Medidas Relacionadas Con Solidos 4p6p3y

MEDIDAS RELACIONADAS CON SOLIDOS

Medida de la masa de un cuerpo Medida del volumen de un cuerpo irregular Cálculo de la densidad Actividades

La balanza es un instrumento básico en el laboratorio de Física. Hay muchos tipos de balanzas, la que simularemos en el programa interactivo es una de las más sencillas de manejar. Para pesar un determinado objeto, se desplazan masas calibradas a lo largo de cuatro rieles y se fijan en posiciones etiquetadas. Las divisiones en los cuatro rieles de las balanzas del laboratorio de Física de la E.U.I.T.I. de Eibar son las siguientes:    

de 100 g hasta 200 g de 10 g hasta 100 g de 1 g hasta 10 g de 0.1 g hasta 1 g.

Medida de la masa de un cuerpo En el programa interactivo la balanza solamente aprecia gramos, el error que se comete en una medida es  1 g. Por ejemplo, si se ha pesado un cuerpo y de la lectura de los indicadores de la balanza se ha obtenido la cifra de 234. La medida del peso de dicho cuerpo se expresa como 234  1 g Véase las reglas para expresar una medida y su error

Medida del volumen de un cuerpo irregular Para medir la densidad de un cuerpo es necesario conocer su masa y su volumen. Si el cuerpo es irregular, no podemos calcular su volumen de forma directa. Pero

podemos calcularlo indirectamente aplicando el principio de Arquímedes. "Todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje igual al peso del volumen de líquido desalojado"

Sumergiendo completamente el cuerpo en agua, el peso del cuerpo disminuye debido al empuje. Lo que nos marca la balanzaF’ es igual a la diferencia entre el peso P y el empuje E. F’=P-E.

Si el fluido es agua, cuya densidad es la unidad, el peso en gramos coincide numéricamente con el volumen medido en centímetros cúbicos. El empuje es igual a la diferencia F-F’ entre lo que marca la balanza antes y después de sumergir el cuerpo en agua e igual numéricamente al volumen del cuerpo en centímetros cúbicos. V=F-F’ Error en la medida del volumen. De las fórmulas de los errores en las medidas indirectas se obtiene que el error de una diferencia

Como F=F’=1 , se obtiene que V=1.41 cm3 . Expresando el error con una sola cifra significativa (regla 2), V=1 cm3

Cálculo de la densidad del cuerpo sólido Se define la densidad como el cociente entre la masa y el volumen de un cuerpo.

De las fórmulas de los errores en las medidas indirectas, se obtiene que el error de un cociente

donde m=V=1. Una vez obtenidas las medidas de m y de V, se calcula , mediante la fórmula anterior. Ejemplo: Se va a medir la densidad del cobre 1. Pulsando el botón titulado Peso, se genera una pieza hecha de cobre de masa y volumen desconocido. Con la balanza medimos su masa: m=410 1 g.

2. Pulsamos el botón titulado Volumen y el cuerpo se sumerge en agua Efectuamos una nueva medida con la balanza m’=364 g El volumen es numéricamente igual al empuje, la diferencia entre ambas medidas. V=410-364=46  1 cm3

3. Cálculo de la densidad

4. La densidad se expresa

 =8.9 0. 2 g/cm3 Finalmente, comparamos el valor calculado con el proporcionado por el programa interactivo pulsando el botón titulado Respuesta.

Actividades Para medir el peso de un cuerpo se pulsa sobre el botón titulado Peso. Se desplazan las flechas a lo largo de las guías actuando con el ratón. Se pulsa el botón izquierdo del ratón cuando el puntero está sobre una flecha, se arrastra el ratón, la flecha se desplaza automáticamente a la siguiente posición sobre la guía. Se deja de pulsar el botón

izquierdo del ratón, cuando la flecha está situada en la marca deseada. La balanza está equilibrada cuando el brazo está en posición horizontal y la flecha azul apunta a la marca roja situada a su derecha. El mismo procedimiento se emplea para medir el volumen.   



Se selecciona una sustancia en el control selección titulado Material. Se pulsa el botón titulado Peso. Medir el peso del cuerpo Se pulsa el botón titulado Volumen. Se mide el volumen del cuerpo, hallando la diferencia de las medidas de los pesos del mismo cuerpo antes y después de sumergirlo en agua. Se calcula la densidad y el error en la medida de la densidad, expresando correctamente la medida, el error y la unidad de medida.

Densidad  =



g/cm3

Finalmente, se compara el resultado obtenido con el valor de la densidad del cuerpo pulsando el botón Respuesta.

CIRCULOS Y SEGMENTOS ASOCIADOS

Trozos de círculos Hay dos tipos de "trozos" de círculo: Un trozo "de pizza" se llama sector. Y un trozo marcado por una cuerda se llama segmento.

Sectores comunes El cuadrante y el semicírculo son dos tipos especiales de sectores: Un cuarto de círculo se llama cuadrante. Medio círculo se llama semicírculo.

El área de un sector Puedes calcular el área de un sector comparando su ángulo con el ángulo de un círculo completo. Nota: aquí estoy escribiendo los ángulos en radianes.

Este es el razonamiento: 

Un círculo tiene ángulo 2π y área



Así que un sector con ángulo ×



πr2

θ (en vez de 2π) debe tener área (θ/2π)

πr

2

Esto se puede simplificar: (θ/2) × r2

Área del sector = ½ × = ½ × (θ

× π/180) × r2

(si

θ × r2

θ está en grados)

Longitud de arco de un sector o segmento Razonando de la misma manera, la longitud de un arco (de un sector o segmento) es:

Longitud de arco "L" = = (θ

× π/180) × r

θ×r

(si θ está en grados)

Área de un segmento El área de un segmento es el área de un sector menos el trozo triangular (en el dibujo está en azul claro). Calcular la fórmula lleva un rato, pero el resultado es una fórmula parecida a la del sector:

Área del segmento = ½ × (θ - sin = ½ × ( (θ

× π/180) - sin θ) × r2

(si

θ) × r2

θ está en grados)

TIPOS SOLIDOS PROPIEDADES Y CARACTERISTICAS DE LOS SOLIDOS Agudo < 90°

Recto = 90°

Obtuso>90°

Convexo < 180°

Llano = 180°

Cóncavo > 180°

Nulo = 0º

Completo = 360°

Negativo < 0º

Mayor de 360°

Tipos de ángulos según su posición

Ángulos consecutivos

Á n g u l o s

c o n s e c u t i v o s

s o n

a q u e l l o s

q u e

t i

e n e n

e l

v é r t i c e

y

u n

l a d o

c o m ú n .

Ángulos adyacentes

Á n g u l o s

a d y a c e n t e s

s o n

a q u

e l l o s

q u e

t i e n e n

e l

v é r t i c e

y

u n

l a d o

c o m ú n ,

y

l o s

o t r o s

l a d o s

s i t

u a d o s

u n o

e n

p o l o n g a c i ó n

d e l

o t r

o . F o r m a n

u n

á n g u l o

l l a n o .

Ángulos opuestos por el vértice

S o n

l o s

q u e

t e n i e n d o

e l

v é r t i c e

c

o m ú n ,

l o s

l a d o s

d e

u n o

s o n

p r o l o n

g a c i ó n

d e

l o s

l a d o s

d e l

o t r o . L o s

á n g u l o s

1

y

3

s o n

i g u a l e s . L o s

á

n g u l o s

2 y

4 s o n

i g u a l e s .

Clases de ángulos según su suma Ángulos complementarios

D o s

á n g u l o s

s o n

c o m p l e m e n

t a r i o s

s i

s u m a n

9 0 ° .

Ángulos suplementarios

D o s

á n g

u l o s

s o n

s u p l e m e n t a r i o s

s i

s u m a n

1 8 0 ° .

Ángulos entre paralelas y una recta transversal Ángulos correspondientes

L o s

á n g u l o s

1 y

2 s o n

i g u a l e s . Ángulos alternos internos

L o s

á n g u l o

s

2

y

3

s o n

i g u a l e s .

Ángulos alternos externos

L o s

á n g u l o s

1 y

4 s o n

i g u a l e s .

Ángulos en la circunferencia Ángulo central

E l án gul o cen tral tie ne su vér tic e e n el c ent ro de la c irc unf ere nci a y sus lad os

son dos rad ios. L a me did a de un arc o e s la de su áng ulo cen tral cor res pon die nte.

Ángulo inscrito

E l án gul o ins crit o ti ene su vér tic e e stá en la c irc unf ere nci a y sus la dos so n s eca nte s a ella . M ide

la mit ad del arc o q ue aba rca .

Ángulo semiinscrito

E l vé rtic e d e á ng ulo se mii nsc rito es tá en

la c irc unf ere nci a, un lad o s eca nte y el otr ota nge nte a ella . M ide la mit ad del arc o que aba rca .

Ángulo interior

S u v érti ce es i nte rior a la circ unf ere nci a y sus la dos sec ant es a ella .

M ide la mit ad de la su ma de las me did as de los arc os que aba rca n sus lad os y las pro lon gac ion es de

sus lad os.

Ángulo exterior Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella:

Mide la mitad de la diferencia entre las medidas de los arcos que abarcan sus lados sobre la circunferencia.

Ángulos de un polígono regular

Ángulo central de un polígono regular Es el formado por dos radios consecutivos. Si n es el número de lados de un polígono: Ángulo central = 360° : n Ángulo central del pentágono regular= 360° : 5 = 72º

Ángulo interior de un polígono regular Es el formado por dos lados consecutivos. Ángulo interior =180° − Ángulo central Ángulo interior del pentágono regular = 180° − 72º = 108º

Ángulo exterior de un polígono regular Es el formado por un lado y la prolonga ción de un lado consecutivo. Los ángulos exteriores e interiores son suplementarios , es decir, que suman 180º. Ángulo exterior = Ángulo central Ángulo exterior del pentágono regular = 72º

RAZONES TRIGONOMETRICAS EN TRIANGULOS OBTUSANGULOS

Para resolver triángulos oblicuángulos vam os a utilizar los teoremas del seno y del coseno. Dependiendo los elementos conozcamos,

de que nos

encontramos con cuatro tipos de resolución de triángulos oblicuángulos :

1º. Conociendo un lado y

dos ángulos adyacentes a él

De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Calcula los restantes elementos.

2º. Conociendo dos lados y

el ángulo comprendido

De un triángulo sabemos que: a = 10 m, b = 7 m y C = 30°. Calcula los restantes elementos.

3º Conociendo dos lados y

un ángulo opuesto

sen B > 1. No hay solución sen B Triángulo rectángulo

=

1

sen B < 1. Una o dos soluciones

Supongamos que tenemos a, b y A; al aplicar el teorema de los senos puede suceder:

1. sen B > 1. No hay solución. Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 8 m.

Como el seno de un ángulo nunca puede ser mayor que 1, el problema no tiene solución. La figura muestra la imposibilidad de que exista el triángulo planteado.

2. sen Solución

B

=

1.

única:

triángulo rectángulo Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 6 m.

3. sen B < 1. Una o dos soluciones Resuelve el triángulo de datos: A = 60°, a = 8 m y b = 4 m.

Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 4 m.

4º. Conociendo los tres

lados

Resuelve el triángulo de datos: a = 15 m, b = 22 m y c = 17 m.

TRIANGULO RECTANGULO En geometría, se llama triángulo rectángulo a todo triángulo que posee un ángulo recto, es 1 decir, un ángulo de 90-grados. Las razones entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo es un enfoque de la trigonometría plana. En particular, en un triángulo rectángulo, se cumple el llamado teorema de Pitágoras ya conocido por los babilonios

Terminología

Un triángulo rectángulo y sus elementos.

Se denomina hipotenusa al lado mayor del triángulo, el lado opuesto al ángulo recto. Se llaman catetos a los dos lados menores, los que conforman el ángulo recto. Si la medida de los lados son números enteros, estos reciben el nombre de terna pitagórica.

Tipos de triángulo rectángulo Existen dos tipos de triángulo rectángulo: 

Triángulo rectángulo isósceles: los dos catetos son de la misma longitud, los ángulos interiores son de 45-45-90. En este tipo de triángulo, la hipotenusa mide veces la longitud del cateto.



Triángulo rectángulo escaleno: los tres lados y los tres ángulos tienen diferente medida. Un caso particular es aquél cuyos ángulos interiores miden 30-60-90, en este tipo de triángulo, la hipotenusa mide el doble del cateto menor, y el cateto mayor veces la longitud del cateto menor. 

Triángulo rectángulo isósceles.



Triángulo rectángulo escaleno.

TEOREMAS DE SENOS Y DE CONSENOS

Teorema de los senos Cada

lado

de

un

triángulo

es

directamente

proporcional al seno del ángulo opuesto.

Teorema del coseno En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto del producto de ambos por el coseno del ángulo que forman .

Teorema de las tangentes

Área de un triángulo El área de un triángulo es la mitad del producto de una base por la altura correspondiente.

El área de un triángulo es el semiproducto de dos de sus lados por el seno del ángulo que forman.

El área de un triángulo es el cociente entre el producto de sus lados y cuatro veces el radio de su circunferencia circunscrita.

El área de un triángulo e s igual al producto del radio de la circunferencia inscrita por su semiperímetro.

Fórmula de Herón: