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U NIVERSIDAD D ISTRITAL F RANCISCO J OSÉ DE C ALDAS , M ATEMÁTICAS

Límite superior y límite inferior

Edisson Arley Arcos 2 de junio de 2015

Este documento consiste en mostrar, que es un límite superior y límite inferior de una sucesión de números reales, algunos teoremas importantes y se presentan los procedimientos rigurosos de sus demostraciones que en los libros dan como triviales, además mostraremos algunos ejemplos.

1.

I NTRODUCCIÓN

El objetivo general de este documento, es definir las nociones de los límites superior e inferior de una sucesión. Así que daremos dos definiciones equivalentes de ello, la primera del Tom M. Apostol, Análisis matemático y la segunda del libro de Walter. Rudin Principios de Análisis matemático. Definición 1. [1]Sea {sn } una sucesión de números reales,y E el conjunto de los números x (en el sistema extendido de números reales) tales que snk → x para algunas subsucesión {snk }. Este conjunto E contiene todos los límites subsecuenciales, mas posiblemente los números +∞ y −∞. Y sea s∗ = supE s∗ = in f E

1

los numeros s∗ y s∗ se llaman límite superior e inferior de {sn } y se nota l´ım sup sn = s∗ n→∞

l´ım inf sn = s∗ n→∞

Definición 2. [2]Sea { an } una sucesión de números reales. Supongamos que existe un número real U que satisface las dos condiciones siguientes: i) Para cada e > 0, existe un entero N tal que n > N implica an < U + e ii) Dado e > 0, y dado m > 0, existe un entero n tal que n > m tal que an > U − e Entonces U se llama el límite superior de { an } y se escribe U = l´ım sup an n→∞

Remark 1. La proposición (i) implica que el conjunto a1 , a2 , . . . esta acotado superiormente. Si el conjunto no esta acotado superiormente definimos l´ım sup an = +∞ n→∞

Remark 2. Si { an } es acotada, α = l´ım inf an y β = l´ım sup an , se deduce inmediatamente de la n→∞

n→∞

definición y del hecho que toda sucesión acotada tiene una subsucesión convergente, que para cada e > 0, existe N ∈ N tal que α − e < an < β + e para todo n >N. Ejemplo: Sea { xn } la sucesión dada por:    0 si n = 3k para un k ∈ N   xn = n1 si n = 3k + 1 para un k ∈ N    n2 si n = 3k + 2 para un k ∈ N Entonces

2

E = {0, +∞} Observe que in f E = 0 y sup E = +∞ Ejemplo: Sea { xn } la sucesión dada por:   −1 si n       n1 si n   xn = n2 si n      1 si n     n si n

= 5k para un k ∈ N = 5k + 1 para un k ∈ N = 5k + 2 para un k ∈ N = 5k + 3 para un k ∈ N = 5k + 4 para un k ∈ N

Entonces E = {−1, 0, 1, +∞} Observe que in f E = −1 y sup E = +∞

2.

P ROPIEDADES BASICAS

Teorema 1. [3] Sea { an } una sucesión de números reales. Se tiene entonces l´ım inf an ≤ l´ım sup an . n→∞

n→∞

Demostración. Si l´ım inf an = −∞ y l´ım sup an = +∞, pues ya se tendría, así que supongamos n→∞

que los límites son finitos y llamemos

n→∞

α = l´ım inf an ; β = l´ım sup an n→∞

n→∞

y vamos a probar que α ≤ β. Por reducción al absurdo supongamos que β < α, tomemos a γ ∈ ( β, α). Como β es el límite superior, solo pueden haber finitos elementos de la sucesión mayores a γ, luego existe N ∈ N tal que an ≤ γ para todo n ≥ N. Como hay infinitos elementos de la sucesión tal que an ≤ γ < α, contradice que α es el límite inferior. Así que se concluye α ≤ β. Teorema 2. Sea { an } una sucesión de números reales, l´ım an = a (la sucesión converge) si y sólo si n→∞

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l´ım inf an = l´ım sup an = a n→∞

n→∞

Demostración. ⇐ Sea e > 0, por ser l´ım inf an = a, debe haber una cantidad finita de elementos n→∞ de an menores que a − e y por ser l´ım sup an = a, debe haber una cantidad finita de elementos n→∞

de an mayores que a + e. Así existe un N ∈ N tal que a − e < an < a + e para todo n ≥ N. Y esto es que l´ım an = a. n→∞ ⇒ Si l´ım an = a, así toda subsucesión de an también va hacer a, mas aún el límite superior y el n→∞ límite inferior, entonces l´ım inf an = l´ım sup an = a n→∞

n→∞

Teorema 3. Sea { xn } una sucesión acotada y sean {sn } y {tn } las sucesiones definidas por sn = sup{ xn , xn+1 , . . .} tn = in f { xn , a x+1 , . . .} Entonces las sucesiones {sn } y {tn } son convergentes y l´ım sn = l´ım sup xn

n→∞

n→∞

l´ım tn = l´ım inf xn

n→∞

n→∞

Teorema 4. Si an ≤ bn para cada n = 1, 2, . . . se tiene entonces l´ım inf an ≤ l´ım inf bn n→∞ n→∞ l´ım sup an ≤ l´ım sup bn n→∞

n→∞

Demostración. Como an ≤ bn , para todo n, tenemos que xn := sup{ an , an+1 , . . .} ≤ yn := sup{bn , bn+1 , . . .} de modo que l´ım sup an = l´ım xn ≤ l´ım yn = l´ım sup bn n→∞

n→∞

n→∞

x →∞

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similar para el límite inferior, xn := in f { an , an+1 , . . .} ≤ yn := in f {bn , bn+1 , . . .} de modo que l´ım inf an = l´ım xn ≤ l´ım yn = l´ım inf bn n→∞

n→∞

n→∞

x →∞

Ejemplo: an = (−1)n (1 + n1 ) entones l´ım inf an = −1, l´ım sup an = 1 n→∞

n→∞

Demostración. Sea xn = in f { an , an+1 , . . .} y yn = sup{ an , an+1 , . . .}   1 a  a = (1 + 1 ) = −( 1 + ) si n es par n n +1 n +1 n xn = yn =  a = −(1 + 1 )  si n es impar a = (1 + n

n +1

n

si n es impar 1 n +1 )

si n es par

por lo tanto

−1 −

1 n

≤ x n ≤ −1 y −1 −

1 n

≤ x n ≤ −1

así xn → −1 y yn → 1 entonces l´ım inf an = −1, l´ım sup an = 1 n→∞

2.1.

n→∞

P ROPIEDADES ARITMÉTICAS

a) l´ım sup(− an ) = − l´ım inf an n→∞

n→∞

b) l´ım sup( an + bn ) ≤ l´ım sup an + l´ım sup bn n→∞

n→∞

n→∞

R EFERENCIAS [1] Walter Rudin. Principios de Análisis matemático. McGraw Hill, 1980. [2] Tom M Apostol. Análisis matemático. Reverté, 1996. [3] Maria del Carmen Calvo. Resultados sobre límite de sucesiones. 2005.

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C OEVALUACIÓN Nombre del estudiante evaluador: Calificación1 : Argumente brevemente su calificación:

C RITERIOS DE E VALUACIÓN Para evaluar el trabajo de su compañero tenga en cuenta los siguientes aspectos. Originalidad: El trabajo debe reflejar un ejercicio académico auténtico, no debe tener fragmentos argumentativos (demostraciones) copiados literalmente de libros o páginas internet. Puede tener demostraciones propias, demostraciones detalladas o reescrituras de demostraciones. El trabajo debe reflejar el esfuerzo personal de aprendizaje y la intención de comunicarlo. Profundidad: El trabajo tiene que demostrar la capacidad del estudiante para preguntar y abordar sus preguntas. ¿Considera ejemplos?, ¿implicaciones?, ¿analiza las condiciones del teorema?, ¿la veracidad de la recíproca?, ¿casos más generales?, etc. Complejidad: El trabajo debe tener ejemplos, demostraciones, implicaciones, etc. matemáticamente retadores de acuerdo al nivel del curso. Representaciones: El uso de representaciones puede aportar a la originalidad, profundidad y complejidad: simulaciones en geogebra, sage, Ipython, diagramas de demostraciones, etc. Rigor: El rigor lógico, matemático y de exposición es fundamental. Si el trabajo carece de rigor matemático no vale nada. Redacción: Claridad en la escritura general, buena redacción y ortografía. Uso de las tildes, las comas, los signos de puntuación. Pulcritud en la escritura de las demostraciones. El trabajo debe ser breve, alrededor de 4 páginas. Citación: Uso debido de las citas, tanto en la técnica del LATEXcomo en la técnica de citar.

1 Sólo

puede usar las siguientes notas: 10 (deficiente), 20 (insuficiente), 40 (bueno), 50 (excelente).

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