Math3_14.okdocx 1m1f

SILABUS PERKULIAHAN MATEMATIKA 3 Teknik Mesin dan Proses Manufaktur (TPM)

Tujuan : Pada

akhir

perkuliahan,

kemampuan

untuk

berbagai

aplikasi,

mahasiswa

menggunakan

diharapkan

ilmu

khususnya

memiliki

matematika

pada

dalam

mekanika

dan

elektronika. Materi : Fungsi Eksponensial, Fungsi Hiperbolik, Turunan Parsial, dan Persamaan Diferensial Orde Pertama. Penilaian Tugas 30%, UTS 30%, dan UAS 40%. Referensi : 1.

K.A.

Stroud,

Dexter

J.

Booth,

Matematika

Teknik,

Jakarta:Erlangga, 2003. 2. John Bird, Higher Engineering Mathematics, 2006. 3. James

Stewart,

Kalkulus,

Jilid

2,

Jakarta:Erlangga,

2003. Materi Rinci : 1. Fungsi

Eksponensial

:

Grafik

fungsi

eksponensial,

e x , logaritma Napier, dan hukum

deret pangkat untuk

peningkatan dan penurunan. 2. Fungsi Hiperbolik : Definisi fungsi hiperbolik, grafik fungsi

hiperbolik,

identitas

fungsi

hiperbolik,

dan

hiperbolik,persamaan

hubungan

antara

fungsi

trigonometrik dan hiperbolik. 3. Turunan

Parsial

:

Pengantar,

turunan

parsial

orde

pertama, turunan parsial orde kedua, pendiferensialan implisit,

diferensial

total,

laju

perubahan

(aturan

rantai), dan pertambahan kecil.

1

4. Persamaan Diferensial Orde Pertama : Definisi, solusi dy = f (x) , dx

persamaan diferensial orde pertama

dy = f (y ) , dx

dy = f (x) ⋅ f (y ) , persamaan diferensial homogen orde pertama dx P

dy = Q, dx

persamaan

dy + Py = Q , dx

diferensial

persamaan

linear

diferensial

orde

pertama

Bernoulli

:

dy + Py = Qy n . dx

FUNGSI EKSPONENSIAL Ad. suatu fungsi yang di dalamnya terdapat e x , di mana e adalah konstanta yang disebut eksponen dan memiliki nilai mendekati 2,7183...

Nilai

dari

kalkulator,

ex

dapat

deret

ditentukan

pangkat e x ,

dengan atau

menggunakan

tabel

fungsi

eksponensial.

Grafik Fungsi Eksponensial

Dengan membuat tabel nilai, benar hingga 2 angka desimal, dalam jangkauan x = −3

hingga x = 3 , gambarkan grafik untuk

y = e x dan y = e − x .

A

−3

−2

−1

0

1

2

3

y = ex y = e −x

Hitunglah dengan menggunakan kalkulator, hingga 4 angka desimal :

2

(

0,0256 e 0,18 − e −1,4

 e 0,35 − e −0,35   dan 3 0,35 + e −0,35  e

)

Deret pangkat untuk e x

e x = 1+ x +

x 2 x 3 x4 x 5 + + + + ... 2! 3! 4 ! 5! (−x) 2 (−x) 3 (−x) 4 (−x) 5 + + + + ... 2! 3! 4! 5!

e −x = 1+ (−x) + = .......... .......

(3x) 2 (3x) 3 (3x) 4 (3x) 5 + + + + ... 2! 3! 4! 5!

e 3x = 1+ (3x) + = .......... .......

Nilai dari 3e −0,3 , benar hingga 4 angka penting, adalah : e −0,3 = 1+ (−0,3) +

(−0,3) 2 (−0,3) 3 (−0,3) 4 (−0,3) 5 + + + + ... 2! 3! 4! 5!

= .......... ......., benar hingga 5 angka penting.

Sehingga 3e −0,3 = .... , benar hingga 4 angka penting.

(

)

Uraikan e x x2 − 1 hingga ke suku Sehingga x5 .   x 2 x 3 x4 x 5 e x x2 − 1 =  1+ x + + + + + ... x2 − 1 2! 3! 4 ! 5!  

(

)

(

)

= .......... .......

Soal : 1. Hubungan antara tegangan sesaat v pada suatu rangkaian kapasitor dengan waktu t dinyatakan dalam persamaan

v = Ve

−

t CR

di mana V, C dan R adalah konstanta. Tentukan

v, benar hingga 4 angka penting, pada saat t = 30× 10−3 detik, C = 10× 10−6 farad, dan 47× 103 ohm, dan V = 200 volt.

3

2. Plotlah grafik dari y = 2e 0,3x antara x = −3 hingga x = 3 . Kemudian tentukan nilai dari y ketika x = 2,2 dan nilai dari x ketika y = 1,6 . 3. Penurunan tegangan listrik, v volt,

sebuah kapasitor −

pada

waktu

t

ditentukan

Gambarlah

sebuah

penurunan

alami

pertama.

Dari

grafik tegangan

grafik

oleh yang

menunjukkan

kurva

selama

6

detik

tentukanlah

nilai

listrik

tersebut,

t

persamaan v = 250e 3 .

tegangan listrik setelah 3,4 detik dan waktu pada saat tegangan listrik mencapai 150 volt. 4. Uraikanlah hingga enam suku : xe

3x

( )x

dan 2e

x2

1 2

.

Logaritma Napier

Ad. logaritma yang memiliki bilangan dasar e. Logaritma Napier dari x ditulis sebagai log e x atau ln x.

Nilai

dari

menggunakan

logaritma

Napier

kalkulator,

dapat

hubungan

ditentukan

antara

dengan

logaritma

umum

dan loharitma Napier, atau tabel logaritma Napier.

Hukum Peningkatan dan Penurunan

(

)

Dinyatakan dalam bentuk y = Ae −kx dan y = A 1− e −kx . Hukum ini sering muncul dalam bidang teknik, seperti : perubahan resistensi listrik terhadap suhu : muatan kapasitor : q = Qe

−

t CR

Rθ = R0 e αθ ,

, penurunan arus listrik pada

4

rangkaian

induktif

i = Ie

:

−

Rt L

,

atau

peningkatan

arus

t −   listrik pada rangkaian kapasitif : i = I  1− e CR  .    

Soal : 1. Dengan

menggunakan

kalkulator,

hitunglah

hingga

5

4 e 2,23 log 2,23 5e −0,1629 angka penting : dan . ln 2,23 2 ln 0,00165 Selesaikan persamaan-persamaan berikut ini, benar hingga 4 angka penting : 2. 7,83 = 2,9e

t −   2   3. 16= 24 1− e    

−1,7x

 x  4. 5,17= ln   4 ,64  5. Resistensi R dari suatu konduktor listrik pada suhu 0°C

dinyatakan dengan persamaan Rθ = R0 e αθ , di mana α

adalah konstanta dan R0 = 5 × 103 ohm. Tentukanlah nilai α , benar hingga 4 angka penting. Jika R = 6 × 103 ohm dan

θ = 1500°C . Kemudian tentukan juga suhu hingga derajat terdekat, jika R = 5,4 × 103 ohm. 6. Arus

listrik

kapasitor

i

ampere

pada

waktu

t −   persamaan i = 8,0 1− e CR  ,    

yang t di

listrik

i

setelah

detik mana

R = 25 × 103 ohm dan kapasitas

arus

mengalir

melalui

dinyatakan

resistensi

sebuah dengan

rangkaian

C = 16× 10−6 farad. Tentukanlah

0,5

detik

dan

waktu,

dalam

milidetik terkecil, agar arus listrik mencapai 6,0 A. 7. Suhu

θ2

tenaga

dari sebuah kumparan yang dipanaskan dengan listrik

selama

wktu

t

dinyatakan

dalam

t −   persamaan θ 2 = θ1 1− e τ  , di mana θ1 adalah suhu (dalam    

5

°C ) pada waktu t = 0 dan τ adalah konstanta. Hitunglah

: a. θ1

hingga

derajat

yang

terkecil,

jika

θ 2 = 50°C ,

t = 30 detik, dan τ = 60 detik.

b. Waktu

t,

benar

hingga

1

angka

desimal

agar

θ2

menjadi setengah dari θ1.

TUGAS 1 Fungsi Eksponensial 1. Kecepatan

penurunan

suhu

tubuh

ditentukan

oleh

persamaan θ = 250e −0,05t , di mana kelebihan suhu tubuh di atas suhu sekelilingnya pada waktu t menit adalah θ°C . Plotlah grafik yang menunjukkan kurva penurunan untuk i jam pertama pendinginan. Tentukanlah nilai dari suhu setelah 25 menit dan waktu ketika suhu mencapai 195°C . 2. Uraikanlah (1− 2x)e 2x hingga ke suku x5 .

6

 1,59  3. Selesaikan persamaan : 3,72ln  = 2,43 , benar hingga 4  x  angka penting. 4. Suhu θ 2 °C dari sebuah konduktor listrik pada waktu t t −   T   detik dinyatakan dengan θ 2 = θ1 1− e , di mana θ1 adalah    

suhu awal dan T detik adalah konstanta. Tentukan : a. θ 2 jika θ1 = 159,9°C , t = 30 detik dan T = 80 detik. b. Waktu t untuk membuat θ 2 menjadi setengah dari

θ1

jika T tetap pada 80 detik. 5. Arus

sesaat

ketika

i

pada

sebuah

waktu

t

kapasitor

diketahui sedang

dari diisi

i = 10e

−

t CR

ulang.

Kapasitansi C = 7× 10−6 farad dan resistensi R = 0,3× 106 ohm. Tentukanlah : a. Arus sesaat pada waktu t = 2,5 detik. b. Waktu

yang

dibutuhkan

arus

sesaat

untuk

turun

hingga 5 ampere. Buatlah

sketsa

kurva

arus

terhadap

waktu

dari

t =0

hingga t = 6 detik.

FUNGSI HIPERBOLIK Definisi sinh x, cosh x, dan tanh x sinus hiperbolik x, sinh x =

e x − e −x 2

7

cosinus hiperbolik x, cosh x = tangen hiperbolik x, tanh x =

e x + e −x 2

sinh x e x − e − x = cosh x e x + e −x

Tentukan nilai dari sinh 1,4; cosh 1,81; tanh 0,65; sech 0,52; cosech 1,86; dan coth 0,38; benar hingga 4 angka penting.

Grafik Fungsi Hiperbolik Gambarkan grafik dari y = sinh x; y = cosh x; y = tanh x; dan y = coth x;

y = cosech x; dan y = sech x,

untuk nilai x diantara -3 dan 3. −2

−3

x

−1

0

1

2

3

y = sinh x y = cosh x y = tanh x y = coth x y = cos echx y = sec hx

Fungsi Hiperbolik Invers Soal : −1 −1 −1 −1 −1 Tentukan : sinh 1,475 , cosh 2,364 , tanh 0,623, sinh 0,5 , tanh 0,75.

Bentuk log dari Fungsi Hiperbolik Invers

{

}

−1 2 i. sinh x = ln x + x + 1

11.

{

}

cosh −1 x = ± ln x + x2 − 1

−1 111. tanh x =

1  1+ x  ln  2 i − x

Soal : 1 1. Jika tanh x = , carilah e 2x dan tentukan nilai x. 3

8

 x2 − 1 2. Buktikan bahwa tanh −1 2  = ln x .  x + 1

Identitas Hiperbolik i. coth x =

1 tanh x

sec hx =

1 cosh x tanh x =

ii.

cos echx =

1 sinh x

sinh x iii. cosh x

cosh 2 x − sinh2 x = 1 sec h 2 x = 1− tanh 2 x

iv.

v.

cos ech 2 x = coth 2 x − 1

sinh 2x = 2 sinh x cosh x vii.

vi.

cosh 2x = cosh 2 x + sinh2 x

Tunjukkan bahwa tanh 2 x + sec h 2 x = 1. Jika Pex − Qe − x = 6 cosh x − 2 sinh x , tentukan nilai P dan Q.

Persamaan Hiperbolik Persamaan hiperbolik a cosh x + b sinh x = c , di mana a, b, dan c adalah konstanta, dapat diselesaikan dengan langkahlangkah berikut : 1. Mengganti sinh x dengan

 e x − e −x    2  

dan cosh x dengan

 e x + e −x   .  2   pe x + qe − x + r = 0 , di

2. Menyusun persamaan ke dalam bentuk mana p, q, dan r adalah konstanta. 3. Mengalikan

masing-masing

suku

dengan

( )

menghasilkan bentuk persamaan p e x

2

ex ,

sehingga

+ re x + q = 0 .

( )

4. Menyelesaikan persamaan kuadrat p e x

2

+ re x + q = 0

dengan

faktorisasi atau rumus abc, untuk mendapatkan e x . 5. Nilai x dapat ditentukan dengan x = ln (konstanta). 9

Selesaikan persamaan hiperbolik 2 sinh x + 3cosh x = 5 .

Ekspansi Deret untuk cosh x dan sinh x Berdasarkan definisi, x 2 x 3 x4 x 5 + + + + ... e = 1+ x + 2! 3! 4 ! 5! x

x 2 x 3 x4 x 5 − + − + ... 2! 3! 4 ! 5!

e −x = 1− x + cosh x = sinh x =

(

)

1 x x 2 x4 + + ... e + e −x = 1+ 2 2! 4 !

(

)

x3 x5 1 x + ... e − e −x = x + + 3! 5! 2

cosh 1= 1+

12 14 16 + + + ...= .... (4 angka desimal) 2! 4 ! 6!

sinh 3 = 3 +

33 35 37 39 311 + + + + + ...= .... (3 angka desimal) 3! 5! 7! 9! 11 !

sinh 3 = 3 +

33 35 37 39 311 + + + + + ...= .... 3! 5! 7! 9! 11 !

Buktikanlah identitas :

sinh 2θ − sinh θ = θ +

7 3 31 5 θ + θ , hingga 6 120

ke suku θ 5 .

Soal : 1. Buktikan bahwa : a.

1+ tanh x = e 2x 1− tanh x

b.

sinh2 x + cosh 2 x − 1 = tanh 4 x 2 2 2 cosh x coth x

2. Tentukan nilai A dan B, jika : x −x a. 5e − 4 e = A sinh x + Bcosh x

10

x −x b. Ae + Be = 4 cosh x − 5 sinh x

3. Selesaikan persamaan berikut, hingga 4 angka desimal : a. sinh x = 3 b. 3,5 sinh x + 2,5 cosh x = 0 c. 4 tanh x − 1= 0 4. a

θ Tentukan deret pangkat untuk 2 cosh   − sinh 2θ , hingga 2 ke suku θ 5 .

b. Buktikan

identitas

:

θ θ θ2 θ3 θ4 θ5 , hingga ke suku + − + 2 sinh − cosh = −1+ θ − 2 2 8 24 384 1920 θ5 .

Hubungan Antara Fungsi Trigonometrik

dengan Hiperbolik

Jika cos θ + j sin θ = e j θ .......... (1) dan cos θ − j sin θ = e − j θ .......... (2) , maka : (1) + (2) : .......... .......... .......... .......... .......... .........( 3)

(1) − (2) : .......... .......... .......... .......... .......... ........( 4) Substitusikan θ = j θ ke persamaan (1) dan (2), diperoleh : cos j θ = .......... (5) dan sin j θ = .......... (6)

Soal : 1. cos 2 j θ + sin 2 j θ = 1 2. sin j 2A = 2 sin jA cos jA

Identitas Hiperbolik Jika θ = j θ disubstitusikan ke cosh θ =

1 θ (e + e −θ ) , diperoleh : 2

cosh j θ = cos θ.......... (7)

Sedangkan jika

θ =jθ

disubstitusikan ke

sinh θ =

1 θ (e − e −θ ) , 2

diperoleh : sinh hj θ = j sin θ.......... (8)

11

Dari persamaan (5) dan (6), diperoleh : tan j θ = j tanh θ.......... (9) .

dan

dari

persamaan

(7)

dan

(8),

diperoleh

:

tanh j θ = j tan θ.......... (10) .

Soal : 1. Dengan

menulis

jA

θ

untuk

dalam

cot 2 θ + 1= cos ec 2 θ ,

tentukan hubungan identitas hiperboliknya. 2. Dengan

menulis

jA

ddn

identitas trigonometri

jB

untuk

θ

dan

φ

dalam

cot θ − cos φ , tunjukkan bahwa :

 A + B  A − B cosh A − cosh B = 2 sinh  sinh   2   2 

3. Ubah sin 3θ = 3sin θ − 4 sin 3 θ , dengan menulis jA

untuk θ , ke

dalam identitas hiperbolik.

Latihan Soal : Tunjukkan

identitas

berikut

dengan

menggunakan

bentuk

eksponensial. 1. sin j (A + B) = sin jA cos jB + cos jA sin jB 2. cos j 2A = 1− 2 sin 2 jA  A + B  A − B 3. sin jA − sin JB = 2 cos j   sin j    2   2  Ubah

identitas

berikut

dengan

menggunakan

substitusi

A = j θ dan B = j φ , ke dalam identitas hiperbolik.

4. cos A sin B = 5. sin 3 A =

1 [sin(A + B) − sin(A _ B)] 2

3 1 sin A − sin 3A 4 4

12

TURUNAN PARSIAL Pengantar

Misalkan f adalah fungsi 2 variabel x dan y, maka ... Turunan diperoleh

Parsial dengan

adalah membuat

turunan salah

dari satu

fungsi variabel

f

yang

konstan

(tetap), dan mendiferensialkan f terhadap variabel yang lain. Jika f adalah fungsi 3 variabel x, y, dan z, maka turunan parsial terhadap x ditentukan dengan cara memandang y dan z sebagai konstanta, serta mendiferensialkan f terhadap x. Dengan demikian, V = πr 2 h dinyatakan sebagai fungsi dengan 2 variabel, r dan h. Fungsi ini memiliki 2 turunan parsial; satu terhadap r dan satu lagi terhadap h. Turunan parsial V terhadap r :

∂V = ... ∂r

Turunan parsial V terhadap h :

∂V = ... ∂h

∂V ∂r

dan

∂V ∂h

merupakan contoh dari turunan parsial orde

pertama.

13

Untuk memperoleh turunan parsial dengan orde yang lebih tinggi dapat dilakukan dengan menurunkan kembali suatu turunan parsial. Jika

∂V ∂r

diturunkan

secara

parsial

terhadap

r

akan

diperoleh :

∂  ∂V  ∂ 2 V , dan disebut turunan parsial orde 2.  = ∂r  ∂r  ∂r 2 Dengan

demikian

kedua, yaitu :

Jika

∂ 2V ∂r 2

fungsi

V

memiliki

4

turunan

parsial

∂ 2V ∂ 2V ∂ 2V ∂ 2V dan . , , , ∂h 2 ∂r 2 ∂h∂r ∂r ∂h

diturunkan

secara

parsial

terhadap

r

akan

diperoleh : ∂  ∂ 2 V  ∂ 3V =  , dan disebut turunan parsial orde 3. ∂r  ∂r 2  ∂r 3

Contoh : 1. Turunan parsial pertama dan kedua dari z = 4 x3 − 5xy 2 + 3y 3 ; z = x2 y 3 −

x 1 + ; y2 x

1

z= 3

x +y 2

;

dan

2

z = x2 sin(2x + 3y )

adalah

.... 2. Jika z = sin xy , tunjukkan bahwa

1 ∂z 1 ∂z = y ∂x x ∂y

∂ 3z ∂ 3z 2 3 4 3. Tentukan dari z = x y − 2x y ; dari z = x sin y ; dan ∂y 2 ∂x ∂x3 ∂ 3u dari u = x5 + x4 y 4 z 3 + yz 2 . ∂z∂y∂x 4. Jika z = x ⋅ f (xy) , buktikan bahwa x

∂z ∂z −y =z. ∂x ∂y

5. Jika V = f (x2 + y 2 ) , tunjukkan bahwa x

∂V ∂V −y = 0. ∂y ∂x

14

Pendiferensialan fungsi implisit Andaikan F(x, y ) = 0 mendefinisikan y secara implisit sebagai ∂F F dy fungsi yang terdiferensiasi dari x, maka = − ∂x = − x . ∂F Fy dx ∂y Andaikan

z

diberikan

secara

implisit

sebagai

z = f (x, y ) oleh persamaan berbentuk F(x, y, z) = 0 , maka

fungsi

∂F ∂z = − ∂x ∂F ∂x ∂z

∂F ∂z ∂y dan . =− ∂F ∂y ∂z Contoh : 1. Tentukan

dy dari 4 x2 + 2xy 3 − 5y 2 = 3 dan 3y + 2x ln y = y 4 + x . dx

15

∂z ∂z , ∂y ∂x

2. Tentukan

dari xy 2 + yz 2 + zx2 = 3dan ln(x + yz) = 1+ xy 2 z 3

.

Diferensial Total : Jika z = f (u, v , w,...), maka dz = Dengan

dz =

demikian,

jika

∂z ∂z ∂z du + dv + dw + ... ∂u ∂v ∂w

z = f (x, y ) ,

maka

diferensial

total

∂z ∂z dx + dy ∂x ∂y

Contoh : 1.

Tentukan diferensial total (dz), Jika : a. z = f (x, y ) dan z = xy +

x − 1. y

b. z = f (u, v , w ) dan z = 2uv − 3v 2 w + uvw . 2. Jika z = x2 − xy + 3y 2 berubah dari (3,-1) ke (2,96;-0,95), bandingkan nilai ∆z dan dz. 3. Tekanan,

volume,

dikaitkan

oleh

dan

suhu

persamaan

dari

molekul

PV= 8,31T ,

dengan

gas P

ideal diukur

dalam kilopascal, V dalam liter, dan T dalam kelvin. Gunakan

diferensial

untuk

menaksir

perubahan

dalam

tekanan jika volume bertambah dari 12 L menjadi 12,3 L dan suhu menurun dari 310 K menjadi 305 K.

Laju Perubahan (Aturan Rantai) : dz ∂z du ∂z dv ∂z dw = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ... dt ∂u dt ∂v dt ∂w dt

Dengan demikian, jika

z = f (x, y ) ,

x = g(t )

dan

y = h(t ) , maka

dz ∂z dx ∂z dy = + . dt ∂x dt ∂y dt Contoh : 1. Jika z = f (x, y ) dan z = 2x3 sin y , tentukan laju perubahan z, benar hingga 4 angka penting, ketika x adalah 2 unit

16

dan naik pada laju 4 unit/s; sedangkan y adalah π 6 rad dan turun pada laju 0,5 unit/s. 2. Jari-jari kerucut lingkaran tegak bertambah besar pada laju 1,8 inci/detik, sedangkan tingginya menyusut pada laju

2,5

inci/detik.

Pada

laju

berapakah

volume

kerucut berubah ketika jari-jari adalah 120 inci dan tinggi adalah 140 inci.

Pertambahan Kecil

Jika z = f (u, v , w,...), maka δz ≈ Dengan

δz =

demikian,

jika

∂z ∂z ∂z δu + δv + δw + ... ∂u ∂v ∂w

z = f (x, y ) ,

maka

pertambahan

kecil

∂z ∂z δx + δy . ∂x ∂y

Contoh : 1. Tekanan persamaan

P

dan

volume

V

pada

gas

dikaitkan

oleh

PV1,4 = k . Taksirlah kesalahan nilai k, jika

tekanan naik 4% dan volume turun 1,5%. 2. Dimensi kotak persegi panjang tertutup diukur sebesar 80 cm, 60 cm, dan 50 cm, dengan kesalahan yang mungkin sebesar 0,2 cm dalam masing-masing dimensi. Taksirlah kesalahan

maksimum

dalam

menghitung

luas

luas

permukaan kotak. 3. Jika R adalah hambatan total dari tiga tahanan, yang dihubungkan secara paralel, dengan tahanan R1, R2 , dan

R3 , maka 1 1 1 1 = + + R R1 R2 R3 Jika

hambatan

R2 = 40 Ω , dan

diukur

dalam

ohm

sebagai

R1 = 25Ω ,

R3 = 50Ω , dengan kesalahan yang mungkin

sebesar 0,5% dalam masing-

17

masing kasus, taksirlah kesalahan maksimum dalam nilai terhitung R.

Soal-Soal Turunan Parsial 1. Tentukan

turunan

parsial

z = x2 sin(2x + 3y ) ;

dan

pertama

serta

dari z = ln(x + x2 + y 2 )

∂ 3z ∂y∂x2

tentukan

dari

z = ln sin(x − y ) . 2. Jika z = ln x2 + y 2 +

[

1 ∂ 2z ∂ 2z y tan −1  ,tunjukkan bahwa + = 0. 2 ∂x2 ∂y 2 x

]

d f ' (x) tan −1 f (x) = 2 dx 1+ [f (x)]

∂z ∂z y = z ’. 3. Buktikan : ‘Jika z = x ⋅ f   maka x + y ∂x ∂y x 4. Jika yz 4 + x2 z 3 = e xyz , carilah

∂z ∂z dan . ∂y ∂x

u = ln sin(xy) ,

5. a. Misalkan

tunjukkan

bahwa

:

du = cot( xy)[ydx + xdy )]. b. Lendutan

y

diketahui

pada

sama

tengah-tengah

dengan

,

di

sebuah

mana

k

batang

merupakan

konstanta. Jika w naik sebesar 2%, l naik sebesar 3%,

dan

d

turun

sebesar

2%,

carilah

persentase

kenaikan y. 6. a. Luas permukaan total S suatu kerucut dengan radius alas

r dan dengan tinggi tegak lurusnya diberikan

oleh S = πr 2 + πr r 2 + h 2 Jika r dan h masing-masing meningkat dengan laju 0,25cm/detik, carilah laju kenaikan S ketika r = 3 cm dan h = 4 cm. b. Tegangan V dalam rangkaian listrik secara perlahan menurun saat baterai semakin aus. Hambatan R secara perlahan bertambah seraya tahanan memanas. Gunakan

18

hukum Ohm,

V = IR , untuk mencari bagaimana arus I

berubah

pada

saat

R = 400 Ω ,

I = 0,08A ,

dV / dt = −0,01V / det ik , dan dR/ dt = 0,03Ω / det ik. 7. a. Gunakan diferensial untuk menaksir banyaknya timah dalam kaleng timah tertutup dengan garis tengah 8cm dan tinggi 12 cm, jika tebal timah adalah 0,04 cm. b. fr =

1 2π LC

menyatakan frekuensi resonansi dari sebuah

rangkaian yang dihubungkan seri, berisi induktansi L dan kapasitas C. Hitunglah persentase perubahan taksiran pada fr , jika L turun 3% dan C naik 5%.

19

PERSAMAAN DIFERENSIAL Ad.

suatu

persamaan

yang

di

dalamnya

terdapat

sebuah

fungsi yang tak diketahui dan satu atau lebih turunan. Sebagai contoh : dy = x+5 dx

d 2y dy + 3 + 2y = 0 2 dx dx

Orde Persamaan Diferensial Ad. orde turunan tertinggi yang muncul dalam persamaan tersebut.

Solusi atau Penyelesaian Persamaan Diferensial, diperoleh denganmencari fungsi yang memenuhi persamaan tersebut. Caranya .... Persamaan tersebut diolah sedemikian rupa sehingga semua koefisien diferensialnya hilang dan tinggallah hubungan antara x dan y.

Penyelesaian Persamaan Diferensial Orde Pertama

1. Integrasi Langsung, untuk persamaan diferensial yang mempunyai bentuk dy = f (y ) , sehingga dx

dy = f (x) sehingga y = ∫ f (x)dx atau ... dx

dy

∫ dx = ∫ f (y) .

Soal : 1. Tentukan solusi umum dari persamaan : a. 2x

dy = 3 − x3 dx

b.

dy = 2 cos 2 y dx

20

2. Tentukan 3

solusi

umum

dari

persamaan

diferensial

dy + sin θ = 0 , kemudian tentukan juga solusi khususnya dx

jika diberikan bahwa y = 3. Tentukan

solusi

y = 1 ketika x =

2 π ketika x = . 3 3

khusus

dari

(y 2 + 2)

dy = 5y dx

apabila

1 2

4. Arus dalam suatu rangkaian listrik diberikan oleh persamaan Ri+ L

di = 0, dt

di

mana

Tunjukkan bahwa i = Ie

− Rt L

L

dan

R

adalah

konstan.

, apabila i = I ketika t = 0 .

2. Pemisahan Variabel, untuk persamaan diferensial yang mempunyai

bentuk

dy = g(x) ⋅ h(y ) dx

dan

dy g(x) , = dx h(y )

yaitu

persamaan yang ruas kanannya dapat dinyatakan sebagai perkalian atau pembagian fungsi x dan fungsi y.

Untuk

dy = g(x) ⋅ h(y ) , maka dx

dy g(x) , maka = dx h(y )

dy

∫ h(y) = ∫ g(x)dx ;

sedangkan untuk

∫ h(y)dy = ∫ g(x)dx .

Soal : 1. Selesaikan persamaan diferensial : a.

dy = 2y cos x dx

dy x2 + 1 b. xy = dx y + 1 c.

sin x dy ⋅ = cos x 1+ y dx

21

2. Tunjukkan

bahwa

adalah y =

1 (1− x2 )

solusi

khusus

xy = (1− x2 )

dari

dy dx

, apabila x = 0 ketika y = 1.

3. Arus i dalam sebuah rangkaian listrik yang terdiri dari

resistansi

R

dan

induktansi

L

dihubungkan

secara seri dengan sebuah tegangan sumber E yang konstan, diberikan oleh persamaan diferensial :  dI  E− L  = Ri  dt  Tentukan solusi umum dari persamaan tersebut dan tentukan i pada waktu t ketika t = 0 , i = 0 . 3. Substitusi y = vx , untuk persamaan diferensial homogen P

dy = Q. dx

Soal : 1. Tunjukkan

bahwa

solusi

umum

(x2 + y 2 )dy = xydx

dari

1 adalah x2 = 2y 2 (1ny + ) , apabila ketika y = 1 ketika x = 1 2

.

 2y − x  dy 2. Tentukan solusi khusus dari persamaan  = 1,   y + 2x  dx apabila y = 3 ketika x = 2 . 3. Tunjukkan

bahwa

persamaandiferensial

solusi

khusus

dari

dy y 3 − xy 2 − x2 y − 5x3 , = dx xy 2 − x2 y − 2x3

adalah

y 2 4y  y − 5x  + + 18ln  = ln x + 42 2 x 2x  x 

diberikan

bahwa

x=1

ketika y = 6 .

4. Faktor linear

Pengintegral,

untuk

persamaan

diferensial

dy + P(x)y = Q(x) . dx

22

Solusinya : ye ∫

Pdx

= ∫e∫

Pdx

Qdx

Langkah penyelesaian : 1. Susun persamaan menjadi bentuk

dy + Py = Q , dimana P dx

dan Q adalah fungsi dalam x. 2. Tentukan

∫ Pdx

dan faktor integrasinya : e ∫ e∫

3. Substitusikan

ye ∫

Pdx

= ∫e∫

Pdx

ke

dalam

Pdx

.

persamaan

Pdx

Qdx .

4. Integralkan ruas kanan untuk memperoleh solusi umum persamaan diferensial.

Soal : 1. Selesaikan

persamaan

1 dy + 4y = 2 , x dx

diferensial

diberikan x = 0 bila y = 4 . 2. Tunjukkan

bahwa

solusi

persamaan

diferensial

3 − x2 dy y adalah y = , diberikan x = 1 bila y = 1. + 1= − 2x dx x

3. Selesaikan

persamaan

dy = sec θ + y tan θ , dθ

diferensial

apabila diberikan bahwa x = 0 ketika y = 2 . 4. Selesaikan persamaan diferensial

(x − 2)

dy 3(x − 1) + y = 1, dx x+1

jika diberikan bahwa y = 5 bila x = −1.

Persamaan Bernoulli :

dy + P(x)y = Q(x)y n dx

Langkah : i. ii.

Kedua ruas dibagi dengan y n . Misalkan z = y 1−n , sehingga diperoleh

dz . dx

23

iii.

Subsitusikan

diperoleh bentuk

langkah

ii

ke

persamaan,

sehingga

dz + P1z = Q1, kemudian selesaikan dengan dx

menggunakan faktor integrasi. Akhirnya setelah diproleh z, kembalikan bentuknya ke dalam y dengan menggunakan z = y 1−n .

Soal : Pecahkanlah 1.

dy 1 + y = xy 2 dx x

2. x2 y − x3 3. 2y − 3

dy = y 4 cos x dx

dy = y 4 e 3x dx

Aplikasi pada Rangkaian Listrik

Suatu gaya elektromotif (biasanya sebuah baterai atau generator)

menghasilkan

arus

ampere

(A)

sebuah

tahanan

I(t)

mempunyai

tegangan pada

saat

E(t) t.

volt

(V)

dan

Rangkaian

juga

dengan

besar

(resistor)

tahanan (resistansi) R ohm (Ω) dan induktor dengan induktansi L henry (H). Hukum Ohm memberikan penurunan tegangan akibat tahanan sebesar RI . Penurunan tegangan akibat induktor adalah L

dI . dt

Salah

satu

penurunan

hukum tegangan

Kirchhoff sama

mengatakan

dengan

bahwa

tegangan

jumlah

E(t)

yang

dihasilkan, sehingga : L

dI + RI = E(t ) dt

24

Contoh : Misalkan

dalam

rangkaian

sederhana

besar

tahanan

adalah 12Ω dan induktansi 4 H. Jika sebuah baterai memberikan

tegangan

konstan

60

V

dan

saklar

dihubungkan ketika t = 0 , sehingga arus awalnya adalah

I (0) = 0 . Tentukan I(t) dan arus setelah 0,1 detik.

Apabila

dalam

elektromotif,

suatu

rangkaian

terdapat

sebuah

kapasitor

dengan

sebuah

gaya

kapasitansi

c

farad (F), dan sebuah tahanan dengan besar tahanan R ohm

(Ω),

maka

adalah sebesar Coulomb),

penurunan

tegangan

melalui

kapasitor

Q , dengan Q menyatakan muatan (dalam C

sehingga

dalam

kasus

ini

hukum

Kirchhoff

menjadi : RI +

Karena I =

Q = E(t ) C

dQ 1 dQ , maka diperoleh : R + Q = E(t ) . dt C dt

Misalkan besar tahanan adalah 5Ω, kapasitansi 0,05F, baterai menghasilkan tegangan konstan 60 V, dan muatan awal adalah Q(0) = 0 . Tentukan muatan dan arus pada saat t.

Soal : 1. Misalkan

dalam

rangkaian

sederhana

besar

tahanan

adalah 10 Ω dan induktansi 2 H. Jika sebuah baterai memberikan

tegangan

dihubungkan

ketika

adalah

konstan t =0,

40

V

sehingga

dan arus

saklar awalnya

I (0) = 0 . Tentukan I(t) dan arus setelah 0,1

detik. 2. Pada

sebuah

rangkaian

sederhana,

sebuah

generator

menghasilkan tegangan E(t ) = 40 sin 60t volt, induktansi 1

25

H, tahanan 20Ω , dan I (0) = 0 . Tentukan I(t) dan arus setelah 0,1 detik. 3. Misalkan dalam rangkaian besar tahanan adalah 10 Ω, kapasitansi

0,1

F,

baterai

menghasilkan

tegangan

konstan 120V dan muatan awal adalah Q(0) = 0 . Tentukan muatan dan arus pada saat t. 4. Jika dalam suatu rangkaian menghasilkan tahanan

2Ω

Q(0) = 0 ,

dan

,

kapasitansi

0,01F,

muatan

awal

E(t ) = 10sin 60t . Tentukan muatan dan arus pada saat t.

26

27