Programas De Geometría 2018 56246g

Academia Jóvenes Talento Nicaragua MATRIZ DE CONTENIDOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA Equipo de diseño: Axel Omar Canales García Daisy Verónica Sánchez Rugama Rufo Holvin Casco Arévalo Jorge Danilo Sánchez 16 de diciembre del 2017

Índice 1.

Nivel I ........................................................................................................................................ 3 Principios de Geometría I ............................................................................................................. 3 Principios de Geometría II ............................................................................................................ 3 Principios de Geometría III ........................................................................................................... 4

2.

Nivel II ....................................................................................................................................... 5 Razonamiento Geométrico I ........................................................................................................ 5 Razonamiento Geométrico II ....................................................................................................... 5 Puntos y líneas notables del triángulo ......................................................................................... 6

3.

Nivel III ...................................................................................................................................... 7 Razonamiento Geométrico III ...................................................................................................... 7 Principios de congruencia ............................................................................................................ 8 Principios de semejanza ............................................................................................................... 8

4.

Nivel IV ....................................................................................................................................10 Congruencia y semejanza de triángulos I ...................................................................................10 Teoría de triángulos rectángulos................................................................................................10 Cíclicos I ......................................................................................................................................11

5.

Nivel V .....................................................................................................................................13 Congruencia y semejanza II ........................................................................................................13 Cíclicos II .....................................................................................................................................13 Concurrencia y colinealidad I .....................................................................................................13

6.

Nivel VI ....................................................................................................................................15 Concurrencia y colinealidad II ....................................................................................................15 1

Trigonometría I ...........................................................................................................................15 Trigonometría II ..........................................................................................................................16 7.

Bibliografía recomendada .......................................................................................................17

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1. Nivel I Principios de Geometría I I.

II.

III.

IV.

V.

Conceptos básicos a. Breve reseña histórica de la geometría b. Definición y objeto de estudio de la geometría c. Elementos geométricos fundamentales i. Punto, recta y plano d. Las figuras geométricas i. Rayo, segmento, líneas, polígonos y la circunferencia. Ángulos a. Definición b. Notación c. Medida o amplitud de un ángulo en el sistema sexagesimal. d. Clasificación i. Según su medida ii. Según pares de ángulos e. Bisectriz de un ángulo f. Ángulos opuestos por el vértice Perpendicularidad y paralelismo a. Definición de rectas perpendiculares b. Definición de rectas paralelas Ángulos entre paralelas a. Definición de recta secante o transversal b. Ángulos formados por paralelas cortadas por una secante c. Propiedades básicas Triángulos a. Definición b. Elementos básicos c. Clasificación i. Según la medida de sus lados ii. Según la medida de sus ángulos d. Perímetro y área

Principios de Geometría II I.

Triángulos a. Teoremas fundamentales i. Suma de sus ángulos interiores ii. Desigualdad triangular b. Propiedades especiales i. Triángulo equilátero ii. Triángulo isósceles 3

II.

III.

iii. Triángulo rectángulo Cuadriláteros a. Definición b. Clasificación i. Según sus lados y ángulos: Rectángulo, Rombo, Cuadrado, Paralelogramo, Trapecio y Trapezoide c. Perímetros y áreas Circunferencia a. Concepto b. Elementos básicos c. Perímetro y área d. El número pi

Principios de Geometría III I.

II.

Circunferencia a. Definiciones básicas i. Circunferencia, semicircunferencia, arco ii. Elementos de la circunferencia: radio, diámetro, secante, tangente, cuerda y centro. b. Teoremas relativos a los ángulos en la circunferencia i. Ángulo central ii. Ánulo inscrito y arco capaz iii. Ángulo semi-inscrito c. Posiciones relativas entre dos circunferencias i. Circunferencias secantes ii. Circunferencias tangentes interiormente y exteriormente Polígonos a. Definición b. Polígonos regulares i. Triángulo equilátero ii. Cuadrado iii. Pentágono regular iv. Hexágono regular v. Octágono regular vi. Decágono regular vii. Dodecágono regular c. Perímetros y áreas

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2. Nivel II Razonamiento Geométrico I I.

II.

III.

IV.

Conceptos básicos a. Definición y objeto de estudio de la geometría b. Terminología de estudio i. Axioma, Teorema, Postulado, Lema, Corolario, Escolio y Problema c. Axiomas de incidencia d. Axiomas de ordenación Perpendicularidad y Paralelismo a. Quinto postulado de Euclides b. Definición de rectas perpendiculares c. Teoremas de perpendicularidad d. Definición de rectas paralelas e. Teoremas de paralelismo Ángulos entre paralelas a. Definición de recta secante o transversal b. Ángulos formados por paralelas cortadas por una secante c. Propiedades básicas d. Teorema del serrucho y otros. Triángulos a. Definición b. Elementos básicos c. Clasificación i. Según la medida de sus lados ii. Según la medida de sus ángulos d. Teoremas fundamentales i. Suma de los ángulos interiores y exteriores ii. Ángulo exterior iii. Comparación de ángulos y sus lados opuestos iv. Desigualdad triangular v. Teorema de la charnela

Razonamiento Geométrico II I.

II.

Triángulos rectángulos a. Elementos básicos b. Relaciones métricas del triángulo rectángulo i. Teorema de Pitágoras ii. Teorema de la altura iii. Teorema de los catetos Circunferencia a. Definiciones básicas 5

i. Circunferencia, semicircunferencia, arco, círculo, sector circular ii. Elementos de la circunferencia: radio, diámetro, secante, tangente, cuerda, centro. b. Teoremas relativos a los ángulos en la circunferencia i. Ángulo central ii. Ánulo inscrito y arco capaz iii. Ángulo semi-inscrito iv. Ángulo interior v. Ángulo exterior c. Polígonos inscritos y circunscritos d. Posiciones relativas entre dos circunferencias i. Circunferencias exteriores, interiores, concéntricas ii. Circunferencias tangentes interiormente y exteriormente iii. Circunferencias secantes y ortogonales

Puntos y líneas notables del triángulo I.

II.

Líneas y puntos notables del triángulo a. Altura y ortocentro b. Mediana y baricentro c. Mediatriz y circuncentro d. Bisectriz interior e incentro e. Bisectriz exterior y excentros Ángulos formados por las líneas notables a. Ángulo formado por dos bisectrices interiores b. Ángulo formado por una bisectriz interior y una exterior c. Ángulo formado por dos bisectrices exteriores d. Ángulo formado por una altura y una bisectriz

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3. Nivel III Razonamiento Geométrico III I.

II.

III.

IV.

Perpendicularidad y Paralelismo a. Quinto postulado de Euclides b. Definición de rectas perpendiculares c. Teoremas de perpendicularidad d. Definición de rectas paralelas e. Teoremas de paralelismo Ángulos entre paralelas a. Definición de recta secante o transversal b. Ángulos que formados por paralelas cortadas por una secante c. Propiedades básicas d. Teorema del serrucho y otros. Triángulos a. Definición b. Elementos básicos c. Clasificación i. Según la medida de sus lados ii. Según la medida de sus ángulos d. Teoremas fundamentales i. Suma de los ángulos interiores y exteriores ii. Ángulo exterior iii. Comparación de ángulos y sus lados opuestos iv. Desigualdad triangular v. Teorema de la charnela e. Puntos y líneas notables con sus teoremas i. Altura y ortocentro ii. Mediana y baricentro iii. Mediatriz y circuncentro iv. Bisectriz interior e incentro v. Bisectriz exterior y excentros Circunferencia a. Definiciones básicas i. Circunferencia, semicircunferencia, arco, círculo, sector circular b. Teoremas relativos al ángulo central, cuerdas, secantes y tangentes c. Teoremas relativos a los ángulos en la circunferencia i. Ángulo central ii. Ánulo inscrito y arco capaz iii. Ángulo semi-inscrito iv. Ángulo interior 7

v. Ángulo exterior d. Posiciones relativas entre dos circunferencias i. Circunferencias exteriores, interiores concéntricas ii. Circunferencias tangentes interiormente y exteriormente iii. Circunferencias secantes y ortogonales e. Polígono inscrito y circunscrito f. Teorema de Pithot y de Steiner

Principios de congruencia I.

II.

Congruencia de triángulos a. Definición b. Notación c. Criterios de congruencia i. Criterio LAL ii. Criterio ALA iii. Criterio LLL d. Distancia de un punto a una recta e. Teorema referente a los puntos situados en la bisectriz f. Teorema referente a los puntos de la mediatriz de un segmento Cuadriláteros a. Definición b. Clasificación i. Según sus diagonales ii. Según sus lados y ángulos: equiángulo, equilátero, cuadrado, paralelogramo, trapecio, trapezoide. c. Teorema de la suma de los ángulos interiores d. Estudio de las propiedades de cuadriláteros notables i. Paralelogramo ii. Rectángulos iii. Rombos iv. Trapecios e. Perímetros y áreas

Principios de semejanza I.

II.

Proporcionalidad a. Definición de razón b. Definición de proporción c. Propiedades de las proporciones d. Razón en que se divide un segmento e. Razón en que se dividen dos segmentos Teorema de Thales a. Definición 8

III.

b. Teorema de Thales en el triángulo c. Recíproco del teorema de Thales d. Teorema de la bisectriz interna e. Teorema de la bisectriz externa Semejanza de triángulos a. Definición b. Notación c. Criterios de semejanza i. Criterio AA ii. Criterio LAL iii. Criterio LLL

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4. Nivel IV Congruencia y semejanza de triángulos I I.

II.

III.

Congruencia de triángulos a. Definición b. Notación c. Criterios de congruencia i. Criterio LAL ii. Criterio ALA iii. Criterio LLL iv. Cuarto criterio de congruencia d. Distancia de un punto a una recta e. Teorema referente a los puntos situados en la bisectriz f. Teorema referente a los puntos de la mediatriz de un segmento g. Teorema de la base media h. Segmentos, puntos y triángulo de Euler i. Triángulo medial y su relación con el triángulo de Euler j. Menor mediana de un triángulo rectángulo Cuadriláteros a. Definición b. Clasificación i. Según sus diagonales ii. Según sus lados y ángulos: equiángulo, equilátero, cuadrado, paralelogramo, trapecio, trapezoide. c. Teorema de la suma de los ángulos interiores d. Estudio de las propiedades de cuadriláteros notables i. Paralelogramo ii. Rectángulos iii. Rombos iv. Trapecios e. Propiedades generales de los cuadriláteros Semejanza de triángulos a. Definición b. Notación c. Criterios de semejanza i. Criterio AA ii. Criterio LAL iii. Criterio LLL d. Consecuencias de la semejanza de triángulos

Teoría de triángulos rectángulos I.

Relaciones métricas de triángulos rectángulos 10

a. b. c. d. e. f. g. h. i. II.

III.

Elementos básicos Propiedades básicas Teorema de Pitágoras y su demostración Euclídea Recíproco del teorema de Pitágoras Proyección ortogonal Teorema de la altura y su demostración Euclídea Teorema de los catetos y su demostración Euclídea Otras relaciones métricas Teorema de Arquímedes

Triángulos rectángulos notables a. Concepto b. Triángulo 30°, 60° c. Triángulo 45°, 45° d. Triángulo 15°, 75° e. Triángulo 37°, 53° f. Triángulo 16°, 74° Relaciones métricas en la circunferencia a. Teorema de las cuerdas b. Teorema de las secantes c. Teorema de la tangente

Cíclicos I I.

II.

III.

Teoremas relativos a los ángulos en la circunferencia a. Ángulo central b. Ángulo inscrito c. Ángulo semi-inscrito d. Ángulo ex-inscrito e. Ángulo interior y exterior f. Posiciones relativas entre dos circunferencias i. Circunferencias secantes ii. Circunferencias tangentes interiormente y exteriormente Cuadrilátero cíclico a. Definición b. Teorema de la determinación de un cuadrilátero cíclico c. Propiedades básicas d. Rectas antiparalelas e. Casos particulares de cuadriláteros cíclicos Potencia de punto a. Definición b. Potencia interior 11

c. d. e. f. g.

Potencia exterior La recta tangente y la potencia Cálculos de la potencia Propiedades Eje radical y sus propiedades

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5. Nivel V Congruencia y semejanza II I.

II.

III.

Congruencia de triángulos a. Definición b. Notación c. Criterios de congruencia i. Criterio LAL ii. Criterio ALA iii. Criterio LLL iv. Cuarto criterio de congruencia d. Consecuencias de la congruencia Semejanza de triángulos a. Teorema de Thales y su demostración euclídea b. Recíproco del teorema de Thales c. Teorema de la bisectriz interna y externa d. Generalización del teorema de la bisectriz e. Criterios de semejanza de triángulos f. Lema de la mediana g. Consecuencias de la semejanza h. Recta de Euler Homotecia a. Definición b. Homotecia directa c. Homotecia indirecta

Cíclicos II I.

II.

Cuadriláteros cíclicos a. Definición b. Teorema de la determinación de un cuadrilátero cíclico c. Propiedades d. Teorema de Reim e. Teorema de Miquel f. Teorema de Simpson-Wallace Teoremas avanzados a. Teorema de Ptolomeo b. Teorema de Brahmagupta (Área de un cíclico) c. Círculo de los 9 puntos

Concurrencia y colinealidad I I.

Teorema de Ceva y Menelao a. Teorema de Ceva 13

b. c. d. e. f. II.

Teorema de Ceva trigonométrico Punto de Gergonne Punto de Nagel Teorema de Menelao Concurrencias en el triángulos

Aplicación de Ceva y Menelao a. Ceva sobre la circunferencia b. Teorema de Pappus c. Recta de Gauss

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6. Nivel VI Concurrencia y colinealidad II I. II.

III. IV.

Teorema de Ceva a. Teorema de Ceva trigonométrico Propiedades aplicadas con Ceva a. Ceva sobre la circunferencia b. Ceva sobre el triángulo ceviano c. Puntos ciclocevianos d. Teorema de Steinbart y la extensión de Grinberg e. Teorema de Jacobi f. Conjugados isotómicos g. Conjugados isogonales Teorema de Menealo a. Teorema de Menelao trigonométrico Propiedades aplicadas con Menelao a. Recta de Gauss b. Teorema de Pappus c. Teorema de Desargues d. Teorema de Pascal

Trigonometría I I.

II. III.

IV. V.

Funciones trigonométricas: estudio por medio del circulo unitario a. Circulo unitario b. Evaluación de las funciones trigonométricas Funciones trigonométricas de números reales Propiedades las funciones trigonométricas a. Propiedades Periódicas b. Función seno, coseno, tangente, cosecante, secante, cotangente Gráficas de las funciones trigonométricas Funciones trigonométricas inversas a. Funciones seno inverso, coseno inverso, tangente inversa b. Otras funciones c. Composición de funciones

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Trigonometría II VI.

VII. VIII.

Identidades trigonométricas a. Identidades básicas b. Identidades de suma y resta de ángulos c. Identidades de duplicación y linearización d. Identidades de producto a suma y viceversa e. Ejercitación diversa Ecuaciones trigonométricas a. Ejercitación Relaciones métricas y la trigonometría a. Área del triángulo b. Ley del coseno c. Ley del seno d. Ley de las tangentes e. Formula de Briggs f. Teorema de Stewart g. Teorema de Apolonio h. Fórmulas para la altura, bisectriz. i. Teorema de Euler

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7. Bibliografía recomendada Para Nivel I 1. 2. 3. 4.

Baldor, Aurelio; Geometría y Trigonometría Quispe R., Ernesto; Geometría Primer Nivel Pearson; Matemática 7, 8 Santillana; Hipertexto 7, 8

Para Nivel 2 1. 2. 3. 4. 5.

Geometría Primer Nivel, Ernesto Quispe Rodríguez Geometría Básica, Carlos Walsh Mendoza Geometría y Trigonometría, Aurelio Baldor Geometría Moderna, Moise & Downs Geometría y Trigonometría, CONAMAT

Para Nivel 3 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Geometría Primer Nivel, Ernesto Quispe Elementos de Geometría y Trigonometría, UES: Hernández & Chicas & Aguilar, et.al Geometría y trigonometría, CONAMAT Geometría Moderna, Moise & Downs Geometría Básica, Carlos Walsh Mendoza Introducción a la Geometría Moderna; Levi S. Shively Apuntes de Geometría Euclidiana I, Rufo Casco Problemas de Geometría y como resolverlos, Colección RACSO Quispe, et al.

Para Nivel 4 1. 2. 3. 4. 5.

Elementos de Geometría y Trigonometría, UES: Hernández & Chicas & Aguilar, et.al Apuntes de Geometría Euclidiana I, Rufo Casco Geometría: Rila Bullajich & José Ortega Geometría Primer Nivel, Ernesto Quispe Rodríguez Problemas de Geometría y cómo resolverlos, Colección RACSO Quispe, et. Al

Para Nivel 5 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Geometría, Rila Bulajich & Jesús Ortega Geometría Sintética, Eduardo Arnoldo Aguilar Apuntes de Geometría Euclidiana I, Rufo Casco Geometría para Olimpiadas, Jesús Gerónimo Geometría Euclideana, Shuriguin Problemas avanzados, Rila Bulajich & Caros Rubio Problemas de Geometría y cómo resolverlos, Colección RACSO, Quispe, et. Al 17

8. 9.

Geometría Euclideana para Olimpiadas Matemáticas, Darió Duran Clases de Geometría del Profesor Carlos Walsh

Para Nivel 6 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Apuntes de Geometría Euclidiana I, Rufo Casco Geometría, Rila Bulajich & José Ortega Geometría para Olimpiadas, Jesús Gerónimo Geometría Sintética, Eduardo Arnoldo Aguilar Problemas avanzados, Rila Bulajich & Caros Rubio Problemas de Geometría y cómo resolverlos, Colección RACSO, Quispe, et. Al Clases de Geometría del Profesor Carlos Walsh Geometría y Trigonometría, CONAMAT Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica, E. Swokowsky & J. Cole Trigonometría, Rubén Alva Cabrera

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