Tablas De Transformadas ov1b

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER ESCUELA DE INGENIERÍAS ELÉCTRICA, ELECTRÓNICA Y DE TELECOMUNICACIONES

PROPIEDADES DE LA SERIE DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS Propiedad

Coeficientes de la serie de Fourier

Señal Periódica

Periódicas con periodo 𝑇 y 𝑥(𝑡) 2𝜋 𝑎𝑘 } 𝑦(𝑡) frecuencia fundamental 𝜔0 = 𝑇 𝑏𝑘 Linealidad Desplazamiento de tiempo Desplazamiento en frecuencia Conjugación

𝐴𝑥 (𝑡) + 𝐵𝑦(𝑡)

𝐴𝑎𝑘 + 𝐵𝑏𝑘

𝑥(𝑡 − 𝑡𝑜 )

𝑎𝑘 𝑒 −𝑗𝑘𝜔𝑜 𝑡0 = 𝑎𝑘 𝑒 −𝑗𝑘(2𝜋/𝑇)𝑡0 2𝜋

𝑒 𝑗𝑀𝜔𝑜 𝑡 𝑥(𝑡) = 𝑒 𝑗𝑀( 𝑇 )𝑡 𝑥(𝑡)

𝑎𝑘−𝑀

𝑥 ∗ (𝑡)

∗ 𝑎−𝑘

Inversión de tiempo

𝑥(−𝑡)

𝑎−𝑘

Escalamiento en tiempo

𝑥 (𝑎𝑡), 𝑎 > 0 (periódica con periodo 𝑇/𝑎)

𝑎𝑘

Convolución periódica

∫ 𝑥 (𝜏)𝑦(𝑡 − 𝜏)𝑑𝑡

𝑇𝑎𝑘 𝑏𝑘

𝑇

Multiplicación

+∞

𝑥 (𝑡)𝑦(𝑡)

∑ 𝑎𝑙 𝑏𝑘−𝑙 𝑙=−∞

Diferenciación

𝑑𝑥(𝑡) 𝑑𝑡

Integración

∫ 𝑥 (𝜏)𝑑𝜏

𝑗𝑘𝜔𝑜 𝑎𝑘 = 𝑗𝑘

𝑡 −∞

(de valor finito y periódica solo si 𝑎𝑜 = 0)

(

2𝜋 𝑎 𝑇 𝑘

1 1 ) 𝑎𝑘 = ( )𝑎 𝑗𝑘𝑤𝑜 𝑗𝑘(2𝜋/𝑇) 𝑘

Simetría conjugada para señales reales

𝑥 (𝑡) real

∗ 𝑎𝑘 = 𝑎−𝑘 ℛℯ {𝑎𝑘 } = ℛℯ {𝑎−𝑘 } ℐ𝓂{𝑎𝑘 } = −ℐ𝓂{𝑎−𝑘 } |𝑎𝑘 | = |𝑎−𝑘 | ∢𝑎𝑘 = −∢𝑎−𝑘

Señal real y par

𝑥 (𝑡) real y par

𝑎𝑘 par y real

Señal real e impar

𝑥 (𝑡) real e impar 𝑥𝑒 (𝑡) = ℰ𝓋 {𝑥(𝑡)} [𝑥(𝑡) real]

𝑎𝑘 impar e imaginaria pura ℛℯ {𝑎𝑘 }

𝑥𝑜 (𝑡) = 𝒪𝒹{𝑥(𝑡)} [𝑥(𝑡) real]

𝑗ℐ𝓂{𝑎𝑘 }

Descomposición par e impar de señales reales

Relación de Parseval para señales periódicas +∞

1 ∫ |𝑥(𝑡)|2 𝑑𝑡 = ∑ |𝑎𝑘 |2 𝑇 𝑇 𝑘=−∞

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PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS Propiedad

Linealidad Desplazamiento de tiempo Desplazamiento de frecuencia Escalamiento de tiempo y de frecuencia Conjugación

Señal 𝑥 (𝑡 ) 𝑦 (𝑡 ) 𝑎𝑥 (𝑡) + 𝑏𝑦(𝑡)

Transformada 𝑋(𝑗𝜔) 𝑌(𝑗𝜔) 𝑎𝑋 (𝑗𝜔) + 𝑏𝑌 (𝑗𝜔)

𝑥 (𝑡 − 𝑡0 )

𝑒

𝑒 𝑗𝜔0 𝑡 𝑥(𝑡)

𝑋(𝑗(𝜔 − 𝜔0 ))

𝑥(𝑎𝑡)

−𝑗𝜔𝑡0

𝑋(𝑗𝜔)

1 𝑗𝜔 𝑋( ) |𝑎| 𝑎 ∗( 𝑋 −𝑗𝜔)

Inversión de tiempo Convolución

𝑥 ∗ (𝑡) 𝑥(−𝑡) 𝑥 (𝑡) ∗ 𝑦(𝑡)

Multiplicación

𝑥 (𝑡 )𝑦 (𝑡 )

Diferenciación en tiempo

𝑑 𝑥(𝑡) 𝑑𝑡

𝑗𝜔𝑋(𝑗𝜔)

Diferenciación en frecuencia

𝑡𝑥(𝑡)

𝑗

𝑡

Integración

∫ 𝑥 (𝜏)𝑑𝜏 −∞

Simetría conjugada para señales reales Señal real y par Señal real e impar Descomposición par e impar de señales reales

𝑋(−𝑗𝜔) 𝑋(𝑗𝜔)𝑌(𝑗𝜔) 1 𝑋(𝑗𝜔) ∗ 𝑌(𝑗𝜔) 2𝜋

𝑑 𝑋(𝑗𝜔) 𝑑𝜔 1 𝑋 (𝑗𝜔) + 𝜋𝑋(0)𝛿(𝜔) 𝑗𝜔

𝑥(𝑡) real y par 𝑥(𝑡) real e impar 𝑥𝑒 (𝑡) = ℰ𝓋 {𝑥(𝑡)} [𝑥(𝑡) real]

𝑋(𝑗𝜔) = 𝑋 ∗ (−𝑗𝜔) ℛℯ {𝑋 (𝑗𝜔)} = ℛℯ {𝑋 (−𝑗𝜔)} ℐ𝓂{𝑋 (𝑗𝜔)} = −ℐ𝓂 {𝑋(−𝑗𝜔)} |𝑋(𝑗𝜔)| = |𝑋(−𝑗𝜔)| ∢𝑋(𝑗𝜔) = −∢𝑋(−𝑗𝜔) 𝑋(𝑗𝜔) par y real 𝑋(𝑗𝜔) impar e imaginaria pura ℛℯ {𝑋 (𝑗𝜔)}

𝑥𝑜 (𝑡) = 𝒪𝒹{𝑥(𝑡)} [𝑥(𝑡) real]

𝑗ℐ𝓂{𝑋(𝑗𝜔)}

𝑥(𝑡) real

Relación de Parseval para señales aperiódicas +∞ 1 +∞ ∫ |𝑥(𝑡)|2 𝑑𝑡 = ∫ |𝑋(𝑗𝜔)|2 𝑑𝜔 2𝜋 −∞ −∞

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TRANSFORMADA Y SERIE DE FOURIER DE SEÑALES BÁSICAS Señal

Transformada de Fourier

+∞

Coeficientes de la serie de Fourier (si es periódica)

+∞

∑ 𝑎𝑘 𝑒

𝑗𝑘𝜔𝑜 𝑡

2𝜋 ∑ 𝑎𝑘 δ(𝜔 − 𝑘𝜔0 )

𝑘=−∞

𝑎𝑘

𝑘=−∞

𝑒 𝑗𝜔𝑜 𝑡

2𝜋 δ(𝜔 − 𝜔0 )

𝑎1 = 1 𝑎𝑘 = 0, con otro valor

cos 𝜔𝑜 𝑡

𝜋[δ(𝜔 − 𝜔0 ) + δ(𝜔 + 𝜔0 )]

𝑎1 = 𝑎−1 =

sin 𝜔0 𝑡

𝜋 [δ(𝜔 − 𝜔0 ) − δ(𝜔 + 𝜔0 )] 𝑗

𝑎1 = −𝑎−1 =

𝑥 (𝑡 ) = 1

2πδ(𝜔)

𝑎0 = 1 𝑎𝑘 = 0,

Onda cuadrada periódica 1, |𝑡| < 𝑇1 𝑇 𝑥 (𝑡 ) = { 0, 𝑇1 < |𝑡| ≤ 2 𝑥 (𝑡 + 𝑇) = 𝑥(𝑡) +∞

+∞

∑ 𝑘=−∞

2 sin 𝑘𝜔0 𝑇1 δ(𝜔 − 𝑘𝜔0 ) 𝑘

1 2 𝑎𝑘 = 0, con otro valor 1 2𝑗 𝑎𝑘 = 0, con otro valor

𝑛=−∞

1, 𝑥 (𝑡 ) = { 0,

2𝜋 2𝜋𝑘 ∑ 𝛿 (𝜔 − ) 𝑇 𝑇

𝑎𝑘 =

2 sin 𝜔𝑇1 𝜔𝑇1 ) = 2𝑇1sinc ( 𝜔 𝜋

-

𝑘=−∞

|𝑡| < 𝑇1 |𝑡| > 𝑇1

sin 𝑊𝑡 𝑊 𝑊𝑡 = sinc ( ) 𝜋𝑡 𝜋 𝜋 𝛿(𝑡) 𝑢(𝑡) 𝛿 (𝑡 − 𝑡𝑜 ) 𝑒 −𝑎𝑡 𝑢(𝑡), ℛℯ {𝑎} > 0 𝑡𝑒 −𝑎𝑡 𝑢(𝑡), ℛℯ {𝑎} > 0 𝑡 𝑛−1 𝑒 −𝑎𝑡 𝑢(𝑡), ℛℯ {𝑎} > 0 (𝑛 − 1)!

1, |𝜔| < 𝑊 𝑋(𝑗𝜔) = { 0, |𝜔| > 𝑊 1 1 + 𝜋δ(𝜔) 𝑗𝜔 𝑒 −𝑗𝜔𝑡𝑜 1 𝑎 + 𝑗𝜔 1 (𝑎 + 𝑗𝜔)2 1 (𝑎 + 𝑗𝜔)𝑛

(∀ 𝑇 > 0)

𝜔0 𝑇1 𝑘𝜔0 𝑇1 sin 𝑘𝜔0 𝑇1 )= sinc ( 𝜋 𝜋 𝑘𝜋

+∞

∑ 𝛿 (𝑡 − 𝑛𝑇)

𝑘≠0

-

1 , para todo 𝑘 𝑇

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PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Propiedad

Linealidad Desplazamiento de tiempo

Transformada de Laplace 𝑋(𝑠) 𝑥 (𝑡 ) 𝑥1 (𝑡) 𝑋1 (𝑠) 𝑥2 (𝑡) 𝑋2 (𝑠) 𝑎𝑥1 (𝑡) + 𝑏𝑥2 (𝑡) 𝑎𝑋1 (𝑠) + 𝑏𝑋2 (𝑠) Señal

ROC 𝑅 𝑅1 𝑅2 Al menos 𝑅1 ∩ 𝑅2

𝑥(𝑡 − 𝑡𝑜 )

𝑒 −𝑠𝑡𝑜 𝑋(𝑠)

Desplazamiento en el dominio de s

𝑒 𝑠𝑜 𝑡 𝑥(𝑡)

𝑋(𝑠 − 𝑠𝑜 )

Escalamiento en tiempo

𝑥(𝑎𝑡)

1 𝑠 𝑥( ) |𝑎| 𝑎

Versión desplazada de 𝑅 (es decir, s está en la ROC si s-𝑠𝑜 está en R) ROC escalada (es decir, s está en la ROC si 𝑠/𝑎 está en 𝑅)

Conjugación

𝑥 ∗ (𝑡)

𝑋 ∗ (𝑠 ∗ )

𝑅

Convolución

𝑥1 (𝑡) ∗ 𝑥2 (𝑡)

𝑋1 (𝑠)𝑋2 (𝑠)

Al menos 𝑅1 ∩ 𝑅2

Diferenciación en el dominio del tiempo

𝑑 𝑥(𝑡) 𝑑𝑡

𝑠𝑋(𝑠)

Al menos 𝑅

Diferenciación en el dominio de s

−𝑡𝑥(𝑡)

𝑑 𝑋(𝑠) 𝑑𝑠

𝑅

1 𝑋(𝑠) 𝑠

Al menos 𝑅 ∩ {ℛℯ {𝑠} > 0}

Integración en el dominio del tiempo

𝑡

∫ 𝑥 (𝜏)𝑑𝜏 −∞

𝑅

Teorema del valor inicial y final Si 𝑥(𝑡) = 0 para 𝑡 < 0 𝑦 𝑥(𝑡) no contiene impulsos o funciones singulares de orden superior en 𝑡 = 0, entonces 𝑥 (0+ ) = lim 𝑠𝑋(𝑠) 𝑠→∞

lim 𝑥(𝑡) = lim 𝑠𝑋(𝑠)

𝑡→∞

𝑠→0

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TRANSFORMADA DE LAPLACE DE SEÑALES BÁSICAS

−

Señal

Transformada

ROC

𝛿(𝑡)

1

Toda 𝑠

𝑢 (𝑡 )

1 𝑠

ℛℯ {𝑠} > 0

−𝑢(−𝑡)

1 𝑠

ℛℯ {𝑠} < 0

𝑡 𝑛−1 𝑢(𝑡) (𝑛 − 1)!

1 𝑠𝑛

ℛℯ {𝑠} > 0

𝑡 𝑛−1 𝑢(−𝑡) (𝑛 − 1)!

1 𝑠𝑛

ℛℯ {𝑠} < 0

1 𝑠+𝑎

ℛℯ {𝑠} > −𝑎

𝑒 −𝑎𝑡 𝑢(𝑡)

𝑡 𝑛−1 𝑒 −𝑎𝑡 𝑢(𝑡) (𝑛 − 1)!

1 𝑠+𝑎 1 (𝑠 + 𝑎 ) 𝑛

𝑡 𝑛−1 − 𝑒 −𝑎𝑡 𝑢(−𝑡) (𝑛 − 1)!

1 (𝑠 + 𝑎 ) 𝑛

𝛿 (𝑡 − 𝑇 )

𝑒 −𝑠𝑇 𝑠 2 𝑠 + 𝜔02

−𝑒 −𝑎𝑡 𝑢(−𝑡)

[cos(𝜔0 𝑡)]𝑢(𝑡) [sin(𝜔0 𝑡)]𝑢(𝑡) [𝑒 −𝑎𝑡 cos(𝜔0 𝑡)]𝑢(𝑡) [𝑒 −𝑎𝑡 sin(𝜔0 𝑡)]𝑢(𝑡) 𝑑 𝑛 𝛿 (𝑡 ) 𝑑𝑡 𝑛 𝑢−𝑛 (𝑡) = 𝑢 ⏟−1 (𝑡) ∗ … ∗ 𝑢−1 (𝑡) n veces 𝑢𝑛 (𝑡) =

𝑠2

𝜔0 + 𝜔02

𝑠+𝑎 (𝑠 + 𝑎)2 + 𝜔02 𝜔0 (𝑠 + 𝑎)2 + 𝜔02

ℛℯ {𝑠} < −𝑎 ℛℯ {𝑠} > −𝑎 ℛℯ {𝑠} < −𝑎 Toda 𝑠 ℛℯ {𝑠} > 0 ℛℯ {𝑠} > 0 ℛℯ {𝑠} > −𝑎 ℛℯ {𝑠} > −𝑎

𝑠𝑛

Toda 𝑠

1 𝑠𝑛

ℛℯ {𝑠} > 0

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PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA UNILATERAL DE LAPLACE Propiedad

Linealidad Desplazamiento en el dominio de s

Señal 𝑥 (𝑡 ) 𝑥1 (𝑡) 𝑥2 (𝑡) 𝑎𝑥1 (𝑡) + 𝑏𝑥2 (𝑡)

Transformada unilateral de Laplace

𝑒 𝑠𝑜 𝑡 𝑥(𝑡)

𝒳(𝑠 − 𝑠𝑜 )

𝑥(𝑎𝑡), a>0

1 𝑠 𝒳( ) |𝑎| 𝑎

𝑥 ∗ (𝑡)

𝒳 ∗ (𝑠 ∗ )

𝑥1 (𝑡) ∗ 𝑥2 (𝑡)

𝒳1 (𝑠)𝒳2 (𝑠)

𝑑 𝑥(𝑡) 𝑑𝑡

𝑠𝒳(𝑠) − 𝑥(0− )

Escalamiento en tiempo Conjugación Convolución (suponiendo que 𝑥1 (𝑡)𝑦 𝑥2 (𝑡) son cero pata t<0) Diferenciación en el dominio del tiempo Diferenciación en el dominio de s

−𝑡𝑥(𝑡) 𝑡

Integración en el dominio del tiempo

∫ 𝑥 (𝜏)𝑑𝜏 0−

𝒳(𝑠) 𝒳1 (𝑠) 𝒳2 (𝑠) 𝑎𝒳1 (𝑠) + 𝑏𝒳2 (𝑠)

𝑑 𝒳(𝑠) 𝑑𝑠 1 𝒳(𝑠) 𝑠

Teorema del valor inicial y final Si 𝑥(𝑡) = 0 para 𝑡 < 0 𝑦 𝑥(𝑡) no contiene impulsos o funciones singulares de orden superior en 𝑡 = 0, entonces 𝑥(0+ ) = lim 𝑠𝒳(𝑠) 𝑠→∞

lim 𝑥(𝑡) = lim 𝑠𝒳(𝑠)

𝑡→∞

𝑠→0