Metodo Simplex 131f6n
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS, GEOLOGIA Y CIVIL ESCUELA DE FORMACION PROFESIONAL DE INGENIERIA DE MINAS
TEMA:
PROGRAMACION LINEAL METODO GRAFICO METODO SIMPLEX
CURSO
: ANALISIS DE SISTEMAS MINEROS (MI-547)
PROFESOR
:MsC. Ing. EDMUNDO CAMPOS ARZAPALO
Curso de investigación con
OBJETIVOS Familiarizarse con algunas aplicaciones básicas de la programación lineal, estudiadas desde un punto de vista algorítmico, adaptado al perfil del ingeniero. Maximizar beneficios o minimizar costos. Facilitar en la solución del PL; como Súper Lindo, WinQSB etc.
Curso de investigación con
INTRODUCCIÓN Investigación
de operaciones es un procedimiento o un enfoque para resolver problemas relacionados con la toma de decisiones en diferente campos de aplicación. El concepto de decisión en la solución de un problema está relacionado con la existencia de diferente alternativas. Maximizar un beneficio o minimizar un costo se logra mediante los métodos de solución de la programación lineal. Curso de investigación con
PROGRAMACION LINEAL Es una técnica de optimización que consiste en la maximización o minimización de una función lineal, llamada función objetivo, sujeta a restricciones también lineales. La programación lineal es una técnica matemática de optimización que permite la istración racional de los recursos (humanos, materiales, económicos). A diversas actividades de la organización, de tal manera que a la vez se cumple con ciertas condiciones que seCurso busca alcanzar de investigación con
RESTRICCIONES son las relaciones entre la variables y parámetros que se representan por desigualdades o ecuaciones, resulta debido a limitaciones de recursos o a ciertas disposiciones técnicas de un problema dado a) Determinar el objeto del problema, el cual puede ser: Maximizar.− utilidades, producción, publicidad, audiencia, etc. Minimizar.− costo, tiempo, distancia, desperdicios, etc. b) Definir las variables del problema, así cual es el sistema de medida a utilizar números de artículos, horas−hombres, horas máquina, etc. c) Establecer las restricciones del problema, en cuanto a materia prima, tiempo, recursos Curso de investigación con financieros, requerimientos de producción, etc.
FORMAS DE PRESENTACION DE PL Forma
canónica de PL
Forma
estandarizada de PL
Sus restricciones son de la forma: “≤” Para el caso de maximización “≥” Para el caso de minimización
Es una forma más sistemática de expresar un problema de PL, aunque este formulado en forma canónica, mixta o genérica es posible transformar a la forma estándar. Todas las restricciones son ecuaciones Forma
mixta de PL
Las ecuaciones de las restricciones tanto para el caso de maximización y minimización indistintamente pueden contener: La igualdad además de la “≤ o ≥” los rangos de existencia también son no negativos . Curso de investigación con
METODOS DE SOLUCION DE PL
MÉTODO
GEOMÉTRICO O
MÉTODO
SIMPLEX
GRAFICO
Curso de investigación con
OBJETIVO DEL MÉTODO GRÁFICO Aprender a resolver gráficamente un modelo de programación lineal de dos variables. Utilizándolo como una herramienta eficaz para obtener una solución óptima.
Curso de investigación con
DEFINICION DEL METODO GRAFICO Las rectas de nivel dan los puntos del plano donde la función objetivo toma el mismo valor. Si la función objetivo es f(x,y) = ax + by + c, la ecuación de las rectas de nivel es de la forma: ax + b y + c = 0 ; a x + b y = k Variando k, se obtienen distintos niveles para esas rectas y, en consecuencia, distintos valores para f(x,y ). Curso de investigación con
GRÁFICO DE UN CONTORNO El
gráfico de un contorno se resume en el gráfico de una igualdad. Los contornos de una función lineal forman una familia de rectas paralelas.
Curso de investigación con
SOLUCIÓN GRÁFICA Determinar
el conjunto factible. Dibujar la recta que identifica el contorno de la función objetivo. Determinar la solución óptima
Curso de investigación con
SOLUCIÓN ÓPTIMA Para
encontrar la solución óptima deslizamos o movemos la recta de la función objetivo paralelamente á sí misma a lo largo de la región factible. La solución óptima es el último punto de la región factible que toca la recta de la función objetivo en su movimiento. Curso de investigación con
EJEMPLO X2
solución óptima
Función objetivo es maximizar función objetivo crece X1
Curso de investigación con
METODO SIMPLEX Es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución. Deberá tenerse en cuenta que este método sólo trabaja para restricciones que tengan un tipo de desigualdad "≤" y coeficientes independientes mayores o iguales a 0, y habrá que estandarizar las mismas para el algoritmo.
Curso de investigación con
TABLERO SIMPLEX BASICO
Z
X1
X2
X3
S1
S2
S3
SOLUCION
Z
1
...
….
….
0
0
0
0
0
S1
0
…
….
….
1
0
0
…
….
S2
0
….
….
….
0
1
0
….
….
S3
0
….
..
…
0
0
1
..
…..
Z
1
….
…
….
..
…
…
….
S1
0
…
…
….
..
...
…
….
X3
0
…
….
….
..
..
…
…
S3
0
…..
….
….
…
…
…
….
Z (Anterior)
1
….
.….
…
0
0
0
0
Pivote(CONJUGADA )
0
..
…
….
0
0
0
…
Nuevo Z
1
…
….
0
0
….
0
...
+
Curso de investigación con
OBSERVACION
Tipo de desigualdad
Tipo de variable que aparece
≥
- exceso + artificial
=
+ artificial
≤
+ holgura
Curso de investigación con
DIAGRAMA DE FLUJO
Curso de investigación con
PROBLEMA DE APLICACIÓN DE METODO SIMPLEX Y METODO GRAFICO En
una Unidad minera se vienen explotando por el método de corte y relleno ascendente mecanizado en los tajeos 1 y 2 de 100 m. de longitud cada uno y se tienen los siguientes datos: Curso de investigación con
Tajeo
1 : producción : 1000 TCS Relación de perforación : Ley : 10 onz Ag / TCS Factor de potencia : 0.29 Nº de taladros : 725 Margen económico actual Tajeo 2 : producción : 800 TCS Relación de perforación : % que el tajeo 1 Ley : 15 onz Ag / TCS Factor de potencia : 0.35 Nº de taladros : 700 Margen económico actual
1 m/TCS Kg/TCS : 25 $/TCS 1 m/TCS menos 10 Kg/TCS : 55 $/TCS Curso de investigación con
En
ambos tajeos se usan juego de barrenos de 5 ,6 y 8 pies y como explosivo dinamita semexa de 65 % de 7x7//8” en peso igual 0.081kg/cartucho, previo estudio de optimización de las operaciones se pueden alcanzar hasta 900 TCS para el tajeo 1 y 1200 TCS para el tajeo 2. Se desea mejorar el margen económico actual así mismo comprobar los valores optimizado con los datos originales. Curso de investigación con
Solución Sea
el tonelaje a producir Tejeo 1 : x1 Tejeo 2 : x2 Función
objetiva
Max (Z) = 25X1+55X2
Producción
de los 2 tajeos 1000 TCS +800 TCS = 1800 TCS Curso de investigación con
Calculando los metros perforados de acuerdo a la producción de cada tejeo 1000 TCS * 1 m/ TCS + 800 TCS * 0.9 m/ TCS = 1720 metros perforados X1 + 0.9X2 ≤ 1720 metros perforados Contenido fino 1000 TCS *10 onzAg/TCS + 800 TCS * 15 onzAg/TCS = 22000 onzAg Entonces 10X1 + 15X2 ≥ 22000 onzAg Kilogramos de explosivos
1000 TCS * 0.29 kg/ TCS + 800 TCS * 0.35kg/ TCS = 570 kg. de explosivos Entonces 0.29X1 + 0.35X2 ≤ 570 kg. De explosivo Curso de investigación con
RESUMIENDO Max (Z) = objetivo : 25X1+55X2 Sujeto a las siguientes restricciones Función
X1 + 0.9X2 ≤ X1 + 0.9X2 ≤ 1720 1720 10X1 + 15X2 ≥ 10X1 ≥ 22000+ 15X2 22000 0.29X1 + 0.35X2 ≤ 570 0.29X1 + 0.35X2 ≤ 570 X1 ≤ 900 X1 ≤ 900 X2 1200 X1 ,X2 ≥ 0 , X2 por la condición de no negatividad ≤ 1200
Curso de investigación con
ADECUANDO LAS ECUACIONES PARA EL MÉTODO GRÁFICO
X1 + 0.9X2 10X1 + 15X2 0.29X1 + 0.35X2 X1 X2
= = = = =
1720 22000 570 900 1200
Curso de investigación con
Igualando cada ecuación a cero hallamos los puntos Abscisas Ordenadas X1 = 1720 X2= 1911 X1 = 2200 X2= 1467 X1 = 1965 X2= 1628 X1 = 900 X2= 0 X1 = 0 X2= 1200 Margen económico actual 1000
TCS *25 $/TCS + 800 TCS * 55$/TCS = 69000U$ Curso de investigación con
SOLUCION DEL METODO GRAFICO Dando
valores arbitrarios a la ecuación de la función objetiva cero Sea Z = 30,000 Entonces X1 = 1200 X2 = 545 Solución X1 = 517.24 X2 = 1200 Curso de investigación con
SOLUCION GRAFICA
Curso de investigación con
COMPROBACION Función objetivo : Max(z) = 25 * 517.24 + 55 * 1200 = 78 931.00 78 931.00 > 69000 Por lo cual se optimizo en 9,931 $ Metros perforados 517.24 + 0.9 * 1200 ≤ 1597.24 1597.24 < 1720 por lo cual se optimizo en 122.76 metro perforados Contenido fino
10 *517.24 + 15 * 1200 ≥ 23172.4 23,172.4 > 22000 por lo cual se optimizo en 1,172.4 Onz Ag Consumo de explosivo 0.29 * 517.24 + 0.35* 1200 ≤ 570 570 = 570 por el cual se optimiza en explosivo Curso de investigación con
SOLUCION POR EL METODO TABLERO SIMPLEX Función
Max (Z) = 25X1+55X2
objetivo : Sujeto a las siguientes restricciones X1 + 0.9X2 ≤ 1720 10X1
+ 15X2 ≥ 22000 0.29X1 + 0.35X2 ≤ 570 X1 ≤ 900 X2 ≤ 1200 X1 ,X2 ≥ 0 , condición de la no negatividad Curso de investigación con
Llevando las ecuaciones a la forma estándar
Max(z) = 25X1 + 55X2 + S2 + S1 + S3 + S4 +S5 –L1
X1
+ 0.9X2 + S1
=
1720
10X1
+ 15X2 - S2 + L1 = 22000 0.29X1 + 0.35X2 + S3 = 570 X1 + S4 = 900 X2 + S5 = 1200 Curso de investigación con
TABLERO SIMPLEX
Curso de investigación con
BASE
Z
X1
X2
S2
S1
S3
S4
S5
L1
SOLUCION
Z
1
-25
-55
0
0
0
0
0
0
0
S1
0
1
0.9
0
1
0
0
0
0
1720
1911.11
S3
0
10
15
-1
0
1
0
0
0
22000
1466.67
S4
0
0.29
0.35
0
0
0
1
0
0
570
1628.57
S5
0
1
0
0
0
0
0
1
0
900
No existe
L1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1200
1200
exc el
Curso de investigación con
NRP
BASE
Z
X1
X2
S2
S1
S3
S4
S5
L1
SOLUCION
Z
1
-25
0
0
0
0
0
0
55
66000
S1
0
1
0
0
1
0
0
0
-0.9
640
640
S3
0
10
0
-1
0
1
0
0
-15
4000
400
S4
0
0.29
0
0
0
0
1
0
0.35
S5
0
1
0
0
0
0
0
1
0
X2
0
0
1
0
0
0
0
0
1
150 517.2414
900
900
1200 No existe
Curso de investigación con
1RA ITERACION:
Z actual
1
-25
-55
0
0
0
0
0
0
0
55xNRP
0
0
55
0
0
0
0
0
55
66000
Nuevo Z
1
-25
0
0
0
0
0
0
55
66000
S1 actual
0
1
0.9
0
1
0
0
0
0
1720
-0.9xNRP
0
0
-0.9
0
0
0
0
0
-0.9
-1080
Nuevo S1
0
1
0
0
1
0
0
0
-0.9
640
S3 actual
0
10
15
-1
0
1
0
0
0
22000
-15xNRP
0
0
-15
0
0
0
0
0
-15
-18000
Nuevo S3
0
10
0
-1
0
1
0
0
-15
4000
S4 actual
0
0.29
0.35
0
0
0
1
0
0
570
-0.35xNRP
0
0
-0.35
0
0
0
0
0
-0.35
-420
Nuevo S4
0
0.29
0
0
0
0
1
0
-0.35
150
S5 actual
0
1
0
0
0
0
0
1
0
900
0xNRP
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Nuevo S5
0
1
0
0
0
0
0
1
0
900
Curso de investigación con
NRP
BASE
Z
X1
X2
S2
S1
S3
S4
S5
L1
SOLUCION
Z
1
0
0
-2.5
0
2.5
0
0
17.5
76000
S1
0
0
0
0.1
1
-0.1
0
0
0.6
240
2400
X1
0
1
0
-0.1
0
0.1
0
0
-1.5
400
No entra
S4
0
0
0
0.02 9
0
0.029
1
0
0.08 5
34
1172.414
S5
0
0
0
0.1
0
-0.1
0
1
1.5
500
5000
X2
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1200 No existe
Curso de investigación con
2DA ITERACION:
Z actual
1
-25
0
0
0
0
0
0
55
66000
25xNRP
0
25
0
-2.5
0
2.5
0
0
-37.5
10000
Nuevo Z
1
0
0
-2.5
0
2.5
0
0
17.5
76000
S1 actual
0
1
0
0
1
0
0
0
-0.9
640
-1xNRP
0
-1
0
0.1
0
-0.1
0
0
1.5
-400
Nuevo S1
0
0
0
0.1
1
-0.1
0
0
0.6
240
S4 actual
0
0.29
0
0
0
0
1
0
-0.35
150
-0.29xNRP
0
-0.29
0
0.029
0
-0.029
0
0
0.435
-116
Nuevo S4
0
0
0
0.029
0
-0.029
1
0
0.085
34
S5 actual
0
1
0
0
0
0
0
1
0
900
-1xNRP
0
-1
0
0.1
0
-0.1
0
0
1.5
-400
Nuevo S5
0
0
0
0.1
0
-0.1
0
1
1.5
500
X2 actual
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1200
0xNRP
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Nuevo X2
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1200
Curso de investigación con
NRP
BASE
Z
X1
X2
S2
S1
S3
S4
S5
L1 SOLUCION
Z
1
0
0
0
0
0
86.20 7
0
24.82 78931.034 8 5
S1
0
0
0
0
1
0
3.448
0
0.307 122.75862
X1
0
1
0
0
0
0
3.448 3
0
517.24137 1.207 9
S2
0
0
0
1
0
-1
34.48 3
0
2.931 1172.4137 9
S5
0
0
0
0
0
0
3.448
1
1.206 382.75862 9 1
X2
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1200
Curso de investigación con
3RA ITERACION:
Z actual
1
0
0
-2.5
0
2.5
0
0
17.5
76000
2.5xNRP
0
0
0
2.5
0
-2.5
86.21
0
7.328
2931.0345
Nuevo Z
1
0
0
0
0
0
86.21
0
24.83
78931.034
S1 actual
0
0
0
0.1
1
-0.1
0
0
0.6
240
-0.1xNRP
0
0
0
-0.1
0
0.1
-3.448
0
-0.293
-117.2414
Nuevo S1
0
0
0
0
1
0
-3.448
0
0.307
122.75862
X1 actual
0
1
0
-0.1
0
0.1
0
0
-1.5
400
0.1xNRP
0
0
0
0.1
0
-0.1
3.448
0
0.293
117.24138
Nuevo X1
0
1
0
0
0
0
3.448
0
-1.207
517.24138
S5 actual
0
0
0
0.1
0
-0.1
0
1
1.5
500
-0.1xNRP
0
0
0
-0.1
0
0.1
-3.448
0
-0.293
-117.2414
Nuevo S5
0
0
0
0
0
0
-3.448
1
1.207
382.75862
X2 actual
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1200
0xNRP
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Nuevo X2
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1200
Curso de investigación con
RESULTADOS De donde: De donde: X1 = 517.24 X1 =1200 517.24 X2= X2= Z = 1200 78931.034 Z = 78931.034
Curso de investigación con
INTRODUCCIÓN AL PROGRAMA LINDO LINDO (LINEAR, INTERACTIVE, AND OPTIMIZER) Es una aplicación para computadoras que se utiliza para resolver problemas de programación lineal, este sistema interactivo ayuda a la toma de decisiones que contiene herramientas muy útiles para resolver distintos tipos de problemas en el campo de la investigación operativa. El sistema está formado por distintos módulos, uno para cada tipo de modelo o problema Lindo es simple de utilizar desde el teclado, ingresar el modelo facil de hacer. Curso de investigación con
Inicio del programa
Curso de investigación con
Forma de ingresar un modelo al LINDO:
Max o Min Subject to (st) Restricciones End
MODELO EN EL LINDO DEL EJEMPLO PASO 1 : Max(z) 25X1 + 55X2 PASO 2 : ST PASO 3 : DIGITAR LAS RESTRICCIONES X1 + 0.9X2 ≤ 1720 10X1 + 15X2 ≥ 22000 0.29X1 + 0.35X2 ≤ 570 X1 = 900 X2 = 1200 End Go
Curso de investigación con
Curso de investigación con
RESULTADOS DE LINDO
Curso de investigación con
Introducción al programa WinQSB WinQSB es un sistema interactivo de ayuda a la toma de decisiones que contiene herramientas muy útiles para resolver distintos tipos de problemas en el campo de la investigación operativa. El sistema está formado por distintos módulos, uno para cada tipo de modelo o problema. Entre ellos destacaremos los siguientes: Curso de investigación con
MODULOS •
Linear and Integer Programming • Goal Programming • Quadratic Programming • Network Modeling • Nonlinear Programming • PERT_M Curso de investigación con
Linear programming (LP) and integer linear programming (ILP) Este módulo incluye los programas necesarios para resolver el problema de programación lineal gráficamente o utilizando el algoritmo del Simplex; también permite resolver los problemas de programación lineal entera utilizando el procedimiento de Ramificación y Acotación. Curso de investigación con
PROGRAMA WinQSB Ingresar
al programa winQSB Clik en el icono
Curso de investigación con
SIGUIENTE
Curso de investigación con
Ingresar los datos en el cuadro
Curso de investigación con
En la barra de munu clic como se muestra en la fig.
Curso de investigación con
- Resultados de la función objetiva y los nuevos valores de X1 y X2
Curso de investigación con
- Iteraciones en el programa winQSB
Curso de investigación con
- Salir de esta ventana para la grafica
Curso de investigación con
SIGUIENTE
Curso de investigación con
SIGUIENTE
Curso de investigación con
Click Ok
Curso de investigación con
PROBLEMA: En la unidad minera EL PORVENIR . La sección 1, tiene un frente de avance en desarrollo y otro frente de avance en exploración; sin embargo la Superintendencia de Planeamiento ha indicado como objetivo del mes, un avance de 50 metros para exploración y 80 metros para desarrollo. Sin embargo por situaciones operacionales el avance de los dos frentes no debe de exceder a los 90 metros; además el frente de desarrollo es el doble al de exploraciones pero sin exceder a los 120 metros. Se, pide maximizar los frentes de avance
Curso de investigación con
SOLUCIÓ N 1.- Variables de Decisiones: X₁ = variable de desición, X₂= variable de desición
2.- Función Objetiva: Max Z = 50X₁ + 80X₂
3.- Sujeto a Restricciones: X₁ + 2X₂ ≤ 120 X₁ + X₂ ≤ 90 X₁ , X₂ ≥ 0
4.- Programación Lineal a Forma estandar: Z – 50X₁ - 80X₂ + =0 X₁ + 2X₂ + S₁ + = 120 X₁ + X₂ S₂ = 90
5.- Expresando en Forma de Tablero Simplex: Z X₁ X₂ S₁ S₂
R
1
-50
-80
0
0
0
0
1
2
1
0
120
0
1
1
0
1
90
6.- Determinación de los Pivotes: a).- Columna Pivote: -80 (Se escoge el número menor de las variables de decisiones (X₁ , X₂) que se aleja de todos) b).- Fila Pivote: Se le divide a la constante R entre las columnas de pivote que han sobrado (2,1). Curso de investigación con
c).- Número Pivote (charnela): 2 Es la intersección de la columna de pivote y fila pivote (60 menor número).
d).- Resumen del Tablero Simplex: Columna Pivote (< número)
Z
X₁
X₂
S₁
S₂
R
1
-50
-80
0
0
0
0
1
2
1
0
120
0
1
1
0
1
90
Número Pivote ( charnela)
Fila Pivote ( < numero) Curso de investigación con
7.- Calculando las Interaciones: a).- Primera Interación: Z
X₁
X₂
S₁
S₂
R
R₁
1
-50
-80
0
0
0
R₂
0
1
2
1
0
120
R₃
0
1
1
0
1
90
R₂
0
1
2
1
0
120
Fila Pivote R₂ (Nueva)
0
1/2
1
1/2
0
60
80R₂ + R₁ R₁ (Anterior)
1
-50
-80
0
0
Pivote (+80)
0
40
80
40
0
0
480 0 Curso de investigación con
R₂
0
1
2
1
0
120
Fila Pivote R₂ (Nueva)
0
1/2
1
1/2
0
60
-1R₂+ R₃ R₃ (Anterior)
0
1
1
0
1
90
Pivote (-1)
0
-1/2
-1
-1/2
0
-60
∑ R₃ (Nuevo)
0
1/2
0
-1/2
1
30
Curso de investigación con
Nuevo Tablero Simplex: Z
X₁
X₂
S₁
S₂
R
R₁
0
-10
0
40
0
4800
R₂
0
1/2
1
1/2
0
60
R₃
0
1/2
0
-1/2
1
30
b).- Segunda Interación: Columna Pivote (< número) Z
X₁
X₂
S₁
S₂
R
R₁
0
-10
0
40
0
4800
R₂
0
1/2
1
1/2
0
60
R₃
0
1/2
0
-1/2
1
30
Número Pivote ( charnela)
Fila Pivote ( < numero) Curso de investigación con
R₃
0
1
2
1
0
120
Pivote R₃ (Nuevo)
0
1
0
-1
2
60
+10R₃ + R₁ R₁ (Anterior)
1
-10
0
40
0
480 0
Pivote (+10)
0
10
0
-10
20
600
∑ R₁ (Nuevo)
1
0
0
30
20
540 0
R₂ (Anterior)
0
1/2
1
1/2
0
60
Pivote (1/2)
0
-1/2
0
1/2
-1
-30
∑ R₂
0
0
1
1 de investigación -1 30 Curso con
Resumen del Tablero Simplex: Z
X₁
X₂
S₁
S₂
R
R₁
1
0
0
30
20
5400
R₂
0
0
1
1
-1
30
R₃
0
1
0
-1
2
60
8.- Respuesta de Solución: Z
X₁
X₂
S₁
S₂
R
R₁
1
0
0
30
20
5400
R₂
0
0
1
1
-1
30
R₃
0
1
0
-1
2
60
Respuesta: Z = 5400 X₁ = 60 X₂ = 30
Curso de investigación con
CONCLUSIONES Existen
muchos métodos analíticos para resolver programas lineales, sin embargo uno de ellos, llamado método simplex, es el que se usa universalmente debido a su eficiencia computacional. En PL, el término optimizar se usa para indicar la maximización o la minimización de una función según sea conveniente como: requerimiento, capacidades, ganancias, etc. Son funciones que se deben maximizar. En cambio costos, perdidas, accidentes se deben minimizar.
Curso de investigación con
El
método de tablero simplex llega a la solución optima por medio de iteraciones o pasos sucesivos, utiliza los conceptos básicos del algebra matricial. El método de solución del tablero simplex prácticamente son laboriosos, tediosos y consume mucho tiempo cuando ellos son realizados manualmente; por eso se han desarrollado varios softwares que permiten dar soluciones reales concretas y rápidas a cualquier problema de PL como por ejemplo el software SUPER LINDO, WinQsB2, etc. En el problema planteada se ha demostrado con ambos métodos de solución y utilizando el programa así obteniendo los mismos resultados. Curso de investigación con
RECOMENDACIONES El
método grafico se usa para dar solución a dos variables, los resultados se aproximan si se grafica manualmente. Se recomienda el uso del software para el método Grafico y método de tablero simplex , porque con ella da resultados exactos. El método de tablero simplex se usa para dar soluciones a n variables Se recomienda para ambos métodos de solución estructurar el análisis de la función objetiva y sus restricciones , ya de estos dependerán obtener soluciones optimas y por ende tomar decisiones adecuadas. Curso de investigación con
Curso de investigación con
TEMA:
PROGRAMACION LINEAL METODO GRAFICO METODO SIMPLEX
CURSO
: ANALISIS DE SISTEMAS MINEROS (MI-547)
PROFESOR
:MsC. Ing. EDMUNDO CAMPOS ARZAPALO
Curso de investigación con
OBJETIVOS Familiarizarse con algunas aplicaciones básicas de la programación lineal, estudiadas desde un punto de vista algorítmico, adaptado al perfil del ingeniero. Maximizar beneficios o minimizar costos. Facilitar en la solución del PL; como Súper Lindo, WinQSB etc.
Curso de investigación con
INTRODUCCIÓN Investigación
de operaciones es un procedimiento o un enfoque para resolver problemas relacionados con la toma de decisiones en diferente campos de aplicación. El concepto de decisión en la solución de un problema está relacionado con la existencia de diferente alternativas. Maximizar un beneficio o minimizar un costo se logra mediante los métodos de solución de la programación lineal. Curso de investigación con
PROGRAMACION LINEAL Es una técnica de optimización que consiste en la maximización o minimización de una función lineal, llamada función objetivo, sujeta a restricciones también lineales. La programación lineal es una técnica matemática de optimización que permite la istración racional de los recursos (humanos, materiales, económicos). A diversas actividades de la organización, de tal manera que a la vez se cumple con ciertas condiciones que seCurso busca alcanzar de investigación con
RESTRICCIONES son las relaciones entre la variables y parámetros que se representan por desigualdades o ecuaciones, resulta debido a limitaciones de recursos o a ciertas disposiciones técnicas de un problema dado a) Determinar el objeto del problema, el cual puede ser: Maximizar.− utilidades, producción, publicidad, audiencia, etc. Minimizar.− costo, tiempo, distancia, desperdicios, etc. b) Definir las variables del problema, así cual es el sistema de medida a utilizar números de artículos, horas−hombres, horas máquina, etc. c) Establecer las restricciones del problema, en cuanto a materia prima, tiempo, recursos Curso de investigación con financieros, requerimientos de producción, etc.
FORMAS DE PRESENTACION DE PL Forma
canónica de PL
Forma
estandarizada de PL
Sus restricciones son de la forma: “≤” Para el caso de maximización “≥” Para el caso de minimización
Es una forma más sistemática de expresar un problema de PL, aunque este formulado en forma canónica, mixta o genérica es posible transformar a la forma estándar. Todas las restricciones son ecuaciones Forma
mixta de PL
Las ecuaciones de las restricciones tanto para el caso de maximización y minimización indistintamente pueden contener: La igualdad además de la “≤ o ≥” los rangos de existencia también son no negativos . Curso de investigación con
METODOS DE SOLUCION DE PL
MÉTODO
GEOMÉTRICO O
MÉTODO
SIMPLEX
GRAFICO
Curso de investigación con
OBJETIVO DEL MÉTODO GRÁFICO Aprender a resolver gráficamente un modelo de programación lineal de dos variables. Utilizándolo como una herramienta eficaz para obtener una solución óptima.
Curso de investigación con
DEFINICION DEL METODO GRAFICO Las rectas de nivel dan los puntos del plano donde la función objetivo toma el mismo valor. Si la función objetivo es f(x,y) = ax + by + c, la ecuación de las rectas de nivel es de la forma: ax + b y + c = 0 ; a x + b y = k Variando k, se obtienen distintos niveles para esas rectas y, en consecuencia, distintos valores para f(x,y ). Curso de investigación con
GRÁFICO DE UN CONTORNO El
gráfico de un contorno se resume en el gráfico de una igualdad. Los contornos de una función lineal forman una familia de rectas paralelas.
Curso de investigación con
SOLUCIÓN GRÁFICA Determinar
el conjunto factible. Dibujar la recta que identifica el contorno de la función objetivo. Determinar la solución óptima
Curso de investigación con
SOLUCIÓN ÓPTIMA Para
encontrar la solución óptima deslizamos o movemos la recta de la función objetivo paralelamente á sí misma a lo largo de la región factible. La solución óptima es el último punto de la región factible que toca la recta de la función objetivo en su movimiento. Curso de investigación con
EJEMPLO X2
solución óptima
Función objetivo es maximizar función objetivo crece X1
Curso de investigación con
METODO SIMPLEX Es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución. Deberá tenerse en cuenta que este método sólo trabaja para restricciones que tengan un tipo de desigualdad "≤" y coeficientes independientes mayores o iguales a 0, y habrá que estandarizar las mismas para el algoritmo.
Curso de investigación con
TABLERO SIMPLEX BASICO
Z
X1
X2
X3
S1
S2
S3
SOLUCION
Z
1
...
….
….
0
0
0
0
0
S1
0
…
….
….
1
0
0
…
….
S2
0
….
….
….
0
1
0
….
….
S3
0
….
..
…
0
0
1
..
…..
Z
1
….
…
….
..
…
…
….
S1
0
…
…
….
..
...
…
….
X3
0
…
….
….
..
..
…
…
S3
0
…..
….
….
…
…
…
….
Z (Anterior)
1
….
.….
…
0
0
0
0
Pivote(CONJUGADA )
0
..
…
….
0
0
0
…
Nuevo Z
1
…
….
0
0
….
0
...
+
Curso de investigación con
OBSERVACION
Tipo de desigualdad
Tipo de variable que aparece
≥
- exceso + artificial
=
+ artificial
≤
+ holgura
Curso de investigación con
DIAGRAMA DE FLUJO
Curso de investigación con
PROBLEMA DE APLICACIÓN DE METODO SIMPLEX Y METODO GRAFICO En
una Unidad minera se vienen explotando por el método de corte y relleno ascendente mecanizado en los tajeos 1 y 2 de 100 m. de longitud cada uno y se tienen los siguientes datos: Curso de investigación con
Tajeo
1 : producción : 1000 TCS Relación de perforación : Ley : 10 onz Ag / TCS Factor de potencia : 0.29 Nº de taladros : 725 Margen económico actual Tajeo 2 : producción : 800 TCS Relación de perforación : % que el tajeo 1 Ley : 15 onz Ag / TCS Factor de potencia : 0.35 Nº de taladros : 700 Margen económico actual
1 m/TCS Kg/TCS : 25 $/TCS 1 m/TCS menos 10 Kg/TCS : 55 $/TCS Curso de investigación con
En
ambos tajeos se usan juego de barrenos de 5 ,6 y 8 pies y como explosivo dinamita semexa de 65 % de 7x7//8” en peso igual 0.081kg/cartucho, previo estudio de optimización de las operaciones se pueden alcanzar hasta 900 TCS para el tajeo 1 y 1200 TCS para el tajeo 2. Se desea mejorar el margen económico actual así mismo comprobar los valores optimizado con los datos originales. Curso de investigación con
Solución Sea
el tonelaje a producir Tejeo 1 : x1 Tejeo 2 : x2 Función
objetiva
Max (Z) = 25X1+55X2
Producción
de los 2 tajeos 1000 TCS +800 TCS = 1800 TCS Curso de investigación con
Calculando los metros perforados de acuerdo a la producción de cada tejeo 1000 TCS * 1 m/ TCS + 800 TCS * 0.9 m/ TCS = 1720 metros perforados X1 + 0.9X2 ≤ 1720 metros perforados Contenido fino 1000 TCS *10 onzAg/TCS + 800 TCS * 15 onzAg/TCS = 22000 onzAg Entonces 10X1 + 15X2 ≥ 22000 onzAg Kilogramos de explosivos
1000 TCS * 0.29 kg/ TCS + 800 TCS * 0.35kg/ TCS = 570 kg. de explosivos Entonces 0.29X1 + 0.35X2 ≤ 570 kg. De explosivo Curso de investigación con
RESUMIENDO Max (Z) = objetivo : 25X1+55X2 Sujeto a las siguientes restricciones Función
X1 + 0.9X2 ≤ X1 + 0.9X2 ≤ 1720 1720 10X1 + 15X2 ≥ 10X1 ≥ 22000+ 15X2 22000 0.29X1 + 0.35X2 ≤ 570 0.29X1 + 0.35X2 ≤ 570 X1 ≤ 900 X1 ≤ 900 X2 1200 X1 ,X2 ≥ 0 , X2 por la condición de no negatividad ≤ 1200
Curso de investigación con
ADECUANDO LAS ECUACIONES PARA EL MÉTODO GRÁFICO
X1 + 0.9X2 10X1 + 15X2 0.29X1 + 0.35X2 X1 X2
= = = = =
1720 22000 570 900 1200
Curso de investigación con
Igualando cada ecuación a cero hallamos los puntos Abscisas Ordenadas X1 = 1720 X2= 1911 X1 = 2200 X2= 1467 X1 = 1965 X2= 1628 X1 = 900 X2= 0 X1 = 0 X2= 1200 Margen económico actual 1000
TCS *25 $/TCS + 800 TCS * 55$/TCS = 69000U$ Curso de investigación con
SOLUCION DEL METODO GRAFICO Dando
valores arbitrarios a la ecuación de la función objetiva cero Sea Z = 30,000 Entonces X1 = 1200 X2 = 545 Solución X1 = 517.24 X2 = 1200 Curso de investigación con
SOLUCION GRAFICA
Curso de investigación con
COMPROBACION Función objetivo : Max(z) = 25 * 517.24 + 55 * 1200 = 78 931.00 78 931.00 > 69000 Por lo cual se optimizo en 9,931 $ Metros perforados 517.24 + 0.9 * 1200 ≤ 1597.24 1597.24 < 1720 por lo cual se optimizo en 122.76 metro perforados Contenido fino
10 *517.24 + 15 * 1200 ≥ 23172.4 23,172.4 > 22000 por lo cual se optimizo en 1,172.4 Onz Ag Consumo de explosivo 0.29 * 517.24 + 0.35* 1200 ≤ 570 570 = 570 por el cual se optimiza en explosivo Curso de investigación con
SOLUCION POR EL METODO TABLERO SIMPLEX Función
Max (Z) = 25X1+55X2
objetivo : Sujeto a las siguientes restricciones X1 + 0.9X2 ≤ 1720 10X1
+ 15X2 ≥ 22000 0.29X1 + 0.35X2 ≤ 570 X1 ≤ 900 X2 ≤ 1200 X1 ,X2 ≥ 0 , condición de la no negatividad Curso de investigación con
Llevando las ecuaciones a la forma estándar
Max(z) = 25X1 + 55X2 + S2 + S1 + S3 + S4 +S5 –L1
X1
+ 0.9X2 + S1
=
1720
10X1
+ 15X2 - S2 + L1 = 22000 0.29X1 + 0.35X2 + S3 = 570 X1 + S4 = 900 X2 + S5 = 1200 Curso de investigación con
TABLERO SIMPLEX
Curso de investigación con
BASE
Z
X1
X2
S2
S1
S3
S4
S5
L1
SOLUCION
Z
1
-25
-55
0
0
0
0
0
0
0
S1
0
1
0.9
0
1
0
0
0
0
1720
1911.11
S3
0
10
15
-1
0
1
0
0
0
22000
1466.67
S4
0
0.29
0.35
0
0
0
1
0
0
570
1628.57
S5
0
1
0
0
0
0
0
1
0
900
No existe
L1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1200
1200
exc el
Curso de investigación con
NRP
BASE
Z
X1
X2
S2
S1
S3
S4
S5
L1
SOLUCION
Z
1
-25
0
0
0
0
0
0
55
66000
S1
0
1
0
0
1
0
0
0
-0.9
640
640
S3
0
10
0
-1
0
1
0
0
-15
4000
400
S4
0
0.29
0
0
0
0
1
0
0.35
S5
0
1
0
0
0
0
0
1
0
X2
0
0
1
0
0
0
0
0
1
150 517.2414
900
900
1200 No existe
Curso de investigación con
1RA ITERACION:
Z actual
1
-25
-55
0
0
0
0
0
0
0
55xNRP
0
0
55
0
0
0
0
0
55
66000
Nuevo Z
1
-25
0
0
0
0
0
0
55
66000
S1 actual
0
1
0.9
0
1
0
0
0
0
1720
-0.9xNRP
0
0
-0.9
0
0
0
0
0
-0.9
-1080
Nuevo S1
0
1
0
0
1
0
0
0
-0.9
640
S3 actual
0
10
15
-1
0
1
0
0
0
22000
-15xNRP
0
0
-15
0
0
0
0
0
-15
-18000
Nuevo S3
0
10
0
-1
0
1
0
0
-15
4000
S4 actual
0
0.29
0.35
0
0
0
1
0
0
570
-0.35xNRP
0
0
-0.35
0
0
0
0
0
-0.35
-420
Nuevo S4
0
0.29
0
0
0
0
1
0
-0.35
150
S5 actual
0
1
0
0
0
0
0
1
0
900
0xNRP
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Nuevo S5
0
1
0
0
0
0
0
1
0
900
Curso de investigación con
NRP
BASE
Z
X1
X2
S2
S1
S3
S4
S5
L1
SOLUCION
Z
1
0
0
-2.5
0
2.5
0
0
17.5
76000
S1
0
0
0
0.1
1
-0.1
0
0
0.6
240
2400
X1
0
1
0
-0.1
0
0.1
0
0
-1.5
400
No entra
S4
0
0
0
0.02 9
0
0.029
1
0
0.08 5
34
1172.414
S5
0
0
0
0.1
0
-0.1
0
1
1.5
500
5000
X2
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1200 No existe
Curso de investigación con
2DA ITERACION:
Z actual
1
-25
0
0
0
0
0
0
55
66000
25xNRP
0
25
0
-2.5
0
2.5
0
0
-37.5
10000
Nuevo Z
1
0
0
-2.5
0
2.5
0
0
17.5
76000
S1 actual
0
1
0
0
1
0
0
0
-0.9
640
-1xNRP
0
-1
0
0.1
0
-0.1
0
0
1.5
-400
Nuevo S1
0
0
0
0.1
1
-0.1
0
0
0.6
240
S4 actual
0
0.29
0
0
0
0
1
0
-0.35
150
-0.29xNRP
0
-0.29
0
0.029
0
-0.029
0
0
0.435
-116
Nuevo S4
0
0
0
0.029
0
-0.029
1
0
0.085
34
S5 actual
0
1
0
0
0
0
0
1
0
900
-1xNRP
0
-1
0
0.1
0
-0.1
0
0
1.5
-400
Nuevo S5
0
0
0
0.1
0
-0.1
0
1
1.5
500
X2 actual
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1200
0xNRP
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Nuevo X2
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1200
Curso de investigación con
NRP
BASE
Z
X1
X2
S2
S1
S3
S4
S5
L1 SOLUCION
Z
1
0
0
0
0
0
86.20 7
0
24.82 78931.034 8 5
S1
0
0
0
0
1
0
3.448
0
0.307 122.75862
X1
0
1
0
0
0
0
3.448 3
0
517.24137 1.207 9
S2
0
0
0
1
0
-1
34.48 3
0
2.931 1172.4137 9
S5
0
0
0
0
0
0
3.448
1
1.206 382.75862 9 1
X2
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1200
Curso de investigación con
3RA ITERACION:
Z actual
1
0
0
-2.5
0
2.5
0
0
17.5
76000
2.5xNRP
0
0
0
2.5
0
-2.5
86.21
0
7.328
2931.0345
Nuevo Z
1
0
0
0
0
0
86.21
0
24.83
78931.034
S1 actual
0
0
0
0.1
1
-0.1
0
0
0.6
240
-0.1xNRP
0
0
0
-0.1
0
0.1
-3.448
0
-0.293
-117.2414
Nuevo S1
0
0
0
0
1
0
-3.448
0
0.307
122.75862
X1 actual
0
1
0
-0.1
0
0.1
0
0
-1.5
400
0.1xNRP
0
0
0
0.1
0
-0.1
3.448
0
0.293
117.24138
Nuevo X1
0
1
0
0
0
0
3.448
0
-1.207
517.24138
S5 actual
0
0
0
0.1
0
-0.1
0
1
1.5
500
-0.1xNRP
0
0
0
-0.1
0
0.1
-3.448
0
-0.293
-117.2414
Nuevo S5
0
0
0
0
0
0
-3.448
1
1.207
382.75862
X2 actual
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1200
0xNRP
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Nuevo X2
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1200
Curso de investigación con
RESULTADOS De donde: De donde: X1 = 517.24 X1 =1200 517.24 X2= X2= Z = 1200 78931.034 Z = 78931.034
Curso de investigación con
INTRODUCCIÓN AL PROGRAMA LINDO LINDO (LINEAR, INTERACTIVE, AND OPTIMIZER) Es una aplicación para computadoras que se utiliza para resolver problemas de programación lineal, este sistema interactivo ayuda a la toma de decisiones que contiene herramientas muy útiles para resolver distintos tipos de problemas en el campo de la investigación operativa. El sistema está formado por distintos módulos, uno para cada tipo de modelo o problema Lindo es simple de utilizar desde el teclado, ingresar el modelo facil de hacer. Curso de investigación con
Inicio del programa
Curso de investigación con
Forma de ingresar un modelo al LINDO:
Max o Min Subject to (st) Restricciones End
MODELO EN EL LINDO DEL EJEMPLO PASO 1 : Max(z) 25X1 + 55X2 PASO 2 : ST PASO 3 : DIGITAR LAS RESTRICCIONES X1 + 0.9X2 ≤ 1720 10X1 + 15X2 ≥ 22000 0.29X1 + 0.35X2 ≤ 570 X1 = 900 X2 = 1200 End Go
Curso de investigación con
Curso de investigación con
RESULTADOS DE LINDO
Curso de investigación con
Introducción al programa WinQSB WinQSB es un sistema interactivo de ayuda a la toma de decisiones que contiene herramientas muy útiles para resolver distintos tipos de problemas en el campo de la investigación operativa. El sistema está formado por distintos módulos, uno para cada tipo de modelo o problema. Entre ellos destacaremos los siguientes: Curso de investigación con
MODULOS •
Linear and Integer Programming • Goal Programming • Quadratic Programming • Network Modeling • Nonlinear Programming • PERT_M Curso de investigación con
Linear programming (LP) and integer linear programming (ILP) Este módulo incluye los programas necesarios para resolver el problema de programación lineal gráficamente o utilizando el algoritmo del Simplex; también permite resolver los problemas de programación lineal entera utilizando el procedimiento de Ramificación y Acotación. Curso de investigación con
PROGRAMA WinQSB Ingresar
al programa winQSB Clik en el icono
Curso de investigación con
SIGUIENTE
Curso de investigación con
Ingresar los datos en el cuadro
Curso de investigación con
En la barra de munu clic como se muestra en la fig.
Curso de investigación con
- Resultados de la función objetiva y los nuevos valores de X1 y X2
Curso de investigación con
- Iteraciones en el programa winQSB
Curso de investigación con
- Salir de esta ventana para la grafica
Curso de investigación con
SIGUIENTE
Curso de investigación con
SIGUIENTE
Curso de investigación con
Click Ok
Curso de investigación con
PROBLEMA: En la unidad minera EL PORVENIR . La sección 1, tiene un frente de avance en desarrollo y otro frente de avance en exploración; sin embargo la Superintendencia de Planeamiento ha indicado como objetivo del mes, un avance de 50 metros para exploración y 80 metros para desarrollo. Sin embargo por situaciones operacionales el avance de los dos frentes no debe de exceder a los 90 metros; además el frente de desarrollo es el doble al de exploraciones pero sin exceder a los 120 metros. Se, pide maximizar los frentes de avance
Curso de investigación con
SOLUCIÓ N 1.- Variables de Decisiones: X₁ = variable de desición, X₂= variable de desición
2.- Función Objetiva: Max Z = 50X₁ + 80X₂
3.- Sujeto a Restricciones: X₁ + 2X₂ ≤ 120 X₁ + X₂ ≤ 90 X₁ , X₂ ≥ 0
4.- Programación Lineal a Forma estandar: Z – 50X₁ - 80X₂ + =0 X₁ + 2X₂ + S₁ + = 120 X₁ + X₂ S₂ = 90
5.- Expresando en Forma de Tablero Simplex: Z X₁ X₂ S₁ S₂
R
1
-50
-80
0
0
0
0
1
2
1
0
120
0
1
1
0
1
90
6.- Determinación de los Pivotes: a).- Columna Pivote: -80 (Se escoge el número menor de las variables de decisiones (X₁ , X₂) que se aleja de todos) b).- Fila Pivote: Se le divide a la constante R entre las columnas de pivote que han sobrado (2,1). Curso de investigación con
c).- Número Pivote (charnela): 2 Es la intersección de la columna de pivote y fila pivote (60 menor número).
d).- Resumen del Tablero Simplex: Columna Pivote (< número)
Z
X₁
X₂
S₁
S₂
R
1
-50
-80
0
0
0
0
1
2
1
0
120
0
1
1
0
1
90
Número Pivote ( charnela)
Fila Pivote ( < numero) Curso de investigación con
7.- Calculando las Interaciones: a).- Primera Interación: Z
X₁
X₂
S₁
S₂
R
R₁
1
-50
-80
0
0
0
R₂
0
1
2
1
0
120
R₃
0
1
1
0
1
90
R₂
0
1
2
1
0
120
Fila Pivote R₂ (Nueva)
0
1/2
1
1/2
0
60
80R₂ + R₁ R₁ (Anterior)
1
-50
-80
0
0
Pivote (+80)
0
40
80
40
0
0
480 0 Curso de investigación con
R₂
0
1
2
1
0
120
Fila Pivote R₂ (Nueva)
0
1/2
1
1/2
0
60
-1R₂+ R₃ R₃ (Anterior)
0
1
1
0
1
90
Pivote (-1)
0
-1/2
-1
-1/2
0
-60
∑ R₃ (Nuevo)
0
1/2
0
-1/2
1
30
Curso de investigación con
Nuevo Tablero Simplex: Z
X₁
X₂
S₁
S₂
R
R₁
0
-10
0
40
0
4800
R₂
0
1/2
1
1/2
0
60
R₃
0
1/2
0
-1/2
1
30
b).- Segunda Interación: Columna Pivote (< número) Z
X₁
X₂
S₁
S₂
R
R₁
0
-10
0
40
0
4800
R₂
0
1/2
1
1/2
0
60
R₃
0
1/2
0
-1/2
1
30
Número Pivote ( charnela)
Fila Pivote ( < numero) Curso de investigación con
R₃
0
1
2
1
0
120
Pivote R₃ (Nuevo)
0
1
0
-1
2
60
+10R₃ + R₁ R₁ (Anterior)
1
-10
0
40
0
480 0
Pivote (+10)
0
10
0
-10
20
600
∑ R₁ (Nuevo)
1
0
0
30
20
540 0
R₂ (Anterior)
0
1/2
1
1/2
0
60
Pivote (1/2)
0
-1/2
0
1/2
-1
-30
∑ R₂
0
0
1
1 de investigación -1 30 Curso con
Resumen del Tablero Simplex: Z
X₁
X₂
S₁
S₂
R
R₁
1
0
0
30
20
5400
R₂
0
0
1
1
-1
30
R₃
0
1
0
-1
2
60
8.- Respuesta de Solución: Z
X₁
X₂
S₁
S₂
R
R₁
1
0
0
30
20
5400
R₂
0
0
1
1
-1
30
R₃
0
1
0
-1
2
60
Respuesta: Z = 5400 X₁ = 60 X₂ = 30
Curso de investigación con
CONCLUSIONES Existen
muchos métodos analíticos para resolver programas lineales, sin embargo uno de ellos, llamado método simplex, es el que se usa universalmente debido a su eficiencia computacional. En PL, el término optimizar se usa para indicar la maximización o la minimización de una función según sea conveniente como: requerimiento, capacidades, ganancias, etc. Son funciones que se deben maximizar. En cambio costos, perdidas, accidentes se deben minimizar.
Curso de investigación con
El
método de tablero simplex llega a la solución optima por medio de iteraciones o pasos sucesivos, utiliza los conceptos básicos del algebra matricial. El método de solución del tablero simplex prácticamente son laboriosos, tediosos y consume mucho tiempo cuando ellos son realizados manualmente; por eso se han desarrollado varios softwares que permiten dar soluciones reales concretas y rápidas a cualquier problema de PL como por ejemplo el software SUPER LINDO, WinQsB2, etc. En el problema planteada se ha demostrado con ambos métodos de solución y utilizando el programa así obteniendo los mismos resultados. Curso de investigación con
RECOMENDACIONES El
método grafico se usa para dar solución a dos variables, los resultados se aproximan si se grafica manualmente. Se recomienda el uso del software para el método Grafico y método de tablero simplex , porque con ella da resultados exactos. El método de tablero simplex se usa para dar soluciones a n variables Se recomienda para ambos métodos de solución estructurar el análisis de la función objetiva y sus restricciones , ya de estos dependerán obtener soluciones optimas y por ende tomar decisiones adecuadas. Curso de investigación con
Curso de investigación con
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