Metodo De Gauss Y Gauss Jordan Informe 6jh4w

INTRODUCCIÓN:

METODO DE GAUSS y GAUSS JORDAN

Llamada así debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, es un algoritmo del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. El método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal. OBJETIVOS • Comprender las diferentes formas de solucionar sistemas de ecuaciones lineales por este método. • Mostrar cómo aplicar los métodos para facilitar la solución de sistemas de ecuaciones, y así también saber resolver en calculadora. MARCO TEORICO METODO DE GAUSS Reducir a forma triangular los siguientes sistemas: x+y+z=3 x+ 2y + 3z = 2 x + 4y + 9z = - 2

(m =3, n = 3) METODOS NUMERICOS

Sobre la matriz del sistema eliminamos la x entre la primera ecuación y las dos restantes.

Para ello:

111 3 123 2 1 4 9 -2

-f1 + f2 -f1 + f3

111 3 0 1 2 -1 0 3 8 -5

ahora eliminamos la y entre la segunda y la tercera ecuación,

111 3 1 2 3 -1 0 3 8 -5 -3 / 2 + f3

111 3 0 1 2 -1 0 0 2 -2

obtenemos así el sistema equivalente en forma triangular

x+y+z=3 ; y + 2z = -12 z = -2 MÉTODO DE GAUSS JORDAN El método de Gauss Jordan es un método aplicable únicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, consiste en que a partir de la matriz aumentada del sistema de ecuaciones se halla otra matriz equivalente a la matriz aumentada mediante operaciones elementales de fila y/o columna, hasta obtener ecuaciones de una sola incógnita, cuyo valor será igual al coeficiente situado en la misma fila de la matriz. PIVOTE Es un método por el cual pueden resolverse sistemas de ecuaciones lineales con n números de variables, encontrar METODOS NUMERICOS

matrices y matrices inversas, en este caso desarrollaremos la primera aplicación mencionada. Para resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando este método, se debe en primer lugar anotar los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones lineales en su notación matricial: Ax+By+Cz=P Ox+Ey+Fz=Q

Gx+Hy+Yz=R Entonces, anotando como matriz (también llamada matriz aumentada): A B C

X

P

O E F

Y

Q

G H J

Z

R

Una vez hecho esto, a continuación se procede a convertir dicha matriz en una matriz identidad, es decir una matriz equivalente a la original, la cual es de la forma:

1 0 0 0 1 0 0

0

1

PROCEDIMIENTO METODOS NUMERICOS

Es un conjunto de operaciones elementales que se realizan con el objetivo de transformar una matriz escalonada, escalonada reducida aplicando los siguientes pasos:  Buscar un “uno” principal en la primera columna y llevarlo a la posición 1-1.  Hacer que los elementos restantes de la columna principal sean cero.  Buscar un ”segundo” principal en la 2da columna pero no en la primera fila y llevarlo a posición 2-2.  Hacer que los elementos restantes de la columna principal sean cero.  Aplicar el mismo esquema hasta llegar al nivel de la ultima fila.

Ejemplo:

METODOS NUMERICOS

Se procede a hacer el despeje correspondiente para poder hallar x, y, y z . COFACTORES

Sea una matriz cuadrada

A nxn=aij

se define la matriz

de cofactores como cofac ( Anxn ) =[ (−1)i+ j M ij ]

M es una determinante menor que queda en la matriz A luego de anular la i-esima fila y la j-esima columna METODOS NUMERICOS

Ejemplo Ejercicio1

Ejercicio 2

METODOS NUMERICOS

EN LA CALCULADORA TEXAS PARA RESOLVER LA ECUACIÓN Paso 1.Introducir el sistema de ecuaciones en forma matricial X+3y+2z = 7 2x+2y+z = 3 -x+3y+z =8 Paso 2.Entrar a comandos e ir a pestaña 2Buscar “MATRIZ” seleccionar y buscar “FORMA ESCALONADA REDUCIDA POR FILAS” (rref()) Diagrama de flujo: Inicio N

i=1

J=1

A[i][j]

J=n METODOS NUMERICOS

++j

si i=1

++i

si i=1

B[i][j]

i=n no

++i

k=1

i=1

P=A[k][I]

j=1

A[k][J]=A[k][J]/P

J=n B[k][I]=B[k][I]/P

J=K METODOS NUMERICOS

++J

A[k][J]=A[k][J] * A[i][k]

j=n

no

++J

si B[k]I]=B[k][J-A[k][J]

J=k

A[i][J]= A[i][J] – A[k][J]

J=n no

++J

B[i][1]=B[i][1]-B[k][1]

i=n k=n-1 +k

fin

METODOS NUMERICOS

no

++ no

+

RECOMENDACIONES  Al momento de realizar los cálculos tener mucho cuidado conlas sumas y multiplicaciones de cada fila y columna.  Al realizarlo con la calculadora seguir los respectivos pasos para que no existan fallas. CONCLUSIÓN: Para finalizar este trabajo es importante destacar algunas observaciones importantes; por empezar encontré dificultosa la realización de este trabajo puesto que se trababa del desarrollo de un tema que nunca antes tuve la oportunidad de conocer y mucho menos de ejercitar, pero su comprensión se vio facilitada por conocimientos previos relacionados a matrices y ecuaciones. También vale la pena destacar la importancia del conocimiento de este tema para la formación de un Ing. Agrónomo puesto que pueden solucionarse problemas de muchas variables y hay muchísimas situaciones que se nos presentaran y podremos aplicar este conocimiento. BIBLIOGRAFIA  Algebra lineal de espinoza ramos  Monografías de método de Gauss Jordan  Pfd, videos sobre Gauss Jordan

METODOS NUMERICOS

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