R V  PV RV  6785kg Luego, la Fuerza Resultante sobre la articulación, es: R  (862)2  (6785)2  6839Kg

R = 6839 Kg.


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28

PROBLEMA N°03 Calcular la magnitud de la fuerza resultante que el fluido ejerce sobre la superficie curva; el diámetro de la superficie curva es de 36 pulgadas, y la longitud de la gráfica mostrada es de 60 pulgadas.

Solución 1pie= 12pulg

𝜸(𝒉𝟐𝒐) = 𝟔𝟐.

𝟒𝒍𝒃 𝒑𝒊𝒆𝟑

L=60 pulg= 5pies


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29

1era parte

a) Calculando la fuerza horizontal Yc=4.75pies A=5X1.5pie2

𝜸 = 𝑮. 𝑬 𝒙 𝜸(𝒉𝟐𝒐)


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30

𝑭𝑯 = 𝜸 𝐱 𝐘𝐜 𝐱 𝐀 𝑭𝑯 = (𝟒. 𝟕𝟓)𝒙𝟓𝒙(𝟏. 𝟓)𝒙(𝟎. 𝟕𝟗)𝒙(𝟔𝟐. 𝟒) = 𝟏. 𝟕𝟓𝟔𝒌𝒍𝒃. 𝒇 b) Calculando la fuerza vertical

𝑭𝒗 = 𝜸𝒙𝑽 𝑭𝒗 = 𝜸𝒙𝑨𝒙𝑳 𝑭𝒗 = (𝟎. 𝟕𝟗)𝒙(𝟔𝟐. 𝟒)𝒙𝟒𝒙(𝟏. 𝟓) + (𝟏. 𝟓)𝟐 − (𝟏. 𝟓)𝟐 𝒙𝝅/4 𝑭𝒗 = 𝟏. 𝟓𝟗𝟖𝒌𝒍𝒊𝒃.f 2da parte

a) Calculando la fuerza horizontal 𝑭𝑯 = 𝜸 𝐱 𝐘𝐜 𝐱 𝐀 𝑭𝑯 = (𝟎. 𝟕𝟗)𝒙(𝟔𝟐. 𝟒)𝒙(𝟔. 𝟐𝟓)𝒙𝟓𝒙(𝟏. 𝟓) = 𝟐. 𝟑𝟏𝒌𝒍𝒃. 𝒇 b) Calculando la fuerza vertical

𝑭𝒗 = 𝜸𝒙𝑽 𝑭𝒗 = 𝜸𝒙𝑨𝒙𝑳 𝑭𝒗 = (𝟎. 𝟕𝟗)𝒙(𝟔𝟐. 𝟒)𝒙((𝟓. 𝟓)𝒙(𝟏. 𝟓) + (𝟏. 𝟓𝟐 𝒙𝝅/4)) x5 𝑭𝒗 = 𝟐. 𝟒𝟔𝟗𝒌𝒍𝒊𝒃. 𝒇


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Hallando la fuerza resultante

𝑭𝑯 = 𝟏. 𝟕𝟓𝟔𝒌𝒍𝒃. 𝒇 + 𝟐. 𝟑𝟏𝒌𝒍𝒃. 𝒇 = 𝟒. 𝟎𝟔𝟔𝒌𝒍𝒃𝒇

𝑭𝒗 = 𝟐. 𝟒𝟔𝟗𝒌𝒍𝒊𝒃. 𝒇 − 𝟏. 𝟓𝟗𝟖𝒌𝒍𝒊𝒃. 𝐟 = 𝟖𝟕𝟏𝒌𝒍𝒊𝒃𝒇 𝟐

𝟐

𝑭𝑹 = √(𝟒. 𝟎𝟔𝟔) + (𝟖𝟕𝟏) 𝑭𝑹 =871.01Klib.f

PROBLEMA N° 04 La presa cuya sección se muestra en la figura, está destinada al represamiento de agua, para las condiciones mostradas. Se pide para la superficie curva de un cuarto de cilindro, AB, determinar: a. Las componentes de la fuerza hidrostática y su línea de acción, b. La línea de acción de la fuerza hidrostática resultante, c. El punto de intersección de la fuerza hidrostática con el paramento AB.


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--

32



33

Solución: a) Las componentes de la fuerza hidrostática y su línea de acción



Cálculo de la fuerza hidrostática horizontal por unidad de longitud 𝐹ℎ = 𝛾ℎ𝑔 𝐴 Dónde: γ =1000 kg/m3 ℎ𝑔 = 19 𝑚 A = 10 m2 Reemplazando valores en la expresión anterior, encontramos: 𝐹ℎ = 190 000 𝑘𝑔



Cálculo de la fuerza hidrostática vertical por unidad de longitud 𝐹𝑉 = 𝛾𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐴 Donde: 𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐴 = 𝑉𝐴𝐵𝐸𝐴 + 𝑉𝐵𝐶𝐷𝐸𝐵 𝑉𝐴𝐵𝐸𝐴 = (0.25𝜋𝑟 2 𝑏 + 18 ∗ 2 ∗ 𝑏)𝑚3 Reemplazando valores en la expresión anterior, encontramos: 𝐹𝑉 = 195 705 𝑘𝑔


--





34

Cálculo de la línea de acción de las Componentes de la Fuerza Hidrostática  De la Componente Horizontal(Fh): 𝐼

𝑌𝑃 = 𝑌𝐺 + 𝐴𝑌𝑥

𝐺

YG= 19 m IX =

𝑏ℎ3 12

A = 10 m2 Reemplazando valores en la expresión anterior, encontramos: YP = 19.018 m  De la Componente Vertical(FV): Ubicamos el centroide de los volúmenes de agua ubicados sobre la superficie curva AB, aplicando el teorema de Varigñon, tomando momentos respecto al plano que pasa por DEA, de estos dos pesos de los volúmenes de agua correspondientes, 𝑊1 (𝑟) 𝑊2 (4𝑟) + 3𝜋 𝑋𝑃 = 2 𝑊𝑇 Reemplazando valores en la expresión anterior, encontramos: XP = 0.988 m Por lo tanto, las líneas de acción de las componentes de las fuerzas hidrostáticas son: 

Para la Componente vertical, tomada con respecto al eje “y”, que pasa por la recta DEA: 𝑥 = 0.988𝑚


--





35

Para la componente horizontal, tomada con respecto al eje “x”, que pasa por la recta EB, con origen(o) de la línea coordenada en E:

𝑦 = −1.018𝑚 b) La línea de acción de la fuerza hidrostática resultante(F)

 Como se conoce las magnitudes de FV y FH , obtenemos la pendiente de la línea de acción de la fuerza hidrostática resultante(F), 𝑚=−

𝐹𝑉 𝐹𝐻

𝑚 = −1.03  Determinamos la línea de acción de la fuerza hidrostática(F), como la ecuación de la línea recta, en la cual se conoce, la pendiente y un punto por donde pasa la línea recta, P1(0.988m ; -1.018m): (𝑦 − 𝑦1 ) = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) Reemplazando los valores de: 𝑥1 = 0.988 , 𝑦1 = −1.018 𝑦 𝑚 = −1.03 en la expresión anterior, encontramos: 𝑦 + 1.03𝑥 = 0 La línea de acción de la fuerza (F), pasa por el origen(O).


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36

c) El punto de intersección de la fuerza hidrostática con el paramento AB El punto de intersección es el conjunto solución de las ecuaciones de la recta y circunferencia que a continuación se presentan: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2 … … … … . (1)

𝑦 − 1.03𝑥 = 0 … … … . . (2) Resolviendo simultáneamente las ecuaciones (1) y (2), encontramos el conjunto solución, 𝑥 ± 1.393 ; obteniendo: 𝑃(1.393𝑚; −1.435𝑚), 𝑦 𝑃 ! = (−1.393𝑚; ; 1.435𝑚)

El punto de Intersección de la fuerza hidrostática con el paramento AB será el punto P1, por corresponder a la posición positiva del eje “x” y negativa del eje “y”. BIBLIOGRAFIA:  MECANICA DE FLUIDOS I - ING. CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS.  SOTELO AVILA, Gilberto. Hidráulica General.  MECANICA DE FLUIDOS: ING. FRANK M. WHITE  ESTATICA DE LOS FLUIDOS: ING. OPTACIANO VASQUEZ GARCI


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Fuerzas Hidrostaticas Sobre Una Superficie Curva 1p5y6u

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