Matematica 5u2w2t

PUERI DOMUS ENSINO MÉDIO

MATEMÁTICA Saber fazer saber fazer +

MÓDULO

12

Saber fazer 7. Se as medidas dos lados de um triângulo obtusângulo

teoria polinomial

1. (Unifor-CE) Sejam os polinômios f(x) = x + 2px + q e 2

g(x) = (x– p) (x + q), com p e q reais não nulos. Se f(x) é idêntico a g(x), então o valor de p + q é igual a: a) –4 b) –3 c) –2 d) 0 e) 1

2. (UFMG-MG) Os polinômios P(x) = px2 + pq – 4 e

Q(x) = x2 + px + q são tais que P(x + 1) = Q(2x) para todo x real. Os valores de p e q são: a) p = 1 e q = – 4 b) p = 2 e q = 4 c) p = 4 e q = – 4 d) p = 4 e q = 0 e) p = – 4 e q = 0

3. (UEA-AM) Qual é o resto da divisão do polinômio x4 + 1 por x2 + 1? a) –2x b) –2 c) 0 d) 2 e) 2x

a) b)

(

)

(

)

) (

)

 1 + 2 / 2, 1 + 5 / 2       1 + 5 / 2, 1 + 5 / 2     

(

(

)

c)

 1 + 5 / 2,  

d)

  

( 2 + 2 ) / 2 

( 2 + 2 ) / 2, (1 + 3 ) / 2 

8. (Mack-SP) A função f polinomial e seu gráfico a pelos pontos de coordenadas (–2; –1), (0; –3), (1; –2), (2; 0) e (3; 1). O termo independente de x no polinômio que define f é: a) –1 b) –2 c) –3 d) 0 e) 1

9. Seja o polinômio:

4. (UFPB-PB) Determine os possíveis valores de a e b,

com a, b ∈ , de modo que o polinômio p(x) = ax2 + + 3x – 7 seja divisível por q(x) = x – b.

5. (Fuvest-SP) Seja p(x) um polinômio divisível por x – 3. Dividindo p(x) por x – 1, obtemos quociente q(x) e resto 10. O resto da divisão de q(x) por x – 3 é: a) – 5 b) – 3 c) 0 d) 3 e) 5

6. (Mack-SP) Se o polinômio p(x) = x5 + 4ax4 + 3x3 + a3, a ∈ , é divisível por x – a, então

estão em progressão geométrica de razão r, então r pertence ao intervalo

é:

(pq – 2)x3 + (p2 + q2 – 5)x2 + (p + q – 3)x + 2p – 5q + 1 Se p e q são tais que o polinômio é identicamente nulo, então p3 + q3 é: a) 8 b) 54 c) 72 d) 9 e) 353

10. (Mack-SP) Se

para todo x,

, então a – b vale: a) 4 b) –2 c) 3 d) 0 e) –1

11. (UFV-MG) Determine os polinômios P(x) do segundo

grau que satisfazem a condição P(x) – P(x – 1) = x para todo número real.

12. (PUC-MG) Se o polinômio

é identicamente nulo, a soma

m + n + p é: a) – 3 b) – 6 c) 8 d) 5 e) 0

MÓDULO 12

13. (Fatec-SP) Temos

, para

todo x real não nulo. Determine A + B + C.

14. Efetue, usando o método da chave, a divisão do polinômio: x4 + 4x3 + 4x2 + 10x – 7 por x2 + 3x – 1.

15. (Mack-SP) Observando a divisão dada de polinômios,

podemos afirmar que o resto da divisão de P(x) por x + 1 é:

a) –1 b) –2 c) 2 d) 3 e) –3

16. (Mack-SP) O resto da divisão de P(x) por (x – 1) (x + 1)

(x – 2) é R(x) = x2 + 3x – 1. Então, o resto da divisão de P(x) por (x – 2) é: a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15

17. Seja Q(x) o quociente da divisão de x3+1 por x – 1, então: a) Q(0) = 0 b) Q(–1) = –1 c) Q(1) = 1 d) Q(–2) = 10 e) Q(–1) = 1

18. (UEL-PR) Considere os polinômios: Suponha que A(x) seja divisível por B(x). Então, é correto afirmar: a) a2 + b2 = 20 b) a + b = 6 c) a soma dos coeficientes de [B(x)2] é 4. d) a – b = 4 e) 2a + b = 0

19. (FGV-SP) Se o polinômio P(x) = x3 – kx2 + 6x – 1 for divisível por (x – 1), ele também será divisível por: a) x2 – 5x + 1 b) x2 – 5x + 3 c) x2 + 5x + 1 d) x2 + 5x + 3 e) x2 – 5x + 5

3

20. (ITA-SP) Para algum número real r, o polinômio 8x3 – 4x2 – 42x + 45 é divisível por (x – r)2. Qual dos números abaixo está mais próximo de r? a) 1,62 b) 1,52 c) 1,42 d) 1,32 e) 1,22

21. (UFMG-MG) Considere o polinômio f(x) = x3 + 3x2 + + ax + b, em que a e b são números reais. Se f(x) + 1 é divisível por x + 1 e f(x) – 1 é divisível por x – 1, pode-se afirmar que os valores de a e b são, respectivamente: a) 0 e 3 b) –2 e –3 c) –1 e –4 d) –1 e –2 e) 0 e –3

22. (FEI-SP) O polinômio dado por P(x) = 2x3 + ax2 + bx – 2 é divisível pelo produto (x + 2) · (2x – 1). Os valores de a e b são: a) 5 e 1 b) 1 e 1 c) 0 e 1 d) 0 e 0 e) 0 e 5

23. (FGV-SP) Sejam Q(x) e R(x) o quociente e o resto da

divisão de [5x3 + (m –12)x2 + (m2 – 2m)x – 2m2 + p + 9] por x – 2, respectivamente. Permutando-se os coeficientes de Q(x), obtém-se o polinômio Q’(x) tal que Q’(x) = R(x) para qualquer x ∈. Se m e p são constantes reais positivas, então, m + p é igual a a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4

24. (FGV-SP) Dividindo-se o polinômio P(x) por 3x –2, obtêm-se quociente x 2 – 2x + 5 e resto m. Se P(2) = 20, então m vale: a) 0 b) 20 c) 4 d) 5 e) 3

25. (Fuvest-SP) Dividindo-se um polinômio P(x) por (x – 1)2, obtém-se um resto que, dividido por (x – 1), dá resto 3. Ache P(1).

4

Matemática

26. (UFMG-MG) Seja o polinômio: P(x) =

31. (Mack-SP) ,

em que o resto da divisão de P(x) por x – 1 é 55, determine o grau de P(x).

27. (Unifor-CE) Dividindo-se o polinômio m = x3 – 2x2 + 3x – 1 pelo polinômio n = x – 1, obtém-se quociente q e resto r. Dividindo-se q por n, obtém-se: a) quociente x + 1. b) resto 0. c) quociente 2x. d) resto 1. e) quociente x.

28. (PucCamp-SP) Se P(x) é um polinômio inteiro, em que P(3) = –2 e P(–1) = 6, então o resto da divisão de P(x) pelo produto (x – 3 ) · (x + 1) é: a) 0 b) –2x + 4 c) 4x – 2 d) 2x – 4 e) 4x + 2

29. (FGV- SP) Para que o polinômio x3 – 8x + mx + n seja divisível por (x + 1)(x – 2), o produto m · n deve ser igual a: a) – 8 b) 10 c) – 10 d) 8 e) – 6

30. (PUC-PR) Dado o polinômio x4 + x3 – mx2 – nx + 2, determinar m e n para que seja divisível por x2 – x – 2. A soma m + n é igual a: a) 6 b) 7 c) 10 d) 9 e) 8

é divisível por x – 1 e por x + 1. Quando dividido por x – 2, deixa resto igual a 12. Nessas condições, a, b e c valem: a) –2, 1 e 2 b) 2, –1 e –2 c) 1, 2 e –2 d) 2, 1 e 1 e) 2, 2 e 1

32. (Fuvest-SP) Sejam R1 e R2 os restos das divisões de

um polinômio P(x) por x – 1 e por x + 1, respectivamente. Nessas condições, se R(x) é o resto da divisão de P(x) por x2 – 1, então o termo independente de x no resto R(x), é igual a: a) R1 + R2 b) R1 + R2 R1 ⋅ R2

c) R1 – R2 d) R1 · R2 e)

R1 + R2 2

33. (ITA - SP) Um polinômio P(x) dividido por x + 1 dá resto –1, por x – 1, dá resto 1 e por x + 2, dá resto 1. Qual será o resto da divisão de P(x) por (x + 1) · (x – 1) · (x + 2)? a) x2 – x + 1 b) x – 1 c) x2 + x + 1 d) x2 – x – 1 e) x2 + x – 1

34. (UFC-CE) Na divisão do polinômio p(x) = x6 por x + 1, o quociente é q1(x) e o resto é R1. Se R2 é o resto da divisão de q1(x) por x + 1, então R2 é igual a: a) – 4 b) – 5 c) – 6 d) – 7 e) – 8

MÓDULO 12 Equações polinomiais e algébricas

5

b)

1. (UFRGS-RS) Se a é uma raiz do polinômio p(x) e b é uma raiz do polinômio q(x), então: a) p(b) / q(a) = 1 b) p(a) · q(b) = 1 c) p(a) + q(b) = 1 d) p(b) · q(a) = 0 e) p(a) + q(b) = 0

c)

2. (UFMA-MA) Dado o polinômio p(x) = x – 2x – 3x, 3

2

calcule todas as raízes de p(x).

3. (Unifor-CE) Sabe-se que a equação x5 + 6x4 + 10x3 – 4x2 – – 24x – 16 = 0; ite a raiz – 2 com multiplicidade 3. As demais raízes dessa equação são números: a) inteiros e positivos. b) racionais e não inteiros. c) inteiros e de sinais contrários. d) racionais e negativos. e) irracionais.

d)

4. (UFRGS-RS) O gráfico de uma função polinomial

y = p(x) do terceiro grau com coeficientes reais está parcialmente representado na tela de um computador, como indica a figura abaixo.

O número de soluções reais da equação p(x) = 2 é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

5. Qual dos gráficos a seguir é o gráfico de uma função f tal que a equação f(x) = 1 tenha exatamente 3 soluções e tal que a equação f(x) = 0 tenha exatamente 2 soluções? a)

e)

6. (FGV-SP) A equação polinomial

(x–1)(x2 +1)+(x+1)(x2–1) = 0 apresenta: a) 3 raízes inteiras. b) uma raiz igual a –1. c) duas raízes complexas conjugadas. d) duas raízes irracionais. e) 3 raízes irracionais.

7. Sendo z1 e z2 as raízes não reais da equação algé-

brica x3 + 5x2 + 2x + 10 = 0, o produto z1· z2 resulta em um número: a) natural. b) inteiro negativo. c) racional não inteiro. d) irracional. e) complexo não real.

8. (UFRJ-RJ) Encontre as raízes de x3 + 15x2 + 66x + 80 = 0, sabendo que são reais e estão em progressão aritmética.

b)

6

Matemática

9. (Fatec-SP) Sendo o binômio do 1o grau (x + 2) um dos

fatores do polinômio P(x) = x3 – 2x + 4, determine as raízes de P(x).

10. (PUC-SP) Na equação x4 – x3 – 3x2 + 5x – 2 = 0, a multiplicidade da raiz x = 1 é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

16. (Mack-SP) Dada a equação (x3 – x2 + x – 1)18 = 0, é correto afirmar que a multiplicidade da raiz x = 1 é: a) 1 b) 9 c) 18 d) 36 e) 54

17. (Vunesp-SP) É dado o polinômio cúbico P(x) = x3 +

11. (Fuvest-SP) O gráfico pode representar a função: y

+ x2 – 2x, com x ∈ . a) Calcule todas as raízes de P(x). b) Esboce, qualitativamente, o seu gráfico no plano (x, P(x)), fazendo-o ar por suas raízes.

18. Quando se constrói o gráfico da função y = 2x3 – x2 – f(x) x

– 8x + A, observa-se que, além de cortar o eixo x no ponto de abscissa 2, ele a pelo ponto P(1, – 3). Determinar os demais pontos onde ele corta o eixo x.

19. Escreva na forma fatorada o polinômio p(x) = 2x3 – a) f(x) = x (x – 1) b) f(x) = x2 (x2 – 1) c) f(x) = x3 (x – 1) d) f(x) = x (x2 – 1) e) f(x) = x2 (x – 1)

12. (UFRGS-RS) Se os números –3, a e b são as raízes da

equação polinomial p(x) = x3 + 5x2 – 2x – 24 = 0, então, o valor a + b é: a) –6 b) –2 c) –1 d) 2 e) 6

13. (Fuvest-SP) Uma das raízes da equação x3 + (m + 1) x2 + (m + 9) x + 9 = 0 é –1. Determine o valor real de m para que as outras raízes sejam iguais.

14. (Fuvest-SP) Sabendo que o número –1 é uma das raízes da equação x3 + (m + 1) x2 + (m + 9)x + 9 = 0, para que as outras duas raízes sejam reais devemos ter: a) {m ∈  | –6 ≤ m ≤ 6} b) {m ∈  | m ≥ 6 ou m ≤ –6} c) {∀ m ∈ } d) {m ∈  |m = 6 ou m = –6 e) {m ∈  | m ≠ 6 e m ≠ –6}

15. ( Ufam-AM) O número de raízes reais do polinômio p(x) = (x 2 + 1) (x 2 + 4x – 12) é: a) 0 b) 4 c) 1 d) 2 e) 3

– 6x2 – 50x – 42, sabendo que o número 7 é uma de suas raízes.

20. Escreva o polinômio p(x) = 3x3 – 15x2 – 3x + 15 na forma fatorada, sabendo que suas raízes são os números – 1, 1 e 5.

21. Resolva a equação x4 + 4x3 + 7x2 + 16x + 12 = 0, sabendo que duas de suas raízes são os números –1 e –3.

22. (FGV-SP) A soma das raízes da equação:

(x

2

)(

)

− 2 2x + 3 x 2 − 2x − 3 = 0 vale :

a) 0 b) 2 3 c) 3 2 d) 5 6 e) 6 5

23. Seja a equação 2x3 +x2 – 4x + k = 0, cujas raízes são a, b e c e na qual k é uma constante real. Se então k é igual a: a) – 4 b) – 2 c) – 1 d) 2 e) 4

1 1 1 + + =2 a b c

24. Se a equação x3 + 2x2 – x + a = 0 ite duas raízes opostas, então o produto de todas as suas raízes é: a) –2 b) –1 c)

1 2

d) 1 e) 2

MÓDULO 12

25. (Unifesp-SP) A equação x5 – 2x4 – 5x3 + 10x2 + 4x – 8 = 0 ite a raiz 2 de multiplicidade 2. A soma das demais raízes dessa equação é: a) 2 b) 1 c) 0 d) – 1 e) – 2

26. (FEI-SP) As raízes da equação

, indicadas por a, b e c, verificam a relação a + b = 4c. Então: a) m = 0 b) m = 1 c) m = 2 d) m = 3 e) m = 5

27. (FEI-SP) Sendo a, b e c as raízes da equação

x3 - 4x2 + 5x + 3 = 0, o valor da expressão

d) e)

raízes reais iguais a a e – a, então o valor de k é: a) 9 4

b) 2 c)

9 8

d) –2 e) –4

que suas raízes são números pares consecutivos.

34. As raízes da equação x3 – 13x2 + 54x – 72 = 0 são os

valores dos catetos e da área de um triângulo retângulo. Determine o valor dessa área.

35. Sabe-se que o produto de duas raízes da equação

reais a, b e c tais que a = b + c. O valor de é: a) –16 b) – 4 c) 4 1 d) 4 1 e) 4 29. A equação polinomial 4x5 + 5x4 + 4x3 + 3x2 + 4x + 3 = 0 tem conjunto solução S = {a, b, c, d, e}. O valor

c)

31. (Fuvest-SP) Se a equação 8x3 + kx2 – 18x + 9 = 0 tem

33. Resolva a equação x3 – 18x2 + 104x – 192 = 0, sabendo

28. (Mack-SP) A equação x3 - 4x2 - 4x + 16 = 0 tem raízes

b)

em que m e t são números reais, são três números naturais sucessivos. Os valores de m e t são, respectivamente: a) –11 e 6 b) 6 e 11 c) 11 e –3 d) 11 e –6 e) 11 e 6

determine a soma das suas raízes.

a) –3 4 b) 5 16 c) – 3 d) –2 e) 2

a)

30. (FCMSC-SP) As raízes da equação x3 + tx2 + mx + t = 0,

32. (UFSM-RS) Dada a equação 23x – 7 · 22x + 14 · 2x – 8 = 0,

é:

numérico da expressão

7

é:

algébrica 2x3 – x2 + kx + 4 = 0 é igual a 1. Então o valor de k é: a) – 8 b) – 4 c) 0 d) 4 e) 8

36. Sabe-se que o número real 2 é uma das raízes do

polinômio p(x) = x3 + 4x – 16. Pode-se afirmar que as outras raízes de p(x): a) são iguais. b) são opostas. c) são recíprocas. d) são inteiras. e) não são reais.

37. (Unicamp-SP)

a) Qual é o valor de l na equação z3 – 5z2 + 8z – l = 0 de modo que z = 3 seja uma raiz dessa equação? b) Para esse valor de l, ache as três raízes z1, z2 e z3 dessa equação. c) Ache o volume do sólido obtido quando a região triangular, cujos vértices são pontos z1, z2 e z3, gira em torno da reta de equação x = 1.

8

Matemática

38. (UPE-PE) Se x = 2 é uma das raízes da equação

, pode-se afirmar que as raízes

da equação são: a) números primos. b) números pares. c) números consecutivos. d) divisores de 6. e) divisores de 10.

39. (ITA-SP) Seja S o conjunto de todas as raízes da equação 2x6 – 4x5 + 4x – 2 = 0. Sobre os elementos de S, podemos afirmar que: a) todos são números reais. b) 4 são números reais positivos. c) 4 não são números reais. d) 3 são números reais positivos e 2 não são reais. e) 3 são números reais negativos.

40. (FGV-SP) Dada a equação x3 – 7x + p = 0, determine

p de modo que uma das raízes seja o dobro da outra. a) p = ± 6 b) p = ± 3 c) p = ± 5 d) p = 10 e) p = 0

41. (Fuvest-SP) As raízes do polinômio P(x) = x3 – 3x2 + m, em que m é real, estão em PA. Determine: a) o valor de m; b) as raízes do polinômio.

42. (Fuvest-SP) P(x) é um polinômio cujas raízes formam

uma progressão geométrica de razão 2 e primeiro termo 2. O coeficiente do termo de mais alto grau de P(x) é 1 e o termo independente é igual a 221. O grau do polinômio é: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

43. As raízes da equação x3 – 19x2 + 96x – 144 = 0 são as

medidas das arestas de um paralelepípedo retângulo. Com relação a esse poliedro, determine: a) a soma das medidas de todas as suas arestas; b) seu volume; c) sua área total; d) a medida da sua diagonal.

44. (IME-RJ) Se r1 e r2 são raízes distintas de x2 + px + 8 = 0, é correto afirmar que: a) |r1 + r2| > 4 2 b) |r1 + r2| < 2 c) |r1| ≥ 2 e |r2| ≥ 2 d) |r1| ≥ 3 e |r2| ≤ 1 e) |r1| < 1 e |r2| < 2

45. (ITA-SP) As raízes da equação de coeficientes reais

x3 + ax2 + bx + c = 0 são inteiros positivos consecutivos. A soma dos quadrados dessas raízes é igual a 14. Então a2 + b2 + c2 é igual a: a) 190 b) 191 c) 192 d) 193 e) 194

46. (ITA-SP) Considere a, b ∈  e a equação 2e3x + ae2x +

+ 7ex + b = 0. Sabendo que as três raízes x1, x2, x3 desta equação formam, nesta ordem, uma progressão aritmética cuja soma é igual a zero, então a – b vale: a) 5 b) –7 c) –9 d) –5 e) 9

47. (ITA-SP) Se a, b e c são as raízes da equação

x3 – rx + 20 = 0, em que r é um número real, podemos afirmar que o valor de a3 + b3 + c3 é: a) –60 b) 62 + r c) 62 + r2 d) 62 + r3 e) 62 – r

48. (Fuvest-SP) Resolver a equação:

x4 – 5x3 + 13x2 – 19x + 10 = 0, sabendo que o número complexo z = 1 + 2i é uma das suas raízes.

49. (Fuvest-SP) O polinômio x4 + x2 – 2x + 6 ite 1 + i como raiz, em que i2 = –1. O número de raízes reais desse polinômio é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

50. (Ibmec-SP) Um polinômio de 7º grau p(x), com coe-

ficientes reais, é divisível pelos polinômios q(x) = 2x2 – – 9 e r(x) = x2 + 3x + 4. Se n é o número de raízes reais do polinômio p(x), então: a) n = 3 ou n = 5 b) 2 ≤ n ≤ 4 c) n ≥ 5 d) n = 4 ou n = 6 e) n ≤ 3

Saber fazer Teoria Polinomial

+

17. Determine A e B de modo que:

1. Determine o valor numérico (V.N.) de

2x – 3 . x2 + x – 2 18. Determine m e n para que a fração racional abaixo apresente um valor independente de x: – x2 + 5x + m 2x2 + nx – 5 19. Discuta o grau do polinômio P(x) = (m – 2)x3 + 3x2 + 5 em função do parâmetro m. =

P(x) = 2x3 – 3x2 + x – 1 para: a) x = 0 b) x = – 2

2. Verifique se 2 é um dos zeros do polinômio P(x) = x2 – 5x + 6.

3. Determine o valor de m, sabendo que α = 1 é raiz de P(x) = x3 – mx2 + 3x – 1.

A B + = x–1 x+2

4. Dado o polinômio P(x) = x3 – 3ax + 1, determine a,

20. Discuta em função de k o grau de f(x) = (k2 – 4)x2 +

5. Determine a e b em P(x) = ax3 + 3x – b, sabendo que

21. Discuta em função do parâmetro a o grau de

6. Calcule o valor numérico de P(x) = 2x4 + 3x2 + 2x – 3

22. Sabendo que o grau de P(x) = (a – b)x5 + x4 + b é 4 e

sabendo que 1 é raiz de P(x).

P(1) = 5 e P(– 1) = – 3. para: a) x = 0 b) x = – 1 c) x = i + 1

P(x) = (a2 – 9)x3 + (a – 3)x + 5. que P(1) = 2, calcule a e b.

23. Determine o grau de P(x) = x3 · (x2 – 1) – x5 + x3 + x. 24. Determine o polinômio P de grau 1 que verifica as condições P(0) = 3 e P(1) = 5.

7. Dado P(x) = x2 – 2x + 1, determine Q(x) = P(x + 1) + 1. 8. Determine p e q em P(x) = x3 – px2 + x = q, sabendo que – 1 e 0 são raízes de P(x).

9. Determine a, b, c e d em P(x) = (a – 3)x3 + (b + 2)x2 + + cx + d – 2 para que P(x) seja nulo ou identica­mente nulo.

10. Determine a, b, c, d e e para que os polinômios

P(x) = ax3 + 5x + b e Q(x) = cx4 + 3x3 + dx2 + ex – 6 sejam idênticos.

11. Determine A e B reais de modo que:

P(x) = (a2 – 5a + 6)x3 + (a2 – 6a + 8)x2 + (a2 – 4) x + 7.

26. Dados A = x3 – 2x2 + 3x – 5 e B = – x3 + 5x + 2, obtenha: a) A + B b) A – B

27. Efetue a multiplicação de P(x) = 2x2 – 3x + 1 por Q(x) = x3 + 2x + 2.

28. Determine a, b e c tais que: a(x2 + 1) + (bx + c) (x – 1)= 29. Calcule A + B, com A = (x – 2)2 + 4(x – 2) + 1 e B = (1 – x) (1 + x) – 2.

12. Calcular m, n e p para que

P(x) = (m + n + p)x + (n – p)x + p – 1 seja identicamente nulo. 3

25. Discuta o grau do polinômio em função do parâmetro a:

= (x + 1).

5x B A + ≡ x2 – 5x + 6 x – 2 x – 3

2

13. Determine p, q e r, sabendo-se que a igualdade abaixo é verdadeira para todo x complexo: px2 = qx(x+ 1) + r(r – 1)

14. Seja P(x) = (a2 – 4)x3 + (a2 + a – 6)x2 + 3a – b. Calcule a e b para que P(x) seja um polinômio nulo.

15. Calcule a, b e c de modo que: P(x) = ax + abx + c – 2 2

e Q(x) = (b + c)x + 6x + (2b + c) sejam polinômios idênticos. 2

16. Dado A(x) = (2a – b)x2 + x + 9 e

B(x) = 13x + (3b – c)x + a – c, determine a, b e c para que A(x) ≡ B(x). 2

+ (k + 2) + 9.

30. Determine a, b e c na identidade a + x

b c + = x+2 x–2

3 . x3 – 4x 31. Sendo P(x) = x, Q(x) = x3 + x2 + 1 e R(x) = x4 – x3 + x, qual o grau de P(x) · Q(x) – R(x)? =

32. Determine um polinômio f(x) do 3o grau, tal que: f(x) – f(x – 1) = x2 – x e f(0) = 0

33. Qual a relação entre os coeficientes a, b e c para que ax2 + bx + c seja um quadrado perfeito?

34. Sendo (x2 + x + 1)n = a2nx2n + a2n – 1x2n – 1 + ... + a1x + a0, calcule a soma a0 + a1 + a2 + ... + a2n – 1 + a2n.

35. Dados A(x) = 3x5 + 4x2 – 4 e B (x) + x2 + 2x + 3, efetue A(x) : B(x).

10

Matemática

36. Efetue a divisão de A(x) = 3x3 – 2x2 + 3x – 1 por B(x)= = x2 – x usando o método de Descartes.

37. Determine a e b reais de modo que A(x) = 2x + ax + 3

2

+ bx – 3 seja divisível por B(x) = x2 – 5x + 1.

38. Numa divisão de polinômios em que o dividendo é de grau m e o quociente é grau n, qual é o grau máximo que o resto pode ter?

39. Efetue as divisões, usando o método da chave. a) (x5 – 4x3 + 5x – 6) : (x3 + 2) b) (2x4 + 5x2 – 10x + 1) : (2x2 – 5x + 5)

40. Efetue as divisões, usando o método de Descartes. a) (5x3 + 1) : (x + 3) b) (3x4 + 2x3 – x2 + 5x + 1) : (x2 – 3x + 1)

41. Determine o valor de m para que o polinômio x – 4x – 23x + m seja divisível por x – 3. 3

2

42. Determine m para que o resto da divisão de

54. Calcular, usando o teorema do resto, o resto das divisões: a) (2x2 – 5x + 1) : (2x + 1) b) (54x3 + 9x2 + x – 2) : (3x + 2)

55. Obtenha m de modo que o resto da divisão de P(x) = x3 – 2x2 – mx + 3 por x – 1 seja 4.

56. Obtenha a e b sabendo que os restos das divisões de

P(x) = 2x2 – ax + b por x +1 e x – 1 são, respectiva­ mente, iguais a 2 e – 2.

57. Determine o resto da divisão de P(x) = xn – 1 por x + 1, n ∈ *.

58. Obtenha a e b de modo que o polinômio P(x) = x3 – x2 + + ax – b seja divisível por x + 1 e 2x – 1.

59. Sabe-se que os restos das divisões de y2 + ay + 2

por y – 1 e por y + 1 são iguais entre si. Determine o valor de a.

P(x) = 3x3 – 2x2 + mx – 1 por Q(x) = x2 – x + 1 independa de x.

60. Obtenha a para que o polinômio f(x) = x3 – 4x2 + x – a

43. Numa divisão, o divisor é d(x) = x – 3x + 2, o quocien-

61. Determine o resto da divisão de xn + an por x + a · (n > 1

3

te, Q(x) = x + x – 1 e o resto é R(x) = – x + 7. Determine o dividendo. 2

44. Determine a e b para que o polinômio x3 + ax + b seja divisível por x2 – 2x + 1.

seja divisível por x + 2. e a ≠ 0).

62. Determine um polinômio P(x) do 2º grau, sabendo

que as divisões de P(x) por x – 1, x + 1 e 2x – 2 apresentam restos iguais a, respectivamente, 0, 6 e 0.

45. Determine m e n para que o resto da divisão de

63. Determine m de forma que o polinômio x5 – m2x3 +

46. Na divisão de um polinômio P(x) por Q(x), o quociente

64. Obtenha o quociente e o resto da divisão de

2x3 + mx2 – 10x + n por x2 + 3x + 1 seja 2x – 1.

é a e o resto é b. Qual o quociente e qual o resto da divisão de P(x) por 2 · Q(x)?

47. Sabendo que 2x3 – 14x2 + 34x – 22 é divisível por

x – 1, resolva a equação 2x – 14x + 34x – 22 = 0. (Observação: lembre-se que (x – a) (x – b) = 0 � x – a = 0 ou x – b = 0) 3

2

48. Sem efetuar qualquer operação, determine o quociente e o resto da divisão de A(x) = (x – 2) (2x – 1) (x + 3) + 2x – 5 por B(x) = (x – 2) (x + 3).

49. Determine o resto da divisão do polinômio

P(x) = 2x3 – 5x2 + 3x – 1 pelo polinômio x – 2.

50. Determine o resto da divisão de f(x) = x3 – 2 por 2x + 1. 51. Determine a para que o resto da divisão de P(x) = x3 + + 3x – ax + 2 por x + 3 seja igual a 8. 2

52. Determine um polinômio P(x) do 2º grau, sabendo que os restos das divisões de P(x) por x, x – 1 e x + 1 são, respectivamente, 1, 2 e 0.

53. Determine a e b em f(x) = x3 – 2x2 + ax – b de modo

que f(x) + 1 seja divisível por x – 1 e f(x) – 1 seja divisível por x + 1.

+ mx + 1 seja divisível por x – 1.

P(x) = x3 – 3x2 + 2x – 1 por x + 2.

65. Usando Briot-Ruffini, determine o quociente e o resto da divisão de f(x) = x4 – 2x2 + 1 por x – 2.

66. Obtenha o quociente e o resto da divisão de P(x) = x3 + 2x2 – x + 3 por 2x + 1.

67. Obtenha o quociente Q(x) e o resto R da divisão de x n + 1 por x – 1.

68. Determine o valor de m e o quociente da divisão de

P(x) = 3x3 + 10x2 + mx + 1 por x + 2, sabendo que o resto dessa divisão é igual a 4.

69. Resolva a equação x3 + 2x2 – x – 2 = 0, sabendo que 1 é uma das raízes dessa equação.

70. Determine o quociente e o resto da divisão de x5 – 2x3 + 3x – 3 por x + 2.

71. Encontre o quociente e o resto da divisão de x100 – 1 por x – 1.

72. Encontre o quociente e o resto da divisão de 3x3 – 4x2 + 3x – 5 por 3x – 1.

73. Obtenha o quociente e o resto da divisão de xn – 1 por x – 1.

MÓDULO 12

74. Dê o quociente e o resto da divisão de xn + an por x – a. 75. Dividindo-se um polinômio P(x) por x – a, encontrou-

se, pelo dispositivo prático de Briot-Ruffini, o seguinte: a



1

1

–4

b

1 5 11 Determine a e b.

13

Equações polinomiais ou algébricas

1. Obtenha a sabendo que x = 1 é raiz da equação 2x3 – ax 2 + 3x – 1 = 0.

2

– 2 é uma de suas raízes.

17. Resolva a equação x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 = 0, sabendo que o número – 2 é raiz dupla dessa equação.

18. Dada a equação x · (x – 1) · (x + 2)2 · (x – 3)2 = 0, pergunta-se: a) Qual é o seu grau? b) Quantas raízes possui? c) Qual a multiplicidade de cada raiz?

19. Determine as raízes da equação x5 + 4x4 + 4x3 = 0 e a multiplicidade de cada uma.

20. Sabe-se que x = 1 é raiz da equação x5 – 3x4 + 2x3 – 21. Calcule a e b de modo que x = 1 seja raiz dupla da equação x3 + x2 + ax + b = 0.

3. Decomponha o polinômio P(x) = x3 – 3x2 + 4x – 2 em

um produto de binômio de 1º grau, sabendo que x = 1 é uma de suas raízes.

4. Determine a equação do 3º grau cujas raízes são 1, 2 e 3. 5. Determine m de modo que o número 3 seja raiz da equação 2x3 – 3x2 + 2x + m = 0 e depois resolva-a.

6. Resolver a equação x – 4x – x + 4 = 0, sabendo que 3

são os números 2 com multiplicidade 3 e 3 com multiplicidade simples.

– 2x2 + 3x – 1 = 0, qual é a sua multiplicidade?

2. Resolva a equação 2x + x – 5x + 2 = 0, sabendo que 3

11

2

4 é uma das raízes.

7. Fatore o polinômio x4 – 5x3 + 10x2 – 20x + 24 = 0, sabendo que 2 e 3 são duas de suas raízes.

8. Calcule as raízes e coloque na forma fatorada: a) f(x) = 2x2 – 5x + 2 b) g(x) = x2 + 4

9. Resolva a equação x3 – 8 = 0 e coloque-a na forma fatorada.

10. Sabendo que i é uma das raízes da equação – x3 + 3ix2 – x + 3i = 0, decomponha em fatores do 1º grau o polinômio P(x) = – x3 + 3ix2 – x + 3i.

11. Determine as equações de 3º grau que apresentam as raízes 1, – 3 e 4.

12. Obtenha um polinômio P(x) de 2º grau, sabendo que

1 suas raízes são 3 e e que P(0) = 3. 2 13. Determine as raízes da equação (x – 4)3 · (x + 1)2 · · (x + 2) = 0, bem como suas multiplicidades. Determine também o grau dessa equação.

14. Resolva a equação x4 – 6x3 + 12x2 – 10x + 3 = 0, sabendo que x = 1 é raiz tripla dessa equação.

15. Determine a e b para que x = 2 seja raiz dupla da

equação ax3 + bx + 16 = 0. Determine também a terceira raiz dessa equação.

16. Escreva a forma fatorada de um polinômio P(x) de quarto grau, tal que P(0) = 48, sabendo que suas raízes

22. Para que os valores de a a equação

x3 + 2x2 + (a – 1)x + a2 – 1 = 0 ite o número zero como raiz simples? E como raiz dupla?

23. Resolva a equação x3 · (x – 1)2 · (x2 – 1) = 0, dando a multiplicidade de cada raiz e o grau da equação.

24. Decomponha o polinômio P(x) = x5 + 3x4 – x3 –

– 11x2 –12x – 4 em um produto de binômios do 1º grau, sabendo que o número – 1 é raiz tripla de P(x).

25. Sendo x1 e x2 as raízes da equação x2 – 2x + 3 = 0, calcule: a) x1 + x2 b) x1 · x2 c) x12 + x22 1 1 d) + x1 x2

26. Obtenha m na equação x2 – 4x + 2m = 0, de modo que uma raiz seja o triplo da outra.

27. Dada a equação 2x3 – 6x2 + 4x – 8 = 0, calcule:

a) x1 + x2 + x3 b) x1 · x2 · x3 c) x1 · x2 + x1 · x3 + x2 · x3 d) x21 + x22 + x23 e) x21x22 + x21x23 + x22x23 1 1 1 f) + + x1 x2 x3 28. Resolva a equação x2 – 3x2 – x + 3 = 0, sabendo que suas raízes estão em P.A.

29. Dada a equação 2x4 – 3x3 + 5x – 2 = 0, calcule: a) x1 + x2 + x3 + x4 b) x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 c) x1x2x3 + x1x2x4 + x1x3x4 + x2x3x4 d) x1x2x3x4

12

Matemática

30. Resolva a equação x3 – 2x2 – 9x + 18 = 0, sabendo que ela ite duas raízes simétricas.

31. Dada a equação 2x – 3x + 2 = 0, e sendo a e b as suas 2

raízes, calcule: a) α + β b) α · β c) α2 + β2 1 1 d) + α b e) α3 + β3

x3 + 4x2 + ax – 1 = 0 estejam em progressão geométrica.

2x – 3x + 2x – 3x + 7 = 0. 4

x3 – 5x2 + 2x – 1 = 0, determine: a) a2 + b2 + c2 1 1 1 + b) + ab bc ac 37. Determine m de modo que a equação x3 + 2x2 + kx + 4 = 0 tenha duas raízes opostas.

38. Determine a para que as raízes da equação

32. Obtenha a soma e o produto das raízes da equação: 5

36. Sabendo que a, b e c são raízes da equação

2

33. Resolva a equação x – 7x + 15x – 9 = 0, sabendo que 3

2

ite raiz dupla.

34. Determine k e as raízes da equação x3 – 4x2 + x + k = 0, sabendo que uma raiz é a soma das outras duas.

35. Determine m para que as raízes da equação

x 3 – 9x 2 + mx – 15 = 0 estejam em progressão aritmética.

39. Calcule a soma dos inversos das raízes da equação 2x3 – 3x2 + 2x – 5 = 0.

40. Se a, b e c são raízes da equação 2x3 – 2x + 3 = 0, calcule: a) a2b2 + a2c2 + b2c2 1 1 1 b) 2 + 2 + 2 a b c 41. Resolva a equação x3 – 6x2 + 11x – 6 = 0, sabendo que suas raízes são números inteiros conse­cutivos.

42. Sendo a, b e c raízes da equação 2x3 – 30x2 + 15x – 3 = 0, calcule log

1 1 1 + + . ab bc ac