Limite Finito 6d6c3a

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Límite de una Función I)

Límite Finito

Muchas veces interesa analizar el comportamiento de los valores de una función, para valores de la variable independiente cercanos a uno particular. Éste estudio lleva a definir un concepto de la matemática superior conocido como “límite” de la función. Noción intuitiva: el Límite de una función es el número real al que se aproximan las imágenes (o valores) de una función cuando la variable independiente se aproxima a un número cualquiera. En símbolos: sea f la función y L límite y a el valor de la variable independiente. Entonces, cuando x  a  f ( x)  L (se lee: “cuando x tiende a a, sus imágenes tienden a L”).

f ( x)  L. O bien: xlím a Ejemplo1) Sea la función f ( x )  x  3 , con dominio Df = R. Vamos a analizar si la función tiene límite cuando x se aproxima a 3, utilizando una tabla de valores. Solución: Dando a x valores cada vez más próximos a 3, se construye la tabla: x 2 2,5 2.9 2,99 2,999 2,9999

f(x) 5 5,5 5,9 5,99 5,999 5,9999

x 4 3,5 3,1 3,01 3,001 3,0001

f(x) 7 6,5 6,1 6,01 6,001 6,0001

La interpretación de la tabla lleva a decir que los valores de f se acercan a 6, cuando x se acerca a 3. Además, hay dos maneras de aproximarse a 3: tomando valores menores (por izquierda) o tomando valores mayores (por derecha). Aunque es prácticamente imposible seguir completando la tabla con todos los valores (porqué?), la intuición nos dice que podemos acercar el valor de x a 3 tanto como sea posible, o bien, que x se aproxima infinitamente a 3 (esto es posible por ser x un número real), y que los valores de f(x) se acercarán infinitamente a 6. En éste proceso, notamos que los valores de la función se acercan a 6 cuando x se acerca a 3, es decir, que 6 es el límite de la función en 3. En símbolos:

lím f ( x )  lím ( x  3)  6. x 3

x 3

Ejemplo 2) Sea la función g ( x ) 

x2 9 , con dominio Dg = R – {3}. x 3

Vamos a analizar si la función tiene límite cuando x se aproxima a 3. Solución: Dando valores a x cada vez más próximos a 3, se construye la tabla: 

Elaborado por la Prof. Adriana Duarte

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x 2 2,5 2.9 2,99 2,999 2,9999

g(x) 5 5,5 5,9 5,99 5,999 5,9999

x 4 3,5 3,1 3,01 3,001 3,0001

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g(x) 7 6,5 6,1 6,01 6,001 6,0001

Se observa que los valores obtenidos coinciden con los de la tabla anterior. ¿Porqué? Ocurre que las funciones f y g son equivalentes, excepto en x = 3. Este valor pertenece al dominio de f pero no así al dominio de g. Sin embargo, la interpretación de la tabla lleva a decir que los valores de g se acercan a 6, cuando x se acerca a 3, tanto por izquierda como por derecha. En símbolos:

lím g ( x )  lím x 3

x 3

x2 9  6. x 3

Tenemos así algo importante que destacar: a) en el estudio del límite de una función no interesa si el valor “a” pertenece o no pertenece al dominio de la función analizada; la función puede tener límite en ese punto aunque el mismo no forme parte de su dominio. b) Dos o más funciones diferentes pueden tener el mismo numero real como límite, para x  a . Recordamos: la distancia entre dos números a y b es el valor absoluto de su diferencia. d ( a; b)  a  b . Entonces, en los ejemplos anteriores, podemos decir que cuando la distancia entre x y 3 se hace cada vez más pequeña, la distancia entre f(x) y 6 (o g(x) y 6) también es cada vez más pequeña. Cuánto mas cercana está x a 3 la distancia entre ellos se aproxima “o tiende” a cero, de igual forma que la distancia entre f(x) y 6 tiende a cero. En símbolos: x  3  0  f ( x)  6  0 ¡¡Podríamos considerar a f ( x )  6 tan pequeña como quisiéramos, y con eso estaríamos asegurando que 6 es el límite de los valores de f!! ¿cómo? Basta con tomar a x tan próximo como sea posible a 3!. O sea: si en forma arbitraria se establece que la distancia de f(x) a 6 sea menor que un determinado número, esto condicionará que la distancia de x a 3 sea menor que un número también. Por ejemplo: f ( x )  6  0,1  ( x  3)  6  0,1  x  3  0,1 f ( x )  6  0,001  ( x  3)  6  0,001  x  3  0,001

Probemos con otro ejemplo. La función h( x )  3 x  4 ¿tiene límite -1 cuando x se acerca a 1? h( x )  ( 1)  0,1  (3 x  4)  1  0,1  3 x  3  0,1 3. ( x  1)  0,1  3 . x  1  0,1  x  1  0,1 3

. h ( x )  ( 1)  0,001  (3 x  4)  1  0,001  3 x  3  0,001 3. ( x  1)  0,001  3 . x  1  x  1  0,001 3

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En ésta función podemos observar que cuando la distancia de h(x) al límite es un determinado valor prefijado, la distancia entre x y a es la tercera parte de ese valor, en cambio en el primer ejemplo, estos valores eran iguales. Más generalmente, si no queremos especificar ese número podríamos designarlo  (épsilon) siendo cualquier número positivo dado, tan pequeño como se quiera, y para cada épsilon tomado se encontrará que la distancia de x a a será menor que un valor que dependerá de épsilon, que llamaremos  (delta). En el caso de la función f, resultó    , y en el caso de la función h resultó ser   1 3 .  (O sea, que la relación entre  y  dependerá de la función analizada). Entonces, para el primer ejemplo, comprobamos que:

lím ( x  3)  6  x 3

  0,    0 / x : ( x  Df  0  x  3    ( x  3)  6

 )

Tomando la función h, comprobamos que:

lím (3 x  4)   1  x1

  0,    0 / x : ( x  Df  0  x  1    (3 x  4)  ( 1)

 )

Para el caso general de tener cualquier función y  f (x ) , definida en Df, se dice que:

lím f ( x)  L 

x a

  0,    0 / x : ( x  Df  0  x  a    f ( x )  L

  ).

Esta expresión se conoce como la definición formal del límite de una función, o también como la definición épsilon-delta.

No existencia de límite finito Cuando la definición anterior no se cumple, se dice que la función no tiene límite en el punto a.

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Por ejemplo 3) La función signo, definida como el cociente entre la función valor absoluto y la x

función identidad, f ( x )  Sgn( x ) 

x

, no tiene limite finito en el punto 0, dado que para

cualquier entorno1 con centro 0, no se cumple que para un épsilon dado, sea siempre f(x) menos L menor a dicho épsilon.

Límites laterales Se denominan así a los límites que se obtienen cuando la variable x tiende a a únicamente por derecha o por izquierda. Definición: Dada

la

función

f,

el

número

L1

es

límite

lateral

derecho

  0,    0 / x : ( x  Df  a  x  a    f ( x )  L1

Dada

la

función

f,

el

número

L2

es

límite

lateral

izquierdo

  0,    0 / x : ( x  Df  a    x  a  f ( x )  L2

Condición de existencia de límite finito

lím f ( x)  L1 y lím f ( x)  L2 y L1  L2 

x  a

En

el

x a

ejemplo

3,

para

la

función

si

y

sólo

si

si

y

sólo

si

  ).   ).

lím f ( x)  L1  L2  L

x  a

f ( x) 

x x

,

con

x 0 ,

se

obtienen

lím f ( x)  1 y lím f ( x)   1 y L1  L2   lím f ( x) . x 0 x 0

x  0

f ( x)  L1 y lím f ( x)  L2  L1  L2 Condición de Unicidad: Sea la función y = f(x). xlím a x a Función por tramos Una función se define por tramos cuando presenta para cada subintervalo del Dominio, reglas de definición diferentes. 1

Un entorno E(a;h) es un intervalo abierto de números reales, donde su centro “a” es el punto medio entre los extremos del intervalo y su radio “h” es la distancia del centro a uno de los extremos. Por ej.: E(4;2) = (2; 6). Guía teórica Límite Finito

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

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

Ejemplo 4): la función f se define: f ( x )    

x 2 ; si  2  x  0  4 x  5 ; si 0  x  3 .  2 ; si x  3

Su dominio está dada por la unión de los subintervalos D1    2 ; 0 , D2   0 ; 3 y D3   3 ;   . El resultado es: D f    2 ;   . Las imágenes de f para D1 pertenecen al intervalo I f 1   0 ; 4 , para D2 pertenecen al intervalo I f 2    7 ; 5 y para D3 : I f 3    2 .

El conjunto imagen de la función se obtiene realizando: I f 1  I f 2  I f 3 …¿cuál es el resultado de ésta operación? La representación gráfica es la siguiente:

La función Valor Absoluto es un ejemplo de función definida por tramos:  x ; si x  0 f ( x)  x     x ; si x  0

También se puede presentar como una función compuesta, por ejemplo:

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x  1; si x  1  0   ( x  1); si x  1  0 

g(x) = x  1  

La función del ejemplo 4) nos permite visualizar mejor la idea de límites laterales. Si se quiere encontrar el límite de f para los valores x = -2, x = 0, x = 1 y x = 3, se procede de la siguiente manera: 

En x = -2 únicamente se puede encontrar límite por derecha (¿porqué?).

f ( x)  lím  x Es decir: x lím   2 x  2 

2

 4.

En x = 0, se calculan límites por izquierda y por derecha:

lím f ( x)  lím x 2  0 y x0 x0

lím f ( x )  lím ( 4 x  5)  5 , por lo tanto   lím f ( x) . x0 x0

x  0

En la representación gráfica, la función tiene “un salto” en x = 0. 

En x = 1, no es necesario plantear límites laterales, dado que la función no cambia de regla de



f ( x)  lím ( 4 x  5)   7 y lím f ( x)  lím  2   2 , y En x = 3, xlím  3 x3 x3 x 3

f ( x )  lím ( 4 x  5)  1 . definición en un entorno de 1: lím x 1 x 1

  lím f ( x ) . x 3

Propiedades de límite finito Estas permiten encontrar el límite de funciones, sin necesidad de realizar tablas de valores.

f ( x)  K . 1) Si f(x) = K ( K  ), entonces xlím a

(3)   3 o Por ejemplo: lím x 5

lím ( 3)   3 .

x1 3

f ( x )  a. 2) Si f(x) = x, entonces xlím a

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x 5 o Por ejemplo: lím x 5

lím x  1 3 .

x1 3

f ( x)  pa  q. 3) Si f(x) = p.x + q (función lineal), entonces xlím a Por

lím (3.x  2)  3.5  2  13

ejemplo:

o

x 5

lím (2 x  4)   2.1 3  4  10 3 .

x1 3

4)

Si

h(x)

=

f(x)



g(x),

lím  f ( x)  g ( x)  L1  L2 .

y

lím f ( x)  L1

xa

y

lím g ( x)  L2 ,

x a

entonces

x a

( x 2  2)  lím ( x 2 )  lím 2  5 2  2  27 . Por ejemplo: lím x 5 x 5 x 5 Infinitésimos Una función  es infinitesimal o infinitésima en un número a si y sólo si su límite cuando x tiende a a es cero.

lím  ( x)  0   es inf initésimo en a .

x a

En símbolos: lím  ( x )  0    0,    0 / x : ( x  Df  0  x  a     ( x)   ) . xa

x2  0. Por ejemplo: f(x) )= x2 es un infinitésimo en x = 0 dado que lím x0 Propiedades de infinitésimos

1) la suma o diferencia de dos infinitésimos en a, es otro infinitésimo en a 2) el producto de dos infinitésimos en a , es otro infinitésimo en a 3) el cociente de dos infinitésimos es una indeterminación (puede dar un numero real distinto de cero, cuando los infinitésimos son de igual orden, o cero cuando el numerados es infinitésimo de orden superior al denominador, o infinito cuando el denominador es de orden superior al numerador).

f ( x)  L  f ( x)  L   , con  inf initésimo en a. 5) lím xa

f ( x)  L1 y lím g ( x)  L2 , entonces 6) Si h(x) = f(x) . g(x), y xlím a x a

lím  f ( x ) . g ( x)  L1 . L2 .

x a

f ( x )  L  lím c. f ( x )  c. lím f ( x) . 7) Si c es un número real y ´xlím a xa xa

3. x 4  3 lím x 4  3. 256  768 . Por ejemplo: lím x4 x4

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f ( x)  L1 y lím g ( x)  L2 entonces 8) Si h(x) = f(x): g(x), y xlím a x a

lím  f ( x) : g ( x )  L1 : L2 ; con L2  0.

x a

Por ejemplo: hallar el límite de h( x ) 

x 2  25 , cuando x 1. x 2  4x  5

Solución: La función h es racional, por ser cociente de funciones polinómicas y para hallar su límite, se puede aplicar la propiedad Nº 8:

lím h( x)  lím x 1

x 1

lím ( x 2  25) x 2  25 12  25 x 1    3. x 2  4x  5 lím ( x 2  4 x  5) 12  4.1  5 x 1

g ( x)  L . entonces: 9) Si existe la función compuesta f  g y ´xlím a lím ( f  g )( x )  lím f  g ( x )   f  lím g ( x )   f ( L).  x  a  xa xa

Son casos especiales de aplicación de esta propiedad:

 f ( x) n   lím f ( x) 1) lím  xa  xa

n

 f ( x)1 n   lím f ( x) 2) lím  xa  xa

 5.x  3   lím 5.x  . Por ej.: lím  x2  x2 1 n

2x  1  . Por ej.: lím x2

3

  5. 2 

3

 1000

lím ( 2 x  1)  x2

5.

Cociente de infinitésimos (Indeterminación 0/0)

¿Qué pasaría si se tiene que hallar el límite de h( x ) 

x 2  25 , cuando x  5 ? . Al x 2  4x  5

aplicar la propiedad correspondiente, se tiene:

lím h( x)  lím x5

x 5

lím ( x 2  25) x 2  25 0 x 5   , 2 2 0 x  4x  5 lím ( x  4 x  5)

obteniéndose

así

un

x 5

cociente de infinitésimos (se dice que presenta una indeterminación). En efecto, las funciones f ( x )  x 2  25 y g ( x )  x 2  4 x  5 tienden a “cero” cuando x 5 . ¿Es posible conocer el límite de la función dada, en x = 5? En general, se recurren a artificios matemáticos (algebraicos, trigonométricos, de racionalización, etc.) válidos para transformar la expresión de la función dada en otra, donde la indeterminación ya no exista. Por ejemplo, en la función h, numerador y denominador se pueden factorear y luego eliminar los factores iguales:

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lím h( x )  lím x 5

x5

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x 2  25 ( x  5) ( x  5) x5 10  lím  lím  . 2 x  5 x  5 ( x  1) ( x  5) x 1 6 x  4x  5

Ejercicio 1: Calcular lím x3

x2  9 3 

x

.

Solución: Es una indeterminación del tipo 0/0. Se procede multiplicando y dividiendo por el conjugado de la expresión del denominador, con la intención de hacer desaparecer las raíces: lím

x2  9 3 

x3

lím

x3

=

x

( x  3) ( x  3) ( 3  ( 3  x) ( 3 

 lím

x3

 ( x  3) ( 3  1

x)  ( x  3) ( 3  x ) ( 3   lím x  3 (3  x ) x) x)

x)



  12 3 .

Ejercicio 2: Hallar el límite de la función g ( x ) 

5

3 2x  1 1 x

, cuando x 1 .

Solución: Nuevamente es una situación de indeterminación 0/0. En este caso conviene realizar un cambio de variable, reemplazando el radicando por una expresión que posea raíz quinta, por ejemplo 3  2 x  u 5 . La nueva variable independiente es u, habrá que reemplazar a x por una expresión de u, haciendo: 3u5 . x 2 Además, cuando x 1 , se cumple que u  5 1  1 . Sustituyendo, queda:

3  2x  1  lim u 1 1 x

u5  1 2 (u  1)  lím 5 x 1 u  1 3u u 5  1 . Factoreamos el denominador: 1 2 2 (u  1) 2 2 lím 4  lím  . u  1 (u  u 3  u 2  u  1) (u  1) u  1 (u 4  u 3  u 2  u  1) 5 lim

5

5

Sabemos que la función no está definida en x = 1, y como el límite existe, desde el punto de vista gráfico se observa un “hueco”, que resulta de aislar en la gráfica el punto de coordenadas 1 ; 2 5  .

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Ejercicio 3: Analizar si la función t ( x ) 

Año 2014

x 1 tiene límite cuando x   1 . 2 x  3 x 1 2

Solución: Como la función valor absoluto se define por tramos, tendrán que considerar límites laterales, por izquierda y por derecha de -1. lím 

x 1 x 1 1  lím   lím    1 y además: x  1 ( 2 x  1)( x  1) x  1 2 x  1 2 x  3 x 1

lím 

 ( x  1)  ( x  1) 1  lím   lím   1. 2 x  1 ( 2 x  1)( x  1) x  1 2 x  1 2 x  3 x 1

x  1

x  1

2

Como los límites laterales son distintos, la función t, no tiene límite en -1.

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