Introducción Sucesiones Y Series 1u3zy

Problemas Matemáticas I



Tema 1: sucesiones y series

ITIs (Diseño Industrial)

Matemáticas I Tema 1 Sucesiones y Series Ingeniería técnica industrial con intensicación en diseño industrial Octubre 2009 1. Encuentra el término general de estas sucesiones √

√

(a) 1, −1, 1, −1, . . .

(d) 1, 2, 2, 8, 4, . . . ,

4 (b) 1, 25 , 253 , 125 ,...

(e) 1, 3, 6, 10, 15, 21, . . . , ..

(c) 0, 32 , 94 , 29 , 818 , . . .

(f) 2, 1, 45 , 57 , 32 , 117 , 138 , 35 , . . . ,

Las fracciones en (c) y (f) están simplicadas, es decir, el numerador y el denominador son primos entre sí. Si no lo estuvieran, el ejercicio sería más fácil... y menos interesante. 2. Comprueba si las sucesiones siguientes son monótonas y si están acotadas o no (a) an =

√ n

(e) en =

(b) bn =

n+1 2n

(f) fn = log(2n )

(c) cn =

n+2 2n−1

(g) gn =

(−2)n n

√

√ n+1− n (−1)n π (h) hn = tan 1 − n2 2

(d) dn = cos(n2 π)

3. Dado a > 0 se construye la siguiente sucesión: x1 = a,

xn+1 =

1 a xn + 2 xn

Se pide probar que la sucesión es decreciente, que está acotada inferiormente y que por tanto tiene límite. Calculadora en mano, calcular algunos términos de la sucesión para a = 2, a = 3 y a = 9. ¾Cuál crees que es el límite? Probarlo 4. La sucesión de Fibonacci se dene de la siguiente manera x1 = 1,

x2 = 1,

xn+2 = xn + xn+1 .

Calcular algunos términos. Probar que es creciente y no acotada y que por tanto el límite es innito. Comprobar que la sucesión viene dada por xn =

((1 +

√ √ 5)/2)n − ((1 − 5)/2)n √ . 5

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Halla el límite

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xn+1 n→∞ xn l´ım

5. Calcula el límite de las siguientes sucesiones 2n3 − 2 (a) an = 4 n +1

1 n+2 (d) dn = 1 − 2 n log n n (e) dn = 1 − n tan(1/√n) 1 (f) fn = sen(1/n)

n+6 (2n + 1)2 − (2n − 1)2 n sen √1n (c) cn = cos(1/n)

(b) bn =

6. Calcula el límite de las siguientes sucesiones n2 + 3n − 1 (n + 1)3 − (n + 2)3 √ √ n2 + n − n2 − n (b) bn = 5n n2 − 1 4n−3 (c) cn = 2 n +n 1 n2 (d) dn = n

(a) an =

(e) en =

(f) fn = (g) gn =

1 1/n n log



n−1 n+1



sen(2/n)

(h) hn = (cos(exp(−n)) − 1)n8 (i) in = n−1/20 log(n2 )

n2 + 1 n3 − 3n2 + 2n − n+1 n2 + n + 1

(j) jn =

1 (n + 4) tan(sen(cos( n12 ) − 1)))

7. Calcula el límite de las siguientes sucesiones en función del parámetro α 1 (a) an = n

√ √ √ 1 1 n4 + 1 − n2 + 1 n2 + n + 3 log(1 + ) − α log(1 − ) (d) dn = 2n 2n nα

(b) bn = n2 (cos(2π − 1/nα ) − 1)

(e) en = nα 2−n

(c) cn = n log(1 + sen(2π + 1/n))

log(nα ) (f) fn = log(1 + n2 )

1/1000

α

8. (Serie

armónica) Se dene la sucesión n

s1 = 1,

1 1 1 X1 sn = sn−1 + = 1 + + . . . + = . n 2 n j j=1

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Probar que es creciente. Utilizando que 1 >

1 + 16 5 1 1 + 10 9

1 2 1 1 +4 3 + 17 + 18 1 . . . + 16

≥ > > ≥

1 2 1 2 1 + 14 = 12 4 1 + 18 + 18 + 18 = 12 8 1 1 + . . . 16 ≥ 12 16

..................................... probar que sn → ∞ (aunque muy lentamente). 9. Suma las siguientes series (a)

∞ X

(g)

1−n

n2

n=1

(b)

∞ X

∞ X n=1

2n + 1 + 1)2

n2 (n

n(n − 1)22−n

64 128 512 (h) 1 + 32 + 278 + 16 + 729 + 2187 + 19683 +... 81

n2 22−n

(i) e · e2/3 · e4/9 · e8/27 · e16/81 · · ·

n=1

(c)

∞ X n=1

3 (d) − 4 1 (e) − 5 ∞ X

(f)

n=1

9 27 81 + − + ... 16 64 256 3 9 27 + − + ... 25 125 625

(j)

∞ X

1 Pn

j √ √ √ (k) 4 · 2 · 2 · 4 2 · 8 2 · · · n=1

−2 n (1 + n) (2 + n)

(`)

∞ X n=1

j=1

log

n + 2 n

10. Utilizando que (resultado probado por primera vez por Leonhard Euler) ∞ X 1 π2 = n2 6 n=1

hallar la suma de

∞ X n=1

Hacer lo mismo con la serie

∞ X n=1

sabiendo en este caso que

1 (2n − 1)2 1 (2n − 1)4

∞ X 1 π4 = n4 90 n=1

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11. Discute la convergencia o divergencia de la siguientes series (a)

∞ X n=1

(b) (c)

∞ X n=2 ∞ X n=1

(d) (e)

(g)

n=1 ∞ X

log(n + 1) + log(sen(1/n))

n=1 ∞ X 1 − cos(1/n2 )

(h)

(2 + 1/n)n (9 − 3/n)n/2

1 n! n=1 ∞ X √ (j) 1 − cos(sen(tan(2 sen 1/ n)))

(i)

n!

n5

sen(1/n)

n=1 ∞ X

n=1

n+2 100n − 4

∞ X n=1

∞ X

n+3 (n − 1)(n2 + 2)

∞ X 2n

n=1

(f)

1 2n − 1

(k)

∞ X

n(e1/n − 1) sen √

n=1

n(n + 1) − (n − 1)5

(`)

1 n+2

∞ X (1 − 1/n)n

4n

n=1

12. En este ejercicio se trata de probar que la sucesión l´ım



n→∞

1+

1 n n

tiene límite. Para ello veremos que la sucesión es creciente y está acotada de donde se sigue el resultado. El resultado que utilizaremos es la desigualdad (1 + x)β ≥ 1 + βx

cierta para todo β ≥ 1 y x > −1. Proceder como sigue Comprobar que

1+

1 1 (n+1)/n ≥1+ n+1 n

y deducir que la sucesión es creciente. Comprobar

n

1+

∞

X 1 1 n X 1 < < . n k! k! k=0 k=0

Utilizando que la serie de arriba converge, deducir que la sucesión original es acotada. De los dos puntos anteriores, se sigue que la sucesión tiene límite. 13. Idem con la siguientes series -4-

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(a)

∞ X

log(1 +



Tema 1: sucesiones y series ∞ X √ (g) ( n n − 1)

1 ) n

n=1

n=1

(b) (c) (d) (e) (f)

∞ X n=1 ∞ X n=1 ∞ X

1 n log(n) n2 rn

(h) (i)

(r ≥ −1)

n=1

∞ X n20000 n=1 ∞ X n=1

2n log(4n3 − 1) − log(4n3 + 1) √ √ n3 + 1 − n3 + 2

∞ X e1/n − 1 (j) senα (1/n) n=1 ∞ ∞ X X (k) cos 3−j − 1

n/2

n! e nn n=1 ∞ 2 X n − 1 n n=1 ∞ X

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n+1

n=1

j=n

∞ X 1 √ (`) n n! n=1

1 · 3 · 5 · (2n − 1) nn

14. Estudiar la convergencia de las siguientes series en función de los parámetros involucrados (a)

∞ X (n!)α n=1

(b) (c)

n=1 ∞ X

∞ X

1 log(n) n=1 ∞ 2 X α βn −n (g) 1+ n n=1 ∞ X nα

(f)

n √ √ n2 + n + 1 − n2 − n + 1 nα 2βn

∞ X nα n=1

sen(1/nα )

n=1

∞ X sen(1 − cos(1/nα ))

n=1

(d)

(e)

nn

∞ X

nα

(h)

3n

n=1

βn

15. (Teorema de Leibnitz) En este problema se trata de probar el siguiente resultado: si an → 0 y an > an+1 entonces ∞ X

(−1)n+1 an

C.

n=1

Para la resolución de este problema se propone seguir los siguientes pasos. Primero denimos la suma parcial k ésima sk :=

k X

(−1)n+1 an

n=1

Probar que s2k+2 > s2k Vericar que sk < a0 y por tanto está acotada. Deducir que (s2k )k , las sumas parciales de orden par, tiene límite. Observando que s2k+1 − s2k → 0, concluir que (s2k+1 )k tiene igualmente límite y que l´ımk→∞ s2k = l´ımk→∞ s2k+1 . -5-

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Deducir como consecuencia que la serie converge. 16. Especicar el carácter, convergentes o no, de las siguientes series: (a)

∞ X (−1)n n=1 ∞ X

(d)

n

∞ X n=1

(−1)n (b) n(n + 1) n=1 ∞ X 1 (c) cos(nπ) 1 − cos √ 3 n n=1

(e) (f)

∞ X (−1)n (n − 1) n=1 ∞ X n=1

¾Cuáles convergen absolutamente?.

-6-

1 sen((−1)n /n) n2 cos

nπ 2

1 sen α n