Problemas De Transferencia De Calor Y Masa 2l3526
This document was ed by and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this report form. Report 3b7i
Overview 3e4r5l
& View Problemas De Transferencia De Calor Y Masa as PDF for free.
More details w3441
- Words: 9,741
- Pages: 51
CONDUCCIÓN DE CALOR EN ESTADO ESTACIONARIO EN PAREDES PLANAS 1. Considere una pared de ladrillo de 4 m de alto, 6 m de ancho y 0.3 m de espesor cuya conductividad térmica es k=0.8 W/m.°C. En cierto día, se miden las temperaturas de la superficie interior y exterior de la pared y resulta ser de 14°C y 6°C respectivamente. Determine la velocidad de la perdida de calor a través de la pared en ese día.
Q=
𝑇1 − 𝑇2 𝑅 𝑐𝑜𝑛𝑑
Rcond =
A=4m x 6 m =24m2 0.3𝑚
Rcond = 0.8𝑊/𝑚°𝐶 𝑥 24𝑚² =
Q=
(14 – 6)°𝐶
=
𝐿 𝑘𝐴
2. Considere una casa de ladrillos calentada eléctricamente (k=0.40 Btu/h.pie.°F), cuyas paredes tienen 9 pies de alto y 1 pie de espesor. Dos de las paredes tienen 40 pies de largo y las otras tienen 30 pies. La casa se mantiene a 70°F en todo momento, en tanto que la temperatura del exterior varía. En cierto día se mide la temperatura de la superficie interior de las paredes y resulta ser de 55°F, en tanto que se observa que la temperatura promedio de la superficie exterior permanece en 45°F durante el día por 10 h, y en 35°F en la noche por 14 h. Determine la cantidad de calor perdido por la casa ese día. También determine el costo de esa pérdida de calor para el propietario, si el precio de la electricidad es de 0.09 dólar/kWh.
Hipótesis
La transferencia de calor a través de las paredes es constante desde las temperaturas de la superficie de las paredes se mantienen constantes a los valores especificados durante el período de tiempo considerado. La transferencia de calor es unidimensional ya existirán los gradientes de temperatura importantes en la dirección de los interiores a los exteriores. Conductividad térmica de las paredes es constante.
Propiedades
La conductividad térmica de la pared de ladrillo se da a ser k = 0,40 Btu / h.pie. ° F .
Análisis
Consideramos que la pérdida de calor a través de sólo las paredes.
El área total de transferencia de calor es
A=2(50x9+35x9)=1530ft2
La tasa de pérdida de calor durante el día es
Q=k . A
Q = (0.40Btu/h.pie.°F)(1530pie2)
𝑡 1 −𝑡 2 𝐿
(55−45)
La tasa de pérdida de calor durante la noche es
Qday=k . A
Qday= (0.40Btu/h.pie.°F)(1530pie2)
= 6120 Btu/h
1𝑝𝑖𝑒
𝑡 1 −𝑡 2
𝐿
(55−35) 1𝑝𝑖𝑒
= 12.240 Btu/h
La cantidad de pérdida de calor de la casa esa noche será Qnigh=
𝑄 ∆𝑡
Q =Qnigh Δt=10Qday+ 14Qnigh = 10h.6120Btu/h + 14h.12.240Btu/h= 232.560Btu
A continuación, el coste de esta pérdida de calor para que se convierte en día
Costo = (232.560/3412kWh)($0.09/kWh) = $6.13
3. Considere una persona parada en un cuarto a 20°C con un área superficial expuesta de 1.7 m2. La temperatura en la profundidad del organismo del cuerpo humano es 37°C y la conductividad térmica de los tejidos cercanos a la piel es alrededor de 0.3 W/m.°C. El cuerpo está perdiendo a razón de 150 W, por conducción natural y radiación hacia los alrededores. Se toma como 37°C la temperatura del cuerpo a 0.5 cm por debajo de la piel, determine la temperatura de la epidermis de la persona.
Hipótesis
Existen 1 condiciones de funcionamiento estable. El calor coeficiente de transferencia es constante y uniforme sobre toda la expuesta superficie de la persona. Las superficies circundantes están a la misma temperatura que la temperatura del aire interior. Generación de calor dentro de la capa externa gruesa 0,5 - cm del tejido es insignificante
Propiedades
La conductividad térmica del tejido cerca de la piel es dado que k = 0,3 W / m.° C.
Análisis
La temperatura de la piel se puede determinar directamente a partir de
Q=k . A
𝑡 1 −𝑡 2
T2 = T1 -
T2 = 37°C –
(150𝑊)(0.005𝑚) (
0.3𝑊 )(1.7𝑚2) 𝑚°𝐶
𝐿 𝑸𝑳
𝒌𝑨
=35.5°C
4. Está hirviendo agua en una cacerola de aluminio (k=237 W/m · °C) de 25 cm de diámetro, a 95°C. El calor se transfiere de manera estacionaria hacia el agua hirviendo que está en la cacerola a través del fondo plano de ésta de 0.5 cm de espesor, a razón de 800 W. Si la temperatura de la superficie interior del fondo es de 108°C, determine. a) El coeficiente de transferencia de calor de ebullición sobre esa superficie interior. b) La temperatura de la superficie exterior del fondo.
Propiedades
La conductividad térmica de la bandeja de aluminio se da a ser k = 237 W / m.°C.
Análisis
a) El coeficiente de transferencia de calor de ebullición es
A=
A=
𝜋(0.25𝑚)² 2
𝜋𝐷² 2
= 0.0491m2
Qconv=h . As (Ts - T ͚ )
h=
𝑄
𝐴𝑠 (𝑇𝑠 − 𝑇 )
(800𝑊)
H = (0.0491𝑚2 )(108−95)°𝐶 =1254W/m2 °C
b) La temperatura de la superficie exterior de la parte inferior de la sartén es
Q=k.A
𝑄𝐿
𝑡 1 −𝑡 2 𝐿
(800𝑊)(0.005𝑚)
Ts = Tinterior + 𝑘𝐴 = 108°C + (237 𝑊/𝑚.°𝐶 )(0.0491𝑚2 ) = 108.3°C
5. Se construye una pared de dos capas de tablaroca (k 0.10 Btu/h · ft · °F) de 0.5 in de espesor, la cual es un tablero hecho con dos capas de papel grueso separadas por una capa de yeso, colocadas con 7 in de separación entre ellas. El espacio entre los tableros de tablaroca está lleno con aislamiento de fibra de vidrio (k 0.020 Btu/h · ft · °F). Determine a) La resistencia térmica de la pared. b) El valor R del aislamiento en unidades inglesas.
Propiedades
Las conductividades térmicas se les da a ksheetrock = 0.10 Btu / h⋅ft⋅ ° F y kaislamiento = 0,020 Btu / h⋅ft⋅ ° F.
Análisis No se le da la superficie de la pared y por lo tanto consideramos una superficie por unidad (A = 1 m2 ) . Entonces, el valor R de aislamiento de la pared se vuelve equivalente a su resistencia termal , que se determina a partir de .
Rsheetrock = R1 = R3 = Rfibra de vidrio = R2 =
𝐿1 𝑘1
𝐿2 𝑘2
0.7/ 12 𝑝𝑖𝑒
= (0.10𝐵𝑡𝑢/ℎ.𝑝𝑖𝑒.°𝐹) =0.583pie2.°F.h /Btu
=
0.7/ 12 𝑝𝑖𝑒 (0.020𝐵𝑡𝑢/ℎ.𝑝𝑖𝑒.°𝐹)
=29.17
pie2.°F.h /Btu
Rtotal = 2R1 + R2 =2 x 0.583 + 29.17 =30.34pie2.h.°F/Btu.
6. El techo de una casa consta de una losa de concreto (k =2 W/m · °C) de 3 cm de espesor, que tiene 15 m de ancho y 20 m de largo. Los coeficientes de transferencia de calor por convección sobre las superficies interior y exterior del techo son 5 y 12 W/m2 · °C, respectivamente. En una noche clara de invierno, se informa que el aire ambiente está a 10°C, en tanto que la temperatura nocturna del cielo es de 100 K. La casa y las superficies interiores de la pared se mantienen a una temperatura constante de 20°C. La emisividad de las dos superficies del techo de concreto es 0.9. Si se consideran las transferencias de calor tanto por radiación como por convección, determine la razón de la transferencia de calor a través del techo y la temperatura de la superficie interior de este último. Si la casa se calienta mediante un hogar en el que se quema gas natural con una eficiencia de 80% y el precio de ese gas es de 1.20 dólar/therm (1 therm = 105 500 kJ de contendido de energía), determine el dinero perdido a través del techo esa noche durante un periodo de 14 h.
Propiedades La conductividad térmica del hormigón se da a ser k = 2 W / m⋅ ° C. La emisividad de ambos superficies de la azotea se da para ser 0.9
Análisis
Cuando la temperatura de la superficie circundante es diferente que la temperatura ambiente , la red de resistencias térmicas enfoque se vuelve muy complicada en problemas que implican la radiación. Por lo tanto, voy a utilizar un enfoque diferente pero intuitivo. En funcionamiento constante, transferencia de calor desde la habitación a la techo ( por convección y radiación ) debe ser igual al calor transferir desde el techo hasta el entorno ( por convección y radiación) , que debe ser igual a la transferencia de calor a través del techo por conducción. Esto es
7.- Una sección de pared de 2m x 1.5 m de horno industrial en el que se quema gas natural no está aislada y se mide la temperatura en la superficie exterior de esta sección, lo cual resulta ser de 80°C. La temperatura de la sala en donde está el
horno es de 30°C y el coeficiente combinado de transferencia de calor por convección y radiación es de 10 W/m2. °C. Se propone aislar esta sección de pared del horno con aislamiento de lana de vidrio (k = 0.038 W/m. °C) con el fin de reducir la perdida de calor es 90%. Si se supone que la temperatura de la superficie exterior de la sección metálica todavía permanece alrededor de 80°C, determine el espesor del aislamiento que necesita usarse. El horno opera en forma continua y tiene una eficiencia de 785. El precio del agua natural es de 0.55 dólar/ therm ( 1therm = 105 kJ de contenido de energía). Si la instalación del aislamiento costara 250 dólares por los materiales y la mano de obra, determine cuanto tiempo tardara el aislamiento en pagarse por la energía que ahorra.
Solución:
A = 2m x 1.5m = 3m2
R.T.: Para el Sistema de analisis
L=? Hallando “q” para el 1ercaso: q = h x A (T2 – T2*)
RT=Rcond + Rconv
q = 10W/m °C x 3m (80°C – 30°C) 2
2
q= 1500 W
*
Como la velocidad de transferencia de calor es constante se cumple que: 𝑇2 − 𝑇2∗ 𝑞1 = 𝐿 1 − 𝑘𝐴 ℎ𝐴
*
Como también la perdida de calor es 90% y el tiempo empleado en ambos casos es igual.
Reemplazando: (0.10)𝑥1500𝑊 =
80°𝐶 − 30°𝐶 𝐿 1 − 𝑊 𝑊 0.038 𝑚°𝐶 𝑥 3𝑚2 10 2 𝑥 3𝑚2 𝑚 °𝐶
150𝑊 =
50°𝐶 𝐿
1 𝑊𝑚 − 𝑊 0.114 °𝐶 30 °𝐶
𝐿
+
𝑊𝑚 0.114 °𝐶
1 50°𝐶 = 𝑊 150𝑊 30 °𝐶
𝐿 = 0.114
𝑊𝑚 50°𝐶 1 ( − ) °𝐶 150𝑊 30 𝑊 °𝐶
𝐿 = 0.114
𝑊𝑚 °𝐶 (0.3 ) °𝐶 𝑊
𝐿 = 0.0342𝑚 b)Precio de H2O natural= 0.55 dólar/therm x 1therm/105500 kJ =5.21x10-6
*Debo pagar 250 dólares, entonces la cantidad de calor que debo alcanzar para los 250 dólares es:
𝑞=
250 𝑑𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 = 47984644.91𝑘𝐽 𝑑𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 5.21 𝑥 10−6 𝑘𝐽
q= 1500W (0.90) q=1350W ahorro ---------------> 100 % Pero tiene una eficiencia de 78,5% Como la Pot. Expresa la cantidad de Eficiencia por unidad de tiempo: P=q=1350 W x 0.785=1059.75W 𝑡=
𝑊 𝑃
W : trabajo o energía P: Potencia o velocidad de transferencia de calor (es análogo) 𝑡=
47989644.41𝑥103 𝐽 1059.75
𝐽 𝑠
= 45279211.99 𝑠
t=12577.5589 horas= 524 dias
REDES GENERALIZADAS DE RESISTENCIA TÉRMICA
1. Una pared de 4m de alto y 6m de ancho consiste de ladrillos con una sección transversal de 18 cm por 30 cm (K = 0.72 W/m °C) separados por capas de mezcla (K = 0.22 W/m °C) de 3 cm de espesor. También se tienen capas de mezcla de 2 cm de espesor sobre cada lado de la pared y una espuma rígida (K = 0.026 W/m2 °C) de 2 cm de espesor sobre el lado inferior de la misma. Las temperaturas en el interior y el exterior son de 22 °C y -4°C y los coeficientes de transferencia de calor por convección sobre los lados interior y exterior son h1 = 10 W/m2 °C y h2 = 20 W/m2 °C, respectivamente. Si se supone una transferencia unidimensional de calor se descarta la radiación, determine la velocidad de transferencia de calor a través de la pared.
Solución: Datos: Considerando 1 m de espesor y 0.33 de altura de la pared que es representativo de toda la pared. K1 = 0.72 W/m. °C K2 = 0.22 W/m. °C
A1 = 0.33 m2 A2 = 0.30 m2
K3 = 0.026 W/m. °C h1 = 10 W/m2. °C
A3 = 0.015 m2
h2 = 20 W/m2. °C
𝑇1∗ = 22°C
L1 = 2 X 10-2 m -2
L2 = 18 X 10 m
𝑇2∗ = -4°C Apared = 24 m2
Anotando la gráfica 𝑇1∗ = 24°C
T1
h2 T2
h1
T3 T4
T5
𝑇2∗ = -4°C RConV1
RCon1
1
+
ℎ1 .𝐴1
𝐿1 𝐾3 .𝐴1
+
RCon2 𝐿1 𝐾2 .𝐴2
+
RCon3 RConV2 RConV2 𝐿2 𝐾2 .𝐴3
+
𝐿2 𝐾1 .𝐴2
+
1 ℎ2 .𝐴2
Anotamos la formula. Rtotal =
1 ℎ1 .𝐴1
+
𝐿1 𝐾3 .𝐴1
+
𝐿1 𝐾2 .𝐴2
+
𝐿2 𝐾2 .𝐴3
+
𝐿2 𝐾1 .𝐴2
+
1 ℎ2 .𝐴2
Reemplazando a Rtotal Rtotal = 0.303 °C/w + 2.331 °C/w + 0.2755 °C/w + 0.8333 °C/w + 0.8333 °C/w + 0.1515 °C/w Rtotal = 4.145 °C/w Anotando la formula. Q=
𝑇1∗ − 𝑇2∗ 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
Reemplazando a Q Q=
22 °𝑐 − −4° 𝐶 4.145
Q = 6.272 w Sabemos que la tasa de transferencia de calor de la pared es 0.33 m2 colocamos la siguiente fórmula. 𝐴𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑
Qtotal = Q (
𝑇𝑎𝑠𝑎
)
Reemplazamos datos. 24 𝑚2
Qtotal = 6.272 w (0.33 𝑚2 )
Qtotal = 456.2 w
2. Una pared de 12 m de largo y 5 m de alto está constituida de dos capas de tabla roca (K = 0.17 W/m. °C) de 1 cm de espesor, espaciados 12 cm por montantes de madera (K = 0.11 W/m °C) cuya sección transversal es de 12 cm por 5cm. Los montantes están colocados verticalmente y separados 60 cm, y el espaciado entre ellos está lleno con aislamiento de fibra de vidrio (K = 0.034 W/m °C). La casa se mantiene a 20 °C y la temperatura ambiental en el exterior es de -5°C. Si se toma los coeficientes de transferencia de calor en las superficies interior y exterior de la casa como 8.3 y 3.4 W/m2 °C, respectivamente, determine. a) La resistencia térmica de la pared, si se considera una sección representativa de ella y, b) La velocidad de la transferencia de calor a través de la pared. Datos: K1 = 0.17 W/m. °C
A1 = 0.33 m2
K2 = 0.22 W/m. °C
A2 = 0.30 m2
K3 = 0.026 W/m. °C
A3 = 0.015 m2
h1 = 8.3 W/m2. °C
𝑇1∗ = 20°C
h2 = 3.4 W/m2. °C
𝑇2∗ = -5°C
L1 = 8.3 X 10-2 m
Apared = 60 m2
L2 = 3.4 X 10-2 m
Anotando la gráfica 𝑇1∗ = 20°C T1
h2 T2
h1
T3 T4
T5
𝑇2∗ = -5°C RConV1
RCon1
RCon2
RCon3 RConV2
RConV2
1 ℎ1 .𝐴1
+
𝐿1 𝐾3 .𝐴1
+
1 𝐿1 𝐾2 .𝐴2
+
1 𝐿2 𝐾2 .𝐴3
+
𝐿2 𝐾1 .𝐴2
+
1 ℎ2 .𝐴2
Anotamos la formula. Ri
1 1 0.185 C/W 2 hi A (8.3 W/m .C)(0.65 m 2 )
L 0.01 m 0.090 C/W kA (0.17 W/m. C)(0.65 m 2 ) L 0.12 m R2 R platino 21.818 C/W kA (0.11 W/m. C)(0.05 m 2 ) L 0.12 m R3 R ffibradevidrio 5.882 C/W kA (0.034 W/m. C)(0.60 m 2 ) 1 1 Ro 0.045 C/W 2 o ho A (34 W/m . C)(0.65 m 2 ) R1 R4 R placa
1 Rmedio
1 1 1 1 Rmedio 4.633 C/W R2 R3 21.818 5.882
Rtotal Ri R1 Rmid R4 Ro 0.185 0.090 4.633 0.090 0.045 4.858 C/W ( 1 m 0.65 m) T T [20 (5)]C Q 1 2 5.15 W Rtotal 4.858 C/W
Entonces tasa constante de transferencia de calor a través de toda la pared se convierte en: (12 m) (5 m) Q total (5.15 W) 475 W 0.65 m 2
3. Se va construir una pared de 10 in de espesor, 30 pies de largo y 10 pies de alto, usando ladrillos solidos (K= 0.40BTU/h.pies.°F) con una sección transversal de 7 pulg. Por 7 pulg. ; o bien , ladrillos de idéntico tamaño con nueve orificios cuadrados llenos d aire (K= 0.015BTU/h.pies.°F) que tienen 9 pulg. De largo y una sección transversal de 1.5 pulg. Se tiene una capa de mezcla (K= 0.10BTU/h.pies.°F) de 0.5 pulg de espesor entre dos ladrillos adyacentes, sobre los cuatro lados y sobre los dos de la pared. La casa se mantiene a 80°F y la temperatura ambiental en el exterior es de 30 °F. Si los coeficientes transferencia de calor en las superficies interior y exterior de la pared son 1.5 y 4 BTU/h.pie2.°F respectivamente. Determine la velocidad transferencia de calor a través de la pared construida de.
a) Ladrillos sólidos y
b) Ladrillo con orificios llenos de aire.
Solución: Dibujamos nuestra Gráfica:
Datos: Sistema: Britanico A1= 0.3906𝑝𝑖𝑒 2 1 𝑝𝑖𝑒 2
A2=7.5𝑝𝑢𝑙𝑔 × 0.5𝑝𝑢𝑙𝑔 = 3.75𝑝𝑢𝑙𝑔2 × 144𝑝𝑢𝑙𝑔2 = 0.0260𝑝𝑖𝑒 2 1 𝑝𝑖𝑒 2
A3=7𝑝𝑢𝑙𝑔 × 0.5𝑝𝑢𝑙𝑔 = 3.5𝑝𝑢𝑙𝑔2 × 144𝑝𝑢𝑙𝑔2 = 0.02431𝑝𝑖𝑒 2 1 𝑝𝑖𝑒 2
A4=7𝑝𝑢𝑙𝑔 × 7𝑝𝑢𝑙𝑔 = 49𝑝𝑢𝑙𝑔2 × 144𝑝𝑢𝑙𝑔2 = 0.3403𝑝𝑖𝑒 2 1 𝑝𝑖𝑒
1 𝑝𝑖𝑒
Aespacios=9 (1.5𝑝𝑢𝑙𝑔 × 12𝑝𝑢𝑙𝑔) × (1.55𝑝𝑢𝑙𝑔 × 12𝑝𝑢𝑙𝑔) = 0.1406𝑝𝑖𝑒 2 1 𝑝𝑖𝑒 2
Aladrillos=49𝑝𝑢𝑙𝑔2 × 144𝑝𝑢𝑙𝑔2 − 0.1406 = 0.1997𝑝𝑖𝑒 2 𝐿1 = 0.5𝑝𝑢𝑙𝑔 × 𝐿2 = 9𝑝𝑢𝑙𝑔 ×
1 𝑝𝑖𝑒 = 0.75𝑝𝑖𝑒 12 𝑝𝑢𝑙𝑔
𝐿3 = 9𝑝𝑢𝑙𝑔 ×
1 𝑝𝑖𝑒 = 0.75𝑝𝑖𝑒 12 𝑝𝑢𝑙𝑔
𝐿4 = 9𝑝𝑢𝑙𝑔 ×
1 𝑝𝑖𝑒 = 0.75𝑝𝑖𝑒 12 𝑝𝑢𝑙𝑔
ℎ1∗ = 1.5 ℎ2∗ = 4
𝐵𝑇𝑈 𝑝𝑖𝑒 2 × °𝐹
𝐵𝑇𝑈 𝑝𝑖𝑒 2 × °𝐹
𝐾𝑚𝑒𝑧𝑐𝑙𝑎 = 0.10
𝐵𝑇𝑈 𝑝𝑖𝑒 × °𝐹
𝐾𝑙𝑎𝑑𝑟𝑖𝑙𝑙𝑜 = 0.40
𝐵𝑇𝑈 𝑝𝑖𝑒 × °𝐹
𝐾𝑎𝑖𝑟𝑒 = 0.15
Solución: a)
1 𝑝𝑖𝑒 = 0.04166666667𝑝𝑖𝑒 12 𝑝𝑢𝑙𝑔
𝐵𝑇𝑈 𝑝𝑖𝑒 × °𝐹
(𝑇1∗ − 𝑇2∗ ) 𝑞= 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑅1∗ + 𝑅1 + 𝑅𝑀𝐸𝐷𝐼𝑂 + 𝑅5 + 𝑅2∗ 𝑅1∗ =
1 = × 𝐴 1.5
ℎ1∗
𝐵𝑇𝑈 𝑝𝑖𝑒 2 ×°𝐹
𝑅1 = 𝑅5 =
𝐿 𝐾𝑚𝑒𝑧𝑐𝑙𝑎 × 𝐴
𝑅2 𝑚𝑒𝑧𝑐𝑙𝑎 =
𝑅3 𝑚𝑒𝑧𝑐𝑙𝑎 =
𝑅4 𝑙𝑎𝑑𝑟𝑖𝑙𝑙𝑜 =
𝑅2∗ =
ℎ2∗
1 𝑅𝑀𝐸𝐷𝐼𝑂 𝑅𝑀𝐸𝐷𝐼𝑂
1 °𝐹 = 1.7068 2 × 0.3906𝑝𝑖𝑒 𝐵𝑇𝑈
=
𝐿 𝐾𝑚𝑒𝑧𝑐𝑙𝑎 × 𝐴2 𝐿 𝐾𝑚𝑒𝑧𝑐𝑙𝑎 × 𝐴3
=
0.75𝑝𝑖𝑒 °𝐹 = 288.4615 𝐵𝑇𝑈 𝐵𝑇𝑈 0.10 𝑝𝑖𝑒 × °𝐹 × 0.260𝑝𝑖𝑒 2
=
0.75𝑝𝑖𝑒 °𝐹 = 308.5150 𝐵𝑇𝑈 𝐵𝑇𝑈 0.10 𝑝𝑖𝑒 × °𝐹 × 0.243𝑝𝑖𝑒 2
𝐿 𝐾𝑙𝑎𝑑𝑟𝑖𝑙𝑙𝑜 × 𝐴4
1 = ×𝐴 4
𝐵𝑇𝑈 𝑝𝑖𝑒 2 ×°𝐹
0.04166666667𝑝𝑖𝑒 °𝐹 = 1.0667 𝐵𝑇𝑈 𝐵𝑇𝑈 0.10 𝑝𝑖𝑒 × °𝐹 × 0.3906𝑝𝑖𝑒 2
=
0.75𝑝𝑖𝑒 °𝐹 = 5.5098 𝐵𝑇𝑈 𝐵𝑇𝑈 0.40 𝑝𝑖𝑒 × °𝐹 × 0.3403𝑝𝑖𝑒 2
1 °𝐹 = 0.6400 2 × 0.3906𝑝𝑖𝑒 𝐵𝑇𝑈
1 1 1 1 1 1 + + = + + = 0.1882 °𝐹 °𝐹 𝑅2 𝑅3 𝑅4 288.4615 °𝐹 308.5150 5.5098 𝐵𝑇𝑈 𝐵𝑇𝑈 𝐵𝑇𝑈 °𝐹 = 5.3134 𝐵𝑇𝑈 =
𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑅1∗ + 𝑅1 + 𝑅𝑀𝐸𝐷𝐼𝑂 + 𝑅5 + 𝑅2∗ °𝐹 °𝐹 °𝐹 °𝐹 °𝐹 + 1.0667 + 5.3134 + 0.6400 + 1.0667 𝐵𝑇𝑈 𝐵𝑇𝑈 𝐵𝑇𝑈 𝐵𝑇𝑈 𝐵𝑇𝑈 °𝐹 = 9.7936 𝐵𝑇𝑈
𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 1.7068
𝑞=
8𝑂°𝐹 − 30°𝐹 = 5.1054𝐵𝑇𝑈 °𝐹 9.7936 𝐵𝑇𝑈
Si: 0.3906𝑝𝑖𝑒 2 300𝑝𝑖𝑒 2
5.1054𝐵𝑇𝑈 𝑞
𝑞=
300𝑝𝑖𝑒 2 × 5.1054𝐵𝑇𝑈 = 3921.1981𝐵𝑇𝑈 0.3906𝑝𝑖𝑒 2
a)
𝑞=
𝑅4 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜𝑠 =
𝑅5 𝑙𝑎𝑑𝑟𝑖𝑙𝑙𝑜 = 1 𝑅𝑀𝐸𝐷𝐼𝑂
=
(𝑇1∗ − 𝑇2∗ ) 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝐿 0.75𝑝𝑖𝑒 °𝐹 = = 355.6188 𝐾𝑎𝑖𝑟𝑒 × 𝐴𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜𝑠 0.015 𝐵𝑇𝑈 × 0.140𝑝𝑖𝑒 2 𝐵𝑇𝑈 𝑝𝑖𝑒 × °𝐹 𝐿
𝐾𝑙𝑎𝑑𝑟𝑖𝑙𝑙𝑜 × 𝐴4
=
0.75𝑝𝑖𝑒 °𝐹 = 9.3891 𝐵𝑇𝑈 𝐵𝑇𝑈 0.40 𝑝𝑖𝑒 × °𝐹 × 0.1997𝑝𝑖𝑒 2
1 1 1 1 + + + 𝑅2 𝑅3 𝑅4 𝑅5 =
𝑅𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = 8.618
1 °𝐹 288.4615 𝐵𝑇𝑈
+
1 °𝐹 308.5150 𝐵𝑇𝑈
+
1 °𝐹 355.6188 𝐵𝑇𝑈
°𝐹 𝐵𝑇𝑈
𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑅1∗ + 𝑅1 + 𝑅𝑀𝐸𝐷𝐼𝑂 + 𝑅6 + 𝑅2∗ = 13.0992
°𝐹 𝐵𝑇𝑈
+
1 °𝐹 9.3891 𝐵𝑇𝑈
𝑞=
(80°𝐹 − 30°𝐹) = 3.817𝐵𝑇𝑈 °𝐹 13.0992 𝐵𝑇𝑈
Si: 3.817𝐵𝑇𝑈 𝑞
𝑞=
0.3906𝑝𝑖𝑒 2 300𝑝𝑖𝑒 2
300𝑝𝑖𝑒 2 × 3.817𝐵𝑇𝑈 = 2931.6436𝐵𝑇𝑈 0.3906𝑝𝑖𝑒 2
4. Considere una pared de 5 m de alto, 8 m de largo y 0.22 m de espesor cuya sección transversal representativa se da e(n la figura. Las conductividades térmicas de los diversos materiales usados, en W/m. °C, son kA =kF = 2, kB =8, kC =20, kD = 15 y kE =35. Las superficies izquierda y derecha de la pared se mantienen a las
a las
temperaturas uniformes de 300°C y 100°C, respectivamente. Si transferencia de calor a través de la pared es unidimensional, determine. a) La velocidad transferencia de calor a través de ella; b) La temperatura en el punto en el que se encuentran las secciones B, D y E, y c) La caída de temperatura a través de la sección F. Descarte cualquiera resistencias por o entre las interfaces Solución: La figura representa una porción de 12cm extraído de la pared de 5cm de alto 0,12m
𝑞1
5m
𝑞𝑡
𝑞𝑡 = 𝑞1 𝑥
5 0,12
Hallando el área de cada pared Á𝑟𝑒𝑎 𝐴 = Á𝑟𝑒𝑎 𝐹 = 8𝑚𝑥0,12𝑚 𝐴𝐴 = 𝐴𝐹 = 0,96𝑚2
Á𝑟𝑒𝑎 𝐶 = Á𝑟𝑒𝑎 𝐵 = 8𝑚𝑥0,04𝑚 𝐴𝑐 = 𝐴𝐵 = 0,032𝑚2 Á𝑟𝑒𝑎 𝐷 = Á𝑟𝑒𝑎 𝐸 = 8𝑚𝑥0,06𝑚 𝐴𝑐 = 𝐴𝐵 = 0,48𝑚2 Calculando la velocidad de transferencia de calor desde la pared interior hasta la pader exterior: 𝑇 −𝑇5
q= 𝑅1
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑅𝐴 + 𝑅𝐶𝐵𝐶 + 𝑅𝐷𝐸 + 𝑅𝐹 Entonces: 𝑅𝐴 =
𝐿𝐴 0,01𝑚 °C = 𝑤 = 5,208𝑥10−3 2 𝐾𝐴 𝑥𝐴𝐴 2𝑚0 𝐶 𝑥0,96𝑚 𝑤
𝑅𝐶𝐵𝐶
1 1 1 −1 =[ + + ] 𝑅𝐶 𝑅𝐵 𝑅𝐶
𝑅𝐵 =
𝐿𝐵 0,05𝑚 °C = 𝑤 = 0,195312 𝐾𝐵 𝑥𝐴𝐵 8𝑚0 𝐶 𝑥0,032𝑚2 𝑤
𝑅𝐶 =
𝐿𝐶 0,05𝑚 °C = = 0,078125 𝑤 𝐾𝐶 𝑥𝐴𝐶 20𝑚0 𝐶𝑥0,032𝑚2 𝑤
𝑅𝐷 =
𝐿𝐷 0,1𝑚 °C = = 0,013889 𝑤 𝐾𝐷 𝑥𝐴𝐷 15𝑚0 𝐶 𝑥0,48𝑚2 𝑤
𝑅𝐸 =
𝐿𝐸 0,1𝑚 °C = = 5.952𝑥10−3 𝑤 2 𝐾𝐸 𝑥𝐴𝐸 35𝑚0 𝐶𝑥0,48𝑚 𝑤
𝑅𝐹 =
𝐿𝐹 0,06𝑚 °C = 𝑤 = 0,03125 2 𝐾𝐹 𝑥𝐴𝐹 2𝑚0 𝐶 𝑥0,96𝑚 𝑤
Hallando 𝑅𝐶𝐵𝐶 : 𝑅𝐶𝐵𝐶 = [2(0.078125)−1 + (0.195312)−1 ]−1 𝑅𝐶𝐵𝐶 = 0.0325521
°C 𝑤
Hallando 𝑅𝐷𝐸 𝑅𝐷𝐸 = [(0.013889)−1 + (5.952𝑥10−3 )−1 ]−1
𝑅𝐷𝐸 = 4,16649𝑥10−3
°C 𝑤
Entonces el 𝑅𝑇 es: °C
°C
𝑅𝑇 = 5,208𝑥10−3 𝑤 + 0.0325521 𝑤 + 4,16649𝑥10−3 𝑅𝑇 = 0.073
°C 𝑤
Hallando ’’ 𝑞1 ′′ : 𝑞1 = 𝑞1 =
𝑇1 − 𝑇5 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 300°C−100°C 0.073
°C 𝑤
= 2739,726027 w
Entonces: 5𝑚
𝑞𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑞1 𝑥0,12𝑚 5𝑚
𝑞𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2739,726027𝑤𝑥 0,12𝑚 𝑞𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 114155,2511𝑤 𝑏) 𝑞1 =
𝑇1 − 𝑇3 𝑅𝐴 + 𝑅𝐶𝐵𝐶 𝑇1 −𝑇3 °C −3 (5,208𝑥10 +0.0325521) 𝑤
2739,726027w=
𝑇3 = 𝑇1 − 103,0747273°𝐶 𝑇3 = 300°𝐶 − 103,0747273°𝐶 𝑇3 = 196,9252722°𝐶 𝑐) 𝑞1 =
𝑇4 − 𝑇5 𝑅𝐹
°C 𝑤
𝑇4 = 𝑇5 + 𝑅𝐹 𝑥 𝑞1 𝑇4 = 100 + (0.03125)𝑥(2739,726027) 𝑇4 = 185,6164393°𝐶
5. La ropa hecha de varias capas delgadas de tela con aire atrapado entre ellas , con frecuencia llamada ropa para esquiar, es de uso común en los climas fríos porque es ligera, elegante y un aislador térmico muy eficaz. De modo que no es sorprendente que esa ropa haya reemplazado en gran parte los antiguos abrigos gruesos y pesados. Considere una chaqueta hecha d cinco capas de tela sintética (k= 0.13 W/m.°C) de 0.1 mm de espesor con un espacio llano de aire (k= 0.026 W/m.°C) de 1.5 mm de espesor entre ellas. Si la temperatura de la superficie interior de la chaqueta es de 28°C y el área superficial es de 1.1m2, Determine la velocidad de la perdida de calor a través de ella cuando la temperatura en el exterior es de -5 °C y el coeficiente de transferencia de calor en la superficie exterior es de 25W/m2.°C. ¿Cuál sería su respuesta si la chaqueta estuviera hecha de una sola capa de tela sintética de 0.5 mm de espesor? ¿Cuál sería el espesor de una tela de lana (k= 0.035W/m.°C) si la persona debe lograr el mismo nivel de comodidad térmica usando un grueso abrigo de lana en lugar de una chaqueta para esquiar de cinco capas?
Solución: Dibujamos nuestra gráfica.
0.13𝑤 𝑚. °𝐶
1
0.026𝑤 𝑚. °𝐶
AIRE
𝑇1 = 28°𝐶
𝑘=
TELA
𝑘=
2
3
4
5
ℎ2 =
25𝑤 𝑚2 °𝐶
𝑇2∗ = −5°𝐶
Datos:
𝑘 = 0.13 𝑤⁄𝑚°𝐶 𝐿 = 0.1 𝑚𝑚 𝐴 = 1.1 𝑚2 𝑘 = 0.026 𝑤⁄𝑚°𝐶 𝐿 = 1.5 𝑚 𝐻2 = 25 𝑤⁄𝑚2 °𝐶 𝑞=
𝑡1 −𝑡2∗ 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
……. (I)
Para hallar la Resistencia total:
𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 5 (
0.0001 𝑚 0.015 𝑚 1 ) + 4( )+( 𝑤 ) 𝑤 𝑤 2 0.13 ⁄𝑚°𝐶 0.026 ⁄𝑚°𝐶 × 1.1 𝑚 25 ⁄𝑚°𝐶 × 1.1 𝑚2 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2.1378 °𝐶⁄𝑤
Reemplazar los datos en (I): 𝑞=
33°𝐶 2.1378 °𝐶⁄𝑤
𝑞 = 15.44 𝑤
a) Para una sola capa en la chaqueta:
𝑞=
𝑡1 − 𝑡2∗ 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑅𝑡𝑒𝑙𝑎 − 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 0.0001 𝑚 1 𝑅 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = ( )+( 𝑤 ) 𝑤 2 0.13 ⁄𝑚°𝐶 × 1.1 𝑚 25 ⁄𝑚2 × 1.1 𝑚2 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 0.0371 °𝐶⁄𝑤 Hallamos que para una capa de lana:
Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
24
𝑞=
33°𝐶 0.0371 °𝐶⁄𝑤
𝑞 = 889,4879 𝑤
b) espesor de una tela de lana (k= 0.035W/m.°C) si la persona debe lograr el mismo nivel de comodidad térmica usando un grueso abrigo de lana en lugar de una chaqueta para esquiar de cinco capas. 𝑇1 − 𝑇2∗ 𝑞= 𝑅𝑙𝑎𝑛𝑎 − 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛
𝑅𝑙𝑎𝑛𝑎 =
𝑇1 − 𝑇2∗ − 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑞
𝐿 𝑇1 − 𝑇2∗ = − 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝐾𝐴 𝑞
𝐿=(
𝑇1 − 𝑇2∗ 1 − ) 𝑘𝐴 𝑞 ℎ𝐴
𝐿=(
33°𝐶 1 − ) × 0.035 𝑤⁄𝑚°𝐶 15.44 𝑤 25 𝑤⁄𝑚°𝐶 × 1.1
L=0.08m=80mm
6. Un horno de 5 m de ancho, 4 m de alto y 40m de largo usado para curar tubos de concreto está hecho con paredes y techo de concreto (k = 0.9 W⁄m. ℃). El horno se mantiene a 40℃ por la inyección de vapor de agua caliente en él. Los dos extremos del horno, con un tamaño de 4 m × 5 m, están hechos de
lámina
metálica de 3 mm de espesor cubierto con espuma de estireno (k = 0.033 W⁄m. ℃) de 2 cm de espesor. Los coeficientes de transferencia de calor por convección sobre las superficies interior y exterior del horno son de 3000 𝑊⁄𝑚2 . ℃
y 25 𝑊⁄𝑚2 . ℃, respectivamente. Si se
descarta cualquier pérdida de calor a través del piso, determine la razón de la pérdida de calor del horno cuando el aire ambiente está a −4℃. Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
25
𝑅𝑖 =
1 1 = = 0.0071 × 10−4 ℃⁄𝑊 ℎ𝑖 . 𝐴𝑖 (3000 𝑊⁄ (40 𝑚)(13 − 1.2)𝑚 𝑚2 . ℃)
𝑅𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜 =
𝑅𝑜 =
𝐿 0.2 𝑚 = = 4.480 × 10−4 ℃⁄𝑊 𝑊 𝑘. 𝐴 (0.9 ⁄ 2 )[(40 𝑚)(13 − 0.6 𝑚)] 𝑚 .℃
1 1 = = 0.769 × 10−4 ℃⁄𝑊 ℎ𝑜 . 𝐴𝑜 (25 𝑊⁄𝑚2 . ℃)[(40 𝑚)(13 𝑚)]
𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑅𝑖 + 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜 + 𝑅𝑜 = (0.0071 + 4.480 + 0.769) × 10−4 = 5.256 × 10−4 ℃⁄𝑊 𝑄𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 =
[40 − (−4)]℃ 𝑇𝑖 − 𝑇𝑒 = = 83.700 𝑊 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 5.256 × 10−4 ℃⁄𝑊
La pérdida de calor a través de la superficie con espuma de poli estireno del horno: 𝑅𝑖 =
1 1 = = 0.201 × 10−4 ℃⁄𝑊 ℎ𝑖 . 𝐴𝑖 (3000 𝑊⁄ 2 [(4 − 0.40 )(5 − 0.4)𝑚 ] 𝑚2 . ℃)
𝑅𝑝𝑜𝑙𝑖 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑟𝑒𝑛𝑜 =
𝑅𝑜 =
𝐿 0.02 𝑚 = = 0.0332 ℃⁄𝑊 𝑘. 𝐴 (0.033 𝑊⁄ 2 )[(4 − 0.2)(5 − 0.2 )𝑚2 ] 𝑚 .℃
1 1 = = 0.0020 ℃⁄𝑊 𝑊 2 ℎ𝑜 . 𝐴𝑜 (25 ⁄𝑚2 . ℃)[4𝑥5𝑚 ]
Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
26
𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑅𝑖 + 𝑅𝑝𝑜𝑙𝑖 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑟𝑒𝑛𝑜 + 𝑅𝑜 = (0.201 × 10−4 + 0.0332 + 0.0020) = 0.0352 ℃⁄𝑊 𝑄𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑒 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 =
[40 − (−4)]℃ 𝑇𝑖 − 𝑇𝑒 = = 1250 𝑊 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 0.0352 ℃⁄𝑊
Entonces la cantidad total de transferencia de calor del horno es: 𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑄𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 + 2 𝑄𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑒 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 = 83.700 + 2 × 1250 = 86.200 𝑊
7. Considere una lámina de vidrio epóxico(𝑘 = 0.10 𝐵𝑡𝑢⁄ℎ. 𝑝𝑖𝑒𝑠. ℉) de 6 in _ 8 in cuyo espesor es de0.05 𝑝𝑢𝑙𝑔. Con el fin de reducir la resistencia térmica a través de su espesor, se van a plantar en todo el tablero rellenos cilíndricos de cobre (k_ 223 Btu/h · ft · °F) de 0.02 in de diámetro, con una distancia de centro a centro de 0.06 in. Determine el nuevo valor de la resistencia térmica del tablero de vidrio epóxico para la conducción del calor a través de su espesor como resultado de esta modificación.
𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = (6⁄12 𝑝𝑖𝑒) (8⁄12 𝑝𝑖𝑒) = 0.333 𝑝𝑖𝑒 2 0.33𝑝𝑖𝑒 2 𝑛 = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑙𝑙𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒 = = 13.333 (0.06⁄12 𝑝𝑖𝑒)(0.06⁄12 𝑝𝑖𝑒)
Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
27
2
𝐴𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒
𝜋(0.02⁄12 𝑝𝑖𝑒) 𝜋𝐷2 =𝑛 = 13.333 × = 0.0291 𝑝𝑖𝑒 2 4 4
𝐴𝑣𝑖𝑑𝑟𝑖𝑜 𝑒𝑝𝑜𝑥𝑖𝑐𝑜 = 𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 − 𝐴𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒 = 0.333 − 0.0291 = 0.3042 𝑝𝑖𝑒 2
Las resistencias térmicas son:
𝑅𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒
0.05⁄ 𝑝𝑖𝑒 𝐿 12 = = = 0.00064 ℎ. ℉⁄𝐵𝑡𝑢 𝐵𝑡𝑢 2) 𝑘. 𝐴 (223 )(0.0291 𝑝𝑖𝑒 ⁄ℎ. 𝑝𝑖𝑒 2 . ℉
𝑅𝑣𝑖𝑑𝑟𝑖𝑜 𝑒𝑝𝑜𝑥𝑖𝑐𝑜
0.05⁄ 𝑝𝑖𝑒 𝐿 12 = = = 0.137 ℎ. ℉⁄𝐵𝑡𝑢 𝐵𝑡𝑢 2) 𝑘. 𝐴 (0.10 )(0.3042 𝑝𝑖𝑒 ⁄ℎ. 𝑝𝑖𝑒 2 . ℉
Por lo tanto: 1 𝑅𝑙á𝑚𝑖𝑛𝑎
=𝑅
1 𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒
+𝑅
1 𝑣𝑖𝑑𝑟𝑖𝑜 𝑒𝑝𝑜𝑥𝑖𝑐𝑜
1
1
= 0.00064 + 0.137 → 𝑅𝑙á𝑚𝑖𝑛𝑎 = 0.00064 ℎ. ℉⁄𝐵𝑡𝑢
RESISTENCIA TÉRMICA POR O
1.
Se mide la conductancia térmica por o en la interfase de dos placas de cobre de 1 𝑐𝑚 de espesor y resulta ser de 18000 𝑊⁄𝑚2 . ℃ Determine el espesor de la placa de cobre cuya resistencia térmica sea igual a la de la interfase entre las placas.
𝐾𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒 = 386 𝑊⁄𝑚. ℃ Tomando en cuenta que la resistencia térmica de o es inversa a la conductividad de o, la resistencia térmica de o se determina que es: 𝑅𝑐 =
1 1 2 = = 5.556 × 10−5 𝑚 . ℃⁄𝑊 ℎ𝑐 18000 𝑊⁄ 2 𝑚 .℃ 𝐿
La resistencia térmica de una placa plana es 𝑅 = 𝐾 2 𝐿 = 𝑘𝑅 = 𝐾𝑅𝑐 = (386 𝑊⁄𝑚. ℃) (5.556 × 10−5 𝑚 . ℃⁄𝑊 ) = 0.0214 𝑚 = 2.14 𝑐𝑚
Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
28
2. Seis transistores de potencia idénticos con caja de aluminio están sujetos a uno de los lados de una placa de cobre 𝑘 = 386 𝑊⁄𝑚. ℃ de 20 𝑐𝑚 × 30 𝑐𝑚 y 12 𝑐𝑚 de espesor, por medio de tornillos que ejercen una presión promedio de 10 𝑀𝑝𝑎. El área de la base de cada transistor es de 9 𝑐𝑚2 y cada uno de ellos está colocado en el centro de una sección de 10 𝑐𝑚 × 10 𝑐𝑚 de la placa. La aspereza de la interfase se estima que es de alrededor de 1.4 𝑚𝑚. Todos los transistores están cubiertos por una capa gruesa de plexiglás, el cual es un mal conductor del calor y, por consiguiente, todo el calor generado en la unión del transistor debe disiparse hacia el ambiente, que está a 23°𝐶, a través de la superficie posterior de la placa de cobre. El coeficiente combinado de transferencia de calor por convección/radiación en la superficie posterior se puede tomar como 30 𝑊⁄𝑚2 . ℃. Si la temperatura de la caja del transistor no debe sobrepasar 75°𝐶, determine la potencia máxima que cada transistor puede disipar con seguridad y el salto de temperatura en la interfase caja-placa.
-
Seis transistores, están unidos en una placa de cobre, para una temperatura máxima de 75℃ , las conductividades térmicas son constantes.
𝐾𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒 = 386 𝑊⁄𝑚. ℃ Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
29
ℎ𝑐 = 49.000 𝑊⁄𝑚2 . ℃ 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑐𝑡𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑗𝑎 𝑦 𝑙𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 = 9𝑐𝑚2 Y la zona de la placa para cada transistor es = 100𝑐𝑚2 -
La red de resistencia consiste en los tres tipos de resistencia en serie, por lo tanto se determinan de la siguiente manera:
Resistencia de o
𝑅𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑐𝑡𝑜 = ℎ
1
𝑐 𝐴𝑐
𝑅𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 =
1 𝑊 (49.000 ⁄ 2 )(9×10−4 𝑚2 ) 𝑚 .℃
= 0.00227 ℃⁄𝑊
𝐿 0.012 𝑚 = = 0.0031 ℃⁄𝑊 2) 𝑘. 𝐴 (386 𝑊⁄ )(0.01 𝑚 𝑚. ℃
𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 =
-
=
1 1 = = 3.333 ℃⁄𝑊 ℎ𝑜 𝐴 (30 𝑊⁄ 2 (0.01𝑚 ) 𝑚 2 . ℃)
La resistencia térmica total es entonces:
𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑐𝑡𝑜 + 𝑅𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 + 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 = 0.0227 + 0.0031 + 3.333 = 3.359 ℃⁄𝑊 -
La resistencia térmica de la placa de cobre es muy pequeña y puede ignorarse, entonces la cantidad de transferencia de calor se determina que es:
𝑄=
(75 − 23)℃ ∆𝑇 = = 15.5 𝑊 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 3.359 ℃⁄ 𝑊
∆𝑇𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑓𝑎𝑠𝑒 = 𝑄 × 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑐𝑡𝑜 = (15.5 𝑊)(0.0227 ℃⁄𝑊 ) = 0.35 ℃
3.
Dos barras de aluminio 𝑘 = 176 𝑊⁄𝑚. ℃ de 5 𝑐𝑚 de diámetro y 15 𝑐𝑚 de largo, con las superficies esmeriladas, se comprimen una contra la otra con una presión de 20 𝑎𝑡𝑚. Las barras están encerradas en un manguito de aislamiento y, por tanto, la transferencia de calor desde las superficies laterales es despreciable. Si las superficies superior e inferior del sistema de dos barras de mantienen a las temperaturas de 150°𝐶 y 20°𝐶, respectivamente, determine a) la razón de la transferencia de calor a lo largo de los cilindros en condiciones estacionarias y b) la caída de temperatura en la interfase.
𝑘 = 176 𝑊⁄𝑚. ℃ Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
30
ℎ𝑐 = 11.400 𝑊⁄𝑚2 . ℃ 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑐𝑡𝑜 =
𝑅𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 =
𝑄=
1 = ℎ𝑐 𝐴𝑐
𝐿 = 𝑘. 𝐴
1 𝜋(0.05𝑚)2 (11.400 𝑊⁄𝑚2 . ℃) [ ] 4
= 0.0447 ℃⁄𝑊
0.15 𝑚 ℃ 2 = 0.4341 ⁄𝑊 𝜋(0.05𝑚) (176 𝑊⁄𝑚. ℃) [ ] 4
(150 − 20)℃ ∆𝑇 ∆𝑇 = = = 142.4 𝑊 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑐𝑡𝑜 + 2𝑅𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 (0.0447 + 2 × 0.4341) ℃⁄ 𝑊
∆𝑇𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑓𝑎𝑠𝑒 = 𝑄 × 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑐𝑡𝑜 = (142.4 𝑊)(0.0447 ℃⁄𝑊 ) = 6.4 ℃
4.
Una placa de cobre (𝑘 = 386 𝑊/𝑚 · °𝐶) de 1 𝑚𝑚 de espesor está comprimida entre dos tableros de material epóxico (𝑘 = 0.26 𝑊/𝑚 · °𝐶) de 5 𝑚𝑚 de espesor y tienen un tamaño de 15 𝑐𝑚 × 20 𝑐𝑚. Si se estima que la conductancia térmica sobre ambos lados de la placa de cobre es de 6 000 𝑊/ 𝑚 · °𝐶, determine el error en el que se incurre en la resistencia térmica total de la placa si se ignoran las conductancias térmicas por o.
Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
31
-
El error implicado en la resistencia térmica total de la placa si se ignoran las conductividades, debe ser determinado.
-
Conductividades térmicas constantes
𝑘𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 = 386 𝑊⁄𝑚. ℃ 𝑘𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙 𝑒𝑝𝑜𝑥𝑖𝑐𝑜 = 0.26 𝑊⁄𝑚. ℃ ℎ𝑐 = 6000 𝑊⁄𝑚2 . ℃ 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑐𝑡𝑜 =
𝑅𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 =
1 1 = = 0.00017 ℃⁄𝑊 ℎ𝑐 𝐴𝑐 (6000 𝑊⁄ 2 (1 ) 𝑚2 . ℃) 𝑚
𝐿 0.001 𝑚 = = 2.6 × 10−6 ℃⁄𝑊 2 𝑘. 𝐴 (386 𝑊⁄ 𝑚. ℃)(1 𝑚 )
𝑅𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙 𝑒𝑝𝑜𝑥𝑖𝑐𝑜 =
𝐿 0.005 𝑚 = = 0.01923 ℃⁄𝑊 2 𝑘. 𝐴 (0.26 𝑊⁄ 𝑚. ℃)(1 𝑚 )
𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2𝑅𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑐𝑡𝑜 + 𝑅𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 + 𝑅𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙 𝑒𝑝𝑜𝑥𝑖𝑐𝑜 = 2 × 0.00017 + 2.6 × 10−6 ℃⁄𝑊 + 2 × 0.01923 ℃⁄𝑊 = 0.03880 ℃⁄𝑊 %𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 =
2𝑅𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑐𝑡𝑜 2 × 0.00017 × 100 = × 100 = 0.88% 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 0.03880
CONDUCCIÓN DEL CALOR EN ESTADO ESTACIONARIO EN PAREDES PLANAS 1. Un elemento resistor cilíndrico en un tablero de circuito disipa 0,15 W de potencia en un medio a 40ºC. El resistor tiene 1,2 cm de largo y un diámetro de 0,3 cm. Si se supone que el calor se transfiere de manera uniforme desde todas las superficies, determine: a) La cantidad de calor que este resistor disipa durante un periodo de 24 h b) El flujo de calor sobre la superficie el resistor, en W/m2.ºC c) La temperatura superficial del resistor para un coeficiente combinado de transferencia de calor por convección y radiación de 9 W/m2.ºC Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
32
Solución: 𝑄 = 𝑄. ∆𝑡 𝑄 = (0.15 𝑊 𝑥 24 ℎ) 𝑄 = 3,6 𝑊. ℎ 2𝜋𝐷2 𝐴= + 𝜋𝐷𝐿 4 2𝜋(0,003 𝑚)2 𝐴= + 𝜋(0,003 𝑚)(0,012 𝑚) 4 𝐴 = 0,000 127 𝑚2 𝑄 𝐴 0,15 𝑊 𝑞= 0,000 127 𝑚2 𝑞=
𝑞 = 1 179
𝑊 𝑚2
𝑄 = ℎ. 𝐴. (𝑇1 − 𝑇2) 𝑇1 = 𝑇2 + Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
𝑄 ℎ. 𝐴
33
0,15 𝑊
𝑇1 = 40º𝐶 + (9
𝑊 ) (0,000 127 𝑚2 ) 𝑚2 . º𝐶
𝑇1 = 171º𝐶
2. Considere un transistor de potencia que disipa 0,2 W de potencia en un medio a 30ºC. El transistor tiene 0,4 cm de largo y un diámetro de 0,5 cm. Si se supone que el calor se transfiere de manera uniforme desde todas las superficies, determine: a) La cantidad de calor que este transistor disipa durante un periodo de 24 h, en kW b) El flujo de calor sobre la superficie del transistor, W/m2, y c) La temperatura superficial del transistor para un coeficiente combinado de transferencia de calor por convección y radiación de 18 W/m2.ºC
Solución: 𝑄 = 𝑄. ∆𝑇 𝑄 = (0,2 𝑊)(24 ℎ) 𝑄 = 4,8 𝑊ℎ 𝑄 = 0,004 8 𝑘𝑊ℎ Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
34
2𝜋𝐷2 𝐴= + 𝜋𝐷𝐿 4 𝐴=
2𝜋(0,005 𝑚)2 + 𝜋(0,005 𝑚)(0,004 𝑚) 4 𝐴 = 0,000 102 1 𝑚2 𝑄 𝐴 0,2 𝑊 𝑞= 0,000 102 1 𝑚2 𝑞=
𝑞 = 1 959
𝑊 𝑚2
𝑄 = ℎ. 𝐴. (𝑇1 − 𝑇2) 𝑇1 = 𝑇2 + 𝑇1 = 30º𝐶 + (18
𝑄 ℎ. 𝐴 0,2 𝑊
𝑊
) (0,000 𝑚2 . º𝐶
102 1 𝑚2 )
𝑇1 = 139º𝐶
3. Un tablero de circuito de 12 cm x 18 cm aloja sobre su superficie 100 chips lógicos con poco espacio entre ellos, disipando cada uno 0,07 W en un medio a 40ºC. La transferencia e calor desde la superficie posterior del tablero es despreciable. Si el coeficiente de transferencia de calor sobre la superficie del tablero es de 10 W/m2.ºC, determine: a) El flujo de calor sobre la superficie del tablero de circuito, en W/m2; b) La temperatura superficial de los chips y c) La resistencia térmica entre la superficie del tablero y el medio de enfriamiento, en ºC/W
Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
35
Solución: 𝐴 = (0,12 𝑚)(0,18 𝑚) 𝐴 = 0,021 6 𝑚2 𝑄 𝐴 (100 𝑥 0,06) 𝑊 𝑞= 0,021 6 𝑚2 𝑞=
𝑞 = 278
𝑊 𝑚2
𝑄 = ℎ. 𝐴. (𝑇1 − 𝑇2) 𝑄 ℎ. 𝐴 (100 𝑥 0,06)𝑊 𝑇1 = 40º𝐶 + 𝑊 (10 2 ) (0,021 6 𝑚2 ) 𝑚 . º𝐶 𝑇1 = 𝑇2 +
𝑇1 = 67,8 º𝐶
𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣 = 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣 = (10
𝑊
1 ℎ. 𝐴 1
) (0,021 𝑚2 . º𝐶
Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
6 𝑚2 )
36
4. Considere una casa cuyas paredes tienen 12 pies de alto y 40 pies de largo. Dos de las paredes no tienen ventanas, en tanto que cada una de las otras dos tienen cuatro ventanas hechas de vidrio (k = 0,45 BTU/h.pie.ºF) de 0,25 m de espesor y con un tamaño de 3 pies x 5 pies. Está certificado que las paredes tienen un valor R de 19 (es decir, un valor de L/k de 19 h.pie2.ºF/BTU). Si se descarta cualquier pérdida o ganancia por radiación directa a través de las ventanas y si se toma el coeficiente de transferencia e calor en la superficies interior y exterior de la casa como de 2 y 4 BTU/h.pie2.ºF, respectivamente, determine la velocidad de la transferencia de calor a través de las paredes con y sin ventanas.
Solución: 𝐴 = (12 𝑝𝑖𝑒𝑠)(40 𝑝𝑖𝑒𝑠) 𝐴 = 480 𝑝𝑖𝑒𝑠 2
𝑅𝑖 = 𝑅𝑖 = (2
1 ℎ𝑖. 𝐴 1
𝐵𝑇𝑈 ) (480 𝑝𝑖𝑒𝑠 2 ) ℎ. 𝑝𝑖𝑒 2 . º𝐹
𝑅𝑖 = 0,001 041 7
Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
ℎ. º𝐹 𝐵𝑇𝑈
37
𝑅𝑝 =
𝑅𝑝 =
𝐿 𝑘. 𝐴
ℎ. 𝑝𝑖𝑒 2 . º𝐹 𝐵𝑇𝑈 480 𝑝𝑖𝑒𝑠 2
19
ℎ. º𝐹 𝐵𝑇𝑈
𝑅𝑝 = 0,039 58
𝑅𝑜 = 𝑅𝑜 = (4
1 ℎ0. 𝐴 1
𝐵𝑇𝑈 ) (480 𝑝𝑖𝑒𝑠 2 ) ℎ. 𝑝𝑖𝑒 2 . º𝐹
𝑅𝑜 = 0,000 52
ℎ. º𝐹 𝐵𝑇𝑈
𝑅𝑡1 = 𝑅𝑖 + 𝑅𝑝 + 𝑅𝑜 ℎ. º𝐹 ℎ. º𝐹 ℎ. º𝐹 + 0,039 58 + 0,000 52 𝐵𝑇𝑈 𝐵𝑇𝑈 𝐵𝑇𝑈 ℎ. º𝐹 𝑅𝑡1 = 0,041 141 7 𝐵𝑇𝑈
𝑅𝑡1 = 0,001 041 7
𝐴𝑣 = 4 (3 𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑥 5 𝑝𝑖𝑒𝑠) 𝐴𝑣 = 60 𝑝𝑖𝑒𝑠 2 𝐴𝑝 = 𝐴𝑡 − 𝐴𝑣 𝐴𝑝 = 480 𝑝𝑖𝑒𝑠 2 − 60 𝑝𝑖𝑒𝑠 2 𝐿 𝑘. 𝐴 0,25 12 𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑅2 = 𝐵𝑇𝑈 (0,45 ℎ. 𝑝𝑖𝑒. º𝐹) (60𝑝𝑖𝑒𝑠 2 ) 𝑅2 =
𝑅2 = 0,000 771 6
𝑅4 = Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
ℎ. º𝐹 𝐵𝑇𝑈
𝐿 𝑘. 𝐴
38
𝑅4 =
ℎ. 𝑝𝑖𝑒 2 . º𝐹 𝐵𝑇𝑈 420 𝑝𝑖𝑒𝑠 2
19
𝑅4 = 0,045 24
ℎ. º𝐹 𝐵𝑇𝑈
1 1 1 = + 𝑅𝑒𝑞𝑣 𝑅2 𝑅4 1 1 1 = + ℎ. º𝐹 ℎ. º𝐹 𝑅𝑒𝑞𝑣 0,000 771 6 𝐵𝑇𝑈 0,045 24 𝐵𝑇𝑈 ℎ. º𝐹 𝑅𝑒𝑞𝑣 = 0,000 76 𝐵𝑇𝑈 𝑅𝑡2 = 𝑅𝑖 + 𝑅𝑒𝑞𝑣 + 𝑅𝑜 ℎ. º𝐹 ℎ. º𝐹 ℎ. º𝐹 + ,000 76 + 0,000 52 𝐵𝑇𝑈 𝐵𝑇𝑈 𝐵𝑇𝑈 ℎ. º𝐹 𝑅𝑡2 = 0,002 327 𝐵𝑇𝑈
𝑅𝑡2 = 0,001 041 7
∆𝑇 𝑄𝑡2 = 𝑅𝑡2 ∆𝑇 𝑄𝑡1 𝑅𝑡1 ℎ. º𝐹 0,041 141 7 𝐵𝑇𝑈 𝑅𝑡2 = ℎ. º𝐹 𝑅𝑡1 0,002 327 𝐵𝑇𝑈 𝑅𝑡1 = 17,7 𝑅𝑡2 CONDUCCION DEL CALOR EN CILINDROS Y ESFERAS
1. Se usa un tanque esférico con un diámetro interior de 5cm, hecho de lámina de acero inoxidable (k =15 W/m · °C) de 1.5 cm de espesor, para almacenar agua con hielo a 0°C. El tanque está ubicado en un cuarto cuya temperatura es de
Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
39
30°C. Las paredes del cuarto también están a 30°C. La superficie exterior del tanque es negra (emisividad𝜀 =1) y la transferencia de calor entre la superficie exterior del tanque y los alrededores es por convección natural y radiación. Los coeficientes de transferencia de calor por convección en las superficies interior y exterior del tanque son de 80 W/𝑚2 · °C y 10 W/𝑚2 ·°C, respectivamente. Determine: a) La razón de la transferencia de calor hacia el agua con hielo que está en el tanque b) La cantidad de hielo a 0°C que se funde durante un periodo de 24 h. El calor de fusión del agua a la presión atmosférica es ℎ𝑖𝑓 =333.7 KJ/Kg.
Solución:
Si el recipiente esfuerce está lleno con aguay hielo. Entonces la transferencia de calor es por convección y radiación en la superficie exterior, para lo cual se debe determinar la velocidad de transferencia de calor y la cantidad de hielo que se funde por día
Calculo de áreas: A1 𝜋𝐷12 = 𝜋(5𝑚)2 = 78,5398𝑚2 ≅ 78,5𝑚2
A1 𝜋𝐷22 = 𝜋(5.03𝑚)2 = 79,4851𝑚2 ≅ 79,5𝑚2 El coeficiente de transferencia de calor por radiación, se expresa por: ℎ𝑟𝑎𝑑 = 𝜀𝜎(𝑡12 − 𝑡∗22 ) (𝑡2 − 𝑡∗2 )
Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
40
Pero como no se conoce la temperatura 𝑡2 de la superficie exterior del tanque y en consecuencia, no se puede calcular ℎ𝑟𝑎𝑑 por lo tanto se necesita suponer un valor de 𝑡2 y comprobar más adelante la exactitud de esta suposición. Si es necesario, se repetirá los cálculos usando un valor revisado para 𝑡2 . Debe notarse que 𝑡2 debe estar entre 0°c y 30°c. pero debe estar más cercana a 0°c. dado que el coeficiente de transferencia de calor dentro del tanque es mucho mayor . si se toma 𝑡2 = 5°c = 278k, se determina que el coeficiente de transferencia de calor por radiación es:
ℎ𝑟𝑎𝑑 = (1)(5.67𝑥10−8 𝑤/𝑚2 . 𝑘 4 ) +[(303𝑘)2
+ (278𝑘)2 ] [(303+278)k]
ℎ𝑟𝑎𝑑 = 2.5𝑤/𝑚2 . °C Entonces cada una de las resistencias térmicas será:
𝑅𝑖 = 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣,1 = ℎ
1
1
1 𝐴1
= 80𝑤/𝑚2 .°𝐶 = 1.59 𝑥10−4 °C/w
1
𝑅1 = 𝑅𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = 4𝜋𝑘𝑟
2 𝑟1
𝑅𝑖 = 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣.2 = ℎ
1
2 𝐴2
𝑅𝑟𝑎𝑑 = ℎ
1
𝑟𝑎𝑑1 𝐴2
(2.515−2.5)𝑚
= 4𝜋(15𝑤/𝑚.°𝐶)(2.515𝑚)(2.5𝑚) = 1.27 𝑥10−5 °C/w
1
= (10𝑤/𝑚2 .°𝐶)(79,5𝑚2 ) = 1.26 𝑥10−3 °C/w 1
= (2.5𝑤/𝑚2 .°𝐶)(79.5𝑚2 ) = 5.03 𝑥10−3 °C/w
Las dos resistencias en paralelo 𝑅0 y 𝑅𝑟𝑎𝑑 , se pueden remplazar por una resistencia equivalente 𝑅𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣. determinada a partir de:
Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
41
1 𝑅𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣
1
= 𝑅 +𝑅 0
1 𝑟𝑎𝑑
1
1
=1.26𝑥10−3+ 5.03𝑥10−3 = 992.46°C/w
𝑅𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣 = 1.0076 𝑥10−3 w/°C
Como ahora todas la Resistencia están en serie, la resistencia total es: 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑅𝑖 +𝑅1 +𝑅𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣 =1.59 𝑥10−4 °C/w + 1.27 𝑥10−5 +1.0076 𝑥10−3 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 1.18𝑥10−3 °C/w Ahora se debe comprobar la suposición original de la temperatura, calculando la temperatura de la superficie exterior a partir de:
𝑞=
∗ −𝑡 ) (𝑡12 2
𝑅𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣
𝑡2 = 𝑡2 − 𝑞𝑅𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣 𝑡2 = 30°𝐶 − (25423,7𝑤)(1,0076𝑥10−5 °𝑐/𝑤) 𝑡2 = 4.3837°C ≅ 4°c
El °c es muy cercano a los 5 ° c supuestos en la determinación del coeficiente de transferencia de calor por radiación, por lo que no es necesario repetir los cálculos usando 4°ara 𝑡2 b) y la transferencia de calor para un periodo de 24 horas es:
Q = q∆𝑡 = (25,423 kJ/s) (24h) (3600 s/h)
Q = 2196547.2 KJ Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
42
Como se requiere 333.7 kJ de energía para fundir 1kg. De hielo a 0°c, entonces la cantidad de hielo que se fundirá en 24 horas es: Q= 𝑚ℎ𝑖𝑒𝑙𝑜 -ℎ𝑓𝑢𝑠 2196547.2kj = 𝑚ℎ𝑖𝑒𝑙𝑜 (333.7kj/kg) 𝑚ℎ𝑖𝑒𝑙𝑜 = 6585.40 kg.
2. En un tubo de acero inoxidable (k=15 W/m · °C) cuyos diámetros interior y exterior son de 5 cm y 5.5 cm, respectivamente, fluye vapor de agua a 320°C. El tubo está cubierto con aislamiento de lana de vidrio (k=0.038 W/m · °C) de 3 cm de espesor. El calor se pierde hacia los alrededores que están a 5°C por convección natural y radiación, con un coeficiente combinado de transferencia de calor por convección natural y radiación de 15 W/𝑚2 · °C. Si el coeficiente de transferencia de calor dentro del tubo es 80 W//𝑚2 · °C. Determine: La velocidad de la pérdida de calor del vapor por unidad de longitud del tubo. Determine también las caídas de temperatura a través del casco del tubo y del aislamiento.
Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
43
Solución: Un tubo de vapor de agua cubierto con aislamiento de fibra de vidrio está sujeto a convención sobre sus superficies se deben determinar la velocidad de la transferencia de calor por unidad de longitud y la caída de temperatura a través del tuvo y el aislamiento. Considerando que la resistencia por o térmico en la interface es despreciable. Según el problema las conductividades térmicas son k=15w/m.C para el hierro, y k=0.038w/m.C para el aislamiento de fibra de vidrio. Para este problema, la red de resistencia térmica comprende cuatro dispuestas en serie que se presenta en la figura si L=1m, se detrmina que las áreas de las superficies expuestas a la convención son: A1 =2𝜋𝑟1 𝐿 = 2𝜋(0.025𝑚)(1𝑚) = 0.157𝑚2 A2 =2𝜋𝑟3 𝐿 = 2𝜋(0.0575𝑚)(1𝑚) = 0.361𝑚2
Entonces cada una de las resistencias térmicas será:
𝑅𝑖 = 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣,1= ℎ
1
1
= 80𝑤/𝑚2 .°𝐶(0,157𝑚2 ) = 0,079°C/w
1 𝐴1
𝑅1 = 𝑅𝑡𝑢𝑣𝑜 =
𝑙𝑛(𝑟2 /𝑟1 ) 2𝜋𝑘𝑟1 𝐿
𝑅2 = 𝑅𝑎𝑖𝑠𝑙𝑎𝑚 =
𝑅0 =𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣2 = ℎ
𝑙𝑛(𝑟3 /𝑟2 ) 2𝜋𝑘𝑟2 𝐿
1
2 𝐴3
𝑙𝑛(2.75/2.5)
= 4𝜋(15𝑤/𝑚.°𝐶)(1𝑚) = 1.011 𝑥10−3 °C/w
𝑙𝑛(5,75/2.75)
= 2𝜋(0.038𝑤/𝑚2 .°𝐶)(1𝑚2 ) = 3.098 °C/w 1
= (15𝑤/𝑚2 .°𝐶)(0.0361𝑚2 ) = 0.185°C/w
Como todas las Resistencias estan en serie se determina que la Resistencia total es:
Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
44
𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑅𝑖 +𝑅1 +𝑅2 +𝑅0 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 0.079°C/w +1.011𝑥10−3 °C/w +3.089°C/w +0.185°C/w 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 3.35°C/w
Entonces la velocidad estacionaria de perdida de calor del vapor por m de longitud de tubo será:
𝑞=
(𝑡1∗ −𝑡2∗ ) 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
=
(320−5)°𝑐 3.35°𝐶/𝑤
= 95,52°C/w
Para determinar la perdida de calor para una longitud dada de tubo, se multiplica esta última cantidad por la longitud L de este tubo.
La caída de temperatura a través del tuvo y el aislamiento se determina con la ecuación que se expresa como: ∆𝑡 𝑡𝑢𝑏𝑜 =q 𝑅 𝑡𝑢𝑏𝑜 = (96w) (1.11𝑥10−3 C/w) =0, 09 °C ∆𝑡 𝑎𝑖𝑠𝑙𝑎𝑚 =q 𝑅 𝑎𝑖𝑠𝑙𝑎𝑚 = (96w) (3,089C/w) =296,544°C
Es decir, las temperaturas entre las superficies interior y exterior del tubo difieren 0, 09 °C, en tanto que las temperaturas entre las superficies interior y exterior del aislamiento difieren en 296,544°C.
3.
Considere una bebida fría enlatada en aluminio que está inicialmente a una
temperatura uniforme de 4°𝐶. La lata tiene 12.5 𝑐𝑚 de alto y un diámetro de 6 𝑐𝑚. Si el Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
45
coeficiente combinado de transferencia de calor por convección/radiación entre la lata y el aire circundante a 25 °𝐶 es de 10 𝑊/𝑚2 · °𝐶, determine cuánto tiempo pasará para que la temperatura promedio de la bebida se eleve hasta 15°𝐶.En un esfuerzo por hacer más lento el calentamiento de la bebida fría, una persona pone la lata en un aislamiento cilíndrico de caucho (𝑘 = 0.13 𝑊/𝑚 · °𝐶) de 1 𝑐𝑚 de espesor y que ajusta perfectamente. ¿Ahora cuánto tiempo pasará para que la temperatura de la bebida se eleve hasta 15°𝐶? Suponga que la parte superior de la lata no está cubierta.
𝐴𝑜 = 𝜋𝐷𝑜 𝐿 + 2
𝜋𝐷2 𝜋(0.06)𝑚2 = 𝜋(0.06 𝑚)(0.125 𝑚) + 2 = 0.02922 𝑚2 4 4
𝑄 = ℎ𝑜 𝐴(𝑇𝑎𝑖𝑟𝑒 − 𝑇𝑏𝑒𝑏𝑖𝑑𝑎 ) = (10 𝑊/𝑚2 · °𝐶)(0.02922 𝑚2 )(25 − 9.5)℃ = 4.529 𝑊 𝑚 = 𝜌𝑉 = 𝜌𝜋𝑟 2 𝐿 = (1000
𝑘𝑔⁄ 2 )(0.125 𝑚) = 0.3534 𝑘𝑔 𝑚3 ) 𝜋(0.03𝑚
𝐽 𝑞 = 𝑚𝑐𝑝 ∆𝑇 = (0.3534 𝑘𝑔) (4.180 ⁄𝑘𝑔) (15 − 4)℃ = 16.250 𝐽 ∆𝑡 =
𝑞 16.250𝐽 = = 3588 𝑠 = 59.8 𝑚𝑖𝑛 𝑄 4.529 𝐽⁄ 𝑠
𝑄 = ℎ𝑂 𝐴(𝑇𝑎𝑖𝑟𝑒 − 𝑇) = (10 𝑊⁄𝑚2 ℃) [𝜋(0.03𝑚)2 ](25 − 9.5)℃ = 0.44 𝑊 Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
46
𝐴𝑜 = 𝜋𝐷𝑜 𝐿 = 𝜋(0.08 𝑚)(0.125 𝑚) = 0.03142 𝑚2 𝑅𝑜 =
1 1 = = 3.183 ℃⁄𝑊 ℎ𝑜 𝐴𝑜 (10 𝑊⁄𝑚2 ℃)(0.03142 𝑚2 )
𝑅𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑖𝑠𝑙𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑟 ln( 2⁄𝑟1 ) ln( 4⁄3) = = = 2.818 ℃⁄𝑊 𝑊 2𝜋𝑘𝐿 2𝜋 (0.13 ⁄𝑚2 ℃) (0.125 𝑚)
𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑅𝑜 + 𝑅𝑎𝑖𝑠𝑙𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = 3.183 + 2.818 = 6.001 ℃⁄𝑊 𝑄𝑙𝑎𝑑𝑜 =
(25 − 9.5)℃ 𝑇𝑎𝑖𝑟𝑒 − 𝑇 = = 2.58 𝑊 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 6.001 ℃⁄𝑊
𝑄𝑎𝑖𝑠𝑙𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝑄𝑙𝑎𝑑𝑜+𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 + 𝑄𝑒𝑛𝑐𝑖𝑚𝑎 = 1.12 × 2.58 + 0.44 = 3.33 𝑊 ∆𝑡 =
𝑞 16.250 𝐽 = = 4880 𝑠 = 81.3 𝑚𝑖𝑛 𝐽 𝑄 3.33 ⁄𝑠
4. Está fluyendo vapor de agua a través de un tubo de acero (k = 8.7 BTU/h · pie · °F) cuyos diámetros interior y exterior son 3.5 in y 4.0 in, respectivamente, en un medio a 55°F. El tubo está aislado con fibra de vidrio (k = 0.020 BTU/h · pie · °F) de 2 in de espesor. Si los coeficientes de transferencia de calor sobre el interior y el exterior del tubo son 30 y 5 BTU/h · 𝑝𝑖𝑒 2 · °F, respectivamente, determine la velocidad de la pérdida de calor del vapor por pie de longitud del tubo. ¿Cuál es el error en que se incurre al despreciar la resistencia térmica del tubo de acero en los cálculos? SOLUCIÓN: Hipótesis 1: La transferencia de calor es constante ya que no hay indicios de ningún cambio con el tiempo. Hipótesis 2: La transferencia de calor es unidimensional ya que no hay simetría térmica sobre la línea central y no hay variación en la dirección axial. Hipótesis 3: Las conductividades térmicas son constantes. Hipótesis 4: La resistencia térmica de o en la interfaz es despreciable. Propiedades: Las conductividades térmicas son 𝑘 = 0.020 𝐵𝑇𝑈 ℎ.𝑝𝑖𝑒.℉
8.7 𝐵𝑇𝑈 ℎ.𝑝𝑖𝑒.℉
para el acero y
𝑘=
para el aislamiento de fibra de vidrio.
Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
47
Análisis: Las áreas de la superficie interior y exterior 1 𝑝𝑖𝑒
𝐴𝑖 = 𝜋. 𝐷𝑖 . 𝐿 = 3.1416𝑥3.5 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑥 12 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑥 1𝑝𝑖𝑒 = 0.916 𝑝𝑖𝑒 2 1 𝑝𝑖𝑒
𝐴𝑜 = 𝜋. 𝐷𝑜 . 𝐿 = 3.1416𝑥8 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑥 12 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑥 1𝑝𝑖𝑒 = 2.094 𝑝𝑖𝑒 2 Las resistencias individuales son: 𝑅𝑖 =
1 ℎ𝑖 𝑥𝐴𝑖
=
1 (30 𝐵𝑇𝑈⁄ℎ.𝑝𝑖𝑒 2 .℉)(0.916 𝑝𝑖𝑒 2 )
𝑅1 = 𝑅𝑡𝑢𝑏𝑜 =
ln 𝑟2 ⁄𝑟1 2𝜋𝑘1 𝐿
𝑅2 = 𝑅𝑎𝑖𝑠𝑙𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 =
𝑅𝑜 =
1 ℎ𝑜 𝑥𝐴𝑜
=
=
= 0.036 ℎ. ℉⁄𝐵𝑇𝑈
ln 2⁄1.75 2𝑥3.1416𝑥(8.7 𝐵𝑇𝑈⁄ℎ.𝑝𝑖𝑒.℉)𝑥 1 𝑝𝑖𝑒
ln𝑟3 ⁄𝑟2
=
2𝜋𝑘2 𝐿
= 0.002 ℎ. ℉⁄𝐵𝑇𝑈
ln4⁄2 2𝜋(0.020𝐵𝑇𝑈⁄ℎ.𝑝𝑖𝑒.℉)(1 𝑝𝑖𝑒)
1 (5𝐵𝑇𝑈⁄ℎ.𝑝𝑖𝑒 2 .℉)𝑥 (2.094 𝑝𝑖𝑒 2 )
= 5.516 ℎ. ℉⁄𝐵𝑇𝑈
= 0.096 ℎ. ℉⁄𝐵𝑇𝑈
𝑅𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 = 𝑅𝑖 + 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅𝑂 = 0.036 ℎ. ℉⁄𝐵𝑇𝑈 + 0.002 ℎ. ℉⁄𝐵𝑇𝑈 + 5.516 ℎ. ℉⁄𝐵𝑇𝑈 + 0.096 ℎ. ℉⁄𝐵𝑇𝑈 = 5.65 ℎ. ℉⁄𝐵𝑇𝑈 Entonces la velocidad de la pérdida de calor del vapor por pie de longitud es: 𝑄=
𝑇1 −𝑇2 𝑅𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿
=
450 ℉−55 ℉ 5.65 ℎ.℉⁄𝐵𝑇𝑈
= 69.91 𝐵𝑇𝑈⁄ℎ
Si se desprecia la resistencia térmica de la tubería de acero, el nuevo valor de la resistencia total será: 𝑅𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿= 𝑅𝑖 + 𝑅2 + 𝑅𝑂 = 0.036 + 5.516 + 0.096 = 5.648 ℎ. ℉⁄𝐵𝑇𝑈 El error en que se incurre es: 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟% =
(5.65−5.648)ℎ.℉⁄𝐵𝑇𝑈 5.65 ℎ.℉⁄𝐵𝑇𝑈
𝑋 100 = 0.035 %
5. Fluye agua caliente a una temperatura promedio de 90°C a través de una sección de 15 m de un tubo de hierro fundido (k = 52 W/m · °C) cuyos diámetros interior y exterior son 4 cm y 4.6 cm, respectivamente. La superficie exterior del tubo, cuya emisividad es 0.7, está expuesto al aire frío a 10°C en el sótano, con un coeficiente de transferencia de calor de 15 W/𝑚2 · °C. El coeficiente de transferencia de calor en la superficie interior del tubo es de 120 W/𝑚2 · °C. Si se considera que las paredes del sótano también están a 10°C, determine la velocidad de la pérdida de calor del agua caliente. Determine
Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
48
también la velocidad promedio del agua en el tubo si la temperatura de aquélla cae en 3°C a medida que pasa a través del sótano. SOLUCIÓN: Hipótesis 1: La transferencia de calor es constante ya que no hay indicios de ningún cambio con el tiempo. Hipótesis 2: La transferencia de calor es unidimensional ya que no hay simetría térmica sobre la línea central y no hay variación en la dirección axial. Hipótesis 3: Las propiedades térmicas son constantes. Propiedades: La conductividad térmica y emisividad de hierro fundido son 𝑘 = 52 𝑊 ⁄𝑚. ℃ y ε = 0,7 respectivamente. Las resistencias individuales son: 𝐴𝑖 = 𝜋𝐷𝑖 𝐿 = 3.1416𝑥(0.04 𝑚)𝑥15 𝑚 = 1.885 𝑚2 𝐴𝑂 = 𝜋𝐷𝑂 𝐿 = 3.1416𝑥(0.046 𝑚)𝑥 15 𝑚 = 2.168 𝑚2 𝑅𝑖 =
1
1
ℎ𝑖 𝑥𝐴𝑖
𝑅𝑡𝑢𝑏𝑜 =
= (120 𝑊⁄𝑚2 .℃)𝑥1.885 𝑚2 = 0.00442 ℃⁄𝑊
ln(𝑟2 ⁄𝑟1 ) 2𝜋𝑘1 𝐿
ln(2.3⁄2)
= 2𝑥3.1416𝑥(52 𝑊⁄𝑚.℃)𝑥15 𝑚 = 0.00003 ℃⁄𝑊
La temperatura de la superficie exterior del tubo estará por debajo de la temperatura del agua, por lo que se asume el valor de 60℃. El coeficiente de transferencia de calor por radiación es: ℎ𝑟𝑎𝑑 = 𝜀𝜎(𝑇2 2 + 𝑇𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 2 )(𝑇2 + 𝑇𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 ) (0.7)(5.67𝑥10−8 𝑊 ⁄𝑚2 . 𝐾 4 )[(333 𝐾)2 + (283 𝐾)2 ](333 𝐾 + 283 𝐾) = 4.67 𝑊 ⁄𝑚2 . 𝐾 Hallando el coeficiente de transferencia de calor combinado ℎ𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 = ℎ𝑟𝑎𝑑 + ℎ𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐 2 = 4,67 + 15 = 19.67 𝑊 ⁄𝑚. ℃ 𝑅𝑂 =
1 ℎ𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑥 𝐴𝑂
=
1
= 0.02345 ℃⁄𝑊
(19.67 𝑊⁄𝑚.℃)(2.168 𝑚2 )
𝑅𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 = 𝑅𝑖 + 𝑅𝑡𝑢𝑏𝑜 + 𝑅𝑂 = 0.00442 + 0.00003 + 0.02345 = 0.0279 ℃⁄𝑊 La velocidad de la pérdida de calor del agua caliente es: 𝑄=
𝑇1 −𝑇2 𝑅𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿
=
(70−10)℃ 0.0279 ℃⁄𝑊
= 2151 𝑊
Para una caída de temperatura de 3℃, la velocidad promedio del agua en el tubo será: 𝑄
𝑄 = 𝑚𝑐𝑝 ∆𝑇
𝑚=𝑐
𝑚 = 𝜌𝑉𝐴𝑐
𝑉 = 𝜌𝐴 =
𝑝
= ∆𝑇
𝑚
𝑐
2151 𝐽⁄𝑠 (4180 𝐽⁄𝑘𝑔.℃)(3 ℃)
= 0.172 𝑘𝑔⁄𝑠
0.172 𝑘𝑔⁄𝑠 𝜋(0.04𝑚)2 4
(1000 𝑘𝑔⁄𝑚3 )
Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
= 0.136 𝑚⁄𝑠
49
6. El vapor que sale de la turbina de una planta generadora a 100°F se condensa en un gran condensador, por enfriamiento con agua que fluye por tubos de cobre (𝑘 = 223 𝐵𝑇𝑈⁄ℎ. 𝑝𝑖𝑒. ℉) con diámetro interior de 0.4 pulg y exterior de 0.6 pulg a una temperatura promedio de 70°F. El calor de vaporización del agua a 100°F es 1 037 𝐵𝑇𝑈⁄𝑙𝑏𝑚. Los coeficientes de transferencia de calor son de 1 500 𝐵𝑇𝑈⁄ℎ. 𝑝𝑖𝑒 2 . ℉ en el lado del vapor, y de 35 𝐵𝑇𝑈⁄ℎ. 𝑝𝑖𝑒 2 . ℉ en el lado del agua. Determine la longitud requerida del tubo para condensar el vapor a razón de 120 𝑙𝑏𝑚⁄ℎ. SOLUCIÓN: La conductividad térmica del tubo de cobre es 𝑘 = 223 𝐵𝑇𝑈⁄ℎ. 𝑝𝑖𝑒. ℉, el calor de vaporización del agua a 100 ° F es 1.037 𝐵𝑇𝑈⁄𝑙𝑏𝑚 . Las resistencias individuales son: 1𝑝𝑖𝑒
𝐴𝑖 = 𝜋𝐷𝑖 𝐿 = 3.1416𝑥0.4 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑥 12 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑥1𝑝𝑖𝑒 = 0.105 𝑝𝑖𝑒 2 1𝑝𝑖𝑒
𝐴𝑂 = 𝜋𝐷𝑂 𝐿 = 3.1416𝑥0.6 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑥 12 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑥1𝑝𝑖𝑒 = 0.157 𝑝𝑖𝑒 2 𝑅𝑖 =
1 ℎ𝑖 𝑥𝐴𝑖
𝑅𝑡𝑢𝑏𝑜 = 𝑅𝑂 =
=
1 2 ⁄ (35 𝐵𝑇𝑈 ℎ.𝑝𝑖𝑒 .℉)(0.105 𝑝𝑖𝑒 2 )
ln(𝑟2 ⁄𝑟1 ) 2𝜋𝑘𝐿 1
ℎ𝑂 𝑥𝐴𝑂
=
= 0.27211 ℎ. ℉⁄𝐵𝑇𝑈
ln(0.3⁄0.2)
= 2𝑥3.1416(223 𝐵𝑇𝑈⁄ℎ.𝑝𝑖𝑒.℉)(1𝑝𝑖𝑒) = 0.00029 ℎ. ℉⁄𝐵𝑇𝑈 1
(1500 𝐵𝑇𝑈⁄ℎ.𝑝𝑖𝑒 2 𝑥℉)(0.157 𝑝𝑖𝑒 2 )
= 0.00425 ℎ. ℉⁄𝐵𝑇𝑈
𝑅𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 = 𝑅𝑖 + 𝑅𝑡𝑢𝑏𝑜 + 𝑅𝑂 = 0.27211 + 0.00029 + 0.00425 = 0.27665 ℎ. ℉⁄𝐵𝑇𝑈 La velocidad de transferencia de calor del tubo es: 𝑄=
(𝑇1 −𝑇2 ) 𝑅𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿
(100−70)℉
= 0.27665 ℎ.℉⁄𝐵𝑇𝑈 = 108.44 𝐵𝑇𝑈⁄ℎ
La velocidad de transferencia de calor requerida para condensar el vapor a razón de 120 𝑙𝑏𝑚⁄ℎ es: 𝑄𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 = 𝑚ℎ𝑓𝑔 = (120 𝑙𝑏𝑚⁄ℎ)(1037 𝐷𝑇𝑈⁄𝑙𝑏𝑚) = 124440 𝐵𝑇𝑈⁄ℎ Longitud del tubo:
𝑄𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 𝑄
=
124440 108.44
= 1148 𝑝𝑖𝑒
Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
50
Q=
𝑇1 − 𝑇2 𝑅 𝑐𝑜𝑛𝑑
Rcond =
A=4m x 6 m =24m2 0.3𝑚
Rcond = 0.8𝑊/𝑚°𝐶 𝑥 24𝑚² =
Q=
(14 – 6)°𝐶
=
𝐿 𝑘𝐴
2. Considere una casa de ladrillos calentada eléctricamente (k=0.40 Btu/h.pie.°F), cuyas paredes tienen 9 pies de alto y 1 pie de espesor. Dos de las paredes tienen 40 pies de largo y las otras tienen 30 pies. La casa se mantiene a 70°F en todo momento, en tanto que la temperatura del exterior varía. En cierto día se mide la temperatura de la superficie interior de las paredes y resulta ser de 55°F, en tanto que se observa que la temperatura promedio de la superficie exterior permanece en 45°F durante el día por 10 h, y en 35°F en la noche por 14 h. Determine la cantidad de calor perdido por la casa ese día. También determine el costo de esa pérdida de calor para el propietario, si el precio de la electricidad es de 0.09 dólar/kWh.
Hipótesis
La transferencia de calor a través de las paredes es constante desde las temperaturas de la superficie de las paredes se mantienen constantes a los valores especificados durante el período de tiempo considerado. La transferencia de calor es unidimensional ya existirán los gradientes de temperatura importantes en la dirección de los interiores a los exteriores. Conductividad térmica de las paredes es constante.
Propiedades
La conductividad térmica de la pared de ladrillo se da a ser k = 0,40 Btu / h.pie. ° F .
Análisis
Consideramos que la pérdida de calor a través de sólo las paredes.
El área total de transferencia de calor es
A=2(50x9+35x9)=1530ft2
La tasa de pérdida de calor durante el día es
Q=k . A
Q = (0.40Btu/h.pie.°F)(1530pie2)
𝑡 1 −𝑡 2 𝐿
(55−45)
La tasa de pérdida de calor durante la noche es
Qday=k . A
Qday= (0.40Btu/h.pie.°F)(1530pie2)
= 6120 Btu/h
1𝑝𝑖𝑒
𝑡 1 −𝑡 2
𝐿
(55−35) 1𝑝𝑖𝑒
= 12.240 Btu/h
La cantidad de pérdida de calor de la casa esa noche será Qnigh=
𝑄 ∆𝑡
Q =Qnigh Δt=10Qday+ 14Qnigh = 10h.6120Btu/h + 14h.12.240Btu/h= 232.560Btu
A continuación, el coste de esta pérdida de calor para que se convierte en día
Costo = (232.560/3412kWh)($0.09/kWh) = $6.13
3. Considere una persona parada en un cuarto a 20°C con un área superficial expuesta de 1.7 m2. La temperatura en la profundidad del organismo del cuerpo humano es 37°C y la conductividad térmica de los tejidos cercanos a la piel es alrededor de 0.3 W/m.°C. El cuerpo está perdiendo a razón de 150 W, por conducción natural y radiación hacia los alrededores. Se toma como 37°C la temperatura del cuerpo a 0.5 cm por debajo de la piel, determine la temperatura de la epidermis de la persona.
Hipótesis
Existen 1 condiciones de funcionamiento estable. El calor coeficiente de transferencia es constante y uniforme sobre toda la expuesta superficie de la persona. Las superficies circundantes están a la misma temperatura que la temperatura del aire interior. Generación de calor dentro de la capa externa gruesa 0,5 - cm del tejido es insignificante
Propiedades
La conductividad térmica del tejido cerca de la piel es dado que k = 0,3 W / m.° C.
Análisis
La temperatura de la piel se puede determinar directamente a partir de
Q=k . A
𝑡 1 −𝑡 2
T2 = T1 -
T2 = 37°C –
(150𝑊)(0.005𝑚) (
0.3𝑊 )(1.7𝑚2) 𝑚°𝐶
𝐿 𝑸𝑳
𝒌𝑨
=35.5°C
4. Está hirviendo agua en una cacerola de aluminio (k=237 W/m · °C) de 25 cm de diámetro, a 95°C. El calor se transfiere de manera estacionaria hacia el agua hirviendo que está en la cacerola a través del fondo plano de ésta de 0.5 cm de espesor, a razón de 800 W. Si la temperatura de la superficie interior del fondo es de 108°C, determine. a) El coeficiente de transferencia de calor de ebullición sobre esa superficie interior. b) La temperatura de la superficie exterior del fondo.
Propiedades
La conductividad térmica de la bandeja de aluminio se da a ser k = 237 W / m.°C.
Análisis
a) El coeficiente de transferencia de calor de ebullición es
A=
A=
𝜋(0.25𝑚)² 2
𝜋𝐷² 2
= 0.0491m2
Qconv=h . As (Ts - T ͚ )
h=
𝑄
𝐴𝑠 (𝑇𝑠 − 𝑇 )
(800𝑊)
H = (0.0491𝑚2 )(108−95)°𝐶 =1254W/m2 °C
b) La temperatura de la superficie exterior de la parte inferior de la sartén es
Q=k.A
𝑄𝐿
𝑡 1 −𝑡 2 𝐿
(800𝑊)(0.005𝑚)
Ts = Tinterior + 𝑘𝐴 = 108°C + (237 𝑊/𝑚.°𝐶 )(0.0491𝑚2 ) = 108.3°C
5. Se construye una pared de dos capas de tablaroca (k 0.10 Btu/h · ft · °F) de 0.5 in de espesor, la cual es un tablero hecho con dos capas de papel grueso separadas por una capa de yeso, colocadas con 7 in de separación entre ellas. El espacio entre los tableros de tablaroca está lleno con aislamiento de fibra de vidrio (k 0.020 Btu/h · ft · °F). Determine a) La resistencia térmica de la pared. b) El valor R del aislamiento en unidades inglesas.
Propiedades
Las conductividades térmicas se les da a ksheetrock = 0.10 Btu / h⋅ft⋅ ° F y kaislamiento = 0,020 Btu / h⋅ft⋅ ° F.
Análisis No se le da la superficie de la pared y por lo tanto consideramos una superficie por unidad (A = 1 m2 ) . Entonces, el valor R de aislamiento de la pared se vuelve equivalente a su resistencia termal , que se determina a partir de .
Rsheetrock = R1 = R3 = Rfibra de vidrio = R2 =
𝐿1 𝑘1
𝐿2 𝑘2
0.7/ 12 𝑝𝑖𝑒
= (0.10𝐵𝑡𝑢/ℎ.𝑝𝑖𝑒.°𝐹) =0.583pie2.°F.h /Btu
=
0.7/ 12 𝑝𝑖𝑒 (0.020𝐵𝑡𝑢/ℎ.𝑝𝑖𝑒.°𝐹)
=29.17
pie2.°F.h /Btu
Rtotal = 2R1 + R2 =2 x 0.583 + 29.17 =30.34pie2.h.°F/Btu.
6. El techo de una casa consta de una losa de concreto (k =2 W/m · °C) de 3 cm de espesor, que tiene 15 m de ancho y 20 m de largo. Los coeficientes de transferencia de calor por convección sobre las superficies interior y exterior del techo son 5 y 12 W/m2 · °C, respectivamente. En una noche clara de invierno, se informa que el aire ambiente está a 10°C, en tanto que la temperatura nocturna del cielo es de 100 K. La casa y las superficies interiores de la pared se mantienen a una temperatura constante de 20°C. La emisividad de las dos superficies del techo de concreto es 0.9. Si se consideran las transferencias de calor tanto por radiación como por convección, determine la razón de la transferencia de calor a través del techo y la temperatura de la superficie interior de este último. Si la casa se calienta mediante un hogar en el que se quema gas natural con una eficiencia de 80% y el precio de ese gas es de 1.20 dólar/therm (1 therm = 105 500 kJ de contendido de energía), determine el dinero perdido a través del techo esa noche durante un periodo de 14 h.
Propiedades La conductividad térmica del hormigón se da a ser k = 2 W / m⋅ ° C. La emisividad de ambos superficies de la azotea se da para ser 0.9
Análisis
Cuando la temperatura de la superficie circundante es diferente que la temperatura ambiente , la red de resistencias térmicas enfoque se vuelve muy complicada en problemas que implican la radiación. Por lo tanto, voy a utilizar un enfoque diferente pero intuitivo. En funcionamiento constante, transferencia de calor desde la habitación a la techo ( por convección y radiación ) debe ser igual al calor transferir desde el techo hasta el entorno ( por convección y radiación) , que debe ser igual a la transferencia de calor a través del techo por conducción. Esto es
7.- Una sección de pared de 2m x 1.5 m de horno industrial en el que se quema gas natural no está aislada y se mide la temperatura en la superficie exterior de esta sección, lo cual resulta ser de 80°C. La temperatura de la sala en donde está el
horno es de 30°C y el coeficiente combinado de transferencia de calor por convección y radiación es de 10 W/m2. °C. Se propone aislar esta sección de pared del horno con aislamiento de lana de vidrio (k = 0.038 W/m. °C) con el fin de reducir la perdida de calor es 90%. Si se supone que la temperatura de la superficie exterior de la sección metálica todavía permanece alrededor de 80°C, determine el espesor del aislamiento que necesita usarse. El horno opera en forma continua y tiene una eficiencia de 785. El precio del agua natural es de 0.55 dólar/ therm ( 1therm = 105 kJ de contenido de energía). Si la instalación del aislamiento costara 250 dólares por los materiales y la mano de obra, determine cuanto tiempo tardara el aislamiento en pagarse por la energía que ahorra.
Solución:
A = 2m x 1.5m = 3m2
R.T.: Para el Sistema de analisis
L=? Hallando “q” para el 1ercaso: q = h x A (T2 – T2*)
RT=Rcond + Rconv
q = 10W/m °C x 3m (80°C – 30°C) 2
2
q= 1500 W
*
Como la velocidad de transferencia de calor es constante se cumple que: 𝑇2 − 𝑇2∗ 𝑞1 = 𝐿 1 − 𝑘𝐴 ℎ𝐴
*
Como también la perdida de calor es 90% y el tiempo empleado en ambos casos es igual.
Reemplazando: (0.10)𝑥1500𝑊 =
80°𝐶 − 30°𝐶 𝐿 1 − 𝑊 𝑊 0.038 𝑚°𝐶 𝑥 3𝑚2 10 2 𝑥 3𝑚2 𝑚 °𝐶
150𝑊 =
50°𝐶 𝐿
1 𝑊𝑚 − 𝑊 0.114 °𝐶 30 °𝐶
𝐿
+
𝑊𝑚 0.114 °𝐶
1 50°𝐶 = 𝑊 150𝑊 30 °𝐶
𝐿 = 0.114
𝑊𝑚 50°𝐶 1 ( − ) °𝐶 150𝑊 30 𝑊 °𝐶
𝐿 = 0.114
𝑊𝑚 °𝐶 (0.3 ) °𝐶 𝑊
𝐿 = 0.0342𝑚 b)Precio de H2O natural= 0.55 dólar/therm x 1therm/105500 kJ =5.21x10-6
*Debo pagar 250 dólares, entonces la cantidad de calor que debo alcanzar para los 250 dólares es:
𝑞=
250 𝑑𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 = 47984644.91𝑘𝐽 𝑑𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 5.21 𝑥 10−6 𝑘𝐽
q= 1500W (0.90) q=1350W ahorro ---------------> 100 % Pero tiene una eficiencia de 78,5% Como la Pot. Expresa la cantidad de Eficiencia por unidad de tiempo: P=q=1350 W x 0.785=1059.75W 𝑡=
𝑊 𝑃
W : trabajo o energía P: Potencia o velocidad de transferencia de calor (es análogo) 𝑡=
47989644.41𝑥103 𝐽 1059.75
𝐽 𝑠
= 45279211.99 𝑠
t=12577.5589 horas= 524 dias
REDES GENERALIZADAS DE RESISTENCIA TÉRMICA
1. Una pared de 4m de alto y 6m de ancho consiste de ladrillos con una sección transversal de 18 cm por 30 cm (K = 0.72 W/m °C) separados por capas de mezcla (K = 0.22 W/m °C) de 3 cm de espesor. También se tienen capas de mezcla de 2 cm de espesor sobre cada lado de la pared y una espuma rígida (K = 0.026 W/m2 °C) de 2 cm de espesor sobre el lado inferior de la misma. Las temperaturas en el interior y el exterior son de 22 °C y -4°C y los coeficientes de transferencia de calor por convección sobre los lados interior y exterior son h1 = 10 W/m2 °C y h2 = 20 W/m2 °C, respectivamente. Si se supone una transferencia unidimensional de calor se descarta la radiación, determine la velocidad de transferencia de calor a través de la pared.
Solución: Datos: Considerando 1 m de espesor y 0.33 de altura de la pared que es representativo de toda la pared. K1 = 0.72 W/m. °C K2 = 0.22 W/m. °C
A1 = 0.33 m2 A2 = 0.30 m2
K3 = 0.026 W/m. °C h1 = 10 W/m2. °C
A3 = 0.015 m2
h2 = 20 W/m2. °C
𝑇1∗ = 22°C
L1 = 2 X 10-2 m -2
L2 = 18 X 10 m
𝑇2∗ = -4°C Apared = 24 m2
Anotando la gráfica 𝑇1∗ = 24°C
T1
h2 T2
h1
T3 T4
T5
𝑇2∗ = -4°C RConV1
RCon1
1
+
ℎ1 .𝐴1
𝐿1 𝐾3 .𝐴1
+
RCon2 𝐿1 𝐾2 .𝐴2
+
RCon3 RConV2 RConV2 𝐿2 𝐾2 .𝐴3
+
𝐿2 𝐾1 .𝐴2
+
1 ℎ2 .𝐴2
Anotamos la formula. Rtotal =
1 ℎ1 .𝐴1
+
𝐿1 𝐾3 .𝐴1
+
𝐿1 𝐾2 .𝐴2
+
𝐿2 𝐾2 .𝐴3
+
𝐿2 𝐾1 .𝐴2
+
1 ℎ2 .𝐴2
Reemplazando a Rtotal Rtotal = 0.303 °C/w + 2.331 °C/w + 0.2755 °C/w + 0.8333 °C/w + 0.8333 °C/w + 0.1515 °C/w Rtotal = 4.145 °C/w Anotando la formula. Q=
𝑇1∗ − 𝑇2∗ 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
Reemplazando a Q Q=
22 °𝑐 − −4° 𝐶 4.145
Q = 6.272 w Sabemos que la tasa de transferencia de calor de la pared es 0.33 m2 colocamos la siguiente fórmula. 𝐴𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑
Qtotal = Q (
𝑇𝑎𝑠𝑎
)
Reemplazamos datos. 24 𝑚2
Qtotal = 6.272 w (0.33 𝑚2 )
Qtotal = 456.2 w
2. Una pared de 12 m de largo y 5 m de alto está constituida de dos capas de tabla roca (K = 0.17 W/m. °C) de 1 cm de espesor, espaciados 12 cm por montantes de madera (K = 0.11 W/m °C) cuya sección transversal es de 12 cm por 5cm. Los montantes están colocados verticalmente y separados 60 cm, y el espaciado entre ellos está lleno con aislamiento de fibra de vidrio (K = 0.034 W/m °C). La casa se mantiene a 20 °C y la temperatura ambiental en el exterior es de -5°C. Si se toma los coeficientes de transferencia de calor en las superficies interior y exterior de la casa como 8.3 y 3.4 W/m2 °C, respectivamente, determine. a) La resistencia térmica de la pared, si se considera una sección representativa de ella y, b) La velocidad de la transferencia de calor a través de la pared. Datos: K1 = 0.17 W/m. °C
A1 = 0.33 m2
K2 = 0.22 W/m. °C
A2 = 0.30 m2
K3 = 0.026 W/m. °C
A3 = 0.015 m2
h1 = 8.3 W/m2. °C
𝑇1∗ = 20°C
h2 = 3.4 W/m2. °C
𝑇2∗ = -5°C
L1 = 8.3 X 10-2 m
Apared = 60 m2
L2 = 3.4 X 10-2 m
Anotando la gráfica 𝑇1∗ = 20°C T1
h2 T2
h1
T3 T4
T5
𝑇2∗ = -5°C RConV1
RCon1
RCon2
RCon3 RConV2
RConV2
1 ℎ1 .𝐴1
+
𝐿1 𝐾3 .𝐴1
+
1 𝐿1 𝐾2 .𝐴2
+
1 𝐿2 𝐾2 .𝐴3
+
𝐿2 𝐾1 .𝐴2
+
1 ℎ2 .𝐴2
Anotamos la formula. Ri
1 1 0.185 C/W 2 hi A (8.3 W/m .C)(0.65 m 2 )
L 0.01 m 0.090 C/W kA (0.17 W/m. C)(0.65 m 2 ) L 0.12 m R2 R platino 21.818 C/W kA (0.11 W/m. C)(0.05 m 2 ) L 0.12 m R3 R ffibradevidrio 5.882 C/W kA (0.034 W/m. C)(0.60 m 2 ) 1 1 Ro 0.045 C/W 2 o ho A (34 W/m . C)(0.65 m 2 ) R1 R4 R placa
1 Rmedio
1 1 1 1 Rmedio 4.633 C/W R2 R3 21.818 5.882
Rtotal Ri R1 Rmid R4 Ro 0.185 0.090 4.633 0.090 0.045 4.858 C/W ( 1 m 0.65 m) T T [20 (5)]C Q 1 2 5.15 W Rtotal 4.858 C/W
Entonces tasa constante de transferencia de calor a través de toda la pared se convierte en: (12 m) (5 m) Q total (5.15 W) 475 W 0.65 m 2
3. Se va construir una pared de 10 in de espesor, 30 pies de largo y 10 pies de alto, usando ladrillos solidos (K= 0.40BTU/h.pies.°F) con una sección transversal de 7 pulg. Por 7 pulg. ; o bien , ladrillos de idéntico tamaño con nueve orificios cuadrados llenos d aire (K= 0.015BTU/h.pies.°F) que tienen 9 pulg. De largo y una sección transversal de 1.5 pulg. Se tiene una capa de mezcla (K= 0.10BTU/h.pies.°F) de 0.5 pulg de espesor entre dos ladrillos adyacentes, sobre los cuatro lados y sobre los dos de la pared. La casa se mantiene a 80°F y la temperatura ambiental en el exterior es de 30 °F. Si los coeficientes transferencia de calor en las superficies interior y exterior de la pared son 1.5 y 4 BTU/h.pie2.°F respectivamente. Determine la velocidad transferencia de calor a través de la pared construida de.
a) Ladrillos sólidos y
b) Ladrillo con orificios llenos de aire.
Solución: Dibujamos nuestra Gráfica:
Datos: Sistema: Britanico A1= 0.3906𝑝𝑖𝑒 2 1 𝑝𝑖𝑒 2
A2=7.5𝑝𝑢𝑙𝑔 × 0.5𝑝𝑢𝑙𝑔 = 3.75𝑝𝑢𝑙𝑔2 × 144𝑝𝑢𝑙𝑔2 = 0.0260𝑝𝑖𝑒 2 1 𝑝𝑖𝑒 2
A3=7𝑝𝑢𝑙𝑔 × 0.5𝑝𝑢𝑙𝑔 = 3.5𝑝𝑢𝑙𝑔2 × 144𝑝𝑢𝑙𝑔2 = 0.02431𝑝𝑖𝑒 2 1 𝑝𝑖𝑒 2
A4=7𝑝𝑢𝑙𝑔 × 7𝑝𝑢𝑙𝑔 = 49𝑝𝑢𝑙𝑔2 × 144𝑝𝑢𝑙𝑔2 = 0.3403𝑝𝑖𝑒 2 1 𝑝𝑖𝑒
1 𝑝𝑖𝑒
Aespacios=9 (1.5𝑝𝑢𝑙𝑔 × 12𝑝𝑢𝑙𝑔) × (1.55𝑝𝑢𝑙𝑔 × 12𝑝𝑢𝑙𝑔) = 0.1406𝑝𝑖𝑒 2 1 𝑝𝑖𝑒 2
Aladrillos=49𝑝𝑢𝑙𝑔2 × 144𝑝𝑢𝑙𝑔2 − 0.1406 = 0.1997𝑝𝑖𝑒 2 𝐿1 = 0.5𝑝𝑢𝑙𝑔 × 𝐿2 = 9𝑝𝑢𝑙𝑔 ×
1 𝑝𝑖𝑒 = 0.75𝑝𝑖𝑒 12 𝑝𝑢𝑙𝑔
𝐿3 = 9𝑝𝑢𝑙𝑔 ×
1 𝑝𝑖𝑒 = 0.75𝑝𝑖𝑒 12 𝑝𝑢𝑙𝑔
𝐿4 = 9𝑝𝑢𝑙𝑔 ×
1 𝑝𝑖𝑒 = 0.75𝑝𝑖𝑒 12 𝑝𝑢𝑙𝑔
ℎ1∗ = 1.5 ℎ2∗ = 4
𝐵𝑇𝑈 𝑝𝑖𝑒 2 × °𝐹
𝐵𝑇𝑈 𝑝𝑖𝑒 2 × °𝐹
𝐾𝑚𝑒𝑧𝑐𝑙𝑎 = 0.10
𝐵𝑇𝑈 𝑝𝑖𝑒 × °𝐹
𝐾𝑙𝑎𝑑𝑟𝑖𝑙𝑙𝑜 = 0.40
𝐵𝑇𝑈 𝑝𝑖𝑒 × °𝐹
𝐾𝑎𝑖𝑟𝑒 = 0.15
Solución: a)
1 𝑝𝑖𝑒 = 0.04166666667𝑝𝑖𝑒 12 𝑝𝑢𝑙𝑔
𝐵𝑇𝑈 𝑝𝑖𝑒 × °𝐹
(𝑇1∗ − 𝑇2∗ ) 𝑞= 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑅1∗ + 𝑅1 + 𝑅𝑀𝐸𝐷𝐼𝑂 + 𝑅5 + 𝑅2∗ 𝑅1∗ =
1 = × 𝐴 1.5
ℎ1∗
𝐵𝑇𝑈 𝑝𝑖𝑒 2 ×°𝐹
𝑅1 = 𝑅5 =
𝐿 𝐾𝑚𝑒𝑧𝑐𝑙𝑎 × 𝐴
𝑅2 𝑚𝑒𝑧𝑐𝑙𝑎 =
𝑅3 𝑚𝑒𝑧𝑐𝑙𝑎 =
𝑅4 𝑙𝑎𝑑𝑟𝑖𝑙𝑙𝑜 =
𝑅2∗ =
ℎ2∗
1 𝑅𝑀𝐸𝐷𝐼𝑂 𝑅𝑀𝐸𝐷𝐼𝑂
1 °𝐹 = 1.7068 2 × 0.3906𝑝𝑖𝑒 𝐵𝑇𝑈
=
𝐿 𝐾𝑚𝑒𝑧𝑐𝑙𝑎 × 𝐴2 𝐿 𝐾𝑚𝑒𝑧𝑐𝑙𝑎 × 𝐴3
=
0.75𝑝𝑖𝑒 °𝐹 = 288.4615 𝐵𝑇𝑈 𝐵𝑇𝑈 0.10 𝑝𝑖𝑒 × °𝐹 × 0.260𝑝𝑖𝑒 2
=
0.75𝑝𝑖𝑒 °𝐹 = 308.5150 𝐵𝑇𝑈 𝐵𝑇𝑈 0.10 𝑝𝑖𝑒 × °𝐹 × 0.243𝑝𝑖𝑒 2
𝐿 𝐾𝑙𝑎𝑑𝑟𝑖𝑙𝑙𝑜 × 𝐴4
1 = ×𝐴 4
𝐵𝑇𝑈 𝑝𝑖𝑒 2 ×°𝐹
0.04166666667𝑝𝑖𝑒 °𝐹 = 1.0667 𝐵𝑇𝑈 𝐵𝑇𝑈 0.10 𝑝𝑖𝑒 × °𝐹 × 0.3906𝑝𝑖𝑒 2
=
0.75𝑝𝑖𝑒 °𝐹 = 5.5098 𝐵𝑇𝑈 𝐵𝑇𝑈 0.40 𝑝𝑖𝑒 × °𝐹 × 0.3403𝑝𝑖𝑒 2
1 °𝐹 = 0.6400 2 × 0.3906𝑝𝑖𝑒 𝐵𝑇𝑈
1 1 1 1 1 1 + + = + + = 0.1882 °𝐹 °𝐹 𝑅2 𝑅3 𝑅4 288.4615 °𝐹 308.5150 5.5098 𝐵𝑇𝑈 𝐵𝑇𝑈 𝐵𝑇𝑈 °𝐹 = 5.3134 𝐵𝑇𝑈 =
𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑅1∗ + 𝑅1 + 𝑅𝑀𝐸𝐷𝐼𝑂 + 𝑅5 + 𝑅2∗ °𝐹 °𝐹 °𝐹 °𝐹 °𝐹 + 1.0667 + 5.3134 + 0.6400 + 1.0667 𝐵𝑇𝑈 𝐵𝑇𝑈 𝐵𝑇𝑈 𝐵𝑇𝑈 𝐵𝑇𝑈 °𝐹 = 9.7936 𝐵𝑇𝑈
𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 1.7068
𝑞=
8𝑂°𝐹 − 30°𝐹 = 5.1054𝐵𝑇𝑈 °𝐹 9.7936 𝐵𝑇𝑈
Si: 0.3906𝑝𝑖𝑒 2 300𝑝𝑖𝑒 2
5.1054𝐵𝑇𝑈 𝑞
𝑞=
300𝑝𝑖𝑒 2 × 5.1054𝐵𝑇𝑈 = 3921.1981𝐵𝑇𝑈 0.3906𝑝𝑖𝑒 2
a)
𝑞=
𝑅4 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜𝑠 =
𝑅5 𝑙𝑎𝑑𝑟𝑖𝑙𝑙𝑜 = 1 𝑅𝑀𝐸𝐷𝐼𝑂
=
(𝑇1∗ − 𝑇2∗ ) 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝐿 0.75𝑝𝑖𝑒 °𝐹 = = 355.6188 𝐾𝑎𝑖𝑟𝑒 × 𝐴𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜𝑠 0.015 𝐵𝑇𝑈 × 0.140𝑝𝑖𝑒 2 𝐵𝑇𝑈 𝑝𝑖𝑒 × °𝐹 𝐿
𝐾𝑙𝑎𝑑𝑟𝑖𝑙𝑙𝑜 × 𝐴4
=
0.75𝑝𝑖𝑒 °𝐹 = 9.3891 𝐵𝑇𝑈 𝐵𝑇𝑈 0.40 𝑝𝑖𝑒 × °𝐹 × 0.1997𝑝𝑖𝑒 2
1 1 1 1 + + + 𝑅2 𝑅3 𝑅4 𝑅5 =
𝑅𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = 8.618
1 °𝐹 288.4615 𝐵𝑇𝑈
+
1 °𝐹 308.5150 𝐵𝑇𝑈
+
1 °𝐹 355.6188 𝐵𝑇𝑈
°𝐹 𝐵𝑇𝑈
𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑅1∗ + 𝑅1 + 𝑅𝑀𝐸𝐷𝐼𝑂 + 𝑅6 + 𝑅2∗ = 13.0992
°𝐹 𝐵𝑇𝑈
+
1 °𝐹 9.3891 𝐵𝑇𝑈
𝑞=
(80°𝐹 − 30°𝐹) = 3.817𝐵𝑇𝑈 °𝐹 13.0992 𝐵𝑇𝑈
Si: 3.817𝐵𝑇𝑈 𝑞
𝑞=
0.3906𝑝𝑖𝑒 2 300𝑝𝑖𝑒 2
300𝑝𝑖𝑒 2 × 3.817𝐵𝑇𝑈 = 2931.6436𝐵𝑇𝑈 0.3906𝑝𝑖𝑒 2
4. Considere una pared de 5 m de alto, 8 m de largo y 0.22 m de espesor cuya sección transversal representativa se da e(n la figura. Las conductividades térmicas de los diversos materiales usados, en W/m. °C, son kA =kF = 2, kB =8, kC =20, kD = 15 y kE =35. Las superficies izquierda y derecha de la pared se mantienen a las
a las
temperaturas uniformes de 300°C y 100°C, respectivamente. Si transferencia de calor a través de la pared es unidimensional, determine. a) La velocidad transferencia de calor a través de ella; b) La temperatura en el punto en el que se encuentran las secciones B, D y E, y c) La caída de temperatura a través de la sección F. Descarte cualquiera resistencias por o entre las interfaces Solución: La figura representa una porción de 12cm extraído de la pared de 5cm de alto 0,12m
𝑞1
5m
𝑞𝑡
𝑞𝑡 = 𝑞1 𝑥
5 0,12
Hallando el área de cada pared Á𝑟𝑒𝑎 𝐴 = Á𝑟𝑒𝑎 𝐹 = 8𝑚𝑥0,12𝑚 𝐴𝐴 = 𝐴𝐹 = 0,96𝑚2
Á𝑟𝑒𝑎 𝐶 = Á𝑟𝑒𝑎 𝐵 = 8𝑚𝑥0,04𝑚 𝐴𝑐 = 𝐴𝐵 = 0,032𝑚2 Á𝑟𝑒𝑎 𝐷 = Á𝑟𝑒𝑎 𝐸 = 8𝑚𝑥0,06𝑚 𝐴𝑐 = 𝐴𝐵 = 0,48𝑚2 Calculando la velocidad de transferencia de calor desde la pared interior hasta la pader exterior: 𝑇 −𝑇5
q= 𝑅1
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑅𝐴 + 𝑅𝐶𝐵𝐶 + 𝑅𝐷𝐸 + 𝑅𝐹 Entonces: 𝑅𝐴 =
𝐿𝐴 0,01𝑚 °C = 𝑤 = 5,208𝑥10−3 2 𝐾𝐴 𝑥𝐴𝐴 2𝑚0 𝐶 𝑥0,96𝑚 𝑤
𝑅𝐶𝐵𝐶
1 1 1 −1 =[ + + ] 𝑅𝐶 𝑅𝐵 𝑅𝐶
𝑅𝐵 =
𝐿𝐵 0,05𝑚 °C = 𝑤 = 0,195312 𝐾𝐵 𝑥𝐴𝐵 8𝑚0 𝐶 𝑥0,032𝑚2 𝑤
𝑅𝐶 =
𝐿𝐶 0,05𝑚 °C = = 0,078125 𝑤 𝐾𝐶 𝑥𝐴𝐶 20𝑚0 𝐶𝑥0,032𝑚2 𝑤
𝑅𝐷 =
𝐿𝐷 0,1𝑚 °C = = 0,013889 𝑤 𝐾𝐷 𝑥𝐴𝐷 15𝑚0 𝐶 𝑥0,48𝑚2 𝑤
𝑅𝐸 =
𝐿𝐸 0,1𝑚 °C = = 5.952𝑥10−3 𝑤 2 𝐾𝐸 𝑥𝐴𝐸 35𝑚0 𝐶𝑥0,48𝑚 𝑤
𝑅𝐹 =
𝐿𝐹 0,06𝑚 °C = 𝑤 = 0,03125 2 𝐾𝐹 𝑥𝐴𝐹 2𝑚0 𝐶 𝑥0,96𝑚 𝑤
Hallando 𝑅𝐶𝐵𝐶 : 𝑅𝐶𝐵𝐶 = [2(0.078125)−1 + (0.195312)−1 ]−1 𝑅𝐶𝐵𝐶 = 0.0325521
°C 𝑤
Hallando 𝑅𝐷𝐸 𝑅𝐷𝐸 = [(0.013889)−1 + (5.952𝑥10−3 )−1 ]−1
𝑅𝐷𝐸 = 4,16649𝑥10−3
°C 𝑤
Entonces el 𝑅𝑇 es: °C
°C
𝑅𝑇 = 5,208𝑥10−3 𝑤 + 0.0325521 𝑤 + 4,16649𝑥10−3 𝑅𝑇 = 0.073
°C 𝑤
Hallando ’’ 𝑞1 ′′ : 𝑞1 = 𝑞1 =
𝑇1 − 𝑇5 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 300°C−100°C 0.073
°C 𝑤
= 2739,726027 w
Entonces: 5𝑚
𝑞𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑞1 𝑥0,12𝑚 5𝑚
𝑞𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2739,726027𝑤𝑥 0,12𝑚 𝑞𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 114155,2511𝑤 𝑏) 𝑞1 =
𝑇1 − 𝑇3 𝑅𝐴 + 𝑅𝐶𝐵𝐶 𝑇1 −𝑇3 °C −3 (5,208𝑥10 +0.0325521) 𝑤
2739,726027w=
𝑇3 = 𝑇1 − 103,0747273°𝐶 𝑇3 = 300°𝐶 − 103,0747273°𝐶 𝑇3 = 196,9252722°𝐶 𝑐) 𝑞1 =
𝑇4 − 𝑇5 𝑅𝐹
°C 𝑤
𝑇4 = 𝑇5 + 𝑅𝐹 𝑥 𝑞1 𝑇4 = 100 + (0.03125)𝑥(2739,726027) 𝑇4 = 185,6164393°𝐶
5. La ropa hecha de varias capas delgadas de tela con aire atrapado entre ellas , con frecuencia llamada ropa para esquiar, es de uso común en los climas fríos porque es ligera, elegante y un aislador térmico muy eficaz. De modo que no es sorprendente que esa ropa haya reemplazado en gran parte los antiguos abrigos gruesos y pesados. Considere una chaqueta hecha d cinco capas de tela sintética (k= 0.13 W/m.°C) de 0.1 mm de espesor con un espacio llano de aire (k= 0.026 W/m.°C) de 1.5 mm de espesor entre ellas. Si la temperatura de la superficie interior de la chaqueta es de 28°C y el área superficial es de 1.1m2, Determine la velocidad de la perdida de calor a través de ella cuando la temperatura en el exterior es de -5 °C y el coeficiente de transferencia de calor en la superficie exterior es de 25W/m2.°C. ¿Cuál sería su respuesta si la chaqueta estuviera hecha de una sola capa de tela sintética de 0.5 mm de espesor? ¿Cuál sería el espesor de una tela de lana (k= 0.035W/m.°C) si la persona debe lograr el mismo nivel de comodidad térmica usando un grueso abrigo de lana en lugar de una chaqueta para esquiar de cinco capas?
Solución: Dibujamos nuestra gráfica.
0.13𝑤 𝑚. °𝐶
1
0.026𝑤 𝑚. °𝐶
AIRE
𝑇1 = 28°𝐶
𝑘=
TELA
𝑘=
2
3
4
5
ℎ2 =
25𝑤 𝑚2 °𝐶
𝑇2∗ = −5°𝐶
Datos:
𝑘 = 0.13 𝑤⁄𝑚°𝐶 𝐿 = 0.1 𝑚𝑚 𝐴 = 1.1 𝑚2 𝑘 = 0.026 𝑤⁄𝑚°𝐶 𝐿 = 1.5 𝑚 𝐻2 = 25 𝑤⁄𝑚2 °𝐶 𝑞=
𝑡1 −𝑡2∗ 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
……. (I)
Para hallar la Resistencia total:
𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 5 (
0.0001 𝑚 0.015 𝑚 1 ) + 4( )+( 𝑤 ) 𝑤 𝑤 2 0.13 ⁄𝑚°𝐶 0.026 ⁄𝑚°𝐶 × 1.1 𝑚 25 ⁄𝑚°𝐶 × 1.1 𝑚2 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2.1378 °𝐶⁄𝑤
Reemplazar los datos en (I): 𝑞=
33°𝐶 2.1378 °𝐶⁄𝑤
𝑞 = 15.44 𝑤
a) Para una sola capa en la chaqueta:
𝑞=
𝑡1 − 𝑡2∗ 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑅𝑡𝑒𝑙𝑎 − 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 0.0001 𝑚 1 𝑅 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = ( )+( 𝑤 ) 𝑤 2 0.13 ⁄𝑚°𝐶 × 1.1 𝑚 25 ⁄𝑚2 × 1.1 𝑚2 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 0.0371 °𝐶⁄𝑤 Hallamos que para una capa de lana:
Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
24
𝑞=
33°𝐶 0.0371 °𝐶⁄𝑤
𝑞 = 889,4879 𝑤
b) espesor de una tela de lana (k= 0.035W/m.°C) si la persona debe lograr el mismo nivel de comodidad térmica usando un grueso abrigo de lana en lugar de una chaqueta para esquiar de cinco capas. 𝑇1 − 𝑇2∗ 𝑞= 𝑅𝑙𝑎𝑛𝑎 − 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛
𝑅𝑙𝑎𝑛𝑎 =
𝑇1 − 𝑇2∗ − 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑞
𝐿 𝑇1 − 𝑇2∗ = − 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝐾𝐴 𝑞
𝐿=(
𝑇1 − 𝑇2∗ 1 − ) 𝑘𝐴 𝑞 ℎ𝐴
𝐿=(
33°𝐶 1 − ) × 0.035 𝑤⁄𝑚°𝐶 15.44 𝑤 25 𝑤⁄𝑚°𝐶 × 1.1
L=0.08m=80mm
6. Un horno de 5 m de ancho, 4 m de alto y 40m de largo usado para curar tubos de concreto está hecho con paredes y techo de concreto (k = 0.9 W⁄m. ℃). El horno se mantiene a 40℃ por la inyección de vapor de agua caliente en él. Los dos extremos del horno, con un tamaño de 4 m × 5 m, están hechos de
lámina
metálica de 3 mm de espesor cubierto con espuma de estireno (k = 0.033 W⁄m. ℃) de 2 cm de espesor. Los coeficientes de transferencia de calor por convección sobre las superficies interior y exterior del horno son de 3000 𝑊⁄𝑚2 . ℃
y 25 𝑊⁄𝑚2 . ℃, respectivamente. Si se
descarta cualquier pérdida de calor a través del piso, determine la razón de la pérdida de calor del horno cuando el aire ambiente está a −4℃. Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
25
𝑅𝑖 =
1 1 = = 0.0071 × 10−4 ℃⁄𝑊 ℎ𝑖 . 𝐴𝑖 (3000 𝑊⁄ (40 𝑚)(13 − 1.2)𝑚 𝑚2 . ℃)
𝑅𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜 =
𝑅𝑜 =
𝐿 0.2 𝑚 = = 4.480 × 10−4 ℃⁄𝑊 𝑊 𝑘. 𝐴 (0.9 ⁄ 2 )[(40 𝑚)(13 − 0.6 𝑚)] 𝑚 .℃
1 1 = = 0.769 × 10−4 ℃⁄𝑊 ℎ𝑜 . 𝐴𝑜 (25 𝑊⁄𝑚2 . ℃)[(40 𝑚)(13 𝑚)]
𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑅𝑖 + 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜 + 𝑅𝑜 = (0.0071 + 4.480 + 0.769) × 10−4 = 5.256 × 10−4 ℃⁄𝑊 𝑄𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 =
[40 − (−4)]℃ 𝑇𝑖 − 𝑇𝑒 = = 83.700 𝑊 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 5.256 × 10−4 ℃⁄𝑊
La pérdida de calor a través de la superficie con espuma de poli estireno del horno: 𝑅𝑖 =
1 1 = = 0.201 × 10−4 ℃⁄𝑊 ℎ𝑖 . 𝐴𝑖 (3000 𝑊⁄ 2 [(4 − 0.40 )(5 − 0.4)𝑚 ] 𝑚2 . ℃)
𝑅𝑝𝑜𝑙𝑖 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑟𝑒𝑛𝑜 =
𝑅𝑜 =
𝐿 0.02 𝑚 = = 0.0332 ℃⁄𝑊 𝑘. 𝐴 (0.033 𝑊⁄ 2 )[(4 − 0.2)(5 − 0.2 )𝑚2 ] 𝑚 .℃
1 1 = = 0.0020 ℃⁄𝑊 𝑊 2 ℎ𝑜 . 𝐴𝑜 (25 ⁄𝑚2 . ℃)[4𝑥5𝑚 ]
Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
26
𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑅𝑖 + 𝑅𝑝𝑜𝑙𝑖 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑟𝑒𝑛𝑜 + 𝑅𝑜 = (0.201 × 10−4 + 0.0332 + 0.0020) = 0.0352 ℃⁄𝑊 𝑄𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑒 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 =
[40 − (−4)]℃ 𝑇𝑖 − 𝑇𝑒 = = 1250 𝑊 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 0.0352 ℃⁄𝑊
Entonces la cantidad total de transferencia de calor del horno es: 𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑄𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 + 2 𝑄𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑒 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 = 83.700 + 2 × 1250 = 86.200 𝑊
7. Considere una lámina de vidrio epóxico(𝑘 = 0.10 𝐵𝑡𝑢⁄ℎ. 𝑝𝑖𝑒𝑠. ℉) de 6 in _ 8 in cuyo espesor es de0.05 𝑝𝑢𝑙𝑔. Con el fin de reducir la resistencia térmica a través de su espesor, se van a plantar en todo el tablero rellenos cilíndricos de cobre (k_ 223 Btu/h · ft · °F) de 0.02 in de diámetro, con una distancia de centro a centro de 0.06 in. Determine el nuevo valor de la resistencia térmica del tablero de vidrio epóxico para la conducción del calor a través de su espesor como resultado de esta modificación.
𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = (6⁄12 𝑝𝑖𝑒) (8⁄12 𝑝𝑖𝑒) = 0.333 𝑝𝑖𝑒 2 0.33𝑝𝑖𝑒 2 𝑛 = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑙𝑙𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒 = = 13.333 (0.06⁄12 𝑝𝑖𝑒)(0.06⁄12 𝑝𝑖𝑒)
Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
27
2
𝐴𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒
𝜋(0.02⁄12 𝑝𝑖𝑒) 𝜋𝐷2 =𝑛 = 13.333 × = 0.0291 𝑝𝑖𝑒 2 4 4
𝐴𝑣𝑖𝑑𝑟𝑖𝑜 𝑒𝑝𝑜𝑥𝑖𝑐𝑜 = 𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 − 𝐴𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒 = 0.333 − 0.0291 = 0.3042 𝑝𝑖𝑒 2
Las resistencias térmicas son:
𝑅𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒
0.05⁄ 𝑝𝑖𝑒 𝐿 12 = = = 0.00064 ℎ. ℉⁄𝐵𝑡𝑢 𝐵𝑡𝑢 2) 𝑘. 𝐴 (223 )(0.0291 𝑝𝑖𝑒 ⁄ℎ. 𝑝𝑖𝑒 2 . ℉
𝑅𝑣𝑖𝑑𝑟𝑖𝑜 𝑒𝑝𝑜𝑥𝑖𝑐𝑜
0.05⁄ 𝑝𝑖𝑒 𝐿 12 = = = 0.137 ℎ. ℉⁄𝐵𝑡𝑢 𝐵𝑡𝑢 2) 𝑘. 𝐴 (0.10 )(0.3042 𝑝𝑖𝑒 ⁄ℎ. 𝑝𝑖𝑒 2 . ℉
Por lo tanto: 1 𝑅𝑙á𝑚𝑖𝑛𝑎
=𝑅
1 𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒
+𝑅
1 𝑣𝑖𝑑𝑟𝑖𝑜 𝑒𝑝𝑜𝑥𝑖𝑐𝑜
1
1
= 0.00064 + 0.137 → 𝑅𝑙á𝑚𝑖𝑛𝑎 = 0.00064 ℎ. ℉⁄𝐵𝑡𝑢
RESISTENCIA TÉRMICA POR O
1.
Se mide la conductancia térmica por o en la interfase de dos placas de cobre de 1 𝑐𝑚 de espesor y resulta ser de 18000 𝑊⁄𝑚2 . ℃ Determine el espesor de la placa de cobre cuya resistencia térmica sea igual a la de la interfase entre las placas.
𝐾𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒 = 386 𝑊⁄𝑚. ℃ Tomando en cuenta que la resistencia térmica de o es inversa a la conductividad de o, la resistencia térmica de o se determina que es: 𝑅𝑐 =
1 1 2 = = 5.556 × 10−5 𝑚 . ℃⁄𝑊 ℎ𝑐 18000 𝑊⁄ 2 𝑚 .℃ 𝐿
La resistencia térmica de una placa plana es 𝑅 = 𝐾 2 𝐿 = 𝑘𝑅 = 𝐾𝑅𝑐 = (386 𝑊⁄𝑚. ℃) (5.556 × 10−5 𝑚 . ℃⁄𝑊 ) = 0.0214 𝑚 = 2.14 𝑐𝑚
Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
28
2. Seis transistores de potencia idénticos con caja de aluminio están sujetos a uno de los lados de una placa de cobre 𝑘 = 386 𝑊⁄𝑚. ℃ de 20 𝑐𝑚 × 30 𝑐𝑚 y 12 𝑐𝑚 de espesor, por medio de tornillos que ejercen una presión promedio de 10 𝑀𝑝𝑎. El área de la base de cada transistor es de 9 𝑐𝑚2 y cada uno de ellos está colocado en el centro de una sección de 10 𝑐𝑚 × 10 𝑐𝑚 de la placa. La aspereza de la interfase se estima que es de alrededor de 1.4 𝑚𝑚. Todos los transistores están cubiertos por una capa gruesa de plexiglás, el cual es un mal conductor del calor y, por consiguiente, todo el calor generado en la unión del transistor debe disiparse hacia el ambiente, que está a 23°𝐶, a través de la superficie posterior de la placa de cobre. El coeficiente combinado de transferencia de calor por convección/radiación en la superficie posterior se puede tomar como 30 𝑊⁄𝑚2 . ℃. Si la temperatura de la caja del transistor no debe sobrepasar 75°𝐶, determine la potencia máxima que cada transistor puede disipar con seguridad y el salto de temperatura en la interfase caja-placa.
-
Seis transistores, están unidos en una placa de cobre, para una temperatura máxima de 75℃ , las conductividades térmicas son constantes.
𝐾𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒 = 386 𝑊⁄𝑚. ℃ Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
29
ℎ𝑐 = 49.000 𝑊⁄𝑚2 . ℃ 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑐𝑡𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑗𝑎 𝑦 𝑙𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 = 9𝑐𝑚2 Y la zona de la placa para cada transistor es = 100𝑐𝑚2 -
La red de resistencia consiste en los tres tipos de resistencia en serie, por lo tanto se determinan de la siguiente manera:
Resistencia de o
𝑅𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑐𝑡𝑜 = ℎ
1
𝑐 𝐴𝑐
𝑅𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 =
1 𝑊 (49.000 ⁄ 2 )(9×10−4 𝑚2 ) 𝑚 .℃
= 0.00227 ℃⁄𝑊
𝐿 0.012 𝑚 = = 0.0031 ℃⁄𝑊 2) 𝑘. 𝐴 (386 𝑊⁄ )(0.01 𝑚 𝑚. ℃
𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 =
-
=
1 1 = = 3.333 ℃⁄𝑊 ℎ𝑜 𝐴 (30 𝑊⁄ 2 (0.01𝑚 ) 𝑚 2 . ℃)
La resistencia térmica total es entonces:
𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑐𝑡𝑜 + 𝑅𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 + 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 = 0.0227 + 0.0031 + 3.333 = 3.359 ℃⁄𝑊 -
La resistencia térmica de la placa de cobre es muy pequeña y puede ignorarse, entonces la cantidad de transferencia de calor se determina que es:
𝑄=
(75 − 23)℃ ∆𝑇 = = 15.5 𝑊 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 3.359 ℃⁄ 𝑊
∆𝑇𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑓𝑎𝑠𝑒 = 𝑄 × 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑐𝑡𝑜 = (15.5 𝑊)(0.0227 ℃⁄𝑊 ) = 0.35 ℃
3.
Dos barras de aluminio 𝑘 = 176 𝑊⁄𝑚. ℃ de 5 𝑐𝑚 de diámetro y 15 𝑐𝑚 de largo, con las superficies esmeriladas, se comprimen una contra la otra con una presión de 20 𝑎𝑡𝑚. Las barras están encerradas en un manguito de aislamiento y, por tanto, la transferencia de calor desde las superficies laterales es despreciable. Si las superficies superior e inferior del sistema de dos barras de mantienen a las temperaturas de 150°𝐶 y 20°𝐶, respectivamente, determine a) la razón de la transferencia de calor a lo largo de los cilindros en condiciones estacionarias y b) la caída de temperatura en la interfase.
𝑘 = 176 𝑊⁄𝑚. ℃ Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
30
ℎ𝑐 = 11.400 𝑊⁄𝑚2 . ℃ 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑐𝑡𝑜 =
𝑅𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 =
𝑄=
1 = ℎ𝑐 𝐴𝑐
𝐿 = 𝑘. 𝐴
1 𝜋(0.05𝑚)2 (11.400 𝑊⁄𝑚2 . ℃) [ ] 4
= 0.0447 ℃⁄𝑊
0.15 𝑚 ℃ 2 = 0.4341 ⁄𝑊 𝜋(0.05𝑚) (176 𝑊⁄𝑚. ℃) [ ] 4
(150 − 20)℃ ∆𝑇 ∆𝑇 = = = 142.4 𝑊 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑐𝑡𝑜 + 2𝑅𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 (0.0447 + 2 × 0.4341) ℃⁄ 𝑊
∆𝑇𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑓𝑎𝑠𝑒 = 𝑄 × 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑐𝑡𝑜 = (142.4 𝑊)(0.0447 ℃⁄𝑊 ) = 6.4 ℃
4.
Una placa de cobre (𝑘 = 386 𝑊/𝑚 · °𝐶) de 1 𝑚𝑚 de espesor está comprimida entre dos tableros de material epóxico (𝑘 = 0.26 𝑊/𝑚 · °𝐶) de 5 𝑚𝑚 de espesor y tienen un tamaño de 15 𝑐𝑚 × 20 𝑐𝑚. Si se estima que la conductancia térmica sobre ambos lados de la placa de cobre es de 6 000 𝑊/ 𝑚 · °𝐶, determine el error en el que se incurre en la resistencia térmica total de la placa si se ignoran las conductancias térmicas por o.
Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
31
-
El error implicado en la resistencia térmica total de la placa si se ignoran las conductividades, debe ser determinado.
-
Conductividades térmicas constantes
𝑘𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 = 386 𝑊⁄𝑚. ℃ 𝑘𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙 𝑒𝑝𝑜𝑥𝑖𝑐𝑜 = 0.26 𝑊⁄𝑚. ℃ ℎ𝑐 = 6000 𝑊⁄𝑚2 . ℃ 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑐𝑡𝑜 =
𝑅𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 =
1 1 = = 0.00017 ℃⁄𝑊 ℎ𝑐 𝐴𝑐 (6000 𝑊⁄ 2 (1 ) 𝑚2 . ℃) 𝑚
𝐿 0.001 𝑚 = = 2.6 × 10−6 ℃⁄𝑊 2 𝑘. 𝐴 (386 𝑊⁄ 𝑚. ℃)(1 𝑚 )
𝑅𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙 𝑒𝑝𝑜𝑥𝑖𝑐𝑜 =
𝐿 0.005 𝑚 = = 0.01923 ℃⁄𝑊 2 𝑘. 𝐴 (0.26 𝑊⁄ 𝑚. ℃)(1 𝑚 )
𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2𝑅𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑐𝑡𝑜 + 𝑅𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 + 𝑅𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙 𝑒𝑝𝑜𝑥𝑖𝑐𝑜 = 2 × 0.00017 + 2.6 × 10−6 ℃⁄𝑊 + 2 × 0.01923 ℃⁄𝑊 = 0.03880 ℃⁄𝑊 %𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 =
2𝑅𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑐𝑡𝑜 2 × 0.00017 × 100 = × 100 = 0.88% 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 0.03880
CONDUCCIÓN DEL CALOR EN ESTADO ESTACIONARIO EN PAREDES PLANAS 1. Un elemento resistor cilíndrico en un tablero de circuito disipa 0,15 W de potencia en un medio a 40ºC. El resistor tiene 1,2 cm de largo y un diámetro de 0,3 cm. Si se supone que el calor se transfiere de manera uniforme desde todas las superficies, determine: a) La cantidad de calor que este resistor disipa durante un periodo de 24 h b) El flujo de calor sobre la superficie el resistor, en W/m2.ºC c) La temperatura superficial del resistor para un coeficiente combinado de transferencia de calor por convección y radiación de 9 W/m2.ºC Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
32
Solución: 𝑄 = 𝑄. ∆𝑡 𝑄 = (0.15 𝑊 𝑥 24 ℎ) 𝑄 = 3,6 𝑊. ℎ 2𝜋𝐷2 𝐴= + 𝜋𝐷𝐿 4 2𝜋(0,003 𝑚)2 𝐴= + 𝜋(0,003 𝑚)(0,012 𝑚) 4 𝐴 = 0,000 127 𝑚2 𝑄 𝐴 0,15 𝑊 𝑞= 0,000 127 𝑚2 𝑞=
𝑞 = 1 179
𝑊 𝑚2
𝑄 = ℎ. 𝐴. (𝑇1 − 𝑇2) 𝑇1 = 𝑇2 + Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
𝑄 ℎ. 𝐴
33
0,15 𝑊
𝑇1 = 40º𝐶 + (9
𝑊 ) (0,000 127 𝑚2 ) 𝑚2 . º𝐶
𝑇1 = 171º𝐶
2. Considere un transistor de potencia que disipa 0,2 W de potencia en un medio a 30ºC. El transistor tiene 0,4 cm de largo y un diámetro de 0,5 cm. Si se supone que el calor se transfiere de manera uniforme desde todas las superficies, determine: a) La cantidad de calor que este transistor disipa durante un periodo de 24 h, en kW b) El flujo de calor sobre la superficie del transistor, W/m2, y c) La temperatura superficial del transistor para un coeficiente combinado de transferencia de calor por convección y radiación de 18 W/m2.ºC
Solución: 𝑄 = 𝑄. ∆𝑇 𝑄 = (0,2 𝑊)(24 ℎ) 𝑄 = 4,8 𝑊ℎ 𝑄 = 0,004 8 𝑘𝑊ℎ Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
34
2𝜋𝐷2 𝐴= + 𝜋𝐷𝐿 4 𝐴=
2𝜋(0,005 𝑚)2 + 𝜋(0,005 𝑚)(0,004 𝑚) 4 𝐴 = 0,000 102 1 𝑚2 𝑄 𝐴 0,2 𝑊 𝑞= 0,000 102 1 𝑚2 𝑞=
𝑞 = 1 959
𝑊 𝑚2
𝑄 = ℎ. 𝐴. (𝑇1 − 𝑇2) 𝑇1 = 𝑇2 + 𝑇1 = 30º𝐶 + (18
𝑄 ℎ. 𝐴 0,2 𝑊
𝑊
) (0,000 𝑚2 . º𝐶
102 1 𝑚2 )
𝑇1 = 139º𝐶
3. Un tablero de circuito de 12 cm x 18 cm aloja sobre su superficie 100 chips lógicos con poco espacio entre ellos, disipando cada uno 0,07 W en un medio a 40ºC. La transferencia e calor desde la superficie posterior del tablero es despreciable. Si el coeficiente de transferencia de calor sobre la superficie del tablero es de 10 W/m2.ºC, determine: a) El flujo de calor sobre la superficie del tablero de circuito, en W/m2; b) La temperatura superficial de los chips y c) La resistencia térmica entre la superficie del tablero y el medio de enfriamiento, en ºC/W
Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
35
Solución: 𝐴 = (0,12 𝑚)(0,18 𝑚) 𝐴 = 0,021 6 𝑚2 𝑄 𝐴 (100 𝑥 0,06) 𝑊 𝑞= 0,021 6 𝑚2 𝑞=
𝑞 = 278
𝑊 𝑚2
𝑄 = ℎ. 𝐴. (𝑇1 − 𝑇2) 𝑄 ℎ. 𝐴 (100 𝑥 0,06)𝑊 𝑇1 = 40º𝐶 + 𝑊 (10 2 ) (0,021 6 𝑚2 ) 𝑚 . º𝐶 𝑇1 = 𝑇2 +
𝑇1 = 67,8 º𝐶
𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣 = 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣 = (10
𝑊
1 ℎ. 𝐴 1
) (0,021 𝑚2 . º𝐶
Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
6 𝑚2 )
36
4. Considere una casa cuyas paredes tienen 12 pies de alto y 40 pies de largo. Dos de las paredes no tienen ventanas, en tanto que cada una de las otras dos tienen cuatro ventanas hechas de vidrio (k = 0,45 BTU/h.pie.ºF) de 0,25 m de espesor y con un tamaño de 3 pies x 5 pies. Está certificado que las paredes tienen un valor R de 19 (es decir, un valor de L/k de 19 h.pie2.ºF/BTU). Si se descarta cualquier pérdida o ganancia por radiación directa a través de las ventanas y si se toma el coeficiente de transferencia e calor en la superficies interior y exterior de la casa como de 2 y 4 BTU/h.pie2.ºF, respectivamente, determine la velocidad de la transferencia de calor a través de las paredes con y sin ventanas.
Solución: 𝐴 = (12 𝑝𝑖𝑒𝑠)(40 𝑝𝑖𝑒𝑠) 𝐴 = 480 𝑝𝑖𝑒𝑠 2
𝑅𝑖 = 𝑅𝑖 = (2
1 ℎ𝑖. 𝐴 1
𝐵𝑇𝑈 ) (480 𝑝𝑖𝑒𝑠 2 ) ℎ. 𝑝𝑖𝑒 2 . º𝐹
𝑅𝑖 = 0,001 041 7
Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
ℎ. º𝐹 𝐵𝑇𝑈
37
𝑅𝑝 =
𝑅𝑝 =
𝐿 𝑘. 𝐴
ℎ. 𝑝𝑖𝑒 2 . º𝐹 𝐵𝑇𝑈 480 𝑝𝑖𝑒𝑠 2
19
ℎ. º𝐹 𝐵𝑇𝑈
𝑅𝑝 = 0,039 58
𝑅𝑜 = 𝑅𝑜 = (4
1 ℎ0. 𝐴 1
𝐵𝑇𝑈 ) (480 𝑝𝑖𝑒𝑠 2 ) ℎ. 𝑝𝑖𝑒 2 . º𝐹
𝑅𝑜 = 0,000 52
ℎ. º𝐹 𝐵𝑇𝑈
𝑅𝑡1 = 𝑅𝑖 + 𝑅𝑝 + 𝑅𝑜 ℎ. º𝐹 ℎ. º𝐹 ℎ. º𝐹 + 0,039 58 + 0,000 52 𝐵𝑇𝑈 𝐵𝑇𝑈 𝐵𝑇𝑈 ℎ. º𝐹 𝑅𝑡1 = 0,041 141 7 𝐵𝑇𝑈
𝑅𝑡1 = 0,001 041 7
𝐴𝑣 = 4 (3 𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑥 5 𝑝𝑖𝑒𝑠) 𝐴𝑣 = 60 𝑝𝑖𝑒𝑠 2 𝐴𝑝 = 𝐴𝑡 − 𝐴𝑣 𝐴𝑝 = 480 𝑝𝑖𝑒𝑠 2 − 60 𝑝𝑖𝑒𝑠 2 𝐿 𝑘. 𝐴 0,25 12 𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑅2 = 𝐵𝑇𝑈 (0,45 ℎ. 𝑝𝑖𝑒. º𝐹) (60𝑝𝑖𝑒𝑠 2 ) 𝑅2 =
𝑅2 = 0,000 771 6
𝑅4 = Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
ℎ. º𝐹 𝐵𝑇𝑈
𝐿 𝑘. 𝐴
38
𝑅4 =
ℎ. 𝑝𝑖𝑒 2 . º𝐹 𝐵𝑇𝑈 420 𝑝𝑖𝑒𝑠 2
19
𝑅4 = 0,045 24
ℎ. º𝐹 𝐵𝑇𝑈
1 1 1 = + 𝑅𝑒𝑞𝑣 𝑅2 𝑅4 1 1 1 = + ℎ. º𝐹 ℎ. º𝐹 𝑅𝑒𝑞𝑣 0,000 771 6 𝐵𝑇𝑈 0,045 24 𝐵𝑇𝑈 ℎ. º𝐹 𝑅𝑒𝑞𝑣 = 0,000 76 𝐵𝑇𝑈 𝑅𝑡2 = 𝑅𝑖 + 𝑅𝑒𝑞𝑣 + 𝑅𝑜 ℎ. º𝐹 ℎ. º𝐹 ℎ. º𝐹 + ,000 76 + 0,000 52 𝐵𝑇𝑈 𝐵𝑇𝑈 𝐵𝑇𝑈 ℎ. º𝐹 𝑅𝑡2 = 0,002 327 𝐵𝑇𝑈
𝑅𝑡2 = 0,001 041 7
∆𝑇 𝑄𝑡2 = 𝑅𝑡2 ∆𝑇 𝑄𝑡1 𝑅𝑡1 ℎ. º𝐹 0,041 141 7 𝐵𝑇𝑈 𝑅𝑡2 = ℎ. º𝐹 𝑅𝑡1 0,002 327 𝐵𝑇𝑈 𝑅𝑡1 = 17,7 𝑅𝑡2 CONDUCCION DEL CALOR EN CILINDROS Y ESFERAS
1. Se usa un tanque esférico con un diámetro interior de 5cm, hecho de lámina de acero inoxidable (k =15 W/m · °C) de 1.5 cm de espesor, para almacenar agua con hielo a 0°C. El tanque está ubicado en un cuarto cuya temperatura es de
Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
39
30°C. Las paredes del cuarto también están a 30°C. La superficie exterior del tanque es negra (emisividad𝜀 =1) y la transferencia de calor entre la superficie exterior del tanque y los alrededores es por convección natural y radiación. Los coeficientes de transferencia de calor por convección en las superficies interior y exterior del tanque son de 80 W/𝑚2 · °C y 10 W/𝑚2 ·°C, respectivamente. Determine: a) La razón de la transferencia de calor hacia el agua con hielo que está en el tanque b) La cantidad de hielo a 0°C que se funde durante un periodo de 24 h. El calor de fusión del agua a la presión atmosférica es ℎ𝑖𝑓 =333.7 KJ/Kg.
Solución:
Si el recipiente esfuerce está lleno con aguay hielo. Entonces la transferencia de calor es por convección y radiación en la superficie exterior, para lo cual se debe determinar la velocidad de transferencia de calor y la cantidad de hielo que se funde por día
Calculo de áreas: A1 𝜋𝐷12 = 𝜋(5𝑚)2 = 78,5398𝑚2 ≅ 78,5𝑚2
A1 𝜋𝐷22 = 𝜋(5.03𝑚)2 = 79,4851𝑚2 ≅ 79,5𝑚2 El coeficiente de transferencia de calor por radiación, se expresa por: ℎ𝑟𝑎𝑑 = 𝜀𝜎(𝑡12 − 𝑡∗22 ) (𝑡2 − 𝑡∗2 )
Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
40
Pero como no se conoce la temperatura 𝑡2 de la superficie exterior del tanque y en consecuencia, no se puede calcular ℎ𝑟𝑎𝑑 por lo tanto se necesita suponer un valor de 𝑡2 y comprobar más adelante la exactitud de esta suposición. Si es necesario, se repetirá los cálculos usando un valor revisado para 𝑡2 . Debe notarse que 𝑡2 debe estar entre 0°c y 30°c. pero debe estar más cercana a 0°c. dado que el coeficiente de transferencia de calor dentro del tanque es mucho mayor . si se toma 𝑡2 = 5°c = 278k, se determina que el coeficiente de transferencia de calor por radiación es:
ℎ𝑟𝑎𝑑 = (1)(5.67𝑥10−8 𝑤/𝑚2 . 𝑘 4 ) +[(303𝑘)2
+ (278𝑘)2 ] [(303+278)k]
ℎ𝑟𝑎𝑑 = 2.5𝑤/𝑚2 . °C Entonces cada una de las resistencias térmicas será:
𝑅𝑖 = 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣,1 = ℎ
1
1
1 𝐴1
= 80𝑤/𝑚2 .°𝐶 = 1.59 𝑥10−4 °C/w
1
𝑅1 = 𝑅𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = 4𝜋𝑘𝑟
2 𝑟1
𝑅𝑖 = 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣.2 = ℎ
1
2 𝐴2
𝑅𝑟𝑎𝑑 = ℎ
1
𝑟𝑎𝑑1 𝐴2
(2.515−2.5)𝑚
= 4𝜋(15𝑤/𝑚.°𝐶)(2.515𝑚)(2.5𝑚) = 1.27 𝑥10−5 °C/w
1
= (10𝑤/𝑚2 .°𝐶)(79,5𝑚2 ) = 1.26 𝑥10−3 °C/w 1
= (2.5𝑤/𝑚2 .°𝐶)(79.5𝑚2 ) = 5.03 𝑥10−3 °C/w
Las dos resistencias en paralelo 𝑅0 y 𝑅𝑟𝑎𝑑 , se pueden remplazar por una resistencia equivalente 𝑅𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣. determinada a partir de:
Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
41
1 𝑅𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣
1
= 𝑅 +𝑅 0
1 𝑟𝑎𝑑
1
1
=1.26𝑥10−3+ 5.03𝑥10−3 = 992.46°C/w
𝑅𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣 = 1.0076 𝑥10−3 w/°C
Como ahora todas la Resistencia están en serie, la resistencia total es: 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑅𝑖 +𝑅1 +𝑅𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣 =1.59 𝑥10−4 °C/w + 1.27 𝑥10−5 +1.0076 𝑥10−3 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 1.18𝑥10−3 °C/w Ahora se debe comprobar la suposición original de la temperatura, calculando la temperatura de la superficie exterior a partir de:
𝑞=
∗ −𝑡 ) (𝑡12 2
𝑅𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣
𝑡2 = 𝑡2 − 𝑞𝑅𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣 𝑡2 = 30°𝐶 − (25423,7𝑤)(1,0076𝑥10−5 °𝑐/𝑤) 𝑡2 = 4.3837°C ≅ 4°c
El °c es muy cercano a los 5 ° c supuestos en la determinación del coeficiente de transferencia de calor por radiación, por lo que no es necesario repetir los cálculos usando 4°ara 𝑡2 b) y la transferencia de calor para un periodo de 24 horas es:
Q = q∆𝑡 = (25,423 kJ/s) (24h) (3600 s/h)
Q = 2196547.2 KJ Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
42
Como se requiere 333.7 kJ de energía para fundir 1kg. De hielo a 0°c, entonces la cantidad de hielo que se fundirá en 24 horas es: Q= 𝑚ℎ𝑖𝑒𝑙𝑜 -ℎ𝑓𝑢𝑠 2196547.2kj = 𝑚ℎ𝑖𝑒𝑙𝑜 (333.7kj/kg) 𝑚ℎ𝑖𝑒𝑙𝑜 = 6585.40 kg.
2. En un tubo de acero inoxidable (k=15 W/m · °C) cuyos diámetros interior y exterior son de 5 cm y 5.5 cm, respectivamente, fluye vapor de agua a 320°C. El tubo está cubierto con aislamiento de lana de vidrio (k=0.038 W/m · °C) de 3 cm de espesor. El calor se pierde hacia los alrededores que están a 5°C por convección natural y radiación, con un coeficiente combinado de transferencia de calor por convección natural y radiación de 15 W/𝑚2 · °C. Si el coeficiente de transferencia de calor dentro del tubo es 80 W//𝑚2 · °C. Determine: La velocidad de la pérdida de calor del vapor por unidad de longitud del tubo. Determine también las caídas de temperatura a través del casco del tubo y del aislamiento.
Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
43
Solución: Un tubo de vapor de agua cubierto con aislamiento de fibra de vidrio está sujeto a convención sobre sus superficies se deben determinar la velocidad de la transferencia de calor por unidad de longitud y la caída de temperatura a través del tuvo y el aislamiento. Considerando que la resistencia por o térmico en la interface es despreciable. Según el problema las conductividades térmicas son k=15w/m.C para el hierro, y k=0.038w/m.C para el aislamiento de fibra de vidrio. Para este problema, la red de resistencia térmica comprende cuatro dispuestas en serie que se presenta en la figura si L=1m, se detrmina que las áreas de las superficies expuestas a la convención son: A1 =2𝜋𝑟1 𝐿 = 2𝜋(0.025𝑚)(1𝑚) = 0.157𝑚2 A2 =2𝜋𝑟3 𝐿 = 2𝜋(0.0575𝑚)(1𝑚) = 0.361𝑚2
Entonces cada una de las resistencias térmicas será:
𝑅𝑖 = 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣,1= ℎ
1
1
= 80𝑤/𝑚2 .°𝐶(0,157𝑚2 ) = 0,079°C/w
1 𝐴1
𝑅1 = 𝑅𝑡𝑢𝑣𝑜 =
𝑙𝑛(𝑟2 /𝑟1 ) 2𝜋𝑘𝑟1 𝐿
𝑅2 = 𝑅𝑎𝑖𝑠𝑙𝑎𝑚 =
𝑅0 =𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣2 = ℎ
𝑙𝑛(𝑟3 /𝑟2 ) 2𝜋𝑘𝑟2 𝐿
1
2 𝐴3
𝑙𝑛(2.75/2.5)
= 4𝜋(15𝑤/𝑚.°𝐶)(1𝑚) = 1.011 𝑥10−3 °C/w
𝑙𝑛(5,75/2.75)
= 2𝜋(0.038𝑤/𝑚2 .°𝐶)(1𝑚2 ) = 3.098 °C/w 1
= (15𝑤/𝑚2 .°𝐶)(0.0361𝑚2 ) = 0.185°C/w
Como todas las Resistencias estan en serie se determina que la Resistencia total es:
Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
44
𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑅𝑖 +𝑅1 +𝑅2 +𝑅0 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 0.079°C/w +1.011𝑥10−3 °C/w +3.089°C/w +0.185°C/w 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 3.35°C/w
Entonces la velocidad estacionaria de perdida de calor del vapor por m de longitud de tubo será:
𝑞=
(𝑡1∗ −𝑡2∗ ) 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
=
(320−5)°𝑐 3.35°𝐶/𝑤
= 95,52°C/w
Para determinar la perdida de calor para una longitud dada de tubo, se multiplica esta última cantidad por la longitud L de este tubo.
La caída de temperatura a través del tuvo y el aislamiento se determina con la ecuación que se expresa como: ∆𝑡 𝑡𝑢𝑏𝑜 =q 𝑅 𝑡𝑢𝑏𝑜 = (96w) (1.11𝑥10−3 C/w) =0, 09 °C ∆𝑡 𝑎𝑖𝑠𝑙𝑎𝑚 =q 𝑅 𝑎𝑖𝑠𝑙𝑎𝑚 = (96w) (3,089C/w) =296,544°C
Es decir, las temperaturas entre las superficies interior y exterior del tubo difieren 0, 09 °C, en tanto que las temperaturas entre las superficies interior y exterior del aislamiento difieren en 296,544°C.
3.
Considere una bebida fría enlatada en aluminio que está inicialmente a una
temperatura uniforme de 4°𝐶. La lata tiene 12.5 𝑐𝑚 de alto y un diámetro de 6 𝑐𝑚. Si el Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
45
coeficiente combinado de transferencia de calor por convección/radiación entre la lata y el aire circundante a 25 °𝐶 es de 10 𝑊/𝑚2 · °𝐶, determine cuánto tiempo pasará para que la temperatura promedio de la bebida se eleve hasta 15°𝐶.En un esfuerzo por hacer más lento el calentamiento de la bebida fría, una persona pone la lata en un aislamiento cilíndrico de caucho (𝑘 = 0.13 𝑊/𝑚 · °𝐶) de 1 𝑐𝑚 de espesor y que ajusta perfectamente. ¿Ahora cuánto tiempo pasará para que la temperatura de la bebida se eleve hasta 15°𝐶? Suponga que la parte superior de la lata no está cubierta.
𝐴𝑜 = 𝜋𝐷𝑜 𝐿 + 2
𝜋𝐷2 𝜋(0.06)𝑚2 = 𝜋(0.06 𝑚)(0.125 𝑚) + 2 = 0.02922 𝑚2 4 4
𝑄 = ℎ𝑜 𝐴(𝑇𝑎𝑖𝑟𝑒 − 𝑇𝑏𝑒𝑏𝑖𝑑𝑎 ) = (10 𝑊/𝑚2 · °𝐶)(0.02922 𝑚2 )(25 − 9.5)℃ = 4.529 𝑊 𝑚 = 𝜌𝑉 = 𝜌𝜋𝑟 2 𝐿 = (1000
𝑘𝑔⁄ 2 )(0.125 𝑚) = 0.3534 𝑘𝑔 𝑚3 ) 𝜋(0.03𝑚
𝐽 𝑞 = 𝑚𝑐𝑝 ∆𝑇 = (0.3534 𝑘𝑔) (4.180 ⁄𝑘𝑔) (15 − 4)℃ = 16.250 𝐽 ∆𝑡 =
𝑞 16.250𝐽 = = 3588 𝑠 = 59.8 𝑚𝑖𝑛 𝑄 4.529 𝐽⁄ 𝑠
𝑄 = ℎ𝑂 𝐴(𝑇𝑎𝑖𝑟𝑒 − 𝑇) = (10 𝑊⁄𝑚2 ℃) [𝜋(0.03𝑚)2 ](25 − 9.5)℃ = 0.44 𝑊 Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
46
𝐴𝑜 = 𝜋𝐷𝑜 𝐿 = 𝜋(0.08 𝑚)(0.125 𝑚) = 0.03142 𝑚2 𝑅𝑜 =
1 1 = = 3.183 ℃⁄𝑊 ℎ𝑜 𝐴𝑜 (10 𝑊⁄𝑚2 ℃)(0.03142 𝑚2 )
𝑅𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑖𝑠𝑙𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑟 ln( 2⁄𝑟1 ) ln( 4⁄3) = = = 2.818 ℃⁄𝑊 𝑊 2𝜋𝑘𝐿 2𝜋 (0.13 ⁄𝑚2 ℃) (0.125 𝑚)
𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑅𝑜 + 𝑅𝑎𝑖𝑠𝑙𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = 3.183 + 2.818 = 6.001 ℃⁄𝑊 𝑄𝑙𝑎𝑑𝑜 =
(25 − 9.5)℃ 𝑇𝑎𝑖𝑟𝑒 − 𝑇 = = 2.58 𝑊 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 6.001 ℃⁄𝑊
𝑄𝑎𝑖𝑠𝑙𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝑄𝑙𝑎𝑑𝑜+𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 + 𝑄𝑒𝑛𝑐𝑖𝑚𝑎 = 1.12 × 2.58 + 0.44 = 3.33 𝑊 ∆𝑡 =
𝑞 16.250 𝐽 = = 4880 𝑠 = 81.3 𝑚𝑖𝑛 𝐽 𝑄 3.33 ⁄𝑠
4. Está fluyendo vapor de agua a través de un tubo de acero (k = 8.7 BTU/h · pie · °F) cuyos diámetros interior y exterior son 3.5 in y 4.0 in, respectivamente, en un medio a 55°F. El tubo está aislado con fibra de vidrio (k = 0.020 BTU/h · pie · °F) de 2 in de espesor. Si los coeficientes de transferencia de calor sobre el interior y el exterior del tubo son 30 y 5 BTU/h · 𝑝𝑖𝑒 2 · °F, respectivamente, determine la velocidad de la pérdida de calor del vapor por pie de longitud del tubo. ¿Cuál es el error en que se incurre al despreciar la resistencia térmica del tubo de acero en los cálculos? SOLUCIÓN: Hipótesis 1: La transferencia de calor es constante ya que no hay indicios de ningún cambio con el tiempo. Hipótesis 2: La transferencia de calor es unidimensional ya que no hay simetría térmica sobre la línea central y no hay variación en la dirección axial. Hipótesis 3: Las conductividades térmicas son constantes. Hipótesis 4: La resistencia térmica de o en la interfaz es despreciable. Propiedades: Las conductividades térmicas son 𝑘 = 0.020 𝐵𝑇𝑈 ℎ.𝑝𝑖𝑒.℉
8.7 𝐵𝑇𝑈 ℎ.𝑝𝑖𝑒.℉
para el acero y
𝑘=
para el aislamiento de fibra de vidrio.
Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
47
Análisis: Las áreas de la superficie interior y exterior 1 𝑝𝑖𝑒
𝐴𝑖 = 𝜋. 𝐷𝑖 . 𝐿 = 3.1416𝑥3.5 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑥 12 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑥 1𝑝𝑖𝑒 = 0.916 𝑝𝑖𝑒 2 1 𝑝𝑖𝑒
𝐴𝑜 = 𝜋. 𝐷𝑜 . 𝐿 = 3.1416𝑥8 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑥 12 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑥 1𝑝𝑖𝑒 = 2.094 𝑝𝑖𝑒 2 Las resistencias individuales son: 𝑅𝑖 =
1 ℎ𝑖 𝑥𝐴𝑖
=
1 (30 𝐵𝑇𝑈⁄ℎ.𝑝𝑖𝑒 2 .℉)(0.916 𝑝𝑖𝑒 2 )
𝑅1 = 𝑅𝑡𝑢𝑏𝑜 =
ln 𝑟2 ⁄𝑟1 2𝜋𝑘1 𝐿
𝑅2 = 𝑅𝑎𝑖𝑠𝑙𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 =
𝑅𝑜 =
1 ℎ𝑜 𝑥𝐴𝑜
=
=
= 0.036 ℎ. ℉⁄𝐵𝑇𝑈
ln 2⁄1.75 2𝑥3.1416𝑥(8.7 𝐵𝑇𝑈⁄ℎ.𝑝𝑖𝑒.℉)𝑥 1 𝑝𝑖𝑒
ln𝑟3 ⁄𝑟2
=
2𝜋𝑘2 𝐿
= 0.002 ℎ. ℉⁄𝐵𝑇𝑈
ln4⁄2 2𝜋(0.020𝐵𝑇𝑈⁄ℎ.𝑝𝑖𝑒.℉)(1 𝑝𝑖𝑒)
1 (5𝐵𝑇𝑈⁄ℎ.𝑝𝑖𝑒 2 .℉)𝑥 (2.094 𝑝𝑖𝑒 2 )
= 5.516 ℎ. ℉⁄𝐵𝑇𝑈
= 0.096 ℎ. ℉⁄𝐵𝑇𝑈
𝑅𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 = 𝑅𝑖 + 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅𝑂 = 0.036 ℎ. ℉⁄𝐵𝑇𝑈 + 0.002 ℎ. ℉⁄𝐵𝑇𝑈 + 5.516 ℎ. ℉⁄𝐵𝑇𝑈 + 0.096 ℎ. ℉⁄𝐵𝑇𝑈 = 5.65 ℎ. ℉⁄𝐵𝑇𝑈 Entonces la velocidad de la pérdida de calor del vapor por pie de longitud es: 𝑄=
𝑇1 −𝑇2 𝑅𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿
=
450 ℉−55 ℉ 5.65 ℎ.℉⁄𝐵𝑇𝑈
= 69.91 𝐵𝑇𝑈⁄ℎ
Si se desprecia la resistencia térmica de la tubería de acero, el nuevo valor de la resistencia total será: 𝑅𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿= 𝑅𝑖 + 𝑅2 + 𝑅𝑂 = 0.036 + 5.516 + 0.096 = 5.648 ℎ. ℉⁄𝐵𝑇𝑈 El error en que se incurre es: 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟% =
(5.65−5.648)ℎ.℉⁄𝐵𝑇𝑈 5.65 ℎ.℉⁄𝐵𝑇𝑈
𝑋 100 = 0.035 %
5. Fluye agua caliente a una temperatura promedio de 90°C a través de una sección de 15 m de un tubo de hierro fundido (k = 52 W/m · °C) cuyos diámetros interior y exterior son 4 cm y 4.6 cm, respectivamente. La superficie exterior del tubo, cuya emisividad es 0.7, está expuesto al aire frío a 10°C en el sótano, con un coeficiente de transferencia de calor de 15 W/𝑚2 · °C. El coeficiente de transferencia de calor en la superficie interior del tubo es de 120 W/𝑚2 · °C. Si se considera que las paredes del sótano también están a 10°C, determine la velocidad de la pérdida de calor del agua caliente. Determine
Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
48
también la velocidad promedio del agua en el tubo si la temperatura de aquélla cae en 3°C a medida que pasa a través del sótano. SOLUCIÓN: Hipótesis 1: La transferencia de calor es constante ya que no hay indicios de ningún cambio con el tiempo. Hipótesis 2: La transferencia de calor es unidimensional ya que no hay simetría térmica sobre la línea central y no hay variación en la dirección axial. Hipótesis 3: Las propiedades térmicas son constantes. Propiedades: La conductividad térmica y emisividad de hierro fundido son 𝑘 = 52 𝑊 ⁄𝑚. ℃ y ε = 0,7 respectivamente. Las resistencias individuales son: 𝐴𝑖 = 𝜋𝐷𝑖 𝐿 = 3.1416𝑥(0.04 𝑚)𝑥15 𝑚 = 1.885 𝑚2 𝐴𝑂 = 𝜋𝐷𝑂 𝐿 = 3.1416𝑥(0.046 𝑚)𝑥 15 𝑚 = 2.168 𝑚2 𝑅𝑖 =
1
1
ℎ𝑖 𝑥𝐴𝑖
𝑅𝑡𝑢𝑏𝑜 =
= (120 𝑊⁄𝑚2 .℃)𝑥1.885 𝑚2 = 0.00442 ℃⁄𝑊
ln(𝑟2 ⁄𝑟1 ) 2𝜋𝑘1 𝐿
ln(2.3⁄2)
= 2𝑥3.1416𝑥(52 𝑊⁄𝑚.℃)𝑥15 𝑚 = 0.00003 ℃⁄𝑊
La temperatura de la superficie exterior del tubo estará por debajo de la temperatura del agua, por lo que se asume el valor de 60℃. El coeficiente de transferencia de calor por radiación es: ℎ𝑟𝑎𝑑 = 𝜀𝜎(𝑇2 2 + 𝑇𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 2 )(𝑇2 + 𝑇𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 ) (0.7)(5.67𝑥10−8 𝑊 ⁄𝑚2 . 𝐾 4 )[(333 𝐾)2 + (283 𝐾)2 ](333 𝐾 + 283 𝐾) = 4.67 𝑊 ⁄𝑚2 . 𝐾 Hallando el coeficiente de transferencia de calor combinado ℎ𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 = ℎ𝑟𝑎𝑑 + ℎ𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐 2 = 4,67 + 15 = 19.67 𝑊 ⁄𝑚. ℃ 𝑅𝑂 =
1 ℎ𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑥 𝐴𝑂
=
1
= 0.02345 ℃⁄𝑊
(19.67 𝑊⁄𝑚.℃)(2.168 𝑚2 )
𝑅𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 = 𝑅𝑖 + 𝑅𝑡𝑢𝑏𝑜 + 𝑅𝑂 = 0.00442 + 0.00003 + 0.02345 = 0.0279 ℃⁄𝑊 La velocidad de la pérdida de calor del agua caliente es: 𝑄=
𝑇1 −𝑇2 𝑅𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿
=
(70−10)℃ 0.0279 ℃⁄𝑊
= 2151 𝑊
Para una caída de temperatura de 3℃, la velocidad promedio del agua en el tubo será: 𝑄
𝑄 = 𝑚𝑐𝑝 ∆𝑇
𝑚=𝑐
𝑚 = 𝜌𝑉𝐴𝑐
𝑉 = 𝜌𝐴 =
𝑝
= ∆𝑇
𝑚
𝑐
2151 𝐽⁄𝑠 (4180 𝐽⁄𝑘𝑔.℃)(3 ℃)
= 0.172 𝑘𝑔⁄𝑠
0.172 𝑘𝑔⁄𝑠 𝜋(0.04𝑚)2 4
(1000 𝑘𝑔⁄𝑚3 )
Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
= 0.136 𝑚⁄𝑠
49
6. El vapor que sale de la turbina de una planta generadora a 100°F se condensa en un gran condensador, por enfriamiento con agua que fluye por tubos de cobre (𝑘 = 223 𝐵𝑇𝑈⁄ℎ. 𝑝𝑖𝑒. ℉) con diámetro interior de 0.4 pulg y exterior de 0.6 pulg a una temperatura promedio de 70°F. El calor de vaporización del agua a 100°F es 1 037 𝐵𝑇𝑈⁄𝑙𝑏𝑚. Los coeficientes de transferencia de calor son de 1 500 𝐵𝑇𝑈⁄ℎ. 𝑝𝑖𝑒 2 . ℉ en el lado del vapor, y de 35 𝐵𝑇𝑈⁄ℎ. 𝑝𝑖𝑒 2 . ℉ en el lado del agua. Determine la longitud requerida del tubo para condensar el vapor a razón de 120 𝑙𝑏𝑚⁄ℎ. SOLUCIÓN: La conductividad térmica del tubo de cobre es 𝑘 = 223 𝐵𝑇𝑈⁄ℎ. 𝑝𝑖𝑒. ℉, el calor de vaporización del agua a 100 ° F es 1.037 𝐵𝑇𝑈⁄𝑙𝑏𝑚 . Las resistencias individuales son: 1𝑝𝑖𝑒
𝐴𝑖 = 𝜋𝐷𝑖 𝐿 = 3.1416𝑥0.4 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑥 12 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑥1𝑝𝑖𝑒 = 0.105 𝑝𝑖𝑒 2 1𝑝𝑖𝑒
𝐴𝑂 = 𝜋𝐷𝑂 𝐿 = 3.1416𝑥0.6 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑥 12 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑥1𝑝𝑖𝑒 = 0.157 𝑝𝑖𝑒 2 𝑅𝑖 =
1 ℎ𝑖 𝑥𝐴𝑖
𝑅𝑡𝑢𝑏𝑜 = 𝑅𝑂 =
=
1 2 ⁄ (35 𝐵𝑇𝑈 ℎ.𝑝𝑖𝑒 .℉)(0.105 𝑝𝑖𝑒 2 )
ln(𝑟2 ⁄𝑟1 ) 2𝜋𝑘𝐿 1
ℎ𝑂 𝑥𝐴𝑂
=
= 0.27211 ℎ. ℉⁄𝐵𝑇𝑈
ln(0.3⁄0.2)
= 2𝑥3.1416(223 𝐵𝑇𝑈⁄ℎ.𝑝𝑖𝑒.℉)(1𝑝𝑖𝑒) = 0.00029 ℎ. ℉⁄𝐵𝑇𝑈 1
(1500 𝐵𝑇𝑈⁄ℎ.𝑝𝑖𝑒 2 𝑥℉)(0.157 𝑝𝑖𝑒 2 )
= 0.00425 ℎ. ℉⁄𝐵𝑇𝑈
𝑅𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 = 𝑅𝑖 + 𝑅𝑡𝑢𝑏𝑜 + 𝑅𝑂 = 0.27211 + 0.00029 + 0.00425 = 0.27665 ℎ. ℉⁄𝐵𝑇𝑈 La velocidad de transferencia de calor del tubo es: 𝑄=
(𝑇1 −𝑇2 ) 𝑅𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿
(100−70)℉
= 0.27665 ℎ.℉⁄𝐵𝑇𝑈 = 108.44 𝐵𝑇𝑈⁄ℎ
La velocidad de transferencia de calor requerida para condensar el vapor a razón de 120 𝑙𝑏𝑚⁄ℎ es: 𝑄𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 = 𝑚ℎ𝑓𝑔 = (120 𝑙𝑏𝑚⁄ℎ)(1037 𝐷𝑇𝑈⁄𝑙𝑏𝑚) = 124440 𝐵𝑇𝑈⁄ℎ Longitud del tubo:
𝑄𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 𝑄
=
124440 108.44
= 1148 𝑝𝑖𝑒
Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza
50
Related Documents 3m3m1z
Problemas De Transferencia De Calor Y Masa 2l3526
April 2020 27
Problemas Transferencia De Calor 53e2
April 2021 0
Problemas Transferencia De Calor 53e2
December 2019 58
Problemas De Transferencia De Calor 4h6ix
June 2020 13
Problemas De Transferencia De Calor 4h6ix
December 2020 0
Transferencia De Calor Y Masa - Examenes Uni 2q1t1o
October 2020 0More Documents from "edgar" 6c717
Resumo Quem Mexeu No Meu Queijo 135f1a
October 2019 122
6l6m1j
September 2021 0
Ejemplo De Capitulo 2 De Tesis Pregrado c2n5b
September 2021 0
6l6m1j
June 2021 0
Grados De Autoestima 3c6s49
May 2022 0