Sulle Funzioni Derivate E Le Condizioni Di Esistenza Di Primitive 1nf24

Titolo: Sulle funzioni derivate e le condizioni di esistenza di primitive Summary: Nei corsi elementari di Calcolo può nascere una certa confusione circa la definizione di integrale, perché molti studenti spesso credono che: L’integrale definito

∫ f ( x ) dx b

è definito come la differenza

a

F ( b ) − F ( a ) , dove F è una primitiva di f . Questa idea può esse

fuorviante. Un motivo è che una funzione integrabile f può non essere la derivata di un'altra funzione, cioè può non ammettere primitiva. Questo articolo presenta una discussione su alcune condizioni che deve soddisfare una funzione reale e differenziabile affinchè possa essere una funzione derivata o, in altre parole, avere primitiva. Summary: In elementary courses of calculus, students use to believe that: the

definite integral

∫ f ( x ) dx b

a

is defined by the difference F ( b ) − F ( a ) ,

where F is a primitive of f . However, this idea is misleading. One reason is that an integrable function f might not be the derivative of another function, that is, its primitive might be nonexistent. This paper presents a discussion about some conditions that a real function must satisfy in order to be a derivative function or, in other words, to have primitive.

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Titolo: Sulle funzioni derivate e le condizioni di esistenza di primitive Autore: Juan Carlos Ponce-Campuzano Email: [email protected] Instituzione: Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del IPN. Dipartamento: Matemática Educativa. Indirizzo: Av. Instituto Politécnico Nacional 2508, Col. San Pedro Zacatenco, 07360, México D. F. Mexico.

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Sulle funzioni derivate e le condizioni di esistenza di primitive 1. Introduzione Uno dei resultati più importanti del Calcolo Integrale e Differenziale è il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale (TFCI). In generale questo teorema combina due processi: l'integrazione delle funzioni derivate e la differenziazione degli integrali di funzioni. Classicamente il risultato può essere così enunciato: Teorema (Fondamentale del Calcolo Integrale). Se f è una funzione continua in un intervallo [ a, b ] , allora la funzione x

G ( x ) = ∫ f ( t ) dt a

è derivabile in [ a, b ] e G ' ( x ) = f ( x ) per ogni x ∈ [ a, b ] . Da ciò segue immediatamente la nota formula di calcolo per gli integrali definiti: b

∫ f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a )

(1)

a

dove F è una qualunque primitiva di f in [ a, b ] . Per utilizzare la formula (1), in pratica, è sufficiente trovare una funzione F derivabile tale che F ' ( x ) = f ( x ) per ogni x. La continuità di f permette di applicare il Teorema nella forma enunciata sopra. Purtroppo nei corsi elementari di Calcolo può nascere una certa

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confusione circa la definizione di integrale, perché molti studenti spesso credono che: b

L’integrale definito

∫ f ( x ) dx a

è definito come la differenza

F (b) − F ( a ).

Questo approccio è chiaramente fuori di luogo nel caso generale dell’integrazione di una funzione secondo Riemann: una funzione integrabile f può non essere la derivata di un'altra funzione, cioè la sua primitiva può non esistere. Ad esempio, se f è definita dalla formula ⎧0 se x ≠ 0 ⎪ f ( x) = ⎨ ⎪1 se x = 0 ⎩ allora f è integrabile, ma non può essere la derivata di alcune funzione, cioè f non ha primitiva (nella sezione seguente vedremo il perché). In questo caso non ha senso cercare di trovare o calcolare una primitiva di f per applicare la formula (1). Questo articolo presenta una discussione su alcune condizioni che deve soddisfare una funzione reale affinchè possa essere una funzione derivata o, in altre parole, per avere primitiva. 2. Le discontinuità delle funzioni derivative Sia f integrabile nell’intervallo [a, b]. La domanda che ci poniamo è: come facciamo a sapere se f è una funzione derivata?

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In generale, è estremamente difficile stabilire quando una determinata funzione f è la derivata di qualche altra funzione [3]. Tuttavia è possibile verificare se f possiede certe proprietà necessarie e/o sufficiente perché f ammetta primitiva. Ad esempio, sappiamo che: Proposizione 1. Se f è continua nell’intervallo [a, b], allora f è una funzione derivata. È utile indagare sull’implicazione inversa della Proposizione 1. Al riguardo osserviamo che

le funzione derivate non sono necessariamente continue. Esistono cioè funzioni non continue f che sono la derivata di un'altra funzione. Un esempio classico è il seguente: Esempio 1. Sia f : [ −1,1] → R definita come ⎧ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎪2 x sen ⎜ x ⎟ − cos ⎜ x ⎟ se x ≠ 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎪ f ( x) = ⎨ ⎪0 se x = 0 ⎪ ⎪⎩ f risulta discontinua in x=0 ed è una funzione derivata: cioè esiste

una funzione F tale che F ' ( x ) = f ( x ) per ogni x nell’intervalo [ −1,1] . Infatti la funzione F : [ −1,1] → R definita come

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⎧ 2 ⎛1⎞ ⎪ x sen ⎜ x ⎟ se x ≠ 0 ⎝ ⎠ ⎪⎪ F ( x) = ⎨ ⎪0 se x = 0 ⎪ ⎪⎩ soddisfa la condizione.

La funzione nell’esempio precedente ha la proprietà dei valori intermedi, chiamata anche Proprietà di Darboux in onore del matematico se Jean Gaston Darboux (1842-1917). Nel 1875 Darboux ha dimostrato che le funzioni derivate, sia continue che non, hanno anche la proprietà dei valori intermedi. Teorema (Proprietà di Darboux). Sia f una funzione derivabile nell’intervalo aperto J e siano a e b due punti qualsiasi di J, con a < b. Se ξ è un numero reale tra i valori f ' ( a ) e f ' ( b ) , allora esiste c nell’intervallo aperto ( a, b ) tale che f ' ( c ) = ξ [2, p. 118]. Questo teorema è uno strumento utile per discutere il tipo di discontinuità che possono avere le funzioni derivate. Tuttavia sembra che non venga considerato nei libri scolastici, e neanche in aula a livello universitario. In particolare è utile per determinare se una funzione f ha primitiva (o è una funzione derivata). Illustriamo quest’ultimo caso con un esempio:

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Esempio 2. Sia f : R → R la funzione definita come ⎧ −1 se x < 0 ⎪ f ( x) = ⎨ ⎪1 se x ≥ 0 ⎩ In questo caso non esiste una funzione F tale che F ' = f , in quanto f non ha la Proprietà di Darboux. Ad esempio, f non assume il valore ½. Per cui f non ha primitiva. Osservazione 1. Il lettore potrebbe fare un’obiezione all’esempio precedente, perché un possibile candidato a essere una primitiva di f è la funzione valore assoluto F ( x ) = x . Però questa funzione non soddisfa i requisiti neccessari poiché la derivata di F è ⎧−1 se x < 0 ⎪ F '( x) = ⎨ ⎪1 se x > 0 ⎩ definita in R, tranne x=0, e chiaramente F ' ≠ f . Fare una riflessione sui domini delle funzioni è molto importante: potrebbe sembrare un dettaglio sottile, e quindi trascurabile, ma fa davvero la differenza.

Notiamo che, nell’esempio 2, f ha una discontinuità di salto in x=0. Questo fenomeno si verifica in generale, cioè funzioni con discontinuità di salto non possono essere funzioni derivate. Proposizione 2. Sia f : [ a, b ] → R una funzione differenziable in

[ a, b ] . Sia

x0 ∈ ( a, b ) . Se f ' è discontinua in x0 , allora x0 non è una

discontinuità di salto.

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Dimostrazione. Supponiamo che x0 sia una discontinuità di salto. Allora i limiti lim− f ' ( x ) = L1 e lim+ f ' ( x ) = L2 x → x0

x → x0

esistono e si ha L1 ≠ L2 . Senza perdita di generalità, si supponga che L1 < L2 . Poniamo L −L ε= 2 1 3 Notiamo che L1 + ε < L2 − ε . Allora esiste un δ1 > 0 tale che per x ∈ [ a, b ] con x0 − δ1 < x < x0 , abbiamo

f ' ( x ) − L1 < ε ed esiste un δ 2 > 0 tale che per x ∈ [ a, b ] e x0 < x < x0 + δ 2 , abbiamo f ' ( x ) − L2 < ε . Scegliamo α , β ∈ [ a, b ] tali che x0 − δ1 < α < x0 < β < x0 + δ 2 . Allora

f ' (α ) < L1 + ε < ξ < L2 − ε < f ' ( β )

e nessun valore dell’intervallo [ L1 + ε , L2 − ε ] (con l’esclusione al più di f ' ( x0 ) ) può essere assunto dalla funzione nell’intervallo (α , β ) : ciò è contro la Proprietà di Darboux. Pertanto, x0 no è una discontinuità di salto.

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Esempio 2. Sia f : R → R la funzione definita come ⎧0 se x ≠ 0 ⎪ f ( x) = ⎨ ⎪1 se x = 0 ⎩

Di nuovo, non esiste una funzione F : R → R tale che F ' = f , perché f non ha la Proprietà di Darboux. In altre parole, f non ha primitiva. In questo caso f ha una discontinuità eliminabile. Proposizione 3. Sia f : [ a, b ] → R una funzione differenziabile in

[ a, b ] . Sia

x0 ∈ ( a, b ) . Se f ' è discontinua in x0 , allora x0 non è una

discontinuità eliminabile. Dimostrazione. Per dimostrare questa affermazione, supponiamo che x0 sia una discontinuità eliminabile. Allora esiste un numero reale L tale che lim f ' ( x ) = L ≠ f ' ( x0 ) x → x0

Senza perdita di generalità, si supponga L < f ' ( x0 ) . Se definiamo f ' ( x0 ) − L 2 allora abbiamo che esite un δ > 0 tale che f ' ( x ) − L < ε per x ∈ [ a, b ] tale che x0 < x < x0 + δ

ε=

Notiamo che L + ε < f ' ( x0 ) . Sia ξ ∈ ( L + ε , f ' ( x0 ) ) e scegliamo un t ∈ ( x0 , x0 + δ ) . Allora

f

è differenziabile en

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[ x0 , t ]

e poichè

f ' ( t ) < L + ε si ha f ' ( t ) < ξ < f ' ( x0 ) . Ciò è contro la Proprietà di

Darboux perché per ogni x ∈ ( x0 , t ) ⊆ ( x0 , x0 + δ ) risulta

f ' ( x ) < L + ε < ξ . Pertanto, x0 non è una discontinuità

eliminabile. Adesso vediamo altri esempi però considerando altro tipo di discontinuità. Esempio 3. Sia f : [ −1,1] → R definita come ⎧ex ⎪ f ( x) = ⎨ x 2 ⎪ ⎩0 1

se x ≠ 0 se x = 0

La funzione f non soddisfa la propiertà di Darboux, il cui significa che non esiste una funzione F : R → R tal que F ' = f . Osserviamo che f è discontinua in x0 = 0 . In effetto, lim f ' ( x ) = 0 e lim+ f ' ( x ) = +∞

x → 0−

x →0

Esempio 4. Sia f : [ −1,1] → R definita come ⎧1 se x ∈ [ −1, 0 ) ∪ ( 0,1] ⎪⎪ x f ( x) = ⎨ ⎪0 se x = 0 ⎪⎩

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Nello stesso modo, f non soddisfa la Proprietà di Darboux ed è anch’essa discontinua in x0 = 0 . In questo caso abbiamo lim f ' ( x ) = −∞ e lim+ f ' ( x ) = +∞

x → 0−

x →0

Proposizione 4. Sia f : [ a, b ] → R una funzione differenziabile in

[ a, b ] . Sia

x0 ∈ ( a, b ) . Se f ' è discontinua in x0 , allora si compie che

i limiti lim− f ' ( x ) x → x0

e/o lim+ f ' ( x ) non esistono e inoltre non sono x → x0

infiniti. Dimostrazione. Siccome f ' è discontinua in x0 , allora x0 non è una discontinuità di salto o removibile (Proposizione 2 e 3), quindi lim f ' ( x ) ≠ L per ogni L ∈ R . Perciò almeno uno dei limiti x → x0

lim f ' ( x ) e/o lim+ f ' ( x ) non esiste. Resta solo per verificare che i

x → x0−

x → x0

limiti lim− f ' ( x ) e lim+ f ' ( x ) non sono infiniti. x → x0

x → x0

Consideremo il primo caso lim+ f ' ( x ) ≠ +∞ . Supponiamo per assurdo x → x0

che lim+ f ' ( x ) = +∞ . Sia M un numero reale tale che M > f ' ( x0 ) . x → x0

Allora esiste un δ > 0 tale che per ogni x ∈ [ a, b ] per i cui vale x0 < x < x0 + δ , abbiamo

f ' ( x ) > M . Scegliamo

t ∈ ( x0 , x0 + δ ) .

Allora f è differenziabile in [ x0 , t ] e f ' ( x0 ) < f ' ( t ) . A questo punto possiamo usare la proprietà di Darboux. Sia ξ un numero reale tale che f ' ( x0 ) < ξ < M < f ' ( t ) . Allora per ogni c ∈ ( x0 , t ) , abbiamo che

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ξ < M < f ' ( x ) , in contradizione con quanto appena detto. Dunque, lim f ' ( x ) ≠ +∞ . Gli altri casi si possono dimostrare in modo analogo.

x → x0−

Riassumendo, se f : [ a, b ] → R è differenziabile in [ a, b ] e se f ' è discontinua in x0 , con x0 ∈ ( a, b ) , allora 1. x0 non è una discontinuità di salto, 2. x0 non è una discontinuità eliminabile,

3. i limiti lim− f ' ( x ) e/o lim+ f ' ( x ) non esistono e inoltre non x → x0

x → x0

sono infiniti. In tal modo è immediato constatare l’assenza di primitive per funzioni quali, ad esempio: Esempio 5. Sia f : [ −3,3] → R definita come ⎧ x2 ⎪⎪ f ( x ) = ⎨0 ⎪ 2 ⎪⎩2 − ( x − 3)

se x ∈ [ −3,1) se x = 1 se x ∈ (1,3]

Esempio 6. Sia f : [ −1,1] → R definita come ⎧ x2 ⎪ f ( x) = ⎨ ⎪1 ⎩

se x ∈ [ −1, 0 ) ∪ ( 0,1] se x = 0

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Esempio 7. Sia f : [ −1,1] → R definita come ⎧1 ⎪ cos x se x ∈ [ −1, 0 ) ∪ ( 0,1] f ( x) = ⎨ x ⎪⎩ 0 se x = 0

In questo modo, se abbiamo una funzione derivata f ' , discontinua in x0 , per x0 ∈ ( a, b ) , la Proprietà di Darboux ci dice che questa discontinuità deve essere, per così dire, ‘molto complessa’. Ora vediamo un ultimo esempio: Esempio 8. Sia f : [ −1,1] → R definita come 1 ⎧ se x ∈ [ −1, 0 ) ∪ ( 0,1] ⎪sen f ( x) = ⎨ x ⎪⎩ 0 si x = 0 In questo caso notiamo che i limiti lim− f ' ( x ) e lim+ f ' ( x ) non x → x0

x → x0

esistono (vedi [2, p. 255]), quindi f ha una discontinuità in x0 = 0 .

Osserviamo pure che lim− f ' ( x ) e lim+ f ' ( x ) non sono infiniti. x → x0

x → x0

Inoltre siccome la funzione f è limitata, allora la funzione x

1 F ( x ) = ∫ sen dt t 0

con x ∈ [ −1,1] , è ben definita. Siccome f è continua in x ≠ 0 , per il TFCI, abbiamo che F ' ( x ) = f ( x ) , per x ≠ 0 . Infatti si può dimostrare

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che F ' ( 0 ) = f ( 0 ) (vedi ad esempio [2, p. 256]). Dunque F è una primitiva di f . Una discussione più approfondita sulle funzioni derivate, e su come complesso posse essere il comportamento delle sue discontinuità, si può trovare in [1]. Qui ci limitiamo a concludere con un’ossevazione riguardo alla validità della formula (1). Si può dimostrare (vedi ad esempio [2] Cap. 3, oppure [4] Cap. 5) che, data una funzione F : [ a, b ] → R , la seguente propriertà: esiste una funzione f integrabile (secondo Lebesgue) su [ a, b ] tale che x

∫ f ( t ) dt = F ( x ) − F ( a )

(2)

a

per ogni x ∈ [ a, b ] è equivalente alla richiesta che F sia assolutamente continua, cioè che F soddisfi la seguente condizione: per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che, comunque preso un numero finito di intervalli ( a1 , b1 ) , ( a2 , b2 ) ,… , ( aN , bN ) contenuti in [ a, b ] e a due disgiunti, risulta N

∑ ( bi − ai ) < δ i =1

⇒

N

∑ F (b ) − F ( a ) < ε . i =1

i

i

Si può inoltre dimostrare che se F è assolutamente continua allora è derivabile quasi ovunque (rispeto alla misura di Lebesgue) e la sua

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derivata prima coincide (quasi ovunque) con la funzione f di cui alla formula (2). A questo punto è naturale chiedersi se la validità della formula (2) sia garantita dalla sola esistenza della derivata prima di F ; o, altrimenti detto, se l’esistenza di una primitiva per una funzione f garantisca la validità della formula integrale (2). Notiamo che la questione debba essere precisata, poiché per poter considerare la formula (2) si deve poter considerare, oltre all’esistenza della derivata F ' = f , il suo integrale. Si può comunque dimostrare (vedi, ad esempio, [4] Cap. 8) che Se F è differenziabile in ogni punto di [ a, b ] e la derivata prima F ' = f è integrabile in [ a, b ] (secondo Lebesgue) allora vale la formula (2). Si noti la richiesta di differenziabilità ovunque e di integrabilità della derivata prima.

Bibliografia

[1]

[2] [3]

A. M. Bruckner, Differentiation of Real Functions, Lecture Notes in Mathematics Berlin: Springer-Verlag, p. 46-48, (1978). G. B. Folland, Real analysis, Wiley, (1984). S. R. Ghorpade, e B. V. Limaye, A Course in Calculus and Real Analysis. Springer Science+Business Media. New York, (2006).

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[4] [5]

W. Rudin, Analisi reale e complessa, Boringhieri, (1974). M. Spivak, Calculus, Publish or Perish, Inc., Houston, (1994).

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