Modul Praktikum Knt.pdf 552zh

MODUL I PERSAMAAN NON LINEAR I

A. Tujuan Percobaan Setelah menjalani praktikum persamaan non linear I, mahasiswa dapat : a. Memahami penyelesaian persamaan non linear dengan menggunakan metode bisection, interpolasi linear, serta secant b. Mampu menyelesaikan persamaan non linear dengan menggunakan metode bisection, interpolasi linear, dan secant dengan bantuan worksheet Ms. Excel c. Mampu menyelesaikan persamaan non linear dengan menggunakan metode bisection, interpolasi linear, dan secant dengan bantuan software MATLAB

B. Dasar Teori Suatu persamaan non-linear f(x) = a1.xn + a2.xn-1 + ... + an.x + an+1 = 0 pada umumnya tak dapat diselesaikan secara

analitis. Persamaan ini dapat diselesaikan

secara numerik. Metoda ini didasarkan pada idea successive approximation atau gabungan idea successive approximation dan linearisasi. Metoda ini sifatnya iteratif yakni dimulai dari satu atau lebih pendekatan awal,selanjutnya diperoleh sederetan harga-harga x0, x1,

x2, ...., yang diharapkan konvergen pada satu harga, yaitu

penyelesaian dari persamaan f(x) = 0 tersebut diatas. Dibawah ini dibahas beberapa metoda numerik yang banyak digunakan untuk menyelesaikan persamaan ini, diantaranya metode bisection, interpolasi linear, dan secant.

F(x) 4 3

(x2,f2)

2

(x4,f4)

1 -1

X1

-2

X4 (x5,f5)

X2

X

(x3,f3)

-3 -4

X3

(x1,f1)

Gambar 1. Proses perhitungan dengan metode Bisection secara grafis

F(x) 4 3

(x2,f2)

2 1 X1

-1

X2

X3

-2 -3

X .f(x2)-f(x1)

(x3,f3)

-4

(x1,f1)

Gambar 2. Proses perhitungan dengan metode Interpolasi Linear secara grafis

F(x) 4 3

(x2,f2)

2 1 X1

-1

X2

X3

-2 -3

X .f(x2)-f(x1)

(x3,f3)

-4

(x1,f1)

Gambar 3. Proses perhitungan dengan metode Secant secara grafis

C. Metodologi Percobaan 1.

Metode Bisection Prosedur berikut merupakan algoritma yang merupakan dasar dari program

komputer. Prosedur ini bila dinyatakan secara matematis adalah sebagai berikut : 1. Pilih harga x1 dan x2 sedemikian sehingga f(x1) dan f(x2) berlawanan tanda. 2. Tentukan harga x3 dengan rumus : x3 = (x1 + x2)/2 3. Bila

1 x1  x 2 2

 Toleransi, harga x3 adalah harga x yang dicari. Bila tidak,

lanjutkan ke tahap 4.

4. Bila f(x3 ) berlawanan tanda dengan f(x1 ), tetapkan x2 = x3 Bila f(x3 ) berlawanan tanda dengan f(x2 ), tetapkan x1 = x3 Kembali ke tahap 2. Prosedur di atas bila diselesaikan dengan bantuan Ms. Excel maka worksheet pada program Ms. Excel ditunjukkan melalui tabel berikut :

Tabel 1. Tabel perhitungan penyelesaian persamaan non linear dengan metode Bisection Iterasi

x1

x2

x3

f(x1)

f(x2)

f(x3)

½ abs (x1 – x2)

1 2 3 4 5 6 . . . 17

Prosedur perhitungan penyelesaian dengan metode Bisection di atas, dapat pula dilakukan dengan bantuan software MATLAB. Melalui MATLAB, dibuat terlebih dahulu list pemrograman berdasarkan algoritma perhitungan di atas pada m-file. Flowchart list pemrograman untuk metode Bisection ditunjukkan oleh Gambar 4 berikut ini :

Start

Read x1,x2, Tol

f1 = f ( x1 ) f2 = f ( x2 ) Y

f1. f2 > 0 N

x3 = 1/2 ( x1 + x2 )

E = 1/2 .abs( x1 – x2 )

E< Tol

Y

Cetak x3

N

f3 = f ( x3 )

f1. f3 < 0

End

Y

N

x2 = x3 f2 = f 3

x1 = x3 f1 = f3

Gambar 4. Flow chart metode Bisection

2.

Metode Interpolasi Linear Prosedur perhitungan penyelesaian persamaan non linear dengan menggunakan

metode interpolasi linear adalah sebagai berikut : 1. Pilih harga x1 dan x2 sedemikian sehingga f(x1) dan f(x2) berlawanan tanda. 2. Tentukan harga x3 dengan rumus : x3  x2 

f ( x2 ) ( x2  x1 ) f ( x2 )  f ( x1 )

3. Bila f ( x3 )

 Toleransi, harga x3 adalah harga x yang dicari. Bila tidak,

lanjutkan ke tahap 4. 4. Bila f(x3) berlawanan tanda dengan f(x1), tetapkan x2 = x3

5. Bila f(x3) berlawanan tanda dengan f(x2), tetapkan x1 = x2 6. Kembali ke tahap 2. Prosedur di atas bila diselesaikan dengan bantuan Ms. Excel maka worksheet pada program Ms. Excel ditunjukkan melalui tabel berikut :

Tabel 2. Tabel perhitungan penyelesaian persamaan non linear dengan metode Interpolasi Linear Iterasi

x1

x2

x3

f(x1)

f(x2)

f(x3)

abs (f(x3))

1 2 3 4 5 6 . . . 17

Prosedur perhitungan penyelesaian dengan metode Interpolasi Linear di atas, dapat pula dilakukan dengan bantuan software MATLAB. Melalui MATLAB, dibuat terlebih dahulu list pemrograman berdasarkan algoritma perhitungan di atas pada m-file. Flowchart list pemrograman untuk metode Interpolasi Linear ditunjukkan oleh Gambar 5 berikut ini :

Start

Read x1,x2, Tol

f1 = f ( x1 ) f2 = f ( x2 ) Y

f1. f2 > 0 N

x3 = x2 –f2*(x2 – x1)/(f2 – f1)

E = abs (f3)

E< Tol

Y

Cetak x3

N

f3 = f ( x3 )

f1. f2 < 0 N

End

Y

x2 = x3 f2 = f 3

x1 = x3 f1 = f3

Gambar 5. Flow chart metode Interpolasi Linear

3.

Metode Secant Prosedur perhitungan penyelesaian persamaan non linear dengan menggunakan

metode secant adalah sebagai berikut : 1. Pilih harga x1 dan x2 sehingga didapat f(x1) dan f(x2). 2. Tentukan harga x3 dengan rumus :

x3  x 2 

f ( x2 ) ( x 2  x1 ) f ( x 2 )  f ( x1 )

3. Bila f ( x3 )

 Toleransi, harga x3 adalah harga x yang dicari. Bila tidak,

lanjutkan ke tahap 4. 4. Tetapkan x1 = x2; f(x1) = f(x2); x2 = x3; f(x2) = f(x3), lalu kembali ke tahap 2.

Prosedur perhitungan penyelesaian dengan metode Secant di atas, dapat pula dilakukan dengan bantuan software MATLAB. Melalui MATLAB, dibuat terlebih dahulu list pemrograman berdasarkan algoritma perhitungan di atas pada m-file. Flowchart list pemrograman untuk metode Secant ditunjukkan oleh Gambar 6 berikut : Start

Read x1,x2, Tol

f1 = f ( x1 ) f2 = f ( x2 )

error = 1 iter=0

x3 = x2 –f2*(x2 – x1)/(f2 – f1) f3 = f(x3) error = abs(f3) iter=iter+1

x1 = x2 f1 = f2 x2 = x3 f2 = f3

error>tol

Cetak x3

End

Gambar 6. Flow chart metode Secant

Contoh list m-file pada program MATLAB untuk metode Secant

D. Soal Diketahui sebuah persamaan kapasitas panas sebagai berikut : = 0.716 − 4257

+

15.04

.

√

Akan ditentukan temperatur pada saat = 1 kJ/kg.K. Untuk itu ubahlah persamaan di atas menjadi : ( ) = 1 − 0.716 + 4257

−

15.04 √

=0

Kemudian, tentukan harga temperatur (T) dengan menggunakan metode bisection, interpolasi linear, secant, newton raphson !

MODUL II PERSAMAAN NON LINEAR II

A. Tujuan Percobaan Setelah menjalani praktikum persamaan non linear II, mahasiswa dapat : a. Memahami penyelesaian persamaan non linear dengan menggunakan metode newton rhapson dan successive approximation b. Mampu menyelesaikan persamaan non linear dengan menggunakan metode newton rhapson dan successive approximation dengan worksheet Ms. Excel c. Mampu menyelesaikan persamaan non linear dengan menggunakan metode newton rhapson dan successive approximation dengan bantuan software MATLAB

B. Dasar Teori Suatu persamaan non-linear f(x) = a1.xn + a2.xn-1 + ... + an.x + an+1 = 0 pada umumnya tak dapat diselesaikan secara

analitis. Persamaan ini dapat diselesaikan

secara numerik. Metoda ini didasarkan pada idea successive approximation atau gabungan idea successive approximation dan linearisasi. Metoda ini sifatnya iteratif yakni dimulai dari satu atau lebih pendekatan awal,selanjutnya diperoleh sederetan harga-harga x0, x1,

x2, ...., yang diharapkan converge pada satu harga, yaitu

penyelesaian dari persamaan f(x) = 0 tersebut diatas. Dibawah ini dibahas beberapa metoda numerik yang banyak digunakan untuk menyelesaikan persamaan ini.

1.

Metode Newton Rhapson Dalam metoda Newton - Raphson, f(x) didekati dengan garis singgungnya pada

titik (xn , f(xn)) dan xn+1 adalah absis dari titik potong garis singgung dengan sumbu x (lihat Gambar 7). Jadi untuk menentukkan xn+1 digunakan Persamaan : f(xn ) + (xn+1 - xn ) f'(xn ) = 0 atau,

X n 1  X n 

f xn  f ' xn 

= Xn - hn Iterasi dihentikan bila (xn+1-xn)/xn menjadi lebih kecil dari kesalahan terbesar yang dibolehkan.

F(x) 4 3

(xn,fn)

2 1

X Xn+2

-1

Xn+1

Xn

-2 -3 -4

Gambar 7. Penyelesaian persamaan non linear dengan metode newton rhapson secara grafis

2.

Metode Successive Approximation

Bila f(x) = 0 dituliskan dalam bentuk lain yaitu: x = g(x) maka ada beberapa cara untuk menuliskan persamaan tersebut,sebagai contoh , f(x) = x2 - 2 x - 3 = 0 dapat ditulis dalam bentuk ,

x  2x  3 atau bisa ditulis dalam bentuk , x

3 x2

x

x2  3 2

atau ,

Jelas bahwa x yang memenuhi persamaan diatas adalah x = 3, dan x = -1 . Sebagai pendekatan mula dipilih misalnya saja x0, maka pendekatan selanjutnya diambil ; X1 = g(x0 ) X2 = g(x1 ) dan seterusnya . Pendekatan ke - n atau yang disebut iterasi ke - n adalah : xn = g (xn

- 1)

dan hal yang perlu diperhatikan disini adalah xn akan memberikan jawaban yang konvergen bila n bertambah.

C. Metodologi Percobaan 1.

Metode Newton Rhapson Prosedur perhitungan penyelesaian persamaan non linear dengan menggunakan

metode newton rhapson adalah sebagai berikut : 1.

Tentukan nilai x0 sehingga didapatkan nilai f(x0)

2.

Tetapkan nilai dari f’(x0)

3.

Hitung harga x1 dengan rumus :

X n 1  X n 

4. Bila

x 0  x1 x0

f xn  atau x1 = x0 – h0 dimana h0 = f(x0)/f’(x0) f ' xn   Toleransi, harga x1 adalah harga x yang dicari. Bila tidak,

lanjutkan ke tahap 5 5.

Ganti x0 dengan x1 lalu kembali ke tahap 1

Prosedur di atas bila diselesaikan dengan bantuan Ms. Excel maka worksheet pada program Ms. Excel ditunjukkan melalui tabel berikut : Tabel 3. Tabel perhitungan penyelesaian persamaan non linear dengan metode Newton Rhapson Ite 1 2 3 . . 12

xn

f(xn)

f'(xn)

hn

xn+1

(xn+1 - xn)/xn

start

xo; tol

f(x0) ; f’(x0)

X1= x0 - f(x0) / f’(x0)

abs ((x1 – x0)/x0) < tol

Y

Cetak Xk+1

N X0=X1

end

Gambar 8. Flow chart metode Newton Rhapson 2.

Metode Successive Approximation Prosedur perhitungan penyelesaian persamaan non linear dengan menggunakan

metode successive approximation adalah sebagai berikut : 1.

Tetapkan nilai x0

2.

Ubah f(x) menjadi bentuk x = g(x)

3.

Hitung x1 = g(x0)

4.

Bila

x 0  x1 x0

 Toleransi, harga x1 adalah harga x yang dicari. Bila tidak,

lanjutkan ke tahap 5 5.

Ganti x0 dengan x1 lalu kembali ke langkah 1

Prosedur perhitungan penyelesaian dengan metode Secant di atas, dapat pula dilakukan dengan bantuan software MATLAB. Melalui MATLAB, dibuat terlebih dahulu list pemrograman berdasarkan algoritma perhitungan di atas pada m-file. Flowchart list pemrograman untuk metode Secant ditunjukkan oleh Gambar 9 berikut :

start

X0 , tol X1 = g(x0)

x1  x0  Tol x0

Cetak

end

X1

X0=X1

Gambar 9. Flow chart metode Successive Approximation

Contoh list m-file pada program MATLAB untuk metode Newton Rhapson

D. Soal a)

Dalam meneliti derajat pencampuran dalam suatu tangki berpengaduk, diperoleh suatu persamaan sebagai berikut : 0.078125 = 2x – 2x2 (1 – e(-1/x)). Dimana x adalah harga bilangan dispersi tangki. Tentukan harga x dengan metode newton rhapson dan successive approximation!

b) Salah satu persamaan empiris yang sering digunakan untuk menaksir tekanan uap jenuh suatu zat adalah persamaan Harlacher yang disajikan berikut,

dimana,

=

+

+

Pvp

= tekanan uap dalam mmHg

T

= suhu dalam oK

( )+

HARA = 72.266

HARC = -7.68

HARB = -7064.2

HARD = 1.86

HARA, HARB, HARC, HARD = konstanta – konstanta Harlacher. Akan dicari tekanan uap jenuh metanol pada suhu 40 oC. Gunakan metode newton rhapson dan successive approximation untuk menghitung tekanan uap jenuh metanol ini. Sebagai harga pendekatan untuk Pvp adalah Pvp0 = 264 mmHg dan toleransi 0,1%.

MODUL III PERSAMAAN ALJABAR LINEAR

A. Tujuan Percobaan Setelah menyelesaikan praktikum persamaan aljabar linear, mahasiswa dapat : a. Memahami penyelesaian persamaan aljabar linear dengan menggunakan metode langsung dan tak langsung (iterative). b. Mampu menyelesaikan persamaan aljabar linear dengan menggunakan metode langsung dan tak langsung (iterative) dengan bantuan worksheet Ms. Excel. c. Mampu menyelesaikan persamaan aljabar linear dengan menggunakan metode langsung dan tak langsung dengan bantuan software MATLAB.

B. Dasar Teori Secara umum suatu sistem persamaan aljabar linier dapat dituliskan sebagai berikut : a11 x1 + a12 x2 + ........... + a1n xn = c1 a21 x1 + a22 x2 + ........... + a2n xn = c2 ‘ ‘ an1 x1 + an2 x2 + ........... + ann xn = cn Atau bila dinyatakan dalam notasi matrix : x =c dimana,

a11 a12 ...... a1n  a a ...... a  2n   21 22    ' '   ' '  a n1 a n 2 ...... a nn   

 x1 x  2 ; x  '  '  xn 

 c1  c   2  dan c  '    '  c n  

       

Problemnya adalah tentukan x bila  dan c diketahui. Ada dua metoda yang digunakan

untuk

menyelesaikan

sistem persamaan aljabar linier yaitu : metoda

Langsung & metoda tak langsung (metoda interative). Metoda langsung baik digunakan pada matrix yang rapat (dense matrix), yaitu matrix yang elemen-elemen nol-nya hanya sedikit, sedang metoda tak langsung (iterative) digunakan untuk sparse matrix, yaitu matrix yang banyak elemen-elemen nolnya. Dalam modul ke-3 ini, akan dibahas

penyelesaian persamaan aljabar linear dengan metode langsung, yakni : metode eliminasi gauss, gauss yordan, dan LU decomposition. C. Metodologi Percobaan 1.

Metode Langsung Untuk menggambarkan prosedur perhitungan penyelesaian persamaan aljabar linear

secara langsung dengan metode eliminasi, perhatikan sistem 3 persamaan berikut : a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = c1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = c2 a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = c3 1.

Pada tahap pertama, baris ke-2 dikurangkan dengan ( baris ke-3 dikurangkan dengan (

a11 x1 +

− 1)

a12 x2 +

a13 x3

− 1)

dan

maka diperoleh :

= c1

 a .a  0 x1 + (a22 -  12 21  ) x2 + (a23  a11 

 a13 . a 21    ) x3 = (c2  a11 

 c1 . a 21    )  a11 

 a .a  0 x1 + (a32 -  12 31  ) x2 + (a33  a11 

 a13 . a31    ) x3 = (c3  a11 

 c1 . a31    )  a11 

atau, a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = c1 0 x1 + a22(1) x2 + a23(1) x3 = c2(1)

(A)

0 x1 + a32(1) x2 + a33(1) x3 = c3(1) dimana,

2.

 a .a  a22(1) = (a22 -  12 21  )  a11 

 a .a  a32(1) = (a32 -  12 31  )  a11 

 a .a  a23(1) = (a23 -  13 21  )  a11 

 a .a  a33(1) = (a33 -  13 31  )  a11 

 c .a  c2(1) = (c2 -  1 21  )  a11 

 c .a  c3(1) = (c3 -  1 31  )  a11 

Pada tahap kedua, baris ke-3 dari persamaan (A) dikurangkan dengan (

− 2)

a11 x1 + a12 x2 + 0 x1 + a22(1) x2 +

( ) ( )

, maka diperoleh : a13 x3

= c1

a23(1) x3 = c2(1)

0 x1 +

0 x2 + (a33

(1)

 a (231) a (321) -  (1)  a  22

  )x3 = (c3(1) 

 c (21) a (321)   a (1)  22

 )  

atau, a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = c1 0 x1 + a22(1) x2 + a23(1) x3 = c2(1)

(B)

0 x2 + a33(2) x3 = c3(2)

0 x1 + dimana, a33

c3 3.

(2)

(2)

= (a33

= (c3

(1)

 a (231) a (321) -  (1)  a  22

 c (21) a (321) -  (1)  a  22

(1)

 )  

 )  

Dari persamaan (B) baris ke-3 hanya mengandung x3 maka x3 dapat ditentukan, x2 dapat diperoleh dari baris ke-2, dan x1 dapat diperoleh dari baris ke-1, dengan rumus : x3 = c3(2) / a33(2) x2 = (c2(1) - a23(1) x3 ) / a22(1) x1 = (c1 - a12 x2 - a13 x3) / a11

4.

Nilai a11, a22(1), dan a33(2) tidak boleh sama dengan nol. Bila nilai a11, a22(1), dan a33(2) sama dengan nol maka baris – baris persamaan disusun kembali (dipertukarkan), lalu kembali ke tahap 1.

Prosedur perhitungan di atas dapat dilakukan baik secara manual maupun dengan bantuan program Ms. Excel. Selain menggunakan prosedur perhitungan di atas, penyelesaian persamaan aljabar linear dengan metode langsung juga dapat dilakukan dengan bantuan program MATLAB. Prosedur perhitungan persamaan aljabar linear dengan program MATLAB dijabarkan sebagai berikut : 1.

Tahap pertama, susun persamaan aljabar linear menjadi seperti berikut : a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = c1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = c2 a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = c3

2. Tahap kedua, nyatakan dan susun persamaan aljabar linear ke dalam notasi matrix pada command window program MATLAB, seperti berikut :

a 11 a 12 a 13  A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

   

c 1  B = c2  c 3

   

Contoh penulisan matrix pada command window MATLAB

3. Kemudian, hitung nilai x dengan rumus x = A\B’ dimana merupakan inverse dari perkalian matrix A dan x. Contoh perhitungan nilai matrix x pada command window MATLAB sebagai berikut :

4. Sehingga didapat nilai x1, x2, dan x3 dari hasil perhitungan matrix tadi.

2.

Metode Tidak Langsung Terdapat dua metode tak langsung dalam penyelesaian persamaan aljabar linear

yang kesemuanya merupakan perhitungan secara iterasi, yakni metode yacobi dan metode gauss-siedel. Prosedur perhitungan kedua metode tersebut dijabarkan di bawah ini. 1. Baris – baris persamaan diatur kembali sehingga elemen – elemen diagonal diusahakan mempunyai harga yang relatif lebih besar dibanding elemen pada baris yang sama. 2. Ubah persamaan aljabar linear tersebut menjadi : − − = −

=

−

−

=

−

3. Tetapkan harga awal dari x10, x20, x30 kemudian lakukan proses iterasi 4. Proses iterasi Yacobi : = = =

−

−

−

−

−

−

Proses iterasi Gauss-Siedel : = = =

−

− −

−

− −

5. Iterasi dihentikan bila harga xin+1 mendekati harga xin.

Proses perhitungan dengan cara iterasi di atas, dapat dilakukan baik secara manual maupun dengan bantuan program Ms. Excel. Di bawah ini ditampilkan contoh tabel perhitungan proses iterasi dengan metode yacobi dan gauss-siedel yang dilakukan dengan bantuan Ms. Excel.

Tabel 4. Perhitungan dengan metode Yacobi dan Gauss-Siedel k 0 1 2 3 4 5 . . 15 . . 19

xk 1.0 1.75 1.84375 1.9625 1.99062500 1.99414063 . . 1.99999993 . . 2.00000000

Yacobi yk 2.0 3.375 3.875 3.925 3.97656250 3.99531250 . . 3.99999985 . . 4.00000000

zk 2.0 3.0 3.025 2.9625 3.00000000 3.00093750 . . 2.99999993 . . 3.00000000

k 0 1 2 3 . . 8 9 10

Gauss Seidel xk yk 1.0 2.0 1.75 3.75 1.95 3.96875 1.995625 3.99609375 . . . . 1.99999983 3.99999988 1.99999998 3.99999999 2.00000000 4.00000000

zk 2.0 2.95 2.98625 2.99903125 . . 2.99999996 3.00000000 3.00000000

D. Soal Xylene (1), styrene (2), toluene (3), dan benzene (4) akan dipisahkan menggunakan 3 buah menara distilasi sebagaimana ditunjukkan oleh gambar di bawah. Masing – masing yaitu : F, D, B, D1, B1, D2, dan B2 adalah laju alir molar dalam mol/menit.

Dari skema process flow diagram (PFD) di atas, buatlah neraca massa dan hitung : a) Laju alir molar untuk aliran D1, D2, B1, dan B2 ! b) Laju alir molar dan komposisi aliran D dan B !

MODUL IV INTEGRASI NUMERIK

A. Tujuan Percobaan Setelah menyelesaikan praktikum integrasi numerik, mahasiswa dapat : a. Memahami penyelesaian persoalan integrasi numerik dengan menggunakan trapezoidal rule, simpson’s 1/3 rule, dan simpson’s 3/8 rule. b. Mampu menyelesaikan persoalan integrasi numerik dengan menggunakan trapezoidal rule, simpson’s 1/3 rule, dan simpson’s 3/8 rule dengan bantuan worksheet Ms. Excel. c. Mampu menyelesaikan persoalan integrasi numerik dengan menggunakan trapezoidal rule, simpson’s 1/3 rule, dan simpson’s 3/8 rule dengan bantuan software MATLAB.

B. Dasar Teori Strategi untuk menjabarkan rumus – rumus integrasi numerik adalah semua differensiasi numerik. Yaitu, dicari suatu polinomial yang melalui titik – titik fungsi (titik – titik tabel data), dan kemudian integrasi polinomial ini. Bila titik – titik tabel data berjarak sama, maka digunakan polinomial Newton Gregory forward, yaitu : i (i  1) 2!

f(xi)  Pn(xi) = fo + i fo + = fo +

i   ∆fo  1

+

∆2fo +

i 2   ∆ fo  2

+

i(i  1)(i  2) 3! i 3   ∆ fo  3

+

∆3fo + . . . . . i 4   ∆ fo  4

+ .....

Lalu polinomial Newton Gregory forward tersebut diintegrasi dengan b

 a

b

f ( x)dx =

 P ( x )dx n

i

+ Error

a

Kesalahan integrasi ini adalah :

 i  n 1 ( n 1) h f ξ dx Error =   n  1 a b

Ada berbagai cara untuk menggunakan persamaan integrasi di atas. Kadangkala interval integrasi (a, b) dibuat sama dengan jarak polinomial (xo, xn). Dalam hal ini diperoleh rumus-rumus Newton-Cotes. Berdasarkan hal tersebut terdapat rumus-rumus integrasi numerik dengan berbagai derajat interpolating polynomial. Yang sering dipakai adalah rumus-rumus integrasi yang menggunakan polynomial derajat satu, dua dan tiga.

Trapezoidal Rule Dalam hal ini range integrasi dibagi-bagi dalam beberapa bagian, yang tiap bagiannya, harga integrasinya dihitung dengan rumus Newton-Cotes menggunakan polinom derajat satu. xi 1



Bi =

f(x) dx =

xi

(f(x i )  f(x i 1 )h , maka : 2

b



f(x) dx bisa dihitung sebagai berikut :

a

b



n

f(x) dx =



n

Bi

i 1

a

=

=

h

 2 (fi + fi+1) i 1

h (f1 + 2 f2 + 2 f3 + 2 f4 + 2 f5 + .... + fn+1) 2

Simpson’s 1/3 Rule Dalam hal ini range integrasi dibagi-bagi dalam beberapa bagian yang tiap bagiannya, harga intgrasinya dihitung dengan rumus Newton-Cotes menggunakan Polinom derajat kedua. xi 2

Bi =



f(x) dx =

xi

h (fi + 4 fi+1 + fi+2) 3

b



Harga

f(x) dx bisa dihitung sebagai berikut :

a

b



n

f(x) dx =

 2

Bi

i 1

a

=

h (f1 + 4 f2 + 2 f3 + 4 f4 + 2 f5 + .... + fn+1) 3

Simpson’s 3/8 Rule Dalam hal ini, range integrasi dibagi-bagi dalam beberapa bagian yang bagiannya, harga integrasinya dihitung dengan rumus Newton-Cotes menggunakan Polinomial derajat tiga. xi 3

Bi =



f(x) dx =

xi

3h (fi + 3 fi+1 + 3 fi+2 + fi+3) 8

b

Harga



f(x) dx bisa dihitung sebagai berikut :

a

b

 a

n

f(x) dx =

 3

i 1

Bi

=

3h (f1 + 3 f2 + 3 f3 + 2 f4 + 3 f5 + 3 f6 + 2 f7 .... + fn+1) 8

C. Metodologi Percobaan Untuk memahami prosedur perhitungan integrasi numerik dengan ketiga metode tersebut, perhatikan fungsi (x) berikut : Misal : ( ) =

+

+

+

pada jarak yang berhingga seperti ∫

dan akan dicari integral dari fungsi (x) tersebut ( )

, maka

1. Tetapkan harga x1 dan x2 untuk nilai integrasi yang diinginkan. 2. Lalu tetapkan nilai n (banyaknya interval), semakin banyak interval maka hasil yang didapat semakin akurat. 3. Setelah itu, hitung nilai h (increment untuk tiap – tiap interval) dengan rumus ℎ=

.

4. Kemudian, hitung tiap – tiap nilai xn = x1 + h dan f(xn). 5. Hitung nilai integrasinya secara numerik dengan ketiga metode di atas. Trapezoidal Rule b



f(x) dx =

a

h (f1 + 2 f2 + 2 f3 + 2 f4 + 2 f5 + .... + fn+1) 2

Simpson’s 1/3 Rule b



f(x) dx =

a

h (f1 + 4 f2 + 2 f3 + 4 f4 + 2 f5 + .... + fn+1) 3

Simpson’s 3/8 Rule b

 a

f(x) dx =

3h (f1 + 3 f2 + 3 f3 + 2 f4 + 3 f5 + 3 f6 + 2 f7 .... + fn+1) 8

Proses perhitungan dengan prosedur di atas, dapat dilakukan baik secara manual maupun dengan bantuan program Ms. Excel. Selain dengan menggunakan bantuan program Ms. Excel, penyelesaian integrasi numerik dengan ketiga metode di atas juga dapat dilakukan dengan bantuan program MATLAB. Tahap pertama dalam menyelesaikan persoalan integrasi numerik dengan menggunakan MATLAB yakni, membuat list pemrograman pada m-file kemudian memanggilnya ke dalam command window MATLAB. Berikut ditampilkan flow chart dari ketiga metode tersebut yang dapat digunakan sebagai panduan dalam membuat list pemrograman pada m-file.

Gambar 10. Flow-chart Metode Trapezoidal

Gambar 11. Flow-chart Metode Simpson’s 1/3 Rule

Gambar 12. Flow-chart Metode Simpson’s 3/8 Rule

Contoh list m-file metode trapezoidal pada program MATLAB

D. Soal Soal 1 Air dengan laju 1000 gal/jam didinginkan dari 1300F menjadi 900F di dalam suatu forced draft cooling tower pada keadaan sedemikian sehingga harga HTU adalah 1,75 ft. Udara masuk dari dasar menara pada suhu dry bulb 750F dan suhu wet bulb 680F. Digunakan laju udara 1,32 kali laju minimumnya. Tahanan perpindahan panas pada fasa liquid diabaikan. Tinggi menara yang dibutuhkan dapat dicari dengan persamaan: ZT=HTU*NTU, 118

NTU 

H

34

dH v i  Hv

dimana Hv = enthalpy udara pada suatu tempat dalam menara Hi = enthalpy udara pada permukaan antar fasa di suatu tempat dalam menara.

Untuk kondisi yang disebutkan di soal, telah dihitung data berikut : Hv

34

55

76

97

118

Hi

56

71.5

92

120

156

Dengan menggunakan metoda : a.

Trapesium untuk 8 interval

b.

Simpson’s 1/3 Rule untuk 4 interval

c.

Simpson’s 3/8 Rule untuk 4 interval

untuk menghitung integralnya, perkirakan tinggi cooling tower yang dibutuhkan !!!

Soal 2 Data berikut ini menyatakan nilai kapasitas panas suatu bahan (c) pada berbagai suhu (T) : T (oC)

-100

-50

0

50

100

150

200

c (kal/g.oC)

0,11904

0,12486

0,132

0,14046

0,15024

0,16134

0,17376

Panas yang diperlukan untuk menaikkan suhu bahan dengan massa m dari T1 ke T2 adalah sebesar : ∆

(

=

dengan, =

∫

−

)

−

Berdasarkan data di atas, berapa panas yang diperlukan untuk menaikkan suhu 1000 gram bahan tersebut dari -100 oC hingga 200 oC? (Gunakan integrasi numerik untuk menghitung nilai c rata – rata dengan ketiga metode yang telah diajarkan)

MODUL V PERSAMAAN DIFFERENSIAL

A. Tujuan Percobaan Setelah menyelesaikan praktikum persamaan differensial, mahasiswa dapat : a. Memahami penyelesaian persoalan persamaan differensial dengan menggunakan metode euler dan modifikasi euler serta metode runge - kutta. b. Mampu menyelesaikan persoalan persamaan differensial dengan menggunakan metode euler dan modifikasi euler serta metode runge – kutta dengan bantuan worksheet Ms. Excel. c. Mampu menyelesaikan persoalan persamaan differensial dengan menggunakan metode euler dan modifikasi euler serta metode runge – kutta dengan bantuan software MATLAB.

B. Dasar Teori Akan diselesaikan persamaan differensial orde satu dalam bentuk berikut : dy = f (x, y) dx

y(xo) = yo (sebagai kondisi awal) Ada beberapa metoda yang digunakan : 

Taylor – Series Method



Euler dan Modified Euler Method



Runge – Kutta Method



Multi Step Method



Milne's Method



Adams – Moulton Method

Disini akan dibahas hanya metode euler dan modifikasi euler serta runge – kutta. 1.

Metode Euler dan Euler Modifikasi Konsep dari perhitungan numeris untuk persamaan differensial ini didasari dari

deret taylor, yakni y(x) = y(xo) + y'(xo)(x – xo) +

y" ( x o ) y ' ' ' ( xo ) (x – xo)2 + (x – xo)3 + ……… 2! 3!

Bila didefinisikan (x – xo) = h, deret diatas dapat ditulis : y" ( x o ) 2 y ' ' ' ( x o ) 3 h + h + ……. 2 6

y(x) = y(xo) + y'(xo)h +

Misal kita pilih nilai h cukup kecil sehingga kita bisa potong deret ini sampai suku turunan pertama. y(xo + h) = y(xo) + hy'(xo) +

y ' ( ) 2 h 2

xo < ξ < xo + h

Dalam menggunakan metoda ini, harga y(xo) diperoleh dari kondisi awal, dan y'(xo) dihitung dari f(xo, yo). Metoda ini digunakan secara iteratif. Sesudah diperoleh penyelesaian pada x = xo + h, dicari penyelesaian pada x = xo + 2 h, dan seterusnya. Maka algoritma Metoda Euler adalah: yn+1 = yn + hy'n + 0(h2) error y Penyelesaian analitik y1 harga y yang dicari

yo

x xo

xo + h

Gambar 12. Grafik perbandingan penyelesaian persamaan differensial secara analitis dan numeris Kejelekan dari metoda ini adalah kurangnya ketelitian, perlunya step yang kecil. Gambar 12 menunjukkan bagaimana kita dapat meningkatkan ketelitian metoda ini. Dengan metoda Euler, digunakan koefisien arah pada awal interval y'n, untuk menentukan besar perubahan harga fungsi. Nampak bahwa bila digunakan koefisien arah rata-rata pada interval xn < x < xn+1 untuk menentukan harga perubahan y, maka akan diperoleh hasil yang lebih teliti. Maka algoritma untuk metoda Euler yang dimodifikasi adalah: yn+1 = yn + h 2.

y ' n  y ' n 1 2

Metode Runge – Kutta Dibawah ini dibahas pengembangan metoda Runge – Kutta orde dua. Kita tulis

perubahan dari y sebagai rata-rata berbobot dari dua estimasi ∆y yaitu, k1 dan k2. Untuk persamaan

dy = f(x, y), dx

yn+1 = yn + a k1 + b k2

k1 = h f(xn, yn)

(A)

k2 = h f(xn + α h, yn + β k2) Harga-harga k1 dan k2 dapat dibayangkan sebagai estimasi perubahan y bila x berubah dengan h karena harga-harga ini merupakan hasil kali perubahan dari x dan harga koefisien arah (gradien) dari kurva,

dy . dx

Metoda Runge – Kutta selalu menggunakan estimasi Euler sebagai estimasi pertama dari Δy; estimasi kedua diambil dengan harga x bertambah dengan α h (α = fraksi) dan harga y bertambah dengan β k1 (β = fraksi). Persoalan sekarang adalah untuk memberikan dasar pada pemilihan harga-harga a, b, α dan β. Dibawah ini diberikan cara pemilihan harga a, b, α dan β. Dari expansi deret Taylor, yn+1 = yn + h f(xn, yn) + ( ½ h2 ) f ' (xn, yn) + ....... Karena

df dy = fx + fy = fx + fy f, maka persamaan diatas bisa ditulis: dx dx

yn+1 = yn + h fn + h2 ( ½ hx + ½ fy f)n

(B)

Sekarang Pers. (A) ditulis kembali dengan mengsubstitusi definisi dari k1 dan k2: yn+1 = yn + a h f(xn, yn) + b h f [xn + α h, yn + β h f (xn, yn)]

(C)

Agar Pers. (C) dapat dibandingkan dengan Pers. (B), maka f(x, y) diekspansi menurut deret Taylor disekitar (xn, yn) sampai pada turunan pertama saja. Maka f [xn + α h, yn + β h f (xn, yn)] dapat ditulis dengan: f [xn + α h, yn + β h f (xn, yn)] = (f + fx α h + fy β h f)n

(D)

Dengan mensubstitusikan Pers. (5-7) ke Pers. (5-6), maka diperoleh: yn+1 = yn a h fn + β h (f + fx α h + fy β h f)n atau :

yn+1 = yn + (a+b) h fn + h2 ( α b fn + β b fy)n

(E)

Pers. (E) identik dengan Pers. (B) bila : a = b = 1, a b = ½

,βb=½

Jadi ada 3 persamaan yang harus dipenuhi oleh 4 bilangan tak diketahui. Maka satu bilangan tak diketahui bisa ditetapkan sebarang. Untuk a =

2

3

Untuk a = ½

→

→

b=

1

α=

3

β=

3

3 2 2

b = ½ , sama dengan metode Modifikasi Euler α=1 β=1

Jadi metoda Euler yang dimodifikasi merupakan keadaan khusus dari Metoda Runge – Kutta Orde Dua. Pengembangan selanjutnya dari metoda Runge – Kutta ini adalah Metoda Runge – Kutta Orde Empat. Penjabaran metoda ini adalah serupa dengan yang orde dua. Berikut ini algoritma dari metoda ini: yn+1 = yn +

1

6

(k1 + 2 k2 + 2 k3 + k4)

k1 = h f(xn, yn) k2 = h f(xn + ½ h, yn + ½ k1) k3 = h f(xn + ½ h, yn + ½ k2) k4 = h f(xn + h, yn + k3) Local Error dari Metoda Runge – Kutta Orde Empat adalah O(h5), sedangkan Global Error-nya adalah O(h4).

C. Metodologi Percobaan Prosedur perhitungan persamaan differensial secara numeris dengan metode euler serta runge – kutta di atas dapat dilakukan pada worksheet Ms. Excel ataupun dengan list pemrograman MATLAB. Perhitungan dengan worksheet Ms. Excel dapat dijabarkan sebagai berikut : 1. Tetapkan harga awal x0 = 0 sehingga didapat y(0). 2. Tetapkan jumlah interval n 3. Hitung increment h dengan rumus : − ℎ=

4. Hitung harga yn+1 untuk masing – masing metode dengan algoritma yang telah dijelaskan di atas. Berikut contoh tabel perhitungan penyelesaian persamaan differensial dy/dx = x + y dengan h = 0,02 dan y(0) = 1 menggunakan metode Euler. xn

yn

y'n

h y'n

0

1

1

0,02

0,02

1,02

1,04

0,0208

0,04

1,0408

1,0808

0,0216

0,06

1,0624

1,1224

0,0224

0,08

1,0848

1,1648

0,0233

0,1

1,1081

Berikut ditampilkan flow chart metode euler dan runge – kutta untuk list pemrograman pada MATLAB.

Gambar 13. Flow-chart Metode Euler

Gambar 14. Flow-chart Metode Runge – Kutta

Berikut contoh list m-file pada MATLAB untuk metode Runge – Kutta

D. Soal Kinerja sebuah reaktor batch nonisotermal dapat digambarkan melalui 2 persamaan berikut : = −

= 1000

−

10 + 273 10 − + 273

− 10( − 20)

dengan CA menyatakan konsentrasi reaktan (dalam gmol/L) dan T menyatakan suhu di dalam reaktor (dalam oC) pada setiap saat t (dalam jam). Kondisi awal sistem reaksi ini (pada t = 0): CA0 = 1 gmol/liter dan T0 = 25oC. Berapakah CA dan T pada t = 0,1 jam? Gunakan dan bandingkan penggunaan metode : a.

Euler dan Euler Modifikasi

b.

Runge – Kutta orde 4