Persamaan Laplace Untuk Sistem Kordinat Bola 232l3h

PERSAMAAN LAPLACE UNTUK SISTEM KORDINAT BOLA Persamaan diferensial parsial adalah persamaan yang memuat sebuah fungsi dari dua atau lebih peubah yang tidak diketahui dan turunan-turunan parsialnya terhadap peubah tersebut. Suatu masalah nilai batas melibatkan suatu persamaan diferensial parsial dan semua penyelesaiaan yang memenuhi syarat dinamakan syarat batas. Sebuah solusi persamaan diferensial parsial adalah sebuah fungsi yang memenuhi persamaan tersebut dalam bentuk suatu kesamaan (secara identik). Persamaan Laplace merupakan persamaan differensial parsial yang berbentuk 2

∇ U =0 Untuk kasus 3 dimensi, hanya merupakan pengembangan dari 2 dimensi. Bentuk umum dari persamaan Laplace 3 dimensi adalah

d 2 U d2 U d2 U + + =0 d x2 d y 2 d z2 Penyelesaian persamaan Laplace (ataupun bentuk persamaan differensial parsial lainnya) untuk persoalan yang mempunyai simetri silinder ataupun bola perlu memperhatikan bentuk operator differensial dalam sistem koordinat silinder ataupun bola. Untuk menyelesaikan persamaan Laplace dalam sistem koordinat bola, dilakukan pemisahan variabel dengan menganggap solusinya berbentuk

u=R ( r ) Θ ( θ ) Φ( ϕ) kemudian substitusikan ke persamaan Laplace untuk sistem koordinat bola sehingga diperoleh

1 d 2 dR 1 d dΘ 1 d2 Φ ΘΦ 2 r +R Φ 2 sin θ +RΘ 2 =0 dr dθ r dr r sin θ d θ r sin θ d ϕ 2

(

)

(

)

kemudian kalikan persamaan tersebut dengan r2sin2q/RQF sehingga menjadi 2

2

sin θ d 2 dR 1 d dΘ 1 d Φ r + sin θ + =0 R dr dr Θ d θ d θ Φ d ϕ2

(

)

(

)

Terlihat bahwa suku ketiga hanya merupakan fungsi dari f saja, sehingga dapat dinyatakan

1 d2Φ =−m2 Φ d ϕ2 Yang memberikan bentuk fungsi F yaitu

{

Φ= sin mϕ cos mϕ Dengan demikian persamaan differensial tersebut dituliskan kembali dalam bentuk 2

sin θ d 2 dR 1 d dΘ r + sin θ −m 2=0 R dr dr Θ d θ dθ

(

)

(

)

2

1 d 2 dR 1 d d Θ −m r + sinθ =0 2 R dr dr Θ sin θ d θ d θ sin 2 θ

(

)

(

)

Sekarang terlihat bahwa suku pertama hanya merupakan fungsi dari r saja, sehingga dapat dianggap sebagai suatu konstanta:

1 d 2 dR r =k R dr dr

(

)

Selanjutnya

k+

1 d d Θ −m2 sin θ =0 d θ sin 2 θ Θ sin 2 θ d θ

(

)

1 d d Θ −m2 sin θ +k Θ=0 d θ sin 2 θ Θ sin2 θ d θ

(

)

Bentuk tersebut merupakan bentuk persamaan differensial yang solusinya adalah fungsi Legendre terasosiasi jika k = l(l+1). Dengan menggunakan k = l(l+1), maka bentuk fungsi Q adalah fungsi Legendre terasosiasi: m

Θ= pt (cos θ) Sedangkan bentuk solusi fungsi R adalah

{

t

r Φ= −t−1 r Dengan demikian bentuk solusi persamaan Laplace dalam system koordinat bola adalah

u(r , θ , ϕ)=

{

r t pm (cos θ) sin mϕ t cos m ϕ r −t −1

{

Bentuk solusi yang sesuai tergantung dari syarat batas persoalan fisis yang ditinjau. Hubungan antara koordinat kartesian dengan koordinat bola:

x=r sin θcosϕ y=r sin θsinϕ

z=rcosθ Vector kedudukan adalah

´s =x i+ y j+ z k

´s =rsinθcosϕ i+rsinθsinϕ j+rcosθ k ds=

∂s ∂s ∂s dr + dθ+ dϕ ∂r ∂θ ∂ϕ

ds=( sinθcosϕi+ sinθsinϕ j+ cosθ k ) dr + ( rcosθcosϕ i+rcosθsinϕ j−rsinθ k ) dθ+ (−rsinθsinϕi+sinθcosϕ j ) d

ds=( sinθcosϕdr + rcosθcosϕdθ −rnsiθnsiϕ Jadi, kuadrat elemen panjang busur adalah: 2

ds =ds . ds

dϕ)+ ( sinθsinϕ+rcosθsinϕdθ +sniθcosϕ

dϕ) j+ ( cosθdr−rsinθdθ )

2

2

2

2

2

2

ds =sin θ cos ϕ dr +rsinθcosθ cos ϕdθdr −r sin θn siϕ

2

cosϕ

2

2

2

drdϕ+rsinθcosθ cos ϕdθdr + r cos θ cos ϕ dθ

+ 2

2

2

2

2

2

2

2

2

r sin θ sin ϕ dϕ +sin θ sin ϕ dr +rsinθcosθ sin ϕdrdθ +r sin θnsiϕ + r 2 sin 2 θcosθnsiϕ

2

cosϕ

2

drdϕ+rsinθcosθ sin ϕdrdθ +r cos

dθdϕ+r 2 sin 2 θ cos 2 ϕ dϕ 2+cos 2 θ dr 2−rsinθcosθdθdr +

cosϕ

r 2 sin2 θ dθ 2

ds 2=sin 2 θ ( cos2 ϕ+ sin 2 ϕ ) dr 2 +rsinθcosθ ( cos 2 ϕ+sin 2 ϕ ) dθdr +rsinθcosθ ( cos 2 ϕ +sin 2 ϕ ) drdθ+r 2 cos 2 θ ( cos 2 ds 2=sin 2 θ dr 2 +rsinθcosθdθdr + 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

rsinθcosθdrdθ+ r cos θ dθ + r sin θ dϕ + cos θ dr +rsinθcosθdθdr+ r sin θ dθ +r sin θ dϕ +cos θ dr − sin ¿ +cos 2 θ ¿2 θ ¿ dθ ¿ sin 2 θ+cos 2 θ ¿ dr 2 +2 rsinθcosθdθdr−2 rsinθcosθdθdr+r 2 ¿ ds2=¿ 2

2

2

2

2

2

2

ds =dr +r dθ +r sin θ dϕ

ds 2=h12 dr 2+ h22 dθ 2+ h32 dϕ2 Maka:

h1=1 h2=r

h3=rsinθ Misalkan V adalah fungsi skalar,

Grad V =∇ V = ∇V =

1 ∂V 1 ∂V 1 ∂V + + h1 ∂r h2 ∂ θ h3 ∂ ϕ

∂V 1 ∂ V 1 ∂V + + ∂ r r ∂ θ rsinθ ∂ ϕ

Maka operator grad dalam koordinat bola adalah:

∇=

∂ 1 ∂ 1 ∂ + + ∂ r r ∂ θ rsinθ ∂ ϕ

Operator Laplacian

∇

2

dalam koordinat bola adalah:

∇ . . . . . . (1) Lakukan sevarasi variable

2

=

1 ∂ 2 ∂ 1 ∂ ∂ 1 ∂2 (r )+ (sinθ )+ ∂r r 2 sinθ ∂ θ ∂ θ r 2 sin2 θ ∂ ϕ2 r2 ∂ r

U (r, θ , φ ) = R(r)

Θ ( θ ¿ Φ( φ)

. . . . . . (2) Persamaan di atas disubtitusi ke persamaan Laplace, kemudian dikali dengan : 2

θ R (r )Θ(θ)Φ( φ) . . . . . . (3) dan diperoleh : 2 1 d 2 dR 1 1 ∂ ∂Θ 1 1 ∂ Φ (φ) r + sinθ + 2 2 =0 dr Θ ( θ ) sinθ ∂ θ ∂ θ r sin θ Φ ( φ ) ∂ θ R ( r ) dr

(

[

)

]

. . . . . . (4) Pada suku ketiga persamaan 4 di atas,

Φ( φ) harus berulang (periodic) pada periode φ (0

→ 2π) dan negative, maka : 2 1 ∂ Φ (φ) =−m2 Φ (φ) ∂ θ

dengan

m

bulat positif maka solusinya adalah :

Φ ( φ )= A cos mφ + B sin mφ

...

. . . (5) Selanjutnya suku pertama persamaan 4 ditulis dalam bentuk :

1 d 2 dR r =k 2 dr dr R (r )

( )

Maka,

k2 +

[

]

1 1 ∂ ∂H m sinθ − 2 =0 ∂θ Θ ( θ ) sinθ ∂θ sin θ

[

](

1 ∂ ∂Θ m sinθ − k 2− 2 Θ=0 sinθ ∂ θ ∂θ sin θ

)

...

. . . (6) Untuk menyelesaikan persamaan 6 ini, maka perlu dilakukan pemisalan seperti berikut : v = cos θ dv = -sin θ d θ

=-

sehingga persamaan 6 berubah menjadi :

v2 = cos2 θ

=> d θ

dv sinθ

=>

sin2 θ

= 1 – v2

[

](

2

)

1 ∂ ∂Θ m 2 sinθ + k − 2 Θ =0 sinθ −dv −dv sin θ sinθ sinθ

−∂ ∂Θ m2 −sin2 θ + k 2− 2 Θ=0 ∂v ∂v sin θ

[

](

)

Perhatikan tanda (-) kemudian susun persamaan di atas, sehingga diperoleh :

∂ ∂Θ m2 (1−v 2) + k 2− Θ=0 ∂v ∂v 1−v 2

[ [

]( ](

)

∂ ∂Θ 2 ∂Θ m2 −v + k 2− Θ=0 2 ∂v ∂v ∂v 1−v

)

2 ∂2 Θ ∂Θ m2 2 ∂ Θ 2 −2 v −2 v + k − Θ=0 ∂v ∂v ∂ v2 1−v 2

(

)

Perhatikan tiga suku pertama, ini dapat digabung sehingga menjadi :

(1−v 2)

2 ∂2 Θ ∂Θ m2 2∂ Θ 2 −2 v −2 v + k − Θ=0 ∂v ∂v ∂ v2 1−v 2

(

)

.....

. (7)

Θ(v)

Persamaan 7 dapat menjadi jawaban dari

terbatas dalam bentuk polynomial, karena

kembali ke bentuk persamaan diferensial Legendre :

y ∂y m2 −2 x + l ( l+1 ) − y=0 ∂x ∂ x2 (1− x2 )

[ 1−x 2 ] ∂

2

(

)

Adalah persamaan diferensial Legendre terasosiasi yang jawabnya adalah : m

m

p1 ( x ) =p 1 ( cos θ ) Ini hanya akan mempunyai jawab terbatas (tidak terhingga) jika : k2 = l(l + 1) dimana l = bulat positif dan m

≤ l.

sehingga jawaban persamaan 7 di atas adalah : m

Θ= p1 ( cos θ ) dengan

pm1 ( v )= [ 1−v 2 ]

m

∂ p (v ) m l ∂v

yang dapat diselesaikan dengan menerapkan Rumusan Redriques, sehingga : l

p1 ( v )=

1 ∂ p l (v) (v2 – 1)l dan k2 = l (l + 1) m l 2 l! ∂v

Yang mengakibatkan persamaan 7 menjadi

(

)

1 d 2 dR( r) r =l (l+1) dr R ( r ) dr dan solusinya adalah R(r) = C1r1 + D1

1 r l+1

. . . . . (8)

Dimana Clrl + Dl real dan m = 0, 1, 2, 3, . . . .

≤ l

l = 0, 1, 2, 3, . . . . dengan m

sehingga persamaan 2 menjadi : m

U (r, θ , φ ) =

l

∑∑

l=0 m=0

(c r + D r1 ) P (cosθ)[ A cos mφ+ B sinmφ] 1

1

1

m l

l+1

m

m

. . . . . (9)

Untuk menyelesaikan solusi yang diberikan persamaan 9, syarat batas U (r, θ , φ ) yang diberikan tak bergantung pada perubahan

φ , karena jika (r, θ ¿ tetap, maka untuk φ =

0 => 2π U (r, θtetap , φ ) = tetap Karena U tetap, sedangkan komponen yang mengandung

φ adalah :

[ A m cos mφ+ Bm sinmφ ] → m=0 [ A m cos mφ + Bm sinmφ ]=l

l = tetapan

Perhatikan r

→ R, tidak boleh ∞

Di dalam bola r = 0

c 1 r 1 + D1

1 r

l +1

|

≠∞

r =0

Sehingga D1= 0 Dengan demikian : ∞

U (r, θ , φ ) = U (r, θ ) =

∑ C 1 P1 (cosθ ) l=0

=

{

0 ; 0 ≤ θ ≤ π /2 0 ≤ x ≤1 100 ; π /2 ≤θ ≤ π −1≤ x ≤ 0

Maka penyelesaian selanjutnya diselesaikan dengan ortogonalitas Legendre, seperti berikut : l

∫ P1 ( x ) Pn ( x ) dx= 0

{

0 ; n=l 2 ;n≠ l 2l +1 1

C1

2 ∫ [ P1 ( x) ] dx= 2l+1 0

2

C1

1

[ ]

2 =∫ f ( θ ) P1 ( cosθ ) d (cosθ ) 2 l+ 1 −1 1

C1 ¿

2 l+1 ∫ f ( θ ) P1 ( cosθ ) d ( cosθ) 2 −1

θ

Untuk x = cos

P1(x) =

x 2−1 ¿l 1 dl ¿ r l l ! dx l

os 2 θ−1¿ l l P1( osθ ) = 1 d ¿ r l l! dx l 2

l

c os θ−1 ¿ P1( osθ ) = 1 d ¿ 2 dx Jadi : U(r, θ ¿=100

[

1 3 7 P0 ( cosθ ) + r Pl ( cosθ )− r 2 P2 ( cosθ ) + ….. 2 4 16

Dengan C0 = 100 (1/2) ; Cl = 100(3/4); dan C2 = 100 (-7/16)

]

. . . . . (10)