Metodo Del Trabajo Virtual 5f5b1h

MÉTODO DEL TRABAJO VIRTUAL 1. DEFINICIÓN: Teorema que permite calcular las reacciones exteriores y los axiles sin utilizar las ecuaciones de equilibrio. Dicho Teorema se obtiene aplicando el Principio de los Trabajos Virtuales a un caso del cual se conocen todos los datos que intervienen en la ecuación menos la reacción o la solicitación que se propone calcular. “Si una estructura deformable, en equilibrio y soportando un sistema de cargas, está sujeta a una deformación virtual como resultado de alguna acción adicional, el trabajo virtual externo de la carga dada o sistema de cargas es igual al trabajo virtual interno de los esfuerzos causados por la carga dada o sistema de cargas”

2. CONSERVACIÓN DE ENERGÍA VIRTUAL PARA DEFLEXIONES

PARA ÁNGULOS DE ROTACIÓN

𝐿

𝑚∙𝑀 1 ∙ ∆= ∫ ∙ 𝑑𝑥 𝐸𝐼 0

𝐿

1∙𝜃 = ∫ 0

𝑚𝜃 ∙ 𝑀 ∙ 𝑑𝑥 𝐸𝐼

Representan realmente la cantidad de energía de deformación virtual almacenada en la estructura. NOTA: Es importante el signo algebraico de cada integral calculada dentro de su región especificada

TABLA N°01. Conservación de energía virtual para deflexiones y ángulos de rotación.

3. PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES Si se tiene una estructura deformable de cualquier tamaño y forma y se le aplica una serie de cargas externas 𝑃𝑖, se producirán cargas internas 𝑢 en puntos a través de toda la estructura.

FIGURA N°01. Elemento antes de aplicar las cargas P1, P2 y P3.

3.1. ANÁLISIS DE DESPLAZAMIENTOS:

FIGURA N°02. Desplazamientos después de aplicar las cargas P1, P2 y P3.

DEFLEXIONES

DESPLAZAMIENTOS REAL

DESPLAZAMIENTOS VIRTUAL

∆= ∑ µ𝑑𝐿

1 ∙ ∆= ∑ µ𝑑𝐿

TABLA N°02. Definición de desplazamientos reales y virtuales

Cuerpo 𝐹⃗ virtual externa (P´) ⟶ (µ𝑣𝑖𝑟𝑡 )𝑒𝑥𝑡 = 1 ∗ ∆ Elemento carga interna virtual (µ) ⟶ 𝑑𝐿 = (µ𝑣𝑖𝑟𝑡 )𝑖𝑛𝑡 = µ𝑑𝐿 

La carga virtual externa (P’) crea un carga virtual interna (µ)



Pueden relacionarse con las ecuaciones de equilibrio.



El cuerpo experimenta un desplazamiento virtual, aunque sus magnitudes no importan.

3.2. ANÁLISIS DE ÁNGULOS DE GIRO:

FIGURA N°03. Ángulos de giro después de aplicar las cargas P1, P2 y P3.

GIROS

GIRO REAL

GIRO VIRTUAL

𝜃 = ∑ µ𝜃 𝐿

1 ∙ 𝜃 = ∑ µ𝜃 𝑑𝐿

TABLA N°03. Definición de ángulo de giros reales y virtuales

4. TRABAJO VIRTUAL INTERNO: La carga interna virtual “total” se aplica antes que las cargas reales causen desplazamiento DEFORMACIÓN CAUSADA POR

ENERGIA DE DEFORMACIÓN 𝐿

Axial(N)

∫ 0 𝐿

Cortante(V)

∫ 0 𝐿

Momento (M)

∫ 0 𝐿

Torsión (T)

∫ 0

TRABAJO VITUAL INTERNO

𝑁2 𝑑 2𝐸𝐴 𝑥

∫

𝑛∙𝑁 𝑑 𝐸𝐴 𝑥

𝑓𝑠 𝑉 2 𝑑 2𝐺𝐴 𝑥

∫

𝑓𝑣𝑉 𝑑 𝐺𝐴 𝑥

𝑀2 𝑑 2𝐴𝐸 𝑥

∫

𝑚𝑀 𝑑 𝐸𝐼 𝑥

𝑇2 𝑑 2𝐺𝐽 𝑥

∫

𝑡𝑇 𝑑 𝐺𝐽 𝑥

TABLA N°04. Energías de deformación y trabajo virtual interno.

µ𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑣𝑖𝑟𝑡𝑢𝑎𝑙 = (𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑣𝑖𝑟𝑡𝑢𝑎𝑙) ∙ (𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙) De la TABLA N°01, realizando una sumatoria del trabajo virtual interno, tenemos: 1 ∙ ∆= ∫

𝑛𝑁 𝑚𝑀 𝑓𝑣𝑉 𝑡𝑇 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 𝐸𝐴 𝐸𝐼 𝐺𝐴 𝐺𝐽

MÉTODOS DE FUERZAS VIRTUALES APLICADAS A ARMADURAS: 

Aplicación de la carga unitaria virtual

FIGURA N°05. Aplicación de la carga virtual a la armadura.



Aplicación de las cargas reales

FIGURA N°05. Aplicación de la carga real a la armadura.



Ecuación de trabajo virtual para la armadura es: 1 ∙ ∆= ∑

𝑛𝑁𝐿 𝐴𝐸

Donde: 1=Carga unitaria virtual externa que actúa sobre la junta de la armadura. n=Fuerza normal interna causada por la carga unitaria externa N=Fuerza normal interna causada por las cargas reales L=Longitud del elemento A=Área transversal del elemento E=Modulo de elasticidad del elemento

MÉTODO DE LAS FUERZAS VIRTUALES APLICADO A VIGAS: 

Usado para determinar el desplazamiento y la pendiente en un punto dado



Colocamos carga unitaria virtual el cual produce trabajo virtual interno (1∆).



Cuando se aplique la "𝜔𝑟𝑒𝑎𝑙 " provocara “V” y “M”.

a. Aplicación de la carga unitaria virtual:

FIGURA N°06. Aplicación de la carga virtual a la viga.

b. Aplicación de la carga real:

FIGURA N°07. Aplicación de la carga real a la viga.

c. Ecuación de trabajo virtual para el cálculo del desplazamiento en un punto 𝐿

1 ∙ ∆= ∫ 0

𝑚𝑀 ∙ 𝑑𝑥 𝐴𝐼

Donde: 1=Carga unitaria virtual externa causado por la carga virtual unitario. m=Momento virtual interno en la viga causado por la carga unitaria. M=Momento interno en la viga causado por las cargas reales A=Área transversal del elemento E=Momento de inercia del área trasversal de la viga d. Ecuación de trabajo virtual para el cálculo de ángulo de giro en un punto 𝐿

1∙θ=∫ 0

𝑚𝜃 𝑀 ∙ 𝑑𝑥 𝐴𝐼

Donde: 1=Carga unitaria virtual externa causado por la carga virtual unitario. m=Momento de par unitario causado por el momento unitario. M=Momento interno en la viga causado por las cargas reales A=Área transversal del elemento E=Momento de inercia del área trasversal de la viga

EJERCICIOS APLICATIVOS EJERCICIO 01: Para la siguiente viga. Determinar el desplazamiento vertical en B, aplicando el método de Trabajo Virtual. Propiedades de las barras: todas comparten el mismo momento de inercia y módulo de elasticidad. EI = Constante.

SOLUCIÓN: Obtenemos las relaciones en sus apoyos. ∑ 𝑴𝑨 = 𝟎

(−3.5 𝑇𝑜𝑛)(7.8𝑚) + 𝑅𝑐 (6𝑚) = 0 𝑅𝑐 =

(−3.5𝑇𝑜𝑛)(7.8𝑚) = 𝟒. 𝟓𝟓 𝑻𝒐𝒏 6𝑚

+ ∑ 𝑭𝒚 = 𝟎

𝑅𝐴𝑦 + 4.55 𝑇𝑜𝑛 − 3.5𝑇𝑜𝑛 = 0

𝑹𝑨𝒚 = 𝟏. 𝟎𝟓𝑻𝒐𝒏

Para el desplazamiento vertical en el punto “B” (𝛿𝑣𝐵) proponemos una viga igual, solo que con una sola fuerza virtual unitaria saliendo del punto B en la dirección que suponemos se desplazará el punto (ya sea positivo ↑ o negativo ↓ , el análisis al final lo definirá).

Obtenemos las reacciones en sus apoyos. ∑ 𝑴𝑨 = 𝟎

( −1 𝑇𝑜𝑛)(1.5𝑚) + 𝑅𝑐(6𝑚) = 0

𝑅𝑐 =

(−1𝑇𝑜𝑛)(1.5𝑚) = 𝟐. 𝟐𝟓 𝑻𝒐𝒏(↑) 6𝑚

𝑅𝐴𝑦 + + 0.25 − 1𝑇𝑜𝑛 = ∑𝑇𝑜𝑛 𝑭𝒚 = 𝟎 𝑹𝑨𝒚 = 𝟎. 𝟕𝟓 𝑻𝒐𝒏(↑) Aplicando la siguiente expresión para elementos a flexión en trabajo virtual será posible obtener es desplazamiento buscado.

𝜹𝒗𝑩 = ∫

𝑴𝒙𝒎𝒙 𝒅𝒙 𝑬𝑰

Mx = Ecuación de momento por carga real. mx = Ecuación de momento por carga virtual.

Para cada tramo de la viga se obtiene su correspondiente ecuación de momento tanto para la carga real como para la carga virtual, que dando expresado en la siguiente tabla:

Tramo AB BC DC

Rango “x” 0 < x < 1.5 1.5 < x < 6 0 < x < 1.8

Ecu. Mx -1.05x -1.05x -3.5x

Ecu. mx 0.75x 0.75x–(x– 1.5) 0

A continuación, sustituimos las ecuaciones de momentos en la expresión de desplazamiento virtual para resolver las integrales.

1.5

𝛿𝑣𝐵 = ∫ 0

6 1.8 ( −1.05𝑋)(0.75𝑥) ( −1.05𝑋)(−0.25𝑋 + 1.5) ( −3.5𝑋)(0) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 𝐸𝐼 𝐸𝐼 𝐸𝐼 1.5 0 1.5

6

𝐸𝐼𝛿𝑣𝐵 = ∫ (−1.05𝑋)(0.75𝑥)𝑑𝑥 + ∫ (−1.05𝑋)(−0.25𝑋 + 1.5) 𝑑𝑥 0

1.5 1.5

6

6

𝐸𝐼𝛿𝑣𝐵 = ∫ 0.78𝑋 2 𝑑𝑥 − ∫ 0.26𝑋 2 𝑑𝑥 − ∫ 0.57 𝑋 𝑑𝑥 0

1.5

1.5

6

6

1.5

𝐸𝐼𝛿𝑣𝐵 = ∫ 0.78𝑋 2 𝑑𝑥 − ∫ 0.26𝑋 2 𝑑𝑥 − ∫ 0.57 𝑋 𝑑𝑥 0

1.5

𝐸𝐼𝛿𝑣𝐵 = −

𝐸𝐼𝛿𝑣𝐵 =

1.5

0.78𝑋 3 1.5 0.26𝑋 3 6 0.57𝑋 2 6 | + | − | 3 0 3 1.5 2 1.5

−0.78 (1.53−03) 3

+

−0.26 (63 −1.53)

𝛿𝑣𝐵 =

3

−

1.57 (62 −1.52) 2

= −8.943

−8.943 𝐸𝐼

El signo negativo indica, que la dirección en que propusimos el desplazamiento es contraria, solo hay que cambiar la dirección del desplazamiento supuesto.

EJERCICIO 02: En la carretera central de Huancayo – Ayacucho en el K125+247 se encuentra un puente con una luz de 20m, en donde se aplica un peso P a 5m de punto de inicio. Calcular la deflexión vertical ẟ en el centro de la luz del puente que genera el peso del aplicado utilizando el método de trabajo virtual, siendo 𝐼 = 240 𝑐𝑚4 , 𝐸 = 29 ∗ 109 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 y 𝑃 = 16𝑇𝑛.

SOLUCIÓN: 1) Sistema virtual 

Calculando las reacciones.



Haciendo los cortes.

TRAMO AC 𝑀𝐴𝐶 = 0.5𝑋

TRAMO CD 𝑀𝐶𝐷 = 0.5𝑋 − 1(𝑋 − 10)

2) Sistema real de cargas. 

Calculando las reacciones.



Haciendo los cortes.

TRAMO AB 𝑀𝐴𝐵 = 12𝑋

TRAMO CD 𝑀𝐶𝐷 = 12𝑋 − 16(𝑋 − 5)

Calculando la deflexión vertical en vigas: 𝑥2

ẟ = ∑ ∫ 𝑀𝑣 ∗ 𝑥1



𝑀𝑟 ∗ 𝑑𝑥 𝐸𝐼

TRAMO AB

𝑀𝑣 = 0.5𝑋 𝑀𝑟 = 12𝑋 𝐸𝐼 = 6960 ∗ 109 ∗ 𝑘𝑔 ∗ 𝑐𝑚2 𝑥2

ẟ= ∫ 𝑥1

𝑀𝑣 ∗ 𝑀𝑟 ∗ 𝑑𝑥 𝐸𝐼

𝑥=5

ẟ1 = ∫ 𝑥=0

6𝑥 2 ∗ 𝑑𝑥 6960 ∗ 109

ẟ1 = 0.000359m



TRAMO BC 𝑀𝑣 = 0.5𝑋 𝑀𝑟 = 12𝑋 − 16(𝑋 − 5) 𝐸𝐼 = 6960 ∗ 109 ∗ 𝑘𝑔 ∗ 𝑐𝑚2 𝑥2

ẟ= ∫ 𝑥1 𝑥=10

ẟ2 = ∫ 𝑥=5

𝑀𝑣 ∗ 𝑀𝑟 ∗ 𝑑𝑥 𝐸𝐼 −2𝑥 2 + 40𝑥 ∗ 𝑑𝑥 6960 ∗ 109

ẟ2 = 0.001317m



TRAMO CD 𝑀𝑣 = 0.5𝑋 − 1(𝑋 − 10) 𝑀𝑟 = 12𝑋 − 16(𝑋 − 5) 𝐸𝐼 = 6960 ∗ 109 ∗ 𝑘𝑔 ∗ 𝑐𝑚2 𝑥2

ẟ= ∫ 𝑥1

𝑥=20

ẟ3 = ∫ 𝑥=10

𝑀𝑣 ∗ 𝑀𝑟 ∗ 𝑑𝑥 𝐸𝐼

2𝑥 2 − 80𝑥 + 800 ∗ 𝑑𝑥 6960 ∗ 109

ẟ3 = 0.000958m

Por lo tanto: 𝑥2

ẟt = ∑ ∫ 𝑀𝑣 ∗ 𝑥1

𝑀𝑟 ∗ 𝑑𝑥 𝐸𝐼

ẟt = ẟ1 + ẟ2 + ẟ3

ẟt = 0.000359m + 0.001317m + 0.000958m

ẟ𝑡 = 0.002634𝑚

EJERCICIO 03: Determine el desplazamiento vertical de la junta C de la armadura de acero se muestra en figura. El área de la sección transversal de cada elemento es 𝐴 = 0.5𝑚2 y 𝐸 = 29(103 )𝑘/𝑚

SOLUCIÓN: Fuerzas virtuales n. Solo se coloca una carga vertical de 1k en la junta C y a la fuerza en cada elemento se calcula aplicando el método de los nudos, Los resultados se mantienen se muestras en la figura. Los números positivos indican fuerzas de tensión y los números negativos indican de compresión.

Fuerzas reales N. Las fuerzas reales en los elementos se calculan el método de los nudos. Los resultados se muestran en la figura.

Ecuaciones del trabajo Virtual. Al disponer los datos en forma tabular, se tiene. Elemento AB

n(k) 0.333

N(k) 4

L(m) 10

n*NL(𝑘 2 ∗ 𝑚) 13.33

BC CD DE FE EB BF AF CE

0.667 0.667 -0.943 -0.333 -0.471 0.333 -0.471 1

4 4 -5.66 -4 0 4 -5.66 4

10 10 14.14 10 14.14 10 14.14 10

26.67 26.67 75.42 13.33 0 13.33 37.71 40 ∑ 246.47

Entonces: 1𝑘 ∗ ∆𝑐𝑣 = ∑

𝑛𝑁𝐿 246.47𝑘 2 𝑚 = 𝐴𝐸 𝐴𝐸

Si se convierte las unidades de longitud del elemento a pulgadas y se sustituyen los valores números de A y E, resulta. (246.47𝑘 2 𝑚)(12) 1𝑘 ∗ ∆𝑐𝑣 = (0.5𝑚2 )(28(103 )𝑘/𝑚 ∆𝑐𝑣 = 0.204𝑚