Matrici Ortogonale s3k44

Matrici ortogonale

Rotaru Doina

Scurt istoric

W. Hamilton

A. Cayley

Rezultatele fundamentale

K. Weierstrass

C. Jordan

G. Frobenius

Conceptul de matrici ortogonale O matrice pătratică A cu elelmente numere reale se numeşte matrice ortogonală dacă: At*A=I, unde At – matrice transpusă a matricei A, I – matrice unitate de acelaşi tip ca şi A.

Exemple: 𝑐𝑜𝑠α −𝑠𝑖𝑛α 𝑠𝑖𝑛α 𝑐𝑜𝑠α

1 0 0 1 1 5 2 5

−

2 5

1 5

1

0

0

1 3

0

−

0 2 3 2 3

1 3

Proprietăţile matricilor ortogonale: 1) Determinantul unei matrici ortogonale este egal cu ± 1: ΔA=±1.

2) Matricele ortogonale sunt nedegenerată. 3) Condiţia AtA=I este echivalentă cu fiecare dintre următoarele condiţii: At=A-1; 4)

AtA=I.

Matricea inversa a unei matrici ortogonale este ortogonală.

5) Matricea transpusa a unei matrici ortogonale este ortogonală. 6) Produsul a două matrice ortogonale este o matrice ortogonală.

Descompunerea Ne amintim că în stațiu aritmetică R𝒏 produsul scalar a doi vectori arbitrari

𝑿=

𝒙𝟏 𝒙𝟐 ⋮ 𝒙𝒏

și

𝒀=

𝒚𝟏 𝒚𝟐 ⋮ 𝒚𝒏

l-am aflat prin formula 𝑋, 𝑌 = 𝒙𝟏 𝒚𝟏 +𝒙𝟐 𝒚𝟐 + ⋯ + 𝒙𝒏 𝒚𝒏 = σ𝒏𝒌=𝟏 𝒙𝒌 𝒚𝒌 Doi vectori X și Y sunt ortogonali daca produsul scalar al lor este egal cu zero: 𝑋 ⊥ 𝑌 ⇔ 𝑋, 𝑌 = 0

Procedeul de ortogonale a matricilor Ca o matrice pătratică cu elemente numere reale

𝐴=

𝑎11 𝑎21 … 𝑎𝑛1

𝑎12 𝑎22 … 𝑎𝑛2

… 𝑎1𝑛 … 𝑎2𝑛 … … … 𝑎𝑛𝑛

să fie ortogonală, este necesar sau suficient ca suma produselor binare ale elementelor corespunzătoare din coloanele distincte două câte două ale matricei A să fie egașă cu zero, iar suma pătratelor elementelor oricărei coloane cu unitatea: 𝑛

෍ 𝑎𝑘𝑖 𝑎𝑘𝑗 = 𝑘=1

oricare ar fi i, j = 1, 2, ..., n.

0 𝑝𝑒𝑛𝑡𝑟𝑢 𝑖 ≠ 𝑗 1 𝑝𝑒𝑛𝑡𝑟𝑢 𝑖 = 𝑗