Solucionario Calvache z4r5u

1. A

M

B

P

H ) AM  MB T ) 2 PM  PA  PB

1) PM  PA  AM 2) PM  PB  MB 2 PM  PA  PB  AM  MB  2 PM  PA  PB  MB  MB 2 PM  PA  PB

(3) AM  MB

2. A

P

M

B

H ) 2 PM  PB  PA T ) AM  MB

1) PM  AM  PA 2) PM  PB  MB 2 PM  AM  PB  PA  MB ( H )2 PM  PB  PA  PB  PA  AM  PB  PA  MB PB  PB  PA  PA  AM   MB  AM   MB AM  MB 3. A

B

C

H ) AB  T)

7 BC 5

BC ? AC

(1) AC  AB  BC BC ? AC BC AB  BC BC 7 BC  BC 5 BC 7 BC  5 BC 5 BC 12 BC 5 5 12

( 2)

(1) en (2) ( H ) AB 

7 BC en (2) 5

4. A

B

C

D

H ) BC  T)

3 AB 4 4  AB  BC 3 (2) AC  AB  BC (1) BC 

AC ? BC (1)en(2) (3)

4 BC  BC 3 7 AC  BC 3 (2)en(3) AC 

7 BC 3 BC 7 3

3 AB 4

AC ? BC

5. Dados los puntos colineales A, B y C. Si las longitudes AB y BC son proporcionales a los números 9 y 5 respectivamente, y AC=504u. Calcular AB. C

B

A

AB 9  BC 5 AC  504u T ) AB  ? H)

AB 9  BC 5 5  BC  AB 9 (2) AC  AB  AC (3) AC  504u (1)en(2) 5 AC  AB  AB 9 14 AC  AB 9 (2)en(3) 14 AB  504u 9 AB  324u (1)

6. Dados los puntos colineales A, B, C y D. Si BD-AB=2BC. Demostrar que AC=CD A

B

C

D

H ) BD  AB  2 BC T ) AC  CD

(1) AC  AB  BC (2) CD  BD  CD (3) BD  AB  2 BC BD  AB  BC  BC BD  BC  AB  BC (1) y (2) en (3) CD  AC 7. A

B

C

D

H ) AB  BD  AC T ) CD  2 AB

(1) AB  BD  AC (2) AB  AD  BD (3) AB  AC  BC (4) CD  AD  AB  BC (1) en (4) CD  AD  ( BD  AC)  BC CD  AD  BD  AC  BC (1) y (2) en (4) CD  AB  AB CD  2 AB 8. A

B

C

M

D

H ) AM  AB  AC AB  BC AM  MD T ) CD  2 AC

(1) AM  AB  AC (2) AB  BC (3) AM  MD (4) AM  AC  CM (5) AC  AB  BC (6) CD  CM  MD (3) en (6) CD  CM  AM (1) en (6) CD  CM  AB  AC CD  AB  AC  CM (4) en (6) CD  AB  AM (1) en (5) CD  AB  AB  AC (2) en (6) CD  AB  BC  AC (5) en (6) CD  AC  AC CD  2 AC

9. A

B

C

D

E

F

H ) CD  2 AB 3 BF  CE 2 T ) DE  2 EF

DE  CE  CD 2 BF  CD 3 2 BF  3CD DE  3 3DE  BF  BF  CD  CD  CD DE 

3DE  BC  DE  EF  BC  DE  EF  CD 3DE  BC  DE  EF  BC  DE  EF  2 AB 3DE  2 DE  2 EF  2 BC  2 AB 3DE  2 DE  2 EF  2 AB  2 AB DE  2 EF 10. Dados los puntos colineales A, R, C, P, y D tales que; AP=PD, AR=PC, Y RC=20. Calcular AD.

H ) AP  PD AR  PC RC  20 T ) AD  ? RC  RP  PC

RC  RP  AR RC  AP AD  AP  PD AD  RC  RC AD  20  20 AD  40 11. A

B

C

D

H ) AC  BD  14 AD  11 T ) BC  ?

(1) AC  BD  14  BD  14  AC (2) AD  11 (3) AD  AC  CD (4) BC  BD  CD (1) en (4) BC  14  AC  CD BC  14  ( AC  CD ) (3) en (4) BC  14  AD (2) en ( 4) BC  14  11 BC  3 12. Si en el gráfico: CD=2AB. Demostrar que: AC  B

A

C

BD  BC 2 D

(1) CD  2 AB (2) BD  AD  AB (3) AC  AD  CD (4) AC  AB  BC 2 AC  AD  AB  CD  BC (1) en (4) 2 AC  AD  AB  2 AB  BC 2 AC  AD  AB  AB  AB  BC (2) en (4) 2 AC  BD  BC AC 

BD  BC 2

13. Dados los puntos colineales A, B, C, y D. Si AD=24u. CD=8u, y

H ) AD  24u CD  8u AB 3 BC T ) BC  ?

AB  3 . Calcular BC. BC

BC  AD  AB  CD BC  AD  3BC  CD BC  24  3BC  8 4 BC  16 16 BC  4 BC  4 14. Dados los puntos colineales consecutivos Q, A, B y P tales que: QA=20m, BP=40m, y QB y AP están en la razón 4/5. Calcular AB.

H ) QA  20 BP  40 QB 4  AP 5 T ) AB  ? QA  AB 4  AB  BP 5 5(QA  AB)  4( AB  BP) 5(20  AB)  4( AB  40) 100  5 AB  4 AB  160 AB  60 15. A

B

C

D

BC CD DE   2 3 4 DE  BC  2. T ) CD  ? H ) AB 

E

CD DE  3 4 4  DE  CD 3 BC CD ( 2)  2 3 2  BC  CD 3 (3) DE  BC  2 (1)

(1) y (2) en (3) 4 2 CD  CD  2 3 3 4CD  2CD  6 2CD  6 6 CD  2 CD  3 16. Dados los puntos colineales A, B, C, D, E y F. Si AB=BD, BC=CE, DE=EF y BD-EF=6u. Calcular CD. 17. Dados los puntos colineales A, B, C, D y E. Si BC=3AB, 18. Dados los puntos colineales A, B, C, D y E. Si

CD 1 AC 4 DE  y  . Encontrar BC 3 CE 9 BC

BD 2  , DE  AB  6, AE  40 y BD  10 . Calcular CE 5

CD. 19.

H) Q

A

P

B

AP AQ  PB QB PB  3420u BQ  16074u

T ) AP  ? 20.

H) Q

A

P

B

AP AQ  PB QB AB  792u PQ  247u

T ) AQ  ? 21.

H) A

P

B

Q

AP AQ  PB QB PB  BQ  28u BQ  PB  7u

T ) AB  ? (1) PB  BQ  28u (2) BQ  PB  7u  PB  BQ  7 (2) en (1) ( BQ  7)  BQ  28u BQ 2  7 BQ  28 BQ 

 b  b 2  4ac 2a

 (7)  (7) 2  4(1)(28) 2(1) BQ  9,84u BQ 

PB  BQ  7  PB  9,84  7  PB  2,84 AP AQ  PB QB AB  BP AB  BQ  PB BQ AB  2,84 AB  9,84   2,84 9,84 9,84( AB  2,84)  2,84( AB  9,84) 9,84 AB  27,95  2,84 AB  27,95 7 AB  55,9 AB  8u 22. A

23.

P

B

Q

AP AQ  PB QB 2 AQ  PB T ) AB  PQ H)

A

P

Q

B

AP AQ  PB QB 2 AP  AQ T ) AB  2 AP  PQ H)

24.

A

P

Q

B

H ) AP  BQ  PB  AQ AP  PQ  20 u AP  PQ  20

T ) PB  ?

PB  PQ  PB PB  20  PB AQ  AP  PQ AQ  AP  AP AQ  20  20 AQ  40 AP  BQ  PB  AQ 20(20  PB)  40PB 400  20PB  40PB 60PB  400 400 60 PB  6,66u PB 

25.

A

P

Q

B

H ) AP  BQ  PB  AQ AP  BQ  8u

T ) PB  ?

26.

Q

A

P

B

H ) AP  BQ  PB  AQ

T ) PB 

2 AB 3

AQ  AB

AB BC  . Demostrar que AD BD

27. En una recta se toman los puntos A, B, C y D de manera que:

BC 

AB  BD AB  BD

Q

A

H ) AP  BQ  PB  AQ A

B

A

B

A

B

P

B

T ) AB 

2 PB  QB BQ  PB

C

C

C

D

D

1 1 1   AB AC AD T ) AB 2  BC  BD

D

3 AC 7 4CD  3 AD T ) BD  7

H)

H ) BC 

E

AB DE  AD EB T ) AD  EB H)

P

Q

R

S

PQ SR  PR SQ T ) PR  QS H)

A

B

C

D

H ) AB  BC DE  EF AD  10u CF  8u A

E

F

T ) BE  ?

P

H ) AB  BC  CD

B

C

T ) PB 

PD  2 AP 3

D

A

B

C

D

H ) BC  CD

BD 2 T ) AC  AB  AD  4 37. En una recta se ubican los puntos colineales A, B, C, D, E, y F . Si: AB  BC, CE  EF, y AD  DF , Demostrar que CD  EF  BC. 2

A

H)

C

B

AC BE  CE AD

D

E

T ) AC 2  CE 2  BC  DE  AB  CD

A

C

B

H ) AB  BD CE  EF

E

D

F

T ) BE  ?

AC  10u DF  14u A

B

M

C

H ) BM  MC T ) AB2  AC 2  2( AM 2  BM 2 )

A

B

C

D

H ) BC  DC AB  a AC  m AD  b (b  a) 2 T) m  ab  4

A

B

H 1 ) AB  CD  2 AD  BC T1 ) A

H)

H2 

2 1 3   AB AD AC B

1 1 1   AB BD BC

C

1 7 8   AD AB AC

T2  AB  CD  7 BC  AD C

D

T ) AB  BD  BC  AD

D

A

B

C

D

3 BD 7 7 AC  3 AD T ) AB  4 H ) BC 

45. En una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D, E, y F , de modo que: BE  sabiendo que AC  BD  CE  DF  39u.

5 AF. Calcular 8