Soal Dimensi Tiga Simak Ui 3t3a60

DIMENSI TIGA 1.

SIMAK UI Matematika IPA 914, 2009 Diketahui balok ABCD.EFGH di mana AB = 6 cm, BC = 8 cm, BF = 4 cm. Misalkan  adalah sudut antara AH dan BD, maka cos 2  .... A.

61

B.

5 5

8

C.

5 5

3

D.

5 5

8 125

Solusi: [E] 2

3 125

E. H

G

2

BG  8  4  80  4 5 BP  82  62  100  10

E

F

8 32  BC cos CBP  8   10 5 32 BP 8 cos    5  BG 4 5 5 5

4

4 D

C

2

 8  128 3 cos 2  2 cos 2  1  2  1   1  125 125 5 5 

2.

P

8 B

SIMAK UI Matematika IPA 924, 2009 Kubus ABCD.EFGH mempunyai rusuk 5 cm. Titik M adalah perpotongan antara AF dan BE. Jika N adalah titik tengah EH, maka jarak antara BH dan MN sama dengan .... A.

B.

6

5 6 6

C.

2 6 3

D.

BM 

1 6 2

E.

N

1 5 BE  2 2 2

E

BH  5 3 MP  BE sin EBH  BE  

1 6 3

G

H

Solusi: [B]

F

EH BH 5



P

DM

5 5 2  6 2 5 3 6

A 3.

6

A



5

C B

SIMAK UI Matematika IPA 924, 2009 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang sisi 5 cm. Jarak titik B ke diagonal EG adalah .... A.

5 3 2

B.

5 6 2

C. 5 3

1 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Dimensi Tiga, 2017

D. 128 3

E.

1 6 3

Solusi: [B] PF 

1 5 FH  2 2 2

H

5  BG  BF 2  FP 2  52   2 2 

 25 

G P

2

E

F

50 150 5   6 4 4 2

D

C 5

A 4.

B

SIMAK UI Matematika IPA 944,2009 Pada bidang empat T.ABC diketahui ABC segitiga sama sisi, rusuk TA tegak lurus bidang alas. Jika panjang rusuk alas 10 cm dan tinggi limas 15 cm, maka jarak titik A ke bidang TBC adalah .... A. 5cm Solusi: [C]

B. 5,5cm

AP  AB sin 60  10 



TP  152  5 3



2

C. 7, 5cm

D. 5 3 cm

E. 10 3 cm T

1 3 5 3 2

 225  75  300  10 3

15

TA AQ  AP AP TA 15 AQ   AP   5 3  7,5cm AP 10 3

sin TPA 

Q A

10 C

10

5 5.

P

5

B

SIMAK UI Matematika IPA, 2009 Pada kubus ABCD.EFGH , x adalah sudut antara bidang ACH dan bidang EGD. Nilai sin 2 x  .... A.

1 3

2 2 9

B.

C.

1 2 3

4 2 9

D.

E.

Solusi: [D] Misalnya panjang rusuk kubus adalah 4a. NH  DM 

 2a 2 

2

G

  4a   24a 2  2a 6 2

PM  NH  a 6 2

2

2a 6 a 6 2

1 sin x  1     3

H

E x

2



6a 2  6a 2  8a 2 12a 2

1  3

P C

8 2  2 9 3

sin 2 x  2sin x cos x  2 

F M

Titik P terletak pada pertengahan DM dan NH, sehingga

 a 6    a 6    2a 2  cos x 

2 6 3

2 1 4 2  2 3 3 9

2 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Dimensi Tiga, 2017

B N

D

2a

A

6.

SIMAK UI Matematika IPA 964, 2009 Diketahui prisma tegak ABC.DEF dengan luas bidang dasar 15 cm2. Luas segitiga DBC = 25 cm2, BC = 5 cm. Tinggi prisma tersebut adalah .... A. 8 cm B. 10 cm C. 12 cm D. 14 cm E. 16 cm Solusi: [A] 1

 ABC   2 BC  AP

F

1  5  AP 2 AP  6

15 

D

E

1

 BCD  2 BC  DP

25 cm2

1  5  DP 2 DP  10

C

25 

15 cm2 A

AD  DP2  AP2  102  62  64  8

P 5 cm B

Jadi, tinggi prisma tersebut adalah 8. 7.

SIMAK UI Matematika IPA 503, 2010 Diketahui kubus ABCD.EFGH , dengan panjang rusuk 4 cm. Jarak C ke bidang BDG adalah.... A.

1 3 3

2 3 3

B.

C.

D.

3

4 3 3

Solusi 1: [D]

5 3 3

E. H

CM  2 2

GM  CM 2  CG 2 

2 2 

2

 42  24  2 6

E

G

GC sin GMC   GM CM GC   CM GM 4 4 4  2 2   3 2 6 3 3

F P



A

D M C

Solusi 2: [D]

4

B

1  panjangdiagonalruang 3 1 4  4 3  3 ‘ 3 3

Jarak C ke bidang BDG = =

8.

SIMAK UI Matematika IPA 504, 2010 Pada kubus ABCD.EFGH , titik K terletak pada rusuk GH sehingga HK : GH  1: 2 . Titik M terletak pada rusuk EF sehingga EM : MF  1: 2 . Jika  adalah sudut yang terbentuk antara irisan bidang yang melalui titik A, C, K dan irisan bidang yang melalui A, C, M, maka nilai dari cos adalah.... A.

3 11

B.

4 11

C.

5 11

Solusi: [-] HK : GH  1: 2

3 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Dimensi Tiga, 2017

D.

7 11

E.

9 11

2HK  GH 2HK  HK  GK HK  GK

Q

Tanpa mengurangi keumuman, misalkan panjang rusuk kubus 8. HK  HL  6

HR  HK sin 45  6 

MF  FN  8

1 2 3 2 2

P

1 2 4 2 2 SR  12 2  4 2  3 2  5 2 FS  MF sin 45  8 

 DT  HR 2  RU 2

TR 

6



2 3 2

TB  SF 

TS 

2



2

H E

2

2

2

2



6

K



G N

F

8

M



D

2

6

S

152  2 38

U

2  9 2  2 38 162  152  50 11   19 57 72 19

9.

4

2

 6 2  4 2   12  8  144  9 2    2 38   5 2  cos   

L

 122  18  144  162  9 2

 SV

R



A

12

C

TV

B

SIMAK UI Matematika IPA 505, 2010 Pada kubus ABCD.EFGH , dengan panjang rusuk 6 cm. Titik P dan Q berturut-turut merupakan pusat bidang EFGH dan ABCD. Jarak antara garis QF dengan DP adalah .... A.

B. 2 3

3

C.

D.

3

4 3 3

E.

Solusi: [B]

H

1 BM  MN  NH  diagonalruang 3 BM  MN  NH 

5 3 3

G P

E

1 1 BH   6 3  2 3 3 3

F

N M

D

C

Q 6

A

B

10. SIMAK UI Matematika IPA 506, 2010 Pada kubus ABCD.EFGH , titik K terletak pada rusuk GH sedemikian sehingga HK : KG  1: 2 . Jika panjang rusuk kubus adalah a, maka luas irisan bidang yang melalui titik A, C dan K adalah .... A.

a2 9

22

B.

4a 2 9

22

C.

2a 2 9

Solusi: [C] AC  a 2

4 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Dimensi Tiga, 2017

22

D.

4a 2 3

22

E.

a2 3

22

a HK 2a a LK   3   2 sin 45 1 2 3 2 3 2 a 1 a HP  HK sin 45   2 2 3 2 6 a a a QR  2 2 2 2 6 3 2

1



2

L

a 3

H

K

G



P

E

2a 2 11a 2 a  a2   11 9 9 3

a  PQ   2   a2  3 

 ACKL   2  a

T

a 2a 2 a  4a a 2 11   2 11  3 9 3  3 6

F

22

D R 

A

C

Q B

a

11. SIMAK UI Matematika IPA 507, 2010 Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH = 5 cm. P dan Q masing-masing adalah titik tengah AB dan BC . Luas irisan bidang yang melalui P, Q dan H sama dengan .... A.

125 3

B.

125 9

C.

125 12

D.

Solusi: [-] Perhatikan MAP sama kaki, sehingga

175 12

H 

5 2 5 MP  QN  2 2 AM  AP 

175 24

G F R

5 15  2 2

S

15 DN  DM  2

D

2

5 5 5 PQ  PB 2  BQ 2        2 2 2 2 2

C T

A 2



P

M

2

15  15   15  MN  DM  DN        2 2  2  2 2

5 1 5  2 2 2 2 4 5 15 DT  5 2  2 2 4 4 BT  PB sin 45 

2

450 5  15  HT  DH 2  DT 2  52   2   25   34 4 16 4  

1

5

E

DM  AD  AM  5 

2

E.

1 15

 HMN   2 MN  HT  2  2

2

5 75 34   17 4 8 2

225  15  MH  DH 2  DM 2  52     25   2 4  

5 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Dimensi Tiga, 2017

325 5  13 4 2



Q

B

N

5 34 HT 34 sin HMT   4  MH 15 13 6 13 2

 SMP    NRQ   Luasirisanbidang    HMN    SMP    NRQ    HMN   2  SMP  

25 1 5 5 34 75 25 34 75 1 5 5 17  2   2 2  17  17  2   2 2 sin HMT  8 2 2 2 8 8 2 2 2 6 13 12 13



75 25 17  442 8 156

12. SIMAK UI Matematika IPA 508, 2010 Diberikan prisma tegak segitiga siku-siku ABC.DEF dengan alas ABC siku-siku di B. Panjang rusuk tegak prisma 2 2 satuan, panjang AB = panjang BC = 4 satuan. Maka jarak A ke EF adalah .... satuan. A. 4 B. 4 2 Solusi 1: [D] Jarak A ke EF adalah AE. AE 

C. 4 3

D. 2 6

E. 4 6

D



AB 2  BE 2  42  2 2



2

 24  2 6

F

E

Solusi 2: [D] Jarak A ke EF adalah AE. AC  AC 2  CF 2  42  42  4 2 AF 

AC 2  CF 2 

AE 

AF 2  EF 2 

 4 2    2 2   40  2  2 10   4  24  2 6 2

2

2

2 2

A

10

4

2

B. 2 2 cm

C

4

B

13. SIMAK UI Matematika IPA 509, 2010 Jika rusuk kubus = 6 cm, jarak antara C dan bidang DBG adalah .... A. 2cm

G

H

E

F

C. 2 3 cm D. 2 6 cm E. 4 2 cm

D

Solusi 1: [C]

A

CQ  3 2

1 GQ  BG sin 60  6 2  3 3 6 2 GC sin GQC   GQ CQ



G

E

F P D

Solusi 2: [C]

6 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Dimensi Tiga, 2017

B H

GC 6 6  CQ  3 2  2 3 GQ 3 6 3

1 1   panjangdiagonalruang   6 3  2 3 3 3

C

C Q

A

B

14. SIMAK UI Matematika IPA 511, 2011 Diberikan kubus ABCD.EFGH , dengan panjang rusuk 2 cm. Titik P terletak pada rusuk FG sehingga FP  2PG . Jika  bidang irisan kubus yang melalui titik B, D, dan P , maka luas bidang  adalah ... cm2. A.

8 22 9

B.

6 22 9

5 22 9

C.

D.

3 22 9

E.

1 22 9

Solusi: [A]

U

FP  2PG 2 PG  3

R

H

2 3



Q P

PG 2 PR    2 cos 45 1 2 3 2 2 1 1 GQ  PG sin 45   2 2 3 2 3 1 2 ST  CS  CT  2  2 2 3 3

E

F

2

D 

2

2  QS  ST 2  TQ 2   2   22  3  

8 4  9

1

 BDRP   luasbidang    2  BD  PR  QS



44 2  11 9 3

S A

G

T

C



B

2

1 2 18 8 2 2 2 2 2 11   2 11  22 2  3 3 2 3 3 9   

15. SIMAK UI Matematika IPA 512, 2011 Diberikan kubus ABCD.EFGH . Titik P terletak pada rusuk FG sehingga PG  2FP . Jika  bidang irisan kubus yang melalui titik B, D, dan P , maka bidang tersebut membagi volume kubus dalam perbandingan .... A. 18 : 36 B. 19 : 35 C. 19 : 38 D. 20 : 36 E. 20 : 45 Solusi: [B] U Misalnya panjang rusuk kubus adalah 6a. PG  2FP 2 PG   6a  4a 3

GQ  PG sin 45  4a 

1 2  2a 2 2

CS  3a 2 CS GQ  CU GU CS GQ  CG  GU GU

3a 2 2a 2  6a  GU GU 3GU  12a  2GU GU  12a Vol. BCD.PGR = vol. limas U.BCD – vol. U.PGR 1 1 1 1    6a  6a 18a    4a  4a 12a  108a3  32a3  76a3 3 2 3 2

Perbandingan volumenya 

76a 3

 6a 

3

 76a

3



H E

76 19  140 35

7 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Dimensi Tiga, 2017

R

Q P

F

6a

D 

C S

A

6a

G



B

16. SIMAK UI Matematika IPA 513, 2011 Diberikan prisma segitiga beraturan ABC.DEF dengan BE = 2AC. Titik P dan Q adalah titik pusat sisi ADEB dan CFEB. Titik R adalah titik pusat sisi ABC dan titik S adalah titik tengah rusuk CF. Jika  adalah sudut yang terbentuk antara garis PQ dan garis RS, maka nilai cos  .... A.

1 2

B.

1 3 2

C.

1 3

D.

1 3 4

E. 1

Solusi 1: [D] Jika AC = 6, maka BE = 12. RC 

2 3 3  2 3 3

E

Perhatikan CRT sama kaki 1 1 RC 2 3 CT  RT  2  2 2 1 cos 30 3 2

D

F Q

P

S

ST  CS 2  ST 2  22  62  40  2 10 RS  RC 2  CS 2 

2 3 

2



2

cos   

  2

RT 2  RS 2  ST 2 2  4 3  2 10  2 RT  RS 224 3

4  48  40 16 3



12 16 3



B

 62  48  4 3







T

R 6

2

A

C

1 3 4

17. SIMAK UI Matematika IPA 514, 2011 Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 2 cm. Titik P terletak pada rusuk FG sehingga PG  FP . Jika  adalah bidang irisan kubus yang melalui titik B, D, dan P , maka luas bidang  adalah .... cm2 A.

3 6 2

B. 2 6

C. 3 3

D.

5 2

E.

9 2

Solusi: [E]

U

PG  FP  1 PR 

PG 1   2 cos 45 1 2 2

1 1 2 2 2 2 1 1 ST  CS  CT  2  2 2 2 2

GQ  PG sin 45  1

H

2

1  QS  ST  TQ   2   22  2  2

2

2 18 3 4   2 4 4 2



R

Q

G P

E

F

2

1

 BDRP   luasbidang    2  BD  PR  QS 







D 



1 3 3 9 2 2 2 2  3 2 2 2 2 4 2

S A

8 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Dimensi Tiga, 2017

2

T 

B

C

18. SIMAK UI Matematika IPA 521, 2012 Diberikan bidang empat A.BCD dengan BC tegak lurus BD dan AB tegak lurus bidang BCD. Jika BC  BD  a 2 cm dan AB  a cm , maka sudut antara bidang ACD dan BCD sama dengan ....  3    A. B. C. D. E. 4

6

2

4

3

A

Solusi:[B] BP  BC sin 45  a 2 

1 2 a 2

a

PG 2  BP 3 3 18 BP   6 2  2 5 5

  ACD, BCD  

B

a 2

AB a tan   ACD, BCD    1 BP a

D



a 2

P

4

C

19. SIMAK UI Matematika IPA Kode 131, 2013 Diberikan kubus ABCD.EFGH . Titik P terletak pada segmen BG sehingga 3 PG  2  BP . Titik Q adalah titik potong HP dan bidang ABCD. Jika panjang sisi kubus 6 cm, luas segitiga APQ adalah ... cm2. A. 9 2 B. 12 2 C. 18 2 D. 27 2 E. 36 2 Solusi: [D] 3  PG  2  BP PG 2  BP 3

3 18 BP   6 2  2 5 5

H

G

Perhatikan bahwa QAH  QBP . AH BP  AQ BQ

E

F

18 2 6 2  5 6  BQ BQ

D

1 3  6  BQ 5BQ

A

5BQ  18  3BQ

P

C 6

B



Q

BQ  9 1

18

 APQ  2 15  5

2  27 2 cm2

20. SIMAK UI Matematika IPA Kode 132, 2013 Diberikan kubus ABCD.EFGH . Titik P terletak pada segmen BG sehingga 2  PG  BP . Titik Q adalah titik potong HP dan bidang ABCD. Jika panjang sisi kubus 6 cm, luas segitiga APQ adalah ... cm2. A. 3 2 B. 9 2 C. 18 2 D. 27 2 E. 36 2 9 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Dimensi Tiga, 2017

Solusi: [E] H

G

E

F

D

P

C 6

A



B

Q

2  PG  BP PG 1  BP 2 2 BP   6 2  4 2 3 Perhatikan bahwa QAH  QBP . AH BP  AQ BQ 6 2 4 2  6  BQ BQ

3 2  6  BQ BQ 3BQ  12  2BQ BQ  12 1

 APQ   2 18  4

2  36 2 cm 2

21. SIMAK UI Matematika IPA Kode 133, 2013 Diberikan kubus ABCD.EFGH . Titik P terletak pada segmen BG sehingga PG  2  BP . Titik Q adalah titik potong HP dan bidang ABCD. Jika panjang sisi kubus 6 cm, luas segitiga APQ adalah ... cm2. A. 18 2 B. 9 2 C. 3 2 D. 4 E. 2 Solusi: [B] PG  2  BP PG 2  BP 1 1 BP   6 2  2 2 3

G

H E

F

Perhatikan bahwa QAH  QBP . AH BP  AQ BQ 6 2 2 2  6  BQ BQ

3 1  6  BQ BQ

10 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Dimensi Tiga, 2017

P

D A

6

B

C 

Q

3BQ  6  BQ BQ  3 1

 APQ  2  9  2

2  9 2 cm 2

22. SIMAK UI Matematika IPA Kode 134, 2013 Diberikan suatu limas segiempat beraturan T .ABCD dengan sisi tegak berupa segitiga sama sisi. Titik Q terletak di sisi TA, di mana perbandingan TQ : QA  1: 2 , sedangkan titik R terletak di sisi TC, dengan perbandingan TR : RC  2 :1 . Jika titik S terletak di sisi TB, di mana RS sejajar CB, besar sudut TSQ adalah ....      A. B. C. D. E. 2

4

3

5

6

Solusi: [E] Misalnya panjang rusuk alas limas adalah 3. T

1 1 TQ  TA   3  1 3 3 2 2 TQ  TA   3  2 3 3 TS  TR  2

1  3

R

3

2

3

1   sin TSQ sin 3

sin TSQ 

TSQ 

2

Q

QS 2  12  22  2 1 2cos



1 3 1 3  2  2 3 3

sin

 3

D

S

A

1



C

B

 6

23. SIMAK UI Matematika IPA-1, 2014 Diberikan kubus ABCD.EFGH . Titik R terletak pada rusuk EH sedemikian sehingga ER  3RH dan titik S berada di tengah-tengah rusuk FG. Bidang  melalui titik R, S, dan A. Jika U adalah titik potong antara bidang  dan rusuk BF, dan  adalah sudut yang terbentuk antara garis RS dan AU, maka tan   .... A.

18 12

B.

Solusi: [E] 3

21 12

1H R



E

D

C.

24 12

2

D.

5 12

E.

G

2 S F



U



C

4 A B Tanpa mengurangi keumuman, misalnya panjang rusuk kubus = 4. AR  42  32  5

11 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Dimensi Tiga, 2017

P

26 12

Perhatikan bahwa PRE  PSF . ER FS  EP FP 3 2  4  FP FP 3FP  8  2FP FP  8

PR  PE 2  ER2  122  32  144  9  153  3 17 2

2

2

2

3 17    4 10  cos  

 52

170

PA  PE  AE  12  4  144  16  160  4 10 2

2

2  3 17  4 10

tan  



153  160  25 24 170



288 24 170

12

 12





170

170



2

 122  26

26 12

24. SIMAK UI Matematika IPA-2, 2014 Diberikan kubus PQRS.TUVW. Titik A terletak di tengah rusuk VW dan titik B terletak di rusuk RV sedemikian sehingga VB  2BR . Titik C terletak di perpanjangan rusuk UV sedemikian sehingga UV  2VC . Bidang  melalui A, B, dan C. Jika  adalah sudut terkecil yang terbentuk antara bidang  dan perpanjangan rusuk QU, maka tan 2  .... 4 4 24 3 24 A.  B.  C. D. E. 2 2 2 2 2 3 3 23 8 23 Solusi: [D] Tanpa mengurangi keumuman, misalnya panjang rusuk kubus adalah 12. VC  6

Perhatikan AVC siku-siku sama kaki, dengan AV  VC  6 AC  AV 2  VC 2  62  62  6 2

WEA siku-siku sama kaki dengan WE  EA sehingga WE  AW sin 45  6 

1 2 3 2 2

CE  AC  EA  6 2  3 2  9 2 EU  WU  WE  12 2  3 2  9 2

Karena VB  2BR , maka VB  8 dan BR  4 BC  CV 2  BV 2 62  82  10 2

AB  AV  BV

2

2

W 

6  8  10

6 FR  8 4 FR  3 QF  QR  FR  12  3  9

UC  UV  VC  12  6  18



E

12 S 

P



12

G

9

Q 12



2QD  12  QD

D 12 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Dimensi Tiga, 2017

12

U

T

UC QF  UD QD 18 9  12  QD QD

V6



2

CV FR  BV BR

A

8 B

4 R  3 F

C

QD  12

tan  

EU 9 2 3 2   UD 24 8 3 2 8

3 2 48 2 48 2 24  tan 2    4    2 2 2 18 64  18 46 23 1  tan  3 2  1 1    64  8  2 tan 

2

25. SIMAK UI Matematika IPA, 2015 Diberikan kubus ABCD.EFGH. Titik P terletak di rusuk CG sedemikian sehingga PG  2 . Titik Q dan R berturut-turut berada di tengah rusuk AB dan AD. Bidang  adalah bidang yang melalui titik P, Q, dan R. Jika  adalah sudut terbesar yang terbentuk antara bidang  dan bidang ABCD, maka nilai tan   ....

2 2 2 2 B. C.  9 9 9 Solusi: [D] Tanpa mengurangi keumuman, misalnya panjang rusuk kubus adalah 12. Karena PG  2 , maka PG  8 dan  4

D. 

A.

E. 1

G H

F E

8

AR  AQ  6

P

1 AU  AR sin 45  6  2 3 2 2

C

CU  AC  AU  12 2  3 2  9 2

PC 4 2 2 tan      CU 9 9 2

2 2 9

12

4





D

B



S  R

6

T





Q

U

A

26. SIMAK UI Matematika IPA Kode 1, 2016 Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a. Di dalam kubus tersebut terdapat sebuah limas segiempat beraturan P.ABCD dengan tinggi

1 a . Perbandingan volume kubus dengan 3

volume ruang yang dibatasi oleh bidang PBC, PAD, dan BCFG adalah .... A. 6 : 1 B. 9 : 4 C. 5 : 2 D. 6 : 3 E. 9 : 6 Solusi: [E] Volume ruang yang dibatasi oleh bidang PBC, PAD, dan BCFG barangkali maksudnya adalah volume ruang yang berada di luar limas P.ABCD dan limas P.EFGH. Perbandingan volume kubus dengan volume ruang yang dibatasi oleh bidang PBC, PAD, dan BCFG 







a3 1 1 1 2 a3   a  a  a   a  a  a 3 3 3 3

a3

G

H R E

2 a 3

1 2 a3  a3  a3 9 9 a3 9 1 2 3 a 9

9 6

13 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Dimensi Tiga, 2017

P

D

F

1 a 3

C

Q A

a

B

27. SIMAK UI Matematika IPA Kode 1, 2016 Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 24. Di dalam kubus tersebut terdapat sebuah limas segiempat beraturan P.ABCD dengan tinggi 5. Titik Q terletak pada rusuk EF sehingga QF = EQ. Jarak antara titik Q dan bidang PAB adalah …. A.

288 5

B.

288 7

288 9

C.

288 11

D.

288 13

E.

Solusi: [E]

 PTQ    STQU    PQU    PST 

G

H

1 1  12  24  12 19  12  5  144 2 2

Q 

E

PT  PS 2  ST 2  122  52  169  13

U P

1

 PTQ   2 PT  QR

F

24 R5

D

1 13  QR 2 288 QR  13

144 

C

S T

A

Jadi, jarak antara titik Q dan bidang PAB adalah

B

288 . 13

28. SIMAK UI Matematika IPA Kode 2, 2016 G

H

F

E

C

D A

B

Diberikan

kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a dan limas segiempat beraturan P.A ' B ' C ' D ' dengan P pada bidang EFGH, AA '  2 A ' E , BB '  2 B ' F , CC '  2C ' G , DD '  2D ' H . Volume ruang P.A ' B ' C ' D '.ABCD adalah .... A.

8 3 a 9

B.

7 3 a 9

C.

6 3 a 9

Solusi: [B] Volume ruang P.A ' B ' C ' D '.ABCD = Vol. balok ABCD.A ' B ' C ' D ' + vol. limas P.A ' B ' C ' D ' 2 1 1  aa a  aa a 3 3 3 

2 3 1 3 a  a 3 9



7 3 a 9

D.

5 3 a 9

E. G P 

H D

E

F B

A C

D A

14 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Dimensi Tiga, 2017

C

4 3 a 9

a

B

29. SIMAK UI Matematika IPA Kode 2, 2016 Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6. Di dalam kubus tersebut terdapat sebuah limas segiempat beraturan P.ABCD dengan tinggi 4. Titik Q terletak pada rusuk FG sehingga QG  2FQ . Jarak antara titik Q dan bidang PAB adalah …. A.

1 2

B.

1 3 2

C. 1

D. 3

E. 2

Solusi: [-] Jarak titik Q ke bidang PAB sama dengan jarak dari titik Q ke bidang PAB. Titik Q terletak pada pertengahan QV dengan QV sejajar EF.

 PTQ '   STQ 'U    PQ 'U    PST 

G E

1 3 1 3 1   3   6    2   3 4 2 2 2 2 2



H

27 3 12 12    6 2 2 2 2

U

 Q

E

4

C

1  PTQ '  2 PT  Q ' R 1 6  5Q' R 2 12 QR  5

R

S A

D

Jadi, jarak antara titik Q dan bidang PAB adalah

F



V P

6

PT  PS 2  ST 2  42  32  25  5

Q



3

T

B

3

12 . 5

30. SIMAK UI Matematika IPA, 2017 Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 5a. Sebuah titik P terletak pada rusuk CG sehingga : PG  2 : 3 . Bidang PBD membagi kubus menjadi dua bagian dengan perbandingan volume .... B. 1:14 B. 1:13 C. 1:12 D. 1:11 E. 1:10 Solusi: [A] 1 1   5a  5a  2 a 3 2 Perbandingan volumenya  1 1  5a 3    5a  5a  2a 3 2

25a3 25 3   3 375  25 25a 125a3  3 25 1   350 14

H E

G

F P

D A

C 5a

B

31. SIMAK UI Matematika IPA, 2017 Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8. Di dalam kubus tersebut terdapat sebuah limas segiempat beraturan P.ABCD dengan tinggi a. Jika titik Q terletak pada rusuk FG sehingga QG = FG dan jarak antara titik Q ke bidang PCD adalah 4. Maka nilai a adalah .... A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 E. 7 15 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Dimensi Tiga, 2017

Solusi: [A] Jarak Q ke bidang PCD sama dengan jarak Q ke garis ST. H

SR Q 'U  RP UP 4 4  a UP

2



T

E

8aF

U

Q

P

UP  a a 2  42   8  a 

G

Q

2

a  16  64  16a  a

16a  48 a 3

16 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Dimensi Tiga, 2017

a

D

2

S 4

R A

8

B

C