Punto Critico 2q4p71

   PUNTO CRITICO 1.1 DEFINICION:

En cálculo, un punto crítico de una función de una variable real es cualquier valor en el dominio en donde la función no es diferenciable o cuando su derivada es 0. Para una función suave de varias variables reales, la condición de ser un punto crítico es equivalente a que todas sus derivadas parciales sean cero; para una función en una variedad, es equivalente a que su diferencial sea cero. Si la matriz hessiana en un punto crítico es no singular entonces el punto crítico es llamado no degenerado, y el signo de los auto valores del Hessiano determinan el comportamiento local de la función. En el caso de una función real de una variable real, el Hessiano es simplemente la segunda derivada, y la no singularidad es equivalente a ser diferente de cero. Para una función de n variables, el número de auto valores negativos de un punto crítico es llamado su índice, y un máximo ocurre cuando todos los auto valores son negativos (índice n, la matriz hessiana es definida negativa) y un mínimo ocurre cuando todos los auto valores son positivos (índice cero, la matriz hessiana es definida positiva);



Puntos estacionarios (cruces rojas) y puntos de inflexión (círculos verdes). Es importante notar que los puntos estacionarios son puntos críticos, pero los puntos de inflexión no lo son.

1.2 EJERCICIOS f (x , y)

1.

2 3 2 = 14 x -2 x +2 y +4xy

DERIVADAS PARCIALES Primer Orden f x = 28x - 6 x 2+ 4 y f y =4 y+ 4 x

Segundo Orden f xx =28−12 x f yy =4 f xy=4

PUNTOS CRITICOS fx = 0



2 28x - 6 x + 4 y=0

Dividir / 2

2 14x - 3 x +2 y=0

E-1



f y =0

4y + 4x = 0 4y = -4x

y = -x E-2 2 en 01: 2 14x- 3 x +2 (−x ) =0 2 14x - 3 x −2 x =0 2

12x - 3 x =0 3x (4 – x) = 0 3x = 0

ᵥ

4–x=0

X =X0= 4 P .C 1 (0,0) P .C 2 (4,−4)

DISCRIMINANTE: D f xy ¿2 D= f . f −¿ xx yy D= (28 - 12x) .4 D= 112 – 48x – 16

(4 )2 D= 96 – 48x

CLASIFICACION DE PUNTOS CRITICOS f xx=28−12 x f yy=4

f xx =28 >0 P .C 1 (0,0)

D= 96 – 48x

f yy =4

>0

D= 96>0

“Mínimo Local”

f xx=28−12 x f yy=4 D= 96 – 48x

f xx =−20<0 P .C 2 (4,−4)

f yy =4>0 D= 96 < 0

“Punto de Silla”

z=f ( x, y)

2 3 2 = 14 x -2 x +2 y +4xy

P .C 1 (0,0,0) P .C 2 (4,−4 , 64)

02. Dada la función y=

( x+1 )2 e−x

, hallar los máximos y mínimos locales.

Calculamos la primera derivada para determinar los puntos críticos: x+ 1¿2 =e−x ( x +1 ) (1−x ) ; f '( x )=2 ( x +1 ) . e−x −e−x ¿ f ' (x) =0 ⟺ e−x ( x +1 ) (1−x )=0 ⟺ x=1 ò x=−1 Los únicos posibles máximos y mínimos se alcanzan en los puntos

P1 (

1,4 ) e

y

P2 (−1,0 ) .

Estudiamos a continuación el crecimiento de la

función:

(-∞, -1) f

'

( x)

(-1,1) ++

De lo anterior se deduce que el punto punto

P2 (−1,0)

(1, ∞) - -

P1 (

1,4 ) e

es un máximo local y que el

es un mínimo local de la función.

03. Utilizando los prodecimientos de máximos y minimos: Determinar a)Calucar la derivada completamente simplificada b)determinar los puntos críticos c)concluir si los valores son máximos y minimos d)determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento De lasiguiete función :

3

F(x) ¿ x

2

-6 x + 9 x + 4

Utilizando el método de máximos y mínimos vamos a hallar la derivada simplificada a

3−1

f´(x)= 3 x

−2 ( 6 ) x 2−1+ 9 x 1−1 +4 2

f´(x)=3 x −12 x +9 b)hallar los valores críticos

“la primera derivada debe ser =0”

f´(x)=0

3 x2 −12 x +9=0 3x

-9=-9x

X

-1=-3x

(3x-9)(x-1) X1=3 ; X2=1

c)”Remplazamos los valores “X1=3 y X2=1” en la función original 3

2

f(3)= 3 −6 ( 3 ) + 9 ( 3 )+ 4=27−54+27+ 4=¿ f ( 3 )=4 3

2

f ( 1 )=1 −6 ( 1 ) +9 ( 3 ) + 4=1−6+ 9+4=¿ f (1 )=8 como (3)es menor que f(1)por lo tanto que f(3)es mínimo y f(1)=máximo d) determinar las intervalos de crecimiento : “para hallar los intervalos usamos la primera derivada” 2 f ( x )=3 x −12 x +9

Esta primera derivada es la pendiente por lo tanto para que la función sea: a) creciente: La primera derivada o pendiente tiene que ser mayor a 0: f ( x )=m>0 b) decreciente: La primera derivada o pendiente tiene que ser menor que 0: f ( x )=m<0

Valores críticos (3y4)

1

0

3

Tenemos que ver para que valores se cumple esta afirmación: 2

3 x −12 x +9>0 1) Problemas con el valor 0, remplazamos en la ecuación original 2

F´ (0)= 3(0) −12 ( 0 ) +9=9 → 9>0

Como el intervalo es el correcto decimos que la función es creciente: CRECIENTE:

¿

{ xx £ R ,1< X <3}=¿ 1,3>¿

DECRECIENTE:

Punto min

{ XX ER ,−∞< X <1 U 3< X < ∞}=¿−∞, 1>U <3, ∞>¿ Punto X=1=>mínimo X=3=>máximo

1

3

 MAXIMOS Y MINIMOS ABSOLUTOS 1.1 DEFINICION MÁXIMO ABSOLUTO Una función tiene su máximo absoluto en el x = a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función .

MÍNIMO ABSOLUTO Una función tiene su mínimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función . a = 0

b = 0

1.2

EJERCICIOS

01.Encuentra el máximo y minimo absoluto de la función 3

F(x)= x −3 x−2 2

F´(x)=3 x −3 F´(x)=0 2

3 x −3=0

en

[ −1 , 4 ]

x (¿¿ 2−1)=0 3 ¿ 3(x-1)(x+1)=-1

Puntos críticos o estacionarios

En las que la recta tangente es horizontal 3

F(-1)= (−1) −3 (−1 )−2=−1+3−2=0 3

F(1)= 1 −3 ( 1 )−2=1−5=−4 Evaluamos la función en:

[,4]

3

F(4)= 4 −3 ( 4 )−2=64−12−2=50 En -1 la función vale 0 50

En 1 la función vale -4 Cuano x es 4 la función vale 50

-1

1 4 este punto es el Max

ABSLT -4

mínimos absolutos

Entonces el mínimo absoluto es:-4 Entonces el máximo absoluto es: 50

02. ) Calcular el máximo y el mínimo absolutos de la función en el intervalo En primer lugar derivaremos la función: Luego igualamos esa primera derivada a cero:

.

y resolvemos la ecuación así obtenida. En este caso

El valor

está en el intervalo

, luego el primer conjunto de “candidatos”

a máximos o mínimos es El segundo conjunto contiene a los extremos del intervalo: El tercer conjunto (el conjunto de los puntos donde la función no es derivable) no tiene ningún valor en este caso, pues la función es derivable en todos los puntos del intervalo (es un polinomio y sabemos que todos los polinomios son derivables en cualquier punto de su dominio hasta el orden que deseemos). Por último, sólo tenemos que calcular los valores que toma la función en esos puntos:

Por lo tanto el mínimo absoluto es 20, en el punto .

, en el punto

, y el máximo absoluto es

03. Encontrar el máximo absoluto y mínimo absoluto de la función f(x) en el intervalo [-1,5], tal que:

Aplicaremos el procedimiento del teorema de los extremos. Derivamos la función, obteniendo:

Hallamos las raíces de la derivada:

Las imágenes de los extremos del intervalo y de las dos raíces son:

Por lo tanto, el máximo y mínimo absolutos de f serán:

   MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS 1.1 DEFINICION

Una función f tiene un máximo relativo en el punto a, si f(a) es mayor o igual que los puntos próximos al punto a. Una función f tiene un mínimo relativo en el punto b, si f(b) es menor o igual que los puntos próximos al punto b.

a = 3 .0 8

b = - 3 .0 8

EJERCICIOS: 1. Determina los extremos de la función:

f ( x ; y )=4 x2 +2 y 2−2 xy−10 y−2 x . f ( x )=8 x−2 y−2=0 → y =3 f ( y )=4 y−2 x−10=0 → x =1

D ( x ; y )=f xx ( x ; y )∗f yy ( x ; y )− [ f xy ( x ; y ) ] D ( x ; y )=(8)∗(4)−(−2)

Y f

D ( x ; y ) >0

(x; y) ¿

xx

0

2

→

¿ 28

f (1; 3) = -16 , es un

mínimo relativo.

a)

f (x ; y )=x 3+ y 3−3 x 2−3 y 2−9 x . 2

f ( x )=3 x −6 x−9=0 → x =3 ; x =−1 f ( y )=3 y 2 −6 y=0 → y=1 ; y=2

PUNTO CRITICO

D

f

xx

f

yy

f

xy

f (a ;b )

CONCLUSIO N

(3; 0) (3; 0) (3; 0) (3; 0)

-72 72 72 -72

12 12 -12 -12

-6 6 -6 6

0 0 0 0

-27 -31 5 1

Punto silla Min. relativo Max. relativo Punto silla

2) Calcule los máximos y mínimos relativos de la siguiente función F(x) = x3 − 3x + 2 1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces. f'(x) = 3x2 − 3 = 0 x = −1 x = 1. 2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada primera y si: f''(x) > 0 Tenemos un mínimo. f''(x) < 0 Tenemos un máximo. f''(x) = 6x f''(−1) = −6 Máximo f'' (1) = 6 Mínimo

3. Calculamos la image n (en la función) de lo s extremos relativos. f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4 f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0 Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0) 3) Hallar, si existen, los extremos relativos de la función:

f(x) = 2x³ + 3x² Calculamos la derivada primera, y la igualamos a cero para encontrar los puntos críticos.

f '(x) = 6x² + 6x = 0 6x·(x + 1) = 0 x = 0 x = -1 (puntos críticos) Calculamos la derivada segunda y la evaluamos en los puntos críticos:

f " (x) = 12x + 6 f " (0) = 12·0 + 6 = 6 ⇒ en x = 0 hay un mínimo relativo = f(0) = 2·0³ + 3·0² = 0 f " (-1) = 12·(-1) + 6 = -6 ⇒ en x = -1 hay un máximo relativo = f(-1) = 2·(-1)³ + 3·(-1)² = 1

Como la derivada primera es una función cuadrática, existe para todo valor de x. Por esa razón, no hay puntos donde no existe f ' (x) y solamente se buscaron puntos críticos donde la derivada primera es cero.

   MULTIPLICADORES DE LAGRANGE 1.1 DEFINICION

Es un procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de funciones de múltiples variables sujetas a restricciones. Este método reduce el problema restringido con n variables a uno sin restricciones de n + k variables, donde k es igual al número de restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas más fácilmente. Estas nuevas variables escalares desconocidas, una para cada restricción, son llamadas multiplicadores de Lagrange. El método dice que los puntos donde la función tiene un extremo condicionado con k restricciones, están entre los puntos estacionarios de una nueva función sin restricciones construida como una combinación lineal de la función y las funciones implicadas en las restricciones, cuyos coeficientes son los multiplicadores. La demostración usa derivadas parciales y la regla de la cadena para funciones de varias variables. Se trata de extraer una función implícita de las restricciones, y encontrar las condiciones para que las derivadas parciales con respecto a las variables independientes de la función sean iguales a cero. f ( x ; y ) la función objetivo.

Sea

Supongamos que

(x; y)

están condicionados por la ecuación

g ( x ; y )=k

,

f y g son funciones suaves. Si

f

tiene un extremo (máx. o min.) sujeto a

;Y0), entonces existe un escalar λ tal que:

Fx(X0 ;Y0) = λ gx (X0 ;Y0) Fy(X0 ;Y0) = λ gy (X0 ;Y0) gy (X0 ;Y0) = 0

Ejercicios:

g ( x ; y )=k

en el punto (X0

1. Hallar los valores máximo y mínimo de:

(x; y)

vive sobre la recta:

f ( x ; y )=1−x 2− y 2

x+ y=1 .

Solución: fx=−2 x fy=−2 y −2 x=λ

( x ; y )=

−2 y= λ

→ x= y

˄

x+ y=1

( 12 ; 12 ) y λ=−1

f ( 1/2 ; 1/2 )=1/2

, puede ser el valor extremo condicionante.

Comprobamos con otro punto sobre la restricción:

1 f ( 1 ; 0 )=0→ =f (1/2 ; 1/2) 2

( 1/ 2; 1/2 ) es un máximo condicionado.

Concluimos que

a) Se disponen de 320m de cerca para encerrar un campo rectangular. ¿Cómo debería colocarse la cerca, de manera que el área encerrada sea la más grande posible? Solución.

f ( x ; y )=xy g ( x ; y )=x + y−160 y=2 λ

;

x=2 λ

→ x= y

x+ y=160

( x ; y )=(80 ; 80)

Y

λ=40

˄

, si

f ( 80 ; 80 ) =64

La mayor área que pueda encerrarse con 320 m. de cerca es 6400 m2.

   PROBLEMAS DE OPTIMIZACION 1.1 DEFINICION

Un problema de optimización consiste en maximizar o minimizar una función real eligiendo sistemáticamente valores de entrada (tomados de un conjunto permitido) y computando el valor de la función. La generalización de la teoría de la optimización y técnicas para otras formulaciones comprende un área grande de las matemáticas aplicadas. De forma general, la optimización incluye el descubrimiento de los "mejores valores" de alguna función objetivo dado un dominio definido, incluyendo una variedad de diferentes tipos de funciones objetivo y diferentes tipos de dominios.

Gráfico de un paraboloide dado por f(x,y) = -(x²+y²)+4. El máximo global en (0, 0, 4) está indicado por un punto rojo. En la resolución de problemas de optimización de funciones seguiremos los siguientes pasos: 1-Plantear la función que ha y que maximizar o minimizar. 2-Plantear una ecuación que relacione las distintas variables del problema, en el caso de que ha ya más de una variable. 3-Despejar una variable de la ecuación y sustituirla en la función de modo que nos quede una sola variable . 4-Derivar la función e igualarla a cero , para hallar los extremos locales. 5-Realizar la 2ª derivada para comprobar el resultado obtenido.

1.2 EJERCICIOS 01. Tenemos que hacer dos chapas cuadradas de dos materiales distintos. Los dos materiales tienen precios respectivamente de 2 y 3 euros por centímetro cuadrado. ¿Cómo hemos de elegir los lados de los cuadrados si queremos que

el coste total sea mínimo y si además nos piden que la suma de los perímetros de los dos cuadrados ha de ser de un metro? SOLUCION: Sean “x” e”y” los lados (en cm) de los cuadrados respectivamente. Si la suma de perímetros es 1 metro: ⟹ y=25− x

4x + 4y = 100

y x

x

y

La función de costes es: 2

2

2

2

25−x ¿ =2 x + 1875−150 x+ 3 x =5 x −150 x+ 1875 C= 2 x2 +3 y 2=2 x 2+ 3.¿ C( x )=5 x 2−150 x +1875 C ' (x) =10 x −150: c' ( x ) =0 ⇒ 10 x−150=0⇒ x =

150 =15 10

C' ' ( x )=10>0 : por tanto x=15 es minimo Los cuadrados deben medir de lados, respectivamente: x= 15cm y= 25 – 15 = 10cm

02. Descomponer el número 16 en dos sumandos positivos tales que su producto sea máximo.

Solución: Sean x e y dichos sumandos: x + y = 16 ⇒ y=16−x La función a optimizar es la que determina el producto de ambos números: 2 2 x . y = x . (16 – x) = 16 x−x ⇒ f (x) 16 x−x

f ' ( x )=16−2 x f ' ( x )=0⇒ 16−2 x=0 ⇒ x=

16 =8 2

f ' ' ( x )=−2<0, por tanto x=8 es un maximo, y=16−8=8 Los dos sumandos son ambos iguales a 8.

3. La concentración de ozono contaminante, en microgramos por meto cubico, en una ciudad viene dada por la función 2 C ( x )=90+15 x−0,6 x , donde x es el tiempotranscurrido desde 1 de enero de 1990 contado en años . ¿Hasta que año está creciendo la concentración de ozono? ¿Cuál es la

concentración máxima de ozono que se alcanza en esa ciudad? Solución: C ( x )=90+15 x−0,6 x 2 ' C ( x ) =15−1,2 x '

C ( x ) =0 ⇒15−1,2 x=0 ⇒ x=

15 =12,5 1,2

C' ( x ) =−1,2< 0, por tanto , x=12,5 es maximo. La concentración de ozono contaminante ha estado creciendo hasta 12,5 años después, es decir, hasta el 30 de junio de 2002. La concentración máxima ha sido: 12,5 ¿2=58,75 microgramos por metro cubico. C ' ( 12,5 )=90+15 .12,5−0,6 . ¿