Teorema De Muestreo De Nyquist 1058p

Teorema de muestreo de NyquistShannon De Wikipedia, la enciclopedia libre Saltar a: navegación, búsqueda

Función de interpolación g(t) para Fs=44100 muestras por segundo (estándar CDAudio). Excepto para t=0, el intervalo entre pasos por cero (líneas verticales verdes) representa el intervalo entre muestras (~22,68 µs para este ejemplo). El teorema de muestreo de Nyquist-Shannon, también conocido como teorema de muestreo de Whittaker-Nyquist-Kotelnikov-Shannon, criterio de Nyquist o teorema de Nyquist, es un teorema fundamental de la teoría de la información, de especial interés en las telecomunicaciones. Este teorema fue formulado en forma de conjetura por primera vez por Harry Nyquist en 1928 (Certain topics in telegraph transmission theory), y fue demostrado formalmente por Claude E. Shannon en 1949 (Communication in the presence of noise). El teorema trata con el muestreo, que no debe ser confundido o asociado con la cuantificación, proceso que sigue al de muestreo en la digitalización de una señal y que, al contrario del muestreo, no es reversible (se produce una pérdida de información en el proceso de cuantificación, incluso en el caso ideal teórico, que se traduce en una distorsión conocida como error o ruido de cuantificación y que establece un límite teórico superior a la relación señal-ruido). Dicho de otro modo, desde el punto de vista del teorema, las muestras discretas de una señal son valores exactos que aún no han sufrido redondeo o truncamiento alguno sobre una precisión determinada, esto es, aún no han sido cuantificadas. El teorema demuestra que la reconstrucción exacta de una señal periódica continua en banda base a partir de sus muestras, es matemáticamente posible si la señal está limitada en banda y la tasa de muestreo es superior al doble de su ancho de banda.

Dicho de otro modo, la información completa de la señal analógica original que cumple el criterio anterior está descrita por la serie total de muestras que resultaron del proceso de muestreo. No hay nada, por tanto, de la evolución de la señal entre muestras que no esté perfectamente definido por la serie total de muestras. Si la frecuencia más alta contenida en una señal analógica

es

y la

señal se muestrea a una tasa , entonces se puede recuperar totalmente a partir de sus muestras mediante la siguiente función de interpolación:

Ejemplo de reconstrucción de una señal de 14,7 kHz (línea gris discontinua) con sólo cinco muestras. Cada ciclo se compone de sólo 3 muestras a 44100 muestras por segundo. La reconstrucción teórica resulta de la suma ponderada de la función de interpolación g(t) y sus versiones correspondientes desplazadas en el tiempo g(t-nT) con , donde los coeficientes de ponderación son las muestras x(n). En esta imagen cada función de interpolación está representada con un color (en total, cinco) y están ponderadas al valor de su correspondiente muestra (el máximo de cada función pasa por un punto azul que representa la muestra). Así,

donde

se puede expresar como:

son las muestras de

.

Hay que notar que el concepto de ancho de banda no necesariamente es sinónimo del valor de la frecuencia más alta en la señal de interés. A las señales para las cuales esto sí es cierto se les llama señales de banda base, y no todas las señales comparten tal característica (por ejemplo, las ondas de radio en frecuencia modulada). Si el criterio no es satisfecho, existirán frecuencias cuyo muestreo coincide con otras (el llamado aliasing).

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1 Errores de interpretación frecuentes en relación con el teorema y el proceso de muestreo o 1.1 Nuevos formatos y su relación con las interpretaciones erróneas sobre el teorema y su utilidad práctica 2 Bibliografía 3 Referencias 4 Véase también 5 Enlaces externos

Errores de interpretación frecuentes en relación con el teorema y el proceso de muestreo Es un error frecuente y extendido creer que, una vez satisfechos los criterios del teorema (criterios de Nyquist), la calidad de la reconstrucción de una señal en toda su banda (lo que excluye el uso de técnicas de Noise Shaping para alterar selectivamente la distorsión consecuencia del proceso de cuantificación en señales completamente digitalizadas, esto es, muestreadas y cuantificadas) es función de la tasa de muestreo empleada en el proceso de muestreo. Esto es totalmente falso desde la perspectiva matemática del teorema y un error, una vez consideradas las limitaciones prácticas, en el ámbito práctico de la física o la ingeniería.[1] El proceso de muestreo (que no debe ser confundido con el de cuantificación) es, desde el punto de vista matemático perfectamente reversible, esto es, su reconstrucción es exacta, no aproximada. Dicho de otro modo, desde el punto de vista matemático al que se refiere el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon, la reconstrucción de una señal periódica con componentes de hasta 10 kHz es idéntica tanto si se obtiene de una tasa de muestreo de 25000 muestras por segundo como de una de 50000 muestras por segundo. Matemáticamente, no aporta nada incrementar la tasa de muestreo una vez que esta cumple el criterio de Nyquist: la información necesaria para su reconstrucción total existe desde que la tasa cumple el criterio. También son errores frecuentes y extendidos, relacionados directamente con lo expuesto en este párrafo, creer que los puntos que resultan del proceso de muestreo se unen en la reconstrucción mediante rectas (interpolación lineal) formando dientes de sierra en las frecuencias representadas por pocas muestras o que existe un proceso de cálculo que realiza la interpolación de manera predictiva. En resumen, el teorema de muestreo demuestra que toda la información de una señal contenida en el intervalo temporal entre dos muestras cualesquiera está descrita por la serie total de muestras

siempre que la señal registrada sea de naturaleza periódica (como lo es el sonido) y no tenga componentes de frecuencia igual o superior a la mitad de la tasa de muestreo; no es necesario inventar o predecir la evolución de la señal entre muestras. En la práctica y dado que no existen los filtros analógicos pasa-bajo ideales, se debe dejar un margen entre la frecuencia máxima que se desea registrar y la frecuencia de Nyquist (frecuencia crítica) que resulta de la tasa de muestreo elegida (por ejemplo, para CD-Audio la frecuencia máxima de los componentes a registrar y reproducir es de 20 kHz y la frecuencia crítica de la tasa de 44100 muestras por segundo empleada es de 22,05 kHz; un margen del 10% aproximadamente para esta aplicación). Pero este margen es una necesidad que resulta de las limitaciones físicas de un filtro de reconstrucción (o filtro antialiasing) real, y no una consideración que contemple (o deba contemplar) el teorema, que pretende establecer el marco teórico (matemático) en el que se deben fundamentar los profesionales que tratan con el procesamiento digital de señales. En ocasiones se emplean técnicas de sobremuestreo para la reconstrucción de una señal con objeto de aumentar artificialmente este margen y permitir el uso de filtros de fase lineal (retardo de grupo constante) en la banda pasante y, en general, más sencillos y económicos con pendientes de atenuación más suaves. En todo caso, tanto el margen como el uso de técnicas de sobremuestreo son recursos de ingeniería para tratar restricciones prácticas que en nada invalidan la demostración y el contenido del teorema. El teorema es, de hecho, el marco analítico sobre el que las restricciones reales (no ideales) deben ser estudiadas.

Nuevos formatos y su relación con las interpretaciones erróneas sobre el teorema y su utilidad práctica La aparición reciente de nuevos formatos de audio (denominados frecuentemente formatos de alta resolución) para final que contienen señales muestreadas con tasas más elevadas a la empleada en CD-Audio han contribuido a extender la idea errónea de que la calidad en la reconstrucción de una señal en toda su banda (hasta la frecuencia crítica) es función directa de la tasa de muestreo empleada. En todo caso, parece evidente que el potencial para registrar y reproducir ultrasonidos no forma parte de los mensajes de mercadotecnia que pretenden promocionar estos en el mercado. Un argumento que suele tener la forma general de "si los nuevos formatos de alta resolución registran señales con tasas de muestreo más elevadas para la reconstrucción de señales con el mismo ancho de banda es porque el teorema de muestreo no aplica/no es válido/es erróneo y esta mayor tasa contribuye a una mejora en la calidad". Los nuevos formatos de audio que recientemente han aparecido (aunque con escaso éxito comercial) que emplean Modulación por impulsos codificados (PCM) sin pérdida por compresión con tasas de muestreo más altas a las empleadas en el CD-Audio, (DVD-Audio, por ejemplo) para registrar y reproducir señales de idéntico ancho de banda se justifican porque permiten el empleo de filtros de reconstrucción más benignos, sencillos y económicos sacrificando un recurso cada vez más económico y de menor trascendencia (la capacidad de almacenamiento, un recurso crítico en el pasado) y porque, además, satisfacen simultáneamente las expectativas de un mercado como el audiófilo, caracterizado por dogmas[2] entre los que se encuentra muy extendida la falsa creencia de que esto representa una mejora en la calidad de la señal reconstruida (en particular, de sus componentes de alta frecuencia). Este error es sólo una consecuencia

de una clara incomprensión del alcance y significado del teorema de muestreo y de establecer comparaciones falaces como, por ejemplo, con la digitalización de imágenes (donde no se realiza la reconstrucción de una señal periódica), etc. La elevada tasa de muestreo de otro formato de audio de reciente aparición, el SACD o Super Audio CD, es una consecuencia del uso de una tecnología denominada comercialmente Direct Stream Digital™ (DSD) basada en un tipo de codificación digital denominado Modulación por densidad de impulsos (PDM). Si bien la tasa de muestreo es 64 veces la del CD-Audio, es necesario tener presente que se trata de una cuantificación de 1 bit (en lugar de los 16 empleados en el CD-Audio) y basado en técnicas de Noise Shaping (modelado de ruido). No es posible, por tanto, establecer comparaciones superficiales con el PCM de CD-Audio ó DVD-Audio (ambos PCM), ya que en este caso la relación señal-ruido no es constante respecto de la frecuencia[3] (en CD-Audio el ruido de cuantificación es independiente de la frecuencia y sólo depende de los intervalos de amplitud empleados en el proceso de cuantificación, es decir, es de unos 98,09 dB[4] constantes para los 16 bits de este estándar CD-Audio en todo el espectro útil). Un SACD puede registrar y reproducir señales con componentes de hasta 33 kHz con una relación señal-ruido equivalente al de un CD-Audio (aunque 33 kHz está casi una octava por encima del máximo audible y, por tanto, una ventaja sobre el CD-Audio de dudosa utilidad práctica) y mantener una relación señal-ruido de aproximadamente 122 dB para el espectro audible (un potencial, el equivalente aproximado a 20 bits, también de dudosa utilidad práctica como formato final de considerando los medios y entornos de reproducción de este formato). Entre las ventajas objetivas de estos formatos (DVD-Audio y SACD) se encuentra el potencial multicanal (registro de más de dos canales) y la capacidad para el empleo de técnicas de protección de copia (algo de extraordinario interés para las compañías discográficas y, probablemente, la auténtica justificación industrial y comercial de estos productos junto con el evidente beneficio resultante de la sustitución de todos los equipos reproductores y grabadores del mundo). Se han publicado trabajos experimentales rigurosos[5] que concluyen que no existen diferencias audibles entre los formatos denominados de alta resolución y el tradicional soporte de audio digital CD-Audio (PCM 16 bits;44100 muestras/s). Asimismo, también se han probado indistinguibles entre sí los formatos de alta resolución SACD y DVD-Audio.[6] [7

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Señal original y muestreo de la misma. La tasa o frecuencia de muestreo es el número de muestras por unidad de tiempo que se toman de una señal continua para producir una señal discreta, durante el proceso necesario para convertirla de analógica en digital. Como todas las frecuencias, generalmente se expresa en hercios (Hz, ciclos por segundo) o múltiplos suyos, como el kilohercio (kHz), aunque pueden utilizarse otras magnitudes.

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1 Teorema de Nyquist 2 Frecuencias de muestreo para audio y vídeo o 2.1 Vídeo 3 Efecto aliasing 4 Filtro antialiasing 5 Sobremuestreo 6 Modificación de la frecuencia de muestreo 7 Bibliografía 8 Véase también 9 Referencias 10 Enlaces externos

Teorema de Nyquist Artículo principal: Teorema de muestreo de Nyquist-Shannon

Según el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon, para poder replicar con exactitud (es decir, siendo matemáticamente reversible en su totalidad) la forma de una onda es necesario que la frecuencia de muestreo sea superior al doble de la máxima frecuencia a muestrear. Es un error frecuente y extendido creer que una misma señal muestreada con una tasa elevada se reconstruye mejor que una muestreada con una tasa inferior.[1] Esto es falso (siempre que la tasas empleadas cumplan el criterio de Nyquist, naturalmente). El proceso de muestreo (que no debe ser confundido con el de cuantificación) es, desde el punto de vista matemático perfectamente reversible, esto es, su reconstrucción es exacta, no aproximada. Dicho de otro modo, desde el punto de vista matemático al que se refiere el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon, la reconstrucción de una señal de 10 kHz es idéntica tanto si se obtiene de una tasa de muestreo de 25000 muestras por segundo como de una de 50000 muestras por segundo. No aporta nada incrementar la tasa de muestreo una vez que ésta cumple el criterio de Nyquist. También son errores frecuentes y extendidos, relacionados con lo expuesto en este párrafo, creer que los puntos que resultan del proceso de muestreo se unen en la reconstrucción mediante rectas formando dientes de sierra o que existe un proceso de cálculo que realiza la interpolación de manera simulada. En resumen, el teorema de muestreo demuestra que toda la información de una señal contenida en el intervalo temporal entre dos muestras cualesquiera está descrita por la serie total de muestras siempre que la señal registrada sea de naturaleza periódica (como lo es el sonido) y no tenga componentes de frecuencia igual o superior a la mitad de la tasa de muestreo; no es necesario inventar la evolución de la señal entre muestras. En la práctica y dado que no existen los filtros analógicos pasa-bajo ideales, se debe dejar un margen entre la frecuencia máxima que se desea registrar y la frecuencia de Nyquist (frecuencia crítica) que resulta de la tasa de muestreo elegida (por ejemplo, para CD-Audio la frecuencia máxima de los componentes a registrar y reproducir es de 20 kHz y la frecuencia crítica de la tasa de 44100 muestras por segundo empleada es de 22,05 kHz; un margen del 10% aproximadamente para esta aplicación). Pero este margen es una necesidad que resulta de las limitaciones físicas de un filtro de reconstrucción (o filtro antialiasing) real, y no una consideración que contemple (o deba contemplar) el teorema. Con frecuencia en los conversores modernos de CD-Audio, para la reconstrucción de una señal se emplean técnicas de sobremuestreo con objeto de aumentar este margen y permitir el uso de filtros de fase lineal (retardo de grupo nulo) en la banda pasante y, en general, más sencillos y económicos con pendientes de atenuación más suaves. Los nuevos formatos de audio que recientemente han aparecido (aunque con escaso éxito comercial) que emplean PCM sin pérdida por compresión con tasas de muestreo más altas a las empleadas en el CD-Audio, (DVD-Audio, por ejemplo) para registrar y reproducir señales de idéntico ancho de banda se justifican porque permiten el empleo de filtros de reconstrucción más benignos, sencillos y económicos sacrificando un recurso cada vez más económico y de menor trascendencia (la capacidad de almacenamiento, un recurso crítico en el pasado) y porque, además, satisfacen

simultáneamente las espectativas de un mercado como el audiófilo, caracterizado por dogmas[2] entre los que se encuentra muy extendida la falsa creencia de que esto representa una mejora en la calidad de la señal reconstruida (en particular, de sus componentes de alta frecuencia). Este error es sólo una consecuencia de una clara incomprensión de las consecuencias del teorema de muestreo y de establecer comparaciones falaces como, por ejemplo, con la digitalización de imágenes (donde no se realiza una reconstrucción de una señal periódica), etc. La alta tasa de muestreo de otro formato de audio de reciente aparición, el SACD o Super Audio CD, es una consecuencia del uso de una tecnología denominada modulación Sigma-Delta (Direct Stream Digital). Si bien la tasa de muestreo es 64 veces la del CD-Audio, es necesario tener presente que se trata de una cuantificación de 1 bit (en lugar de los 16 empleados en el CD-Audio) y basado en técnicas de Noise Shaping (modelado de ruido). No es posible, por tanto, establecer comparaciones superficiales con el PCM de CD-Audio, ya que en este caso la relación señal-ruido no es constante respecto de la frecuencia (en CD-Audio el ruido de cuantificación es independiente de la frecuencia y sólo depende de los intervalos de amplitud empleados en el proceso de cuantificación, es decir, de unos 98,09 dB constantes para los 16 bits de este estándar CD-Audio en todo el espectro útil). Un SACD puede registrar y reproducir señales con componentes de hasta 33 kHz con una relación señal-ruido equivalente al de un CD-Audio (aunque 33 kHz está casi una octava por encima del máximo audible y, por tanto, una ventaja sobre el CD-Audio de dudosa utilidad) y mantener una relación señal-ruido de aproximadamente 122 dB para el espectro audible (un potencial, el equivalente aproximado a 20 bits,[3] también de dudosa utilidad práctica como formato final de ). Entre las ventajas objetivas de estos formatos recientes (DVD-Audio y SACD) se encuentra el potencial multicanal (registro de más de dos canales) y la capacidad para el empleo de técnicas de protección de copia (algo de extraordinario interés para las compañías discográficas). Ninguna prueba doble-ciego realizada en condiciones controladas ha probado que existan diferencias audibles entre estos formatos denominados de "alta resolución".[4] [5]

Frecuencias de muestreo para audio y vídeo En audio, la máxima audiofrecuencia perceptible para el oído humano joven y sano está en torno a los 20 kHz, por lo que teóricamente una frecuencia de muestreo de 40000 sería suficiente para su muestreo; no obstante, el estándar introducido por el CD, se estableció en 44100 muestras por segundo. La frecuencia de muestreo ligeramente superior permite compensar los filtros utilizados durante la conversión analógicadigital. Hay que tener en cuenta que no todas las fuentes sonoras se aproximan a los 20 kHz que corresponden a esta frecuencia máxima; la mayoría de los sonidos está muy por debajo de ésta. Por ejemplo, si se va a grabar la voz de una soprano, la máxima frecuencia que la cantante será capaz de producir no tendrá armónicos de nivel significativo en la última octava (de 10 a 20 kHz), con lo que utilizar una frecuencia de muestreo de 44100 muestras por segundo sería innecesario (se estaría empleando una capacidad de almacenamiento extra que se podría economizar).

Frecuencias de muestreo típicas 8000 muestras/s 22050 muestras/s 32000 muestras/s 44100 muestras/s 47250 muestras/s 48000 muestras/s 50000 muestras/s 96000 ó 192400 muestras/s 2 822 400 muestras/s

Para audio Teléfonos, adecuado para la voz humana pero no para la reproducción musical. En la práctica permite reproducir señales con componentes de hasta 3,5 kHz. Radio En la práctica permite reproducir señales con componentes de hasta 10 kHz. Vídeo digital en formato miniDV. CD, En la práctica permite reproducir señales con componentes de hasta 20 kHz. También común en audio en formatos MPEG-1 (VCD, SVCD, MP3). Formato PCM de Nippon Columbia (Denon). En la práctica permite reproducir señales con componentes de hasta 22 kHz. Sonido digital utilizado en la televisión digital, DVD, formato de películas, audio profesional y sistemas DAT. Primeros sistemas de grabación de audio digital de finales de los 70 de las empresas 3M y Soundstream. HD DVD, audio de alta definición para DVD y BD-ROM (Blu-ray Disc). SACD, Direct Stream Digital, desarrollado por Sony y Philips. Para vídeo

Vídeo PAL. 50 Hz Vídeo NTSC. 60 Hz El estándar del CD-Audio está fijado en 44100 muestras por segundo, pero esto no significa que esa sea la frecuencia que utilizan todos los equipos. Los sistemas domésticos de baja calidad pueden utilizar tasas de 22050 muestras por segundo o de 11025 muestras por segundo (limitando así la frecuencia de los componentes que pueden formar la señal). Además, las tarjetas de sonido de los equipos informáticos utilizan frecuencias por encima o por debajo de este estándar, muchas veces seleccionándolas en función de las necesidades concretas (sobre todo, en aplicaciones de audio profesional). Algunas frecuencias de muestreo típicas en sistemas de audio y vídeo aparecen resumidas en tablas, más arriba.

Vídeo En vídeo digital, la frecuencia entre fotogramas es utilizada para definir la frecuencia de muestreo de la imagen en lugar del ritmo de cambios de los píxeles individuales. La frecuencia de muestreo de la imagen es el ritmo de repetición del período de integración del CCD. Dado que el periodo de integración puede ser significativamente más corto que el tiempo entre repeticiones, la frecuencia de muestreo puede diferir de la inversa del tiempo de muestreo.

Efecto aliasing

Si se utiliza una frecuencia menor a la establecida por el teorema de Nyquist, se produce una distorsión conocida como aliasing; algunos autores traducen este término como solapamiento. El aliasing impide recuperar correctamente la señal cuando las muestras de ésta se obtienen a intervalos de tiempo demasiado largos. La forma de la onda recuperada presenta pendientes muy abruptas.

Filtro antialiasing Para eliminar el aliasing, los sistemas de digitalización incluyen filtros paso bajo, que eliminan todas las frecuencias que sobrepasan la frecuencia crítica (la que corresponde a la mitad de la frecuencia de muestreo elegida) en la señal de entrada. Es decir, todas las frecuencias que queden por encima de la frecuencia máxima a muestrear seleccionada, son eliminadas. El filtro paso bajo para este uso concreto recibe el nombre de filtro antialiasing. Sin embargo, abusar de los filtros antialiasing, puede producir el mismo efecto que se quiere evitar. Cuando se conectan varios filtros en cascada (en el muestreo, en la conversión digital-analógica, etc.), un filtrado excesivo de una onda que ya cumplía con el requisito para su correcta transformación A/D puede degenerar y provocar que la onda final presente una pendiente marcada. Por esta desventaja del filtro antialiasing se ha generalizado la técnica conocida como sobremuestreo de la señal.

Sobremuestreo Para evitar las caídas abruptas se utiliza la técnica conocida como sobremuestreo (oversampling), que permite reconstruir, tras la conversión D/A, una señal de pendiente suave. Un sobremuestreo consiste en aplicar un filtro digital que actúa sobre el tiempo (dominio de frecuencia), cambiando de lugar las muestras, de forma que al superponerlas, se creen muestreos simultáneos virtuales. Estos muestreos simultáneos no son reales, son simulaciones generadas por el propio filtro. Estos muestreos simultáneos se obtienen utilizando el llamado coeficiente de sobremuestreo (n), que viene indicado por la expresión ( , , , ...). Las muestras obtenidas se superponen con los datos originales y los conversores A/D los promedian, obteniendo una única muestra ponderada (por ejemplo, si se hacen tres muestreos, finalmente, la muestra tomada no es ninguna de las tres, sino su valor medio). Para evitar el aliasing, también se introduce a la entrada un filtro paso bajo digital, que elimine aquellas frecuencias por encima de la mitad de la frecuencia de muestreo. No obstante, a la salida, la frecuencia de muestreo utilizada para reproducir la señal ya no es la misma que se utilizó para tomar las muestras a la entrada, sino que es tantas veces mayor como números de muestreo se hayan hecho. Consideremos un ejemplo característico de la digitalización de música en formato CD. Imaginemos que para digitalizar el CD se hacen 3 muestreos a 44,1 kHz que se interpolan. Se introduce un filtro paso bajo, llamado decimator, que elimina las frecuencias por encima de los 20 kHz, pero la frecuencia de muestreo utilizada para reconstruir la señal será tres veces mayor: 132,3 kHz. De este modo se reconstruye la señal suavizando la pendiente. A este proceso de filtrado durante la conversión D/A se lo conoce como diezmado.

Sin embargo, es evidente que incorporar la técnica del sobremuestreo encarece considerablemente el equipo.

Modificación de la frecuencia de muestreo Dada una señal analógica x(t), la muestreamos a una Fm determinada y obtenemos la señal discreta x(n), para adaptar esta señal discreta un reproductor de distinta frecuencia de muestreo, usaremos la interpolación ( para aumentar la frecuencia ) y el diezmo (para disminuir la frecuencia ). Una vez tengamos la señal discreta x(n), donde 'n' es un entero, aplicamos la TFSD (Transformada de Fourier de Señales Discretas). x(n) ———TFSD——— X(e^jΩ) Interpolación factor L de X(e^jΩ): Xi(e^jΩ)= L·X(e^LΩ)·Σ[Π(Ω-2·pi·k)/(2·pi/L)] Π:filtro paso bajas k:(-infinito, +infinito)

Bibliografía     

FRIES, Bruce y FRIES, Marty. Audio digital práctico. Ed. Anaya Multimedia. 2005. ISBN 84-415-1892-0 RUMSEY, Francis y McCORMICK, Tim. Sonido y grabación. Introducción a las técnicas sonoras. 2004. RUSS, Martin. Síntesis y muestreo de sonido. (Guía práctica sobre los sintetizadores). 1999. ISBN 84-88788-35-5 WATKINSON, J. El arte del audio digital. IORTV, Madrid, 1993 WATKINSON, John. Introducción al audio digital. 2003. ISBN 84-932844-9-1.

Aliasing De Wikipedia, la enciclopedia libre Saltar a: navegación, búsqueda En estadística, procesamiento de señales, computación gráfica y disciplinas relacionadas, el aliasing es el efecto que causa que señales continuas distintas se tornen indistinguibles cuando se muestrean digitalmente. Cuando esto sucede, la señal original no puede ser reconstruida de forma unívoca a partir de la señal digital. Una imagen limitada en banda y muestreada por debajo de su frecuencia de Nyquist en las direcciones "x" e "y", resulta en una superposición de las replicaciones periódicas del espectro G(fx, fy). Este fenómeno de superposición periódica sucesiva es lo que se conoce como aliasing o Efecto Nyquist. El aliasing es un motivo de preocupación mayor en lo que concierne a la conversión analógica-digital de señales de audio y vídeo: el muestreo incorrecto de señales analógicas puede provocar que señales de alta frecuencia presenten dicho aliasing con

respecto a señales de baja frecuencia. El aliasing es también una preocupación en el área de la computación gráfica e infografía, donde puede dar origen a patrones de moiré (en las imágenes con muchos detalles finos) y también a bordes dentados. El aliasing nos puede traer problemas sobre todo en el campo de visión por computadores, ya que al procesar imágenes, si no es correcta la imagen obtenida con la realidad, podemos tener problemas con el hardware.

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1 Generalidades o 1.1 Aliasing en fenómenos periódicos o 1.2 Muestreo de una señal sinusoidal o 1.3 Aliasing espacial o 1.4 Criterio de Nyquist o 1.5 En la computación gráfica 2 Véase también

Generalidades Aliasing en fenómenos periódicos El Sol tiene un movimiento aparente de este a oeste en la bóveda celeste, con 24 horas entre cada amanecer. Si tomásemos una fotografía del cielo cada 23 horas, el sol parecería moverse de oeste a este, con 24·23=552 horas entre cada amanecer. El mismo fenómeno causa que las aspas de un ventilador parezcan a veces girar en el sentido inverso del que en realidad lo hacen, cuando se les filma o cuando son iluminadas por una fuente de luz parpadeante, tal como una lámpara estroboscópica, un tubo de rayos catódicos o una lámpara fluorescente, o simplemente, cuando el ventilador es iluminado por la parpadeante luz de la televisión.

Muestreo de una señal sinusoidal Cuando se obtienen muestras periódicas de una señal sinusoidal, puede ocurrir que se obtengan las mismas muestras que se obtendrían de una señal sinusoidal igualmente pero con frecuencia más baja. Específicamente, si una sinusoide de frecuencia f Hz es muestreada s veces por segundo, y s ≤ 2·f, entonces las muestras resultantes también serán compatibles con una sinusoide de frecuencia fm - f, donde fm es la frecuencia de muestreo. En la jerga inglesa de procesamiento de señales, cada una de las sinusoides se convierte en un "alias" para la otra.

Por tanto, si se muestrea a la frecuencia s una señal analógica que contiene las dos frecuencias, la señal no podrá ser reconstruida con exactitud. •Velocidad de muestreo recomendada: –2xfrecuencia mayor (medida de frecuencia) – 10xfrecuencia mayor (detalle de la forma de onda)

Aliasing espacial

Imagen correctamente muestreada de una muralla de ladrillos.

Aliasing espacial en la forma de un patrón de muaré.

Así como se define una frecuencia temporal, sobre imágenes se puede definir también una frecuencia espacial y, por lo tanto, el muestreo mínimo (en píxeles/cm) con que necesita ser escaneada una imagen para evitar el efecto.

Criterio de Nyquist Está demostrado rigurosamente que para evitar el aliasing es necesario asegurarse de que en la señal analógica a muestrear con una frecuencia s, no existen componentes sinusoidales de frecuencia mayor a s/2. Esta condición es llamada el criterio de Nyquist, y es equivalente a decir que la frecuencia de muestreo s debe ser al menos dos veces mayor que el ancho de banda de la señal. El Teorema de Nyquist indica que la frecuencia de muestreo mínima que tenemos que utilizar debe ser mayor que 2·fmax, donde fmax es la frecuencia máxima de la señal compleja. Si utilizamos esa frecuencia de muestreo, podremos reproducir posteriormente la señal a partir de las muestras tomadas. En la práctica, debido a las limitaciones de los circuitos, la utilización de una frecuencia más alta que la que nos dice Nyquist permite obtener una representación más exacta de la señal de entrada.

En la computación gráfica En informática y particularmente en computación gráfica, el aliasing es el artefacto gráfico característico que hace que en una pantalla ciertas curvas y líneas inclinadas presenten un efecto visual tipo "sierra" o "escalón". El aliasing ocurre cuando se intenta representar una imagen con curvas y líneas inclinadas en una pantalla, framebuffer o imagen, pero que debido a la resolución finita del sustrato resulta que éste sea incapaz de representar la curva como tal, y por tanto dichas curvas se muestran en pantalla dentadas al estar compuestas por pequeños cuadrados (los píxeles).

Véase también 

Antialiasing

Muestreo digital De Wikipedia, la enciclopedia libre Saltar a: navegación, búsqueda El muestreo digital es una de las partes del proceso de digitalización de las señales. Consiste en tomar muestras de una señal analógica a una frecuencia o tasa de muestreo constante, para cuantificarlas posteriormente.

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1 Descripción del proceso

     

2 Muestreo teórico 3 Teorema de Muestras 4 Muestreo práctico o 4.1 Clases de muestreo práctico 5 Influencia de los filtros 6 El teorema de muestras práctico 7 Véase también

[editar] Descripción del proceso El muestreo está basado en el teorema de muestreo, que es la base de la representación discreta de una señal continua en banda limitada. Es útil en la digitalización de señales (y por consiguiente en las telecomunicaciones) y en la codificación del sonido en formato digital. Independientemente del uso final, el error total de las muestras será igual al error total del sistema de adquisición y conversión más los errores añadidos por el ordenador o cualquier sistema digital. Para dispositivos incrementales, tales como motores paso a paso y conmutadores, el error medio de los datos muestreados no es tan importante como para los dispositivos que requieren señales de control continuas.

[editar] Muestreo teórico Sea la señal de banda limitada y paso-bajo (dominio de la frecuencia) es nulo para:

El producto de

(dominio del tiempo) cuyo espectro . Sea también la onda:

es una onda formada por deltas de peso igual a las muestras

:

, que dará lugar a otro tren de deltas:

Función escala fs.

La transformada de es la de repetida y centrada en cada armónico de la frecuencia de muestreo, exceptuando el término constante o la función escala . No se producirá solapamiento entre los espectros parciales de

De la observación del espectro simplemente pasando la condición:

si se verifica que:

se deduce la posibilidad de recuperar

por un filtro paso-bajo cuya frecuencia de corte

cumpla

[editar] Teorema de Muestras

Espectro X(f) de la señal paso-bajo. Se considera la señal paso-bajo espectro

, que cumple:

se representa en la figura.

para

, cuyo

Es posible establecer un desarrollo en Serie de Fourier de del modo siguiente:

, limitado a

, en dónde los coeficientes

Ahora bien, si

del desarrollo vienen dados por:

es la transformada inversa de

:

, de dónde se infiere una relación inmediata entre los concretamente:

Así pues, puede escribirse el espectro muestras ecuación anterior:

de

de

y valores particulares de

en términos de las propias

sin más que sustituir los valores de

Para hallar los términos de así:

,

dados en la

bastará con calcular la transformada inversa, resultando

Obsérvese que éste resultado es consecuencia de la limitación de banda

y que la

operación de muestreo aparece en el curso de la especificación de . De esta manera, se demuestra el denominado Teorema de Muestras, el cual afirma que toda señal de banda limitada puede expresarse de modo único en función de sus muestras o valores puntuales tomados a intervalos regulares . El valor de será tal que: , siendo

la máxima frecuencia espectral de la señal.

Este teorema es igualmente válido, adaptando ciertas condiciones para muestreo no uniforme y por supuesto para señales paso banda, dependiendo en éste caso de la frecuencia de muestreo de la anchura de banda de paso y de la frecuencia central de la señal. Como corolario del teorema, se puede afirmar que dada la colección discreta de valores existe una función y sólo una de banda limitada a los puntos dados y se construye mediante la última ecuación.

que pasa por todos

[editar] Muestreo práctico

Muestreo práctico instantáneo.

Muestreo práctico natural. El Teorema de muestreo no impone ninguna exigencia en cuanto al modo de obtener las muestras, por lo que la señal se podrá reconstruir a partir de algún método más susceptible de implementación práctica.

El muestreo práctico difiere del teórico en tres aspectos principales:   

La onda muestreadora está constituida por trenes de impulsos de duración no nula. Los filtros prácticos de reconstrucción no son ideales. Los mensajes a los que se aplica el teorema no están estrictamente limitados en banda, ni pueden, ya que se trata de señales limitadas en el tiempo.

[editar] Clases de muestreo práctico

Sea un impulso arbitrario cualquiera , tal que: evita que se solapen los impulsos básicos) y sea la onda:

para

(lo que

Una posible forma de transmitir las muestras es utilizar las muestras como amplitud del impulso m-ésimo, centrado en el instante del muestreo, es decir, formar la señal:

, que es un tren de impulsos, cada uno de los cuales viene afectado por un factor de escala (peso o amplitud) igual al valor instantáneo . La señal anterior constituye un ejemplo básico de muestreo práctico instantáneo. En el caso del muestreo práctico natural, en vez de afectar a cada impulso con un valor instantáneo de

se le multiplica punto a punto por cada uno de los valores de

en el intervalo de existencia, en otras palabras, se forma el producto genérico . Sumando tales productos se obtiene este tipo de muestreo, que se puede representar mediante la ecuación:

[editar] Influencia de los filtros La influencia de los filtros de reconstrucción no ideales se observa fácilmente en el dominio de la frecuencia. En la siguiente figura se representa parte del espectro de una señal muestreada, supuesto sin distorsión y una posible característica de transferencia de un filtro paso-bajo real.

Fragmento del espectro de una señal muestreada. Si tal característica es razonablemente plana en la banda pasante de la señal

,

la salida del filtro consistirá en más unas componentes en frecuencias próximas a fuera de dicha banda. Sin embargo estas componentes están fuertemente atenuadas en relación con las del espectro básico de

.

Para señales vocales esas componentes como zumbidos de alta frecuencia sólo están presentes cuando lo está la señal que por su mayor nivel, tiende a enmascararlas, y por tanto su presencia es fácilmente tolerable. Éstas componentes pueden suprimirse mediante un diseño adecuado del filtro y para un filtro dado, aumentando la frecuencia de muestreo (y por consiguiente ) e introduce bandas de guarda en el espectro.

[editar] El teorema de muestras práctico Se puede resumir el enunciado del Teorema contemplando señales y métodos de muestreo reales, del modo siguiente: Si una señal ha sido filtrada en paso-bajo de modo que tiene componentes espectrales por encima de , puede describirse adecuadamente para muchas aplicaciones mediante muestras instantáneas o de duración no nula, separadas uniformemente en el tiempo por un intervalo

.

Si se ha muestreado la señal al régimen de Nyquist o mayor y las muestras se representan mediante impulsos periódicos cuya amplitud sea proporcional a sus valores, puede reconstruirse aproximadamente la señal a partir de sus muestras mediante un filtraje paso-bajo.

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Escrito por Evelio Martinez Martes 10 de Julio de 2007 02:57 Desarrollado por H. Nyquist, quien afirmaba que una señal analógica puede ser reconstruída, sin error, de muestras tomadas en iguales intervalos de tiempo. La razón de muestreo debe ser igual, o mayor, al doble de su ancho de banda de la señal

analógica".

La teoría del muestreo define que para una señal de ancho de banda limitado, la frecuencia de muestreo, fm, debe ser mayor que dos veces su ancho de banda [B] medida en Hertz [Hz]. fm > 2·B Supongamos que la señal a ser digitalizada es la voz...el ancho de banda de la voz es de 4,000 Hz aproximandamente. Entonces, su razón de muestreo sera 2*B= 2*(4,000 Hz), es igual a 8000 Hz, equivalente a 8,000 muestras por segundo (1/8000). Entonces la razón de muestreo de la voz debe ser de al menos 8000 Hz, para que puede regenerarse sin error. La frecuencia 2*B es llamada la razón de muestreo de Nyquist. La mitad de su valor, es llamada algunas veces la frecuencia de Nyquist. El teorema de muestreo fue desarrollado en 1928 por Nyquist y probado matematicamente por Claude Shannon en 1949. Ejemplos prácticos: El en área de la MÚSICA, a veces es necesario convertir material analógico [en acetato, cassetes, cintas magneticas, etc] a formato digital [en CD, DVD]. Los ingenieros de sonido pueden definir el rango de frecuencia de interés. Como resultado, los filtros analógicos son algunas veces usados para remover los componentes de frecuencias fuera del rango de interes antes de que la señal sea muestreada. Por ejemplo, el oído humano puede detectar sonidos en el rango de frecuencias de 20 Hz a 20 KHz. De acuerdo al teorema de muestreo, uno puede muestrear la señal al menos a 40 KHz para reconstruir la señal de sonido aceptable al oísdo humano. Los componentes más arriba de 40 KHz no podrán ser detectados y podrían contaminar la señal. Estos componentes arriba de los 40 KHz son removidos a través de filtros pasa banda o filtros pasa bajas. Algunos de las razones de muestreos utilizadas para grabar musica digital son las siguientes:

Razón de muestreo/ Frecuencia de Nyquist 22,050 kHz = 11,025 kHz (Nyquist) 24,000 kHz = 12,000 kHz 30,000 kHz = 15,000 kHz 44,100 kHz = 22,050 kHz

48,000 kHz = 24,000 kHz Es muy importante tomar en consideración que la frecuencia más alta del material de audio será grabada. Si la frecuencia de 14,080 Hz es grabada, una razón de muestreo de 44.1 kHz deberá ser la opción elegida. 14,080 Hz cae dentro del rango de Nyquist de 44.1 kHz el cual es 22.05 kHz. La razón de muestreo elegida determina el ancho de banda del audio de la grabadora usada. Considerando que el rango del oido es de 20 Hz a 20 kHz, una razón de muestreo de 44.1 kHz teoricamente deberá satisfacer las necesidade