Teorema De Bayes 48k2w

Cuatro “tipos” de probabilidad

Marginal

Unión

Conjunta

Condicional

P( X )

P( X  Y )

P( X  Y )

P( X | Y )

La probabilidad de que ocurra X

La probabilidad de que ocurra XoY

La probabilidad de que ocurra XeY

La probabilidad de que ocurra X sabiendo que ha ocurrido Y

X

X

Y

X

Y Y

2

Ejemplo: En este aula el 70% de los alumnos son hombres. De ellos el 10% son fumadores. El 20% de las mujeres son fumadoras.  ¿Qué porcentaje de fumadores hay en total? Podemos aplicar la ley de la probabilidad total: Hombres y mujeres forman un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos.

Mujeres Hombres

Fumadores 3

0,1

0,7

Fuma

Hombre 0,9

No fuma

Estudiante

0,2

0,3

Fuma

Mujer 0,8 No fuma

P(F) = P(F∩H) + P(F∩M) = P(F|H) P(H) + P(F|M) P(M) = 0,1 · 0,7 + 0,2 · 0,3 = 0,13 4

Thomas Bayes nació en Londres, Inglaterra. Su padre fue ministro presbiteriano. Posiblemente De Moivre fue su maestro particular, pues se sabe que por aquel entonces ejercía como profesor en Londres.

Bayes fue ordenado ministro presbiteriano y muere en 1761. Sus restos descansan en el cementerio londinense de Bunhill Fields. La traducción de la inscripción en su tumba es:

"Reverendo Thomas Bayes. Hijo de los conocidos Joshua y Ann Bayes. 7 de abril de 1761. En reconocimiento al importante trabajo que realizó Thomas Bayes en probabilidad. Su tumba fue restaurada en 1969 con donativos de estadísticos de todo el mundo". 5

0,1

0,7

Fuma

Hombre 0,9

No fuma

Estudiante

0,2

0,3

Fuma

Mujer

En el problema anterior: Se elige a un individuo al azar y resulta fumador. ¿Cuál es la probabilidad de que sea una mujer?

0,8 No fuma

P(M) = 0,3, P(F) = 0,13 P(M|F) = P(F ∩ M)/P(F) = P(F|M) P(M) / P(F) = 0,2·0,3 / 0,13 = 0,46 6

2. Probabilidad Teorema de Bayes.

El concepto de probabilidad condicional da lugar a ramificaciones muy discutidas en las inferencias obtenidas usando el cálculo de las probabilidades. Estas dificultades provienen de la aplicación del llamado Teorema de Bayes. En el siglo XVIII, el reverendo Thomas Bayes, ministro inglés de la iglesia presbiteriana, desarrolló una fórmula para llegar a la probabilidad de que Dios existe, con base en las evidencias a su alcance en la tierra. Posteriormente, Laplace detalló el trabajo de Bayes y le dio el nombre de “Teorema de Bayes”. En forma práctica, el Teorema de Bayes es:

En esta fórmula, los eventos A1 y A2 son mutuamente excluyentes, donde A1 y A2 se refieren a dos eventos en particular.

2. Probabilidad Teorema de Bayes.

El teorema de Bayes es un método para revisar una probabilidad, debido a que se obtiene información adicional. Ejemplo: Supongamos que 5% de la población de cierto país padece una enfermedad peculiar. Si A1 se refiere al evento “tiene la enfermedad” y A2 al evento “no tiene la enfermedad”. Se conocen, entonces, las probabilidades (a priori) de seleccionar a un individuo que tenga la enfermedad, P(A1) = 0.05 y P(A2) = 0.95 para quienes no padecen la enfermedad. Hay una técnica de diagnóstico para detectar la enfermedad (información adicional), pero no es muy precisa. Supongamos que B indica el evento “las pruebas demuestran que la enfermedad está presente”. Se sabe que si la persona está enferma, la probabilidad de que la prueba indique su presencia es P(B/ A1)=0.90. Si no está enferma, y la prueba indica que si lo está la probabilidad es P(B/ A2)=0.15.

2. Probabilidad Teorema de Bayes.

Supongamos que seleccionamos al azar a una persona y realizamos la prueba y ésta indica que la enfermedad está presente. ¿Qué probabilidad hay de que la persona realmente padezca esa enfermedad?. Si queremos saber la probabilidad a posteriori aplicamos el teorema de Bayes.

En el problema anterior tenemos solo dos eventos, pero el teorema de Bayes puede aplicarse también a tres o más eventos:

2. Probabilidad Ejercicio:

Un fabricante de videorreproductoras de casete (VCR) compra un microchip en particular, llamado LS-24, a tres proveedores (A1, A2 y A3). Al proveedor A1 se le compran 30% de los chips, 20% al A2 y el 50% restante a A3. El fabricante tiene los registros de los tres proveedores y sabe que el 3% de los chips de A1 son defectuosos, lo mismo ocurre con el 5% de los chips del proveedor A2 y el 4% de los chips del proveedor A3. Si un trabajador del fabricante elige aleatoriamente un chip defectuoso, ¿qué probabilidad hay de que el proveedor sea el A2? Considere B1 como defectuso y B2 como no defectuoso. Se sabe que: P(B1/A1 ) = 0.03; P(B1/A2 ) = 0.05; P(B1/A3 ) = 0.04.