Ley De Efriamiento Y Calentamiento De Newton w2c5u

Tarea 1 - Primera Parte Ley de enfriamiento/calentamiento de Newton Grupo 3 Daniel Belmar Eduard Vallejos Sadrac Sanhueza 8 de abril de 2013

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Explicaci´ on de la ley

Dada la ley emp´ırica de Newton acerca del enfriamiento, cuando la diferencia de temperaturas entre un cuerpo y su medio ambiente no es demasiado grande, el calor transferido en la unidad de tiempo hacia el cuerpo o desde el cuerpo por conducci´ on, convecci´ on y radiaci´on es aproximadamente proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el medio externo. Traducido en una expresi´ on matem´atica, la ley de enfriamiento/calentamiento de Newton es: dT ∝ (Tm − T ) (1) dt o bien, dT = k(Tm − T ) (2) dt Donde T (t) representa la temperatura del cuerpo al tiempo t, Tm es la temperatura del medio que lo rodea. Por otro lado, dT dt es la rapidez con la que cambia la temperatura del cuerpo y k es una constante de proporcionalidad. Si Tm es una constante, se establece que k < 0.

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Ejercicios

Ejercicio 2.1. Una taza de caf´e se enfr´ıa de acuerdo con la ley de enfriamiento de Newton, ecuaci´ on (2). Utilice los datos de la gr´ afica de apertura T (t) en la figura 2 para estimar las constantes Tm , T0 y k en un modelo de la forma de un problema con valores iniciales de primer orden: dT dt = k(T − Tm ), T (0) = T0 .

Figura 1: Curva de enfriamiento, ejercicio 2.1 La estimaci´ on del gr´ afico corresponde a: T0 = 175 aprox. Tm = 80 aprox. Ahora para estimar k debemos hacer lo siguiente: dT = k(T − Tm ) dt y desepejando tenemos dT = kdt (T − T m) luego, reemplazando Tm = 80 y aplicando integral el desarrollo de esto es Z Z 1 dT = kdt ⇐⇒ ln|T − 80| = kt + c1 (T − T m) ⇐⇒ T − 80 = ekt+c1 ⇐⇒ T = 80 + ec1 ekt ⇐⇒ T = 80 + c2 ekt , c2 = ec1

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Sabemos que si t = 0, entonces T = 175. As´ı, remplazando 175 = 80 + c2 por lo que c2 = 95 Por lo tanto T = 80 + 95ekt Por u ´ltimo, de la gr´ afica obtememos la medici´on de T (25) = 90 aprox. Lo que conduce a 10 10 25k ⇐⇒ 25k = ln e = 95 95 10 ln 95 ⇐⇒ k = 25 ⇐⇒ k = −0, 090051671 En resumen: T0 = 175 Tm = 80 k=

ln

10 95



25 k = −0, 090051671

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Ejercicio 2.2. La temperatura ambiente Tm en la ecuaci´ on (2) podr´ıa ser una funci´ on del tiempo t. Suponga que en un medio ambiente controlado, Tm (t) es peri´ odica con un periodo de 24 horas, como se muestra en la figura 2. Dise˜ ne un modelo matem´ atico para la temperatura T (t) de un cuerpo dentro de este medio ambiente.

Figura 2: Temperatura ambiente, ejercicio 2.2 T (t): temperatura de un cuerpo Tm (t): temperatura ambiente T0 = T (0) dT = k(T − Tm ) dt t Tm (t) = 80 − 30cos π 12

(3) (4)

Reemplazando la ecuaci´ on (4) en la ecuaci´on (3) tenemos el modelo matem´atico para la temperatura T (t) dT t = k T − 80 − 30cos π dt 12 Por lo tanto

dT t = k T − 80 + 30cos π dt 12

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