Libro De Ecuaciones Diferenciales 3i6t3y
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- Words: 12,057
- Pages: 103
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA ECUACIONES DIFERENCIALES CONTENIDO El presente trabajo es una recopilación de problemas propuestos en las prácticas y exámenes tomados en las diversas especialidades de la UNI, el alumno debe tener conocimiento de las derivadas y de manera fundamental del cálculo integral. Es necesario que practique y repase los métodos que se van presentando, de una constante práctica dependerá que asimile estos conocimientos que serán fundamentales para plantear modelos matemáticos que contribuyen en la formación de enlazar la práctica con la realidad, como ingenieros estarán siempre buscando dar solución a determinados problemas que su vida profesional se presenta, las matemáticas enriquece su nivel de razonamiento les da herramientas para el análisis. Solución de ecuaciones diferenciales de primer orden y de primer grado I.)
Método de separación de variables -Método de las ecuaciones diferenciales Homogéneas -Ecuaciones homogéneas -Ecuaciones diferenciales reductibles a ecuaciones diferenciales homogéneas -Problemas geométricos -Problemas físicos
II.)
–Método de diferenciales Exactas -Solución de las ecuaciones diferenciales exactas -Método de factor integrante Problemas de aplicación Problemas propuestos
SOLUCION DE ECUANCIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y DE PRIMER GRADO
Sabemos que una ecuación de primer orden y de primer grado presenta cualquiera de las dos formas.(
)
(
)
(
)
La solución de estas ecuaciones se puede determinar mediante algunos de los tres métodos que presentamos.Primer método.- método de separación de variables Segundo método.- método de las diferenciales exactas Tercer método.- método del factor integrante El método a emplear, depende del tipo de ecuaciones diferenciales que se presenta, ya que ella puede ser reducida a tal modo que se pueda resolver por cualquiera de los métodos indicados. METODO DE SEPARACION DE VARIABLES O VARIABLES SEPARABLES (1) Este método se emplea cuando la ecuación diferencial dada, pueda llevarse a la forma: ( )
( )
( )
La cual nos indica que se han separado variables y la solución general se obtiene integrando ecuación anterior, se obtiene
∫
∫ ( )
( )
( )
Ejercicios resueltos.1) Resolver la ecuación diferencial (
)
( )
Resolución.La ecuación (1), puede escribirse también: (
)
(
)
Separando variables, es decir llevando a la forma (B) *
+
*
+
( )
1.- Hállese la solución general de la siguiente E.D (
)
(
)
( )
Resolución.De (1), separando variables resulta. ∫
∫
( )
Los integrales de (2); son inmediatamente; entonces integrando y teniendo en cuenta las propiedades de los logaritmos se tiene. √
*√
√
Quitando el logaritmo y el radical queda lo siguiente: (
)
(
)
+
2.- Hállese la solución particular para la E.D que satisface a los valores ( (
)( )(
)( )(
) )
( )=
0
( )
Resolución.- De la E.D dada en (1): se tiene también: ( (
)( )(
)( )(
) )
(
)
(
)
(
(
)(
)
(
) )(
)
( )
Se integra por fracciones parciales para integrar la segunda igualdad de (2), se descompone en fracciones parciales, así ∫[
∫[
]
]
Efectuando las integrales que son inmediatas se tiene: (
)
(
)
(
)
(
)
Y aplicando las propiedades de los logaritmos se reduce a: (
)(
)
(
)(
)
(
)
Para obtener la S.P se debe calcular la constante de integración para las condiciones dadas; es decir.
Remplazando en la S.G, resulta C=1, entonces la S.P, es: (
)(
)
(
)(
)
3.- Resolver la siguiente E.D. ( Resolución.-
)
(
√
)(
)
( )
Separando variables resulta
√(
)
√
Para integrar el primer miembro, se hace el cambio
Sustituyendo el (2) luego integrando.
( )
∫
∫
)
√(
∫
√
Es decir ( Sabemos que:
)
√
(
)
( )
√
√
Sustituyendo en (,3) y recordando las propiedades de los logaritmos, la S.G, en: √
[
√
]
√
(2) Ecuaciones Homogéneas Una ecuación es homogénea de grado — si al sustituir en ella por respectivamente, resulta, la expresión original multiplicada por para todos los adecuadamente restringidos, analíticamente se tiene: (
)
(
)
(
)
Ejemplo: Las siguientes ecuaciones: √ Son homogéneas de grados (
respectivamente, pues:
)
(
)
Entonces se tiene que:
(
)
(
)
2.1.- Ecuaciones Diferenciales Homogéneas La ecuación
(
)
(
)
( )
Se denomina ecuación diferencial homogénea, si M y N son funciones homogéneas del mismo grado; de (1) ( ( Evidentemente que (
)
(
)
)
( )
); es una función de grado cero.
(*) También, si tiene ó es posible llevarlo a la forma ( )
( )
Para resolver la E.D.H (2); se reduce a una ecuación diferencial de variables separadas, mediante la sustitución: ( ) Para entender mejor, se observa que se cumple (
)
Estas relaciones nos permiten hacer (
)
(
)
(
)
, entonces: ( * ]
[
(
)
( )
(3) y (4), sustituimos en (2) según corresponda, y se tiene (
)
( )
En (5), las variables se pueden separar es decir: (
)
(
)
( )
Integrando la segunda igualdad de (6), se obtiene la S.G EJERCICIOS RESUELTOS. 1.- Hállese la solución general de la siguiente ecuación diferencial. (
)
(
)
( )
Resolución.(1), es una E.D.H de grado 3, llamando a la forma: ( ) Haciendo el cambio de variables:
Sustituyendo en (2): se tiene después se simplificar ( ) Separando variables; para luego integrar: (
*
∫
∫[
]
Que integrando resulta finalmente: ( )
(
Volviendo a las variables
)
(
)
la S.G, es: (
)
2.- Resolver la siguiente ecuación diferencial y hállese la solución particular para los valores ( ) (
)
(
)
( )
Resolución.- Como la ecuación diferencial es homogénea se puede escribir también. ( )
( )
( )
( ) Donde hacemos: Sustituyendo variables; integrando se obtiene ( ) En (3), levantando logaritmos y volviendo a las variables ( [( )
( )
( )
) ]
Reduciendo la última expresión resulta la S.G. (
)
Para la solución particular se la S.G. se debe calcular C, para los valores ( )
; es decir
Reemplazando en la S.G; se obtiene
3.- Hállese la solución general de la siguiente ecuación diferencial. √
√
√
√
( )
Resolución.- Racionalizando la ecuación queda: √
√
(
* ( )
( ) En (2) hacemos los cambios indicados, resulta. √
√
Separando variables: √
( )
√
{
√
Remplazando en el segundo miembro de (3), después de simplificar queda las integraciones de: ∫
∫
(
(
)
)
(
)
Volviendo a las variables originales, la S.G es √
2.2.- Ecuaciones diferenciales reductibles a ecuaciones diferenciales Homogéneas Las ecuaciones diferenciales de Primer orden reductibles a homogéneas presentan la forma. (
)
(
)
Que también puede escribirse así: (
*
Se reduce a una E.D.H; haciendo el siguiente cambio de variable.
( )
( )
} Donde
son variables;
son constantes que deben calcularse; reemplazando en (1) ( (
(
) )
( (
) )
*
Efectuando se tiene: ( (
(
) * )
( )
La expresión (3) será E.D.H, si los términos independientes que figuran en el segundo miembro son nulos, es decir. ( )
El sistema de ecuaciones (4), al ser resueltas dan los valores de |
|
|
|
|
entonces:
| |
|
( )
En la expresión (5); pueden ocurrir los casos: Primer caso.|
|
Entonces, el cambio de variable indicado es (2) es aplicable pues los valores de precisables. Segundo caso.|
|
( )
En tal circunstancia los valores de no son precisables y el cambio de variables indicado en (2) no funciona; el ejercicio 2, nos muestra la forma de resolver una ecuación ; donde se presenta el inconveniente indicado por las expresiones (6)
EJERCICIOS RESUELTOS.1.-Resolver la siguiente ecuación diferencial.
(
)
(
)
( )
Resolución.- A simple vista vemos que es una E.D reductible a homogéneas; por consiguiente el sistema de ecuaciones y su determinante son: }
|
|
Por ser es aplicable el método aplicado en 2.2.- entonces resolviendo el sistema de ecuaciones; resulta:
Reemplazando en (1); se obtiene la E.D.H. (
)
(
)
Lo que resolvemos haciendo:
(
*
obteniendose (
*
Integrando hallamos: (
)
(
Volviendo a las variables
)
(
)
(
) (
)
, la S.G. es: (
) (
)
2.- Hállese la solución general de la siguiente ecuación diferencial. (
Resolución.-
)
( )
La expresión (1), se escribe también: (
)
(
)
( )
Que es reductible a una E.D.H; luego el sistema de ecuaciones y su determinante son: } Como
|
|
no podemos hacer el cambio de variable indicado anteriormente, sino el siguiente:
( ) (3) reemplazando en (2); (
)
(
)(
)
(
)
(
)
S, V para integrar; e integrando. ( Volviendo a las variables
(
*
)
la S.G. en: (
)
(*)Hay otras ecuaciones que también son reductibles a ecuaciones diferenciales homogéneas; mediante un cambio de variable como se ilustra a continuación.3.- Resolver la siguiente ecuación diferencial. (
)
( )
Resolución.- Podemos ver que la ecuación dada no es homogénea; para reducirla a homogénea el siguiente cambio de variable (
)
( )
Sustituyendo (2) en (1) y aplicando operaciones resulta (
)
( )
La expresión (3) para ser una E.D.H; sus términos deben tener el mismo grado, entonces:
Reemplazando en (1), resulta: (
+
(
)
( )
En (4), la última ecuación de E.D.H seguimos el procedimiento indicado para estos casos.( ) (5) en (4); después de simplificar resulta:
(
)
Separando variables y reemplazando: (
(
*
)
( )
Volviendo a las variables primitivas, la solución general es: (
)
PROBLEMAS DE APLICACION
A. PROBLEMAS GEOMETRICOS
Para resolver un problema geométrico se debe recordar las relaciones geométricas correspondientes a una determinada familia de curvas, ya que dichas relaciones permiten plantear la ecuación diferencial que resuelve el problema; es decir. ( (
) )
( ) ( )
La S.G es la ecuación de la familia de curvas, cuya E.D es (1), para cada valor de C; se tendrá la ecuación de una curva de dicha familia.
PROBLEMA 1.Determinar la ecuación diferencial de la familia de curvas, que gozan de la siguiente propiedad: “la longitud de la normal trazada por cualquier punto de una de las curvas es siempre 10 unidades” Resolución.- Es recomendable hacer un gráfico: √
Sabemos
( )
Con cual se tiene la ED que resuelve el problema.- efectuando √
√
( )
(
) (
)
Para integrar hacemos:
Sustituyendo en (1);
√ Volviendo a las variables √
PROBLEMA 2.Hallar la curva para la cual la perpendicular trazada a la tangente desde el pie de la ordenada del punto de o es constante, determinar lo que pasa por el punto (o, a) Resolución.- Del enunciado se tiene. Condición=̅̅̅̅ (
√
En
√
sa H
Luego la ED de la familia de curvas. √
)
( )
√
Resolviendo la ED (1) obtenemos la S.G ( ) ( ) √ (2) es la solución general, es decir la ecuación de la familia de curvas que cumple con el enunciado. ( )
Para:
Reemplazando en (2) y efectuando se tiene la solución (
√
+
(
√
) +
(
)
PROBLEMA 3.Determinar la ecuación de una curva que pase por (1,1) y que tenga la propiedad de que la abscisa en el origen de su recta tangente sea igual a la ordenada de su recta normal Resolución.- Planteando el problema:
Y Condición:
(1)
Donde:
(
)
Reemplazando en (1) ( ) (2) es una EDH que al integrar resulta. ( )
( )
(
)
ó lo que es la S.G: (
)
( )
( )
(3) es la ecuación de la familia de curvas que cumple la condición del problema; para la S.P se debe calcular c. ( )
Cuando (
)
( )
( ) ( )
PROBLEMA 4.Determinar la ecuación de una curva tal que pase por (3,4) y en que la longitud de su sub tangente en cualquier punto sea igual a la distancia del punto al origen Resolución.̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
( )
(
√
)
Recta tan
Reemplazando en (1) (
√
)
( )
√
(2) es una EDH, para integrarla se debe hacer dos cambios de variables en el siguiente orden. ( )
√
( )
Integrando resulta que la familia de curvas es * (√
)+
(√
)
( )
o también: [
√
]
(√
)
( )
( )
EN (B); para
Reemplazando C, en (B), se tiene la curva solicitada. * (√
)+
(√
)
( )
B. PROBLEMAS FISICOS PROBLEMA 1.Una barca con su carga pesa 98.1 kg .Si la fuerza que ejerce el motor sobre la barca en la dirección del movimiento es equivalente a una fuerza constante de 15kg, y la resistencia (en kilogramos) al movimiento es numéricamente igual al doble de la velocidad (en metros por segundo); determinar la velocidad sabiendo que la barca parte del reposo. a) después de t, segundos; b) después de 10 segundos c) la velocidad limite
Resolución.-
Datos e incógnitas W Datos e Incógnita t 0 t 10 0 ¿? ¿? ¿? W= 98.1 kg = 2v = 15 kg g = 9.81 ( )
Por newton, sabemos que Del gráfico: ,
Reemplazando valores en (1) se obtiene la ecuación diferencial (
)
( )
Resolviendo la ED (2); obtenemos la ecuación del movimiento, es decir la SG que es: (
)
( )
En (3) calculamos c; para los valores iníciales es decir para (
)
Por consiguiente la SP corresponde a la ecuación que gobierna el movimiento, esto es: ( (
a) De (2), despejamos v:
( )
) (
Como b) Para
*
)
de la anterior resulta: (
c) La velocidad limite se obtiene para obteniendo.
) y reemplazamos en la respuesta de (a);
PROBLEMA 2.Un cuerpo de masa m; cae dentro de una liquido por efecto de su peso y experimentalmente una resistencia proporcional al cubo de su velocidad a) Hallar la ecuación del movimiento b) Mostrar que la velocidad tiende a un valor constante Resolución.- Aplicamos el principio de Newton ( )
La fuerza que resulta y ocasiona el movimiento es:
( )
Como
Reemplazando en (2) luego en (1) se tiene:
La E.D del movimiento es:
(
( )
)
Para hacer fácil la integración hacemos los cambios ( )
( )
El segundo miembro es integrable directamente; el primer miembro integramos por descomposición en fracciones posibles. ∫
(
)(
)
∫(
*
Efectuando resulta.
∫(
Comenzamos la integración
,
∫ (
∫ (
)
(
)
)
[
(
(
√ √
)
(
,]
√
√
)
Reemplazando en (4), resulta.
√
(
(
)
√
De la primera expresión de (4):
(
(
(
*
)]
*
*
(
)
( )
reemplazando en (5)
[ (
*
)
*
(
)
(
(
)
+
√
)
(
(
√
+
√
(
√
√
√
)
)
)
b). En (3) Tiende a valor constante cuando Entonces: √ PROBLEMA 3.Se tiene un recipiente que contiene 400 litros de agua y un contenido de 25kg de sal. Está mezclado se mantiene uniforme mediante un mecanismo de agitación. Si a este depósito ha de
ingresar salmuera que contiene 0.25kg de sal por litro de salmuera a razón de 12litros por minuto: determinar a) La cantidad de sal que contendrá en cualquier instante, si la mezcla sale del recipiente con el mismo gasto que entra b) La sal que contendrá al cabo de 30minutos c) ¿Cuándo contendrá 75kg de sal?
Resolución.- Consideremos empezado el procedimiento, entonces:
Al transcurrir t min; hay x kg de sal en el recipiente.
La concentración será=
Luego al transcurrir
(
)
, x se incrementa en
(Cantidad se sal que entra)-(cantidad de sal que sale) que es la ecuación de continuidad, abreviadamente ( ) (
)
(
*
Reemplazando en (1) ; se obtiene la ecuación diferencial del problema. ( (
Reemplazado (2): (
Cuando
( )
)
)
( )
)
a) Reemplazando en (3), el valor de C, despejando x:
b) Se calcula x, cuando t= 30min; en expresión (a)
c) Conociendo C=L(75) y X= 75kg en (3), calculamos (
)
(
)
(
*
PROBLEMA 4.Un tanque que tiene la forma de un cubo de 3.67m de arista; presenta una fuga debido a un pequeño agujero cuya área mide 13 centímetros cuadrados. Si inicialmente está lleno de sus tres
cuartas partes; determinar la relación de los tiempos cuando está lleno hasta la mitad; y cuando esta vacío. Resolución.- Al transcurrir ( ) la altura de agua es ( ( ) y el volumen disminuye en
) . En un
; el nivel disminuye en
( )
Luego:
3.67
También, el mismo volumen sale por la sección B a una velocidad.
A
( )
Luego: √
Como sabemos:
( ) B ( )
√
Resolviendo (3)
√
Donde:
Luego el tiempo necesario para calcular nivel es: *√
√
+
( )
Donde: A= área de sección del cubo; B= área de sección de agujero [√
En (5) para
Para
√ ]
[√
La relación solicitada es:
√
√
(√
√
√ ) √
Simplificando
PROBLEMA 5.El radio de un cilindro circular recto mide 3.06m y su altura 6.12m .El cilindro que se llena con agua tiene en su base un pequeño orificio circular de 25.5 mm de diámetro ¿Cuánto tardará en salir toda el agua? Primero considerar ( Resolución.-
)
Es conveniente resolver el problema en forma general condiciones (
)
y(m)
Datos
0 h
v=3.06m 0
0
a=0.0255 A
y Al transcurrir (
h
) la altura es ( )
Al trascurrir ( ), el nivel de agua desciende volumen descendido: entonces: (
)
( ), y el volumen desalojado es igual al
(
)
( )
√ √
Reemplazando en (1):
(2)
√
Resolviendo (2):
(3) √
Para
El tiempo necesario para descender hasta cualquier nivel se consigue reemplazando k, en (3),y *√
a)
( )
+
( ) (
b)
√
)
( *
(
( )
PROBLEMA 6.-
Condiciones
)
(
Un casquete hemisférico de R m de radio con la base arriba, está lleno de agua que sale a través de un orificio de diámetro practicado en el fondo ¿Cuánto tiempo en vaciarse? Si el coeficiente de descargue es c.
)
0
(m)
R
0
hacia de a m tardara
Aplicación: Resolución.R
0
0
M
P
A medida que el agua desciende el Radio varía para el espejo de agua
Calculo del volumen descendido en un ( ) (
En
) ( ) √
Luego en (1):
( )
Volumen desalojado en un (
) √
( )
Según (A) del problema general, igualando (2) y (3) (
)
( )
√
(4) es la ecuación diferencial que resuelve al problema, resolviendo por los métodos conocidos: (
Reemplazando en (5)
)
( )
√
√
(
)
Esta expresión representa el tiempo de variación para cualquier nivel. Calcular
( * √
Para:
(II)METODO DE DIFERENCIALES EXACTAS Este método se emplea cuando se observa o se determina que la ecuación diferencial dada , constituye una “diferencial exacta” entonces la solución general se conseguir determinando cual es la relación. (
)
Que satisface a la ecuación diferencial.Reducción del Método.I)
Condiciones de Exactitud.-
Consideremos la familia de curvas ( cuya diferencial es: ó bien:
)
( ) Considerando la Ecuación Diferencial: ( )
(
)
( )
Considerando (1), con (2) resuelta que: ( ) Si en (3) derivamos la primera parcialmente con respecto a y; la segunda con respecto a x; Resulta. ( ) Bajo ciertas condiciones adecuadas, es indiferente el orden en que se efectúa la derivación; luego sabemos que: ( )
Si la última relación en (5) se cumple entonces la ecuación (2) es denominada “Ecuación Diferencial Exacta”, esta relación constituye una condición necesaria y suficiente para la exactitud.
II)
Solución de la E.D.E
La solución puede comenzarse por cualquiera de las expresiones de (3); depende del grado de dificultad en la integración; lo usual es comenzar por la primera; la cual integramos en respecto a x. ( )
∫
( )
La “constante de Integración “que se presenta en este caso es una función arbitraria de proviene de una integración en la que “y”, ha sido considerada constante.
ya que
El problema queda reducido a encontrar ( )M en la condición de que , dado por (6) satisface a la segunda relación de (3); diferenciando (6) con respecto a y; debe ser igual a N; esto es: ( )
∫ Luego resulta: ( )
( )
∫
Luego en (6) el valor de
∫(
∫
*
( )
, es: ∫
∫(
∫
*
( )
Por consiguiente la S.G presenta la forma:
∫
∫
∫(
∫
*
.
(*) se recomienda aprender el método, mas no la fórmula que se indican.
EJERCICIOS RESUELTOS.-
1.- Hállese la solución general de la ecuación diferencial. ( Resolución.-
)
(
Verificando las condiciones de exactitud.
)
( )
De (1): (
)
(
)
0
( ) (
)
}
La expresión (2) verifica las condiciones de exactitud, luego ]
∫[
( )
( )
Integrando ( )
( )
(4) diferenciamos respecto a y; e igualando a N
( ) Efectuando:
( )
(
)
( )
Es decir que
La resolución general es:
2.- Resolver la Ecuación diferencial. ( ) Resolución.-
La ecuación también es: (
)
(
( (
( )
*
) )
{ }
}
( )
(3) verifica las condiciones de exactitud, luego calculamos ( considerando N.
) esta vez la hacemos
( )
∫ (
*
( )
( )
Diferenciando (4) respecto de x, e igualando a M. ( )
( )
( )
( )
Reemplazando en (4); (
*
Por consiguiente la S.G es: (
*
(
*
(III) METODO DE DIFERENCIALES EXACTAS Cuando la ecuación diferencial de Primer Orden y de primer grado no es una diferencial exacta existen varios métodos para resolverla, que depende de las formas que presentan dichas ecuaciones, como veremos más adelante. A continuación se nuestra el caso de aquellas ecuaciones diferenciales, que no siendo exactas, se las transforma a exactas mediante un factor de integración f, al que se le denomina “Factor de Integración” Si el factor de integración es función de las variables ( ) su cálculo resulta laborioso y complicado, facilit ndose si es una relación en “x” solamente; o una relación en “y” solamente
Determinación del Factor Integrante. Sea la ecuación diferencial no exacta: (
)
(
)
( )
Multiplic ndolo por el factor de integración “f” (hasta ahora desconocido), por definición, la ecuación (1) se hace exacta.
(
I)
)
(
)
( )
Caso en que “f” es una función de x.
De (2) escribimos: ( Si el coeficiente de
*
( )
, en (3) es solamente función de x ( )
(
( )
*
( )
Integrando la segunda expresión de (4) se tiene. ( )
∫ ( )
∫ ( )
Donde omitimos la constante de integración; entonces el procedimiento es: Si (
II)
*
( )
∫ ( )
( )
Caso en que “f” es una función de y.
De (2) podemos escribir (
*
( )
Donde se tiene que: ( )
(
*
( )
( )
Integrando la segunda expresión de (7) ( )
∫ ( )
∫ ( )
Donde también se emite la constante de integración „, entonces el procedimiento es:
(
∫ ( )
( )
*
( )
Donde f; es el factor de integración
Procedimiento.Dada la E.D
(
1.- calcular:
( )
2.- Si 3. Si A
)
(
)
( )
la ecuación es exacta, de fácil reducción. calcular (A-B) y dividir la diferencia por N, llamaremos h, al resultado.
4.-Si h solamente es función x, entonces
∫
es el factor de integración.
5- Si h, no es función solamente de x, calcular (B-A) y dividir por M la diferencia, sea g, el resultado 6.-Si g, solamente es función de y, entonces
∫
es el factor de integración.
EJERCICIOS RESUELTOS.-
1.- Hállese la solución general de la siguiente ecuación diferencial (
)
( )
Resolución.- Veamos si la ecuación diferencial dada es exacta.
( ) }
(2), nos dice que la ecuación dada no es diferencial entonces procedemos a calcular a el factor integral “f”
( )
(
∫
)
( )
Entonces se tienen que; Multiplicándolo (1) por el f, calculando, se hace exacta. (
)
( )
(3) se resuelve como en el método anterior, es decir el método de las diferenciales exactas. ( )
( )
Diferenciando (4), respecto a y; e igualando a N. ( )
( )
( )
Reemplazando en (4) las SG es:
2- Hállese la solución particular de la siguiente ecuación diferencial para los valores iníciales ( )
Resolución.- La ecuación puede escribirse en la forma (
)
( )
( ) } (2) nos dice que la ecuación diferencial no es exacta, procedemos a calcular el factor integrante “f” ( )
(
) (
En este caso pasamos a calcular ( )
)
(
)
( )
(
∫
) (
)
(1) al multiplicarse por f, se hace una E.D.E, que al resolverse por el método estudiado resulta la S.G (
*
(
*
( )
Resolviendo la E.D.E (3); se tiene la S.G ( ) En (4) obtenemos; para (
Resolución.-
(
√
3.- Resolver.-
)
√ )√
La ecuación puede escribirse también en la forma (
√ )√
( )
√ √
Para facilitar: hacemos
(
Reemplazando en (1):
√ ) √
√ (
√ )
(
)
( )
En (2) hacemos √ Reemplazando en (2): ó también
(
)
( )
Dónde: (3) por f; de la siguiente E.D.E ) Solucionando por el método de las ecuaciones diferenciales exactas.
( )
Se obtiene:
Volviendo a las variables originales la S.G, es: (
√ )
√
PROBLEMAS DE APLICACIÓN PROBLEMA 1.Hallar la curva para la cual la longitud del arco desde un punto fijo hasta un punto cualquiera P, es proporcional a la raíz cuadrada de la abscisa de P. Resolución.Del enunciado se debe plantear la condición, se recomienda hacer un grafico que contribuye siempre a la solución del problema.
(
)
B
( )
√
Condición:
Y
Sabemos que: (
0 ∫ √(
)
(
)
∫√
(
En (1) resulta: ∫ √
)
(
)
√
Dividiendo respecto a X, se tiene: √
(
)
√
√
( )
(2) es la ecuación diferencial que resuelve el problema; integrando ∫
√
( )
{
Reemplazando en (4) ∫
∫[
]
( )
Obteniéndose después de integrar (5), y dividiendo a las variables originales, la S.G
*
(
√
)
√
(
) +
)
X
El alumno debe solucionar como ejercicios haciendo el siguiente cambio soluciones son iguales?
¿las
PROBLEMA 2.Desde un punto cualquiera ( ) de una cierta curva, se traza una normal, la cual corta al eje , en el punto N, hallar la ecuación de dicha curva sabiendo que pasa por el origen y que el punto medio de la recta normal PN, está sobre la parábola cuya ecuación es
Resolución.Y
Hacemos el grafico, y se obtiene Condición:
(
̅̅̅̅̅
( ) (
)
( )
En el Coordenadas de
(
)
(
H Coordenadas de
)
)
M
( ) 0
(
N
)
X
Como M, está en la parábola, entonces se tiene:
(
)
Luego: ( )
Reemplazando en (2):
(3) representa la ecuación diferencial de la familia de curvas, resolviendo se tiene la S.G ( Cuando la curva pasa por el origen (
) ) la S.P es. (
)
PROBLEMA 3.Un cuerpo que cae partiendo del reposo en un líquido, alcanza una velocidad cuyo límite es de . Suponiendo que la resistencia del medio es proporcional a la velocidad y que la densidad del cuerpo es de tres veces la del líquido, determinar: a) La velocidad al final de 1seg. b) La densidad de caída al final de 1seg.
t
0
1
Resolución.- Debemos hacer un gráfico que nos entender con mayor claridad el problema.
v
0
3m/s
¿?
e
0
-
¿?
Nuestro cuadro de valores e incógnitas
( )
Como por newton: Del gráfico: Reemplazando en (1): ( )
Como *
En (2) resulta:
+
( )
Resolviendo la ecuación diferencial del movimiento, dada por (3) (
(
En la (S.G), para
(
*
)
)
Luego la S.P. para las condiciones del problema es: (
*
(
)
De la S.P; obtendrán la velocidad de caída en cualquier instante (
*
( )
En (4) calculamos la constante k, con las condiciones: Para Reemplazando en (4) y despejando v; para cualquier instante, t. (
)
( )
permita
a) Para de (5) b) Para el cálculo de ; cuando (
. De (5) *
(
*
( )
De (6); para t=0; x=0, resulta Para t=1seg; x=e; sustituyendo en (6)
(
*
(
*
PROBLEMA 4.En un depósito hay 100 litros de disolución acuosa que contiene 10kg de sal. En este depósito se vierte agua con velocidad de 3 litros por minuto y se expulsa la mezcla a 2 litros por minuto. La concentración se mantiene homogénea removiendo el agua. ¿Cuánta sal había en el depósito después de transcurrir 1 hora? Resolución.- Debemos tener en cuenta que se vierte solamente agua ( Sabemos que: al transcurrir un
)
, x, disminuye
(
)
(
)
Entra = Reemplazando en (1) resulta.
Integrando √ (
) √
(2) es la S.G, entonces para - Ecuación que resuelve el problema: - Para
( )
resulta:
√
√ (
luego: )
( )
EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE REPASO
1.- resolver las siguientes ecuaciones diferenciales y calcular la S.P, para aquellas cuyas condiciones iniciales se dan.
a) (
)
(
)
b)
c) (
)
d) (
)
(
(
e) (
)
)
(
)
f) (
)
g) (√
*
√
i)
(
j)
( √
) )
(
*
√
)
(
)
)
k) (
)
(
(
)
(
m)
(
)
n)
(
)
(
o) p) –
(
(√
)
h) (
l)
)
( )
) )
)
q)
( )
√
r) s) (
)
2.- Calcular el valor de n, para que la ecuación que se da sea exacta. *
(
+(
)
)
3.- Una curva que se halla en el primer cuadrante pasa por el punto ( ). Si la longitud de arco comprendido entre ( ) y un punto ( ) es numéricamente igual al área limitada por la curva, el eje , el eje , y la ordenada P. Hallar las ecuaciones de la curva √
(
)
4.- Hallar la ecuación de la familia de curvas, caracterizadas por la propiedad “la suma de las longitudes de la sub tangente y de la subnormal de una familia de curvas es igual a 2”
(
√
)
(
√
)
(
√
)
(
√
)
5.- Determinar la ecuación de la familia de curvas que cumple con la siguiente condición “la parte de la recta tangente comprendida entre el punto de tangencia y su intersección con el eje de ordenadas es bisecada por el lugar geométrico de ecuación”
√
*
√ √
+
6.- Un hombre nada con velocidad constante v, a través de un rio de ancho, a, dirigiéndose siempre a la otra orilla. Si la velocidad de las aguas del rio varía directamente con el producto de las distancias a ambas orillas; encuentre la ecuación de la trayectoria seguida por el nadador.
(
)
7.- Un tanque contiene 240 litros de agua salina con 0.2kg de sal por litro, luego se introduce en él una solución con 0.3kg de sal por litro a un gasto de 8 litros por minuto y la mezcla sale del tanque con el mismo gasto. a) Hallar la cantidad de sal que el tanque contiene en cualquier instante.
b) ¿Cuánto contendrá el tanque 60kg de sal?
8.- En un medio favorable, el número de bacterias crece a una velocidad que es proporcional al número presente. Si hay 1, 000,000 de bacterias en un instante dado y 2, 000,000 un hora después, hallar el número de bacterias cuatro horas después. (
)
9.- Se dispara un proyectil con una velocidad de desde un punto situado a 80 metros sobre el nivel del mar. Expresar su altura respecto al mar como una función del tiempo. ¿Cuál es la mayor altura que alcanza? No tomar en cuenta la residencia del aire. Solución:
10.-Un camión está ascendiendo a velocidad de 750km/h y su trayectoria forma un ángulo de 30° respecto a la horizontal. En el instante que deja caer un proyectil, el avión está a una altura de 600m sobre el nivel del terreno ¿cuánto tiempo transcurrirá hasta que el proyectil llegue al suelo? Despreciar la resistencia del aire. Solución:
(
√
)
11.-Un tanque contiene inicialmente 600 litros de salmuera en la que están disueltos 450 gramos de sal. Se vierte agua pura en el tanque a razón de 15 litros/min, y la mezcla, que se mantiene uniforme revolviéndola sale a la misma velocidad. ¿Cuántos gramos quedaran después de 20 minutos?
(
)
12.- Un tanque de 400 litros llena de agua pura, se vierte a razón de 12 litros por minuto, agua salada que contiene 0.25 kg de sal por litro. La solución homogénea gracias a un agitador, sale a la misma velocidad. a) ¿Cuántos kilogramos de sal habrá en el tanque al cabo de 1hora 90min? b) ¿Cuál es el límite superior de la cantidad de sal en el tanque, si el proceso continua indefinidamente! c) ¿Qué tiempo ha de trascurrir para que la cantidad de sal pase de ser 50kg a ser 75kg? ) ) ) 13.- Dentro de un recipiente que contiene 30 kg de sal disuelta en 100 litros de agua se vierte agua pura a razón de 3 litros por minuto, y la solución, bien mezclada sale a razón de 2 litros por minuto. Hallar la cantidad de sal que hay en el recipiente al cabo de 1 hora.
14.- Un hombre y su paracaídas cae a una velocidad de 55 metro por segundo hasta el minuto de abrirse el paracaídas reduciendo después la velocidad que tiene al valor límite de , siendo la resistencia del aire proporcional al cuadrado de la velocidad. Demostrar que: [
(
)]
15.- Hallar la ecuación de la curva, para la cual, el área comprendida entre el eje de abscisas, la misma curva y dos ordenadas, una de las cuales es constante y la otra variable es igual a la razón del cubo de la ordenada variable a la abscisa correspondiente. (
)
16.- Un depósito cilíndrico vertical tiene de base. Cerca del fondo hay un orificio de 13 c , siendo su coeficiente de descarga igual a 0.6. Se observa que la descarga por el orificio ha originado un descenso de 2.5 cm en 20 segundos y se pide el nivel original y el existente 10 seg después.
PROBLEMAS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES AUTOR: ING. SALINAS AQUIJE TEOFILO WILLIAMS UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA
Los problemas resueltos que se presentan en este trabajo fueron tomados en las prácticas y exámenes en la Universidad Nacional de Ingeniería, mediante este trabajo trato de aportar al desarrollo del alumno ,buscando que logre un conocimiento eficiente en las ecuaciones diferenciales, agradezco los aportes y la colaboración de los alumnos. PROBLEMA: Resolver las E.D. a)(
| |) )
)(
(
)
SOLUCION: a) Reemplazando en la E.D. (
)
( )
(
)
E.D. homogénea hacemos Reemplazando y simplificando: ( )
(
)
( √
( (
*
*
))√
(
√ √ (
+ √ √
)
Volviendo a las variables primitivas y simplificando se obtiene: )√
(
*
(
√ )
(
√ )
+
) Reemplazando en la E.D. reduciendo a homogénea } ( )(
(
)
)
(
)
( )
( (
))
(
(
)
)
PROBLEMA: resolver la siguiente ecuación: ( )
( no es una exacta. Calculo del factor Integrante: ( )
( )
√
∫
Multiplicando la E.D. por el factor Integrante: (
)√
(
√
M
(
N
∫√
)
√
( )
)
(
)
)
( )
√
( )
( (
√
( )
√ ( )
)
√
√ (
)
(
)
√ (
)
(
)
√
PROBLEMA: La ecuación diferencial: (
)
(
)
Puede ser resuelto utilizando un factor integrante de la forma resolver la ecuación diferencial propuesta.
determinar este factor y
SOLUCION: (
)
(
(
)
)
(
)
M
N
Para que sea exacta debe cumplir: (
)
(
)
Igualando los coeficientes: (
)
(
)
(
( (
)
)
(
)
( )
( )
( ) ( ) )
Reemplazando en la E.D.(
)
(
)
Es una E.D. Exacta, entonces, la solución será: (
(
)
)
∫ (
(
)
)
( )
( )
( )
Para hallar k(y)=c derivamos parcialmente con respecto a y: ( )
( )
Entonces ( )
( )
luego: (
…. Rpta.
PROBLEMA: Resolver: (
)
(
)
( )
SUGERENCIA: *
+ ( ) (
)
SOLUCION:
) no es una ecuación diferencial exacta.
Buscamos un factor integrante (U) de la sugerencia.
Reemplazando en la sugerencia: ( )(
((
(
( )
)) (
)( )) )
(
) (
)
Multiplicando la ecuación diferencial por el factor integrante: (
)
M
(
)
N
Luego, la solución será:
(
)
( )
∫
(
)
( ∫ * (
(
( )
) ( )
(
)
(
)
( (
( )
)
)
(
)
( )
(
)
(
( )
+
)
(
)
)
(
)
PROBLEMA: Resolver ( de la forma:
) (
(
)
sabiendo k ´´u´´ es un factor integrante
) donde
.
SOLUCION: (
)
(
) (
)
Multiplicamos la E.D. por el factor integrante. Se obtiene: (
)
(
)
M
(
)
( )
)
N
(
∫
(
)
(
)
∫
( )
( )
( )
( )
( ) ∫
( *
( )
(
)
( )
Por lo tanto: PROBLEMA: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: √
) )
√
(
)
√
SOLUCION: √
)
√
∫
(
∫
)√
El primer miembro hacemos. (
)
Reemplazando e integrando:
∫
(
Pero: )
)
( ) (
∫
∫
( )
( *
( *
√
√
(
)
)
( )(
)
Es una ecuación diferencial homogénea, hacemos
, reemplazando y separando variables: integrar el primer miembro hacemos √
( √
√
para
reemplazando e integrando: √
(
) √
PROBLEMA: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.
+
( )
)( (
)
)
(
)
)
y calcular la solución particular sabiendo que
(Para ambos) SOLUCION: )(
(
)
)
( ), sea (
(
)Reagrupando la ecuación (1)
(
) (
La E.D. se transforma en:
) )
( )
(
) (
en el punto (0,2) no se continua,
luego no existe una solución para(0,2). (
) (
)
)
(
( ), esta ecuación tiene la forma:
)(Definición de una E.D. homogénea), hacemos el cambio de variable
, Reemplazando en (1) (
)
(
( (
)(
)
) )
(
Reemplazando v:
*
( )( )
+
√
√( ) [ (
(
) (
PROBLEMA:
√
]
)
)
)
Resolver la ecuación diferencial: (
)
SOLCUION: (
) (
(
)
)
Y el factor integrante será: (
( )
)
∫
Multiplicamos la E.D. por el factor integrante: ( (
)
) ( )
∫
(
( )
)
[ ( )] De donde: ( ) (
)
( )( (
)
( )
) ( *(
)
PROBLEMA: (
Resolver:
)
sabiendo que U es un factor integrante de la: (
SOLUCION:
El factor integrante: (
)
( (
Haciendo z = xy , el factor integrante U;
) ) ∫
( )
(
)
)
Multiplicando la E.D. por el factor integrante: (
)
( (
* *
( (
*
)
PROBLEMA: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: )
)(
( (
) )
) (√ (
)
)
(
)
)
SOLUCION: ) El factor integrante (
)
(
)(
)
Multiplicando la E.D. por el factor integrante tenemos: (
)
(
(
; haciendo
)
)
(
) (
Separando:
(
)
2 ( )
)
√
) (
( )
(
) )
)
( )
(
)
(
)
∫
√
Multiplicando la E.D. por el factor integrante: se tendrá: (
√
*
√
(
)
La solución es: √
∫ ⁄
(
( )
√
( )
√
( )
*
√
( )
√
( ) √
(
)
)
Reemplazando en la E.D. (
)
(
)
Hacemos (
)
(
)
(
PROBLEMA: Resolver los siguientes E.D. )( )( SOLUCION:
(
)
(
))
(
) (
))
(
)
)
(
)
Multiplicando la E.D. por (y): (
)
(
)
(
Hacemos (
)
( ) , reemplazando y simplificando
)
) (
)
(
)(
) (
(
(
)
)
PROBLEMA: Determinar la ecuación de una curva que pasa por (1,1) y tenga la siguiente propiedad: Por un punto P de ella se traza la recta tangente y la recta normal de modo que la primera corte el eje de las Y en el punto A y la segunda al eje de las X en el punto B, cumpliéndose la siguiente Condición
SOUCION:
, donde 0 es el origen de coordenadas
Y P
A
H K
y
0
F
B
X
(
) ( (
k-x
) ) (
)
(
(
(
X
*
)(
(
) (
)
)
)
(
) ( * ( (
)
)
( )
( )
PROBLEMA: Hallar la ecuación de la curva que pasa por el punto (1,0) y goza de la siguiente propiedad: “si por un punto cualquiera P de ella se traza la tangente geométrica y la normal respectiva, la tangente corta al eje Y en T y la normal al eje X en N resulta TN perpendicular a OP, siendo O el origen de coordenadas”
SOLUCION: Y tang
P(x.y)
T L
0
X X
( )
( )
( ( ) (
*
( )
( )
*
( ) ( )
( )
(
)
PROBLEMA: Hallar la ecuación de una curva para la cual cualquiera tangente a ella se intercepta con el eje de ordenadas en el punto que equidista del punto de tangencia y del origen de coordenadas. SOLUCION:
Y
P(x,y)
y-k
B
H x
0
A
(
) ( )
( ( ) ( )
(
(
)
) )
( )
(
)
(
)
PROBLEMA: Encontrar la ecuación de la familia de curvas cuyos puntos gozan de la siguiente propiedad: “La longitud de la normal trazada por un punto cualquiera de una de sus curvas es proporcional al cuadro de la ordenada de dicho punto”.
SOLUCION: y
Tang P(x,y)
Y
0
L
H
A
X
√
(
√(
)
√
) ( * (
√(
)
)
√(
)
PROBLEMA: Hallar la ecuación de una curva que pasa por el punto (0,10) y que goza de la siguiente propiedad: “Si por un punto cualquiera de ella se traza la tangente geométrica y por el pie de la ordenada del punto de tangencia una perpendicular a la tangente geométrica, hasta encontrar dicha tangente, tal perpendicular mide siempre 10 unidades de longitud”. SOLUCION:
Y Normal
tangente P
H
R K
(
Q
X
)
√
√
(
√
+ (
) (
(
)
)
(
)
PROBLEMA: ¿Qué forma debe darse a un espejo de un proyector para que los rayos del foco luminoso concentrado en un punto se reflejen formando un haz paralelo? SOLUCION:
(
)
Y P(x,y)
X
H
( ) ( ) (
)
√ (√
√
)
√
PROBLEMA: Hallar una curva que posea la propiedad de que la magnitud de la perpendicular bajada del origen de coordenadas a la tangente sea igual a la abscisa del punto de o. SOLUCION:
Y
N P
H
Tg
y x
k
√
N
(
√
)
(
√
)( (
(
) )
) (
) (
( (
(
)
)
)
(
)
)
PROBLEMA: Hallar la curva para la cual la razón del segmento interceptado por la tangente en el eje OY al radio-vector es una cantidad constante. SOLUCION:
Por la propiedad de pendiente a una curva y de la figura: P(x,y)
a
(y-L)
L
y
x
( )
⃑⃑⃑⃑⃑⃑
( ( )
√ (
(
√
) ( ) ( )
)
√
)
|(
)
|
(( √ (
+
*
(
(
)
)
(
)
)
( *(
)
)
PROBLEMA: Determinar la ecuación de la curva que pasa por el punto (3,4) cuya familia se caracteriza por la siguiente propiedad: “Si un punto cualquiera de una de sus curvas se traza una tangente, la longitud de la sub tangente correspondiente siempre es igual a la distancia entre el punto de tangencia y el origen de coordenadas”. SOLUCION:
(
Por lo tanto:
(
)
)
P(x,y)
a
y
k 0
x
√
√
√ ((
H
(
( )
)
R
)
√
)
| √
(
√
|
(
√
)
√
)
( (√
)*
| (√
)|
(
√
)
(
√
)
PROBLEMA: Hallar la curva cuya propiedad consiste en que el producto del cuadro de la distancia entre cualquier de sus puntos y el origen de coordenadas por el segmento separado en el eje de las abscisas por la normal al punto mencionado es igual al cubo de la abscisa de ese punto. SOLUCION:
TAG P
√
T
Q X
Del enunciado del problema: (
) (
(⃑⃑⃑⃑⃑ )
) (
)
N (z-x)
(
)(
)
(
)
(
)
PROBLEMA: Determinar la ecuación de la familia de curvas que gozan de la siguiente propiedad “La tangente trazada por un punto cualquiera de ellas, encuentra al eje de ordenadas en el mismo punto que la perpendicular al radio vector trazada desde el pie de la ordenada del punto tangencia”. SOLUCION: ( ) )
P(x,y) b A a B 0
x
N k
) (
(
)
) ( (
(
)
( )
( ) ( )
)
)
Simplificando y ordenando:
(
)
PROBLEMA: Determinar la ecuación de una curva que pasa por (
√
) y corta a cada una de las
circunferencias con centro en el origen, según un ángulo de 60º. SOLUCION: Se sabe que el ángulo que forman dos curvas al cortarse esta dado por: y
L
x a
( )
( )
( ) √ √
( √
)
√
( )
√
√
(
√
√
√
√
√
+
√
( )
( *
|
|
√
( )
PROBLEMA: ( ) la ecuación de una curva creciente en el primer cuadrante y que pasa por el origen Sea de coordenadas; y que satisface la condición siguiente: “Si por un punto f(x,y) de la curva se traza una recta horizontal, esta intercepta al eje OY en el punto Q(O,Y) y a la recta y = x en l punto M(x , y ). La región encerrada por la curva, el eje OY, y el segmento , gira alrededor del eje OY generando un sólido de volumen V1. La región encerrada por la recta y=x, el eje OX, y el segmento , gira alrededor del eje OX generando un sólido de volumen V2, siendo N=N(y,0). Sabiendo que ( )
( ) SOLUCION: ( ) P(x,y)
y=f(x)
y=x
Q
M(x,y)
0
∫
( )
( )
( ) ( (
(
) )
) ( )
PROBLEMA: Hallar la ecuación de la familia de curvas, tal que cada curva C de esta familia tenga la siguiente propiedad en el primer cuadrante: “tiene un extremo en (0,0) y si P(x,y) pertenece a X, el interior del rectángulo R limitado por los ejes coordenados y las rectas trazadas por P(x,y) paralelas a dichos ejes, es dividido en dos por C. Cuando la parte adyacente al eje X se hace girar alrededor de este eje, y la parte adyacente al eje Y se hace girar alrededor de este eje, entonces se generan dos sólidos de igual volumen”.
SOLUCION: Del diagrama representativo: y
P(x,y)
dy X
y
dx
∫
∫
(
x
∫
∫
)
PROBLEMA: Se da un punto sobre el eje Y, Q(0,5). SE pide calcular la ecuación de una curva que goza de la siguiente propiedad: “Si por un punto P(x,y), cualquiera equidista de Q y P. Adem s la curva pasa por el punto (√ ) SOLUCION: Por condición
por distancias tenemos: P(x,y)
Q
(o,b) y
x-a
X
T(a, O)
√
√(
( )
)
( ) ( (
)
( )
)
( )
( ) ( )
( )
( *
)(
((
))
(
⁄
( )
)
∫(
*
( )
( )
( )
( )
PROBLEMA: Hallar la ecuación de la curva tal que el área por la curva, el eje de las X, una ordenada fija y otra variable, sea igual al cuadrado de la diferencia de las coordenadas de un punto arbitrario de la curva. SOLUCION:
Y
P(x,y)
y A X x
(
)
∫
(
)
(
*
|(
)
) (
|
)
PROBLEMA: Hallar la ecuación de la curva para la cual, la longitud de la tangente es igual a la distancia desde el punto intersección de esta tangente como el eje OX hasta el punto M(0,a). SOLCUION:
( Y A P(x,y)
)
( )
x z
z
a y B x
k
( )
( )
√ ( ) ( ) √
(
) √ ( )
√ ( )
( )
(
) (
(
)
)
( )
( ) ∫(
* ( ) (
∫ (
*
( )
( )
(
)
( )
)
( )
( )
PROBLEMA: Determinar la ecuación de la curva que pasa por (0,0) y que goza de la siguiente propiedad: “La pendiente en un punto cualquiera P de ella es igual a 10 dividido entre la distancia del punto P a la resta y=x medida sobre la recta que pasa por P y es perpendicular al eje X.” SOLUCION: ( ) N Y P(x,y)
Y=X
L
45
45
H X
( ) ( ) ( )
( (
*
)
(
)
(
) (
)
PROBLEMA: Hallar una curva para que la abscisa del centro de gravedad de la figura plana limitada por los ejes de coordenadas, por esta misma curva y por la ordenada de cualquiera de sus puntos, sea igual a ¾ de la abscisa de este punto. SOLUCION: Y
P(x,y)
(a,b)
y
x *∫
∫
∫
PROBLEMA:
+ *∫
∫
+
Un hombre nada con velocidad constante, V, a través de un rio de ancho “a” dirigiéndose, siempre a la otra orilla. Si la velocidad de las aguas del rio varia directamente con el producto de las distancias del nadador; a ambas orillas (k es la constante de proporcionalidad) determinar la ecuación de la trayectoria seguida por el nadador y la distancia, aguas abajo, desde el punto de partida al punto de llegada. SOLUCION: R a-y
A P(x,y) y
Q(0,0)
( )(
d
)
( (
)
)
(
)
(
)
(
)
PROBLEMA: La velocidad de salida del agua por un orificio, que se encuentra verticalmente a una distancia “h” de la superficie libre del líquido, se determina por la formula donde c es √ aproximadamente igual a 0.6 y “g” es la aceleración de la fuerza de gravedad. ¿Cu nto tiempo tardara en salir el agua que llena la caldera semiesférica de 2m de diámetro, Si sale por un orificio redondo que hay en el fondo y que tiene 0.1m de radio?. SOLUCION:
Condiciones de frontera: (
)
( )
( )
√
( ) (
√ (
√
√
(
)
*
[
√
) ]
PROBLEMA: Un tanque tiene la forma de un cubo de 3.67m de arista: en su base hay una fuga debida a un pequeño agujero, cuya área mide 13 centímetros cuadrados. Si inicialmente el tanque está lleno en sus tres cuartas partes ¿cuándo estará lleno hasta su mitad? SOLUCION: Condiciones:
T(seg) H(cm)
a
H
0 3
a3/4
( ) √
( )
√
( ) √ ∫
√
[
]
(
(√
√
)∫
) √
PROBLEMA: Un tanque rectangular de área de base , la altura H tiene dos agujeros de área A: uno en el fondo y el otro en una cara lateral a la mitad de la altura H. Si el tanque esta inicialmente lleno de agua y tomando 0.6 como coeficiente de gasto, calcular durante cuánto tiempo saldrá agua por el agujero lateral. (
)
SOLUCION:
dy y-H/2
y
H/2
( )
√
(
* √
√
( )
√
(√
√ )
(
*
( )
√
(
(√
√
)
√ )
√
∫
∫ √
)
[(
√ √ (√ √
( )
)
] √ (√
√
√
√ (√
√ )
)
√
PROBLEMA: Hallar la ecuación de curva que determina sobre el eje de las “x” un segmento de longitud 4 y que satisface la propiedad: “ si por un punto P(x,y) de la curva se trazan las rectas tangente y normal a ella, el área del triángulo formado por dichas rectas con el eje x es igual a :( ) abscisa del punto en que la tangente corta al eje de las x. SOLUCION: En la figura
Y
condición del problema área del triangulo
NORMAL
P(x,y)
siendo
la
y
T(
)
H
N
x
( *
(
)
(
)
PROBLEMA: Cuatro moscas se posan en las esquinas de una mesa cuadrada de lado “L” al mismo tiempo, comienzan a caminar con las mismas velocidades de tal modo que cada uno de ellos se desplaza constantemente hacia la mosca situada a su derecha. Si se traza en la mesa un sistema de coordenadas polares, con el origen en el centro y el eje polar a lo largo de una diagonal, encuéntrese la trayectoria de la mosca que parte del eje polar y la distancia total que recorre entes de que todas las moscas se reúnan en el centro de la mesa. SOLUCION: (
)
(
̂
( )
*
̂ ̂
( ) (
(
√
(
√
√
)
)
(
√
)
La ecuación de la trayectoria para la mosca que parte del punto C será. (
√
( )
)
la trayectoria para cualquiera de las cuatro moscas , sabiendo el desfasaje década dos de ellos es ( ) , entonces la trayectoria será. (
√
)
(
)
Calculo de la distancia recorrida por la mosca que parte del punto C: En coordenadas polares la longitud del arco desde el punto X( entonces C Longitud de arco
∫
√
( )
Reemplazando r y r´ ; integrando
√
[
]
√
) hasta el centro (para r=0
*
√
√ (
Reemplazando C:
)
PROBLEMA: Realizando un trabajo de investigación un grupo de estudiantes llego a la siguiente ecuación ) ( ) diferencial: ( de ella se sabe que: No es una ecuación diferencial exacta, su factor integrante es ( ) , el grafico de la función pasa por (1,1/12) . Determinar la función ( ) y luego resolver la ecuación diferencial resultante. SOLUCION: ( (
)(
)
(
(
)(
(
) ( )
) ( )
( )
) (
(
(
) ( )
( )(
)
(
(
* ( )
(
)
(
( )
( )
)
)
(
)
( )
(
)
)(
(
)
)
( )
) )
)
( )
)(
∫(
(
)
( ) )(
) ( )
( )
( )
(
)
* ( )
(
( )
(
( ) ( ) (
( )
)
( )
(
( )
) (
)
( ) ( )
[∫
( )
( )
]
(
)
(
)
PROBLEMA: Un embudo A , tal como se muestra en el gráfico , lleno de agua , vaciara su contenido en un cilindro circular resto B. Considerando que el área de la sección transversal Por donde saldrá el agua es de 0.36 cm cuadrados Y empleando como coeficiente de gasto c=0.45 ,
10cm
A
Determinar en qué tiempo quedara lleno el cilindro.
60º
26cm
B 4cm
SOLUCION:
( )
√
d r
10
dy
y 30
( √
(
√
∫
(
(
(
√
)[
√
√
)
)∫
]
)(
*
(
( )
*
El cilindro se llenara cuando el embudo desaloje un volumen igual a del cilindro: ( ) (
) ( *
( )(
)
(
√
√
)
Cuando el cilindro se llene por completo en el cono quedara un volumen de :
Luego con este volumen calculamos hasta que la altura y radio deberá ser desalojado el agua del cono:
( )
√
Por consiguiente el problema consiste en calcular el tiempo necesario para evacuar del cono un volumen . Como en la ecuación (3) tenemos la altura del agua en el embudo para cualquier instante. Para y=4 t=16.6 seg. RPTA
PROBLEMA Dos recipientes el primero un cilindro circular recto y el otro un cono circular recto, con el vértice hacia abajo, tienen radios de la base iguales y ambos, hállese la razón de sus alturas. SOLUCION: Para el cilindro volumen de líquido que fluye por la sección A e un diferencial de tiempo:
R
dz h z
y
h
dx
x 30
A,r
√ ( √
)
( √
( )
)
( ( ) ( √
) ( ) ( )
)
( √
( )
)
( √
( )
)
(
) (
( ) ( )
( √
( √
)
( )
)
) ( )
( ) ( )
√ √ ]
∫
√ [
PROBLEMA:
]
√
∫ √
√
Una barca con carga pesa 98.1kg , si la fuerza que ejerce el motor sobre la barca en la dirección del movimiento es equivalente a una fuerza constante de 15kg, si la resistencia (en kg) al movimiento es igual al doble de la velocidad (en m/seg) es decir 2v y si la barca parte del reposo, determínese la velocidad: a) después de t seg b) después de 10seg. c) cuando el tiempo es infinito es decir la velocidad limite. SOLUCION: F
V(m/seg) 0 T(seg) 0
W
V t
V10 10
v Infinito
15Kg
( )
Según la segunda ley de newton:
( ) )
) (
*(
) (
)
PROBLEMA: Se tiene un recipiente recto cuya sección transversal es una semielipse de semiejes, a=3.00m y b=1.20m . su altura es de H= 4.80m. Teniendo es posición horizontal, se le llena de agua, teniendo en su fondo un orificio de salida de un centímetro cuadrado de sección transversal tal como se indica en el gráfico:
a b H
SOLUCION: De la presentación grafica calculemos el volumen desalojado en un diferencial de tiempo: ( )
H
A Y
b
dy b
(
(
)
( )( ( )
√ ( )
( )
)
)
( )(
∫
)
√
√
∫ (
)
√
(
*
PROBLEMA: Un cuerpo de masa “m” es lanzado hacia arriba sobre un plano inclinado de radianes con respecto a la horizontal ) Si “u” es el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el plano inclinado, la resistencia del aire es , donde “k” es una constante de proporcionalidad y v es la velocidad instantánea del cuerpo. Sabiendo que es la velocidad inicial del cuerpo, hallar la distancia máxima que recorrerá dicho cuerpo. SOLUCION:
N
Fa
Mg sen mg cos f
∑
W=mg
∫
(
)
(
( )
|
( (
*
)
(
(
( )
((
|
( )
( *+
*
( *+|
)
( ))|
(
)
(
)
( )
[
((
*
( )+]
(
*
( )
(
)
Reemplazando el (
)
PROBLEMA: Un cuerpo con peso W , cae partiendo del reposo. Si la resistencia del aire es proporcional a la velocidad y la velocidad limite es de 52m/s Determinar: a)la velocidad al cabo de 5 segundos b) La distancia recorrida en la caída después de 5 segundos. SOLUCION: T(seg) 0 V(m/seg) 0
00 52
5
(
(
)
( )
(
( ( )
(
( ∫ (
)
)
*
* (
∫ (
)
*
*
PROBLEMA: Una lancha que pesa 500kg se desliza por un plano inclinado a 5 grados. La componente de la fuerza de rozamiento que se opone al movimiento es : 500sen5º =43.6kg si la fuerza de rozamiento que se opone al movimiento es de 20 kg. Y la resistencia del aire expresada en kg equivale a 0.05 veces la velocidad en cm/s. hallar la velocidad después de 10 segundos de iniciado el movimiento. SOLUCION: 0.05v
20 kg
500 sen(5)
w
5º
T v
(
)
0 0
10
(
)
(
(
*
) *(
( (
(
*(
) )
)
PROBLEMA: Un navío de 84,000 tn (1 ton =1000 kg) parte del reposo suponiendo que la resistencia al movimiento de kg es 7000 v siendo “v” la velocidad en m/s y que la fuerza de propulsión aplicado al navío es de 120,000kg. Hallar. a) La velocidad en un tiempo cualquiera “t” b) La velocidad limite c) El tiempo que tarda en alcanzar los (9/10) de la velocidad limite. SOLUCION: (
W
*
120000
7000v ( *(
)
*
(
)(
*
(
)
) *(
(
)
) (
(
*
(
*(
*
(
*(
* *
(
)
PROBLEMA: Un cuerpo cae partiendo del reposo en un líquido alcanza una velocidad límite de (1-1/b) m/s Suponiendo que la resistencia del medio es proporcional al cuadrado de la velocidad determinar: a) La velocidad en cualquier instante b) La distancia recorrida para t=1/2 s NOTA: Asumir que SOLUCION: Sea FR: fuerza de resistencia del medio
Y=0
W
y
E
( ) ( )
( *(
*
(
∫
(
∫
(
*
*
(
)
(
*
(
(
( )
)
(
( ( )
)
( )
)
*
( )
(4) en (3): (
(
)
)
(
)
√
) (
( )
)
(
)
(
(
)
∫
(
(
*
)
|
(
(
(
*
) ( (
)
∫
( )
) )
(
)
) )(
) |
PROBLEMA: Un automóvil de peso “w” se empuja en línea recta, contra el viento con una fuerza de F kilos, el rozamiento entre el móvil y el piso es proporcional a la velocidad, la resistencia del aire al movimiento es numéricamente igual al doble de la velocidad en metro por segundo. Si el automóvil parte del reposo y la velocidad limite es numéricamente igual a F/3; encontrar la velocidad y la distancia a recorrer en función del tiempo. SOLUCION:
( ( *(
*
*
( *∫ (
∫ (
*(
)
* (
( *( ( *(
(
*
(
)
)
*
* (
(
)
*
PROBLEMA: En un depósito hay 100 litros de disolución acuosa que contiene 10 kg. De sal. En este depósito se vierte agua con una velocidad de 3 litros por minuto y se expulsa la mezcla con velocidad de 2 litros por minuto. La concentración se mantiene homogénea removiendo el agua ¿cuánta sal habrá en el deposito después de transcurrida una hora? SOLUCION: Del enunciado del problema sea Q: la cantidad de sal en cualquier instante t, luego:
Q
(
(
) (
(
)
(
(
)
)
)
(
)
)
PROBLEMA: Se tiene un depósito de 1000 litros de capacidad con 300 litros de salmuera que contiene 10 kg de sal. Se sabe que en un instante dado regresara agua pura a razón de 10 lit./min. A la vez que saldrá, por el fondo, a razón de 10 litros/minuto la mezcla resultante. El sistema cuenta con dispositivos especiales que permite que la mezcla se realice, en todo instante, uniformemente. Calcular: la concentración en un instante t min y el valor de dicho concentración al cabo de una hora. SOLUCION: K: concentración de sal que entra al recipiente K
C
Q V O
f
( ) ( )
(
*
( ( )
(
)
)
( )
Concentración en un tiempo “t”
( ) ( )
(
)
Para
PROBLEMA: Un producto químico C se produce de una reacción en la que interviene los productos Ay B. la velocidad de producción de C, varia como el producto de las cantidades instantáneas presentes de A y B. La formación requiere de 3kg de A por 2 kg de B si inicialmente de hallan 60 kg de A y 60 kg de B en una hora se forman 15 kg de C determinar: i) ii)
La cantidad de C en cualquier instante La cantidad máxima de C que puede formarse.
SOLUCION: Iniciado la reacción en cualquier instante t(hr) se forma Q (kg) del producto C , luego en un diferencial de tiempo (dt) se forma un diferencial de producto C, luego en un diferencial de tiempo (dt) se forma un diferencial de producto (dQ) la velocidad de producción está dado por: ( Para Q (kg) de C repartiremos proporcionalmente: REACCION: A + B C Inicial 60 kg 60kg 0 kg
)(
)
En cualquier instante t 60-3Q/5 60-2Q/5
Q
Cada unidad de C está compuesto por 3 kg de A y 2 kg de B (es decir una unidad de C tiene 5 kg de masa y las contribuciones será en forma proporcional (3/5) de A y (2/5) de B por unidad de C se tendrá (3/5)Q y (2/5)Q de A Y B respectivamente. Luego: (
*(
∫ (
* *
∫ (
(
i) ii)
(
( )
*
) )
((
Integrando y reemplazando límites:
(
( (
) ) )
)
( )
)
Cantidad C en cualquier instante : la ecuación (1) En la ecuación (3) para t= ..
PROBLEMA: Un cuerpo a una temperatura de 0ºF se coloca en un cuarto cuya temperatura se mantiene a 100ºF . si después de 10min la temperatura del cuerpo es de 25ºF , hallar: a) El tiempo requerido por el cuerpo para llegar a una temperatura de 50ºF b) La temperatura del cuerpo después de 20 min. SOLUCION: Del enunciado y según la segunda ley de enfriamiento de newton: ( (
) )
(
0 0
)
25 10
50 ¿?
¿? 20
[
Resolviendo la E.D. planteada se tiene:
] (
( ) (
(
( )
( ) (
)
)
( ) ( )
) )
)
( )
(
( ) *
ºF
PROBLEMA: Supongamos que la evaporación hace que una gota esférica del agua disminuya su volumen a una tasa proporcional al área de su superficie, hallar el tiempo que tardara una gota de radio r0 en vaporarse. SOLUCION:
( * (
)
PROBLEMA: Las temperaturas de la superficie de una pared de 0.24m de espesor son ºC La conductividad térmica de la pared es : k=0.21 ( ºC). a) calcular el flujo de calor atraes de la pared. b) Estime el porcentaje de error usando una conductividad media.
SOLUCION: Cantidad de calor atraes de la superficie: a)
ºC ,
x
e ∫
*(
(
∫
)
) (
)
(
)
(
ºC )
(
)(
PROBLEMA: Resolver las siguientes ecuaciones: )
)(
(
)
(
)
)
( √
SOLUCION: )(
(
)
)
(
(
)
)
)
*
( )(
)
(
(
( )
[∫
(
√
(∫
) )
( )
|
( )
[∫
( )
] )
)
(
)
( )
( ) ( )
)
(
)
( )
(
)
∫
|
(
)
( ) √
)
√
] (√
)
RESOLVER: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: ( (
)
( ( )
) )
(
*
)
(
∫ (
(
)
)
* ∫
[ ∫ (
(
)
)
)
*
(
(
) ) ∫(
(
( )
( )
)
)
[∫
( )
( )
]
+
)
]
(
)
( ( ( )
*
)
+
( ) (
)
( ) ( ) (
(
)
(
)
( )
( )
)
PROBLEMA: (
Resolver: (
*
(
( ( ( )
|
(
( |
[∫
)
)
( )
(
)
(
[∫
]
[∫
PROBLEMA:
)
*
)
)
)
(
)
]
∫
[∫
∫
∫
]
]
(
)
( [
)
(
) ( )
]
( )
(
∫ √
√
√
[∫
√
) (
*
*∫
]
+ (
)
√ √
(
*
)
[( √
*∫
+ ]
) (√
)(√ (
*
√
( (
√
*
+ )
√
√
√
∫ √
)
√
+
) √
√(
)
√(
)
+
PROBLEMA: Resolver la E.D. SOLUCION: Esta ecuación diferencial tiene la forma de Bernoulli. Si multiplicamos por haciendo , (
Reemplazando: solución está dado por: ( )
( )
[∫
)
( )
(
) es una ecuación lineal en (z) y la
( )
]
la E.D.:
∫(
)
Pero
PROBLEMA: Resolver (
)
(
)
(
)
Solución: Sea
luego (
, ( ( )
*
(
(
)
)
)*
(
)
)[ ∫
∫
)[ ∫ +
(
)
)
)
∫
(
( )
∫
)
*
) ] (
(
)
]
]
)
) (
(
(
[∫
dy=1+exx+1Cdx→ y=x+Cexxdx+Cexdx+C1 (
( ( )
(
(
)
*
(
(
(
)
PROBLEMA: (
Resolver:
)
(
)
Solución: (
Hacemos: multiplicamos la E.D. por
)
que es la ecuación de Bernoulli, entonces
( )
:
Hacemos: Reemplazamos: (
*
( *
(
[∫ (
*
]
(
( ))
(
*(
) (
)
) (
)
PROBLEMA: (
Resolver:
) sugerencia hacer
Solución La ecuación
tiene la forma de la ecuación de bernoulli, luego
multiplicamos la E.D por: (
Entonces
(
)
(
(
)
)
(
Donde:
( )
∫
(
)
(
)
( )
) ( )
Es ecuación lineal en ( ) luego la solución es (
)
)
[∫
( )
( )
]
(
)
[∫
(
)
(
(
)
(
]
(
)
)
[
(
)
(
)
]
)
PROBLEMA: ( )
Resolver
( ( ))
Solución: ( )
( ( ))
Agrupando: (
( )
( ))
( )
(
*
Tiene la forma de la ecuación de Bernoulli, multiplicando la E.D. por (
* (
( )
∫
(
( )
* )
(
( ) )
PROBLEMA: Resolver las siguientes E.D. a) Problema de valores iníciales: b)
:
( )
( )
)
c) ( d) ( √
)
( √
)
e) Sugerencia: usar coordenadas polares y en la solución general dejar indicando f) ∫ g) Solución: (
a)
)
Ecuación de bernoulli, multiplicando por la E.D por x:
( ) [∫
(
)
]
(
(
)
∫ ( )
)
Luego (
)
b) Hacemos la sustitución : ( )
Reemplazando:
Luego:
[∫
(
(
)
c) De la ecuación diferencial inicial: Multiplicando la E.D. por
)
]
(
)
tendremos:
( ) ( )
[∫
]
∫
(
PROBLEMAS PROPUESTOS
)
Método de separación de variables -Método de las ecuaciones diferenciales Homogéneas -Ecuaciones homogéneas -Ecuaciones diferenciales reductibles a ecuaciones diferenciales homogéneas -Problemas geométricos -Problemas físicos
II.)
–Método de diferenciales Exactas -Solución de las ecuaciones diferenciales exactas -Método de factor integrante Problemas de aplicación Problemas propuestos
SOLUCION DE ECUANCIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y DE PRIMER GRADO
Sabemos que una ecuación de primer orden y de primer grado presenta cualquiera de las dos formas.(
)
(
)
(
)
La solución de estas ecuaciones se puede determinar mediante algunos de los tres métodos que presentamos.Primer método.- método de separación de variables Segundo método.- método de las diferenciales exactas Tercer método.- método del factor integrante El método a emplear, depende del tipo de ecuaciones diferenciales que se presenta, ya que ella puede ser reducida a tal modo que se pueda resolver por cualquiera de los métodos indicados. METODO DE SEPARACION DE VARIABLES O VARIABLES SEPARABLES (1) Este método se emplea cuando la ecuación diferencial dada, pueda llevarse a la forma: ( )
( )
( )
La cual nos indica que se han separado variables y la solución general se obtiene integrando ecuación anterior, se obtiene
∫
∫ ( )
( )
( )
Ejercicios resueltos.1) Resolver la ecuación diferencial (
)
( )
Resolución.La ecuación (1), puede escribirse también: (
)
(
)
Separando variables, es decir llevando a la forma (B) *
+
*
+
( )
1.- Hállese la solución general de la siguiente E.D (
)
(
)
( )
Resolución.De (1), separando variables resulta. ∫
∫
( )
Los integrales de (2); son inmediatamente; entonces integrando y teniendo en cuenta las propiedades de los logaritmos se tiene. √
*√
√
Quitando el logaritmo y el radical queda lo siguiente: (
)
(
)
+
2.- Hállese la solución particular para la E.D que satisface a los valores ( (
)( )(
)( )(
) )
( )=
0
( )
Resolución.- De la E.D dada en (1): se tiene también: ( (
)( )(
)( )(
) )
(
)
(
)
(
(
)(
)
(
) )(
)
( )
Se integra por fracciones parciales para integrar la segunda igualdad de (2), se descompone en fracciones parciales, así ∫[
∫[
]
]
Efectuando las integrales que son inmediatas se tiene: (
)
(
)
(
)
(
)
Y aplicando las propiedades de los logaritmos se reduce a: (
)(
)
(
)(
)
(
)
Para obtener la S.P se debe calcular la constante de integración para las condiciones dadas; es decir.
Remplazando en la S.G, resulta C=1, entonces la S.P, es: (
)(
)
(
)(
)
3.- Resolver la siguiente E.D. ( Resolución.-
)
(
√
)(
)
( )
Separando variables resulta
√(
)
√
Para integrar el primer miembro, se hace el cambio
Sustituyendo el (2) luego integrando.
( )
∫
∫
)
√(
∫
√
Es decir ( Sabemos que:
)
√
(
)
( )
√
√
Sustituyendo en (,3) y recordando las propiedades de los logaritmos, la S.G, en: √
[
√
]
√
(2) Ecuaciones Homogéneas Una ecuación es homogénea de grado — si al sustituir en ella por respectivamente, resulta, la expresión original multiplicada por para todos los adecuadamente restringidos, analíticamente se tiene: (
)
(
)
(
)
Ejemplo: Las siguientes ecuaciones: √ Son homogéneas de grados (
respectivamente, pues:
)
(
)
Entonces se tiene que:
(
)
(
)
2.1.- Ecuaciones Diferenciales Homogéneas La ecuación
(
)
(
)
( )
Se denomina ecuación diferencial homogénea, si M y N son funciones homogéneas del mismo grado; de (1) ( ( Evidentemente que (
)
(
)
)
( )
); es una función de grado cero.
(*) También, si tiene ó es posible llevarlo a la forma ( )
( )
Para resolver la E.D.H (2); se reduce a una ecuación diferencial de variables separadas, mediante la sustitución: ( ) Para entender mejor, se observa que se cumple (
)
Estas relaciones nos permiten hacer (
)
(
)
(
)
, entonces: ( * ]
[
(
)
( )
(3) y (4), sustituimos en (2) según corresponda, y se tiene (
)
( )
En (5), las variables se pueden separar es decir: (
)
(
)
( )
Integrando la segunda igualdad de (6), se obtiene la S.G EJERCICIOS RESUELTOS. 1.- Hállese la solución general de la siguiente ecuación diferencial. (
)
(
)
( )
Resolución.(1), es una E.D.H de grado 3, llamando a la forma: ( ) Haciendo el cambio de variables:
Sustituyendo en (2): se tiene después se simplificar ( ) Separando variables; para luego integrar: (
*
∫
∫[
]
Que integrando resulta finalmente: ( )
(
Volviendo a las variables
)
(
)
la S.G, es: (
)
2.- Resolver la siguiente ecuación diferencial y hállese la solución particular para los valores ( ) (
)
(
)
( )
Resolución.- Como la ecuación diferencial es homogénea se puede escribir también. ( )
( )
( )
( ) Donde hacemos: Sustituyendo variables; integrando se obtiene ( ) En (3), levantando logaritmos y volviendo a las variables ( [( )
( )
( )
) ]
Reduciendo la última expresión resulta la S.G. (
)
Para la solución particular se la S.G. se debe calcular C, para los valores ( )
; es decir
Reemplazando en la S.G; se obtiene
3.- Hállese la solución general de la siguiente ecuación diferencial. √
√
√
√
( )
Resolución.- Racionalizando la ecuación queda: √
√
(
* ( )
( ) En (2) hacemos los cambios indicados, resulta. √
√
Separando variables: √
( )
√
{
√
Remplazando en el segundo miembro de (3), después de simplificar queda las integraciones de: ∫
∫
(
(
)
)
(
)
Volviendo a las variables originales, la S.G es √
2.2.- Ecuaciones diferenciales reductibles a ecuaciones diferenciales Homogéneas Las ecuaciones diferenciales de Primer orden reductibles a homogéneas presentan la forma. (
)
(
)
Que también puede escribirse así: (
*
Se reduce a una E.D.H; haciendo el siguiente cambio de variable.
( )
( )
} Donde
son variables;
son constantes que deben calcularse; reemplazando en (1) ( (
(
) )
( (
) )
*
Efectuando se tiene: ( (
(
) * )
( )
La expresión (3) será E.D.H, si los términos independientes que figuran en el segundo miembro son nulos, es decir. ( )
El sistema de ecuaciones (4), al ser resueltas dan los valores de |
|
|
|
|
entonces:
| |
|
( )
En la expresión (5); pueden ocurrir los casos: Primer caso.|
|
Entonces, el cambio de variable indicado es (2) es aplicable pues los valores de precisables. Segundo caso.|
|
( )
En tal circunstancia los valores de no son precisables y el cambio de variables indicado en (2) no funciona; el ejercicio 2, nos muestra la forma de resolver una ecuación ; donde se presenta el inconveniente indicado por las expresiones (6)
EJERCICIOS RESUELTOS.1.-Resolver la siguiente ecuación diferencial.
(
)
(
)
( )
Resolución.- A simple vista vemos que es una E.D reductible a homogéneas; por consiguiente el sistema de ecuaciones y su determinante son: }
|
|
Por ser es aplicable el método aplicado en 2.2.- entonces resolviendo el sistema de ecuaciones; resulta:
Reemplazando en (1); se obtiene la E.D.H. (
)
(
)
Lo que resolvemos haciendo:
(
*
obteniendose (
*
Integrando hallamos: (
)
(
Volviendo a las variables
)
(
)
(
) (
)
, la S.G. es: (
) (
)
2.- Hállese la solución general de la siguiente ecuación diferencial. (
Resolución.-
)
( )
La expresión (1), se escribe también: (
)
(
)
( )
Que es reductible a una E.D.H; luego el sistema de ecuaciones y su determinante son: } Como
|
|
no podemos hacer el cambio de variable indicado anteriormente, sino el siguiente:
( ) (3) reemplazando en (2); (
)
(
)(
)
(
)
(
)
S, V para integrar; e integrando. ( Volviendo a las variables
(
*
)
la S.G. en: (
)
(*)Hay otras ecuaciones que también son reductibles a ecuaciones diferenciales homogéneas; mediante un cambio de variable como se ilustra a continuación.3.- Resolver la siguiente ecuación diferencial. (
)
( )
Resolución.- Podemos ver que la ecuación dada no es homogénea; para reducirla a homogénea el siguiente cambio de variable (
)
( )
Sustituyendo (2) en (1) y aplicando operaciones resulta (
)
( )
La expresión (3) para ser una E.D.H; sus términos deben tener el mismo grado, entonces:
Reemplazando en (1), resulta: (
+
(
)
( )
En (4), la última ecuación de E.D.H seguimos el procedimiento indicado para estos casos.( ) (5) en (4); después de simplificar resulta:
(
)
Separando variables y reemplazando: (
(
*
)
( )
Volviendo a las variables primitivas, la solución general es: (
)
PROBLEMAS DE APLICACION
A. PROBLEMAS GEOMETRICOS
Para resolver un problema geométrico se debe recordar las relaciones geométricas correspondientes a una determinada familia de curvas, ya que dichas relaciones permiten plantear la ecuación diferencial que resuelve el problema; es decir. ( (
) )
( ) ( )
La S.G es la ecuación de la familia de curvas, cuya E.D es (1), para cada valor de C; se tendrá la ecuación de una curva de dicha familia.
PROBLEMA 1.Determinar la ecuación diferencial de la familia de curvas, que gozan de la siguiente propiedad: “la longitud de la normal trazada por cualquier punto de una de las curvas es siempre 10 unidades” Resolución.- Es recomendable hacer un gráfico: √
Sabemos
( )
Con cual se tiene la ED que resuelve el problema.- efectuando √
√
( )
(
) (
)
Para integrar hacemos:
Sustituyendo en (1);
√ Volviendo a las variables √
PROBLEMA 2.Hallar la curva para la cual la perpendicular trazada a la tangente desde el pie de la ordenada del punto de o es constante, determinar lo que pasa por el punto (o, a) Resolución.- Del enunciado se tiene. Condición=̅̅̅̅ (
√
En
√
sa H
Luego la ED de la familia de curvas. √
)
( )
√
Resolviendo la ED (1) obtenemos la S.G ( ) ( ) √ (2) es la solución general, es decir la ecuación de la familia de curvas que cumple con el enunciado. ( )
Para:
Reemplazando en (2) y efectuando se tiene la solución (
√
+
(
√
) +
(
)
PROBLEMA 3.Determinar la ecuación de una curva que pase por (1,1) y que tenga la propiedad de que la abscisa en el origen de su recta tangente sea igual a la ordenada de su recta normal Resolución.- Planteando el problema:
Y Condición:
(1)
Donde:
(
)
Reemplazando en (1) ( ) (2) es una EDH que al integrar resulta. ( )
( )
(
)
ó lo que es la S.G: (
)
( )
( )
(3) es la ecuación de la familia de curvas que cumple la condición del problema; para la S.P se debe calcular c. ( )
Cuando (
)
( )
( ) ( )
PROBLEMA 4.Determinar la ecuación de una curva tal que pase por (3,4) y en que la longitud de su sub tangente en cualquier punto sea igual a la distancia del punto al origen Resolución.̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
( )
(
√
)
Recta tan
Reemplazando en (1) (
√
)
( )
√
(2) es una EDH, para integrarla se debe hacer dos cambios de variables en el siguiente orden. ( )
√
( )
Integrando resulta que la familia de curvas es * (√
)+
(√
)
( )
o también: [
√
]
(√
)
( )
( )
EN (B); para
Reemplazando C, en (B), se tiene la curva solicitada. * (√
)+
(√
)
( )
B. PROBLEMAS FISICOS PROBLEMA 1.Una barca con su carga pesa 98.1 kg .Si la fuerza que ejerce el motor sobre la barca en la dirección del movimiento es equivalente a una fuerza constante de 15kg, y la resistencia (en kilogramos) al movimiento es numéricamente igual al doble de la velocidad (en metros por segundo); determinar la velocidad sabiendo que la barca parte del reposo. a) después de t, segundos; b) después de 10 segundos c) la velocidad limite
Resolución.-
Datos e incógnitas W Datos e Incógnita t 0 t 10 0 ¿? ¿? ¿? W= 98.1 kg = 2v = 15 kg g = 9.81 ( )
Por newton, sabemos que Del gráfico: ,
Reemplazando valores en (1) se obtiene la ecuación diferencial (
)
( )
Resolviendo la ED (2); obtenemos la ecuación del movimiento, es decir la SG que es: (
)
( )
En (3) calculamos c; para los valores iníciales es decir para (
)
Por consiguiente la SP corresponde a la ecuación que gobierna el movimiento, esto es: ( (
a) De (2), despejamos v:
( )
) (
Como b) Para
*
)
de la anterior resulta: (
c) La velocidad limite se obtiene para obteniendo.
) y reemplazamos en la respuesta de (a);
PROBLEMA 2.Un cuerpo de masa m; cae dentro de una liquido por efecto de su peso y experimentalmente una resistencia proporcional al cubo de su velocidad a) Hallar la ecuación del movimiento b) Mostrar que la velocidad tiende a un valor constante Resolución.- Aplicamos el principio de Newton ( )
La fuerza que resulta y ocasiona el movimiento es:
( )
Como
Reemplazando en (2) luego en (1) se tiene:
La E.D del movimiento es:
(
( )
)
Para hacer fácil la integración hacemos los cambios ( )
( )
El segundo miembro es integrable directamente; el primer miembro integramos por descomposición en fracciones posibles. ∫
(
)(
)
∫(
*
Efectuando resulta.
∫(
Comenzamos la integración
,
∫ (
∫ (
)
(
)
)
[
(
(
√ √
)
(
,]
√
√
)
Reemplazando en (4), resulta.
√
(
(
)
√
De la primera expresión de (4):
(
(
(
*
)]
*
*
(
)
( )
reemplazando en (5)
[ (
*
)
*
(
)
(
(
)
+
√
)
(
(
√
+
√
(
√
√
√
)
)
)
b). En (3) Tiende a valor constante cuando Entonces: √ PROBLEMA 3.Se tiene un recipiente que contiene 400 litros de agua y un contenido de 25kg de sal. Está mezclado se mantiene uniforme mediante un mecanismo de agitación. Si a este depósito ha de
ingresar salmuera que contiene 0.25kg de sal por litro de salmuera a razón de 12litros por minuto: determinar a) La cantidad de sal que contendrá en cualquier instante, si la mezcla sale del recipiente con el mismo gasto que entra b) La sal que contendrá al cabo de 30minutos c) ¿Cuándo contendrá 75kg de sal?
Resolución.- Consideremos empezado el procedimiento, entonces:
Al transcurrir t min; hay x kg de sal en el recipiente.
La concentración será=
Luego al transcurrir
(
)
, x se incrementa en
(Cantidad se sal que entra)-(cantidad de sal que sale) que es la ecuación de continuidad, abreviadamente ( ) (
)
(
*
Reemplazando en (1) ; se obtiene la ecuación diferencial del problema. ( (
Reemplazado (2): (
Cuando
( )
)
)
( )
)
a) Reemplazando en (3), el valor de C, despejando x:
b) Se calcula x, cuando t= 30min; en expresión (a)
c) Conociendo C=L(75) y X= 75kg en (3), calculamos (
)
(
)
(
*
PROBLEMA 4.Un tanque que tiene la forma de un cubo de 3.67m de arista; presenta una fuga debido a un pequeño agujero cuya área mide 13 centímetros cuadrados. Si inicialmente está lleno de sus tres
cuartas partes; determinar la relación de los tiempos cuando está lleno hasta la mitad; y cuando esta vacío. Resolución.- Al transcurrir ( ) la altura de agua es ( ( ) y el volumen disminuye en
) . En un
; el nivel disminuye en
( )
Luego:
3.67
También, el mismo volumen sale por la sección B a una velocidad.
A
( )
Luego: √
Como sabemos:
( ) B ( )
√
Resolviendo (3)
√
Donde:
Luego el tiempo necesario para calcular nivel es: *√
√
+
( )
Donde: A= área de sección del cubo; B= área de sección de agujero [√
En (5) para
Para
√ ]
[√
La relación solicitada es:
√
√
(√
√
√ ) √
Simplificando
PROBLEMA 5.El radio de un cilindro circular recto mide 3.06m y su altura 6.12m .El cilindro que se llena con agua tiene en su base un pequeño orificio circular de 25.5 mm de diámetro ¿Cuánto tardará en salir toda el agua? Primero considerar ( Resolución.-
)
Es conveniente resolver el problema en forma general condiciones (
)
y(m)
Datos
0 h
v=3.06m 0
0
a=0.0255 A
y Al transcurrir (
h
) la altura es ( )
Al trascurrir ( ), el nivel de agua desciende volumen descendido: entonces: (
)
( ), y el volumen desalojado es igual al
(
)
( )
√ √
Reemplazando en (1):
(2)
√
Resolviendo (2):
(3) √
Para
El tiempo necesario para descender hasta cualquier nivel se consigue reemplazando k, en (3),y *√
a)
( )
+
( ) (
b)
√
)
( *
(
( )
PROBLEMA 6.-
Condiciones
)
(
Un casquete hemisférico de R m de radio con la base arriba, está lleno de agua que sale a través de un orificio de diámetro practicado en el fondo ¿Cuánto tiempo en vaciarse? Si el coeficiente de descargue es c.
)
0
(m)
R
0
hacia de a m tardara
Aplicación: Resolución.R
0
0
M
P
A medida que el agua desciende el Radio varía para el espejo de agua
Calculo del volumen descendido en un ( ) (
En
) ( ) √
Luego en (1):
( )
Volumen desalojado en un (
) √
( )
Según (A) del problema general, igualando (2) y (3) (
)
( )
√
(4) es la ecuación diferencial que resuelve al problema, resolviendo por los métodos conocidos: (
Reemplazando en (5)
)
( )
√
√
(
)
Esta expresión representa el tiempo de variación para cualquier nivel. Calcular
( * √
Para:
(II)METODO DE DIFERENCIALES EXACTAS Este método se emplea cuando se observa o se determina que la ecuación diferencial dada , constituye una “diferencial exacta” entonces la solución general se conseguir determinando cual es la relación. (
)
Que satisface a la ecuación diferencial.Reducción del Método.I)
Condiciones de Exactitud.-
Consideremos la familia de curvas ( cuya diferencial es: ó bien:
)
( ) Considerando la Ecuación Diferencial: ( )
(
)
( )
Considerando (1), con (2) resuelta que: ( ) Si en (3) derivamos la primera parcialmente con respecto a y; la segunda con respecto a x; Resulta. ( ) Bajo ciertas condiciones adecuadas, es indiferente el orden en que se efectúa la derivación; luego sabemos que: ( )
Si la última relación en (5) se cumple entonces la ecuación (2) es denominada “Ecuación Diferencial Exacta”, esta relación constituye una condición necesaria y suficiente para la exactitud.
II)
Solución de la E.D.E
La solución puede comenzarse por cualquiera de las expresiones de (3); depende del grado de dificultad en la integración; lo usual es comenzar por la primera; la cual integramos en respecto a x. ( )
∫
( )
La “constante de Integración “que se presenta en este caso es una función arbitraria de proviene de una integración en la que “y”, ha sido considerada constante.
ya que
El problema queda reducido a encontrar ( )M en la condición de que , dado por (6) satisface a la segunda relación de (3); diferenciando (6) con respecto a y; debe ser igual a N; esto es: ( )
∫ Luego resulta: ( )
( )
∫
Luego en (6) el valor de
∫(
∫
*
( )
, es: ∫
∫(
∫
*
( )
Por consiguiente la S.G presenta la forma:
∫
∫
∫(
∫
*
.
(*) se recomienda aprender el método, mas no la fórmula que se indican.
EJERCICIOS RESUELTOS.-
1.- Hállese la solución general de la ecuación diferencial. ( Resolución.-
)
(
Verificando las condiciones de exactitud.
)
( )
De (1): (
)
(
)
0
( ) (
)
}
La expresión (2) verifica las condiciones de exactitud, luego ]
∫[
( )
( )
Integrando ( )
( )
(4) diferenciamos respecto a y; e igualando a N
( ) Efectuando:
( )
(
)
( )
Es decir que
La resolución general es:
2.- Resolver la Ecuación diferencial. ( ) Resolución.-
La ecuación también es: (
)
(
( (
( )
*
) )
{ }
}
( )
(3) verifica las condiciones de exactitud, luego calculamos ( considerando N.
) esta vez la hacemos
( )
∫ (
*
( )
( )
Diferenciando (4) respecto de x, e igualando a M. ( )
( )
( )
( )
Reemplazando en (4); (
*
Por consiguiente la S.G es: (
*
(
*
(III) METODO DE DIFERENCIALES EXACTAS Cuando la ecuación diferencial de Primer Orden y de primer grado no es una diferencial exacta existen varios métodos para resolverla, que depende de las formas que presentan dichas ecuaciones, como veremos más adelante. A continuación se nuestra el caso de aquellas ecuaciones diferenciales, que no siendo exactas, se las transforma a exactas mediante un factor de integración f, al que se le denomina “Factor de Integración” Si el factor de integración es función de las variables ( ) su cálculo resulta laborioso y complicado, facilit ndose si es una relación en “x” solamente; o una relación en “y” solamente
Determinación del Factor Integrante. Sea la ecuación diferencial no exacta: (
)
(
)
( )
Multiplic ndolo por el factor de integración “f” (hasta ahora desconocido), por definición, la ecuación (1) se hace exacta.
(
I)
)
(
)
( )
Caso en que “f” es una función de x.
De (2) escribimos: ( Si el coeficiente de
*
( )
, en (3) es solamente función de x ( )
(
( )
*
( )
Integrando la segunda expresión de (4) se tiene. ( )
∫ ( )
∫ ( )
Donde omitimos la constante de integración; entonces el procedimiento es: Si (
II)
*
( )
∫ ( )
( )
Caso en que “f” es una función de y.
De (2) podemos escribir (
*
( )
Donde se tiene que: ( )
(
*
( )
( )
Integrando la segunda expresión de (7) ( )
∫ ( )
∫ ( )
Donde también se emite la constante de integración „, entonces el procedimiento es:
(
∫ ( )
( )
*
( )
Donde f; es el factor de integración
Procedimiento.Dada la E.D
(
1.- calcular:
( )
2.- Si 3. Si A
)
(
)
( )
la ecuación es exacta, de fácil reducción. calcular (A-B) y dividir la diferencia por N, llamaremos h, al resultado.
4.-Si h solamente es función x, entonces
∫
es el factor de integración.
5- Si h, no es función solamente de x, calcular (B-A) y dividir por M la diferencia, sea g, el resultado 6.-Si g, solamente es función de y, entonces
∫
es el factor de integración.
EJERCICIOS RESUELTOS.-
1.- Hállese la solución general de la siguiente ecuación diferencial (
)
( )
Resolución.- Veamos si la ecuación diferencial dada es exacta.
( ) }
(2), nos dice que la ecuación dada no es diferencial entonces procedemos a calcular a el factor integral “f”
( )
(
∫
)
( )
Entonces se tienen que; Multiplicándolo (1) por el f, calculando, se hace exacta. (
)
( )
(3) se resuelve como en el método anterior, es decir el método de las diferenciales exactas. ( )
( )
Diferenciando (4), respecto a y; e igualando a N. ( )
( )
( )
Reemplazando en (4) las SG es:
2- Hállese la solución particular de la siguiente ecuación diferencial para los valores iníciales ( )
Resolución.- La ecuación puede escribirse en la forma (
)
( )
( ) } (2) nos dice que la ecuación diferencial no es exacta, procedemos a calcular el factor integrante “f” ( )
(
) (
En este caso pasamos a calcular ( )
)
(
)
( )
(
∫
) (
)
(1) al multiplicarse por f, se hace una E.D.E, que al resolverse por el método estudiado resulta la S.G (
*
(
*
( )
Resolviendo la E.D.E (3); se tiene la S.G ( ) En (4) obtenemos; para (
Resolución.-
(
√
3.- Resolver.-
)
√ )√
La ecuación puede escribirse también en la forma (
√ )√
( )
√ √
Para facilitar: hacemos
(
Reemplazando en (1):
√ ) √
√ (
√ )
(
)
( )
En (2) hacemos √ Reemplazando en (2): ó también
(
)
( )
Dónde: (3) por f; de la siguiente E.D.E ) Solucionando por el método de las ecuaciones diferenciales exactas.
( )
Se obtiene:
Volviendo a las variables originales la S.G, es: (
√ )
√
PROBLEMAS DE APLICACIÓN PROBLEMA 1.Hallar la curva para la cual la longitud del arco desde un punto fijo hasta un punto cualquiera P, es proporcional a la raíz cuadrada de la abscisa de P. Resolución.Del enunciado se debe plantear la condición, se recomienda hacer un grafico que contribuye siempre a la solución del problema.
(
)
B
( )
√
Condición:
Y
Sabemos que: (
0 ∫ √(
)
(
)
∫√
(
En (1) resulta: ∫ √
)
(
)
√
Dividiendo respecto a X, se tiene: √
(
)
√
√
( )
(2) es la ecuación diferencial que resuelve el problema; integrando ∫
√
( )
{
Reemplazando en (4) ∫
∫[
]
( )
Obteniéndose después de integrar (5), y dividiendo a las variables originales, la S.G
*
(
√
)
√
(
) +
)
X
El alumno debe solucionar como ejercicios haciendo el siguiente cambio soluciones son iguales?
¿las
PROBLEMA 2.Desde un punto cualquiera ( ) de una cierta curva, se traza una normal, la cual corta al eje , en el punto N, hallar la ecuación de dicha curva sabiendo que pasa por el origen y que el punto medio de la recta normal PN, está sobre la parábola cuya ecuación es
Resolución.Y
Hacemos el grafico, y se obtiene Condición:
(
̅̅̅̅̅
( ) (
)
( )
En el Coordenadas de
(
)
(
H Coordenadas de
)
)
M
( ) 0
(
N
)
X
Como M, está en la parábola, entonces se tiene:
(
)
Luego: ( )
Reemplazando en (2):
(3) representa la ecuación diferencial de la familia de curvas, resolviendo se tiene la S.G ( Cuando la curva pasa por el origen (
) ) la S.P es. (
)
PROBLEMA 3.Un cuerpo que cae partiendo del reposo en un líquido, alcanza una velocidad cuyo límite es de . Suponiendo que la resistencia del medio es proporcional a la velocidad y que la densidad del cuerpo es de tres veces la del líquido, determinar: a) La velocidad al final de 1seg. b) La densidad de caída al final de 1seg.
t
0
1
Resolución.- Debemos hacer un gráfico que nos entender con mayor claridad el problema.
v
0
3m/s
¿?
e
0
-
¿?
Nuestro cuadro de valores e incógnitas
( )
Como por newton: Del gráfico: Reemplazando en (1): ( )
Como *
En (2) resulta:
+
( )
Resolviendo la ecuación diferencial del movimiento, dada por (3) (
(
En la (S.G), para
(
*
)
)
Luego la S.P. para las condiciones del problema es: (
*
(
)
De la S.P; obtendrán la velocidad de caída en cualquier instante (
*
( )
En (4) calculamos la constante k, con las condiciones: Para Reemplazando en (4) y despejando v; para cualquier instante, t. (
)
( )
permita
a) Para de (5) b) Para el cálculo de ; cuando (
. De (5) *
(
*
( )
De (6); para t=0; x=0, resulta Para t=1seg; x=e; sustituyendo en (6)
(
*
(
*
PROBLEMA 4.En un depósito hay 100 litros de disolución acuosa que contiene 10kg de sal. En este depósito se vierte agua con velocidad de 3 litros por minuto y se expulsa la mezcla a 2 litros por minuto. La concentración se mantiene homogénea removiendo el agua. ¿Cuánta sal había en el depósito después de transcurrir 1 hora? Resolución.- Debemos tener en cuenta que se vierte solamente agua ( Sabemos que: al transcurrir un
)
, x, disminuye
(
)
(
)
Entra = Reemplazando en (1) resulta.
Integrando √ (
) √
(2) es la S.G, entonces para - Ecuación que resuelve el problema: - Para
( )
resulta:
√
√ (
luego: )
( )
EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE REPASO
1.- resolver las siguientes ecuaciones diferenciales y calcular la S.P, para aquellas cuyas condiciones iniciales se dan.
a) (
)
(
)
b)
c) (
)
d) (
)
(
(
e) (
)
)
(
)
f) (
)
g) (√
*
√
i)
(
j)
( √
) )
(
*
√
)
(
)
)
k) (
)
(
(
)
(
m)
(
)
n)
(
)
(
o) p) –
(
(√
)
h) (
l)
)
( )
) )
)
q)
( )
√
r) s) (
)
2.- Calcular el valor de n, para que la ecuación que se da sea exacta. *
(
+(
)
)
3.- Una curva que se halla en el primer cuadrante pasa por el punto ( ). Si la longitud de arco comprendido entre ( ) y un punto ( ) es numéricamente igual al área limitada por la curva, el eje , el eje , y la ordenada P. Hallar las ecuaciones de la curva √
(
)
4.- Hallar la ecuación de la familia de curvas, caracterizadas por la propiedad “la suma de las longitudes de la sub tangente y de la subnormal de una familia de curvas es igual a 2”
(
√
)
(
√
)
(
√
)
(
√
)
5.- Determinar la ecuación de la familia de curvas que cumple con la siguiente condición “la parte de la recta tangente comprendida entre el punto de tangencia y su intersección con el eje de ordenadas es bisecada por el lugar geométrico de ecuación”
√
*
√ √
+
6.- Un hombre nada con velocidad constante v, a través de un rio de ancho, a, dirigiéndose siempre a la otra orilla. Si la velocidad de las aguas del rio varía directamente con el producto de las distancias a ambas orillas; encuentre la ecuación de la trayectoria seguida por el nadador.
(
)
7.- Un tanque contiene 240 litros de agua salina con 0.2kg de sal por litro, luego se introduce en él una solución con 0.3kg de sal por litro a un gasto de 8 litros por minuto y la mezcla sale del tanque con el mismo gasto. a) Hallar la cantidad de sal que el tanque contiene en cualquier instante.
b) ¿Cuánto contendrá el tanque 60kg de sal?
8.- En un medio favorable, el número de bacterias crece a una velocidad que es proporcional al número presente. Si hay 1, 000,000 de bacterias en un instante dado y 2, 000,000 un hora después, hallar el número de bacterias cuatro horas después. (
)
9.- Se dispara un proyectil con una velocidad de desde un punto situado a 80 metros sobre el nivel del mar. Expresar su altura respecto al mar como una función del tiempo. ¿Cuál es la mayor altura que alcanza? No tomar en cuenta la residencia del aire. Solución:
10.-Un camión está ascendiendo a velocidad de 750km/h y su trayectoria forma un ángulo de 30° respecto a la horizontal. En el instante que deja caer un proyectil, el avión está a una altura de 600m sobre el nivel del terreno ¿cuánto tiempo transcurrirá hasta que el proyectil llegue al suelo? Despreciar la resistencia del aire. Solución:
(
√
)
11.-Un tanque contiene inicialmente 600 litros de salmuera en la que están disueltos 450 gramos de sal. Se vierte agua pura en el tanque a razón de 15 litros/min, y la mezcla, que se mantiene uniforme revolviéndola sale a la misma velocidad. ¿Cuántos gramos quedaran después de 20 minutos?
(
)
12.- Un tanque de 400 litros llena de agua pura, se vierte a razón de 12 litros por minuto, agua salada que contiene 0.25 kg de sal por litro. La solución homogénea gracias a un agitador, sale a la misma velocidad. a) ¿Cuántos kilogramos de sal habrá en el tanque al cabo de 1hora 90min? b) ¿Cuál es el límite superior de la cantidad de sal en el tanque, si el proceso continua indefinidamente! c) ¿Qué tiempo ha de trascurrir para que la cantidad de sal pase de ser 50kg a ser 75kg? ) ) ) 13.- Dentro de un recipiente que contiene 30 kg de sal disuelta en 100 litros de agua se vierte agua pura a razón de 3 litros por minuto, y la solución, bien mezclada sale a razón de 2 litros por minuto. Hallar la cantidad de sal que hay en el recipiente al cabo de 1 hora.
14.- Un hombre y su paracaídas cae a una velocidad de 55 metro por segundo hasta el minuto de abrirse el paracaídas reduciendo después la velocidad que tiene al valor límite de , siendo la resistencia del aire proporcional al cuadrado de la velocidad. Demostrar que: [
(
)]
15.- Hallar la ecuación de la curva, para la cual, el área comprendida entre el eje de abscisas, la misma curva y dos ordenadas, una de las cuales es constante y la otra variable es igual a la razón del cubo de la ordenada variable a la abscisa correspondiente. (
)
16.- Un depósito cilíndrico vertical tiene de base. Cerca del fondo hay un orificio de 13 c , siendo su coeficiente de descarga igual a 0.6. Se observa que la descarga por el orificio ha originado un descenso de 2.5 cm en 20 segundos y se pide el nivel original y el existente 10 seg después.
PROBLEMAS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES AUTOR: ING. SALINAS AQUIJE TEOFILO WILLIAMS UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA
Los problemas resueltos que se presentan en este trabajo fueron tomados en las prácticas y exámenes en la Universidad Nacional de Ingeniería, mediante este trabajo trato de aportar al desarrollo del alumno ,buscando que logre un conocimiento eficiente en las ecuaciones diferenciales, agradezco los aportes y la colaboración de los alumnos. PROBLEMA: Resolver las E.D. a)(
| |) )
)(
(
)
SOLUCION: a) Reemplazando en la E.D. (
)
( )
(
)
E.D. homogénea hacemos Reemplazando y simplificando: ( )
(
)
( √
( (
*
*
))√
(
√ √ (
+ √ √
)
Volviendo a las variables primitivas y simplificando se obtiene: )√
(
*
(
√ )
(
√ )
+
) Reemplazando en la E.D. reduciendo a homogénea } ( )(
(
)
)
(
)
( )
( (
))
(
(
)
)
PROBLEMA: resolver la siguiente ecuación: ( )
( no es una exacta. Calculo del factor Integrante: ( )
( )
√
∫
Multiplicando la E.D. por el factor Integrante: (
)√
(
√
M
(
N
∫√
)
√
( )
)
(
)
)
( )
√
( )
( (
√
( )
√ ( )
)
√
√ (
)
(
)
√ (
)
(
)
√
PROBLEMA: La ecuación diferencial: (
)
(
)
Puede ser resuelto utilizando un factor integrante de la forma resolver la ecuación diferencial propuesta.
determinar este factor y
SOLUCION: (
)
(
(
)
)
(
)
M
N
Para que sea exacta debe cumplir: (
)
(
)
Igualando los coeficientes: (
)
(
)
(
( (
)
)
(
)
( )
( )
( ) ( ) )
Reemplazando en la E.D.(
)
(
)
Es una E.D. Exacta, entonces, la solución será: (
(
)
)
∫ (
(
)
)
( )
( )
( )
Para hallar k(y)=c derivamos parcialmente con respecto a y: ( )
( )
Entonces ( )
( )
luego: (
…. Rpta.
PROBLEMA: Resolver: (
)
(
)
( )
SUGERENCIA: *
+ ( ) (
)
SOLUCION:
) no es una ecuación diferencial exacta.
Buscamos un factor integrante (U) de la sugerencia.
Reemplazando en la sugerencia: ( )(
((
(
( )
)) (
)( )) )
(
) (
)
Multiplicando la ecuación diferencial por el factor integrante: (
)
M
(
)
N
Luego, la solución será:
(
)
( )
∫
(
)
( ∫ * (
(
( )
) ( )
(
)
(
)
( (
( )
)
)
(
)
( )
(
)
(
( )
+
)
(
)
)
(
)
PROBLEMA: Resolver ( de la forma:
) (
(
)
sabiendo k ´´u´´ es un factor integrante
) donde
.
SOLUCION: (
)
(
) (
)
Multiplicamos la E.D. por el factor integrante. Se obtiene: (
)
(
)
M
(
)
( )
)
N
(
∫
(
)
(
)
∫
( )
( )
( )
( )
( ) ∫
( *
( )
(
)
( )
Por lo tanto: PROBLEMA: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: √
) )
√
(
)
√
SOLUCION: √
)
√
∫
(
∫
)√
El primer miembro hacemos. (
)
Reemplazando e integrando:
∫
(
Pero: )
)
( ) (
∫
∫
( )
( *
( *
√
√
(
)
)
( )(
)
Es una ecuación diferencial homogénea, hacemos
, reemplazando y separando variables: integrar el primer miembro hacemos √
( √
√
para
reemplazando e integrando: √
(
) √
PROBLEMA: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.
+
( )
)( (
)
)
(
)
)
y calcular la solución particular sabiendo que
(Para ambos) SOLUCION: )(
(
)
)
( ), sea (
(
)Reagrupando la ecuación (1)
(
) (
La E.D. se transforma en:
) )
( )
(
) (
en el punto (0,2) no se continua,
luego no existe una solución para(0,2). (
) (
)
)
(
( ), esta ecuación tiene la forma:
)(Definición de una E.D. homogénea), hacemos el cambio de variable
, Reemplazando en (1) (
)
(
( (
)(
)
) )
(
Reemplazando v:
*
( )( )
+
√
√( ) [ (
(
) (
PROBLEMA:
√
]
)
)
)
Resolver la ecuación diferencial: (
)
SOLCUION: (
) (
(
)
)
Y el factor integrante será: (
( )
)
∫
Multiplicamos la E.D. por el factor integrante: ( (
)
) ( )
∫
(
( )
)
[ ( )] De donde: ( ) (
)
( )( (
)
( )
) ( *(
)
PROBLEMA: (
Resolver:
)
sabiendo que U es un factor integrante de la: (
SOLUCION:
El factor integrante: (
)
( (
Haciendo z = xy , el factor integrante U;
) ) ∫
( )
(
)
)
Multiplicando la E.D. por el factor integrante: (
)
( (
* *
( (
*
)
PROBLEMA: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: )
)(
( (
) )
) (√ (
)
)
(
)
)
SOLUCION: ) El factor integrante (
)
(
)(
)
Multiplicando la E.D. por el factor integrante tenemos: (
)
(
(
; haciendo
)
)
(
) (
Separando:
(
)
2 ( )
)
√
) (
( )
(
) )
)
( )
(
)
(
)
∫
√
Multiplicando la E.D. por el factor integrante: se tendrá: (
√
*
√
(
)
La solución es: √
∫ ⁄
(
( )
√
( )
√
( )
*
√
( )
√
( ) √
(
)
)
Reemplazando en la E.D. (
)
(
)
Hacemos (
)
(
)
(
PROBLEMA: Resolver los siguientes E.D. )( )( SOLUCION:
(
)
(
))
(
) (
))
(
)
)
(
)
Multiplicando la E.D. por (y): (
)
(
)
(
Hacemos (
)
( ) , reemplazando y simplificando
)
) (
)
(
)(
) (
(
(
)
)
PROBLEMA: Determinar la ecuación de una curva que pasa por (1,1) y tenga la siguiente propiedad: Por un punto P de ella se traza la recta tangente y la recta normal de modo que la primera corte el eje de las Y en el punto A y la segunda al eje de las X en el punto B, cumpliéndose la siguiente Condición
SOUCION:
, donde 0 es el origen de coordenadas
Y P
A
H K
y
0
F
B
X
(
) ( (
k-x
) ) (
)
(
(
(
X
*
)(
(
) (
)
)
)
(
) ( * ( (
)
)
( )
( )
PROBLEMA: Hallar la ecuación de la curva que pasa por el punto (1,0) y goza de la siguiente propiedad: “si por un punto cualquiera P de ella se traza la tangente geométrica y la normal respectiva, la tangente corta al eje Y en T y la normal al eje X en N resulta TN perpendicular a OP, siendo O el origen de coordenadas”
SOLUCION: Y tang
P(x.y)
T L
0
X X
( )
( )
( ( ) (
*
( )
( )
*
( ) ( )
( )
(
)
PROBLEMA: Hallar la ecuación de una curva para la cual cualquiera tangente a ella se intercepta con el eje de ordenadas en el punto que equidista del punto de tangencia y del origen de coordenadas. SOLUCION:
Y
P(x,y)
y-k
B
H x
0
A
(
) ( )
( ( ) ( )
(
(
)
) )
( )
(
)
(
)
PROBLEMA: Encontrar la ecuación de la familia de curvas cuyos puntos gozan de la siguiente propiedad: “La longitud de la normal trazada por un punto cualquiera de una de sus curvas es proporcional al cuadro de la ordenada de dicho punto”.
SOLUCION: y
Tang P(x,y)
Y
0
L
H
A
X
√
(
√(
)
√
) ( * (
√(
)
)
√(
)
PROBLEMA: Hallar la ecuación de una curva que pasa por el punto (0,10) y que goza de la siguiente propiedad: “Si por un punto cualquiera de ella se traza la tangente geométrica y por el pie de la ordenada del punto de tangencia una perpendicular a la tangente geométrica, hasta encontrar dicha tangente, tal perpendicular mide siempre 10 unidades de longitud”. SOLUCION:
Y Normal
tangente P
H
R K
(
Q
X
)
√
√
(
√
+ (
) (
(
)
)
(
)
PROBLEMA: ¿Qué forma debe darse a un espejo de un proyector para que los rayos del foco luminoso concentrado en un punto se reflejen formando un haz paralelo? SOLUCION:
(
)
Y P(x,y)
X
H
( ) ( ) (
)
√ (√
√
)
√
PROBLEMA: Hallar una curva que posea la propiedad de que la magnitud de la perpendicular bajada del origen de coordenadas a la tangente sea igual a la abscisa del punto de o. SOLUCION:
Y
N P
H
Tg
y x
k
√
N
(
√
)
(
√
)( (
(
) )
) (
) (
( (
(
)
)
)
(
)
)
PROBLEMA: Hallar la curva para la cual la razón del segmento interceptado por la tangente en el eje OY al radio-vector es una cantidad constante. SOLUCION:
Por la propiedad de pendiente a una curva y de la figura: P(x,y)
a
(y-L)
L
y
x
( )
⃑⃑⃑⃑⃑⃑
( ( )
√ (
(
√
) ( ) ( )
)
√
)
|(
)
|
(( √ (
+
*
(
(
)
)
(
)
)
( *(
)
)
PROBLEMA: Determinar la ecuación de la curva que pasa por el punto (3,4) cuya familia se caracteriza por la siguiente propiedad: “Si un punto cualquiera de una de sus curvas se traza una tangente, la longitud de la sub tangente correspondiente siempre es igual a la distancia entre el punto de tangencia y el origen de coordenadas”. SOLUCION:
(
Por lo tanto:
(
)
)
P(x,y)
a
y
k 0
x
√
√
√ ((
H
(
( )
)
R
)
√
)
| √
(
√
|
(
√
)
√
)
( (√
)*
| (√
)|
(
√
)
(
√
)
PROBLEMA: Hallar la curva cuya propiedad consiste en que el producto del cuadro de la distancia entre cualquier de sus puntos y el origen de coordenadas por el segmento separado en el eje de las abscisas por la normal al punto mencionado es igual al cubo de la abscisa de ese punto. SOLUCION:
TAG P
√
T
Q X
Del enunciado del problema: (
) (
(⃑⃑⃑⃑⃑ )
) (
)
N (z-x)
(
)(
)
(
)
(
)
PROBLEMA: Determinar la ecuación de la familia de curvas que gozan de la siguiente propiedad “La tangente trazada por un punto cualquiera de ellas, encuentra al eje de ordenadas en el mismo punto que la perpendicular al radio vector trazada desde el pie de la ordenada del punto tangencia”. SOLUCION: ( ) )
P(x,y) b A a B 0
x
N k
) (
(
)
) ( (
(
)
( )
( ) ( )
)
)
Simplificando y ordenando:
(
)
PROBLEMA: Determinar la ecuación de una curva que pasa por (
√
) y corta a cada una de las
circunferencias con centro en el origen, según un ángulo de 60º. SOLUCION: Se sabe que el ángulo que forman dos curvas al cortarse esta dado por: y
L
x a
( )
( )
( ) √ √
( √
)
√
( )
√
√
(
√
√
√
√
√
+
√
( )
( *
|
|
√
( )
PROBLEMA: ( ) la ecuación de una curva creciente en el primer cuadrante y que pasa por el origen Sea de coordenadas; y que satisface la condición siguiente: “Si por un punto f(x,y) de la curva se traza una recta horizontal, esta intercepta al eje OY en el punto Q(O,Y) y a la recta y = x en l punto M(x , y ). La región encerrada por la curva, el eje OY, y el segmento , gira alrededor del eje OY generando un sólido de volumen V1. La región encerrada por la recta y=x, el eje OX, y el segmento , gira alrededor del eje OX generando un sólido de volumen V2, siendo N=N(y,0). Sabiendo que ( )
( ) SOLUCION: ( ) P(x,y)
y=f(x)
y=x
Q
M(x,y)
0
∫
( )
( )
( ) ( (
(
) )
) ( )
PROBLEMA: Hallar la ecuación de la familia de curvas, tal que cada curva C de esta familia tenga la siguiente propiedad en el primer cuadrante: “tiene un extremo en (0,0) y si P(x,y) pertenece a X, el interior del rectángulo R limitado por los ejes coordenados y las rectas trazadas por P(x,y) paralelas a dichos ejes, es dividido en dos por C. Cuando la parte adyacente al eje X se hace girar alrededor de este eje, y la parte adyacente al eje Y se hace girar alrededor de este eje, entonces se generan dos sólidos de igual volumen”.
SOLUCION: Del diagrama representativo: y
P(x,y)
dy X
y
dx
∫
∫
(
x
∫
∫
)
PROBLEMA: Se da un punto sobre el eje Y, Q(0,5). SE pide calcular la ecuación de una curva que goza de la siguiente propiedad: “Si por un punto P(x,y), cualquiera equidista de Q y P. Adem s la curva pasa por el punto (√ ) SOLUCION: Por condición
por distancias tenemos: P(x,y)
Q
(o,b) y
x-a
X
T(a, O)
√
√(
( )
)
( ) ( (
)
( )
)
( )
( ) ( )
( )
( *
)(
((
))
(
⁄
( )
)
∫(
*
( )
( )
( )
( )
PROBLEMA: Hallar la ecuación de la curva tal que el área por la curva, el eje de las X, una ordenada fija y otra variable, sea igual al cuadrado de la diferencia de las coordenadas de un punto arbitrario de la curva. SOLUCION:
Y
P(x,y)
y A X x
(
)
∫
(
)
(
*
|(
)
) (
|
)
PROBLEMA: Hallar la ecuación de la curva para la cual, la longitud de la tangente es igual a la distancia desde el punto intersección de esta tangente como el eje OX hasta el punto M(0,a). SOLCUION:
( Y A P(x,y)
)
( )
x z
z
a y B x
k
( )
( )
√ ( ) ( ) √
(
) √ ( )
√ ( )
( )
(
) (
(
)
)
( )
( ) ∫(
* ( ) (
∫ (
*
( )
( )
(
)
( )
)
( )
( )
PROBLEMA: Determinar la ecuación de la curva que pasa por (0,0) y que goza de la siguiente propiedad: “La pendiente en un punto cualquiera P de ella es igual a 10 dividido entre la distancia del punto P a la resta y=x medida sobre la recta que pasa por P y es perpendicular al eje X.” SOLUCION: ( ) N Y P(x,y)
Y=X
L
45
45
H X
( ) ( ) ( )
( (
*
)
(
)
(
) (
)
PROBLEMA: Hallar una curva para que la abscisa del centro de gravedad de la figura plana limitada por los ejes de coordenadas, por esta misma curva y por la ordenada de cualquiera de sus puntos, sea igual a ¾ de la abscisa de este punto. SOLUCION: Y
P(x,y)
(a,b)
y
x *∫
∫
∫
PROBLEMA:
+ *∫
∫
+
Un hombre nada con velocidad constante, V, a través de un rio de ancho “a” dirigiéndose, siempre a la otra orilla. Si la velocidad de las aguas del rio varia directamente con el producto de las distancias del nadador; a ambas orillas (k es la constante de proporcionalidad) determinar la ecuación de la trayectoria seguida por el nadador y la distancia, aguas abajo, desde el punto de partida al punto de llegada. SOLUCION: R a-y
A P(x,y) y
Q(0,0)
( )(
d
)
( (
)
)
(
)
(
)
(
)
PROBLEMA: La velocidad de salida del agua por un orificio, que se encuentra verticalmente a una distancia “h” de la superficie libre del líquido, se determina por la formula donde c es √ aproximadamente igual a 0.6 y “g” es la aceleración de la fuerza de gravedad. ¿Cu nto tiempo tardara en salir el agua que llena la caldera semiesférica de 2m de diámetro, Si sale por un orificio redondo que hay en el fondo y que tiene 0.1m de radio?. SOLUCION:
Condiciones de frontera: (
)
( )
( )
√
( ) (
√ (
√
√
(
)
*
[
√
) ]
PROBLEMA: Un tanque tiene la forma de un cubo de 3.67m de arista: en su base hay una fuga debida a un pequeño agujero, cuya área mide 13 centímetros cuadrados. Si inicialmente el tanque está lleno en sus tres cuartas partes ¿cuándo estará lleno hasta su mitad? SOLUCION: Condiciones:
T(seg) H(cm)
a
H
0 3
a3/4
( ) √
( )
√
( ) √ ∫
√
[
]
(
(√
√
)∫
) √
PROBLEMA: Un tanque rectangular de área de base , la altura H tiene dos agujeros de área A: uno en el fondo y el otro en una cara lateral a la mitad de la altura H. Si el tanque esta inicialmente lleno de agua y tomando 0.6 como coeficiente de gasto, calcular durante cuánto tiempo saldrá agua por el agujero lateral. (
)
SOLUCION:
dy y-H/2
y
H/2
( )
√
(
* √
√
( )
√
(√
√ )
(
*
( )
√
(
(√
√
)
√ )
√
∫
∫ √
)
[(
√ √ (√ √
( )
)
] √ (√
√
√
√ (√
√ )
)
√
PROBLEMA: Hallar la ecuación de curva que determina sobre el eje de las “x” un segmento de longitud 4 y que satisface la propiedad: “ si por un punto P(x,y) de la curva se trazan las rectas tangente y normal a ella, el área del triángulo formado por dichas rectas con el eje x es igual a :( ) abscisa del punto en que la tangente corta al eje de las x. SOLUCION: En la figura
Y
condición del problema área del triangulo
NORMAL
P(x,y)
siendo
la
y
T(
)
H
N
x
( *
(
)
(
)
PROBLEMA: Cuatro moscas se posan en las esquinas de una mesa cuadrada de lado “L” al mismo tiempo, comienzan a caminar con las mismas velocidades de tal modo que cada uno de ellos se desplaza constantemente hacia la mosca situada a su derecha. Si se traza en la mesa un sistema de coordenadas polares, con el origen en el centro y el eje polar a lo largo de una diagonal, encuéntrese la trayectoria de la mosca que parte del eje polar y la distancia total que recorre entes de que todas las moscas se reúnan en el centro de la mesa. SOLUCION: (
)
(
̂
( )
*
̂ ̂
( ) (
(
√
(
√
√
)
)
(
√
)
La ecuación de la trayectoria para la mosca que parte del punto C será. (
√
( )
)
la trayectoria para cualquiera de las cuatro moscas , sabiendo el desfasaje década dos de ellos es ( ) , entonces la trayectoria será. (
√
)
(
)
Calculo de la distancia recorrida por la mosca que parte del punto C: En coordenadas polares la longitud del arco desde el punto X( entonces C Longitud de arco
∫
√
( )
Reemplazando r y r´ ; integrando
√
[
]
√
) hasta el centro (para r=0
*
√
√ (
Reemplazando C:
)
PROBLEMA: Realizando un trabajo de investigación un grupo de estudiantes llego a la siguiente ecuación ) ( ) diferencial: ( de ella se sabe que: No es una ecuación diferencial exacta, su factor integrante es ( ) , el grafico de la función pasa por (1,1/12) . Determinar la función ( ) y luego resolver la ecuación diferencial resultante. SOLUCION: ( (
)(
)
(
(
)(
(
) ( )
) ( )
( )
) (
(
(
) ( )
( )(
)
(
(
* ( )
(
)
(
( )
( )
)
)
(
)
( )
(
)
)(
(
)
)
( )
) )
)
( )
)(
∫(
(
)
( ) )(
) ( )
( )
( )
(
)
* ( )
(
( )
(
( ) ( ) (
( )
)
( )
(
( )
) (
)
( ) ( )
[∫
( )
( )
]
(
)
(
)
PROBLEMA: Un embudo A , tal como se muestra en el gráfico , lleno de agua , vaciara su contenido en un cilindro circular resto B. Considerando que el área de la sección transversal Por donde saldrá el agua es de 0.36 cm cuadrados Y empleando como coeficiente de gasto c=0.45 ,
10cm
A
Determinar en qué tiempo quedara lleno el cilindro.
60º
26cm
B 4cm
SOLUCION:
( )
√
d r
10
dy
y 30
( √
(
√
∫
(
(
(
√
)[
√
√
)
)∫
]
)(
*
(
( )
*
El cilindro se llenara cuando el embudo desaloje un volumen igual a del cilindro: ( ) (
) ( *
( )(
)
(
√
√
)
Cuando el cilindro se llene por completo en el cono quedara un volumen de :
Luego con este volumen calculamos hasta que la altura y radio deberá ser desalojado el agua del cono:
( )
√
Por consiguiente el problema consiste en calcular el tiempo necesario para evacuar del cono un volumen . Como en la ecuación (3) tenemos la altura del agua en el embudo para cualquier instante. Para y=4 t=16.6 seg. RPTA
PROBLEMA Dos recipientes el primero un cilindro circular recto y el otro un cono circular recto, con el vértice hacia abajo, tienen radios de la base iguales y ambos, hállese la razón de sus alturas. SOLUCION: Para el cilindro volumen de líquido que fluye por la sección A e un diferencial de tiempo:
R
dz h z
y
h
dx
x 30
A,r
√ ( √
)
( √
( )
)
( ( ) ( √
) ( ) ( )
)
( √
( )
)
( √
( )
)
(
) (
( ) ( )
( √
( √
)
( )
)
) ( )
( ) ( )
√ √ ]
∫
√ [
PROBLEMA:
]
√
∫ √
√
Una barca con carga pesa 98.1kg , si la fuerza que ejerce el motor sobre la barca en la dirección del movimiento es equivalente a una fuerza constante de 15kg, si la resistencia (en kg) al movimiento es igual al doble de la velocidad (en m/seg) es decir 2v y si la barca parte del reposo, determínese la velocidad: a) después de t seg b) después de 10seg. c) cuando el tiempo es infinito es decir la velocidad limite. SOLUCION: F
V(m/seg) 0 T(seg) 0
W
V t
V10 10
v Infinito
15Kg
( )
Según la segunda ley de newton:
( ) )
) (
*(
) (
)
PROBLEMA: Se tiene un recipiente recto cuya sección transversal es una semielipse de semiejes, a=3.00m y b=1.20m . su altura es de H= 4.80m. Teniendo es posición horizontal, se le llena de agua, teniendo en su fondo un orificio de salida de un centímetro cuadrado de sección transversal tal como se indica en el gráfico:
a b H
SOLUCION: De la presentación grafica calculemos el volumen desalojado en un diferencial de tiempo: ( )
H
A Y
b
dy b
(
(
)
( )( ( )
√ ( )
( )
)
)
( )(
∫
)
√
√
∫ (
)
√
(
*
PROBLEMA: Un cuerpo de masa “m” es lanzado hacia arriba sobre un plano inclinado de radianes con respecto a la horizontal ) Si “u” es el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el plano inclinado, la resistencia del aire es , donde “k” es una constante de proporcionalidad y v es la velocidad instantánea del cuerpo. Sabiendo que es la velocidad inicial del cuerpo, hallar la distancia máxima que recorrerá dicho cuerpo. SOLUCION:
N
Fa
Mg sen mg cos f
∑
W=mg
∫
(
)
(
( )
|
( (
*
)
(
(
( )
((
|
( )
( *+
*
( *+|
)
( ))|
(
)
(
)
( )
[
((
*
( )+]
(
*
( )
(
)
Reemplazando el (
)
PROBLEMA: Un cuerpo con peso W , cae partiendo del reposo. Si la resistencia del aire es proporcional a la velocidad y la velocidad limite es de 52m/s Determinar: a)la velocidad al cabo de 5 segundos b) La distancia recorrida en la caída después de 5 segundos. SOLUCION: T(seg) 0 V(m/seg) 0
00 52
5
(
(
)
( )
(
( ( )
(
( ∫ (
)
)
*
* (
∫ (
)
*
*
PROBLEMA: Una lancha que pesa 500kg se desliza por un plano inclinado a 5 grados. La componente de la fuerza de rozamiento que se opone al movimiento es : 500sen5º =43.6kg si la fuerza de rozamiento que se opone al movimiento es de 20 kg. Y la resistencia del aire expresada en kg equivale a 0.05 veces la velocidad en cm/s. hallar la velocidad después de 10 segundos de iniciado el movimiento. SOLUCION: 0.05v
20 kg
500 sen(5)
w
5º
T v
(
)
0 0
10
(
)
(
(
*
) *(
( (
(
*(
) )
)
PROBLEMA: Un navío de 84,000 tn (1 ton =1000 kg) parte del reposo suponiendo que la resistencia al movimiento de kg es 7000 v siendo “v” la velocidad en m/s y que la fuerza de propulsión aplicado al navío es de 120,000kg. Hallar. a) La velocidad en un tiempo cualquiera “t” b) La velocidad limite c) El tiempo que tarda en alcanzar los (9/10) de la velocidad limite. SOLUCION: (
W
*
120000
7000v ( *(
)
*
(
)(
*
(
)
) *(
(
)
) (
(
*
(
*(
*
(
*(
* *
(
)
PROBLEMA: Un cuerpo cae partiendo del reposo en un líquido alcanza una velocidad límite de (1-1/b) m/s Suponiendo que la resistencia del medio es proporcional al cuadrado de la velocidad determinar: a) La velocidad en cualquier instante b) La distancia recorrida para t=1/2 s NOTA: Asumir que SOLUCION: Sea FR: fuerza de resistencia del medio
Y=0
W
y
E
( ) ( )
( *(
*
(
∫
(
∫
(
*
*
(
)
(
*
(
(
( )
)
(
( ( )
)
( )
)
*
( )
(4) en (3): (
(
)
)
(
)
√
) (
( )
)
(
)
(
(
)
∫
(
(
*
)
|
(
(
(
*
) ( (
)
∫
( )
) )
(
)
) )(
) |
PROBLEMA: Un automóvil de peso “w” se empuja en línea recta, contra el viento con una fuerza de F kilos, el rozamiento entre el móvil y el piso es proporcional a la velocidad, la resistencia del aire al movimiento es numéricamente igual al doble de la velocidad en metro por segundo. Si el automóvil parte del reposo y la velocidad limite es numéricamente igual a F/3; encontrar la velocidad y la distancia a recorrer en función del tiempo. SOLUCION:
( ( *(
*
*
( *∫ (
∫ (
*(
)
* (
( *( ( *(
(
*
(
)
)
*
* (
(
)
*
PROBLEMA: En un depósito hay 100 litros de disolución acuosa que contiene 10 kg. De sal. En este depósito se vierte agua con una velocidad de 3 litros por minuto y se expulsa la mezcla con velocidad de 2 litros por minuto. La concentración se mantiene homogénea removiendo el agua ¿cuánta sal habrá en el deposito después de transcurrida una hora? SOLUCION: Del enunciado del problema sea Q: la cantidad de sal en cualquier instante t, luego:
Q
(
(
) (
(
)
(
(
)
)
)
(
)
)
PROBLEMA: Se tiene un depósito de 1000 litros de capacidad con 300 litros de salmuera que contiene 10 kg de sal. Se sabe que en un instante dado regresara agua pura a razón de 10 lit./min. A la vez que saldrá, por el fondo, a razón de 10 litros/minuto la mezcla resultante. El sistema cuenta con dispositivos especiales que permite que la mezcla se realice, en todo instante, uniformemente. Calcular: la concentración en un instante t min y el valor de dicho concentración al cabo de una hora. SOLUCION: K: concentración de sal que entra al recipiente K
C
Q V O
f
( ) ( )
(
*
( ( )
(
)
)
( )
Concentración en un tiempo “t”
( ) ( )
(
)
Para
PROBLEMA: Un producto químico C se produce de una reacción en la que interviene los productos Ay B. la velocidad de producción de C, varia como el producto de las cantidades instantáneas presentes de A y B. La formación requiere de 3kg de A por 2 kg de B si inicialmente de hallan 60 kg de A y 60 kg de B en una hora se forman 15 kg de C determinar: i) ii)
La cantidad de C en cualquier instante La cantidad máxima de C que puede formarse.
SOLUCION: Iniciado la reacción en cualquier instante t(hr) se forma Q (kg) del producto C , luego en un diferencial de tiempo (dt) se forma un diferencial de producto C, luego en un diferencial de tiempo (dt) se forma un diferencial de producto (dQ) la velocidad de producción está dado por: ( Para Q (kg) de C repartiremos proporcionalmente: REACCION: A + B C Inicial 60 kg 60kg 0 kg
)(
)
En cualquier instante t 60-3Q/5 60-2Q/5
Q
Cada unidad de C está compuesto por 3 kg de A y 2 kg de B (es decir una unidad de C tiene 5 kg de masa y las contribuciones será en forma proporcional (3/5) de A y (2/5) de B por unidad de C se tendrá (3/5)Q y (2/5)Q de A Y B respectivamente. Luego: (
*(
∫ (
* *
∫ (
(
i) ii)
(
( )
*
) )
((
Integrando y reemplazando límites:
(
( (
) ) )
)
( )
)
Cantidad C en cualquier instante : la ecuación (1) En la ecuación (3) para t= ..
PROBLEMA: Un cuerpo a una temperatura de 0ºF se coloca en un cuarto cuya temperatura se mantiene a 100ºF . si después de 10min la temperatura del cuerpo es de 25ºF , hallar: a) El tiempo requerido por el cuerpo para llegar a una temperatura de 50ºF b) La temperatura del cuerpo después de 20 min. SOLUCION: Del enunciado y según la segunda ley de enfriamiento de newton: ( (
) )
(
0 0
)
25 10
50 ¿?
¿? 20
[
Resolviendo la E.D. planteada se tiene:
] (
( ) (
(
( )
( ) (
)
)
( ) ( )
) )
)
( )
(
( ) *
ºF
PROBLEMA: Supongamos que la evaporación hace que una gota esférica del agua disminuya su volumen a una tasa proporcional al área de su superficie, hallar el tiempo que tardara una gota de radio r0 en vaporarse. SOLUCION:
( * (
)
PROBLEMA: Las temperaturas de la superficie de una pared de 0.24m de espesor son ºC La conductividad térmica de la pared es : k=0.21 ( ºC). a) calcular el flujo de calor atraes de la pared. b) Estime el porcentaje de error usando una conductividad media.
SOLUCION: Cantidad de calor atraes de la superficie: a)
ºC ,
x
e ∫
*(
(
∫
)
) (
)
(
)
(
ºC )
(
)(
PROBLEMA: Resolver las siguientes ecuaciones: )
)(
(
)
(
)
)
( √
SOLUCION: )(
(
)
)
(
(
)
)
)
*
( )(
)
(
(
( )
[∫
(
√
(∫
) )
( )
|
( )
[∫
( )
] )
)
(
)
( )
( ) ( )
)
(
)
( )
(
)
∫
|
(
)
( ) √
)
√
] (√
)
RESOLVER: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: ( (
)
( ( )
) )
(
*
)
(
∫ (
(
)
)
* ∫
[ ∫ (
(
)
)
)
*
(
(
) ) ∫(
(
( )
( )
)
)
[∫
( )
( )
]
+
)
]
(
)
( ( ( )
*
)
+
( ) (
)
( ) ( ) (
(
)
(
)
( )
( )
)
PROBLEMA: (
Resolver: (
*
(
( ( ( )
|
(
( |
[∫
)
)
( )
(
)
(
[∫
]
[∫
PROBLEMA:
)
*
)
)
)
(
)
]
∫
[∫
∫
∫
]
]
(
)
( [
)
(
) ( )
]
( )
(
∫ √
√
√
[∫
√
) (
*
*∫
]
+ (
)
√ √
(
*
)
[( √
*∫
+ ]
) (√
)(√ (
*
√
( (
√
*
+ )
√
√
√
∫ √
)
√
+
) √
√(
)
√(
)
+
PROBLEMA: Resolver la E.D. SOLUCION: Esta ecuación diferencial tiene la forma de Bernoulli. Si multiplicamos por haciendo , (
Reemplazando: solución está dado por: ( )
( )
[∫
)
( )
(
) es una ecuación lineal en (z) y la
( )
]
la E.D.:
∫(
)
Pero
PROBLEMA: Resolver (
)
(
)
(
)
Solución: Sea
luego (
, ( ( )
*
(
(
)
)
)*
(
)
)[ ∫
∫
)[ ∫ +
(
)
)
)
∫
(
( )
∫
)
*
) ] (
(
)
]
]
)
) (
(
(
[∫
dy=1+exx+1Cdx→ y=x+Cexxdx+Cexdx+C1 (
( ( )
(
(
)
*
(
(
(
)
PROBLEMA: (
Resolver:
)
(
)
Solución: (
Hacemos: multiplicamos la E.D. por
)
que es la ecuación de Bernoulli, entonces
( )
:
Hacemos: Reemplazamos: (
*
( *
(
[∫ (
*
]
(
( ))
(
*(
) (
)
) (
)
PROBLEMA: (
Resolver:
) sugerencia hacer
Solución La ecuación
tiene la forma de la ecuación de bernoulli, luego
multiplicamos la E.D por: (
Entonces
(
)
(
(
)
)
(
Donde:
( )
∫
(
)
(
)
( )
) ( )
Es ecuación lineal en ( ) luego la solución es (
)
)
[∫
( )
( )
]
(
)
[∫
(
)
(
(
)
(
]
(
)
)
[
(
)
(
)
]
)
PROBLEMA: ( )
Resolver
( ( ))
Solución: ( )
( ( ))
Agrupando: (
( )
( ))
( )
(
*
Tiene la forma de la ecuación de Bernoulli, multiplicando la E.D. por (
* (
( )
∫
(
( )
* )
(
( ) )
PROBLEMA: Resolver las siguientes E.D. a) Problema de valores iníciales: b)
:
( )
( )
)
c) ( d) ( √
)
( √
)
e) Sugerencia: usar coordenadas polares y en la solución general dejar indicando f) ∫ g) Solución: (
a)
)
Ecuación de bernoulli, multiplicando por la E.D por x:
( ) [∫
(
)
]
(
(
)
∫ ( )
)
Luego (
)
b) Hacemos la sustitución : ( )
Reemplazando:
Luego:
[∫
(
(
)
c) De la ecuación diferencial inicial: Multiplicando la E.D. por
)
]
(
)
tendremos:
( ) ( )
[∫
]
∫
(
PROBLEMAS PROPUESTOS
)
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