Funciones Aplicados A La Ing Civil 45m73

Aplicación e importancia de

las funciones exponenciales, logaritmo, trigonométricas e hiperbólicas y su aplicación

en el DISEÑO DE OBRAS CIVILES

Unos de los conceptos mas importantes en la matemática es el de las funciones , ya que se puede aplicar a numerosas situaciones de la

vida cotidiana , y determinar las relaciones que existen entre

magnitudes tanto en matemática, física, economía, y así poder calcular

el valor de una de ellas en función

Historia De Las Funciones El termino función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x. En 1964 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizo el termino para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente.

¿Qué son las funciones? Es una regla de asociación que relaciona dos o mas conjuntos entre si; generalmente cuando tenemos la asaciones de dos conjuntos la función se define como una regla de asociación entre un conjunto llamado DOMINIO con uno llamado CODOMINIO, también dominio e imagen respectivamente o DOMINIO y RANGO.

Variables Dependientes Son aquellas variables que como su nombre lo indica, depende del valor que toma las otras variables, por ejemplo: (x)= x,y o f(x) es la variable dependiente ya que esta sujeta a los valores que se le suministre a x.

Variables Independientes Es aquella variable que no depende de ninguna otra variable, en el ejemplo anterior la x es la variable independiente ya que la Y es la que depende de los valores de x.

Variable Constante Es aquella que no esta en función de ninguna variable y siempre tiene el mismo valor , ejemplo: Y=2 , la constante gravitacional, entre otras.

Funciones Logarítmicas Se llama Función Logarítmica a la función real de variable real : a 1 0 a 1 La Función logarítmica es una aplicación biyectiva definida de R* + en R . La función logarítmica solo esta definida sobre los números pasivitos . Los números negativos y el cero no tiene ningún logaritmo .

La función logarítmica de base a es la reciproca de la función.

Función exponencial Se llama función exponencial de base a aquella forma

x

genérica es f(x)= a Siendo a un numero positivo distinto a 1. Por su propiedad definida, toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números R. La función exponencial puede considerarse como la inversa de la función logarítmica, por cuanto se cumple que: x

a

a

=b

log

b=x

Propiedades de las funciones exponenciales La función aplicada al valor cero es siempre igual a 1.

0

f(0) = x

=1

La función exponencial de 1 siempre es igual a la base . x

0

f(1) = x

=

Igualación de Base: consiste

en aplicar las propiedades de las potencias para logras que en los dos de la ecuación aparezca la misma base elevada a distintos exponentes . x

y

a

= a

En tales condiciones , la resolución de la ecuación proseguiría a partir de la igualdad. x=y

Funciones trigonométricas En matemáticas, las funciones trigonométricas son las funciones establecidas con el fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos. Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de engómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.

Conceptos Básicos Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos. Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron

FUNCIONES HIPERBÓLICAS En ciertas ocasiones las combinaciones de ex, e-x aparecen frecuentemente. En tales ecuaciones, se acostumbra escribir el modelo matemático que le corresponde utilizando las funciones hiperbólicas definidas como sigue: La función f: [R![R, definida por:

f(x) = senh x = , x " R, se denomina función seno hiperbólico. f(x) = cosh x = , x " R, se denomina función coseno hiperbólico. f(x) = tgh x = , x " R, se llama función tangente hiperbólico. f(x) = cotgh x = , x " 0, se llama función cotangente hiperbólico. f(x) = sech x = , x " R, se llama función secante hiperbólico. f(x) = cosch x = , x " 0, se llama función cosecante hiperbólico. Con la ayuda de las derivadas y los límites para hallar los extremos, concavidades y asíntotas, se pueden graficar estas funciones fácilmente. Su gráficos se muestran en las siguientes figuras.

Aplicación e importancia de las funciones exponenciales en el perfil de la carrera El mundo de las matemáticas y la geometría forma parte de nuestra vida cotidiana aunque no nos demos cuenta. Proponemos un análisis diferente de objetos, edificaciones, arte, videojuegos, música… que hará descubrir curiosidades y grandes propiedades del campo matemático. Hoy en día estamos rodeados de objetos y construcciones “de diseño”, pero, ¿cuál es el elemento que poseen para ser tan atractivos o simplemente construibles? La respuesta la encontramos en las matemáticas, concretamente en el álgebra, la geometría y el cálculo infinitesimal.

El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras, las relaciones y las cantidades. El término “álgebra” viene de un vocablo árabe que significa reducción, cuyos orígenes se remontan a los antiguos babilonios, que habían desarrollado un avanzado sistema aritmético con el que resolvían cálculos en una forma algebraica. Con el uso de este sistema fueron capaces de aplicar las fórmulas y soluciones para calcular valores desconocidos. Permite la formulación general de leyes de aritmética , operar con números desconocidos y la formulación de relaciones funcionales. La Geometría es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras geométricas en el espacio. Proviene del griego γεωμετρία, geo (tierra) y metría (medida). Ya en el antiguo Egipto el empleo de geometría estaba muy desarrollada para el cálculo de volúmenes y superficies en construcción. El cálculo infinitesimal tiene amplias aplicaciones en la ciencia y la ingeniería y se usa para resolver problemas para los cuales el álgebra por sí sola es insuficiente. Este cálculo se construye con base en el álgebra, la trigonometría y la geometría analítica e incluye dos campos principales, cálculo diferencial y cálculo integral. Usualmente se le acredita a Leibniz y Newton la invención del cálculo, que , aunque desarrollaron sus teorías hacia diferentes aplicaciones empleaban ambos el teorema fundamental del cálculo.

Torre Eiffel (1889) Esta estructura de hierro pudelado diseñada por Gustave Eiffel aplica el álgebra y el cálculo infinitesimal para desarrollar una ecuación adaptable al peso de la torre. Para hacernos una idea de cómo se aplica, antes se debe comprender qué es una ecuación exponencial. Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la variable a despejar se encuentra en el exponente, representada por una función exponencial, es decir, una gráfica que nos muestra su desarrollo. Las funciones son infinitas, pero acercándonos siempre a un límite conocido por asíntotas dándose el 0 (plano horizontal del suelo) y +∞ (el eje vertical de la torre). El matemático Weidman dedujo la base para la construcción de la torre. Un factor crucial para los cálculos que Eiffel tenía en mente pasaba por calibrar el efecto de las fuerzas ejercidas por el viento sobre determinados puntos estructurales de la Torre. Weidman encontró una solución exacta de la ecuación en forma de una función exponencial que se ajusta rigurosamente a la forma de la mitad superior

La clave para su solución deriva de dos ecuaciones exponenciales diferentes interconectadas: una para la mitad superior de la torre, y otra en la que interviene el factor de sobredimensionamiento de seguridad de la estructura en su base.

Torre de Shújov (1920) Construída en acero como una torre de transmisión para la red de radiodifusión rusa. Aplica una superficie englobada en el mundo de las cuádricas: el hiperbolóide de una hoja.

Esta superficie ha sido muy empleada en el mundo de la arquitectura para generar torres a partir de 1896, cuando el propio Shújov edificó una estructura paraboloide como mirador con una escalera de caracol en su interior. Esta superficie ha sido muy empleada en el mundo de la arquitectura para generar torres a partir de 1896, cuando el propio Shújov edificó una estructura paraboloide como mirador con una escalera de caracol en su interior. Los beneficios de este tipo de estructuras son; su aerodinamismo: los empujes laterales y corrientes verticales del viento son disipadas por su forma hiperbólica, y su circunferencia de sección; y suequilibrio: al ser una figura plana de revolución de eje central, todos los puntos de una sección plana horizontal equidistan del centro, quedando así el eje y centro de carga en el centro.