La 2ème Partie Du Cours De La Commande Avancée 4t5656

CHAPITRE 4 : La transformée en Z Objectif : La transformée en z est le formalisme de base utilisé pour exprimer les équations représentant les systèmes discrets, ainsi est-il largement détaillé dans ce chapitre où sont énoncés les différentes propriétés qui aident à manipuler les équations exprimées en fonction de z sous forme de puissance positive ou négative, mettant en exergue l’idée de l’avance ou du retard du signal par rapport à sa valeur initiale. La démarche relative à remplacer la variable analogique par la variable numérique « z » conformément à la transformation d’Euler ou à celle de Tustin est également détaillée dans ce chapitre. IV-1 Définition : La transformée en «z », joue, vis à vis des systèmes linéaires échantillonnés, le même rôle que joue la transformée de Laplace «p » vis à vis des systèmes linéaires continus. Cette transformée est établie en posant

Donc la transformée en z d’une fonction f(t) n’est autre que la transformée de Laplace de f *(t) en remplaçant 𝑒 −𝑇𝑒𝑝 par z−1 :

Exercices : Calculer la transformée en z des fonctions suivantes 1- : f (t) = u(t) 2- : f (t) = tu(t) 3- : f (t) = eat .u(t) IV-2 Principales propriétés de la transformées en Z : IV-2-a : Linéarité

IV-2-b : Translation temporelle

IV-3-c : Valeur finale

N.B : Ne pas confondre le symbole Z qui désigne la transformée en Z à l’opérateur z. IV-3 Applications : Calcul des transmittances en z dans une boucle d’asservissement. IV-3 –a : Exercice Soit le schéma fonctionnel suivant d’un système asservi continu :

Fig.18 : Calcul d’une transmittance en Z Donner l’expression de la sortie discrétisée y(z). Solution : De la même manière que pour la fonction de transfert en boucle fermée des systèmes 𝐺(𝑧)

analogiques, l’expression de la sortie y(z) du système échantillonné est : 𝑌(𝑧) = 1+𝐺(𝑧) 𝑉(𝑧) Où l’on pose : 𝐺(𝑝) = 𝐵0 (𝑝)𝐻(𝑝) =

1−𝑒 −𝑇𝑒 𝑝 1 𝑝

1+𝑝

1

𝑧

𝑧

1−𝑒 −𝑇

Donc : 𝐺(𝑧) = [𝐺 ∗ (𝑝)]𝑧=𝑒 𝑇𝑝 = [𝐵0 (𝑝) 𝑝+1]∗𝑧=𝑒 𝑇𝑝 = (1 − 𝑧 −1 ) (𝑧−1 − 𝑧−𝑒 −𝑇 ) = 𝑧−𝑒 −𝑇 1−𝑒 −𝑇

𝐺(𝑧)

Alors : 1+𝐺(𝑧) = 𝑧+1−2𝑒 −𝑇 𝐺(𝑧)

1−𝑒 −𝑇

Et : 𝑌(𝑧) = 1+𝐺(𝑧) 𝑉(𝑧) = 𝑧+1−2𝑒 −𝑇 𝑉(𝑧) IV-3 –b : Démarches pour la discrétisation d’une expression analogique - Etant donné la boucle d’asservissement suivante :

Fig.19 : système asservi exprimé en analogique Comment peut-on établir une boucle d’asservissement échantillonnée à partir d’une boucle qui représente un système asservi continu ?

Fig. 20 : système asservi exprimé en discret

Généralement C(p), H(p), C(z) ou H(z) se présentent sous la forme d’une fraction rationnelle 𝑁(𝑝)

𝐻(𝑝) = 𝐷(𝑝) avec degré(D) supérieur ou égal à degré(N). Plusieurs méthodes peuvent être exploitées pour trouver F(z) à partir de F(p) analogique : −𝑘 1° On applique directement la formule 𝐹(𝑧) = ∑∞ 𝑘=0 𝑓(𝑘𝑡). 𝑧

2° On opère une discrétisation par une approximation de l’opérateur p de Laplace : Supposons dans ce cas, et pour simplifier, que nous avons un système de premier ordre où v(p) est la grandeur de sortie et ( p) la grandeur d’entrée.

A partir de cette expression analogique, on veut établir la fonction de transfert discrète C (z) qui lui correspond. De l’expression (24), on peut er aux grandeurs temporelles. On a alors :

Intégrons cette dernière expression :

Ou encore :

On décompose (27) :

(𝑘+1)𝑇

Avec :∫𝑘𝑇

𝑊(𝜏)𝑑𝜏 = 𝑆 une surface limitée par 𝑊(𝜏) et T.

S peut être approximée soit : a) Par la surface du rectangle inférieur S1 = W(kT).T = [b0 (kT) – a1V(kT)].T b) Par la surface du rectangle supérieur S2 = (b0 [(k+1)T] – a1V[(k+1)T)]).T 1

c) Par la surface du trapèze S3 = 2 [W(k+1)T – W(kT)].T En reportant S1 dans l’équation (28) : V(k +1)T =V(kT) + S Et en vertu de la propriété de la translation temporelle : Z[ f (t + T )] = z F(z) , alors V(k +1)T = z.V(kT) ou, en abrégé :

On aboutit à l’expression :

En comparant 𝐶(𝑝) =

𝑉(𝑝) 𝜀(𝑝)

𝑏

0 = 𝑝+𝑎 à 𝐶(𝑧) = 1

𝑉(𝑧) 𝜀(𝑧)

𝑏

= 𝑧−1 0 𝑇

+𝑎1

On constate que le age de C(p) à C(z) s’effectue en approximant l’opérateur p (approximation d’Euler) par :

Si on remplace S dans l’équation (28) par S2, on trouve l’expression 𝐶(𝑧) =

𝑉(𝑧) 𝜀(𝑧)

𝑏

= 𝑧−1 0 𝑇𝑧

+𝑎1

dans ce

cas p est approximé par :

Si on remplace S dans l’équation (28) par S3 alors 𝐶(𝑧) = C(p) au discret C(z) s’opère par l’approximation :

𝑉(𝑧) 𝜀(𝑧)

=

𝑏0 2(𝑧−1) +𝑎1 𝑇(𝑧+1)

et le age du continu

( appelée approximation de Tustin ) Ces approximations sont utiles pour la discrétisation des régulateurs à partir de leurs expressions analogiques comme on le verra plus loin. 3° On utilise un ensemble échantillonneur bloqueur, comme il a été établi dans l’exemple précédent, et on effectue une décomposition en éléments simples de l’expression analogique puis on exploite les tableaux usuels des transformées pour trouver l’expression échantillonnée en z. 4° On exploite directement la formule :

EVALUATION 1

Exercice 1 : Soit l’expression analogique suivante 𝐹(𝑝) = 𝑝2 +6𝑝+5 qui représente un système de second ordre. Calculer F(z) par différentes méthodes et avec une période d’échantillonnage T. Exercice 2: Un système asservi à retour unitaire est représenté par le schéma suivant où un bloqueur d’ordre zéro est implanté en amont du processus:

)

Calculer y(z) pour un échelon unitaire v(t) en entrée analogique.