Matematicas 353127

1 CAPÍTULO 8 Amortización y fondos de amortización

EJERCICIOS DE LAS SECCIONES 8.2 a 8.7 1.

¿Qué es amortizar? SOLUCION Es el proceso de cancelar una deuda y sus intereses mediante pagos periódicos que pueden ser iguales o diferentes.

2.

¿Qué es una tabla de amortización? SOLUCION Es una tabla en donde se muestra la forma cómo se va cancelando la deuda, el importe de cada uno de los pagos, el desglose de cada pago en sus intereses y amortización y el saldo insoluto.

3.

Una deuda de $12 000 debe amortizarse mediante 4 pagos bimestrales iguales,

el primero dentro de 2 meses, con intereses de 4% bimestral sobre saldos insolutos. a)

Calcular el importe de cada uno de los pagos.

b)

Construir una tabla de amortización. DATOS a)

La deuda es el valor actual de una anualidad vencida de 4

bimestres con el 4% bimestral sobre saldos insolutos. C = 12 000 (importe de la deuda o valor actual de la anualidad vencida) n = 4 bimestres i = 4% bimestral (tasa de interés efectiva por periodo) a).- R = ? (importe de cada uno de los pagos iguales) b).- Construir la Tabla de amortización

2 SOLUCION Se trata de una anualidad vencida y los pagos son iguales. Para calcular el valor de cada pago se utiliza la fórmula de valor actual de la anualidad vencida, se despeja la renta, se sustituyen los datos y se resuelve.

[

]

R 1 − (1 + i ) C= i Ci R= −n 1 − (1 + i ) (12000)(0.04) R= −4 1 − (1 + 0.04 ) 480 R= 1 − 0.854804191 480 R= = 3305.880544 0.145195809 −n

R = $3 305.88

b)

(importe de cada pago bimestral)

Tabla de amortización TABLA DE AMORTIZACION GRADUAL PERIODO 0 1 2 3 4

PAGO 3,305.88 3,305.88 3,305.88 3,305.88 13,223.52

SALDO INTERESES AMORTIZACION INSOLUTO 12,000.00 480.00 2,825.88 9,174.12 366.96 2,938.92 6,235.20 249.41 3,056.47 3,178.73 127.15 3,178.73 0.00 1,223.52 12,000.00

Las fórmulas que se utilizan para la tabla de amortización son las siguientes:

Interés del periodo = saldo insoluto del periodo anterior x tasa de interés periódica Amortización = importe del pago del periodo – intereses del periodo saldo insoluto actual = saldo insoluto anterior – amortización del periodo actual valor del pago periódico = intereses del periodo + amortización del periodo

3 4.

¿Cuál sería el pago final que liquida una deuda de $23 000 contratada a 27%

efectivo anual a pagar mediante 3 pagos anuales vencidos de $10 000 y un pago final que debe realizarse al término de 4 años? DATOS La deuda es el valor actual de una anualidad vencida. C = $23 000 n = 3 pagos anuales i = 27% efectivo anual R = $10 000 X=?

(tres pagos iguales)

(pago diferente al final)

El pago final se puede encontrar de dos formas: PRIMER PROCEDIMIENTO: calculando el valor equivalente de la deuda al final de los 3 años y restándole el valor equivalente de los pagos efectuados al final de los 3 años. La diferencia que resulte se calcula el monto un año después, para conocer el importe del último pago:

M = C (1 + i )

n

M = 23000(1 + 0.27 ) = 23000(2.048383) M = 47112.809 3

M = $47 112.81 (importe de la deuda al final de año 3)  (1 + i )n − 1 M = R  i    (1 + 0.27 )3 − 1  2.048383 − 1 M = 10000   = 10000   0.27 0.27     M = 10000(3.8829 ) = 38829.00 M = $38 829.00

(valor equivalente de los pagos al final del año 3)

La duda pendiente por liquidar al final del año 3 es la diferencia entre esas dos cantidades:

4 deuda por liquidar al final del año 3 = 47112.81 − 38829 = 8283.81 deuda pendiente por liquidar al final del año 3 = $8 283.91

A esta cantidad se le aplica la fórmula del monto a interés compuesto por un periodo para conocer el valor del último pago:

M = C (1 + i ) n M = 8283.91(1 + 0.27)1 = 10520.4387 M = $10 520.44

(importe del último pago para liquidar la deuda completamente).

SEGUNDO PROCEDIMIENTO: Se elabora la tabla de amortización correspondiente y se calcula el valor del último pago:

Las fórmulas que se utilizan para la tabla de amortización son las siguientes:

Interés del periodo = saldo insoluto del periodo anterior x tasa de interés periódica Amortización = importe del pago del periodo – intereses del periodo saldo insoluto actual = saldo insoluto anterior – amortización del periodo actual valor del pago periódico = intereses del periodo + amortización del periodo

TABLA DE AMORTIZACION PERIODO 0 1 2 3 4

PAGO 10,000.00 10,000.00 10,000.00 10,520.44 40,520.44

SALDO INTERESES AMORTIZACION INSOLUTO 23,000.00 6,210.00 3,790.00 19,210.00 5,186.70 4,813.30 14,396.70 3,887.11 6,112.89 8,283.81 2,236.63 8,283.81 0.00 17,520.44 23,000.00

Se observa que el pago final es $10 520.44, igual que el que se calculó con el otro procedimiento.

5

5.

Una deuda de $7 250 se debe pagar en un año mediante pagos trimestrales

iguales vencidos. Si el interés pactado es de 36% anual convertible trimestralmente:

a)

Determine el importe de cada pago

b)

Construya una tabla de amortización

DATOS

a)

La deuda es el valor actual de una anualidad vencida.

C = $7 250 n = 4 pagos trimestrales j = 36% m=4

(tasa nominal anual) (frecuencia de conversión 4 trimestres por año)

i = j/m = 36%/4 = 9% trimestral R=?

(valor de cada pago trimestral)

SOLUCION El valor de cada pago trimestral se obtiene utilizando la fórmula de valor actual de la anualidad vencida y despejando la renta ( R ):

C= R= R=

[

R 1 − (1 + i ) i Ci

−n

]

1 − (1 + i ) (7250)(0.09) −n

1 − (1 + 0.09 ) 652.50 R= 1 − 0.708425211 652.50 R= = 2237.8478 0.291574788 −4

R = $2 237.85

b)

(importe de cada pago trimestral)

La tabla de amortización que se forma es la siguiente:

6

TABLA DE AMORTIZACION GRADUAL PERIODO 0 1 2 3 4

PAGO 2,237.85 2,237.85 2,237.85 2,237.85 8,951.39

SALDO INTERESES AMORTIZACION INSOLUTO 7,250.00 652.50 1,585.35 5,664.65 509.82 1,728.03 3,936.62 354.30 1,883.55 2,053.07 184.78 2,053.07 0.00 1,701.39 7,250.00

Las fórmulas que se utilizan para la tabla de amortización son las siguientes:

Interés del periodo = saldo insoluto del periodo anterior x tasa de interés periódica Amortización = importe del pago del periodo – intereses del periodo saldo insoluto actual = saldo insoluto anterior – amortización del periodo actual valor del pago periódico = intereses del periodo + amortización del periodo

6.

Construya un cuadro de amortización de pagos mensuales vencidos de $1 025

hasta la extinción total de una deuda de $5 800 pactada a 20% anual convertible mensualmente, calculando también el pago final que extinga la deuda.

DATOS R = $1 025 $5 800 j = 20% m = 12

(importe de cada uno de los pagos)

( la deuda es el valor actual de una anualidad vencida) (tasa nominal anual) (frecuencia de conversión 12 meses por año)

i = j/m = 20%/12 = 1.66666667% = 0.0166666667 mensual

Las fórmulas que se utilizan para la tabla de amortización son las siguientes:

Interés del periodo = saldo insoluto del periodo anterior x tasa de interés periódica Amortización = importe del pago del periodo – intereses del periodo saldo insoluto actual = saldo insoluto anterior – amortización del periodo actual

7 valor del pago periódico = intereses del periodo + amortización del periodo TABLA DE AMORTIZACION PERIODO 0 1 2 3 4 5 6

PAGO 1,025.00 1,025.00 1,025.00 1,025.00 1,025.00 1,017.69 6,142.69

SALDO INTERESES AMORTIZACION INSOLUTO 5,800.00 96.67 928.33 4,871.67 81.19 943.81 3,927.86 65.46 959.54 2,968.33 49.47 975.53 1,992.80 33.21 991.79 1,001.01 16.68 1,001.01 0.00 342.69 5,800.00

La deuda queda saldada en 6 meses. El valor del pago en el sexto mes es de $1 017.69, que se obtiene sumando el saldo por liquidar del periodo 5 más los intereses correspondientes.

7.

Una pareja de recién casados adquiere una casa en condominio que cuesta

$160 000. Paga un enganche de $50 000 y acuerda pagar el resto mediante 24 mensualidades iguales con 24% de interés convertible mensualmente. Haga una tabla de amortización que muestre los dos primeros y los dos últimos meses de la operación.

DATOS La cantidad pendiente por liquidar es la diferencia entre el costo del condominio menos el enganche ($160 000 - $50 000 = $110 000). Esa cantidad es el valor actual de una anualidad vencida de 24 pagos mensuales iguales. C = $110 000 n = 24 j = 24% m = 12

(deuda pendiente por liquidar)

(número de pagos mensuales para liquidar la deuda) (tasa nominal anual) (frecuencia de conversión 12 meses por año)

i = j/m = 24%/12 = 2% = 0.02 mensual R=?

SOLUCION Para hacer la tabla de amortización es necesario calcular el importe de cada pago mensual o renta de la anualidad vencida ( R ). Para ello se utiliza la fórmula de valor actual de la anualidad vencida y se despeja la renta:

8

C= R= R=

[

R 1 − (1 + i ) i Ci

−n

]

1 − (1 + i ) (110000)(0.02) −n

1 − (1 + 0.02 ) 2200 R= 1 − 0.6217214872 2200 R= = 5815.820698 0.378278512 − 24

R = $5 815.82

(importe de cada pago mensual)

La tabla de amortización que muestra los primeros dos meses y los últimos dos meses de la operación es la siguiente:

TABLA DE AMORTIZACION PERIODO 0 1 2

23 24

8.

PAGO 5,815.82 5,815.82

5,815.82 5,815.82 139,579.70

SALDO AMORTIZACION INSOLUTO 110,000.00 2,200.00 3,615.82 106,384.18 2,127.68 3,688.14 102,696.04

INTERESES

225.84 114.04 29,579.70

5,589.99 5,701.78 110,000.00

5,701.78 0.00

Una persona adquiere un automóvil que cuesta $135 000. Paga $40 500 en

efectivo y el resto con un préstamo de interés social otorgado por una institución de seguridad estatal que le cobra 0.4% quincenal de interés. Calcule el valor de los derechos adquiridos por el comprador en el momento de realizar el vigésimo octavo pago si lo acordado fue liquidar el saldo en 5 años mediante pagos quincenales vencidos. DATOS La deuda que queda pendiente por liquidar es la diferencia entre el costo del automóvil menos el pago que se hace en efectivo ($135 000 - $40 500 = $$94 500). Ese valor constituye el valor actual de una anualidad vencida de 120 pagos quincenales iguales. C = $94 500 (importe de la deuda pendiente de liquidar)

9 i = 0.4% quincenal plazo = 15 años

(tasa efectiva de interés por periodo quincenal)

(tiempo acordado para liquidar la deuda)

n = 120 pagos quincenales (número total de pagos quincenales) R=?

(valor de cada pago quincenal cuyo importe se desconoce)

SOLUCION Para determinar los derechos adquiridos por el comprador al realizar el vigésimo octavo pago es necesario conocer el saldo insoluto en esa fecha. La diferencia entre el importe de la deuda original menos el saldo insoluto al efectuar el vigésimo octavo pago es lo que corresponde a los derechos adquiridos por el comprador hasta ese momento. Pero primero es necesario calcular el importe de cada pago con la fórmula del valor actual de la anualidad vencida:

C= R= R=

[

R 1 − (1 + i ) i Ci

−n

]

1 − (1 + i ) (94500)(0.004 ) −n

1 − (1 + 0.004 ) 378 R= 1 − 0.619376128 378 R= = 993.106392 0.380623871 R = $993.11

−120

(importe (redondeado) de cada pago quincenal)

Al momento de efectuar el pago del mes 28, quedan pendientes 120 – 28 = 92 pagos quincenales por realizar. Con estos datos, y utilizando la fórmula del valor actual de la anualidad vencida calculamos el saldo insoluto, que son los derechos del vendedor:

10

1 − (1 + i )− n  C = R  i   1 − (1.0.004 )−92  1 − 0.0692625412  C = 993.106392   = 993.106392   = 993.106392(76.84364697 ) 0.004 0.004     C = 76313.91699 C = $76 313.92

(saldo insoluto al efectuar el pago 28)

Los derechos adquiridos por el comprador se calculan así:

Derechos del comprador = deuda – derechos del vendedor Derechos del comprador = deuda – saldo insoluto Derechos del comprador = 94 500 – 76 313.92 = 18186.08

Derechos del comprador = $18 186.08

9.

En el ejercicio anterior, ¿cuál es el saldo a favor de la institución de seguridad

social?

SOLUCION El saldo a favor de la institución de seguridad social son los derechos del vendedor o saldo insoluto hasta el periodo 28. Para calcularlo se utiliza la fórmula de valor actual de la anualidad vencida con los periodos que faltan por cubrir, o sea, 92 pagos quincenales (120 – 28 = 92): 1 − (1 + i )− n  C = R  i   1 − (1.0.004) C = 993.106392 0.004  C = 76313.91699 C = $76 313.92

10.

− 92

 1 − 0.0692625412  = 993.106392  = 993.106392(76.84364697) 0.004   

(saldo a favor de la institución al efectuar el pago 28)

El licenciado Montiel adquiere a crédito un despacho en condominio que

cuesta $185 000. Paga 30% de enganche y se compromete a pagar el saldo mediante pagos

11 mensuales anticipados durante 3 años. Si la tasa de interés que paga es de 14% anual convertible mensualmente, ¿qué cantidad tendría que pagar al cabo del trigésimo mes para adquirir la totalidad de los derechos sobre el despacho?

DATOS El saldo a pagar es la deuda pendiente que queda por liquidar. Es la diferencia del costo del condominio menos el enganche 185 000 – 0.30 ( 185 000 ) = $129 500. Ese valor es el valor actual de una anualidad anticipada de 36 pagos mensuales iguales. C = $129 500

(importe de la deuda pendiente de liquidar)

Plazo = 3 años n = 36 pagos mensuales j = 14% m = 12

(número de pagos mensuales en los 3 años)

(tasa nominal anual) (frecuencia de conversión 12 meses por año)

i = j/m = 14%/12 = 0.14/12

SOLUCION Primero se determina el importe de cada pago mensual con la fórmula del valor actual de la anualidad anticipada y despejando la renta ( R ):

 1 − (1 + i )− n +1  C = R 1 +  i   C R= =  1 − (1 + i )− n+1  1 +  i  

R=

129500   0.14    1 − 1 + 12   1 +  0.14  12 

−36 +1

     

=

129500 1 − 0.66633032 1+ 0.01166666 6

129500 129500 = = 4374.961831 1 + 28.60025824 29.60025824

R = $4 374.96

(valor de cada pago mensual)

Para encontrar la cantidad que debe pagar para saldar la deuda se calcula el valor actual de los 6 pagos restantes, con la fórmula de valor actual de la anualidad anticipada:

12

 1 − (1 + i )− n +1  C = R 1 +  i   − 6 +1    .14    1 − 1 +  12    = 4374.9618311 + 1 − 0.943654024  C = 4374.9618311 +    .14 0.01166666 6     12  

C = 4374.961831[1 + 4.829655022] = 25504.51821 C = $25 504.52

(cantidad que debe pagarse en el periodo 30 para liquidar totalmente la deuda)

11.

¿Con cuántos pagos semestrales iguales y vencidos de $9 500 y un último de

mayor cuantía se pagaría la adquisición de un terreno que cuesta $59 540 si se carga una tasa anual de 10.5% convertible semestralmente? Elabore la tabla de amortización correspondiente. DATOS Es una anualidad vencida de n pagos semestrales iguales de $9 500 cada uno. El costo del terreno es el valor actual de la anualidad. C = $59 540 R = $9 500

(costo del terreno y valor actual de la anualidad vencida) (valor de cada pago semestral o renta de la anualidad).

j = 10.5%

(tasa nominal anual convenida)

m=2

(frecuencia de conversión 2 semestres por año)

n=?

(número de pagos semestrales)

13 SOLUCION Se utiliza la fórmula de valor actual de la anualidad vencida y se despeja n, para calcular el número de pagos semestrales:

1 − (1 + i )− n  C = R  i   despejando n se tiene la siguiente fórmula :  R  log  R - Ci   n= log(1 + i )

enseguida se sustituyen los datos conocidos y se resuelve :

  9500  9500  log  log    9500 − (59540 )(0.0525)  6374.15  = n= log(1 + .0525) log 1.0525 log 1.490394798 0.173301326 = = 7.79860098 n= log 1.0525 0.022222104 n = 7.79860098 semestres

(plazo para pagar el terreno)

Lo anterior significa que para liquidar el costo del terreno se requiere hacer 7.7986 . . . pagos semestrales de $9 500 cada uno. Sin embargo, esa no es una respuesta matemática. Una solución práctica consiste en que se realicen 6 pagos completos de $9 500 cada uno y el séptimo pago de una cantidad mayor para cancelar completamente la deuda.

Para calcular el séptimo pago se puede hacer con la tabla de amortización, la cual se muestra enseguida:

TABLA DE AMORTIZACION PERIODO 0 1 2 3 4 5 6 7

PAGO 9,500.00 9,500.00 9,500.00 9,500.00 9,500.00 9,500.00 16,745.23 73,745.23

INTERESES AMORTIZACION 3,125.85 2,791.21 2,439.00 2,068.29 1,678.13 1,267.48 835.27 14,205.23

6,374.15 6,708.79 7,061.00 7,431.71 7,821.87 8,232.52 15,909.95 59,540.00

SALDO INSOLUTO 59,540.00 53,165.85 46,457.06 39,396.05 31,964.35 24,142.47 15,909.95 0.00

14

Como se aprecia en la tabla, se deben hacer 6 pagos iguales de $9 500 y el séptimo pago de $16 745.23

12.

Una persona tiene una deuda de $16 000 que convino en pagar con cuotas

bimestrales vencidas e iguales durante un año con intereses de 18% convertible cada 2 meses. ¿Cuántos pagos debe hacer si el saldo de su deuda es de $8 354.47? DATOS Es una anualidad vencida a un año de plazo y con pagos bimestrales iguales. Primero se calcula el valor de cada pago bimestral con la fórmula del valor actual de la anualidad vencida: C = $16 000 j = 18% m=6

(valor de la deuda original o valor actual de la anualidad vencida)

(tasa nominal anual) (frecuencia de conversión 6 bimestres por año)

plazo = 1 año n = 6 bimestres R=?

(tiempo para liquidar la deuda) (número de pagos bimestrales)

(valor de cada pago bimestral o renta de la anualidad)

SOLUCION PRIMER PROCEDIMIENTO Con la fórmula de valor actual de la anualidad vencida se despeja la renta:

j 0.18 = = 0.03 m 6 1 − (1 + i )− n  C = R  i  

i=

1 − (1 + 0.03)−6  1 − 0.837484256  16000 = R   = R  0.03 0.03     16000 = R(5.417191444 ) 16000 =R 5.417191444 R = 2953.560007 R = $2 953.56

(valor de cada pago bimestral)

15 Ahora, con este dato y considerando como valor actual el saldo pendiente por liquidar, se utiliza la misma fórmula para despejar n: C = $8 354.47 R = $2 953.47 j = 18% m=6 i = 3% n=?

1 − (1 + i )− n  C = R  i   1 − (1 + 0.03)− n  8354.47 = 2953.47   0.03    8354.47  −n (0.03) = 1 − (1.03)   2953.47  0.084860892 + 1.03 − n = 1 1.03 − n = 1 − 0.084860892 = 0.915139107 1 = 0.915139107 1.03 n 1 = 1.03 n 0.915139107 1.092730048 = 1.03 n log 1.092730048 = log 1.03 n 0.038512885 = n log 1.03 = n(0.012837224 ) 0.038512885 =n 0.012837224 n = 3.000094326 n = 3 bimestres

(número de pagos que debe hacer para saldar su deuda)

SEGUNDO PROCEDIMIENTO Otra forma de solución es elaborar la tabla de amortización después de haber calculado el importe de cada pago bimestral o renta de la anualidad vencida. Por simple inspección de la tabla se obtiene la respuesta:

16

TABLA DE AMORTIZACION PERIODO 0 1 2 3 4 5 6

PAGO

INTERESES AMORTIZACION

2,953.56 2,953.56 2,953.56 2,953.56 2,953.56 2,953.56 17,721.36

480.00 405.79 329.36 250.63 169.55 86.03 1,721.36

2,473.56 2,547.77 2,624.20 2,702.93 2,784.01 2,867.53 16,000.00

SALDO INSOLUTO 16,000.00 13,526.44 10,978.67 8,354.47 5,651.55 2,867.53 0.00

A través de la tabla se observa el saldo insoluto de $8 354.47, y también se observa que

aún faltan 3 pagos bimestrales de $2 953.56 por efectuar.

13.

El doctor Villazán tiene una deuda de $3 500 contraída el 15 de octubre, con

intereses de 27% anual convertible mensualmente y que acordó pagar en 12 abonos mensuales vencidos e iguales. ¿Cuántos pagos ha realizado si ha adquirido derechos sobre la deuda por $1 271.90? La pregunta correcta debe ser ésta: ¿Cúantos pagos le falta realizar si los derechos de su creedor son por $1 271.90? DATOS Es una anualidad vencida de 12 pagos mensuales iguales cuyo valor debemos calcular. C = $3 500 j = 27% m = 12

(importe de la deuda o valor actual de la anualidad vencida)

(tasa nominal anual) (frecuencia de conversión 12 meses por año)

n = 12 abonos mensuales R=?

(número de pagos)

(importe de cada uno de los pagos mensuales

SOLUCION Se utiliza la fórmula de valor actual de la anualidad vencida y se despeja la renta o valor de cada abono mensual.

17

1 − (1 + i )− n  C = R  i   1 − (1 + 0.0225)−12  1 − 0.765667476  3500 = R   = R  0.0225 0.0225     3500 = R(10.41477882 ) 3500 =R 10.41477882 R = 336.0609054 R = $336.06

(importe de cada pago mensual)

Con estos datos se puede construir la tabla de amortización y de ahí se resuelve el problema:

TABLA DE AMORTIZACION PERIODO 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

PAGO 336.06 336.06 336.06 336.06 336.06 336.06 336.06 336.06 336.06 336.06 336.06 336.06 4,032.73

INTERESES AMORTIZACION 78.75 72.96 67.04 60.99 54.80 48.47 42.00 35.38 28.62 21.70 14.63 7.39 532.73

257.31 263.10 269.02 275.07 281.26 287.59 294.06 300.68 307.44 314.36 321.43 328.67 3,500.00

SALDO INSOLUTO 3,500.00 3,242.69 2,979.59 2,710.57 2,435.50 2,154.23 1,866.64 1,572.58 1,271.90 964.46 650.10 328.67 0.00

Los derechos del acreedor al realizarse el octavo pago son por $1 271.90, por lo que al Dr. Villazán le falta por realizar 4 pagos adicionales para liquidar completamente su deuda.

18

14.

¿Cuál es el valor de los derechos adquiridos sobre un mueble de sala por un

cliente que lo compró a crédito si el precio fue de $8 999 y se convino en pagarlo mediante 6 abonos mensuales vencidos con 15% de interés convertible mensualmente y ha realizado 3 pagos?

DATOS El precio del mueble de sala es un valor actual, y como los pagos son abonos mensuales vencidos es una anualidad vencida. C = $8 999 n=6 j = 15% m = 12 R=?

(precio del mueble de sala o valor actual de la anualidad vencida)

(número de pagos de la anualidad) (tasa nominal anual) (frecuencia de conversión 12 meses por año) (valor de cada abono mensual o renta de la anualidad)

SOLUCION Primero se calcula el valor del pago periódico o renta ( R ) con la fórmula de valor actual de la anualidad vencida:

i = j/m = 15%/12 = 1.25% = 0.0125 mensual 1 − (1 + i )− n  C = R  i   1 − (1 + 0.0125)−6  1 − 0.928174876  8999 = R   = R  0.0125 0.0125     8999 = R(5.74600992 ) 8999 =R 5.74600992 R = 1566.130258 R = 1 566.13

(valor de cada uno de los abonos mensuales)

19 Los derechos adquiridos por el cliente sobre el mueble de sala se calculan como sigue: El valor de los pagos realizados al final del tercer mes menos los intereses generados por el tiempo transcurrido:

 (1 + 0.0125)3 − 1 3 1566.13  − 8999(1 + 0.0125) − 8999 0.0125   1566.13(3.03765625) − (9340.698357 − 8999 )

[

]

4757.364583 − 341.698357 = 4415.666226 Derechos adquiridos por el cliente al realizar el tercer pago = $4 415.67 TABLA DE AMORTIZACION PERIODO 0 1 2 3 4 5 6

PAGO 1,566.13 1,566.13 1,566.13 1,566.13 1,566.13 1,566.13 9,396.78

INTERESES AMORTIZACION 112.49 94.32 75.92 57.29 38.43 19.33 397.78

1,453.64 1,471.81 1,490.21 1,508.84 1,527.70 1,546.80 8,999.00

SALDO INSOLUTO 8,999.00 7,545.36 6,073.54 4,583.33 3,074.49 1,546.80 0.00

Esta misma respuesta se obtiene si se desarrolla la tabla de amortización:

En la tabla se puede apreciar que en los primeros tres pagos amortizó las siguientes cantidades, cuya suma son los derechos adquiridos por el cliente en esos tres meses pagados:

Derechos adquiridos por el cliente = 1 453.64 + 1 471.81 + 1 490.21 = $4 415.66 Que coincide con el resultado anterior (la diferencia de $0.01 se debe al redondeo de las cantidades en el proceso de cálculo).

20

15.

Determine el número de pagos necesarios para amortizar totalmente la compra

a crédito de un automóvil que cuesta $198 000 y se vende con un enganche de 40% y el resto a pagar en mensualidades vencidas de $5 592.33 con interés de 12% convertible mensualmente. DATOS El costo del automóvil menos el enganche es el resto a pagar o saldo pendiente de liquidar, y corresponde a un valor actual: Saldo por liquidar = costo del automóvil – enganche Saldo por liquidar = 198 000 – 0.40 ( 198 000 ) = 198 000 – 79 200 = 118 800 Como se paga con mensualidades vencidas el sistema de pagos es una anualidad vencida. C = $118 800 R = $5 592.33 j = 12% m = 12

(deuda pendiente de liquidar o valor actual de la anualidad vencida) (importe de cada pago mensual o renta de la anualidad)

(tasa nominal anual) (frecuencia de conversión 12 meses por año)

n=?

SOLUCION El problema se resuelve de dos formas: PRIMER PROCEDIMIENTO Se utiliza la fórmula de valor actual de la anualidad vencida y se despeja n:

i= j

m

= 12% = 1% = 0.01 mensual 1

1 − (1 + i )− n  C = R  i   1 − (1 + 0.01)− n  118800 = 5592.33  0.01    118800  −n  (0.01) = 1 − 1.01 5592 . 33   0.212433815 = 1 − 1.01− n 1.01− n = 1 − 0.212433815 = 0.787566184

21

1 = 0.787566184 1.01n 1 = 1.01n 0.787566184 1.269734557 = 1.01n log 1.269734557 = log 1.01n 0.103712939 = n log 1.01

0.103712939 = n(0.004321373783) 0.103712939 =n 0.004321373783 n = 23.99999265

n = 24 pagos mensuales

SEGUNDO PROCEDIMIENTO Desarrollar la tabla de amortización hasta la extinción de la deuda. Se encontrará que son precisamente 24 pagos mensuales:

TABLA DE AMORTIZACION PERIODO 0 1 2 3

PAGO 5,592.33 5,592.33 5,592.33

INTERESES AMORTIZACION 1,188.00 1,143.96 1,099.47

4,404.33 4,448.37 4,492.86

SALDO INSOLUTO 118,800.00 114,395.67 109,947.30 105,454.44

etc 21 22 23 24

5,592.33 5,592.33 5,592.33 5,592.29 134,215.88

218.21 164.47 110.19 55.37 15,415.88

5,374.12 5,427.86 5,482.14 5,536.92 118,800.00

16,446.92 11,019.06 5,536.92 0.00

22

16.

En una operación de crédito se salda una deuda de $15 000 mediante pagos

trimestrales vencidos e iguales por $3 002.68 durante año y medio. ¿Cuál es la tasa de interés nominal anual con capitalización trimestral que se pagó? ¿Cuáles eran los derechos del acreedor después del tercer pago?

DATOS La deuda de $15 000 es un valor actual. Como los pagos son trimestrales vencidos ese crédito corresponde a una anualidad vencida. C = $15 000 R = $3 002.68

(importe de la deuda o valor actual de la anualidad vencida) (valor de cada pago trimestral o renta de la anualidad)

Plazo = año y medio = 1.5 años n = 6 pagos trimestrales j=? m=4

(tiempo para liquidar el crédito)

(número de trimestres en el plazo total)

(tasa nominal anual desconocida) (frecuencia de conversión 4 trimestres por año)

SOLUCION

Tasa de interés nominal anual Para calcular la tasa de interés nominal se despeja la tasa de interés trimestral de la fórmula de valor actual de la anualidad vencida: 1 − (1 + i )− n  C = R  i   1 − (1 + i )− 6  15000 = 3002.68  i   1 − (1 + i )− 6  15000 =  3002.68  i  1 − (1 + i )− 6    = 4.99553732 i  

De la expresión anterior se observa que la tasa de interés trimestral no se puede despejar. Entonces lo que se hace es suponer valores para i y calcular el factor con esas tasas de interés. Aquél que dé como resultado 4.99553732 será la respuesta. Si no, se resuelve por interpolación entre los dos valores más próximos al calculado:

Si i = 1%:

23 1 − (1 + i )−6  1 − (1 + 0.01)−6   =  = 5.795476474 i 0.01    

Si i = 5%: 1 − (1 + i )−6  1 − (1 + 0.05)−6   =  = 5.075692067 0.05 i    

Si i = 5.5%: 1 − (1 + i )−6  1 − (1 + 0.055)−6   =  = 4.995530309 i 0.055    

Como se observa, éste es el valor más próximo a 4.99553732, por lo que

La tasa de interés es aproximadamente el 5.5% convertible trimestralmente.

SOLUCION

Derechos del acreedor después del tercer pago: Los derechos del acreedor corresponden al saldo insoluto. Para calcularlos se utiliza la fórmula de valor actual de la anualidad vencida y tomando en cuenta los pagos que faltan por realizar: C=?

(saldo insoluto o derechos del acreedor)

R = $3 002.68 K=3

(valor de cada pago trimestral)

(número de pagos pendientes de liquidar = 6 – 3 )

i = 5.5% trimestral

(tasa de interés efectiva por periodo trimestral)

1 − (1 + i )− k  C = R  fórmula para calcular el saldo insoluto) i   1 - (1 + 0.055)− 3  1 − 0.851613664  C = 3002.68  = 3002.68  0.055 0.055     C = 3002.68(2.697933378) = 8101.030597 C = $8 101.03 (derechos del acreedor después de realizarse el tercer pago)

Esta misma respuesta se observa en la tabla de amortización:

24

TABLA DE AMORTIZACION PERIODO 0 1 2 3 4 5 6

17.

PAGO

INTERESES AMORTIZACION

3,002.68 3,002.68 3,002.68 3,002.68 3,002.68 3,002.68 18,016.11

825.00 705.23 578.87 445.56 304.92 156.54 3,016.11

2,177.68 2,297.46 2,423.82 2,557.13 2,697.77 2,846.15 15,000.00

SALDO INSOLUTO 15,000.00 12,822.32 10,524.86 8,101.04 5,543.92 2,846.15 0.00

Una aspiradora se vende en $1 072 al contado o mediante 4 pagos mensuales

anticipados de $280. ¿Cuál es la tasa efectiva mensual que se paga al adquirir ese aparato a crédito? DATOS El valor de contado de la aspiradora es un valor actual. Como los pagos son mensuales anticipados la forma de pagar la aspiradora corresponde a una anualidad anticipada. C = $1 072

(valor de contado o valor actual de la anualidad anticipada)

n = 4 pagos mensuales R = $280 i=?

(número de pagos o periodos de la anualidad)

(importe de cada pago mensual o renta)

(tasa efectiva mensual desconocida)

SOLUCION Para encontrar la tasa efectiva mensual se utiliza la fórmula de valor actual de la anualidad anticipada y se despeja:  1 − (1 + i )− n +1  C = R 1 +  i    1 − (1 + i )− 4 +1  1072 = 280 1 +  i   1072 1 − (1 + i ) −1= 280 i −3 1 − (1 + i ) = 2.828571429 i −3

25 La tasa de interés no se puede despejar de esa expresión, por lo que se aproxima con valores que se suponen, hasta encontrar la tasa que dé como resultado 2.828571429, o su valor más cercano:

Si i = 1%: 1 − (1 + i ) i

−3

1 − (1 + 0.01) = 0.01

−3

= 2.94098521

Si i = 2%: 1 − (1 + i ) i

−3

=

1 − (1 + 0.02 ) 0.02

−3

= 2.88388327

Si i = 2.8%: 1 − (1 + i ) i

−3

1 − (1 + 0.028) = 0.028

−3

= 2.83952316

Si i = 3%: 1 − (1 + i ) i

−3

=

1 − (1 + 0.03) 0.03

−3

= 2.82861135

Este valor es el más cercano a 2.828571429, por lo que se puede decir que

La tasa de interés efectiva mensual es aproximadamente 3%

1. 18. En el ejercicio 17, ¿cuál es la tasa efectiva anual? ¿Cuál es el monto total de intereses pagados? DATOS Para encontrar la tasa efectiva anual se resuelve con la siguiente fórmula:

i efectiv aanual = (1 + i ) − 1 m

i efectiva anual = (1 + 0.03) − 1 = 1.0312 − 1 = 1.425760887 − 1 12

i efectiva anual = 0.425760886 La tasa efectiva anual es 42.576%

26 El valor de los intereses se encuentra multiplicando el valor del pago mensual por el número de ellos y restando el valor de la deuda original:

Intereses = $280 x 4 pagos mensuales - $1 072 = 1 120 – 1072 = $48

Los intereses pagados son de $48

La tabla de amortización muestra con más detalle lo anterior:

TABLA DE AMORTIZACION PERIODO 1 2 3 4

19.

PAGO INTERESES AMORTIZACION 280.00 280.00 280.00 23.76 256.24 280.00 16.07 263.93 279.99 8.15 271.83 1,119.99 47.99 1,072.00

DEUDA SALDO INSOLUTO 792.00 535.76 271.83 0.00

1072

En el ejercicio 17, ¿cuál es la tasa nominal anual con capitalización mensual?

DATOS La tasa de interés efectiva mensual es 3% y la frecuencia de conversión es 12 meses por año: i = 3% m = 12

SOLUCION La tasa de interés nominal se resuelve así:

i=

j m

j 12 0.03(12 ) = j j = 0.36 0.03 =

La tasa de interés nominal anual es del 36% con capitalización mensual.

27

20.

Haga una tabla de amortización que muestre la forma en que se extinguiría una deuda

de $32 000 mediante 4 pagos mensuales vencidos si la tasa que se carga es de 29% anual convertible mensualmente si en cada uno de los 2 primeros abonos se paga 30% de la deuda, en el tercero 25% y en el último 15%. DATOS El importe de la deuda es el valor actual. Los primeros dos pagos amortizan el 30% de la deuda, es decir, 0.30(32 000) = 9 600 El tercer pago amortiza el 25% d la deuda, o sea, 0.25(32 000) = 8 000 El cuarto pago amortiza el 15%, o se, 0.15(32 000) = $4 800 Los intereses de cada mes se obtienen multiplicando el saldo del periodo anterior por la tasa 27%/12 = 2.25% = 0.0225 El valor de cada pago es la suma de los intereses del periodo más su amortización correspondiente.

La tabla de amortización que se construye es la siguiente:

TABLA DE AMORTIZACION PERIODO 0 1 2 3 4

PAGO 10,373.33 10,141.33 8,309.33 4,916.00 33,740.00

INTERESES AMORTIZACION 773.33 541.33 309.33 116.00 1,740.00

9,600.00 9,600.00 8,000.00 4,800.00 32,000.00

SALDO INSOLUTO 32,000.00 22,400.00 12,800.00 4,800.00 0.00

28

EJERCICIOS DE LAS SECCIONES 8.8 a 8.11

21. Se deben pagar $29 000 dentro de 12 meses por una deuda contraída con anterioridad. Si para pagarla se decide construir un fondo mediante depósitos bimestrales vencidos, ¿cuál sería el importe de los mismos si se colocan en un instrumento de inversión que rinde 6.8% convertible mensualmente? DATOS La cantidad a pagar es monto o valor futuro porque se pagará dentro de 12 meses. Como los depósito son bimestrales vencidos entonces tenemos una anualidad vencida. M = $29 000

(valor de la cantidad a pagar o monto de la anualidad)

Plazo = 12 meses j = 6.8% m = 12

(tiempo para construir el fondo)

(tasa nominal anual) (frecuencia de conversión 6 meses por año)

n = 6 depósitos bimestrales R=?

(número de bimestres en el plazo del fondo)

(importe de cada depósito bimestral o renta de la anualidad)

SOLUCION Como los periodos son bimestrales y la tasa se convierte nesualmente, primero se debe calcular la tasa efectiva por bimestre:

 j  1 + 1   m1  6

m1

 j − 1 = 1 + 2  m2

  − 1 

12

j   0.068  1 +  = 1 +  = 1.07015988 12   6  1 j 1 + = 1.07015988 6 = 1.011365444 6 j = 1.011365444 − 1 = 0.011365444 6

La tasa efectiva por bimestre es del 1.1365444%

Para encontrar el valor de cada depósito se utiliza la fórmula del monto de la anualidad vencida y se despeja la renta:

29

 (1 + i )n − 1 M = R  i  

.

 (1 + 0.011365444 )6 − 1 1.07015988 − 1 29000 = R   = R  0.011365444  0.011365444    29000 = R[6.172590794] 29000 =R 6.173087499 R = 4697.811266

El importe de cada depósito bimestral es de $4 697.81

22. Haga una tabla de fondo de amortización para el ejercicio 21. DATOS La cantidad a pagar es monto o valor futuro porque se pagará dentro de 12 meses. Como los depósito son bimestrales vencidos entonces tenemos una anualidad vencida. M = $29 000

(valor de la cantidad a pagar o monto de la anualidad)

Plazo = 12 meses

(tiempo para construir el fondo)

i = 1.1365444% bimestral n = 6 depósitos bimestrales R = $4 697.81

(tasa de interés efectiva bimestral) (número de bimestres en el plazo del fondo)

(importe de cada depósito bimestral o renta de la anualidad)

Para construir la tabla del fondo de amortización se toma en cuenta lo siguiente:

El valor del pago se obtiene de la fórmula de valor actual de la anualidad vencida despejando la renta.

Los intereses del periodo se calculan multiplicando el saldo del periodo anterior por la tasa de interés efectiva del periodo.

La cantidad que se suma al fondo es la suma del valor del pago más el interés del periodo.

El saldo o fondo acumulado es la suma del saldo del periodo anterior más la cantidad que se suma al fondo en el periodo actual.

30

PERIODO 0 1 2 3 4 5 6

TABLA DEL FONDO DE AMORTIZACION VALOR DEL INTERESES CANTIDAD QUE SE PAGO DEL PERIODO SUMA AL FONDO 4,697.81 4,697.81 4,697.81 4,697.81 4,697.81 4,697.81 28,186.87

0.00 53.39 107.39 162.01 217.24 273.10 813.13

4,697.81 4,751.20 4,805.20 4,859.82 4,915.05 4,970.91 29,000.00

SALDO O FONDO ACUMULADO 0.00 4,697.81 9,449.02 14,254.22 19,114.04 24,029.09 29,000.00

23. Para pagar una deuda de $154 000 que vence dentro de 5 meses se va a constituir un fondo mediante depósitos mensuales anticipados. Si los depósitos se colocan en un fondo de inversiones que rinde 12% anual convertible mensualmente, determine su importe.

DATOS La deuda es a futuro, por lo que $154 000 es el monto que se quiere acumular. Los depósitos son iguales y en forma mensual y por anticipado se van a depositar. Este caso corresponde a una anualidad anticipada. M = $154 000 (valor que se pretende acumular o monto de la anualidad anticipada) Plazo = 5 meses

(tiempo necesario para constituir e fondo)

j = 12%

tasa nominal anual del fondo)

m = 12

(frecuencia de conversión 12 meses por año)

SOLUCION Se debe calcular el valor de cada depósito mensual, y para eso se utiliza la fórmula del monto de la anualidad anticipada, despejando la renta ( R ).

31 i=

j 12% = = 1% = 0.01 mensual m 12

 (1 + i )n+1 − 1  M = R − 1 i    (1 + 0.01)5+1 − 1  1.061520151 − 1  154000 = R  − 1 = R  − 1 0.01 0.01     154000 = R(5.15201506 ) 154000 =R 5.15201506 R = 29891.21697

El importe de cada depósito mensual anticipado es de $29 891.22

24. Haga una tabla de amortización para el ejercicio 23. DATOS El monto a acumular es de $154 000 con depósitos mensuales iguales de $29 891.12 al principio de cada mes al 1% mensual. M = $154 000 R = 29 891.22 n = 5 depósitos mensuales i = 1% = 0.01 Para construir la tabla del fondo de amortización se toma en cuenta lo siguiente:

El valor del pago se obtiene de la fórmula de valor actual de la anualidad anticipada despejando la renta.

Los intereses del periodo se calculan multiplicando el saldo del periodo anterior por la tasa de interés efectiva del periodo.

La cantidad que se suma al fondo es la suma del valor del pago más el interés del periodo.

32

El saldo o fondo acumulado es la suma del saldo del periodo anterior más la cantidad que se suma al fondo en el periodo actual.

PERIODO 0 1 2 3 4 5

TABLA DEL FONDO DE AMORTIZACION VALOR DEL INTERESES CANTIDAD QUE SE PAGO DEL PERIODO SUMA AL FONDO 29,891.22 29,891.22 29,891.22 298.91 30,190.13 29,891.22 600.81 30,492.03 29,891.22 905.73 30,796.95 29,891.22 1,213.70 31,104.92 1,524.75 1,524.75 149,456.08 4,543.92 154,000.00

SALDO O FONDO ACUMULADO 29,891.22 60,081.35 90,573.38 121,370.33 152,475.25 154,000.00

25. Elabore una tabla que muestre la forma en que amortizaría una deuda de $150 000 contratada hoy y que debe pagarse en 3 meses con interés de 3% trimestral capitalizable mensualmente si se decide constituir un fondo mediante depósitos quincenales vencidos en una cuenta de inversiones que rinde 0.7% mensual efectivo. DATOS La deuda original de 150 000 es un valor actual que se debe pagar en 3 meses con el 3% trimestral capitalizable mensualmente. El monto de esa cantidad (valor futuro) es el fondo que se pretende acumular con los depósitos quincenales. C = $150 000

(importe de la deuda o valor actual)

i = 3% trimestral/3 meses por trimestre = 1% = 0.01 efectivo mensual M=?

SOLUCION Primero se determina el valor de la deuda a los 3 meses, para lo cual se utiliza la fórmula del monto a interés compuesto: M = C (1 + i )

n

M = 150000(1 + 0.01) = 150000(1.030301) 3

M = 154545.15

El importe de la deuda tres meses después será de $154 545.15

33 Para elaborar la tabla del fondo de amortización se requiere la tasa efectiva quincenal, pues los depósitos son quincenales vencidos y la tasa es 0.7% mensual. El cálculo de la tasa efectiva quincenal queda como sigue:

m

j  i = 1 +  − 1 m 

(

j es la tasa efectiva quincenal, i es la tasa efectiva mensual) m

2

j  0.007 = 1 +  − 1 m  j  0.007 + 1 = 1 +  m  1 j 1.007 2 = 1 + m 1.003493896 − 1 =

(n es 2 porque cada mes tiene dos quincenas)

2

j m

j = 0.003493896 m La tasa efectiva quincenal es 0.3493896%, y con esta tasa se construye la tabla del fondo de amortización.

El valor de cada depósito quincenal se obtiene con la fórmula del monto de la anualidad vencida despejando la renta ( R ):

 (1 + i )n − 1 M = R  i    (1 + 0.003493896 )6 − 1 1.021147341 − 1 154545.15 = R   = R  0.003493896  0.003493896    154545.15 = R[6.052653227] 154545.15 =R 6.052653227 R = 25533.4552

El valor de cada depósito quincenal es de $25 533.46

Enseguida se elabora la tabla del fondo de amortización que muestra la forma de creación del fondo para liquidar la deuda a los tres meses (6 quincenas):

34

Para construir la tabla del fondo de amortización se toma en cuenta lo siguiente:

El valor del pago se obtiene de la fórmula de valor actual de la anualidad vencida despejando la renta.

Los intereses del periodo se calculan multiplicando el saldo del periodo anterior por la tasa de interés efectiva del periodo.

La cantidad que se suma al fondo es la suma del valor del pago más el interés del periodo.

El saldo o fondo acumulado es la suma del saldo del periodo anterior más la cantidad que se suma al fondo en el periodo actual.

PERIODO

TABLA DEL FONDO DE AMORTIZACION VALOR DEL INTERESES CANTIDAD QUE SE DEPOSITO DEL PERIODO SUMA AL FONDO

0 1 2 3 4 5 6

25,533.46 25,533.46 25,533.46 25,533.46 25,533.46 25,533.46 153,200.73

0.00 89.21 178.73 268.57 358.72 449.18 1,344.42

25,533.46 25,622.67 25,712.19 25,802.03 25,892.17 25,982.64 154,545.15

SALDO O FONDO ACUMULADO 0.00 25,533.46 51,156.12 76,868.31 102,670.34 128,562.51 154,545.15

26. Ernesto Torres contrae una deuda por $80 000 a pagar en 14 meses con 0.8% de interés efectivo mensual. Desea amortizarla con un fondo constituido mediante depósitos mensuales vencidos. ¿Cuál deberá ser el importe de los depósitos si el fondo se coloca a 6% anual convertible mensualmente? DATOS El valor actual de la deuda es $80 000 y su valor futuro 14 meses después será el monto o cantidad que se pretende acumular mediante depósitos mensuales vencidos. C = $80 000

(importe original de la deuda o valor actual)

n = 14 meses

(tiempo para liquidar la deuda)

i = 0.8% efectivo mensual M=?

(tasa de interés aplicada a la deuda original)

(monto o valor futuro de la deuda original)

35 SOLUCION Primero es necesario conocer el valor equivalente de la deuda original 14 meses después. Para eso, se utiliza la fórmula del monto a interés compuesto.

M = C (1 + i )

n

M = 80000(1 + 0.008) = 80000(1.118014534) 14

M = 89441.16276 El valor futuro o monto a acumular con el fondo es $89 441.16

Para determinar el importe de cada depósito mensual se utiliza la fórmula del monto de la anualidad vencida y se despeja la renta o pago periódico: M=?

(importe del valor a acumular o monto de la anualidad vencida)

n = 14 meses

(número de depósitos mensuales)

j = 6%

(tasa nominal anual)

m = 12

(frecuencia de conversión 12 meses por año)

R=?

(importe de cada depósito mensual)

 (1 + i )n − 1 M = R  i    (1 + 0.005)14 − 1 1.072321132 − 1 89441.16276 = R   = R  0.005 0.005     89441.16276 = R (14.46422639 ) 89441.16276 =R 14.46422639 R = 6183.611923

El importe de cada depósito mensual es de $6 183.61

36

27. ¿Cuál debe ser el importe de cada uno de 8 depósitos mensuales anticipados que se colocan en un fondo de inversión que rinde 8% convertible mensualmente con el objeto de amortizar una deuda de $8 888.88 que vence exactamente dentro de 8 meses? DATOS El importe de cada depósito corresponde a la renta de una anualidad anticipada. La deuda de $8 888.88 es un valor futuro o monto de la anualidad anticipada, porque vence dentro de 8 meses (no hoy). R=? n = 8 meses j = 8% m = 12

(plazo o número de depósitos de la anualidad anticipada)

(tasa nominal anual) (frecuencia de conversión 12 meses por año)

M = $8 888.88

(importe de la deuda a futuro, o monto de la anualidad)

SOLUCION

 (1 + i )n +1 − 1  − 1 M = R i   8 +1   0.08     − 1  1 +   − 1 . 061625139 1 12    = R 8888.88 = R  − 1   0.08 0.08        12 12   8888.88 = R[8.243770921]

8888.88 = 1078.254125 8.243770921

El importe de cada depósito mensual es de $1 078.25

La tabla que muestra la forma de cómo se crea el fondo es la siguiente:

37

PERIODO

TABLA DEL FONDO DE AMORTIZACION VALOR DEL INTERESES CANTIDAD QUE SE DEPOSITO DEL PERIODO SUMA AL FONDO

0 1 2 3 4 5 6 7 8

1,078.25 1,078.25 1,078.25 1,078.25 1,078.25 1,078.25 1,078.25 1,078.25 8,626.03

7.19 14.42 21.71 29.04 36.42 43.86 51.34 58.87 262.85

SALDO O FONDO ACUMULADO

1,078.25 1,085.44 1,092.68 1,099.96 1,107.30 1,114.68 1,122.11 1,129.59 58.87 8,888.88

1,078.25 2,163.70 3,256.38 4,356.34 5,463.64 6,578.31 7,700.42 8,830.01 8,888.88

28. El licenciado Vidriera ha ahorrado $200 cada 2 meses desde hace año y medio en una cuenta de inversión de renta fija que paga 10% anual convertible mensualmente. Lo que pretende es pagar dentro de 6 meses una deuda que a esa fecha tiene un valor de $3 000.

a) ¿Le alcanzará con lo que acumule en el fondo para pagar su deuda? b) ¿Cuánto le sobrará o cuánto le faltará?

DATOS La cantidad que ha ahorrado cada bimestre es la renta de una anualidad vencida. R = $200

(valor de la cantidad ahorrada cada bimestre, o renta)

plazo = 1.5 años n = 9 bimestres M=?

(tiempo que lleva ahorrando) (número de depósitos bimestrales)

(valor acumulado hasta hoy)

SOLUCION Se necesita conocer la cantidad acumulada hasta hoy. Eso es el monto de una anualidad vencida de 9 depósitos bimestrales de $200 cada uno. Primero se calcula la tasa efectiva bimestral y luego el monto de la anualidad vencida, calculando las tasas efectivas anuales y despejando la tasa efectiva bimestral:

38

 j  1 + 1  m1  

m1

 j  − 1 = 1 + 2  m2  

6

m2

−1

12

j  0.10    1 + 1  = 1 +  = 1.104713067 6 12    j 1 1 + 1 = (1.104713067 ) 6 = 1.01673611 6 j1 = 1.01673611 − 1 = 0.01673611 6 j = 0.01673611 6

La tasa efectiva bimestral es del 1.673611%

Enseguida se calcula el valor acumulado hasta hoy:

 (1 + i )n − 1 M = R  i    (1 + 0.01673611)9 − 1 1.16111233 − 1 M = 200   = 200   0.01673611  0.01673611    M = 1925.325893 El valor acumulado hasta hoy es de $1 925.33

Finalmente, se calcula el valor futuro 6 meses después de esta cantidad, para conocer el importe que habrá acumulado a la fecha en que la deuda se liquide:

M = C (1 + i )

n

M = 1925.325893(1 + 0.01673611) M = 1925.325693(1.05105331) = 2023.619942 3

La cantidad final que puede acumular hasta la fecha de liquidar la deuda es de $2 023.62 a) ¿Le alcanzará con lo que acumule en el fondo para pagar su deuda? SOLUCION Con lo que acumula en el fondo no le alcanza para pagar su deuda.

39

b) ¿Cuánto le sobrará o cuánto le faltará? SOLUCION $3 000 – 2 023.62 = $976.38

Para pagar su deuda, aparte de lo que acumule le faltará $976.38

29. Un comerciante decide crear una reserva para adquirir un local más amplio para su negocio. Deposita cada semana $1 750 en un fondo de inversiones que paga 6% anual convertible mensualmente. ¿Cuánto habrá acumulado en el fondo al cabo de 6 meses si se consideran 52 semanas por año?

DATOS La cantidad depositada cada semana es la renta de una anualidad vencida. La cantidad que habrá acumulado será el monto de la anualidad vencida. R = $1 750

(importe de cada depósito semanal o renta de la anualidad vencida)

j = 6%

(tasa nominal anual)

m = 12

(frecuencia de conversión 12 meses por año)

plazo = 6 meses

(tiempo que estará depositando por semana)

n = 26 semanas

(número de depósitos o periodos semanales de la anualidad)

SOLUCION Como la tasa es convertible mensualmente y los depósitos son semanales, es necesario calcular primero la tasa efectiva por semana. Eso se hace a través de las tasas efectivas anuales equivalentes:

 j  1 + 1  m1  

m1

52

 j  − 1 = 1 + 2  m2  

m2

−1

12

j  0.06    1 + 1  = 1 +  = 1.061677812 12    52  j 1 1 + 1 = (1.061677812 ) 52 = 1.001151634 52 j1 = 1.001151634 − 1 = 0.001151634 52 j = 0.001151634 52

La tasa efectiva semanal es del 0.1151634%

40

Para encontrar la cantidad que podrá acumular se calcula el monto de la anualidad vencida:

 (1 + i )n − 1 M = R  i    (1 + 0.001151634 )26 − 1 M = 1750   0.001151634   M = 1750(26.37775227 ) = 46161.06648

La cantidad acumulada en el fondo es de $46 161.07

30. Un chofer desea adquirir el taxi que maneja y que pertenece al señor Urrutia. Éste ha convenido en venderle el auto y el permiso de taxi dentro de año y medio en $117 500. ¿Cuánto debe depositar semanalmente el chofer en un fondo de inversión que paga 5% convertible mensualmente para acumular la cantidad que necesita?

DATOS El importe de la venta del auto y el permiso del taxi es un valor futuro. Los depósitos para el fondo de inversión constituyen la renta de una anualidad vencida. M = $117 500 plazo = 1.5 años n = 78 semanas

(importe de la venta o monto de la anualidad vencida) (tiempo disponible para crear el fondo de inversión) (número de depósitos en 1.5 años)

j = 5%

(tasa nominal anual)

m = 12

(frecuencia de conversión 12 meses por año)

R=?

( cantidad a depositar cada semana o renta de la anualidad)

SOLUCION Como los depósitos son semanales y la tasa es convertible mensualmente, se calcula la tasa de interés efectiva por semana. Para eso se comparan las tasas efectivas anuales y se despeja: Considerar que un año tiene 52 semanas:

41  j  1 + 1   m1 

m1

 j − 1 = 1 + 2  m2

52

  

m2

−1

12

j    0.05  1 + 1  = 1 +  = 1.051161898 12    52  j 1 1 + 1 = (1.051161898) 52 = 1.000960001 52 j1 = 1.000960001 − 1 = 0.000960001 52 j = 0.000960001 52

La tasa efectiva semanal es del 0.0960001%

Se utiliza la fórmula de monto de la anualidad vencida y se despeja la renta:

 (1 + i )n − 1 M = R  i    (1 + 0.000960001)78 − 1 1.077716185 − 1 117500 = R   = R  0.000960001  0.000960001    117500 = R(80.95427494 ) 117500 =R 80.95427494 R = 1451.43663

La cantidad que se debe depositar semanalmente es $1 451.44

31. Si el mismo chofer del ejercicio 30 hiciera los depósitos cada tercer día, ¿cuánto necesitaría depositar? Considere años de 360 días y meses de 30 días.

DATOS El importe de la venta del auto y el permiso del taxi es un valor futuro. Los depósitos para el fondo de inversión constituyen la renta de una anualidad vencida. El número de depósitos por año es 120 (360/3 = 120) M = $117 500 plazo = 1.5 años n = 180 depósitos j = 5%

(importe de la venta o monto de la anualidad vencida) (tiempo disponible para crear el fondo de inversión) (número de periodos de 3 días en 1.5 años)

(tasa nominal anual)

42 m = 12

(frecuencia de conversión 12 meses por año)

R=?

( cantidad a depositar cada tres días o renta de la anualidad)

SOLUCION Como los depósitos son cada tercer día y la tasa es convertible mensualmente, se calcula la tasa de interés efectiva por periodo de 3 días. Para eso se comparan las tasas efectivas anuales y se despeja:

m1

  j  j  1 + 1  − 1 = 1 + 2   m1   m2  120

m2

−1

12

j    0.05  1 + 1  = 1 +  = 1.051161898 12   120   1 j 1 + 1 = (1.051161898) 120 = 1.000415887 120 j1 = 1.000415887 − 1 = 0.000415887 120 j = 0.000415887 120 La tasa efectiva cada tres días es del 0.0415887%

Se utiliza la fórmula de monto de la anualidad vencida y se despeja la renta:  (1 + i )n − 1 M = R  i    (1 + 0.000415887 )180 − 1 117500 = R  = 0.000415887   117500 = R(186.8683546 )

1.077716119 − 1 R   0.000415887 

117500 =R 186.8683546 R = 628.7849017

La cantidad que se debe depositar cada tres días es $628.78

43

32. Una persona debe liquidar $7 700 al 15 de diciembre. Si ese día recibe $3 200 de aguinaldo y lo va a aplicar al pago de su deuda, y el resto lo va a pagar con lo que acumule en un fondo de inversión, ¿cuánto deberá depositar mensualmente en el fondo que paga 8% anual convertible mensualmente, si el primer depósito lo va a hacer el 15 de junio?

DATOS El saldo pendiente de liquidar es la misma cantidad que acumule en el fondo de inversión: Saldo por liquidar = 7 700 – 3 200 = $4 500 (cantidad futura) Se consideran 7 depósitos mensuales vencidos de junio a diciembre, inclusive. M = $4 500

(saldo por liquidar el 15 de diciembre o monto de la anualidad)

j = 8%

(tasa nominal anual)

m = 12

(frecuencia de conversión 12 meses por año)

n = 7 pagos mensuales R=?

(número de periodos de la anualidad vencida)

(importe de cada depósito mensual)

SOLUCION Se utiliza la fórmula del monto de la anualidad vencida y se despeja la renta o pago periódico:  (1 + i )n − 1 M = R  i   7   0.08     − 1  1 +   1 . 04761044 − 1 12    = R 4500 = R     0.08 .08      12  12    4500 = R[7.141566]

4500 =R 7.141566 R = 630.1138994

La cantidad a depositar mensualmente es de $630.11

44

33. Se constituyó un fondo con depósitos mensuales de $1 000. Durante 2 años el fondo obtuvo intereses de 9% convertible mensualmente y al principio del tercer año el rendimiento descendió a 8% también convertible mensualmente. ¿Cuánto se había acumulado en el fondo al terminar el tercer año?

DATOS Los depósitos mensuales son rentas o pagos periódicos de una anualidad vencida. La cantidad acumulada en el fondo al terminar el tercer año es una cantidad futura o monto total. SOLUCION El problema se resuelve en tres pasos:

Primer paso: se considera una anualidad vencida los dos primeros años y se calcula el monto (M1) a los dos años: R = $1 000

(importe de cada depósito mensual o renta de la anualidad)

plazo = 2 años

(tiempo que se mantuvo la tsa del 9%)

n = 24 depósitos mensuales

(número total de periodos mensuales en dos años)

j = 9%

(tasa nominal anual)

m = 12

(frecuencia de conversión 12 meses por año)

M=?

(monto que se acumula a los dos años)

 (1 + i )n − 1 M = R  i   24   0.09   − 1  1 + 12   = 1000 1.196413529 − 1 M 1 = 1000       0.09 0.0075     12   M 1 = 1000(26.18847059 ) = 26188.47059

La cantidad acumulada en los dos primeros años es de $26 188.47

Segundo paso: la cantidad acumulada en dos años se calcula su valor futuro equivalente al tercer año con la fórmula del monto a interés compuesto con la tasa del 8% y 12 meses del tercer año:

45 M = C (1 + i )

n 12

0.08   M 2 = 26188.471 +  = 26188.47(1.082999507 ) 12   M 2 = 28362.10009

El valor equivalente de los primeros 24 depósitos calculados al final del tercer año es de $28 362.10

Esta cantidad se suma a la cantidad que se calcula en el

siguiente paso.

Tercer paso: El tercer año también corresponde a una anualidad vencida de 12 pagos de 1 000 cada uno con la tasa del 8%. Se calcula su monto y el resultado se suma a la cantidad obtenida en el segundo paso. La suma será la cantidad acumulada total al final de los tres años:

 (1 + i )n − 1 M = R  i   12   0.08    + 1  − 1   12   = 1000 1.082999507 − 1 M 3 = 1000     0.08 0.08      12 12     M 3 = 1000(12.44992603) = 12449.92603

La cantidad acumulada de los depósitos del tercer año es de $12 449.93 De tal forma que la cantidad total acumulada en los tres años es:

Cantidad acumulada total = 28 362.10 + 12 449.93 = 40 812.03

34. Un agente de ventas calcula que debe comprarle llantas nuevas a su automóvil cada 5 meses. Decide formar un fondo para acumular el dinero que necesitará para el próximo juego de llantas que calcula le costarán $6 000 dentro de 5 meses. ¿Cuánto dinero deberá depositar quincenalmente en un fondo de inversiones que paga 0.75% mensual para reunir los $6 000? DATOS

46 El costo de las llantas es una cantidad futura, o monto. El sistema de apgos es una anualidad vencida pues se consideran depósitos al final de cada quincena en 5 meses. La cantidad a depositar quincenalmente es la renta de la anualidad vencida: plazo = 5 meses M = $ 6 000

(tiempo para depositar en el fondo de inversiones) (cantidad que quiere acumular en 5 meses o monto de la anualidad)

i = 0.75% mensual

(tasa de interés efectiva por mes)

n = 10 depósitos quincenales R=?

(número de quincenas en 5 meses)

(importe de cada depósito mensual)

SOLUCION Se utiliza la fórmula del monto de la anualidad vencida y se despeja la renta. Como los periodos de capitalización y de pago son diferentes es necesario calcular la tasa de interés efectiva por quincena:

 j  1 + 1   m1 

m1

 j − 1 = 1 + 2  m2

  

m2

−1

24

j   12 1 + 1  = (1 + 0.0075) = 1.093806898  24  j 1 1 + 1 = (1.093806898) 24 = 1.003742995 24 j1 = 1.003742995 − 1 = 0.003742995 24 j = 0.003742995 24

La tasa efectiva quincenal es del 0.3742995%

Para encontrar el depósito quincenal:

47  (1 + i ) − 1 M = R  i    (1 + 0.003742995)10 − 1 1.038066735 − 1 6000 = R   = R  0.003742995  0.003742995    6000 = R(10.17012701) 6000 =R 10.17012701 R = 589.9631336

El valor de cada depósito quincenal es de $589.96

35. Se contrae hoy una deuda por $24 000 pagadera a 7 meses sin intereses. Si se depositan $3 000 mensuales en un fondo que paga 0.5% mensual de interés, ¿qué proporción de la deuda se habrá amortizado al momento de hacer el sexto depósito? DATOS La deuda sin intereses 7 meses después de que se comprometió es un valor futuro o monto. La creación del fondo con depósitos mensuales sugiere una anualidad vencida. M = $24 000

(valor de la deuda a su vencimiento o monto de la anualidad vencida)

plazo = 7 meses R = $3 000

(tiempo disponible para acumular en el fondo de inversión)

(importe de cada depósito mensual o renta de la anualidad)

i = 0.5% mensual

(tasa de interés efectiva por mes)

SOLUCION Para responder la pregunta se puede construir la tabla del fondo de amortización y por inspección de la misma se deduce la respuesta:

Para construir la tabla del fondo de amortización se toma en cuenta lo siguiente:

El valor del pago se obtiene de la fórmula de valor actual de la anualidad vencida despejando la renta (en este caso ya se conoce R = $3 000).

Los intereses del periodo se calculan multiplicando el saldo del periodo anterior por la tasa de interés efectiva del periodo (0.005).

48

La cantidad que se suma al fondo es la suma del valor del pago más el interés del periodo.

El saldo o fondo acumulado es la suma del saldo del periodo anterior más la cantidad que se suma al fondo en el periodo actual.

PERIODO

0 1 2 3 4 5 6 7

TABLA DEL FONDO DE AMORTIZACION VALOR DEL INTERESES CANTIDAD QUE SE DEPOSITO DEL PERIODO SUMA AL FONDO

3,000.00 3,000.00 3,000.00 3,000.00 3,000.00 3,000.00 5,682.36 23,682.36

0.00 15.00 30.08 45.23 60.45 75.75 91.13 317.64

0.00 3,000.00 3,015.00 3,030.08 3,045.23 3,060.45 3,075.75 5,773.49 24,000.00

SALDO O FONDO ACUMULADO 0.00 3,000.00 6,015.00 9,045.08 12,090.30 15,150.75 18,226.51 24,000.00

En la tabla se observa que la cantidad acumulada al final del sexto mes es de $18 226.51

La deuda es de $24 000, pero hasta el mes 7. Se calcula el monto de $18 226.51 un mes después, y se resta del importe de la deuda. La diferencia es el saldo insoluto:

Saldo insoluto = deuda original – valor equivalente del saldo al sexto mes calculado un mes posterior (al séptimo mes) saldo insoluto = 24 000 – 18 226.51 (1.005)1

saldo insoluto = 24 000 – 18 317.64255 = $5682.35745

saldo insoluto al hacer el sexto pago: $5 682.36

Entonces, la proporción de la deuda que se habrá amortizado al momento de hacer el sexto depósito es: proporción =

24000 − 5682.36 18317.64 = = 0.763235 240000 24000

49

La proporción de la deuda amortizada al hacer el sexto depósito es 76.32%

36. El ingeniero López debe pagar $ 6 350 el 13 de noviembre. Ha acumulado 6 depósitos mensuales de $ 800 en un fondo que paga 1.025% mensual y realizó el sexto depósito el 6 de septiembre. ¿Cuánto tendría que depositar en el fondo el 13 de octubre para poder liquidar su deuda al vencimiento? DATOS La deuda a pagar de $6 350 es un valor futuro o monto. Los pagos se pueden considerar iguales de $800 y periódicos vencidos, lo cual sugiere una anualidad vencida. Pregunta el valor del último depósito. M = $6 350 n=6

( importe de la deuda a futuro o monto de la anualidad vencida)

(número de depósitos mensuales)

R = $800

(importe de cada depósito mensual)

i = 1.0125% mensual

(tas de interés efectiva por periodo)

valor del último depósito = ?

SOLUCION Se puede construir la tabla del fondo de amortización para ver su formación, y por inspección se deduce la respuesta:

PERIODO

1 2 3 4 5 6 7

0 (abr 6) (may 6) (jun 6) (jul 6) (ago 6) (sep 6) (oct 6)

TABLA DEL FONDO DE AMORTIZACION VALOR DEL INTERESES CANTIDAD QUE SE DEPOSITO DEL PERIODO SUMA AL FONDO

800.00 800.00 800.00 800.00 800.00 800.00 1,374.83 6,174.83

0.00 8.20 16.48 24.85 33.31 41.85 50.48 175.17

0.00 800.00 808.20 816.48 824.85 833.31 841.85 1,425.31 6,350.00

SALDO O FONDO ACUMULADO 0.00 800.00 1,608.20 2,424.68 3,249.54 4,082.84 4,924.69 6,350.00

Al 6 de septiembre el saldo o fondo acumulado es de $4 924.69, por lo que para completar el importe de la deuda de $6 350 le faltan $1 425.31 (6 350 – 4 924.69 = 1 425.31)

50 Esa cantidad es la que debe sumar al fondo en el séptimo mes. A esta cantidad hay que restarle los intereses que se suman al fondo, y la diferencia que queda es el valor del depósito en el séptimo periodo.

Importe del depósito en el séptimo mes: $1 421.31

37. Para pagar 30% de enganche de un inmueble que vale al contado $ 1 427 500 (al momento de la entrega) se constituyó un fondo mediante depósitos mensuales realizados desde 8 meses antes de la operación. Si los depósitos mensuales fueron de $ 52 141.80, ¿cuál fue la tasa de interés que rindió el fondo?

DATOS El enganche, que es el 30% de 1 427 500 ($428 250), es una cantidad futura a acumularse. Como los depósitos son mensuales vencidos tenemos una anualidad vencida. M = $428 250

(enganche de la operación o monto de la anualidad vencida)

n = 8 depósitos mensuales R = $52 141.80 i=?

(número de depóairos o plazo de la anualidad vencida)

(importe de cada depósito mensual)

(tasa de interés efectiva por periodo)

SOLUCION Se utiliza la fórmula de monto de la anualidad vencida y se despeja el factor para encontrar la tasa de interés efectiva por mes: n ( 1 + i) − 1 M =R

i

 (1 + i )8 − 1 428250 = 52141.80   i   8 428250  (1 + i ) − 1 =  52141.80  i 

 (1 + i )8 − 1 8.213180212 =   i    (1 + i )8 − 1   = 8.213180212 i  

51 Como se aprecia, la tasa de interés no se puede despejar, por lo que se procede con aproximaciones o suponiendo valores para i y calculando el factor anterior. Si el resultado es igual a 8.213180212, entonces esa será la tasa buscada.

Si i = 1%:

 (1 + i )8 − 1  (1 + 0.01)8 − 1  =  = 8.285670562 i 0.01    

Como se observa, no es el valor que buscamos. Intentemos con otra tasa:

Si i = 1.5%:

 (1 + i )8 − 1  (1 + 0.015)8 − 1  =  = 8.432839106 i 0 . 015    

Es un valor todavía mayor que el anterior, por lo que hay que probar con una tasa más baja: Si i = 0.50%:

 (1 + i )8 − 1  (1 + 0.005)8 − 1  =  = 8.141408784 i 0.005    

Ahora fue menor, la tasa que buscamos debe estar entre 0.5% y 1%. Sigamos probando:

Si i = 0.75%:

 (1 + i )8 − 1  (1 + 0.0075)8 − 1  =  = 8.213179708 i 0.0075    

Comparamos este resultado con el calculado 8.213180212 al despejar de la fórmula, y notamos que es el valor más aproximado.

La tasa de interés que rindió el fondo fue 0.75% mensual

52

38. El licenciado Candelaria debe liquidar $35 000 dentro de 6 meses y $5 500 dentro de un año. Para pagar, decide formar un fondo mediante depósitos iguales cada mes en una cuenta de inversión que paga 0.6% mensual. ¿Qué cantidad debe depositar cada mes para amortizar cada una de sus deudas en sus respectivos vencimientos? DATOS Ambas cantidades se consideran valor futuro, pues se van a liquidar posteriormente. M1 = $35 000 a 6 meses M2 = $5 500 a un año. i = 0.6% mensual R=?

(tasa de interés efectiva mensual)

(cantidad a depositar cada mes)

SOLUCION Primero se calcula el monto equivalente de ambas deudas (X) a los 12 meses. La suma de ambos montos constituye el monto acumulado de una anualidad vencida de 12 pagos iguales, cuyo valor se pretende encontrar. Finalmente, con la fórmula de monto de la anualidad vencida se sustituyen los datos conocidos y se despeja la renta o pago periódico:

X = M1 + M 2 X = C1 (1 + i ) 1 + C 2 (1 + i ) n

n2

X = 35000(1 + 0.006 ) + 5500(1 + 0.006 ) 6

02

X = 35000(1.036544339 ) + 5500(1) X = 36279.05188 + 5500 X = 41779.05188

El monto acumulado equivalente de ambas deudas es $41 779.05

53 CALCULO DEL DEPOSITO MENSUAL PARA ACUMULAR 35 000 EN 6 MESES:  (1 + i )n − 1 M = R  i    (1 + 0.006 )6 − 1 35000 = R   0.006   1.036544339 − 1 35000 = R   = R(6.090723247 ) 0.006  

35000    =R  6.090723247  R = 5746.443991 El importe de cada depósito mensual es de $5 746.44

CALCULO DEL DEPOSITO MENSUAL PARA ACUMULAR 5 500 EN 6 MESES:  (1 + i )n − 1 M = R  i    (1 + 0.006 )6 − 1 5500 = R   0.006   1.036544339 − 1 5500 = R   = R(6.090723247 ) 0.006  

5500    =R  6.090723247  R = 903.0126271 El importe de cada depósito mensual es de $903.01

La tabla del fondo de amortización conjunta es la siguiente:

54

PERIODO

TABLA DEL FONDO DE AMORTIZACION VALOR DEL INTERESES CANTIDAD QUE SE DEPOSITO DEL PERIODO SUMA AL FONDO

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

5,746.44 5,746.44 5,746.44 5,746.44 5,746.44 5,746.44 903.01 903.01 903.01 903.01 903.01 903.01 39,896.72

0.00 34.48 69.16 104.06 139.16 174.47 210.00 216.68 223.40 230.15 236.95 243.79 1,882.31

SALDO O FONDO ACUMULADO

0.00 5,746.44 5,780.92 5,815.61 5,850.50 5,885.60 5,920.92 1,113.01 1,119.69 1,126.41 1,133.16 1,139.96 1,146.80 41,779.04

0.00 5,746.44 11,527.37 17,342.97 23,193.48 29,079.08 35,000.00 36,113.01 37,232.70 38,359.10 39,492.27 40,632.23 41,779.04

39. Si se depositan $500 quincenales en un fondo de inversiones que paga 14% efectivo anual, ¿en qué tiempo se reunirán $10 000? DATOS Los $500 quincenales es el pago periódico o renta de una anualidad vencida. La cantidad de $10 0000 es el monto que se pretende acumular. Se necesita calcular el tiempo o plazo para conseguirlo. R = $500

(importe de cada depósito o renta de la anualidad vencida)

M = $10 000

(cantidad a acumular o monto de la anualidad vencida

i = 14%

tasa de interés efectivo anual)

m = 24 quincenas n=?

(frecuencia de conversión 24 periodos quincenales por año)

(tiempo o plazo del fondo de inversión)

SOLUCION Se utiliza la fórmula del monto de la anualidad vencida y se despeja n. Se necesita primero conocer la tasa efectiva quincenal:

55 m

j  1 +  − 1 = iefectivanual m  j   1 +  24  

24

− 1 = 0.14 24

j   1 +  = 0.14 + 1 = 1.14 24   1 j 1+ = 1.14 24 = 1.005474441 24 j = 0.005474441 24 La tasa efectiva por quincena es 0.5474441%

Enseguida, con la fórmula del monto de la anualidad vencida se sustituyen los datos conocidos y se despeja n (plazo de la operación):  (1 + i )n − 1 M = R  i    (1 + 0.005474441)n − 1 10000 = 500   0.005474441   (10000)(0.005474441) + 1 = 1.005474441n 500 1.109488824 = 1.005474441n

log 1.109488824 = log 1.005474441n log 1.109488824 = n log 1.005474441 log 1.109488824 =n log 1.005474441 0.045122932 = 19.03089783 n= 0.002371035377 n = 19.03089783 quincenas

40. Haga una tabla que muestre el comportamiento de un fondo de amortización constituido mediante depósitos mensuales de $600 a un fondo que rinde 10% anual convertible mensualmente si al momento de realizar el segundo depósito el interés cambia a 8%, con la misma capitalización y se hacen 3 depósitos más por $600 cada uno.

56

SOLUCION PERIODO

TABLA DEL FONDO DE AMORTIZACION VALOR DEL INTERESES CANTIDAD QUE SE DEPOSITO DEL PERIODO SUMA AL FONDO

0 1 2 3 4 5

600.00 600.00 600.00 600.00 600.00 3,000.00

0.00 4.00 8.03 12.08 16.16 40.27

0.00 600.00 604.00 608.03 612.08 616.16 3,040.27

SALDO O FONDO ACUMULADO 0.00 600.00 1,204.00 1,812.03 2,424.11 3,040.27

41. Se depositaron $180 semanales en una cuenta de ahorros. Si al cabo de 6 meses se acumularon $4 743.41, ¿qué tipo de interés efectivo anual se paga en esa cuenta? Considérense 52 semanas por año. DATOS Los depósitos de $180 semanales constituyen la renta de una anualidad vencida. La cantidad acumulada de $4 743.41 con esos depósitos es el monto de la anualidad vencida. El plazo de 6 meses equivale a 26 semanas, es decir, se realizan 26 depósitos semanales.

SOLUCION Con la fórmula del monto de la anualidad vencida se despeja la tasa de interés efectiva por semana:  (1 + i )n − 1 M = R  i    (1 + i )26 − 1 4743.41 = 180  i   26 4743.41  (1 + i ) − 1 =  180 i  

 (1 + i )26 − 1   = 26.35227778 i  

57

Como se puede observar la tasa de interés no se puede despejar, por lo que el procedimiento que se sugiere para calcularla es por aproximaciones, dándole valores supuestos a la tasa de interés y calculando el factor. Si el resultado es exactamente 26.35227778, entonces esa es la tasa de interés que se busca:

Si i = 1%:  (1 + i )26 − 1  (1 + 0.01)26 − 1  =  = 29.5256315 i 0.01    

Si i = 0.3%:  (1 + i )26 − 1  (1 + 0.003)26 − 1  =  = 26.99880903 i 0 . 003    

Si i = 0.1%:  (1 + i )26 − 1  (1 + 0.001)26 − 1  =  = 26.32761501 i 0 . 001    

Este número es menor que el que se busca. Se intenta con otra tasa:

Si i = 0.11%:  (1 + i )26 − 1  (1 + 0.0011)26 − 1  =  = 26.36066599 0.0011 i    

Si i = 0.108%:  (1 + i )26 − 1  (1 + 0.00108)26 − 1  =  = 26.35405156 i 0.00108    

58

Si i = 0.1075%:

 (1 + i )26 − 1   (1 + 0.001075)26 − 1  =  = 26.35239828 i 0.001075    

Este resultado es el que más se aproxima a 26.3522778, por lo que:

La tasa de interés efectiva quincenal es aproximadamente del 0.1075%

Finalmente, para conocer l tasa efectiva anual se calcula como sigue:

m

iefectiva anual

j  = 1 +  − 1  m

iefectiva anual = (1 + 0.001075) − 1 = 1.057460179 − 1 52

iefectiva anual = 0.057460178

La tasa de interés efectiva anual es del 5.7460178%

42. ¿A qué tasa de interés tendrían que hacerse 8 depósitos mensuales vencidos de $420 para acumular $3 550 al momento de hacer el octavo depósito?

DATOS Los 8 depósitos mensuales vencidos corresponden a una anualidad vencida y los $3 550 es el monto de dicha anualidad. i=?

(tasa de interés por periodo mensual)

n = 8 depósitos mensuales R = $420 M = $3 550

(número de periodos de la anualidad)

(importe de cada depósito mensual o renta de la anualidad) (cantidad acumulada o monto de la anualidad)

SOLUCION Para encontrar la tasa de interés se utiliza la fórmula del monto de la anualidad vencida y se despeja la tasa.

59

 (1 + i )n − 1 M = R  i   8  (1 + i ) − 1 3550 = 420   i   8 3550  (1 + i ) − 1 =  420  i   (1 + i )8 − 1  8.452380952 =   i    (1 + i )8 − 1   = 8.452380952 i  

Como se puede observar la tasa de interés no se puede despejar, por lo que el procedimiento que se sugiere para calcularla es por aproximaciones, dándole valores supuestos a la tasa de interés y calculando el factor. Si el resultado es exactamente 8.452380952, entonces esa es la tasa de interés que se busca:

Si i = 1%:  (1 + i )8 − 1  (1 + 0.01)8 − 1  =  = 8.285670562 i 0 . 01    

Si i = 1.5%:  (1 + i )8 − 1  (1 + 0.015)8 − 1  =  = 8.432839106 i 0.015    

Si i = 1.52%:  (1 + i )8 − 1  (1 + 0.0152 )8 − 1  =  = 8.438787078 i 0.0152    

Si i = 1.57%:

60

 (1 + i )8 − 1  (1 + 0.0157 )8 − 1  =  = 8.453677762 i 0 . 0157    

Si i = 1.56%:  (1 + i )8 − 1  (1 + 0.0156 )8 − 1  =  = 8.450697251 i 0.0156    

Otro valor más próximo: Si i = 1.565%:  (1 + i )8 − 1  (1 + 0.01565)8 − 1  =  = 8452187358 i 0.01565    

Como este resultado es el más próximo a 8.452380952, entonces:

La tasa de interés efectiva mensual es aproximadamente 1.565%