Integrales Impropias (problemas Resueltos).pdf 4nf6u

1 INTEGRALES IMPROPIAS. 1. Calcular las siguientes integrales: Z +∞ (a) e−x sen x dx 0

Soluci´on Calculamos una primitiva de la funci´on Z 1 F (x) = e−x sen x dx = ejercicio = − e−x (Cos[x] + Sen[x]) 2 La integral buscada es l´ım (F (x) − F (0)) = 0 − (−1/2) = 1/2 x→+∞ Z 1 (b) x ex dx −∞

Soluci´on Calculamos una primitiva de la funci´on Z F (x) = x ex dx = ejercicio = ex (−1 + x) La integral buscada es l´ım (F (1) − F (x)) = 0 − 0 = 0 x→−∞ Z +∞ (c) cos x dx 1

Soluci´on Calculamos una primitiva de la funci´on Z F (x) = cos x dx = sen x La integral buscada es divergente ya que no existe l´ım sen(x) x→+∞ Z +∞ dx (d) 2 x −4 4 Soluci´on Calculamos una primitiva de la funci´on Z x − 2 dx F (x) = = ejercicio = 1/2 ln x2 − 4 x + 2 La integral buscada es l´ım (F (x) − F (4)) = 0 − 1/2 ln(1/2) = x→+∞ Z +∞ dx (e) x 1 Soluci´on Calculamos una primitiva de la funci´on Z dx = ln |x| F (x) = x La integral buscada es divergente ya que l´ım F (x) = +∞ x→+∞ Z −2 dx (f) 2 −∞ x Soluci´on Calculamos una primitiva de la funci´on Z dx −1 F (x) = = ejercicio = 2 x x La integral buscada es l´ım (F (−2) − F (x)) = 1/2 − 0 = 1/2 x→−∞

ln 2 2

≈ 0,3466

2 2. Estudiar la convergencia de las siguientes integrales impropias de primera especie: Z +∞ 1 (a) dx x 2e + 1 1 Soluci´on Utilizamos el criterio de comparaci´on con la integral exponencial: +∞

Z 0≤ 1

Z

1 dx ≤ x 2e + 1

+∞

Z 1

1 1 dx = x 2e 2

Z

+∞

1

1 dx ex

+∞

1 dx es convergente (es la integral exponencial con t = −1 < 0) la integral a estudiar x e 1 tambi´en es convergente. Z +∞ x (b) dx 3+2 x 1

Como

Soluci´on Utilizamos el criterio de comparaci´on con la p-integral: Z 0≤ 1

Z Como 1

+∞

+∞

x dx ≤ 3 x +2

Z 1

+∞

x dx = x3

Z

+∞

1

1 dx x2

1 dx es convergente (es la p-integral con p = 2 > 0) la integral a estudiar es convergente. x2

Tambi´en pod´ıamos haber utilizado el criterio de comparaci´on por paso al l´ımite ya que x 3+2 x3 x =1 l´ım = l´ım 3 1 x→∞ x→∞ x + 2 x2 Z +∞ 1 Como dx es convergente (es la p-integral con p = 2 > 0) la integral a estudiar tiene el mismo x2 1 car´acter y tambi´en es convergente. Z +∞ x3 (c) dx e2x + 1 1 Soluci´on Utilizamos el criterio de comparaci´on por paso al l´ımite, compar´andola con la integral exponencial para t = −1 < 0 l´ım

x→∞

x3 x 3 + 1 = l´ım e x = 0 1 x→∞ e2x + 1 x e

e2x

Como la integral exponencial para t = −1 < 0 es convergente la integral a estudiar tambi´en es convergente. Z +∞ x √ (d) dx x4 + 1 2 Soluci´on Utilizamos el criterio de comparaci´on por paso al l´ımite, compar´andola con una p-integral x √ 4 x2 x +1 l´ım = l´ım √ =1 1 x→∞ x→∞ x4 + 1 x

3 Z

+∞

1 dx es divergente (es la p-integral con p = 1) la integral a estudiar tiene el mismo car´ acter x 2 y tambi´en es divergente. Z +∞ sen x (e) dx x2 1

Como

Soluci´on Estudiamos su convergencia absoluta Z

+∞

+∞

1

1

Z sen x 2 dx = x

|sen x| dx ≤ x2

Z

+∞ 1

1 dx x2

Como esta integral es convergente la integral a estudiar es absolutamente convergente y, por tanto, convergente Z +∞ 1 dx (f) 2 −∞ x + 1 Soluci´on Esta integral es Z

+∞

1 dx = 2 −∞ x + 1

Z

0

1 dx + 2 −∞ x + 1

Z

+∞

x2

0

1 dx +1

Como ambas integrales son convergentes (ejercicio) la integral a estudiar es convergente Z +∞ (g) x3 dx −∞

Soluci´on Esta integral es Z

+∞ 3

Z

0 3

x dx = −∞

Z

+∞

x3 dx

x dx + −∞

0

Como ambas integrales son divergentes (ejercicio) la integral a estudiar es divergente 3. Calcular, si es posible: Z 1 dx √ (a) 5 −1 x Soluci´on La funci´ on a integrar no es continua en x = 0 y dividimos la integral en dos Z

1

dx √ = 5 −1 x

Z

0−

dx √ + 5 −1 x

Z

1

dx √ 5 0+ x

Si estas dos integrales son convergentes, como la funci´on es impar, tienen valores opuestos y la integral Z 1 dx √ es cero. S´olo queda por estudiar si es convergente 5 0+ x Z dx 5x4/5 √ La integral es convergente ya que si calculamos una primitiva F (x) = = ejercicio = Se 5 4 x 5x4/5 tiene l´ım F (x) = l´ım =0 x→0+ x→0+ 4 Obs´ervese que es una r-integral para cero con r = 1/5, por tanto convergente. Z e ln x √ dx (b) x + 0

4 on a integrar no es continua en x = 0 y si calculamos una primitiva Soluci´on La funci´ Z √ ln x F (x) = √ dx = ejercicio = 2 x(ln(x) − 2) x √ Se tiene que la integral buscada es l´ım (F (e) − F (x)) = − e − 0 x→0+ Z 1 (c) x ln x dx 0+

Soluci´on La funci´ on a integrar no es continua en x = 0 y si calculamos una primitiva Z x2 F (x) = x ln x dx = ejercicio = (2 ln(x) − 1) 4 Se tiene que la integral buscada es l´ım (F (1) − F (x)) = (−1/4) − 0 = −1/4 x→0+

4. Estudiar la convergencia de las siguientes integrales impropias de segunda especie: Z 1 ln x (a) dx 2 0+ x Soluci´on La funci´ on a integrar no es continua en x = 0 y, al ser negativa en el intervalo de integraci´ on, analizamos su opuesta. Para ello, vamos a utilizar el criterio de comparaci´on por paso al l´ımite

− l´ım

x→0+

Z Como Z (b)

ln x x2 = l´ım − ln x = +∞ 1 x→0+ x2

1

1 dx es divergente, la integral a estudiar es divergente 2 0+ x

π 2

sen x dx 4 0+ x

on a integrar no es continua en x = 0 y es positiva en el intervalo de integraci´ on, Soluci´on La funci´ por lo que podemos utilizar el criterio de comparaci´on por paso al l´ımite sen x 4 sen x l´ım x = l´ım =1 + + 1 x x→0 x→0 x3 Z Como

π 2

0+

Z

2−

(c) 1

1 dx es divergente y ambas tienen el mismo car´acter, la integral a estudiar es divergente x3

x dx (2 − x)2

Soluci´on La funci´ on a integrar no es continua en x = 2 y es positiva en el intervalo de integraci´ on, por lo que podemos utilizar el criterio de comparaci´on por paso al l´ımite x (2 − x)2 l´ım = l´ım x = 2 1 x→2− x→2− 2 (2 − x)

5 Z

2−

Como 1

1 dx es divergente y ambas tienen el mismo car´acter, la integral a estudiar es diver(2 − x)2

gente Z 1 dx √ (d) 2 0+ x + x on a integrar no es continua en x = 0 y es positiva en el intervalo de integraci´ on, Soluci´on La funci´ por lo que podemos utilizar el criterio de comparaci´on por paso al l´ımite

√ l´ım

x→0+

Z

1

Como 0+

1 x +x =1 = l´ım √ 1 x→0+ x2 + x x

x2

dx √ es divergente y ambas tienen el mismo car´acter, la integral a estudiar es divergente x

5. Estudiar la convergencia de las siguientes integrales impropias: Z +∞ −x e √ dx (a) x 0+ on a integrar no es continua en x = 0 por lo que separamos la integral entre cero y Soluci´on La funci´ +∞, por ejemplo en uno: Z

+∞ −x e 0+

Z

√ dx = x

Z

e−x √ dx + x 0+ 1

Z

+∞ −x e 1

√ dx x

e−x √ dx podemos utilizar el criterio de comparaci´on por paso al l´ımite x 0+ 1

e−x √ x l´ım = l´ım e−x = 1 x→0+ 1 x→0+ √ x Z

1

1 √ dx es convergente y ambas tienen el mismo car´acter, la integral a estudiar es 0+ x convergente Z +∞ −x e √ dx podemos utilizar el criterio de comparaci´on por paso al l´ımite x 1

Como

e−x √ 1 x l´ım −x = l´ım √ = 0 x→+∞ e x→+∞ x Z

+∞

Como

e−x dx es convergente la integral a estudiar es convergente

1

Z

√ +∞

(b) 2+

x−2 dx −4

x2

6 on a integrar no es continua en x = 2 por lo que separamos la integral entre x = 2 Soluci´on La funci´ y +∞, por ejemplo en x = 3: Z +∞ √ 2+

x−2 dx = 2 x −4

Z

3 2+

√

x−2 dx + 2 x −4

Z

+∞

√

3

x2

x−2 dx −4

√ x−2 dx es convergente (ejercicio) 2 2+ x − 4 Z +∞ √ x−2 dx es convergente (ejercicio) 2 x −4 3 Z

3

Por tanto, la integral a estudiar es convergente Z +∞ 1 √ (c) dx 2 1+ x x − 1 on a integrar no es continua en x = 1 por lo que separamos la integral entre x = 1 Soluci´on La funci´ y +∞, por ejemplo en x = 2: Z +∞ Z 2 Z 1 1 √ √ dx = dx + 2 2 1+ x x − 1 1+ x x − 1 Z 2 1 √ dx es convergente (ejercicio) 2 1+ x x − 1 Z +∞ 1 √ dx es convergente (ejercicio) x x2 − 1 2

+∞

1 dx x x2 − 1 √

2

Por tanto, la integral a estudiar es convergente Z 1 sen( x1 ) √ (d) dx 3 x 0+ on a integrar no es continua en x = 0 pero la integral es absolutamente convergente Soluci´on La funci´ Z 1 Z 1 1 1 sen( x ) √ √ dx ≤ dx convergente 0≤ 3 3 x x + + 0 0 Z (e)

1

1 sen dx x 0+

Soluci´on La funci´ on a integrar no es continua en x = 0 pero la integral es absolutamente convergente Z 1 Z 1 1 dx convergente 0≤ sen x dx ≤ 0+ 0+ Z

+∞

x+1 dx x5 + 16x 0+ Soluci´on La funci´ on a integrar no es continua en x = 0 por lo que separamos la integral entre x = 0

(f)

√

y +∞, por ejemplo en x = 1: Z +∞ Z x+1 √ dx = x5 + 16x 0+

1

x+1 √ dx + 5 0+ x + 16x

Z

+∞

√ 1

x+1 dx x5 + 16x

7 Z

1

x+1 √ dx es convergente (ejercicio) x5 + 16x Z +∞ x+1 √ dx es convergente (ejercicio) x5 + 16x 1 0+

Por tanto, la integral a estudiar es convergente 6. Descomponer las siguientes integrales en suma de una integral de primera especie y otra de segunda especie, estudiar el car´ acter de ambas y deducir si la integral dada es convergente o no lo es: Z +∞ √ 4 16x √ (a) dx 3 x−2 2+ Soluci´on La funci´ on a integrar no es continua en x = 2 por lo que separamos la integral entre x = 2 y +∞, por ejemplo en x = 3: Z 3 √ Z +∞ √ Z +∞ √ 4 4 4 16x 16x 16x √ √ √ dx = dx + dx 3 3 3 x−2 x−2 x−2 2+ 3 2+ Z 3 √ 4 16x √ dx es convergente (ejercicio) 3 x−2 2+ Z +∞ √ 4 16x √ dx es divergente (ejercicio) 3 x−2 3 Por tanto, la integral a estudiar es divergente Z +∞ 5x √ (b) dx 3 + x2 − 4 2 on a integrar no es continua en x = 2 por lo que separamos la integral entre x = 2 Soluci´on La funci´ y +∞, por ejemplo en x = 3: Z +∞ Z 3 Z +∞ 5x 5x 5x √ √ √ dx = dx + dx 3 3 3 2 2 + + x −4 x −4 x2 − 4 2 2 3 Z 3 5x √ dx es convergente (ejercicio) 3 x2 − 4 2+ Z +∞ 5x √ dx es divergente (ejercicio) 3 x2 − 4 3 Por tanto, la integral a estudiar es divergente Z +∞ 7 √ (c) dx 4 3 + x x2 − 1 1 Soluci´on La funci´ on a integrar no es continua en x = 1 por lo que separamos la integral entre x = 1 y +∞, por ejemplo en x = 3: Z +∞ Z 3 Z +∞ 7 7 7 √ √ √ dx = dx + dx 4 4 4 3 x2 − 1 x3 x2 − 1 x3 x2 − 1 1+ 1+ x 3 Z 3 7 √ dx es convergente (ejercicio) 4 3 x2 − 1 1+ x

8 Z

+∞

x3

3

√ 4

7 dx es convergente (ejercicio) x2 − 1

Por tanto, la integral a estudiar es convergente Z +∞ 4x2 √ dx (d) 4 x2 − 1 1+ Soluci´on La funci´ on a integrar no es continua en x = 1 por lo que separamos la integral entre x = 1 y +∞, por ejemplo en x = 3: Z +∞ Z 3 Z +∞ 4x2 4x2 4x2 √ √ √ dx = dx + dx 4 4 4 x2 − 1 x2 − 1 x2 − 1 1+ 1+ 3 Z 3 4x2 √ dx es convergente (ejercicio) 4 x2 − 1 1+ Z +∞ 4x2 √ dx es divergente (ejercicio) 4 x2 − 1 3 Por tanto, la integral a estudiar es divergente 7. Demostrar que las siguientes integrales impropias son convergentes: Z 1− 1 √ (a) dx 1−x 0 Soluci´on Es la r-integral para x = 1 con r = 1/2 por tanto es convergente. Z π 2 sen x √ (b) dx 0+ 1 − cos x Soluci´on Si hacemos el cambio de variable t = cos x tenemos una r-integral para x = 1 con r = 1/2, por tanto es convergente: t = cos x Z

π 2

Z dt = − sen xdx sen x √ dx = =− 0+ 1 − cos x x=0↔t=1 x= Z

1

√

(c) 0+

π 2

0

1 √ dt = 1− 1 − t

Z

1−

√ 0

1 dt 1−t

↔t=0

dx x(x + 1)

Soluci´on Es la integral de una funci´ on positiva que est´a acotada por la r-integral para x = 0 con r = 1/2 por tanto es convergente Z 1 Z 1 dx dx √ √ ≤ 0≤ 0+ x(x + 1) 0+ x 8. Aplicar el criterio de comparaci´ on por paso al l´ımite para integrales impropias de primera especie para estudiar la convergencia de la siguiente integral y utilizar la definici´on para calcularla: Z +∞ dx 2 x +4 0 Soluci´on

9 Para aplicar el criterio de comparaci´on por paso al l´ımite, consideramos la p-integral con p = 2 1 2+1 x2 x l´ım = l´ım 2 =1 1 x→∞ x→∞ x + 1 x2 Z

+∞

Como 2

1 dx es convergente y la integral a estudiar tiene el mismo car´acter tambi´en es x2

convergente. Para utilizar la definici´ on, calculamos una primitiva de la funci´on Z dx F (x) = = ejercicio = 1/2ArcT an[x/2] 2 x +4 Z b π dx = l´ım (F (b) − F (0)) = (π/4) − 0 = La integral buscada es l´ım 2+4 b→+∞ b→+∞ x 4 0 9. Estudiar la convergencia de las siguientes integrales impropias seg´ un el valor del par´ametro α: Z +∞ α x (a) dx; con α > 0 1+x 0 Soluci´on Si al aplicar el criterio de comparaci´on por paso al l´ımite, consideramos la p-integral con p=1−α

xα x l´ım 1 + x = l´ım =1 1 x→∞ x→∞ x + 1 x1−α

Como p = 1 − α con α > 0 tenemos p < 1 y por tanto es divergente Z +∞ αe−αx dx; con α > 0 (b) 0

Soluci´on Es proporcional a una integral exponencial convergente (t = −α < 0), por tanto es convergente