Resolucion Del Ejercicio 1m3c19

UNIVERSIDAD CENTRAL DE ECUADOR FACULTAD DE INGENIERÍA EN GEOLOGÍA, MINAS, PETRÓLEOS Y AMBIENTAL CARRERA DE INGENIERÍA EN GEOLOGÍA

MATEMÁTICA III

TRABAJO GRUPAL

RESOLUCIÓN DE EJERCICIO

INTEGRANTES: Kevin Calero Nadeshka Cobos Katherine Hidalgo Luis Medina Erika Jácome

DOCENTES: Ing. Fernando Vaca

GRUPO N°: 5

FECHA DE ENTREGA: 10 de Julio del 2018

EJERCICIOS Objetivo General Conseguir el análisis de problemas con el método de cauchy-euler, transformación de cauchyeuler a coeficientes a coeficientes constantes, método del anulador y transformada de Laplace aplicando dichos análisis en la ecuación a presentar.

Objetivos Específicos  Comprender los conceptos de cada tema mencionado anterior mente.  Conocer teoremas referentes a existencia y unicidad de soluciones de cada tema dicho.  Comprender y aplicar los temas dichos de desarrollo en ejercicios propuestos.

Marco Teórico MÉTODO DE CAUCHY-EULER El tipo de ecuaciones diferenciales que se considera son con coeficientes variables y cuya solución se puede expresar en términos de “x”, funciones senoidales, cosenoidales y logarítmicas. Además su método de solución es similar a las ecuaciones con coeficientes constantes porque se debe resolver una ecuación auxiliar. Una ecuación diferencial lineal de la forma n1

an x n

dn y y dy n1 d  ...  a1x  a0 y  g  x  n  an1x n1 dx dx dx





Donde los coeficientes

an , an1 ,…, a0 son constantes, se conoce como ecuación de

Cauchy-Euler. El grado de los coeficientes debe coincidir con el orden de la derivada.

Método de solución. Se prueba una solución de la forma

y  xm , donde m es un

valor que se debe determinar. Análogo a lo que sucede cuando de sustituye ecuación lineal con coeficientes constantes, cuando se sustituye

emx en una

y  xm , cada término de

la ecuación de Cauchy-Euler se convierte en un polinomio en m multiplicado por

xm .

Para una ecuación de segundo grado existen tres casos por considerar, en función de si las raíces son reales y distintas, reales e iguales o complejas. 1. Raíces reales y distintas. Si m1 m2 , entonces la solución es de la forma

1 1 y  c xm  2c x m2

2. Raíces reales y repetidas. Si m1  m2  m , entonces la solución general es de la forma.

y  c x1m  c2 xm ln x 3. Raíces complejas conjugadas. Si las raíces son el par conjugado

m1    i y

m2    i , donde  y  son reales, entonces una solución es

TRANSFORMACION DE CAUCHY EULER A COEFICIENTES A COEFICIENTES CONSTANTES Las similitudes entre las formas de soluciones de ecuaciones de Cauchy-Euler y soluciones de ecuaciones lineales con coeficientes constantes no sólo son una coincidencia. Por ejemplo, cuando las raíces de las ecuaciones auxiliares para

son distintas

y reales, las soluciones generales respectivas son 1. Usando la identidad , la segunda solución dada en (1) puede expresarse en la misma forma que la primera solución:

Donde t = ln x. Este último resultado ilustra el hecho de que cualquier ecuación de CauchyEuler siempre se puede escribir de nuevo como una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes sustituyendo x = (e) ^t. La idea es resolver la nueva ecuación diferencial en términos de la variable t, usando los métodos de las secciones anteriores y una vez obtenida la solución general, sustituir nuevamente t = ln x. Este método, que se ilustró en el último ejemplo, requiere el uso de la regla de la cadena de la derivación.

METODO DEL ANULADOR MÉTODO ANULADOR 𝑑𝑘 𝑦

La ecuación (𝑎𝑛 𝐷𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝐷𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝐷 + 𝑎0 )𝑦=g(x), donde 𝐷𝑘 𝑦 = 𝑑𝑥 𝑘 y la expresión 𝐿ℎ = 𝑎𝑛 𝐷𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝐷𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝐷 + 𝑎0 se llama operador diferencial lineal de orden n. De la ecuación 𝐿ℎ 𝑦 = 𝑔(𝑥) se obtiene una ecuación homogénea aplicando a cada lado un operador Lg que anule a la función g(x), es decir 𝐿𝑔 (𝑔(𝑥)); 𝐿ℎ 𝑦 = 𝐿𝑔 (𝑔(𝑥)) = 0 es una ecuación homogénea. El operador anulador Lg sólo se puede obtener para los siguientes tipos de funciones: a)

Si 𝑔(𝑥) = 𝑃𝑛 (𝑥) , entonces 𝐿𝑔 (𝑃𝑛 (𝑥)) = 𝐷𝑛+1 (𝑃𝑛 (𝑥)) = 0

b)

Si 𝑔(𝑥) = 𝑒 𝑎𝑥 𝑃𝑛 (𝑥), entonces 𝐿𝑔 (𝑒 𝑎𝑥 𝑖𝑃𝑛 (𝑥)) = (𝐷 − 𝑎)𝑛+1 (𝑒 𝑎𝑥 𝑖𝑃𝑛 (𝑥)) = 0

c)

Si

𝑔(𝑥) = 𝑒 𝑎𝑥 𝑃𝑛 (𝑥)[𝐶1 𝐶𝑜𝑠(𝑏𝑥) + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑥),

entonces el operador anulador

𝐿𝑔 (𝑔(𝑥)) = (𝐷2 − 2𝑎𝑏𝐷 + 𝑎2 + 𝑏 2 )𝑛+1 (𝑔(𝑥)) = 0 Propiedades de los operadores anuladores: Cuatro propiedades importantes de los operadores diferenciales anuladores son: a)

Son lineales, es decir, L(af(x)+bg(x))=aL(f(x))+bL(g(x)).

b)

Son conmutables, es decir, L1L2=L2L1. Son factorizables, es decir, L=L1L2L3…Ln.

c)

Si f(x)=f1(x)+f2(x), y los operadores anuladores de f1(x) y f2(x) son L1 y L2

respectivamente, entonces el operador anulador de f(x) es MCM(L1,L2). d)

Si g(x)=eaxPn(x)[C1Cos(bx)+C2Sen(bx)], entonces el operador anulador es 𝐿𝑔 (𝑔(𝑥)) = (𝐷2 − 2𝑎𝑏𝐷 + 𝑎2 + 𝑏 2 )𝑛+1 (𝑔(𝑥)) = 0

Propiedades de los operadores anuladores: Cuatro propiedades importantes de los operadores diferenciales anuladores son: d)

Son lineales, es decir, L(af(x)+bg(x))=aL(f(x))+bL(g(x)).

e)

Son conmutables, es decir, L1L2=L2L1. Son factorizables, es decir, L=L1L2L3…Ln.

f)

Si f(x)=f1(x)+f2(x), y los operadores anuladores de f1(x) y f2(x) son L1 y L2 respectivamente, entonces el operador anulador de f(x) es MCM(L1,L2)

TRANSFORMADA DE LAPLACE Considérese una función de variable continua f ( t ) nula para todo t < 0. La Transformada Fourier de esta función se puede expresar como sigue:

Si multiplicamos el integrando por 𝑒 −ϭt , con ϭ real positivo, de hecho estamos aplicando un factor que garantiza fuertemente la convergencia (existencia) de la integral en la mayoría de los casos. En efecto, como:

Esta integral converge para cualquier función f ( t ) con tal que la misma cumpla la condición

1.

Pudiendo elegirse ϭ tan grande como se quiera. Aunque por supuesto la nueva integral responde a un concepto de función transformada diferente del de Fourier, su utilidad es muy grande como se verá. Llamando s = ϭ + j ω se puede escribir

2.

Función que se conoce como la Transformada de Laplace de F ( t ) y se simboliza así:

La nueva variable, s = ϭ + j ω, se conoce asimismo como Variable de Laplace. Evidentemente, si somos capaces de calcular la transformada de ciertas funciones y, conocida aquella, encontrar la función primitiva o antitransformada correspondiente, la transformada de Laplace presta una utilidad para las operaciones de cálculo matemático similar a la de Fourier con la ventaja de que aquella existe para un gran número de funciones primitivas.

RESOLUCIÓN

Conclusiones Con este trabajo se pudo concluir que se puede analizar cada concepto y teoremas referentes a los temas mencionados anteriormente por medio del marco teórico y la realización de los ejercicios propuestos y así aplicarlos en el desarrollo de los mismos.

Referencia bibliográfica 

http://files.matematicainteractiva.webnode.es/2000000717d52a7e4cd/GUIA13.%20M%C3%89TODO%20DE%20VARIACI%C3%93N%20D E%20PAR%C3%81METROS.pdf

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https://glosarios.servidor-alicante.com/ecuaciones-diferenciales/principio-desuperposicion