Propiedades Cónicas - Geometria Analítica 1d614t

Propiedades de las rectas tangentes a la parabola 1) La ecuación de la recta tangente a la

en el punto de o

tiene la siguiente forma:

2) La ecuación de la recta tangente a la

en el punto de o

tiene la siguiente forma:

3)

es una parábola con foco . La recta normal a en cualquier punto de o P es bisectriz del ángulo formado por ̅̅̅̅ y la recta que pasa por P paralela al eje de .

4)

es una parábola con vértice , es abscisa de

5)

es una recta tangente a

en el origen entonces

es una parábola con foco

, entonces ⃗⃗⃗⃗⃗

y directriz ,

, es decir

en P. Si

y

(punto medio de ̅̅̅̅).

es una recta tangente a

en P. Si

⃗⃗⃗⃗⃗ .

6) En la propiedad anterior, si P es un extremo del lado recto de la parábola, entonces .

7)

8)

9)

es una parábola con foco , y directriz , ̅̅̅̅ , entonces ̅̅̅̅

es tangente a

en P,

tal que

.

es una parábola con foco , vértice y P cualquier punto de . La circunferencia con diámetro ̅̅̅̅ es tangente a la tangente a en .

es una parábola con foco , respectivamente. Si .

y

es recta tangente y recta normal a en P ⃗⃗⃗⃗⃗ y y , entonces ⃗⃗⃗⃗⃗

10) es una parábola con foco , directriz focal de

y

y y

y P1 y P2 puntos de . Si ̅̅̅̅̅̅ es una cuerda

son rectas tangentes a la .

en P1 y P2 respectivamente, entonces

11) es una parábola con foco , P1 y P2 puntos de , tangente a en P2. Si P P P1

es tangente a

en P1,

es

P P2.

12) es una parábola con foco , P extremos del lado recto de . Si entonces la pendiente de es

es tangente a

en P

Propiedades de las rectas tangentes a la elipse 1) La ecuación de la recta tangente a la elipse o

tiene la siguiente forma:

2) La ecuación de la recta tangente a la elipse o

3)

en el punto de

en el punto de

tiene la siguiente forma:

es una elipse con focos F1 y F2. La recta normal a la elipse en cualquier punto de o P es bisectriz del ángulo formado por los vectores focales ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ y ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ de la elipse.

4)

es una elipse con focos F1 y F2, vértices V1 y V2 y directrices correspondientes D1 y D2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ } ; ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ } y respectivamente. Si P { { .

5)

es una elipse con vértices V1, V2, centro F0, P , tangente a en V1. Si , entonces ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .

es tangente a

en P,

es

6)

es una elipse con foco F y directriz correspondiente .

es tangente a

.

7) En la propiedad anterior, si P es un extremo del lado recto de .

en P. Si

8)

es una elipse con foco F, directriz D, P1 y P2 puntos de . Si ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ es una cuerda focal de y y son rectas tangentes a la en P1 y P2 respectivamente, entonces

9)

es una elipse con focos F1, F2 y es una recta tangente a (b: longitud del semieje menor).

en P

10) es una elipse con excentricidad pendiente de la recta tangente a de posición normal de ).

11) es una elipse con excentricidad pendiente de la recta tangente a

. Si P es un extremo del lado recto, entonces la en P es

, si la elipse tiene

(en el sistema

. Si P es un extremo del lado recto, entonces la en P es

, si la elipse tiene

(en el sistema

de posición normal de ). Nota: En cualquier caso, con respecto al sistema XY, ambas rectas tienen otras pendientes.

12) La distancia del centro de la hipérbola o elipse a sus rectas directrices es .

Propiedades de las rectas tangentes a la hiperbola 1) La ecuación de la recta tangente a la hipérbola o

tiene la siguiente forma:

2) La ecuación de la recta tangente a la elipse o

3)

en el punto de

en el punto de

tiene la siguiente forma:

es una hipérbola con focos F1 y F2. La recta tangente a

en cualquier punto de o P es bisectriz del ángulo formado por los vectores focales ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ y ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ de la hipérbola.

4)

es una hipérbola con asíntotas longitud del semieje conjugado).

5)

es una hipérbola con asíntotas y

entonces

y

y

y focos F1 y F2, entonces

, P

es tangente a (P: punto medio de ̅̅̅̅).

( :

en P donde

6) En la figura anterior, el área del 7)

donde es la longitud del semieje transverso y es la longitud del semieje conjugado de . es una hipérbola con foco F y directriz correspondiente D. es tangente a en P. Si .

8) En la propiedad anterior, si P es un extremo del lado recto de .

9)

es una hipérbola con centro con centro en P y

es tangente a

en V2. Si

, vértices V1 y V2, P

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .

,

es tangente a

10)

11)

es una hipérbola con asíntotas A1 y A2, vértices V1 y V2, focos F1 y F2 y directrices correspondientes D1 y D2. Si por un vértice V se trazan rectas y , y que intersecan a la directriz correspondiente en Q y R respectivo, entonces V es el centro de la que contiene a Q, R y F.

es una hipérbola con asíntotas A1 y A2, P

. Desde P se trazan segmentos

perpendiculares a las asíntotas en R y Q respectivamente, entonces ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

donde

es la excentricidad y es la longitud del semieje conjugado de . 12) es una hipérbola con asíntotas A1 y A2, Q . Por Q se traza una recta ortogonal al eje de .Si

semieje conjugado.

y

̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅

donde

es la longitud del

13)

es una hipérbola con foco F, directriz D y P1 y P2 son puntos de , F rectas tangentes a en P1 y P2 respectivamente .

14) Si

15)

es una hipérbola con focos F1 y F2 y es una recta tangente a ( : longitud del semieje conjugado de ).

es una hipérbola con excentricidad

es una hipérbola con excentricidad

son

en P, entonces

si la hipérbola tiene eje

(en el

, T extremo del lado recto, entonces la

pendiente de la recta tangente a H en T es sistema de posición normal de ).

y

, T extremo del lado recto, entonces la

pendiente de la recta tangente a H en T es sistema de posición normal de ).

16)

̅̅̅̅̅̅,

si la hipérbola tiene eje

(en el