Metodos Numericos 3r403h

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MÉTODOS NUMÉRICOS

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS (Decana de América) FACULTAD DE CIENCIAS MATEMATICAS

CURSO METODOS NUMERICOS I - II

PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ.

--2012— PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ

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MÉTODOS NUMÉRICOS

INDICE Pág.

INDICE………………………………………………………………………………..…2 INTRODUCCIÓN…………………………………………..……………………...…... 4 ERROR ABSOLUTO…………………………………………..………..………………5 Teorema de Bolzano…………………………………………………….……….….……6 MÉTODO DE BISECCIÓN………………………………………………………….….7 MÉTODO DE REGULA FALSI O MÉTODO DE FALSA POSICIÓN……………….10 MÉTODO DE PUNTO FIJO O MÉTODO DE APROXIMACIONES SUCESIVA…..12 MÉTODO DE LA SECANTE…………………………………………………………...15 MÉTODO DE NEWTON – RAPHSON…………………………………..….…………17 MÉTODO DE NEWTON – RAPHSON EN DOS VARIABLES…………………..…..24 INTERPOLACIÓN………………………………………………………………..…….27 INTERPOLACIÓN DIRECTA DE NEWTON -PROGRESIVO………………..…….28 INTERPOLACIÓN DE NEWTON REGRESIVO (NR)…………………………..……31 INTERPOLACION DIRECTA CENTRAL……………………………………….……32 INTERPOLACIÓN PARA EL CASO DE DATOS NO EQUIDISTANTES…….….…35 INTERPOLACION Y APROXIMACION DE LAGRANGE………………….………38 PROBLEMAS RESUELTOS…………………………………………………….……..42 METODOS DIRECTOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LIENALES……..…….48 Método Crout-Doolitle…………………………………………………………………..50 Método de Cholesquy……………………………………………..…………………….52 Método Tridiagonal para sistemas de ecuaciones lineales………………………………59

PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ

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Método Pentadiagonal para sistemas de ecuaciones lineales…………………………..65 NORMA DE UNA MATRIZ………………………………………………………......73 SOLUCION ITERATIVA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES………...75 Método de Jacobi……………………………………………………………………….75 Método de Gauss- Seidel……………………………………………………………….85 DIFERENCIA NUMERICA…………………………………………………………..99 INTEGRACIÓN NUMERICA…………………………………………….………….105 EXTRAPOLACION DE RICHARDSON- (E.R)……………………………………..113 INTEGRACION DE ROMBERG…………………………………………………….123 SOLUCIÓN NUMÉRICA DE E. D.O. CON VALOR INICIAL…………………….130 Método de Euler……………………………………………………………………….130 Método de Taylor de orden K…………………………………………………………133 Predictor – corrector…………………………………………………………………...138 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR………………………140 CONCLUSIONES……………………………………………………..……………...143


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INTRODUCCIÓN En la práctica de la ingeniería y ciencias es frecuente tener la necesidad de resolver un sistema de ecuaciones lineales. Estos sistemas aparecen en muy diversos problemas, ya sea como la solución completa de un problema ó al menos como parte de ella. Dada esta necesidad frecuente, se requiere resolverlos en forma eficiente.

Para una mejor organización y búsqueda rápida de cada tema se ha implementados con un índice al principio del trabajo para su fácil ubicación de los temas ya que el texto completo se encuentra enumerada de principio a fin, además en el final se ha considerado incluir problemas resueltos de los diferentes temas estudiados.

Como los algoritmos de los métodos ya están disponibles en la mayoría de los libros de texto sobre la materia, se explicara en la medida de lo posible, detalles de implementación (personales) de los métodos directos (que son mas difíciles de programar). El lenguaje de programación idóneo para tal fin será matlab 6.0

Damos desde ya los agradecimientos a todas aquellas personas que dieron su apoyo para completar el trabajo tanto en ideas, criticas para su mejoramiento sin importar la magnitud de la ayuda han sido de gran ayuda y esperando aun recibir su aportes para la continua superación en los próximos trabajos que se han de mostrar.


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ERROR ABSOLUTO Es la diferencia entre un valor de exacto y una de sus aproximaciones. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida. DEFINICION DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS EXACTAS: Se define por la siguiente relación: ; Donde: m=es la descomposición polinómica. n= numero de cifras significativas exactas. DEFINICION DE CIFRAS DECIMALES EXACTAS: Se define por la siguiente relación: ; Donde: t=numero de cifras decimales exactas. Ahora sea: P = ln(5) Entonces: P= ln(5) = 1.609437912 Y sea sus siguientes aproximaciones: P1 = 1.60123456 P2 = 1.609413131 P3 = 1.6094372 Donde: m = 0 Ahora hallamos sus Ea de cada uno. Ea1 = | p – p₁ | = 0.008203 = 0.008 = 0.8x10¯³ = 0.001 = 0.1x10¯² Ea₂ = |p - p₁ | = 0.000025 = 0.00003 = 0.3x10¯´ Ea₃ = |p - p₃ | = 0.0000012 = 0.00001 = 0.1x10¯µ

Ahora hallaremos el número de cifras significativas exactas: Para p₁: 0.1x10¯² ≤ 0.5x10¯ⁿ⁺¹ -2 = -n+1 n = 3 ---> p₁ tiene 3 cifras significativas exactas. PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ

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Para p₂: 0.3x10¯´ ≤ 0.5x10¯ⁿ⁺¹ -4 = -n+1 n = 5 ---> p₂ tiene 5 cifras significativas exactas. Para p₃: 0.1x10¯µ ≤ 0.5x10¯ⁿ⁺¹ -5 = -n+1 n = 6 ---> p₃ tiene 6 cifras significativas exactas. Ahora hallaremos el número de cifras decimales exactos: Para p₁: 0.1x10¯² ≤ 0.5x10¯™ K=2 Entonces p₁ tiene 2 cifras decimales exactas. Para p₂: 0.3x10¯´ ≤ 0.5x10¯™ K=4 Entonces p₂ tiene 4 cifras decimales exactas. Para p₃: 0.1x10¯µ ≤ 0.5x10¯™ K=5 Entonces p₃ tiene 5 cifras decimales exactas. TEOREMA DE BOLZANO (TB) Sea la ecuación no lineal f(x) =0; Donde f(x) es función no trascendente (trigonométrica, exponencial, logarítmica o polinomial), , Si ( ) ( ) ( )

Aplicación del Teorema de Bolzano: Sea f(x) = x.cos(x) – 1 x

f(x)

-2

-

-1

-

0

-

1

-

2

+


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Como f(1).f(2) < 0 ---> existe x* que pertenece a [1,2]

MÉTODO DE BISECCIÓN Dado la ecuación no lineal f(x) = 0 /. Existe la raíz X* [a, b] por T.B. El método de bisección consiste en hallar el promedio simple de cada intervalo [ ] X*. Algoritmo de bisección: P-1.- Dado la ecuación f(x) = 0 /. Existe la raíz X* [a, b] por T.B. P-2.- Generar la sucesión {xi}  x* mediante la siguiente relación ; i = 0, 1, 2,3……. P-3. – Hallar

( ) ( )

P-4. - Dejar de iterarse Parar si |

|

Caso contrario ir al paso numero 2.

Ejemplo 01. ( )

X* [-1,2]

Obtener una solución con 2 cifras ex Se deja de iterar si | i=0 ,

(

) (

i=1 ,

-

,

| -

) -

,

-


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|

MÉTODOS NUMÉRICOS

| (

) (

i=2 ,

) -

|

,

-

| (

) (

i=3 ,

)

-

|

,

-

| (

) (

i=4 ,

)

-

|

,

-

|

X* = -0.03125

Ejemplo 02. ( )

X* [-2,1]

Obtener una solución con 2 cifras ex Se deja de iterar si | i=0 ; ,

(

) (

-

,

|

-

)


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i=1 ; ,

|

-

,

-

| (

) (

i=2 ,

) -

|

,

-

| (

) (

i=3 ,

) -

|

,

-

| (

) (

i=4 ,

) -

|

,

-

| (

) (

i=5 ,

|

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) -

,

-

|

X* = -1.953125


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MÉTODOS NUMÉRICOS

MÉTODO DE REGULA FALSI O MÉTODO DE FALSA POSICIÓN Es un método similar al método de bisección en la que en vez de hallar el promedio simple de dos intervalos , - --> X*. El método de R.F. determina el promedio ponderado de los intervalos , - --> X*. Algoritmo del método de R.F. ( )=0

Paso 1: Dada la ecuación

Paso 2: Generar la sucesión: {xn} x* mediante la relación: ( )

( )

( )

(

)

Paso 3: Hallar

( ) ( )

Paso 4: Parar si |

|

Ejercicio 1: ( )

, Con X* [1,3]


-

,

( ) ( ) (

) ( )

i=1

,

-

|

( ) ( )

,

-


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UNMSM ( ) ( ) |

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( ) ( )

| ( ) ( )

i=2 ,

-

,

-

( ) ( ) |

( ) ( )

|

X*=0.804

Ejercicio 2 ( )

; Con X* [-2,2]


-

,

-

( ) ( ) ( i=1

( ) ( )

) ( ) ,

-

( ) ( ) |

|

,

( ) ( )

|

X*=-0.20713


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MÉTODO DE PUNTO FIJO O MÉTODO DE APROXIMACIONES SUCESIVAS Algoritmo: Paso 1: Dado la ecuación ( )=0 / exista la raíz X* De

( )=0 despejar

[a, b] por el T.B.

de diferentes formas y obtener una ecuación de la siguiente forma:

= g (x)……….. (2) Donde g(x) es llamado función de iteración.

Si x = x* es raíz o solución de (2) también lo será de ( )=0, X* que satisface (2) es llamado punto fijo. Paso 2: Generar la sucesión: {xn} x* Mediante la siguiente relación: Xn+1 = g (Xn) ; Donde n= 0,1,2,3,… Tomando como valor

arbitrario /

, b]

Paso 3: Dejar de iterar si: |

|

Caso contrario ir al paso 2.

Condición de convergencia: Existe {xn} x* Si se cumple lo siguiente: a) g (x)

, b]

b) ∃ g´( )

| g´( )|

L

; ∀

b>

L es llamado constante de Lipschitz L = Max {| g´ (a) |, | g´ (b) |}


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Donde también consideramos obvio L ,a, b]

( ) es continua y diferenciable en [a, b].

Ejemplos: Por el método del punto fijo obtener una solución con dos cifras significativas exactas. F(x) = 10.sen(x). -1 Primero hallaremos el intervalo donde exístela raíz. x

F(x)

-1

-23.87

-0.5

-8.90

0

-1

0.5

1.91

1.5

1.23

Verificamos su condición de convergencia, veremos si cumple 1° condición. F(x) = 10.sen(x).

-1 = 0 ---> x = arcsen (

Análisis para g₁(x) = arcsen(

) = g₁(x)

)

1° condición: g₁(x) I = [a,b] = [0,1] g₁(0) = 0.10 g₁(1) = 0.28 Por lo tanto g₁(x) cumple la 1° condición 2° Condición: ∃ g´₁ ∀

| g´₁ ( )| ≊,

L -


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S g₁ ( ) arcsen( ) ---> g´₁ ( ) ( | g´₁ ( ) | = 0.11 < 0.9 ∀ | g´₁ (

/√

)

) | = 0.25 < 0.9 ∀

L = max{| g´₁ ( L L ,

) | , | g´₁ ( ) | } --- g´₁ ( ) , cumple 2° condición

Siendo su relación de recurrencia lo siguiente: Xn+1 = g₁(Xn) = arcsen( ) ; n = 0,1,2,…… Obtener una solución con 2 cifras significativas exactas. OBSERVACIÓN: x0 puede tomar cualquier valor /.x0 [a, b] Sea x0=0.5 X₀ arbitrario; Donde: X₀ = 0.5 n=0 X₁ = arcsen( X₁ = 0.1656

)

n =1 X₂ = arcsen( X₂= 0.1183

)

n =2 X₃ = arcsen( X₃ = 0.1128

)

| X₃ - X₂| = 0.05 = 0.5x10¯¹ ≤ 0.5x10¯¹ Por lo tanto x₃ = X* con 2 cifras significativas exactas.


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MÉTODOS NUMÉRICOS

MÉTODO DE LA SECANTE Algoritmo: Paso 1: Dado la ecuación ( ) =0. / ∃ x*

, b].

Paso 2: Generar la {xi} x* Mediante: (

=

)(

) )

(

(

)(

(

)

)

; Donde i =2, 3,4,…


|


Ejemplos: Por el método de la secante obtener una solución con dos cifras significativas exactas. F(x) = 10.sen(x).

-1

Primero hallaremos el intervalo donde exístela raíz. x

F(x)

-1

-23.87

-0.5

-8.90

0

-1

0.5

1.91

1.5

1.23

Se observa que: f (0).f (0.5) <0 ---> Existe x*

,

-

Entonces ahora: Sea x₀ = 0 y x₁ = 0.5 Para i = 2:


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MÉTODOS NUMÉRICOS

x₂ = f(0.5).0 - f(0).0.5 = 0.551 f(0.5) - f(0) Para i = 3:

x₃ = f(0.551).0.5 - f(0.5).0.551 = 0.022 f (0.551) - f(0.5) Vemos que |x₃ - x₂| = 0.0529 = 0.5x10¯¹ Como: 0.5x10¯¹ ≤ 0.5x10¯¹ Donde m = 0 y n = 2 Entonces x* = x₃ Por lo tanto x₃ = 0.022 es la raíz con 2 cifras significativas exactas.

F(x) = 0.91X³ - 4.9X² + 11.9X – 5 x

F(x)

-1

-22.71

-0.5

-12.29

0

-5.00

0.5

-0.16

1.5

4.89

Se observa que: f(0.5).f(1.5)<0 ---> Existe x* Entonces ahora: Sea x₀ = 0.5 y x₁ = 1.5

,

-

Para i = 2: x₂ = f(1.5).0.5 - f(0.5).1.5 = 0.89 f(1.5) - f(0.5) Para i = 3:


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MÉTODOS NUMÉRICOS

x₃ = f(0.596).1.5 - f(1.5).0.596 = 1.20 f(0.596) - f(1.5) Vemos que |x₃ - x₂| =0.031 = 0.3x10¯¹ Como: 0.3x10¯¹ ≤ 0.5x10¯¹ Donde m = 0 y n = 2 Entonces x* = x₃ Por lo tanto x₃ = 1.20 es la raíz con 2 cifras significativas exactas.

MÉTODO DE NEWTON – RAPHSON El Método de Newton-Raphson es ampliamente utilizado para encontrar las raíces de la ecuación f(x)=0, ya que converge rápidamente, la contra es que uno debe conocer la derivada de f(x) y se necesita una aproximación inicial muy cercana a la raíz. Se requiere que f(x) sea doblemente continua y diferenciable en [a, b]. Algoritmo: Paso 1: Dado la ecuación f(x) = 0 / Existe la raíz X*

, b] por T.B.

Paso 2: Generar la sucesión {xn} x* mediante la siguiente relación de recurrencia. =

-

(

)

(

)

; n=0, 1, 2,…


|


Convergencia de N-R. Existe {xn} x* Si: |

( ) ´´( ) ( ´( ))

|<1


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MÉTODOS NUMÉRICOS

Ejemplo: Sea f(x)=

-3x; donde x*

,

-

Primero analizamos su convergencia:

( ) ´´( ) ( ´( ))

|

| X₀ = 0 < 1 

= 0.2479 <1

Si: ( )=

-3x

( )=

-3

( ) |

( ) ´´( ) ( ´( ))

| x₀ = 1 < 1  Existe {xn} x* Por el método de N-R con

=0.1

Obtendremos una solución con 4 cifras significativas exactas. n=4 Se deja de iterar si |

|

=0.5*10¯´

n=0 =

-

(

)

(

)

Entonces: =

-

Observación: Si

= 0.52493063 =0.5, estaría más cercano a la raíz.

n=1 =

-

=0.61315951

-

= 0.619033363

n =2 =


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MÉTODOS NUMÉRICOS

n =3 =

-

|

= 0.69001281

| = 0.000027923 = 0.3*10¯´

Entonces: x* =

con 4 cifras significativas exactas.

METODO DE PUNTO FIJO O METODO DE APROXIMACIONES SUCESIVAS PARA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES

Dado el Sistema: F(x, y) = 0…… (1) G(x, y) = 0…… (2)

De (1) y (2), despejamos de alguna forma x e y para obtener un sistema de la siguiente forma: x = f(x, y) = f…… (3) y = g(x, y) = g…… (4)

La solución de (3) es solución de (1). La solución de (4) es solución de (2).

* Algoritmo del Punto Fijo: 1º Paso: Dado el sistema:

F(x, y) = 0 G(x, y) = 0 Despejar x ^ y, y obtener el siguiente sistema. x = f(x, y) = f y = g(x, y) = g


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MÉTODOS NUMÉRICOS

2º Paso: Generar la sucesión: {Xn} xk ^ {yn} Yk Mediante la siguiente relación de recurrencia:

n = 0, 1, 2,…

3º Paso: Dejar de iterar si:

|𝑋𝑛 |𝑌𝑛

𝑋𝑛 | ó 𝑌𝑛 ; |

ℰ ℰ

C.C. ir al 2º Paso.

Condición de convergencia del punto fijo: ∃ {Xn}

xk ^

∃ {yn}

Yk

Si se cumple lo siguiente: | |(

)

|

)

|(

| |( ^ | |(

) )

Ejemplo: Sea el sistema. … (1) ⁄

⁄

… (2)


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MÉTODOS NUMÉRICOS

Localizar el intervalo inicial (x0, y0) por el T.B.

De (1) y (2) se tiene: ( )

⁄

(

)

⁄

Con intervalo de longitud = l = 1

x -2 -1 0 1 2 3

( ) ∄ +

𝑓( ) 𝑓( )

∃ 𝑥⬚

,

-

Con intervalo de longitud = l = 0.1

x 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3

( ) + + +

) 𝑓(

𝑓(

)

∃𝑥

( )

,

-

;

Verificar su condición de convergencia De:

(

)


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UNMSM De:

⁄

MÉTODOS NUMÉRICOS

⁄

(

(

Se requiere que se cumpla: | |(

) 0

)

⁄

)

⁄

1

=1 <1 ⁄

. ⁄

.

| |

)

)

| |( +

(

/

/

⁄

⁄

⁄

⁄

| |(

)

Como L = 1 ∢ 1 → la solución puede converger o no ^

|

|(

)

|

0.9

)

|(

+

0

|

|(

= 0.9 < 1

)

Obtener una solución con dos cifras significativas exactas (m = 2) Se deja de iterar si: | | 0.5*10m-n+1 /m=0, n=2 0.5*10-1 ó | | 0.5*10-1 Sus relaciones de recurrencia son: (

)

(

)

(

⁄

*

⁄

^

Iterando: n = 0; ITERACION INICIAL; con X0 = 2.7 ^ Y0 = 2.8 (

⁄

*

⁄

^


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MÉTODOS NUMÉRICOS

n = 1; PRMERA ITERACION; con X1 = (

⁄

*

^ Y1 =

⁄

^

n = 2; SEGUNDA ITERACION; con X2 = (

⁄

*

^ Y2 =

⁄

^

n = 3; TERCERA ITERACION; con X3 = (

⁄

*

^ Y3 =

⁄

^

n = 4; CUARTA ITERACION; con X4 = (

⁄

*

^ Y4 =

⁄

^

n = 5; QUINTA ITERACION; con X5 = (

⁄

*

^ Y5 =

⁄

^

n = 6; SEXTA ITERACION; con X6 = (

⁄

*

^ Y6 =

⁄


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MÉTODOS NUMÉRICOS

^

n = 7; SEPTIMA ITERACION; con X7 = ⁄

(

*

^ Y7 =

⁄

^

Si: | |

| = 0.02 = 0.2*10-1 0.5*10-1 ^ | = 0.1*10-1 0.5*10-1 Cumple con las condiciones dadas, por tanto deja de iterar.

METODO DE NEWTON – RAPSON (N.R) El sistema debe de estar en la forma: F = F(x, y) = 0 G = G(x, y) = 0 Para que tenga solución su Jacobiano = J(x, y) = J ≠ 0

𝐽

𝐹𝑥 𝐺𝑥

𝐹𝑦 ≠ 𝐺𝑦

* Algoritmo de N.R. 1º Paso:

Dado el sistema: F(x, y) = 0 G(x, y) = 0 2º Paso: Generar la sucesión: {Xn} xk ^


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MÉTODOS NUMÉRICOS

{yn}

Yk

Mediante la siguiente relación de recurrencia:

𝑋𝑛

𝐹 𝐺

𝑋𝑛

𝐹𝑦 𝐺𝑦

(𝑥𝑛 𝑦𝑛 )

𝐽(𝑥 𝑦)(𝑥𝑛 𝑦𝑛)

;

𝑛

…

𝑛

…

^

𝑌𝑛

𝐹𝑥 𝐺𝑥

𝑌𝑛

𝐹 𝐺

(𝑥𝑛 𝑦𝑛 )

𝐽(𝑥 𝑦)(𝑥𝑛 𝑦𝑛 )

;

Parar si:

|𝑋𝑛 |𝑌𝑛

𝑋𝑛 | ó 𝑌𝑛 |

ℰ ℰ C.C. ir al 2º Paso.

Ejemplo:

⁄

(

⁄

) ( (

) )

⁄

⁄


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⁄

MÉTODOS NUMÉRICOS

⁄

⁄

⁄

𝐽(𝑥 𝑦)

⁄

. 𝑥

𝑦

⁄

⁄

⁄

𝑦

⁄

𝑥

⁄

/

*Obtener una solución con dos cifras significativas exactas (m = 2). Iterando: n = 0; ITERACION INICIAL; con X0 = 2.7 ^ Y0 = 2.8 |

⁄

⁄

⁄ ⁄

(

|

⁄

⁄

⁄ ⁄

(

⁄

| *

|

⁄ ⁄

⁄

*

n = 1; PRIMERA ITERACION; con X1 = 2.7629 ^ Y1 = 2.8937 |

⁄

(

⁄

⁄ ⁄

⁄


⁄

| *

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MÉTODOS NUMÉRICOS |

⁄

(

Si: | |

| = 0.0003 = 0.3*10-3 ^ | = 0.0005 = 0.5*10-3

⁄ ⁄

|

⁄ ⁄

⁄

*

0.5*10-3 0.5*10-3

Cumple con las condiciones dadas, por tanto deja de iterar.

INTERPOLACIÓN Supongamos que se conoce f0 , f1, f2, …….fn valores correspondientes a X0, X1, X2, ….., Xn valores independientes de una variable independiente X.( X0<X1<…<Xn) entonces tenemos dos tipos de interpolación.

a) Interpolación directa.- consiste en que dado un valor XP diferente de los Xi pero correspondido entre X0 y Xn, se desea hallar el valor de su imagen fP

b) Interpolación inversa.- consiste en que dado el valor de la imagen fP se desea hallar el valor XP que genera dicha imagen.


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MÉTODOS NUMÉRICOS

1.- INTERPOLACIÓN DIRECTA LINEAL XP = valor a interpretar

f

FP = f (XP) imagen de XP

F(X)

(X1,f1) (X0,f0 ) (XP,fP)

Xo

XP

X1

X

n

INTERPOLACIÓN DIRECTA DE NEWTON -PROGRESIVO Y NEWTON – REGRESIVO. Para un conjunto de (n+1) puntos igualmente espaciados Interpolación consiste, en dado un valor no considerado , en la tabla, se debe hallar su imagen . Hay dos tipos de Interpolación. A) Interpolación Directa. Consiste en que dado se debe hallar su imagen . B) Interpolación Inversa. Consiste en que dado el valor de la imagen , se debe hallar el valor

.

1) Interpolación Directa de Newton Progresivo (IDNP) Se utiliza cuando se desea interpolar un valor Utiliza la siguiente fórmula.

𝑓𝑝

𝑓

P(P

)…(P (n

))

n!

Donde

P(P

P∆𝑓

,

,

) !

dado al principio de la tabla o

∆ 𝑓

P(P

)(P !

)

∆ 𝑓

sector de la tabla.

⋯

∆n 𝑓

-

Utiliza la siguiente Tabla de omisión de Términos (T.0.T)


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MÉTODOS NUMÉRICOS ∆

Newton Progresivo Newton Regresivo

∆

4

∆

8

12

∆ 16

Observación: Si

|∆

|<4 Se tiene Inter. Directa Lineal y se utiliza la fórmula de N.P. hasta la ∆ .

sea;

Si

|∆

|<8

Se tiene Inter. Directa No Lineal (IDNL) y se utiliza la fórmula de N.P. hasta la

|<12

P(P

∆

Diferencia, o sea;

Si |∆

Diferencia, o

) !

∆

.

Se utiliza IDNL y en la formula de NP se utiliza hasta la P(P

∆

) !

∆

+

P(P

)(P

)

!

∆

diferencia, osea

.

(4) Tanto en (1),(2) y (3) solo se considera las cifras significativas. Ejemplo 1: En la Sgte. Tabla si

( )

1

1.1

1.2

1.3

4

4.3

4.6

4.9

=1.05, hallar

Sol:

∆

( )

1 4 xp=1.05 f p =? 1.1 4.3

∆ 3=∆ 0=∆

3 1.2

4.6

0 3

1.3

Como|∆ |<4 se aplica IDL y se utiliza de NP hasta la Diferencia anterior o sea hasta la diferencia |∆

|=0<4

4.9


Pág. 29

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

→

∆

P=0.5

(

→

<0,1>

)

Ejemplo 2: Si Hallar

( )

en la Sgte. Tabla

g( )

x

6.2

6.4

6.6

6.8

0.79239

0.30618

0.81954

0.83251

g( )

( )

6.2 Xp=6.36 6.4

∆

0.79239= fp=? 0.30618=

7 7.2

∆

1279=∆ -43=∆ 1336=∆

6.6

4

0.8195 =

-39=∆ 1297=∆

6.8

0.83251=

7

0.84510=

7.2

0.85733=

∆

1 -38=∆

1259=∆

2 -36=∆

1223=∆

P(P

∆

! (

Si

∆ )

(

)( !

)

( )

( )

(

)

)


Pág. 30

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

2) Interpolación de Newton Regresivo (NR) Se utiliza cuando se quiere interpolar un valor en la parte final de la tabla. Su fórmula es

𝑓𝑝

𝑓

P(P

P 𝑓

P(P

) !

)…(P (n

))

n!

,

Donde

Ejemplo Si x 3

)(P

P(P

𝑓

)

! n

𝑓

⋯

𝑓

-

=3.9 hallar

( )

20.08 4.45

3.2

24.53

3.4

29.96

3.6

36.59

0.98 5.43

.22 1.20

6

6.63

.28 1.48

2

8.11 3.8

.30

49.7

1.78 9.89

4.0

54.59 | P(P

P

) !

(

)(

)

)(P ! )(

P(P (

|<12 Se aplica

de NR hasta la

diferencia

) )

(

!


)(

)(

)

!

Pág. 31

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

INTERPOLACION DIRECTA CENTRAL Se utiliza cuando se quiere interpolar un valor en la parte central de la tabla. Se tienen las siguientes formulas: a) Interpolación de Stirling: ⟨

Se aplica si p

⟩

Su formula es: p=

0+

S1 (

-1/2

+

1/2)

+ S2

0

+ S3 (

-1/2

+

1/2)

+ S4

0

+…

Donde: S1=

; S2=

; S3=

(

)

(

; S4=

!

) !

; S5=

(

)( !

)

; …

b) Interpolación de Bessel: ⟨

Se aplica si p

⟩

Su formula es:

p=

0+

1/2 +

1

2(

0

+

1)

+

5

1/2

+…

Donde: 1=

;

2=

(

) !

;

3=

(

)( !

)

;

4=

(

)(

)( !

)

; …


Pág. 32

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

c) Interpolación de Everett: ⟨

Se aplica si p

⟩

Su formula es: =

…

Donde: (

;

)(

)

! (

;

)(

)

!

(

;

)(

)(

)(

)

! (

;

)(

) ( !

)(

)

; …

; …

*Tabla de Omisión de Términos (T.O.T):

Bessel o Stirling 4

60

Everett

no existe 20

4

20

500

100

no existe 100

Ejemplos resueltos: En la siguiente tabla se tiene: X

f(x)=

+

0

+ x +1 1

0.111

0.026

0.006

0.1

1.111

0.137

0.032

0.006

0

0.2

1.248

0.169

0.038

0.006

0

0.3

1.417

0.207

0.044

0.4

1.624

0.251

0.5

1.875

0

Como: ; No cumple ; cumple con la T.O.T, según P se aplica Bessel, Stirling o Everett.


Pág. 33

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

Entonces hallar: fp a) Si

;

Solución a): Se sabe que:

Entonces: ⟨

⟩

Como: ⟨

⟩ |

|

Se aplica Stirling y Everett porque

⟨

⟩

⟨ ⟩y| | Para Stirling su es hasta su 2ºdiferencia, como se aplica Everett o hasta su anterior pero como no existe la 3º diferencia; el de Everett es hasta la 2º diferencia. *Solución según Stirling: p=

0+

S1 (

-1/2

+

1/2)

+ S2

0

p=

1.248 + 0.12 (0.137 + 0.169) + 0.0288*0.032

p=

1.2856416

valor aproximado

Con calculadora: p=

1.285415424

*Solución según Everett: = p

=0.76*1.248+0.24*1417-(0.053504*0.032)-(0.037606*0.038)

p

=1.285415424


Pág. 34

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

INTERPOLACIÓN PARA EL CASO DE DATOS NO EQUIDISTANTES

POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE LAGRANGE

(X0, f0), (X1, f1),…, (Xn, fn)

Sean

Entonces existe un polinomio de grado

(n+1) ptos

que para por dichos puntos

(X0<X1<X2<………………………. <Xn) F(X) = a0(X-X1) (X-X2)…..(X-Xn)+a1(X-X0)(X-X2)….(X-Xn)+……+an(X-X0)(X-X1)(X-X2)...(X-Xn-1)

OBS: en el primer termino falta (X-X0), en el 2º termino (X-X1), y así sucesivamente en el ultimo termino falta (X-Xn) esto es una cualidad de dicho polinomio. Como f(x) debe contener a los puntos dados Si X = X0

; f(X0)= a0(X0-X1) (X0-X2)……..(X0-Xn)

a0= Si X = X1

f(o)

(X0 X1)(X0 X2)(X0 X3)………(X0 Xn)

; f(X1)= a1(X1-X0) (X1-X2)……..(X1-Xn)

a1=

f(1)

(X1 X0)(X1 X2)(X1 X3)………(X1 Xn)

. . . Si X = Xn

; f(Xn)= an(Xn-X0)(Xn-X1)(Xn-X2)……..(Xn-Xn-1)

an=

(n)

(Xn X1)(Xn X2)(Xn X3)………(Xn Xn 1)


Pág. 35

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

Remplazando los así en el polinomio P(X)

f(X)=

(X X1)(X X2)…(X Xn) ( 1 0 )( (X X0)(X X1)…(X Xn 1) 2 )…(X1 Xn) f0+ f1+…+ fn (X0 X1)(X0 X2)…(X0 Xn) (X1 X0)(X1 X2)…(X1 Xn) (Xn X0)(Xn X1)…(Xn Xn 1)

L0(X) F(X)

=

L1(X) L0(X)fo +

L1(X)f1

+

Ln(X) …………….

+ Ln(X)fn Polinomio de Lagrange

Donde: i(X)=

(X X0)…..(X Xi 1)(X Xi+1)…(X Xn) (Xi X0)…..(Xi Xi 1)(Xi Xi+1)…(Xi Xn) Función multiplicadora de Lagrange

TEOREMA.- Sean (X0, f0), (X1, f1),…, (Xn,fn) (X0<X1<X2<……<Xn) Entonces existe un único polinomio de grado

para los puntos (n+1) y además

que pasa por dichos puntos.

DEMOSTRACIÓN i). La existencia del polinomio está generalizada por el `polinomio de aproximación de Lagrange. ii). La unicidad: supongamos que existen dos polinomios P(X) y Q(X) de grado que pasan por los puntos dados. Probaremos que P(X) =Q(X) , ∀ (X0,Xn) Consideremos

R(X)= P(X) - Q(X) PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ

Pág. 36

UNMSM R(X) es de grado

MÉTODOS NUMÉRICOS (ya que el grado de P(X) y Q(X) es

)

Además: R(X0)= P(X0) - Q(X0)= f0-f0 =0 R(X1)= P(X1) - Q(X1)= f1-f1 =0

En general R (Xi) = 0

∀ i 0, 1, 2, 3,……n

Entonces. X0, X1, X2,…., Xn son las raíces de R(X) R(X) tiene (n+1) raíces (pero el grado de R(X) es menor o igual a n) Entonces R(X) debe ser el polinomio nulo (el único que tiene más raíces que su grado) R(X)= P(X) - Q(X)= 0 P(X) =Q(X) , ∀

( 0 , Xn)

Ahora consideremos X

-1

Fx

2

0 2 1

5

El polinomio P(X) = X2 +1 pasa por estos puntos, también pasa por estos puntos el polinomio Q(X) = X3-2X + 1 ¿Contradice el teorema? No contradice el teorema, ya que el teorema establece que son iguales para aquellos que tengan grado , luego pueden muchos otros de grado >n que sean diferentes al del grado grado


Pág. 37

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

INTERPOLACION Y APROXIMACION DE LAGRANGE Polinomio de Lagrange: Dado un conjunto de (n+1) puntos de la forma ( , ); i=0, 1, 2,…, n. Se puede aproximar a un polinomio de grado Sea el siguiente polinomio ( )

n.

( ) a determinar:

𝑃(𝑥) 𝑎 (𝑥 𝑥 )(𝑥 𝑥 )(𝑥 𝑥 ) … (𝑥 𝑥𝑛 ) 𝑎 (𝑥 𝑥 )(𝑥 𝑥 )(𝑥 𝑥 ) … (𝑥 𝑥𝑛 ) ⋯ 𝑎𝑛 (𝑥 𝑥 )(𝑥 𝑥 )(𝑥 𝑥 ) … (𝑥 𝑥𝑛 ) . Observación: El polinomio ( ) se caracteriza por: ), en el 2º término falta el factor ( ) , en el 3º termino falta En el 1º término falta el factor ( ) y así sucesivamente, en el n-ésimo termino falta el factor ( ). el factor (

En el polinomio de Lagrange los puntos ( , ) no necesariamente son igualmente espaciados, es decir h no es constante. ;

Para hallar el polinomio de Lagrange se debe hallar los

…

; de la siguiente manera:

Si x= ( )

(

( )

)( ( (

(

)( ( ) )(

)(

)( )(

)…( )(

)(

)… (

)

(

)…(

)…(

)(

)(

)…(

)

⋯

)(

)(

)…(

)

⋯

)

)

)

Si x= ( )

(

( )

)( ( (

)( (

(

)(

)( )(

)…( )(

)(

)…(

)

(

)…(

)

)

) )(

)…(

)

Si x=


Pág. 38

UNMSM ( )

MÉTODOS NUMÉRICOS

(

( )

)( ( (

(

)( )(

)( ( )(

)(

)…( )(

)(

)

(

)(

)…(

)…(

)(

)…(

)

⋯

) )

) )…(

)

Remplazando los coeficientes en ( ) tenemos: (

( )

)( )(

(

)( )( (

(

)…( )…( )( )(

)( )(

)

( )

)( )(

(

)…( )…(

)( )(

)…( )…(

) )

…

) )

El polinomio de Lagrange, también se puede expresar como: ( )

∑

( )

… Ó

( )

( )

( )

⋯

( )

Ejemplo: 1 En la siguiente tabla: a) Aproximar a un polinomio de Lagrange. b) Si

=1.1. Determinar

por Lagrange.

Tenemos: X

( ) 2 1 2

26


Pág. 39

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

a) Solución: El polinomio de Lagrange

( ) ( (

)( )(

( ) ( (

( (

)( )(

)( )( )( )( )( )( ) )( )( )

( ( )( )(

)( )( )( )(

)( )( ) )

( )

)( )(

)

( )

( (

)( )(

( )

) ) ( (

)( )( )( )(

( )( )(

)( )(

( ( )( )(

…

)( )( )( )(

)( )( )

)( )(

)

( )

(

)( )(

)( )(

)( )(

) )

)

)( )( )( )(

, será:

)( )(

) )

( (

)( )(

)( )(

)( )(

) )

) )

Luego, resolviendo tenemos: ( )

b) Solución: Como:

( )

( )

(

(

)

(

)

) (

(

)

)

Aprox. E interpolación de un polinomio de newton. )( ) ∆

(

( )

)( ) ∆

(

!

)( ) ∆

(

!

⋯

!

)( ) ∆

( !

Donde: (

)(

)

(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)(

)(


) Pág. 40

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

(

)( ) |

(

)(

)

(

)( ) |

( (

)( )(

)( )(

(

)(

)( )

(

)

)(

)(

)

)

Ejemplo: 2 Aproximar la siguiente tabla a un polinomio de newton

x

∆

( )

1.1

1.04 =

1.2

1.08=

1.3

1.11=

∆

∆

0.04 -0.02 0.03

0.02 -0.01

0.04 1.4

1.15=

Donde: h=1.4-1.3=0.1 )(

( )(

( ( ( )

)(

)

(

(

)

)( )

( )(

(

)

)

)( )(

) ( )(

(

)( ( )(

)

(

)

) )

(

)

)( ( )(

)

)

( )


Pág. 41

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

PROBLEMAS RESUELTOS (Método de Newton – Raphson)

1

F(x)=

/

[0,1]

Cuantas cifras significativas exactas tiene la solución en la 2da iteración. Solución: F(x)= F’(x)= F’’(x)=

=

(

)

1ro Analizar el pto inicial xₒ optimo / xₒ [0,1] Para xₒ : F(xₒ).F‘’(xₒ)<0 ->xₒ no es valido. Para x₁ =1: F(1).F‘’(1)>0 ->x₁ =1 es valido para iterar. -> | n=0

( )

( )

|=0.47 = 0.5 < 1 ->∃ {xn} ->

( )

Xn+₁=Xn-

( n) (

=> Xn+1 = Xn – n)

n ( n

)

Con X₀=1 X₁ = X₀ –

(

)

X₁=0.683939 n= 1

1ra Iteración.

X₂ = X₁ –

₁ ₁(

₁

₁

)

X₂=0.5774544772 2da Iteración. n= 2 X₃ = X₂ – ( ) |X₃ - X₂|=0.01=0.01* n=1 -> X = con 1 cifra significativa.


Pág. 42

UNMSM 2

MÉTODOS NUMÉRICOS

(Método del Punto fijo)

Resolver por el método por el punto fijo con 1 cifra decimal exacta. Solución: {} X𝑒 𝑦 -1 =0 (1) 𝑋 𝑦 𝑦 X= (2)de (1) Remplazando en (2) F (y)= Y 0 1 2

F (y) F (0).F(1)<0 ->∃𝑦 + [0,1] +

Y 0 0.5 0.6 1

F (y) F (0.5).F(0.6)<0 ->∃𝑦 , 1er intervalo para F(y)=𝑒 +

𝑦

-……(*) 𝑦

Según (*) Sea Y₀=0.5 -> X₀= Se tiene el punto inicial X₀=1.6 y Y₀=1.5 muy cercano a la raiz. X= 2√ Y= LnX

-> f -> g

fx=0

fy=

gx=

gy=0

√

fx(1.6;1.5)=0 fy(1.6;1.5)=0.5773502642 gx(1.6;1.5)=0.625 gy(1.6;1.5)=0 |fx(1.6;1.5)+fy(1.6;1.5)|=0.57785026 < 1 |gx(1.6;1.5)+gy(1.6;1.5)|=0.625 < 1 ->∃{Xn} -> ∃{Yn} -> Mediante la Sgte. Relación.


Pág. 43

UNMSM Xn+₁=2√ Yn+₁ =Ln(Xn)

MÉTODOS NUMÉRICOS n=0, 1, 2 n=0, 1, 2

Dejar de iterar |Xn+₁-Xn| 0.5* Iterando como punto inicial *Xₒ,Yₒ+=*1.6;1.5 n=0 X₁=2√ =1.732050 Y₁=0.4700036292 n=1

n=2

X₂=1.765328965 Y₂=0.5493061446 X₃=1.671242364 Y₃=0.5683370555

n=3 X₄=1.645591676 Y₄=0.5135672804 n= 4

n=5

X₅=1.716098655 Y₅=0.49810001 X₆=1.734239187 Y₆=0.5400534907

|X₆-X₅|=0.018 = 0.02 = 0.2* 0.5* |Y₆-Y₅|=0.04 = 0.4* 0.5* ->-> X₀= y Y₀= son raices con una cifra significativa.


Pág. 44

UNMSM 3

MÉTODOS NUMÉRICOS

(Método del Punto fijo)

Por el método de N-R, resolver el sistema: {} X𝑒 𝑦 -1 =0 (1) 𝑋 𝑦 𝑦 a) (2) Localizar el intervalo donde existe la raíz b) Verificar su condición de convergencia c) Hallar una solución con 4 cifras decimales exactas. Solución:

a) Y=Lnx de (1) Remplazando en (2) -> F(x)= Utilizando el T.B. localizamos el intervalo donde existe la raiz. x 1 2

F(x) +

F (1).F(2)<0 ->∃𝑦

[1,2]

x F(x) 1.6 F(1.6).F(1.7)<0 ->∃𝑦 [1.6,1.7] 1.7 + Sea X₀=1.6 ; Y₀? De (1) -> Y=Lnx = Ln(1.6)=0.47 -> Y₀=0.47 Entonces: { X 1.6 Y 0.47

Pto más cercano de la raíz.

b) Sea F(x,y)=X G(x,y)=

-1

Fx(x,y)= Fy(x,y)=-X. Gx(x,y)=2X Gy(x,y)=8y PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ

Pág. 45

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

Fx(x,y) Gx(x,y)

J(x,y)=|

𝑒 𝑦 |=| 2x

Fy(x,y) Gy(x,y)

X.𝑒 8y

𝑦

|

= 5.550020142 ≠ 0 Y como (X Y ) es muy cercano: ->->∃ {xn} -> y ->∃ {yn} -> c) Dejamos de iterar si: |Xn-Xn+₁| 0.5* =0.5* |Yn-Yn+₁| 0.5* =0.5* Ahora: | F G 8Y [X

𝑦

Fy |=| X𝑒 Gy 𝑋 ,

-1]+ X.

| Fx Gx

-1 -X.𝑒 𝑦 𝑦 𝑦8y

F |=| G

|

𝑒

𝑦

𝑦

-X.𝑒 𝑥 𝑋

|=

𝑦

[

]-2x [-X.

]

Veamos que la formula de recurrencia asi: Xn+₁=Xn -

n,

-

n

,

-

;

n=0, 1, 2,.. Yn+₁=Yn -

[

]

, n

-

n=0, 1, 2,… Siendo Pₒ inicial: (1.6;0.47)=(Xₒ;Yₒ)

n=0 X₁=1.6 –

(

Y₁=0.47-

(

)

=1.700250715 )

= 0.53265975


Pág. 46

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

n=1 X₂=1.700250715 – (

)

=1.697250462

Y₂=0.53265975(

n=2

)

= 0.52900931

X₃=1.697250462–

(

)

=1.6972239658

Y₂=0.53265975(

)

= 0.5290032

Luego |X₃ - X₂|= 0.000026=0.00003=0.3* 0.5* -> con 4 cifras significativas decimales exactas. |Y₃ - Y₂|= 0.0000061=0.00001=0.1* 0.5* -> con 4 cifras significativas decimales exactas.


Pág. 47

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

METODOS DIRECTOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LIENALES

La factorización matricial consiste en expresar una matriz cuadrada en el producto de otras dos matrices. FACTORIZACIÓN MATRICIAL “LU” (Método de Crout – Doolitle)

Consiste en factorizar una matriz cuadrada “A” en un producto “LU”. Esto es: 𝐴

𝐿𝑈

Donde: A: es la matriz a factorizar L : es una matriz triangular inferior, cuyos elementos de la diagonal principal son iguales a 1. Se llama “L” porque viene de la palabra inglesa “low”, que significa “bajo”. U : es una matriz triangular superior, cuyos elementos se hallan por el método de la eliminación gaussiana. Se llama “U” porque viene de la palabra inglesa “up”, que significa “arriba”.

NOTAS: . Este tipo y todos los tipos de factorización matricial se basan en el “método de eliminación gaussiana”. . Aunque no todas las matrices iten este tipo de representación, muchas de las que aparecen frecuentemente en las aplicaciones de las técnicas numéricas sí la tienen. . La factorización “LU” es especialmente útil cuando hay que resolver varios sistemas lineales con la misma matriz de coeficientes “A”, puesto que el proceso de las operaciones se realiza solamente una vez.


Pág. 48

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

. Desde un punto de vista práctico, esta factorización sólo será útil cuando los intercambios de filas no sean necesarios para controlar los errores que aparecen por utilizar aritmética con un número finito de cifras. . También se podría decir que la factorización “LU” solamente es aplicable cuando los determinantes de las submatrices de “A” son todos distintos de cero. Ejemplo 0 Sea la matriz

(

0 0 +=(

+ =(

+

El sistema tiene nueve ecuaciones con doce incógnitas, entonces existen infinitas soluciones. Para que tenga solución debemos fijar tres variables libres, puede ser lii=1 o uii=1 Sea

uii=1 → u11= u22= u33=1, 0 (

0 0 +(

+=( L

+

U

Resolviendo la ecuación matricial se tiene los siguientes resultados:

l11=2,

l21=4,

l31=1

u12=0, l22=3, l32=2 u13=

,

u23=2, l33=

(

+=( L

0 -1 4+(

)

U


Pág. 49

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

Observación.- El método Crout – Doolitle sirve para resolver un sistema de ecuaciones usando la factorización L U mediante las siguientes igualdades:

A.x = B

L.y = B

L.U.x = B

U.x = y

PRIMER METODO DIRECTO:

MÉTODO CROUT-DOOLITLE. Para un sistema lineal de la forma:

𝐴𝑋

𝐵

Donde A se factoriza de la forma:

𝐴

𝐿𝑈

L: Matriz Triangular Inferior U: Matriz Triangular Superior Sea:


Pág. 50

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

Ejemplo: Sea la matriz (

+( +

( +

Para

(

𝑦

⁄

)( +

⁄

( +

𝑦

𝑦

⁄

Para ⁄

(

⁄ )( +

(

, ⁄

𝑥

⁄

𝑥

⁄


𝑥

⁄

Pág. 51

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

SEGUNDO METODO DIRECTO

METODO DE CHOLESKY También para resolver el sistema Ax = b para aplicar cholesky se debe cumplir lo siguiente: Simetrico

1° que XtAX>0 /

“A” definida Positiva

| → Xt = (X1 X2 X3)

X=|

2° cada sub determinante sea positiva es decir: A33

|

|

|

|

|

|

(

)

1º versión de cholesky Ejemplo: 1 Aplicar cholesky al sistema siguiente:

|

|| |

| |

A es simétrico ¿A es definida positiva? Se debe de cumplir que XtAX>0

,

-|

(

|| |

)

(

)


Pág. 52

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

Se puede aplicar cholesky

Ax = b L*LtX = b Y= t LX

A = L*Lt

|

|

L*Y = b Lt*X = Y

|

||

|

l11=2 l21 = ½ l31 = 1 √

l22 =

√

l32 = l33 =√

t

L*L =

| |

√ √

√

|| ||

√

√

| |

√

Ax = b

t

L*L X = b

Lt*X = Y L*Y = b


Pág. 53

UNMSM Para

MÉTODOS NUMÉRICOS

L*Y = b

√

| |

√

|| |

|

| |

√

Y1 = ½ Y2 =

√

Y3 = 4*√

Para

Lt*X = Y

| |

√

√

|| |

|

√

| |

√

X1 = 28/27

| |

√

X2 = 35/27

X3 = -16/27

Ejemplo: 2

(Métodos de Cholesky para hallar el sistema Ax=B) Resolver el siguiente sistemas por Cholesky.  4 2 0  x1   2        2 5 2    x2  =  3   0 2 6 x  5    3  


Pág. 54

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS Solución:

• A = At , entonces A es simétrica. • x t Ax > 0 , luego A es definida positiva. Factorizamos la matriz A = LLT  4 2 0   l11 0 0   l11 l21 l31        A =  2 5 2  =  l21 l22 0    0 l22 l32   0 2 6  l       31 l32 l33   0 0 u33 

Para la 1ra columna tenemos:

l112 = 4  l11 = 2 l 21l11 = 2  l 21 = 1 l31l11 = 0  l31 = 0

Para la 2da columna tenemos:

l11l 21 = 2 2 2 l 21  l 22 = 5  l 22 = 2

l31l 21  l32 l 22 = 2  l32 = 1

Para la 3ra columna tenemos:

l11l31 = 0 l 21l31  l 22 l32 = 2 l312  l322  l332 = 6  l33 = 2

 2 0 0  2 1 0   t   L =  1 2 0 , L =  0 2 1  0 1 2  0 0 2    


Pág. 55

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

Del sistema Ax = b  LLt x = b , luego Ly = b y Lt x = y Para Ly = b  2 0 0   y1   2  1          1 2 0    y2  =  3   y =  1   0 1 2  y   5  2    3    

Para Lt x = y

1    2 1 0   x1   1        2  0 2 1   x2  =  1   x =  0   0 0 2  x   2 1    3      

2. Segunda versión de cholesky


Pág. 56

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS


Pág. 57

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS


Pág. 58

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

TERCER METODO DIRECTO:

MÉTODO TRIDIAGONAL PARA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

Sea el sistema de ecuaciones de la forma:

𝑎 (

𝑥 … ⋱ +( + … 𝑎𝑛 𝑥𝑛

𝑏 (

𝑏𝑛

+

………………

………. (1)

……………

………. (2)

……

………. (3)

……………………………………………………… … ………………

………. (n-1) ………. (n)

ALGORITMO TRIDIAGONAL: P-1:

Del sistema

P-2:

Sea ̅

, expresarlo como

̅ * +

, C es constante arbitraria /

De la Ec. (1) despejar ̅ De la Ec. (2) despejar ̅ De la Ec. (3) despejar ̅ …………. De la Ec. (n-1) despejar ̅ De la Ec. (n) despejar ̅ Pero como no existe ̅

se hace lo siguiente:

𝑎𝑛 𝑛 𝑥̅𝑛 Tal que: Se tiene

( ( ̅

…

)

̅ …

𝑎𝑛 𝑛 𝑥̅𝑛

𝑏𝑛

𝑅

donde R: vector residual ̅ )


Pág. 59

UNMSM

Si Si

MÉTODOS NUMÉRICOS

es solución de es solución de

≠

P-3: Del sistema llegando a lo siguiente:

𝑎𝑛 𝑛 𝑥̅̅𝑛 (

Tal que:

… ( ̅

Se tiene

)

̅ …

Si Si

y sea ̅

, se procede como P-2,

𝑎𝑛 𝑛 𝑥̅̅𝑛 𝑆

donde S: vector residual ̅ ) es solución de es solución de

≠

…….. ( ) …….. ( )

Se tiene: ()

̅

expresarlo como

( )

(

)

(

) 0

Se busca una relación: (

Tal que:

)

⁄

Ejemplo: Resolver:

2 2 ̅

Del sistema ̅

̅

2 ̅

……… (1) ̅

2 ̅

̅

̅ Sea ̅

,

* +

̅

….….. (2) ̅

̅

……… (3) ……… (4) ̅


Pág. 60

UNMSM

De (1):

̅ De (2): De (3):

MÉTODOS NUMÉRICOS

̅

0 ̅

De la ec. (4) despejo ̅ , pero como no existe ̅ ̅

̅

𝑟 ( ̅ (

̅ …

̅ )

)

̅

Del sistema Sea ̅ ̿

̿

, luego se procede como P-2

̿

̿ ̿

̅

, ,

, en en en

̿

̿

̿

̿ ̿

̿

̿

̿

𝑠 Observación: Si ( ̅

̅

(

̅

cambiar el valor inicial de ̅ )

̿

)

Se busca una solución Tal que:

⁄

𝛼

⁄


Pág. 61

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

𝑥

Verificando:

𝑥

𝑥

𝑥

2 )

2(

(

)

(

)

Ejemplo 2 (Solución de sistemas lineales en Tribanda) Sea

en Tribanda.

( ) ( ) ( ) ( ) Algoritmo del sistema Tridiagonal Solución: ̅

Del sistema ( ) ̅ ̅ ̅

( ) ̅

( ) ̅

̅

( ) ̅

̅

̅

Sea ̅

̅ ̅

̅ ̅ ̅

̅ ̅

, C vector arbitrario talque

* +

Entonces: 𝑥̅ De (1) despejo ̅ : PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ

Pág. 62

UNMSM

( ) ̅

MÉTODOS NUMÉRICOS

̅ 𝑥̅

De (2) despejo ̅ : ( ) ̅

̅

̅

𝑥̅ De (3) despejo ̅ : ( ) ̅

̅

̅

𝑥̅

De (4) despejar ̅ ; pero ∄ ̅ : ( ) ̅ ̅

𝑟

Y se tiene que: ( ̅ (

̅ )

̿

es un vector nulo.

̿

( ) ̿

( ) ̿

( ) ̿

̅

)

Ahora expresarlo como ( ) ̿

̅

̿ ̿

̿ ̿

̿ PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ

Pág. 63

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS * +

Sea ̿

𝑥̿ De (1) despejar ̿ : ( ) ̿ ̿ 𝑥̿ De (2) despejar ̿ : ( ) ̿

̿

̿

𝑥̿ De (3) despejar ̿ : ( ) ̿

̿

( ̿ ̿

̿

𝑥̿

̿ ) ̿

(

)

De (4) despejar ̿ , pero∃ ̿ entonces: ( ) ̿ ̿

𝑠

Entonces:

( )

( )

(

(

)

(

)

)


Pág. 64

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

Comprobación:

-46+24+13 -22+13=-9

CUARTO METODO DIRECTO

MÉTODO PENTADIAGONAL PARA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

(

⋯ ⋱ ⋯

Ec (1) Ec (2)

=

+ (

A

Ec (n)

) ( x

)

b

Algoritmo Pentadiagonal

P-1 Dado el sistema Ax=b , expresarlo en la forma A ̅ =b y definir ̅̅̅=C

̅̅̅=D

Donde C D son constantes arbitrarias.

P-2 De Ec (1) despejar ̅̅̅

De Ec (2) despejar ̅̅̅ PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ

Pág. 65

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

De Ec (n-2) despejar ̅̅̅ De Ec (n-1) despejar ̅̅̅̅̅̅ De Ec (n) despejar ̅̅̅̅̅̅ Como no existe ̅̅̅̅̅̅ se hace lo siguiente : ̅̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅̅

Como no existe ̅̅̅̅̅̅ se hace lo siguiente : ̅̅̅̅̅̅

Donde

̅̅̅ (

̅

Si

* es un vector residual. (̅̅̅ ̅̅̅ … ̅̅̅ ) es solución del sistema A.x = b

≠ ̅

Si

P-3 : La primera solución homogénea del sistema A.x = b se debe expresar como

; luego definir ̿̿̿

en la cual se considera C y D como constantes arbitrarias, finalmente se procede similar al paso anterior (P-2) llegando a la siguiente solución ̿

̿̿̿̿̿̿ ̿̿̿̿̿̿

Si

̅

̿̿̿

̿̿̿̿̿̿ ̿̿̿

en donde

. / es un vector residual.

(̿̿̿ ̿̿̿ … ̿̿̿) es solución del sistema A.x = b

Si ≠ ̅

P-4 : La segunda solución homogénea del sistema A.x = b se debe expresar como ̅̿ ̅̅̅ ; luego definir ̅̅̅ ̿̿̿ ̿̿̿ en la cual se

considera C y D como constantes arbitrarias, finalmente se procede similar al paso P-2 llegando a la siguiente solución. PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ

Pág. 66

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

̅̅̅̅̅̅ ̿̿̿̿̿̿ ̅̅̅̅̅̅ ̿̿̿̿̿̿

̅̅̅̅̅̅ ̿̿̿̿̿̿ ̅̅̅ ̿̿̿

en donde

( * es un vector residual.

(̅̅̅ ̿̿̿ ̅̅̅ ̿̿̿ … ̅̅̅ ̿̿̿) es solución del sistema A.x = b

Si

̅

Si

≠ ̅

P-5

: Finalmente se llegará al siguiente sistema ………( ) ………( ) ……… ( )

Luego hacemos (1) – ( )

A(

( )

( ))

( ) y se llega a lo siguiente

(

)

X

Se busca luego una solución en donde R

= /

Entonces la solución del sistema A.x = b estará dado por

𝑋

𝑥

𝛼𝑥

𝛽𝑥


Pág. 67

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

Ejemplo Resolver el siguiente sistema pentadiagonal

2 +3 + 3 +2

= 8 Ec(1)

+4

+4

+

+

= 15 Ec(2)

+4

+4

+2

2

+

+2

= 13 Ec(2)

+

= 19 EC(4)

+7

= 15 EC(5)

PASO DEL ALGORITMO

P-1: Expresar el sistema como A. = b 2

+3

+

3

+2

+4

+

+4

+

+4

+2

= 13 Ec(3)

+4

+2

+

= 19 Ec(4)

+7

= 15 Ec(5)

2 Sea

= 8 Ec(1) = 15 Ec(2)

+

=0

=1

cte arbitrario

P-2: DE Ec(1) despejar

=5 pues 0 + 3(1) +

DE Ec(2) despejar

=8

= 7 pues 0 + 2(1) +4(8) +

DE Ec(3) despejar

= 15

= 16


Pág. 68

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS pues 0 + 4(1) + 5 + 4( 7) + 2

DE Ec(4) despejar +4

+2

; como ∄

+

De la Ec(5) despejar

; como

= 45 ∄ hacemos

+ 7 = 15 +

2(5) + ( 7) +7(16) = 15 +

R=

, hacemos lo sgte. :

= 19 +

1 + 4(5) + 2( 7) + 16 = 19 +

2 +

= 13

( ) , como R ≠

= 100

; A.

=b+R

Se tiene:

=

= (

)

ó (

=(

)

)

P-3: Primera solución homogénea del sistema A.x = b, expresarlo Como A. ̿ = 2̿̿̿+ 3̿̿̿+ ̿̿̿

= 0 Ec(1)

3̿̿̿+ 2̿̿̿+ 4̿̿̿+ ̿̿̿

= 0 Ec(2)

̿̿̿+ 4̿̿̿+ ̿̿̿+ 4̿̿̿+ 2̿̿̿

= 0 Ec(3)

̿̿̿+ 4̿̿̿+ 2̿̿̿+ ̿̿̿

= 0 Ec(4)

2̿̿̿+ ̿̿̿+ 7̿̿̿

= 0 Ec(5)

Sea ̿̿̿= 10

̿̿̿= 20


Pág. 69

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

De Ec(1) despejar ̿̿̿;

̿̿̿ = 80

pues 2(10) + 3(29) + ̿̿̿ = 0

De Ec(2) despejar ̿̿̿;

̿̿̿= 250 (

)

pues 3(10) +2(20) + 4( 8) + ̿̿̿= 0 De Ec(3) despejar ̿̿̿;

̿̿̿=

pues 10 + 4(20) + ( 80) + 4(250) + 2̿̿̿ =0 De Ec(3) despejar ̿̿̿; como ∄ ̿̿̿ hacemos ̿̿̿+ 4̿̿̿+ 2̿̿̿+ ̿̿̿= 0 +

20 + 4( 80) + 2(250) + ( 505) = 0 +

;

= 1445

De Ec(5) despejar ̿̿̿; como ∄ ̿̿̿ hacemos 2̿̿̿+ ̿̿̿+ 7̿̿̿= 0 + S=

(

;

) 2(

)+ (250) + 7(

)= 0 +

=0

P-4: Segunda solución homogénea del sistema A.x = b expresar A. ̿̅ = 0 ̿̿̿+ 3̅̅̅ ̿̿̿+ ̅̅̅ ̿̿̿ 2̅̅̅

= 0 Ec(1)

̅̅̅+ 2̿̿̿ ̅̅̅+ 4̿̿̿ ̅̅̅+ ̿̿̿ ̅̅̅ 3̿̿̿

= 0 Ec(2)

̿̿̿+ 4̅̅̅ ̿̿̿+ ̅̅̅ ̿̿̿+4 ̅̅̅ ̿̿̿+ 2̅̅̅ ̿̿̿ = 0 ̅̅̅

Ec(3)

̿̿̿ ̅̅̅+ 4̿̿̿ ̅̅̅+2̿̿̿ ̅̅̅+ ̿̿̿ ̅̅̅ = 0

Ec(4)

̿̿̿+ ̅̅̅ ̿̿̿+ 7̅̅̅ ̿̿̿ = 0 2̅̅̅

Ec(5)

̅̅̅= 20 Sea ̿̿̿

̿̿̿= 10 ̅̅̅


Pág. 70

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

̅̅̅; De Ec(1) despejar ̿̿̿

̿̿̿=

pues 2(20) + 3(10) + ̿̿̿= 0 ̅̅̅ De Ec(2) despejar ̿̿̿

̿̿̿=

̿̿̿+ 2̅̅̅ ̿̿̿+ 4̅̅̅ ̿̿̿+ ̅̅̅ ̿̿̿= 0 3̅̅̅

) + ̿̿̿= 0

3(20) + 2(10) + 4( ̅̅̅ De Ec(3) despejar ̿̿̿

̿̿̿= 395

̿̿̿+ 4̅̅̅ ̿̿̿+̅̅̅ ̿̿̿+ 4̅̅̅ ̿̿̿+ 2̅̅̅ ̿̿̿= 0 ̅̅̅

20 + 4(10) + (

̿̿̿= 0 )+ 4(200) + 2̅̅̅

̅̅̅ como ∄ ̿̿̿ ̅̅̅, hacemos De Ec(4) despejar ̿̿̿ ̿̿̿ ̅̅̅+ 4̿̿̿ ̅̅̅+2̿̿̿ ̅̅̅+ ̿̿̿ ̅̅̅= 0 +

10 + 4(

= 1925

) 2(200) + 395 = 0 +

̿̿̿ ̅̅̅; como ∄ ̅̅̅ De Ec(5) despejar ̿̿̿ ̅̅̅+ ̿̿̿ ̅̅̅+7̿̿̿ ̅̅̅= 0 + 2̿̿̿ ̿̿̿ ̅̅̅ ̿̿̿ ̅̅̅

T = . /= (

);

=

̿̿̿ ̅̅̅ ̿̿̿ ̅̅̅ ̅̅̅) ( ̿̿̿

A.

(

)

= +T

P-5: Y se llega a lo siguiente A. = b + R A. = 0 + S A. = 0 + T PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ

Pág. 71

UNMSM

R–

MÉTODOS NUMÉRICOS

=0

–

R= .

+

/+

.

=R

1445 + 1925 2705

S=.

/= .

.

=

T=.

/

;

= 100

/ /

/

= 0.025992507

;

= 0.003865364

X=

X=

=

+ 0.025992507

(

)

(

(

)

(

)

+ 0.003865364 (

)

(

)

X= )

Comprobación :

Ec(1)

2 +3 +

=8

0.6744647 + 4.67551134 + 2.65002396 = 8 8 Y tambien cumple tod

=

8

Cumple!!! …


Pág. 72

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

NORMA DE UNA MATRIZ La Norma de una matriz

es un número real tal que satisface las siguientes condiciones

(𝑖) ‖𝐴‖ 𝑦 ‖𝐴‖ 𝑠𝑖 𝐴 (𝑖𝑖) ‖𝜏𝐴‖ |𝜏|‖𝐴‖ 𝑒𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 ‖ 𝐴‖

‖𝐴‖ 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 |

|

(𝑖𝑖𝑖) ‖𝐴 𝐵‖ ‖𝐴‖ ‖𝐵‖ (𝑖𝑣) ‖𝐴𝐵‖ ‖𝐴‖‖𝐵‖ Principales Normas

‖𝐴‖

-Norma “m” o Norma "∞" -Norma “l”, ‖𝐴‖𝑙

𝑚𝑎𝑥𝑗

-Norma “k”, ‖𝐴‖𝑘

√

𝑚𝑎𝑥𝑖

𝑗 |𝑎𝑖𝑗 |

𝑖 |𝑎𝑖𝑗 |

𝑖 𝑗 |𝑎𝑖𝑗 |

Ejemplo 1:

Sea

‖ ‖

*|

|

‖ ‖

*|

|

)

(

‖ ‖

√(

Para el vector X =

|

| |

|

)

+

*

+

*

+ +

√

* +

‖ ‖

‖ ‖

| |

| |


|

|

Pág. 73

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS ‖ ‖

√| |

| |

| |

Ejemplo 2: Sea X = (

) *|

‖ ‖ ‖ ‖

|

‖ ‖

√(

| )

|

|

|+

|

| (

)


Pág. 74

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

SOLUCION ITERATIVA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES PRIMER METODO:

METODO DE JACOBI Dado el sistema AX=b………… (1) Despejamos X de la ecuación 1 obteniendo un sistema equivalente de la forma: X = β + αX……… (2) De la siguiente manera.

Ec.(1) a11X1+a12X2+ …………………………………………………….. +a1mXm = b1 Ec.(1) a21X1+a22X2+ …………………………………………………….. +a2mXm = b2 Ec.(1) a31X1+a32X2+ …………………………………………………….. +a3mXm = b3 . . . Ec.(1) am1X1+am2X2+ …………………………………………………….. +ammXm = b1

𝑎

Donde:

A=

𝑎

Despejamos X; de la Ec. (i);

⋯ ⋱ ⋯

𝑎

𝑏

b = | | y si aii ≠ 𝑎 𝑏 𝑋0 X =| | 𝑋

i=1,2,3, …. , m

X = β + αi-1X

X1 =

…………

X2 =

…………

………. (2)

. . . PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ

Pág. 75

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

Donde:

β = (β1,β2, … … … ,βm)t

β = bi/aii ; aii ≠ 0 ;

𝛼 α = αij = -aij/aii

*𝛼

α=

𝛼

𝛼

⋯ ⋱ ⋯

𝛼 𝛼

+

El sistema (2) anterior se puede expresar en la siguiente forma X = β + αX

X

=

|

β

|

+

|

αX

|

*

⋯ ⋱ ⋯

+ |

| … (2)

El Sistema (2) sugiere Jacobi la siguiente relación de recurrencia

X (k+1) = β + αX (k), k=0, 1, 2, … … … Ó

…………………….. (3)

X (k) = β + αX (k-1),

k=1 , 2, … … …

De la relación (3) se obtiene la sucesión {Xk} ∞k=0 tomando como valor inicial X (0) arbitrario, que generalmente X (0)=0 ó X (0)=β ó β=1 Obs.

X (k+1) = (X1(k+1),X2(k+1), … … … … … … … … … … … … … , Xm(k+1))t X (0) = (X1(0), X2(0),… … … … … … … … … … … … … …, Xm (0)) t


Pág. 76

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

ALGORITMO DE JACOBI: P-1

Dado el Sistema Ax = b………………………… (1) Expresarlo en el sistema equivalente X = β + αx…………………… (2)

P-2 Tomando como solución inicial X (0) arbitrario generar la sucesión {X (k)} → X (*) mediante la relación de recurrencia: X (k+1) = β + αx (k)

,

k=0, 1, 2,… ….….…

Ó X (k) = β + αX (k-1) P-3

,

k=1,2,… … …

Dejar de iterar si

(|| X (k) – X (k-1) ||)/ || X (k) || <= ε = 10-m C.C. ir al P-2

NOTACION MATRICIAL DEL METODO DE JACOBI Sea el sistema Ax = b Donde:

A= 𝑎 𝑎

𝑎 𝑎

𝑎

𝑎

… 𝑎 … 𝑎 ⋱ … 𝑎

La matriz A se le puede descomponer en la forma A = D +L + U, donde

𝑎 𝐷

*

𝑎

Matriz Diagonal

⋯ ⋱ ⋯

+ 𝑎

𝐿

⋯

𝛼 𝛼

… 𝑎

⋱ ( - )

Matriz Triangular inferior


𝛼 𝑈

*

⋯ ⋱ ⋯

𝛼 𝛼

+

Matriz Triangular superior

Pág. 77

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

Así el sistema Ax = b se le puede expresar como: (D + L + U)X = b DX + (L + U) X = b DX = b – (L + U) X X = D-1b – D-1(L + U) X X = D-1b + [-D-1(L + U)] X

→

β = D-1b

Si el método de Jacobi es

X = β + αX

^

α = -D-1(L + U)

Matricialmente es: → X = D-1b – D-1(L + U) X Su relación de recurrencia es

X (k+1)= D-1b – D-1 (L + U) X (k)

,

k=0, 1, 2 …

Ejemplo. 1 Sea el sistema siguiente:

Con un ε = 10-1

Verificar su convergencia Ǝ {X (k)} → X (+) Si ||α | |∞ < 1

Obs. Para que se cumpla ||α | | < 1 es necesario que del sistema Ax = b, A sea diagonalmente dominante. De

(1) → X1: X1 = 12/10

ó

(-1/10) X2-(1/10)X3

(2) → X2: X2 = 12/10 – (1/10)X1

ó

(-1/10)X3

(3) → X3: X3 = 12/10 – (1/10)X1 – (1/10)X2

𝛽

𝛼

(


+

Pág. 78

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

||α | |∞ = ||α | |m = Max {0 + |-0.1| + |-0.1|, |-0.1| + 0 + |-0.1|, |-0.1| + |-0.1| + 0} = Max {0.2, 0.2, 0.2} → ||α | | = 0.2 <= 1 → Ǝ {X (k)} → X (+)

POR EL MÉTODO DE JACOBI Obs. Se toma como valor inicial X(0) arbitrario

X (0) = 0 X (0) = β X (0) = 1

X (0) K=0

Iteración Inicial:

X (k+1) = β + αX (k) X (1) = β + αX (0)

y sea X(0) = β = ( X(0)1 X(0)2 X(0)3 )t

Donde

X

(1)

( ) ( )| ( )

=|

|

|

[

] |

|

|

|

Donde

X1(1) = 1.2 + (0 -0.1-0.1)(

X2(1) = 1.2 + ( -0.1 0 -0.1)(

K=1

(

+

)(

)

(

)(

)

+

1° Iteración:

X (2) = β + αX (1)

X

(2)

=|

( ) ( )| ( )

|

|

[

] |


|

|

|

Pág. 79

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

Donde:

X2(2) = 1.2 + (0 -0.1 -0.1)(

K=2

+ = 1.008

2° iteración:

X (3) = β + αX(2) ( ) ( )

X (3)= |

|

|

|

[

] |

|

|

|

( )

Donde:

X (3) = 1.2 + (0 -0.1 -0.1)(

+ = 0.9984

Veremos si ya se consiguió la solución:

||

( )

||

( )

||

{|

( ) ||

{|

|} {|

|}

|}

10-1 = ε

→ X (3) = X (*) con ε=10-1

Ejemplo 2:

Sea el siguiente sistema Ec (1) 20x1 + 5x3 =2 Ec (2) x1 + 20x2 + 2x3 = 4 Ec (3) x1 + 9x2 + 20x3 = 6


Pág. 80

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

Por Jacobi verificar su convergencia

CONVERGENCIA DE JACOBI {

( )

}  X*

Si ||α|| <

1

…………….. (i)

Observación Para que se cumpla (i) Es necesario que A del sistema original Ax = b sea diagonalmente dominante, es decir aii > ∑ |aij| de su fila y de su columna Así: a11 = 20 > = 0 + 5 de su fila a11 = 20 > = 1 +1 de su columna a22 = 20 > = 1 + 2 de su fila a22 = 20 > = 0 + 9 de su columna Igual para a33 x1 =

+0+0-

x2 =

-

+0-

x3 =

-

-

+0

… …. . …………………. x = β+

α

| |

α

| = | |

|

|| α ||∞

máx.{ 0 + 0 + |

|| α ||∞

máx.{0.25, 0.15, 0.5 }

|| α ||∞

0.5 <

{

|,|

|+0+|

|,|

|+|

|+0}

1

}  X* por jacobi


Pág. 81

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

Por jacobi obtener una solución con € Si la relación de jacobi es

=β+α

,k

0, 1,2…

Para k = 0 Interacción inicial =β+α



Observación

Sea

es arbitraria

=

=

=

+

….. β

……………………. … +

α

β

Para k = 1 Primera iteración 

=

=

β+α

+

Donde = 0.1 +

= 0.1 + (0)(0.1) + (0)(0.2) + (-0.25)(0.3) = 0.025\ = 0.2 +


Pág. 82

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

= 0.2 + (-0.05)(0.1) + (0)(0.2) + (-0.1)(0.3) = 0.165 = 0.205

Para k = 2 Segunda iteración 

=

=

β+α

+

…..

=

………………….... ………

β

…………

α

k =3 β+α

Tercera iteración

=

=

+

….. β

=

………………….... ………

…………

α

Verificamos si se llego a la solución

=

= =

= 0.03289625 < =

* con € <


Pág. 83

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

SOLUCION MATRICIAL DE JACOBI

Del sistema Ax = b Sea A = D + L + U

= b + [k = 0, 1, 2…

( D + L + U )x = b Dx + ( L + U)x = b Dx = b + [-( L + U)x] x=

b + [……

x=β

 la relación matricial de jacobi ( L + U )]

Observación α=( L + U ) es igual al despejar xi de la ecuación (i), i = 1, 2, 3…

( L + U )]x

……………….. +

α


Pág. 84

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

SEGUNDO METODO:

METODO DE GAUSS- SEIDEL

También determina la solución del sistema De la relación matricial del sistema (

iterativamente. :

) (

)

(

)

… ( )

De ( ) se obtiene la relación matricial de G-S , siguiente: 𝑥 (𝑘

)

( 𝐷 𝐿)𝑥 (𝑘

𝐷 𝑏

)

( 𝐷 𝑈)𝑥 (𝑘)

Observación: *Si

(

) {

*La relación ( ) se puede obtener al igual que Jacobi del sistema despejar la variable , para obtener la Matriz .

, de la ecuación

Algoritmo del método de Gauss-Seidel: Paso1: Dado el sistema

obtener su sistema ( )

Paso 2: Para un punto inicial arbitrario siguiente relación: (

)

Paso 3: Dejar de iterar si ‖

( ( )

( ( )

) )

‖

(

.

generar la sucesión { )

(

)

( )

;

( )

}

( )

mediante la

…

; caso contrario ir al paso 2.


Pág. 85

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

Observación: En la convergencia del método de Gauss-Seidel también se cumple que:

‖ ‖ {

)

}

( )

Ejercicios resueltos: 1) Dados:

(

+

(

( )

+,

( +

Resuelva el sistema Ax = b por el método de Gauss-Seidel.

Solución: Utilizando Gauss-Seidel: (

)

(

)

( )

(

)

( )

Operando obtenemos la secuencia: ( )

(

+

( )

(

+

( )

(

+

( )

Claramente converge a la solución exacta (

(

+

( )

(

+

( )

(

+

) .

La tasa de convergencia del método de Gauss-Seidel viene dada por la norma de: (

)

(


+ Pág. 86

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

Cuyas normas son: ‖ ‖ = 227/500 = 0.454 y ‖ ‖ = 2/5 = 0.4.

2) Considere el siguiente sistema de ecuaciones: (

+

( +

¿Puede resolver este sistema por el método de Gauss-Seidel? ¿Por qué? Si lo puede hacer, haga solo dos iteraciones a partir de la solución nula y determine la tasa numérica de convergencia. Además calcula la tasa exacta de convergencia. ¿Cuántas iteraciones necesitará para alcanzar un error absoluto de .

Solución: El método de Gauss-Seidel es aplicable porque por que la matriz es simétrica definida positiva. Dos iteraciones conducen a: ( ) ( ) ( )

( (

) )

(

)

Y la tasa de convergencia numérica la podemos calcular como (en norma infinito) ( )

‖

‖

( )

Que se parece poco a la tasa de convergencia exacta: ((

)

)

NOTA: Calculando con más iteraciones nos acercamos a la tasa teórica, por ejemplo: (

‖

)

( )

‖

Para alcanzar (en norma infinito) un error absoluto menor que iteraciones.


se requieren 13

Pág. 87

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

Ejemplo 1 Sea el sistema:

Por el método de Gauss-Seidel Analizar su divergencia Hallar su solución con

Solución:

Analizar su divergencia [

L

]

[

]

Luego: (L

)

[

][

]

[

[

‖ ‖

*

∃ {X (k)}

]

]

+ X*


Pág. 88

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

Hallar su solución con

[

De

(

][ ]

)

,

L-[

[

(

)

]

]

,

-

( )

( ) ( )

( )

Sea

[ ]

( )

( )

,

L-[

( )

,

]

-

( )

( )

( )

( )

( )

[

]

[

]

( )

( )

[

][ ]

( )

( ) ( )

( )

(

)

( ) ( ) ( ) ( )

( )

[

]

( )


Pág. 89

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

: 1era Iteración ( )

,

L-[

( )

]

,

-

( )

( )

( )

( )

( )

[

]

[

]

( )

( )

[

][

]

( )

( ) ( )

(

)

( ) ( ) ( )

( )

[

]

( )

: 2da Iteración

( )

,

L-[

( )

]

,

-

( )

( ) ( )

( )

( )

[

]

[

]

( )

( )

*

( )

[

][

]

( )

( ) ( )

( )

+

( ) ( ) ( )

( )

[

]


Pág. 90

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS


,

L-[

( )

]

,

-

( )

( ) ( )

( )

( )

[

]

[

]

( )

( )

[

][

]

( )

( ) ( ) ( )

( )

‖

[

]

( )‖

( )

‖

( )‖

|

|

|

|

( )


Pág. 91

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS


Por el método de Gauss-Seidel Analizar su divergencia Hallar su solución con Solución: Analizar su divergencia [

]

[

]

Luego: (

)

[

][

‖ ‖

*

]

[

][ ]

[

(

,

]

+

∃ {X (k)}

X*


[

De

(

)

,

-[

)

]

]

-

( )


Pág. 92

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

( )

Sea

( )

( )

[ ]

( ) ( )

,

( )

-[

]

,

-

( )

( )

( )

( )

( )

[

]

[

]

( )

( )

[

][ ]

( )

( )

( )

( )

( )

( )

[

]


,

( )

-[

]

,

-

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

[

]

[

]

( )

[

][

]

( )

( )


Pág. 93

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

( )

( )

( )

( )

[

]

: 2da Iteración ( )

,

-[

( )

]

,

-

( )

( ) ( )

( )

( )

[

]

( )

[

]

( )

[

][

]

( )

( )

( )

( )

( )

‖

[

( )‖

( )

‖

]

( )‖

( )


Pág. 94

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS


Por el método de Gauss-Seidel Analizar su divergencia Hallar su solución con Solución: Analizar su divergencia [

]

[

]

Luego: (

)

[

][

]

[

[

‖ ‖ * ∃ {X (k)}

]

]

+ X*


[

][ ]

[

]


Pág. 95

UNMSM De

(

MÉTODOS NUMÉRICOS

)

,

-[

(

)

( )

]

,

]

,

-

( )

( ) ( )

( )

Sea

[ ]

( )

( )

,

-[

-

( )

( )

( )

( )

( )

[

]

[

]

( )

( )

[

][ ]

( )

( ) ( )

( )

(

)

( )

( )

( ) ( )

( )

[

]

( )


,

-[

( )

]

,

-

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

[

]

[

]

( )

[

][

]

( )


Pág. 96

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

( ) ( )

(

)

( )

( ) ( )

( )

[

]

( )

: 2da Iteración ( )

,

-[

( )

]

,

-

( ) ( )

( )

( )

[

]

[

( )

]

( )

( )

*

( )

[

][

]

( )

( ) ( )

( )

+

( ) ( ) ( )

( )

[

]


,

-[

( )

]

,

-

( )


Pág. 97

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS ( ) ( )

( )

( )

[

]

[

]

( )

( ) ( )

[

][

]

( ) ( ) ( )

( )

‖

[

( )‖

( )

‖

]

( )‖

|

|

|

|

( )


Pág. 98

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

DIFERENCIA NUMERICA 

Aproximaciones a la Derivada



Generación de Formulas de Diferenciación Numérica



Primera y Segunda Derivada Aplicando los Métodos de Newton Progresivo y Regresivo y Métodos Centrales.

Diferenciación numérica Dado una tabla de (n+1) puntos igualmente espaciados de la forma: (X0, f0), (X1, f1),… (Xn, fn) continua y diferenciable en [X0, Xn]. El problema de la Diferenciación Numérica es que dado un valor Xp [X0, Xn] se desea hallar el valor ( ) , donde: P

tal que

…( )

P (

(

) (

P )

)

… ( ) Fórmula de Newton Progresivo (N P): Si

Xp = X0 en (i) P = 0 fórmula de NP es: P(P

P∆

)∆ !

)(P

P(P

)∆

P(P

)(P

!

)(P

)∆

!

Según (ii) 0∆

(P

P) ∆ !

(P

P

P) ∆ !

(P

P

P !

P) ∆


1

Pág. 99

UNMSM ( P

0∆

MÉTODOS NUMÉRICOS

)∆

( P

P

!

( P

)∆

P

!

P

)∆

1( )

!

Si XP=X0 en (i) → P=0 en (iii) ∆

,∆

∆

∆

⋯-

DIFERENCIACION DE ORDEN SUPERIOR (

Se desea hallar (

)

(

)

)

(

) en forma aproximada

. Además P ( (

))

Si se sabe

En general se tiene

n

Para Newton Progresivo - hacia adelante (P

0∆

)∆

.

P

P

/∆

…1

Si XP=X0 → P=0 ∆

0∆

. /∆

…1

Formula de Newton Regresivo (NR). Su formula de interpolación es: P(P

P

)

)(P !

P(P

!

)

)(P

P(P

)(P

)

!

Según (ii) , ,

(P

P) !

(P

)

( P

( P !

P

P)

(P

P

P !

P

P

! P !

)

( P


!

P) )

⋯

Pág. 100

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

Si XP=0 → P=0 ⋯1

0

Nota: Para determinar la 1ra derivada se debe tomar una diferencia más que la que indica la T O T en el caso de interpolación. DIFERENCIACION DE ORDEN SUPERIOR

(P

0

P

P

)

.

P

. /

0

P

PARA NEWTON REGRESIVO

/ …1

Ejemplo: En la siguiente tabla determinar (a) X 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

f(X) 1.0000 1.0513 1.1052 1.1618 1.2214 1.2840

…1

y (b)

) por NP

∆2

∆ 513 539 566 596 626

(

26 27 30 30

∆3 1 3 0

Solución(a): 0∆

∆

0

∆

1 1

Solución (b)

es una derivada que esta al principio de la tabla → se emplea la formula de Newton Progresivo, como XP=0.055 es un punto intermedio → XP *0.05,0.10+, → X0=0.05. Se halla su valor de P de:P . (

)


Pág. 101

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

H=0.05 → P f0 X0 0.05 1.0513

S

( P

0∆

P

(

∆f0 539 )∆ !

( P

(

0

)

∆2f0 27 P !

)(

)∆

)

∆3f0 3

1 0

(

)

(

)

1(

)1

Ejemplo de la Fórmula Newton Regresivo Hallar(a) (

) y (b) (

)

Solución (a) Para P=0 y |

se utiliza →

0

P

(

|

1

P

(

0

)

)

porque X0=0.25 en la tabla de NR

1

Solucion(b) P

P

( P

0

P

(

)

(

)

0

P ) !

0

(

( P

P !

)

1(

)

1

)

0

(

)

(


)

1(

)1

Pág. 102

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

FÓRMULA DE DIFERENCIACIÓN DE BESSEL (

P

P

⋯

(

[

P

S

) )

⋯]

P P(P

)

P

P(P

)(P

P

P

)

P

P

P

P

P

Si XP es un punto tabulado XP=X0 → P=0 (

0

)

⋯1

FÓRMULA DE DIFERENCIACIÓN DE STIRLING ( P

S

[ (

P

P 1

)(P

P(P

⋯]

) )

⋯

P

( !) P (P

S P

)

(

S

0

(

)

P

S P

)

)(P

)

P

P

! ( P

)

(

)

⋯

En XP=X0 → P=0 0

(

)

(

)

⋯1


Pág. 103

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

(

Ejemplo 3: Hallar(a)

), (b)

(

)

Solución(a) ( ) ( ) Como 0.10 [0.10, 0.15] → P

P |∆

g P

[

(

P

()

|

S S

)

(

0

g

]…( ) P

)

g

P

1

En la tabla se tiene: (

) (

(

0

)

)

1

Solución (b) (

)

,

P

P |∆

,

|

() P

(

)

P

P


()

Pág. 104

UNMSM (

MÉTODOS NUMÉRICOS

,( )(

)

)

(

)

(

)(

)-

INTEGRACIÓN NUMERICA Para intervalos Simples Método del trapecio

∫

( )

(

( )

Donde

( )=

max * |

)

, ( )|

m є *X0, X1] |

( )|

+

Método de Simpson de 1/3


Pág. 105

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

(

∫

)

,

( )

Donde

*|

( )

m є [X0, X1]

( )|

|

( )|

+

Método de Simpson de 3/8

∫

,

( )

-

( )

( )

*|

( )|

|

( )|

+

Ejemplo:

∫

(

)

Por el trapecio Simple


Pág. 106

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

Solución:

X

f(x)

X0=1

f0=0.841471

X0+h=X1=2

f1=1.818595

Obs: Los puntos Xi son dela forma Xi=X0+hi Determinación del Si ( ) ( ) ( )

*| *|

( ) ( )

( )

( )|

|

( )|

| |

+ |+

(

)

Entonces ∫

(

)

Solución por el método Simpson de 1/3 para intervalo simple Sol:


Pág. 107

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

X

f(x)

X0=1

f0=0.841471

X0+h=1.5

f1=1.496242

X0+2h=2

f2=1.818595

Determinación del Si

( ) ( )

( )

*|

( )

*

( )|

|

( )|

+

+

(

( )

)

Entonces: ∫

( )

(

)

Por Simpson 3/8 para intervalo Simple

Sol: ∫

(

)

, es igual al ejemplo anterior X

f(X)

X0=1

f0=0.841471

X1=4/3

f1=1.295917

X2=5/3

f2=1.659013

X3=2

f3=1.818595


Pág. 108

UNMSM *

( )

MÉTODOS NUMÉRICOS +

(

( )

(

∫

)

)

Integración Numérica para intervalos compuestos

Método del trapecio compuesto

m veces h

Demostración:

∫

( )

(

)

∫

( )

(

)

∫

( )

(

)

… … PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ

Pág. 109

UNMSM ∫

( )

MÉTODOS NUMÉRICOS (

)

Entonces la suma todas las integrales seria:

∫

( )

,(

Determinación del

(

)

(

)-

……

del trapecio

) ( )

Método de Simpson de 1/3 compuesta.

Demostración:

∫

(

)

∫

(

)

∫

(

) …

∫

(


)

Pág. 110

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

Entonces la suma de todas las integrales seria: ∫

,(

( )

Determinación del

)

(

)

⋯

(

⋯

)-

de Simpson de 1/3 compuesta

( ) ( )

… … (

)

( )

( )

Ejemplo:

∫ Por trapecio compuesto con m=5 Sol:

X

f(X)

X0=1 X1=1.2 X2=1.4 X3=1.6 X4=1.8

f0 f1 f2 f3 f4

X5=2

f5

(

)

( ( )

∫

( )

,(

)

(

Es igual al ejemplo del trapecio simple ) ( )

)-

= 1.436070589 +


Pág. 111

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

Simpson de 1/3 compuesto con m=3

X X0=1 X1=7/5 X2=8/6 X3=9/6 X4=10/6 X5=11/6 X6=2 (

)

f(X) f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6=fm (

)

( )

∫

,(

Es igual al ejemplo de Simpson de 1/3

( )

)

(

)

(


)-

2.493614005 +

Pág. 112

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

EXTRAPOLACION DE RICHARDSON- (E.R) Definición ER: Consiste en que a partir de dos estimación (o aproximaciones) de una integral, obtener una tercera aproximación (muchas veces la mejor). Se tiene los siguientes casos: Para intervalos simples: ER entre la Regla del trapecio y la 1º formula abierta (Integración abierta) “ambas de precisión uno” porque ( ) Sea

∫

( )

por dos métodos anteriores se tiene:

Regla Trapecio (RT):

𝐸

𝑓 𝑖𝑖 ( )

(𝑥 𝑥 )

𝐸

(𝑏

𝑎)

𝑏

𝑎

𝑓 𝑖𝑖 ( )

(𝑎 𝑏) 1º Regla Abierta de Newton – Cotes:

𝐸

𝑓

𝑖𝑖 (

)

(𝑥 𝑥 )

𝐸

(

*

𝑓 𝑖𝑖

( )

(𝑎 𝑏) El valor de la integral I* (generalmente es el mejor). Que se cumple: ……… ( ) Tomando el cociente de errores ( (

) )

( )

(

)

( )

Supongamos que: ( )

( )


……… ( )

Pág. 113

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

(2) en (1)

(

)

(3) en (1)

(

) …………… ( )

ó

E.R. entre la R. trapecio Simple y la primera formula abierta

𝑰

𝟏 𝑰 𝟑 𝟏

𝟐 𝑰 𝟑 𝟐

FORMULA EXTRAPOLACION -(ER) ENTRE TRAPECIO SIMPLE Y 1RA FORMULA ABIERTA.

Ejemplo: Calcular ∫ (

)

( )

Aplicando: 4 es decir:

= 1 + 1(1) =2

= 1 + 2(1) =3 (

)

(


)

Pág. 114

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

( )

f(X) f1 ( )( )

Aplicando (4)

(

)

x0

(

x1

x2

) ( )

E.R. ENTRE LAS FORMULAS DE SIMPSON DE 1/3 Y 3/8 SIMPLE

Se sabe que para Simpson de 1/3 para intervalo simple es: ∫

(

(

( )

*

(

)

)

(

(

)

)

( (

)

)

(

)

Y que para Simpson de 3/8 es:


Pág. 115

UNMSM ∫


( )

(

(

*

)

)

(

)

(

(

)

(

)

(

)

)

……( ) Sea el siguiente cociente de errores: (

)

(

)

(

Si

)

(

(

)

(

)

≠

(

)

)

… ( )

(2)’ en (1)’: (

)……( )

(3)’ en (1)’: (

𝐈

)

𝟗 𝐈 𝟓 𝟐

𝟒 𝐈 𝟓 𝟏

… (4)`

Formula De Extrapolación entre Simpson de 1/3 y Simpson de 3/8 para Intervalo Simple

Ejemplo: Aplicando la fórmula

para hallar:

∫ (

)

Solución:

(

)


Pág. 116

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

( ) (

( )

∫ (

𝑓(𝑥)

)

(

)

X0+1h = 𝑋 𝑋

)

𝑋

𝑓 𝑓 𝑓

𝑓(𝑥) (

∫

( )

∫

𝑋 𝑋 𝑋 𝑋

)

(

𝑓 𝑓 𝑓 𝑓

)

(

( )

{

(

(

)

)

(

(

)

)

)}

(E.R) PARA EL TRAPECIO COMPUESTO

Sea:

…… ( ) Para

aplicaciones de la Regla Del Trapecio Compuesto, análogamente:

Para

aplicaciones de la Regla Del Trapecio Compuesto tomando el cociente de errores:


Pág. 117

UNMSM


)

(

)

(

)

(

)

;

≠

(

)

Si:

(

)

(

)

(

*

(

*

…… ( )

(2)” en (1)”: . / . / . / ]

[

.

/

…… ( )

(3)” en (1)”: Para

en (3)”. Se tiene: .

⁄

/

…… ( ) (4)” en (1)” (

𝐈

𝟒 𝐈 𝟑 𝐧𝟐

𝟏 𝐈 𝟑 𝐧𝟏

)

Extrapolación de Richardson (E.R.) para el Trapecio Compuesto para n1 y n2.


Pág. 118

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

Ejemplo 1: ) ) y despues “cuatro Calcular ∫ ( usando “1º dos aplicaciones” ( ) de la regla del Trapecio compuesto y despues aplicar E.R. para encontrar una aplicaciones” ( 3º aproximacion (que es la mejor).

Solución:

,

(

-

⋯

( )

Se tiene: y Para:

(

)

Como

(

𝑓(𝑥)

1 2

1 9 2.5

Para:

( ))

𝑓 𝑓 𝑓

(

)

Como

𝑓(𝑥)

1 1.5 2.5 3

1 4 9 15 25

𝑓 𝑓 𝑓 𝑓 𝑓

(

)


Pág. 119

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS .

( .

(

)/ )/

Aplicando:

(

)

(

)

Ejemplo 2: Evaluar ∫

igual a la pregunta anterior.

Solución: Para:

𝑓(𝑥) 1 2

1 1/2 1/3

𝑓 𝑓 𝑓

∫ ( )

( (

) . /*

Para:


Pág. 120

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

𝑓(𝑥) 1 1.5

1 2/3 1/2 2.5 1/3

2.5 3

∫ ( )

𝑓 𝑓 𝑓 𝑓 𝑓

(

)

(

. /

.

/*

. /

E.R. PARA LAS REGLAS DE SIMPSON DE 1/3 COMPUESTO

Sea

…… ( ) ,

(

Donde

^

Aplicando donde:

Si ( )

(

)

(

⋯

-

son aproximaciones de ^

)

⋯

aplicaciones de la R. de Simpson de 1/3 compuesto y su cociente de errores,

(

(

)

(

)

)

(

)

(

)

;

(

≠

. /

. /

)……( )

……( )

( ) . /


Pág. 121

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS . /

.

/

…… ( )

Para: en ( )

.

/

( ( )

)…… ( )

( ) (

Extrapolación de Richardson (E.R.) entre las reglas de Simpson de 1/3 compuesto para 𝒏𝟏 y 𝒏𝟐 aplicaciones.

)

𝟒 𝐈 𝟑 𝐧𝟐

𝐈

𝟏 𝐈 𝟑 𝐧𝟏

…… ( )

Ejemplo (1):

∫ Para :

X X0=1 X1=2

(

)

f(X) f0 f1

(

)

Para :

X X0=1 X1=1.5 X2=2

f(X) f0 f1 f2


Pág. 122

UNMSM


)(

)

Entonces:


Pág. 123

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

INTEGRACION DE ROMBERG Es un método que combina la convergencia de las reglas del Trapecio o Simpson con las técnicas de extrapolación de Richardson para retener una sucesión que converge hacia el verdadero valor de la integral. Descripción de la técnica de integración de Romberg Vamos a introducir la

y

Trapecio Compuesto para Para:

∫

, la aproximacion de la integral

y

( )

utilizando la regla del

.

; se sugiere la siguiente tabla:

1

2

3

4

1

2

4

8

…

n

La integración de Romberg da su respuesta en forma matricial:

. . .

. . .

. . .

. . .

. . . .

Se sugiere hallar

. .

con la siguiente formula.

𝑅

𝐾

𝐾

(𝑘

𝑓(𝑎)

Nos generamos las siguientes sucesiones

𝑓(𝑏)

∑

𝑖

)

𝑓(𝑎

𝑖

𝐾)

…


Pág. 124

UNMSM ∫

MÉTODOS NUMÉRICOS

( )

( ( )

( ))

Obs: Para las demás filas y columnas se sugiere hallar con la siguiente formula 𝐾

𝑅𝐾

𝑅(𝐾

)

𝐾

∑

𝑖

𝑓(𝑎

(𝑖

)

𝐾

)

De la segunda columna hacia adelante se calculara con la siguiente fórmula: 𝑗

𝑅𝑖 𝑗

𝑅𝑖𝑗

𝑅𝑖

𝑗

𝑗

i = 2, 3, 4,…n j = 2, 3, 4,…n

Para la segunda columna se utilizara:

𝑅𝑘

𝑅𝑘

𝑅𝑘

k = 2,3,…

Para la tercera columna k=3 será:

𝑅𝑘

𝑅𝑘

𝑅𝑘

k = 3,4,…

Para la cuarta columna k=4 será:

𝑅𝑘

𝑅𝑘

𝑅𝑘

k = 4,5,…

Para la quinta columna k=5 será:

𝑅𝑘

𝑅𝑘

𝑅𝑘

k = 5,6,…

Para la sexta columna k=6 será:

𝑅𝑘

𝑅𝑘

𝑅𝑘

k = 6,7,…


Pág. 125

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

Ejercicio 1 Hallar ∫

; con n=6 por Romberg

Solución: Tenemos de datos: a=0 b=0.8 n=6 ( ) Realizando la tabla 1

2

3

4

5

6

1

2

4

8

16

32

0.8

0.4

0.2

0.1

0.05

0.025

Hallamos la primera fila y columna

( )

( )

∑

(

)

Cuando K = 1

[ ( )

(

)

, ( )

(

)-

(

)]

( ) ( ) (

)

,

-

Calculando la primera columna y demás filas. (

)

∑

(

(

)

)


Pág. 126

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

Cuando K = 2

0

(

)

(

(

)

)1

0

(

)

(

(

)

)1

0

(

)

(

(

)

)1

0

(

)

(

(

)

)1

0

(

)

(

(

)

)1

Cuando K = 3

Cuando K = 4

Cuando K = 5

Cuando K = 6

PARA LOS VALORES DE LA SEGUNDA COLUMNA:

Cuando K = 2

Cuando K = 3

Cuando K = 4

Cuando K = 5


Pág. 127

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

Cuando K = 6

PARA LOS VALORES DE LA TERCERA COLUMNA:

Cuando K = 3

Cuando K = 4

Cuando K = 5

Cuando K = 6

PARA LOS VALORES DE LA CUARTA COLUMNA:

Cuando K = 4

Cuando K = 5

Cuando K = 6


Pág. 128

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

PARA LOS VALORES DE LA QUINTA COLUMNA:

Cuando K = 5

Cuando K = 6

PARA LOS VALORES DE LA SEXTA COLUMNA:

Cuando K = 6

LA MATRIZ FINAL SERÁ:

0.712173 0.594777

0.55545

0.564899

0.554939

0.554891

0.557395

0.554889

0.554889

0.554888

0.555517

0.554890

0.554890

0.554890

0.554890

0.555047

0.554890

0.554889

0.554889

0.554889


0.554889

Pág. 129

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON VALOR INICIAL. I) De un solo paso: Dada la Ecuación Diferencial Ordinaria:

𝑦´

𝑓(𝑥 𝑦) /

𝑑𝑦

𝑦´

𝑑𝑥

Con la condición inicial:

𝑦(𝑥 )

𝑦

a) Método de Euler: Es de la forma:

𝑦𝑖

𝑦𝑖

𝑦´𝑖

O

𝑦𝑖

𝑦𝑖

𝑓(𝑥 𝑦)

Observación: Euler es un caso particular de Taylor de orden 1. Ejemplos resueltos: 1º forma de pregunta 1) Dado: ´ Con: ( ) Hallar: (

)


Pág. 130

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

Solución: Como: Entonces: ´

Para i=0 , Donde: (

)

( )

Luego: ´ …( ) Donde: ´ Reemplazando en ( ):

(

(

)( )( )( )

)


Pág. 131

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

2º forma de pregunta 2) Dado: ´ Con: ( ) Hallar: (

) para

,

- , con n=4

Solución: Como: 0

1

1

2

1.25 1.5 (

)

(

)

(

)

(

)

)

(

Para i=1, con (

)

(

Para i=2, con (

)

(

Para i=0, con (

3

4

1.75

2

)

´

)

)


Pág. 132

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

Para i=3, con (

)

(

Para i=4, con (

)

(

)

)

b) Método de Taylor de orden K: Es de la siguiente forma: ´´

´ !

( )

´´´

!

⋯

!

!

O ´

(

)

( )

´´

( ) !

´´´

( ) !

( ) !

( )

⋯

( )

!

Donde: El error local es de la forma: (

)

( )

!

Ejemplos resueltos: 1º forma de pregunta Dado: ´

…( )

Con: ( )


Pág. 133

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

Por Taylor de orden 3 hallar: (

)

Solución: Como: Y de (

) se sabe que:

Luego, Taylor de orden 3 es de la forma: ´ ! Para i=0 con (

)

(

!

´´´

!

)

´´

´ !

´´

´´´

!

!

Se requiere hallar: ´

´´

´´´

( ) ´

…( )

´ ´ ´

Derivando ( ) ´´

´

…( )

´´ ´´

´

( )

( )( )

´´

Derivando ( ) ´´´

(

´´

´´´

(

´´´

(( )( )

´´

´ ´

)

´

´

)

( )( ))


Pág. 134

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

´´´

Por último, reemplazando: )( ) !

(

(

) ( ) !

) ( ) !

… (

)

…

2º forma de pregunta Dado: ´

…( )

Con: ( ) ,

Por Taylor de orden 3 en el segmento

- con n=2, hallar: (

)

Solución: Como: Determinamos los puntos:

)

Para i=0 con (

(

-

´´´

!

!

…

)

,

)

´´

´ !

Para i=1 con (

/

(Resuelto anteriormente)

(

)


Pág. 135

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

´´

´ !

´´´

!

! ´´


´´´

De ( ) ´

…( )

´ ´

…

´

…

Derivando ( ): ´´

´

…( )

´´ ´´

´

(

)

(

… )(

…)

´´


(

´´

´´´

(

´´´

((

´ ´

)

´

´

´´

) … )(

)

(

… )(

… ))

´´´

Luego, reemplazando: ´´

´ !

´´´

!

…

! (

)(

…) !

(

) (

)

(

!


) (

) !

Pág. 136

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

)

Para i=2 con (

(

)

´´

´ !

´´´

!

! ´´


´´´

De ( ) ´

…( )

´ ´ ´

Derivando ( ): ´´

´

…( )

´´ ´´

´

( )

(

)(

)

´´


(

´´

´´´

(

´´´

((

´ ´

)

´

´

´´

) )(

)

(

)(

))

´´´

Luego, reemplazando: ´ !

´´

´´´

!

! (

)(

) !

(

) (

) !


(

) (

) !

Pág. 137

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

PREDICTOR – CORRECTOR Como su nombre lo indica se predice un valor , después se usa una formula diferente para corregir este valor. Los métodos Predictor-Corrector hallar el valor del pto( ) utiliza información del pto( ) y sus precedentes donde cada pto precedente indica un paso, de aquí su nombre como método de múltiples pasos. A diferencia de los métodos de Runge-Kuta, Taylor, Euler, que son métodos de un solo paso (Para utiliza la información de )

Ejemplo: Usando el método predictor – corrector

Predictor: 𝑦𝑖 Corrector: 𝑦𝑖

Con h=0.5, hallar

( )

𝑦𝑖 𝑦𝑖

(

)

sabiendo que satisface:

Solución: ; Por condición del problema. (

(

Y h=0.5

)

) ( )

Para aplicar el predictor corrector, se necesita hallar (puede ser Taylor, o RK), Sea RK-4. ( (

orden

)

)

( )

(

(

) (

por un método no menor de

)

(

)

(

( )(

)

( ))

)(

)

(

)(

)


Pág. 138

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

(

)

(

)

(

(

(

)

(

(

)(

))

)(

)

)

(

(

(

)

(

))

)

(

)(

)

(

) (… )

(

)(

(

)

)(

)

Aplicando el predictor:

(

( )

)(

)

( )

(

( )

)

( )(

)

Aplicando el corrector: ( ( ) ( )

) (

)

→ este es el corrector


Pág. 139

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Una ecuación diferencial ordinaria de orden n se puede transformar en un sistema de EDO de orden 1. Así se tiene una EDO de orden n:

𝑦 (𝑛)

con las condiciones iniciales

(

𝑓(𝑥 𝑦 𝑦

)

( )

𝑦 𝑦

… 𝑦 (𝑛

)

)

n condiciones iniciales

Sea las sgtes transformaciones

. n

(n

)

Se tiene

. n

Sea

… (

( ( )=

( )

)

)

→

( )

( )

( )

( )

…

…

( )

n( )

Ejemplo 1: La Sgte. EDO de Con

( )

( )

orden

( )

Como un conjunto de ecuaciones de

orden

Solución: De Sea ( )

( )

( )

( )

( )

( )


Pág. 140

UNMSM La EDO de

MÉTODOS NUMÉRICOS

orden se expresa como un conjunto de 3 ecuaciones de

orden sgte:

Matricialmente se tiene: =

Con las Sgts. condiciones iniciales ( )

( )

=

( ) ( )

Ejemplo 2: Dado

con

( ) ( )

Expresar como un sistema de EDO de

( ) ( )

orden

Solución Sea

El sistema de EDO de

( )

( )

orden es:

( )

( )


Pág. 141

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

Matricialmente = =

( )

,i=0,1,2

( ) ( ) ( )

Sea ( )

( )

( )

=

( ) ( ) ( )

=


Pág. 142

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

CONCLUSIONES Ventajas y desventajas de los métodos iterativos comparados con los métodos directos Ventajas:  Probablemente son más eficientes que los métodos directos para sistemas de orden muy alto.  Más simples de programar.  Pueden aprovecharse una aproximación a la solución, si tal aproximación existe.  Se obtiene fácilmente bajo aproximaciones burdas de la solución.  Son menos sensibles a los errores de redondeo (valiosos en sistemas mal condicionados).  Se requiere menos memoria de maquina. Generalmente, las necesidades de memoria son proporcionales al orden de la matriz. Desventajas:  Si se tiene varios sistemas que comparten la matriz coeficiente, esto no representara ahorro de cálculos ni tiempo de maquina, ya que por cada vector a la derecha de A tendrá que aplicarse el método seleccionado.  Aun cuando la convergencia este asegurada, puede ser lenta y, por; lo tanto, los cálculos requeridos para obtener una solución particular no son predecibles.  El tiempo de maquina y la exactitud del resultado dependen del criterio de convergencia.  Si la convergencia es lenta, los resultados deben interpretarse con cautela.  No se tiene ventaja particular alguna (tiempo de maquina por iteración) si la matriz coeficiente es simétrica.  No se obtiene la inversa de A ni el determinante de A.


Pág. 143

UNMSM

MÉTODOS NUMÉRICOS

INTEGRANTES 1. ALARCON MONRROY, ALEXANDER……………..

08190032

2. ALVARADO LACMA, MARCIAL…………………………09190023 3. CORREA GALLUFFE, BORIS……………………………..08190144 4. CESPEDES BURGOS, JUAN……………………………….04190205 5. CAQUI PINTADO, GABRIEL……………………………...09190107 6. CASTILLO VELASQUEZ, JUAN………………………….09190026 7. CALDERON HUAMAN, DAVID JESUS………………..10190264 8. DELGADO ARPITA, MIGUEL…………………………….07190020 9. GOMERO GOMERO, CARLOS J………………………….09100168 10. HUAMANI QUISPE, JUAN PABLO…………………….03190038 11. LOPEZ PORRAS, JUAN JOSE……………………………..09190116 12. MARIANO CABELLO, ISIDRO…………………………...09190118 13. MENDOZA GUZMAN, JORGE……………………………07190151 14. MEJIA SANCHEZ, JOSE EDUARDO……………………08190173 15. ROSALES LEON, FERNANDO JESUS…………………09190171 16. RODRIGUEZ ALVARADO, JORGE……………………...08190051 17. RIVERA YANAC, VLADIMIR……………………………..09190139 18. SUEROS ZARATE, JONATHAN………………………….08190094 19. TUÑOQUE MEZA, JOB JOSUE……………………………05190041 20. VILLA FLORES, DANIEL…………………………………..06190148 21. ZAMORA MONTENEGRO, RONEL…………………….09190020 22. ZELADA LOPEZ, ROYBHER FRANK………………….09190153


Pág. 144

Metodos Numericos 3r403h

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