Deformación Plana 28g66

Ecuaciones de la Elasticidad en Coordenadas Cartesianas para Problemas de Deformación Plana y de Tensión Plana.

Por tanto aplicando la ley de Hooke, se obtiene

(1-1) despejando σ33 de la tercera ecuación de 1-1 se obtiene:

y sustituyendo este valor en la primera y segunda de 1-1:

(1-2) que en unión de:

Constituyen la ley de Hooke para problemas de Deformación Plana. Supóngase ahora que se desea escribir las ecuaciones 1-2 (ley de Hooke bidimensional) de igual forma que la tridimensional, es decir:

(1-3)

Para ello será necesario definir unos coeficientes elásticos ficticios de valor:

(1-4) para que las ecuaciones 1-2 queden escritas de igual forma que las 1-3, es decir:

(1-5) Que es la forma en que se suele presentar la ley de Hooke bidimensional en deformación plana. Es necesario recalcar que los coeficientes Eˆ y vˆ no son el Módulo de Elasticidad y de Poisson sino coeficientes definidos por conveniencia. En el caso de Problemas de Tensión Plana se cumple que:

Planteando las ecuaciones de Lamé:

(1-6) Despejando ε33* de la tercera ecuación de 1-6:

y sustituyendo este valor en la primera y segunda de 1-6 se obtiene:

(1-7)

Que es la expresión de la Ley de Hooke para problemas bidimensionales de Tensión Plana. Supóngase que, al igual que en el caso anterior, se desea escribir las ecuaciones 1-7 de igual forma que las tridimensionales, es decir:

(1-8)

será necesario cambiar los coeficientes elásticos a otros tales como:

(1-9) logrando, de esta forma, que las ecuaciones de Lamé bidimensionales se escriban igual que las tridimensionales: (1-10)

Siempre es posible escribir las ecuaciones bidimensionales de igual forma que las tridimensionales sin mas que cambiar el valor de los coeficientes elásticos por otros ficticios. Esta estrategia tiene un fin claro (como puede deducirse fácilmente del desarrollo realizado) y es que las ecuaciones de la Elasticidad bidimensional sean escritas de la misma forma que las de la Elasticidad tridimensional. A modo de resumen se escriben a continuación las ecuaciones obtenidas hasta el momento de la Elasticidad particularizadas para el caso bidimensional.

Aunque, para el caso de Tensión Plana, se han escrito las ecuaciones con el asterisco, significando con ello que son valores medios a lo largo del espesor de la pieza, pueden perfectamente ser escritas sin el asterisco y sobreentenderse que son valores medios a lo largo del espesor. De acuerdo con ello la única diferencia entre Tensión Plana y Deformación Plana estribaría en el valor de las constantes elásticas.

Bibliografía: BARBER, J.R., "Elasticity", Kluwer Academic Publishers TIMOSHENKO, S. y GOODIER, J.N.,"Teoría de la Elasticidad", Urmo ORTIZ, L., "Elasticidad", ETSII-Univ. Politécnica de Madrid. GREEN, A.E., y ZERNA, W., "Theoretical Elasticity", Dover Publications FUNG, Y.C., "Foundations of solid mechanics", Prentice-Hall PARIS, F., "Teoría de la Elasticidad", ETSII-Univ. Sevilla