Pendiente Y Ecuacion Lineal 3c4y2o

Universidad Mariano Gálvez de Guatemala Facultad de Ingeniería, Matemáticas y Ciencias Físicas. Ingeniería Industrial Jornada Matutina Pre calculo Catedrático Ingeniero Cayetano Vinn

José Eduardo Flores Téllez 1012-11-3281 Marcela Peña1012-11Barrera Monzón1012-11-7176 1012-12-1974

María Carlos Eduardo Cristian Vinicio Muralles William Fuentes 1012-11Guatemala 8 de Noviembre de 2012

Introducción

La línea recta y a pendiente son dos elementos matemáticos que los podemos ver aplicados en el mundo real todos los días y muchas veces sin darnos cuenta. Cuando salimos de nuestras casas cada mañana y caminamos por las calles inclinadas que están cerca de nuestras casas, al subir las escaleras del autobús, cuando vemos el diseño aerodinámico de un vehículo, el barandal de una escalera, en las construcciones de edificios, etc., todos estos ejemplos son una pequeña muestra Física. De la importancia de la geometría analítica y la resolución de ecuaciones lineales. Pero su aplicación no se limita únicamente en estructuras físicas podemos observar que en el área económica y istrativa de una empresa juega un papel de importancia porque son una herramienta para poder representar el desempeño de ganancia, perdidas, determinar utilidades, gastos, costos, sueldos de empleado, etc. De ahí parte un sinfín de aplicaciones en el trabajo a continuación desarrollamos teóricamente la línea recta y la pendiente, luego se elaboró una aplicación real de lo aprendido.

Marco Teórico

Antecedentes Históricos René Descartes (1596-1650)

Considerado el padre de la filosofía moderna, René Descartes fue un pensador completo, que abordó también el estudio de las ciencias. En física, sin saber que Galileo ya lo había hecho, resolvió el problema de las leyes que rigen el movimiento de caída de los cuerpos. En matemáticas, fue el creador de la geometría analítica, para lo que estableció el sistema de coordenadas ortogonales, conocido en la actualidad como sistema cartesiano. Asimismo, contribuyó a simplificar y normalizar la nomenclatura algebraica. Tras escribir las Reglas para la dirección del espíritu (16281629) y El mundo o Tratado de la luz (1633), en el que se incluyó su Tratado del hombre, publicó su obra de mayor relieve, el Discurso del método (1637), que servía de prólogo a la edición conjunta de tres ensayos de índole científica: la Dióptrica, la Geometría y los Meteoros. En 1641 escribió Meditaciones metafísicas, y en 1644, los Principios de la filosofía. Por último, en 1649 se publicó su obra Pasiones del alma. En el sistema de pensamiento de Descartes, la filosofía engloba a todas las ciencias. Representó el conocimiento como un árbol cuyas raíces son la metafísica y cuyo tronco es la física, del que salen tres ramas principales –la medicina, la mecánica y la ética– de las que derivan todas las otras ciencias. Consideraba que había tres sustancias: una infinita y auto subsistente, es decir, que existe por sí misma, a la que denominó res infinita e identificó con Dios, y dos sustancias finitas, que dependen para su existencia de la res infinita, a las que llamó rescogitans o sustancia pensante y res extensa o sustancia corpórea, cuya principal característica es la extensión en el espacio. El pensamiento filosófico de Descartes se fundamenta en un método que consiste en tomar un punto de partida indudable sobre el que construir todo el conocimiento. En matemáticas creó la geometría analítica según el mismo principio, a partir de un sistema de coordenadas formado por dos rectas que se cortan en un punto, denominado origen.

El Plano Cartesiano El plano cartesiano Consiste en dos líneas rectas, una vertical denominada eje de las “Y” u ordenada, y una línea horizontal llamada eje de las ”X” o abscisas; que se interceptan en un punto que recibe el nombre de origen, el cual se representa con el número cero.

A partir del origen hacia la derecha sobre la línea horizontal y hacia en la línea vertical, se representan valores positivos en “X” y en “Y” respectivamente. Hacia la izquierda en la línea horizontal y hacia abajo en la línea vertical, se representan los valores negativos en “X” y en “Y”, respectivamente, Al interceptarse las dos líneas se forman cuatro cuadrados denominados cuadrantes, los cuales se enumeran en sentido contrario a la agujas del reloj utilizando números romanos.

II

+

x

III

Y

0

-

Y

I + x

IV

Rep resentación de Puntos en el Plano Cartesiano Si en cualquiera de los cuatro cuadrantes, se proyecta un valor de “Y”, el punto donde se interceptan forman un “par ordenado o coordenada cartesiana”, la cual es un sistema de referencia para localizar los puntos en el espacio.

II x

III

+

Y

+ x

0

-

I

Y

IV

La Línea Recta En Geometría Euclidiana, la recta o línea recta, es el ente ideal que solo posee una dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, o sea, no posee principio ni fin.

Características de la Línea Recta Algunas de las características de la línea recta son las siguientes: a) La recta se prolonga al infinito en ambos sentidos. b) La distancia más corta entre dos puntos está en una línea recta, en la geometría euclidiana. c) La recta es un conjunto de puntos situados a lo largo de la intersección de dos planos. La característica más importante de la línea recta es la pendiente.

Pendiente de la Recta

En matemáticas y ciencias aplicadas se denomina pendiente a la inclinación de un elemento ideal, natural o constructivo respecto de la horizontal.

Definición de la Pendiente La pendiente de una recta en un sistema de representación triangular (Cartesiano), suele ser representado por la letra ,y es definido como el cambio en el eje , entre 2 puntos de la recta, se describe en la siguiente ecuación

El símbolo delta diferencia.

, es comúnmente usado en cálculo para representar un cambio o

Formula de la Pendiente

Dados dos puntos ( en se calcula como obtenemos.

)y(

), la diferencia en es , mientras que el cambio . Sustituyéndolo ambas cantidades en la ecuación descrita

La pendiente se explica en forma grafica, podemos observar que si tengo dos puntos con sus respectivas coordenadas, puedo determinar la pendiente de la siguiente manera.

(

(

)

)

Ecuaciones de la Recta

Forma Punto Pendiente y pasa por el punto (

La ecuación de la recta que tiene pendiente por:

(

), esta dado

)

Para poder utilizarla es necesario conocer la pendiente y un punto. Ejemplo Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto ( .

) y tiene pendiente

Tenemos que:

(

)

La ecuación sirve para calcular valores de , en función de valores de ecuación descrita anterior podemos definir 2 puntos.

La grafica queda de la siguiente forma

(

)

(

)

Para la

Ejemplo Calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos (

)y(

).

Calculamos

( (

) ))

(

La ecuación queda de la siguiente manera: ( (

) (

Ecuación Pendiente ( Origen Es otra forma de expresar la línea recta.

))

Ordenada al )

Donde :

La forma pendiente ordenada al origen se usa para estimaciones o proyección de valores esperados. Ejemplo

(

)

Recta Horizontal

(

)

Aplicación

Modelo Propuesto Tomamos un módulo de gradas de cualquier edificio o de a las cabañas. Asumimos que donde inician las gradas (visto de abajo hacia arriba o viceversa) es el eje de referencia. Encontrar la pendiente desde la base hasta el descanso y formular una ecuación de la recta que sirvió de referencia para la inclinación. Nota:

La huella y contrahuella de cada escalón debe medirse para tener una medida exacta.

Tomando como conocimientos básicos los descritos en el marco teórico se utilizara el modelo deductivo del método científico para la elaboración de la investigación, el cual consta de siete pasos.

1. Observación: Para la elaboración de nuestro proyecto utilizamos las gradas que se encuentran frente al salón CC-25 en las cabañas, en el campus central de la Universidad Mariano Gálvez de Guatemala. Se pudo observar que el módulo cuenta con 10 gradas (Huella y Contrahuella). Son utilizadas los días entre semana por estudiantes de las carreras de ingeniería y los fines de semana por un mayor grupo de personas para a los salones desde el CC-25 hasta el CC-30 y a los sanitarios. Las escaleras en apariencia muestran medidas proporcionales, como son un pequeño módulo de gradas tienen descansos al inicio y al final, lo cual las hace cómodas y hasta la fecha no se ha registrado ningún accidente, cosa que si ocurre en las gradas de otros edificios del campus.

2. Hipótesis: De acuerdo al modelo propuesto y los datos obtenidos en la observación. Podemos asumir que nuestra hipótesis o cuestionamiento es ¿CUÁL ES LA PENDIENTE DESDE LA BASE HASTA EL DESCANSO DE LAS ESCALERAS?

¿CUAL ES LA ECUACION QUE NOS SERVIRA DE REFERENCIA PARA MEDIR LA INCLINACIÓN?

3. Documentación: En este paso nos encargamos de recopilar todos los datos relevantes para poder encontrar la inclinación de las escaleras. El marco teórico descrito al principio de este informe es de utilidad por que al contar con toda la teoría necesaria, solo debemos de encargarnos de tomar los datos reales en el espacio físico en este caso tomamos las medidas exactas de la huella y contrahuella de las escalera. Como todas las escaleras son uniformes solo medimos una. Y contamos el total de escalones que hay en el módulo. Los resultados obtenidos fueron los siguientes: 

Medida de la Huella

La huella mide 29 centímetros. 

Medida de la Contrahuella

La Contrahuella centímetros.  Cantidad escalones

mide

de

18

Hay 9 escalones

4. Experimentación. Gráficamente la escalera es como se muestra en el siguiente esquema.

Si partimos desde la base de las escaleras, podemos decir que este es el punto ( segundo punto a tomar es donde inicia el segundo escalón.

) y el

(

(

)

)

Si la pendiente es igual a

entonces

R// La pendiente es igual a 0.62.

Si la ecuación de la recta es igual a

(

(

)

)

(

)

5. Análisis de Datos:

R// La Ecuación de la recta es 0.62x

Con el resultado de la ecuación anterior pudimos comprobar que la pendiente es y la ecuación de la recta es . Esos resultados los obtuvimos tomando los puntos del primer escalón, pero ¿Cuál será y pendiente y la ecuación de la recta tomando como punto de origen el cuarto escalón y el punto final el noveno escalón? (

6.

(

)

6.Validacion de Hipótesis

)

Podemos observar que a pesar de que cambiamos los puntos de referencia, cuando resolvemos la ecuación de la pendiente sigue siendo la misma esto nos indica que no importa los escalones en los que queramos encontrar la pendiente, siempre que tengan la misma medida su pendiente será la misma sin importar la distancia a la que se encuentren. Con estos datos obtenidos ahora encontraremos la ecuación de la recta. (

(

)

)

7. Conclusión Con esto con este resultado queda totalmente comprobado que la pendiente y la ecuación de la recta esta correcta, porque usamos distintos puntos en el plano cartesiano y el resultado siempre fue el mismo.

Conclusiones

El sistema cartesiano es la ordenación de puntos que se originan del cruce de dos rectas perpendiculares. Este conformado por dos ejes el eje de abscisas y el eje de la ordenadas Se divide en cuatro cuadrantes con dirección en el sentido contrario a las agujas del reloj, la creación del plano cartesiano se atribuye al filosofó y científico francés René Descartes, de ahí su nombre Cartesiano. La línea recta es una sucesión de puntos que puede prolongarse en ambos sentidos hacia el infinito. La pendiente es una de las principales representaciones de la línea recta en un plano cartesiano se ubica por la posición del cambio en dos puntos del eje X y Y. También existe una ecuación de la recta que podemos obtenerla sabiendo cual es la pendiente y tener por lo menos un punto de referencia con el resultado de esta ecuación únicamente es necesario valuar para el eje x. La geometría analítica que contiene en su temario la línea recta sus pendientes y ecuaciones es útil en todos los aspectos de la vida diaria, en cada construcción en cada calle en cada maquinaria y equipo esta aplicada la línea recta, pendientes y ecuaciones lineales.

e-grafía y Bibliografía

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http://www.biografiasyvidas.com/biografia/d/descartes.htm http://es.wikipedia.org/wiki/Pendiente_(matem%C3%A1ticas) http://www.vitutor.com/geo/rec/d_4.html http://www.sectormatematica.cl/contenidos/pendiente.htm http://www.youtube.com/watch?v=yWAAzjLkJYo



Matemática Aplicada a la Economía, Asociación para el desarrollo educativo pre-universitario, Guatemala, Guatemala. Primera edición Año 2010. Páginas 1-25. Matemáticas : Razonamiento y Aplicaciones; Charles D. Miller, Pearson Education de México S.A. de C.V., Naucalpan de Juárez, Edo de México, México. Decima edición, Año 2006. Páginas 394-415 Pre calculo. Matemáticas para el cálculo, James Stewart; Cenage Learning Editores S.A.; México DF, México. Quinta Edición, Año 2007. Páginas 87124

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Glosario

Línea:

Una línea es una sucesión continua de puntos trazados, como por ejemplo un trazo o un guion. Recta: La recta o línea recta, se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). Ecuación: Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas , en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Pendiente: Es la inclinación de un elemento ideal, natural o constructivo respecto de la horizontal. Geometría: Es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras geométricas en el plano o el espacio, como son: puntos, rectas, planos,politopos (incluyendo paralelas, perpendiculares, curvas, supe rficies, polígonos, poliedros, etc.). Coordenadas cartesianas: Las coordenadas cartesianas se definen como la distancia al origen de las proyecciones ortogonales de un punto dado sobre cada uno de los ejes. Grada : Se suele utilizar para denominar un peldaño o conjunto de estos, situados en las entradas o fachadas de edificios. Punto: Es una figura geométrica adimensional no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecido.

Escalera:

Es una construcción diseñada para comunicar varios espacios situados a diferentes alturas. Está conformada por escalones (peldaños) y puede disponer de varios tramos entre los descansos (mesetas o rellanos). Contra huella: Distancia vertical entre la huella de un escalón o peldaño y el inmediatamente superior. También llamada contraescalón, contra peldaño. Huella: Señal que queda en una superficie por la pisada de un animal o una persona o por el paso de un vehículo.

Anexos

Rampas o Escaleras para Personas Discapacitadas Los edificios públicos o comerciales, son frecuentados a menudo por minusválidos, ancianos y madres con niños pequeños, han de estar construidos de manera que estos grupos de personas puedan utilizarlos sin ayuda de terceros. Esta norma solo es válida para las zonas de grandes almacenes, palacios de congresos, edificios istrativos, juzgados, hospitales y similares, accesibles al público en general. En los edificios utilizados fundamentalmente o exclusivamente por minusválidos o ancianos, los requisitos no solo son para las áreas comunes, sino en todas las partes de los edificios. Entre estas se encuentran las salas de actos, talleres y residencias para minusválidos, así como residencias, sanitarios y centros para ancianos.

Se ha de acceder a todos los edificios a través de una entrada sin peldaños. Las entradas han de tener una anchura de paso libre de al menos 90cm. Además, delante de la puerta ha de existir suficiente espacio de movimiento. Las rampas no pueden tener una inclinación superior al 6%, han de tener una anchura mínima de 1.20m y sendos pasamanos rígidos a ambos lados. Se ha de tener en cuenta que hay que situar un rellano al comienzo y al final de toda la rampa. Cada 6 se ha de disponer de un rellano intermedio. Los rellanos han de tener una longitud mínima de 1.20m.

René Descartes (La Haye, Francia, 1596 - Estocolmo, Suecia, 1650) Filósofo y matemático francés. René Descartes se educó en el colegio jesuita de La Flèche (1604-1612), donde gozó de un cierto trato de favor en atención a su delicada salud. Obtuvo el título de bachiller y de licenciado en derecho por la facultad de Poitiers (1616), y a los veintidós años partió hacia los Países Bajos, donde sirvió como soldado en el ejército de Mauricio de Nassau. En 1619 se enroló en las filas del duque de Baviera; el 10 de noviembre, en el curso de tres sueños sucesivos, René Descartes experimentó la famosa «revelación» que lo condujo a la elaboración de su método. Tras renunciar a la vida militar, Descartes viajó por Alemania y los Países Bajos y regresó a Francia en 1622, para vender sus posesiones y asegurarse así una vida independiente; pasó una temporada en Italia (1623-1625) y se afincó luego en París, donde se relacionó con la mayoría de científicos de la época. En 1628 decidió instalarse en los Países Bajos lugar que consideró más favorable para cumplir los objetivos filosóficos y científicos que se había fijado, y residió allí hasta 1649. Los cinco primeros años los dedicó principalmente a elaborar su propio sistema del mundo y su concepción del hombre y del cuerpo humano, que estaba a punto de completar en 1633 cuando, al tener noticia de la condena de Galileo, renunció a la publicación de su obra, que tendría lugar póstumamente. En 1637 apareció su famoso Discurso del método, presentado como prólogo a tres ensayos científicos. Descartes proponía una duda metódica, que sometiese a juicio todos los conocimientos de la época, aunque, a diferencia de los escépticos, la suya era una duda orientada a la búsqueda de principios últimos sobre los cuales cimentar sólidamente el saber. Este principio lo halló en la existencia de la propia conciencia que duda, en su famosa formulación «pienso, luego existo». Sobre la base de esta primera evidencia, pudo desandar en parte el camino de su escepticismo, hallando en Dios el garante último de la verdad de las evidencias de la razón, que se manifiestan como ideas «claras y distintas». El método cartesiano, que Descartes propuso para todas las ciencias y disciplinas, consiste en descomponer los problemas complejos en partes progresivamente más sencillas hasta hallar sus elementos básicos, las ideas simples, que se presentan a la razón de un modo evidente, y proceder a partir de ellas, por síntesis, a reconstruir todo el complejo, exigiendo a cada nueva relación establecida entre ideas simples la misma evidencia de éstas.

Los ensayos científicos que seguían, ofrecían un compendio de sus teorías físicas, entre las que destaca su formulación de la ley de inercia y una especificación de su método para las matemáticas. Los fundamentos de su física mecanicista, que hacía de la extensión la principal propiedad de los cuerpos materiales, los situó en la metafísica que expuso en 1641, donde enunció así mismo su demostración de la existencia y la perfección de Dios y de la inmortalidad del alma. El mecanicismo radical de las teorías físicas de Descartes, sin embargo, determinó que fuesen superadas más adelante. Pronto su filosofía empezó a ser conocida y comenzó a hacerse famoso, lo cual le acarreó amenazas de persecución religiosa por parte de algunas autoridades académicas y eclesiásticas, tanto en los Países Bajos como en Francia. En 1649 aceptó la invitación de la reina Cristina de Suecia y se desplazó a Estocolmo, donde murió cinco meses después de su llegada a consecuencia de una neumonía. Descartes es considerado como el iniciador de la filosofía racionalista moderna por su planteamiento y resolución del problema de hallar un fundamento del conocimiento que garantice la certeza de éste, y como el filósofo que supone el punto de ruptura definitivo con la escolástica.