Guia I.c (1) 3d2lh

UNIVERSIDAD METROPOLITANA DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA / ESTADÍSTICA

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Guía Inferencia Profesora: Giovanna Ticchione T. __________________________________________________________________ Estimadores de máxima verosimilitud 1. Considere una muestra aleatoria X1, . . . ,Xn, de la f.d.p siguiente: x - x/ f X (x)  e con X  0 Encuentre el E.M.V del parámetro. 2 2. Determine el E.M.V para el parámetro p de una geométrica. 3. Determine el E.M.V para la varianza de una distribución Normal con media cero. 4. Con frecuencia es factible suponer que los tiempos, X1; X2,….entre llegadas de clientes a una tienda tienen una distribución exponencial. Suponga que una m.a de tamaño 4 nos da la siguiente información: x1 = 2,4 x2 = 0,8 x3 = 0,2 x4 = 4,6 (en minutos) Encuentre el EMV para el parámetro de la exponencial. Calcule la estimación usando la muestra. Intervalos de Confianza 1.- Se tienen 7 recipientes similares de ácido sulfúrico con capacidades: 9.8 –10.2 – 10.4 – 9.8 – 10.0 – 10.2 – 9.6. en litros. Suponiendo que la capacidad distribuye normal. a) Construya un I.C para el contenido medio de los recipientes, con una confianza del 95%. b) Construya un I.C para la ganancia media por recipiente, si se supone que se gana $15.5 por litro de ácido. Ayuda: Para armar un I.C para una función del parámetro a estimar, por ejemplo para una función de µ, se hace para µ y luego se arma la función dentro del intervalo. 2.- Se quiere estimar la longitud media de un tornillo de forma tal de cometer un error máximo de 1/100 con confianza del 98%. a) ¿Qué tamaño muestral debe usarse si en una muestra piloto dio los siguientes valores: 1.28 – 1.38 – 1.32 – 1.35 – 1.29 – 1.27 – 1.37 – 1.31 – 1.33. b) En el mismo problema anterior si no se tiene muestra piloto pero se sabe que el rango de fabricación de la máquina es entre 1.26 y 1.40. Encuentre n. c) Usando la muestra piloto estime la proporción de tornillos que tienen longitud menor que 1.33. d)

Igual que c), pero suponga que la longitud se distribuye Normal.

e) Encuentre un I.C para la proporción de tornillos que tienen longitud menor que 1.35 a un 95% de confianza. 3.- Una m.a de 30 puntajes de la P.S.U, arrojó un promedio de 510 puntos y una desviación estándar de 75 puntos. Determine e interprete un I.C al 95% para la media de los puntajes. 4.- En una fábrica de repuestos para automóviles, se selecciona una m.a de 41 pistones donde se sostiene que la longitud promedio de éste es de 8 cm y la desviación estándar de 1cm. Asumiendo que la longitud de un tornillo distribuye Normal. Establezca un I.C al 95% para la longitud media de los pistones. 5.- Se sabe que el peso de un artículo tiene una distribución N ( μ ,0.04), en una muestra aleatoria de tamaño 20, se encontró un peso promedio de 2.4 Kg. Hallar por medio de un I.C al 95% la estimación del peso medio de los artículos. 6.- Una oficina de gobierno, desea determinar la proporción de familias con ingreso anual inferior a 1500000. Estudios previos han indicado que esta proporción es de 25%. ¿ Qué tamaño muestral se requiere, para asegurar con un 95% de confianza que la proporción está en un intervalo cuya longitud es a lo más 0.1?. 7.- Se quiere estimar la proporción de adeptos que tiene un candidato. ¿ Qué tamaño muestral, se debe tomar para equivocarse a lo más uno en cien con probabilidad 0.95?. 

8.- Si f X (X)  β 1  

x   100 

β 1

con

0  x  100 .

Encuentre un I.C para β a un 97% de

confianza. Ayuda: Haga el intervalo para E(X) o sea µ y luego despeje β . 9.- Las ventas de un producto al mes es v.a X, una m.a de meses arrojas los siguientes valores (en miles de litros) 451 – 471 – 458 – 492 – 460 – 465 – 452 – 468 – 460 – 490 –455. Construya un I.C para σ , al 90% de confianza. Suponga que las ventas se distribuyen normal. 10.- El tiempo que dura un foco para cierto tipo de artefacto, es v.a Exponencial λ . Una m.a de tamaño 108 arrojó los siguientes valores: X  105 días y S = 23 días. Encuentre dos I.C para λ , e indique cual es mejor. 11.- Supongamos que se selecciona una muestra aleatoria de 50 botellas de cierta marca de jarabe para la tos. Se determina el contenido de alcohol de cada frasco. Sea µ el contenido medio de alcohol en la población de frascos de la marca estudiada. Suponga que el I.C al 95% resultó (7,8 ; 9,4). a) Un IC al 90% calculado para esta misma muestra, ¿habrá sido más angosto o más ancho que el anterior?. Justifique. b) Considere la siguiente afirmación: “Hay 95% de probabilidades de que µ esté entre 7:8 y 9:4”. ¿Es correcta?, ¿Por qué sí o por qué no?. c) Considere la siguiente afirmación: “Podemos confiar mucho en que 95% de todos los frascos de esta marca de jarabe para la tos tengan un contenido de alcohol entre 7:8 y 9:4”. ¿Es correcta?. ¿Por qué sí o por qué no? d) Considere la siguiente afirmación: “Si el proceso de seleccionar una muestra de tamaño 50 y después calcular el IC de 95% correspondiente se repite 100 veces, 95 de los

intervalos que resulten incluirán a µ”. ¿Es correcta esta afirmación?. ¿ Por qué sí o por qué no? 12.- Supongamos que la porosidad al helio (en porcentaje) de muestras de carbón, tomadas de cualquier veta en particular, está normalmente distribuida con una desviación estándar de 0,75. a) Calcule un IC al 95% para la media de porosidad de cierta veta, considerando que el promedio de porosidad para 20 especímenes de la veta fue de 4,85. b) Calcule un IC al 98% para la media de porosidad de otra veta, basado en 16 especímenes que arrojaron un promedio de porosidad de 4:56. c) ¿Qué tan grande deberá ser el tamaño muestral considerando que la longitud del intervalo de 95% es de 0:40.