Que Es Medir Y Que Es Contar 2i544j

ENSAYO CONFERENCIA DEL PROFESOR LUIS RECALDE UNIVERSIDAD DEL VALLE

A continuación instalaremos lo más relevante que se presento en el desarrollo de la exposición del profesor Luis Recalde, en la que mencionó su desarrollo de la conferencia y propuso las siguientes directrices.   

Relación de Historia y Educación Matemática. Propuesta de contenido. Comentarios.

Para efectuar su explicación. 

RELACION DE HISTORIA Y EDUCACIÓN MATEMÁTICA:

En la investigación matemática generalmente con la educación matemática se establece una estrecha relación (interdependencia) natural, en la cual se debe saber historia de la matemática para poder enseñar, así existen en el desarrollo histórico de los conceptos, escuelas como Francia y España, las cuales tienen diferentes concepciones, pero que la Historia se la concibe como Historia Internalista y Externalista.

Historia internalista: ligado a la epistemología y como funciona lo teórico. (Pero no concebida como anécdota). Historia Externalista: ligado a la sociología (filosófica). Movimientos ideológicos.(lucha de instituciones) La ciencia se desarrolla en si misma, ya que tiene su camino de desarrollo y así la sociedad incide en la matemática. Así pues concebir la historia con interés de no-anécdota, y hacerla comprensible sin desvincularse de lo que verdaderamente paso. Aunque la

anécdota sirve como para distraerse, etc... pero no para concebirla como centro de estudio. La matemática clásica que es la matemática euclidiana, este paradigma se mantuvo durante 25 siglos y que llego hasta Cantor y solo para responder a las preguntas ¿QUÉ ES MEDIR ? y ¿QUÉ ES CONTAR ?, y en esto se estableció la forma euclidena donde vino a tener un cambio con Cantor. En la geometría euclidiana está la geometría sintética (S IV a.c.) que presenta un cambio con Descartes con la geometría analítica (S XVII d.c.), en como hacer geometría, aquí aparece la modernidad, la curva como una ecuación y guardando el estilo euclidiano, ósea lo clásico. Descartes lee a euclides para resolver las mismas preguntas que euclides y construyo la geometría analítica, así pues al igual que Newton con la Cuadratura del Circulo lee tres libros básicos, que son los Elementos de Euclides, entre otros. Así es que euclides intercepta todas las preguntas que se dieron en occidente, y cualquiera que diera un uso de las matemáticas debe converger con lo clásico y eso era euclides. Así desde el punto de vista la matemática no esta desligada de la investigación sino que hace parte de la matemática. En todo casa la historia de la matemática es parte de la actividad matemática, es decir seria prudente hacer matemáticas pero en el quehacer matemático teniendo en cuenta que hay un desarrollo de unos conceptos que dan lugar a plantearse problemas matemáticos que puede producir paradigma. Así por ejemplo Cantor nunca habría podido producir una revolución en la forma de hacer matemáticas, sin haber conocido la tradición de haberle podido declarar la guerra al infinito potencial de Aristóteles, en la cual Aristóteles niega que en matemáticas se trabaje con el infinito actual y afirma que se debe trabajar con el infinito potencial. En cambio Cantor dice NO para poder hacer matemáticas y responder a las preguntas que vienen desde la antigüedad hay que cortar con la tradición Aristotélica e impulsar que el infinito aristotélico no funciona en matemáticas sino que en algunas circunstancias, sino que para poder crecer y abrir el panorama tenemos que aceptar e incorporar el infinito actual. Así pues la actividad matemática no se agota en lo técnico, así pues la formación matemática lo que hace es darle herramientas teóricas para llegar al resultado. No es mecánica, hay mas posibilidades ya que es un

constructo histórico, un contructo social desde este punto de vista la matemática responde a grandes problemáticas que tienen que ver con la relación del hombre con el mundo, con el ser, etc... preguntas insólitas, del alma de donde vengo, quien soy, preguntas filosóficas entonces hay aspectos interesantes en la actividad matemática. En contraste hay ocasiones que la comunidad matemática, por las formas de pensamiento vetan las publicaciones por guerras de pensamiento de instituciones, de escuelas, y así muchas investigaciones matemáticas se han quedado en el olvido y otras han tenido que ser recuperadas para darse a conocer y efectuar grandes estudios que en su momento por su etapa clásica no fueron reconocido y fueron desconocidas y rechazadas. Así hemos conocido descubierto la derivada de caratedori, análisis no estándar, entre otros. Por esto no hay que hacer una historia totalmente internalista, ni externalista. Es donde entra la filosofía interactuando las preguntas de carácter ontologico (que es ?) Con las de carácter epistemológico que responde a la pregunta (como se hace ?), Así es que a veces uno sabe que es lo que es, sabiendo como se hace, es la diferencia entre las corrientes formalistas, realistas, etc... los objetos se conocen, la ontología depende de cómo se relacionen, aquí hay una cosa muy interesante. Entonces para hacer desarrollo internalista-epistemológico hay que recurrir a lo externalista. 

PROPUESTA DE CONTENIDO:

Es de tipo curricular, un material que sintetice el desarrollo histórico sin caer en la idea pre-escriptiva o la idea anecdótica, o cronológica, sino que intenta conjugar el aspecto sociológico, aspecto anecdótico y que el epicentro sea lo epistemológico y además que tenga una directriz. Así la Producción del pensamiento matemático, como se produce el pensamiento matemático, es decir como un matemático en un determinado momento o una escuela de matemáticos llega a dar o establecer una producción o resultados matemáticos.

Es decir que lo que interesa es porque para una comunidad matemática, en un momento determinado era un problema resolver algún problema. Por ejemplo, el de la función cuadrática, cúbica, etc... por otra parte la Heurística (que es la respuesta de como el matemático llega a donde quiere llegar), es el camino; Es el proceso que sigue el investigador para llegara a la respuesta, de una serie de premisas a la conclusión, no necesariamente la Heurística quiere decir que el problema matemático esta resuelto. A veces la heurística lo lleva a la respuesta de un problema, pero no puede demostrar que la respuesta esta bien. Que es el caso de Arquímedes que se plantea cuadra la parábola, es decir un cuadrado equivalente, y Arquímedes lo desarrolla con la ley de las palancas (balanzas), ósea que lo hace con elementos físicos como la balanza, la palanca (equilibrios); este resultado es un ejemplo donde se conocía solamente el método exhaustivo de Arquímedes, que es el método primitivo del calculo para responder a cual es la cuadratura de la parábola, entonces como Arquímedes llega a decir que el área de la parábola es 4/3 del triangulo inscrito, Así ocurre que se llega a la respuesta y en algunos casos no son aceptados en algún momento determinado. Una de las preguntas a nivel de discusión histórica, tiene que ver con la heurística, es decir hay una problema determinado, o un teorema etc.., Entonces la pregunta es ¿cómo históricamente este objeto llego a construirse?, ¿Por que razón?, ¿Respondiendo a que pregunta?, Entonces tiene que ver con la metodología histórica, digamos lo Teleológico (mirar el pasado con un lente del presente, mirar las causas ultimas, originarias) encontrar la génesis, de una cosa que depende de otra y así sucesivamente, hasta llegar al origen. Lo teleológico se tiene que ver de forma no continua, lineal, ni positivista, sino con sus vaivenes. Es decir la teleológico no agota el hecho histórico, pero le establece punto, estaciones, que le pueden resolver problemas. Entonces la labor del historiador, investigador es deshacer estos pasos haciendo lo anti-teleológico, es decir yéndose desde el concepto, abarcando lo mas que pueda el concepto primigenio con sus accidentes, etc.. Y como se llego a lo que se tiene. Además, en el análisis histórico, en la educación matemática hay una propuesta que tiene que ver con lo genético en el sentido que la Ontogénesis y la Filogenesis, van interrelacionadas. Así se dice que la ontogénesis recapitula la filogenesis; Es decir que la filogenesis es el desarrollo en el

sentido del transcurrir histórico de la humanidad y la ontogénesis como el desarrollo del individuo del ser humano. Las dificultades que a tenido que afrontar la humanidad para la construcción de los conceptos, son similares a los problemas que tienen los individuos para poder ellos construir los conceptos. Ejemplo la construcción del cero, enteros, no hay que esconder la dificultad en la construcción y entendimiento de un concepto, por que son puntos invaluables en la construcción del concepto. Así pues muchas corrientes en educación matemática apuntan y le dan un valor fuerte a la historia de la matemática y a la educación matemática, por cuanto la elaboración de la matemática es un buen laboratorio, en el cual se puede experimentar las ideas, teorías matemáticas, en donde se mezclan, encuentran, etc... que han tenido las teorías para tener ahora lo que tenemos. En este sentido desaparece la idea de obstáculo epistemológico. En la historia de las matemáticas, ha estado atravesado por dos preguntas básicas ¿Qué es medir? (Magnitud, continuo, infinito potencial) y ¿Qué es contar? (Numero, discreto, finito), así el trabajo teleológico sé a focalizado en los inicios de lo que se llama matemática, y se encuentra con las preguntas movilizadoras ¿Qué es medir? y ¿Qué es contar?, Remontada a la Grecia antigua con el siglo VII – VIII a.c. con los llamados Presocráticos, Tales de Mileto, Pitágoras, etc, en la idea de los positivistas se considera que las matemáticas empieza con Tales y Pitágoras de los Jonicos. ¿Que se mide? Las figuras geométricas, áreas, longitudes, volúmenes, superficies, segmentos, superficies, cuerpos 3D, GEOMETRIA ¿Que se cuenta? Axiomática de números. ARITMÉTICA. En consecuencia la aparición de las magnitudes inconmensurables que es un problema de la medida, con las soluciones de Eudoxo y Euclides, que son los tres problemas griegos de la cuadratura, trisección y duplicación del cubo. Así entonces los tres problemas son: dado un circulo encontrar un cuadrado equivalente, (idea de igual en medida, área), Dado un cubo duplicarlo, es decir encontrar un cubo que sea exactamente el doble de la medida del anterior, Dado un ángulo, trisecarlo, ósea dividirlo en tres ángulos que sean iguales. Así pues en Euclides esta reunida la respuesta sistemática, de acuerdo a la época a esta problemática.

Así aparece en el fondo el problema de la integral y la construcción de los números reales, (que lo uno no puede vivir sin lo otro) sin entender los reales no se puede entender la integral como objeto matemático. Entonces se quiere rellenar todo ese camino comenzando con euclides. EUCLIDES: (S IV-III a.c.) resuelve la cuadratura de figuras rectilíneas, trabaja sobre círculos y ángulos, sistematiza la teoría de magnitudes, la teoría de proporciones y la teoría de números. ARQUÍMEDES: (S III a.c.) resuelve la cuadratura de la parábola, la parábola no es una figura rectilínea. DIOFANTO Y ALKO WARITZMI: Diofanto no es el padre del Álgebra sino Alko Waritzmi, el álgebra es oriental y no occidental. La resolución de ecuaciones, el álgebra amplia el horizonte de los números y promueve la geometría. CAVALIERI: Cavalieri desarrolló un método de lo indivisible, el cual llegó a ser un factor en el desarrollo del Cálculo Integral. Su interés por las matemáticas fue estimulado por los trabajos de Euclídes y luego de encontrar a Galileo, se consideró como un discípulo de este astrónomo. En Pisa, Cavalieri fue educado en matemáticas por Benedetto Castelli, un profesor de matemáticas en la Universidad de Pisa. Él le enseñó a Cavalieri Geometría y este demostraba tanta capacidad que a veces Cavalieri reemplazaba a Castelli en conferencias dadas en la Universidad. En 1621 Cavalieri llegó a ser diácono y asistente del cardenal Federico Borroneo en el Monasterio de Milán. Allí él enseño teología hasta el 1623 en el que llegó a ser Rector de St. Peter’s de Lodi. Después de tres años en Lodi se fue al Monasterio Jesuita en Parma, donde permaneció otros tres años. En 1629 Cavalieri fue nombrado profesor de matemáticas en Bologna pero en ese tiempo había ya desarrollado un método de lo indivisible, lo cual llegó a ser un factor importante en el desarrollo del Cálculo Integral.

La teoría de lo indivisible de Cavalieri, presentada en su “Geometría indivisibilis continuorum nova” de 1635 era un desarrollo del método exhaustivo de Arquímides incorporado en la teoría infinitesimal y pequeñas cantidades geométricas de Kepler. Esta teoría permitió a Cavalieri encontrar simple y rapidamente el área y volumen de varias figuras geométricas. El método de lo indivisible no estaba rigurosamente completo en las bases de su libro, debido a esto fue duramente criticado. En su replica Cavalieri mejoró esta publicación en su “ Exercitaciones geometricae sex “ la cual fue la fuente principal de las matemáticas. DESCARTES: Descartes tiene fama de filósofo y el intelecto más grande de los que contribuyeron a crear la llamada "Edad de la Razón". Evidentemente, decidió que necesitaba ayudar a fortalecer el cuerpo del pequeño si quería educar su mente. Como René parecía requerir más descanso que los niños normales de su edad, se le permitía levantarse tan tarde como quisiera antes de reunirse con sus condiscípulo. Durante su vida, Descartes siguió esta costumbre de levantarse tarde después de pasar tranquilamente la mañana en silenciosa meditación. Cursó estudios normales de lógica, ética, metafísica, historia, ciencias y literatura. Luego se dedicó a trabajar independientemente en el álgebra y geometría, que se convirtieron en sus materias favoritas "debido a la certidumbre de sus pruebas". Prosiguió sus estudios en la Universidad de Poitiers, donde cursó las materias de derecho. En cuanto recibió su diploma, "abandonó del todo el estudio de las letras y resolvió no aspirar ya a ninguna otra ciencia que no fuera el conocimiento de sí mismo o de los grandes libros del mundo". A Descartes lo entusiasmó tanto esta amistad accidental, que menos de cuatro meses después informó a su amigo el descubrimiento de una nueva manera de estudiar la geometría. Lo inquietaron los métodos de los geómetras griegos para llegar a sus ingeniosas pruebas sin un sistema fundamental de ataque y se propuso corregirlos mediante el manejo de líneas y figuras tridimensionales en una gráfica. Dibujaba la gráfica marcando unidades en una línea horizontal (eje x) y una línea vertical (eje y); así, cualquier punto de la gráfica podía describirse con dos números. El primer número representaba una distancia en el eje x y el otro número representaba una distancia en el eje y. Aunque

conservaba las reglas de la geometría euclidiana, combinaba el álgebra y la geometría, consideradas entonces como independientes, para formar una nueva disciplina matemática llamada geometría analítica. En el 1629 decidió irse a vivir a Holanda, allí estudió otras cosas aparte de filosofía y las matemáticas, comprendiendo la óptica, la física, la química, la anatomía y la medicina. En 1634 aún no publicaba nada, pero seguía dedicado a incorporar todos sus conocimientos, desde la astronomía hasta la anatomía humana, en un impresionante tratado que se llamaba El mundo. Todo París esperaba con gran curiosidad la obra maestra de Descartes pero este se enteró de que la Inquisición condenó a Galileo por atreverse a defender la teoría copernicana de que el Sol era el centro del Universo. El 8 de Junio de 1637 Descartes dio al mundo su geometría analítica como un apéndice modesto de su obra maestra Discurso del método. Al propalarse la fama de Descartes, la realeza comenzó a cortejarlo. Carlos Y de Inglaterra y Luis XIII de Francia invitaron al famoso filósofo a adornar sus respectivas cortes. En 1646, Descartes vivía en feliz aislamiento en Egmond, Holanda, meditando, cuidando su pequeño jardín y sosteniendo correspondencia con intelectuales de Europa, cuando la reina Cristina de Suecia le suplicó que fuera a su corte. Descartes partió en el otoño de 1649. Todo podría haber resultado perfecto para Descartes si Cristina no hubiera insistido en hacer que le enseñara filosofía a partir de las cinco de la mañana en un aposento grande y frío. Descartes era demasiado bien educado para quejarse de esta desagradable circunstancia, aunque siempre odiaba el frío y rara vez se levantaba antes del mediodía. Después de tres meses de estas espantosas clases antes del amanecer, enfermó de gravedad y murió de una enfermedad respiratoria, que probablemente fue pulmonía. Diecisiete años más tarde, su cadáver volvió a París, donde fue sepultado en lo que hoy es el panteón NEWTON –LEIBNIZ Difícilmente podría decirse que el camino de Newton a la fama estaba predeterminado. El primero fue el binomio de Newton y los elementos del cálculo diferencial, que llamaba fluxiones. Poco después dijo que “había encontrado el método inverso de las fluxiones”, es decir, el cálculo integral y e método para calcular las superficies encerradas en curvas como la hipérbole, y los

volúmenes y de los sólidos. Años más tarde, cuando se publicaron sus hallazgos, hubo cierta duda acerca de sí el matemático alemán Leibnitz era considerado el creador del cálculo diferencial. Al parecer ambos, independiente y casi simultáneamente, hicieron este notable descubrimiento. Su segundo gran descubrimiento se relacionó con la Teoría de la Gravitación. El tercer gran esfuerzo, correspondió a la esfera de la óptica y la refracción de la luz. A la edad de treinta años fue elegido miembro de la Sociedad Real de Londres, que era él más alto honor para un científico. Para corresponder a este honor, obsequió a la Sociedad el primer telescopio reflector que manufacturó. Newton decidió consagrarse a la ciencia y volvió a Cambridge en 1667 para aceptar una plaza pensionada que no tardaría en convertirse en la de profesor de matemáticas. Durante los siguientes veinte años, Newton llevó la vida de profesor en Cambridge. En 1664 Halley un joven astrónomo visitó a Newton, el cual instó a Newton a publicar sus descubrimientos, esto hizo que Newton en los siguientes dos años, escribiera lo que resultó ser “Principios matemáticos de la filosofía natural”, escritos en Latín, ricos en detalles, con pruebas basadas con exactitud en la geometría clásica, y sorprendentemente raros en sus conclusiones filosóficas, matemáticas y científicas, los Principia contenían tres libros: El primero reunía las tres leyes del movimiento de Newton. El segundo trataba del movimiento de los cuerpos en medios resistentes, como los gases y los líquidos. El tercer libro se ocupaba de la fuerza de la gravitación en la Naturaleza y el Universo. Poco después de la publicación de esta gran obra en 1689, Newton fue elegido miembro del parlamento por Cambridge. Cuando se le nombró director de la casa de moneda de Inglaterra en 1701, renunció a su cátedra

en Cambridge. En 1703 fue nombrado presidente de la Sociedad Real de Londres, cargo que ocupó durante el resto de su vida. En 1705 le concedió nobleza la Reina Ana, y fue el primer científico que recibió este honor por sus obras. Leibnitz era hijo de un profesor de filosofía moral en Leipzig. Aprendió el mismo Latín y algo de Griego a la edad de 12 años, para así poder leer los libros de su padre. Desde 1661 al 1666 estudió leyes en la Universidad de Leipzig. En 1666 le fue rechazado el ingreso para continuar con un curso de doctorado, y fue a la Universidad de Altdorf, recibiendo su doctorado en leyes en el 1667. Continuó su carrera de leyes trabajando en la corte de Mainz hasta 1672. En ese año visitó París para tratar de disuadir a Luis XIV del ataque al territorio Alemán. Permaneció en París hasta 1676, donde continuó practicando leyes. Sin embargo en París estudió matemáticas y física. Fue durante este periodo que las características fundamentales del cálculo fueron desarrolladas. Fue un verdadero precursor de la lógica matemática. Persiguiendo una idea que le acosa desde la juventud es pos de un “alfabeto de los pensamientos humanos” y de un “idioma universal” se propone el proyecto de construir “una característica universal” , especie de lenguaje simbólico capaz de expresar, sin ambigüedad, todos los pensamientos humanos, de manera que al surgir una controversia entre dos filósofos, éstos la zanjasen a la manera de los calculistas; bastaría en efecto, sentarse ante los ábacos, pluma en mano, y como buenos amigos decirse, en mutuo acuerdo: calculemos. Las ideas de Leibniz, que contiene muchos conceptos de la lógica simbólica de hoy, no tuvieron entonces mayor influencia, pues quedaron inéditas hasta este siglo. Igual destino tuvieron ideas semejantes esbozadas durante el siglo XVIII y comienzos del XIX. Agreguemos que las ideas de Kant, de gran influencia en su tiempo y para quien no era necesaria “ninguna nueva invención en la lógica”, han contribuido sin duda al estancamiento de esta disciplina. Las cosas cambiaron cuando llegó Boole, el cual se convirtió en el verdadero fundador de la lógica simbólica.

CAUCHY: Agustín Louis Cauchy pionero en el análisis y la teoría de permutación de grupos. También investigó la convergencia y la divergencia de las series infinitas, ecuaciones diferenciales, determinantes, probabilidad y física matemática Cauchy, trabajó como un ingeniero militar y en 1810 llegó a Cherbourg a trabajar junto a Napoleón en la invasión a Inglaterra. En 1813 retornó a París y luego fue persuadido por Laplace y Lagrange para convertirse en un devoto de las matemáticas. Él ayudó ocupando diversos puestos en la Facultad de Ciencia de París, El Colegio de Francia y La Escuela Politécnica. En 1814 él publicó la memoria de la integral definida que llegó a ser la base de la teoría de las funciones complejas. Gracias a Cauchy, el análisis infinitesimal adquiere bases sólidas. En el prefacio de su Analyse Algébrique, de 1822, escribe: "He tratado de dar a los métodos todo el rigor que se exige en geometría, sin acudir jamás a los argumentos tomados de la generalidad del álgebra. Tales argumentos, aunque bastante itidos, sobre todo al pasar de las series convergentes a las divergentes, de las cantidades reales a las imaginarias, se me ocurre que no deben ser considerados sino como inducciones, adecuadas a veces para hacer presentir la exactitud y la verdad, pero que no están de acuerdo con la exactitud tan alabada de las ciencias matemáticas. Además, debe señalarse que ellas tienden a atribuir a las fórmulas algebraicas una extensión ilimitada, en tanto que en la realidad, la mayor parte de estas fórmulas sólo subsisten bajo ciertas condiciones y para determinados valores de las cantidades que encierran. Determinando esas condiciones y esos valores, fijando de una manera precisa el sentido de las notaciones que utilizo, toda vaguedad desaparece". Como Cauchy se precisan los conceptos de función, de límite y de continuidad en la forma actual o casi actual, tomando el concepto de límite como punto de partida del análisis y eliminando de la idea de función toda referencia a una expresión formal, algebraica o no, para fundarla sobre la noción de correspondencia. Los conceptos aritméticos otorgan ahora rigor a los fundamentos del análisis, hasta entonces apoyados en una intuición geométrica que quedará eliminada, en especial cuando más tarde sufre un

rudo golpe al demostrarse que hay funciones continuas sin derivadas, es decir: curvas sin tangentes. Cauchy vuelve a tomar el concepto tradicional de integral, como suma y no como operación inversa. También introdujo el rigor en el tratamiento de las series fijando criterios de convergencia y eliminando, algo a pesar suyo, las series divergentes, pues dice "Me he visto obligado a itir diversas proposiciones que parecerán algo duras; por ejemplo, que una serie divergente carece de suma". Numerosos términos matemáticos llevan su nombre: el teorema integral de Cauchy, la teoría de las funciones complejas, las ecuaciones de CauchyRiemann y Secuencias de Cauchy.

CANTOR: La investigación de funciones que pudieran ser iguales a las de Fourier, llevo a Cantor al estudio de los conjuntos infinitos y a una aritmética de números finitos. La teoría de cantor que fue considerada como demasiado abstracta y criticada como “enfermedad de la que las matemáticas se curaran pronto”, forma hoy parte de los fundamentos de las matemáticas y recientemente a encontrado una nueva aplicación en el estudio de corrientes turbulentas en fluidos. HILBERT: fue sin duda un matemático genial, marco con su creatividad el conjunto de las disciplinas matemáticas de su epoca, el ámbito del siglo marco la emergencia de dos crisis importantes la de la física y la matemática. En aquella época profundas tempestades cognitivas azotaron los fundamentos mismos de ambas ciencias. El gran publico conoce algo de las revoluciones de la física, sin embargo menos se sabe de los avances de la matemática en la misma época. Quizá sea por el supuesto hermetismo de su lenguaje, o por que los matemáticos son demasiado reservados. En este contexto histórico que Hilbert intervino buscando, resolver problemas cruciales de fundamentacion de las matemáticas, lidero la llamada escuela formalista que buscaba desarrollar la matemática, solo a partir de la coherencia de su propio discurso, sin buscar parentesco de sus objetos básicos con la realidad.

CONCLUSIÓN

Este trabajo a enriquecido nuestro interés por seguir en el camino avante del estudio y trabajo de nuestra disciplina. Además constituyo un aliciente de enfrentamiento con un ambiente motivador como es el de la historia de las matemáticas y como hacer de nuestro trabajo como docentes, más efectivo y traductor de una ciencia en proceso todavía de formación y construcción de elementos plausibles en el cotidiano del ser humano por crear y suplir sus necesidades. Así es que desarrollamos efectivos procesos de maduración conceptual y lagunas desvirtuadas por la mala percepción, y que istran sustancial conveniencia como profesores de matemáticas. No obstante, el permitir apreciar un lenguaje efectivo y desarrollado para generar interés y preocupación por nuestro campo.

¿ QUE ES MEDIR ? Y ¿ QUE ES CONTAR ?

TRABAJO PRESENTADO A LA PROFESORA: CLAUDIA GOMEZ

ASIGNATURA: ELECTIVA II

UNIVERSIDAD DE NARIÑO FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMATICAS

LICENCIATURA EN MATEMATICAS 2005 ¿ QUE ES MEDIR ? Y ¿ QUE ES CONTAR ?

TRABAJO PRESENTADO A LA PROFESORA: CLAUDIA GOMEZ

ASIGNATURA: ELECTIVA II

INTEGRANTES: MILTON DELGADO JESÚS HIDALGO RENGIFO

UNIVERSIDAD DE NARIÑO FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMATICAS

LICENCIATURA EN MATEMATICAS 2005