Tomo Iv 5w5i2z

ARITMÉTICA 25. POTENCIACIÓN

..........

7

26. RADICACIÓN

..........

12

27. NÚMEROS RACIONALES

..........

15

28. NÚMEROS DECIMALES 29. ESTADÍSTICA

.......... ..........

21 25

30. ESTADÍSTICA II

..........

30

31. ANÁLISIS COMBINATORIO

.........

34

32. TEORÍA DE PROBABILIDADES

..........

40

ÁLGEBRA 25. VERDADERO VALOR DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

..........

47

26. RELACIONES Y FUNCIONES DOMINIO Y RANGO

..........

50

27. FUNCIONES ESPECIALES - GRÁFICAS

..........

58

28. LOGARITMOS - DEFINICIÓN PROPIEDADES TEOREMAS IMPORTANTES 29. LOGARITMOS II - ECUACIONES LOGARÍTMICAS - PROPIEDADES - SISTEMAS

..........

65

..........

71

DE EC. LOGARÍTMICAS 30. LOGARITMOS NEPERIANOS - ANTILOGARITMOS Y LOGARITMOS TEOREMAS IMPORTANTES

..........

76

.......... ..........

78 83

25. PRISMA Y CILINDRO

..........

93

26. PIRÁMIDE Y CONO

..........

101

27. ESFERA

..........

110

28. PAPPUS-GULDIN

..........

116

29. PLANO CARTESIANO 30. ECUACIONES DE LA RECTA

.......... ..........

119 125

31. ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA

..........

131

32. ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA

..........

136

31. PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS 32. SISTEMAS DE INECUACIONES PROGRAMACIÓN LINEAL

GEOMETRÍA

TRIGONOMETRÍA 25. IDENTIDADES DEL ÁNGULO TRIPLE

.........

143

26. TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS 27. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

......... ..........

146 148

28. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

..........

151

29. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

..........

153

30. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

..........

156

31. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

..........

159

32. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

..........

162

SISTEMA HELICOIDAL

FÍSICA 25. ELECTRODINÁMICA III 26. ELECTROMAGNETISMO

.......... ..........

167 170

27. ELECTROMAGNETISMO II 28. ELECTROMAGNETISMO III

.......... ..........

175 179

29. ÓPTICA 30. ÓPTICA II

.......... ..........

185 192

31. ÓPTICA III 32. FÍSICA MODERNA

.......... ..........

198 204

25. ELECTROQUÍMICA 26. QUÍMICA ORGÁNICA I - CARBONO

.......... ..........

215 221

27. QUÍMICA ORGÁNICA II - HIDROCARBUROS 28. FUNCIONES OXIGENADAS

.......... ..........

227 238

29. FUNCIONES OXIGENADAS II 30. AMIDAS, AMINAS, NITRILOS Y SERIE BENCÉNICA

.......... ..........

243 246

31. COMPUESTOS AROMÁTICOS 32. PETRÓLEO

......... ..........

250 262

QUÍMICA

BIOLOGÍA 25. SISTEMAS RESPIRATORIOS (INTERCAMBIO GASEOSO)

..........

273

26. SISTEMA DIGESTIVO ANIMAL 27. SISTEMA DIGESTIVO HUMANO

.......... ..........

286 296

28. SISTEMA EXCRETOR SISTEMA URINARIO 29. SISTEMA ENDOCRINO

.......... ..........

311 322

30. SISTEMA NERVIOSO Y ÓRGANOS SENSORIALES EN ANIMALES 31. SISTEMA NERVIOSOS HUMANO ÓRGANOS DE LOS SENTIDOS

.......... ..........

333 341

32. REPRODUCCIÓN 33. ECOLOGÍA

.......... ..........

367 387

34. SALUD - ENFERMEDAD

..........

418

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 25. SISTEMA CARTESIANO

..........

435

26. ECUACIÓN DE LA RECTA 27. FACTORIAL Y PRODUCTORIA

.......... ..........

438 442

28. ANÁLISIS COMBINATORIO 29. ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA

.......... ..........

447 455

30. ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA 31. COMPARACIÓN CUANTITATIVA Y SUFICIENCIA DE DATOS

.......... ..........

459 463

32. PROBABILIDADES

..........

467

33. LOGARITMOS

..........

477

SACO OLIVEROS

Aritmética

SACO OLIVEROS

Guía teórica IV

6

Aritmética

Guía teórica IV

POTENCIACIÓN

25

Marco teórico POTENCIACIÓN Concepto

Ejemplos

Es una operación matemática que consiste en multiplicar un número, por sí mismo, varias veces. Ejemplo N = 4 × 4 × 4 = 64 = 43 \ Se afirma que N es una potencia perfecta de grado 3. R = 3 × 3 × 3 × 3 = 81 = 34

Si P = k1·4 k24 ·... 3 · k =k

n

n veces

\ P es una potencia perfecta de grado n. Además:

k : base (k Î ¢ + ) n : exponente (n Î ¢+ , n > 1)

Nota Teorema Un número entero positivo es una potencia perfecta de grado n si y sólo si los exponentes en su descomposición canónica son múltiplos de n.

SISTEMA HELICOIDAL

o

\ N es una potencia perfecta de grado 2. o

o

o

P = 210 · 320 · 715 como 10 = 5 , 20 = 5 y 15 = 5 \ P es una potencia perfecta de grado 5. En general: n

na 1 na 2 na 3

o

o

Si K = P1 P2 P3

\ R es una potencia perfecta de grado 4. En general:

o

N = 3 4 · 5 6 como 4 = 2 y 6 = 2

o

Como na1 = n , na2 = n y na3 = n

\ Kn es una potencia perfecta de grado n. Aplicación 1 ¿Cuántos números de 2 cifras son potencias perfectas de grado 3? Aplicación 2 Calcule el menor número tal que al sumarse sus 3/5 se obtenga una potencia perfecta de cuarto grado.

7

Aritmética

Guía teórica IV

Casos particulares

\ N es un cubo perfecto.

I. Potencia perfecta de grado 2 o cuadrado perfecto

En general: Si N = K3 , K Î ¢+ \ N es un cubo perfecto.

Ejemplos N = 400 = 2 4 × 52 = (22 × 5)2 = 20 2 \ N es un cuadrado perfecto. R = 225 = 152

Aplicación 6 Halle el menor número tal que al disminuirlo en sus 7/11 se obtenga un cubo perfecto.

\ R es un cuadrado perfecto. En general: Si N = K2 , K Î ¢+ \ N es un cuadrado perfecto. Aplicación 3 ¿Cuántos números de 3 cifras son cuadrados perfectos?

Aplicación 7 Si el número 2007a2a es un cubo perfecto, calcule la suma de valores de a. Criterios de inclusión y exclusión de cuadrados y cubos perfectos 1. Por su última cifra

Aplicación 4

N

N2

N3

En la sucesión:

...0

...0

...0

12, 12(2), 12(3), 12(40), ... , 12(400)

...1

...1

...1

¿cuántos de sus términos son cuadrados perfectos?

...2

...4

...8

...3

...9

...7

...4

...6

...4

...5

...5

...5

...6

...6

...6

...7

...9

...3

...8

...4

...2

...1

...9

...9

Observación 4

2

N = 400 = 2 × 5 es un cuadrado perfecto, además: CD R = (4+1)(2+1) = 5 × 3 = 15 Impar R tiene una cantidad impar de divisores En general: Todo cuadrado perfecto tiene una cantidad impar de divisores.

Aplicación 5 Calcule el menor número impar de tres cifras, tal que su cantidad de divisores es un número impar. II. Potencia perfecta de grado 3 o cubo perfecto Ejemplos N = 216 = 2 3 × 32 = 63

SACO OLIVEROS

Conclusiones i. Un cuadrado perfecto no puede terminar en las cifras 2, 3, 7 u 8. ii. Un cubo perfecto puede terminar en cualquier cifra. 2. Por la terminación en ceros A) Para cuadrados perfectos Cuadrado perfecto: 50 2 = (5 × 10)2 = 52 × 102 = 25 00 5 2 2 ceros

8

Aritmética

Guía teórica IV

Cuadrado perfecto: 6002 = (6 × 100)2 = 62 × 1002 = 36 0000 62 4 ceros Cuadrado perfecto: 2

æ K000...0 ö = ab ... x 00 ... 00 ç1424 1 424 31 424 3 3 ÷ø è 2 n ceros 2 n ceros K

Aplicación 9 Si el número ab2c5 es un cuadrado perfecto, halle los valores que asume ab. 4. Por criterio de divisibilidad por 4

B) Para cubos perfectos Cubo perfecto: 203 = (2 × 103 ) = 23 × 10 3 = 8 000 2 3 3 ceros Cubo perfecto: 9003 = (9 × 100) 3 = 93 × 100 3 = 729 000000 9 3 6 ceros

Cubo perfecto: 2

2

3

N o 4

N o 4

N o 4

o 4 +1

o 4+1

o 4+1

o 4+2

o 4

o 4

o 4+3

o 4 +1

o 4 –1

Conclusiones

o o Todo cuadrado perfectooes 4 o bien o 4 + 1. ii. Todo cubo perfecto es 4 o bien 4 + 1. i.

æ K000...0 ö = ab ... x 00 ... 00 ç1424 ÷ 1 424 31 424 3 è n ceros3 ø 2 2 n ceros K Aplicación 8 Halle la suma del máximo y mínimo valor de ab si abc0 es un cuadrado perfecto. 3. Por la terminación en cifra 5 A) Para cuadrados perfectos Cuadrado perfecto: 45 2 = 20 25 4×5

Cuadrado perfecto:

75 2

= 56 25 7×8

Cuadrado perfecto: 125 2 = 156 25 12×13

Cuadrado perfecto: n5 2 = ab...x25 Ù x Î {0, 2, 6} n(n+1) B) Para cubos perfectos Cubo perfecto: 35 2 = 42875 Cubo perfecto: 45 3 = 91125 Cubo perfecto:

n5 3 = ab...x5 ® x = 2 si n: par x = 7 si n: impar

SISTEMA HELICOIDAL

9

Aritmética

Guía teórica IV

Problemas resueltos o 1. ¿Cuántos cuadrados perfectos 13 + 4 hay entre 924 y 5920? (UNAC 2008-I) A) 5 D) 8

B) 6 E) 9

3. ¿Cuántos términos debe tener la siguiente serie, como mínimo, para que la suma sea un cuadrado perfecto?

C) 7

30, 60, 90, 120,... A) 11 D) 14

Resolución o o N = q 2 = 13 + 4 ® q = 13 + 2 ó o q = 13 – 2

B) 12 E) 15

C) 13

Resolución n términos

S = 30 + 60 + 90 + 120 + ...

924 < q2 < 5920 31,... < q < 76,... o q = 13 + 2 ® 41, 54, 67 o q = 13 – 2 ® 37, 50, 63, 76

S = 30(1+2+3+4+ ... + n) S = 30 ×

\ Existen 7 cuadrados perfectos.

n(n+ 1) 2

S = 3 × 5 · n(n + 1) = K2 15

Rpta.: C

16

Rpta.: E 2. Halle la suma de los cuadrados perfectos de tres cifras que terminan en 4. A) 1636 D) 1436

B) 1736 E) 1363

C) 1566

A) 120 D) 240

Resolución Los números son de la forma:

99 < K2 < 1000 9,.... < K < 31,.... K = {12, 18, 22, 28}

N - N = K2 5 8 3 N = K2 40 3(2 3 ´ 5 ´ 3)

Suma de sus cuadrados: 2

C) 100

Sea el número N.

Entonces K debe terminar en 2 o en 8.

2

B) 150 E) 320

Resolución

ab4 = K 2

2

4. Halle el menor número sabiendo que la diferencia entre su octava y quinta parte sea un cuadrado perfecto.

2

12 + 18 + 22 + 28 = 1736 Rpta.: B

= K2 23 ´ 5 N = 23 × 5 × 3 \ N = 120 Rpta.: A

SACO OLIVEROS

10

Aritmética

Guía teórica IV

5. Sabiendo que abc2 es un cubo perfecto, halle el valor de abc. A) 180 D) 150

B) 190 E) 160

C) 120

K es un número que termina en 8. 999 < abc2 < 10 000 999 < K3 < 10 000 9,...... < K < 21,......

Resolución

Como K términa en 8.

Sabemos:

Entonces K es 18. abc2 = K3 abc2 = (.......8)3

K3 = abc2 183 = 5832

® abc = 120 Rpta.: C

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11

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Guía teórica IV

RADICACIÓN

26

Marco teórico RADICACIÓN Concepto

En general: N 0

Es una operación matemática inversa de la potenciación que consiste en que dados dos números llamados índice y radicando se calcule un tercer número llamado raíz, donde este último elevado al índice reproduce el radicando.

Por defecto 160 12 16 160 = 122 + 16

3

3 64 =4 64 = 4 1 424 3 , entonces 1 424 3

Potenciación

N = K2

Ø Inexacta

Ejemplo Si

K

Radicación

Por exceso 160 13 9 160 = 132 – 9

Observación

64 = potencia = radicando 4 = base = raíz 3 = exponente = índice

122 + 16 = 132 – 9 16 + 9 = 132 – 122 16 + 9 = 25 = 2 (12) + 1

También: 2

225 = 15 « 15 = 225 3

3

343 = 7 « 343 = 7 n

K = N « N =K

En general: Por defecto N K Rd

n

“Toda potencia perfecta de grado n posee raíz enésima exacta”. Casos particulares 1. Raíz cuadrada (el índice es 2) Ø

Exacta 289 17 0 289 = 172

441 21 0

Por exceso N K+1 Re

N = K2 + Rd = (K + 1) 2 – Re Se cumple: Ø Ø Ø

R d + Re = 2K + 1 Residuo mínimo = 1 Residuo máximo = 2K

441 = 212

SACO OLIVEROS

12

Aritmética

Guía teórica IV

2. Raíz cúbica (el índice es 3)

Donde: 31 + 186 = 3 (8)(9) + 1 217 = 217

Ø Exacta 3

3

216 6 0 216 = 63

1331 11 0 1331 = 113

En general: Por defecto 3

En general: 3

N K 0

N = K3

3

N K+1 Re

N = K3 + Rd = (K + 1)3 – Re Se cumple:

Ø Inexacta Por defecto 3

Por exceso

N K Rd

Por exceso 3

543 8 31

543 = 83 + 12

543 9 186

Ø Ø Ø

R d + Re = 3(K)(K+1) + 1 Residuo mínimo = 1 Residuo máximo = 3(K)(K + 1)

543 = 9 3 – 186

Problemas resueltos 1. Sabiendo que 2a0b5 tiene raíz cuadrada exacta, halle la raíz. A) 125 D) 155

B) 135 E) 165

C) 145

2. Halle a + b si 3 abba (x ) = x + 1. A) 3 D) 4

B) 2 E) 7

C) 5

Resolución

Resolución K(K + 5) = 13 × 18 2a0b5 = K

3

2

abba (x ) = x + 1

abba (x) = (x + 1)3

Por propiedad: b = 2

abba (x) = x 3 + 3x2 + 3x + 1

2a0b5 = K 2 Las centenas enteras es un producto consecutivo.

abba (x) = 1331( x)

2a0 = x× (x+ 1)

Þ a = 1 a+ b = 4 b=3

210

14

15

Rpta.: D

\ 21 025 = (145)2 Rpta.: C

SISTEMA HELICOIDAL

13

Aritmética

Guía teórica IV

3. La diferencia de la raiz cuadrada y la raiz cúbica de un número es 100. Halle la suma de cifras de dicho número. A) 19 D) 25

B) 20 E) 30

C) 23

5. La suma de un número, su raíz cuadrada y el residuo que es máximo suman 234. Halle el número. (UNAC 2007-II) A) 184 D) 181

Resolución

B) 190 E) 195

C) 201

Resolución 6

N 13 2K

Sea el número N = K . K 6 – 3 K 6 = 100 K3 – K2 = 100 K2 (K – 1) = 52 · 4

N + K + 2K = 234 K2 + 2K + K + 2K = 234 K2 + 5K = 234 K(K + 5) = 13 × 18 K = 13

Luego:

Luego: K = S Þ N = 5 6 = 15 625 Suma de cifras = 19 Rpta.: A

N = 132 + 2(13) N = 195 Rpta.: E

4. Halle el menor número entero, tal que al extraerle la raiz cúbica se obtenga un número que es la 32ava parte del resto. (UNMSM 2004-I) A) 1420 D) 1410

B) 1210 E) 1242

C) 1320

Resolución Propiedad: 3

N K 32K

32 K £ 3 K (K + 1) 32 ≤3K + 3 29 ≤3K 9,6 ≤ K 10, 11, 12,...

Luego:

N = K 3 + 32K N = 103 + 32(10) N = 1320 Rpta.: C

SACO OLIVEROS

14

Aritmética

Guía teórica IV

NÚMEROS RACIONALES

27

Marco teórico CONJUNTO DE NÚMEROS RACIONALES Se atribuye a Pitágoras (unos 500 años antes de nuestra era) el notable descubrimiento de los números racionales. Para poner ésto de manifiesto construyamos un cuadrado y tracemos la diagonal OA. Esto es:

A

1 1 –2

–1

O

B

A'

2

Ø Razonemos por reducción al absurdo y supongamos que sea (siendo m y n primos entre sí) lo que siempre resulta después de simplificar la fracción) es la medida de la diagonal OA. Tomando el lado por unidad y aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo OBA se obtiene: 2

1 2 + 12 = m2 n De donde:

2n2 = m2 = número par ® m = 2k 2n2 = 4k 2 n 2 = 2k2 = número par ® n = 2q

Pero esto es imposible pues habíamos supuesto que m y n son primos entre sí.

SISTEMA HELICOIDAL

15

Aritmética

Guía teórica IV Fracciones de números enteros

Consideremos el conjunto: ¢ = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, .....}

y un número entero, por ejemplo (–2).

La correspondencia de ¢ en ¢ que a cada número entero le hace corresponder su producto por (–2) es una aplicación que simbolizamos por ×(–2).

En resumen: hemos obtenido los elementos de C multiplicando los elementos de A por (–3) y dividiéndolos a continuación por (2). (Fig. 2). Figura 2 B

(Fig. 1). Figura 1 ¢

×(–2)

3 2 1 0 –1 –2

× (–3)

¢ –6 –4 –2 0 2 4

–24 12 18 30

÷ (2)

A

C 8 –4 –6 –10

–12 6 9 15 × (–3/2)

La aplicación (–3/2) es un operador sobre A. Las aplicaciones que, como la anterior, a un número entero le asocian otro mediante operaciones se llaman operadores sobre ¢. La aplicación ×(–2): ¢ ® ¢ es un operador sobre ¢.

Ø Consideremos el conjunto A = {8, –4, –6, –10} si aplicamos a este conjunto ×(–3) obtenemos el conjunto B = {–24, 12, 18, 30} si al conjunto B le aplicamos el operador (2) obtenemos el conjunto C = {–12, 6, 9, 9, 15}.

En general, los operadores de la forma a/b donde a y b son números enteros, con b distinto de cero, se llaman fracciones de números enteros. Así: 2 , 0 , -7 ... - 5 7 20 son fracciones de números enteros. Si a/b es una fracción, el número entero a se llama numerador y el número entero b se llama denominador.

Fracciones equivalentes 2 -2 y Fíjate en los operadores aplicados al -3 3 número 15. 2 -2 (15) = -10 (15) = -10 Ø Ø -3 3

Por esta razón las fracciones 2 y -2 son equi-3 3 valentes. Escribimos: 2 -2 = , observa que (2)(3) = (–2)(–3) -3 3

Producen el mismo resultado.

SACO OLIVEROS

16

Aritmética

Guía teórica IV

En general, dos fracciones de números enteros a b c y son equivalentes si ad = bc. d Ø 8 = 4 por: 8(6) = 4(12) = 48 12 6

Ø

- 5 10 por: (–5)(–4) = 10(2) = 20 = 2 -4

El número racional Considera el conjunto de las fracciones de números enteros, al que llamamos F. En el conjunto F consideramos la relación R definida por a R c cuando a = c Û ad = bc . b d b d R es una relación de equivalencia ya que se verifican las propiedades reflexivas, simétrica y transitiva. Al ser R una relación de equivalencia, determina sobre el conjunto F una clasificación, una clase de equivalencia es, pues, el conjunto de las fracciones equivalentes a una dada, cada una de estas clases se llama número racional. Así la clase equivalencia: ì -4 -2 2 4 6 ü , , , ,....ý í..., , î -6 -3 3 6 9 þ Es un número racional sin embargo, por comodidad, se suele tomar como representante de número racional una fracción irreductible.

Observación 1) El conjunto ¤ es un conjunto de conjuntos, donde cada número racional es un conjunto. 2) La gráfica de cualquier número racional é aù êë b úû son puntos que pertenecen a una recta que pasa por el origen y cuya pendiente es b/a. 3) El conjunto ¢ coincide con el conjunto de n clase éê ùú con n Î ¢, luego ¢ Ì ¤. ë1û Densidad de un conjunto Un conjunto A es denso respecto a la relación de orden (<) si para dos elementos a y b de A (a < b) existe un elemento c de A tal que a < c < b.

é2ù ì –4 –2 2 4 6 ü , , , , ,... ý ê ú = í..., –6 –3 3 6 9 þ ë3û î Número racional é1ù ì –2 –1 1 2 ü , , , ,...ý ê ú = í..., –6 –3 3 6 þ ë3û î Notación: ìéa ù ü Q = í ê ú a Î ¢ Ù b Î ¢ , b ¹ 0ý îëb û þ

SISTEMA HELICOIDAL

17

Aritmética

Guía teórica IV Clasificación de las fracciones

1. La comparación de su valor con respecto a la unidad Fracción propia

Fracción impropia

a <1 b ® a
a >1 b ®a >b Ejemplos 12 17 31 , , 8 9 17

91 13 = 7 117 9 ® 13

2. Por su denominador Fracción decimal

Fracción ordinaria o común

b = 19k donde k = ¢ + Ejemplos

b ≠10 k donde k = ¢+ Ejemplos

99 37 32 , , 10 100 10 000

17 18 36 , , 20 15 7

3. Por la cantidad de divisores comunes de sus términos Fracción irreductible

Fracción reductible

MCD(a, b) = 1 a y b son PESI Ejemplos

MCD(a, b) ≠1 a y b son PESI Ejemplos

3 10 19 , , 5 17 8

15 18

,

4 20

,

Reemplazando f = dp = p dq q ® Ejemplo La fracción: es reductible porque el MCD (91, 117) = 13. Luego, dividiendo los términos de la fracción entre 13:

91 26

Observación

b. A partir de una fracción irreductible se pueden obtener todas las fracciones equivalentes a ellas. Ejemplo Sea la fracción irreductible 2/3 Þ 2 = 4 = 6 = 8 =...= 2k 3 6 9 12 3k donde k Î ¢ + 4. Por grupos de fracciones Fracciones homogéneas

Fracciones heterogéneas

Todos los denominadores son iguales. Ejemplos

Al menos un denominador es diferente. Ejemplos

4 7 19 , , 5 5 5

16 19 8 , , 7 8 5

a. Toda fracción reductible se puede convertir en fracción irreductible. Sea la fracción reductible f = a b Si: MCD (a, b) Þ a = dp (p y q son PESI) b = dp

SACO OLIVEROS

18

Aritmética

Guía teórica IV

Problemas resueltos 1. Una señorita tiene el hábito de lavarse la cabeza diariamente, utilizando la misma cantidad de champú. Después de 20 días observa que ha consumido la cuarta parte del frasco. 25 días más tarde verifica que aún le quedan 105 cm3 . ¿Cuántos cm3 de champú consume en cada lavada de cabeza? (UNFV 2007) A) 2 D) 5

B) 3 E) 6

Resolución R 1/5 R

1 4 8 R + F æç R ö÷ = R 5 è 5 ø 15 æ4 ö 8 Fç R ÷ = R è 5 ø 15 5 F= 12

C) 4

Resolución 1 T Ø En cada día consume: 4 = 1 T 20 80 æ 1 ö 9 Ø Luego en 45 días: 45 ç T÷ = è 80 ø 16 Þ Falta: 7 T = 105 6 T = 240 Þ Al día: 1 (240) = 3 8 Rpta.: B 2. Si a/20 es una fracción propia e irreductible, halle la suma de valores que puede tomar a. A) 19 D) 93

B) 43 E) 102

Rpta.: E 4. Si a los 2 términos de un fracción irreductible se le suma el denominador, y al resultado se le resta dicha fracción se obtiene la fracción original. Entonces, la suma de términos de dicha fracción es A) 2

B) 7

C) 11 D) 4

E) 5

Resolución Sea la fracción a . b

C) 80

Þ

a+b a a – = b+ b b b a + b = 2a 2b b

Resolución Ø a < 20 Ø a debe ser PESI con 20. Þ A = 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19 Suma de valores = 80

a+b = 4a b = 3a Rpta.: C

3. Una persona ya avanzó 1/5 de su recorrido. ¿Qué fracción de lo que le falta debe avanzar para llegar a los 8/15 del recorrido? A) 5/13 D) 6/13

4/5 R

B) 8/12 E) 5/12

Þ

a 1 Þ Suma de términos = 1 + 3 = 4 = b 3 Rpta.: D

C) 7/12

SISTEMA HELICOIDAL

19

Aritmética

Guía teórica IV

5. Al mirar un reloj se observa que de lo que queda del día es exactamente igual a 2/3 del tiempo transcurrido. ¿Qué hora es? (UNMSM 2007-II) A) 11:40 D) 13:20

B) 12:10 E) 14:10

C) 13:10

Resolución Ø Día: 24 h Ø Transcurren: x h Ø Faltan: (24 – x) h

Þ

5 2 (24 – x ) = x 6 3 120 – 5 x = 4 x 120 = 9 x 40 3 1 x = 13 3 x=

1 hora 3 1 x = 13 horas (60') 3 x = 13 horas

x = 13:20 Rpta.: D

SACO OLIVEROS

20

Aritmética

Guía teórica IV

NÚMEROS DECIMALES

28

Marco teórico NÚMEROS DECIMALES Son aquellos números que resultan de dividir los términos de una fracción. Ø 137 = 17,125 8 113 = 10,2727 Ø 11 11 = 0,91666... 12 Todo número decimal presenta dos partes: Ø

Parte entera

713,1875 Parte decimal

2. Decimal inexacto 2.1 Periódico puro F genera un decimal inexacto periódico puro si B no ite como divisores primos ni a 2 ni a 5. Ejemplos Ø

2 = 0,666... = 0,6) 3

Ø

7 = 0,6363... = 0,63 º 11

Ø

13 = 0,481481... = 0,481 ¼ 27

Clasificación de los números decimales Para esto trabajaremos con la fracción propia e irreductible F = A . B 1. Decimal exacto

2.2Periódico mixto F genera un decimal inexacto periódico mixto si B ite como divisores primos a 2 y/o 5 y otro más.

F genera un decimal exacto si y solamente si B ite como únicos divisores primos 2 y/o 5.

Ejemplos

Ejemplos

Ø

) 8 = 0,5333... = 0,53 15

Ø

11 = 0,91666... = 0,916) 12

Ø

15 = 0,68181... = 0,681 º 22

Ø Ø Ø

13 = 0,52 25 7 = 0,875 8 17 = 0,425 40

SISTEMA HELICOIDAL

21

Aritmética

Guía teórica IV

Generatrices

Cambios de base

Decimal exacto

Ø Expresar 0,25 en el sistema senario

Ejemplos Ø Ø

Procedimiento:

0, 25 = 25 = 1 100 4 0,375 = 375 = 3 1000 8

0,25 1 50 3 0

Decimal inexacto periódico puro Ø Ø Ø

×6 ×6

0,25 = 0,13(6)

Ø Expresar 0,6 en el sistema cuaternario

0,555... = 5 9 0,1212... = 12 = 4 99 33 0, 216216... = 216 = 8 999 37

Procedimiento: 0,6 ×4 2 4 ×4 1 6 × 4 0,6 = 0,2121...(4) = 0,21(4) 2 4 ×4 1 6

Decimal inexacto periódico mixto Ø Expresar 0,666... en el sistema quinario

Ø

0, 2333... = 23 – 2 = 7 90 30

Ø

0,41666... = 416 – 41 = 5 900 12

Ø

0,14545... = 145 – 1 = 8 990 55

Procedimiento: 0,666... = 0,abcd...(5). Como 0,666... = 2/3 Ø 2 × 5 = 10 3 1 3=a

En otros sistemas de numeración 0,23(6): número hexaval exacto 0,2121... (4): número tetraval periódico puro 0,23131...(5): número pentaval periódico mixto NÚMERO

GENERATRIZ

0, 23(6)

23(6) = 100(6)

0,312(4)

=

0,2121...(4)

=

= 15 36

= 5 12

3124 1000(4)

= 54 64

= 27 32

21(4) 33(4)

=

9 15

= 3 5

0,123123...(5) =

123(5) 444(5)

=

38 124

= 19 62

0, 23131...(5) =

231(5) – 2(5) = 8 440(5) 15

SACO OLIVEROS

Ø 1×5=5 3 2 1=b Ø 2 × 5 = 10 3 1 3=c

0,666 = 0,3131...(5)

Ø 1×5=5 3 2 1=d

22

Aritmética

Guía teórica IV

Problemas resueltos 1. Halle a + b + c + d si se cumple que 0, abcd = A) 15 D) 18

a=3 b=7

dcba 1111

B) 16 E) 19

a + b = 10 Rpta.: B

C) 17 3. Halle el valor de x. ) ) x = ( 0,916 + 3,6)2

Resolución abcd 9999

=

9

dcba A) 43/4 D) 21/4

1111 1

abcd = 9 ´ dcba d

c

b

a

1

0

8

9

0

8

1

a

b

c

d

æ 916 - 91 36 - 3 ö = çç + ÷ 900 9 ÷ø è

×

æ 825 33 ö =ç + ÷ ç 900 9 ÷ø è

a + b + c + d = 18 Rpta.: D 2. Halle a+b si se cumple que 1 ab A) 9 D) 13

æ 11 11 ö = çç + ÷ 3 ÷ø è 12

C) 12

Resolución

2

2

2

=

æ 11 öæ 11 ö 11 11 +2ç ÷ç ÷+ 12 è 12 øè 3 ø 3

=

55 22 ´ 2 + 12 6 ´ 2

=

99 33 = 12 4

= 0,0(a - 1)b

B) 10 E) 11

C) 23/4

Resolución

9 9

B) 33/4 E) 27/4

Rpta.: B (a - 1)b = 999 ab 1

4. Halle ab si ) a 0, ab = b

999 = ab × (a – 1)b 37

27

SISTEMA HELICOIDAL

A) 1 D) 9

B) 5 E) 6

C) 7

23

Aritmética

Guía teórica IV 5. Halle a2 + b2 si (UNMSM 2002-II)

Resolución

a b + = 1,036 5 11

ab - a a = 90 b A) 41 D) 63

10a + b - a a = 90 b (9a + b)(b) = (90)(a)

C) 51

Resolución 11a + 5b 1036 - 10 = 11 ´ 5 990

Si a = 1 (9a + b)(b) = 90 15

B) 53 E) 49

90 18

6

11a + 5b =

a=1 b =6

1026 18

11a + 5b = 57

ab = 6 Rpta.: E

15

6

a 2 + b 2 = 22 + 72 = 4 + 49 = 53 Rpta.: B

SACO OLIVEROS

24

Aritmética

Guía teórica IV

ESTADÍSTICA

29

Marco teórico INTRODUCCIÓN En nuestros días, la estadística se ha convertido en un método efectivo para describir con exactitud los valores de los datos económicos, políticos, sociales, psicológicos, biológicos y físicos; sirve como herramienta para relacionar y analizar dichos datos. El trabajo del experto estadístico no consiste ya sólo en reunir y tabular los datos, sino todo el proceso de interpretación de esa información. El desarrollo de la teoría de la probabilidad ha aumentado el alcance de las aplicaciones de la estadística. Muchos conjuntos de datos se pueden aproximar, con gran exactitud, utilizando determinadas distribuciones probabilísticas; los resultados de éstas se pueden utilizar para analizar datos estadísticos. La probabilidad es útil para comprobar la fiabilidad de las inferencias estadísticas y para predecir el tipo y la cantidad de datos necesarios en un determinado estudio estadístico. Estadística

Variables

Disciplina relacionada con los métodos científicos destinados a recopilar, organizar, clasificar, presentar, resumir y analizar datos, tanto para la deducción de conclusiones como para tomar decisiones.

Características del estudio de la investigación, dato que sufre variación dentro de una escala, recorrido o intervalo. Una variable puede ser:

Para nuestro estudio necesariamente necesitamos de los siguientes conceptos:

Se describe mediante números. Los valores que toma pueden ser ordenados y medidos. Esta variable a su vez se clasifica en:

Población Conjunto de elementos o datos que presentan una característica particular a ser analizada o estudiada, de la cual se desea información. Muestra Viene a ser un subconjunto de elementos seleccionados convenientemente de la población de tal manera que puede hacerse “deducciones” de ella respecto a la población completa.

SISTEMA HELICOIDAL

A. Variable cuantitativa

•

Continua: Es aquella que puede tomar cualquier valor en el intervalo considerado. Por ejemplo, el peso, estatura, salarios, velocidad, etc.

•

Discreta: Se denominan variables discretas, desde el punto de vista estadístico, a aquellas que pueden tomar ciertos valores en el intervalo considerado y no iten “valores intermedios” (generalmente se trata de nú-

25

Aritmética

Guía teórica IV

meros enteros positivos). Por ejemplo, una familia puede tener: 0, 1, 2, 3, ... hijos, pero no un valor intermedio. B. Variable cualitativa Se expresa mediante palabras o letras. Expresa una cualidad, propiedad o atributo. Etapas de la investigación estadística La investigación estadística es fundamentalmente de tipo descriptiva, se preocupa de la confiabilidad, validez y significación de los datos de las muestras así como de los métodos y técnicas de recolección y análisis estadístico. En este proceso se distinguen las siguientes etapas: 1. Recopilación de los datos. Los métodos de recolección de datos son diversos y dependen de las posibilidades de o o con los elementos investigados, del tamaño de la población de la oportunidad de obtener datos. Entre las técnicas más frecuentes se tiene: Ø Censo Es cuando se destina a obtener información de toda la población; los censos más conocidos son los de población, vivienda, económico, etc. •

Encuestas Destinadas, por lo general, al análisis de la muestra respecto al tema de interés.

A continuación se presentan datos recopilados sobre el número de hijos que poseen cada una de las 40 familias de un pueblo joven de Comas, elegidas al azar. 1

2

3

3

5

1

0

8

1

2

4

3

3

5

12

0

4

3

0

10

0

0

4

9

3

1

3

2

1

3

5

4

6

8

2

2

1

3

2

0

SACO OLIVEROS

Podemos observar que el mínimo valor es cero y el máximo 12. 2. Organización y presentación de los datos Una vez recolectados los datos se procede a su organización, clasificación y tabulación, de modo que se facilite su representación en tablas (tablas de frecuencia), que es la distribución de las observaciones en categorías o clases. Elementos de una tabla de distribución de frecuencias Ø Alcance (A): Es el intervalo cerrado definido por los datos de menor y mayor valor (mínimo y máximo). Ejemplo A = [0, 12] Ø Rango (R): Es la diferencia entre el mayor y menor valor. Ø Intervalo de clases (Ii): Es una clasificación de los datos en subgrupos; equivale a particionar el alcance. Ejemplo [6, 8ñ es un posible intervalo de clase donde se ha de considerar las familias con 6 y menos de 8 hijos. Ø Limites de clases Límite superior Límite inferior

[6, 8ñ

Ø Ancho de clases (wi): Es la diferencia entre el límite superior e inferior de cada intervalo. Ejemplo [6, 8ñ ® 8 – 6 = 2 ® Ancho de clase

26

Aritmética

Guía teórica IV

Ø Marca de clase (xi): Es el punto medio de cada intervalo. Ejemplo [6, 8ñ ®

6 +8 2

= 7 ® Marca de clase

Regla de Sturges: Sirve para determinar un primer valor aproximado del número de clases (k). \ k = 1 + 3,3logn Donde: n es el número de datos. En el ejemplo n = 40 ® k = 1 + 3,3log40 = 6,2868 Luego k podrá tomar valores enteros: 5, 6 ó 7. Si deseamos un ancho de clase común, se determina de la siguiente manera: w=

Rango =R Número de clase k

Para el ejemplo: Si k = 6 ® w = 12 = 2 6 Ø Frecuencia absoluta (f i): Es el número de datos contenidos en cada clase. La suma de las frecuencias absolutas debe corresponder al número total de elementos (n).

F1= f1

j

Fj = å fi

F2= f1 + f2 = F1 + f 2

i=1

F3= f1 + f2 + f3 = F2 + f 3

Lo que significa que la última frecuencia absoluta acumulada (Fk) debe ser igual al numero de elementos (n). Ø Frecuencia relativa acumulada (Hi ): Es la acumulación de cada frecuencia relativa. Se obtiene de forma análoga a la frecuencia absoluta acumulada. j

\ H j = å hi i =1

Lo que significa. que la última frecuencia relativa acumulada (Hk) debe ser igual a uno. Histograma: Son diagramas de barras o rectángulos cuyas bases representan los intervalos de clases y las alturas las frecuencias absolutas o relativas. fi

Es decir:

15

k

å fi = n Ø Frecuencia relativa (h i): Es el cociente de cada frecuencia absoluta entre el número total de elementos (n). Indica qué porcentaje del total corresponde a cada clase. fi n

Además: 0 ≤ hi ≤1 Entonces:

Polígono de frecuencia

12

i =1

hi =

Ø Frecuencia absoluta acumulada (F i): Es la acumulación de cada frecuencia absoluta. Es decir:

k

å hi = 1 i =1

7 Histogramas 3 2 1 2

SISTEMA HELICOIDAL

4

6

8

10

12 I i

27

Aritmética

Guía teórica IV

Diagrama escalonado: Son diagramas similares al histograma con la diferencia de que las alturas son frecuencias absolutas o relativas acumuladas. Fi

Ojiva

40 38

Diagrama escalonado

35 34 27 12 2

4

6

8

10

12 Ii

Problemas resueltos En una encuesta sobre los ingresos anuales en miles de soles de un grupo de familias se obtuvo la siguiente información: [y' i–1, y' iñ [10, 30ñ

yi

fi 20

[30, 50ñ

Calculemos la marca de clase:

y1 =

10 + 30 = 20 2

y2 =

30 + 50 = 40 2

y3 =

50 + 70 = 60 2

y4 =

70 + 90 = 80 2

Como:

[50, 70ñ [70, 90ñ

Resolución

f2 1 = Þ f4 5

20

Además y : la media aritmética, y = 54 y f2 = 1 .

f3

5

1. Calcule el número de familias con ingresos de no menos de 50 mil soles. 2. Calcule el número de familias con ingresos de no menos de 70.

SACO OLIVEROS

f2 = k

f4 = 5k

y

[y'i–1, y'i ñ

yi

fi

yi fi

[10, 30ñ

20

20

400

[30, 50ñ

40

k

40k

[50, 70ñ

60

5k

300k

[70, 90ñ

80

20

1600

28

Aritmética Sabemos que:

Þ

Guía teórica IV

å y i fi = 54

4. La siguiente tabla muestra las preferencias de 40 estudiantes encuestados sobre sus programas de televisión favoritos. Halle a + b + c. (UNAC 2005-I)

n

2000 + 340k = 54 40 + 60k

A) 17 D) 17,25

k = 10 Me piden en la pregunta 1: 5k + 20 = 70

C) 14,5

Resolución

Rpta.: 70 Ø

Respuesta de la pregunta 2: 20

B) 18,25 E) 19

Rpta.: 20 familias

Ø

3. En el siguiente diagrama circular realizado a 1080 personas, sobre productos de belleza, se pide calcular, ¿cuántos prefieren el producto E?

Ø

b=

10 40

Þ b = 0, 25

c = 0,35 Þ c = 14 40 a = 0,1 Þ a = 4 40

Luego: a + b + c = 18,25 Rpta.: B 5. A continuación se dan las notas de 20 alumnos. Halle el rango. (UNMSM 2000-I)

A) 100 B) 120

17, 17, 14, 20, 08, 10, 11 11, 10, 09, 19, 19, 10, 18 16, 07, 10, 08, 06, 19

C) 150 D) 200 E) 250 A) 12 D) 11

Resolución 5a + 6a + 7a + 9a = 270º 27a = 270º

C) 10

Resolución Rango = dato mayor – dato menor

a = 10º

R = 20 – 6 = 14

Luego el producto E:

Rpta.: E

E = 5a = 50º Además:

B) 15 E) 14

1080 personas = 360º 3 personas = 1º

Reemplazando: 50º <> 150 personas Rpta.: C

SISTEMA HELICOIDAL

29

Aritmética

Guía teórica IV

ESTADÍSTICA II

30

Marco teórico MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Medidas de posición

Para datos clasificados

Una medida de posición es un valor que se calcula para un grupo de datos que se utiliza para describirlos de alguna manera. Generalmente se desea que el valor sea representativo de todos los valores incluidos en el grupo, y por ello, se desea alguna clase de promedio, que se entiende como una medida de tendencia central.

Se define la clase mediana como la primera cuya frecuencia absoluta acumulada iguala o excede a la mitad del total de datos, luego el valor de la mediana se da por:

Media aritmética (x)

Donde Lm : límite inferior de la clase mediana

Para n datos d i no clasificados m

x=

å di i=1

n

Para datos clasificados k

x = å hi xi i =1

donde: hi : frecuencia relativa de la clase i x i: marca de clase de la clase i k: número de clases Mediana (x m) Para n datos no clasificados: ì x , n: impar ï æçè n +21 ö÷ø ï xm = í x + xæn ö ï æçè n2 ö÷ø ç + 1÷ è2 ø ï , n: par 2 î

SACO OLIVEROS

é n -F ù m-1 ú xm = Lm + Wm ê 2 ê Fm ú ëê ûú Wm : ancho de clase de mediana n : número total de datos Fm – 1: frecuencia absoluta acumulada de la clase que precede a la clase mediana Fm : frecuencia absoluta de la clase mediana

MODA (Mo): Es el valor que se presenta con mayor frecuencia en un grupo de datos. A una distribución que tiene una sola moda se le denomina unimodal. Si hubiesen más de dos valores no adyacentes con frecuencias máximas similares, la distribución es multimodal, bimodal, trimodal, etc. En el caso que ningún valor se repita se dice que no existe moda. Para datos clasificados con intervalos de igual ancho de clase se tiene que la clase modal es aquella que tiene la mayor cantidad de datos. Luego eI valor de la moda se da por:

30

Aritmética æ d1 ö M o=L o+Wo ç ÷ è d1 + d2 ø Donde: Lo : límite inferior de la clase modal Wo : ancho de la clase modal d 1 : diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase precedente d 2 : diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase siguiente

Guía teórica IV Ejercicio Determine a. La media b. La mediana c. La moda sabiendo que los importes del consumo de 15 personas en un restaurante, en orden ascendente, son: S/. 10; S/. 10; S/. 12,5; S/. 13,5; S/. 24,5; S/. 25; S/. 25; S/. 27,5; S/. 30,9; S/. 35; S/. 40; S/. 41; S/. 53 y S/. 90.

Problemas resueltos 1. En el siguiente diagrama, calcule la M e de los sueldos.

Ø Aplicamos proporcionalidad: M e – 600 800 – 600

=

27,5 – 25 35 – 25

Me = 650

Rpta.: 650

2. En la siguiente tabla de jalados de 4 secciones, calcule la moda.

Resolución Pu medio

= 55/2 = 27,5

N.º de cursos jalados

N.º de alumnos

1

5

2

8

3

7

4

10

Resolución Sabemos que la moda es la variable con mayor frecuencia, entonces. Mo = 4

SISTEMA HELICOIDAL

Rpta.: 4

31

Aritmética

Guía teórica IV \ El sistema de bimodal.

3. El gráfico muestra los pesos (kg) de 180 bebés. Calcule la moda.

Edad

fi

15

5

16

2

17

5

18

3

19

2

20

3

5. Del siguiente histograma: Resolución El intervalo donde está la moda (Mo) es [7,8]. Mo – 7 70 – 30

=

8 – Mo 70 – 45

Þ

Mo - 7

40 8 5M o – 35=64 – 8Mo

=

8 - Mo 25 5 ç

13Mo =99

Mo = 7,62

Rpta.: 7,62

4. Dadas las edades de 20 alumnos de un aula 15, 17, 19, 20, 18, 18, 19, 17, 16, 17, 20, 15, 20, 18, 15, 15, 16, 17, 15, 17 se puede decir entonces, que el sistema es A) unimodal. C) trimodal. E) multimodal.

B) bimodal. D) amodal.

Resolución Organizando los datos según su frecuencia, podemos observar que las modas son 15 y 17 años.

SACO OLIVEROS

calcule x + M e. (UNAC 2003-II) A) 35,36 D) 35,34

B) 35,35 E) 35,35

C) 35,36

Resolución Formando la tabla de frecuencias: Ii

xi

fi

Fi

[6, 10ñ

8

3

3

[10, 14ñ

12

9

12

[14, 18ñ

16

12

24

[18, 22ñ

20

15

39

[22, 26ñ

24

6

45

Clase Me

32

Aritmética

Guía teórica IV

Calculando: 8 ´ 3 + 12 ´ 9 + 16 ´ 12 + 20 ´ 15 + 24 ´ 6 3 + 9 + 12 + 15 + 6 x = 17,06 x=

Hallando: é 45/ 2 - 12ù Me = 14 + 4 ê úû = 17,5 12 ë \ x + Me = 34,56 Rpta.: 34,56

SISTEMA HELICOIDAL

33

Aritmética

Guía teórica IV

ANÁLISIS COMBINATORIO

31

Marco teórico PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE CONTEO En nuestro quehacer diario siempre encontramos diversas situaciones como tener que vestirnos para un compromiso y elegir una de entre muchas prendas, ordenar los libros de nuestro escritorio en un estante, la compra de un artefacto electrodoméstico de un conjunto de tiendas que ofrecen el mismo producto y variados precios o elegir a una junta directiva para que dirija nuestra comunidad, etc. Por lo que ahora estamos tratando, estamos interesados, no en tales situaciones, sino en la cantidad de formas diferentes que se puede hacer dicha actividad, acontecimiento o evento. Para tales casos es necesario hallar las técnicas de conteo que faciliten su cálculo y así por ejemplo podríamos determinar de cuántas maneras se puede: Ø escoger entre dos pares de zapatos o cuatro pares de zapatillas. Ø ordenar 20 libros en un estante con capacidad para 25 libros. Ø elegir un presidente, un secretario y un tesorero de un total de 10 candidatos. Las técnicas fundamentales de conteo son:

posible realizar ambos eventos de manera simultánea) ocurrirá de m + n maneras diferentes. Ejemplo Carlos desea comprar una bolsa de bombones, el cual es vendido en 2 lugares diferentes; en Metro, en 6 lugares distintos; en el Mercado Central, en 7 lugares distintos. ¿De cuántas maneras puede adquirir la bolsa de bombones? Resolución En Metro: 6 maneras En el Mercado Central: 7 maneras Luego, total de maneras: 6 + 7 = 13 2. Principio de multiplicación Si un acontecimiento A ocurre de m maneras diferentes y otro acontecimiento B en forma independiente de n maneras diferentes, entonces el número de maneras distintas en que pueden ocurrir ambos acontecimientos A y B (de manera simultánea o uno a continuación del otro) es m n. Ejemplo

1. Principio de adición Si un acontecimiento A ocurre de m maneras diferentes y otro acontecimiento B ocurre de n maneras diferentes, entonces el acontecimiento A o B en forma excluyente (es decir, no es

SACO OLIVEROS

En la etapa final de fútbol profesional, tres equipos: Alianza Lima, Universitario y Cristal disputan el primer y segundo lugar. ¿De cuántas maneras diferentes estos equipos pueden ubicarse en dichos lugares?

34

Aritmética

Guía teórica IV

Resolución

¿Por qué?

Utilizando el diagrama del árbol:

Ø El primer lugar puede ser ocupado por cualquiera de los 3 equipos. Ø El segundo lugar puede ser ocupado por cualquiera de los otros 2 equipos. Ø Por el principio de multiplicación se observa que el acontecimiento del primer lugar se presenta de 3 maneras y el segundo lugar de 2 maneras distintas entonces el número de maneras totales será: 3 × 2 = 6.

Existen seis maneras diferentes en que estos equipos se pueden ubicar en el primer y segundo lugar. Utilizando el principio de multiplicación: 1.º

2.º

4 × 3 = 12 maneras

Métodos de conteo En diferentes casos se tomará de algún conjunto parte de sus elementos o todos ellos, para formar diferentes agrupaciones, que se van a distinguir por el orden de sus elementos o por la naturaleza de algunos de ellos. Si los elementos que forman una agrupación son diferentes entre sí, seran llamados agrupaciones sin repetición y si alguno de ellos son iguales se dirá que son agrupaciones con repetición. Entre los métodos de conteo más conocidos tenemos: permutación y combinación.

Ejemplo Determine los diferentes arreglos o permutaciones que se pueden hacer con las letras a, b y c tomadas de dos en dos. Resolución Ø Sea el conjunto { a, b, c}; entonces los arreglos pueden ser: ab, ba, ac, ca, bc, cb. Ø Número de arreglos = 6 Otro método: Principio de multiplicación

Permutación Es un arreglo de todos o parte de un conjunto de objetos considerando el orden en su ubicación. Es importante resaltar que el orden es una característica importante en la permutación, cuando variamos el orden de los elementos se dice que permutamos dichos elementos.

SISTEMA HELICOIDAL

N.º de arreglos = 3 × 2 = 6

35

Aritmética

Guía teórica IV

Explicación 1) El primer casillero puede ser ocupado por cualquiera de las tres letras, existiendo 3 posibilidades. 2) El segundo casillero puede ser ocupado por cualquiera de las otras dos letras restantes, existiendo 2 posibilidades. Permutación lineal con elementos diferentes El número de permutaciones de n objetos diferentes, tomados en grupos de k elementos (siendo k ≤n) y denotado por Pkn, estará dado por:

Pkn =

n! (n - k)!

donde n, k Î ¥ y 0 ≤k ≤n.

Estas permutaciones son llamadas lineales, porque los objetos son ordenados en una línea recta de referencia (o formando una línea no cerrada). Ejemplo

3) El tercer casillero (MEDALLA DE BRONCE) puede ser ocupado por cualquiera de los ocho atletas restantes, existiendo 8 posibilidades. Usando la fórmula de permutación lineal: Se busca las diferentes ternas (k = 3) que se pueden formar con los 10 atletas (n = 10).

P310 =

10! 7! ´ 8 ´ 9 ´ 10 = = 720 7! 7!

Recordar: 1) n! = 1 × 2 × 3 × ... × n 2) 0! = 1 3) 1! = 1 Permutación lineal con elementos repetidos El número de permutaciones (P) distintas de n elementos en n en donde hay un primer grupo de n 1 objetos iguales entre sí; n2 objetos iguales entre sí; n2 objetos iguales entre sí de un segundo tipo y así sucesivamente hasta n k objetos iguales entre sí de un último tipo, está dado por:

n! n1 ! × n 2 ! ×n 3 ! × ... × nk !

En una carrera de 400 metros participan 10 atletas. ¿De cuántas formas distintas podrán ser premiados los tres primeros lugares con medalla de oro, plata y bronce?

donde n 1 + n 2 + n 3 + ... + n k = n.

Resolución

Ejemplo

Empleando el principio de multiplicación:

¿De cuántas formas distintas podrán ser ordenadas horizontalmente las figuras geométricas mostradas?

Oro

Plata

Bronce

10 × 9 × 8 N.º de maneras = 720 Explicación 1) El primer casillero (MEDALLA DE ORO) puede ser ocupado por cualquiera de los diez atletas, existiendo 10 posibilidades. 2) El segundo casillero (MEDALLA DE PLATA) puede ser ocupado por cualquiera de los nueve atletas restantes, existiendo 9 posibilidades.

SACO OLIVEROS

n

Pn ,n

1 2 ,n3 ,...nk

=

Resolución Como entran todos los elementos del conjunto y estos se repiten, se trata de una permutación con repetición, donde n1 = 3 (tres círculos), n2 = 2 (dos cuadrados), n 3 = 1 (un triángulo), n 4 = (1 hexágono), luego:

P3,7 2, 1, 1 = =

7! 3! ´ 4 ´ 5 ´ 6 ´ 7 = 3! ´ 2! ´ 1! ´ 1! 3! ´ 2 ´ 1 ´ 1 4 ´ 5´ 6´ 7 = 420 2

36

Aritmética

Guía teórica IV

Permutación circular con elementos diferentes

tos de un conjunto dado, sin considerar el orden en su ubicación.

Son agrupaciones donde no hay primero ni último elemento, por hallarse todos en una línea cerrada. Para hallar el número de permutaciones circulares que se pueden formar con n objetos distintos de un conjunto, hay que considerar fija la posición de un elemento, los n – 1 restantes podrán cambiar de lugar de (n – 1)! formas diferentes tomando todas las posiciones sobre la circunferencia relativa al primer punto.

El número de combinaciones de n elementos diferentes tomados de k en k, con k ≤ n está dada por:

El número de permutaciones circulares será:

Pcn = (n - 1)!. Ejemplo 1. ¿De cuántas formas diferentes pueden sentarse alrededor de una mesa circular un padre y sus 5 hijos? Resolución Se trata de una permutación circular:

Pc6

= (6 - 1)! = 5! = 5 ´ 4 ´ 3 ´ 2 ´ 1 = 120

2. ¿De cuántas maneras diferentes se podrán ubicar las cifras del 1 al 7 en la siguiente figura?

Resolución Este problema se puede resolver como la conjunción de dos acontecimientos: primero ubico una cifra en el centro (7 posibilidades); y, segundo las otras 6 cifras, las cuales por ordenarse en una circunferencia se podrán permutar de (6 – 1)! formas, por lo tanto:

C nk =

n! n(n - 1)(n - 2)(n - 3)...(n - k + 1) = (n - k )! × k ! k (k - 1)(k - 2)...(1)

Ejemplos 1. Si disponemos de 5 puntos no colineales, ¿cuál es el máximo número de triángulos que se podrán formar? Resolución Para dibujar un triángulo solo es necesario 3 puntos en el plano, luego se escogerán 3 puntos (k = 3) de un total de 8 puntos (n = 5). Además no importa el orden, ya que el triángulo ABC es igual al CBA; por lo tanto, se trata de una combinación.

C 53 =

5! 5´ 4 ´ 3 = = 10 2! ´ 3! 3 ´ 2 ´ 1

Observación 1) En las permutaciones interesa el orden, se buscan ordenaciones. 2) En las combinaciones no interesa el orden, se buscan agrupaciones. 2. Una señora tiene 3 frutas: manzana, fresa y piña. ¿Cuántos sabores diferentes de jugo podrá preparar con estas frutas?

N.º de maneras = 7 × 5! = 7 × 120 = 840 Combinaciones con elementos diferentes Es cada uno de los diferentes arreglos que se pueden hacer con parte o todos los distintos elemen-

SISTEMA HELICOIDAL

Fresa (F)

Piña (P)

Manzana (M)

37

Aritmética

Guía teórica IV

Resolución

Resolución

En forma gráfica:

1.º Seleccionamos 4 físicos entre 8 en C 84 formas:

Ø Cuando se escoge una fruta de las tres, los sabores son 3: F, P, M. Ø Cuando se escoge 2 de las tres frutas, los sabores son 3: FP, FM, PM. Ø Cuando se escoge las 3 frutas los sabores son 1: FPM.

C 84 =

2.º Seleccionamos 3 matemáticos entre 6 en

C63 :

Total de sabores diferentes:

C63 =

3+3+1+=7 Empleando combinaciones Se puede escoger una fruta de las tres ó 2 frutas de las tres o las tres frutas de las tres; además en este caso no importa el orden, por lo tanto, usamos el principio de adición aplicado a la combinación N.º de maneras diferentes: C13 + C23 + C33 N.º de maneras diferentes:

3 3 ´ 2 3 ´ 2´1 + + = 3+ 3+ 1= 7 1 2 ´1 3 ´ 2 ´1

8 ´7 ´ 6 ´ 5 = 70 4 ´ 3 ´ 2´ 1

6´ 5´ 4 = 20 3 ´ 2 ´1

3.º Aplicamos el principio de multiplicación:

C 84 ´ C 63 = 70 ´ 20 = 1400 Propiedades de Cnk 1. Cnk = Cnn -k 2. Cn = Cn = n 1 n -1 3. Cn0 = Cnn 4.

Cn0 + C1n + Cn2 + ... + Ckn = 2n

Total de sabores diferentes: 3 + 3 + 1 = 7 3. Se desea formar un comité de 7 seleccionando 4 físicos y 3 matemáticos de un grupo de 8 físicos y 6 matemáticos. ¿De cuántas maneras podrá seleccionarse?

SACO OLIVEROS

38

Aritmética

Guía teórica IV

Problemas resueltos 1. En un examen de Aritmética, un estudiante debe responder siete preguntas de las diez dadas. ¿De cuántas formas diferentes debe seleccionar si él debe responder, por lo menos, tres de las cinco primeras preguntas? A) 50 D) 110

B) 55 E) 120

C) 105

Resolución El estudiante puede responder tres de las cinco primeras preguntas y 4 de las últimas 5 preguntas ó 4 de las primeras cinco preguntas y 3 de las últimas; ó 5 de las primeras cinco y 2 de las últimas. Como no interesa el orden se trata de una combinación; por lo tanto:

C 53 ´ C 54 + C 54 ´ C 53 + C 55 ´ C 52 = 110 Rpta.: D 2. Un hombre tiene 9 bonos financieros de 9 compañías diferentes y piensa regalarlos a sus 3 hijos de la siguiente manera: a su hijo mayor 4, a su segundo hijo 3 y al menor 2. ¿De cuántas formas puede repartir los bonos? A) 690 D) 1360

B) 1120 E) 1480

C) 1180

El número de grupos de 5 personas que se ubican en la mesa circular es:

C85 = 56 El número de formas en que cada grupo de 5 personas se pueden sentar en la mesa es: (5 – 1)! = 4! = 24 N.º de total de formas = 56 × 24 = 1344 Rpta.: C 4. 4 hombres y 3 mujeres deben sentarse en una fila de 7 asientos de modo que ningún hombre ocupe sitio par. ¿De cuántas maneras diferentes podrán sentarse? A) 140 D) 150

B) 144 E) 132

Resolución Hombres 1.º 3.º 5.º 7.º 4 × 3 × 2 × 1 = 24 Luego: 24 × 6 = 144

9 P4,3,2 =

9! = 1360 4 ! ´ 3! ´ 2! Rpta.: D

3. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar 8 personas en una mesa redonda de 5 asientos si 3 están en espera? B) 1266 E) 1588

C) 1344

SISTEMA HELICOIDAL

C) 146

Mujeres 2.º 4.º 6.º 3×2×1=6 Rpta.: B

5. Con las cifras 3, 4, 5, 6, 7 y 8, ¿cuántos números pares de 3 cifras diferentes se pueden formar? A) 40 B) 50

Resolución

A) 1140 D) 1466

Resolución

C) 60 D) 108 E) 12

Resolución 3.°2.°1.° a b c 3 3 4 4 4 6 5 5 8 6 6 7 7 8 8 4 × 5 × 3 = 60 Rpta.: C

39

Aritmética

Guía teórica IV

TEORÍA DE PROBABILIDADES

32

Marco teórico TÉRMINOS UTILIZADOS EN PROBABILIDADES 1. Experimento aleatorio

Observación

Se denomina así a aquella prueba o ensayo que, bajo las mismas condiciones de experimentación, no se puede predecir con exactitud el resultado, mas si los posibles resultados. Notación: e. 2. Espacio muestral Se denomina así al conjunto de los posibles resultados de un experimento aleatorio. Notación: W. 3. Suceso o evento Es cualquier subconjunto de un espacio muestral y se denota por una letra mayúscula: A, B, C, D, etc. Ejemplos Experimento aleatorio

Espacio muestral

Evento o suceso

e1 : lanzar una moneda o obervar el lado que cae hacia arriba.

W 1 = {c, s}

A: el resultado muestra cara. A = {c} Þ n(A) = 1

e2 : lanzar un dado y anotar el resultado de la cara superior.

W 2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Donde: n(W1 ) = 2

Donde: n(W2 ) = 6

SACO OLIVEROS

B: el resultado es un número primo. B = {2, 3, 5} Þ n(B) = 3

i.

Como el espacio muestral y los eventos o sucesos son conjuntos se pueden aplicar entre ellos las operaciones y leyes de conjuntos.

ii. Se denomina evento imposible al evento asociado a un experimento aleatorio que nunca se puede dar. Notación: Ø Ejemplo e: lanzar un dado. A: obtener puntaje siete. Entonces: A = Ø iii. Se denomina evento seguro, al evento asociado a un experimento aleatorio que siempre se va a dar. Notación: W Ejemplo e: lanzar un dado. B: obtener puntaje menor que siete. Entonces: B = W

Eventos mutuamente excluyentes Dos eventos son mutuamente excluyentes cuando su intersección es el conjunto vacío.

40

Aritmética Por ejemplo e: extraer una carta de una baraja de 52 naipes. Sean los eventos: A: se obtiene puntaje ocho. B: se obtiene un corazón. C: se obtiene un rey. Luego:

Guía teórica IV Definición clásica de probabilidad Dado un experimento aleatorio e, de espacio muestral W; definimos un evento o suceso A, la probabilidad de ocurrencia de A, la que denotaremos por P(A), está dada por la relación:

P(A) =

A = {8¨, 8©, 8§, 8ª} B = {A©, 2©,..., K©} C = {K¨, K©, K§, Kª}

Ejemplo

Afirmamos: Ø A y C son mutuamente excluyentes, ya que AÇC=Ø Ø A y B no son mutuamente excluyentes, ya que A Ç C ≠Ø ® A Ç B = {8©}

Resolución

Eventos independientes Dos eventos A y B son independientes si la ocurrencia de uno no afecta el hecho de que el otro ocurra simultáneamente o sucesivamente. Por ejemplo e: lanzar dos dados y observar los puntajes obtenidos. Sean los eventos: A: en el primer dado sale dos. B: en el segundo dado sale tres. C: en el segundo dado sale tres dado que en el primero salió dos. Luego: A = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)} B = {(1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3)} C = {(2, 3)} Afirmamos: Ø Los eventos A y B son independientes (la ocurrencia de A no afecta el hecho que ocurra B). Ø Los eventos A y C no son independientes (la ocurrencia de A afecta la ocurrencia de C).

SISTEMA HELICOIDAL

N.º de casos favorables n(A) = N.º de casos posibles n(B)

¿Cuál es la probabilidad de obtener un puntaje mayor que 4 al lanzar un dado? e: lanzar un dado y observar el puntaje obtenido. W= {1, 2, 3, 4, 5, 6} A: puntaje mayor que cuatro. A= {5, 6} Þ n(A) = 2

\ P(A) =

2 1 = 6 3

Propiedades de probabilidades 1. Si A es un suceso definido en W, entonces: 0 ≤ P(A) ≤ 1 Consecuencias: P(W) = 1 Ù P(Ø) = 0 2. Si A y B son sucesos mutuamente excluyentes: P(A È B) = P(A) + P(B) P(A Ç B) = 0 3. Si A y B son sucesos no mutuamente excluyentes: P(A È B) = P(A) + P(B) – P(A Ç B) 4. Sea A un suceso definido en W, entonces: Ac:

P(A) = 1 – P(Ac) suceso complementario de A

5. Si A y B son sucesos independientes: P(A Ç B) = P(A) P(B)

41

Aritmética

Guía teórica IV

Problemas resueltos 1. De una caja que contiene 7 lapiceros negros y 5 lapiceros azules, se extrae uno de ellos al azar. Determine la probabilidad de que sea azul. A) 5/11 D) 7/13

B) 7/12 E) 11/14

C) 5/12

3. En una urna hay 10 bolas blancas y 6 negras. Se extraen al azar 3 bolas. Calcule las probabilidades de que salgan a. todas blancas. b. del mismo color. A) 3/14, 7/11 C) 2/13, 1/9 E) 4/11, 7/15

Resolución

B) 3/11, 7/15 D) 3/14, 7/28

Resolución

Ø A: las 3 bolas extraídas son blancas. Total: 16 bolas P(A) =

10 ´ 9 ´ 8 3 = 16 ´ 15 ´ 4 14

Ø B: las 3 bolas extraídas son del mismo color. Rpta.: C 2. De una baraja de 52 cartas, ¿cuál es la probabilidad de que al extraer una sea un 8 o de figura negra? A) 7/11 D) 4/15

B) 7/13 E) 1/9

C) 8/11

Resolución Ø Baraja de 52 cartas. Ø A: carta extraída es 8. A = {8¨, 8©, 8§, 8ª} Þ n(A) = 4 Ø B: carta extraída es de figura negra. B = {1§ ,...,K§ ,1ª,..., Kª} Þ n(B) = 26 Rpta.: B

SACO OLIVEROS

P(B) =

10 ´ 9 ´ 8 6´5´ 4 3 1 7 + = + = 16 ´ 15 ´ 4 16 ´ 15 ´ 14 14 28 28 Rpta.: D

4. Ocho amigos juegan al golf, 5 jóvenes y 3 adultos. Si las jóvenes tienen la mitad de habilidad de los adultos, ¿cuál es la probabilidad que un joven gane? A) 7/13 D) 7/8

B) 5/8 E) 5/11

C) 3/8

Resolución P(A) =

5 jovenes 5 = 5 jovenes + 3adultos 11 1424 3 6 jovenes

Rpta.: E

42

Aritmética

Guía teórica IV

5. Se escogen al azar 3 relojes de 15, de los cuales 6 son defectuosos. Señale la probabilidad de que se haya escogido 2 relojes defectuosos. A) 27/94 D) 39/59

B) 8/43 E) 31/97

C) 27/91

Resolución P(A) =

C62´ C19 C15 3

=

15 ´ 9 135 27 = = 455 455 91 Rpta.: C

SISTEMA HELICOIDAL

43

Álgebra

SACO OLIVEROS

Guía teórica IV

46

Álgebra

teórica IV VERDADERO VALORGuía DE FRACCIONES ALGEBRAICAS 25

Marco teórico VERDADERO VALOR (LÍMITE) El verdadero valor (VV) o simplemente valor de una expresión matemática que toma la forma indeterminada 0 , ¥ , ¥ – ¥, 0 × ¥, 1 ¥, etc. cuando a su 0 ¥ variable se le asigna un valor específico, es aquel valor obtenido luego de levantar la indeterminación en dichas expresiones mediante una serie de transformaciones equivalentes de las expresiones dadas.

3. Halle lím f( x) si f( x)= x®2

x 3 – 3x 2 + 4 . 2 x – 7 x + 16 x – 12 3

Resolución Resolviendo al numerador y denominador por la regla de Ruffini tendremos: (x – 2) (x – 2) (x + 1)

f (x ) =

(x – 2) (x – 2) (x – 3)

= x +1 x–3

Reemplazando: f (2) = 2 + 1 = 3 = –3 2–3 –1

Ejemplos explicativos 1. El verdadero valor de: 2

4. Si f (x) =

f (x) = x 2 – 5x + 4 x – 3x + 2

3

x – 1, calcule lím f( x). x®1 x –1

cuando x = 1 es:

Resolución

Resolución

a2 – b2 = (a + b)(a – b) a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b 2)

f (x ) =

(x – 1) (x – 4) (x – 1) (x – 2)

Recordemos:

= x – 4 = 1 – 4 = –3 = 3 x–2 1–2 –1

2. Calcular el verdadero valor de: 3 f (x) = x – 64 para x = 4 x –4 es:

Resolución 2

f (x)=

(x – 4) (x + 4x + 16) (x – 4)

é æ é 3 x –1ù êç 3 ê ú ëêè ë û f (x ) = × é x –1ù é êë úû êæç 3 êè ë f (x ) =

=x 2 + 4x + 16

f(x) = (4)2 + 4 (4) + 16 = 48

SISTEMA HELICOIDAL

2 ù 2 x ö÷ +æç 3 x ö÷ (1)+(1) ú é x+1ùú ø è ø ûú × êë û 2 ù é 2 x+1ùú x ö÷ +æç 3 x ö÷ (1)+(1) ú êë û ø è ø ú û

(x – 1) ( x + 1) = (x – 1) æç 3 x 2 + 3 x + 1 ö÷ è ø

Aquí: lím f (x ) = x ®1

x +1 3

2

x +

3

x +1

1+1 = 2 1+1+1 3

47

Álgebra

Guía teórica IV

Problemas resueltos Resolución

1. Calcule el verdadero valor de

Para x = 2, T = 0 = indeterminado 0

x–8 E= 3 para x = 8 x–2 A) 4 D) 0

B) 8 E) ∞

Factorizando por divisores binómicos:

C) 12

x–2=0

1

–2

5

–7

–6

2

¯

2

0

10

6

1

0

5

3

0

Resolución Reemplazando se tiene: E=

Numerales: (x – 2) (x3 + 5x + 3)

8–8 0 = = indeterminado 2–2 0

x –2=0

1

5

–13

–2

2

¯

2

14

2

1

7

1

0

Levantando la indeterminación: recordemos que a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b 2).

Denominador: (x – 2)(x2 + 7x + 1) En T:

En E (racionalizando): æ ö ( x – 8) ç 3 x2 + 2 3 x + 4 ÷ è ø E= æ 3 x – 2 ö æ 3 x 2 + 23 x + 4 ö ÷ ç ÷ç è øè ø

T=

(x – 2)(x2 + 7 x + 1)

Simplificando y evaluando: 3 2 3 + 5(2) + 3 21 T = x 2 + 5x + 3 = 2 = x + 7 x + 1 2 + 7(2) + 1 19

Efectuando: E=

(x – 2)(x 3 + 5 x + 3)

æ ö (x – 8) ç 3 x 2 + 2 3 x + 4 ÷ è ø x–8

Rpta.: E 3. Calcule

Luego:

æ ö E= lím ç 1 + 2x – 3 ÷ x ® 4 è 1 + 12x – 7 ø

E = 3 x 2 + 23 x + 4 Reemplazando el valor de x = 8. A) 1 D) 1/3

E = ( 3 8)2 + 2 3 8 + 4 E = 4 + 2(2) + 4 Þ E = 12 Rpta.: C 2. Determine el verdadero valor de 4

3

2

T = x –32x +25 x – 7 x – 6 para x = 2 x + 5 x – 13 x – 2 A) 13/9 D) 7

B) 4 E) 21/19

C) 14

SACO OLIVEROS

B) 7/18 E) –4/3

C) 3/7

Resolución Multiplicando numerador y denominador por sus conjugadas: æ 1 + 2 x – 3 öæ 1 + 2 x + 3 öæ 1 + 12 x + 7 ö ç ÷ç ÷ç ÷ lím è øè øè ø E= x ®4 æ öæ öæ ö ç 1 + 12x – 7 ÷ç 1 + 12x + 7 ÷ç 1 + 2x + 3 ÷ è øè øè ø

48

Álgebra

Guía teórica IV 5. Halle el verdadero valor de

(1 + 2x – 9)æç 1 + 12x + 7 ö÷ lím è ø E= x ®4 (1 + 12x – 49)æç 1 + 2x + 3ö÷ è ø

2 P = 15x3 + 3 x2 – 5 para x = ¥ 4 x + 2x + 4

A) 1 D) –5/4

Factorizando: E=

æ ö 2(x – 4) ç 1 + 12x + 7 ÷ è ø æ ö 12( x – 4) ç 1 + 2x + 3 ÷ è ø

lím x ®4

Para x = ¥ Þ P = ¥ = indeterminado ¥

lím 1 æ 1 + 12 x + 7 ö 6 çè 1 + 2x + 3 ÷ø

Como el mayor exponente de x es 3, extraemos el factor común x3:

x ®4

Evaluando:

æ ö x 3 ç 15 + 32 – 53 ÷ x x x ø è P= æ ö x 3 ç 4 + 2 + 43 ÷ x x ø è

æ ö E = 1 ç 1 + 48 + 7 ÷ 6è 1+8 +3 ø E = 1 · 14 Þ E = 7 6 6 18 Rpta.: B

x x Q = 3125x – 1024 para x = 0 x 5 –4

B) 3 E) 0

Simplificando: 15 + 3 – 5 x x2 x3 P= 4 + 2 + 43 x x

4. Obtenga el verdadero valor de

A) 1 D) 5

C) 9

Tomando límites: N=0 ¥

Resolución

x

5

æ 5ö æ 5ö æ xö æ xö ç 5 ÷ –ç 4 ÷ ç 5 ÷ –ç 4 ÷ Q = è ø x è x ø = è øx è x ø 5 –4 5 –4

NΡ

Reemplazando:

Para x = 0 Þ Q = 0 = indeterminado 0 En Q se tiene: x

C) –1

Resolución

Simplificando se tiene: E=

B) 15/4 E) 0

5

Por ser cociente notable su desarrollo es: Q=(5x)4+(5 x)3 (4x)+(5 x)2(4 x)+(5 x)(4x)+(4 x)4

15 + 3 – 5 P = ¥ ¥ ¥ = 0+ 0 – 0 = 0 4 +0 +0 4 4+ 2 + 4 ¥ ¥ Luego: P = 0 Rpta.: E

Reemplazando el valor de x = 0: Q=(50)4 +(50 )3(4 0)+(5 0)2 (40 )2+(5 0 )(40)3 +(40 )4 Q = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ÞQ = 5 Rpta.: D

SISTEMA HELICOIDAL

49

Álgebra

teórica IV RELACIONES Guía y funciones dominio y rango 26

Marco teórico RELACIONES Y FUNCIONES Introducción

En nuestra vida cotidiana y práctica, el valor de una variable depende del valor de otra. Por ejemplo: el sueldo de una persona depende de la cantidad de horas que trabaje, el pago de la mensualidad del uso de luz en las empresas eléctricas depende del consumo que realice el ; el volumen del espacio ocupado por un gas a presión constante depende de su temperatura; la producción total de una fábrica puede depender del número de máquinas que se utilicen, etc. La relación entre este tipo de cantidades se expresa mediante una función; todas las cantidades que se utilizan en estas relaciones son números reales; de allí el estudio que se va a realizar entre los conceptos de correspondencia; relación y función; así como también la construcción de las gráficas de funciones partiendo de lo elemental. Par ordenado

se cumple que M = N. Calcule el valor de x·y.

Es un conjunto de los elementos a y b con un orden determinado que se simboliza de la forma siguiente (a, b).

Resolución

donde: a: primer componente b: segundo componente Formalmente un par ordenado se define: (a, b) º {{a}, {a, b}} Teoremas importantes 1. (a, b) ≠(b, a) (no conmutativa) 2. Si (a, b) = (c, d) Û a = c Ù b = d Ejemplos Ø El par ordenado (5, 7) no es igual a (7, 5). Ø Si (5, y) = (x, 9) Û 5 = x Ù y = 9 Ø Sean los pares ordenados: M(2x – 5, 8) N(3, 3x + y)

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Como: M = N Luego: (2x – 5, 8) = (3, 3x + y) De allí: 2x – 5 = 3 Þ x = 4 8 = 3x + y Þ y = –4 xy = (4)(– 4) xy = –16 De la definición de par ordenado; se tiene una TERNA ORDENADA de la forma siguiente: (a, b, c) º {{a}, {a, b}, {a, b, c}} Producto cartesiano o conjunto producto Dados dos conjuntos cualesquiera A y B; el producto cartesiano o conjunto producto de A y B (A×B) se define como un conjunto de pares ordenados (a, b) que se pueden formar con los elementos de ambos conjuntos, donde a Î A y b Î B.

50

Álgebra Es decir: A × B = {(a, b)/a Î A Ù b Î B} Ejemplos Sean los conjuntos: A = {1, 3, 4} y B = {2, 5}

Guía teórica IV Representación gráfica de un producto cartesiano 1. Diagrama del árbol Sean los conjuntos: A = {x, y, z} y B = {3, 4, 5} Luego, A × B se representa por medio del diagrama del árbol así:

Luego: Ø A × B = {(a, b)/ a Î A Ù b Î B} Þ A × B = {(1, 2), (1, 5), (3, 2), (3, 5), (4, 2), (4, 5)} Ø B × A = {(a, b)/ a Î B Ù b Î A} Þ B × A = {(2, 1), (2, 3), (2, 4), (5, 1), (5, 3), (5, 4)}

Observación Se nota que el conjunto A×B es diferente al conjunto B×A, luego: A × B ≠B × A el producto cartesiano no es CONMUTATIVO Propiedades 1. Si A y B son conjuntos diferentes: A × B ≠B × A

2. Diagrama cartesiano Sean los conjuntos: A = {1, 3} y B = {4, 5, 6} Luego: A × B = {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6)}

2. Siendo A y B dos conjuntos finitos; tales que el cardinal de A (número de elementos de A) es n(A) y el cardinal de B es n(B) se tiene que: n(A × B) = n(A) · n(B) 3. Si A es conjunto finito; el producto cartesiano A × A se le puede representar como: A2 (Se lee “A dos”) 4. El producto cartesiano A × B es un conjunto vacío si al menos uno de los conjuntos A o B es conjunto vacío, es decir: A × Ø = Ø, Ø × B = Ø 5. El producto cartesiano A × B es un conjunto infinito, si al menos uno de los conjuntos A o B es un conjunto infinito.

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3. Diagrama sagital Sean los conjuntos: A = {1, 8} y B = {0, 3, 4} Luego: A × B={(1, 0), (1, 3), (1, 4), (8, 0), (8, 3), (8, 4)}

51

Álgebra

Guía teórica IV Ejemplo Sean los conjuntos: A = {2, 5, 7} Ù B {3, 4} Dentro de A × B se define la correspondencia: C = {(x, y) Î A × B/ x + y > 8} Se ve que la regla de correspondencia es: P(x, y): x + y > 8

Correspondencia

La correspondencia se puede escribir así:

Dados dos conjuntos no vacíos tales como A y B, definimos como una correspondencia C de A hacia B de la siguiente manera: C = {(x, y) Î A × B/P(x, y)} donde P(x, y) es un enunciado llamado REGLA DE CORRESPONDENCIA que relaciona a los componentes x e y. Una correspondencia C que se tiene desde A hacia B; se denota así C: A ® B.

Þ C = {(5, 4), (7, 3), (7, 4)}

Observación Cuando a cada elemento del conjunto B (de llegada) le corresponde un solo elemento de A (de partida); se le denomina CORRESPONDENCIA BIUNÍVOCA o CORRESPONDENCIA DE UNO A UNO.

Se lee: correspondencia C de A en B; llamándose al conjunto A CONJUNTO DE PARTIDA y a B CONJUNTO DE LLEGADA; así también C es un subconjunto de A × B, es decir: C : A ® BÛ C Ì A × B C es una correspondencia de A en B si y solo sí C es un subconjunto de A × B. Relación binaria Dados los conjuntos A y B no vacíos se denomina relación R de A en B a todo subconjunto del producto cartesiano A × B (R Ì A × B), es decir:

donde P(x, y) es la regla de correspondencia de la relación.

R = {(x, y) Î A × B / P(x, y)}

R es una relación Û R Ì A 2

donde P(x, y) es la regla de correspondencia de la relación.

Una relación definida así se denomina RELACIÓN BINARIA.

Ø Si se tiene un conjunto A no vacío, una relación R es aquella correspondencia R: A ® A tal que:

Ejemplo Sea el conjunto:

R = {(x, y) Î A × A / P(x, y)}

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Se sabe que A × A = A2 ; luego se tiene que:

A = {1, 2, 3} A2 = A × A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}

52

Álgebra

Guía teórica IV

Son relaciones en A los siguientes:

Ejemplo

Ø R 1 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 1)} Se tendrá R 1 = {(x, y) Î A × A / x + y ≤4}

Sea la relación: R1 = {(1, 2), (2, b), (2, 7), (3, 2), (1, –2)} Dom(R1) = {1, 2, 3} Ran(R1 ) = {2, b, 7, –2}

Ø R 2 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} Se tendrá R 2 = {(x, y) Î A 2 / x = y} Ø R 3 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 1)} Se tendrá R 3 = {(x, y) Î A 2 / y = x + 1} Dominio y rango de una relación Tenemos R: A ® A; donde A es un conjunto no vacío; el dominio de R (Dom(R)) se define como el conjunto de las primeras componentes de los pares ordenados que tienen la relación y el rango de R (Ran(R)) es el conjunto de las segundas componentes; así se tiene:

Observación Las relaciones de mayor importancia son aquellas que están definidas en el conjunto de los números reales (¡); aquellas relaciones de la siguiente forma: R :¡ ®¡ ó R Ì¡ ס

Dom(R) = {x Î A/(x, y) Î R} Ran(R) = {y Î A/(x, y) Î R} Además: Dom(R) Ì A y Ran(R) Ì A Funciones Definición Sean dos conjuntos A y B no vacíos; una función F es aquella correspondencia F: A ® B que asigna a cada elemento x Î A, a los más, un elemento y Î B.

Un conjunto F de pares ordenados (x, y) tomados de A × B se denomina FUNCIÓN F de A en B, si y solo sí dos pares distintos no tienen la misma primera componente.

Notación:

Ejemplos 1.

Se nota que para x Î A, $ un y Î B; siendo éste el único; de allí se dice que (x, y) Î F, llamándose a y la imagen de x a través de (o vía) F, teniéndose que y = F(x). También se puede expresar la definición de función de la forma siguiente:

SISTEMA HELICOIDAL

Vemos que f representa una función ya que para cada x Î A, $ y Î B: f = {(1, 6), (2, 4), (3, 5)}

53

Álgebra 2.

Guía teórica IV Propiedad Siendo F un conjunto de pares ordenados; subconjunto de un determinado A × B donde $ dos pares (a, b) y (a, c) que le pertenecen. Este conjunto F será función solamente si aquellos pares son iguales; esto es:F es función « b= c.

Observación g representa una función, pues: g = {(1, 5), (2, 4)}

Toda función es una relación, pero no toda relación es una función. Ejemplo

3.

Halle los valores de a y b para que el conjunto de pares ordenados: A={(2, 5), (–1, –3), (2, 2a – b), (–1, b – a), (a + b2, a)} sea una función. Resolución En una función dos pares distintos nunca tienen el mismo primer elemento. Vemos que h también representa una función, ya que para cada x Î A, $ y Î B: h = {(1, 4), (2, 3), (5, 3)}

4.

Þ (2, 5) y (2, 2a – b) Î A Þ 5 = 2a – b .... (i) (–1, –3) y (–1, b – a) Î A Þ b – a = –3 .... (ii) Sumando (i) y (ii) se tiene: 2 = a , b = –1 Þ F = {(2, 5), (–1, –3), (3, 2)} Evaluación de una función Se tiene la función F: A ® B/ y = F(x).

a no representa una función; ya que el elemento 1 tiene dos correspondientes en B; por tanto a representa una relación. a = {(1, 3), (1, 4), (2, 5), (7, 4)}

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Dando el valor de y se obtiene la evaluación de la función F mediante su regla de correspondencia luego de darle un valor a x. Es decir, que si x = a, el valor de la función, llamado también IMAGEN, que le corresponde será F(a). Así pues se tendrá el par (a, F(a)) Î F. Ejemplo Sea la función: F = {(2, 3), (3, 4), (7, 3), (–2, 6), (4, 1)} Halle M = F(2) + F(7) + F(4).

54

Álgebra

Guía teórica IV

Resolución

asigne valores reales.

Si y = F(x) está en función se puede escribir: F = {(2, F(2)), (3, F(3)), (7, F(7)), (–2, F(–2)), (4, F(4))}

Sea F: A ® B diremos que F es una función real de variable real si A y B son subconjuntos de los reales; es decir: A Ì ¡ y B Ì ¡.

Luego:

Gráfica de una función real de variable real F(2) = 2, F(7) = 3, F(4) = 1

En: M = 2 + 3 + 1 Þ M = 6 Dominio y rango de una función El dominio de una función llamado también conjunto de preimágenes y está formado por todos los primeros componentes de los pares ordenados pertenecientes a la función.

La gráfica de una función F es la representación geométrica de los pares ordenados que pertenecen a la función. Dada la función F: A ® ¡; A Ì ¡, el gráfico de F es un subconjunto del producto cartesiano A × ¡ formado por los pares ordenados (x, F(x)) donde x Î A. Gra(F) = {(x, y) Î ¡2 /y = F(x), x Î Dom(F)} Ejemplo

Notación Sea F: A ® B una función: DF = Dom(F) = {x Î A/(x, y) Î F} El rango de una función llamado también conjunto de imágenes y está dado por todas las segundas componentes de los pares ordenados pertenecientes a la función. Notación: Sea F: A ® B una función: RF = Ran(F) = {y Î B/(x, y) Î F}

Propiedad de las funciones reales Sea F: ¡ ® ¡.

En todo plano cartesiano, una cierta gráfica es la representación de una función si y sólo si cualquier recta vertical (paralela al eje Y) intersecta a dicha gráfica a lo más en un punto.

Además: Dom(F) Ì A y Ran(F) Ì B

Ejemplo

Ejemplo

En cada caso, reconocer si la gráfica representa o no una función.

Dada la función: F = {(1, 3), (2, 3), (4, 9), (5, 10}

Recta

El Dom(F) = {1, 2, 4, 5} y Ran(F) = {3, 9, 10} Función real de variable real Las funciones que se estudian son de la forma F: ¡ ® ¡; es decir, una función que toma valores reales; cuando a su variable independiente se le

SISTEMA HELICOIDAL

55

Álgebra

Guía teórica IV Nota Una función estará bien definida cuando se especifique su dominio y regla de correspondencia.

Problemas resueltos 1. Si f(x) = e2x + e–2x + a y f(0) = 4, halle el rango de f. (UNMSM 2008-II) A) [2, ∞ñ D) [4, ∞ñ

B) [–4, ∞ñ E) [6, ∞ñ

C) [–2, ∞ñ

2. Dado A = {x Î ¢/|x| ≤ 4}, sean f y g funciones de A en ¡ definidas por f(x) = x2 – 3 y g(x) = 1 – x +1 Halle Ran(f) Ç Dom(g). (UNMSM 2008-I)

Resolución Haciendo x = 0 en f: f(0) = e0 + e0 + a, como f(0) = 4 1 + 1 +a = 4Þ a= 2 Luego: f(x) = e2x + e – 2x + 2

A) {0, –2, –3} C) {1, 2, 3} E) {–1, 0, 1}

B) {–3, –2, –1} D) {–3, –2, 1}

Resolución Si |x|≤4 Þ –4 ≤x ≤4

Se sabe que: 2 = 2(1) = 2e0 = 2ex · e –x Þ f(x) = e2x + e–2x + 2ex · e–x f(x) = (ex + e –x)2 Así también: e x > 0 Þ ex + e –x ≥2

Elevando al cuadrado: 0 ≤ x2 ≤ 16 Restando 3: –3 ≤x2 – 3 ≤13 Luego: –3 ≤ f(x) ≤ 13 Ran(f) = [3, 13]

Se tiene que (ex + e –x )2 ≥ 4 Þ f(x) ≥4

En g(x): 1 – x ≥0 Þ x ≤1

El rango de f(x) es [4, ∞ñ.

Dom(g) = á–∞, 1] Rpta.: D

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Álgebra

Guía teórica IV

Ran(f) Ç Dom(g) = {–3, –2, 1} Rpta.: D 3. Sea f(x) = ax2 + bx + c. Si f(0) = 2, f(1) = 6 y f(3) + f(2) = 76, determine el valor de 3a + 2b + c. (UNMSM 2007-II) A) 19 D) 13

B) 23 E) 29

f = {(4, a), (a+2, 2), (0, 6), (4, 6 – a), (5, b+7)} nos expresa una función, se pide la suma de los elementos del rango de dicha función.

Si f(0) = –2 Reemplazando en f(x): f(0) = a(0) + b(0) + c = –2c = –2 Si: f(1) = 6 Þ f(1) = a + b – 2 = 6 Þ a + b = 8 ... (I) f (3) = 9a + 3b – 2ü f (3) + f (2) = 76 ý f (2) = 4a + 2b – 2þ 9 a + 3b – 2 + 4 a + 2b – 2 = 76 Simplificando: 13a + 5b = 80 ... (II) De (I) y (II): a = 5, b = 3 f(x) = 5x2 + 3 x – 2

Rpta.: A 4. El dominio de la función real (UNFV 2006) f (x) = 14 + 5 x – x 2 B) [–2, 7] E) [2, 7]

A) 30 D) 19

B) 17 E) 25

C) 23

Resolución Si f representa una función, se cumple que: a = 6 – a Þ 2a = 6 Þ a = 3 En f: f = {(4, 3), (5, 2b), (0, 6), (5, b+7)}

Reemplazando: 3a + 2b + c = 3(5) + 2(3) – 2 = 19

A) á–2, 7ñ D) á–2, 7]

Rpta.: B 5. Si el siguiente conjunto de pares ordenados:

C) 17

Resolución

es

Dom(f) = [–2, 7]

Así también: 2b = b + 7 Þ b = 7 En f: f = {(4, 3), (5, 14), (0, 6)} Dom(f) = {4, 5, 0} Ran(f) = {3, 6, 14} Suma de elementos del rango de f = 23 Rpta.: C

C) [–2, 7ñ

Resolución Se sabe que 14 + 5x – x2 ≥ 0. Multiplicando por (–1): x2 – 5x – 14 ≤0

SISTEMA HELICOIDAL

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Álgebra

Guía teórica IV

FUNCIONES ESPECIALES - GRÁFICAS 27

Marco teórico FUNCIONES ESPECIALES Función identidad

Función valor absoluto

Es la función con dominio todo ¡ y cuya regla de correspondencia es F(x) = x ó I(x) = x, es decir, cada número real se corresponde asimismo.

Es la función con dominio ¡, cuya regla de correspondencia es: ìï x, x ³ 0 f (x ) = x = í ïî- x, x < 0

La representación geométrica es la recta de pendiente m = tg 45º = 1.

Los pares ordenados del conjunto Graf(f) toman la forma {(x, |x|)/x Î ¡}. Su representación geométrica es la unión de 2 rectas simétricas respecto al eje Y.

Función constante

ìï x, x ³ 0 f ( x) = x = í ïî- x , x < 0

Es aquella función cuya regla de correspondencia es y = c, o bien f(x) = c, y cuyo dominio es ¡.

El rango consta del único número real c. La gráfica es el conjunto de pares ordenados {(x, c)/x Î ¡}, que describe una recta horizontal.

Df = ¡

ìï Número reales no R f = ¡+ í 0 ï negativos, es decir, x ³ 0 î Función raíz cuadrada Su dominio es el conjunto de los números reales ni negativos y su regla de correspondencia es y=

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x , Dom(f) = [0, +∞ñ.

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Álgebra

Guía teórica IV

Función escalón unitario Regla de correspondencia y = ma(x) =

1, x ≥a 0, x < a Función signo (sgn x) ì 1, x > 0 ïï y = sgn( x) = í 0 , x = 0 ï ïî- 1 , x < 0

Función máximo entero Es la función cuya regla de correspondencia es f(x) = x donde x es el máximo entero no mayor que x. f(x) = § x¨ = n Û n ≤x < n+1, n Î ¢ ¢ = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2...} Dom(f) =¡, Ran(f) = ¢

ìn , si n £ x < n + 1 ïn + 1, si n + 1 £ x < n + 2 ï f (x ) = x = í ï.n + 2, si n + 2 £ x < n + 3 ïî.. ì- 2, - 2 £ x < - 1 ï ï- 1 , – 1 £ x < 0 f (x ) = x = í ï 0 , 0 £ x <1 ïî 2 , 2 £ x < 3

Función inverso multiplicativo f ( x) = 1 , x ¹ 0 x

D f = ¡ – {0} R f = ¡ – {0}

SISTEMA HELICOIDAL

Función polinomial Función lineal Su regla de correspondencia es f(x) = ax + b donde a yb son constantes, a ≠ 0. El gráfico es una recta cuya pendiente es a y su ordenada en el origen es b.

Función cuadrática Es la función ¡, y definida por la regla de correspondencia f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a ≠ 0 .

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Álgebra

Guía teórica IV

La representación geométrica es una parábola simétrica respecto a una recta vertical, llamada el EJE DE SIMETRÍA. Abierto hacia arriba cuando a > 0 y abierto hacia abajo cuando a < 0. El vértice de la parábola encontramos transformando f(x) = ax 2 + bx + c, en una función de la forma f(x) = a(x – h)2 + k, mediante el método de completar cuadrados. f(x) = ax2 + bx + c f ( x) = ax 2 + bx + c +

Función cúbica f(x) = ax3 + bx2 + cx + d Reemplazando x por x= –b/3a se transforma en x3 + px + q. Þ f1 (x) = x 3 + px + q de raíces x1 , x 2 y x3 . 2

3

æqö æ pö Llamamos discriminante D = ç ÷ + ç ÷ . è2ø è3 ø

b2 b2 4a 4a

é b b2 ù b2 Þ a ê x2 + x + + cú a 4a ë 4a 2 û 2

b ù 4 ac - b 2 é Sea f ( x) = a ê x + ú + ë 2a û 4a f(x) = a[x – h]2 + k b h=– 2a de donde k =

Función potencia Regla de correspondencia f(x) = xn , n Î ¥.

4 ac - b 2 4a

Cuando a > 0, f(x) toma su valor mínimo (k), b cuando x = – . 2a En f(x) = ax 2 + bx + c, las raíces son x 1 y x2 ; el discriminante es ∆= b2 – 4ac. Función creciente Si x1 , x2 Î Dom(f), tal que:

x1 > x2 Þ f(x1) > f(x2 )

decimos que f es creciente. Función decreciente

f es decreciente Û x 1 > x2 si implica f(x1 ) < f(x2 ) para todo x 1 y x2 perteneciente al dominio de f.

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Álgebra

Guía teórica IV

Álgebra de funciones

Composición de funciones

Igualdad de funciones

Dadas dos funciones g: A ® B y f : B ® C con A, B y C, conjuntos vacíos, la nueva función llamada composición de f y g denotada por ( f o g), es aquella cuyo dominio es:

Dos funciones son iguales si tienen el mismo dominio y la misma regla de correspondencia. Las funciones f y g son iguales si: a) Df = D g

b) f(x) = g(x), " x Î Df = D g

x Î Dom(g) y g(x) Î Dom(f) La regla de correspondencia de f o g, es: (f o g)(x) = f(g(x))

Adición (función suma) Denotada por f + g: f(x) + g(x) = (f+g)(x) D(f+g ) = Df Ç Dg Diferencia (función diferencia) Denotada por f – g: f(x) – g(x) = (f – g)(x) D(f – g) = D f Ç Dg Multiplicación (función producto) Denota por f · g: f(x) g(x) = (fg)(x) D(fg) = D f Ç Dg Cociente (función producto) Denotada por f/g. f (x ) = æ f ö (x) g( x) çè g ÷ø Dæ

fö ç ÷ è gø

Observación Para que exista la nueva función f o g, necesariamente Ran(g) Ç Dom(f) ≠ Ø. Conclusión a) (f o g)(x) = f(g(x)) b) Dom(f o g)(x) = x Î Dom(g) y g(x) Î Dom(f) Ejemplo Dadas las gráficas de f y g: Graf(f)={(3, 5), (4, 3), (5, 2), (2, 2)} Graf(g)={(5, 3), (3, 5), (7, 2)}

= D f Ç Dg , g (x ) ¹ 0

Observación f n (x ) =

f(x)× f(x)× ... × f(x) 14444 4244444 3

n multiplicaciones indicadas

SISTEMA HELICOIDAL

Entonces, Graf(f o g)={(5, 5), (3, 2), (7, 2)}

61

Álgebra

Guía teórica IV

Función inyectiva o univalente

Sea f: A ® B una función de A en B.

Se dice que una función es inyectiva si a cada elemento del rango le corresponde un único valor del dominio.

f es sobreyectiva Û " b Î B, $ a Î A/f(a) = b o bien f es sobreyectiva Û Ran(f) = B.

Formalmente: f es inyectiva si al elegir arbitrariamente dos elementos x1 y x2 del dominio de f, se cumple x1 ≠ x2 Þ f(x1 ) ≠ f(x2 ).

Interpretación gráfica

Equivalente la función f: A ® B es inyecta, si f(x1 ) = f(x1) Þ x 1 = x 2, para todo x Î ¡. Ejemplo ¿Es f ( x) =

x +1 inyectiva? Dom(f) = ¡ – {1} x -1

Solución Sean x1, x2 Î Dom( f). x +1 x 2 +1 = Þ x1 = x 2 Si f (x1) = f (x 2 ) Þ 1 x1 - 1 x 2 - 1 \ f es inyectiva.

Función sobreyectiva

Función no sobreyectiva

Función biyectiva Una función es biyectiva si es inyectiva y suryectiva a la vez. Interpretación gráfica

Teorema Una función f es inyectiva si cualquier recta horizontal corta a su gráfico a lo más en un punto.

Función inversa

Función suryectiva (sobreyectiva)

a) Dada la función f: A ® B. Si f es biyectiva, existe la inversa de f: x ® y = f(x). La inversa de f es f*: y ® x = f*(y).

También denominada función epiyectica. Una función es suryectiva si el conjunto de llegada queda cubierto por el rango.

b) En caso de tenerse la Graf(f) = {(x, f(x))/xÎ A)}, la inversa de la gráfica de f es Graf(f*) = {(x, f(x))/x Î A)}.

Es decir, el rango y el conjunto de llegada coinciden.

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Álgebra

Guía teórica IV

Gráfico de la función inversa El gráfico de f* es simétrico a f respecto a la identidad de f(x) = x.

Problemas resueltos 1. Halle el área de la región limitada por las gráficas de las funciones (UNMSM 2009-I) f (x ) = 2 x y g(x ) = x + 5 2 A) 38/3 u 2 C) 32/3 u 2 E) 16/3 u 2

B) 20/3 u 2 D) 40/3 u 2

æ 10 ö ç 3 ÷ (5) (2)(5) AT = + è ø Þ A T = 5 + 25 2 2 3 A T = 40 u 2 3 Rpta.: D 2. Si f es una función definida por f(x) = 4 – |x + 3|, x Î ¡

Resolución Graficando las funciones se sabe que: f(x) = 2x Ú f(x) = –2x

A) 14 u2 D) 18 u2

Hallamos puntos de intersección: 5x y = –2x = x + 5 Þ – =5Þ 2 2

y = 2x = x + 5 Þ 3 x = 5 Þ 2 2

entonces, el área, en u2 , de la región limitada por f y el eje de las abscisas es (UNFV 2007)

x = –2 y=4

B) 15 u2 E) 19 u2

C) 16 u2

Resolución La gráfica de f(x) es:

x = 10 3 20 y= 3 –|x + 3|® Se abre hacia abajo. En f(x) = 4 – |x + 3| Si y =0 Þ |x+3| = 4 \ x1 = 1 Ú x1 = –7 Þ S = bh = 2

AT = P + Q

SISTEMA HELICOIDAL

8·4 = 16 u2 2 Rpta.: C

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Álgebra

Guía teórica IV

3. Dada la función lineal f(x) = ax + b, ab > 0, marque la alternativa que representa la gráfica de dicha función. (UNFV 2004)

5. Grafique la siguiente función: f(x) = |x + 2| –3

E) Más de una es correcta. Resolución Si: ìïPendiente positiva y = ax + b í ïî(ab > 0)

Resolución

i) a > 0, b > 0 Þ ab > 0 ii) a < 0, b < 0 Þ ab > 0 Más de una es correcta.

Haciendo el desplazamiento horizontal y vertical: Rpta.: E

|x + 2|: Traslado horizontal (se abre hacia arriba) |x + 3|–3: Traslado vertical

4. Dada la función constante f(x) = (m2 – 9)x2 + (m + 3)x + m, " x Î ¡ determine el rango de dicha función. A) {3} D) {–9}

B) {–3} E) {1}

C) {9} Rpta.: C

Resolución Si f(x) es constante se cumple: m2 – 9 =0 Ù m + 3 = 0 Þ m2 = 9 Ù m + 3 = 0 m = ± 9 = ±3 Ù m = –3 Luego: m = –3 Dicha función es: f(x) = –3, " x Î ¡ \ Ran(f) = {–3} Rpta.: B

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64

Álgebra

LOGARITMOS - DEFINICIÓN Guía teórica IV PROPIEDADES TEOREMAS IMPORTANTES 28

Marco teórico LOGARITMOS Se denomina logaritmo de un número positivo x en una base dada b, positiva y distinta de la unidad, al exponente real y a que debe elevarse dicha base, para obtener una potencia igual al número dado.

log 5

Algoritmo y

logbx = y « b = x; x > 0, b > 0, b ≠ 1 Donde: x: número real positivo b: base del logaritmo y: logaritmo definido en ¡

5

5

5 .

=y«

y

5

5

=52 «

y

=

5

5

y

5 = 5

5

5 ® y=5 2 2

Debemos tener en cuenta lo siguiente:

Consecuencia de la definición Sabemos que: logb x = y . . . (a) b y = x . . . (b)

Sustituyendo (a) en (b), resulta:

1. Calcule log32512.

log32512 = y « 32y = 512 2 5y = 29 « 5y = 9 ® y =

9 5

1. 5 log5 14 = 14 = x +2

3. 10log(a – 8) = a – 8 y

-3

Ejemplos explicativos log m x+ 2

æ ö log 2 ç 27 ÷ = y « æç 2 ö÷ = 27 8 3 è 8 ø è3ø æ2ö =æ3ö =æ2ö ç3÷ ç 2÷ ç3÷ è ø è ø è ø

b logb x = x ; x > 0, b > 0, b ≠ 1

2. m

2. Calcule log 2 æç 27 ö÷ . 3 è 8 ø

3

5 5

55

logbb = 1 , logb 1 = 0

Ejemplos explicativos

y

5

3. Calcule log

® y = –3

4. eln abc = abc 5. 64 6.

3

log 4 5

9

= éê 4 ë

log 9 216

log 4 5 ù

3

3

úû = [5] = 125

3

= 9

log 9 216

= 3 216 = 6

7.

SISTEMA HELICOIDAL

65

Álgebra

Guía teórica IV

Propiedades fundamentales Teorema 1: Logaritmo de un producto

3. Considerando que logb a = 2, dé el valor de la expresión:

logb (M · N) = logb M + logb N; M > 0, N > 0 Teorema 2: Logaritmo de un cociente log b æç M ö÷ = log bM – log bN; M > 0, N > 0 èN ø Teorema 3: Logaritmo de una potencia logb

Mn

= n · log bM; M > 0

log b M n

Aplicaciones elementales æ 34 ö 1. Dé el valor de E=log b ç a 2 b ÷ sabiendo que ç c ÷ è ø logb a = 1/4 y log b c = 5/2. Ø Desarrollando E, por propiedades:

E=3log ba +

log b b 4

b a

T = loga a + loga 4 b + logb a 4 b – logb b 4 a b a Del mismo modo, extendiéndolo y buscando el dato log ba, se tiene:

+log b a +log b 4 b –log b b –log b 4 a T= 1 – 2

3

a b b

Ø Desarrollando por propiedades:

; M > 0, n ¹ 0

E=log b a + log b 4 b - log b c

a b × + log b a

T=log a a –log a b +log a 4 b –log a 4 a

Teorema 4: Logaritmo de una raíz log b n M =

T = log a

2

- 2log bc

æ1ö 1 æ5ö Por datos: E = 3 ç ÷ + -2 ç ÷ = -4 4 4 è ø è 2ø

log ab log ab 1 log ba 1 1 log ba + – + + – – 2 4 4 2 4 2 4

Luego: T=–

log a b 4

+

log b a 4

Como: log b a = 2 ® log a b = 1 2 1 1 3 Por lo tanto: T = - + = 8 2 8 4. Resuelva la ecuación 100x = 3x – 2 si se sabe que log3 = m + 2. Ø Tomando logaritmo en base 10, en ambos de la ecuación exponencial: log100x = log3x – 2 xlog100 = (x – 2)log3

2. Calcule el valor aproximado de log500 si por tablas logarítmicas log2 = 0,30103. Ø Veamos: log500 = log æç 1000 ö÷ è 2 ø log500 = log1000 – log2 log500 = 3 – 0,30103 Por lo tanto: log500 = 2,69897

SACO OLIVEROS

2x = x log3 – 2log3 2log3 = x (log 3 – 2) Luego x = x=

2log3 , por dato: log3 - 2

2(m + 2) , es decir: (m + 2) - 2

x=

2(m + 2) m

66

Álgebra

Guía teórica IV

Antilogaritmo y exponencial antilogb y

= b y;

y Ρ, b > 0, b ≠ 1

Ø Por definición: e

-3

= 4 3 = 64

4 4 Ø antilog 3 2 4 = (3 2) = 3 (4) = 324

Ejemplo 2 Despeje el valor de m en: é exp (m + 3)ù 2 ëê ûú

Ø antilog5 = 105 = 100 000 Ø antiln2 = e2, siendo e ≈2,718

6

Ø

Propiedades 1.º antilogb logbN = N, N > 0

é (m+ 3) ù êë 2 úû = 4

exp b y

3.° (expbx)n = exp bnx, n Î ¥ 4.°

n

æ ö exp b x = exp b ç x ÷ ; n Î ¥, n ³ 2 èn ø

Debemos notar que, si la base del exponencial es el número trascendente e, la representación convencional es más reducida, así: expex = expx = ex

· 5 8m

De la exponencial continua y finita: exp · exp · exp · . . . · exp x = x dé el valor de E=x x , x Î ¡ - ¤. Ø Por definición:

1.° expb x · expb y = expb (x + y) = exp b ( x - y)

x =e

e

e

N

e

x

, por propiedad

x

x =e

Cologaritmo colog b x = log b æç 1 ö÷ = –log b x ; x > 0, b > 0, b ¹ 1 èx ø Ejemplos explicativos Ø colog3 81 = – log3 81 = – 4 Ø

co log 1 64 = - log 1 64 = -(- 3) = 3

Ø

co log6 2 3 4 = - log 6

4

4

3 2

4 = -4

Ejemplo 1

Ø colog100 000 = – log100 000 = –5

Resuelva la ecuación exp(3x – 5) = e, donde e es la base de los logaritmos naturales.

Ø

SISTEMA HELICOIDAL

8

Ejemplo 3

Propiedades del exponencial

2.°

exp m

3m =–22, finalmente: m = –5 5

5m –

expbx = b ; x Î ¡, b > 0, b ≠ 1

expb x <> antilogb x

m- 4 2

5

Igualando bases: 6m + 18 = m – 3m/5

x

Se observa que este operador es equivalente a la del antilogaritmo. Por ello, se establece que:

= exp æç m - 4 ö÷ 4 è 2 ø

3m

En el análisis matemático, se define:

El cual se lee: “exponencial del número x en base b”.

6

26 m+18 = 2m-4 × 2 5

2.º logbantilog bN = N, N Î ¡

exp b x

1

= e2

Luego 3 x - 5 = 1 , es decir: x = 11 2 6

Ejemplos explicativos æ 1ö Ø antilog 1 (-3) = ç ÷ è4ø 4

3 x-5

colog e = - log e = -

log e 2

=-

1 2

67

Álgebra

Guía teórica IV n

Propiedades 1.º cologb antilogb N = –N, N Î ¡

2.º antilogb cologb N = 1/N, N > 0 Ejemplo Dé el valor, luego de reducir:

A) logb a = logb n a B)

logb N = log ba loga N

Fórmula del cambio de base

E = log 3 antilog 3 co log 3 9 - co log 3 antilog 3 log 3 9 144 42444 3 1442443 æ1ö –1 Ø E = log 3 ç 9 ÷ - co log 39 = log 39 – (log 3 9) è ø

Por consecuencia de la definición: N = b logb N = aloga N, donde a ≠ b Tomando logaritmo en base a, en ambos de la igualdad:

Finalmente: E = –log3 9 + log39 = 0 Propiedades diversas 1. Regla de la cadena logba · logcb · log dc · log ed = loge a 2. Producto unitario logba · loga b = 1 3. Logaritmo constante n

a A) logb a = log bn

B)

log ba = log n

n b

a

p log q a = æç p ö÷ log a b b è qø

5. Permutación de a y c alog bc m

ö ÷ log N ÷ a ø

Como las constantes a y b son conocidas, la fracæ ö ción ç 1 ÷ nos representa un factor de converlog b è a ø sión, el cual es constante. Asumiendo que:

4. Extracción directa de un factor

En general:

æ \ log N = ç 1 b ç log b è a

1 logab

= m (constante)

Entonces, la fórmula matemática: logbN = mloga N Nos permite cambiar un logaritmo de base a a base b, para lo cual se debe conocer m el cual se denomina módulo de paso o de transformación. Por ejemplo

= c logb a

La fórmula que nos permite cambiar un logaritmo de base 3 a base 2, es la siguiente: log2N = mlog3 N

m

alogb c = c logb a , m Î ¡ 6. Equivalente logarítmico de un exponencial an = b nlogb a; a > 0, b > 0, b ≠ 1

donde el módulo de paso, se obtiene de: m=

1 log3 0,47712 = = = 1,584 log 32 log2 0,30103

Por lo tanto: log2 N = (1,584)log 3N

SACO OLIVEROS

68

Álgebra

Guía teórica IV

Problemas resueltos 1. Si xlog820 = 1 + log 45, indique el valor de 4x 2

– 2x + 1

A)

(UNMSM 2006-I) A) 4 D) 2

B) 7 E) 3/2

2b + 1 3

E)

2b + 1 3

C) 1 + b 2

Se sabe que log128 = 3log122. Multiplicando y dividiendo por 2:

æ ö Pero 3 log12 4 = 3 log12 ç 12 ÷ 2 2 è 3ø

x

Por propiedad: log2 20 = log2 20 3

B)

Resolución

En la condición: xlog8 20 = log44 + log 45 log820x = log4 20

Luego:

3 (1 – b) 2

D) 5b + 1

C) 2/3

Resolución

3

3. Si log123 = b, halle log12 8. (UNFV 2005)

x

x

1

Por propiedad: = 3 [log 1212 – log 12 3] 2

20 = 20 Þ 20 3 = 20 2

Entonces: x = 1 Þ x = 3 3 2 2 Reemplazando en:

\ log12 8 = 3 (1 – b) 2

2

4 x 2 – 2x + 1 = 4 æç 3 ö÷ – 2 æç 3 ö÷ + 1 è 2ø è 2ø =9–3+1=7 Rpta.: B 2. Sabiendo que log15 = a, log21 = b y log35 = c, calcule log49. (UNMSM 2005-I) A) b +c – a C) 2a – b + c E) c – a – b

B) a – b + c D) b – 2a + c

Rpta.: A 4. Si loga00 = m, halle loga a0. (UNMSM 2006-II) A)

m m–2

B)

D) m – 1

m– 1 m–2

C) m + 2 m

E) 2 m – 3

Resolución De loga00 = m loga(100) = m Por propiedad: loga + log100 = m ... (a) Se sabe que log100 = 2

Resolución log15 = a Þ log3 + log5 = a ... (I) log21 = b Þ log3 + log7 = b ... (II) log35 = c Þ log5 + log7 = c ... (III) Sumando (II) y (III): log 3 244 + log35 + 2log 7 = b + c 144 Reemplazando: a + 2log7 = b + c log49 = b + c – a

En (a): log a + 2 = m Þ loga = m – 2 Así también: logaa0, cambiando a base 10: Þ loga a 0 = =

log a 0 log a(10) = log a log a

log a + log10 log a + 1 = log a log a

Rpta.: A

SISTEMA HELICOIDAL

69

Álgebra

Guía teórica IV

Reemplazando: loga a 0 = m – 2 + 1 = m – 1 m– 2 m– 2 Rpta.: B 5. Los logaritmos decimales de 2 y 3 son: log2 = 0,3010 y log3 = 0,4771 Calcule log 2880 con 4 cifras decimales. (UNMSM 2004-I) A) 1,4116 D) 1,7060

B) 1,7296 E) 2,0103

C) 2,2236

Resolución Se tiene:

Por propiedad: = 1 éë log 25 + log 3 2 + log10ùû 2 = 1 [5 log 2+2log 3+log10] 2 Reemplazando: log 2880 = 1 [5(0,3010) + 2(0,4771) + 1] 2 = 1 [1,5050 + 0,9542 + 1] 2 log 2880 = 1 (3,4592) = 1,7296 2 Rpta.: B

log 2880 = 1 log 2880 2 = 1 (log(25 · 3 2 · 10)) 2

SACO OLIVEROS

70

Álgebra

LOGARITMOS II - ECUACIONES Guía teórica IV LOGARÍTMICAS - PROPIEDADES - SISTEMAS DE EC. LOGARÍTMICAS

29

Marco teórico LOGARITMOS II Cologaritmo

Propiedades

Se define el cologaritmo de un número N

Siendo a > 0 Ù a ≠ 1 Ù x Î ¡, se cumple que:

(N > 0) en una cierta base a (a > 0 Ù a ≠ 1), que se denota por colog aN, como el logaritmo de la inversa de N en la misma base a. æ1ö colog a N = log a çç ÷÷ = – log a N èNø 1 Ejemplo: colog 2 = ..... 2

antilogax = exp a(x) = ax

1. antilogx = exp10(x) = 10x 2. antilogex = expe (x) = ex

3. antilogaloga N = N, N > 0 4. logaantiloga X = X, X Î ¡

5. antiloga(x + y) = antiloga x · antilogay

Propiedades

6. antiloga(px) = (antilog ax)p

Siendo M > 0 Ù N > 0; a > 0 Ù a ≠ 1 Ù p Î ¡,

Principales sistemas de logaritmos

se cumple que:

4. colog a(M · N) = cologaM + cologaN

Sólo dos de los infinitos sistemas que existen, son los de mayor aplicación matemática en diferentes campos profesionales: los logaritmos decimales y los logaritmos naturales. Se aplican por ejemplo en Economía, Estadística, istración, Ingeniería, etc.

æ ö 5. colog a ç M ÷ = colog a M – colog a N èN ø 6. colog aNp = p · cologa N

1. Logaritmos decimales, vulgares o de Briggs

1. colog a1 = 0 y cologaa = –1 1 N 3. colog a(ap) = –p 2. a

colog a N

=

Antilogaritmo Consiste en otra forma de denotar a la función EXPONENCIAL, y se define así: Siendo: a > 0 Ù a ≠ 1 Ù x Î ¡

antilogax = expa(x) = a x

Ejemplo antilog2 3 = ............

SISTEMA HELICOIDAL

El sistema de los logaritmos decimales es el más utilizado, sobre todo en múltiples cálculos aritméticos, y tiene como base a 10. Para el cálculo de los logaritmos en éste sistema se ha elaborado, desde hace mucho tiempo atrás, diferentes TABLAS LOGARÍTMICAS; las primeras con cuatro cifras decimales de aproximación y las últimas hasta con ocho cifras.

71

Álgebra

Guía teórica IV

En la actualidad, éstas tablas logarítmicas han sido desplazadas y ampliamente aventajadas por las calculadoras electrónicas y computadoras personales; donde es posible calcular el logaritmo decimal de cualquier número positivo y con una cantidad deseada de cifras decimales de aproximación.

Para el cálculo de logaritmos naturales también se han elaborado tablas logarítmicas de éste sistema; pero con ciertas limitaciones, dado que no es posible emplear criterios similares a aquellos de los logaritmos decimales. Pero, conociendo el logaritmo decimal de un cierto número N, se puede calcular el logaritmo natural del mismo número.

Notación

Notación: logeN <> ln N

log10N <> log N

Se lee: logaritmo natural o logaritmo neperiano de N.

y se lee logaritmo decimal de N. Ø log2 = 0,301030...... Ø log3 = 0,477125...... Ø log7 = 0,845098......

Dentro de éste sistema, hay que tener en cuenta dos valores “notables”, que son: log e =

1 = 0,434294... ln10

ln10 =

1 = 2,302 585... log e

2. Logaritmos naturales, neperianos o hiperbólicos Este sistema es de mucha importancia en el análisis matemático, puesto que su base (el número e) se obtiene como resultado del cálculo del límite de una función:

Función logarítmica Definición Siendo a > 0 Ù a ≠ 1, se define la FUNCIÓN LOGARITMO así: y = G(x) = log ax, cuyo dominio de definición es:

1 x

lim (1 + x ) = e x ®0

Dom(log) = ¡ + = á0, +∞ñ

donde el desarrollo de la función, aplicando el binomio de Newton en el caso general, es: æ (1 + x) = ç çç è 1

x

1 ö x÷

æ1ö æ x 1 +ç ÷ x +ç ÷ ç ÷ çç 0 ÷ø çè 1 ÷ø è

1 ö x÷

æ x +ç ÷ çç 2 ÷ø è 2

1 ö x÷

÷ 3 ÷ø

3

x + ...

en el límite, cuando x ® 0, resulta: 1 x

lím (1+ x ) = 1+ x®0

1 1 1 1 + + + + ... 1! 2! 3! 4!

Luego: e = 1+

1 1 1 1 + + + + ... = 2,71828182... 1! 2! 3! 4!

SACO OLIVEROS

La gráfica cartesiana de la función LOGARITMO es la reflexión de la gráfica de la EXPONENCIAL con respecto a la recta y = x (y viceversa). Generalizando, la función LOGARITMO: y = G(x) = logax es la INVERSA de la función EXPONENCIAL: y = F(x) = expa (x) con a > 0 Ù a ≠ 1 de donde: Dom(log) = Ran(exp) = ¡+ = á0, +∞ñ Ran(log) = Dom(exp) = ¡

1. Caso: a > 1 Cuando a > 1, la gráfica cartesiana de la función LOGARITMO siempre guarda la misma forma que la exponencial.

72

Álgebra

Guía teórica IV

Características

Características

Es una función creciente, " xÎ Dom(log) = ¡+.

Ø Es una función decreciente, " x Î Dom(log) = ¡+. Ø Es una función inyectiva y posee inversa.

Ø Ø Es una función inyectiva (posee inversa).

En ambos casos se puede observar que la función LOGARITMO es continua, en todo su dominio. Ecuaciones e inecuaciones logarítmicas I.

2. Caso: 0 < a < 1 La gráfica se comporta de la siguiente forma:

Sean f(x) y g(x) expresiones matemáticas de valores reales. Sea a > 0 Ù a ≠ 1, la ecuación: logaf(x) = log ag(x), es equivalente al sistema mixto. ì f (x) > 0.............S1 ïï íg( x) > 0.............S 2 ï ïî f (x) = g(x ).........S 3 CS= S1 Ç S2 Ç S3 Ejercicio Resuelva: log2(x2 – 4) = log 2 (4x – 7)

Problemas resueltos 1. Si x > 1 es una solución de la ecuación logx2

logx

+ logx5 – log1000 = 0

determine el valor de A) 10 D) 15

B) 20 E) 12

x2

+

10 x2

.

C) 100

(2logx – 1)(logx + 3) = 0 Luego: 2log x – 1 = 0 log x +3 = 0 logx = 1/2 logx = –3 \ x1 = 101/2 = 10 Ú x 2 = 10 -3 = Si x > 1 Þ x = 10

Resolución

Reemplazando:

Por propiedad en la ecuación:

x2 +

logx 2 · logx + 5logx – log10 3 = 0

1 103

10 2

x +1

2

= 10 +

10 10

2

+ 1 = 12 Rpta.: E

SISTEMA HELICOIDAL

73

Álgebra

Guía teórica IV

2. Halle x. 2logx = log4 + log49 + log3 + 2 log2 – log12 (UNMSM 2004) A) 196 D) 14

B) 49 E) 16

2 Por definición: (x - 1) = 1 x2 x 2 - 2x + 1 = x 2 Þ 2x = 1

C) 12

x = 1/2 Rpta.: E

Resolución

4. Halle el producto de las soluciones de

Se tiene en la ecuación:

log x =

2logx = log4 + log49 + log3 + log4 – log12 Se sabe que logaM + log aN = log a(M · N)

A) 109 D) 103

log x 2 = log = (4 ´ 49 ´ 3 ´ 4) - log12 æ 4 ´ 49 ´ 3 ´ 4 ö log x 2 = log çç ÷÷ 12 è ø

log x 7 - 12. (UNMSM 2004-I) B) 106 E) 105

C) 107

Resolución Elevando al cuadrado:

Simplificando logx2 = log(4 × 49) \ x2 = 4 × 49 Þ x = 14 Rpta.: D

(logx)2 = logx7 – 12 (logx)2 = 7logx – 12 (logx)2 – 7logx + 12 = 0

3. Halle el valor de x en la ecuación siguiente: 1 2 + log x (x - 1)2 + log x æç 2 ö÷ = log x x 2 èx ø (UNMSM 2004-I) A) 2 D) 4

x1 = 10 4 Ú x2 = 10 3

B) 1 E) 1/2

C) 1/4

Resolución Si logx x = 2 En la ecuación se tiene: æ 1 2 + log x (x - 1)2 + log x ç 2 èx

ö ÷=2 ø

1 ö Simplificando log x ( x - 1)2 + log x æç ÷=0 è x2 ø (x - 1)2 x2

Producto de soluciones = 10 4 · 103 = 107 Rpta.: C 5. El logaritmo de N en base 5 es igual al logaritmo 7 de M en base 5. Si M+ N = , halle M – N. 4 (UNMSM 2004-I)

2

Por propiedad: log x

Þ (logx – 4)(logx – 3)= 0 logx – 4 = 0 Ú logx – 3 logx = 4 Ú logx = 3

=0

SACO OLIVEROS

A)

2-

1 2

C) 2 2 E)

2-

11 4

B) 2 2 D) 2 2 -

11 2 1 2

11 2

74

Álgebra Resolución Por el enunciado: log5N = log 5M

Por propiedad: log5 N = log5M2 Þ N = M2 ... (1) 7 En la condición: M+ N = 4 M + M 2 = 7/4 4M 2 + 4M – 7 = 0

Guía teórica IV M= M=

-4 ± 16 - 4(4)( -7) 8

=

-4 ± 128

-4 ± 8 2 -1 ± 2 2 = Þ 8 2

8 M=

2-

1 2

2

1ö 9 æ N= ç 2- ÷ = - 2 2 4 è ø 1 9 11 \ M- N = 2 - - + 2 = 2 2 2 2 4 Rpta.: C

SISTEMA HELICOIDAL

75

LOGARITMOS NEPERIANOS teórica IV ANTILOGARITMOS Guía Y LOGARITMOS TEOREMAS IMPORTANTES 30

Álgebra

Problemas resueltos 1. De la igualdad colog8 163 – x = x + 3, halle x. A) 11 D) 19

B) 15 E) 21

C) 17

Resolución Se sabe que: ln 6 = ln 3 + ln 2 = a ...(I) æ9ö ln ç ÷ = ln 9 - ln 4 = 2b è4ø

Resolución Transformando el cologaritmo a logaritmo. –log816 3 – x

= x + 3 Þ log8

Por definición:

163 – x

= ln 3 2 - ln 2 2 = 2b = 2ln 3 - 2ln 2 = 2b

= –x – 3

÷2 Þ ln3 – ln2 = b ... (II) 8– x – 3 = 16 3 – x

A bases iguales: (23 )

–x – 3

= (24 )

De (I) y (II) : 2ln 3 = a + b a+b ln 3 = 2 a- b ln 2 = Luego: 2

3 –x

2 –3x – 9 = 212 – 4x Exponentes iguales

\ (ln 3)(ln 2) =

Þ –3x – 9 = 12 – 4x

a2 - b2 4

x = 21

Rpta.: D

Rpta.: E æ9ö 2. Si ln(6) = a y ln ç ÷ = 2b, calcule (ln2)(ln3) en è4ø términos de a y b. A)

a2 + b2 8

B)

a 2 + 2b 2 16

C)

a2 - 2b2 2

D)

a2 - b2 4

E)

2

2

2a + b 4

SACO OLIVEROS

3. Simplifique E = colog 6 éëantilog 8(log 2 3 + 1)ùû A) 8 D) –3

B) –4 E) 10

C) 6

Resolución E = colog 6 éëantilog 8 (log 2 3 + log 2 2)ùû Por propiedad: E = colog 6 éëantilog 8 (log 2 6)ùû

76

Álgebra

Guía teórica IV 5. Halle x en

Elevando al cubo:

e x - e -x

é ù E = colog 6 êantilog 8 æç log 8 63 ö÷ ú è ø ë û Si antilog b(log b N) = N

x

e +e A) ln(2 +

Luego: E = colog é63 ù = - log 63 6ë 6 û E = –3

-x

3

E) ln 3 +

2

1 3

B) ln 2 - 3

3)

C) ln 2 +

=

D) ln(2 -

3)

Rpta.: D Resolución 4. Al resolver log x- 2 éêantilog 3 (antilog 3 2) ùú - 3 = 0 5 ë û halle x. A) 2 D) 8

B) 5 E) 10

Por propiedad de las proporciones: 2e x

C) 7

2e - x

3 +1

=

3 -1

Þ e 2x =

3 +1 3 -1

Racionalizando:

Resolución

e2 x =

Transponiendo: log x- 2 éêantilog 3 (antilog 3 2) ùú = 3 5 ë û Por definición:

e2 x =

3 +1 3 -1

3 +1

×

4 +2 3 2

3 +1 Þ e2 x = 2 + 3

Aplicando ln en:

log x - 2 éêanti log 3 3 2 ùú = 3 ë 5 û log

x -x La ecuación es e + e = 3 . e x - e- x

éanti log 9 ù = 3 35 ú (x- 2 ) êë û

2 x ln e = ln(2 +

9

log x- 2 æç 3 5 ö÷ = 3 Þ log x- 2 53 = 3 è ø Por definición de log:

x=

1 ln(2 + 2

3)

3) \ ln 2 +

3 Rpta.: C

(x – 2)3 = 125 Þ (x – 2)3 = 53 Þx–2=5 \ x=7 Rpta.: C

SISTEMA HELICOIDAL

77

Álgebra

Guía teórica YIV PROGRESIONES ARITMÉTICAS GEOMÉTRICAS

31

Marco teórico PROGRESIÓN ARITMÉTICA Es una sucesión de números que se generan mediante la siguiente ley de formación: cada término es igual a su precedente más una cantidad constante nombrada razón o diferencia de la progresión. Elementos de una progresión aritmética Primer término Último término Razón o diferencia Término de lugar k Número de términos Suma de términos

: : : : : :

a u r Tk n S

Clases de progresiones aritméticas 1. Crecientes: Cuando la razón es una cantidad positiva. Ejemplo ÷4, 9, 14, 19, 24, ... (r = 9 – 4 = 5) 2. Decrecientes: Cuando la razón es una cantidad negativa. Ejemplo ÷25, 22, 19, 16, 13, ... (r = 22 – 25 = –3) Formas de representar una progresión aritmética 1. Cuando no se conoce el número de términos:

2. Cuando el número de términos es impar. ... · a – 3r · a – 2r · a – r · a · a + r · a + 2r · a + 3r

Nota Se comienza por los dos términos marcados, luego se agregan en ambos lados la misma cantidad de términos hasta completar los términos requeridos. 3. Cuando el número de términos es par. ... · a – 5r · a – 3r · a – r · a + r · a + 3r · a + 5r ... Termino general de una PA Tk = a + (k – 1)r Ultimo término de la PA Si la PA ite n términos, el último ocupa la posición n, es decir: T n = u; luego: u + a + (n – 1)r Teorema En toda PA finita se verifica que la suma de dos términos equidistantes de los extremos es constante e igual a la suma de los extremos. b + t = c + q = d + p ... = a + u

÷a · a + r · a + 2r · a + 3r...

SACO OLIVEROS

78

Álgebra

Guía teórica IV

Consecuencia

Interpolación de medios aritméticos

Si la PA tiene un número impar de términos, el término central (Tc) es la media aritmética de los extremos.

Interpolar m medios aritméticos o diferenciales entre dos números dados a y b es formar una PA con (m +2) términos cuyos extremos sean los números propuestos a y b. De lo expuesto se tiene:

Tc = a + u 2

÷a.............................b

Suma de términos de la PA

m números

(a + u) n S= 2

r = b -a m+ 1 r : razón de interpolación PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

Es una sucesión de números en la cual el primer término es distinto de cero y cada uno de los siguientes se obtiene multiplicando su precedente por una cantidad constante, diferente de cero, nombrada razón o cociente de la progresión.

Formas de geométrica

Elementos de una progresión geométrica

2. Cuando el número de términos es impar.

Primer término Último término Razón o cociente Término de lugar k Suma de términos Producto de términos Número de términos

3. Cuando el número de términos es par.

: : : : : : :

a u q Tk S P n

representar

una

progresión

1. Cuando no se conoce el número de términos. ÷ a: aq: aq2 : aq3

Clases de progresiones geométricas

Teorema

1. Crecientes: Aquellas cuya razón es mayor que la unidad.

En toda progresión geométrica finita, el producto de los términos equidistantes de sus extremos es constante e igual al producto de los extremos.

Ejemplo ¸ 2 : 6 : 18 : 54... æç q = 6 = 3 ö÷ 2 è ø 2. Decrecientes: Cuando su razón es un número positivo menor que la unidad. Ejemplo ¸ 48 : 24 : 12 : 6... æç q = 24 = 1 ö÷ 48 2 ø è

SISTEMA HELICOIDAL

Sea la PG: ÷÷a, b, c, ..., p, t, u bt = = ... = au Consecuencia Si la PG ite un número impar de términos, el término central (Tc) es la media geométrica de los términos extremos. Tc = au

79

Álgebra

Guía teórica IV

Término general de una progresión geométrica Tk

= aqk – 1

Multiplicando ambos términos por –1: S = a , |q| < 1 1-q

Último término Si la PG tiene n términos el último ocupa la posición n, es decir, u = T n . u = aq

n–1

Producto de términos P = (au)n Suma de términos de una PG finita n

a (q - 1) S= q -1

ó

uq - a S= q -1

Interpolación de medios geométricos Interpolar m medios geométricos o proporcionales entre dos cantidades propuestas a y b es formar una PG que contiene (m + 2) términos, siendo además los extremos, las cantidades propuestas. De lo expuesto se tiene: ¸ ¸ a............... 14243 b , m términos

q = m+1 b a

q: razón de interpolación

Límite de una serie geométrica La suma de un conjunto infinito de términos de una PG ite solamente si el valor absoluto de su razón q verifica: |q|< 1; este tipo de series se nombran infinitamente decreciente y en ellas cuando n ® ∞, el último: u ® 0. Al sustituir en la fórmula: S=

uq - a 0×q - a Þ S= = -a q 1 q -1 q -1

SACO OLIVEROS

80

Álgebra

Guía teórica IV

Problemas resueltos 1. Sean a, b, c, d y e cinco términos consecutivos de una progresión aritmética. Si a + e = 30, entonces el valor de c 2 es A) 225 D) 196

B) 100 E) 256

En (1): 3ar2 = 48 Þ ar2 = 16 En (2): d = 24 Los cuatro números son:

C) 144

4, 8, 16, 24 Luego: MA =

Resolución a, b, c, d y e (5 términos de PA) Si r es la razón:

Se sabe que: a + e = 30 2a + 4r = 30 ÷ 2 Þ a + 2r = 15 Reemplazando (1) Þ c = 15

A) 15 B) 11

E) 14

Por fórmula: Rpta.: A

2. De cuatro números positivos, los tres primeros suman 28 formando una progresión geométrica y los 3 últimos suman 48 formando una progresión aritmética. ¿Cuál es la media aritmética de estos cuatro números? (UNMSM 2005-II)

é 2a + (n - 1)r ùû n S= ë 1 2 Se sabe que: a 1 = 9, r = 3, n = ?, S = 306 Reemplazando: 2 × 306 = 2(9) + (n – 1)3 n 2 × 306 = (18 + 3n – 3)n 12 = 15n + 3n 2

C) 11 (n – 12)(n + 17) = 0

Resolución Sean los números: a + ar + ar2 = 28 ... (1) ar + ar2 + d = 48 ... (2) Se sabe que ar 2 – ar = d – ar2 ... (3) De (3) y (2):

C) 12 D) 10

Resolución

Luego: c 2 = 15 2 Þ c2 = 225

B) 13 E) 14

Rpta.: B

3. ¿Cuántos términos de la progresión aritmética 9, 12, 15, 18, ..., deben tomarse para sumar 306? (UNFV 2006)

Þ c = a + 2r ... (1) Þ e = a + 4r ... (2)

A) 27/2 D) 25/2

4 + 8 + 16 + 24 = 13 24

2ar2 = d + ar 2ar2 = 48 – ar 2 3ar2 = 48 Þ ar2 = 16

SISTEMA HELICOIDAL

n – 12 = 0 Þ n = 12 términos Rpta.: C 4. En una progresión aritmética el primer término es 2 y el último 29 y la suma 155. Halle la suma de los términos cuarto y noveno. (UNFV 2004) A) 22 D) 37

B) 29 E) 59

C) 45

81

Álgebra

Guía teórica IV

Resolución

5. En una progresión geométrica de 5 términos, el producto de los extremos es 64. Halle el tercer término. (UNFV 2009-I)

Datos: a = 2, u = 29, S = 155 æ a +4 ö S=ç ÷n è 2 ø æ 2 + 29 ö 155 = ç ÷ n Þ 310 = 31n è 2 ø

A) 6 D) 12

B) 8 E) 14

C) 10

Resolución

n = 10

Sean los términos de la PG: a, ar, ar2 , ar3 , ar4

Hallemos la razón: u = a + (n – 1)r

Dato:

(a)(ar4 ) = 64

a2 r4 = 26 Þ ar2 = 8 Luego el T3 = 8

Reemplazando: 29 = 2 + (10 – 1)r 27 = 9r Þ r = 3 Luego: T 4 = 2 + (4 – 1)3 Þ T4 = 11

Rpta.: B

T9 = 2 + (9 – 1)3 Þ T9 = 26 \ T4 + T9 = 11 + 26 = 37

Rpta.: D

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82

Álgebra

Guía teórica IV SISTEMAS DE INECUACIONES PROGRAMACIÓN LINEAL 32

Marco teórico SISTEMAS DE INECUACIONES SISTEMA DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO DE DOS VARIABLES Inecuación lineal de dos variables

Ejemplo ì 4x - y - 5 ³ 0 í î x - 5y - 8 £ 0

Es aquella expresión que toma alguna de la siguientes formas: Ø Ø Ø Ø

ax ax ax ax

+ by + bx + by + by

+c<0 + c ≤0 +c>0 + c ≥0

Las inecuaciones lineales de dos variables se resuelven gráficamente, las soluciones son los puntos del semiplano en el que queda dividido el plano por la recta que corresponde a la frontera.

Sea 4x – y – 50 ... (1) (es la inecuación (1) de dos variables) El conjunto solución de dicha inecuación es el conjunto de pares ordenados (x, y) Î ¡ cuyas coordenadas como punto satisfacen la inecuación (1). La determinación se realiza gráficamente siguiendo los siguientes pasos: Primero: Graficamos la recta: 4x – y – 5 = 0 y = 4x – 5

Sistemas de inecuaciones En forma general:

Tabulamos:

Se llama sistema de inecuaciones de n inecuaciones lineales con dos variables al conjunto formado por n de estas inecuaciones de la forma: a1 x + b1y + c1 < 0 ü ï a2 x + b2 y + c2 ³ 0 ï ï a3 x + b3 y + c3 £ 0 ý sistema M M ïï an x + bn y + cn ³ 0 ïþ

... (1) ... (2)

x

y

0 -5

® (0, - 5)

5 4

® æç 5 , 0 ö÷ è4 ø

0

Gráfico:

Obtener la solución de un sistema significa obtener el semiplano solución de cada una de las inecuaciones que los forman y determinar la intersección de todos ellos.

SISTEMA HELICOIDAL

83

Álgebra

Guía teórica IV

Nota La recta divide al plano de dos regiones, una a cada lado de la recta. A cada una de estas regiones se le llama semiplano.

Obtenemos una proposición falsa. Esto significa que todos los pares ordenados que pertenecen al otro semiplano son elementos del conjunto solución, es decir, todos los puntos que están por encima de la recta x – 5y – 8 ≤ 0 cumplen la inecuación. Tabulamos:

Segundo: Tomamos un punto cualquiera (2, 1) que pertenece a uno de los semiplanos, y lo reemplazamos en la inecuación (1), así tenemos:

x

y

0 -8 5 8 0

4x – y – 5 ³ 0 (2, 1) ® x = 2 ü 4(2) - (1) - 5 ³ 0 y = 1 ýþ 8 -1 - 5 ³ 0

x - 5y - 8 = 0 y= x - 8 5 5

2 > 0 (verdadero) Obtenemos una proposición verdadera. Esto significa que todas los puntos que pertenecen al semiplano son elementos del conjunto solución, es decir, todos los puntos que están por debajo de la recta y = 4x – 5 cumplen con la inecuación. Gráficamente se tendrá: Luego: ì4 x - y - 5 ³ 0 í îx - 5y - 8 £ 0

... (1) ... (2)

Observamos en el gráfico que el conjunto solución del sistema de inecuaciones es la intersección de la gráficas de las inecuaciones 1 y 2. Conjunto solución

A la vez: Sea x – 5y – 8 ≤0

...

(2)

(es la inecuación (2) de dos variables) El procedimiento es similar a la primera inecuación con la siguiente diferencia: Si tomamos un punto (10, 0) y lo reemplazamos en la inecuación (2): x - 5y - 8 £ 0 (10, 0) ® x = 10ü (10) - 5(0) - 8 £ 0 ý y =0 þ 10 - 0 - 8 £ 0

CS = {(x, y) Î ¡2/4x – y – 5 ≥0 Ù x – 5y – 8 ≤0}

2 £ 0 (falso)

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84

Álgebra

Guía teórica IV

Problemas resueltos 1. Dado el conjunto

Luego, los puntos se ubican por debajo de Y. 2

P = {(x, y) Î ¡ / y ≤ x + 12}

y< 2x-y 5

calcule su solución. Resolución

Así tenemos:

Primero se busca los puntos que cumplan que y = x + 12, para luego ubicar los puntos que están por debajo de y < x + 2. Así tenemos:

Nota La frontera es con línea punteada para indicar que sus puntos no pertenecen a la solución. Se observa que la frontera es continua (recta) pues es y ≤x + 2. Ahora tomamos un punto arbitrario (0, 0), se prueba la inecuación: y < x + 2 0<0+2 0 < 2 (cumple)

3. Resuelva el sistema y ≤ –5. Resolución Sea: y = –5

Por lo tanto, los puntos de ese lado lo harán; cumplirán y sombrearemos la parte inferior de la recta. 2. Resuelva 2x – 5y > 20. Resolución Gráfica de 2x – 5y =20, luego despejamos y. 2 x -4 > y 5

SISTEMA HELICOIDAL

Luego se observa que los puntos se ubican por debajo de Y.

85

Álgebra

Guía teórica IV PROGRAMACIÓN LINEAL

Se llama programación lineal al conjunto de técnicas matemáticas que resuelven la situación de optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo sujeta a ciertas restricciones en la forma de desigualdades lineales. Así por ejemplo: Minimizar: C = 3x + 5y ¬ Es la función objetivo sujeto a: 20 x + 10 y ³ 2000 ü ï 5 x + 15 y ³ 1800 ïï 4 x + 9 y ³ 1000 ý Restricciones x ³ 0 ü Condición de ï ï ý y ³ 0 þ no negatividad ïþ Elementos de una situación de programación En un problema de programación lineal intervienen: 1. La función objetivo Es la función que se va optimizar (maximización o minimización) sujeta a ciertas restricciones. Las funciones de ganancias (maximización) y de costos (minimización) son algunos ejemplos de función objetivo. Su representación: f(x, y) = ax + by + c Donde: x e y ® son variables de decisión a, b y c ® son constantes

2. Las restricciones Las restricciones son generalmente inecuaciones o ecuaciones; su número depende del problema en cuestión. Si se tiene la desigualdad x ≥ 0, nos indican a la variable ser no negativa. Usualmente son llamadas restricciones de no negatividad. 3. Solución factible: f(x, y) Son los valores de x e y que verifican todas y cada una de las restricciones. Todo punto formado con estos valores pueden ser soluciones del problema, como también aquellos puntos que no pertenecen a ese conjunto no puede ser solución.

Nota A la solución factible se le conoce también como conjunto o región factible. 4. La solución óptima En todo problema la solución óptima será un par de valores (x0 , y0) del conjunto factible de tal manera que f(x, y) asuma un valor máximo o mínimo. 5. Región isible Es el conjunto de todas las soluciones posibles o factibles.

SOLUCIÓN GRÁFICA DE PROBLEMAS APLICADOS A PROGRAMACIÓN LINEAL Se va a resolver problemas de programación lineal en dos variables cuya interpretación se va a dar geométricamente. Así tenemos: 1. La gráfica de la función objetivo son rectas paralelas.

SACO OLIVEROS

86

Álgebra

Guía teórica IV

2. La gráfica de cada inecuación de primer grado (lineal) es un semiplano. Si se tiene x + y ≤30

L : x+y=30 3. Las restricciones de no negatividad (x ≥ 0, y ≥0) hacen que toda la zona rayada sólo nos interesa la que está en el primer cuadrante incluyendo las partes positivas de los ejes X e Y. Si se tiene: x + y ³ 30 ü ï con x ³ 0 ý y ³ 0 ïþ

5. Cada punto del plano S es un candidato a resolver un problema de programación lineal y se conoce como solución factible. Así entonces, el objetivo, en nuestro problema dado, es encontrar de entre todos los puntos del conjunto S, el punto o puntos que optimicen la función objetivo. Esa solución factible es una solución óptima. Observaciones 1. Si un problema de programación lineal tiene una solución, esto debe aparecer en un vértice (esquina) del conjunto factible S, asociado con el problema. 2. Si S está acotado, entonces z = f(x, y) tiene un valor máximo o un valor mínimo en S. 3. Si S no está acotado y los parámetros a y b son negativos, entonces f(x, y) = ax + by. Tiene un valor mínimo de S, si las restricciones que definen a S incluyen las desigualdades x ≥0, y ≥0. 4. Si S es un conjunto vacío, entonces el problema de programación lineal en f(x, y) no tiene un valor máximo o un valor mínimo. Método de los vértices (esquinas)

4. La intersección de todas las gráficas de la restricciones es una región plana S, que es un conjunto convexo en ¡2 .

SISTEMA HELICOIDAL

Para resolver un problema de programación lineal en dos variables. Sea la función objetivo: f(x, y) = ax + by.

87

Álgebra

Guía teórica IV B(x0, y0 ) = L 1 Ç L 2

Para resolver un problema de programación lineal se ha de realizar los pasos siguientes: 1. Graficar el conjunto factible. 2. Hallar las coordenadas de todas las esquinas (vértices) del conjunto factible. 3. Evaluar el conjunto objetivo en cada esquina. 4. Hallar el vértice que nos proporcione el máximo o mínimo de la función objetivo.

Nota Si existe un sólo vértice con las características anteriores, este constituye una solución única al problema.

Resolviendo el sistema formado: x=3 ìï 3 x + y = 5 2 Þ í 1 ïî x + 3y = 3 y= 2 æ ö 3 1 B(x 0 , y 0 ) = ç , ÷ è2 2ø Ø Reemplazando las coordenadas de las esquinas en la función objetivo:

Si la función objetivo se mantiene o minimiza en dos esquinas adyacentes de S, entonces existe una infinidad de soluciones al problema dado que se optimiza en todos los puntos de segmento de recta que une estos vértices. Así por ejemplo: Minimizar: z = 3x + y sujeto a:

3x + y ≥ 5 x + 3y ≥ 3 x≥0 y≥0

Resolución

Ø Sea P = 3x + y lo que se debe minimizar. Luego: El mínimo de P es 5 y recae en las esquinas A y B a lo largo del segmento AB.

Nota La función objetivo es una familia de rectas que son paralelas al segmento AB.

Graficando las rectas: Ø L 1: 3x + y = 5 Ø L 2: x + 3y = 3; con x ≥ 0, y ≥0 L1 L2

Ø Cálculo del punto B:

SACO OLIVEROS

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Álgebra

Guía teórica IV

Problemas resueltos 1. Maximizar

IV. Reemplazar las siguientes coordenadas de las esquinas en la función objetivo:

z = 2x + 10y sujeto a las siguientes restricciones: x + y ≤ 30 x – 3y ≤0 x≥0 y≥0 Resolución I. De las restricciones: x x x y

+ y ≤30 – 3y ≤0 ≥0 ≥0

hacemos hacemos hacemos hacemos

L1: x L2: x L3: x L4: y

+ y = 30 – 3y = 0 =0 =0

II. Resolvemos gráficamente el sistema de inecuaciones formado, para ello graficar las rectas: L 1 , L 2 , L 3 y L 4 . L1

V. El máximo de z es 300; y = 30.

cuando x = 0,

2. Determine los valores óptimos de la función objetivo z = 3x + y sujeto al conjunto factible S.

L3

L2 L4

III. Cálculo del punto B: B(x0 , y 0) = L1 Ç L2

Resolución Ø Se puede observar en la gráfica que los vértices (esquinas) son puntos de intersección de cierto sistema de ecuaciones. Ø Vamos a evaluar la función objetivo en cada esquina:

Resolviendo L 1: x + y = 30 L 2: x – 3y = 30 x = 45/2 y = 15/2 Þ B( x0 , y0 ) = æç 45 , 15 ö÷ è 2 2ø

SISTEMA HELICOIDAL

89

Álgebra

Guía teórica IV

Así tenemos que los valores óptimos de la función objetivo z = 3x + y, son: z (máximo) = 12 z (mínimo) = 2 3. Una fábrica produce cámaras fotográficas convencionales y digitales. Se obtiene un ingreso de S/. 400 por cada cámara convencional y S/. 700 por cada digital. En un día no se pueden fabricar más de 300 cámaras convencionales ni más de 200 digitales ni tampoco se pueden producir más de 400 en total. Si logra vender toda la producción del día, ¿cuál es el número de cámaras de cada clase que conviene fabricar para obtener un ingreso máximo?

c. Cálculo de las esquinas (vértices): A(0, 200) B(200, 200) C(300, 100) D(300, 0) O(0, 0) d. Evaluar la función objetivo en cada esquina:

Resolución Planteamiento del problema. Sea: • •

x: número de cámaras convencionales y: número de cámaras digitales

V. Se concluye que se deben producir 200 cámaras convencionales y 200 cámaras digitales para así obtener un ingreso máximo de S/. 220 000.

a. Se pide maximizar el ingreso: I = 400x + 700y las restricciones según datos son: x ≤300 y ≤200 b. Graficando la región factible S.

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90

Álgebra

SISTEMA HELICOIDAL

Guía teórica IV

91

Geometría

SACO OLIVEROS

Guía teórica IV

92

Geometría

Guía teórica IV

PRISMA Y CILINDRO

25

Marco teórico PRISMA Superficie prismática

Prisma

¿Cómo se genera una superficie prismática?

Es aquel poliedro determinado por una superficie prismática cerrada y dos planos paralelos entre sí y secantes a todas las generatrices. El prisma tiene dos caras paralelas y congruentes a las cuales se les denomina bases y las otras caras son regiones paralelográmicas y éstas son denominadas caras laterales. Toda arista contenida en alguna base del prisma es denominada arista básica y el lado común a dos caras laterales se denomina arista lateral, todas las aristas laterales son paralelas y de igual longitud. Los prismas se nombran según el número de lados que tiene la base, por ejemplo: si tiene siete lados, se le denomina prisma heptagonal.

Dada una línea poligonal plana no secante a sí misma y una recta secante al plano que contiene a la línea poligonal en algún punto de dicha poligonal, la superficie prismática se genera mediante el desplazamiento de la recta por la poligonal, manteniéndose paralela a su posición inicial. A la poligonal se le denomina directriz y a la recta que genera la superficie, generatriz. Superficie prismática abierta

Sección transversal

Superficie prismática cerrada

Es la sección plana determinada en el prisma por un plano paralelo a su base. Sección recta Es la sección plana determinada en el prisma por un plano perpendicular y secante a todas sus aristas laterales.

SISTEMA HELICOIDAL

93

Geometría

Guía teórica IV

En al gráfico, se tiene el prisma cuadrangular oblicuo ABCD-A'B'C'D'. Notación Prisma hexagonal ABCDEF-A'B'C'D'E'F' Ø Área de la superficie lateral (ASL ) ASL = suma de áreas de las caras laterales

Se cumple: h < aL

ASR < Abase

Ø Prisma recto Es aquel prisma cuyas aristas laterales son perpendiculares a las bases.

A SL = (2pSR)aL 2p SR: perímetro de la sección recta Ø Área de la superficie total (AST) A ST = A SL + 2(A base) A base: área de la base Ø Volumen (V) V= (Abase )h h: longitud de la altura V= (ASR)aL

Paralelepípedo Es aquel prisma cuyas bases son regiones paralelográmicas.

A SR: área de la sección recta

aL: longitud de la arista lateral Clasificación Ø Prisma oblicuo Es aquel prisma cuyas aristas laterales no son perpendiculares a las bases.

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94

Geometría

Guía teórica IV

Paralelepípedo rectangular, rectoedro u ortoedro

Tronco de prisma triangular oblicuo Es aquel determinado en un prisma triangular.

Es aquel paralelepípedo cuyas caras son regiones rectangulares.

a, b y c: dimensiones del paralelepípedo rectangular Ø Tiene cuatro diagonales, las cuales son concurrentes y de igual longitud.

En el gráfico se tiene el tronco de prisma: ABC-A'B'C' Ø Volumen (V)

d 2 = a2 + b2 + c 2

æh +h +h ö V = (A A' B' C') ç 1 2 3 ÷ 3 è ø

Ø Área de la superficie total (AST) AST = 2(ab + bc +ac)

V = (A SR )æç a + b + c ö÷ 3 è ø

Ø Volumen (V) V = abc

ASR: área de la sección recta

Tronco de prisma

Analizar los casos en los que:

Es una porción de prisma comprendida entre una de sus bases y un plano no paralelo a las bases secante a todas sus caras laterales.

Ø Ø

BB' = 0 BB' = 0 y CC' = 0

CILINDRO Generación de una superficie cilíndrica

Cilindro

Es el mismo método con el que se genera la superficie prismática, sólo que la directriz es ahora una línea curva plana no secante a sí misma.

Es el sólido limitado por una superficie cilíndrica y por dos planos paralelos entre sí y secantes a todas las generatrices. Las secciones determinadas en los planos paralelos se denominan bases y son congruentes. La porción de superficie cilíndrica comprendida entre dichos planos es la superficie lateral del cilindro, en la cual se ubican segmentos paralelos de igual longitud cuyos extremos están ubicados en el contorno de sus bases denominados generatrices. ¿Qué es la sección transversal de un cilindro? Es la sección plana determinada en el cilindro por un plano paralelo a sus bases.

SISTEMA HELICOIDAL

95

Geometría

Guía teórica IV

¿Qué es la sección recta de un cilindro? Es la sección plana determinada en el cilindro por un plano perpendicular y secante a todas sus generatrices.

Ø Área de la superficie lateral (ASL ) ASL = (2pSR)g Ø Área de la superficie total (AST) A ST = A SL + 2(Abase) Ø Volumen (V) V = (Abase)h

¿Qué resulta de desarrollar la superficie lateral de un cilindro de revolución? Resulta una región rectangular en el cual uno de sus lados tiene igual longitud que la circunferencia de una base y el otro lado es de igual longitud de la generatriz del cilindro.

Ø Área de la superficie lateral (ASL ) A SL = 2prg Ø Área de la superficie total (AST) A ST = 2pr(g + r) Ø Volumen (V)

V = (A SR)g

2p SR: perímetro de la sección recta A SR: área de la sección recta Cilindro circular recto

V = pr2g Cilindro oblicuo de sección recta circular Es aquel cilindro oblicuo cuya sección recta es un círculo.

Es aquel cilindro recto cuyas bases son círculos. También es denominado cilindro de revolución porque es generado por una región rectangular al girar una vuelta en torno a uno de sus lados.

Ø Área de la superficie lateral (ASL ) ASL = 2pRg R: radio de la sección recta Ø Área de la superficie total (AST) ¿Qué es la sección axial de un cilindro de revolución? Es una sección plana determinada en el cilindro por un plano que contiene a su eje.

SACO OLIVEROS

AST = ASL + 2(Abase) Ø Volumen (V) V = (Abase)h

V = pR2 g

96

Geometría

Guía teórica IV Ø Área de la superficie lateral (ASL )

Nota Las bases del cilindro oblicuo de sección recta circular son regiones elípticas, cuyas áreas se calculan en función de sus semiejes.

æ g + gm ö A S L = (2 pS R ) ç M ÷ 2 è ø pero: 2p SR = 2pR Ø Volumen (V)

2a : longitud del eje mayor 2b : longitud del eje menor Tronco de cilindro oblicuo de sección recta circular

æ g + gm ö V = ASR ç M ÷ 2 è ø æh +h ö V=A base ç 1 2 ÷ è 2 ø Analizar el caso en que: gm = 0

AB : generatriz mayor CD : generatriz menor O 1 y O2 : centros de las bases O1 O 2 =

g M + gm 2

SISTEMA HELICOIDAL

97

Geometría

Guía teórica IV

Problemas resueltos 1. En el sólido S representado en la figura, la base ABCD es un rectángulo de lados AB=2l; las caras ABEF y DCEF son trapecios y las caras ADF y BCE son triángulos equiláteros, y el segmento EF tiene longitud l. Determine, en función de l, el volumen de S. (UNAC 2009-I) æ ö A) ç 11 2 ÷ l 3 è 24 ø

æ ö B) ç 7 2 ÷ l 3 è 12 ø

æ ö D) ç 2 ÷ l3 è 4 ø

æ ö E) ç 5 2 ÷ l3 è 12 ø

æ ö C) ç 13 2 ÷ l 3 è 24 ø

Resolución Piden: Volumen del sólido S = V Sea PFQ: sección recta. V=(Área PFQ)

(2 l + 2l + l) 3

æ ö æ 5l ö æ ö ® V=ç l 2 · l · 1 ÷ç ÷ \ V=ç 5 2 ÷ l 3 è 2 2 øè 3 ø è 12 ø

SACO OLIVEROS

98

Geometría

Guía teórica IV

2. En un prisma triangular regular, la diagonal de una de sus caras forma con la base un ángulo de 60°. Si esta diagonal mide 4 cm, halle el volumen del sólido. (UNAC 2008-I) A) 6 3 cm3 C) 6 cm3

Resolución

B) 9 cm3 D) 12 cm 3

E) 3 3 cm3 Resolución

Piden el volumen del prisma regular. Observación La base es un triángulo equilátero. V prisma = (Abase) (Longitud de la altura) En la figura: æ 2 ö V prisma = ç 2 3 ÷ (2 3) è 4 ø

Rpta.: C

3. En la figura, se tiene un tronco de cilindro oblicuo. Si (UN)2 – () 2 = 30 y mSNUP = 15°, entonces su área lateral (en u2 ) es (UNI 2009-II) A) 17 p 4

a+bö A L = 2p æç a – b öæ ÷ç ÷ è 8 øè 2 ø 2 p( a2 – b2 ) ...(4) 16

B) 3p

AL =

C) 4p

Reemplazando el dato en (4):

D) 13 p 4 E) 15 p 4

SISTEMA HELICOIDAL

A L = 15 p 4 Rpta.: E

99

Geometría

Guía teórica IV

4. En un prisma triangular regular, la arista de la base mide x unidades y la altura mide 3 –1 x unidades. Si q es el ángulo for2– 3 mado por las diagonales de dos caras laterales que parten del mismo vértice, entonces el valor de q es (UNI 2008-I) A) 15° D) 60°

B) 30° E) 75°

C) 45°

æ ö A) arc cos ç 8 ÷ è 11a ø

æ 19 ö B) arc cos ç 22a ÷ è ø

C) arc cos æç 3 ö÷ è 8ø

D) arc cos æç 19 ö÷ è 22 ø

E) arc cos æç 8 ö÷ è 11 ø Resolución

Resolución Nota:

3 –1 = 2– 3

3 +1

Piden: q

Del triángulo sombreado (teorema de cosenos): 2 æ x =ç è

2

ö æ 3 + 2 x ÷ +ç ø è

2

ö æ 3 + 2 x ÷ –2ç ø è

cos q = 3 2

öæ 3 + 2 x ÷ç øè

ö 3 + 2 x ÷ cos q ø

\ q = 30° Rpta.: B

5. La figura representa un prisma hexagonal re-

Piden: q Aplicando el teorema de cosenos: (a 3)2 = (a 11)2 + (a 11)2 – 2(a 11)(a 11)cos q 3a2 = 22a 2 – 22a 2cosq 3a2 = 22a2 – 22a2cosq 22 cosq = 19 æ ö q = arc cos ç 19 ÷ è 22 ø Rpta.: D

gular de arista a y altura 8 a. Entonces, el ángulo de la figura mide (UNI 2008-I)

SACO OLIVEROS

100

Geometría

Guía teórica IV

PIRÁMIDE Y CONO

26

Marco teórico PIRÁMIDE ¿Cómo se genera una superficie piramidal? Se considera una línea poligonal plana denominada directriz y un punto exterior a dicho plano denominado vértice, entonces, una recta denominada generatriz que se mueve pasando por este punto y apoyándose constantemente sobre el polígono, genera una superficie denominada superficie piramidal. En el gráfico, se muestra una superficie piramidal con sus dos hojas o mantos.

Las pirámides se clasifican según el número de lados de su base, en pirámides triangulares, cuadrangulares, pentagonales, hexagonales, etc. Si las bases están limitadas por un triángulo, cuadrilátero, pentágono, hexágono, etc. También se clasifican en pirámides convexas y no convexas, según que la base sea convexa o no convexa. Notación Pirámide V–ABCDE En el gráfico, se muestra una pirámide pentagonal convexa.

Ø Es el sólido limitado por una superficie piramidal cerrada y un plano que interseca a todos las aristas de una hoja. La región correspondiente al polígono de la sección se denomina base de la pirámide, el vértice de la superficie se denomina vértice o cúspide de la pirámide y la parte de superficie piramidal correspondiente a la pirámide se denomina superficie lateral de la pirámide.

SISTEMA HELICOIDAL

Notación Pirámide V-ABCDEF En el gráfico, se muestra una pirámide hexagonal no convexa.

101

Geometría

Guía teórica IV En el gráfico, se muestra una pirámide hexagonal regular V–ABCDEF. O : centro de la base ABCDEF VM : apotema de la pirámide regular

Ø Área de la superficie

Ø Área de la superficie lateral (ASL )

pbase: semiperímetro de la base Ø Área de la superficie total

Ø Área de la superficie total (AST) A base: área de la base A base : área de la base Ø Volumen (V)

¿Qué es una pirámide regular? Es una pirámide que tiene por base a una región poligonal regular y el pie de su altura es el centro de la base.

Nota Del gráfico: q: medida del ángulo diedro determinado por una cara lateral y la base. b: medida del ángulo que forma una arista lateral con el plano de la base. Teoremas Todo plano secante a una pirámide y paralelo a su base, determina una pirámide parcial semejante al total. En dos pirámides semejante se cumple: Ø Sus líneas homólogas son proporcionales. Ø Las áreas, de sus bases, de sus superficies totales, son proporcionales a los cuadrados de las longitudes de sus líneas homólogas. Ø Sus volúmenes son proporcionales a los cubos de las longitudes de sus líneas homólogas.

SACO OLIVEROS

102

Geometría

Guía teórica IV giones poligonales semejantes y su altura es la distancia entre sus bases.

En el gráfico, si

P//

Q

Þ En el gráfico, se muestra un tronco de pirámide pentagonal.

Líneas homólogas proporcionales

Notación ABCDE-A'B'C'D'E' k: razón de áreas

•

Área de la superficie lateral (ASL)

•

Área de la superficie total (A ST)

Razón de áreas

Razón de volúmenes A base: área de la base •

Volumen (V)

Ø Tronco de pirámide Es la porción de pirámide comprendida entre la base y la sección plana determinada por un plano secante a la pirámide y paralelo a su base. A la base y dicha sección se les denomina bases del tronco de pirámide; su caras laterales son regiones trapeciales, sus bases son re-

SISTEMA HELICOIDAL

B y B': áreas de las bases Ø Tronco de pirámide regular Es aquel tronco de pirámide cuyas bases son regiones poligonales regulares de modo que sus centros están sobre una misma recta perpendicular a dichas bases.

103

Geometría

Guía teórica IV

Sus caras laterales son regiones trapeciales isósceles congruentes entre sí, la altura de cada una de ellas se denomina apotema del tronco de pirámide.

Notación ABCDEF-A'B'C'D'E'F' MN: apotema del tronco de pirámide regular. (MN = ap) O y O': centros de las bases (OO' = h) Ø Área de la superficie lateral (ASL )

p : semiperímetro de la base ABCDEF p': semiperímetro de la base A'B'C'D'E'F' En el gráfico, se muestra un tronco de pirámide hexagonal regular. CONO Es una superficie generada por una recta denominada generatriz que pasando por un punto fijo denominado vértice se desplaza por todos los puntos de una línea curva plana no secante a sí misma denominada directriz, de tal modo que el vértice no pertenece al plano de la directriz.

En el gráfico, se muestra una superficie cónica con sus dos hojas. Las secciones planas determinadas en una superficie cónica por dos planos paralelos, secantes a todas las generatrices de una misma hoja; son líneas curvas semejantes.

SACO OLIVEROS

Ø Es el sólido limitado por una superficie cónica cerrada a un plano secante a ella que interseca a todas las generatrices de una misma hoja. La región correspondiente al polígono de la sección se denomina base del cono, el vértice de la superficie cónica se denomina vértice o cúspide del cono, la porción de superficie cónica correspondiente al cono se denomina superficie lateral y la perpendicular trazada del vértice al plano de la base es la altura del cono.

En el gráfico, se muestran dos conos. Ø Volumen (V)

Abase : área de la base

104

Geometría

Guía teórica IV

Nota Si el pie de la altura es el centroide de la base, entonces el cono se denomina cono recto, caso contrario se denomina como oblicuo. Cono circular recto o de revolución Es aquel cono recto cuya base es un círculo, también se denomina cono de revolución porque se genera con una región triangular rectangular al girar una vuelta en torno a un cateto.

En el gráfico, se muestra un cono de revolución y el desarrollo de su superficie lateral. q : medida del ángulo de desarrollo

En el gráfico, se muestra un cono de revolución.

Ø Área de la superficie lateral (ASL )

VO : altura del cono (VO = h) suuur V O : eje del cono Ø Área de la superficie total (AST)

¿Qué es la sección axial de un cono de revolución? Es la sección plana determinada por un plano secante al cono que contiene a su eje. En el gráfico, la sección plana VAB es una sección axial del cono de revolución. Desarrollo de la superficie lateral de un cono de revolución El desarrollo de la superficie lateral de un cono de revolución es un sector circular cuyo radio es la longitud de las generatriz de dicho cono, y cuyo arco tiene igual longitud que la circunferencia que limita la base.

SISTEMA HELICOIDAL

Un cono de revolución se denomina cono equilátero si su sección axial es regular. Además, el desarrollo de su superficie lateral es un semicírculo. Propiedad Todo plano secante a un cono y paralelo a su base, determina un cono parcial semejante al total, en los cuales se cumple: Ø Sus líneas homólogas son proporcionales. Ø Las áreas, de sus bases, de sus superficies totales, son proporcionales a los cuadrados de las longitudes de sus líneas homólogas. Ø Sus volúmenes son proporcionales a los cubos de las longitudes de sus líneas homólogas.

105

Geometría

Guía teórica IV entre sus bases se le denomina altura del tronco de cono.

En el gráfico, si

P//

Q:

Þ Líneas homólogas proporcionales

Tronco de cono circular recto o de revolución Es un tronco de cono cuyas bases son círculos de modo que sus centros están sobre una misma recta perpendicular a dichas bases, también se denomina tronco de cono de revolución porque se genera con una región trapecial rectangular al girar una vuelta entorno a su lado perpendicular a sus bases.

k: razón de semejanza Razón de áreas

Razón de volúmenes

En el gráfico, se muestra un tronco de cono de revolución. Tronco de cono

O 1 O 2 : altura

Es la porción de cono comprendido entre su base y la sección plana determinada por un plano paralelo a dicha base.

¬¾¾®

A su base y a dicha sección se les denomina bases del tronco, la superficie cónica que la limita se denomina superficie lateral del tronco y a la distancia

SACO OLIVEROS

O1 O 2 : eje del tronco de cono

Ø Volumen (V)

106

Geometría

Guía teórica IV

¿Qué es la sección axial de un tronco de cono de revolución? Es la sección plana determinada por un plano secante al tronco de cono que contiene a su eje. En el gráfico, la sección plana AA'B'B es una sección axial del tronco de cono de revolución. Desarrollo de la superficie lateral de un tronco de cono de revolución El desarrollo de la superficie lateral de un tronco de cono de revolución es un trapecio circular cuyos arcos correspondientes son de igual longitud que las circunferencias que limitan las bases del cono y cuyos lados laterales son de igual longitud que los generatrices de dicho tronco.

En el gráfico, se muestra un tronco de cono de revolución y el desarrollo de su superficie lateral. q : medida del ángulo de desarrollo

Ø Área de la superficie lateral (ASL )

Ø Área de la superficie total (AST)

Problemas resueltos 1. Se tiene una taza en forma de tronco de cono recto, como se muestra en la figura. Suponiendo p = 3, el volumen máximo de líquido que ella puede contener es (UNAC 2009-I)

Resolución Piden: Volumen del tronco de cono=V 2 2 V= p 6 (4 + (4)(2) + 2 ) 3 V=56p ... (1) p=3 ... (dato) Reemplazando el dato en (1): V = 168 cm 3 Rpta.: E

A) 166 cm3 D) 176 cm3

B) 164 cm3 E) 168 cm3

C) 172 cm3

SISTEMA HELICOIDAL

107

Geometría

Guía teórica IV

2. Una pirámide regular triangular forma en su vértice un triedro cuyas caras miden 60°. La suma de las áreas de las caras es 81 3. Determine la altura (en m) de la pirámide. (UNI 2009-II) A) 3 2 D) 5 3

C) 4 2

B) 3 3 E) 6 2

Resolución

3. Los diámetros de la base de un tronco de cono de revolución miden 22 y 4 unidades, respectivamente. Calcule la longitud del radio (en unidades) de la base del cilindro de revolución que tiene la misma altura y el volumen equivalente al tronco del cono dado. (UNI 2009-II) A) 6 D) 9

B) 7 E) 10,5

C) 8

Resolución

Piden: R Sea V: volumen Dato: Vtronco de cono = Vcilindro

Piden: h Sea a la longitud de la arista. 2

ö æ ö 2 æ En el OPQ: h + ç a 3 ÷ = ç a 3 ÷ è 6 ø è 2 ø h = a 6 ... 3

ph 2 2 2 (2 + 11 + 2 · 11) = p R h 3

2

49 = R2

Rpta.: B

(1)

4. En un tronco de pirámide cuadrangular regular, las aristas básicas son 2 cm y 6 cm, el apotema del tronco mide 4 cm. Calcule el volumen del tronco (en cm3 ). (UNI 2008-I)

Área de la superficie lateral = A SL Dato: A SL = 81 3

æ ö Þ æç 3 a ö÷ç a 3 ÷ = 81 3 è 2 øè 2 ø a = 6 3 ...

(2)

Reemplazando (2) en (1): h = 6 2 Rpta.: E

SACO OLIVEROS

\R = 7

A) 52 3 3

B) 78 3 2

C) 104 3 3

D) 130 3 3

E) 156 3 3

108

Geometría

Guía teórica IV

Resolución

5. El desarrollo de la superficie lateral de un cono de revolución es un semicírculo cuyo radio mide 6 cm. Halle el área lateral del cono en cm2. (UNAC 2008-I) A) 32p D) 36p

B) 30p E) 24p

C) 18p

Resolución

Piden: Volumen Sean O y Q centros de las bases, entonces: OM = 1 y QN = 3 Por teorema: V = h (A + B + 3 Donde:

AB)

A = 6 2 y B = 22 \ V = 104 3 3

Piden el área de la superficie lateral del cono. Por la teoría, si el desarrollo es un semicírculo, el cono de revolución es equilátero, cuyo radio mide 3. Luego:

ASL = p(3)(6) A SL = 18p cm2

Rpta.: C

Rpta.: C

SISTEMA HELICOIDAL

109

Geometría

Guía teórica IV

ESFERA

27

Marco teórico SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN Es aquella superficie que se genera por la rotación de líneas en torno a un eje coplanar.

PQ : proyección ortogonal de ABCD sobre el eje ASG : área de la superficie generada

A continuación analizaremos casos en los que la línea está en un mismo semiplano con respecto al eje de giro.

Superficie esférica Es aquella superficie generada por una semicircunferencia al girar 360º en torno a su diámetro.

Teorema de Arquímedes El área de la superficie generada por un poligonal regular el girar 360º en torno a un eje que contiene al centro del polígono regular, la cual está en un mismo semiplano respecto al eje, es igual al producto de la longitud de la circunferencia cuyo radio es igual a la longitud del apotema del polígono regular con la longitud de la proyección ortogonal del polígono sobre el eje.

A SE = 4pR2 ASE : área de la superficie esférica

Nota A SG = (2pap)h ABCD : polígono regular de centro O y apotema OM

SACO OLIVEROS

Si el plano H es tangente a la superficie esférica en T.

Y

Þ OT ^ H

110

Geometría

Guía teórica IV

Zona esférica Es la porción de superficie esférica comprendida entre dos circunferencias determinadas por dos planos paralelos y secantes a la superficie esférica.

2

A HE = p R a 90º AHE: A ZE = 2pRh A ZE: área de la zona esférica

a:

área del huso esférico medida del ángulo del huso o ángulo de giro

Sólido de revolución Es aquel sólido que se genera por la rotación de una región plana al girar en torno a un eje.

Casquete esférico Es la porción de superficie esférica que se determina por un plano secante a ella.

Estudiaremos a continuación sólidos de revolución generados por regiones planas contenidas en un mismo semiplano respecto al eje de giro. En el gráfico se muestra el sólido de revolución generado por la región plana R al girar en torno al eje.

ACE = 2pRh

ACE = p(AB)2

A CE : área del casquete esférico Huso esférico Es la porción de superficie esférica comprendida entre dos semicircunferencias máximas del mismo diámetro.

SISTEMA HELICOIDAL

Teorema de Arquímedes El volumen del sólido generado por un sector poligonal regular el girar 360º en torno a un eje que pasa por el centro del sector poligonal, el cual está en un mismo semiplano respecto del eje, es igual a la tercera parte del producto del área de la superficie generada por la correspondiente región poligonal regular con la longitud de su apotema.

111

Geometría

Guía teórica IV Región OABCD : sector poligonal regular de centro O y apotema OM ABCD : poligonal regular VSG : volumen del sólido generado por el sector poligonal regular al girar 360º en torno al eje

V=

(2p ap h)(ap) 3

V SG= 2 p( ap) h 3 2

ESFERA Es aquel sólido generado por un semicírculo al girar 360º, en torno a su diámetro.

3

V CE = p R a 270º V CE : a 3 V E = 4 pR 3

Cuña esférica Es aquella porción de esfera que está limitada por dos semicírculos máximos que tienen el diámetro en común y por el uso esférico correspondiente.

SACO OLIVEROS

:

volumen de la cuña esférica medida del ángulo de la cuña o ángulo de giro

Sector esférico Es aquel sólido generado por un sector circular al girar 360º en torno a un diámetro del círculo correspondiente, estando el sector en un mismo semiplano respecto del eje de giro.

112

Geometría

Guía teórica IV Segmento esférico de dos bases Es la porción de esfera comprendida entre dos planos paralelos entre sí y secantes a la esfera.

2 VSE = 2 p R h 3

h

:

V SE :

longitud de la trayectoria ortogonal del arco AB sobre el eje de giro volumen del sector esférico

2

VSE : h

Anillo esférico

2

3 pr h pr h V AE = p h + 1 + 2 6 2 2

:

volumen del segmento esférico de dos bases distancia entre los planos paralelos

Es el sólido generado por un segmento circular al girar 360º en torno a un diámetro del círculo correspondiente, estando el segmento circular en un mismo semiplano respecto del eje de giro.

2 V AE = 1 p l h 6

h

:

l : VAE :

longitud de la proyección ortogonal del arco AB sobre el eje de giro longitud de la cuerda AB volumen del anillo esférico

SISTEMA HELICOIDAL

113

Geometría

Guía teórica IV

Problemas resueltos 1. Una semiesfera está inscrita en un paralelepípedo de base cuadrada. Si el paralelepípedo tiene una superficie de área total igual a 64 u 2 , entonces el volumen (en u 3) de la semiesfera es (UNI 2009-II) A) 16 p 3 29 p D) 3

B) 19 p 3 32 p E) 3

Resolución

C) 23 p 3

Resolución

Nos piden: Vesfera Dato: AC = 18 y mSABC = 60° ∆ABC: equilátero ∆AQO: notable de 30° y 60° 4p (3 3)3 3 = 108 p 3

Þ R = 3 3 Þ Vesfera = \ Vesfera

Rpta.: A

Sea R el radio de la semiesfera. Piden: Volumen de la semiesfera = V V= Dato:

2p R 3 3

... (1)

2(2R · R + 2R · R + 2R · 2R) = 64 R=2

...

(2)

Reemplazando (2) en (1): V=

2 p(2)3 3

\ V = 16 p 3

3. El volumen que genera un cubo de arista a, cuando gira 360° alrededor de una de sus aristas es (UNI 2008-I) A) pa3 D) 3pa 3

B) 3pa3 /2 E) 4pa3

C) 2pa3

Resolución Rpta.: A

2. Se inscribe una esfera en un cono de revolución. Sabiendo que en el cono dos generatrices opuestas determinan un ángulo de 60° y el diámetro de su base es 18 unidades, calcule el volumen de la esfera (en unidades cúbicas). (UNI 2008-I) A) 108p 3 D) 972p

B) 324p

C) 324p 3

E) 972p 3

SACO OLIVEROS

Piden el volumen del sólido generado al girar el cubo alrededor de la recta L.

114

Geometría

Guía teórica IV

El volumen del sólido es el mismo que genera la región ABCD al girar 360° alrededor de la recta L, el cual es un cilindro de revolución. Luego: V = p( a 2)2 a \ V = 2pa3

256 p 3 ( 3 – 1) u 3 B) 240p ( 3 – 2) u3 C) 512 p (3 3 – 5) u3 3 D) 216p (3 3 – 1) u3 A)

Rpta.: A 4. Halle la razón de las áreas de los casquetes determinados por un plano secante a una distancia del centro de una esfera de radio R. (UNAC 2007-I) A) 2/3 D) 1/4

5. Halle el volumen de una esfera inscrita en un octavo de esfera cuyo volumen es 256 p u 3 . 3 (UNI 2002-I)

B) 3/2 E) 3/5

C) 2/3

E) 512p ( 2 – 1) u 3 Resolución

Resolución

Sea:

A1 : área del casquete superior A2 : área del casquete inferior

Piden: A1 A2

Luego, se puede formar un cubo cuya arista es el radio de la esfera.

A1 2 p R (MH) = A 2 2p R (NH)

3R A1 Þ = 4 A2 5 R 4

\

3 Piden: Vesfera = 4 pr 3 3 Por dato del problema R: 1 æç 4 p R ö÷ = 516 p , 8è 3 ø 3 donde R = 8.

Del gráfico: R = r( 3 + 1) = 8

A1 3 = A2 5 Rpta.: E

r = 4 ( 3 – 1) 4p Vesfera = (3( 3 – 1))3 3 512 p 3 Vesfera = (3 3 – 5) u 3 Rpta.: C

SISTEMA HELICOIDAL

115

Geometría

Guía teórica IV

PAPPUS-GULDIN

28

Marco teórico TEOREMA DE PAPPUS-GULDIN Superficie de revolución

Sólido de revolución

El área de la superficie generada por una línea plana al girar 360º en torno a una recta coplanar y no secante a dicha línea es igual al producto de las longitudes de la línea y de la circunferencia que describe su centroide.

El volumen del sólido generado por una región plana al girar 360º en torno a una recta coplanar y no secante a dicha región es igual al área de la región multiplicada por la longitud de la circunferencia que describe su centroide.

A SG = 2pxL A SG: L : C : x :

área de la supercicie generada longitud de la línea AB centroide de la línea AB radio de la circunferencia descrita por el centroide

SACO OLIVEROS

VSG = 2pxA VSG: A : C : x :

volumen del sólido generado área de la región generadora centroide de la región generadora radio de la circunferencia descrita por el centroide

116

Geometría

Guía teórica IV

Problemas resueltos 1. Una región limitada por un hexágono regular de lado L gira alrededor de uno de sus lados. Halle el volumen del sólido engendrado. (CEPREUNI 2008-I) 5 3 pL 2 D) 8pL3 A)

Resolución Piden: VSG

C) 9 p L3 2

B) 6pL3 E) 4pL3

Resolución Piden: VSG Por Pappus: VSG = 2pxA

∆AOB: equilátero Þ x = L 3 2

V SG = 2pxA donde x = 3 (6)(4) A= = 12 2 V SG = 2p(3)(12) \ V SG = 72p Rpta.: C

A = 6 SD AOB = 6

L2 4

3=

3. Determine el volumen (en u3) que genera una región triangular equilatera ABC, cuyo lado mide 6 u, al girar 360º alrededor de un eje coplanar a la región si pasa por B y forma 15º con el lado BC. (CEPREUNI 2008-I)

3 2 L 3 2

Reemplazando: L 3 2 ö VS G = 2p æç 3 öæ ÷ç L 3 ÷ è2 øè 2 ø 9 3 \ VS G = p L 2

A) 27p D) 27 2p Rpta.: C

B) 36p E) 54p

C) 54 2p

Resolución

2. Halle el volumen del sólido generado al girar una región triangular isósceles ABC alrededor de una sur recta L que pasa por el vértice A y es paralela a la altura BH. Además AB = BC = 5 u y AC = 6 u. (CEPREUNMSM 2002) A) 24p D) 96p

B) 48p E) 64p

C) 72p

SISTEMA HELICOIDAL

117

Geometría

Guía teórica IV

Piden: V SG = 2pxA ... (a) (notable de 45º) x= 6 62 3 A= =9 3 4 En (a): VS G = 2p 6(9 3) VS G = 54 p 2

Rpta.: A

Rpta.: D

4. Halle la distancia del centro de gravedad (CG) de la figura sombreada al eje de giro. (UNI 2006-I)

5. Calcule el volumen del sólido generado por la región rectangular cuando gira alrededor de L. (CEPREUNMSM 2003)

A) 7R/6

A) 18p m3

B) 6R/5

B) 30p m3 C) 26p m3

C) 5R/4

D) 24p m3

D) 5R/3

E) 32p m3

E) 7R/3 Resolución

Resolución V SG = VSGII – VSGI VS G = 2p R(p R 2 ) – 2p VS G =

7 2 3 p R 4

Volumen pedido: V SG R pR2 × 2 4

Por Pappus-Guldin V SG = 2pxS 2 æ ö VS G = 2 px ç pR 2 – p R ÷ 4 ø è 2 2 VS G = 2p x æç 3 p R 2 ö÷ = 3p R × x 4 2 è ø 3 2 2 7 2 3 Þ p R x= p R 2 4 7R \x = 6

SACO OLIVEROS

Aplicando Pappus-Guldin: VSG = (2p 3)(2)( 3) VSG = 24p m3 Rpta.: D

118

Geometría

Guía teórica IV

PLANO CARTESIANO

29

Marco teórico SISTEMA DE NÚMEROS REALES Es un conjunto de números reales definido con las operaciones de suma, multiplicación y la relación de orden mayor (>), menor (<), mayor o igual (≥) y menor o igual (≤); el sistema de los números reales se fundamenta en base a los siguientes axiomas:

Sean los números reales x1 y x2 ubicados en el eje X tal que: x1 es menor que x 2, esto es si el punto A de abscisa x 1 está a la izquierda del punto B de abscisa x2 , tal como se observa en la figura.

Sean a, b y c tres números reales. Luego: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

a +bΡ (ley de clausura) a +b=b +a (ley conmutativa) (a + b) + c = a + (b + c) (ley asociativa) ab Î ¡ (ley de clausura) ab = ba (ley conmutativa) (ab) c = a (bc) (ley asociativa)

Axioma de existencia y unidad del elemento inverso aditivo Para cada a Î ¡ existe un único elemento en ¡, denotado por (–a), que cumple la siguiente relación: a + (–a) = (–a) +a = 0 Interpretación geométrica de los números reales en la recta numérica real o eje X A la recta sobre la cual se fijan los números reales se denomina recta numérica real o eje de las abscisas (eje X). En dicho eje los números reales se representan mediante una relación de orden.

la posición de un punto en el eje X se denota ubicando una letra mayúscula y a la derecha entre paréntesis el número real, así: A(x1 ): Se lee: punto A de abscisa x1 o x 1 es la abscisa del punto A. B(x2 ): Se lee: punto B de abscisa x2 o x 2 es la abscisa del punto B. Luego del ejemplo expuesto concluimos que a cada punto del eje X se hace corresponder un número real único e inversamente, un número real se hace corresponder un único punto de dicho eje, de esta forma se establece una correspondencia biunívoca entre el conjunto de puntos del eje y el conjunto de los números reales. En la siguiente figura, ubiquemos un punto de abscisa cero 0 el cual se denomina origen de coordenadas.

Veamos el siguiente ejemplo que nos ilustra la relación de orden.

SISTEMA HELICOIDAL

119

Geometría

Guía teórica IV

Distancia entre dos puntos

Ubicación de un punto en el plano cartesiano

La distancia entre dos puntos de abscisa x1 y x2 en el eje X está dado por:

Postulado

d = x 2 – x1 Plano cartesiano

En todo plano existen infinitos puntos. Entonces, en el plano cartesiano existen infinitos puntos y a cada punto se le asocia un único par o pareja de números, el cual se denomina par ordenado (x0 , y 0). Estas son distancias a los ejes o pertenecen a dichos ejes, los cuales están fijados por una recta horizontal denominada eje de abscisas o eje X y otra recta vertical denominada eje de ordenadas o eje Y.

El sistema de los números reales es el conjunto ¡, el cual está asociado a la recta numérica real o eje X. Entonces, el producto ¡ × ¡ = ¡2 es el conjunto de todos los pares ordenados del plano que está determinado por dos rectas numéricas reales perpendiculares, siendo estos horizontal y vertical respecticamente. Dichas rectas son los ejes de coordenadas rectangulares o plano cartesiano y a la intersección de los ejes se denomina origen de coordenadas. En el gráfico se muestra el plano cartesiano, entonces, del origen de coordenadas hacia la derecha se ubican los puntos cuyos números asociados son positivos y a la izquierda los puntos cuyos números asociados son negativos. En el eje vertical, del origen hacia arriba se ubican los puntos cuyos números son positivos y hacia abajo los puntos cuyos números asociados son negativos.

SACO OLIVEROS

Notación de par ordenado: (x0, y0 ), donde: x0 : es la abscisa y0 : es la ordenada

Nota Ø Los ejes coordenados determinan en el plano cartesiano cuatro regiones, las cuales se denominan cuadrantes. Tomado en sentido antihorario primer cuadrante (IC), segundo cuadrante (IIC), tercer cuadrante (IIIC) y cuarto cuadrante (IVC). Ø Al plano cartesiano se le denomina también sistema de coordenadas rectangulares o sistema XY.

120

Geometría

Guía teórica IV

Ø El conjunto de todos los pares ordenados (X, Y) se denomina plano numérico y se denota por ¡2 , así:

x 0 – x 1 PM = =r x 2 – x 0 MQ

¡2 = {(x, y)/ x Î ¡, y Î ¡}

Ordenando y despejando x0 :

En el plano cartesiano se realizan las siguientes aplicaciones:

x0 =

Distancia entre dos puntos La distancia entre dos puntos cualesquiera:

x1 + r x 2 1+ r

" r ¹ –1

En forma análoga, se despeja y0:

P(x0 , y0) y Q(x 1, y1 ) en el plano cartesiano está dada por:

y0 =

y1 + r y 2 1+ r

" r ¹ –1

Dadas las coordenadas (x1 , y 1) y (x2 , y2 ) del punto A y B, luego las coordenadas de un punto P que pertenece a AB tal que AP = m y PB = n se expresa en función de dichas coordenadas y, de m y n.

En la figura: aplicando el teorema de Pitágoras: d 2 (P, Q) = (x1 – x0 )2 + (y1 – y 0)2 2

d(P, Q) = ( x 1 – x0 ) + ( y1 – y0 )

2

División de un segmento en una razón dada Sean los puntos P(x 0, y0 ) y Q(x1, y1 ), y M(x, y) un punto del PQ, tal que PM = r, entonces las coorMQ denadas de M están dadas por:

En la figura: x 0 – x1 m nx +mx2 = Þ x0 = 1 x2 – x0 n m+n En forma análoga, se obtiene y0 : y0 =

Siendo PM = r. MQ

SISTEMA HELICOIDAL

ny1 + my2 m+n

Punto medio de un segmento Dado el segmento de extremos A y B, cuyas coordenadas son A(x 1, y1 ) y B(x 2, y2 ) y M es el punto

121

Geometría medio de AB, tal que M(x, y), luego las coordenadas del punto M se determinan mediante la semisuma de las respectivas coordenadas de A y B.

Guía teórica IV Área de una región polinomial

x 1 y1 En la figura, por base media en los trapecios rectángulos AA'B'B y AA''B''B. x=

x1 + x 2 y + y2 y y= 1 2 2

Cálculo de las coordenadas del baricentro de una región triangular Las coordenadas del baricentro de una región triangular siempre están en función de las coordenadas de sus vértices.

x 2 y2 x 3 y3

S = 1 x 4 y4 2 M M x n yn x 1 y1 Área de una región triangular

En la figura, G es baricentro de la región triangular ABC. Luego: x + x2 + x3 y + y2 + y3 x= 1 y y= 1 3 3

SACO OLIVEROS

S = 1 x1 y2 + x 2 y3 + x 3 y1 – x 2 y1 – x 3 y2 – x1y3 2

122

Geometría

Guía teórica IV

Problemas resueltos 1. Los puntos O(0, 0), P (4, 2)y R son vértices de un rombo. Si M es el punto medio de QP y S MS Î MR es tal que = 2, halle la suma de las SR coordenadas de S. (UNMSM 2008-I) A) 7 D) 6

B) 8 E) 10

Resolución

C) 4

Resolución

Según la figura, pide determinar las coordenadas del punto D(x, y). Siendo M el punto de intersección de las diagonales: æ 8 + 3 9+ 1ö æ x + 5 y + 7 ö Mç , = , 2 ÷ø çè 2 2 ÷ø è 2 Þ Según la figura, pide calcular la suma de las coordenadas del punto S(x, y).

y +7 9 +1 = 2 2 y=3

Dato: M es punto medio de QP. æ 2+ 4 4 + 2ö Luego: M ç , Þ M(3, 3) 2 ÷ø è 2

Luego: D(6, 3)

Aplicando división de un segmento en forma análoga. 3=

(0)(2l) + (3l)( x) Þ x = 5, y = 5 2l + 3 l

Luego, la suma es x + y = 5 + 5 = 10. Rpta.: E 2. Los puntos A(3, 1), B(5, 7), C(8, 9) y D(x, y) son los vértices de un paralelogramo. Las coordenadas de D serán (UNFV 2007) A) (4, 8) D) (8, 4)

B) (3, 6) E) (6, 4)

x +5 8 +3 = 2 2 x=6

C) (6, 3)

SISTEMA HELICOIDAL

Rpta.: C

3. Los extremos de la base de un triángulo son los puntos A(0, 0) y B(3, 0). Determine la oræ1 ö denada del vértice opuesto Cç , y ÷ de tal maè2 ø nera que la medida del ángulo CAB es igual al doble de la medida del ángulo CBA. (UNI 2002-II) A)

15

B)

15 2

D)

15 6

E)

15 8

C)

15 4

123

Geometría

Guía teórica IV

Resolución

ABCD (Teorema de Marlen): d2 + 72 = 62 + 52

Del enunciado:

d 2 = 12

æ1 ö ç , y÷ è2 ø

\d=2 3 Rpta.: B 5. En la gráfica, si AC = 5, la suma de las coordenadas de C es (UNI 2001-I) A) 4 B) 10

Se traza CM de modo que mSMCA = a Þ mSCMB = a

C) 8 D) 6 E) 9

Luego: AM = AC = 2

Resolución

2

1 sombreado: y2 + æç ö÷ = 22 è 2ø 15 \y = 2

Rpta.: B

4. A(a, b), B(a, –b), C(–a, b) son los vértices de un rectángulo. Si P(x, y) cumple que OP = 6 u, = 7 u y BP = 5 u, entonces el valor de AP es (UNI 2004-I) A)

5u

D) 4 u

B) 2 3

C) 3 u

E) 3 2

Piden: x + y ABC : BC = 4

Resolución Luego

C(x, y) = (4, 6) Þ x = 4, y = 6 Rpta.: B

Piden: AP = d

SACO OLIVEROS

124

Geometría

Guía teórica IV

ECUACIONES DE LA RECTA

30

Marco teórico LA RECTA Inclinación de una recta

En la figura:

Es el ángulo que forma la recta con el eje de abscisas.

Ø Sea m la pendiente de la recta L. Luego m = tg a

Se mide a partir del eje X hasta la ubicación de la recta, tomado en sentido antihorario.

Si a < 90º, entonces m es positiva. Ø Sea m1 la pendiente de la recta L 1. Luego m1 = tgb Si b > 90º, entonces m1 es negativa. Cálculo de la pendiente dado dos puntos

a

: medida del ángulo entre la recta L y el eje X

b

: medida del ángulo entre la recta L 1 y el eje X

La pendiente de una recta puede ser calculada conociendo las coordenadas de dos puntos de dicha recta.

Pendiente de una recta Se denomina pendiente de una recta a la tangente de la medida del ángulo formado por la recta y el eje X. En la figura: Sea la recta L cuya pendiente es m. Luego m = tga En el

Convencionalmente la pendiente de una recta se denota con la letra m minúscula.

SISTEMA HELICOIDAL

AMB: tg a =

Entonces m =

y2 – y1 x 2 – x1

y2 – y1 x 2 – x1

125

Geometría

Guía teórica IV

Cálculo de la medida angular entre dos rectas

b. Si q = 90° Þ m1m2 = –1 Esto quiere decir que las rectas son perpendiculares.

Sean: «

Ø

L : cuya pendiente es m1

Ø

L : cuya pendiente es m2

«

En la figura:

Luego: m1 = tgb, m2 = tga

«

«

∆ABC teorema: q = a – b

Si L 1 ^ L 2 Þ m1 m2 = – 1

Luego: tgq = tg(a – b)

m1 y m2 son las pendientes de las rectas L 1 y L 2 , respectivamente.

tg q =

tg a – tg b 1 – tg atg b

Reemplazando tga = m2 y tgb = m1 , se tiene: m2 – m1 tg q = 1 + m2m1

. . . (1)

Nota Analizando la expresión (1) se tiene: a. Si q = 0° Þ m1 = m2 Esto quiere decir que las rectas son paralelas.

Ecuaciones de primer grado con dos variables La ecuación de la forma Ax +By + C = 0 representa geométricamente la ecuación de una recta, así tenemos: Forma de la ecuación general de la recta Toda ecuación borrar de la forma Ax + By + C = 0, se denomina ecuación lineal en variables x e y o de primer grado, donde (x, y) pertenece a dicha recta. Esta es la ecuación general de una recta, se cumple para todo valor de x e y que satisface dicha ecuación. m

L Ax + By + C = 0

Þ

m= – A B

x Del gráfico: «

«

Si L 1 ^ L

2

Þ m1 m2 = – 1

m1 y m2 son las pendientes de las rectas L1 y L 2, respectivamente.

SACO OLIVEROS

L : Ax + By + C = 0

Ecuación general

donde: A, B y C son constantes, siendo m su pendiente, x e y son variables genéricas del sistema XY.

126

Geometría

Guía teórica IV

Forma de la ecuación de una recta dado un punto y su pendiente

Forma de la ecuación de una recta de coordenadas al origen

La ecuación de una recta que pasa por un punto P(x1 , y1) y tiene una pendiente m es:

La ecuación de la recta que pasa por (0, b) y (a, 0) y es x + = 1. a b

y – y1 = m(x – x1)

«

Sea A(x, y) Î L , luego por cálculo de la pendiente: y – y y – y1 L :m= 1 = x1 – x x – x1

Luego:

L : y – y1 = m(x – x1 ) donde P(x 1, y1 )

:

En la figura: L:m =

Ecuación puntopendiente

Aplicando la ecuación de pendiente y ordenada al origen L : y = mx + b ... (1) Reemplazando m en (1): L : y = – b x +b a

punto de paso

A(x, y)

:

punto genérico

m

:

pendiente

Forma de la ecuación de una recta dadas su pendiente y su ordenada al origen La ecuación de la recta que pasa por (0, b) y tiene una pendiente m es y = mx + b.

0–b Þm=–b a–0 a

Luego: Ecuación de coordenadas

L : x + y =1 a b

al origen

Forma de la ecuación simétrica de la recta

m

b

Según la ecuación de la forma punto-pendiente: L : L :

y – b = m(x – 0) y = mx + b Ecuación y-intercepto o

m :

ecuación de pendiente y ordenada al origen pendiente de la recta L

SISTEMA HELICOIDAL

Del gráfico: L:

y – y1

l

=

x – x1 n

Ecuación simétrica de la recta

127

Geometría

Guía teórica IV Distancia entre dos rectas paralelas

Nota

«

Dada la ecuación de una recta y = mx + b analice los siguientes casos y realice su gráfica. Si: b = 0 y la pendiente m es positiva o negativa. x = 0 y b es positiva o negativa. y = 0 y b es positiva o negativa.

«

Sean las rectas paralelas L 1 y L 2 cuyas ecuaciones son: L1 : L2 :

Ax0 + By0 + C 1 = 0 Ax0 + By0 + C 2 = 0

Luego la distancia entre dichas rectas está dada por:

Distancia de un punto a una recta Sea L una recta cuya ecuación es de la forma Ax + Bx + C = 0 y un punto P(x1 , y1 ) que no pertenece a dicha recta, luego la distancia del punto P a la recta L está dada por:

Del gráfico: d(L1, L2) =

C2 – C1 A 2 + B2

Del gráfico: d(P, L ) =

Ax1 + By1 + C 2

A +B

2

d (P, L) : distancia del punto P a la recta L

SACO OLIVEROS

128

Geometría

Guía teórica IV

Problemas resueltos 1. Calcule el ángulo q que hacen las rectas L 1: y = 2x + 1 y L2 : y = x/2 – 1/2 (UNI 2008-I) A) arctg(4/5) B) arctg(5/4) C) arctg(1) D) arctg(4/3) E) arctg(3/4)

Resolución 3x + 2y – 14 = 0 ...........(1) x – 3y – 1 = 0 Þ x = 3 y + 1 ...........(2) Reemplazando (2) en (1): 3(3y + 1) + 2y – 14 = 0 y = 1, x = 4 La recta pedida pasa por (0, 0) y (4, 1).

Resolución

Su pendiente: Su ecuación:

1-0 1 = 4- 0 4

y -0 =

1

( x - 0) 4 4y = x

x – 4y = 0 Rpta.: B De:

3. Si los tres puntos A(1, –7), B(–1, 5) y C(x, 8) son colineales, entonces el punto medio de BC tiene por coordenadas (UNFV 2008-II) A) (–1/4, 3/2) C) (–5/4, 13/2) E) (–5/2, 13/2)

Luego: tg q = tg(q1 - q2 ) tg q =

tg q1 - tg q2

Resolución

1 + tg q1 × tg q2

1 22 tgq = 1 1+ 2× 2 3 3 \ tgq = Þ q = arctg 4 4 Rpta.: E 2. Halle la ecuación de la recta que pasa por el origen y por la intersección de las rectas 3x + 2y – 14 = 0 y x – 3y – 1 = 0. (UNFV 2008-II) A) x – 5y = 0 C) x + 4y = 0 E) x – 3y = 0

B) (5/4, 13/2) D) (5/2, 13/2)

B) x – 4y = 0 D) x + 6y = 0

SISTEMA HELICOIDAL

Sea M punto medio de BC. Piden: (a, b) Considerando los puntos A y B, la pendiente de la recta es: 5 - ( -7) = -6 -1 - 1

...(1)

Considerando los puntos B y C, la pendiente de la recta es: 8- 5 = -6 x - (-1)

...(2)

129

Geometría

Guía teórica IV

Igualando (1) y (2): -6 = Luego:

3 3 Þx=x +1 2

æ M(a , b ) = ç - 1 ç è 2 æ 5 M(a , b ) = ç - , è 4

3

ö 2 , 5 + 8 ÷÷ 2 ø 13 ö ÷ 2 ø

Rpta.: C

4. Se tiene un triángulo cuyos vértices son: A(–2, 1), B(4, 7) y C(6, –3). Halle la ecuación de la recta que pasa por el vértice A y es paralela al lado BC. (UNFV 2008-I) A) 5x + 2y = 0 C) –5x +y = –9 E) 5x – y+9 = 0

B) 5x – y = 9 D) 5x+ y+9 = 0

A) 17 / 26 C) 21 / 15 E) 17 /

B) 19 / 27 D) 35 / 20

24

Resolución «

Piden la distancia del punto B a la L 2 . «

Determinando la pendiente de la L 2. 2 - (1) 1 = 3 - (–2) 5

Resolución

Luego teniendo en cuenta el punto C su ecuación será: 1 y - 2 = ( x - 3) 5 L2 : x – 5y + 7 = 0 Piden la ecuación de la recta.

Aplicando distancia de los puntos a una recta.

«

Dato: BC // L

Þ tienen igual pendiente. La pendiente de BC: 7 - (-3) 4 -6

= -5

Para la recta L:

y -1 = -5 x - (-2) 5x + y + 9 = 0

d= Rpta.: D

5. En la figura dada, halle la altura del triángulo ABC sabiendo que la base es AC. (UNFV 2006)

SACO OLIVEROS

1 - 5(5) + 7 12 + (-5)2 d=

17 26 Rpta.: A

130

Geometría

Guía teórica IV

ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA 31

Marco teórico LUGAR GEOMÉTRICO Es el conjunto de puntos que cumplen con una misma propiedad, por ejemplo: la bisectriz de un ángulo, la mediatriz de un segmento, las cónicas, etc. Ejemplo Centro: C(h, k) Radio: r De la figura: d (C, P) = r

... (1)

Por distancia entre dos puntos: 2

d (C, P)= ( x – h) + ( y – k) Según el teorema de la bisectriz AG=AC y FB=FM, entonces se dice que la bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico donde están ubicados todos los puntos cuya propiedad común es tener la misma distancia (equidistar) de los lados del ángulo. ¿Por qué la mediatriz de un segmento es también un lugar geométrico? CIRCUNFERENCIA Definición y ecuaciones

2

... (2)

(2) en (1): (x – h) 2 + (y – k) 2 = r Luego, elevando al cuadrado: 2

2

(x – h) + (y – k) = r

2

Ecuación ordinaria

Esta es la ecuación ordinaria de la circunferencia, es decir, la condición que deben cumplir las coordenadas (x, y) de cualquier punto que esté en la circunferencia de centro (h, k) y de radio r.

Se define la circunferencia como el lugar geométrico de todos los puntos P(x, y) que equidistan (tienen igual distancia) de un punto fijo C(h, k) llamado centro.

Ecuación canónica

La distancia que separa al punto P(x, y) del centro C(h, k) es conocido como el radio r de la circunferencia.

En el caso de la circunferencia, si el centro está en el origen de las coordenadas: C(h, k) = C(0, 0).

SISTEMA HELICOIDAL

La ecuación canónica es la que corresponde a una cónica cuyo centro es el origen de coordenadas.

131

Geometría

Guía teórica IV Tangente a una circunferencia

Reemplazando en la ecuación ordinaria: (x – 0)2 + (y – 0)2 = r2

En la determinación de la recta tangente a una circunferencia se consideran tres problemas: 1. Para hallar la ecuación de la recta tangente a una circunferencia dada, en un punto dado de o se toma la recta: L: y – y0 = m (x – x 0)

Luego x 2 + y2 = r2 Ecuación canónica

2. Para hallar la ecuación de la recta tangente a una circunferencia dada, conociendo su pendiente m , se tiene la ecuación de la recta: L: y = mx – k

Ecuación general Se sabe que la ecuación ordinaria de la circunferencia es (x – h)2 + (y – k)2 = r2 . Si la desarrollamos y acomodamos términos se escribe de esta manera: x2 +y2+(–2h)x+(–2k)y+(h 2+k2 – r2) = 0

.... (1)

Si hacemos el siguiente cambio de variable: D = –2h E = –2k F = h 2 + k2 – r2 y reemplazamos en (1) queda: x2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0

3. Para hallar la ecuación de la recta tangente a una circunferencia dada y pasa por un punto P0 (x 0, y0 ) exterior dado, se tiene la ecuación de la recta: L: y – y0 = m (x – x 0) y en cada caso se aplica la condición de tangencia, es decir, que al reemplazar la ecuación de la recta tangente en la ecuación de la circunferencia, al momento de despejar x o y el discriminante se iguala a cero.

es la ecuación general de la circunferencia.

Nota Si D 2 + E2 – 4F > 0, entonces la ecuación representa a la circunferencia de: Centro: C(h, k )= C æç – D , – E ö÷ 2ø è 2 Radio: r = 1 D + E – 4F 2 2

2

Ø D2 + E2 – 4F = 0, entonces, la ecuación sólo representa al punto centro æç – D , – E ö÷. è 2 2ø Ø D2 + E2 – 4F < 0, la ecuación no representa a ningún lugar geométrico en ¡.

SACO OLIVEROS

132

Geometría

Guía teórica IV

Problemas resueltos 1. Una de las caras de un tetraedro regular tiene sus vértices en una circunferencia de ecuación x 2 + y2 – 2 2 x – 2 3 y + 4 = 0 Determine el volumen del tetraedro. (UNMSM 2009-II) A)

6/2 u3

B)

3 /2 u3

D)

2/2 u3

E)

6/4 u3

C)

En el gráfico, el triángulo BDF es equilátero (cara del tetraedro regular). Como BD = 3 , luego: V=

( 3)2 ( 2) = 6 u3 12 4

1 u3

Resolución

Rpta.: E

2. Determine el área de la región limitada por el eje de las abscisas, la circunferencia de la ecuación x2 – 2x + y2 = 0 y una recta L de 3 que pasa por el origen de co3 ordenadas. (UNMSM 2009-II) pendiente

Resolución Para resolver dicho problema, es necesario identificar las coordenadas del centro de la circunferencia y la medida de su radio. Dato: x2 – 2x + y2 = 0 Se suma 1 a ambos : x2 – 2x + 1 + y2 = 0 + 1 (x – 1)2 + (y – 0)2 = 1 Sea ABDF el tetraedro regular cuyo volumen V se pide calcular.

Las coordenadas del centro de la circunferencia es (1, 0) y su radio mide 1.

Dato: x 2 + y 2 - 2 2x - 2 3y + 4 = 0 Completando cuadrados:

Las coordenadas del centro C y su radio r es: C( 2 , 3 ) y r = 1

SISTEMA HELICOIDAL

133

Geometría

Guía teórica IV

Del gráfico: Área(región pedida) = Área(∆OCA) + Área(sector circular) 1 3 60º p(1)2 + Área(región pedida) = × 1 × 1 × 2 2 360º Área(región pedida) =

3 p 1æ 3 pö 2 + = ç + ÷u 4 6 2è 2 3ø Rpta.: 1 æç 3 + p ö÷ u 2 2è 2 3ø

3. Si un diámetro de la circunferencia (x – h)2 + (y – k)2 = r2 tiene como extremos a los puntos r2 (2, 2) y (6, 5), entonces h + k + es igual a 2 (UNI 2009-II) A) 7 D) 10

B) 8 E) 11

C) 9

4. La ecuación de la familia de circunferencias concéntricas de centro C(2, 3) es (UNAC 2006-I) A) B) C) D) E)

(x + 2)2 + (y + 3)2 = k, k Î ¡+ (x – 3)2 + (y – 2)2 = k, k Î ¡+ (x – 2)2 + (y – 3)2 = k, k Î ¡+ (x + 3)2 + (y + 2)2 = k, k Î ¡+ (x – 2)2 + (y + 3)2 = k, k Î ¡+

Resolución Sabemos por teoría que la ecuación de una circunferencia es: (x – x 0)2 + (y – y 0)2 = r2 Donde: (x0 , y0) son coordenadas del centro.

Dato: (x0 , y0 ) = (2, 3)

Si r2 = k, la forma de la ecuación es: (x – 2)2 + (y – 3)2 = k, k Î ¡+

Resolución

Rpta.: C 5. Halle la medida del área de la región comprendida entre la curva de la ecuación x2 + y2 + 4x – 6y + 4 = 0 y la circunferencia que pasa por el punto P(2, 6) que es concéntrica con la curva anterior. (UNI 2003-I) A) 5p u2 D) 20p u 2

Del gráfico: æ6 + 2 5 + 2 ö æ 7ö (h, k ) = ç , ÷ Þ (h, k ) = ç 4, ÷ 2 ø 2ø è 2 è

B) 10p u 2 E) 25p u 2

C)

16p u 2

Resolución

2

7ö 25 æ r = (6 - 4)2 + ç 5 - ÷ Þ r 2 = 2 4 è ø Piden: h +

k r2 + 4 2 7 25

Þ 4+ 2 + 4 = 8 4 2

SACO OLIVEROS

Rpta.: 8

134

Geometría

Guía teórica IV

Piden el área de la región sombreada (A RS). Como: C C Por corona circular: ARS = p(R2 – 32 ) d (P, O) = R = (2 + 2)2 + (6 - 3)2 = 5 Reemplazando: A RS = p(52 – 32 ) \ ARS = 16p u2 Rpta.: C

SISTEMA HELICOIDAL

135

Geometría

Guía teórica IV

ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA

32

Marco teórico PARÁBOLA Definición Dada la recta fija L, denominada directriz y un punto fijo F, denominado foco, que no pertenece a dicha recta, se define la parábola como el lugar geométrico del conjunto de puntos P(x, y) que equidistan del foco F y la recta L.

Luego: e = 1, donde e es la excentricidad de la parábola. Elementos asociados a la parábola •

Foco

:

F

•

Directriz

:

L

•

Eje focal

:

•

Vértice

:

L1 V(h, k)

•

Lado recto

:

MM' (MM' = 4p)

•

Parámetro

:

p (VF = VQ = p)

•

Cuerda focal

:

AB

•

Cuerda

:

TS

«

«

Formas de la ecuación de la parábola

Según la definición F es un punto fijo (foco), L es la recta directriz y P(x, y) es un punto cualquiera de coordenadas genéricas x e y de la parábola, luego:

Por definición de cónica:

Las diversas formas de la ecuación cartesiana de una parábola dependen de la ubicación del eje focal con respecto a los ejes coordenados. Ecuación de la parábola con eje focal paralelo al eje Y La ecuación cartesiana de la parábola cuyo vértice es V(h, k) y su eje focal es paralelo al eje Y está dada por: P : (x – h)2 = 4p (y – k) Siendo (x, y) coordenadas genéricas de un punto de la parábola, p es su parámetro.

SACO OLIVEROS

136

Geometría

Guía teórica IV (x, y): coordenadas del punto genérico

Si p > 0, la parábola se abre hacia arriba. Si p > 0, la parábola se abre hacia arriba.

Si p < 0, la parábola se abre hacia abajo. Si p < 0, la parábola se abre hacia abajo.

Ecuación de la parábola con el eje focal en el eje Y La ecuación cartesiana de la parábola cuyo vértice es V(0, 0) y su eje focal en el eje Y está dada por:

Ecuación de la parábola con eje focal paralelo al eje X La ecuación cartesiana de la parábola cuyo vértice es V(h, k) y su eje focal es paralelo al eje X, está dada por: P : (y – k)2 = 4p (x – h)

P : x 2 = 4py

SISTEMA HELICOIDAL

137

Geometría

Guía teórica IV Ecuación de la parábola con eje focal en el eje X La ecuación cartesiana de la parábola con vértice V(0, 0) y su eje focal en el eje X está dada por: 2 P : y = 4px

p: parámetro

p : parámetro Si p > 0, la parábola se abre a la derecha.

Si p > 0, la parábola se abre a la derecha.

Si p < 0, la parábola se abre a la izquierda.

Si p < 0, la parábola se abre hacia la izquierda.

SACO OLIVEROS

138

Geometría

Guía teórica IV

Problemas resueltos 1. Halle la suma de las coordenadas del punto de intersección de la recta que pasa por los vértices de las parábolas y2 = y – x y x = y2 – 3 con la recta que pasa por los puntos de intersección de estas parábolas. (UNMSM 2009-I) A) 1/8 D) 9/8

B) 3/4 E) –1/4

C)

L2 :

y = 2x + 3

L1 Ç L2 = {T} Resolviendo el sistema: 11 1 T æç - , ö÷ è 8 4ø

–9/8

Luego: a + b = -

Resolución Datos:

11 1 + 8 4 a+b = -

P1 : y2 = y – x (P1: parábola) P2 : x

= y2

– 3 (P2 : parábola)

Nos piden: a + b / T(a, b)

9 8

Rpta.: C

2. Dada la ecuación de la parábola, entonces la suma de las coordenadas del foco de la parábola es (UNI 2003-II) A) 7

B) 9

C) 6

D) 8

E) 4

Resolución Dada la parábola: P : y2 – 4y – 8x + 44 = 0 Se pide la suma de las coordenadas del foco. Completando cuadrados se obtiene: (y –2)2 = 8(x – 5) Þ V(5, 2) y p= 2 Realizando el gráfico: Graficando:

L 1: 13y = 2x + 6

SISTEMA HELICOIDAL

Coordenadas del foco: F(7, 2) Por lo tanto, la suma de coordenadas del foco es 9. Rpta.: B

139

Geometría

Guía teórica IV

3. Una parábola tiene su foco en el punto F(–1, 2) y su directriz es la recta L : y – 8 = 0. Determinar su ecuación. (UNI 2009-II) A) B) C) D) E)

p = 3, V(–4, 3) P : (y – y0 )2 = 4p(x – x0 ) (x – 3)2 = 4(3)( x – 4)

P : y2 – 6y – 12x – 39 = 0

x 2 – 2x – 12y + 61 = 0 x 2 + 2x + 8y – 32 = 0 x 2 + 2x + 12y – 59 = 0 x 2 – 2x + 8y – 31 = 0 x 2 – 2x + 8y + 61 = 0

Rpta.: B

5. La directriz de una parábola es la recta y – 1 = 0 y su foco es el punto (4, 3). Determine la ecuación de la parábola. (UNMSM 2001)

Resolución

A) B) C) D) E)

x2 – 8y + 8x + 8 = 0 x2 – 8y – 8x – 24 = 0 x2 + 8y – 8x – 24 = 0 x2 – 6y + 8x – 22 = 0 x2 – 4y – 8x + 24 = 0

Resolución Del gráfico: p = 3, V(–1, 5) P : (x – x 0)2 = 4p(y – y0) (x + 1)2 = 4(3)(y – 5) P : x 2 + 2x – 12y + 61 = 0

Rpta.: A

4. Determine la ecuación de la parábola cuyo vértice y foco son los puntos (–4, 3) y (–1, 3). (UNAC 2002-I) A) B) C) D) E)

y 2 – 6y + 12x + 39 = 0 y 2 – 6y – 12x – 39 = 0 y 2 – 6y – 12x + 57 = 0 y 2 – 6y + 12x + 57 = 0 y 2 – 4y + 6x + 30 = 0

Resolución

SACO OLIVEROS

p=1 V(4, 2) P : (x – x0 )2 = 4p(y – y0 ) (x – 4)2 = 4(1)( y – 2)

P : x2 – 8x – 4y + 24 = 0

Rpta.: E

140

Geometría

SISTEMA HELICOIDAL

Guía teórica IV

141

Trigonometría

SACO OLIVEROS

Guía teórica IV

142

Trigonometría

Guía teórica IV

IDENTIDADES DEL ÁNGULO TRIPLE 25

Marco teórico IDENTIDADES DEL ÁNGULO TRIPLE Identidades básicas

Ejemplo 2

sen 3x = 3 sen x - 4 sen3 x cos 3 x = 4 cos 3 x - 3cos x 3

3 tg x - tg x

tg 3 x =

1 - 3 tg 2 x

Ejemplo 1 Si sen x = 1 ,, calcule E=sen3x. 3 Solución

Si sen 3 x = 1 , calcule (cos2x + 1). sen x 3 Solución sen 3 x 1 = sen x 14243 3 1 2 2cos 2 x + 1 = ® 2cos 2 x = 3 3 \ cos 2 x = Luego E = cos 2x+1

sen x = 1 3

E =-

Luego: sen3x = 3senx – 4sen3 x 3

æ1ö æ1ö sen 3 x = 3 ç ÷ - 4 ç ÷ è3ø è3ø 4 23 sen 3 x = 1 ® sen 3 x = 27 27 Propiedades auxiliares sen 3x = 2cos 2x + 1 sen x cos 3 x cos x

= 2cos 2 x - 1

1 3

1 +1 = 2 3 3

Propiedades 4 sen x × sen(60º -x ) × sen(60º +x ) = sen 3x 4 cos x × cos(60 - x )× cos(60º + x ) = cos 3 x tg x × tg(60º - x )× tg(60º + x ) = tg 3x Ejemplo 3 Reduzca A = 8 cos 20º·cos 40º·cos 80º. Solución A = 2 é4 cos 20º ×cos(60º -20º) × cos(60º +20º ) ù

ë A = 2cos 60º

û

æ ö A = 2ç 1 ÷ = 1 è2ø

SISTEMA HELICOIDAL

143

Trigonometría

Guía teórica IV

Ejemplo 4

cos 36º =

cos 3x sen 3x Calcule M = – . cos x sen x

5 +1 4

Solución M = (2cos2x – 1) –(2 cos2x + 1) M = 2cos2x – 1 – 2 cos2x – 1 M = –2 5 –1 4

sen18º =

Problemas resueltos Resolución

1. Halle el valor de E = cos80°·cos20°·cos40°

E = sen 20º { × sen 50º { × sen70º { x 60º–x 60º+x 8 sen 3(20º) E= 4 \E=1

(UNALM 2007-II) A) 2 D) 1/4

B) 4 E) 1/8

C) 3/4

Rpta.: C

Resolución E = cos 20º { × cos 40º { × cos 80º { x

E=

3. Si sen a =

60º–x 60º+x

cos 3(20º) cos 60º = 4 4 \E = 1 8

A) 1/2 D) 1/5

Rpta.: E

2 , calcule 3 sen 3a . 3 22 B) 1/3 C) 1/4 E) 1/6

Resolución sen3a = 3 sena – 4sen3 a 3

2. Halle E = 8 sen10° · sen50° · cos20° (CEPREVI 2009) A) 4 D) 1/2

B) 2 E) 1/4

æ2ö æ2ö 22 sen 3a = 3 ç ÷ – 4 ç ÷ = 27 è3ø è3ø Reemplazando: 3

C) 1

SACO OLIVEROS

sen 3a = 22

3

1 1 = 27 3 Rpta.: B

144

Trigonometría 4. Simplifique M = (CEPREVI 2009) A) tgx D) cscx

Guía teórica IV 5. Si 6 sen 20º – 3 = M sen3 40º, halle M. (CEPREUNMSM 2008)

sen 3x + sen 3 x . cos 3 x – cos 3 x

B) secx E) senx

C) ctgx

sen 3x – 4 sen3 x + sen3 x cos3 x – (4 cos3 x – 3cos x )

M=

3 sen x (1 – sen2 x ) 3cos x(1 – cos 2 x)

sen x × cos 2 x M= cos x × sen 2 x

B) sec 2 20° E) sec3 20°

C) sec20°

Resolución

Resolución M=

A) csc320° D) ctg3 20°

6sen20° – 2sen60° = Msen 340° 6 sen20° – 2(3 sen20° – 4sen320°) = Msen3 40° 8 sen320° = M(2sen20° · cos20°)3 \ M = sec3 20° Rpta.: E

Rpta.: C

SISTEMA HELICOIDAL

145

Trigonometría

Guía teórica IV TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS 26

Marco teórico 1.er caso: De suma o diferencia a producto (A>B). æ A + Bö æ A - Bö sen A + sen B = 2sen ç ÷ × cos ç 2 ÷ è 2 ø è ø æ A - Bö æ A + Bö sen A - sen B = 2sen ç ÷ × cos ç 2 ÷ è 2 ø è ø æ A +B ö æ A -B ö cos A + cos B = 2cos ç ÷ × cos ç 2 ÷ 2 è ø è ø

Propiedades En un ∆ABC, se cumple que: A B C × cos × cos 2 2 2 A B C ii) cos A+ cos B+ cos C = 4 sen × sen × sen + 1 2 2 2 iii) sen2A + sen2B + sen2C = 4senA · senB · senC i)

sen A+ sen B+ sen C = 4 cos

iv) cos2A + cos2B + cos2C = –4cosA · cosB · cosC – 1

æ A +B ö æ A -B ö cos A - cos B = -2sen ç ÷ × sen ç ÷ è 2 ø è 2 ø 2.° caso: De producto a suma o diferencia (a>b) 2sena·cosb = sen(a + b) + sen(a – b) 2cosa·senb = sen(a + b) – sen(a – b) 2cosa·cosb =cos(a + b) + cos(a – b) 2sena·senb = cos(a – b) – cos(a + b)

SACO OLIVEROS

146

Trigonometría

Guía teórica IV

Problemas resueltos 1. Si cos88° + sen87° = m, halle K = cos28° – cos32° + cos57° + cos63° (UNFV 2001) A) 1/m D) m sen2º

B) m E) 0

C) m cos2º

Resolución K = 2 sen30° · sen2° + 2 cos60° · cos3° K = sen 2º + cos 3º 123 123 K = cos88° + sen87° \K=m

Rpta.: B 2. Si sen 5 x + sen x = 3 , entonces el valor de x cos 5 x + cos x es (UNFV 2008) A) 30º D) 45º

B) 20º E) 50º

C) 60º

Resolución

9q 3q 7q q × sen + 2sen × cos 2 2 2 2 2sen 2q × sen 5q sen 6q – sen 3q + sen 4 q + sen 3q L= 2sen 2 q × sen 5 q 2sen 5 q × cos q L= 2 × 2sen q × cos q × sen 5q 1 csc q L= \L= 2sen q 2 Rpta.: D L=

2cos

4. Transforme a producto J = senx + sen3x + sen5x + sen7x (UNAM 2009-II) A) B) C) D) E)

senx · cos2x · sen4x 2cosx · cos2x · cos4x 4cosx · cos2x · sen4x 4sen4x · cos2x · sen4x 2cosx · cos2x · sen4x

Resolución

2sen 3 x × cos 2 x = 3 2cos 3 x × cos 2 x

J = sen7x + senx + sen5x + sen3x J = sen7x + senx + sen5x + sen3x J = 2sen 4 x (cos 3 x244 + cos3 x) 144

tg 3 x = 3 3x = 60° \ x = 20° Rpta.: B 3. Calcule 3q 9q 7q q sen × cos + sen × cos 2 2 2 2 L= sen 2q × sen 5q (UNAM 2008) sen q 2

B)

cosq 2

D) csc q 2

E)

tg q 2

A)

Resolución

C) sec q 2

2cos2x·cosx J = 4sen4x·cos2x·cosx

Rpta.: D 5. Calcule E = 2cos80° + 4 sen70°·sen10° (UNAM 2009-II) A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

Resolución E = 2cos80° + 2(cos60° – cos80°) E = 2 cos 80º + 2cos 60º –2 cos 80º \E=1 Rpta.: A

SISTEMA HELICOIDAL

147

Trigonometría

Guía teórica IV

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

27

Marco teórico Una función trigonométrica se define como:

Si y = f(x) = cosx

2

FT = {(x, y) Î ¡ / y = FT(x)} Donde:

x

0

p/6

1

p/2

p

...

y

0

/2

cos1

0

–1

...

Dominio: Df = {x Î ¡/y = FT(x)} Rango: Rf = {y Î ¡/y = FT(x)} Si y = f(x) = senx Para graficarlo tabulamos: x

0

p/6

1

p/2

p

...

y

0

1/2

sen1

1

0

...

Dominio: Df = ¡ Þ –∞< x < +∞

Rango: Rf = [–1, 1] Þ –1 ≤cosx ≤1 Curva: Cosenoide Periodo: T = 2p Función par: cos(–x) = cosx

Dominio Df : ¡ Þ –∞< x < +∞

Rango Rf : [–1, 1] Þ –1 ≤sen x ≤1 Curva: Senoide Si P(x 0, y0 ) Î y = senx Þ y0 = senx 0 Periodo: T = 2p Función impar: sen(–x) = – senx

SACO OLIVEROS

148

Trigonometría

Guía teórica IV

Problemas resueltos 1 ù p pù csc a, donde a Î ú , ú, entonces 2 û 6 3û f(a), está en (UNAC 2006-I)

1. Si f (a) =

A) ùú û D) éê ë

3 ù B) é 2 é C) é 3 , 2ú , 1ê , ê ê 3 û ë 3 ë ë 3 2 ù E) é 3 é , 1ú , 1ê ê 3 û ë 3 ë

é 1ê ë

A) [–3, 3] C) [–4, 4] E) ¡

B) [–5, 5] D) [–3, 4]

Resolución p f (x) = 4 senæç 3 x + ö÷ Þ Df = ¡ y Rf = [–4, 4] è 5ø Interceptando:

Resolución f (a) =

æ pö 3. Si f( x) = 4 sen ç 3 x + ÷, determine Df Ç R f. 5ø è (CEPREUNALM 2009-I)

1 2sen a

Df Ç Rf = [–4, 4]

si p < a £ p Þ 1 < sen a £ 3 6 3 2 2

Rpta.: C

Þ 1 < 2sen a £ 3

4. Determine el rango de la función

1 1 Þ1> ³ 2sen a 3

cos2 x 1 + sen 2 x (CEPREUNALM 2009-I)

Þ 1 > f (a) ³

f (x ) =

3 3

A) [0, 1] D) [0; 0,5]

é 3 é \R f = ê , 1ê ë 3 ë

Rpta.: C

Resolución 2

E = 2cosa + senb (UNFV 2009) B) –1 E) 3

C) [1, 2]

f (x) = 1 - sen 2 x 1 + sen x Pero: 1 1 £ £1 2 1 + sen2 x

2. Si cosa – senb = 2, halle

A) 1 D) –2

B) [0, 2] E) [0,5; 2]

C) 2

1£

Resolución –1 ≤ cosa ≤ 1 Ù –1 ≤ senb ≤1

0£

Þ cosa = 1 Ù senb = –1 E = 2(1) + (–1)

2 £2 1 + sen 2 x 1 - sen 2 x £1 2 11+4sen x 243 f(x)

\ Rf = [0, 1]

\E=1 Rpta.: A

SISTEMA HELICOIDAL

Rpta.: A

149

Trigonometría 5. Determine el rango de la función f(x) =

2sen 2x

+

3cos2x

B) [0, 2] E) [1, 2]

Resolución f(x) = 2sen 2x + 3(1 – sen2 x) f(x) = 3 – sen2 x

(CEPREUNALM 2009-I) A) [0, 1] D) [1; 2,5]

Guía teórica IV

C) [2, 3]

Sea: 0 ≤sen 2x ≤1 –1 ≤ –sen2 x ≤ 0 2£ 3 - sen 2 x £ 3 14243 f(x) \ Rf = [2, 3]

SACO OLIVEROS

Rpta.: C

150

Trigonometría

Guía teórica IV

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

28

Marco teórico Cálculos de periodos Si f(x) = AsenBx Ù g(x) = AcosBx Donde: A y B > 0 2p Su periodo: T = B Ejemplos 1) 2)

3)

2) y = f(x) = AcosBx; A, B > 0 Amplitud: A

Periodo: 2p B

2p =p 2 x 2p y = 4 cos Þ T = =6p 1 3 3 1 4x 2p 5p y = sen ÞT = = 4 3 5 2 5 y = 3 sen 2 x Þ T =

Gráficas especiales 1) y = f(x) = AsenBx; A, B > 0 Amplitud: A

Periodo: 2p B

SISTEMA HELICOIDAL

151

Trigonometría

Guía teórica IV

Problemas resueltos 1. Dada la función f(x) = 4sen(kx), calcule AT –1. (A es amplitud y T es periodo). (CEPREUNALM 2009-I) A) k D) p

B) 2k E) 8

C) 3k

2p k

Þ T -1 =

k 2p = 2k

y = 5senx

f (x) = cos

2. Determine el periodo de la función

A) 12p D) 30p

B) 18p E) 16p

C) 24p

Tf = MCM(T1 , T2, T3 )

(CEPREUNALM 2009-I) Sea:

C) 3p

T1 =

Resolución

2p = 6p 1 3

T2 =

2p = 8p 1 4

T3 =

Þ Tf = MCM(6p, 8p, 4p)= 24p

æ pö f (x) = 2 sen x ç x + ÷ 4ø è 2p \T = = 2p 1

Rpta.: B

3. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: (CEPREUNALM 2009-II) B) VFV E) FVF

x x x + cos + cos 3 4 2

Resolución

f(x) = senx + cosx

B) 2p E) 5

(V)

4. Determine el periodo de

Rpta.: B

A) VVV D) FVV

(V)

Rpta.: A

k 2p

A T-1 = 4p ×

A) p D) 4

(V) A = |5|=5

A = |–6|=6 iii) y = –4cos(px) T = 2p = 2 p

Ø A = |4 p| = 4p T=

i)

ii) y = –6senx

Resolución

Ø

Resolución

C) VVF

Ø La amplitud de la función y = 5 senx, es 5. ( ) Ø La amplitud de la función y = –6 senx, es 6. ( ) Ø El periodo de la función y = –4cos(px), es 2. ( )

2p = 4p 1 2 Rpta.: C

5. Si f(x) = 4sen4x – 3cos4 x + 5, calcule el periodo de la función f. A) p D) p/2

B) p/5 E) p/3

C) p/4

Resolución f(x) = 5 sen(4x – 37°) + 5 Se calcula: \T=

2p p = 4 2 Rpta.: D

SACO OLIVEROS

152

Trigonometría

Guía teórica IV FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Inversas 29

Marco teórico

Si FT(q) = n Þ q = arc FT(n) Función directa

Función inversa

1) y = f(x) = arc senx

Propiedades 1 1. arc sen x = arc csc , " x Î [- 1, 1] - {0} x 1 arc cos x = arc sec , "x Î [-1, 1] - {0} x 1 arctg x = arc ctg , "x Î ¡+ x 2. arc sen x + arc cos x =

p , "x Î [-1, 1] 2

p , "x Î ¡ 2 arc sec x + arc csc x = p , "x Î -¥ ,- 1]È [1,+¥ 2 arctg x + arc ctg x =

Donde: –1 ≤x ≤1 - p £ arc sen x £ p 2 2 2) y = f(x) = arc cosx

3. arc sen(–x) = –arc senx arc tg(–x) = –arc tgx arc csc(–x) = –arc cscx arc cos(–x) = p – arc cosx arc ctg(–x) = p – arc ctgx arc sec(–x) = p – arc secx

Donde: –1 ≤x ≤1 0 ≤ arc cosx ≤p

SISTEMA HELICOIDAL

153

Trigonometría

Guía teórica IV

Problemas resueltos 1. La expresión trigonométrica arc cos u = z, significa cosz = u. Suponiendo que z Î [0, p], halle 2sen æç arccos 1 ö÷. (UNMSM 2004-II) 2ø è A)

1 2

D) 2 3 3

B)

3 4

E)

3 3

C)

3

Resolución é ù A = tg ê p - æç p - arccos 3 ö÷ú 5 øû ë4 è 3 3p ö A = tg æç arccos ÷ è 5 4 ø 3p 4 A= 3p 1 + tg a × tg 4 tg a - tg

Resolución 1 1 = u Þ cos u = Þ u = 60º 2 2 Nos piden: 2sen æç arccos 1 ö÷ = 2sen 60º = 3 2ø è

3 cosa = 5

arccos

4 +1 A= 3 4 13 \ A = –7

Rpta.: C

2. Halle M = arc tg 1 + arc ctg 2. 3 (CEPREUNALM 2009) A) p /2 D) p /6

B) p /3 E) p/8

Rpta.: B C) p/4

Resolución

12 4 E = sen æç arc sen - arc sen ö÷ è 13 5ø (CEPREUNAC 2009)

1 1 M = arc tg + arc tg 3 1 2 1 424 3 424 3 37º 53º 2 2 p \ M = 45º = 4

A) 65/16 D) 64/13

B) –7 E) 3/4

B) 16/65 E) 103/41

C) 13/64

Resolución Rpta.: C

é ù 3. Calcule A = tg ê p - arccos æç - 3 ö÷ ú. ë4 è 5 øû (CEPREUNALM 2009) A) 7 D) –1/7

4. Calcule

a = arc sen sen a =

12 13

12 13

q = arc sen sen q =

4 5

4 5

C) 1/7

SACO OLIVEROS

154

Trigonometría

Guía teórica IV

E = sen(a – q)

Resolución

E = sena · cosq – senq · cosa 12 3 4 5 E= × - × 13 5 5 13 16 \E = 65

æ 2cos 6º 2cos 2 6º ö a = arc ctg ç + ÷ è 2sen 6º × cos 6º 2sen 6º × cos 6º ø a = arc ctg(csc6° + ctg6°) Rpta.: A

\ sen10a = sen 30º =

5. Calcule sen10a siendo 2cos 6º 1 + cos12º ö a = arc ctg æç + ÷ è sen12º cos78º ø A) 1/2 D) 1

B) 2/2 E) 1/4

æ 6º ö a = arc ctg ç ctg ÷ 2ø è a = 3°

C)

1 2

Rpta.: A

3 /2

SISTEMA HELICOIDAL

155

Trigonometría

Guía teórica IV

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

30

Marco teórico ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA Son ecuaciones donde la(s) variable(s) deben de encontrarse afectadas por algún operador trigonométrico y no tiene que ser una identidad trigonométrica.

Ejemplos 3 Þ x ÎI Ú I I C 2

1) sen x =

x = 60°, 180° – 60° x = 60°, 120°

Ejemplos 1) senx + cosx = 2 2) seny + cosy + tgy = 0

2) cos x = 2 Þ x Î I Ú I V C 2

3) sen x = cos y - 1 Ecuación trigonométrica elemental

x = 45°, 360° – 45° x = 45°, 315°

Son ecuaciones trigonométricas de la forma: sen(Bx + C) = n, –1 ≤n ≤1

3) tg x =

cos(Bx + C) = n, –1 ≤ n ≤1 tg(Bx + C) = n, –∞< n < +∞

3 Þ x Î I Ú IIIC 3

x = 30°, 180° + 30° \ 30°, 210°

Cálculo de las menores soluciones positivas Para determinar las menores soluciones positivas de una ecuación trigonométrica, se debe tomarse en cuenta el signo de la razón trigonométrica y se utiliza el siguiente cuadro que se tiene que ver con posición al primer cuadrante. 180º - a p-a

4) sen x = -

3 Þ xÎ II I Ú I V C 2

x = 180° + 60°, 360° – 60° x = 240°, 300°

a

180º + a

360º - a

p+a

2p - a

SACO OLIVEROS

156

Trigonometría

Guía teórica IV

Problemas resueltos 1. Una solución de la ecuación 4tgx + 12ctgx = 8 3 es (UNFV 2007) A) p/3 D) 3p/2

B) p/8 E) 3p/4

æ xö x 2 ç 1 - tg2 ÷ 2ø =1 2 + è 2 x 2 x 1 + tg 1 + tg 2 2 x 2 x 3 tg - 2 tg - 1 = 0 2 2 2 tg

C) p/4

Resolución 4 tg x +

12 =8 3 tg x

æ x öæ x ö ç 3 tg 2 + 1 ÷ç tg 2 - 1 ÷ = 0 è øè ø

4tg2 x – 8 3tgx + 12 = 0 (tgx –

Resolución

tg

3)2 = 0 Þ tgx = 3 p x = 60º = 3 Rpta.: A

x 1 x = - Ú tg = 1 2 3 2

x 37º x = 180º Ú = 45º 2 2 2 x = 323° Ú x = 90° Rpta.: A

2. Halle el valor de x en 1 1 + =8 1 + sen x 1 - sen x

4. Los valores de los ángulos comprendidos entre 0º y 180º que satisfacen la ecuación

(UNFV 2002) A) 30º D) 31º

B) 60º E) 53º

1 - sen x + 1 + sen x =8 (1 + sen x)(1 - sen x) 2 1 = 8 Þ cos x ± cos2 x 2

B) p/2 E) 2p/5

A) p ó 5 p 6 6

B) p ó 5 p 3 6

D) p ó 5 p 6 3

E) 2 p ó 5 p 3 6

C)

p ó 5p 3 3

Resolución

1 Þ x = 60º 2

Rpta.: B

3. La menor solución distinta de la ecuación trigonométrica senx + 2cosx = 1, es (UNMSM 2004) A) p/7 D) 2p/7

8 2 1 2

(UNMSM 2004)

Resolución

Si cos x =

2 = cos 2 x

C) 45º

C) p/5

SISTEMA HELICOIDAL

2 1 = 4 Þ cos 2x = cos 2 x 2 2x Î I Ú IVC 2x = 60° Ú 360° – 60° x = 30° Ú 150° \x =

p 5p Ú 6 6

Rpta.: A

157

Trigonometría

Guía teórica IV

5. La ecuación trigonométrica (1 + sen2x)2 + cos 22x + tg2 x = sec2 x es equivalente a (UNALM 2009-II) A) cos 2 x = - 1 4 3 2 C) 1 + sen x = 4 1 E) sen 2 x = 2

B) tgx = secx D) cos2x = 1

Resolución 1+2sen 2x+sen22x+cos2 2x+tg2 x = 1+tg2 x 2sen2x+1 = 0 1 sen 2x = 2

SACO OLIVEROS

Rpta.: E

158

Trigonometría

Guía teórica IV

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

31

Marco teórico Solución general

Ejemplos

Es el conjunto que tiene como elementos a las soluciones de la ecuación trigonométrica.

1) sen x = 3 2 senx = sen60° x = 180°k + (–1)k60° p x = kp+(–1)k 3 2 2) cos x = 2 cosx = cos45°

Ejemplo 3 2 Þ x = 60° + 360°n Ú 120° + 360°n (n Î ¢) Si sen x =

2 2 Þ x = 45° + 360°n Ú 315° + 360°n (n Î ¢) Si cos x =

3 3 Þ x = 30° + 360°n Ú 210° + 360°n (n Î ¢) Si tg x =

Expresiones generales Son leyes de formación que nos permite calcular la solución general en forma reducida

x = 360°k ± 45° x = 2k p ±

p 4

3) tg x = 3 3 tgx = tg30° x = 180° k+ 30° p x = pk + 6

Si senx = senq Þ x = kp(–1) kq k Î ¢ Si cosx =cosq Þ x = 2kp ± q k Î ¢ Si tgx = tgq Þ x = kp + q k Î ¢

SISTEMA HELICOIDAL

159

Trigonometría

Guía teórica IV

Problemas resueltos 1. Resuelva la ecuación (n Î ¢) x x 3 sen x + cos x = sen 2 + cos 2 - 1 2 2 (CEPREUNAC 2009) A) np - p 3 p n p + D) 3

B) np +

p 6

C) np -

p 6

E) np

A) k p + p 2 p D) k p + 2

B) k p + p 2 p E) k p + 2

C) kp + p 2

1 Þ sen 2 x = 1 2 2 x = (4k + 1) p 2 x = kp + p 4 1 ii) cos x + 1 = 0 Þ cos x = - 2 2 xÎ Ø

x x 3 sen x + cos x = sen 2 + cos 2 - 1 2 2 1442443 1 3senx = –cosx tg x = - 3 = tg(-30º) 3 x = 180°n + (–30°) p \ x = np 6

i)

sen x × cos x =

Rpta.: B Rpta.: C

(CEPREUNALM 2009) p 6 p C) k p ± 3 E) kp ± p 2 3 A) 2 kp ±

(CEPREUNAC 2009) 2p 3 2p 2 n p ± D) 7 B) 2n p ±

D) kp ±

p 6

p 3

2cos2x = 1 cos2x = cos p 3 2x = 2kp ± p 3

1 - sen x 1 + sen x + = -4 cos x cos x cos x = -

SACO OLIVEROS

B) 2 kp ±

Resolución cos 4x + cos 2 x = 1 + cos 4 x - cos 2x

Resolución

1 2p = cos 2 3 2p x = 2np ± 3

4. Resuelva la ecuación (k Î ¢)

2cos3x · cosx = cos2x(2cos2x – 1)

2. Resuelva (n Î ¢) 1 - sen x cos x + = -4 cos x 1 - sen x p 3 2p C) n p ± 3 E) 2 np ± 2p 5

æ sen x × cos x - 1 öæ 1 cos x + 1ö = 0 ç ÷ç ÷ è 2 øè 2 ø

Resolución

Resolución

A) n p ±

3. Resuelva la ecuación (k Î ¢)

\ x = kp ± Rpta.: B

p 6

Rpta.: D

160

Trigonometría 5. Halle la solución general de la ecuación (k Î ¢) 4 2 =0 sec 2x × csc 2x sec 4x (CEPREUNMSM 2008) A)

kp p + 3 8

C) kp + E)

p 16

B)

kp p + 4 16

D)

kp p + 6 12

kp p + 4 8

SISTEMA HELICOIDAL

Guía teórica IV Resolución 4 2 = sec 2 x × csc 2 x sec 4 x 2sen 2 x × cos 2 x = cos 4 x 1442443 sen4x = cos4x p tg 4 x = tg 4 4x = k p + \x =

p 4

kp p + 4 16 Rpta.: B

161

Trigonometría

RESOLUCIÓN DEGuía TRIÁNGULOS teórica IV OBLICUÁNGULOS 32

Marco teórico Resolver un triángulo implica en calcular las medidas de sus tres ángulos interiores y sus tres lados para ello se tiene que conocer tres de ellos donde, por lo menos, uno tiene que ser un lado.

b+ c = b- c

æ B+ C ö tg ç ÷ è 2 ø æ B- C ö tg ç ÷ è 2 ø

c +a = c -a

æ C+ A ö tg ç ÷ è 2 ø C A æ ö tg ç ÷ è 2 ø

Elementos del ∆ABC:

Ley de proyecciones a = b cosC + c cosB b = c cosA + a cosB Lados: a, b y c

Ángulos: A, B y C

c = a cosB + b cosB

a+b+c Semiperímetro: p = 2 Circunradio: R

Área de la región triangular (S)

Area: S

i) S =

Ley de senos

ii) S =2R2senA · senB · senC

ab sen C 2

=

bc sen A 2

=

ca sen B 2

a b c = = = 2R sen A sen B sen C Ley de cosenos a2 = b 2 + c 2 – 2bc cosA b2 = a2 + c 2 – 2bc cosB c2 = a2 + b 2 – 2bc cosC Ley de tangentes a+b = a -b

æ A+ B ö tg ç ÷ è 2 ø æ A- B ö tg ç ÷ è 2 ø

SACO OLIVEROS

162

Trigonometría

Guía teórica IV

Problemas resueltos 1. Tres lados de un triángulo están expresados por tres números enteros consecutivos x – 1, x y x + 1; el ángulo más grande es el doble del más pequeño. ¿Cuál es el coseno del ángulo pequeño? (UNFV 2007) x -1 A) 2(x + 1) x+ 3 C) 2(x - 1) E)

3. De la información del gráfico, determine sec(A + B). (UNFV 2009)

A) –1

x +1 5(x - 1)

B) –3

x +1 D) 2(x - 1)

D) –2

B)

C)

3

E) 2

x +1 2(x - 1) 2

Resolución

Resolución

A + B + C = 180° Þ sec(A + B) = –secC

Por ley de senos:

Por ley de cosenos: 2

x +1 x -1 = sen 2x sen x

172 = 122 + 14 2 - 2(12)(14)cos C

Rpta.: A

2. El coseno del menor ángulo que forman dos diagonales en un hexaedro regular es (UNFV 2002) A) 3 /2 D) 1/2

B) 1/5 E) 2/2

144 + 196 - 172 2(12)(14) 1 cos C = 2 \ sec(A + B) = –2 cos C =

x +1 x -1 = 2sen x × cos x sen x x +1 \ cos x = 2(x - 1)

C) 1/3

Rpta.: D 4. Las longitudes de los lados de un triángulo son tres números enteros consecutivos y el mayor es el doble del ángulo menor a. Halle la razón del lado mayor al lado menor. (UNMSM 2010-I) A) 2cosa C) sen a 3 E) cos2a

Resolución Por ley de cosenos: (2l )2 = (l 3)2 + (l 3)2

B) 2 csca D) cosa

- 2(l 3)(l 3)cos q 4 = 3 + 3 – 6cosq \ cos q = 1 3 Rpta.: A

SISTEMA HELICOIDAL

163

Trigonometría

Guía teórica IV

Resolución

5. Dado un triángulo ABC se cumple que 2 A a 2 = b 2 + c 2 - bc. Calcule ctg . 3 2 (CEPREUNAC 2009)

Por ley de senos: n+1 n-1 = sen 2a sen a

A) 2 D) 4 2

n + 1 2sen a × cos a = n -1 sen a

B) 2 2 E) 5 2

C) 3 2

Resolución

n +1 \ = 2cos a n -1

Por ley de cosenos: Rpta.: A

a2 = b 2 + c 2 – 2bc cos A Þ cosA = 1/3 A 1 + cos A = 2 1 - cos A A \ ctg = 2 2 ctg

Rpta.: A

SACO OLIVEROS

164

Física

SACO OLIVEROS

Guía teórica IV

166

Física

Guía teórica IV ELECTRODINÁMICA III 25

Marco teórico CIRCUITOS ELÉCTRICOS Reglas de Kirchhoff Estas reglas nos permiten resolver circuitos eléctricos que, aplicando sólo la ley de Ohm, resultarían muy difíciles de analizar. Es importante notar que se basan en leyes.

de conservación de la energía y establece que: La suma de voltajes en un recorrido cerrado (o malla eléctrica) es igual a cero.

Primera regla de Kirchhoff Llamada también ley de nodos o corrientes. Se basa en la ley de la conservación de la cantidad de carga eléctrica. Establece lo siguiente: En todo nodo, la suma de intensidades de corrientes que llegan es igual a la suma de las que salen.

SVmalla = 0 Aplicando V 1 – V2 + V3 – IR1 – IR2 = 0 Medidores eléctricos Ø Amperímetro A

En general: å I entran = å I salen

Dispositivo que se utiliza para medir la intensidad de corriente eléctrica que circula por algún tramo de un circuito eléctrico.

Se cumple: I 1 + I 2 = I 3 + I 4 Segunda regla de Kirchhoff Llamada también ley de mallas. Se basa en la ley

SISTEMA HELICOIDAL

167

Física

Guía teórica IV

Ø Voltímetro (V) Dispositivo que se utiliza para medir la diferencia de potencial entre dos puntos a los cuales se conectan sus terminales.

Problemas resueltos 1. En el circuito mostrado, halle la intensidad de corriente I. (UNALM 2005-I)

A) 2 A D) 1 A

B) 3 A E) 6 A

Resolución

C) 4 A

Malla AMBA: åV = 0 8V – 6V – 10I = 0

Resolución Malla ABCDA: åV = 0 –12 + 6I + 2I + 4I = 0 12I = 12 I=1A Rpta.: D

2V = I Þ I = 0,2 A 10 W

Rpta.: B

3. En el circuito mostrado, determine la potencia disipada a través de la resistencia de 2 W. (UNALM 2006-I)

2. Calcule la corriente I del circuito mostrado. (UNALM 2004-II)

A) 2 W D) 8 W A) 0,1 A D) 0,4 A

B) 0,2 A E) 0,5 A

B) 4 W E) 12 W

C) 6 W

C) 0,3 A

SACO OLIVEROS

168

Física

Guía teórica IV

Resolución

VA + 12 – 12 = VB V A – VB = 0 10 = 3I + 2I ® 10 = 5 I ® I = 2 A Para hallar la potencia disipada para la resistencia de 2W. Pdisipada = I2 R Pdisipada = (2 A) 2 (2 W) ® P disipada = 8 W

Rpta.: E

5. En el circuito mostrado se observan tres fuentes y tres resistencias. Se conocen las corrientes que ciculan por el segundo y tercer segmento y la fem del tercer segmento. Si todas las resistencias son conocidas, calcule la fem del primer segmento. (UNMSM 2005-II)

Rpta.: D 4. Considerando el circuito eléctrico que se muestra en la figura, ¿cuál será la lectura de un voltímetro cuando su electrodo negativo se conecta al punto A y el positivo se conecta al punto B? (UNMSM 2002)

A) B) C) D) E)

I2 (R1 + R2 ) + I3(R 2 + R3 ) – V3 I2 (R2 + R3 ) + I3R 1 + V3 I2 R 1 + I3 R3 + I3 R2 – V3 I2 R 1 + I3 (R1 + R3 ) + V3 I2 (R1 + R2 ) – I3(R 2 + R3) + V3

Resolución A) –12 V D) 24 V

B) 4 V E) 0 V

C) –4 V

Considerando las direcciones de las corrientes como se muestran en la figura:

Resolución

Considerando el voltímetro ideal: åV = åIR

(Segunda ley de Kirchhoff)

12 V + 6 V = I(1 + 2) W Þ I = 6 A

SISTEMA HELICOIDAL

En la malla ABCD: –V3 – I3 R3 – (I 2 + I3)R 1 + V1 = 0 V1 = I2R 1 + I3(R 1 + R3 ) + V3

Rpta.: D

169

Física

Guía teórica IV ELECTROMAGNETISMO 26

Marco teórico MAGNETISMO En la Grecia antigua, hace ya 2000 años, se sabía que ciertas piedras procedentes de Magnesia (ciudad del Asia Menor) tienen la propiedad de atraer algunos minerales de hierro, cobalto y níquel, a la que se le denomina magnetismo. Entre los minerales que por naturaleza presentan esta propiedad se distingue la ahora llamada magnetita, mineral de hierro cuya composición es Fe3 O4 (óxido ferroso férrico).

Experimentos realizados demuestran que polos iguales (2 polos norte ó 2 polos sur) se repelen y polos magnéticos diferentes (un polo norte y un polo sur) se atraen. En 1750, John Michell empleó una balanza de torsión para demostrar que los polos magnéticos ejercen fuerzas atractivas o repulsivas entre sí y que estas fuerzas varían con el inverso del cuadrado de la distancia que los separa, similar a la fuerza eléctrica).

A los cuerpos que en forma natural manifiestan esta propiedad se les denomina imanes naturales y aquellos que la han adquirido por un tratamiento especial, imanes artificiales. Los imanes artificiales se preparan, generalmente, con alguna aleación en base a hierro y pueden tener formas muy variadas.

Las interacciones entre los imanes se produce aún cuando están separados cierta distancia; esto comprueba que todo imán tiene asociado en sus alrededores un campo denominado “campo magnético”. El campo magnético es una forma especial de la materia mediante la cual se efectúan las interacciones entre partículas con carga eléctrica en movimiento. Fue Michael Faraday quien ideó una forma de representar el campo magnético, esto a

SACO OLIVEROS

170

Física

Guía teórica IV

través de líneas imaginarias llamadas “líneas de inducción del campo magnético”, las cuales se caracterizan por ser cerradas y orientadas desde el polo norte hacia el polo sur magnético del imán. El campo magnético asociado a un imán está caracterizado vectorialmente por el vector inducción ® magnética ( B ), el cual nos indica en cierto grado qué tan intenso es el campo magnético en un punto dado del campo y qué dirección tiene. ®

El vector B es un punto del campo magnético, es tangente a la línea de inducción del campo que pasa por dicho punto. La unidad de medida del ® vector inducción magnética B es la tesla (T).

Observación “Todo conductor por el que fluye corriente eléctrica tiene asociado a su alrededor un campo magnético rotacional y concéntrico al conductor”. Ø Para determinar el sentido de las líneas del campo magnético utilizamos la regla de la mano derecha

Donde las líneas de inducción están más juntas, el ® módulo del vector inducción magnética B es mayor. B 3 > B2 > B1 Experimento de Oersted H. C. Oersted, para comprobar la relación entre la electricidad y el magnetismo, colocó un conductor rectilíneo por encima de la aguja de una brújula, luego hizo pasar corriente eléctrica por el conductor.

SISTEMA HELICOIDAL

Para estudiar mejor es necesario representarlos campos magnéticos en un plano.

171

Física Ø Visual colineal al conductor (Obs. 1)

Guía teórica IV Ley de Biot-Savart Ø Para un conductor recto de gran longitud

Para determinar el módulo de la inducción magnética: BP =

m 0I 2 pd

Donde: m o = 4 p ´ 10

–7

T·m = A

æ Permeabilidad magnética ö ç ÷ è en el vacío ø

I : intensidad de corriente eléctrica d : distancia al conductor Ø Visual perpendicular al conductor (Obs. 2)

SACO OLIVEROS

172

Física

Guía teórica IV

Problemas resueltos 1. Un alambre recto transporta una corriente eléctrica en la dirección señalada en la figura. Despreciando el magnetismo terrestre, la aguja imantada de una brújula colocada en el punto P permanecerá en equilibrio estable cuando su polo norte apunte hacia (UNMSM 1999)

Resolución

A) +Y D) –Y

B) –X E) +X

C)

–Z

Resolución La aguja magnética se ubica tangente a las líneas de inducción, donde su polo norte apunta en la dirección de las líneas de inducción.

Rpta.: D 2. La figura muestra tres corrientes alámbricas, I, paralelas, que se levantan perpendicularmente al plano del papel. Por tanto, la orientación de una pequeña brújula, de polos N-S, en el punto P debido al campo magnético total de las tres corrientes será mejor representada por (UNMSM 2003)

SISTEMA HELICOIDAL

Las agujas de una brújula se orientan en la dirección del campo magnético en el punto P. Rpta.: C 3. Dos alambres, A y B, rectos, muy largos y paralelos, llevan la misma corriente en el mismo sentido. ¿En qué región se hallan los puntos en los cuales el campo magnético es cero? (UNMSM 1994) A) B) C) D) E)

Sobre el alambre A A la izquierda del alambre B Sobre el alambre B A la derecha del alambre B Entre los alambres A y B

Resolución

173

Física Ø Ø Ø

Guía teórica IV

En P no puede ser cero (se suman). En M sí puede ser cero (se restan). En N no puede ser cero (se suman). ®

\ B puede ser cero entre los alambres A y B. Rpta.: E 4. Calcule el campo magnético en el centro de una espira de radio 1,0 cm por la que circula una corriente de 1,0 A. (m 0 = 4 p ´ 10 –7 T · m/A) (UNMSM 2008-I) A) 1,0p × 10 –4 T C) 2,0p × 10 –5 T E) 2,0p × 10 –6 T

C) En el mismo sentido se atraen con fuerzas de igual intensidad. D) En sentidos opuestos se repelen con fuerzas de igual intensidad. E) Con el mismo sentido generan en el plano de las corrientes campos magnéticos en el mismo sentido. Resolución

B) 4,0p × 10 –4 T D) 6,0p × 10 –4 T

Resolución En el centro de la espira:

Considerando entre los conductores, la afirmación incorrecta es la alternativa E. Rpta.: E

m I B= 0 2R B=

4 p ×10 –7 I T × m 2R A

B=

2 p ×10 I T × m R A

–7

B=

2 p ×10 –7 ´ 1 A T × m A 10 –2 m

B = 2,0p × 10–5 T Rpta.: C 5. Indique qué afirmación no se cumple en relación a la interacción entre dos corrientes eléctricas paralelas. (UNAC 2004-II) A) Con el mismo sentido generan en el plano de las corrientes campos magnéticos con diferentes sentidos. B) Con sentidos opuestos generan en el plano de las corrientes campos magnéticos en el mismo sentido.

SACO OLIVEROS

174

Física

Guía teórica ELECTROMAGNETISMO II IV 27

Marco teórico FUERZA MAGNÉTICA El físico y matemático francés André Marie Ampère (1775-1836) descubrió la interacción entre conductores con corriente eléctrica y estableció las relaciones cuantitativas para la fuerza de estas interacciones.

Cuando se establece una corriente eléctrica por la porción de un conductor, a su alrededor surge un campo magnético. Este campo entra en interacción con el campo magnético del imán dando como resultado una fuerza sobre el conductor a la cual se le denomina “fuerza magnética” y depende de: Ø La intensidad de corriente (I) en el conductor

FM DP I

SISTEMA HELICOIDAL

®

Ø La inducción magnética (B ) del campo magnético externo

FM DP Bext

Ø La longitud (L) del conductor FM DP L Ø El ángulo (q) que forma el vector con el conductor

FM DP senq

FM conductor = Bext ILsen q

175

Física

Guía teórica IV

Importante

Regla de la palma de la mano izquierda

FM partícula = q B extvsen q

Importante ®

Si la partícula tiene carga (–) la FM sobre ella tiene una dirección opuesta a la que tendría si es de carga (+).

La mano izquierda debe estar extendida con los cuatro dedos juntos y el pulgar extendido perpendicularmente a los otros. Se coloca la mano de tal manera que las líneas del campo magnético ingresen a la palma y los cuatro dedos orientados en el sentido de la corriente eléctrica. El dedo pulgar extendido apuntará en la dirección de la fuerza magnética. Fuerza magnética sobre un portador de carga en movimiento Es posible deducir que la acción del campo magnético sobre el conductor con corriente es el resultado de la acción de dicho campo sobre los portadores de carga en movimiento. Esta afirmación fue establecida por Hendrik A. Lorentz (1853-1928), físico holandés, fundador de la teoría electrónica de la constitución de la sustancia, por ello, a la fuerza que el campo magnético ejerce sobre un portador de carga en movimiento se le llama “fuerza de Lorentz”.

SACO OLIVEROS

FM = 0

FM = 0

176

Física

Guía teórica IV

Problemas resueltos 1. Una partícula ingresa en un campo magnético, como se muestra en la figura. Indique la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: (UNMSM 2002) Ø En (a), la fuerza magnética sobre q estaría dirigida hacia arriba. ( ) Ø En (b), la fuerza magnética sobre q estaría dirigida hacia dentro del . ( ) Ø En (c), la partícula cargada no cambiaría de dirección. ( )

Resolución

Sobre el conductor: \ La fuerza es atracción de módulo 40 N. Rpta.: C

A) VVF D) FFF

B) VVV E) VFV

C) VFF

Resolución

3. Iones con una carga de 4 × 10–6C y que viajan con una rapidez de 2 × 10 –6 m/s entran en un campo magnético uniforme de 0,02 T que es perpendicular a la dirección de su velocidad de propagación. Si las cargas describen un radio de 40 cm, determine la masa de los iones. (UNMSM 2009-I) A) 1,6 × 10–14 kg C) 1,6 × 10–19 kg E) 1,6 × 10–15 kg

B) 1,6 × 10–12 kg D) 1,6 × 10–16 kg

Resolución

Rpta.: E 2. La figura muestra sobre el plano del papel una espira rectangular y un alambre, ambos conductores, por los que circula una corriente I. Asimismo, se indican todas las fuerzas magnéticas sobre la espira. ¿Cuál es la fuerza magnética sobre el alambre? (UNMSM 2004-II) A) 45 N, atractiva C) 50 N, repulsiva E) 40 N, repulsiva

Cuando una partícula electrizada ingresa perpendicularmente a un campo magnético uniforme, ésta experimenta un movimiento circunferencial uniforme (MCU) debido a que la fuerza magnética cambia la dirección de la velocidad.

B) 70 N, atractiva D) 60 N, repulsiva

SISTEMA HELICOIDAL

177

Física

Guía teórica IV

Aplicando la segunda ley de Newton al movimiento circunferencial (F = ma ). 2

Þ FM = m v R 2 qvB sen 90° = mv R De donde: m=

A) 1880 D) 1750

qRB v

Reemplazando los datos del problema y desarrollando: –6

m=

5. Un protón y un electrón, desplazando a igual velocidad entran a un campo magnético uniforme. ¿Cuántas veces el radio de curvatura R1 , de la trayectoria del protón es mayor que el radio de curvatura R2 del electrón? (UNAC 2004-II)

(4 ´ 10 C)(0,4 m)(0,02 T) 6

2 ´10 m/s m = 1,6 × 10–14 kg

B) 1900 E) 1000

C) 1840

Resolución Cuando una partícula electrizada ingresa a un campo magnético en forma perpendicular a las líneas de inducción, experimenta un MCU cuyo radio de giro está dado por la siguiente expresión:

Rpta.: A 4. Determine la rapidez con que se mueve una carga de 1 ×10 –3 C, perpendicularmente a las líneas de fuerza, en un campo magnético de 10 –6 T, sabiendo que es sometida a una fuerza de 4×10–5 N. (UNAC 2007-I) A) 3 × 104 m/s C) 5 × 104 m/s E) 6 × 104 m/s

B) 2 × 104 m/s D) 4 × 104 m/s

Resolución

R=

mv qB

Para el electrón: R1 =

Graficando

me –ve – qe – B

Para el protón: R2 =

mp+ vp+ q p+ B

Dividiendo ambas expresiones: Cuando la partícula®electrizada se mueve en el campo magnético B . ur FM = q v Bext sen q q S rB ext v Reemplazando datos:

R1 =

me – 1 = Þ mp+ 1840

R2 = 1840 R1 Rpta.: C

4 × 10 –5 = 2 × 10–3 × v × 10–6 × 1 v = 2 × 10 4 m/s Rpta.: B

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178

Física

Guía teórica ELECTROMAGNETISMO III IV 28

Marco teórico INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA Hemos visto que la aguja magnética, bajo la influencia de la corriente que pasa por un alambre, se desvía; la varilla de acero introducida en una bobina con corriente, se magnetiza; un conductor con corriente en un campo magnético se pone en movimiento. Todos estos fenómenos condujeron al investigador inglés Faraday a la idea de que si la corriente origina una acción magnética, entonces el campo magnético debía, bajo ciertas condiciones, provocar una corriente. En 1822, Faraday escribe en su cuarderno de notas como objetivo de investigación: “Transformar el magnetismo en electricidad”. Hasta el año 1831, Faraday obtuvo el primer resultado. Y sólo el 29 de agosto de 1831, Faraday obtuvo el primer resultado positivo, ensayando minuciosamente los trabajos realizados anteriormente. Para comprender cómo pudo resolver Faraday y el problema: “Transformar el magnetismo en electricidad”, realicemos algunos experimentos hechos por él. Conectemos una bobina de alambre a un galvanómetro sensible. La bobina y el galvanómetro forman un circuito cerrado. La aguja del galvanómetro no se mueve; esto significa que en la bobina no hay corriente.

SISTEMA HELICOIDAL

Ahora, introduzcamos en la bobina un imán, notaremos que la aguja se mueve, es decir, que por la bobina pasa corriente (Fig. 1). En cuanto el movimiento del imán cesa, cesa también la corriente (Fig. 2). Fenómenos semejantes suceden si, en lugar de un imán, introducimos en la bobina un electroimán (Fig. 3), o si fijamos el imán y movemos la bobina (Fig. 4). Por consiguiente, la corriente eléctrica surge en un conductor, si éste y el imán se mueven uno con relación a otro. Sin embargo, no todos los movimientos del conductor en el campo magnético originan corriente eléctrica. Al mover un conductor (Fig. a), conectando a los bornes de un galvanómetro sensible, entre los polos de un potente imán, notaremos que la corriente eléctrica surge en el conductor solamente en el caso en que, durante su movimiento, el conductor interseque (corte) las líneas de fuerza magnética; cuando el conductor se desplaza a lo largo de las líneas de fuerza sin intersecarlas no se origina corriente eléctrica (Fig. b).

179

Física

SACO OLIVEROS

Guía teórica IV

180

Física

Guía teórica IV

¿Cómo explicamos este fenómeno? Existen varias formas de explicar el fenómeno de inducción electromagnética; entre ellos tenemos; por el flujo magnético, el campo eléctrico inducido. En el presente texto y de acuerdo al nivel de preparación preuniversitaria utilizaremos el primero “por el flujo magnético”, por ello es necesario conocer lo que es el flujo magnético.

Ø Cuando el flujo magnético FM varía en un circuito cerrado, notamos en el circuito lo siguiente:

¿Qué es el flujo magnético? En una magnitud escalar que caracteriza el campo magnético a través de una superficie. En forma práctica, el flujo magnético mide la cantidad de líneas que atraviesan una superficie por unidad de área.

Aquí, el flujo magnético a través de la espira aumenta y se produce corriente eléctrica.

Aquí, el flujo magnético a través de la espira disminuye y se produce corriente eléctrica.

Matemáticamente:

F M = B A cosq Unidad: weber (Wb) F M : flujo magnético B q

: inducción magnética ® : S entre n$ y B

S : vector normal a la superficie.

SISTEMA HELICOIDAL

En conclusión, cuando varía el flujo magnético a través de un circuito cerrado se induce en él una corriente eléctrica (corriente inducida). Pero, cuando el flujo magnético a través del circuito no varía no se induce corriente eléctrica.

181

Física

Guía teórica IV Matemáticamente:

Nota Toda variación del flujo magnético en un circuito origina en él una corriente eléctrica. En los ejemplos a) y b) la variación del flujo magnético se debe al movimiento del imán respecto de la espira, esto mismo se dará si mantenemos el imán fijo y el que se mueve es la espira.

fem (medida) =

DF M N Dt

“Ley de Faraday”

∆FM : variación del flujo magnético ∆t : intervalo de tiempo N : número de espiras

Si existe corriente eléctrica inducida en el circuito, entonces existirá una diferencia de potencial o voltaje “llamado fuerza electromotriz (fem) inducida”. Experimentalmente se verifica que la fem inducida depende de la rapidez con la cual varía el flujo magnético.

Problemas resueltos 1. Una espira de área 2 m2 se encuentra en un campo magnético que varía de 0,2 T a cero. La fem producida es de 10 voltios. El tiempo que tarda en anularse el campo es (UNMSM 1997) A) 2,00 s D) 0,02 s

B) 0,016 s E) 0,01 s

C) 0,04 s

Debido a la variación de flujo ∆F se induce una fem de 10 voltios: DF Dt ¯ 0,4 Wb 10 V = ® D t = 0,04 s Dt fem =

Rpta.: C

Resolución Al inicio: F0 = BA

F0 = 0,2 T × 2 m 2

2. Considérese el arreglo de la figura I = 1,2 m y un campo magnético de 2,5 tesla dirigido hacia la página. La velocidad de la barra para producir una corriente de 0,5 amperios, en R, es (UNMSM 1996)

F0 = 0,4 Wb Después de un tiempo t: B=0

F0 = 0 A) 1 m/s D) 0,5 m/s

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B) 1,5 m/s E) 1,2 m/s

C) 0,75 m/s

182

Física

Guía teórica IV

Resolución

al ingresar y salir el flujo empieza a aumentar y disminuir, respectivamente; por tal se estaría induciendo una fuerza electromotriz (fem). Observación

fem = IR fem = 0,5 A × 6 W ® fem = 3,04 En la barra se induce una fem de 30 V al moverse dentro de un campo magnético:

Sin considerar la ley de Faraday en las cuatro espiras se genera una diferencia de potencial entre dos lados no consecutivos de la espira, pero en los casos C y D no se genera corriente eléctrica.

fem = BvL 3,0 V = (2,5 T) v (1,2 m) v = 1 m/s

VAB = vBL

Rpta.: A 3. La figura muestra cuatro espiras rectangulares: A entrando, B saliendo y C y D moviéndose en una región de campo magnético constante. En estas condiciones indique en qué espiras se induce una fuerza electromotriz. (UNMSM 2007-II)

Rpta.: D

4. Una espira conductora de 8,00 cm2 de área está ubicada perpendicularmente a un campo magnético uniforme de magnitud 0,20 T. Si la magnitud del campo magnético se reduce a la mitad en 0,01 s, ¿cuál es la magnitud de la fem inducida en la espira? (UNMSM 2009-II) A) 0,080 V C) 0,006 V E) 0,008 V

B) 0,060 V D) 0,040 V

Resolución A) B, C y D C) C y D E) A, C y D

B) A, B, C y D D) A y B

Sea la espira conductora:

Resolución Según Michael Faraday, la variación del flujo de la inducción magnética induce una corriente en una espira. Del gráfico, las espiras C y D, por estar totalmente en el interior del campo, el flujo es constante, mientras que en las espiras A y B

SISTEMA HELICOIDAL

Donde:

A = 8 cm2 = 8 × 10–4 m2 ∆B = B F – B0 ∆B = 0,2 –0,1 = 0,1 T ∆t= 0,01 s

183

Física

Guía teórica IV

Como el campo magnético cambia en el tiempo, en la espira se induce una fem. (1)(0,1)(8 ´ 10–4 ) fem inducida = N DF = NDBA = Dt Dt 0,01 –1

fem inducida =

10 ´ 8 ´ 10 10

–2

–4

= 8 ´ 10 –3 = 0,008 V Rpta.: E

5. Un cubo de lado l = 2,5 cm está colocado como se muestra en la figura. Existe un campo magnético uniforme a través de esta región de una magnitud igual a 5 T. ¿Cuál es el flujo magnético a través de la cara sombreada del cubo? (UNMSM 2007-II)

A) 3,13 mWb C) 3,12 mWb E) 3,05 mWb

Resolución Nos piden el flujo magnético. El cual se determina: F = BA cosq

Si q = 0°, reemplazando los datos: F = 5(25 × 10 –2)2 × 1 F = 5 ´ 625 ´ 10–4 = 3125 ´ 10–3 Wb 100 1000 F ≈3,13 mWb Rpta.: A

B) 3,15 mWb D) 3,18 mWb

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184

Física

Guía teórica IV ÓPTICA 29

Marco teórico ¿QUÉ ES LA REFLEXIÓN DE LA LUZ? Ø Es un fenómeno que consiste en el cambio de dirección (rebote) que experimenta la luz cuando llega a un medio diferente al de su propagación.

Ø Gracias a la reflexión de la luz en los objetos nosotros podemos detectar con nuestros ojos la presencia de dichos objetos. De la misma manera Ud. puede percibir las letras del texto que está leyendo. Ø Cuando la luz se propaga en un medio ópticamente homogéneo lo hace siguiendo una trayectoria rectilínea y para representarla utilizamos el concepto de rayo luminoso. Un conjunto de rayos luminosos constituyen un haz luminoso. Leyes de la reflexión

Ø Cuando una superficie plana es perfectamente pulimentada (lisa) produce reflexión regular o especular; mientras que si la superficie es áspera produce reflexión irregular o difusa.

SISTEMA HELICOIDAL

185

Física

Guía teórica IV

Ø Cuando la luz incide en una superficie, parte de la luz que llega, se refleja y la otra parte atraviesa la superficie (se refracta). Según sea el grado de reflexión o absorción de la luz por una sustancia se dirá que es reflectora, que es opaca o transparente. Una superficie perfectamente reflectora, es decir, donde el 100% de la luz que incide en ella se refleja, recibe el nombre de espejo y pueden ser: planos o curvos. Los espejos son láminas de vidrio untadas con una sustancia "nitrato de plata" deja una película delgadísima y perfectamente reflectora. Estos espejos se caracterizan porque al colocar un objeto frente a ellos produce una imagen igual o distorsionada del objeto. ¿Qué es la refracción de la luz? ¿A qué se debe la aparición de los espejismos?, ¿quién no conoce la experiencia del lápiz “quebrado” en un vaso de agua? ¿Por qué el Sol poniente parece estar aplastado? ¿Por qué se origina el arco iris? ¿Por qué el haz luminoso, penetrando en un cristal se dobla en dos? ¿Cuál es la estructura del ojo humano? Todas estas interrogantes tienen en sus respuestas algo en común: la refracción de la luz.

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186

Física

Guía teórica IV

La luz cambia de dirección cuando pasa de un medio a otro, estando esta nueva dirección más o menos desviada según que el cuerpo transparente donde ellos penetran sea más o menos denso. Para captar el “por qué” de este comportamiento, es necesario recordar que la velocidad de la luz no es la misma en todos los medios. Todo el mundo conoce la cifra 300 000 km/s, pero muchos olvidan que expresa la rapidez de la luz en el vacío; con todo, es muy comprensible que cuando la luz se propaga en un medio de cierta densidad, su velocidad queda un poco reducida. ¡Si un nadador disputara un record no en el agua sino en el aceite o en el mercurio, se comprende que iría menos rápido! Así, cuando la luz pasa del aire al agua, que es más densa, su velocidad disminuye alrededor del 25% si pasa del aire al vidrio que es más densa aún, su velocidad disminuye un 30%, y así sucesivamente para medios siempre más densos (el diamante por ejemplo). ¿Qué es la refracción de la luz? Es el cambio de dirección de una onda; por ejemplo la luz en la frontera que separa dos medios (interfase). En general, cuando la luz incide en la interfase entre dos medios, algo de la energía de la luz se refleja entre los dos medios y algo se transmite, por ejemplo, cuando la luz incide sobre un material transparente como el vidrio se refleja en forma parcial y transmite en forma parcial. ¿Cómo diferenciamos ópticamente a un medio de otro? Con un factor numérico adimensional denominado índice de refracción o densidad óptica. Índice de refracción (n) Así, la luz se refracta cuando pasa de un medio a otro, porque su velocidad es distinta en los dos medios. La velocidad de la luz es máxima en el vacío, y en consecuencia conviene comparar su velocidad en otros medios con este valor constante: c = 300 000 km/s. Eso se hace definiendo la relación llamada: índice de refracción (n). n=

c rapidez de la luz en el vacío = v rapidez de la luz en otro medio Como: c ≥v Þ n ≥1

Índices de refracción Sustancia

n

g Aire o vacío

1, 0002 ó 1

g Agua

1, 33 »

g Vidrio (en promedio)

1, 5

4 3

g Diamante g Alcohol etílico

2, 42 1, 36

g Ojo humano

1, 336-1, 406

g Aceite (valor típico)

SISTEMA HELICOIDAL

1, 5

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Física

Guía teórica IV

¿Cuáles son las leyes de refracción? 1.a Ley : El rayo incidente, el rayo refractado y la normal están en un mismo plano que es perpendicular al plano que separa los medios. 2.a Ley : Ley de Snell. n1sen$i = n2senr$ $i y $r : n1 y n2 :

son ángulos de incidencia y refracción índices de refracción de los medios (1) y (2)

También se cumple: sen$i v1 n2 = = sen$r v 2 n1

v1 y v2 : rapidez del rayo en los medios (1) y (2)

Consideraciones Ø Si el rayo luminoso incidente:

Ø Reflexión interna total Þ Cuando el ángulo de incidencia es qL (ángulo límite), el rayo refractado se dirige a lo largo de la interfase. Þ Si a > qL, el 10% del RI se refleja. ¡Reflexión interna total! \ sen qL =

n2 n1

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188

Física

Guía teórica IV

Problemas resueltos 1. Calcule el ángulo de incidencia del rayo de luz en el espejo 2. (UNALM 2005-I)

A) 40º D) 70º

B) 50º E) 80º

C) 60º

A) 181 140 D) 181 20

B) 9

C)

9 2

E) 179 20

Resolución

Resolución Dibujando la normal en el espejo (2):

Para el esquema: El espejo actúa como plano de simetría prolongamos RR. Por semejanza:

Por propiedad: a = 30° Þ b = 30° En el espejo (2): b + $i = 90° 30° + $i = 90°

\ $i = 60° Rpta.: C

2. La imagen de un árbol cubre la altura de un espejo plano de 5 cm cuando se sostiene el espejo a 50 cm delante del ojo y en posición vertical. Calcule la altura del árbol, en metros. (UNMSM 2000)

SISTEMA HELICOIDAL

0,05 0,5 = h 90 \h = 9 m Rpta.: B

189

Física

Guía teórica IV

3. En el cilindro mostrado, calcule la altura H para que los rayos no se refracten.

de la dirección original, calcule el índice de refracción del vidrio. (UNMSM 2007-II)

(UNALM 2007-I)

A) 3

B) 4

C) 5

Resolución

A) 8 3 15 D) 6 3 15

Considerando refracción sobre aire como medio (2):

Resolución

D)

3

E) 2

B) 6 5 E) 4 3 15

C) 8 5

Del gráfico:

Por Snell:

Para reflexión total: $r = 90°

n airesen53º = nvidriosen30º

De Snell: n 1sen $i = n2 senr$ Þ (2)seni$ = (1)sen90°

æ4ö æ1ö 8 1 ç ÷ = nv ç ÷ Þ nv = è5ø è2ø 5

Luego: sen $i = 1/2 Þ tgi$ = 3/2

5. Si se alumbra desde el fondo del recipiente, tal como se muestra, halle el cosq, para que la luz no salga del recipiente en la Fig. b. (UNALM 2005-II)

De la figura: $i = a y tga = H/ 3 Þ

H 3 = 3 3

Rpta.: C

\H = 3 m Rpta.: D

4. Una haz de luz incide sobre la superficie de una placa de vidrio formado con la normal un ángulo de 53º. Si al refractante se desvía 23º

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190

Física A) senq = 2/3 C) cosq = 3/2 E) tgq = 3/2

Guía teórica IV B) cosq = 2/3 D) senq = 3/2

Resolución Si no sale del recipiente se genera reflexión total. Graficando:

Para la reflexión total: n n sen$i= 2 = aire n1 nagua 1 2 sen$i= = ...(1) 1,5 3 De la figura: $i + q = 90°sen $i = cosq ...(2) De (1) y (2): cosq = 2/3 Rpta.: D

SISTEMA HELICOIDAL

191

Física

Guía ÓPTICA II teórica IV 30

Marco teórico ¿Qué es un espejo esférico? Es una porción de esfera hueca (casquete esférico) donde una de sus caras es reflectora.

Si la superficie interior es reflectora el espejo se llamará cóncavo y si la superficie reflectora es la superficie exterior se llamará espejo cónvexo. Representación

SACO OLIVEROS

192

Física

Guía teórica IV

Características de los espejos A) Cóncavos Llamados también espejos convergentes; se caracterizan porque concentran en un punto los rayos paralelos que inciden en su superficie reflectora.

B) Convexos Llamados también espejos divergentes; se caracterizan por diverger los rayos que inciden en él de tal forma que al incidir rayos paralelos entre sí las prolongaciones de los rayos reflejados se interceptan en un punto llamado foco.

Elementos de los espejos esféricos

SISTEMA HELICOIDAL

193

Física

Guía teórica IV

Formación de imagen en espejos esféricos Para formar la imagen de un objeto puntual en un espejo esférico es suficiente con utilizar dos rayos principales. La imagen del objeto puntual se forma en la intervención de los rayos reflejados, o de sus prolongaciones. Rayos principales 1. Un rayo que proviene del objeto paralelamente al eje principal, el cual al reflejarse en el espejo pasa el o su prolongación por el foco. 2. Un rayo que proviene del objeto hacia el foco, luego de reflejarse en el espejo sale paralelo al eje pirncipal. La imagen formada es:

Ecuación de los espejos esféricos Ø La distancia focal ( f), la distancia objeto (o) y la distancia imagen (i) están relacionados según la ecuación: 1 1 1 = + f i o Como el objeto siempre se coloca en la zona real, es positiva (o ® +) Si i es Ø Para indicar como están relacionados el tamaño de la imagen respecto del tamaño del objeto se define el aumento lineal A, así: A =

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altura de la imagen hi = altura del objeto ho

194

Física

Guía teórica IV

También: A=-

i o

ì > 1 la imagen es de mayor tamaño ï Si A es í = 1 la imagen es de igual tamaño ï < 1 la imagen es de menor tamaño î

Problemas resueltos 1. En la figura se muestra dos espejos planos. El ángulo formado por el rayo incidente y el último rayo reflejado es (UNMSM 2002)

Pero también: q= a + b En (1): x = 2q Rpta.: A 2. ¿Cuál es la mínima altura a la que se debe ubicar un espejo plano vertical, para que una persona de 1,80 m de altura se vea de manera completa? (UNALM 2004-II)

A) 2q D) q/2

B) q E) 3q/2

C) 3q

A) 0,5 m D) 0,9 m

B) 0,6 m E) 1,8 m

C) 0,8 m

Resolución

Resolución

Graficando el ángulo que forman:

Haciendo un esquema:

En la figura:

Los rayos que aparentemente salen de los pies de la imagen deberán llegar a los ojos de la persona y el espacio deberá llegar hasta ese rayo aparentemente.

x = 2a + 2b ® x = 2(a+b) ... (1)

SISTEMA HELICOIDAL

195

Física

Guía teórica IV ® B: punto medio y BD//AE.

En

Þ h=

AE 2

\ h=0,9 m Rpta.: D

3. En un espejo cóncavo se obtiene una distancia imagen de 90 cm cuando el objeto se encuentra a 60 cm del vértice. La distancia del foco al vértice y el radio del espejo, en centímetros, son, respectivamente, (UNAC 2007-II) A) 16 y 32 C) 18 y 36 E) 32 y 64

B) 30 y 60 D) 36 y 72

4. Un espejo cóncavo tiene un radio de curvatura de 80 cm. ¿Cuál es la distancia del objeto cuando el aumento es 2,5? (UNMSM 2008-II) A) 24 cm C) 28 cm E) 22 cm

B) 18 cm D) 20 cm

Resolución Siendo el aumento igual a +2,5 deducimos que la imagen obtenida es virtual; además: i 5 = 2,5 = o 2 Þ i=

Resolución

5 o 2

Como es un espejo cóncavo de 80 cm de curvatura, la distancia focal es de +40 cm; usando:

Haciendo un esquema:

1 1 1 = + f i o Reemplazando: 1

1 1 + 5 – o o 2 1 –2 1 = + 40 cm 5o o

40 cm

1 1 1 = + f i o

(Ecuación de Descartes)

=

Desarrollando: o = 24 cm \ El objeto se encuentra a 24 cm.

\ R = 2f

Rpta.: D

Rpta.: A

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196

Física

Guía teórica IV

5. Halle la distancia de un objeto a un espejo convexo de radio 120 cm si la imagen se forma a 20 cm del espejo. (UNALM 2004-II) A) 30 cm D) 40 cm

B) 15 cm E) 50 cm

C) 80 cm

Resolución Para el espejo:

SISTEMA HELICOIDAL

De la ecuación de Descartes:

Reemplazando: o=

(–60)(–20) \ o = 30 cm –20–(–60) Rpta.: A

197

Física

Guía ÓPTICA III teórica IV 31

Marco teórico LENTES La palabra lente proviene de la palabra latina lentil que en español es lenteja, de ahí la forma que adopta una lente común. Toda lente óptica se hace con un material transparente (lo más común es el vidrio, aunque a veces se usa plástico o cristal). Uno o ambos superficies de la lente tienen contorno esférico. Tipos de lentes

Las propiedades de las lentes se deben a la refracción de la luz que pasa por ellos al hacerlo se refracta, es decir, se desvía de su trayectoria original siguiendo la ley de la refracción.

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198

Física

Guía teórica IV

Elemento de la lente

• • •

Eje principal: L Radios de curvatura: R 1 y R2 Centro óptico: O

• • •

Centros de curvatura: C 1 y C 2 Foco ó punto focal: F 1 y F2 Distancia o longitud focal: f = OF1 = OF2

Nota Ø Una lente divide al espacio que le rodea en dos zonas llamadas zona real (ZR) y zona virtual (ZV). Ø La zona virtual es donde está ubicado el objeto (frente a la lente) a diferencia de un espejo. Ø Donde convergen los rayos refractados o las prolongaciones se denomina foco principal de la lente. Formación de la imagen de un objeto frente a una lente

En la formación de la imagen se trazan tres rayos de los cuales dos son suficientes y el tercero (rayo focal) es de comprobación. Raro paralelo Parte de un objeto va al eje principal y luego de refractarse pasa él, o su prolongación por el foco principal F. Rayo central Parte del objeto pasando por el centro óptico sin desviarse. La intersección de estos dos rayos, o de sus prolongaciones originan la imagen.

SISTEMA HELICOIDAL

199

Física

Guía teórica IV

Ecuaciones para lentes delgadas

Ecuación de los focos conjugados 1 = 1+ 1 f i o

ì(+ ) : para lente convergente En la ecuación: f í î(–) : para lente divergente o: siempre (+)

Ecuación del aumento lineal o transversal (A) A=

altura de la imagen hi = altura del objeto ho

también:

A=- i o

ì(–) : imagen invertida Si A es í î(+) : imagen derecha

Ecuación de los fabricantes de lentes 1 = æ nL - 1 öæ 1 + 1 ö ÷ç R ÷ f çè nM øè 1 R 2 ø

n L: índice de refracción de la lente

n M: índice de refracción del medio donde está la lente

ì(+ ) : en sup erficie convexa R 1 y R 2 es í î(–) : en sup erficie cóncava Potencia de una lente (P) P=1 f

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f : longitud focal (en metros (m)) unidad de P: dioptría (m–1)

200

Física

Guía teórica IV

Problemas resueltos 1. ¿Cuáles son el tamaño y la naturaleza de la imagen si un objeto de 10 cm de altura se encuentra a 20 cm de una lente convergente de 12 cm de longitud focal? (UNMSM 2009-I) A) B) C) D) E)

30 cm y real 25 cm y virtual 20 cm y real 15 cm y real 10 cm y virtual

Resolución Cuando un objeto se coloca frente a una lente convergente a una distancia que está entre una distancia focal y dos veces la distancia focal; su imagen resulta real, invertida y de mayor tamaño.

Cálculo de hi : Usamos ho = hi o i 10 cm hi = 20 cm 30 cm

Usamos:

\ h i = 15 cm

Rpta.: B

2. Una lente delgada, convergente y biconvexa, tiene una distancia focal de 20 cm. A 60 cm de la lente y sobre su eje principal se coloca un objeto. ¿Cuál es el aumento lateral producido por la lente? (UNMSM 2008-I) A) –1,0 D) –1,5

B) –2,0 E) –0,5

C) –3,0

Resolución

Para el aumento: A=–

Datos o = 20 cm y f =12 cm Para calcular i usamos: 1 1 1 = + f i o 1 1 1 Þ = + 12 i 20

i i ® A = – ....(1) o 60

De la ecuación de Descartes: 1 1 1 = + f i o

®

1 1 1 = + ® i = + 30 cm 20 i 60

A=

–(+30) \ A = –0,5 60

En (1):

Rpta.: E

SISTEMA HELICOIDAL

201

Física

Guía teórica IV

3. Si un objeto está situado a 10 cm de una lente convergente, de distancia focal 25 cm, entonces, las características de la imagen serán (UNMSM 2004-II) A) real, derecha y de igual tamaño que el objeto. B) virtual, derecha y más pequeña que el objeto. C) real, invertida y más pequeña que el objeto. D) real, derecha y más grande que el objeto. E) virtual, derecha y más grande que el objeto.

B) la imagen es virtual, derecha y de mayor tamaño. C) la imagen es virtual, derecha y de menor tamaño. D) la imagen real, invertida y de igual tamaño. E) la imagen es real, invertida y de mayor tamaño. Resolución Haciendo un esquema:

Resolución Haciendo un esquema:

1 1 1 = + f i o 1 1 1 = + f i o

1 1 1 = + 15 i 10 ® i = –30 cm

1 1 1 50 = + ® i= – cm 20 i 10 3 También: En una lente convergente, si o < f los rayos se intersectan en la zona virtual. \ Imagen virtual, derecha y más grande Rpta.: E 4. Un objeto se coloca a 10 cm de una lente biconvexa de 15 cm de distancia focal. Sobre las características de la imagen podemos afirmar que (UNALM 2005-II) A) la imagen es real, invertida y de menor tamaño.

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Pero nuevamente si o < f los rayos refractados se intersectan en la zona virtual, como se comprueba de la ecuación anterior. \ Imagen virtual, derecha y mayor tamaño Rpta.: B 5. Una lente convergente delgada, tiene una distancia focal de 30 cm. Si un objeto es colocado a 15 cm de la lente, determine la relación entre los tamaños de la imagen y el objeto. A) 3 D) 1/2

B) 1/4 E) 2

C) 4

202

Física

Guía teórica IV

Resolución Del siguiente gráfico:

1 1 1 = + 30 i 15 1 1 1 – = 30 15 i 30 cm = i Tamaño de la imagen i 30 = = =2 Tamaño del objeto o 15 Rpta.: E

1 1 1 = + f i o

SISTEMA HELICOIDAL

203

Física

Guía teórica IV FÍSICA MODERNA 32

Marco teórico INTRODUCCIÓN En nuestra experiencia diaria no hay nada misterioso o ambiguo sobre el concepto de partícula y de onda. Una piedra que cae en un lago y la ondulación que se extiende desde el punto de impacto tienen en común, en apariencia, solamente la de capacidad para transportar energía y cantidad de movimiento de un lugar a otro. La física clásica, que refleja la “realidad física” de nuestras impresiones sensoriales, trata a las partículas y ondas como componentes separados de la realidad. La mecánica de las partículas y la óptica ondulatoria han sido tradicionalmente disciplinas separadas, cada una de ellas con un tipo propio de experiencias e hipótesis. Pero la realidad física que nosotros percibimos proviene de fenómenos que ocurren en el mundo microscópico de los átomos y las moléculas, de los electrones y los núcleos. En este mundo no hay partículas u ondas en el sentido en que hemos venido hablando. Nosotros consideramos a los electrones como partículas porque poseen carga y masa y se comportan según las leyes de la mecánica de partículas en instrumentos tan familiares como el tubo de televisión. Veremos, sin embargo, que hay tanta evidencia a favor en la consideración de que un electrón en movimiento pueda ser considerado como una onda, como de que pueda ser considerado como una partícula. Nosotros consideramos las ondas electromagnéticas como ondas porque, bajo circunstancias adecuadas, dan lugar a fenómenos de difracción, interferencia y polarización. Del mismo modo, veremos que en otras circunstancias las ondas elec-

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tromagnéticas se comportan como si estuvieran formadas por un flujo de partículas. Junto con la relatividad especial, el dualismo onda-corpúsculo es fundamental para comprender la física moderna. A finales del siglo XIX e inicios del XX, investigaciones acerca de algunos fenómenos relacionados principalmente con las ondas electromagnéticas y en particular con la luz (que hasta ese momento no encajaban aún dentro de los marcos teóricos conocidos) trajeron como consecuencia que los conceptos fundamentales, en los cuales se sostenía la física (hoy conocida como física clásica) tuviesen que ser modificados para dar inicio a una nueva física, basada en nuevos conceptos, conceptos revolucionarios, ideas que en aquel entonces no eran aceptadas en forma tajante por los científicos más importantes de la época y en el mejor de los casos eran tomadas en cuenta, analizadas y luego rechazadas, esto debido a que para aceptarlas se debía abandonar todas las ideas y conceptos que eran pilares de la física clásica, física que hasta entonces tan buenos resultados y satisfacciones había dado al explicar, uno tras otro, los diversos fenómenos que se iban presentando. Pero, ¡cómo no era de esperarse tal reacción! si en el inicio el propio Max Planck, responsable de esta intrépida concepción, no entendía lo que había descubierto y mucho menos estaba en capacidad de poder explicar y dar a entender las conclusiones a las cuales su trabajo le había encaminado.

204

Física

Guía teórica IV

Conclusiones importantes Max Planck, en su intento de dar explicación a un fenómeno que en aquel entonces no podía ser explicado satisfactoriamente (nos referimos al problema de la radiación del cuerpo negro), postuló que “la energía de la radiación electromagnética está cuantizada”, es decir, la radiación electromagnética está constituida por corpúsculos que llevan la energía de la radiación. A estos corpúsculos se les denominó cuantos y posteriormente se les llamó fotones. De ahí el nombre de física cuántica.

Se tiene un tubo de vacío y en el interior dos placas de zinc (muy pulidas), conectadas a los extremos de una fuente y un galvanómetro como se muestra en la figura.

i.

Ecuanto h

: :

f

:

Al hacer incidir una radiación ultravioleta a la placa (–) de zinc, inmediatamente el galvanómetro detecta una corriente eléctrica, esto quiere decir que se desprendieron electrones “sin tiempo de retardo”. Por ello se dice que el efecto fotoeléctrico carece de inercia.

energía del cuanto constante de Planck, su valor es: 6,625 × 10–34 J·s frecuencia de la radiación

Ø Este planteamiento de Planck pudo resolver el problema de la “radiación de cuerpo negro”, pero aún así no fue aceptado al inicio y se dejó de lado por algunos años. En el año 1905, Albert Einstein hizo uso de este planteamiento para poder dar explicación a otro fenómeno que en aquel entonces tampoco podía ser explicado por la “física clásica”: nos referimos al efecto fotoeléctrico. Efecto fotoeléctrico externo Consiste en el desprendimiento de electrones de la superficie de un metal debido a la radiación electromagnética que incide sobre esta superficie. Veamos:

SISTEMA HELICOIDAL

De este sistema deducimos que: El que las placas estén conectadas a una fuente no es una condición para que se dé el “efecto fotoeléctrico”, sino que una vez que sean arrancados los electrones el campo eléctrico los arrastrará hacia la otra placa y de esa manera el galvanómetro lo registra como corriente eléctrica.

205

Física ii. También se logró observar que al hacer incidir radiación infrarroja (radiación de baja frecuencia) no se daba el efecto fotoeléctrico, aún incrementando el número de fuentes (radiación más intensa).

Guía teórica IV Explicación desde el punto de vista clásico Para poder explicar el efecto fotoeléctrico, la “mecánica clásica” considera a la radiación electromagnética como ondas electromagnéticas, las cuales van a arrancar a los electrones, de la misma manera en que las olas arrancan trozos de madera de un muelle en las orillas del mar. Los campos eléctricos oscilantes le ejercen una fuerza eléctrica al electrón, el cual va a oscilar hasta ganar la energía suficiente para poder desprenderse del átomo, pero para ello debe transcurrir cierto intervalo de tiempo considerable, lo cual no ocurre en la experiencia (observación i).

En base a estas observaciones se concluye que el efecto fotoeléctrico depende de la "frecuencia de la radiación incidente" y no de su intensidad (cantidad de fotones). iii. Otra observación que se logra establecer fue que al incrementar la cantidad de fuentes de radiación ultravioleta (incremento de la intensidad) se logra incrementar el número de electrones emitidos, pero todos ellos escapan con “la misma rapidez” al igual que en el caso de una sola fuente.

Además, para el caso de la radiación infrarroja, al incrementar el número de fuentes se incrementa la intensidad del campo eléctrico y el electrón deberá experimentar una mayor fuerza eléctrica, por lo tanto, en algún momento tendría que desprenderse del átomo lo cual no ocurría (observación ii). ¡Por lo tanto, la mecánica clásica no podía explicar el efecto fotoeléctrico! Explicación en base a la teoría cuántica

Esta observación nos permite establecer que la intensidad de la radiación está relacionada con el número de electrones arrancados y no con la rapidez con que salen.

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Debido a las contradicciones en la argumentación de la mecánica clásica, Albert Einstein toma la hipótesis cuántica de Max Planck, en la cual, los osciladores atómicos emiten energía radiante en forma discontinua (la energía radiante se encuentra cuantizada) es por ello que a la radiación se le atribuye una naturaleza corpuscular, pues al interactuar con las sustancias se comporta como un flujo de partículas (fotones). Estos fotones viajan a la rapidez de la luz y poseen la energía de un cuanto de la radiación.

206

Física

Guía teórica IV Efotón = hf

donde f:

frecuencia de la radiación.

Si observamos el espectro electromagnético:

Donde: Efotón j0 :

:

es la energía asociada al fotón incidente.

es la energía necesaria para que el electrón pueda escapar del material.

A esta energía (j0 ) se le conoce como “función trabajo” y depende de cada material. Además, la relación planteada se va a utilizar para los primeros electrones que logran escapar, por lo tanto, son los que requieren menor energía y saldrán con mayor rapidez que los otros (máxima energía cinética). Luego: Efotón = j0 + ECmáx .......... (*) (Ecuación de Einstein para el efecto fotoeléctrico) Cálculo de j0 Efotón

ultravioleta

> Efotón

infrarrojo

entonces en base a la hipótesis cuántica, podemos plantear lo siguiente:

Podemos hacer incidir una radiación cuya frecuencia sea f0 , de tal manera que los electrones desprendidos (fotoelectrones) logren escapar (EC = 0). Þ Tendremos:

E fotón = j 0 + 0 1424 3 hf0 = j0 ..................... (1)

Aquella frecuencia que cumple con esta condición (1) se le conoce como “frecuencia umbral” (f0). La frecuencia umbral es la frecuencia necesaria de la radiación para que se produzca el "efecto fotoeléctrico". Si la radiación incidente posee una frecuencia f se cumple que: El electrón absorbe sólo un fotón y esta atracción es empleada para poder vencer la atracción del núcleo y la de los otros átomos (para lograr escapar del material) y la parte que resta le permite adquirir cierta rapidez, entonces planteamos: E fotón = j0 + E C

SISTEMA HELICOIDAL

1. f < f0 ¡No se da el efecto fotoeléctrico! 2. f ≥f0 ¡Se da el efecto fotoeléctrico! Cálculo de la ECmáx

Para ello empleamos la fuente, luego de incidir la radiación en una de las placas y desprender electrones invertimos rápidamente la polaridad de la fuente, con la intención de frenar al electrón y que llegue con las justas a la otra placa.

207

Física

Guía teórica IV Donde aproximadamente: tg q = h = 4,14 × 10 –25 q– e

Ø Por su aporte teórico al efecto fotoeléctrico, Albert Einstein ganó el Premio Nobel en 1921, mientras que R. Millikan lo ganó en 1923 por trabajos experimentales. Conclusión Þ EC máx =

F W ABe

{ EC máx = |qe –| V AB ............ (2) Donde:

La luz presenta un doble comportamiento “onda y partícula”, pero hay que tener presente lo siguiente: Ø En los fenómenos de interacción con las sustancias manifiesta un comportamiento corpuscular.

VAB se denomina diferencia de potencial o voltaje de frenado (algunos lo llaman potencial de frenado). Si reemplazamos (1) y (2) en la expresión (*) obtendremos: E fotón incidente = h f0 + q – VAB e 14 4244 3 hf = hf 0 + |q e–| VAB Þ VAB =

h (f – f ) 0 q– e

Einstein dejó planteada esta ecuación donde f0 depende del material y para una determinada frecuencia f debería de encontrarse una diferencia de potencial de frenado VAB. En efecto, en 1916, Millikan logró formar de sus experimentos la siguiente gráfica:

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208

Física

Guía teórica IV

Problemas resueltos 1. ¿Cuál es la longitud de onda máxima que produce una emisión fotoeléctrica si la función de trabajo del metal es 2,3 eV? (h = 4,141 × 10 –15 eV·s) (UNMSM 2009-I) A) 740 nm C) 540 nm E) 840 nm

B) 640 nm D) 440 nm

De (a) y (b): l = lmáx = hc f l máx =

4,141´ 10-15 eV × s ´ 108 m/s 2,3 eV

l máx = 5,4 ×10 –7 m

Resolución

Como: 1 nm º 109 m

El efecto fotoeléctrico, planteado por Albert Einstein, en 1905, consiste en el desprendimiento de electrones ante la incidencia de radiaciones de ciertas frecuencias sobre placas metálicas. Teniendo en cuenta la conservación de la energía, Einstein planteó:

l = 540 nm Rpta.: C 2. La longitud de onda y la frecuencia de dos ondas electromagnéticas que se propagan en el mismo medio son l 1 y f1 para una onda, y l 2 y f 2 para la otra. Se cumple que (UNAC 2009-I)

E fotón = f + E C máx ..... (a)

A) B) C) D) E)

si si si si si

f1 / f2 = 4, entonces l1 /l 2 = 4. f1 / f2 = 1/6, entonces l1 /l 2 = 6. l1 /l 2 = 3/2, entonces f1 / f 2= 2/3. l1 /l 2 = 2, entonces f1 /f2 = 2. l2 /l 1 = 1/3, entonces f1 / f 2= 3.

Resolución

Donde: Efotón : energía del fotón f : función trabajo (energía mínima para producirse el efecto fotoeléctrico, que depende del material) EC máx : energía cinética máxima que adquieren los electrones desprendidos. Por otro lado, de la ecuación de Max Planck: Efotón = hf =

hc ..... (b) l

Como la longitud de onda debe ser máxima, la frecuencia de la radiación debe ser la mínima; por lo tanto: EC máx = 0 y Efotón = f, luego:

SISTEMA HELICOIDAL

Como la electromagnética 1 cumple la ecuación: l 1 f1 = v1 y como también la otra onda electromagnética 2 cumple la misma ecuación: l 2 f2 = v2 Pero como ambas viajan en un mismo medio entonces: v1 = v2 Reemplazando: l 1 f1 = l 2 f2 Þ l 1 = f2 l2 f1

209

Física

Guía teórica IV

Por lo que se concluye que la relación de longitudes de onda es inversamente proporcional a su relación de frecuencias. De todas; la única que cumple es: Si l 1 = 3 , entonces f1 = 2 . l2 2 f2 3

Rpta.: C

3. Si una fuente láser emite una luz coherente de color naranja en la frecuencia de 5 × 10 14 Hz, ¿cuál será la longitud de onda asociada a este color? (c = 3 × 108 m/s) (UNMSM 2009-I) A) 7000 Å D) 4000 Å

B) 6000 Å E) 5000 Å

Resolución La energía asociada a un fotón depende de su frecuencia y ésta relación fue planteada por Max Planck. Efotón = hf ... (1) Donde: h = 6,6 × 10–34 J·s Pero toda onda electromagnética en el vacío.

C) 3000 Å

Resolución Como la luz láser es monocromática está en fase y es coherente siendo en nuestro problema de color naranja perteneciendo al espectro electromagnético (para ser preciso al espectro de luz visible). Viaja a una rapidez de 3 × 108 m/s (en el aire vacío). Como en toda onda electromagnética, se cumple: c = fl

c = lf De (1) y (2): E fotón = h

c l

Reemplazando: E fotón = 6,6 ´10 -34 J·s ´

3 ´ 108 m/s = 1,8 ´10 -10 J 1,1 ´10 -15 m Rpta.: D

Reemplazamos datos: 1 3 ´ 10 m/s=5 ´ 10 ´l s l = 0,6 × 10–6 m 8

14

l = 6000 × 10–10 m Como: 1Å º 10–10 m l = 6000 Å Rpta.: B 4. La longitud de onda asociada a un fotón de rayos l es 1,1 × 10 –5 m . ¿Cuál es su energía? (Considere h = 6,6 × 10–34 J·s (constante de Planck) y c = 3 × 108 m/s (velocidad de la luz)). (UNMSM 2010-I) A) 1,2 × 10–10 J C) 1,6 × 10–10 J E) 2,4 × 10–10 J

B) 1,5 × 10–10 J D) 1,8 × 10–10 J

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5. Se desea determinar la función trabajo de cierta superficie metálica. Cuando usamos una lámpara de mercurio (l = 546,1 nm) el potencial retardador de 1,70 V reduce la fotocorriente a cero. Basándose en esta medida, ¿cuál es la función trabajo del metal? (h = 6,626 × 10 –34 J·s; 1 eV = 1,6 × 10–19 J; 1 nm = 10–9 m) (UNMSM2008-II) A) 4,57 eV C) 2,57 eV E) 0,57 eV

B) 1,57 eV D) 3,57 eV

Resolución Construyendo un gráfico para el problema.

210

Física

Guía teórica IV Ahora, en (a): E fotón = hf = f +| qe – |( D Vab ) f=

hc = - | q – |(D Vab ) e l

Finalmente reemplazamos los datos del problema: f=

(6,626 ´ 10 -34 )(3 ´ 10)8 - 1,6´ 10-19 ´ 1,7 546,1 ´10 -9

f = 0,912 × 10 –19 J Sabemos por el problema, que OEM tiene longitud: l = 546,1 nm = 546,1 × 10 –9 m Desarrollamos un balance energético sobre lo que ocurre en la placa metálica por la incidencia del fotón sobre ella (arranca los electrones de la placa):

Como: 1eV = 1,6 × 10–19 J f = 0,57 eV (función del trabajo del metal) Rpta.: E

æ función trabajo ö æ energía cinética ö E fotón = ç ÷ +ç ÷ è del material ø è máxima del electrónø Efotón = + EC máx ... (a) Tenemos que en proceso de frenado ocurre un: E WaF® b = D E C = E CF - E C máx

EC máx = - WFE = -q e – D Vab = |q e – | D Vab

SISTEMA HELICOIDAL

211

Química

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Guía teórica IV

214

Química

Guía teórica IV

ELECTROQUÍMICA

25

Marco teórico ELECTROQUÍMICA Concepto Es la parte de la química que estudia la relación La corriente ingresa al electrolito por el cátodo geentre los fenómenos químicos y los fenómenos nerando semirreacciones en los electrodos. eléctricos. Ánodo: 2Cl–1 – 2e– ® Cl2(g) ...... Oxidación Pueden estudiarse dos casos: Cátodo: Na+ + 1e– ® Na (s) ...... Reducción 1.º Flujo de corriente que produce una reacción Sumando ambas semirreacciones, obtenemos la del tipo redox (electrólisis). reacción de la celda total: 2.º Una reacción redox que produce un flujo de corriente eléctrica (pila voltaica). 2NaCl(l) ® Cl2(g) + 2Na(s) En este texto estudiaremos sólo el primer caso. Electrólisis El paso de un flujo de corriente eléctrica a través de un electrolito, que es una sustancia que se disocia en iones y permite la conductividad de corriente; genera una reacción química del tipo redox. Esto se desarrolla en un dispositivo llamado celda electrolítica, de la cual presentamos su esquema y componentes en el gráfico siguiente:

Nota El ion Cl–1 se oxida en el ánodo. El ion Na+ se reduce en el cátodo. Leyes de Faraday 1.a Ley: Al pasar por el electrolito un faraday de carga, se depositan o liberan en cada electrodo un equivalente gramo de sustancia. Deposita Así: 1 faraday ® 1 Eq-g(sust.) 14 24 3 ¾¾¾¾ Libera 96 500 C ¾¾¾¾ ® 1 Eq-g(sust.)

1 faraday es la cantidad de carga contenida en un mol de electrones. La carga se mide en coulomb (C). Para los cálculos, podemos usar: msust. = Donde I: t:

SISTEMA HELICOIDAL

I t Peq (sust.) 96 500

intensidad de corriente (ampere) tiempo (segundos)

215

Química

Guía teórica IV Por la 2.a ley de Faraday:

Ejemplo ¿Qué masa de sodio se deposita en el cátodo por el paso de 9,65 A durante 10 minutos? Dato: PA(Na = 23) Solución

# Eq-g(Na) = # Eq-g(Ag) mAg mNa = Peq (Na) Peq(Ag)

I = 9,65 A t = 10 × 60 s Peq (Na) = 23

Por la 1.a ley de Faraday: mNa = mNa =

I t Peq(Na) 96 500

9,65 ´ 10 ´ 60 ´ 23 = 1,38 g 96 500

2.a Ley: Por el paso de una intensidad de corriente se depositan o liberan en los electrodos la misma cantidad de equivalentes gramo. Es decir: #Eq-g(ánodo) = #Eq-g(cátodo) Aplicación Se tienen dos celdas electrolíticas asociadas en serie, conteniendo NaCl(l) y AgBr(l), respectivamente. Si en la primera se han depositado 4,6 g de sodio, ¿cuál es la masa de plata depositada en la segunda?

416 = mAg 23 108 1 1

Þ mAg = 21,6 g

Aplicaciones de la electroquímica Los conceptos y leyes de la electroquímica tienen amplia aplicación en: a. Fabricación de pilas y baterías de tipo diverso Ø Ø Ø Ø

Pilas secas Pilas de Ag-Zn Acumuladores de plomo-ácido Acumuladores de Edison

b. Refinación electrolítica de metales Ø Antimonio, cio, oro, plata, plomo, zinc, etc. c. Laboratorio: Análisis. Ejemplo Ø

Electrólisis del NaCl fundido

Datos: PA(Na = 23, Ag = 108) Solución

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216

Química

Guía teórica IV

Veamos: Na+ + 1e – ® Na(l)

Ø Cátodo:

2Cl– – 2e– ® Cl2(g)

Ø Ánodo: Reacción neta:

2Na+ + 2Cl– ® 2Na + Cl2

\2NaCl(l) ® 2Na(l) + Cl2(g)

d. Los aniones provenientes de hidruros como el cloruro, ioduro, etc. no tienen fuerte atracción sobre sus electrones ganados, por lo que ellos pueden pegarse fácilmente al ánodo cediendo los electrones requeridos. Ejemplo 2Cl– – 2e– ® Cl2

Electrólisis en solución acuosa Cuando el electrolito no está puro, sino en solución acuosa hay, entonces, que tomar en cuenta algunas observaciones:

1. Electrólisis de la solución diluida de NaCl (Salmuera)

a. Si el catión es un metal muy activo (los del grupo IA), estos no se pegan en el cátodo, más bien provocan la disociación del agua tal que en dicho electrodo se libera gas hidrógeno (H 2) en medio básico, luego el catión formará el hidróxido respectivo. 1. a: Na + H2 O ® 2H2O + 2e– ® H 2 + 2(OH)– 2.a: Na+ + OH– ® NaOH

Ø En el cátodo: (–)

b. Algunos metales, generalmente de la familia B, como el cobre, plata, oro, etc., son relativamente inactivos por lo que ellos no descomponen el agua, sino más bien, se pegan de frente al cátodo. Cu 2+ + H2O ® No pasa nada, ante el agua el Cu2+ es inactivo.

Cu

2+

2+

–

+ 2e ® Cu +2e

–

Conclusiones

0 ® Cu (s)

2H2 O + 2e– ® H2 - +2(OH) – K+ + OH – ® KOH Ø En el ánodo: (+) 2Cl – – 2e – ® Cl2 2. Electrólisis de la solución diluida de H2SO4 (Agua acidulada)

c. Los aniones oxigenados (oxianiones) como el sulfato, nitrato, carbonato, etc., tienen fuerte atracciónsobreloselectronesganados,entonces cuando se van al ánodo descomponen al agua en medio ácido liberando gas oxígeno, para poder neutralizarse con los protones. 2–

Ø SO 4 +H 2O ® ? Ø 2H 2O – 4e – ® O 2 - +4H+ 2–

+

Ø SO 4 +2H ® H 2 SO 4

SISTEMA HELICOIDAL

217

Química

Guía teórica IV

Conclusiones

Ø En el ánodo: (+)

Ø En el cátodo: (–) 2H + + 2e – ® H 2 – + Ø En el ánodo: (+) H 2O – 2e ® 1 O 2+2H 2 2– + Þ SO 4 +2H

® H 2 SO 4

3. Electrólisis de la solución de AgNO3

2H2 O – 4e– ® O2 + 4H + 2–

+

SO 4 +2H ® H 2 SO 4 Conclusiones Ø Ø Ø Ø

La cantidad de H2 O va disminuyendo. La [KOH] y [H 2SO 4] aumenta. En el ánodo, el pH disminuye. En el cátodo, el pH aumenta.

Relaciones físico-químicas 1. Coulomb (C) Es la cantidad de carga eléctrica que se necesita para que se deposite o libere en uno de sus electrodos de la celda electrolítica, un equivalente electroquímico o electrovalente de alguna sustancia. 1 C ® 1 Eq-equim(sust.)

Conclusiones Ø En el cátodo: (–) Ag + – 1e– ® Ag(s) Ø En el ánodo: (+) – + H 2 O+2e ® 1 O 2 - +2H 2 NO 3 – + H+ ® HNO3

2. Faraday (F) Es una cantidad de carga eléctrica necesaria para que se deposite o libere en uno de sus electrodos de una celda, un equivalente gramo o equivalente químico de alguna sustancia.

4. Electrólisis de la solución K2SO4

1 F ® 1 Eq-g(sust.) Pero por física:

1 Eq-equim (sust.)= Unidades:

Ø En el cátodo: (–) 2H 2O + 2e– ® H2 - +2(OH)– K + + (OH)– ® KOH

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1 Eq-g(sust.) 96 500

g mg o C C

Ejemplo Halle el valor de 1 Eq-equim de oro, en mg/C.

218

Química

Guía teórica IV

Solución

Análisis

Relaciones físicas

1e– ® 1,6 × 10 –19 C #e – ® 96 500 C

q = It ® C = A ×s V = RI ® V = A × W

#e– = 6,022 × 10 23 e– = NA e–

P = VI ® W = V × A

Relación importante

E = qV ® J = C × V

1 F <> 1 Eq–g <> 96 500 C <> 96 500 Eq-equim <> NA e– <> 1 mol de e–

Problemas resueltos 1. En un proceso electrolítico se depositaron 18,066 × 10 23 átomos de plata. Si el rendimiento del proceso fue del 60%, determine la cantidad de corriente eléctrica utilizada en faraday. A) 1 D) 0,5

B) 3 E) 7

C) 5

A) 63,5 g D) 78,5 g

B) 44,4 g E) 4,44 g

C) 128,5 g

Resolución 63,5 · 13 500 ® x = 4,44 x= 2 96 500 Rpta.: E

Resolución

x = 3 F ® #F = 3 · 100 = 5 F 60

Rpta.: C

2. Se deja pasar una corriente de 2,5 A a través de una solución de electrolitos que deposita 2,77 g de metal durante 30 min. ¿Cuál será la masa equivalente del metal? A) 118,8 D) 21,4

3. ¿Cuántos gramos de cobre se depositan en el cátodo al paso de 13 500 coulomb de carga en una solución de CuSO 4? Dato: PA(Cu=63,5).

B) 59,4 E) 45,2

C) 19,2

Resolución ME · 2,5 · 1800 2,77 = ® ME = 59,4 96 500 Rpta.: B

SISTEMA HELICOIDAL

4. Respecto a la electrólisis del NaNO 3 acuoso indique la proposición correcta. A) El ion NO3 – se oxida en el ánodo. B) El agua se electroliza perdiendo electrones en el ánodo. C) En el cátodo se produce Na. D) En el ánodo se libera NO2 . E) El O2 se libera en el cátodo. Resolución El H2 O se descompone: H 2O+2e – ® H 2 + 1 O 2 2

Rpta.: E

219

Química

Guía teórica IV

5. ¿En cuántos minutos se depositará en el cátodo el cobre de una solución (1 L) de CuSO4 1 M hasta que la concentración llegue a 0,5 molar si la electrólisis considera 1 faraday = 96 500 C y 40 A? A) 20,1 D) 80,5

B) 80,4 E) 45,1

C) 40,2

Resolución 63,5 63,5 · t · 40 = ® t = 40,2 min 2 96 500 Rpta.: C

SACO OLIVEROS

220

Química

Guía teórica IV

QUÍMICA ORGÁNICA I - CARBONO

26

Marco teórico QUÍMICA ORGÁNICA Concepto Denominada también química de los compuestos de carbono debido a que en ella se estudia a todos aquellos compuestos de carbono naturales o artificiales que se encuentran o sintetizan a partir de los seres vivos o que les son útiles para su conservación y desarrollo.

¿Sabía que...?

Se excluyen de la química orgánica algunos compuestos de carbono que tienen origen mineral tales como: Anhidridos

:

CO, CO2

Ácidos oxácidos

:

H 2CO 3

Carbonatos

:

Ferrocianuros

:

Ferricianuros

:

Cianatos

:

CNO –1

Cianuros

:

CN–1

El químico sueco Jöns Jacobo Berzelius (1807) propuso la teoría vitalista: Ser compuestos es capaz de producir ¾¾¾¾¾¾¾¾¾ ® vivo orgánicos

CO 3–2

Ejemplos

[Fe(CN)6 ]–4

producen Ø Los animales ¾¾¾¾¾ ® urea, ......., etc.

[Fe(CN)6 ]–3

producen Ø Las plantas ¾¾¾¾¾ ® glucosa, ....., etc.

Años más tarde, Kolbe sintetiza el acetileno (C2H 2 ) y el ácido acético (CH3 COOH) a partir de sustancias inorgánicas con lo cual la doctrina de la fuerza vital se desecha abriéndose paso así al desarrollo de la química orgánica moderna.

Síntesis de la urea Permitió dejar de lado la teoría de la fuerza vital, que indicaba que los compuestos orgánicos sólo eran posibles de existir dentro de los seres vivos porque en ellos existía una fuerza vital que permitía mantener unidos a los elementos organógenos. En 1828, el químico alemán FRIEDRICH WÖHLER preparó por primera vez la urea a partir del cianato de amonio que es un compuesto inorgánico.

SISTEMA HELICOIDAL

Elementos orgánicos Ø Elementos organógenos Ø

C, H, O, N Otros elementos: Ø Metales : Fe - Mg - Zn - Ca - Na Ø No metales: P - S - Si - F - Br - I

221

Química

Guía teórica IV

¿Qué es lo que diferencia a un compuesto orgánico del inorgánico?

2.º Amorfas

Ø Compuestos orgánicos • • • • • • •

Mayormente son inflamables. Son poco solubles o insolibles en agua. Sus soluciones acuosas son malas conductoras de la electricidad. Predomina el enlace covalente. Sus reacciones son lentas, por lo que requieren el uso de catalizadores. Se descomponen por acción del calor. Presentan isomería.

Ø Compuestos inorgánicos • • • • • • •

No arden. Su mejor solvente es el agua. Generalmente sus soluciones acuosas son conductoras de la electricidad. Pueden formar enlaces químicos: iónicos covalentes o metálicos. Sus reacciones son rápidas. Soportan altas temperaturas. Rara vez ocurre el fenómeno de la isomería.

Átomo de carbono

• Coque ü • Carbón de retorta ïï ý Artificial • Negro de humo ï ïþ • Negro animal Propiedades químicas 1.º Tetravalencia: Capacidad para formar 4 enlaces.

2.º Covalencia: Forma enlaces por compartición de pares de electrones. 2.1.Enlace covalente simple

I. Formas de existencia 1.º Cristalizadas Grafito

Diamante

2.2.Enlace covalente doble

• • • •

Color negro Frágil Blando Buen conductor de la corriente

• • • •

Transparente Tenaz Duro Aislante

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2.3.Enlace covalente triple H–CºN

H–CºC–H

222

Química 3.º Autosaturación: Pueden saturar sus enlaces uniéndose a otros carbonos. Genera la formación de las cadenas carbonadas.

Guía teórica IV b. Aromáticas o bencénicas Derivadas del anillo bencénico.

3.1.Acíclicas o abiertas Saturadas: Cuando sólo tiene enlaces simples entre carbonos.

•

Heterocíclicas La cadena principal contiene un átomo diferente al carbono (S, O, N).

Insaturadas: Contiene enlaces múltiples entre carbonos.

•

Bicíclicas Unión de 2 estructuras cíclicas y poseen un puente.

3.2.Cíclicas o cerradas Isocíclicas: En la cadena principal sólo hay carbonos. a. Alicíclicas

SISTEMA HELICOIDAL

4.º Hibridización Es el proceso por el cual los orbitales normales de la capa de valencia de un átomo se combinan entre sí para generar nuevos orbitales denominados híbridos de tal manera que permiten explicar las geometrías moleculares, las energías y longitudes de enlace y las estabilidades de las moléculas. La cantidad de orbitales híbridos que se generan es igual a la cantidad de orbitales normales que se han combinado y sus energías tienen valores intermedios entre las energías de los orbitales normales.

223

Química

Guía teórica IV

1. Hibridización sp3

La hibridación genera los siguientes orbitales en el plano.

Ejemplo CH 2 = CH2

3. Hibridización sp

2. Hibridización sp2

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224

Química

Guía teórica IV 4.º Fórmulas condensadas

Ejemplo CH º CH

Muestran los carbonos y los átomos unidos a cada uno. 1. CH 3CH 2CH 2CH 3 2. CH 3 COOH 5.º Fórmulas topológicas Solo muestran los enlaces y los grupos funcionales presentes.

Tipos de fórmula 1.º Fórmula general Ø Muestra la composición del compuesto. Ø Indica el tipo de elementos y la cantidad de átomos de cada uno.

1. CH 3 – CH2 – CH2 – CH3

1. C4 H 10 2. C2 H 4O 2 2.º Fórmula desarrollada Ø También se denomina fórmula esquemática. Ø Muestra todos los enlaces. (1)

2. CH 3 – CH2 – CH2 – COOH

(2)

H H H H | | | | H–C–C–C–C–H | | | | H H H H 3.º Fórmula semidesarrollada Sólo se indican los enlaces entre átomos de carbono. Ø CH 3 – CH2 – CH2 – CH3 Ø CH 3 – COOH

SISTEMA HELICOIDAL

225

Química

Guía teórica IV

Problemas resueltos 1. El primer compuesto orgánico se denomina (UNAC 1999) A) metano. C) urea. E) C y D

B) pentano. D) carbodiamida.

4. ¿Qué tipo de enlace presentan los compuestos orgánicos? (UNFV 1999) A) Iónico C) Metálico E) Intermolecular

B) Covalente D) Electrovalente

Resolución

Resolución

Fue la urea o carbodiamida, cuya fórmula es:

Presentan enlace covalente. Rpta.: B

CO(NH2 )2

Rpta.: E

2. Indique la fórmula de la urea. (UNFV 2000) A) B) C) D) E)

5. No es una propiedad del carbono. (UNMSM 1995) A) B) C) D) E)

NH2 – NOOC – CH2 COCH2 Cl NH2 – CO – NH 2 CH 3 – CO – CH3 H – CHO

Tetravalencia Autosaturación Hibridización Covalencia Ductibilidad

Resolución

Resolución Es CO(NH2 )2.

Rpta.: C

3. En la siguiente molécula, indique la cantidad de carbonos primarios y carbonos secundarios. (UNAC 2000)

Son cuatro: tetravalencia, autosaturación, hibridización, covalencia, excepto la ductibilidad. Rpta.: E

C H3 C H3 - C H2 - C- C H2 -C H2 - C H2 - C º C H C H3 A) 2 y 1 D) 1 y 3

B) 3 y 4 E) 4 y 3

C) 1 y 2

Resolución El carbono primario es (CH 3 ) y el carbono secundario (CH 2). Rpta.: B

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226

Química

Guía teórica IV QUÍMICA ORGÁNICA II HIDROCARBUROS 27

Marco teórico ALCANOS Son hidrocarburos que solo presentan enlaces simples, son poco reactivos, resisten el ataque de ácidos fuertes, bases fuertes, oxidantes, por lo cual, se denominan parafinas. Fórmula general: Cn H2n+2 Ejemplo:

n = 9 Þ C9H 2 · 9 + 2 Þ C9H 20

Propiedades físicas Ø Las moléculas de los alcanos presentan solamente enlaces simples. Ø En condiciones normales se presentan en los siguientes estados físicos: Gaseoso Líquido Sólido

: : :

C1 ® C4 C5 ® C17 C18® a más Número de carbonos

Prefijo

Ø Sus moléculas se encuentran unidas mediante las fuerzas de Van Der Walls (son débiles y de alcance muy limitado), a mayor superficie de unión (mayor peso molecular) es mayor la fuerza de Van Der Walls. Ø Sus puntos de ebullición y fusión son relativamente bajos y aumentan a medida que se incrementa la masa molecular. Ø Son menos densos que el agua. Ø Son insolubles en agua pero solubles en disolventes apolares. Para nombrarlos se escribe el prefijo que indica e número de carbonos y después el sufijo “ano”.

Fórmula global Cn H2n+2

Nombre Metano

1

Met

C 2H4

2

Et

C 2H6

Etano

3

Pop

C 3H8

Propano

4

But

C 4H10

Butano

5

Pent

C 5H12

Pentano

6

Hex

C 6H14

Hexano

7

Hept

C 7H16

Heptano

8

Oct

C 2H4

Octano

9

Non

C 9H20

Nonano

10

Dec

C 10H22

11

Undec

C H

Undecano

12

Dodec

C H

Dodecano

SISTEMA HELICOIDAL

11 24 12 26

Decano

227

Química

Guía teórica IV

Radicales alquilo Son especies químicas que resultan de quitar un hidrógeno a un alcano para que entre otro grupo en su lugar. Para nombrarlos se cambia la terminación “ano” por “il(o)”. Fórmula general: CnH 2n+1 Ejemplos

Ø CH 3 — CH 3 Þ CH 3 — CH 2 — Etano

Etil

Ø CH 3 — CH 2 — CH 3 Þ CH 3 — CH 2 — CH 2 — Propano

Propil

Nomenclatura de alcanos ramificados Ø Se escoge como cadena principal, la más larga con mayor número de átomos de carbono. Ø Se numeran los carbonos de la cadena principal empezando por el extremo más cercano a un radical alquilo, de tal manera que los radicales posean la menor numeración. Ø Se nombran los radicales en orden alfabético o de tamaño indicando el número de carbonos de la cadena principal al cual va unido. Ø Si un radical se presenta más de una vez use los prefijos di, tri, tetra, etc. Ø Al nombrar los radicales no tomen en cuenta los prefijos di, tri, sec, ter, para el orden alfabético. Ø Se nombra la cadena principal de acuerdo a la cantidad de carbonos empleando “ano”. Ejemplo 5

4

3

2

1

CH 3 — CH 2 — CH 2 — CH — CH 3 | CH 3 metil 2-metilpentano Nomenclatura común de los alcanos Prefijo: Ø n: Ø Iso: Ø Neo:

Se utiliza para cadena normal sin ramificación. Se utiliza cuando en el segundo carbono hay un grupo CH3 — unido a él. Se utiliza cuando en el segundo carbono hay dos grupos CH 3— unidos a él. ì CH 3 — CH 2 — CH 2 — CH 2 — CH 3 ® n-pentano ní î CH 3 — CH 2 — CH 2 — CH 2 — CH 3 — CH 3 ® n-hexano

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228

Química

Guía teórica IV

Iso

ìCH 3 — CH—CH 2 — CH 3 ® Iso-pentano ï | ï CH 3 ïï í ï CH 3 ï | ï ïîCH 3 — CH—CH 3 ® Iso-butano

Neo

ì CH 3 ï ï | ïCH 3 — C—CH 2 — CH 3 ® Neo-hexano ï | ï CH 3 ï ï í ï CH 3 ï | ï ïCH 3 — C—CH 3 ® Neo-pentano ï | ï CH 3 ïî

Reacciones de alcanos 1. Halogenación:

Reactividad:

H: 3.° > 2.° > 1.°

Ejemplo

2. Combustión: Cn H2n+2 + O ® CO2 + H2 O (completa) Cn H2n+2 + O ® CO + H 2O (incompleta) Ejemplo: C 3H 8 + 5O2 ® 3CO2 + 4H 2O Encendedor: el combustible es el gas propano, cuya fórmula global es C 3H 8 .

SISTEMA HELICOIDAL

229

Química

Guía teórica IV Alquenos

Se les conoce con el nombre de olefinas o etilénicos. Se caracterizan por presentar enlace doble en su estructura. En este tipo de compuestos orgánicos observamos la presencia de híbridos sp 2. Fórmula general:

Cn H2n solo un enlace doble

Nomenclatura Para nombrar se tiene en cuenta los mismos pasos que en alcanos, con la diferencia que se enumeran los carbonos de la cadena principal, comenzando por el extremo más cercano al enlace doble. El nombre de un alqueno termina en “eno”. Ø Dienos: Son hidrocarburos que presentan dos enlaces dobles en su estructura. Ø Alenos: Son dienos en los que un carbono posee dos enlaces dobles. Ejemplo CH 3 — CH 2 — CH = C = CH2 Dienos conjugados Son aquellos que presentan dos enlaces dobles alternados. Ejemplo CH 2 = CH — CH = CH — CH 3 Dienos aislados Son aquellos en que los dos enlaces dobles se encuentran separados por más de un enlace simple. Ejemplo CH 2 = CH — CH 2 — CH = CH — CH3 Polimerización Consiste en la unión de varias moléculas pequeñas para formar una molécula más grande, de elevada masa molecular. La molécula pequeña se llama monómero y la macromolécula se denomina polímero. Ejemplo nCH 2 = CH 2 ® (—CH 2 — CH 2 —)n Eteno o etileno

Polietileno

Caucho: empleado en la fabricación de llantas, pelotas, etc. Es un polímero 1, 3-butadieno.

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230

Química

Guía teórica IV

Propiedades de los alquenos 1. Los alquenos se presentan en los siguientes estados a temperatura ambiente: Gaseoso: Líquido: Sólido:

C2 ® C4 C5 ® C15 C16 ® a más

2. Sus temperaturas de ebullición y solubilidad son más bajas que los correspondientes alcanos. n

Prefijo

Fórmula global

Fórmula semidesarrollada

Nombre

2

Et

C2 H4

CH2 = CH2

Eteno (Acetileno)

3

Pop

C3 H6

CH3 — CH = CH 2

Propeno

4

But

C4 H8

CH3 — CH2 — CH = CH 2

Buteno

5

Pent

C5 H10

Penteno

6

Hex

C6 H12

Hexeno

Reacciones de alquenos Los alquenos son altamente reactivos y la causa de esa gran reactividad la constituye justamente el enlace doble que tiende a convertirse en enlace simple por adición de átomos sobre cada uno de los carbonos que forman el enlace doble. Esta reacción se conoce con el nombre de reacción de adición. 1. Hidrogenación 2. Halogenación 3. Hidrohalogenación o halogenuros de hidrógeno 4. Reacciones de combustión Alquinos Se les conoce también como acetilenos. Se caracterizan por presentar enlace triple en su estructura. En este tipo de compuestos orgánicos observamos la presencia de híbridos sp. Fórmula general: CnH 2n – 2 solo un enlace doble Nomenclatura Para nombrar se tiene en cuenta los mismos pasos que en alquenos. El nombre del alquino termina en “ino”. Propiedades de los alquinos 1. Los alquinos, a condiciones ambientales, se presentan en los siguientes estados físicos: Gaseoso: Líquido: Sólido:

C 2 ® C4 C 5 ® C15 C 16 ® a más

SISTEMA HELICOIDAL

231

Química

Guía teórica IV

2. Su temperatura de ebullición es más elevada que en los alquenos. 3. Son insolubles en agua, solubles en solventes orgánicos. Compuestos cíclicos Son todos aquellos compuestos orgánicos que presentan al carbono u otro elemento formando parte de una cadena cerrada o cíclica. Compuestos isocíclicos u homocíclicos Son aquellos cíclicos cuya cadena principal se constituye únicamente de átomos de carbono, se dividen en: 1. Compuestos alicíclicos Son aquellos compuestos isocíclicos (excepto los aromáticos) que se encuentran formando cadenas cerradas, alterando así su ángulo normal de equilibrio y adoptando una geometría espacial que ocasiona una tensión angular en los enlaces haciéndolos reactivos. Pueden ser: a. Cicloalcanos o cicloparafinas Son aquellos compuestos que tienen cadenas cerradas, las moléculas de los cicloalcanos no sustituidos están compuestos por grupos metileno (—CH 2 —) cerrados en cadenas. Fórmula general:

Cn H2n solo un enlace doble

Nomenclatura IUPAC: Ciclo _________________________________________________ (Nombre del hidrocarburo de cadena abierta) Ejemplos Ciclopropano

Ciclobutano

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232

Química

Guía teórica IV

Ciclopentano

Radical cicloalquilo

b. Cicloalquenos Son aquellos hidrocarburos que tienen cadena cerrada y, por lo menos, un enlace doble. Fórmula general:

Cn H2n – 2 n ≥3

Nomenclatura IUPAC: Ciclo _________________________________________________ (Nombre del hidrocarburo de cadena abierta)

SISTEMA HELICOIDAL

233

Química

Guía teórica IV

Ejemplos Ciclopropeno

Ciclobuteno

Ciclopenteno

Una de las principales fuentes para la obtención de alicíclicos como los cicloalcanos y cicloalquinos es el petróleo. Por ese motivo, en conjunto, se les denomina hidrocarburos nafténicos. c. Cicloalquinos Son aquellos compuestos que tienen cadena cerrada y, por lo menos, un enlace triple. Fórmula general:

Cn H2n – 4 n ≥3

Nomenclatura IUPAC: Ciclo _________________________________________________ (Nombre del hidrocarburo de cadena cerrada) Ejemplos Ciclopropino

Ciclobutino

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234

Química

Guía teórica IV

Ciclopentino

Nomenclatura de hidrocarburos cíclicos ramificados 1. Cicloalcanos a. Debe tomarse como cadena principal aquel que presente el mayor número de sustituyentes o el de mayor tamaño. b. Si sólo tiene un sustituyente, éste será la posición uno y no se indica el nombre. c. Para varios sustituyentes se busca la secuencia que proporcione la más baja combinación de localizadores y tomar el nombre ordenado en orden alfabéticamente los sustituyentes. Ejemplos

2. Cicloalquenos y cicloalquinos a. Debe tomarse como localizadores 1 y 2 a los carbonos que contengan doble o triple enlace. b. Si solo tiene un doble o triple enlace no se indica su localización, si posee dos o más enlaces dobles (triples) se busca la menor combinación de sus localizadores. c. Si posee sustituyentes se busca la combinación más baja de sus localizadores ordenando los sustituyentes en orden alfabético y si están en posiciones equivalentes se toma el orden alfabético para la numeración. Ejemplos

SISTEMA HELICOIDAL

235

Química

Guía teórica IV

Problemas resueltos 1. Indique la fórmula global del octadecatrienotriino. (UNFV 2004) A) C28 H36 C) C18 H12 E) C18 H26

Resolución

B) C 18H20 D) C 38H24

Resolución Cn H2n+2 – 2d – 4t n = 18, d = 3, t = 3 C18H 2(18)+2–2(3)–4(3) = C18 H38 – 18 = C18H 20 Rpta.: B

6-(1, 2-dimetil propil) dodecano Rpta.: B 3. Nombre la estructura mostrada

2. Nombre la estructura mostrada (UNAC 1998) A) B) C) D) E) A) B) C) D) E)

6-isopentil dodecano 6-(1, 2-dimetil propil) dodecano 7-isopentil dodecano 6-(2, 3-dimetil propil) dodecano 7-(1-metil 2-isopropil) dodecano

5-isopropil 7-metil 1-decino 7-propil 2, 4-dimetil 2-decino 6-isopropil 4, 8-dimetil 9- decino 6-propil 4, 8-dimetil 9-decino 5-propil 3, 7-dimetil 1-decino

Resolución

5-isopropil 7-metil 1-decino Rpta.: A

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236

Química

Guía teórica IV Resolución

4. Es un alqueno. A) Benceno C) Formeno E) Eteno

Propano Þ C3 H8 , M = 12 · 3 + 1 · 8 = 44

B) Acetileno D) Fenol

Resolución

44 g x = 132 g · 22,4 L ® x = 67, 2 L

Alquino: Cn H2n ® n = 2 ® C2H 4: eteno

Rpta.: C

Rpta.: E 5. El volumen, en condiciones normales, de 132 g de gas propano es A) 22,4 L D) 89,6 L

B) 44,8 L E) 224 L

C) 67,2 L

SISTEMA HELICOIDAL

237

Química

Guía teórica IV

FUNCIONES OXIGENADAS

28

Marco teórico ALCOHOLES, ÉTERES, ALDEHÍDOS Y CETONAS Función

Fórmula general

Alcohol

R–OH

Éter

R – O – R'

Aldehído

R – CHO

Cetona

R – CO – R'

Grupo funcional

Ejemplo C2H 5OH Etanol C2H 5 – H – C2 H5 Etoxietano

CH3 – CHO Etanal

CH3 – CO – CH3 Propanona

Alcoholes Son compuestos que contienen el grupo funcional (OH) –, que está unido a un átomo de carbono que presenta enlaces simples. Su fórmula general es: R – OH Nomenclatura Sistemática: Terminación “ol” Funcional:

Alcohol ............... “ico” (radical)

Ejemplos

Tipos de alcoholes a. Según el número de – OH Ø Monoles: 1 solo – OH CH 3 OH (metanol) Ø Polioles: 2 o más – OH CH2 OH – CH 2 – CH2 – CH2OH (1, 4-butanodiol) b. Según la posición del grupo funcional (– OH) Ø Alcohol primario: Cuando el –OH está unido a un carbono primario. CH3 – CH2 – CH2 – OH

En general: R – CH2 – OH

SACO OLIVEROS

238

Química

Guía teórica IV

Ø Alcohol secundario: Cuando el –OH está unido a un carbono secundario.

En general:

Ø Alcohol terciario: Cuando el –OH está unido a un carbono terciario.

Propiedades a. Físicas Ø Forman enlaces puente de hidrógeno, por lo tanto, se les considera líquidos asociados de alta temperatura de ebullición. Ø A mayor ramificación menor temperatura de ebullición. Ø Son solubles en agua los de bajo peso molecular. b. Químicas Ø Se comportan como ácidos débiles. Ø Al oxidarse se obtienen aldehídos o cetonas. Ø Las reacciones de los alcoholes van en el siguiente orden:

En general:

terciario > secundario > primario Éteres Son compuestos considerados derivados del agua, donde los grupos alquilo reemplazan a los átomos de hidrógeno. Fórmula general

Ejemplos ìmetoxi etano CH 3 - O - CH 2 - CH 3 í îmetil etil éter CH 3 – CH2 – O – CH2 – CH3 etoxietano o dietil éter

R – O – R' R–O–R

R – O – R'

Simétrico

Asimétrico

a. Físicas

Nomenclatura

Ø Son buenos solventes orgánicos. Ø La mayoría son líquidos. Ø Son menos densos que el agua.

a. Sistemática .................... oxi .................... Prefijo b. Común .................. ..................... éter Radical (1)

Propiedades

b. Químicas Ø Tienen baja reactividad. Ø Forman peróxidos poco volátiles y explosivos al oxidarse parcialmente en el aire.

Radical (2)

SISTEMA HELICOIDAL

239

Química

Guía teórica IV Aldehídos

Son compuestos que tienen en su estructura al grupo funcional CARBONILO (C=O) pero que está unido directamente a un átomo de hidrógeno.

Ø Sistema IUPAC Se reemplaza la terminación O del alcano por AL.

Fórmula general:

Ejemplos CH 3 – CH 2 – CHO (propanal)

donde R puede ser un grupo alifático o aromático. Nomenclatura

(2-metil butanal)

Ø Sistema común Deriva de los ácidos carboxílicos, reemplazando la terminación ICO por ALDEHÍDO y eliminando la palabra ÁCIDO. La posición de un grupo sustituyente se indica mediante los términos etc., según su proximidad al grupo CHO.

CHO – (CH2 )2 – CHO (butanodial) Propiedades a. Físicas Ø No presentan enlaces puente de hidrógeno; por lo tanto, sus temperaturas de ebullición son menores que la de los alcoholes. Ø Los aldehídos de bajo número de carbono son de olores desagradables. Ø El formaldehído es gaseoso.

Ejemplos H – CHO

(Formaldehído)

CH 3 – CHO

(Acetaldehído) (Benzaldehído)

b. Químicas Ø Se oxidan hasta obtener ácido carboxílico. Ø Se reducen en presencia de LiAlH4 (NaBH 4) hasta el alcohol primario que le dio origen.

(a-metil butiraldehído) Cetonas Las cetonas contienen al grupo carbonilo (C=O), pero unido a dos grupos alquilo. Fórmula general

Nomenclatura Ø Sistema IUPAC •

R – CO – R

R – CO – R'

Simétrico

Asimétrico

SACO OLIVEROS

•

Se reemplaza la terminación O del hidrocarburo por ONA. Para la presencia de más grupos carbonilos se usarán las terminaciones: DIONA, TRIONA, etc., de acuerdo al número existente en la cadena.

240

Química •

Guía teórica IV

Ante la presencia de otros grupos funcionales de mayor jerarquía, este grupo será identificado con el prefijo OXO. Ejemplos CH 3 – CO – CH2 – CH3 (Butanona) CH 3 – CO – CH2 – CO – CH 3 (2, 4-pentadiona)

Propiedades a. Físicas Ø Son menos densas que el agua. Ø Son más polares que los aldehídos, por lo cual, su temperatura de ebullición es mayor que la de los aldehídos. Ø No forman enlace puente de hidrógeno. b. Químicas

(Ácido 3-oxo propanoico)

Ø No se oxidan. Ø Se obtienen por oxidación de un alcohol secundario.

Problemas resueltos 1. ¿Cuál de las alternativas es verdadera para el metanol? A) Llamado alcohol de caña. B) Se trata de un sólido, hierve a 78 ºC. C) No es disolvente de los aceites, grasas y resinas. D) El metanol, por oxidación, produce el aldehído fórmico (HCHO). E) El metanol no es tóxico, no ataca al nervio óptico. Resolución La oxidación de un alcohol produce un aldehído. Rpta.: D 2. Diga como verdadero (V) o falso (F) a las siguientes proposiciones:

Resolución I.

Falso

II. Falso

III. Falso Rpta.: D

3. ¿Cuál de las alternativas es verdadera con respecto a los éteres? A) Se les emplea como solventes inorgánicos. B) Se pueden obtener por oxidación de los alcoholes primarios. C) El metoxipropano tiene cinco átomos de carbono. D) El 2, 2-dimetil 3-metoxiheptano tiene cinco carbonos primarios. E) El éter dietílico hierve a 100 ºC. Resolución

Ø La acetona no es soluble en metanol. ( ) Ø Con la 2-propanona se logra apagar un incendio. ( ) Ø El CH3 – CH2 – CO – CH2 – CO – CH3 es el 3, 5-pentanodiona. ( ) A) VVV D) FFF

B) VVF E) FVF

C) FFV

SISTEMA HELICOIDAL

Rpta.: D

241

Química

Guía teórica IV

4. Indique la alternativa verdadera de acuerdo a las cetonas. A) Son combustibles. B) Para nombrarlos se le da la terminación “al”. C) Se obtiene por oxidación de alcoholes primarios. D) Las cetonas son sólidas volátiles, excepto la acetona que es gaseoso. E) Se oxidan con facilidad dando aldehídos.

A) B) C) D) E)

Tiene tres enlaces pi. Presenta catorce enlaces sigma. Tiene cuatro carbonos primarios. Es el 4-etil 4 etoxi 7-metil 2-noneno. Su fórmula global es C11 H28O 2 .

Resolución

Resolución Las acetonas son combustibles. Rpta.: A 5. ¿Cuál de las alternativas es verdadera para la siguiente molécula? O - C H2 - C H3

4-etil 4-etoxi 7-metil 2- noneno Rpta.: D

C H3 - C H = C H - C - C H 2 - C H 2 - C H -C H3 C H2 - C H3

SACO OLIVEROS

C H3

242

Química

Guía teórica IV

FUNCIONES OXIGENADAS II

29

Marco teórico ÁCIDOS CARBOXÍLICOS - ÉSTERES Fórmula general

Función Ácido carboxílico

Éster

Grupo funcional

Ejemplo

R – COOH

R – COOH – R'

Ácidos carboxílicos Compuestos orgánicos que tienen como grupo funcional al radical CARBOXILO o CARBOXÍLICO (–COOH).

CH 3 – COOH

CH 3 – COOH – C 2H5

Algunos ácidos mixtos CH3 – CHOH – COOH (Ác. láctico)

En forma natural se encuentra en animales y plantas.

(Ác. cítrico)

Fórmula general:

Ø Sistema IUPAC Ácido .......................... oico R: puede se alquilo o arilo 1. Nomenclatura Ø Sistema común Se refieren más a su origen. Ejemplos

(raíz) Ejemplos H – COOH COOH – COOH

(Ácido metanoico) (Ácido etanodioico)

COOH – CHOH – CH2 – COOH (Ácido hidroxibutanodioico)

H – COOH (Ácido fórmico) (latín ® formica = hormiga) CH3 – (CH2 )2 – COOH (Ácido butírico)

(Ácido 3-pentenoico)

(latín ® butyrum = mantequilla)

SISTEMA HELICOIDAL

243

Química 2. Tipos de ácidos

Guía teórica IV Fórmula general

a. Ácidos monocarboxílicos Presentan 1 grupo carboxílico y se dividen en: •

Ácidos inferiores Ácidos alifáticos de cadena corta. ìï Ác. propanoico CH 3 - CH 2 - COOH í ïî Ác. propiónico

•

Ácidos grasos Ácidos alifáticos de cadena larga. CH 3(CH2 )16COOH (Ác. octadecanoico)

1. Nomenclatura Se debe tener en cuenta los dos grupos presentes en el éster. Ø Para la parte proveniente del ácido se cambia la terminación ICO por ATO, previa eliminación de la palabra ácido. Ø Para la parte del grupo alcohólico o fenólico se usará la terminación ILO por ANOL. Ejemplos

b. Ácidos dicarboxílicos Presentan 2 grupos carboxílicos. COOH – CH2 – COOH

(Ácido propanodioico o ácido malónico) 3. Propiedades

Etanoato del metilo

(IUPAC)

Acetato de metilo

(común)

CH3 – COO – CH2 – CH3

Etanoato de etilo Acetato de etilo

a. Físicas Ø Son moléculas polares y forman enlaces puente hidrógeno. Ø Son solubles en solventes de baja polaridad (éter, alcohol, benceno, etc.). Ø Su punto de ebullición es mayor que la de los alcoholes.

2. Propiedades a. Físicas • • •

b. Químicas Ø Oxidan metales, formando sales y liberando H2. Ø Se neutralizan con los hidróxidos formándose sal orgánica y agua. Ésteres Los ésteres son derivados funcionales de los ácidos carboxílicos. Sustituyen al radical oxidrilo (OH) por un grupo –OR; donde R puede ser un grupo alquilo o arilo.

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En general, son sólidos y líquidos. La mayoría son reactivos y presentan olores agradables. Los de bajo peso molecular son excelentes disolventes para los compuestos no polares.

b. Químicas • • • •

Los glicéridos más comunes son los triglicéridos. Los triglicéridos a temperatura ambiente son sólidos y se les llama grasa. Los triglicéridos líquidos a temperatura ambiente se les llama aceites. La saponificación es una reacción de un éster con una base; para este caso el éster es una grasa.

244

Química

Guía teórica IV

Problemas resueltos 1. Cuando se combina ácido acético y metanol es posible formar un éster cuya masa molecular es (UNI 2000) A) 70 D) 76

B) 74 E) 70

C) 75

Resolución

4. Se obtiene ácido acético por oxidación del (UNMSM 1987) A) metanal. B) etanal. C) propanal. D) butanal. E) acetato de sodio. Resolución

CH3 – COOH + CH 3OH ® CH3 – COOCH3 M =12 × 3 + 1 × 6 + 2 × 16 = 74 CH3 – CHOCH3 – COOH

Rpta.: B 2. ¿Cuál es el grupo funcional de los ácidos carboxílicos? (UNAC 1995) A)

Rpta.: B 5. ¿Cuál de las funciones indicadas no corresponde al grupo funcional?

B)

C)

Función

D)

E) –OH Resolución Carboxilo ® COOH Rpta.: C 3. El acetato de octilo es un éter que tiene olor parecido a la naranja. ¿Cuál es su fórmula? (UNMSM 1989) A) CH 3 COOC8 H 13 C) HCOOC 7 H15 E) CH 3 COOC8 H 15

Grupo funcional

A

Alcohol

–OH

B

Cetona

–COH

C

Ácido

D

Aldehído

E

Amina

–COOH –CHO –NH2

Resolución Cetona ® Rpta.: C

B) CH 3 COOC8H 17 D) HCOOC 6 H13

Resolución CH 3 – COOC8 H 17

Rpta.: C

SISTEMA HELICOIDAL

245

Química

Guía teórica IV AMIDAS, AMINAS, NITRILOS Y SERIE BENCÉNICA 30

Marco teórico Amidas Derivan de ácidos carboxílicos y amoniaco. Son compuestos cuaternarios. Tienen el grupo acilo unido al nitrógeno trivalente.

Ejemplos CH3 – CO – NH 2 (etanamida) CH3 – CO – NH – CH2 – CH3 (N – metil propanamida)

Fórmula general

3. Propiedades

R – CO – NH 2

a. Físicas Ø Son sólidos, excepto la metanamida que es un líquido viscoso. Ø Tiene elevado punto de ebullición, superior a sus ácidos correspondientes. Ø Son de sabor dulce y son poco básicos.

1. Tipos de amidas a. Primaria:

R – CO – NH 2

b. Secundaria:

R – CO – NH – R'

c. Terciaria:

b. Químicas Ø Dan fácilmente reacciones de polimerización. Ø La amida más importante es la urea, que es un gran fertilizante. Ø A partir de la urea se producen materiales plásticos termoendurecidos llamados poliuretanos.

2. Nomenclatura Sistema IUPAC Se cambia la terminación OICO del ácido por AMIDA. Si existen otros grupos unidos al nitrógeno se indican con la letra N. Aminas Son alquilos o arilos derivados del amoniaco (NH 3). La sustitución de uno, dos o tres hidrógenos del NH3 da lugar a aminas primarias, secundarias y terciarias, respectivamente. Ejemplos Primaria : Secundaria : Terciaria :

R – NH2 R – NH – R'

Donde R, R', R'' pueden ser grupos alquilo o arilo. 1. Nomenclatura IUPAC La terminación O del alcano es cambiada por la de AMINA. CH3 – NH 2 (metil amina) CH3 – NH

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(metil fenil amina)

246

Química

Guía teórica IV

Para aminas más complejas se considera al grupo – NH2 como el grupo amino.

2. Propiedades a. Físicas Ø Son compuestos polares, por lo tanto, forman enlaces puente de hidrógeno. Ø La metalamina y la etilamina son gases. Ø Presenta propiedades básicas. Ø De la propilamina a nonilamina son líquidos, el resto son sólidos.

Ácido 3-amino propanoico

b. Químicas Ø Son básicas, por eso al reaccionar con un ácido forman sales. Ø Tienen comportamiento diferente con el ácido nitroso, según se trate de una amina primaria, secundaria o terciaria.

3-amino 1-butanol

Nitrilos Son compuestos ternarios. A los nitrilos o cianuros se les considera como derivados de los ácidos carboxílicos. Fórmula general R–CºN R : grupo alquilo o arilo 1. Nomenclatura Sistema IUPAC Se cambia la terminación ICO por NITRILO. En otros casos se considera como cianuro de alquino o arilo o también como cianoalcanos o arenos.

ì butanonitrilo ï CH 3 - (CH 2 ) - CN í cianuro de propilo ï cianopropano î 2. Propiedades Ø Ø Ø Ø

Líquidos incoloros de sabor agradable. Se utilizan como veneno. Alta temperatura de ebullución. Los nitrilos de bajo peso molecular son solubles en agua y líquidos a temperatura ambiente.

Ejemplos ì etanonitrilo (IUPAC) ï CH 3 - C º N í cianuro de metilo ï cianometano î

SISTEMA HELICOIDAL

247

Química

Guía teórica IV

CUADRO GENERAL DE LOS GRUPOS FUNCIONALES

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248

Química

Guía teórica IV

Problemas resueltos Resolución

1. Indique la relación incorrecta.

CH 3 – (CH2 )5 – CONH –

A) B) C) D) E)

N-metil heptanamida CH 3 CH2 CONH2 : Propanamida NH2 CONH2 : Urea CH 3 CH2 CH2 CN : Butanonitrilo CH 3 CH2 CH2 CH2 NH 2 : Pentanamida

Rpta.: C 4. Indique el nombre del siguiente compuesto:

Resolución CH 3CH 2CH 2 CH2 CH2 NH 2 es una amina. Rpta.: E 2. Indique el nombre IUPAC del siguiente compuesto: (UNALM 2002)

Cianuro pentano 3-metil butanonitrilo Butanonitrilo Cianuro butano Valeronitrilo

Resolución

CH 3 CH2 CH2 CONH2 A) B) C) D) E)

A) B) C) D) E)

Propanamida 1-butanamida Etanamida Butanamida Formamida

3-metil butanonitrilo Rpta.: B 5. Respecto a los nitrilos, indique la alternativa incorrecta.

Resolución Butanamida Rpta.: D 3. Indique el nombre de la siguiente amida: (UNALM 2003)

A) B) C) D) E)

Están formados por C, N y H. Posee el grupo funcional: –CN. Son venenosos. Butanonitrilo: CH3 CH2 CH2 CH2 CN. Se usa para fabricar fungicidas, insecticidas, etc.

Resolución A) B) C) D) E)

Pentanamida 1-metil hexanamida N-metil heptanamida N-metil metanamida Heptanamida

SISTEMA HELICOIDAL

Pentanonitrilo: CH 3 CH2 CH2 CH2 CN

Rpta.: D

249

Química

Guía teórica IV

COMPUESTOS AROMÁTICOS

31

Marco teórico HIDROCARBUROS AROMÁTICOS Son el benceno y todos los compuestos químicos de comportamiento similar. Las propiedades aromáticas (anillo estable de electrones resonantes) son las que lo diferencian de los hidrocarburos de cadena abierta (alifáticos). Los compuestos aromáticos se obtienen por destilación seca del alquitrán de hulla o por reformación catalítica de los hidrocarburos, generalmente hidrocarburos alicícliclos a partir del petróleo. Ejemplo Obtención de hidrocarburos aromáticos:

EL BENCENO (C6H6) El benceno (Teb=80 ºC y Tfus=5 ºC) es un líquido incoloro apolar inflamable y es componente básico de los hidrocarburos aromáticos; sus vapores son muy tóxicos, es menos denso que el agua, e insoluble en ella. Su uso se da en la elaboración de los polímeros y otros compuestos aromáticos como el tolueno; también es utilizado como solvente orgánico. El benceno fue descubierto por Faraday en 1826, poco después se estableció su fórmula global C 6 H6 y, en 1865, August Kekulé propuso que la mejor presentación del benceno que estaba acorde con la experiencia, sería una estructura anular es decir un compuesto resonante que consta de 6 átomos de carbono según:

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250

Química

Guía teórica IV

Aromaticidad Para que hoy se le considere aromáticoa un hidrocarburo debe cumplir las siguientes condiciones: 1. Su molécula debe ser cíclica y planar. 2. Todos lo átomos de carbono deben ser equivalentes y tener hibridización sp 2 . 3. Cumplir con la regla de Hückel. La regla de Hückel (1931), se aplica a sustancias de estructura planar, donde se establece que si el número de electrones del tipo "pi" es igual a: # e– p = 4 n + 2 n: cero o un número entero entonces la especie es aromática Ejemplo 1

Ejemplo 2

Uso: El benceno se usa como disolvente, para preparar anilina, nitrobenceno y negro de humo.

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Química

Guía teórica IV

Propiedades generales Propiedades físicas Es un líquido incoloro, de olor agradable, menos denso que el agua e insoluble en ella. Soluble en solventes orgánicos. Masa molecular

78

Punto de ebullición

80 °C

Punto de fusión

5,5 °C

Propiedades químicas 1. Combustión Es inflamable. Al aire libre arde con llama fuliginosa. Con suficiente oxígeno, la combustión completa se representa así:

2. Reacciones de sustitución A. Halogenación El hidrógeno es sustituido por cloro o bromo.

B. Nitración El hidrógeno es sustituido por el grupo nitro –NO 2.

Se utiliza una mezcla de ácido nítrico y sulfúrico concentrados

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Química

Guía teórica IV

C. Sulfonación El hidrógeno es sustituido por el grupo ácido sulfónico.

D. Reacción de Friedel-Crafts El hidrógeno es sustituido por un grupo alquílico o acílico.

3. Reacciones de adición A. Adición de hidrógeno

B. Adición cloro

Radical fenil

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Química

Guía teórica IV

Otros radicales

Derivados del benceno Monosustituidos

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254

Química

Guía teórica IV

Disustituidos A. Orto(o) Þ Posición (1, 2)

B. Meta(m) Þ Posición (1, 3)

C. Para(p) Þ Posición (1, 4)

Observación Para nombrar disustituidos y derivados con más de dos sustituyentes, se enumeran a los carbonos del benceno (1, 2, 3, 4, 5, 6) siendo la prioridad para estar en el carbono número 1.

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Química

Guía teórica IV Xilenos

Cresoles

Fenodioles

Otros

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Química

Guía teórica IV Polisustituidos

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Química

Guía teórica IV Polinucleares

Condensados Naftaleno (C10 H8)

Antraceno (C 14H10)

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Química

Guía teórica IV

Otros

Compuestos heterocíclicos Son compuestos cíclicos en cuyos anillos además de tener átomos de carbono poseen otros átomos diferentes formando parte de la estructura cíclica. En su mayoría son compuestos aromáticos como el benceno, incluso a condiciones de presión y temperatura estándar son líquidos. Las moléculas más comunes son cíclicas pentagonales o hexagonales que contienen al nitrógeno, oxígeno o azufre formando parte del anillo. Ejemplos

Observación: Estos tres compuestos son aromáticos (cada uno tiene 6 electrones "pi"). Además:

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259

Química

Guía teórica IV

Problemas resueltos 1. El 2, 4, 6-trinitrotolueno (TNT) es un explosivo muy potente. Indique el número de hidrógenos que presenta su molécula. (UNMSM 1985) A) 8 D) 5

B) 3 E) 12

B)

: Piridina

C)

: Pirrol

D)

: Imidazol

E)

: Furano

C) 9

Resolución

5 hidrógenos Rpta.: D 2. Indique el nombre del siguiente compuesto derivados del benceno:

Resolución

Furano A) Estireno C) Benzaldehído E) Ácido benzoico

Rpta.: E

B) Tolueno D) Fenol

4. Indique el nombre del siguiente derivado disustituido del benceno:

Resolución Benzaldehído Rpta.: C 3. ¿Cuál es la reacción incorrecta? A)

: Tiofeno

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A) o-clorofenol C) m-clorofenol E) m-clorobenceno

B) p-clorofenol D) hidroxibenceno

260

Química

Guía teórica IV

Resolución

Resolución

m-bromotolueno

1, 4-para p-clorofenol Rpta.: B 5. Relacione adecuadamente.

Naftaleno I.

a. Quinolina

II.

b. m-bromotolueno

III.

c. Naftaleno

A) Ic, IIb, IIIa C) Ib, IIc, IIIa E) Ia, IIc, IIb

B) Ib, IIa, IIIc D) Ia, IIb, IIIc

SISTEMA HELICOIDAL

Quinolina Rpta.: B

261

Química

Guía teórica IV

PETRÓLEO

32

Marco teórico El petróleo o aceite crudo se extrae de pozos perforados a grandes profundidades, en los estratos rocosos de la corteza terrestre. No se conoce con exactitud el origen del petróleo, pero se cree que es el resultado de procesos geológicos sobre la materia orgánica en descomposición. En la búsqueda de los depósitos de petróleo, los geólogos emplean muchas técnicas, pero la más importante es la que consiste en sondear las diferentes capas de roca con objeto de localizar la presencia de una corona o de una elevación redondeada en la cual pueda estar atrapado un depósito de petróleo. La forma aproximada de los estratos que contienen un depósito de petróleo se muestra en la Figura 1.

A pesar de que algunos compuestos de oxígeno, azufre y nitrógeno se encuentran en el petróleo, éste está compuesto principalmente, por una mezcla de hidrocarburos, los cuales se refinan, mediante el proceso llamado destilación fraccionada, para obtener productos útiles. Este proceso se basa en el hecho de que las volatilidades (y por lo tanto, las presiones de vapor) de los diferentes hidrocarburos varían inversamente con sus masas moleculares (Figura 2). Figura 2: Gráfica de los puntos de ebullición de hidrocarburos contra su masa molecular.

Figura 1: Depósito de petróleo

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Química

Guía teórica IV

Los compuestos que poseen menor masa molecular tienen mayor volatilidad y hierven a menor temperatura. Debido a que el enorme mercado del petróleo reside en la gran demanda de gases ligeros, gasolina, aceites combustibles, disolventes, aceites para motores, grasas, parafinas y asfalto, el aceite crudo se destila fraccionadamente para dar productos que tienen amplios márgenes de ebullición (tabla 1). A pesar de que dichos productos son aún bastante impuros tienen suficiente mercado y uso. Tabla 1: Fracciones comunes del petróleo

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263

Química

Guía teórica IV CONTAMINACIÓN AMBIENTAL

¿Cómo nos protege la capa de ozono? La transformación de oxígeno en ozono absorbe una gran cantidad de energía de la luz solar, especialmente de los rayos ultravioleta, lo que impide que los rayos lleguen a la superficie de la Tierra en cantidades compatibles para los seres vivos, plantas y animales. Los rayos ultravioleta en cantidades excesivas producen transtornos muy graves tales como: Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

Cáncer a la piel Cataratas en los ojos Herpes de la piel Mutaciones y destrucción de las semillas Destrucción del plancton marino Inhibición de la fotosíntesis Destrucción del proceso proteico de las plantas, etc.

Exceso de ozono Si bien el O3 es necesario en la estratósfera, el ozono formado por las reacciones entre diversos compuestos orgánicos e inorgánicos producidos (y también producto de reacciones en campos eléctricos), representa en el aire que respiramos un tipo de contaminación, pues, contribuye a la formación de smog urbano (una mezcla contaminante de niebla y humo). Cuando la concentración de ozono en el aire aumenta, se produce irritación en todo el tracto respiratorio.

El gas de clorofluorcarbonos destruye la capa de ozono permitiendo que la radiación UV llegue con toda su intensidad (no filtrada) a la superficie de la Tierra. Aerosoles caseros La fuerza impulsadora de la lata reside en una sustancia gaseosa que se encuentra a alta presión en su interior. La presión fuerza al líquido a salir por la válvula atomizadora cuando ésta se oprime. El líquido sale presionado a través de un reducidísimo orificio que produce el tamaño de partícula deseado. Se recomienda no exponer estas latas al fuego aún cuando estén vacías, ya que pueden explotar debido a las altas presiones que se generan con el calentamiento.

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Química

SISTEMA HELICOIDAL

Guía teórica IV

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Química

Guía teórica IV

En la actualidad, los problemas de degradación y contaminación del planeta en que vivimos han enfocado el pensamiento de cada vez más seres humanos en los recursos naturales e ideas relacionadas con la conservación de éstos. Es así que la ecología, jóven ciencia de poco más de cien años de existencia, se ha puesto de moda. ¿Qué es la ecología? La ecología es la ciencia que estudia las relaciones que existen entre los seres vivos y el medio en el que se desarrollan, sea éste un medio físico o biológico, la ecología estudia los ecosistemas. La palabra ecología deriva de las voces griegas: oikos casa, lugar donde se vive, y logos estudio, tratado. Esta palabra fue utilizada por primera vez, en 1869, por el biólogo alemán Ernst Haeckel. Un ecosistema es un sistema ecológico, es decir, una entidad circunscrita en el tiempo y espacio (sistema), que incluye no sólo todos los organismos que en ella habitan sino también las condiciones físicas del clima y del suelo, así como todas las interacciones de los organismos vivos entre sí y con las condiciones físicas (ecológico). Los ecosistemas pueden ser naturales (un bosque tropical) o artificiales (un acuario), inmensos (la cuenca del río Amazonas) o pequeños (la piel y pelo de un puma). Todo ecosistema es el producto de la interacción de dos tipos de factores: los elementos bióticos (elementos vivos que interactúan en el ecosistema con otros elementos) y los elementos abióticos (elementos no vivos que interactúan con otros elementos en el ecosistema: suelo, agua, radiación solar, humedad, temperatura, etc.). ¿Qué es contaminación? En términos generales, la contaminación se define como la introducción de sustancias dañinas (contaminantes) al ecosistema, generando efectos adversos. Un contaminante es todo elemento, compuesto o sustancia que se encuentra en exceso y de forma artificial en un determinado lugar. Esta definición incluye cambios térmicos. A) La importancia del oxígeno en los seres vivos Parte de la Tierra que nos rodea, los continentes, el agua y el aire, en conjunto contienen en promedio un 50% de oxígeno en masa. Cerca del 75% de la masa del cuerpo humano es agua (donde el oxígeno representa un 88%). En adición, el oxígeno gaseoso O2 , conforma cerca del 21% en volumen del aire seco en la atmósfera (tropósfera), y es indispensable para los seres vivos. El oxígeno es ligeramente soluble en agua: su solubilidad es 0,004 g/100 g de agua a temperatura ambiente. Pero ello es suficiente para la supervivencia de los peces y otros organismos marinos. B) La destrucción de la capa de ozono Ø El ozono El ozono O3 , es un gas inestable de color azul claro a temperatura ambiente. Se forma al hacer pasar una descarga eléctrica por O 2(g). El ozono tiene mayor densidad que el O2(g), y es un agente oxidante muy fuerte. El ozono se descompone con facilidad en el ambiente. 2O 3 ® 2(O2 +O•) ® 3O2 Los radicales de oxígeno (O•), que son átomos intermedios en esta reacción, tienen una gran capacidad para captar electrones por lo que actúan como fuertes oxidantes, siendo empleados en la destrucción de bacterias en el proceso de purificación del agua.

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Química

Guía teórica IV Ubicación de la capa de ozono en la atmósfera

La Tierra y su entorno pueden entonces ser divididos en las siguientes regiones: Ø Litósfera: Los suelos (continentes). Ø Hidrósfera: El agua (mares, lagos). Ø Atmósfera: Envoltura gaseosa que rodea de la Tierra. Esta contiene a su vez las siguientes subcapas: Tropóposfera Subcapa inferior (desde la superficie hasta unos 15 km de altura).Vivimos inmersos en ella. Hay aquí una concentración de CO2 y de vapor de agua mayor que en las otras subcapas. Estratósfera Subcapa intermedia (desde unos 15 hasta unos 50 km de altura). En su extremo inferior está ubicada la capa de ozono que rodea la Tierra a una altitud aproximado de 25 km (entre 25 y 40 km), según la latitud sobre el suelo terrestre y con un espesor entre 5 y 10 km. Aunque el ozono está presente en pequeñas cantidades, del orden de 10–6 ppm, su presencia es vital para la vida sobre la Tierra, porque absorbe la radiación ultravioleta (UV) en la longitud de onda (280-320 mm) que es dañina para los seres humanos y los ecosistemas. Ionósfera Subcapa superior (desde unos 50 km hasta unos 4000 km de altura). Contiene gases ionizados.

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267

Química

Guía teórica IV

Formación y destrucción del ozono en forma natural Como se muestra en el esquema siguiente, el proceso de formación ocurre en dos etapas. En la primera etapa la radiación ultravioleta rompe una molécula de O2 en dos átomos de O•. En la segunda y mediante la intervención de una fuente de energía, el átomo de O• reacciona en una molécula de O 2 para formar O 2. Las ecuaciones que representan estas reacciones son: 1. Radiación UV + O 2 ® O•+O• (Longitud de onda<0,242) 2. O• + O2 + Energía ® O 3 + Energía O• + O2 + Energía ® O3 + Energía

En el segundo proceso, el de destrucción natural, la radiación ultravioleta rompe la molécula de ozono en un átomo de O• y una molécula de O 2 es capaz de reaccionar con otra molécula de O3 para formar dos moléculas de O2 . Las ecuaciones que representan estas reacciones son: 1. Radiación UV + O 3 ® O• + O2

(Longitud de onda < 1,2)

2. O 3 + O• ® O 2 + O2

Neto: Radiación UV + 2O3 ® 3O 2 ¿Por qué se está agotando el ozono? La disminución de ozono observada se debe de manera importante a los radicales cloro (Cl•) y bromo (Br•) derivados de los llamados freones (CFC), halones (CFBC), tetracloruro de carbono (CCl 4) y cloroformo (CHCl 3) los cuales expuestos a los rayos UV se descomponen liberando los radicales cloro y bromo, que pueden destruir miles de moléculas de ozono o más, sin que ninguno de estos radicales desaparezcan. Los halógenos (flúor, cloro y bromo) alteran el equilibrio y reducen la cantidad de ozono en la atmósfera mediante la conversión de éste en moléculas de oxígeno. El proceso químico que destruye el ozono es el siguiente: i)

Cuando un compuesto clorado llega a la atmósfera por acción de los rayos ultravioletas el cloro se desprende de su molécula madre quedando como átomo de cloro.

ii) Luego, cuando este átomo de cloro choca con una molécula de ozono, el cloro se apodera de un átomo de oxígeno del ozono para formar un radical monóxido de cloro con la molécula de oxígeno. iii) Los radicales de monóxido de cloro que tienen un número impar de electrones son muy reactivos y cuando se encuentran con un átomo libre de oxígeno lo atraen y rompen el radical para generar una nueva molécula de oxígeno, quedando nuevamente libre el cloro para buscar otra molécula de ozono. iv) Cada átomo de cloro puede destruir hasta cien mil moléculas de ozono antes de perder su actividad o volver a la tropósfera, eliminarse en la atmósfera o formar compuestos estables.

SACO OLIVEROS

268

Química

Guía teórica IV

Problemas resueltos 1. Respecto a las propiedades del petróleo I. mineral (aceite de piedras) II. menos denso que el agua (flota en el agua) III. destilación fraccionada IV. insoluble y viscoso V. por decantación

3. Son procesos del petróleo posteriores a su refinación. I. Destilación III. Reforming

II. Cracking IV. Isomeración

A) I y II B) I y III D) II, III y IV E) Todas

C) I, II y III Rpta.: D

son incorrectas: A) sólo I D) II y V

B) sólo II C) sólo V E) II, IV y V Rpta.: D

2. Diga cuál de las siguientes proposiciones es verdadera (V) y cuál es falsa (F). Ø La refinación del petróleo consiste en la separación de sus componentes por una destilación simple de la mezcla líquida. ( ) Ø Mediante el cracking se rompen las cadenas en otras pequeñas y puede efectuarse a altas temperaturas o con catalizadoresa temperaturas relativamente baja (250 ºC). ( ) Ø La refinación del petróleo sólo permite obtener fracciones del petróleo que son mezclas de compuestos con puntos de ebullición cercanas, mas no compuestos completamente puros. ( ) A) VVV D) FFV

B) FVV E) FFF

C) VFV Rpta.: B

SISTEMA HELICOIDAL

4. ¿Cuál de las siguientes fuentes contribuye en mayor grado a la contaminación atmosférica de las ciudades más pobladas? A) Procesos industriales B) Quema de combustible en las plantas térmicas C) Eliminación de desechos sólidos D) Transporte E) Incendios urbanos Rpta.: D 5. ¿Con qué compuesto químico se puede tratar el agua para potabilizarla eliminando microorganismos? A) FeCl3 C) NH4Cl E) CO 2

B) Al 2(SO 4)3 D) NaClO

Resolución Hipoclorito de sodio = NaClO Rpta.: D

269

Biología

SACO OLIVEROS

Guía teórica IV

272

Biología

SISTEMAS RESPIRATORIOS Guía teórica IV (INTERCAMBIO GASEOSO) 25

Marco teórico SISTEMA RESPIRATORIO EN INVERTEBRADOS Poríferos: difusión. Celentéreos: difusión. Platelmintos: cutánea. Nematodos: cutánea. Gusanos cilíndricos no segmentados. Ø Anélidos: Gusanos de cuerpo cilíndrico anillado. Ø Lombriz de tierra (oligoqueto): cutánea. Ø Nereis (poliqueto): branquial (externa). Ø Ø Ø Ø

Ø Artrópodos:

Ø Moluscos Ø Moluscos terrestres: caracol (gasterópodo terrestre). Respiración cutánea: manto, ubicado en la cavidad paleal. La abertura de la cavidad neumostoma. Ø Moluscos acuáticos: respiración branquial: células ctenidias. Ø Equinodermos Ø Erizo de mar (equinoideo) y estrella de mar (asteroideo) presentan respiración branquial. El erizo de mar presenta branquias que son prolongaciones de la dermis que sobresalen del cuerpo a través de su exoesqueleto. Es muy delgada y húmeda. La estrella de mar presenta branquias dérmicas (pápulas). Los ofiuroideos presentan sacos bursales. Los holoturoideos presentan árboles respiratorios cloacales internos (branquias).

Ø Ø Ø Ø Ø

Crustáceos: branquial. Branquial interna: decápodos, cangrejo. Insectos: traqueal. Miriápodos: traqueal. Arácnidos: filotráqueas (pulmones sencillos).

SISTEMA HELICOIDAL

273

Biología

Guía teórica IV RESPIRACIÓN EN ANIMALES VERTEBRADOS

PECES

Función de la vejiga natatoria: Ø Actúa como órgano hidrostático, es decir, ajusta el peso específico del cuerpo a diferentes profundidades. Condrictios (esqueleto cartilaginoso) Se caracterizan por tener esqueleto cartilaginoso, además de tener de 5 a 6 hendiduras branquiales y un espiráculo; no presentan vejiga natatoria. Pertenecen a esta clase las quimeras, los tiburones y las rayas.

Ø Respiración branquial. Ø Las branquias presentan una elevada vascularización (color rojo). Ø El pez traga agua, la cual llega hasta las branquias donde se realiza la hematosis: (O 2 × CO2 ). Osteictios (Esqueleto óseo) ANFIBIOS Ø Anfibios larvarios (renacuajos): presentan branquias externas (salamandras acuáticas adultas) en forma de penachos, luego se transforman en branquias internas. Ø Anfibios adultos: Ø Branquias ubicadas en ventanas laterales de la faringe, están cubiertas por el opérculo. Ø Presentan vejiga natatoria (gaseosa): es un saco lleno de gases (O 2, CO 2), se comunica con la faringe mediante el conducto neumático (peces fisóstomos). En otros peces es independiente sin existencia del conducto neumático (peces fisoclistos). La vejiga natatoria consta de un órgano rojo que libera gases y un órgano blanco que absorbe gases.

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Ø Respiración pulmocutánea (anuros). Ø La cutánea es la más importante. Ø El aire ingresa por deglución (sus fosas nasales son muy estrechas). Ø Carecen de tráqueas. Ø Presentan un par de pulmones simples. Ø Los anuros presentan cuerdas vocales (órganos de fonación) que en la laringe se asocian a un par de sacos vocales y a un saco gutural.

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Biología

SISTEMA HELICOIDAL

Guía teórica IV

275

Biología

Guía teórica IV

REPTILES Ø Respiración pulmonar. Ø Los pulmones poseen tabiques. Ø En los ofidios sólo presentan pulmón derecho, el izquierdo está atrofiado. Ø Los camaleones (saurios) presentan sacos aéreos asociados a pulmones.

aparato respiratorio consta de una laringe, seguida de una larga tráquea de paredes con anillos osificados, en la región inferior de la cual aparece el ligero ensanchamiento de la siringe, órgano de emisión de los sonidos. La división de la tráquea origina los bronquios, que desembocan en unos pequeños pulmones de tabiques esponjosos y continúan hasta los sacos aéreos, de paredes muy delgadas. La función de estos sacos, distribuidos por todo el cuerpo consiste en la ventilación pulmonar, mediante la compresión de los músculos del tronco y extremidades, y asimismo en mantener el calor interno del animal, pues constituyen un colchón aéreo.

AVES El mecanismo de respiración de las aves difiere radicalmente del de cualquier otro vertebrado. El SISTEMA RESPIRATORIO EN HUMANOS I. Definición Es un conjunto de órganos encargados de conducir el aire y de realizar el intercambio entre el alveolo pulmonar y capilar sanguíneo. Está formado por la vía respiratoria y los pulmones. II. Estructura de las vías respiratorias 1. Fosas nasales a. Situación: Son dos cavidades que están ubicadas en la parte media de la cara por debajo del cráneo y sobre la cavidad oral.

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b. Límites Anterior: Aberturas nasales anteriores o narinas. Posterior: Aberturas nasales posteriores o coanas. Superior: Lámina cribosa del hueso etmoides. Inferior: Formado por los huesos maxilares superiores y palatinos. Laterales: Formado por las masas laterales del hueso etmoides (que contiene a los cornetes superior y medio), los cornetes inferiores que son huesos propios. Medial: Constituido por el tabique nasal; está formado por la lámina perpendicular del hueso etmoides, el hueso vómer o cartílago del tabique nasal. c. Regiones: Presenta tres regiones: • • •

Región vestibular: Se encuentra alrededor de las aberturas nasales anteriores y están revestidas por el epitelio poliestratificado plano no queratinizado. Región respiratoria: Es la zona más extensa de las fosas nasales está constituida por la mucosa respiratoria que presentan abundantes vasos sanguíneos. Región olfatoria: Se ubica en la parte superior de las fosas nasales y están revestidas por la mucosa olfatoria (mucosa pituitaria).

d. Funciones • • • •

Fiitran, atemperan y humedecen el aire inspirado. Limpian de impureza el aire. Captan estímulos olfatorios (región olfatoria). Actúan como cámara de resonancia en la emisión de la voz.

Observación Senos paranasales: Son cavidades óseas ubicadas en el interior de los huesos, esfenoides, etmoides frontal, maxilar superior, están revestidas por mucosa respiratoria, desembocan en las fosas nasales. 2. Faringe Este órgano fibromuscular de forma tubular se ubica detrás de las fosas nasales, de la cavidad oral y de la laringe, y por delante de las vértebras cervicales, posee 3 porciones: • • •

Rinofaringe o nasofaringe: Vía exclusivamente respiratoria. A este nivel desemboca la trompa de Eustaquio. (Mantiene equilibrio de presiones). Orofaringe o bucofaringe: Vía mixta respiratoria y digestiva. Laringofaringe: Vía exclusivamente digestiva.

Funciones • • •

Sirve como vía respiratoria para el pasaje de aire (nasofaringe y bucofaringe). Sirve como vía digestiva para el pasaje de alimentos (bucofaringe y larinofaringe). Depura el aire inspirado.

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3. Laringe Este órgano tubular se ubica por debajo del hueso hioides, delante de la laringofaringe y sobre el tráquea: se extiende desde la vértebra hasta la vértebra de 4,5 cm de longitud. Histológicamente presenta las siguientes capas: •

• •

•

Mucosa: Está formada por epitelio y lámina propia del tejido conectivo. Presenta dos pares de pliegues que se disponen en sentido anteroposterior. Las cuerdas vocales superiores (falsas) y las cuerdas vocales inferiores (verdaderas). El epitelio de la laringe está formado en su mayor parte por epitelio respiratorio, las cuerdas vocales verdaderas presentan un epitelio polietratificado plano no queratinizado. Muscular interna: Formada por los músculos intrínsecos. Cartilaginosa: Formada por tres cartílagos impares (epiglotis, tiroides y cricoides) y 3 cartílagos pares (aritenoides, corniculados o de Santorini y cuneiformes o de Wrisberg): estos cartílagos constituyen el esqueleto de la laringe. Muscular externa: Formada por los músculos extrínsecos.

Funciones • Es el órgano de la fonación. • Sirve para el pasaje del aire y la purifica. • Cierra la glotis durante la deglución.

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4. Tráquea Es un órgano tubular que se extiende desde la vértebra cervical número hasta la vértebra dorsal numero se ubica por delante del esófago y detrás del esternón de 10-12 cm de longitud, histológicamente presenta las siguientes capas: • Mucosa: Constituida por epitelio respiratorio y lámina propia de tejido conectivo. • Submucosa: Constituida por tejido conectivo. • Cartilaginosa: Formada por cartílagos de tipo hialino; en un número de 16 a 20 en forma de herradura dispuestos uno sobre otro. • Adventicia: Constituida por tejido conectivo. Función: Elimina impurezas del aire inspirado, además de ser vía de conducción.

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5. Bronquios principales Son dos conductos tubulares que resultan de la bifurcación de la tráquea, a nivel de la vértice presenta dos porciones: • •

Porción extrapulmonar: El bronquio derecho es más vertical, de menor longitud y de mayor calibre que el bronquio izquierdo. Porción intrapulmonar: Los bronquios principales o primarias ingresan a los pulmones y se dividen en bronquios lobares (el izquierdo en dos y el derecho en tres): a su vez cada bronquio lobar se divide en bronquios segmentarios (diez para el pulmón derecho y ocho para el izquierdo).

Histología • Porción extrapulmonar: Es similar al de la tráquea. • Porción intrapulmonar: Los cartílagos pierden su forma de herradura adoptando la forma de placas cóncavas que circundan los bronquios, y están unidos por músculo liso. Función: Vía de paso y depuración (de impurezas) del aire inspirado. 6. Bronquiolos Son estructuras que resultan de la ramificación de los bronquios. Los bronquiolos intralobulillares tienen un diámetro de 1 mm aproximadamente, cada uno ingresa a un lobulillo pulmonar donde se dividen en bronquiolos terminales terminando así las vías respiratorias. Histologia La mucosa está constituida por epitelio monoestratificado cilíndrico ciliado y lámina propia: la submucosa presenta fibras elásticas y musculares; y la adventicia es delgada; a diferencia de los bronquios los bronquiolos carecen de cartílago. Función: Vía de paso y purificación del aire inspirado. ÓRGANOS DE LA HEMATOSIS: PULMONES 1. Definición Son dos órganos blandos, esponjosos y elásticos que son esenciales para la respiración, localizado en la cavidad torácica, a ambos lados del corazón. Están apoyados sobre el músculo diafragma. Entre ellos se encuentra un espacio llamado mediastino. 2. Características Ø Peso: 600 g el pulmón derecho y 500 g el pulmón izquierdo. Ø Color: variable: rojo en el recién nacido y gris en el adulto. Ø Dimensiones: altura 25 cm, ancho 16 cm, espesor 10 cm el derecho y 7 cm en el izquierdo. 3. Morfología externa a. Caras • Cara externa o costal: Es convexa y está en relación con las costillas. • Cara interna o mediastínica: Es cóncava, está en relación con el corazón. La cara mediastínica presenta en el centro: el hilio pulmonar; por donde pasa el pediculo pulmonar que contiene el bronquio principal, la arteria pulmonar, la arteria bronquial, venas pulmonares, vasos linfáticos y nervios pulmonares.

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Biología •

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Cara inferior o diafragmática: Es cóncava y se, apoya sobre el músculo diafragma.

b. Cisuras y lóbulos pulmonares: El pulmón derecho presenta 2 surcos o cisuras (una oblicua y una horizontal) que lo divide en 3 lóbulos (superior, medio e inferior) y el pulmón izquierdo presenta 1 cisura que lo divide en 2 lóbulos (superior e inferior). 4. PLEURA Es una membrana serosa que envuelve cada pulmón para protegerlo y permitir el desplazamiento de los pulmones. Está formado por 2 hojas: Ø Hoja visceral: Adherida al pulmón en toda su extensión, excepto a nivel de hilio pulmonar. Ø Hoja parietal: Adherida a toda la superficie interna de la pared torácica. Entre las 2 hojas de la pleura se halla el espacio pleural que contiene líquido pleural. Plumones

Vértice Hoja parietal Espacio pleural Hoja visceral

Segmento apical Segmento Segmento anterior posterior LS

Cisura horizontal

Cara externa

Hilo plumonar

Lobulillo pulmonar

Lóbulo superior

medio

Lóbulo inferior

Borde anterior

Lóbulo inferior

Diafragma

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Borde posterior Cisura oblicua

Escotadura Lóbulo cardiaca

Cisura oblicua

Pleura

Língula Borde inferior

Cara interna Cara inferior (base)

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Guía teórica IV LOBULILLO PULMONAR

Es la unidad anatómica y funcional del pulmón. Tiene la forma de una pirámide de 1 cm3 . A cada lobulillo pulmonar ingresa un bronquiolo intralobulillar el cual se divide en: bronquiolos terminales, bronquiolos respiratorios, conductos alveolares y sacos alveolares.

Alveolos pulmonares Son pequeñas invaginaciones en forma de saco que se encuentran en sacos alveolares, conductos alveolares y bronquiolos respiratorios. Este es un lugar único donde es posible llevar a cabo el intercambio gaseoso. Se calcula que cada pulmón posee 300 millones de alveolos aproximadamente. Histología: Un alveolo presenta 3 tipos celulares: Ø Neumocito I: Son células epiteliales, las más abundantes. Forman la pared del alveolo. Ø Neumocito II: Son células epiteliales que elaboran las sustancia surfactante (agente tensioactivo) que impide el colapso alveolar durante la espiración. Ø Macrófago alveolar: Encargado de la fagocitosis de microorganismos y partículas de polvo. Son células de defensa. MEMBRANA ALVEOLO-CAPILAR La membrana respiratorio a través de la cual se realiza el intercambio gaseoso (O 2 y CO2 ) entre el aire alveolar y la sangre. Presenta 6 capas: 1. 2. 3. 4.

Sustancia surfactante que reviste el alveolo Epitelio alveolar Membrana basal del epitelio alveolar Espacio intersticial entre alveolo y capilar

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5. Membrana basal del endotelio capilar 6. Endotelio capilar 1 2 3 4 5 6

FISIOLOGÍA RESPIRATORIA 1. Ventilación: Comprende el aumento y disminución del volumen pulmonar con los movimientos de la caja torácica y del músculo diafragma. Fases: Una ventilación comprende 2 fases: a. Inspiración: Es la entrada de aire a los pulmones. Es un proceso activo porque intervienen los músculos inspiratorios. Se lleva a cabo cuando los músculos intercostales externos mueven la caja torácica hacia arriba y hacia fuera. Así mismo la contracción del diafragma aumenta el volumen pulmonar hacia abajo. b. Espiración: Es la salida de aire de los pulmones hacia el medio externo. Se lleva a cabo por simple relajación de los músculos que produjeron la inspiración anterior. La elasticidad del tórax disminuye así como el volumen torácico. 2. Intercambio de gases 1. Respiración externa o hematosis: Es el intercambio de gases el alveolo pulmonar y el capilar sanguíneo alveolar. El O 2 se difunde a la sangre y el CO2 se difunde a los alveolos. Nota: La difusión de un gas, ya sea en estado gaseoso o disuelto a un líquido se efectúa desde una región de mayor presión a una región de menor presión parcial. 2. Transporte de gases en la sangre •

El O 2 disuelto pasa a los eritrocitos y se combinan libremente con la hemoglobina para formar oxihemoglobina, que es la principal forma de transporte del en la sangre (dentro del entrocito). Hb + O 2 ® HbO 2

• •

Cuando al anhidrido carbónico (CO 2) se disuelve en la sangre se combina con el agua para formar el ácido carbónico, luego éste se disocia en iones hidrógeno y bicarbonato. La forma de transporte de que prevalece en la sangre es el ion bicarbonato. • •

CO2 + H2 O ® H 2 CO3

H 2CO 3 ® H+ + HCO –3

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3. Respiración interna (celular): Es el intercambio de gases de los tejidos. El O2 difunde del capilar tisular al espacio intersticial (extracelular) y el CO 2 se difunde del espacio intersticial al capilar tisular.

Preguntas resueltas 1. Anexos a los pulmones se encuentran los sacos aéreos y bronquios recurrentes y en otra clase de vertebrados se encuentran los pulmones lobulados. ¿A qué clase de vertebrados, respectivamente, caracterizan? (UNFV 1991) A) B) C) D) E)

Aves y mamíferos Reptiles y aves Peces y anfibios Anfibios y reptiles Mamíferos y aves

Sustentación Los pulmones de las aves presentan sacos aéreos que ayudan a la regulación de la temperatura del ave. Los mamíferos como el humano presenta pulmones lobulados, el pulmón derecho 3 lóbulos y el izquierdo 2. La envoltura de los pulmones se denomina pleura (visceral-parietal). Rpta.: A 2. ¿Cuál de las siguientes estructuras anatómicas no es parte de los órganos de las vías respiratorias de los mamíferos? (UNAC 2004-II) A) B) C) D) E)

La tráquea Las pleuras Los bronquios y los bronquiolos La boca y las fosas nasales La faringe

Sustentación La pleura es una membrana serosa que envueve cada pulmón para protegerla y permitir

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el desplazamiento de los pulmones. Está formada por dos hojas: Ø Visceral: Adherido a los pulmones excepto al hilio pulmonar. Ø Parietal: Adherido a toda superficie interna de la pared torácica. Rpta.: B 3. Durante la respiración no es recomendable aspirar por la boca, porque (UNFV 1999) A) está llena de vasos sanguíneos que calientan el aire. B) su mucosa se humedece el aire haciéndolo perjudicial. C) impide tomar todo el aire necesario. D) produce tos húmeda debido al aire seco y frío. E) no logra retener el polvo y gérmenes del aire. Sustentación En las fosas nasales, las vibrisas se encargan de retener el polvo que viene con el aire aspirado. En la boca no encontramos esa vibrisas. En la boca encontramos epitelios poliestratificado no queratinizado, que tapiza el interior de la cavidad bucal. Rpta.: E 4. La cavidad paleal se encuentra en A) tortugas. C) boas. E) aves.

B) caracoles. D) mamíferos.

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Biología

Guía teórica IV

Sustentación

Sustentación

En los caracoles, la cavidad paleal está cerrada y las paredes se han vascularizado y se han transformado en pulmón. Es ahí donde el caracol realiza el intercambio gaseoso. Su pigmento respiratorio es la hemocianina.

Los parabronquios son componentes del sistema respiratorio de las aves. La respiración en las aves es única y muy desarrollada. Una larga tráquea conduce la laringe hasta la base del cuello donde se encuentra la siringe en la cual se encuentra los músculos vocales. El árbol bronquial están penetrado longitudinalmente por espacios aéreos (parabronquios), que se abren en sacos aéreos distinguibles en paredes muy finas.

Rpta.: B 5. Los parabronquios se localizan en A) anfibios. C) salamandras. E) mamíferos.

B) sapos. D) aves.

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Rpta.: D

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SISTEMA DIGESTIVO ANIMAL

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Marco teórico SISTEMA DIGESTIVO DE ANIMALES INVERTEBRADOS Celentéreos En las hidras se presentan largos tentáculos que poseen cnidocitos (con nematocisto) con los cuales liberan neurotoxinas paralizantes para capturar la presa. Luego ingiere por la boca hasta la cavidad gastrovascular (o celenterón) donde se lleva a cabo la digestión a cargo del tejido gastrodérmico y luego la absorción de los nutrientes; los desechos no absorbidos se eliminan por la boca. Por tanto, dicha boca también funciona como ano (boca-ano). Platelmintos En las planarias, el sistema digestivo consta de una faringe evaginable (probóscide), boca ventral y tres ramas intestinales donde ocurre la digestión y absorción. Las tenias carecen de sistema digestivo, se nutren por difusión, tomando nutrientes de su hospedador.

Nematodos Muchos nemátodos de vida libre son carnívoros y se alimentan de pequeños metazoos, incluyendo otros nematodos. Otras especies son fitófagas. Bastantes formas marinas y dulceacuícolas se alimentan de diatomeas, algas, hongos y bacterias. Otros nematodos terrestres perforan células de las raíces vegetales para

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succionar su contenido. Además, hay parásitos intestinales en humanos, como oxiuros y lombriz intestinal. El tubo digestivo consta de boca, faringe succionadora, esófago y un largo intestino que termina en el ano, carecen de estómago. Poro excretorio

OXIURO

Esófago

Glandula rectal Intestino

Ano Recto Lumen de intestino

Moluscos Los gasterópodos presentan todo tipo de hábitos alimenticios (herbívoro, carroñero, parásito) y es común presentar en la boca la rádula (lengua con dientes quitinosos) como órgano raspador, excepto en los bivalvos, luego una faringe musculosa, esófago con buche, estómago e intestino que termina en ano. Además posee glándulas salivales y hepatopáncreas.

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Biología

Guía teórica IV

Artrópodos En los insectos encontramos boca provista de distintos aparatos bucales (estiletes, probóscides, maxilas aserradas, sifones, etc.). La faringe sirve como bomba chupadora, el esófago forma buche de almacén, el proventrículo de trituración (en alimentación de sólidos), el estómago secreta enzimas digestivas y con ciegos gástricos amplía la zona digestiva y absorción. El intestino absortivo posee, al final, una ampolla rectal para la absorción de agua. En los arácnidos, las enzimas digestivas son vertidas sobre sus presa muertas, de modo que las sustancias predigeridas son succionadas por músculos de la faringe, esófago o del estómago succionador. Los arácnidos tienen órganos a manera de dientes, denominados quelíceros, los cuales poseen glándulas venenosas. Dicho veneno puede ser neurotóxico (en la viuda negra) o hemolítico (loxoceles).

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Equinodermos El erizo de mar se alimenta principalmente de algas, mientras que las estrellas de mar son, principalmente, carnívoras y carroñeras. El sistema digestivo del erizo de mar se prolonga del lado oral al aboral (ventro-dorsal). En la boca presenta un órgano raspador llamado la linterna de Aristóteles, formado por cinco dientes quitinosos con mandíbula, al que sigue la faringe, el esófago y el estómago tubular, que desemboca en el intestino para terminar en el ano. En las estrellas de mar es característico el estómago evaginable, con lo que depreda sus presas.

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Guía teórica IV SISTEMA DIGESTIVO EN ANIMALES VERTEBRADOS

Condrictios Son principalmente carnívoros y su tubo digestivo se inicia con una boca ventral, dientes agudos, una lengua plana fija al suelo de la boca; le sigue una ancha faringe con aberturas laterales que conectan con las mandíbulas branquiales, esófago corto, estómago en J, el cual termina en la válvula pilórica, intestino con válvulas en espiral que reducen la velocidad de pasaje en los alimentos y favorecen la absorción. El gran hígado y páncreas desembocan en el intestino. Al final del intestino hay una glándula rectal para la eliminación de exceso de sales. El tubo digestivo termina en la cloaca.

Osteictios Su alimentación es diversa, existen carnívoros, herbívoros y filtradores. Su tubo digestivo se inicia con una boca terminal, no hay glándula salival, la lengua es pequeña en el suelo de la boca. La faringe se comunica hacia las branquias, donde se retienen las partículas suspendidas, estas partículas continúan por el esófago que es corto. El estómago curvo termina en la válvula pilórica, donde desembocan los ciegos pilóricos que secretan enzimas. El hígado y el páncreas desembocan en el intestino que termina en el ano.

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Guía teórica IV

Anfibios Las ranas y los sapos son carnívoros depredadores. Su alimento lo constituyen insectos, lombrices, arañas. Poseen una boca ancha provista de una lengua protráctil emergente fijada en su región anterior; la región posterior produce secreción y emerge para atrapar a las presas. Poseen dientes para evitar el escape del alimento. El tubo digestivo, que carece de diferenciación notoria (posee estómago tubular e intestino delgado y grueso), desemboca en la cloaca hacia donde llegan los restos de la alimentación que a su vez eliminan a través del ano. Poseen hígado y páncreas como glándulas rias. Los estados larvarios son normalmente herbívoros. Se alimentan de algas y otras materias vegetales, por lo cual tienen un tracto digestivo largo.

Reptiles Las tortugas son adontos, es decir, carecen de dientes, presentan un pico denominado ranfoteca. Los caimanes y los cocodrilos presentan dentición homodonta y estómago globular. El estómago globular es una cámara muscular que interviene en la trituración de los alimentos y en la digestión química. El intestino desemboca en la cloaca que se abre al exterior por medio de la abertura cloacal, también llamado ano. Presentan hígado y páncreas como glándulas anexas. Las serpientes heterodontas presentan colmillos, algunos asociados a una glándula venenosa, poseen boca con mandíbula adaptada para la deglución de grandes presas. El alimento es triturado a nivel de la cavidad estomacal y porciones terminales del esófago.

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Guía teórica IV

Aves La alimentación es diversa, desde granívoros, rapaces carnívoras y carroñeras. El tubo digestivo se inicia con la dilatación ranfoteca (pico córneo). Las granívoras presentan el buche, una dilatación esofágica que almacena temporalmente el alimento. El proventrículo (estómago anterior o glandular) secreta enzimas que realizan la digestión química de los alimentos. El ventrículo (estómago posterior o molleja) realiza la trituración de los alimentos. La cloaca actúa como una cámara común para los gametos, la orina y las heces; en ésta se mezclan la orina y las heces formando el guano. Presentan hígado y páncreas como glándulas anexas. Mamíferos Presentan tubo digestivo completo: la boca está provista de piezas dentales que varían de acuerdo a la nutrición. Mayor número de molares en los herbívoros; caninos desarrollados en los carnívoros. El tubo está provisto de glándulas anexas para una digestión extracelular, como las glándulas salivales, el hígado y el páncreas. La digestión se realiza en el estómago e intestino; la longitud intestinal es variable de acuerdo al alimento, por ejemplo, los herbívoros presentan intestino largo y los carnívoros un intestino. Los rumiantes (ciervo, oveja, jirafa, vaca) se caracterizan por presentar estómago tetralocular (dividido en cuatro cámaras): panza (rumen), bonete (redecilla), libro (omaso), cuajar (abomaso). En la panza y el bonete se almacena temporalmente el alimento, regresando a la boca; de la boca retorna al estómago pasando a tra-

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Guía teórica IV

vés del libro, al cuajar. El cuajar es el verdadero estómago de los rumiantes, porque secreta el jugo gástrico. La panza posee bacterias que degradan la celulosa y el libro absorbe agua, éste falta en los camellos y las vicuñas. La absorción de nutrientes se realiza en el intestino, éste finaliza en el ano. Los conejos y caballos son herbívoros no rumiantes, carecen de un estómago divido en cámaras y la fermentación de celulosa se realiza en un ciego cólico al inicio del intestino grueso.

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Guía teórica IV

Preguntas resueltas 1. La lengua dura con dientes quitinosos de los moluscos se llama A) rádula. C) quelícero. E) cnidocito.

B) celenterón. D) estilete.

Sustentación Las arañas, al no presentar dientes para despedazar a su presa, en su lugar, inyecta a través de los quelíceros, un veneno que no solo inmoviliza a la presa sino que además disuelve sus órganos. Después succiona el líquido resultante.

Sustentación En los moluscos, la lengua con pequeños dientes se llama rádula que le sirve para cortar y roer las hojas de las cuales se alimentan. Rpta.: A 2. La araña no tiene dientes para despedazar a su presa. ¿A través de qué estructura lo realiza? A) B) C) D) E)

Palpos labiales Lengua chupadora-lamedora Sifones Maxilar aserrada Quelíceros

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Rpta.: E 3. El órgano masticador del erizo de mar se le denomina A) B) C) D) E)

sifón. estómago pilórico. ciégos pilóricos. linterna de Aristóteles. proctodeo.

Sustentación Los erizos principalmente se alimentan de algas que las obtienen raspando con su aparato bucal. Los erizos regulares presentan una

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Biología

Guía teórica IV

estructura masticadora muy especializada llamada linterna de Aristóteles formada por 5 dientes quitinosos con mandíbula, al que sigue faringe, esófago y estómago tubular que desemboca en intestino para terminar en ano.

5. Invertebrados que carecen de sistema digestivo. A) Tenia C) Malagua E) Planaria

B) Hidra D) Araña

Rpta.: D Sustentación 4. Los primeros invertebrados en tener un sistema digestivo completo. A) Nemátodos C) Almejas E) Moluscos

B) Artrópodos D) Anélidos

Sustentación

Las tenias carecen de sistema digestivo, el cual absorben a través de todos sus segmentos o proglótidos, que se fijan al intestino del hospedador mediante unas ventosas de su escólex (cabeza). Rpta.: A

Los nematodos presentan una abertura oral (anteroterminal) y la abertura anal (subterminal), que puede faltar. Comprende un estomodeo (boca, cavidad bucal y faringe), un mesodeo (intestino medio) y un proctodeo (intestino terminal, que puede ser recto o cloaca). Rpta.: A

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GuíaHUMANO teórica IV SISTEMA DIGESTIVO 27

Marco teórico Definición Conjunto de órganos encargados de la digestión de los alimentos absorción de nutrientes y eliminación de los residuos en forma de materia fecal.

gestivas degradan las macromóculas alimenticias (almidón, proteínas, grasas) convirtiéndolas en nutrientes o micromoléculas alimenticias (glucosa, ácidos grasos, glicerol, aminoácido).

Digestión: Proceso químico donde enzimas di-

Componentes: tubo digestivo y glándulas anexas.

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Biología

Guía teórica IV

1. Tubo digestivo

Paladar

Ø Formado por los siguientes órganos huecos: boca, faringe, esófago, estómago, intestino delgado (duodeno, yeyuno, íleon), intestino grueso (ciego, colon ascendente, colon transverso, colon descendente, colon sigmoideo), recto, ano. Ø Longitud: 9-12 metros. Ø Se extiende desde la boca al ano. Ø En el interior del tubo digestivo se realiza la digestión de alimentos y la absorción de nutrientes.

Forma el techo de la boca y el piso de las fosas nasales. Constituido por el paladar duro y blando. 1. Paladar duro (=óseo, bóveda palatina) • • • •

Boca Ø Primera porción del tubo digestivo. Ø Cavidad de forma oval tapizado por epitelio, estratificado plano. Ø Localización: parte central e inferior de la cara. Ø Extensión: labios hasta el istmo de las fauces. Ø Porciones (=regiones). Ø La arcada dentaria: divide a la boca en dos porciones: 1. Vestíbulo: espacio comprendido entre la parte posterior de los labios y la parte anterior de los dientes. 2. Cavidad oral (=bucal): espacio comprendido entre la parte posterior de los dientes y el istmo de las fauces, las 2 porciones se comunican por el espacio retrodentario.

Observación 1. Labio de Habsurgo: labio inferior grueso. 2. Labio leporino (= hendido) es la unión incompleta del labio superior justo por debajo de la nariz. 3. Queilitis: labios inflamados, secos y agrietados. 4. Queilosis (= boqueras) heridas en comisuras labiales. 5. Síndrome de Kawasaki: labios secos y agrietados.

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La mucosa oral está adherida al hueso palatino y maxilares superiores. Abarca los 2/3 anteriores del paladar. Aplasta y deglute los alimentos masticados. Al paladar corto se le llama gótico que origina un lenguaje nasal llamado rinolalia (lalein: hablar).

2. Paladar blando (= membranoso, velo del paladar) • •

•

•

•

Abarca el 1/3 posterior del paladar. Acaba en un borde libre en cuyo centro se encuentra la úvula (= galillo, campanilla péndulo) constituida por el músculo estafilino. En lugar de un centro óseo presenta una capa muscular estriada (palatogloso, palatofaringeo, periestafilino). La cara oral está constituida por epitelio estratificado plano no queratinizado y su cara nasal tanto del paladar duro como el blando posee una mucosa con epitelio pseudoestratificado cilíndrico ciliado. En la lámina propia y submucosa se encuentran “glándulas palatinas” (glándulas salivales del tipo mucoso).

Funciones de la boca 1. Ingestión, masticación, insalivación formación del bolo alimenticio y deglución. 2. Inicia digestión del almidón gracias a ptialina.

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Biología

Dientes Ø Órganos blanquecinos duros. Ø Engastados (implantados) en la odontoteca (alveolo dentario) de maxilares mediante un tipo de sinartrosis (articulación inmóvil) llamado gonfosis. Ø Porciones: raíz, cuello, corona (anatómica y clínica) Ø Capas: esmalte, dentina, cemento, pulpa dentaria. Esmalte Ø Ø Ø Ø Ø

Llamada sustancia adamantina. Origen: ectodermo. Capa más externa semitranslúcida. Tejido más duro del organismo. Se une a la dentina mediante la unión amelodentinal y se une con el cemento mediante la línea cervical.

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Guía teórica IV

Ø Composición química: Sustancias inorgánicas: Sales de calcio bajo la forma de fosfatos (97%) y se encuentra como cristales alargados y hexagonales del hidroxiapatita: Ca(PO4 )3 OH. Sustancias orgánicas (3%) • •

•

•

El esmalte en desarrollo presenta proteínas: amelogenina, enamelina. Prisma (=bastón): Unidad histológica del esmalte constituida por un gran número de cristales de hidroxiapatita. Células: Ameloblastos (=adamantablastos, gonoblastos) cuya prolongación se llama proceso de Tomes. Presenta 2 tipos de líneas de incremento: (= líneas) estrías de Retzius y líneas de Hunter- Schreger.

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Biología

Guía teórica IV

Dentina Ø Ø Ø Ø Ø Ø

También llamada marfil, sustancia ebúrnea. Tejido más duro que el hueso pero menos duro que el esmalte. Sustancia que da al diente el color blanco amarillento (= marfil). Origen: mesodermo. Composición química: 72-80% de cristales de hidroxiapatita, colágeno I, glucoproteínas. Células: odontoblastos (=dentinoblastos) que revisten la superficie interna de la dentina separándola de la cavidad pulpar, también hay odontoclastos (resorción de dientes de leche).

Pulpa dentaria Ø Origen: mesodermo. Ø Ocupa la cavidad pulpar. Ø En el adolescente está constituido por tejido conectivo mucoso y en el adulto por tejido conectivo laxo. Ø Muy vascularizada e inervada. Ø Células: fibroblastos estrellados, odontoblastos, macrófagos plasmocitos. Ø Fibra de Korff: fibra de reticulina de la periferie de la pulpa que penetra a la dentina. Ø Plexo de Raschkow: agrupación de fibras nerviosas en la pulpa (zona basal de Weil). Cemento Ø Origen: mesodermo. Ø Semejante al hueso pero no hay osteonas cubre la dentina de la raíz; su superior es acelular y su 1/3 inferior es celular (= cementoblastos), son células óseas. Ligamento periodontal Ø Periostio modificado. Ø Constituido por tejido conectivo denso. Ø Une hueso alveolar y diente. Encía (=gingiva, periodonto de protección). Ø Lámina propia de tejido conectivo denso y epitelio estratificado plano con mucha irrigación (color), porción rojiza engrosada de la mucosa bucal, se adhiere al cuello del diente. Ø Líneas de Burton: son líneas azules de las encías que aparecen por intoxicación con plomo. Ø Une hueso alveolar y diente. El ser humano es: 1. Difiodonto: presentando dos denticiones: temporal (20 dientes) y permanente (32). 2. Heterodonto: dientes diferentes, siendo: haplodonto (dientes simples ubicados en la posición anterior) y bunodonto (dientes complejos con cúspides ubicada en la posición posterior). 3. Tecodonto: dientes que se alojan en el alveolo dentario. 4. Pleurodonto: dientes se implantan en los maxilares mediante la interposición de un tejido blando: el ligamento periodontal. 5. Anisognato: diferencia de forma que existe entre los dientes homólogos de los arcos opuestos.

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Biología Tipos de dientes

Fórmula dentaria

Dentición (= odontosis). Ser humano es difiodonte presentando:

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Guía teórica IV Ø D. Temporal (D. de leche, caducos): Aparecen a los 6 meses (incisivos centrales inferiores) y caen a 6, 12 ó 13 años (resorción de odontoblastos) son 20 dientes. Ø D. Permanente: Son 32, aparecen a los 6 años y son: • Incisivos (= cuneiformes, dens Acutus, dens tomici). • Caninos (= cúspides, dens angularis) Conserva la expresión facial. • Premolares (= bicúspide, falso molar). • Molares (= multicúspide, muela, dens columellaris). • Tercer molar (muela del juicio, dens serotinus, dens sapientiae). Aparece entre los 18 y 25 años. Ø Odontogénesis: Proceso de formación de dientes a partir de la sexta semana de la vida embrionaria y al cuarto mes se realiza la calcificación. Ø Ortodoncia: Prevenir y corregir la mala formación de dientes.

300

Biología Posibles alteraciones Ø Sarro: capa de sales de Ca derivado de la saliva. Ø Caries: perforación del esmalte, dentina y putrefacción de la pulpa y esto debido a la acidez liberada por bacterias. Ø Gingivitis: inflamación de encías. Ø Escorbuto: inflamación, ulceración y sangrado de las encías. Ø Dientes de Hutchinson: dientes en forma de serrucho propio de sifilítico. Ø Odontalgia: dolor de dientes. Ø Gonfiasis: flojedad de dientes. Ø Odontotopsis: caída de dientes. Ø Odontoclasis: fractura de dientes. Ø Odaxesmo: prurito de las encías ante la erupción de dientes. Faringe Ø Voz griega: pharygs (faringe). Órgano tubular. Ø Tubo fibromuscular (= muscular membranoso). Ø Longitud: 14 cm. Ø Se extiende desde la base del cráneo hasta el nivel de la vértebra C 6 (borde inferior del cartílago cricoides). Comunicaciones Con las fosas nasales: coanas. Con el oído medio: trompa de Eustaquio. Con la cavidad oral: istmo de las fauces. Con la laringe: aditus laringeo. Con el esófago: aditus esofágico. Porciones: Rinofaringe, orofaringe, laringofaringe. Ø Pared: mucosa, submucosa y muscular. Ø Capa muscular: consta de los siguientes músculos: constrictores (capa externa), superior, medio inferior, salpingofaríngeo, estilofaríngeo, palatofaríngeo (capa interna): importante en la deglución.

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Guía teórica IV 1. Rinofaringe Ø Epifaringe, nasofaringe, faringe nasal. Ø Se encuentra por detrás de las fosas nasales y se comunica con esta a través de las coanas. Ø Se extiende desde la base del cráneo hasta el velo del paladar. Ø En la pared posterior se encuentra la amígdala faríngea (= tonsila faríngea). Ø Desarrollado en la infancia y después de la pubertad involuciona. Su inflamación origina adenoides (produce obstrucción respiratoria). Ø En la pared lateral se encuentra: • Orificio de la trompa de Eustaquio. (=trompa faringotimpánica, tubo auditivo). • Fosita de Rosenmüller: depresión ocupada por tejido linfático. Ubicada al lado de la abertura de la trompa de Eustaquio. • Amígdala de Gerlach (=Luschka, tubárica). Ø Importancia: vía respiratoria. Ø Mucosa: epitelio respiratorio. 2. Orofaringe Ø Bucofaringe. Ø Se ubica detrás de la cavidad oral y se comunica con este a través del istmo de la fauces. Ø Se extiende desde el velo del paladar hasta la altura del hueso hioides. Ø En sus paredes laterales se localiza la amígdala palatina (faucial). Ø Importancia: vía respiratoria y digestiva a la vez. Ø Mucosa: epitelio poliestratificado plano no queratinizado. 3. Laringofaringe Ø Hipofaringe, retrofaringe. Ø Se localiza detrás de la laringe, se comunica con esta a través del aditus laringeo y está por encima del esófago a través del aditus esofágico.

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Biología Ø Se extiende desde el hueso hioides hasta la C 6 . Ø Importanca: vía digestiva.

Guía teórica IV Ø Estrechamientos Resultan de la compresión que ejercen las estructuras vecinas al esófago y son: 1. Cnicoideo: (superior) 2. Aórtico bronquial: (bronco aórtico) 3. Diafragmático:

Esófago Ø Porción tubular músculo membranoso de luz irregular (estrecho) cuando está vacío debido a los pliegues longitudinales de su mucosa y submucosa. Ø Comunica faringe con estómago. Ø Ubicación: detrás de la tráquea y delante de la columna vertebral. Ø Límites: • Superior: 6.ª vértebra cervical (borde inferior del cricoides). • Inferior: 11.ª vértebra dorsal (altura del cardias). Ø Longitud: 25 cm (2 cm más corto en las mujeres). Ø Porciones: (segmentos) 1. Cervical: del cricoides a la horquilla esternal (depresión semilunar en el extremo superior del esternón). 2. Torácica: de la horquilla esternal al diafragma. 3. Diafragmática: corresponde al hiato esofágico (orificio del diafragma a nivel de D 12 por donde pasa el esófago). 4. Abdominal: del diafragma al cardias.

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• Esfínteres: a. Esofágico superior b. Esofágico inferior (cardiaco) Estómago Ø Etimología Voz latina: ventriculus Voz griega: gaster Sinónimo: gastro, mesodeo Estando vacío, tiene forma de jota (J). Muy distensible, móvil sin posición fija. Situado en epigástrico, hipocondrio izquierdo por debajo del diafragma, hígado y por encima del colon transverso ubicado entre el esófago y el intestino delgado. Ø Dimensiones: 25 × 12 × 18 cm. Ø Límites 1. Superior: cardias 2. Inferior: píloro Ø Ø Ø Ø

302

Biología Ø Caras: anterior y posterior Ø Curvaturas 1. Mayor (= izquierda) más larga y convexa. 2. Menor (= derecha) corta y cóncava, presenta una escotadura (= depresión) llamada escotadura pilórica (= incisura angular). Ø Regiones: Presenta cuatro: 1. Zona cardial • Parte más fija del estómago. • En su mucosa hay transición de epitelios. • Presenta en la lámina propia “glándulas cardiales”. 2. Fondo (= fundus, tuberosidad mayor). • • •

Parte más alta y ancha del estómago. Contiene aire deglutido (50 mL) es decir es una cámara de gas. Presenta glándulas gástricas fúndicas.

3. Cuerpo • • •

Porción principal de mayor tamaño. Presenta glándulas gástricas fúndicas. Lugar donde se forma el quimo.

Funciones del estómago 1. Depósito (=almacén) transitorio de alimentos deglutidos por 3 horas. 2. Elabora y librea el jugo gástrico (promedio 1500 ml/24 horas. pH = 1,5), que al mezclarse con el bolo alimenticio se forma una masa (papilla) semilíquida llamada quimo (griego chymos = jugo). 3. Elabora y libera moco con bicarbonato (HCO3 ) por lo que protege de la mucosa de la acción corrosiva del HCl. 4. Desinfección de alimentos gracias al HCl. La secreción del HCl, además, activa al pepsinógeno, desnaturaliza proteínas, inhibe la secreción de gastrina, estimula la secreción de secretina y CCC (colicistocinina). Gastrina, histamina y acetilcolina (liberada

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Guía teórica IV por parasimpático). 5. Inicia la digestión de las proteínas alimenticias gracias a la pepsina. 6. Degrada en forma débil a las grasas de la leche debido a la lipasa gástrica (= tributirasa). 7. Coagula la leche degradando a la casena gracias a la renina (=cuajo, fermento laboratorio, quimosina). 8. Antianémica, gracias al FIC que al reaccionar con la vitamina B12 (FEC) se forma el factor antianémico (= maduración, eritroblástica) que luego es absorbida en el íleon evitando así la anemia perniciosa. 9. Endocrina, donde la célula G elabora la hormona gastrina que estimula la motividad gástrica, mayor secreción del CHI, contrae el cardias relajo el píloro (favorece el vaciamiento gástrico) estimula la secreción de pepsinógeno. 10. Lugar donde se absorbe agua, electrolitos alcohol y algunos fármacos (aspirina).

Intestino delgado Es una porción del tubo digestivo que mide, aproximadamente siete metros de largo, va desde el píloro hasta la válvula ileocecal. Se divide en dos partes: Ø Duodeno Es la porción inicial del intestino delgado. Límites y dimensiones: Comienza con el píloro y finaliza en el ángulo duodeno-yeyunal (de Treitz). La longitud es de 25 cm. Su calibre mide 3-4 cm. Forma y configuración externa: Tiene forma de letra C. Se divide en cuatro porciones: Primera porción o bulbo duodenal. Segunda porción es descendente y vertical. Tercera porción dirigida horizontalmente y describiendo una curva cóncava hacia arriba.

303

Biología

Guía teórica IV Función

Cuarta porción, es ascendente y termina en el ángulo duodeno-yeyunal.

a. Motora: Existen contracciones de mezcla y contracciones de propulsión para procesar los alimentos. b. Secretora: Elabora el jugo intestinal que contiene enzimas digestivas. c. Digestiva: A cargo de la bilis; jugo pancreático y jugo intestinal. d. Absorción: De los productos finales de la digestión.

Configuracion interna La superficie interna del duodeno presenta una serie de pliegues; en la segunda porción, se ubican dos formaciones: la carúncula mayor donde desemboca la ampolla de Vater y la carúncula menor donde desemboca el conducto de Santorini. •

Yeyuno, íleon Se extiende del duodeno al ciego. Comienzo en el ángulo de Treitz y termina en la válvula ileocecal.

Dimensión: Aproximadamente 6,5 m en total: yeyuno (2,5) e íleon (4 m). Su diámetro es de 2,5 cm. Configuración externa: Desde su origen hasta que finaliza describe de quince a dieciséis asas intestinales. La superficie interna del intestino delgado presenta abundantes pliegues que se denominan válvulas conniventes, dichas estructuras, están formadas por mucosa y submucosa. En toda la válvula connivente se disponen las vellosidades intestinales que está formada por lámina propia y epitelio. La presencia de estas estructuras es para ampliar la superficie intestinal para absorber los nutrientes.

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Intestino grueso Es la última porción del tubo digestivo. Se extiende desde la válvula ileocecal al ano. Tiene una longitud de 1,5 m. Partes Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

Ciego (se prolonga con el apéndice cecal) Colon ascendente Colon transverso Colon descendente Colon sigmoides Recto Conducto anal

Función Ø Absorción de agua y electrolitos. Ø Formación y almacenamiento de las heces fecales. Ø Síntesis de la vitamina K.

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Biología 2. Glándulas anexas al tubo digestivo Glándulas salivales Son glándulas exocrinas que elaboran y secretan saliva. Tipos A. Glándulas salivales menores: Son pequeñas glándulas que se localizan en la lengua, labios, carrillos y paladar, elaboran el 15% de saliva. B. Glándulas salivales mayores: Son tres pares de grandes glándulas: parótidas, submaxilares y subliguales. Elaboran el 95% de saliva. •

•

•

Glándulas parótidas: Se ubican delante y debajo del pabellón auricular. Pesan 30 g. A través de los conductos de Stenon que desembocan a nivel del segundo molar superior vierten una saliva tipo serosa elaboran el 20% de saliva. Glándulas submaxilares: Se ubican frente a la cara interna del cuerpo del maxilar inferior. Pesan 8 g. A través de los conductos de Wharton que desembocan en el piso de la boca, adyacente al frenillo lingual vierten una salida tipo seromucosa. Elaboran el 70% de saliva. Glándulas sublinguales: Se ubican debajo de la mucosa del piso de la boca. Pesan 3 g. A través de los conductos de Rivinus que desembocan detrás de los orificios de los conductos de Wharton vierten una saliva tipo mucoserosa. Elaboran el 5% de saliva.

Saliva A. Volúmenes: 1-1,5 L/día B. pH: 6-7,4

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Guía teórica IV C. Composición Ø Agua (99% volumen) Ø Solutos (1% volumen) • Proteínas: Ptialina o a–amilasa salival y lisozima. • Glucoproteínas: Mucinas (lubrican la comida y protegen la mucosa bucal). • Electrolitos: Na+ , K+ , Cl– y HCO3– D. Funciones Ø Facilita la deglución. Ø Conserva la humedad de la boca. Ø Solvente para moléculas que estimulan las papilas gustativas. Ø Defensa a través de la lisozima (bactericida). Ø Digestión de almidón. Páncreas 1. Situación: En el epigástrico e hipocondrio izquierdo, detrás del estómago, entre el asa duodenal y el bazo. 2. Forma: Alargada y lobulada. 3. Color: Gris amarillento. 4. Peso: 70 g. 5. Dimensiones: 18,4 × 5,2 × 5 cm. 6. Partes: Cabeza, cuello, cuerpo y cola. 7. Estructura: a. Páncreas exocrino: Constituido por los ácinos pancreáticos (99% del peso). Elaboran jugo pancreático. b. Páncreas endocrino: Constituido por los islotes de Langerhans (1% del peso). Elaboran hormonas. Ø Jugo pancreático: • Volumen: 1,5 L/día • pH = 8 (alcalino)

305

Biología •

Composición: • Agua • Enzimas digestivas • Electrolitos: NCO 3– , Na +, K+ , Ca++

Guía teórica IV Definición –

Cl

SO 4– ,

Vías biliares 1. Vías biliares intrahepáticas • Canalículos biliares • Colangiolos o conductos de Hering • Conductos biliares 2. Vías biliares extrahepáticas • Conducto hepático izquierdo • Conducto hepático derecho • Conducto hepático común • Conducto cístico • Conducto colédoco • Vesícula biliar • Vesícula biliar A. Situación: En la fosita cística, en la cara póstero-inferior del hígado. B. Capacidad: 30-60 ml. C. Forma: Órgano hueco piriforme (pera). D. Partes: Fondo, cuerpo y cuello. E. Histología: •

• • F.

Mucosa: Formada por epitelio cilíndrico simple con microvellosidades y lámina propia de tejido conectivo laxo. Muscular externa: De tejido muscular liso. Adventicia y serosa.

Función: La bilis almacenada en la vesícula biliar es concentrada por reabsorción parcial de las sales y agua que contiene.

Hígado Etimología: griego hepar: hígado, latín ficatum: hígado

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Glándula mixta, víscera más grande (voluminosa) del organismo, es un órgano blando, liso, brillante, friable (se desgarra o aplasta fácilmente), maleable (se acomoda o amolda a su espacio). Produce bilis. Localización: Hipocondrio derecho y parte del epigastrio, es decir en la parte superior y derecha del abdomen por debajo del diafragma. Color: Rojo pardo (vinoso). Peso: Corresponde a 1/50 del peso del adulto. 1500 gramos (cadavérico) y 2200 gramos con sangre fisiológica. Tamaño: 28 × 20 × 8 cm. Cuando aumenta de tamaño se llama hepatomegalia. Medios de fijación: El hígado mantiene su posición gracias a la presión abdominal ejercida por las vísceras adyacentes, epiplón (= omento) menor, vena cava inferior y ligamentos coronario, triangulares, falciforme y redondo. Bilis Ø pH: 7,0-7,6 Ø Composición: • Agua • Pigmentos biliares • Sales inorgánicas

• Sales biliares • Colesterol

Histología del hígado El hígado está formado por el estroma y parénquima. 1. Estroma Constituido por tejido conectivo que da consistencia y forma al hígado, además, sirve como vía de para vasos nervios y conducto excretor. Comprende a la cápsula de Glisson y espacioporta. La cápsula de Glisson es la envoltura del hígado y está formada por tejido conectivo denso y mesotelio.

306

Biología El espacio porta (= espacio de Kiernan, raicilla portal), presenta tejido conectivo y la tetrada portal (vaso linfático, vénula, anteriola, conducto biliar). 2. Parénquima: Constituida por hepatocitos que se agrupan en columnas de Remak, las endoteliales, células de Kupffer, células de Ito. Los hepatocitos son las células epiteliales del hígado. Son células poliédricas cúbicas con microvellosidades constituidas por: microcuerpos, golgisomas, mitocondrias, inclusiones de glucógeno, grasa, lisosoma (=cuerpo peribiliar), entre dos hepatocios se presenta los canalículos biliares.

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Guía teórica IV Lobulillo hepático (= hepatones) Unidad del hígado. Según la disposición de los hepatocitos existen 3 tipos de lobulillos: 1. Lobulillo clásico: (unidad anatómica) Tradicional, bien delimitado en el cerdo, forma de prisma hexagonal, las columnas de Remak se disponen alrededor de la vena central, entre las columnas de Remak se presenta los capilares sinusoides hepáticos de calibre desigual cuyas paredes están constituidas por células (no membrana basal) endoteliales y células de Kupffer; las

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Biología células endoteliales presenta poros (= fenestras, poros de Hans-Elips), entre la pared del sinusoide y las columnas de Remak se presenta el espacio de Disse (= espacio perisinusoidal) que está llena de linfa y células de Ito (adipocito). 2. Lobulino portal: (unidad glandular) Forma de prisma triangular constituido por columnas de Remak que se disponen alrededor de un espacio porta, los vértices corresponde a venas centrales. Este lobulillo es importante para destacar las secreciones de bilis. 3. Acino hepático: (= acino de Rappaport) unidad funcional forma romboidal, las columnas de Remak se disponen alrededor de ramas laterales de la centrales y dos espacios porta, este lobulillo presenta tres zonas: I.

Recibe abundante irrigación se encarga de la glucogénesis. II. Irrigación sanguínea moderada sintetiza urea. III. Escaza irrigación sanguínea produce la detoxificación de alcohol, medicamento.

Guía teórica IV b. Glucogenólisis: El glucógeno almacenado en el hígado se degrada formando glucosa que ingresa a sangre y de ahí a las células. Se da cuando la glicemia es baja y se realiza generalmente entre comidas. c. Gluconeogénesis: La glucosa se forma a partir de aminoácido, glicerol, lactato, triglicéridos. Se da cuando la glicemia es baja, además, la reserva corporal de glucosa ha disminuido debido a ayunos prolongados. d. Glucólisis: Catabolismo de la glucosa para obtener ATP. 2. Metabolismo de proteínas Los aminoácidos observados del intestino delgado llegan al hígado para elaborar proteínas tales como: albúmina (proteína plasmática que mantiene la presión oncótica), globulinas, fibrinógeno, factores de la coagulación (I, II, V, VII, IX, X) que participan en la hemostasia, enzimas. 3. Metabolismo de lípidos

Es el laboratorio central del cuerpo, presenta 100 funciones.

El hígado usa las grasas alimenticias (colesterol, triglicéridos, fosfolípidos) para formar lipoproteínas que ingresan a sangre, transportándose al tejido adiposo.

1. Metabolismo de glúcidos: Importante para mantener la glicemia (concentración de glucosa en sangre).

• • •

Fisiología del hígado

a. Glucogénesis:(= glucogenogénesis), monómeros de glucosa se unen formando glucógeno. Se da cuando la glicemia es alta. El cuerpo almacena 500 g de glucógeno, 25% en el hígado y 75% en músculos.

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Para formar ATP. Para formar glicerol. Se sintetiza colesterol a partir de glúcidos.

Este colesterol es usado para formar sales biliares, formar parte de membranas celulares, para formar hormonas esteroideas. •

Inactiva estrógenos.

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Biología 4. Función excretora •

•

•

En el hígado se forma urea (sustancia menos tóxica) a partir del amoniaco (sustancia tóxica que proviene de la desaminación o degradación de aminoácidos), luego la urea pasará al riñón y será eliminada con la orina. El amoniaco también se forma de flora bacteriana. El hígado elabora ácido úrico (sustancia de desecho) a partir de bases nitrogenados (purinas). Este ácido también será excretado por el riñón con la orina. Como consecuencia de la hemocateresis se libera el núcleo Hem de la hemoglobina obteniéndose bilirrubina no conjugada (insoluble) que al reaccionar con ácido glucorónico forma bilirrubina conjugada que luego es eliminada con la bilis, orina (como urobilina), heces (como estercobilina).

Guía teórica IV 7. Función endocrina Elaborando la hormona somatomedina – C que actúa sobre huesos y cartílagos favoreciendo. 8. Presenta apoferritina que fija hierro para formar ferritina y ser almacenado (función marcial). 9. Almacena vitaminas (A, D, K, B 12, C) gracias a las células de Ito que también almacena grasa. 10.Hematopoyesis fetal: Forman elementos formes entre la 5.ª semana y 6.º mes de vida. 11.Hemocateresis Destruye crenocitos por intermedio de las células de Kupffer que también fagocitan leucocitos vieja y gérmenes.

5. Secreción de bilis (biligénica) Elabora bilis (hepatocitos) cumpliendo una función exocrina la que a su vez emulsificará a las grasas. 6. Detoxificación Gracias al complejo enzimático citocromo P450 elaborada por el retículo endoplasmico liso, el hígado actúa sobre sustancia tóxicas para el cuerpo y mediante reacciones químicas las convierte en sustancias menos tóxicas o inocuas para el organismo liberándolas por la bilis.

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Biología

Guía teórica IV

Preguntas resueltas 1. Los jugos pancreáticos secreta grandes cantidades de ___________ para proteger el duodeno, el cual se encuentra en un pH ____________. A) B) C) D) E)

ácido clorhídrico-pH =1 bicarbonato de sodio. pH= 8 amoniaco-pH= 9 hidróxido de sodio-pH= 14 peptidasas inactivas-pH= 7

El contenido estomacal que llega al duodeno es ácido para contrarrestar este pH se secreta agua y grandes cantidades de bicarbonato y se encuentra a un pH=8. Rpta.: B 2. En las paredes intestinal se presenta las glándulas ___________ que segregan mucus y las que segregan jugos intestinales o glándulas de ____________. de Peyer - Lieberkühn de Rivinus - Wharton de Brunner - Lieberkühn de Brunner - Wharton gástricos - Rivinus

Sustentación En la mucosa de las paredes intestinales existen las glándulas de Brunner que secretan mucus y las glándulas de Lieberkühn que secretan jugos intestinales. Rpta.: C 3. De las siguientes sustancias, ¿cuál no es descompuesta por el aparato digestivo humano? A) Almidón C) Sacarosa E) Triglicéridos

La celulosa al pasar por el estómago e intestino no pueden ser degradada por las enzimas digestivas, debido a su largas hileras de glucosa fuertemente unidas, que son la base para una buena movilidad intestinal. Rpta.: D 4. ¿Qué molécula orgánica se forma en el hígado, y bajo que forma llega a este órgano?

Sustentación

A) B) C) D) E)

Sustentación

A) B) C) D) E)

Ácido graso y quilomicrones Triglicéridos y micrones Colesterol y quilomicrones Fosfolípidos y diglicéridos Vitamina K y monoglicéridos

Sustentación El hígado forma del 75% del colesterol y llega ha este órgano en la forma de quilomicrones que se obtienen de la digestión de los lípidos. Rpta.: C 5. Indique verdadero (V) o falso (F) con respecto a las sales biliares. Ø Ayuda a la solubilidad de las grasas y vitaminas. ( ) Ø Se almacena en el hígado. ( ) Ø La bilis son proteínas. ( ) Ø El pigmento de la bilis es la ficoeritrina. ( ) Ø Almacena el exceso de colesterol. ( ) A) VFFFF C) VVFFV E) FFVVF

B) VFVFV D) FVFVF Rpta.: A

B) Proteínas D) Celulosa

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Biología

Guía teórica IV SISTEMA EXCRETOR SISTEMA URINARIO 28

Marco teórico SISTEMA EXCRETOR EN ANIMALES El sistema excretor en los invertebrados Invertebrados sin sistemas excretor Las esponjas y los celentéreos carecen de órganos excretores especializados, por ello los desechos nitrogenados son eliminados por toda la superficie corporal. El principal desecho nitrogenado que eliminan es el amoniaco (NH3 ), clasificándose por esa razón como amoniotélicos. También pueden producir urea y ácido úrico en pequeñas cantidades, los productos excretados salen por el simple mecanismo de difusión. Invertebrados con sistema excretor Ø Platelmintos Las planarias poseen protonefridios como órganos excretores. Los protonefridios están constituidos por células flamígeras, provistas de cilios y una desembocadura tubular que termina en un poro excretor (llamado nefridioporo). Las células flamígeras favorecen, por medio de sus cilios, la movilización de agua, sales minerales y amoniaco hacia el tubo excretor. A lo largo del tubo excretor se reabsorbe parte del agua y sales minerales, los desechos salen por el nefridioporo. Ø Nematodos Los nematodos marinos poseen una célula renoidea o renete, en la cavidad pseudocelómica que desemboca al exterior a través de un poro excretor. En los nematodos terrestres más evolucionados se presenta un sistema tubular, los túbulos en H, que consta de dos tubos longitudinales y uno transversal, los cuales desembocan a través de un conducto en un poro escretor. Excretan amoniaco y urea. Ø Anélidos Los órganos de excreción en las lombrices son metanefridios. Estos metanefridios están constituidos por nefrostomas y túbulos complejos, que antes de abrise al exterior forman una dilatación llamada vejiga. Los nefridioporos están situados al exterior, algunos culminan en el intestino (enteronefridios).

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Biología

Guía teórica IV

Para realizar la excreción, el líquido celómico del somite anterior penetra por el nefrostoma, y a medida que pasa a través del túbulo, se transforma en orina. Conforme la orina se forma a lo largo del tubo, van variando las concentraciones de los elementos que la forman, lo que nos indica qué sustancias se reabsorben y cuáles se eliminan, así como el control del agua según las necesidades del organismo. Eliminan principalmente urea. Ø Moluscos Los moluscos presentan un par de metanefridios tubulares, denominados órganos de Bojanus. Uno de los extremos de estos nefridios están en o con el fluido celómico de la cavidad pericárdica a través del nefrostoma y terminan en el otro extremo, desembocando en la parte posterior de la cavidad del manto por un nefridioporo. La orina, al final, está constituida principalmente de amoniaco en los moluscos acuáticos y de ácido úrico, en terrestres; la orina es transportada a la cavidad del manto. Ø Artrópodos En este phyllum encontramos gran diversidad de adaptaciones para la excreción, dada la variabilidad de formas y adaptaciones a diferentes hábitat, tal vez gran parte del éxito de este grupo se debe a la capacidad de reabsorción total o parcial del agua, de tal forma que su orina puede ser líquida o sólida. En los arácnidos, los órganos excretores son nefridios muy modificados, llamados glándulas coxales. Además tienen los túbulos de Malpighi. Las glándulas excretan orina diluida, mientras los tubos tienen la capacidad de excretar una orina sólida cuyos desechos son principalmente a base de guanina pudiendo también excretarla en forma de cristales. En los crustáceos los órganos osmorreguladores son las glándulas antenales o las glándulas maxilares. Estas glándulas constan de un saco terminal y uno o varios túbulos excretores, en el saco se acumula por filtración el líquido u orina que es conducido por los túbulos hacia la vejiga que desemboca justo en la base de las antenas o maxilas. Las branquias intervienen en la eliminación de amoniaco y son sus verdaderos órganos excretores. Probablemente en los insectos, los túbulos de Malpighi alcanzan mayor especialización que en los demás artrópodos. En las partes proximales del tubo suele reabsorberse agua y iones inorgánicos que regresan a la hemolinfa, en otras ocasiones es el epitelio del tubo rectal el que regresa estas sustancias. Ø Equinodermos En este phyllum no encontramos un verdadero sistema excretor, sin embargo, el sistema hemal desempeña en parte estas funciones, ya que por él circulan sustancias de desecho, principalmente amoniaco y células llamadas celomocitos que engloban a las sustancias excretadas, éstas se transportan hacia las pápulas o hacia los pies ambulacrales y pasan al exterior. La difusión del amoniaco hacia el exterior se realiza también por áreas delgadas de la superficie corporal, como los pies ambulacrales y pápulas branquiales.

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Biología

Guía teórica IV

El sistema excretor en los vertebrados En los vertebrados, los principales órganos excretores son los riñones. Estos son los que se encargan de eliminar los desechos (productos del metabilismo celular) y el exceso de agua. Los riñones de los vertebrados tienen un desarrollo evolutivo, presentándose una sucesión de dos a tres estadios denominados: pronefros, mesonefros y metanefros. Riñón pronefros Está localizado en la región delantera del cuerpo, es el primero en aparecer y lo encontramos en todos los embriones de los vertebrados. Presentan nefrostomas que se comunican con la cavidad celómica y los vasos sanguíneos.

Riñón mesonefros Está localizado más centralmente en el cuerpo. Es el segundo en aparecer y lo encontramos en peces y anfibios. Presenta nefrostoma atrofiado, tomando la función filtradora la cápsula de Bowman que se une al glomérulo. Los reptiles, aves y mamíferos también lo presentan pero en estadio embrionario. Riñón metanefros Está localizado más caudalmente en el cuerpo. Es el riñón más avanzado de los vertebrados, está presente en reptiles, aves y mamíferos. Los nefrostomas han desaparecido, no existe comunicación con el celoma. El tubo colector forma una cápsula que está unida íntimamente a los vasos sanguíneos que forman el glomérulo. SISTEMA URINARIO EN HUMANOS I. Definición Formado por un conjunto de órganos encargdos de elaborar la orina y eliminarla al exterior con la finalidad de regular el volumen y la composición química del medio interno manteniendo la homeostasis. Asimismo, eliminan catabolitos sanguíneos regulando el volumen y la composición química del medio interno. Este aparato participa en la eritropoyesis y con el control hidromineral.

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II. Componentes El aparato urinario está constituido por: 1. Los riñones 2. Las vías urinarias Riñones Son dos, responsables de formar la orina, regular el volumen, composición y concentración química de la sangre y excretar los desechos. Forma de frijol, con dos caras, (anterior y posterior), dos bordes: externo (convexo), interno (cóncavo, se encuentra el “hilo renal”, que es atravesado por el “pedúnculo renal”, formado por arteria, vena, pelvis renal, nervios y vasos linfáticos), dos polos: superior (presenta la cápsula suprarrenal) e inferior. Tamaño: 12 × 6 × 3 cm. El riñón izquierdo es ligeramente más grande. Pero: 150 g cada uno. Ø Ubicación: Se encuentran ubicados en la región lumbar, a ambos lados de la columna vertebral, entre las vértebras dorsal 11 (D11) y lumbar 2 (L2 ). El riñón derecho se halla 2 cm más abajo en comparación al izquierdo debido a la posición y el volumen del hígado. Son órganos retroperitoneales, pues se encuentras detrás y fuera del peritoneo. Ø Color: Rojo pardo (rojo vinoso). Envoltura Recibe el nombre de fascia renal, que a su vez posee dos hojas: • •

Fascia de Told: anterior o prerrenal. Fascia de Zuckerkandl: posterior o retrorrenal. Por fuera de la fascia se presenta la cápsula adiposa.

Estructura I. Parénquima (tejido propio): Presenta dos zonas: Ø Corteza:

• • • •

Periférica. Rojo oscuro. Aspecto granuloso debido a la presencia de los corpúsculos renales. Histológicamente presenta el laberinto de Ludwig, que está constituido por los corpúsculos de Malpighi y los tubos contorneados.

•

• • •

Profunda. Color amarillo. Se presentan las pirámides de Malpighi y las columnas de Bertin (proyecciones de la corteza hacia la médula). Las pirámides de Malpighi presentan unas prolongaciones radiales en la corteza renal llamadas rayos medulares.

Médula:

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II. Estroma: Constituida por la cápsula renal, que es tejido conectivo denso blanquecino y resistente, se desprende con facilidad y limpiamente. Ø Estructura histológica ìï ìï – Cápsula Estroma íEscaso í ïî îï – Tejido conectivo intersticial con vasos ì ì – Un millón en cada riñón Parénquima ïí Nefronas ïí îï – Tubos colectores îï

Nefrón o nefrona Es la unidad estructural y funcional del riñón. Cada nefrona desempeña todas las funciones atribuidas al riñón. ì ì– Cápsula de Bowman ïa) Corpúsculo renal í– Glomérulo î ï ï ï Partes de una ï ì1. Contorneado proximal: í ï nefrona ï ïï – Porción tortuosa ï í – Porción recta ï ï 2. Asa de Henle b) Túbulos ï ï ï ïî3. Contorneado distal î

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Corpúsculo renal Es una estructura redondeada muy pequeña, apenas observable a simple vista como un punto rojizo. Los corpúsculos renales se encuentran solamente en la corteza del riñón. Todo corpúsculo renal consta del glomérulo y de la cápsula de Bowman. El glomérulo renal está constituido por un ovillo de capilares que se originan por ramificaciones de la arteriola aferente. La cápsula de Bowman, tal como se aprecia en el esquema tiene la forma de una esfera hueca con un orificio amplio por donde ingresa la arteriola aferente y sale la eferente, la pared de la cápsula está constituida por dos hojas: la interna o visceral y la externa u hoja parietal. Entre estas dos hojas se encuentra un espacio estrecho llamado espacio capsular. Se trata de un espacio cerrado en el polo vascular, pero abierto en el polo urinario para comunicarse con la luz del túbulo contorneado proximal, que nace en esa zona. Tanto la hoja parietal como la visceral tiene un revestimiento epitelial que “mira” hacia el espacio capsular.

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Túbulos La parte tubular de la nefrona puede tener una longitud de 3-4cm. Consta de tres porciones. 1. Túbulo contorneado proximal Nace con el polo urinario del corpúsculo renal y pronto sigue un trayecto tortuoso, para terminar luego en un segmento recto que inicia el descenso del asa de Henle. • • •

Estructura: Está revestido por células epiteliales de forma piramidal, que tienen en su polo apical un ribete en cepillo PAS positivo. La luz es estrecha. Las células epiteliales son anchas, razón por la cual el número de núcleos que se observan en un corte transversal de un túbulo, es escaso.

2. Asa de Henle En el asa de Henle se distingue un segmento delgado y otro grueso. El primero generalmente forma la porción descendente del asa y su curvatura, el segundo forma parte de la rama ascendente que llega hasta las vecindades de la arteriola aferente del corpúsculo de origen. La porción delgada, estructura: Tiene un calibre parecido al de un capilar. Su epitelio de revestimiento es simple, plano; se diferencia del endotelio por presentar sus núcleos redondeados que sobresalen hacia la luz del conducto. 3. Túbulo contorneado distal La estructura y ultraestructura de este segmento que la nefrona es similar a la de la porción gruesa del asa, sin embargo, es posible diferenciar al túbulo distal por su ubicación restringida a la corteza renal y por su trayecto tortuoso. Tubos colectores Son conductos que tienen su inicio en la región cortical en donde se encuentra discurriendo por los rayos medulares. El calibre de los tubos colectores va aumentando a medida que reciben la desembocadura de más nefronas. Ya en la región medular, los colectores vecinos se unen para dar origen a tubos más gruesos que terminan por desembocar en la papila renal. A estos tubos colectores gruesos se les designa con el nombre de tubos de Bellini. Histológicamente se reconocen los tubos colectores por estar revestidos por células cúbicas de citoplasma claro, con los límites intercelulares bien definidos. Claro está que los colectores mayores o tubos de Bellini se distinguen por su gran calibre y por su epitelio de células más altas. Funciones de riñón 1. Eliminación de los catabolitos que se hallan en la sangre a través de la orina. 2. Mantiene el nivel hidromineral. 3. Regula la volemia, y por ende, la presión arterial. Este mecanismo lo hace a través del sistema reninaangiotensina-aldosterona.

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4. Sintetiza la eritropoyetina que estimula la entropoyesis. 5. Elabora la renina. 6. Interviene en la gluconeogénesis (formación de glucosa a partir de aminoácidos y otros precursores y la libera en la sangre). 7. Sintetiza la vitamina D (1, 25-dihidroxi vitamina D). 8. Regula el nivel ácido-básico.

Vías urinarias Son los conductos que llevan la orina desde los riñones hacia el exterior. En las vías urinarias se reconocen los siguientes segmentos: cálices, pelvis, uréteres, vejiga y uretra. 1. Cálices Son estructuras mayores, se forman por la confluencia de dos o más cálices menores y acaban por abrirse a la pelvis renal. La pelvis renal también tiene forma de embudo, sale del hilio renal y se continúa con el uréter. La estructura histológica de estos órganos es parecida. Todos ellos están revestidos por un epitelio de transición que descansa sobre una lámina propia sin glándulas: tienen una capa muscular y una adventicia. Se diferencian entre sí por el espesor de sus paredes y por la amplitud de su luz. 2. Uréteres Son dos conductos delgados de pared relativamente gruesa que consta de las siguientes capas: ìCon un espesor ïì Mucosa íEpitelio de transición í ïî îde 4-5 células ì– Tejido conectivo denso Lámina ï í con fibras elásticas propia ï î– La zona vecina a la muscular es laxa

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3. Vejiga Es un órgano que tiene la capacidad de distenderse para acumular orina. Sus paredes son gruesas debido sobretodo al espesor de la capa muscular. Estructura: ìEpitelio de ìDe varias capas en la vejiga contraída í ï ï transición î De menos capas en la vejiga distendida ï Mucosa í ì Tejido conectivo denso, la zona profunda algo laxa ïLámina ïHa merecido el nombre de submuco sa ï propia í ïContiene fibras elásticas ïî î ìEs gruesa y sólo de músculo, está formada por 3 subcapas ï ïinterconectadas y mal separadas. Muscular ïíLa media es la más desarrollada, en las otras dos predominan fibras longitudinales. ïUn esfínter de músculo liso se encuentra a nivel del orificio interno de la vejiga ï ïî(esfínter interno). ìEn su porción superior, la vejiga está cubierta por peritoneo (serosa). Adventicia ï íEl resto presenta una adventicia que se continúa invisiblemente con o serosa ï îel conectivo de los órganos vecinos. 4. Uretra Existen diferencias notorias entre la uretra masculina y la femenina que pasamos a describir. Uretra masculina ì Epitelio de revestimiento, de transición. Rodeando al epitelio se encuentra el tejido ï prostático. ï ï Hacia la luz de esta porción de la uretra hace relieve, una especie de promontorio Uretra ï í ubicada en la pared posterior, tal abultamiento macizo se denomina veru montanun prostática ï o Colículo, cuyo vértice presenta un orificio ciego llamado utrículo prostático, a los ï ï lados del cual se abren los orificios de desembocadura de los conductos eyaculad ores. ï î Lateralmente al veru montanun se abren los conductos excretores de la próstata. ì Corto segmento de 1,8 cm de longitud ï ï Epitelio estratificado cilíndrico Uretra ï í Lámina propia delgada con algunas fibras musculares lisas de dirección circular membranosa ï ï Esfínter externo ìí Anillo de músculo estriado, dependiente del diafragma ïî de la vejiga î urogenital

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Por debajo de esta porción de la uretra se encuentran ubicadas las glándulas bulbouretrales, del tamaño de un guisante, que desembocan en el inicio de la siguiente porción: ì Es el segmento más largo. Presenta una dilatación fusiforme llamada fosa navicular, ï ï que está ubicada cerca del orificio externo o meato. ï ìEstratificado cilíndirico con algunas glándulas intraepiteliales ï Epitelio de ï ï í(grupos de células altas y claras). Uretra ï revestimiento ï í îEstratificado plano a partir de la fosa navicular hasta el exterior. esponjosa ï ì Tejido conectivo rico en vasos y en fibras elásticas. ï ï Lámina ïï Contiene glándulas de Littré de tipo mucoso, que desembocan en las ï í ï propia ï lagunas de Morgagni, estas últimas son evaginaciones de la membrana ï ïî epitelial. î Uretra femenina Tiene una longitud de 2,5 a 3 cm. Desembocan en el vestíbulo de la vulva, por delante del orificio de la vagina. Su luz es festoneada por la existencia de pliegues longitudinales de la mucosa. ìEstratificado cilíndrico o pseudoestratificado ïEstratificado plano en su extremo ï í revestimiento ïPresenta evaginaciones pequeñas hacia la lámina propia, ïîen cuyo fondo se encuentran las células mucosas. Epitelio de

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Preguntas resueltas 1. Son considerados productos de excreción, excepto A) aminoácidos. C) ácido úrico. E) urea.

B) CO 2 . D) amoniaco.

4. Las "células en llama" se encargan de la excreción de sustancias metabólicas en

Sustentación Los aminoácidos son moléculas individuales que componen las proteínas y otras sustancias, por lo tanto, son componentes usables por las células y no constituyen productos de excreción, si son consumidas podrían originar tales productos. Rpta.: A 2. En los protistas como el Paramecium, la excreción se realiza a través de A) B) C) D) E)

el macronúcleo. el micronúcleo. los ribosomas. los cuerpos basales. la vacuola contráctil.

Sustentación La vacuola contráctil o pulsátil es una vesícula móvil que se desplaza alrededor de la célula a través de movimientos celulares, captando el exceso de agua, con lo que logra tener cierta turgencia y elimina el exceso de dicho liquido por el citipigio o "ano celular". Rpta.: E 3. En los mamíferos y el hombre, la excreción se produce a través de A) los pulmones. C) la piel. E) T. A.

sustancias que resultan del metabolismo tales como riñones, branquias, piel, hígado, entre otros. Rpta.: E

B) la glándula lagrimal. D) los riñones.

Sustentación La función de excreción se realiza a través de sencillos órganos que se encargan de eliminar

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A) celentéreos. C) nematodos. E) moluscos.

B) platelmintos. D) anélidos.

Sustentación Los platelmintos, que agrupa a los gusanos planos, son animales que poseen un sistema excretor definido el cual consta de dos o más conductos longitudinales muy ramificados, algunas de estas ramificaciones terminan en células que poseen en forma de bulbo hueco en cuyo interior se aprecian largos flagelos que los mueven dando el aspecto de una llama, por lo que se denomina "células en llama". Rpta.: B 5. La función más importante del riñón de los peces es A) B) C) D) E)

la eliminación de amoniaco. la eliminación de urea. la eliminación de ácido úrico. la metalorregulación. la osmorregulación.

Sustentación El riñón es un órgano exclusivo de los vertebrados. Es la principal unidad excretora, excepto en los peces cuya función más importante es la osmorregulación o la regulación del equilibrio de agua, dado que la mayor parte de sus desechos nitrogenados los eliminan a través de las branquias. Rpta.: E

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SISTEMA ENDOCRINO

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Marco teórico SISTEMA ENDOCRINO I. Definición Es un conjunto de órganos (glándulas endocrinas) encargados de regular las actividades metabólicas en ciertos órganos y tejidos del cuerpo, en consecuencia ayuda a regular la homeostasis (equilibrio de cuerpo). II. Hormonas Son mensajeros químicos producidos por las glándulas endocrinas y que se transportan por el torrente sanguíneo a células u órganos blancos. III. Órganos endocrinos Formado por: hipotálamo, hipófisis, glándula tiroides, glándulas suprarrenales (adrenales), páncreas endocrino, ovarios, testículos.

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1. Hipotálamo Estructura nerviosa ubicada en la base del cerebro, conecta al sistema endocrino y sistema nervioso. Función:

B. Hipófisis Se une al hipotálamo a través del infundíbulo. Se ubica en la base del cráneo, en una depresión llamada silla turca del hueso esfenoides, pesa 0,5 g-10 g. Relación entre el hipotálamo-hipófisis

Función:

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3. Glándula tiroides Se ubica en la parte media del cuello entre la laringe y la tráquea, pesa aproximadamente 25 g, posee 2 lóbulos unidos por el istmo, posee una prolongación ascendente denominada pirámide de Lalouette. 3.1.Histología de la tiroides

Histología: Formado por múltiples folículos tiroides (200-500 de diámetro), que están revestidos por epitelio cúbico con microvellosidades que delimita una cavidad llena de una sustancia glucoproteica llamada coloide, cuyo principal constituyente es la tiroglobina que contiene a las hormonas tiroxina y triyodotironina Las células foliculares son las que sintetizan las hormonas T3 y T4 . Entre las células foliculares y la membrana basal (también en el intersticio); se encuentra las células parafoliculares, de forma ovalada y de mayor tamaño que las células foliculares, son las encargadas de producir la hormona calcitonina que regula la cantidad de calcio en sangre. 3.2.Hormonas A. Tiroxina y triyodotironina: La TSH producida a nivel de hipófisis se encarga de regular la liberación de T3 y T 4. Esta última es la más abundante, que se convertirá luego en T3 . La hormona T3 es cuatro veces más potente que T4 . Acciones Ø Incremento el metabolismo basal (excepto en cerebro, bazo, pulmones, etc.), produciendo efecto calorígeno. Ø Estimula el crecimiento y maduración del sistema nervioso, proceso de encefalización y mielinización. Ø Estimula el crecimiento corporal. B. Calcitonina: El aumento de los niveles plasmáticos de calcio estimula la liberación de la calcitonina. Acciones: Inhibe la resorción de los huesos, inactivando a los osteoclastos.

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4. Glándula paratiroides Son cuatro ubicados en los 4 polos de la glándula tiroides (cara posterior de cada lóbulo) de 35 – 40 mg de peso. Ø Histología: Rodeado por una cápsula conectiva que emite trabéculas internas que se comunican con las fibras reticulares que sostienen a los cordones celulares. Estos cordones irregulares formadas por células principales que se encargan de producir parathormona (PTH). Después aparecen otras células más grandes llamadas células oxífilas, se desconoce su función. Ø Hormona: Parathormona (PTH) polipéptido de 31 aminoácidos que circula en pequeñas cantidades en la sangre. Acciones Es hipercalcemiante mediante 3 mecanismos. Ø Aumenta resorción ósea, activa a los osteoclastos e inhibiendo a los osteblastos. Ø Aumenta resorción tubular de calcio en el riñón. Ø Aumento de la absorción intestinal de calcio. Disminuye la reabsorción tubular de fósforo a nivel de túbulo proximal, aumenta la absorción intestinal de fósforo. Estimula en el páncreas la secreción de gastrina. Regulación: Los mecanismos reguladores estimulan a las células principales para la secreción de PTH cuando varían las concentraciones de calcio y magnesio. 5. Timo Ø Ubicación: En el mediastino, sobre el pericardio. Ø Forma: Es bilobulado, de aparición embrionaria muy temprana y deriva de un esbozo epitelial formado a partir de la tercera bolsa faríngea. Ø Constituye una malla de células epiteliales, rellena de linfocitos T en desarrollo (timocitos). Está organizado en lobulillos en los que se distingue una zona externa o corteza y una zona interna o médula. Las células epiteliales tienen forma estrellada y an unas con otras a través de sus múltiples prolongaciones. Ø Funciones 1. Lugar de maduración de los linfocitos. 2. Forma la hormona timosina.

Observación Timosina: Además de la preparación previa de linfocitos T, el timo probablemente también secrete una hormona llamada timosina o timopoyetina que circula por los líquidos corporales y aumenta la actividad de los linfocitos T que ya han abandonado la glándula tímica y han migrado hacia el tejido linfoide. Se cree que esta hormona origina una proliferación ulterior y aumenta la actividad de tales linfocitos. Por lo demás es muy poco lo que se conoce de esta hormona.

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6. Páncreas Ø Es una glándula mixta situada en el abdomen, retroperitonealmente. Tiene sentido transversal, presenta una cabeza, un cuerpo y una cola. Es importante mencionar que la cabeza del páncreas se halla en el marco que forman las 4 porciones del duodeno.

Ø El páncreas comprende 2 tipos de tejidos: los acinos pancreáticos que secretan el jugo pancreático y los islotes de Langerhans, que no tiene forma alguna de vaciar su contenido al exterior, sino que secretan su contenido a la sangre. Ø Los islotes comprenden 3 tipos principales de células, las alfa, las beta y las delta, que se distinguen entre sí por su forma. La células beta constituyen cerca del 60% del total, secretan insulina. Las células alfa alrededor del 25% de total, secretan glucagón. Por último, las células delta, cerca del 10% del total secretan somatostanina. Además hay, por lo menos, un tipo más de células llamadas PP, en pequeñas cantidades dentro de los islotes y que secretan una hormona de función no aclarada llamada polipéptido pancreático. Hormonas del páncreas Glucagón Ø Los 2 principales efectos del glucagón sobre el metabolismo de la glucosa consiste en desdoblar el glucógeno hepático (gluconeogénesis) y aumentar este efecto en el hígado, lo cual a su vez aumenta la glicemia en cuestión de segundos. Insulina Ø La insulina es sintetizada por el retículo endoplasmático de las células beta, luego es transportada al aparato de Golgi, donde es almacenada para luego ser expulsada a la sangre por exocitosis.

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La insulina cumple las siguientes funciones: 1. 2. 3. 4. 5.

Hipoglicemiante (disminuye el nivel de la glucosa en sangre). Activa la conversión de glucosa en glucógeno (glucogénesis). Disminuye la gluconeogénesis. Impide el consumo de grasas por los tejidos. Incrementa la síntesis de lípidos y proteínas.

7. Suprarrenal Ø Glándula par de forma piramidal que se ubica en el polo superior del riñón, por lo tanto, son glándulas retroperitoneales. Presenta un peso de 4 a 5 g. Histológicamente presenta 2 zonas: 1. La corteza 2. La médula

Corteza Ø Ø Ø Ø Ø

Región periférica. Rodea a la médula. Deriva del mesodermo. Presenta 3 zonas: glomerular, fasciculada y reticular. Hormonas que secreta: • Glucocorticoides(cortisol) • Mineralocorticoides(aldosterona) • Andrógenos

Médula Ø Región central. Ø Deriva del ectodermo. Ø Presenta 2 tipos de células: • Neuronas ganglionares • Células cromafinicas (producen adrenalina y noradrenalina)

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Ø Secreta adrenalina y noradrenalina (hormonas simpaticomiméticas, hormonas de estrés y de las emociones).

Observación Función del cortisol y aldosterona •

Cortisol 1. Hiperglicemiante. 2. Antianabólica proteica. 3. Distribución de grasa corporal en dirección centrípeta. 4. Actúa socre el TCD favoreciendo la reabsorción de Na y secreción de K. 5. Antiinflamatoria (disminuye la permeabilidad de vasos). 6. Inhibe la acción de los glóbulos blancos.

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Síndrome de Cushing (Hipersecreción de cortisol) 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Obesidad tipo búfalo Atrofia y debilidad muscular Hipoinmunidad Hipertensión Hipopotasemia e hipernatremia Aumento en la secreción de andrógenos dando caracteres masculinos 7. Hirsutismo moderado con tendencia a la calvicie 8. Acné y estrías púrpuras 9. Amenorrea 10. Transtornos mentales 11. Atrofia testicular

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Aldosterona 1. Incrementa la reabsorción del Na de la orina, sudor, saliva y jugo gástrico. 2. Actúa sobre el epitelio del TCD y TC permitiendo la absorción de Na y excreción de K.

Observación Síndrome de Addison (Hiposecreción) Ø Ø Ø Ø Ø

•

Disminución en la secreción de aldosterona. Disminución del volumen plasmático. Disminuye el gasto cardiaco y la presión. Alteración nerviosa, digestiva y sexual. Hiperpigmentación de la piel.

Adrenalina y noradrenalina Ø Presentan los mismos efectos sólo que la adrenalina es más abundante. Ø Su efectos son: 1. Vasoconstricción. 2. Hipertensión, y por ende, taquicardia y aumento del gasto cardiaco. 3. Broncodilatación. 4. Midriasis (dilatación pupilar). 5. Inhibición de la musculatura del tubo digestivo. 6. Hiperglicemiante. 7. Aumenta el filtrado glomerular. 8. Estimula las glándulas sudoríparas. 9. Contrae los músculos erectores de los pelos. 10. Estimula la salivación. 11. Aumenta el metabolismo basal.

8. Ovarios Ø El ovario es un órgano que está situado en las fosas ilíacas, tanto derecha como izquierda, teniendo un tamaño de 3 a 4 cm, y la forma de una almendra. Presenta un color variado, dependiendo de su edad. El ovario tiene las siguientes estructuras: 1. 2. 3. 4. 5.

Folículos en desarrollo Folículo maduro Óvulo maduro Cuerpo amarillo Cuerpo albicans

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Hormonas del ovario Estrógenos 1. Permite la aparición de los caracteres sexuales primarios, es decir, aumento de volumen de las trompas de Falopio, el útero y la vagina, también se desarrollan los genitales externos, el monte de Venus y labios mayores. 2. Estimula la aparición de las características sexuales secundarias. 3. Determina la aparición de los caracteres psicológicos de la mujer. 4. Convierte el endometrio en proliferativo. 5. Aumenta la motilidad uterina. 6. Determina la libido sexual. 7. Acelera el crecimiento, ya que aumenta la actividad de los osteoblastos. 8. Provoca retención de sodio, cloruros y agua en túbulos renales. 9. Provoca un ligero aumento de las proteínas corporales. Progesterona 1. Vuelve al endometrio secretivo, preparándolo para la implantación. 2. Aumenta la temperatura corporal. 3. Disminuye la frecuencia de las contracciones uterinas evitando la expulsión del huevo implantado. 4. Estimula los cambios secretorios de la mucosa que reviste las trompas de Falopio. 5. Estimula el desarrollo final de los lobulillos y alveolos de las mamas haciendo posible la lactancia. 9. Testículos •

El testículo, es una glándula que se localiza en el borde anterointerno de la raíz del muslo, en las bolsas escrotales, tienen un tamaño de 4 a 5 cm, aproximadamente, pesa entre 20 a 25 gramos, tiene la forma de un cuerpo ovoide y es de color blanco lechoso.

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•

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El testículo como glándula endocrina secreta: 1. Testosterona 2. Androsterona De estas hormonas, la producción y secreción más abundante es de testosterona.

Testosterona • Es muy probable, que la testosterona formada por el embrión, desarrolle las características sexuales masculinas, incluyendo el crecimiento del pene y un escroto en lugar de formarse un clitoris y la vagina, respectivamente; es muy posible que esta hormona desarrolle y origine las glándulas prostáticas, vesícula seminal y los conductos genitales. • Desarrollo de los caracteres sexuales primarios y secundarios • Determina el deseo sexual o libido.

Preguntas resueltas 1. En los mamíferos, el sistema endocrino puede actuar independientemente o de manera integrada con el sistema _____________ como respuesta a estímulos internos o externos. (UNMSM 1999) A) linfático C) circulatorio E) tegumentario

B) nervioso D) excretor

Sustentación El proceso de control y regulación es llevado a cabo por el sistema nervioso y el sistema endocrino que actúan coordinadamente. El sistema endocrino está constituido por un conjunto de órganos y tejidos del cuerpo, cuya función es la producción de hormonas para la regulación de homeostasis (equilibrio del cuerpo). Rpta.: B 2. La formación de la vaina de mielina de las fibras nerviosas está a cargo de (UNMSM 2009-I) A) oligodendrocitos. B) neuronas bipolares. C) microglia.

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D) astrocitos. E) neuronas monopolares. Sustentación La deficiencia de la vaina de mielina produce la enfermedad esclerosis multiple. Los oligodendrocitos interfasciculares ubicados en hileras junto a haces de axones, se encargan de elaborar y conservar mielina alrededor de los axones del SNC. Los oligodendrocitos puede envolver varios axones con segmentos de mielina. En tanto que la célula de Schwann sólo envuelve un axón con mielina. Rpta.: A 3. La elevación del calcio sanguíneo para la actividad nerviosa y muscular se debe a la acción de la (UNMSM 2003-I) A) oxitocina. C) parathormona. E) insulina.

B) calcitonina. D) tiroxina.

Sustentación La PTH o parathormona es una hormona producida por la glándula paratiroides. La función principal de la PTH esta mantener

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Guía teórica IV

las concentraciones del calcio en el líquido extracelular, para esto, el PTH actúa sobre el hueso, riñón e intestino, produciendo aumento del calcio sérico (hipercalcemiante). La PTH es un polipéptido lineal de 84 aminoácidos. Rpta.: C

5. La hormona aldosterona es producida por la glándula (UNAC 2004-I)

4. A la porción del sistema nervioso central donde se localizan los centros nerviosos moderadores del corazón y de la respiración se denomina (UNMSM 2004-I)

La aldosterona es producida por la sección externa de la zona glomerular de la corteza adrenal en la glándula suprarrenal, la aldosterona es el principal mineralcorticoide, participa en las siguientes funciones:

A) B) C) D) E)

cerebro. médula espinal. hipotálamo. bulbo raquídeo. nervios raquídeos.

Sustentación El bulbo raquídeo es el centro de los reflejos vitales, centro cardiaco y respiración de la deglución, tos, estornudos y vómito. Situado entre la médula espinal y la protuberancia anular de 3 cm de longitud da origen a los nervios craneales IX, X, XI y XII. Rpta.: D

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A) suprarrenal. C) hipófisis. E) paratiroides.

B) tiroides. D) mamaria.

Sustentación

Ø Es el principal regulador del volumen del líquido extracelular. Ø Interviene en el metabolismo del potasio. Ø Aumenta la reabsorción de sal y la excreción de potasio a través de las glándulas sudoríparas y salivales. Ø Aumenta la absorción de Na a nivel del intestino. Rpta.: A

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SISTEMA NERVIOSO Y ÓRGANOS Guía teórica IV SENSORIALES EN ANIMALES 30

Marco teórico I. Introducción Una de las características inherente a todo SER VIVO, es la capacidad para responder en favor o en contra de un ESTÍMULO, sea este interno o externo. Las respuestas pueden ser desde las más sencillas (ligeros movimientos) hasta las más complejas, como las que realiza el hombre. Hablando específicamente de animales, la mayoría presenta un SISTEMA NERVIOSO, que, de manera gradual, de acuerdo a su grado de complejidad, les permite recepcionar el estímulo, analizarlo y ofrecer una respuesta; esto va acompañado de un trabajo ENDOCRINO que en conjunto realizan labores de COORDINACIÓN QUÍMICA. Ø Estímulo: Es todo factor interno o externo, que condiciona un tipo de respuesta del organismo o parte de él. Estímulos internos

Estímulos externos

Son factores propios. Ejemplo: Se relaciona con las condiciones necesidad de O2 , hambre, dolor, climáticas. Ejemplo: humedad, prefatiga, enfermedad, etc. sión, temperatura, gravedad, etc. Ø Respuesta: Es la manifestación que ofrece el organismo con respecto al estímulo que tenga al frente o se relacione. II. Coordinación nerviosa La coordinación nerviosa es una serie de eventos internos y externos, que realizan los animales con la finalidad de responder a estímulos ambientales o regular procesos fisiológicos (físico-químico) internos, para lo cual utiliza como base principal el sistema nervioso. Otro sistema importante con el que participa es el sistema endocrino para la coordinación química, para lo cual utilizan mensajeros químicos denominados hormonas.

SISTEMA HELICOIDAL

1. Componentes de la coordinación nerviosa 1.1.La neurona Es la unidad estructural del sistema nervioso, que consta de un soma o cuerpo celular y del que emanan diversas finas prolongaciones llamadas dendritas, éstas sirven de superficie receptora para conducir señales de otras neuronas hacia el cuerpo celular.

333

Biología Los axones (llamados fibras nerviosas) son sistemas especializados que conducen señales, lejos del cuerpo celular. La transmisión de señales entre neuronas, se denomina sinapsis, para lo cual se utilizan neurotrasmisores. 1.2.Los receptores Son estructuras especificadas en captar los estímulos y transformarlos en impulso nervioso, ubicados en diversas partes del cuerpo animal, por lo que se clasifica en: Ø Según su localización: Exterorreceptores (estímulos del exterior) Ejemplo Órganos de los sentidos (ojo, oido, olfato, gusto, tacto). Interreceptores (estímulos del interior) Ejemplo Cambios de pH, temperatura, etc. (músculos, tendones, articulaciones). Ø Según el estímulo que captan: a. Quimiorreceptores. Captan sustancias químicas, gusto y olfato. El olfato involucra la captación de sustancias gaseosas, mientras que el gusto capta sustancias en solución. b. Mecanorreceptores. Son sensibles al roce, presión, sonido y la gravedad, comprenden al tacto, oído, línea lateral de los peces, estatocistos y reorreceptores.

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Guía teórica IV c. Fotorreceptores. Son sensibles a la luz, se encuentran localizados en los ojos y sus formas más simplificadas son las manchas oculares (ocelos). d. Galvanorreceptores. Sensibles a corrientes eléctricas o campos eléctricos. e. Termorreceptores. Sensibles a radiación infrarroja (calor). 1.3.Centro nervioso Es el lugar donde el impulso generado por el estímulo se transforma en el impulso de respuesta, que es llevado hasta un órgano efector. 1.4.Terminaciones nerviosas efectoras Son las que transforman un impulso efector (de respuesta) en una acción específica a nivel de los órganos del animal. Las acciones más comunes son el movimiento, producción de calor y secreción. 1.5.Nervios Son los que conducen impulsos nerviosos, están constituidos por neuronas aferentes (conducen impulsos de estímulos), eferentes (impulsos de respuesta) y de asociación.

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Biología

Guía teórica IV

Sistema nervioso en los invertebrados y órganos sensoriales En los animales con menor desarrollo evolutivo, el SISTEMA NERVIOSO es muy simple o sencillo y a medida que se va elevando la complejidad evolutiva se hace más complicado dicho sistema. Daremos a conocer de forma gradual el sistema de coordinación (nervioso). Asimismo los órganos de los sentidos en los siguientes filos: 1. Poríferos: En estos animales no existen células nerviosas o sensitivas especiales, los estímulos se transmiten lentamente de una parte a otra, al parecer de célula a célula. Debido a su menor grado evolutivo carecen de órganos de los sentidos. 2. Celenterados: Esparcidos por la epidermis existen numerosas glándulas sensitivas alargadas con extremos delicados. Estas estructuras se aglomeran en los tentáculos, boca y disco basal. Las células sensoriales están conectadas con las células nerviosas, que forman una red en la epidermis y la mesoglea. Los órganos de los sentidos con respecto a una medusa, corresponde: 1. Una mancha ocular de pigmento sensible a la luz (ocelo). 2. Un estatocisto hueco, que sobresale en el canal circular, contiene gránulos calcáreos que sirven para la orientación. 3. Fosas sensitivas, una lateral y otra mediana, orientadas a reconocer el alimento. 3. Ctenóforos: Su sistema nervioso es de tipo difuso, con la presencia de un órgano sensorial de posición aboral (estatocisto). El órgano sensorial contiene cuatro penachos alargados de cilios que sostiene un pequeño estatolito, dentro de una cubierta a manera de campana. Rige la orientación respecto a la gravedad y la coordinación de los movimientos de las láminas pectinadas. Debajo de cada

SISTEMA HELICOIDAL

lámina pectinada hay un cordón nervioso. 4. Platelmintos: En estos animales el sistema nervioso está constituido por un par de ganglios anteriores o en su defecto un anillo nervioso que se interconecta de uno a tres pares de nervios longitudinales con comisuras transversas. En el caso de la “planaria”, se presentan dos manchas oculares negras situadas hacia la región “cefálica”; su función es la orientación según la intensidad luminosa del ambiente, no llegan a formar imágenes. 5. Nematodos: Los gusanos filamentosos presentan un anillo nervioso que rodea una porción del esófago en conexión con seis nervios anteriores y seis nervios posteriores (a veces más). Las papilas sensitivas son probablemente receptores químicos y de estímulos táctiles. 6. Rotíferos: Presentan un gran ganglio nervioso, dorsalmente a la boca, de aquí se originan diversos nervios que se dirigen a los distintos órganos. Generalmente presentan un par de cortos penachos sensitivos laterales al cuerpo. Algunos rotíferos también poseen un penacho o dos, encima del “cerebro”, así como entre una y tres manchas oculares dorsales. 7. Moluscos: Se caracterizan por exhibir tres pares de ganglios: “cerebral”, “pedial” y “visceral”; unidos por nervios longitudinales y transversales. La mayoría con órganos táctiles, olfatorios o gustativos, manchas oculares u ojos complejos. Si nos referimos a un "caracol de jardín", le encontramos en el extremo de cada tentáculo posterior tienen un ojo con córnea, lente y retina y al parecer un órgano olfatorio. Debajo del ganglio pedial hay un par de estatocistos, los órganos de equilibrio. En la epidermis de la cabeza y del pie hay estructuras sensitivas.

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Biología

Guía teórica IV

8. Anélidos: Se observa un par de ganglios cerebroides (cerebro) y conectivos que se comunican con un cordón nervioso macizo ventral, que a lo largo del cuerpo con un ganglio y un par de nervios laterales en cada somite. Además presentan órganos para el tacto, gusto y percepción de la luz. En la epidermis hay numerosos órganos de los sentidos, formados por grupos de células sensitivas rodeadas de células de sostén especiales. Estos abundan en el extremo anterior, en el posterior, en la parte hinchada de cada somite y en la cavidad bucal.

compuestos, órganos auditivos en los insectos y estatocistos de equilibrio en los crustáceos. 10.Equinodermos: En estos animales cuyos cuerpos están provistos de espinas o púas, el sistema nervioso está conformado por un anillo circumoral y varios nervios radiales. Si nos referimos a una "estrella de mar", en el extremo de cada brazo hay un pequeño tentáculo blando táctil y una mancha ocular sensible a la luz, denominada ocelo.

9. Artrópodos: De manera general, presentan ganglios dorsales pares, encima de la boca, y conectivos que se dirigen a un par de cordones nerviosos ventrales, con un ganglio en cada somite. Los órganos de los sentidos constituidos por antenas y pelos sensitivos, táctiles y receptores químicos; ojos simples y Sistema nervioso en los vertebrados Debido al mayor grado de evolución, los CORDADOS han llegado a desarrollar un sistema nervioso bastante complejo. Dicho sistema puede organizarse de la siguiente forma en el caso específico del ser humano.

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Biología

Guía teórica IV Desarrollo del sistema nerviosos dorsal en cordados

Es característico de los vertebrados. En éstos, el encéfalo y la médula espinal se localizan a nivel dorsal. Durante el desarrollo embrionario la primera estructura nerviosa es el tubo neural; la parte anterior del tubo neural da origen al encéfalo embrionario que tiene tres porciones: prosencéfalo, mesencéfato y romboencéfalo.

Encéfalo de vertebrados y órganos sensoriales Peces El encéfalo es pequeño, en los condrictios los lóbulos olfatorios constituyen la zona más desarrollada, en cambio en los osteictios es el cerebelo y los lóbulos ópticos. En el bulbo raquídeo de los osteicitos se encuentran los cuerpos o somas de dos neuronas gigantes llamadas células de Mauthner cuyos axones recorren a lo largo de la médula espinal, la función de estas células es la coordinación de los movimientos natatorios y del reflejo de huida ante los enemigos. El sentido del olfato lo tienen muy desarrollado, sus células son muy sensibles a las diferentes sustancias disueltas en el agua. Solo tienen oído interno con conductos semicirculares y otolitos (equilibrio).

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Biología

Guía teórica IV

Los ojos constan de una esclerótica que tapiza la coroides muy vascularizada y pigmentada, sobre la que se encuentra la retina. La línea lateral se encuentra a ambos lados del cuerpo del animal, está inervada por el nervio visceral que deriva del nervio vago (X par), permite la detección de corrientes de agua (reorrecepción) a presión del agua. En condrictios como los tiburones, encontrarnos las ampollas de Lorenzini, que perciben campos eléctricos de los organismos cercanos, esto les permite percibir a sus presas que pueden ocultarse en el fondo del mar. Anfibios El encéfalo es más desarrollado que en los peces sobretodo a nivel del telencéfalo, el cerebro es pequeño, el sistema fundamental del control del cuerpo es la bóveda del mesencéfalo tectum, el bulbo raquídeo de los urodelos presenta las 2 células de Mauthner. Los corpúsculos táctiles están distribuidos por toda la piel del animal. Sus ojos asemejan bastante a los peces, presentan párpados. El oído consta de una cavidad timpánica, limitada exteriormente por el tímpano. Se relaciona con la faringe a través de la trompa de Eustaquio. Tienen bien desarrollado el olfato, que es importante para la búsqueda de los alimentos. Presentan papilas gustativas en el paladar y la lengua. Reptiles El encéfalo de los reptiles es estrecho y alargado, más desarrollado que los anfibios, son notables los grandes lóbulos ópticos, en la bóveda del diencéfalo se encuentra el ojo parietal (tercer ojo) estructuralmente el ojo parietal es un ojo vestigial, tiene una posible función fotorreceptora y termorreceptora. Los tegumentos son ricos en terminaciones táctiles. La lengua de los lagartos y serpientes reúne funciones gustativas y táctiles. En sus bordes presentan numerosas papilas sensoriales. Las serpientes de cascabel poseen entre el ojo y el labio superior un órgano llamado foseta facial que es muy sensible a la radiación térmica (infrarroja) de los cuerpos. El olfato radica en las fosas nasales, presentan desarrollado el órgano vómero nasal u órgano de Jacobson, cuya función principal es obtener sensaciones olfatorias del alimento en la boca. Presenta en los ojos glándulas lacrimales que mantienen húmeda la esclerótica, frecuentemente se vuelve cartilaginosa e incluso ósea. La retina contiene conos y bastones. Poseen párpados y una membrana nictitante o tercer párpado que va por delante del ojo. En las serpientes, los párpados transparentes se sueldan por sus bordes. De ahí la fijeza de su mirada. El oído interno es complicado. El tímpano, está en relación con el oído interno a través de la columnilla. Las serpientes carecen de cavidad timpánica aunque conservan la columnilla, por lo que en realidad no poseen el sentido del oído. Aves El encéfalo es notablemente más desarrollado que en los reptiles, los lóbulos olfatorios están reducidos, en cambio son muy desarrollados los lóbulos ópticos y el cerebelo; también son notables los hemisferios cerebrales, pero de superficie lisa (corno sucede en los vertebrados de grupos anteriores). El gusto radica en la papila gustativas existen en el paladar y en los bordes de la lengua. El olfato desempeña un papel casi nulo en la mayoría de las aves.

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Guía teórica IV

En los orificios nasales existe, además del cornete o repliege óseo similar al de los reptiles un cornete superior. El oído interno aparece bastante complicado. Las dos trompas de Eustaquio se unen y se abren en un orificio común en el paladar. La cóclea está más desarrollada en los reptiles. En general el sentido del oído es muy agudo. La vista alcanza una gran perfección. Los ojos en posición literal o frontal, tienen dos párpados y una membrana nictitante. En el centro de la retina existe una depresión o fóvea central, que es el punto de máxima visibilidad, en las falconiformes se puede encontrar en número elevado. La posición lateral de los ojos hace que, el campo de visión sea binocular estrecho (algunas aves), y con la posición frontal resulta más amplía (búho, lechuza). Mamíferos El encéfalo es el más desarrollado, los hemisferios cerebrales son los más grandes. Poseen una corteza cerebral gruesa que en los mamíferos superiores (como primates, delfines, orcas) presenta surcos, cisuras y circunvoluciones, en mamíferos primitivos (monotrernas, marsupiales, insectívoros) la corteza cerebral es lisa, el cerebelo es desarrollado. Presentan receptores táctiles en todo el cuerpo. El olfato está desarrollado en los mamíferos, se localiza en los orificios nasales. El gusto radica en la papilas gustativas de la lengua y del paladar. Los ojos son laterales, menos en primates. El oído es muy sensible, comprende el caracol con el órgano de Corti, el sáculo, el utrículo y tres canales semicirculares. El oído interno cumple dos funciones: acústica y equilibrio inervados por el VIII par craneal, el vestíbulo coclear. En el utrículo y el sáculo se encuentran los otolitos indicadores del equilibrio, mientras que el órgano de Corti contiene al receptor sensorial de la audición. El delfín y murciélagos capturan sus presas por ecolocación.

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Biología

Guía teórica IV

Preguntas resueltas Sustentación

1. ¿Cuál es la función del cerebelo? (UNMSM 1989) A) B) C) D)

Regular el ritmo cardiaco y la respiración. Regular la temperatura del cuerpo. Coordinar las funciones genitales. Coordinar el mecanismo neuromuscular del organismo. E) Coordinar el ritmo del sueño. Sustentación Entre las funciones del cerebelo tenemos: Coordinación motora, equilibrio y tonicidad. Rpta.: D 2. El centro de la visión se encuentra en (UNMSM 1992) A) B) C) D) E)

el lóbulo frontal. el lóbulo parietal. el lóbulo temporal. el lóbulo occipital. la ínsula.

Sustentación La corteza sensitiva que responde a los estímulos captados por el globo ocular se ubica en el lóbulo occipital. Rpta.: D 3. La velocidad con que se transmite el impulso nervioso depende de (UNMSM 1986) A) B) C) D) E)

la longitud de las fibras nerviosas. el número de fibras nerviosas. el grosor de las fibras nerviosas. el recorrido de las fibras nerviosas. la envoltura mielínica de las fibras nerviosas.

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El axón neuronal se halla recubierto de una sustancia llamada mielina, misma que permite el incremento en la velocidad del impulso nervioso. Rpta.: E 4. Las células de Purkinje o células gigantes se encuentran en el (UNMSM 1995) A) B) C) D) E)

bulbo raquídeo. cuerpo calloso. cerebelo. hipotálamo. córnea.

Sustentación Las células de Purkinje se hallan el cerebelo. Rpta.: C 5. La estructura que regula la cantidad de luz que recibe el ojo es (UNMSM 1993) A) B) C) D) E)

el iris. el cristalino. la córnea. la retina. el humor vítreo.

Sustentación La parte del globo ocular que actúa como un lente, regulando la cantidad de luz que ingresa es el cristalino. Rpta.: B

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Biología

SISTEMA NERVIOSOS GuíaHUMANO teórica IV ÓRGANOS DE LOS SENTIDOS 31

Marco teórico SISTEMA NERVIOSO HUMANO I. Definicicón Es un conjunto de órganos constituidos por tejido nervioso, que relaciona al organismo con el medio ambiente y, además, controla el funcionamiento de los órganos internos. II. División Fisiológicamente:

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Guía teórica IV IV. Estructura Ø Sustancia gris: Constituida por la agrupación de cuerpos o somas neuronales en el sistema nervioso central (SNC). Ø Ganglio: Constituido por la agrupación de cuerpos neuronales en el sistema nervioso periférico (SNP). Ø Sustancia blanca: Constituida por la reunión de fibras nerviosas en el sistema nervioso central (SNC). Ø Nervio: Constituido por la reunión de fibras nerviosas en el sistema nervioso periférico (SNP). SISTEMA NERVIOSO DE RELACIÓN 1. Sistema nerviosos central 1.1Médula espinal a) Localización: En el conducto raquídeo de la columna vertebral, ocupando sus dos tercios superiores. b) Forma: Cilíndrica, alargada y aplanada en sentido ántero-posterior. Presenta 2 engrosamientos: Ø Engrosamiento cervical: Da origen a nervios para los superiores. Ø Engrosamiento lumbar: Da origen a nervios para los inferiores. Por debajo de este engrosamiento, la médula espinal se adelgaza formando el cono medular. c. Diámetro: Varía de 9 a 14 mm, siendo mayor a nivel de los engrosamientos. d. Longitud: 40-45 cm e. Peso: 26-30 g

III. Funciones Ø El hombre, a través del sistema nervioso, percibe los estímulos del medio ambiente, para luego poder adaptarse a él. Ø Control de las funciones de los órganos internos a través del sistema nervioso autónomo o vegetativo.

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f.

Límites: Son: Ø Superior: A nivel de la primera vértebra cervical (C1). A este nivel se relaciona por la parte superior con el bulbo raquídeo, ambas estructuras están delimitadas por la decusación piramidal.

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Biología

Guía teórica IV

Ø Inferior: A nivel de la primera o segunda vértebra lumbar (L1 -L2 ).

tos dentados y en la parte inferior el filum terminal que se relaciona con el ligamento coccígeo que se inserta en el hueso cóccix.

g. Configuración externa: Presenta: Ø Caras: Son cuatro: una anterior, una posterior y 2 laterales. Ø Surcos: Son: surco medio anterior y posterior, surco lateral anterior y posterior. Sólo a nivel cervical se observa el surco intermedio posterior. Ø Segmentos medulares: La médula espinal se divide en 31 segmentos. Cada segmento origina un par de nervios raquídeos o espinales, cada nervio raquídeo tiene una raíz anterior (motora) y una raíz posterior (sensitiva); es decir, son nervios mixtos. Los segmentos medulares son: 8 cervicales, 12 dorsales, 5 lumbares, 5 sacros, y 1 coccígeo. h. Configuración interna Ø Sustancia gris: Está localizada en la parte central, tiene forma de H. Está constituida por cuerpos neuronales, al centro presenta el conducto del epéndimo. Se distribuye de la siguiente manera: • Astas anteriores: son motoras. • Astas laterales: son vegetativas. • Astas posteriores: son sensitivas. • Comisura gris: se encuentra alrededor del conducto del epéndimo. Ø Sustancia blanca: Está situada en la parte periférica. Está formada por los axones neuronales. Se dividen en cordones: • Cordones anteriores • Cordones laterales • Cordones posteriores i.

Medios de fijación: Por la parte superior tenemos el bulbo raquídeo, en las partes laterales a los ligamen-

SISTEMA HELICOIDAL

j.

Funciones: Tenemos: Ø Vía de conducción • •

Vías ascendentes: Conducen los impulsos sensitivos hacia el encéfalo. Vías descendentes: Conducen impulsos motores desde el encéfalo.

Ø Centro de actos reflejos •

Acto reflejo: Es la respuesta inmediata e involuntaria de un órgano efector (glándula o músculo) ante un estímulo producido en un órgano receptor (piel, tendón).

•

Arco reflejo: Es la vía nerviosa que sigue el acto reflejo. Presenta los siguientes componentes: Órgano receptor: Es aquel que se encarga de captar el estímulo. Ejemplo: piel, tendón. Neurona aferente o sensitiva: Conduce el impulso nervioso sensitivo hasta el asta posterior de la médula espinal. Neurona intercalar o asociativa: Conduce el impulso nervioso de la neurona sensitiva a la neurona motora. Neurona motora o eferente: Conduce el impulso nervioso motor del asta anterior a los órganos efectores (músculo o glándula). Órgano efector: Es la estructura que ejecuta la respuesta ante el estímulo. Ejemplo: el músculo.

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Biología

1.2 Encéfalo A. Tronco encefálico Recibe el nombre también de tallo cerebral, se encuentra localizado en la fosa posterior del cráneo, por debajo del cerebro, delante del cerebelo y sobre la médula espinal. El tronco encefálico está formado por: a. Bulbo raquídeo (Médula oblongada)

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Ø Situación: Entre la médula espinal y la protuberancia anular. Ø Longitud: 3 cm. Ø Forma: cono truncado. Ø Límites Superior: Surco bulbo-protuberancial. Inferior: Decusación piramidal, que corresponde al entrecruzamiento que realizan gran

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Biología parte de las fibras del haz corticoespinal (piramidal) que se inicia en la corteza motora y se dirige hacia la médula espinal. Ø Caras Anterior: Contiene a las pirámides bulbares, formadas por fascículos compactos que contienen fibras corticoespirales (piramidales). Posterior: Presenta al piso del cuarto ventrículo y a los pedúnculos cerebelosos inferiores. Laterales: En sus porciones superiores presentan a las olivas bulbares. Ø Estructura interna: Formada por sustancia gris y sustancia blanca. Sustancia gris: Constituida por los núcleos de los pares craneales: IX, X, XI, XII y el núcleo de las olivas bulbares. Sustancia blanca: Formada por haces ascendentes y descendentes. Ø Función Vía de conducción ascendente (sensitiva) y descendente (motora). Centro nervioso de respiración, cardiaco, vasomotor, deglución, tos, estornudo, vómito. b. Protuberancia anular o puente Ø Situación: Parte central del tronco encefálico entre el bulbo raquídeo y el mesencéfalo. Ø Longitud: 2,5 cm. Ø Límites Superior: Surco pontomesenencefálico.

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Guía teórica IV Inferior: Surco bulboprotuberancial (surco bulbopontino). Ø Caras Anterior: Presenta al surco basilar y a los rodetes protuberanciales (por donde emerge el V par craneal). Posterior: Presenta a la mitad superior del piso del IV ventrículo y a los pedúnculos cerebelosos medios. Ø Estructura interna Sustancia gris: Conformada por los núcleos de los pares craneales: V, VI, VII y VIII. Sustancia blanca: Constituida por haces ascendentes y haces descendentes. Ø Funciones Centro nervioso: De los pares V, VI, VII y VIII. Vías de conducción: motora y sensitiva. c. Mesencéfalo Ø Situación: Entre la protuberancia anular y el diencéfalo. Ø Longitud: 1,5 cm. Ø Caras Anterior: presenta a los pedúnculos cerebrales. Posterior: presenta a los pedúnculos cerebrales superiores y los tubérculos cudrigéminos. Ø Estructura interna Sustancia gris: Conformada por los núcleos de los pares craneales III, IV y V; por la sustancia gris y por el núcleo rojo. Sustancia blanca: Formada por haces ascendentes y descendentes. Acueducto de Silvio: Conducto que recorre la longitud del mesencéfalo comunicando el tercer ventrículo con el cuarto ventrículo.

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Biología Ø Funciones Centro nervioso, núcleo de los pares craneales: III, IV y V. Vía de conducción. Centro reflejo visual (tubérculos cuadrigéminos anteriores) y auditivo (tubérculos cuadrigéminos posteriores). B. Cerebelo Situación: Compartimiento posterior del cráneo. Forma: Ovoide. Dimensiones 9 cm de diámetro transversal, 6 cm de diámetro anteroposterior y 5 cm de diámetro vertical. Peso: 140 g Configuración externa Ø Caras: Anterior, superior e inferior. Ø Hemisferios: Derecho e izquierdo, unidos por el vermis.

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Guía teórica IV Configuración interna Ø Sustancia gris Constituida por la corteza cerebelosa (1-1,5 mm de espesor) y los núcleos cerebelosos (dentados, emboliformes, globosos y fastigios). Ø Sustancia blanca Constituida por el centro medular y el árbol de la vida. Conexiones del cerebelo El cerebelo está unido al bulbo raquídeo, a la protuberancia anular y al mesencéfalo por medio de los pedúnculos cerebelosos inferiores, medios y superiores, respectivamente. Funciones Ø Mantiene el equilibrio (archicerebelo). Ø Regula el tono muscular (paleocerebelo). Ø Coordina los movimientos (neocerebelo).

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Biología C. Cerebro Situación: En los comportamientos anterior y medio del cráneo. Forma: Ovoide. Dimensiones: 17 cm de longitud, 14 cm de ancho y 13 cm de altura. Peso: 1000-1200 gramos. Componentes A. Hemisferios cerebrales Son 2 (derecho e izquierdo) y están separados por la cisura interhemisférica. 1. Configuración externa Cada hemisferio presenta lo siguiente: Polos: anterior y posterior. Caras: externa (convexa), interna (plana) e inferior (irregular). La cara externa presenta 3 cisuras: central o de Rolando, lateral o de Silvio y perpendicular externa. Estas cisuras lo dividen en 4 lóbulos: frontal, parietal, temporal y occipital. Cada lóbulo presenta surcos que lo dividen en circunvoluciones. 2. Configuración interna Ventrículos laterales: Son dos cavidades situadas una en cada hemisferio cerebral. Sustancia gris: Constituida por la corteza cerebral (1,5-4,5 mm de espesor) y los núcleos basales (caudados, lenticulares, antemuros y amigdalinos). Sustancia blanca (centro oval): Constituida por fibras nerviosas que son de tres tipos:

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Guía teórica IV Fibras de asociación: Conectan dos zonas de la corteza de un mismo hemisferio. Fibras comisurales: Conectan dos zonas de la corteza de los dos hemisferios. Fibras de proyección: Conectan la corteza cerebral con porciones inferiores del encéfalo y con la médula espinal. 3. Funciones Motora: Realizada por el área motora del lóbulo frontal, genera impulsos nerviosos para la contracción muscular. Sensitiva: Realizada por el área sensitiva del lóbulo parietal. Recibe impulsos nerviosos y los traduce en sensaciones. Sensorial: Realizada por las áreas sensoriales. Recibe impulsos nerviosos y los traduce en sensaciones. Superior: Inteligencia, memoria, razonamiento, lenguaje. B. Diencéfalo Es la porción central y basal del cerebro. Está constituido por: a. Tálamos: Son dos masas ovoides situadas a ambos lados del III ventrículo, formando parte de sus paredes laterales. Funciones Estaciones de relevo de las vía sensitivas excepto para la vía olfatoria. Interpretación de impulsos sensitivos, como dolor y temperatura.

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Biología b. Hipotálamo Es una formación aplanada que se encuentra debajo de los tálamos formando el piso del III ventrículo. Funciones Gobierna el sistema endocrino.

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Guía teórica IV Ø Controla las funciones viscerales. Ø Regula la temperatura corporal. Ø Regula la ingesta de alimentos. Ø Regula la ingesta de líquidos. Ø Controla la conducta emocional.

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Biología Meninges Son envolturas continuas de la médula espinal y el encéfalo. Tipos De afuera hacia adentro son las siguientes: duramadre, aracnoides y piamadre. La duramadre se conoce también como paquimeninge. La aracnoides y la piamadre se encuentran unidas entre sí siendo consideradas como una membrana única, la leptomeninge. a. Duramadre: Es extensa y está constituida por tejido conectivo denso. Presenta vasos sanguíneos. Se divide en duramadre raquídea y duramadre craneal. Ø Duramadre raquídea: Se extiende desde el agujero occipital hasta la segunda vértebra sacra. Entre ella y la pared del conducto raquídeo se encuentra el espacio epidural que contiene tejido adiposo y vasos sanguíneos. Ø Duramadre craneal: Consiste en dos capas (externa e interna). La capa externa o capa perióstica, reviste el interior del cráneo, la

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Guía teórica IV capa interna o capa meníngea envía tabiques de separación, como son la hoz del cerebro, hoz del cerebelo y tienda del cerebelo. Entre la capa perióstica y la capa meníngea se ubican los senos venosos de la duramadre, como son el seno longitudinal, seno recto, etc. b. Aracnoides: Es intermedia y está constituida por mesotelio y tejido conectivo. No tiene vasos sanguíneos. Entre la aracnoides y la duramadre se ubica una cavidad virtual, el espacio subdural, que contiene escaso líquido seroso. La aracnoides está unida a la piamadre por una red de trabéculas y entre ambas se ubica el espacio subaracnoideo, en el cual circula el líquido cefalorraquídeo. En el trayecto de casi todos los senos venosos de la duramadre se observan proyecciones digitiformes de la aracnoides que atraviesan el espacio subdural e invaginan la pared del seno venoso. Estas son las vellosidades aracnoideas, que permiten el drenaje de líquido cefalorraquídeo del espacio subaracnoideo al sistema venoso.

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Biología

Guía teórica IV

c. Piamadre: Es interna y está constituida por tejido conectivo. Presenta vasos sanguíneos. La piamadre envuelve íntimamente a la médula espinal y el encéfalo. La piamadre invagina los ventrículos encefá-

licos constituyendo los plexos coroideos, los cuales secretan el líquido cefalorraquídeo. Los plexos coroideos están constituidos por epitelio ependimario y tejido conectivo con abundantes capilares sanguíneos.

Líquido cefaloraquídeo (LCR) Definición Es un líquido que sostiene y protege a la médula espinal y el encéfalo. Características Ø Ø Ø Ø Ø

Aspecto: limpio, cristalino, transparente, como “agua de roca” Color: incoloro Densidad: 1,005 g/ml pH = 7,35 Volumen: 150 ml

Composición Ø Ø Ø Ø Ø

Agua: principal componente Glucosa: 50-80 mg/dl Proteínas: 15-40 mg/dl NaCl: 720-750 mg/dl Células: 0-8/mm 3, casi todas linfocitos

Formación: Para los plexos coroideos ubicados en los ventrículos encefálicos. En los ventrículos laterales se forma la mayor cantidad de LCR, el cual se produce por transporte activo y pasivo. Diariamente se secreta 500 ml de LCR, por lo que éste se recambia, aproximadamente, 3 veces por día. Circulación

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Biología

Guía teórica IV

Absorción: Por las vellosidades aracnoideas ubicadas principalmente en el seno venoso longitudinal superior. Funciones Ø Disminuye o impide la transmisión de fuerzas de choque hacia el SNC. Ø Transporta nutrientes y desechos. Sistema nerviosos periférico Es un conjunto de ganglios y nervios situados por fuera del sistema nervioso central. Un nervio es un haz de fibras que tienen un destino común y un ganglio es una masa de cuerpos neuronales ubicado en el trayecto del nervio.

División a. Nervios espinales (raquídeos) Distribución: Existen 31 pares de nervios espinales que de acuerdo a las vértebras por las cuales salen son: Ø 8 cervicales Ø 5 lumbares Ø 1 coccígeo

Ø 12 dorsales Ø 5 sacros

Estos nervios se encuentran saliendo a través de los agujeros de conjunción vertebrales. Una vez emergidos se unen con otros nervios para formar redes de conexión llamadas plexos, excepto los nervios torácicos (D 2-D 11), los cuales son: Ø Plexo cervical: Formado por los nervios C1 -C 4. Inerva piel y músculos de la cabeza, cuello y parte superior de los hombros, además hay conexión con el XI y XII pares craneales, por ejemplo: el nervio frénico que inerva al músculo diafragma. Ø Plexo braquial: Formado por los nervios C5 -C 8, incluyendo a D 1, inerva de manera completa los superiores y el hombro. Ejemplo: nervio radial, nervio mediano y nervio cubital. Ø Plexo lumbar: Formado por los nervios L1 -L4 . Se distribuye en la pared abdominal anterolateral, genitales externos y parte del miembro inferior.

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Biología Ejemplo: nervio femoral (crural). Ø Plexo sacro: Formado por los nervios L4-L 5 y S1 -S4 . Se distribuye en glúteos, periné y inferiores. Ejemplo: nervio isquiático (ciático mayor).

Nota Los nervios espinales de D 2-D 11 no participa en la formación de plexos, sino que se distribuyen directamente en las estructuras que inervan. Se llaman nervios intercostales. b. Nervios craneales: Son doce pares de nervios, 10 de los cuales se originan en el tronco encefálico. Son los siguientes: Ø Olfatorio: Tipo sensorial. Función: Olfación. Se encuentra en la mucosa olfatoria y termina en el bulbo olfatorio, el cual se continúa con la cintilla olfatoria que termina en la corteza cerebral (área olfatoria). Ø Óptico: Tipo sensorial. Función: Visión. Se origina en la retina, luego termina en el quiasma óptico, cintillas ópticas, núcleo geniculado externo del tálamo y termina en el área visual de la corteza (lóbulo occipital). Ø Motor ocular común (Óculomotor). Tipo motor. Función: Movimientos de los párpados y del globo ocular. Acomodación del cristalino. Constricción de la pupila. Se origina en el mesencéfalo e inerva al músculo elevador del párpado superior y cuatro de los músculos extrínsecos del globo ocular: Oblicuo inferior y rectos superior, interno e inferior. También brinda inervación parasimpática al músculo ciliar y el músculo esfínter del iris. Ø Troclear (Patético): Tipo motor. Fun-

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Guía teórica IV ción: Movimientos del globo ocular. Se origina en el mesoencéfalo e inerva al músculo oblicuo superior del globo ocular. Ø Trigémino Tipo mixto. Función: Masticación. Sensibilidad cutánea de la cara (dolor y temperatura). Localización: Rama motora: se origina en la protuberancia anular y termina en los músculos masticadores. Rama sensitiva: se divide a su vez en tres ramas: oftálmica, maxilar superior y mandibular. Las cuales brindan sensibilidad a la piel de la cara y parte anterior del cuero cabelludo. Ø Abductor (motor ocular externo): Tipo motor. Función: Movilidad del globo ocular. Se origina en la protuberancia anular e inerva al músculo recto externo (lateral) del globo ocular. Ø Facial: Tipo mixto. Función: Motora: expresión facial. Secreción de saliva y lágrimas. Sensorial: gusto. Localización: Parte motora: se origina en la protuberancia anular y se distribuye en los músculos del cuero cabelludo, faciales y del cuello. Tiene distribución parasimpática en glándulas lagrimales, sublinguales, submaxilares, nasales y palatinas. Parte sensorial: nace en las papilas gustativas de los dos tercios anteriores de la lengua, atraviesa el ganglio geniculado, núcleo del puente, que envía fibras al tálamo para transmitir impulsos a las áreas gustativas de la corteza cerebral. Ø Vestíbulo-coclear (auditivo): Tipo sensorial. Función: Rama coclear: audición. Rama vestibular: equilibrio. Rama coclear: nace en el órgano de Corti, va al bulbo raquídeo y termina en el tálamo. Luego sus fibras hacen sinapsis con neuronas que se dirigen

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Biología

Guía teórica IV

al área auditiva de la corteza cerebral. Rama vestibular: nace en los conductos semicirculares, sáculo y utrículo, luego forma el ganglio vestibular, sus fibras atraviesan el bulbo, la protuberancia y termina en el tálamo. Ø Glosofaringeo: Tipo mixto. Función: Movimientos de deglución y secreción de saliva. Sensaciones gustativas y de regulación de presión sanguínea. Rama motora: se origina en el bulbo raquídeo y se distribuye en los músculos faringeos que participan en la deglución. Tiene distribución parasimpática en la glándula parótida. Rama sensorial: se origina en las papilas gustativas del tercio posterior de la lengua y en el seno carotideo, terminando en el tálamo. Ø Vago (Neumogástrico): Tipo mixto. Función: Porción motora, movimientos de deglución, músculos involuntarios y fonación. Rama motora: nace en el bulbo raquí-

deo y termina en los músculos de la faringe, laringe, vías respiratorias, pulmones, esófago, intestino delgado y la mayor parte del intestino grueso y la vesícula biliar. Sus fibras parasimpáticas inervan músculos y glándulas del aparato digestivo. Rama sensorial: recoge sensibilidad gustativa del paladar blando y parte posterior de la lengua. Además, recoge sensibilidad de todas las estructuras que inerva la porción motora, terminando en bulbo raquídeo y la protuberancia anular. Ø rio (Espinal): Tipo motor. Función: Porción bulbar, movimientos de la deglución. Porción espinal, movimientos de la cabeza y de los hombros. Ø Hipogloso: Tipo motor. Función: Movimientos de la lengua durante el habla y la deglución.

Sistema nerviosos autónomo o vegetativo Está constituido por un conjunto de neuronas ubicadas en el tallo cerebral, médula espinal y nervios periféricos. Tiene como función generar y conducir impulsos nerviosos eferentes involuntarios al músculo cardiaco, músculo liso y glándulas. Características 1. En su trayecto presenta 2 neuronas: Neuronas preganglionares: Sus somas están localizadas en el tallo cerebral y médula espinal, sus fibras nerviosas salen por los nervios espinales. Neuronas postganglionares: Sus somas están localizadas en los ganglios vegetativos y sus fibras nerviosas ingresan al órgano efector (músculo cardiaco, músculo liso y glándulas). 2. Poseen neurotransmisores de 2 tipos: Acetilcolina (Ach): Presente en las neuronas

SISTEMA HELICOIDAL

preganglionares y neuronas postganglionares del sistema parasimpático. Adrenalina (Adr): Presente sólo en las neuronas postganglionares del sistema simpático. 3. Inervan órganos que poseen músculo cardiaco y músculo liso, también a las glándulas. Componentes El sistema nervioso vegetativo de acuerdo a su estructura y función se divide en 2 partes que actúan, por lo general, en forma antagónica: 1. Sistema parasimpático También se llama cráneo sacro, se caracteriza por: Ø Su neurona proganglionar se localiza en el tallo cerebral y porción sacra de la médula espinal (S2 -S 4).

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Biología

Guía teórica IV

Ø Su fibra preganglionar es larga y viaja por los pares craneales: III, VII, IX, X y nervios sacros. Ø Su neurona postganglionar se ubica junto al órgano efector. Ø Su fibra postganglionar es corta, inerva al órgano efector. 2. Sistema simpático También llamado toraco-lumbar, se caracteriza por: Ø Su neurona nerviosa preganglionar se localiza en los segmentos medulares D 1 hasta L2 (médula espinal). Ø Su fibra nerviosa preganglionar, por lo general, es corta. Ø Su neurona postganglionar se ubica en los ganglios prevertebrales y paravertebrales. Ø Su fibra nerviosa postganglionar generalmente es larga e inerva al órgano efector. Efectos

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Biología

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Guía teórica IV

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Biología

Guía teórica IV Sistema sensorial humano

El sistema sensorial humano es un conjunto de órganos que presentan receptores sensoriales cuya función es captar estímulos externos e internos y tranformarlos en impulsos nerviosos, para luego conducirlos al sistema nervioso central para su posterior interpretación. 1. Componentes Receptores sensoriales Son células especializadas en captar estímulos (luz, sonido, presión, etc.) y transformarlos en impulsos nerviosos. Vías nerviosas aferentes Conjunto de fibras nerviosas que conducen el impulso nervioso hacia el sistema nervioso central.

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Corteza sensorial Región de la corteza cerebral encargada de interpretar los impulsos nerviosos. 2. Sensaciones olfatorias Son sensaciones cuyos receptores sensoriales están ubicados en la mucosa olfatoria. Receptores sensoriales Son neuronas bipolares llamadas células olfatorias, que junto con las células basales y sustentaculares forman el epitelio de la mucosa olfatoria. Mucosa olfatoria Reviste la región olfatoria de las fosas nasales. Está formada por epitelio olfatorio y lámina propia de tejido conectivo.

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Biología Vía aferente Los axones de las células olfatorias (I primer par craneal) atraviesan la lámina cribosa del hueso etmoides para hacer sinapsis con las células mitrales del bulbo olfatorio; a su vez, los axones de éstas últimas células forman la cintilla olfatoria que termina en la corteza olfatoria del lóbulo temporal. Fisiología de la olfación Las células olfatorias captan sustancias químicas a través de sus cilios, para luego generar

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Guía teórica IV impulsos nerviosos a través de sus axones. Para captar sustancias químicas, las células olfatorias se valen de sus cilios cubiertos de moco; a su vez, las sustancias captadas deben cubrir los siguientes requisitos: 1. Volatilidad, la cual les permite penetrar en las fosas nasales. 2. Solubilidad, lo cual les permite atravesar el moco. 3. Solubilidad en lípidos, lo cual les permite atravesar la membrana basal.

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Biología 3. Sensaciones gustativas Son sensaciones cuyos receptores sensoriales se encuentran en el dorso de la lengua. Receptores sensoriales Son células neuroepiteliales, que junto con las células basales y sustentaculares forman los botones gustativos. Botón gustativo Son estructuras ovoideas de 50 a 70 micrómetros. Se ubican principalmente en las papilas linguales y en menor número en el paladar, faringe y esófago proximal. Papilas linguales a. Papilas caliciformes (circunvaladas). Se ubican en la base de la lengua, son de 8 a 12 y forman la “V” lingual. Presentan, aproximadamente, 100 botones gustativos cada una.

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Guía teórica IV b. Papilas fungiformes. Se ubican en la punta y bordes de la lengua. Presentan, aproximadamente, 5 botones gustativos cada una. c. Papilas filiformes. Se ubican en los dos tercios anteriores de la lengua. Son las más abundantes, sin embargo, no presentan ningún botón gustativo y participan en el tacto. Vía aferente Las terminaciones nerviosas de los nervios VII, IX y X del tronco cerebral se dirigen al bulbo raquídeo conduciendo los impulsos nerviosos provenientes de los botones gustativos para posteriormente dirigirse al tálamo y finalmente al área del lóbulo parietal. Fisiología gustativa Las células gustativas presentan en su extremidad microvellosidades, la cual le permiten

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Biología

Guía teórica IV

a la célula gustativa entrar en o con las sustancias químicas disueltas en la saliva, para posteriormente generar impulsos nerviosos que se dirigen al área gustativa del lóbulo parietal. Los sabores básicos son los siguientes: 1. Dulce. Es captado principalmente en la punta de la lengua. 2. Ácido-Salado. Son captados principalmente en los bordes laterales de la lengua. 3. Amargo. Es captado principalmente en la base de la lengua. 4. Sensaciones visuales Son un tipo de sensaciones especiales cuyos receptores sensoriales (fotorreceptores) se ubican en el globo ocular. Componentes:

Ø Globo ocular Ø Anexos al globo ocular

SISTEMA HELICOIDAL

Globos oculares: Son dos órganos que se encuentran ubicados en las cavidades orbitales de la cara. Tienen un peso de 7,5 g cada uno y un diámetro anteroposterior de 25 mm. Estructura: El ojo se compone de tres (3) túnicas concéntricas, de afuera hacia adentro son: la túnica fibrosa, la túnica vascular y la túnica nerviosa. Además contienen a los medios refingentes. A. Túnica fibrosa Es gruesa y resistente. Se divide en: córnea (porción anterior) y esclerótica (porción posterior). Ø Córnea (“Ventana del ojo”).- Membrana transparente y avascular, cubre la sexta parte anterior del ojo ocular. Se une a la esclerótica mediante el limbo. Ø Esclerótica (“Blanco del ojo”).- Capa resistente, opaca y posterior, cubre las

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Biología cinco sextas (5/6) partes posteriores del globo ocular. Está en o con la cápsula de Tenon que la envuelve por fuera y en la cual se insertan los músculos oculomotores. B. Túnica vascular (úvea) Capa media del ojo, es una membrana de color oscuro. Está conformada por tres (3) porciones: 1. Iris: Es el segmento anterior de la úvea. Se comporta como un diafragma muscular de forma circular, presenta un agujero central denominado pupila. Está colocado verticalmente entre el cristalino y la córnea, en medio del humor acuoso. Está constituido por los músculos: esfínter de la pupila (inervado por fibras parasimpáticas) y el dilatador de la pupila (inervado por fibras simpáticas).

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Guía teórica IV 2. Cuerpo ciliar: Es la zona intermedia y más gruesa de la úvea. Está constituido por el músculo ciliar y los procesos ciliares. El músculo ciliar es inervado por fibras parasimpáticas y actúa en la acomodación del cristalino y los procesos ciliares (repliegues de tipo glandular) se encargan de producir el humor acuoso. 3. Coroides: Está situado entre la esclerótica y la retina, ocupa los 2/3 posteriores del globo ocular. Está constituido por tejido conectivo laxo; contiene abundantes vasos sanguíneos que brindan irrigación a la retina y a la esclerótica. C. Túnica nerviosa o retina Es la capa más interna, está constituida por tejido nervioso especializado en captar estímulos luminosos y transformarlos

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Biología en impulsos nerviosos. Histológicamente la retina se compone de diez (10) capas superpuestas, dentro de las cuales presentan cuatro (4) capas celulares que de afuera hacia adentro son: el epitelio pigmentario, las neuronas fotorreceptoras (que contienen a los conos y bastones), las células bipolares y finalmente las células ganglionares. En esta túnica tenemos: 1. La fóvea: Es la porción más angosta de la retina constituida sólo por conos. Es la zona de mayor agudeza visual. 2. El punto ciego (mancha ciega o papila óptica): Es la zona por la cual emerge el nervio óptico. Es insensible a la luz debido a que no posee fotorreceptores. 3. Los bastones: Son estructuras cilíndricas de 40 a 60 mm de largo. El número total aproximado es de 100 a 125 millones. La visión de los bastones se llama escotópica (visión nocturna).

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Guía teórica IV 4. Los conos: Son de forma cónica, su número aproximado es de 6 millones. En los conos hay pigmentos en relación a 3 colores básicos del espectro. Ø Absorción para el rojo Ø Absorción para el verde Ø Absorción para el azul D. Medios refringentes 1. Córnea: Ya ha sido descrita. 2. Humor acuoso: Ocupa el compartimiento anterior del ojo. Es un líquido de composición similar al plasma, es formado por los procesos ciliares. Una vez formado pasa a la cámara posterior, luego atraviesa la pupila para dirigirse a la cámara anterior, donde a nivel del ángulo iridocorneal es drenado por los conductos de Schlemm hacia las venas acuosas y de allí pasa a la circulación general.

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Biología 3. Cristalino: Es una lente biconvexa, transparente. Se halla fijado a los músculos ciliares por la zónula de Zinn. El modo en que está acomodada esta lente permite la formación de imágenes en la retina. 4. Humor vítreo: Ocupa el compartimiento posterior del ojo, es un líquido de consistencia gelatinosa que contiene agua, ácido hialourónico y colágeno. Anexos del globo ocular Ø Músculos extrínsecos Se dividen en músculos palpebrales: orbicular de los párpados y elevador del párpado superior, y músculos oculomotores: recto externo, recto interno, recto superior, recto inferior, oblicuo superior (mayor) y oblicuo inferior (menor).

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Guía teórica IV Ø Aparato lagrimal a. Glándula lagrimal: Está ubicada en el ángulo superior externo de la órbita. Elabora las lágrimas, la cual lubrica la parte anterior del globo ocular. b. Vía lagrimal: Está constituida por los conductos lagrimales, el saco lagrimal y el conducto lagrimonasal, el cual desemboca a nivel del meato inferior de las fosas nasales. Ø Conjuntiva Es una mucosa delgada que tapiza el polo anterior del globo ocular (excepto a nivel de la córnea) y la cara posterior de los párpados. Fisiología visual La luz, luego de atravesar los medios refringentes, llega a la retina y estimula a los conos y bastones, los cuales, a través del nervio óptico transmiten el impulso nervioso hacia la corteza occipital.

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Biología Vías ópticas: Retina, nervio óptico, quiasma óptico, cintilla óptica, núcleo geniculado (dorso lateral externo del tálamo), corteza occipital (área visual). 5. Sensaciones auditivas y del equilibrio Además de los receptores para las ondas sonoras, el oído contiene también receptores para el equilibrio. Desde el punto de vista anatómico se divide al oído en tres regiones principales: oído externo, oído medio (caja timpánica) y oído interno. Oído externo Posee una estructura que le permite captar las ondas sonoras y dirigirlas hacia el interior del oído. Está constituido por: 1. Pabellón auricular: Es un cartílago elástico en forma de trompeta recubierto por una gruesa capa de piel. Debido a su forma, orienta las ondas sonoras hacia el interior del conducto auditivo externo.

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Guía teórica IV 2. Conducto auditivo externo: Es una estructura tubular de unos 2,5 cm de longitud que se aloja en el hueso temporal. Va desde el pabellón auricular hasta el tímpano. Sus paredes consisten en tejido óseo recubierto por cartílago y a su vez está cubierto por una capa delgada y muy sensible de piel. Cerca de la abertura exterior posee pelos delgados y glándulas ceruminosas que excretan el cerumen o “cerilla” del oído. La combinación de los pelos y el cerumen evita que los cuerpos extraños ingresen al interior del oído. Oído medio (caja del tímpano) Es una cavidad de 1 a 2 cm3 llena de aire que está dentro del hueso temporal. Está recubierta por epitelio simple plano, separada del oído externo por el tímpano y del oído interno por una lámina ósea delgada que incluye dos pequeñas aberturas: la ventana vestibular (ventana oval) y la ventana coclear (ventana

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Biología redonda). El oído medio se comunica con la nasofaringe a través de conducto de la trompa de Eustaquio. El oído medio presenta: 1. Membrana timpánica (tímpano): Es una membrana delgada, oval y transparente que se localiza entre el conducto auditivo externo y el oído medio. 2. Huesecillos: Son 3 en cada oído medio: el martillo, el yunque y el estribo, que forman una cadena continua. El mando del martillo está adosado a la cara medial de la membrana timpánica, su cabeza se articula con el cuerpo del yunque, que a su vez hace lo propio con el estribo. La base del estribo encaja en la ventana oval, siendo el estribo el huesecillo que más movimientos realiza. 3. Trompa de Eustaquio (Tubofaringea): Es un conducto de 3-4 cm de longitud que comunica el oído medio con la nasofaringe. Su función es equilibrar la presión de ambos lados de la membrana timpánica. Oído interno (laberinto) Se encuentra en el espesor del peñasco del temporal. Consiste en: Laberinto óseo Formado por una cavidad central (vestíbulo, en el que desembocan los 3 canales semicirculares y de él parte un tubo enrollado conocido como el caracol). El laberinto óseo está cubierto por periostio y contiene un líquido denominado perilinfa, cuya composición es semejante al líquido cefalorraquídeo. Presenta: a. Vestíbulo: Cavidad central de forma oval. b. Canales semicirculares: Son 3 cavidades tubulares a manera de asa: superior, posterior y lateral. c. Cóclea (caracol óseo): Canal óseo espiral que describe 2 vueltas y , gira alrededor

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Guía teórica IV de un eje llamado modiolo o columela. Laberinto membranoso Se encuentra por dentro del laberinto óseo. Consiste en una serie de sacos y tubos cerrados incluidos en el laberinto óseo y que posee la misma forma que éste. Está recubierto por epitelio y contiene un líquido denominado endolinfa. Presenta: a. Utrículo y sáculo: El utrículo es una vesícula que ocupa la parte superior del vestíbulo y el sáculo se encuentra por debajo de éste. En sus paredes se encuentran unas manchas llamadas máculas, que constituyen los receptores del equilibrio estático. b. Conductos semicirculares: Salen del utrículo y están contenidos en los canales semicirculares óseos. Presenta en uno de sus extremos una dilatación llamada ampolla, en cuyo interior está la cresta ampular o acústica, formada por epitelio neurosensorial (equilibrio dinámico). c. Conducto coclear: Se localiza dentro del caracol óseo siguiendo sus contornos. Se continúa con el sáculo. Ø Órgano de Corti (Órgano espiral de Corti): Es un conjunto de células neuroepiteliales, especializadas en captar las vibraciones que llegan por la perilinfa y que son transmitidas a la endolinfa del conducto coclear por la membrana vestibular. Se encuentra en el suelo del conducto coclear, por encima de la membrana basilar. Es el órgano sensorial de la audición. División funcional del oído interno Funcionalmente el oído interno se divide en dos regiones: a. Región coclear o auditiva: Relacionada con la audición. Está constituida por la cóclea y el conducto coclear.

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Biología b. Región vestibular: Relacionada con el equilibrio. Está constituida por el vestíbulo y los canales semicirculares en su porción ósea y por el utrículo, el sáculo y los conductos semicirculares en su porción membranosa. Fisiología de la audición Ø Las ondas sonoras que llegan al oído son dirigidas al interior del conducto auditivo externo por el pabellón auricular. Ø Cuando las ondas llegan a la membrana timpánica hacen que vibre la membrana. Ø Estas vibraciones son transmitidas al martillo, yunque y estribo. Ø La vibración del estribo hace que la ventana vestibular se mueva hacia adentro y afuera, originando movimientos osculatorios de la perilinfa de la rampa vestibular hacia el conducto coclear. Ø La presión ejercida por la perilinfa empuja la membrana basilar hacia adentro y origina aumento de la presión de la endolinfa dentro del conducto coclear. Ø La vibración de la membrana basilar ori-

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Guía teórica IV gina que las pestañas de las células pilosas del órgano espiral (órgano de Corti) se muevan hacia la membrana tectoria. Ø Los impulsos nerviosos viajan a continuación por la porción coclear del nervio vestíbulo coclear (VIII par craneal) dirigiéndose finalmente a las áreas auditivas del lóbulo temporal en la corteza cerebral. Fisiología del equilibrio Los órganos receptores del equilibrio son el sáculo, el utrículo y los conductos semicirculares. Existen dos tipos de equilibrio: a. Equilibrio estático: Generan la información concerniente a la orientación de la cabeza en el espacio y son esenciales para la conservación de la postura. Se considera que el utrículo y el sáculo son los órganos sensoriales para el equilibrio estático. b. Equilibrio dinámico: Es captado por las crestas ampulares. Se refiere a la conservación de la posición corporal como respuesta a movimientos súbitos.

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Biología

Guía teórica IV

Preguntas resueltas 1. Si la imagen se forma detrás de la retina, la persona es (UNMSM 2005) A) présbite. C) astigmático. E) estrábico.

B) hipermétrope. D) miope.

Sustentación La formación de la imagen en la parte posterior de la retina corresponde un ojo hipermétrope. Rpta.: B 2. Marque la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) a las siguientes afirmaciones respecto al sistema nervioso. (CEPREUNMSM 2009) Ø El sistema nervioso de la hidra, está formado por protoneuronas. ( ) Ø Los impulsos se desplazan más rápidos a través de los nervios mielinizados. ( ) Ø Los nervios sensitivos llegan a la médula espinal por las astas ventrales. ( ) Ø Los receptores de los neurotransmisores se encuentran en la membrana presináptica. ( ) Ø El nervio vago también se denomina neumogástrico. ( ) A) VFVFV C) VVFFV E) VVFVF

B) FFVFF D) FVFVF Rpta.: C

Sustentación El órgano del sistema nervioso que se encarga de controlar la coordinación motora y el equilibrio es el cerebelo. Rpta.: D 4. El corpúsculo de Meissner, tiene por función responder a (CEPREUNMSM 2009) A) el tacto. C) el calor. E) el sabor.

B) el frio. D) el dolor.

Sustentación El corpúsculo de Meissner es uno de los varios receptores de presión superficial, es decir del tacto. Rpta.: A 5. Las células ciliadas del _____________ procesan las vibraciones sonoras. (CEPREUNMSM 2009) A) órgano de Corti C) oído externo E) tímpano

B) nervio auditivo D) oído interno

Sustentación Las células ciliadas que perciben vibraciones sonoras se hallan en el oído interno en la parte que corresponde al órgano de Corti. Rpta.: A

3. Si una persona presenta falta de coordinación al caminar y lo hace como si estuviese ebria se debería a una disfunción del (CEPRE UNMSM 2009) A) bulbo raquídeo. C) médula espinal. E) tálamo.

B) hipotálamo. D) cerebelo.

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Biología

Guía teórica IV

REPRODUCCIÓN

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Marco teórico SISTEMA REPRODUCTOR HUMANO Es un conjunto de órganos que se encargan de la conservación y perpetuación de las especies, en los vertebrados, la reproducción es de tipo sexual, es decir, van a participar los gametos (células sexuales), que son formados en las gónadas. Las gónadas también sintetizan a las hormonas sexuales: testosterona, estrógeno y progesterona. REPRODUCTOR MASCULINO Componentes a. Genitales externos: pene y testículos. b. Genitales internos: epidídimo, conducto deferente, conducto eyaculador y uretra. c. Glándulas anexas: próstata, vesícula seminal y bulbouretrales. Testículos Son dos glándulas mixtas, de forma ovoidal se ubican en el interior de las bolsas escrotales, miden aproximadamente 5 × 3 × 2,5 cm, pesan 20 a 25 g y tienen un color blanco lechoso. Los testículos se desarrollan en la porción alta del abdomen y descienden a las bolsas escrotales, por medio de los conductos inguinales a la mitad del sétimo mes de gestación. Estructura interna 1. Túnica externa Es un estroma llamado albugínea (conformado por tejido conectivo denso), que rodea el testículo y delimita la formación de los lobulillos testiculares, en número de 200 a 300. En la parte posterior y media del testículo, la

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albugínea, se condensa y forma el mediastino testicular o cuerpo de Highmoro, en donde se halla el rete testis o red de Haller. 2. Parénquima Es el tejido propio, está conformado por los lóbulillos testiculares en cuyo interior se hallan de 2 a 4 túbulos seminíferos y entre ellos se halla el espacio intersticial. El túbulo contiene 2 tipos de células: a. Espermatogonio: Es epitelio germinativo (simple cúbico), que madura en sentido centrípeto, hasta espermatozoide. b. Células de Sertoli: Son células de forma piramidal, se apoyan sobre la lámina basal del túbulo seminífero y se proyectan hacia el interior del mismo. Nutre a las células germinativas, las sostiene, protege y fagocita los restos de la espermiogénesis (transformación de la espermátide a espermatozoide). Estas células sustentaculares, elaboran a la hormona inhibida y forman la barrera hematotesticular.

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Biología Células de Leydig Se hallan en el intersticio, entre los tubos seminíferos. Tienen como función la síntesis de la hormona testosterona, ante el estímulo hipofisario. Vías espermáticas 1. Túbulos rectos: Salen del lobulillo testicular a nivel del vértice, al unirse los demás tubos rectos, determinan a la red de Haller. 2. Tubos eferentes: Nacen del rete testis, son unos 8 a 15 tubos, estos conductos salen del testículo y determinan la región cefálica (cabeza) del epidídimo. 3. Epidídimo: Está conformado por un único tubo, que mide hasta 7 m de longitud. Posee un epitelio pseudoestratificado con microvillis largos (estereocilios), que permitirá la madura-

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Guía teórica IV ción de los espermatozoides. Tienen músculo lisos que generan el transporte de los gametos. 4. Conducto deferente: Nace de la cola del epidídimo, posee paredes gruesas y estrecha luz, mide 35 a 40 cm. Conjuntamente con vasos sanguíneos y nervios forman el cordón espermático, que asciende al abdomen, terminando en una dilatación, llamada ampolla que se une a la vesícula seminal. 5. Conducto eyaculador: Nace de la unión de la ampolla con la vesícula seminal, mide 1 a 2 cm, atraviesa a la próstata y desemboca en la uretra. Permite la emisión del semen. 6. Uretra: Es un conducto urogenital, posee 3 porciones (prostática, membranosa y esponjosa), mide 18 a 20 cm y permite la salida del semen, durante la eyaculación.

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Biología

Glandulas anexas a. Próstata: Es un conjunto de 30 a 40 glándulas tubuloalveolares, que se hallan en la base de la vejiga, pesa 20 g y elabora el licor prostático (que es incoloro) en una cantidad equivalente al 37% del total del semen y contiene ácido cítrico, zinc, colesterol y fosfatasa ácida. La secreción prostática brinda caracteres lechosos al semen.

Guía teórica IV

viscoso amarillento, llamado licor seminal, que equivale al 60% del semen y le brinda caracteres mucosos. La secreción seminal, contiene ácido ascórbico, fosforilcolina, prostaglandinas y fructosa. c. Glándula de Cowper: Llamada también bulbouretral, se ubican detrás de la uretra membranosa. Su secreción actúa como lubricante de la uretra y del glande del pene.

b. Vesícula seminal: Son dos glándulas de forma tubular, mide 10 a 15 cm y están enrollados sobre sí mismo. Elaboran un líquido

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Biología Pene Es el órgano copulador masculino, tiene forma esférica, en flacidez mide 10 cm aproximadamente y en erección de 15 a 17 cm. Histológicamente, comprende tres cuerpos cilíndricos, distribuidos de la siguiente manera: a. Cuerpos cavernosos: Son dos cilindros superiores. Conformados por tejido eréctil, que

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Guía teórica IV determinan senos y que al llenarse de sangre, provocan la erección del pene. b. Cuerpo esponjoso: Es único, inferior, que en la parte más distal del pene, se dilata y determina al glande, que está recubierta por el prepucio. Este cuerpo está atravesado totalmente por la uretra esponjosa.

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Biología

Guía teórica IV

Espermatogénesis

Espermatozoide

Es un fenómeno continuo, que ocurre en los túbulos seminíferos y comienza en la pubertad, cursa 4 etapas, durante las cuales las células se trasladan desde la periferie a la luz del túbulo que las produce.

Es el gameto masculino, mide 4 a 5 mm de longitud, presenta las siguientes porciones:

1. Periodo de multiplicación: ocurre en las células troncales de la serie, llamados espermatogonios (2n) que se dividen mitóticamente a lo largo de la vida, produciendo siempre nuevos espermatogonios. Una de cada dos células así producidas entra en un período de crecimiento, y la otra se reproduce de nuevo y así sucesivamente. 2. Periodo de crecimiento: las epermatogonias crecen hasta alcanzar un tamaño casi del doble. Los espermatocitos I (2n) producidos de esta manera, son las células más abundantes. 3. Periodo de maduración: es cuando el espermatocito I (2n), en la meiosis I o reduccional, se divide en dos espermatocitos II (n) y durante la meiosis II o ecuacional, los espermatocitos II se dividen en cuatro espermátides (n). En esta etapa se va a formar el acrosoma. 4. Periodo de transformación: llamado también espermiogénesis o espermatohistogénesis; es la diferenciación de la espermátide a espermatozoides. Tras estos pasos de diferenciación, ocurre el desprendimiento de los espermatozoides, separándose del epitelio germinativo, mediante un fenómeno llamado espermiación. La espermatogénesis humana (desde espermatogonia), dura aproximadamente 74 días y necesita de una temperatura testicular inferior a 1 - 2 °C en relación a la temperatura corporal. Aproximadamente se van a madurar diariamente unos 500 millones de espermatozoides.

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a. Cabeza: se halla el núcleo con los cromosomas, los anteriores del núcleo están recubiertos por el acrosoma (adaptación del aparato de Golgi), que posee enzimas (hialuronidasa, acrosina neuraminidasa, proteasas). b. Cuello: se halla debajo de la cabeza uniéndolo con la pieza intermedia. Posee a los centriolos proximal y distal (forma el axonema). c. Pieza intermedia: es algo gruesa, posee numerosas mitocondrias ordenadas en espiral. d. Cola: posee una pieza principal, en la que el axonema está rodeado por una membrana plasmática, y una pieza final, sin esta membrana. Semen Es el líquido eyaculado durante el acto sexual masculino, resulta de la unión de los espermatozoides con los líquidos del conducto deferente, vesícula seminal, próstata y glándulas bulbouretrales. Características Ø Ø Ø Ø Ø

Estado físico: viscoso Color: blanco opalescente Aspecto: lechoso Densidad: 1,028 g/cm 3 pH = 7,5

Composición Espermatozoides, fructosa, ácido ascórbico, ácido cítrico, fosforilcolina, ergotinoneína, prostaglandinas, fosfatasas alcalina, fibrinolisina, aminoácidos, etc.

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Biología

Guía teórica IV

Funciones 1. Neutraliza la acidez vaginal. 2. Facilita la motilidad de los espermatozoides mediante la fructosa. 3. Lubricación de las vías espermáticas.

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Biología

Guía teórica IV Sistema reproductor femenino

Partes a. Genitales externos ì - Monte de Venus ï ï – Labios mayores Vulva ïí – Labios menores ï – Clítoris ï ïî – Vestíbulo

1. Monte de Venus: Es una acumulación adiposa, situado encima de la sínfisis del pubis. Se aprecia el vello púbico, de forma triangular con base superior.

Vulva

2. Labios mayores: Llamados también labios externos. Son los homólogos embrionarios de las bolsas escrotales. Los labios mayores, son dos rodetes gruesos cutáneos adiposos, de color oscuro, poseen glándulas sebáceas, sudoríparas y pelos. 3. Labios menores: Son llamados también internos, se observan al separar los labios mayores, son pequeños, delgados rosado-rojizo. Carecen de pelos, pero poseen grandes cantidades de glándulas sebáceas y algunas sudoríparas.

Está situada por debajo del monte de Venus, por delante del perineo posterior y por dentro de los surcos genitocrurales, la vulva comprende a los genitales externos.

4. Clítoris: Es un órgano eréctil, conformado por cuerpos cavernosos, se ubica en la parte anterior y superior de la vulva. Es homólogo al pene en su origen e histología.

b. Genitales internos: vagina, útero, trompas de Falopio, ovarios. c. Glándulas mamarias

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Biología 5. Vestíbulo: Es un espacio entre los labios menores el cual presenta: al meato urinario, orificio vaginal (parcialmente cubierto por el himen) y la desembocadura de las glándulas vestibulares (Skene y Bartholin). Vagina Es un conducto muscular y membranoso, que une a la vulva con el útero, tiene una luz virtual. Mide 7 a 10 cm, su capa mucosa no posee glándulas y está conformada por un epitelio estratificado plano no queratinizado, rico en glucógeno, además posee a la flora bacteriana vaginal (bacilo de Doderlein) que convierte el glucógeno en ácido láctico (pH: 3,5 a 4,2). Su capa muscular lisa es doble y se dispone en CILE. Extremamente posee una capa adventicia, constituida por tejido conectivo denso rico en fibras elásticas. Funciones 1. Órgano copulador femenino. 2. Facilita la salida del flujo menstrual. 3. Permite la salida del feto durante el parto y de la placenta durante el alumbramiento.

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Guía teórica IV Útero Es un órgano muscular hueco, piriforme, aplanado en dirección dorsoventral, ubicado en la región del hipogastro, pesa aproximadamente 70 g y mide 8×5×3 cm. El útero presenta 4 porciones: fondo (parte más alta), cuerpo (ocupa los 2/3 del útero), istmo (porción más estrecha) y cuello (se relaciona con la vagina). El útero histológicamente, consta de 3 capas: a. Perimetrio: capa serosa, repliegue del peritoneo, está conformada por tejido conectivo. Recubre el miometrio. b. Miometrio: es la capa muscular, muy gruesa, posee fibras musculares lisas, dispuestas en tres capas: LI, CM y LE. c. Endometrio: es la capa mucosa, formada por un epitelio simple cilíndrico no ciliado. Posee dos estratos: 1. Capa funcional: es gruesa, superficial; experimenta cambios periódicos consistentes en un engrosamiento y desprendimiento cíclico.

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Biología 2. Capa basal: es delgada y profunda, no es afectada por la menstruación y permanece para regenerar a la capa funcional luego que ésta se ha desprendido. Funciones 1. Interviene activamente en la menstruación. 2. Permite la implantación del cigoto y su posterior desarrollo hasta feto. 3. Interviene en el parto, a través de contracciones fuertes y rítmicas del miometrio.

Guía teórica IV por una capa fibrosa (albugínea). Esta última está recubierta por un epitelio peritoneal (epitelio germinal). Usualmente el estroma del ovario presenta dos zonas: a. Corteza: es periférica, presenta a los folículos en diferentes estadios de maduración (folículos primordiales, primarios, secundarios y maduros), así como en la edad reproductora también de cuerpos amarillos. b. Médula: contiene varios vasos sanguíneos. Funciones

Trompas de Falopio

1. Ovogénesis

Son llamadas también trompas o tubas uterinas. Son dos órganos musculares y tubulares, que se ubican en la cara superior y lateral del útero. Mide 10 a 12 cm de longitud por 6 a 8 mm de diámetro. Posee cuatro porciones:

2. Síntesis de hormonas sexuales

a. Intramural: llamada intersticial, se halla dentro del cuerpo uterino. b. Istmo: porción estrecha en relación al útero. c. Ampolla: es la sección expandida intermedia. d. Pabellón: es llamado también infundíbulo, tiene forma de embudo, posee a las fimbrias, que se relacionan con el ovario. Funciones 1. Permite el transporte de los gametos. 2. Facilita la fecundación en su tercio superior. 3. Nutre al ovocito y al cigoto. Ovarios Son dos glándulas mixtas ubicadas en las fosas iliacas. Tienen forma de una almendra, son de color variable (rosado en niñas; rojo en adultas y gris en menospáusicas). Miden 3 a 5 cm de longitud por 2 a 3 cm de grosor y pesan aproximadamente entre 6 y 8 g. Histológicamente el ovario presenta un estroma fundamental de tejido conectivo, rodeado

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Ovogénesis Es la formación, desarrollo y maduración de un ovocito. Este es un fenómeno cíclico, que se inicia en la vida prenatal, se detiene y se reinicia a partir de la pubertad, terminando con la menopausia. La ovogénesis ocurre en dos fases: a. Periodo prenatal: se da en la etapa embrionaria, con la producción de ovogonias (2n), que sufre de divisiones mitóticas; algunas se transforman en los ovocitos I (2n) dentro de los folículos primordiales. Estos ovocitos inician la meiosis I hasta profase. Este periodo termina con el nacimiento. b. Periodo posnatal: los ovocitos I han completado la profase, pero no inician metafase de la meiosis I, ya que ingresan en una etapa de reposo llamada dictioteno. Al nacer la mujer posee un promedio de 900 000 ovocitos I. Al llegar la menarquia, primera menstruación, cuentan con un número menor de ovocitos, que irá disminuyendo por la pérdida de varios al mes de los cuales sólo 1 será ovulado. Al madurar los folículos, los ovocitos I comple-

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Biología tan su primera división meiótica, determinando 2 células de diferente tamaño pero con 2n, uno se llama ovocito II y el otro es el cuerpo polar I, casi sin citoplasma. El ovocito II inicia la meiosis sólo hasta metafase, ya que ocurre la ovulación. Esta segunda división se completa sólo si el ovocito es fecundado. Ciclo menstrual Es un fenómeno fisiológico, que dura aproximadamente 28 días. Comprende dos ciclos: a. Ciclo ovárico: tiene como finalidad la maduración del ovocito II y la síntesis de hormonas sexuales. Tiene 3 fases: 1. Fase de maduración folicular: depende de las hormonas FSH y LH (secretados por el eje hipotálamo hipofisiario), que va a madurar a los folículos y permitir la ovulación, respectivamente. 2. Fase ovulatoria: es la expulsión del ovocito II, fenómeno que ocurre en la mitad del ciclo menstrual, aproximadamente el día 14. 3. Fase del cuerpo lúteo: corresponde a la formación del cuerpo amarillo o lúteo, después de la ovulación y a la elaboración de la hormona progesterona por éste. Si no hay fecundación, el cuerpo lúteo involuciona hasta cuerpo albicans. En caso de fecundación se mantiene durante 4 a 5 meses.

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Guía teórica IV b. Ciclo uterino: comprende cambios que ocurren en el endometrio, dependiendo de las hormonas estrógenos y progesterona, elaborados en el ovario. Se observan tres fases: 1. Fase menstrual: es llamado también fase de descamación - reparación, y es un sangrado por falta de hormonas, dura los primeros 3 a 5 días del ciclo expulsándose aproximadamente 40 ml de sangre, moco y líquido tisular. 2. Fase proliferativa: llamada también estrogénica, se realiza del 5.° al 14.° día. Los ovarios están en maduración folicular y secretan estrógenos que van a reparar el endometrio basal, aumentando la mitosis, renovación de vasos sanguíneos, y el aumentar el grosor del endometrio se generan nuevas glándulas rectilíneas. 3. Fase secretiva: llamada también progestágena, ocurre en la segunda mitad del ciclo uterino, entre los días 15.° al 28.°. Corresponde al periodo posovulatorio y es cuando el endometrio funcional alcanza una altura de 6 a 8 mm. Las arterias aumentan su irrigación y las glándulas se hipertrofian, secretando moco.

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Biología

Guía teórica IV

Reproducción en animales La vida se ha conservado sobre la Tierra, gracias a la capacidad inherente de todo ser vivo, el cual es poder reproducirnos, poder formar descendientes, los cuales mantengan viva la especie. Hoy hablamos de dos tipos de REPRODUCCIÓN SEXUAL Y ASEXUAL.

•

Poríferos: La reproducción asexual se realiza por medio de la yemas o brotes (germinación); también pueden cumplir con la reproducción sexual por medio de óvulos y espermatozoides, siendo la fecundación de tipo interna sin órganos copulares.

Estos dos mecanismos biológicos, son empleados en la aparición de generaciones. Generalmente los organismos con menor grado de desarrollo emplearán más la reproducción sexual y por consiguiente la reproducción sexual es más empleada entre los animales evolucionados.

•

Celenterados: Se cumple la METAGÉNESIS, con germinación asexual en la fase pólipo y con reproducción sexual por formación de gametos en la fase medusa, ejemplo: Aurelia aurita "medusa" o "malagua". Algunos temporalmente realizan solo la germinación, ejemplo: Hydra “hidra”.

•

Ctenóforos: Sexos unidos, células reproductoras formadas a partir del endodermo, en los conductos digestivos, desarrollo directo; sin fase asexual y alternancia de generaciones.

Sistema reproductor de los invertebrados Las estructuras anatómicas o sistemas empleados por los diversos phylo de invertebrados, es como sigue:

SISTEMA HELICOIDAL

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Biología •

Rotíferos: Sexos separados, los machos suelen ser disminuidos y degenerados o no existen; hembra con ovario, glándula vitelina y oviducto; reproducción partenogénica y sexual, de ordinarios ovíparos, sin larva.

•

Platelmintos: Sexos unidos (monoicos), sistema reproductor con gónadas, conductos y órganos rios, fecundación interna, huevos microscópicos cada uno rodeado de capas vitelinas encerradas dentro de una cubierta, desarrollo directo.

•

Nematodos: Los sexos suelen estar separados, los machos son más pequeños que las hembras, gónadas continuas, con conductos reproductores: únicas en el macho, doble en la hembra, fecundación interna, huevos microscópicos con cubierta quitinosa, desarrollo directo, larvas con varias mudas, sin reproducción asexual.

•

Moluscos: Los sexos suelen estar separados, algunos hermafroditas; una o dos gónadas con conductos espermáticos fecundación externa o interna, en su mayor parte, se les conoce reproducción asexual.

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Anélidos: Sexos unidos y desarrollo directo en oligoquetos e hirudineos, o sexos separados y con fase de larva trocófora en poliquetos. Algunos oligoquetos y poliquetos realizan reproducción asexual por gemación.

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Guía teórica IV •

Artrópodos: Sexos de ordinario separados, a menudo los machos distintos de las hembras, la fecundación casi siempre interna, huevos con mucho vitelo y cáscaras, ovíparos u ovovivíparos, generalmente con una o varias fases larvarias y metamorfosis graduales o rápidas; en algunos crustáceos e insectos existe partenogénesis.

•

Equinodermos: Sexos separados (raras excepciones), iguales externamente, gónadas grandes, con conductos simples, huevos abundantes, de ordinario fecundados en el mar, larvas microscópicas, ciliadas, transparentes y de ordinario nadadores, con notable metamorfosis. Son pocas las especies vivíparas, algunas se reproducen asexualmente por división y otras regeneran las partes perdidas.

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Biología

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Biología Reproducción en vertebrados Peces La gran mayoría de peces son dioicos con fecundación externa y desarrollo externo de los huevos del embrión (ovíparos). La mayoría de los peces desovan en determinadas momentos y estaciones. En algunos condrictios hay sexos separados, gónadas pares; los conductores de las gónadas se abren en la cloaca, la fecundación interna. Los conductos de Wolff llevan el esperma procedente de las gónadas del macho, que utiliza un conducto conduce los óvulos desde el ovario. Los huevos fecundados son incubados en el ovisaco. Anfibios Los machos presentan dos testículos con sus respectivos conductos deferentes que desembocan a los conductos mesonéfricos de función urogenital, es decir, actúan como conducto urinarios (transportan orina) y como conductos seminales (transportan espermatozoides) que desembocan en la cloaca. El órgano de Bidder está presente en anuros. Las hembras presentan dos ovarios y dos oviductos largos y contorneados que desembocan en la cloaca. Las paredes internas de los oviductos producen la envoltura gelatinosa de los óvulos. Son ovíparos.

Guía teórica IV Reptiles Los machos presentan dos testículos con sus respectivos conductos deferentes que desembocan en el urodeo de la cloaca. Las serpientes y saurios machos poseen un par de hemipenes, que son estructuras musculares que emergen de las cloacas. Los cocodrilos y quelonios poseen pene constituido por una masa muscular un canalículo central (carecen de uretra). Ambos tipos de órganos copulares permiten el paso de espermatozoides. Las hembras poseen dos ovarios y dos oviductos que también desembocan en el urodeo de la cloaca. A nivel de los oviductos donde se lleva a cabo la fecundación existen engrosamientos glandulares encargados de la formación de las envolturas rias del huevo (albúmina o clara, envoltura membranosa y cáscara calcárea). En la mayoría, los huevos fecundados y con cáscara son llevados al interior para su incubación (ovíparos). Algunas serpientes incuban sus huevos en el interior del oviducto, donde eclosionan, liberando las crías (ovovivíparos). Los cocodrilos son ovíparos. Generalmente ponen 20 a 25 huevos, custodiados por la hembra, que, cuando oye las voces de los jóvenes en el momento de la eclosión, responde abriendo el nido para permitirles escapar. Se reconoce que en tortugas y cocodrilos la temperatura ambiental influye en la determinación del sexo.

Debido a que los sapos y las ranas son ectotérmicos, se reproducen sólo durante las épocas más cálidas del año.

Aves RÁTIDAS - CARENADAS: Son dioicos.

En la primavera los machos croan para llamar a sus hembras. Cuando sus huevos está maduros, las hembras entran en el agua y son sujetadas por los machos en un proceso que se denomina amplexo, éste estimula para que la hembra libere sus huevos, el macho descarga el fluido seminal que contiene espermatozoides sobre los huevos y de esta forma, los fecunda (fecundación externa).

Ø 2 testículos sujetos por el mesorquio - conducto eferente - conducto deferente ( = glomus, glamera) - conducto eyaculador ( = cond. ampular) - cloaca. Ø En aves pequeñas el conducto deferente es largo en forma de madeja y recibe el nombre de glomus.

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Machos

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Biología Ø La espermatogénesis sólo se realiza por la noche cuando la temperatura del animal dormido desciende a 3 ºC por debajo de la diurna. Ø Avestruz, pato, cisne, ganso, perdiz presentan pene cloacal (falso pene). Hembras Ø Ovario izquierdo - oviducto izquierdo - útero (= glándula de la cáscara) - cloaca. Ø El ovario derecho es vestigial, en su lugar hay tejido conectivo. Ø Si se elimina el ovario izquierdo, el ovario derecho puede desarrollar dando lugar a un testículo estéril o funcional, se parece a un racimo de uvas y los huevos visibles en su superficie difieren en tamaño. Ø Halcones, gavilanes y aguiluchos presentan 2 ovarios.

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Guía teórica IV Ø El oviducto es largo y flexuoso y tiene 3 porciones: infundíbulo, segmento rugoso, istmo. Ø El segmento rugoso segrega la albúmina (clara). El istmo segrega cáscara membranosa. Ø La glándula de la cáscara segrega la cáscara calcárea. Apareamiento Ø Aposición cloacal. El genital es grande (en épocas de reproducción los testículos aumentan de tamaño 300 veces). Ø Adquieren madurez sexual a fines del primer año. Fecundación Ø Interna, se realiza en el infundíbulo. Mamíferos

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Biología PROTOTERIOS - MONOTREMAS METATERIOS - MARSUPIALES EUTERIOS Son dioicos. Machos Ø Tienen 2 testículos - tubos rectos - red de Haller - conductillos eferentes - conducto eyaculador - uretra. Ø Testículos alojados en el escroto. Ø Elefantes, ballenas, delfines, focas presentan testículos abdominales ( = criptorquidia). Ø Los testículos de insectívoros, roedores y quirópteros descienden al escroto durante la estación reproductiva (época de celo) y se retraen dentro del cuerpo durante el reposo sexual. Ø Los monotremas, marsupiales y carnívoros carecen de vesícula seminal. Ø Presentan pene: • • •

•

En los monotremas se ubica en la base de la cloaca y carece de uretra. En los marsupiales el pene es bífido. Los roedores, cetáceos, carnívoros primates inferiores presentan hueso peneano (báculo, os priapi, os penis). Los murciélagos presentan espermatozoides que conservan su viabilidad varias semanas.

Hembras Ø Prototerios - Monotremas: Presentan ovario izquierdo - oviducto izquierdo - útero - cloaca. Hembras sin pezón. Ø Metaterios - Marsupiales: Tienen 2 ovarios, 2 oviductos - útero doble, vagina bifurcada. Ø Euterios Ø Presentan 2 ovarios - 2 oviductos - útero vagina. Ø El útero puede ser: • Doble: roedores, murciélago, elefante • Bipartido: útero se fusiona en su extremo inferior: buey, cerdo y carnívoros. Cada mitad se llama cuerno.

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Guía teórica IV •

Bicórneo: Si el grado de fusión es superior: ovejas, insectívoros, ballenas. • Simple: primates. Ø La vagina puede ser: • Simple (monodelfo) mayoría de los mamíferos. • Doble (didelfo) se presenta en marsupiales. • En primates la vulva está protegida por los labios. • Glándulas mamarias: • Un par: murciélago, elefante, caballo, hombre. • Numerosas: cerdo, roedores, carnívoros. Apareamiento Ø Todos presentan cópula. Fecundación Ø Todas poseen fecundación interna, se realiza en oviducto (= trompas de Falopio). Nacimiento Ø Prototerios: Ovíparos: huevos calcárea, sin pezones.

con cáscara

Observación Ø Metaterios - Marsupiales: Vivíparos aplacentarios, útero con placenta, pezones en marsupio. Ø Euterios: Vivíparos placentarios: Útero con placenta, pezones ventrales, embrión madura en el útero, presenta membranas fetales, amnios, corión, alantoides.

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Biología

Guía teórica IV ECOLOGÍA 33

Marco teórico ECOLOGÍA Padre

Definición

Es el zoólogo darwinista alemán Ernst Heinrich Haeckel, quien entre 1868-1869 acuñó la palabra ecología.

Ø Biología del medio. Ø Interrrelación entre los seres vivos y su medio (= ambiente). Ø Estructura y función de la naturaleza. Ø Estudio de ecosistemas.

Etimología Voces griegas: oikos : casa ü ý oekologie logo : estudioþ

Divisiones 1. Autoecología Grupo de individuos que se relacionan con su medio. 2. Sinecología Grupo de individuos de diferente especie que se relacionan con su medio. Organización de los sistemas ecológicos La Tierra es un sistema de equilibrio dinámico que comprende: Ø Ø Ø Ø

Biósfera: seres vivos del planeta Tierra. Atmósfera: masa gaseosa. Hidrósfera: masa de agua. Litósfera: masa terráquea.

Ecosistema (= biogeocenosis) Término acuñado por el ecólogo inglés Tansley (1935). Ø Es la unidad básica y funcional de la ecología. Ø Cualquier unidad que incluya a la totalidad de organismos de un área determinada que se relaciona con su medio físico, de modo que una corriente de energía conduzca a una estructu-

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Biología

Guía teórica IV

ra trófica, diversidad biótica y a ciclos materiales que están claramente definidos dentro del sistema. Ø Es una interacción de una comunidad de seres vivos con el medio. ECOSISTEMA = COMUNIDAD Å BIOTOPO BIÓTICA

(Entorno)

(= biocenosis)

Ø Biocenosis Productores, consumidores, desintegradores. Ø Biotopo Sustancias inorgánicas (C, N, NO2 , H2O, piedra, arcilla, guijarros), lípidos, proteínas, heces, temperatura ambiental, luz, humedad, presión atmosférica, suelo, salinidad, nubosidad, precipitación pluvial.

BIOTOPO Biotopo(= lugar)

Horizonte D

Ambiente físico donde se desarrollan los organismos. Incluye las condiciones ambientales suelo, luz, temperatura, presión atmosférica (terrestre y acuática).

Roca madre en proceso de fragmentación.

A. El suelo Ø Capa externa delgada de la litósfera. Ø Formación: Proceso de erosión (desgaste de la superficie terrestre por el viento, el agua y los seres vivos. Estructura (= perfil) Horizonte O Capa superficial. Hay materia orgánica en proceso de descomposición. Esta capa se acumula gracias al mantillo de hojas (caída de vegetación) y organismos muertos. Horizonte A (= de lavado) Presenta arcilla fina (tierra constituida por silicato de aluminio hidratado) y humus (sustancia orgánica oscura fenólica que ya no se descompone). Horizonte B (= de acumulación) Capa constituida por óxido de Fe y minerales de arcilla. Hay acúmulo de minerales. Horizonte C Fragmentos de rocas.

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Nota Los suelos que favorecen el desarrollo de la vegetación se localizan en el horizonte A y comprenden a los podzoles y chernozem, que son ricos en sustancias nutritivas (valles de la costa y selva baja). Salinidad de los suelos Agrupa a las plantas en: 1. Glicófitas Crecen en suelos con poca salinidad. Incluye a la mayoría de las plantas. 2. Halófitas Crecen en suelos con mucha salinidad. Ejemplos: grama salada, junco, salicornia, totora. Humedad de los suelos Agrupa a las plantas en: 1. Xerófitas Se desarrollan en ambientes secos. Presentan cutícula gruesa, estomas hundidos en el mesófilo, tallos suculentos almacenadores de agua. Ejemplos: tuna, sampedro, sábila, maguey, asiento de suegra (cacto).

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Biología 2. Mesófitas Se desarrollan en medios ni muy húmedos ni muy secos. Propio de espermatofitas. 3. Higrófitas Se desarrollan en suelos muy húmedos. Ejemplo: musgo, helechos, cola de caballo, culantrillo de pozo, mangle, platanero. pH del suelo Ø Rico en fosfato Suelo neutro, ligeramente alcalino. Ø Rico en carbonato Suelo ácido. B. La luz Las nubes bajas reflejan mucha luz, las nubes altas no. Fotoperiodicidad Respuestas fisiológicas de animales y plantas a las variaciones de iluminación durante las estaciones. En los vegetales se realiza gracias a unas proteínas llamadas fitocromos. Ritmo circadiano Comportamiento diurno-nocturno diferencial de los organismos. Efecto de la luz sobre la distribución de las plantas 1. Plantas heliófilas Se desarrollan con luz intensa, presentan lianas. Hay dos capas de parénquima muriforme. Ejemplos: salvia, uña de gato. 2. Plantas esciófilas Se desarrollan con poca luz. Presentan muchos tilacoides. Ejemplos: musgos hepáticos, helechos. Efecto de la luz sobre la floración de plantas 1. Plantas macrohemeras (día largo) Florecen en primavera y verano. Ejemplos: chamico, lechuga, trébol.

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Guía teórica IV 2. Plantas microhemeras (días cortos) Florecen en otoño e invierno. Ejemplos: bardona, crisantemo, nochebuena. 3. Plantas de día neutro Tomate, frijol, pensamiento. Efecto de la luz sobre la actividad de los animales terrestres 1. Animales de hábitos diurnos-nocturnos. 2. Coloraciones aposemáticas y crípticas. 3. Hibernación y estivación. 4. Desove de los peces. C. La temperatura Es el calor acumulado en el ecosistema. Efecto de la temperatura sobrela distribución de los animales 1. Animales estenotermos Soportan pocas variaciones térmicas. Ejemplo: pez antártico (Trematormus bernachii) que tolera de –2 ºC hasta 2 ºC. 2. Animales euritermos Soportan variaciones térmicas. Ejemplo: la mosca, que tolera de 5 ºC hasta 45 ºC. Temperatura y comportamiento estacional de los animales 1. Estación fría Anfibios y reptiles quedan entumecidos. Murciélagos, marmotas, osos polares sufren letargo (= hibernación, sueño invernal) debido al hipofuncionamiento de la glándula tiroides. 2. Verano En esta época algunos anfibios, reptiles y aves sufren letargo reposando en madrigueras (estivación). Los insectos hibernan en fase de huevo, larva o pupa, periodo conocido como diapausa.

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Biología Los reptiles de zonas áridas son diurnos en primavera y nocturnos en verano. Las cigüeñas y golondrinas evitan el frío emigrando a zonas cálidas. Temperatura corporal en los animales 1. Animales homeotermos (aves, mamíferos) Mantienen su cuerpo a temperatura constante. Son endotermos porque poseen mecanismos que regulan su temperatura a nivel del sistema nervioso y endocrino. 2. Animales poiquilotermos (invertebrados, peces, anfibios, reptiles). La temperatura de su cuerpo es variable. Son ectotermos porque dependen de la temperatura ambiental. 3. Animales heterotermos Cuando un homeotermo disminuye su temperatura corporal durante el invierno e hiberna. Ejemplo: la temperatura corporal del oso disminuye de 37 ºC hasta 4 ºC. D. La presión atmosférica La presión atmosférica es de 760 mmHg a nivel del mar. En altura, la presión parcial de oxígeno disminuye ocasionando el mal de altura (soroche). A 6600 m la presión de O2 es de 80 mmHg. Los auquénidos y aves de los Andes se han adaptado aumentando su número de glóbulos rojos. E. Acuático Clasificación de organismos acuáticos 1. Plancton Pequeños flotantes arrastrados por corrientes. Incluye al fitoplancton y zooplancton. 2. Neuston Larvas y animales pequeños.

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Guía teórica IV 3. Necton Calamar, malagua, peces (anchoveta, tiburón), cetáceos. 4. Bentos Vive sobre sustratos fijos o móviles. Ejemplos: rodofitas, esponjas, anémonas, estrella de mar. Clasificación de ambientes acuáticos a. Ambientes continentales (agua dulce) Comprende: 1. Ambientes lóticos Aguas corrientes (ríos, riachuelos, vertientes), constituidos por lechos y corrientes. Presentan flora y fauna típicos. Ejemplos: bagre (boquichico), cuya boca funciona com ventosa para fijarse en las rocas. 2. Ambientes lénticos Aguas quietas (lagos, lagunas, estanques). Presentan las siguientes zonas: Zona litoral Periférica, poca profundidad, hay algas, plantas, animales de orilla (sapo, cocodrilo, pato, nutria). Zona limnética Superficial hacia el centro, contiene plancton. Zona béntica Porción del terreno en declive. Hay algas, anélidos, larvas de insectos, cangrejos, caracol. Zona profunda Poca luminosidad, habitada por peces. b. Ambientes marinos Presentan abundancia de cloruros. ZONACIÓN MARINA Estratificación y división de los ambientes marinos.

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Biología 1. Según la profundidad Ø Zona eufótica (= fital, 0-200 m) Llega iluminación solar, habitada por fitoplancton y consumidores. Ø Zona afótica (= afital) No llega iluminación. Hasta los 2000 m de profundidad es batial y a mayor profundidad es abisal (peces abisales). 2. Según la distancia de la costa Ø Zona mesolitoral (= intermareas) Franja de la costa entre las líneas de marea baja y marea alta. Ø Región bentónica Piso del océano formado por sedimentos de arena, lodo.

Guía teórica IV Provincia oceánica: Mar abierto que cubre la cuenca oceánica. La salinidad del agua Agrupa a los peces en: 1. Peces estenohalinos No toleran variaciones de salinidad, incluye a peces de agua dulce y a peces marinos. 2. Peces eurihalinos Toleran ambientes de diversa salinidad. Pueden ser: Ø Catádromos: Viven en agua dulce pero desovan en el mar. Ø Anádromos: Viven en el mar pero desovan en el agua dulce. Ejemplo: salmón, anguila.

Ø Ambiente plágico Es el mar abierto. Se divide en: Provincia nerítica: Mar abierto sobre la plataforma continental.

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Biología

Guía teórica IV BIOCENOSIS

Biocenosis (cenosis = comunidad) Todas las poblaciones que ocupan un ambiente común. Población Conjunto de individuos de la misma especie que habitan un área determinada y se pueden reproducir entre sí. Ejemplo: población de cuyes. Hábitat Especie geográfica donde un individuo realiza sus actividades de nutrición, reproducción y relación. Según el hábitat los organismos pueden ser: Ø Estenoicos: habitan especies restringidas. Ø Eurioicos: tienen hábitat de condiciones variables. Ejemplo: El hábitat del muimuy es la orilla arenosa del mar. Ejemplo:El hábitat del choro es la orilla rocosa del mar. Ejemplo:El hábitat de la vicuña y el puma es el pajonal de puna. Ejemplo:El hábitat del jaguar es el sotobosque (bosque tropical). Ejemplo:El hábitat del mono maquisapa es el dosel forestal o copa de los árboles. Nicho ecológico Función que desempeña el ser vivo en su hábitat. Ejemplo: el nicho ecológico del león es ser depredador. El niño ecológico del puma es ser carnívoro y depredador de la vicuña. Biomasa Cantidad de organismos de un ecosistema. Se expresa en kilogramos.

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Según la filosofía de la nutrición, los seres vivos pueden ser Ø Productores Son organismos autótrofos (elaboran su propio alimento). Ejemplo: bacterias fotosintéticas, algas, plantas. Ø Consumidores (= fagótrofos) Son organismos heterótrofos (utilizan alimento ya elaborado), holozoicos (ingieren, digieren y absorben alimentos). Comprende: 1. Fitófagos Animales que comen algas, plantas. Ejemplos: vaca, venado, llama, saltamontes (herbívoros), anchoveta (fitoplancton), jirafa (ramoneador). 2. Carnívoros Animales que comen otros animales. Ejemplo: los sapos y camaleones son insectívoros; las ballenas son planctófagas (comen krill), los delfines son ictiófagos (comen peces). 3. Omnívoros (= generalistas) Animales que comen plantas y animales. Ejemplos: aves, cerdo, sajino, oso de anteojos, muchos monos, el hombre. Red alimenticia Es la intersección de varias cadenas alimenticias en un ecosistema. Pirámides alimenticias Es la representación gráfica de la cantidad de individuos y de su masa relativa que se encuentra en cada uno de los niveles tróficos.

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Biología Asociaciones ecológicas (= interrelaciones biológicas, simbiosis) Son las relaciones entre organismos. Pueden ser intraespecíficas e interespecíficas). A. Asociaciones intraespecíficas Ocurren entre individuos de la misma especie. Comprende: 1. Colonial Individuos que se reproducen por gemación, son acuáticos. Ejemplo: esponjas, celentéreos. 2. Compensación Cuidado de crías propias y ajenas. Ejemplo: pingüino emperador. 3. Competencia Lucha por la existencia, espacio, luz, alimento, pareja. Ejemplo: los leones.

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Guía teórica IV 4. Estatal (= sociedad, cooperación inconsciente) Forman poblaciones con especialización de funciones (trabajo) para beneficio de todos los . Se organizan en castas. Ejemplo: abejas (reinas, obreras, zánganos). 5. Gregaria Reunión de animales con fines defensivos o nutritivos. Ejemplo: nubes de langostas, banco de sardinas. 6. Migración Buscan mejor espacio, alimento. Ejemplo: migración de aves, de lemmings. 7. Sexuales (= familiar, predominio social) Se juntan con fines reproductivos. Ejemplo: pareja (cisne, gorrión); grupales (lobo marino, gallo).

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Biología B. Asociaciones interespecíficas (= relaciones tróficas, colaterales) Ocurre entre individuos de diferentes especies. Comprende: 1. Neutralismo (0/0) Son independientes entre sí. Ejemplo: cebra, jirafa. 2. Mutualismo (+/+) Ambos se benefician, es obligatorio. Ejemplo: Rhyzobium y leguminosas, algas y hongos (liquen), hongos y raíces (microrrizas). 3. Protocooperación (+/+) Ambos se benefician, no es obligatoria. Ejemplos: hombre y perro, avefría y cocodrilo. 4. Comensalismo (+/0) También llamado epibiosis. Un individuo se beneficia (comensal) y el otro es indiferente (patrón). Ejemplo: estornino y rinoceronte; rémora y tiburón.

Guía teórica IV 8. Competencia (–/–) Ambos se perjudican porque compiten por el mismo alimento. Ejemplo: dos tenias (c. intraespecífica); tenia y lombriz (c. interespecífica). 9. Amensalismo (–/0) Un individuo (inhibidor), que es indiferente, produce sustancias químicas (alcaloides, cineola, alcanfor, antibióticos) que no permiten el desarrollo del otro individuo (amensal). En plantas se llama alelopatía (eucalipto, yerbas) y en microorganismos se llama antibiosis (Penicillum, bacterias). 10. Depredación (= predación, episitia) (+/–) Un individuo (depredador) se beneficia del otro individuo (presa). No es obligatoria. Si ambos pertenecen a la misma especie se llema canibalismo. Ejemplo: puma andino y vicuña, lechuza y ratón.

5. Inquilinismo (+/0) Un individuo pequeño (inquilino) vive dentro o sobre otro individuo más grande (hospedador) obteniendo protección, refugio. Ejemplo: cangrejos que se camuflan en las hidras; alevines del pez payaso y tentáculos de cnidarios. 6. Tanatocresis (+/0) Usan cadáveres para buscar refugio, defensa. Ejemplo: anélidos marinos usan los caparazones de los crustáceos. 7. Foresia (+/0) Implica el transporte de un organismo (huésped) por parte de otro organismo mayor (anfitrión, patrón). Ejemplo: semillas de plantas transportadas en el intestino de las aves; aves pequeñas sobre otras aves grandes durante las migraciones.

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Biología

Guía teórica IV FLUJO DE MATERIA EN EL ECOSISTEMA

1. Cadena trófica Se refiere a la transferencia de energía alimenticia, desde su origen en las plantas a través de una sucesión de organismos, cada uno de los cuales ingiere al que lo precede y es ingerido a su vez por el que lo sigue. Es decir, en una comunidad se establece un flujo de materia que va desde los productores hasta los organismos consumidores. Entre éstos existen eslabones o niveles tróficos que se ordenan de la siguiente manera: a. Primer nivel trófico Formado por los organismos productores primarios que habitualmente son plantas o algas en ecosistemas acuáticos. Estos organismos fotosíntéticos usan la energía luminosa para producir moléculas orgánicas, que luego se transforman en fuentes de energía química. b. Segundo nivel trófico Formado por los organismos consumidores primarios (herbívoros), los cuales se pueden alimentar de plantas o algas. Ejemplo: una oveja, un elefante, un erizo de mar, un caracol, etc. c. Tercer nivel trófico Formado por los consumidores secundarios (carnívoros), los cuales constituyen animales que se alimentan de los herbívoros. En cada caso sólo una pequeña parte de la sustancia orgánica del cuerpo del herbívoro se incorpora al cuerpo del carnívoro. d. Cuarto nivel trófico Formado por los consumidores terciarios (detritívoros o carroñeros), los cuales se sustentan de los desechos o detritos de una comunidad (hojas, raíces, ramas, heces,

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esqueletos, etc.). Ejemplo: buitres, chacales, cangrejos, lombrices de tierra, etc. e. Quinto nivel trófico Formado por los desintegradores encargados de descomponer los restos de organismos muertos o los productos resultantes del metabolismo de los niveles anteriores, realizando un auténtico reciclaje de nutrientes al tiempo que elaboran nuevos productos y forman el suelo. Ejemplo: hongos y bacterias. 2. Ciclos biogeoquímicos Un aspecto importante de las transferencias de materia en los ecosistemas reside en la existencia de circuitos a través de los cuales con reciclados los diversos elementos. Los seres precisan de muchos elementos para realizar la síntesis de su protoplasma. Los más importantes son: C, H, O, N, P y S. A los mencionados elementos se añaden otros, necesarios en menor cantidad: Ca, Fe, K, Mg, Na, etc. Éstos pasan de la materia viva a la inorgánica, recorriendo circuitos más o menos complejos que reciben el nombre de ciclos biogénicos o biogeoquímicos. Se reconocen dos tipos de ciclos: los gaseosos, en los que la atmósfera es la reserva esencial del elemento (carbono, nitrógeno, agua); y los sedimentarios, cuando el elemento es almacenado en forma de sedimento sólido (fósforo y azufre). a. Ciclo del carbono El carbono es un componente esencial de los seres vivos, se encuentra en minerales y rocas bajo la forma de carbonatos y en la atmósfera y el agua, como anhidrido carbónico (CO 2). Los vegetales verdes absorben de la atmósfera el CO2 , del cual

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Biología toman el carbono durante la fotosíntesis y con ayuda de la energía solar fabrican sus alimentos y sustancias de reserva, como son el almidón y el azúcar. El oxígeno que queda del CO 2 es devuelto a la atmósfera. Los animales y el hombre se alimentan de productos vegetales. En consecuencia, transforman los hidratos de carbono aprovechando la energía que en ellos existe y eliminando durante el proceso de la respiración el carbono residual a la atmósfera, bajo la forma de CO 2 . De esta manera restituyen el carbono al ambiente natural. b. Ciclo del nitrógeno La atmósfera tiene aproximadamente 70% de gas nitrógeno, pero ni las plantas ni los animales pueden usarlo directamente, sólo pueden aprovecharlo algunas bacterias. Las bacterias existen normalmente en el suelo o en las raíces de algunas plantas leguminosas como el frjol, guisantes, etc. Dichas bacterias fijan o capturan directamente el nitrógeno atmosférico y lo transforman en nitratos, compuestos químicos que son aprovechados por los vegetales para elabora proteínas, vitaminas y otras moléculas orgánicas. Cuando los animales consumen estos vegetales, transforman las proteínas que contienen en proteínas animales. Luego, los organismos vegetales y animales que muere son descompuestos rápidamente por los microorganismos (bacterias y hongos) para dar origen a otros compuestos químicos como amoníaco, que pasa luego a la atmósfera y es aprovechado nuevamente por los vegetales. Los animales eliminan el nitrógeno con sus deyecciones (orina y excrementos). Los excrementos de algunas aves marinas constituyen los depósitos de guano para la agricultura.

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Guía teórica IV c. Ciclo del oxígeno El oxígeno se encuentra formando parte de la atmósfera en un 20% aproximadamente, pero también se localiza disuelto en el agua (océanos). Las plantas consumen oxígeno para su respiración y a la vez lo producen mediante el fenómeno de fotosíntesis; pero la cantidad de oxígeno que generan es superior a la consumida, de modo que el exceso de oxígeno pasa a la atmósfera. Los animales, a su vez necesitan el oxígeno para llevar a cabo su respiración. El oxígeno atmosférico pasa a través de los diferentes organismos y es devuelto a la atmósfera bajo la forma de CO 2, el cual será utilizado por las plantas o los organismos autótrofos. d. Ciclo del fósforo El fósforo se encuentra en la corteza terrestre formando fosfatos. Las lluvias disuelven el fosfato de las rocas, quedando sedimentado en el suelo, mientras que otra parte del fosfato llega hasta el mar. Las plantas y otros organismos autótrofos absorben el fosfato del suelo para fabricar moléculas orgánicas. Los animales consumen a las plantas y captan el fósforo de ellas. Posteriormente, cuando los organismos animales y vegetales mueren, van a ser descompuestos por los desintegradores, los cuales, de esta materia muerta, devuelven el fósforo bajo la forma de fosfato al suelo y el agua. Por otro lado, los fosfatos que llegan al mar pasan a integrarse o formar parte del sedimento marino, dicho sedimento es removido por las corrientes marinas hacia la superficie para ser asimilado por el fitoplancton, que luego pasará a los animales acuáticos, sobre todo a los peces. Finalmente, la descomposición de los cadáveres permitirá devolver los fosfa-

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Biología tos al suelo. El ciclo del fosfato es sedimentario porque a diferencia del carbono y del nitrógeno, no entra en la atmósfera. e. Ciclo del agua (Ciclo hidrobiológico) Se llama ciclo hidrobiológico al proceso que sigue el agua para ir de una fuente de evaporación a la atmósfera, luego a la superficie terrestre y regresar así a la fuente de evaporación. Este ciclo comprende la evaporación, la condensación y la precipitación. Mediante la evaporación el agua pasa del estado líquido al gaseoso, gracias a la energía solar. Las fuentes de evaporación, por excelencia, son los océanos y mares, pero también los lagos y lagunas, los manantia-

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Guía teórica IV les y suelos húmedos, los grandes bosques y los ríos. El vapor de agua asciende en la atmósfera debido a las corrientes de aire. Al alcanzar zonas cada vez más frías, se condensa, formando las nubes, que están constituidas por pequeñas gotas de agua. Estas gotas aumentan de tamaño al unirse unas con otras, produciendo las precipitaciones. Una gran parte de las precipitaciones regresa a la atmósfera al volverse a evaporar las gotas de agua. El resto de las precipitaciones que no han logrado evaporarse, discurren a través de la superficie terrestre por acción de la gravedad, formando arroyos, ríos, lagunas, mares y océanos.

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Biología

Guía teórica IV SUCESIÓN ECOLÓGICA

Una característica fundamental de la biocenosis es su dinamismo. La observación de un campo de pasto abandonado durante varios años muestra la progresiva invasión de un matorral de arbustos que se convierte luego en un bosque de pinos, que finalmente cede al paso de los árboles de madera dura. La biocenosis es función de su biotopo y, recíprocamente éste se encuentra influido por ella. Teniendo en cuenta la variabilidad de los factores climáticos, geológicos y bióticos, la evolución de la biocenosis aparece como un fenómeno obligatorio, más o menso rápido, según los casos. En tal sentido, la sucesión se define como una serie de cambios a través de los cuales los ecosistemas van pasando a medida que transcurre el tiempo. Este fenómeno se caracteriza por lo siguiente: a. Es un proceso ordenado, orientado en una cierta dirección y previsible.

dad es elevada y las relaciones entre los organismos son muy numerosas. La sucesión ecológica puede ser: Ø Evolutiva Se inicia cuando los organismos vivos emergen del agua e invaden la tierra. Ejemplo: los líquenes que invaden las superficies rocosas de la orilla del mar. Ø Primaria Es la que ocurre en un área que no ha sido colonizada antes por ningún organismo, ni existe suelo formado. Ejemplo: en las zonas volcánicas de origen reciente con rocas desnudas. Ø Secundaria Es la que ocurre en una zona en la que ya se ha formado suelo y han existido comunidades y que por un proceso regresivo han perdido su composición original. Ejemplo: la aparición de nuevas plantas en los lugares donde hubo talas de árboles.

b. Es consecuencia de las modificaciones impuestas al medio por las mismas comunidades o por fenómenos de competencia interespecífica. c. Acaba en una biocenosis clímax, en la cual la biomasa alcanza su valor máximo; la diversiCONSERVACIÓN Es una corriente de opinión que plantea el uso racional y sostenible de los recursos naturales renovables. El término renovable se refiere a que el uso pueda continuar por tiempo indefinido. 1. Historia Ø 1961: primer parque nacional (Cajamarca). Ø 1975: primera ley forestal y de fauna silvestre (D.L. 21147). Ø 1997: Ley de áreas naturales protegidas (Ley 26834). 2. Instituciones Ø El Ministerio de Agricultura se encarga de los planes y normas para la adecuada gestión.

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Ø INRENA (Instituto Nacional de Recursos Naturales), órgano del Ministerio de Agricultura. 3. Principales objetivos Ø Protección de zonas silvestres Ø Preservación de especies y diversidad genética Ø Mantenimiento de los servicios ambientales Ø Protección de características naturales y culturales específicas Ø Turismo y recreación Ø Educación Ø Utilización sostenible de los recursos derivados de ecosistemas naturales Ø Mantenimiento de los atributos culturales y tradicionales

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Biología Los principios de una sociedad sostenible son los siguientes:

Guía teórica IV suficiente y que los recursos son patriminio de toda la humanidad.

Ø Respetar y cuidar la comunidad de los seres vivos. Ø Conservar la vitalidad y diversidad de la tierra, entendida como la conservación de los procesos ecológicos, de la biodiversidad y el aprovechamiento de los recursos naturales renovables. Ø Reducir al mínimo el agotamiento de los recursos no renovables. Ø Proporcionar un marco nacional para la integración del desarrollo y la conservación. Ø Forjar una alianza mundial entre todos los países, dado que ninguna nación es auto-

SISTEMA NACIONAL DE ÁREAS NATURALES PROTEGIDAS POR EL ESTADO Tiene como objetivo contribuir al desarrollo del país a través de la conservación de una muestra representativa de la diversidad biológica, mediante la istración eficaz de áreas naturales protegidas. El Instituto Nacional de Recursos Naturales (INRENA) es el órgano público descentralizado del Ministerio de Agricultura que se encarga de proponer las políticas y normas para la adecuada gestión y manejo de las unidades que conforman el SINANPE.

Ø Santuarios históricos Una o varias comunidades bióticas. Bienes monumentales con alto valor arqueológico o histórico. Usos indirectos: investigación, educación, turismo y recreación. No intervenido o mínimamente.

Ø Parques nacionales Varios ecosistemas. Diversidad biológica relevante. Usos indirectos: investigación, educación, turismo y recreación.

Ø Refugio de vida silvestre Una o varias comunidades bióticas. Hábitat de especies importantes, amenazadas, raras, migratorias. Uso directo: investigación, educación, turismo y recreación. Intervención para el manejo del hábitat o de la especie.

Ø Santuarios nacionales Una o varias comunidades bióticas. Diversidad biológica relevante. Formaciones geológicas naturales únicas (interés científico). Usos indirectos: investigación, educación, turismo y recreación. No intervenido o mínimamente.

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Ø Reservas paisajísticas Una o más comunidades bióticas. Características estéticas paisajísticas sobresalientes. Intervención para el uso de recursos.

Ø Reservas nacionales Varios ecosistemas. Diversidad biológica relevante. Uso directo de recursos silvestres: flora, fauna, recursos hidrobiológicos.

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Biología Ø Reservas comunales Uno o varios ecosistemas. Prohibidas las actividades agrícolas, pecuarias y extracción forestal maderera.

Guía teórica IV Ø Cotos de caza Una o más comunidades bióticas. Planes de manejo para el aprovechamiento de la fauna silvestre y cinegética.

Ø Bosque de protección Uno o varios ecosistemas. Uso directo de recursos silvestres: flora, fauna, recursos hidrobiológicos. Permitido el uso y aprovechamiento de la fauna silvestre y de productos forestales diferentes a la madera.

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Parques nacionales

29. San Matías - San Carlos (145 818 ha)

1. Cutervo (2500 ha)

30. Pagaibamba (2078 ha)

2. Tingo María (18 000 ha)

31. Alto Mayo (182 000 ha)

3. Manu (1 532 806 ha) 4. Huascarán (340 000 ha)

Reservas comunales

5. Cerros de Amotape (91 300 ha)

32. Yanesha (34 744 ha)

6. Río Abiseo (274 520 ha) 7. Yanachaga-Chemillén (122 000 ha)

Cotos de caza

8. Bahuaja-Sonene (537 053 ha)

33. El Angolo (65 000 ha)

Reservas nacionales 9. Pampa Galeras (6500 ha) 10. Junín (53 000 ha) 11. Paracas (335 000 ha) 12. Lachay (5070 ha) 13. Titicaca (36 180 ha) 14. Salinas y Aguada Blanca (366 936 ha) 15. Calipuy (64 000 ha) 16. Pacaya-Samiria (2 080 000 ha) PN:

Ubicación del nuevo Parque Nacional Cordillera Azul

Santuarios nacionales 17. Huayllay (6815 ha) 18. Calipuy (4500 ha) 19. Lagunas de Mejía (690 ha) 20. Ampay (635 ha) 21. Manglares de Tumbes (2972 ha) 22. Tabaconas Namballe (29 500 ha)

34. Sunchubamba (59 735 ha) Zonas reservadas 35. Manu (2 000 000 ha) 36. Laquipampa (11 347 ha) 37. Apurímac (1 669 200 ha) 38. Pantanos de Villa (396 ha) 39. Tambopata-Candamo (1 043 998 ha) 40. Batán Grande (13 400 ha) 41. Tumbes (75 102 ha) 42. Algarrobal El Moro (320 ha) 43. Chanca y Baños (2628 ha) 44. Aymara-Lupaca (300 000 ha) 45. Güeppi (625 971 ha) 46. Río Rímac (franja de 28 km del río Rímac) 47. Alto Cañete (176 000 ha) 48. Allpahuayo-Mishana (57 667 ha) 49. Santiago-Comaina (863 ha) 50. Alto Purús (2 724 263 ha) 51. Amarakaeri (419 139 ha)

Santuarios históricos 23. Chacamarca (2500 ha) 24. Pampas de Ayacucho (300 ha) 25. Machu Picchu (32 592 ha) Bosques de protección 26. Aledaño a la Bocatoma (18 ha) 27. Puquio Santa Rosa (72,5 ha) 28. Pui Pui (60 000 ha)

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Guía teórica IV BIOMAS

Un bioma es un ecosistema que se desarrolla sobre una gran extensión de la superficie del planeta, puede ser terrestre o acuática (por ejemplo, la sabana). Podría decirse también que se trata de una formación biogeográfica junto con los organismos que viven en ella. Bioma es el resultado de la unión de biotopo y biocenosis. Se agrupan todos los ecosistemas de estructura y organización semejante bajo el concepto de "bioma", está compuesta por varias poblaciones; una población es un conjunto de seres vivos de la misma especie, denominados individuos. Ø Biomas terrestres La distribución de los grandes biomas terrestres según la latitud está primeramente condicionada por la de los climas. Ø Bioma de la tundra Las características primarias de esta región son temperaturas bajas (entre –15 ºC y 5 ºC) y brevedad de la estación favorable. La precipitación pluvial es más bien escasa (unos 300 mm al año), pero el agua no suele ser factor limitante, ya que el ritmo de evaporación es también muy bajo. El terreno está casi siempre congelado, excepto en los 10 ó 20 cm superiores que experimentan deshielo durante la brevísima temporada calurosa. El clima tan frío de este bioma da a lugar al permafrost, que es una capa de hielo congelada que permite únicamente el crecimiento de plantas en los días de verano ya que se descongela su superficie. Existe una tundra ártica, también llamada "desierto polar", que se extiende por encima de los 60º de latitud N y una "tundra antártica", por encima de los 60ºS, que comprende la Antártida, las islas subantárticas y parte de la Patagonia. Vegetación: Líquenes y musgos. Fauna: En la época de deshielo insectos. Aves migratorias, reno, lobo, zorro ártico, etc. Ø El bosque caducifolio y el bosque mediterráneo Cuando las temperaturas son más templadas y la humedad más abundante y repartida a lo largo del año, el bosque de coníferas es sustituido por el bosque caducifolio. En el hemisferio norte este bioma está dominado por hayas, robles, avellanos, olmos, castaños y numerosos arbustos que generan un suelo profundo y fértil. En las zonas templadas, si la pluviosidad es baja y la estación seca muy marcada, se instala otro tipo de bosque, de hoja perenne y resistente a la sequía estival. Es el bosque mediterráneo, con vegetación xerófita, dominado en Europa por la encina, el alcornoque o el roble quejigo. Hay mucha vegetación y está poblado por varios animales. Ø Bioma de la pradera El bioma de la pradera se encuentra en parajes con lluvia de 25 a 75 cm por año, cifra insuficiente para el sustento de un bosque, y superior a la normal en un desierto verdadero. Se encuentra terreno de prado en el interior de los continentes y son bien conocidas las praderas del occidente de Estados Unidos, y las de Argentina, Uruguay y parte de la región sur del Brasil, Australia, Rusia meridional y Siberia. El suelo de las praderas es muy rico en capas por virtud del rápido crecimiento y descomposición de los

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vegetales, y muy apropiado para el crecimiento de plantas alimenticias como trigo y maíz. Otras de sus características pueden ser: Clima: La media anual está entre los 20 a 29 ºC, con una época de lluvia y otra de sequía. De acuerdo con Köppen pertenece a los tipos Aw, BS y Cw. Suelo: Generalmente es pedregoso aunque puede haber otras variedades; se encuentra en las laderas de montañas. Vegetación: Los árboles están colocados en un solo estrato; las hojas de muchas especies son amarillentas o verde claro, también hay plantas espinosas como los cactos. Entre los árboles destacan: el copal, el pochote, el palo de arco, el palo tolote, entre otros. Además hay hierbas y algunos matorrales. Fauna: Existen aves, reptiles y pequeños mamíferos, como liebre, rata almizclera, venado cola blanca, coyote, y ocasionalmente puma y jaguar. Ø Bioma del chaparral En las regiones del mundo de clima dócil, con lluvias relativamente abundantes en invierno pero con veranos muy secos, la comunidad culminante incluye árboles y arbustos de hojas gruesas y duras. Este tipo de vegetación se llama “xerófita” Durante los veranos secos y calurosos es constante el peligro de fuego que puede invadir rápidamente los lomeríos del chaparral. Las comunidades de chaparral son muy extensas en California y costa noroccidental de México, a lo largo del Mediterráneo, en Chile y a lo largo de la costa sur de Australia.La diversidad del chaparral, un medio ambiente bastante uniforme, soporta relativamente pocas especies, pero muchas de sus plantas producen bayas comestibles y dan vida a vasta poblaciones de insectos y lo que el chaparral pierde en diversidad lo gana en número de individuos. Algunos vertebrados residentes característicos son los pequeños, ratas del bosque, ardillas listadas, lagartos y otros. Un ave característica del chaparral es el herrerillo chochín ( Chamaea fasciata), una especie callada cuya área coincide casi exactamente con los límites del chaparral. En el Mediterráneo, aunque la diversidad animal residente no es grande, la de aves migratorias es muy grande ya que esta región queda a mitad del camino entre los trópicos y las zonas más templadas. Durante el verano, la población de aves es menor, encontrándose solamente algunas aves tropicales, adaptadas al hábitat arbustivo y a condiciones de aridez. Llegan al Mediterráneo en primavera para nidificar, abandonándolo antes del comienzo del invierno. Entre los visitantes invernales, predominan las paseriformes (tales como las currucas y zorzales) y los patos. Ø Bioma del desierto Se denota en regiones con menos de 250 mm de precipitación por año, o en zonas cálidas, con lluvias más copiosas pero con distribución no uniforme durante el ciclo anual. La escasa precipitación pluvial puede ser debida a presión barométrica alta persistente, como en los desiertos del Sahara y australianos; a una posición geográfica al abrigo de la lluvia en una montaña, como en los desiertos del oeste de Estados Unidos; o a grandes altitudes, como en las regiones desérticas del Tíbet y Bolivia. Los únicos desiertos absolutamente libres de lluvia son los del norte de Chile y el Sahara central. Vegetación: Es poco densa y consta de arbustos quenopodiáceos, artemisas y cactus. Fauna: Gran variedad de reptiles.

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Ø El desierto El desierto se desarrolla en regiones con menos de 200 mm de lluvia anual. Lo característico de estas zonas es: Ø La escasez de agua y las lluvias, muy irregulares, cuando caen lo hacen torrencialmente. Además, la evaporación es muy alta por lo que la humedad desaparece muy pronto. Ø La escasez de suelo que es arrastrado por la erosión del viento, favorecida por la falta de vegetación. Son poco productivos (menos de 50 g de C por m² y año) y su productividad depende proporcionalmente de la lluvia que cae. Algunos desiertos son cálidos, como el del Sahara, mientras que otros son fríos como el de Gobi. En algunos la lluvia es prácticamente inexistente, como en el de Atacama, en la cordillera de los Andes. Atacama está rodeado de altas montañas que bloquean la entrada de humedad desde el mar y favorecen la aparición de vientos catabáticos, secos y descendentes; este fenómeno se conoce como efecto Foehn. Otro mecanismo climático que forma desiertos en zonas cercanas a las costas es el ascenso de corrientes marinas frías cerca de los bordes continentales occidentales de África y América del Sur. El agua fría baja la temperatura del aire y son lugares en donde el aire desciende y no sopla hacia tierra. En el mar serán frecuentes las nieblas, pero en la tierra cercana no lloverá. Ø Vegetación La vegetación se encuentra muy espaciada y las plantas suelen tener mecanismos repelentes para asegurar que en su cercanía no se sitúan otros ejemplares. Hay cuatro formas principales de vida vegetal adaptadas al desierto: 1. Plantas que sincronizan sus ciclos de vida con los periodos de lluvia y crecen sólo cuando hay humedad. Cuando llueve con intensidad suficiente, sus semillas germinan y con gran rapidez crecen las plantas y forman vistosas flores. Los insectos son atraídos por las flores y las polinizan al viajar de unas a otras. Muchos de estos insectos poseen también unos ciclos vitales muy cortos, adaptados a los de las plantas de las que se alimentan. 2. Matorrales de largas raíces que penetran en el suelo hasta llegar a la humedad. Se desarrollan especialmente en desiertos fríos. Sus hojas se suelen caer antes que la planta se marchite totalmente y de esta forma pasa a un estado de vida latente, hasta que vuelva a haber humedad en el subsuelo. 3. Plantas que acumulan agua en sus tejidos. Son de formas suculentas, como los cactus o las euforbias y tienen paredes gruesas, púas y espinas para protegerse de los fitófagos. Su rigidez es otra forma de protegerse contra la desecación producida por el viento. 4. Microflora, como algas, musgos y líquenes, que permanecen latentes hasta que se producen buenas condiciones para su desarrollo. Ø Vida animal y humana La vida animal también ha desarrollado adaptaciones muy específicas para sobrevivir en un medio tan seco. Las excreciones de los animales que viven en el desierto contienen muy poca agua y muchos son capaces de obtener agua de los alimentos. Son de hábitos de vida nocturnos y durante el día permanecen en cuevas y madrigueras bajo tierra. El hombre ha desarrollado culturas que, con mucho ingenio, le han permitido vivir en los límites de los desiertos o en las mismas zonas desérticas.

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Cuando el terreno desértico se riega, en los lugares en los que los suelos son adecuados, puede convertirse en uno de los sistemas agrícolas más productivos. Pero la puesta en cultivo de los terrenos áridos suele traer problemas de agotamiento de las fuentes de agua y salinización, como sucedió en las antiguas culturas mesopotámicas, si no se aplican sistemas para evitar esta dificultad. Para su explotación hay que conocer bien como funciona el ecosistema y actuar en consecuencia. Ø Bioma de la taiga Ocupa una franja de más de 1500 km de anchura en el hemisferio norte (América del Norte, Europa y Asia) y también se encuentra en zonas montañosas. Temperaturas invernales muy bajas (menos de –40 ºC) y un verano relativamente corto. Escasez de agua (250 mm-500 mm anuales) y, además, permanece helada muchos meses. Vegetación: Está formado por coníferas (pinos, abetos, chopos, ...), con troncos rectos y cubiertos por resina y hojas pequeñas semejantes a agujas. Fauna: Son pocos los animales que permanecen en la taiga, la mayoría emigra en otoño hacia latitudes más bajas. Ø Bioma de la estepa La estepa es un bioma que comprende un territorio llano y extenso, de vegetación herbácea, propio de climas extremos y escasas precipitaciones. También se lo asocia a un desierto frío para establecer una diferencia con los desiertos tórridos. Estas regiones se encuentran lejos del mar, con clima árido continental, una gran amplitud térmica entre verano e invierno y precipitaciones que no llegan a los 500 mm anuales. Predominan las hierbas bajas y matorrales. El suelo contiene muchos minerales y poca materia orgánica; también hay zonas de la estepa con un alto contenido en óxido de hierro lo que le otorga una tonalidad rojiza a la tierra. Clima: Tiene un clima seco (semiárido). Temperaturas elevadas en verano y bajas en invierno, lo que da a lugar a una gran amplitud térmica como antes se dijo. Las lluvias oscilan entre 250 y 500 mm anuales presentándose: Ø Grulla damisela - Hámster - Marmota bobak - Spalax menor Vegetación: Es del tipo xerófita, es decir, plantas adaptadas a la escasez de agua, con raíces profundas en la parte inferior que buscan las napas de agua. Entre las plantas están las siguientes: Ø Ajenjo negro - Espiguilla azul - Gagea - Hierba crestada - Juncia - Ranúnculo Ø Selva tropical Las selvas tropicales ocupan extensas superficies cercanas al centro del Ecuador, Sudamérica, África, Asia y Oceanía, y prosperan en climas muy húmedos y calurosos, estando provistas no solo de lluvias abundantes, sino también de ríos caudalosos que experimentan crecidas violentas en otoño. Una selva de lluvia no es una "jungla". La jungla es una vegetación arbustiva muy densa que crece a lo largo de las riberas de los ríos. Puede aparecer en tierra cuando la selva lluviosa ha sido talada por los humanos o por un evento natural como una inundación o un incendio. La mayor parte de las junglas se transforman en selvas lluviosas. Por lo tanto, la jungla es una selva húmeda.

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Vegetación: Grandes árboles y plantas trepadoras (lianas, orquídeas, ...). Fauna: Primates, pájaros exóticos, mamíferos como el jaguar y muchos insectos. Ø Sabanas tropicales Las sabanas son praderas tropicales con una pequeña cantidad de árboles o arbustos dispersos. Se desenvuelven en regiones de alta temperatura, que tienen marcada diferencia entre las estaciones seca y húmeda. En la estación húmeda el crecimiento es rápido, pero se secan y bajan en calidad durante la estación seca. Las sabanas tropicales cubren áreas extensas en América del Sur, África, India, Sudeste Asiático y Australia Septentrional. El crecimiento animal y vegetal en la sabana tropical, depende de las distintas alteraciones periódicas. Los grandes animales emigran en busca de agua, y sus ciclos reproductivos corresponden a la disponibilidad de crecimiento de nuevas plantas suculentas. Muchos animales se reúnen en grandes manadas. Es necesario una gran área de producción fotosintética para alimentar a estos grandes animales. El fuego regular es importante para este ecosistema, de él depende el mantenimiento de las praderas en lugares donde las manadas no son tan numerosas. Vegetación: Hierbas y árboles dispersos (árboles de copa plana). Fauna: La sabana es el hogar de grandes mamíferos herbívoros (cebras, ñus, antílopes, elefantes) que son controlados por grandes carnívoros, tales como leones, leopardos y chitas. Los restos de las víctimas de esos predadores son removidos por hienas y buitres. Ø Biomas acuáticos Los biomas acuáticos pueden ser marinos (agua salada) o dulceacuícolas. Los biomas marinos son básicamente dos: el oceánico o pelágico y el litoral o nerítico, caracterizados por la diferente profundidad que alcanzan las aguas y por la distancia a la costa. La zona litoral se caracteriza por la luminosidad de sus aguas, escasa profundidad y abundancia de nutrientes. En ella se concentran algas, moluscos, equinodermos y arrecifes de coral. Tortugas, focas y peces óseos son comunes aquí. La zona pelágica se caracteriza por tener una banda iluminada pero también grandes profundidades sin luz. En estas regiones los seres acuáticos se han adaptado a vivir sin ella y a estar sometidos a grandes presiones. Los biomas dulceacuícolas son básicamente dos: las aguas estancadas (lénticas) de lagos y lagunas y las aguas corrientes (lóticas) de ríos y arroyos. De la superficie del planeta, el 70% de su superficie está ocupado por los océanos. Del restante 30%, que corresponde a tierras emergidas, un 11% de esa superficie se halla cubierto por los hielos, lo que se puede clasificar como desierto helado, y el 10% lo ocupa la tundra.

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1. Acciones humanas que alteran los ecosistemas La explotación de los ecosistemas Desde que la humanidad existe, la explotación de los ecosistemas para obtener recursos ha sido algo habitual. A través de la agricultura, el hombre ha optado mayoritariamente por explotar los ecosistemas de mayor productividad, es decir, aquellos menos evolucionados, con pocas especies y con una tasa de renovación muy alta y, por tanto, muy productivos; éste es el caso, por ejemplo de los campos de cereales. Cuando el hombre sustituye comunidades con una tasa de renovación baja, por ejemplo, comunidades de selvas, por comunidades con una tasa de renovación alta, es decir, por monocultivos, está empobreciendo el ecosistema y sometiéndolo a una regresión. Si además, el consumo es mucho mayor a lo producido, entonces la zona se degrada y puede que no vuelva a servir para empezar de nuevo una sucesión porque el suelo ha quedado totalmente seco y sin nutrientes. Aunque a continuación vamos a ver las diferencias entre la explotación terrestre y la acuática, lo cierto es que normalmente se explota según el bioma del lugar. El bioma es una mezcla de ecosistemas que comparten muchas características gracias al clima común. Así podemos tener zonas que geográficamente están lejanas pero que, al compartir el mismo clima, poseen organismos parecidos, sobre todo en lo que tiene que ver con la adaptación. Los grandes biomas son: la tundra, la taiga, el bosque caducifolio, la pradera, la estepa, la selva y el desierto. 2. Efectos de la explotación humana sobre los ecosistemas terrestres La acción del hombre al instalar monocultivos en zonas donde había bosques tiene un efecto rejuvenecedor sobre el ecosistema, es decir, provoca una regresión hacia las primeras etapas de la sucesión. Se vuelve así a etapas de una gran producción respecto a una escasa biomasa y de mínima diversidad. Si se considera, por ejemplo, un campo de trigo, se puede observar que tras la siega, casi toda la biomasa es aprovechada como producción, ya sea en forma de harina o de paja. La diversidad es nula, pues sólo hay una especie. La práctica de monocultivos continuados implica que hay que abonar frecuentemente, ya que al retirar toda la biomasa, los suelos se empobrecen en sales minerales. También se hace preciso el uso constante de insecticidas, ya que al haber grandes extensiones con una sola especie las plagas se propagan rápidamente. El sistema de cultivos en zonas de bosque tropical de clima lluvioso ha sido nefasto. En dichas zonas, prácticamente todas las sales minerales se hallan incorporadas a la gran biomasa de su vegetación. Al talar, éstas se pierden y al cabo de pocos años la tierra es totalmente estéril (tala, cultivo, migración). El abandono de un campo de cultivo, muy frecuente dado el ritmo con que varían las formas de vida humana, es casi siempre catastrófico, ya que la regresión no es una sucesión al revés, sino una degradación y como además se ha destruido la estructura del suelo, es más fácil que derive hacia la desertización que hacia la comunidad clímax de aquel lugar. Otras acciones que han implicado la pérdida de suelo son la tala excesiva y los incendios. Al perderse en parte la cubierta vegetal, el suelo queda desnudo frente a los agentes atmosféricos y va perdiendo los estratos superiores por efecto del agua de lluvia y del viento. También hay que citar el pastoreo intensivo. Animales tan frugales como la cabra acaban de arruinar zonas que aunque con poca vegetación estaban equilibradas.

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Por último, cabe señalar como causas de pérdida de suelo fértil la falta de taludes consistentes en las carreteras de montaña, las urbanizaciones mal planificadas, las explotaciones mineras a cielo abierto y el uso, cada vez más frecuente, de coches todo terreno y de actividades como el motocrós. Otro efecto del hombre sobre los ecosistemas terrestres ha sido el derivado del uso de plaguicidas en la agricultura. En ocasiones, los plaguicidas han producido más muertes entre los animales que controlaban a los individuos de una plaga que entre estos últimos, lo que origina un incremento posterior de la plaga. En otros casos han aparecido variedades de insectos resistentes a las dosis normales. La utilización excesiva de insecticidas ha sido, en muchos casos, causa de desastres. 3. Efectos de la explotación humana sobre los ecosistemas acuáticos La acción del hombre sobre las aguas dulces tiene, sobre todo, un carácter de contaminación orgánica. Si consideramos, por ejemplo, un lago, la materia orgánica en forma de basuras que llega a él es metabolizada en el fondo por los organismos descomponedores, liberándose sustancias minerales. Estas enriquecen el agua y provocan una gran producción de algas. Las aguas se vuelven verdosas. Las algas, al morir, van también a parar al fondo, donde siguen el mismo ciclo. Si la entrada de basuras y también de sustancias ricas en fósforo, como son algunos detergentes, es muy elevada, los descomponedores agotan el oxígeno disponible en el fondo del lago y no pueden continuar su actividad. Entonces, la basura se va acumulando, aparecen bacterias anaerobias cuyo metabolismo da lugar a sustancias malolientes y tóxicas, la vida de los anteriores pobladores (insectos, peces, anfibios, etc.) se hace imposible y el lago toma el aspecto de una cloaca. Todo este proceso se denomina eutrofización y es otro ejemplo de regresión hacia estructuras más simples. En él se pasa de un lago oligotrófico de aguas claras y azuladas, a un lago mesotrófico, de aguas claras algo verdosas: de éste a un lago eutrófico, de aguas verdes, y de éste se puede pasar a una especie de vertedero. Sobre el mar la acción de la contaminación orgánica se ve limitada a las costas. Más importancia tiene en el mar la acción de la pesca. Dado que la obtención de los alimentos a partir del plancton no resulta todavía rentable, la acción del hombre se limita a consumir a los carnívoros. Es una situación parecida a la que se producía cuando en el ecosistema terrestre la única forma de obtener carne era la caza. Dado el crecimiento de la demanda, es previsible que en el futuro aparezcan zonas dedicadas a la acuicultura donde se provoque la aparición de fitoplancton y esto sí puede tener una gran influencia sobre el ecosistema. El grado de contaminación orgánica del agua puede conocerse calculando la demanda bioquímica de oxígeno (DBO), que es la cantidad de oxígeno disuelto por volumen de agua necesaria para la degradación de los materiales orgánicos que contiene. Conservación y protección de los ecosistemas 1. Conservación La conservación de los ecosistemas es más eficaz si se evitan causas que lo degradan. Pero una vez que esta degradación se ha producido, será preciso corregirla volviendo progresivamente a las condiciones naturales. Las actividades tecnológicas deben tener en cuenta no solamente las leyes físico-químicas sino también las biológicas a la hora de realizar cualquier proyecto. La política económica no ha de olvidar la limita-

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ción de los recursos y sus funciones en el ecosistema. La política social, de acuerdo con la realidad de que el hombre forma parte de la naturaleza, no debe situarlo contra ella, ni siquiera apartarlo de ella, sino permitirle armonizar su conducta con el comportamiento del ecosistema.

Nota Plantas en peligro de extinción En nuestro país se han ido perdiendo grandes extensiones de bosques debido a una mala planificación de las ciudades y a la tala indiscriminada; es el caso del "hualtaco" y el "guayacán" en la costa norte. Lo mismo se puede apreciar con los árboles madereros de la selva como el "cedro", el "diablo fuerte", la "caoba" y el "tornillo". La "caoba" y el "diablo fuerte" se encuentran en vías de extinción, mientras que el "nogal", "tornillo", "ishpingo", "cedro", "huimba" y la "lupuna" en situación vulnerable. Asimismo la sobreexplotación y la ausencia de estudios científicos dirigidos por el Estado generan riesgo en plantas como la "queñoa", la "puya de Raimondi", el "huarango", la "leche de caspi", las "orquídeas" y el "quishuar".

Especies en peligro de extinción Fauna en peligro de extinción Es importante considerar la situación de la fauna silvestre a fin de posibilitar la toma de decisiones que redunden en su conservación y uso sostenible. La situación debe ser enfocada desde dos puntos de vista: las causas que deterioran el recurso y las especies en peligro. 1. Las causas del deterioro del recurso fauna silvestre La fauna silvestre sufre un deterioro gradual por las actividades humanas, que provocan la merma en las poblaciones, el deterioro del hábitat y la extinción. Entre los problemas principales se pueden mencionar: Ø Caza y pesca excesivas que llevan a la merma de las poblaciones. Se ha extinguido la chinchilla y reducido las poblaciones de oso de anteojos, taruca, vicuña y varias otras. El uso de dispositivos de pesca irracionales y prohibidos por ley como la dinamita y sustancias tóxicas. Ø La contaminación (relaves, desagües y vertimientos) de los ríos, lagos y del mar ha exterminado la fauna acuática en amplias zonas. Ø La tala y quema de la vegetación está mermando muchas especies por destrucción del hábitat. Ø La introducción de especies exóticas que eliminan a las especies nativas. Por ejemplo, la introducción de la trucha en el lago Titicaca está exterminando las especies nativas de peces y ranas. Ø La falta de educación de la población en general que no respeta a los animales silvestres y los "mata por el afán de matar".

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La caza y el comercio ilegales de pieles y cueros de animales silvestres, tal es el caso de pieles (jaguar, tigrillo, lobo de río, etc.) y cueros (boas y lagartos).

2. Especies en peligro Las causas antes mencionadas han llevado a la extinción de especies y han puesto a muchas otras en una situación, que las puede llevar a la extinción. Para conservar las especies en peligro se han establecido cuatro categorías de clasificación. Ø Especies posiblemente extintas: Son las que han desaparecido del territorio nacional. Entre ellas se encuentra la chinchilla (Chinchilla sp.). Ø Especies en peligro de extinción: Son las que están amenazadas en su supervivencia y que necesitan de medidas urgentes para su protección. Ø Especies en situación vulnerable: Son aquellas que no se encuentran en peligro inminente de extinción, pero que pueden llegar a serlo si no se protegen. Entre ellas se encuentran todos los monos, numerosas aves, algunos reptiles y anfibios. Ø Especies raras: Son aquellas que naturalmente existen en poca densidad y son endémicas, por lo general. Ø Especies en situación indeterminada: Son aquellas de las cuales no se conoce su situación, pero que se supone puedan estar en peligro. En esta categoría deben incluirse a todas las especies endémicas del Perú no mencionadas anteriormente. La fauna como recurso natural renovable La fauna como recurso natural renovable y de gran importancia económica, social, científica, cultural y ecológica debe ser conservada como parte del patrimonio nacional, lo que es una responsabilidad de todos. Para lograr la conservación de la fauna se deben implementar acciones de investigación, manejo, protección de áreas naturales importantes, establecer normas adecuadas, concientización y educación. 1. Investigación: El conocimiento adecuado de las especies en su distribución y costumbres es de suma importancia, como también el estudiar alternativas de desarrollo. Una de las actividades es reunir en bases de datos todos los conocimientos existentes sobre las especies y su distribución, y ponerlas a disposición de los especialistas e investigadores.

Importante El fomentar la investigación de las especies en peligro, vulnerables, raras y endémicas es también de alta prioridad para tomar las decisiones para su conservación. Igualmente, la investigación de las especies de importancia económica actual y potencial, especialmente en lo relacionado a las poblaciones y biomasa, es de trascendental importancia para el manejo de las mismas. 2. Manejo: El manejar la fauna silvestre significa aprovecharla racionalmente y en forma sostenida. En este sentido, es importante:

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Ø Realizar censos de las especies principales para conocer su número y su situación. Ø Determinar el número y la cantidad a aprovecharse anualmente en base al censo, y en base a planes de manejo. Ø Conocer los factores desfavorables que afectan a la fauna (sequías, falta de alimentos, enfermedades, caza, etc.) y en lo posible aliviarlos o corregirlos. Ø Desarrollar alternativas económicas nuevas para el aprovechamiento, como la zoocría y la acuicultura. 3. Protección de áreas naturales importantes: El proteger amplias áreas naturales donde viven especies importantes, raras o en peligro de extinción en forma de parques, reservas y santuarios nacionales es fundamental para evitar la extinción. 4. Establecer normas adecuadas: Estas normas deben referirse especialmente a las vedas de caza y pesca de las especies raras y en peligro de extinción; a la prohibición de introducir especies exóticas; y de aprovechamiento racional de las especies.

Nota En conclusión: El cumplimiento de las normas es una acción no menos importante, para lo cual se debe alertar a la población e imponer sanciones a los infractores. Por lo general, el ser humano sólo cumple la ley cuando es objeto de sanciones en caso de transgredirla. Estas normas deben referirse también al control de la contaminación de ríos, lagos y mar, y al control de la tala y quema de la vegetación en forma indiscriminada. 5. Educación y concientización: La población debe ser educada al respeto de la vida en su entorno, a fin de crear una conciencia pública de conservación de los recursos de la fauna. Esta educación tiene que estar dirigida prioritariamente a erradicar la pésima costumbre de matar a los animales silvestres, simplemente por el placer de matar. Este es uno de los grandes defectos del país. Recursos naturales La diversidad biológica, es decir, de los seres vivos, constituye uno de los mayores recursos del país. Es fundamental para la economía, ya que el 65% de la agricultura depende de los recursos genéticos nativos, 95% de la ganadería se basa en los pastos naturales nativos, 99% de la industria forestal usa los bosques y las especies nativas, y el 99% de la actividad pesquera necesita de los recursos hidrobiológicos nativos. Contaminación ambiental Definición Es la alteración desfavorable de nuestro entorno, principalmente como resultado de las actividades humanas. La contaminación ambiental puede poner en riesgo la salud o el bienestar del mismo hombre, así como de la flora y la fauna en general y de los recursos naturales renovables de uno o varios ecosistemas, inclusive de toda la Tierra.

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Las actividades del hombre sobre el medio ambiente están ocasionando: a) Contaminación atmosférica por gases y partículas procedentes de los combustibles industriales (CO, CO 2, derivados sulfurosos, smog, etc.). Sustancias como el CO 2, óxido nitroso y aerosoles están vinculados a los problemas del agotamiento del ozono atmosférico y a los cambios climáticos (efecto invernadero). b) Contaminación de las aguas marinas y continentales, por vertidos de todo tipo (relaves mineros, petróleo, aguas servidas, mercurio, productos de desechos industriales, etc.). c) Contaminación por pesticidas organoclorados, que envenenan la cadena trófica y se acumulan en el tejido adiposo de los animales. d) Lluvias ácidas, que amenazan la vida de los bosques debido al incremento del SO2 en la atmósfera. e) Deforestación de amplias zonas del planeta, entre ellos la Amazonía, verdadero pulmón del mundo. f) La desertización y erosión de los suelos como resultado de políticas inadecuadas y torpes de explotación agraria. g) Emisión de partículas radiactivas debido a los subproductos de la industria nuclear. h) Contaminación por el uso indiscriminado de detergente que aceleran la eutrofización de las aguas continentales. Ø Fuentes de contaminación Ø Ø Ø Ø Ø Ø

Ø Efectos de la contaminación ambiental

Centros industriales Centros mineros Explotación del petróleo Desperdicios domésticos Vehículos motorizados Armas de guerra

Ø Deterioro de los recursos naturales: flora y fauna Ø Reducción de los posibilidades de vida en los medios: aéreo, terrestre y acuático Ø Reducción del espacio vital Ø Aumento de enfermedades • Proliferación de microorganismos • Enfermedades infectocontagiosas Reciclaje

Residuo sólido Ø Es cualquier objeto o material que resulta del desarrollo de un proceso o actividad y que es rechazado por quien lo genera. Ø Los residuos sólidos que normalmente generamos son cartón, papel, desechos de comida y jardín, vidrio, metales, plásticos, entre otros. Clasificación de residuos Ø Residuos biodegradables: Son aquellas que la misma naturaleza es capaz de descomponer. Ejemplo: Restos de comidas, el papel y cartón. Son biodegradables, pero su proceso es más lento. Ø Residuos no biodegradables: Son aquellos que la naturaleza no puede degradar. Ejemplo: Plásticos, vidrios, metales, etc. La mayoría de estos materiales se absorben después de muchísimo tiempo por factores climáticos y otros. Algunos pueden permanecer durante cientos de años.

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Las tres R Es importante que comprendamos que para ayudar a nuestro distrito es necesario tomar en cuenta la regla de las tres R.

¿Qué es reciclar? Es usar los materiales una y otra vez para hacer nuevos productos, ofrece mínimos problemas de contaminación y mayor facilidad para su recuperación. Tipos de materiales que se pueden reciclar Ø Papel: periódico, papel blanco, cartón. Ø Vidrio: botellas de licor, envases no retornables de refresco y cerveza, etc. Ø Plástico: botellas de gaseosa, de aceite, etc. Reciclaje de papel Los productos de papel y cartón tienen una vida útil muy corta y una vez usados se convierten en residuos sólidos urbanos (RSU). El proceso de reciclaje se basa en la trituración y desintegración del papel usado, el cual permite obtener un nuevo papel. Reciclaje de plásticos En el mercado de todo el mundo existen cincuenta diferentes formas de plástico. El polietileno, plástico empleado para envases de refresco es uno de los tipos de plástico reciclado en mayor cantidad. De polietileno reciclado son fabricados actualmente alfombras, partes de automóvil y pelotas para tenis. La separación de plásticos diferentes es costosa, ya que muchos productos, entre ellos las botellas que contienen salsas, tienen de cinco a seis capas de plásticos distintos y para obtener un nuevo producto, de alta calidad, es necesario utilizar cada tipo por separado. Cada día son descubiertas nuevas aplicaciones para el plástico reciclado: envases para refresco, ganchos para colgar ropa, juguetes, etc. Reciclaje de vidrio Sin importar su color o estado, todo tipo de envase de vidrio puede ser reciclado un número infinito de veces, sin alterar la calidad del producto. El nuevo envase de vidrio reciclado será tan bueno como el original. Botellas, vasos y recipientes de alimentos son triturados y el material resultante es fundido, lo que permite darle nueva forma. Actualmente está siendo fabricado, con vidrio de colores, un asfalto empleado en el revestimiento de carreteras. Este material, además de durable, confiere a la carretera un aspecto atractivo.

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Beneficios de reciclar Ø Ø Ø Ø

Conservación o ahorro de energía Conservación o ahorro de recursos naturales Disminución del volumen de residuos que hay que eliminar Protección del medio ambiente

Reducir Reducir es lo primero que tenemos que tratar de hacer porque es la mejor forma de prevenir y no curar. Esto quiere decir que hay que EVITAR que se genere la basura comprando más sabiamente y utilizando los productos de la manera correcta. ¿Cómo? Ø Comprando siempre productos con menor cantidad de envase. Ø Evitando comprar cosas que contengan sustancias peligrosas y, si son súper necesarias, asegurarse de tener lo justo y no más que eso.

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Ø Procurando no desperdiciar alimentos. Ø No comprando productos descartables que son el enemigo número uno del ambiente. Ø Teniendo cuidado al utilizar productos contaminantes, para no derramar o desperdiciar. Reutilizar Reusar es tratar de darle algún uso a la basura antes de tirarla, por ejemplo, forrar las cajas, frascos o latas y usarlas para guardar cosas.

Preguntas resueltas 1. En relación a los problemas ambientales, indique el valor de verdad (V) o falsedad (F).

3. Señale si son verdaderas (V) o falsas (F) las siguientes afirmaciones:

Ø Encuentran solución cuando se analizan con el método científico deductivo que divide los problemas grandes en otros más pequeños. ( ) Ø Deben ser estudiados con la colaboración de múltiples disciplinas científicas. ( ) Ø Conviene analizarlos como sistemas complejos. ( ) Ø En la actualidad existen modelos de computador que predicen con fidelidad casi total el comportamiento de los ecosistemas. ( )

Ø Los productores primarios en el ecosistema son los organismos fotosintéticos ( ) Ø El biotopo es el conjunto de los elementos no vivos que forman parte del ecosistema ( ) Ø La mayor parte de la biomasa de la biosfera se concentra en los productores primarios. ( )

A) FVVF D) VFVF

B) VVFV E) FVFV

C) FFVV Rpta.: A

2. En relación a los sistemas complejos, indique el valor de verdad (V) o falsedad (F). Ø En todo sistema complejo hay un fin común a todos los elementos que forman el sistema. ( ) Ø Para conocer bien un sistema complejo basta conocer bien sus partes. ( ) Ø El equilibrio típico de un sistema medioambiental es dinámico. ( ) A) FVV D) VFV

B) FVF E) VFV

A) FVV D) VFV

B) FVF E) VFV

C) VVV Rpta.: C

4. Señale si son verdaderas (V) o falsas (F) las siguientes afirmaciones: Ø En el ecosistema los herbívoros son los productores primarios ( ) Ø La fotosíntesis de las plantas forma parte del ciclo del oxígeno en la naturaleza. ( ) Ø La reserva más abundante de nitrógeno son los nitratos del suelo. ( ) A) FVV D) VFV

B) FFV E) VFV

C) VVV Rpta.: B

C) FFV Rpta.: E

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5. Señale sin son verdaderas (V) o falsas (F) las siguientes afirmaciones: Ø La producción primaria neta es la energía total fijada por fotosíntesis por las plantas de un ecosistema. ( ) Ø Hay bacterias capaces de convertir los compuestos de nitrógeno del suelo en nitrógeno gas. ( ) Ø El factor que suele limitar la productividad del ecosistema es, casi siempre, la energía luminosa disponible. ( ) A) FVV D) FVF

B) FVF E) VFV

C) VVV Rpta.: D

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SALUD - ENFERMEDAD Guía teórica IV 34

Marco teórico I. Definición Son enfermedades producidas por un agente causal definido transmitido desde una persona o animal infectado a un huésped susceptible. Por lo general, cursa con fiebre y afectación del estado general. Agente hace referencia a la estructura con capacidad infectante tales como: bacterias, virus, hongos, parásitos, etc. El huésped es el sujeto susceptible de ser afectado y ambiente viene a ser las condiciones externas que rodean a agente y huésped. La alteración de este equilibrio conduce a la enfermedad infecciosa. II. Formas de transmisión de las enfermedades infecciosas 1. Directa: Es el paso del agente causal desde un sujeto enfermo a un sujeto sano mediante o directo o exposición a objetos contaminados (compartir vestidos, toalla, cubiertos). Ejemplo: gripe, TBC, neumonías, ITS, sarna, micosis. 2. Indirecta: Es el paso del agente causal a través de vías indirectas como alimentos, agua, verduras, frutas o por el paso de microorganismos usando como vía de transmisión vectores o animales que transportan el germen (zancudo, piojo, ganado, moscas, cucaracha). Ejemplo: fiebre tifoidea, gastroenterocolitis, disentería, paludismo o malaria, dengue, tifus, bartonelosis, cisticercosis. 3. Zoonosis: Son enfermedades transmitidas desde un animal enfermo a un sujeto sano a través de un o directo (mordedura, arañazo, ingesta del alimento o convivencia). Ejemplos: brucelosis, rabia, ántrax. III. Etapas de la enfermedad infecciosa Ø Etapa prepatogénica: Es el periodo de aparente salud, donde hay un equilibrio entre agente, huésped y ambiente. La característica fundamental de este período es la SUSCEPTIBILIDAD A ENFERMARSE. Ø Etapa patogénica: Consiste en el curso natural que sigue la enfermedad una vez iniciada ésta. Pasa por los siguientes periodos:

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1. Periodo de invasión: Consiste en el ingreso del agente causal al organismo usando para ello una vía de : a. Vía digestiva: A través de la vida oral, mediante la ingesta de agua o alimentos contaminados. Ejemplo: disentería, tifoidea, cólera, polio, etc. b. Vía respiratoria: Transmisión a través de aerosoles o gotitas de saliva expulsados por el sujeto enfermo a través de la tos o estomudo. Ejemplo: TBC, sarampión, tos, convulsiva, difteria, neumonía. c. Vía cutánea: A través de una vía abierta en la piel como heridas excoriaciones o laceraciones cutáneas. Ejemplo: sarna, hongos, rabia, ántrax, tétanos, paludismo, dengue, etc. d. Vía sexual: Transmisión a través de relaciones sexuales con una persona enferma. Ejemplo: gonorrea, sífilis, VIH/SIDA, tricomoniasis, hepatitis B, cáncer de cuello uterino, etc. 2. Periodo de incubación: Comprende desde el ingreso del agente causal hasta la aparición de los primeros síntomas. Se caracteriza por una multiplicación activa del agente en el interior del organismo a pesar de que el huésped no tenga síntomas (estado de portador). El tiempo de duración es variable, desde horas (cólera) o años (sífilis). Puede resolverse espontáneamente. 3. Periodo de estado o desarrollo de la enfermedad: Se inicia con la aparición de los primeros síntomas y posterior desarrollo florido de la enfermedad. 4. Periodo de convalecencia: Es el periodo de lenta recuperación una vez superada la infección, desaparecen los síntomas. Se caracteriza por la posibilidad de recaídas. Ø Principales enfermedades infecciosas

I. Enfermedades transmitidas por vía digestiva 1. Cólera: Enfermedad diarreica aguda y súbita que produce deshidratación severa grave y progresiva que puede llevar a la muerte en el transcurso de horas. Es producido por la bacteria Vibrio cholerae, bacteria productora de enterotoxinas que actúa en la superficie del enterocito dando lugar a una diarrea tipo acuoso como “agua de arroz”.

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2. Fiebre tifoidea: Enfermedad transmitida por Salmonella typhi a través de la ingesta de alimentos contaminados con restos de heces y orina, carnes de aves, huevos. Tras 7 días de infección aparecen síntomas como fiebre, dolor de cabeza, dolor abdominal, prostración y puede complicarse con perforaciones y hemorragias intestinales. 3. Disentería: Cuadro diarreicos con moco, pus y sangre en heces producido por bacterias productoras de citotoxinas que destruyen células intestinales produciendo inflamación mayor a nivel local. El agente causal es Shigella dysenteriae; puede ser producido también por el protozoario Entamoeba histolytica. 4. Poliomielitis: Enfermedad producida por poliovirus que afecta al SNC con predominio al asta anterior motora de la médula espinal produciendo parálisis de inferiores. Generalmente, el individuo afectado queda con secuelas y dificultades para la marcha. II. Enfermedades transmitidas por vía respiratoria 1. Tuberculosis (TBC): Enfermedad ampliamente distribuida causada por el bacilo de Koch (Mycobacterium tuberculosis ) que afecta fundamentalmente pulmones. La principal fuente de contagio es el hombre que elimina el bacilo al toser. Los síntomas característicos son: tos persistente (mayor de 15 días), baja de peso, fiebre y sudoración nocturna, anorexia y puede llegar a expulsión de sangre (hemoptisis). 2. Sarampión: Enfermedad producida por el virus de la sarampión al ingresar por la nariz, boca o conjuntiva ocular. Los síntomas son parecidos a un fuerte resfriado: tos frecuente, ojos enrojecidos y llorosos, fiebre alta, erupción en mucosa oral (mancha de Koplik) y manchas rosadas detrás de la oreja, cara, cuello, tronco y extremidades. 3. Tos convulsiva: Producida por Bordetella pertussis que afecta tráquea, bronquios y bronquiolos. Produce crisis de tos exigente de predominio nocturno que termina con espiración ruidosa. Durante la fase de tos es altamente contagiosa. 4. Gripe: Enfermedad producida por virus de la gripe, virus mutante y altamente contagioso. Durante la fase de estado produce, congestión nasal, rinorrea, dolores musculares y articulares, fiebre (enfermedades al tercer día). Suele resolverse todo el proceso a los 7 días, sin dejar secuelas. III. Enfermedades transmitidas por vías cutáneas 1. Rabia: Zoonosis producida por un rabdovirus que ataca a perros, gatos, murciélagos y al hombre transmitida directamente a través de mordedura del animal infectado. El virus se replica en la zona de la mordedura y pasa al SNC los síntomas característicos son: fiebre, cefalea, mialgia, náuseas, vómitos, hipersalivación, disfagia (dolor a la deglución), espasmo laríngeo, alteraciones cardiovasculares y muerte. 2. Paludismo: Es la enfermedad parasitaria más importante a nivel mundial transmitido por la picadura del mosquito Anopheles que inocula una de las cuatro especies del género Plasmodium: vivax, ovale, malariae y falciparum. Al ingresar al organismo invaden hígado, hematíes produciendo destrucción de glóbulos rojos. Los síntomas son: fiebre, escalofrios, dolores generalizados a predominio de huesos y articulaciones y sudoración profusa.

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Guía teórica IV

IV. Infección de transmisión sexual (ITS) 1. Gonorrea: Enfermedad transmitida por relaciones sexuales, producida por Neisseria gonorrhoeae y tiene como único huésped al hombre produciendo un cuadro inicial de uretritis, ardor y dolor al miccionar, secreción uretral amarilla o purulenta. 2. Sífilis: Producida tras infección con Treponema pallidum a través del o sexual con una persona enferma. Tras un periodo de incubación de 21 días, aparece una lesión única en el lugar de la inoculación (pene, vagina, ano, boca) que tiende a ulcerarse. Posteriormente aparece fiebre,adenopatías, dolores, osteoarticulares, lesiones dérmicas, alopecia, rash cutáneo. 3. Infección por el virus de la inmunodeficiencia humana El VIH fue el primer lentivirus con implicaciones en patología humana; se conocen dos serotipos definidos, al VIH-1 y el VIH-2 y múltiples variantes. Por ser inmunotrópicos producen un deterioro cuantitativo, cualitativo y progresivo del sistema inmunológico del hospedero hasta causar el SIDA. El VIH-1 fue identificado inicialmente como el agente etiológico del SIDA en Estados Unidos, Europa, África y la mayoría de otros países del mundo, pero los estudios seroepidemiológicos sugieren que África es la cuna del VIH-1 y el origen de la epidemia. El primer paso en la infección con el VIH es la adhesión del virus a una célula hospedera que consiste en la unión de la gp120 de la envoltura viral a un receptor celular, generalmente linfocitos T ayudadores y todas aquellas células que tengan proteínas CD en su superficie o cualquiera de los receptores para el VIH, actualmente reconocidos. Las células que principalmente se infectan con el virus son los linfocitos los monocitos y los macrófagos (pulmonares, células gliales, dendríticas, foliculares y de la Langerhans). Otras células también son susceptibles a la infección con el VIH, como las endoteliales, colorrectales, cervicales y las B transformadas. Transmisión de la infección Se ha demostrado tres mecanismos de transmisión del VIH desde un infectado a un individuo. •

El o sexual, explica más del 90% de los casos. El riesgo de infección aumenta directamente proporcional al número de compañeros sexuales; es mayor para el compañero pasivo (receptor) y más alto en el coito anal (1%) que en el vaginal (0,1%). En general, la mujer tiene más probabilidad de infectarse, debido a que expone una superficie mucosa más grande y las condiciones de humedad de la vagina favorecen la viabilidad del virus. Se sabe que la coexistencia de otra enfermedad de transmisión sexual aumente el riesgo de contagio del VIH, especialmente si se trata de una úlcera genital.

•

La transmisión perinatal y congénita explica alrededor del 8-10% de los casos, según el área geográfica. El riesgo de que una madre infectada contagie a su bebe se ha estimado entre 12 y 40% según las distintas series informadas. La ruta de infección se ha demostrado vía placentaria, durante el parto por o con sangre y líquidos vaginales y durante el posparto por leche materna.

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Biología •

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La infección por sangre u hemoderivados infectados es responsable del 2% de los casos. La probabilidad de infectarse después de una transfusión contaminada por VIH es mayor del 90%. EL riesgo de infectarse con un objeto cortopunzante contaminado con sangre es menor del 0,4% sin embargo, se acepta que la observación de las medidas de bioseguridad garantiza la protección del trabajador de salud. Otros productos corporales, capaces de transmitir esta infección, aparte de la sangre y los fluidos genitales, son los líquidos procedentes de cavidades estériles y todos los que estén visiblemente contaminados con sangre. La saliva, la orina, el sudor, las lágrimas, el vómito y la materia fecal no se consideran fluidos con riesgo de transmitir el VIH.

Historia natural de la infección VIH El tiempo promedio desde el momento de adquirir la infección por VIH hasta el desarrollo del SIDA es de diez años, pero la progresión de la infección varía, dependiendo de factores del hospedero y de características del virus como el fenotipo y la virulencia de la cepa. Además, dicha progresión es alterada por la intervención terapéutica con antirretrovirales y la medicación profiláctica que reciba el infectado. Estadios de la infección VIH 1. Síndrome retroviral agudo (seroconversión): Corresponde a la infección primaria por VIH; generalmente es asintomática pero el 50% de las personas con infección aguda pueden presentar un síndrome parecido a la mononucleosis infecciosa. Los síntomas se presentan en 2 – 4 semanas post-infección y se caracterizan por fiebre, adenopatías, faringitis, úlceras de cavidad oral y un exantema morbiliforme. La duración de los síntomas es de 14 días en promedio aunque puede ser hasta 2 semanas. 2. Fase asintomática (recuerdo de células CD 4 mayor de 300/mm3): La mayoría de las personas VIH positivas carecen de síntomas durante este período de la infección, excepto por la presencia de adenopatías; éstas se correlacionan con una adecuada respuesta inmune y su desaparición se considera un signo inminente de inmunodeficiencia. Coincide con la desaparición de la viremia y aparición de anticuerpos contra el VIH. De acuerdo con la magnitud del inoculo y la capacidad de respuesta inmunitaria del paciente, el periodo de latencia de la enfermedad será de uno de diez años. 3. SIDA (recuento menor de 200 células CD 4 /mm3 ): Con este recuento de células por definición el paciente tiene diagnóstico de SIDA aunque no presente síntomas o signos de complicaciones clínicas. En este momento el riesgo de desarrollar algunas de las condiciones descritas como indicadores de SIDA es alto. Aparecen por primera vez manifestaciones de infecciones por hongos a nivel de las mucosas. Puede presentarse infecciones crónicas por virus como herpes simplex alrededor de la boca, ano o vagina. Hay manifestaciones neurológicas, respiratorias, digestivas y de la piel. Pueden aparecer procesos malignos. La iniciaron de las infecciones oportunistas se correlaciona con el recuento de los CD4. Al final, las infecciones oportunistas, como la tuberculosis y neoplasias (tumores) asociados al SIDA son los que acaban con la vida de la persona.

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Características del VIH • • • •

Inmunoinvasor Ribovirus ® Genoma ARN Lentivirus Retrovirus

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V. Ciclos biológicos A. Ascariasis El Ascaris lumbricoides (es el gusano más largo del intestino) es el agente causal de una de la enfermedades helmínticas más cosmopolitas y comunes. El Ascaris es el género de gusanos parásitos del filo de los nematodos, es la especie más conocida de una de las 4 de su tipo que infesta a los humanos en especial a los niños. Se aloja en el intestino y a veces se abre camino hasta otras partes del cuerpo, mide 15 a 25 cm de longitud, es de color blanquecino y ahusado en ambos extremos. Sus huevos se desarrollan en el agua o en tierra húmeda y sus embriones entran al cuerpo por ingestión directa. Los gusanos pueden expulsarse por medio de purgantes. El género incluye muchas especies que infestan a los animales domésticos y de granja. En los pulmones las larvas provocan hemorragias petequiales.

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El virus de la influenza en el organismo Ø Cuando infecta a un humano, el virus de la gripe se incrusta en las células respiratorias y atraviesa el epitelio, una especie de capa protectora en la superficie de las células. Para multiplicarse, el virus reprograma la célula y desvía su actividad para conseguir su objetivo. Cada célula infectada puede producir centenares de virus que se apoderan de todo el sistema respiratorio. Ø El tiempo de incubación de la gripe A (H1N1) es de tres a siete días, y puede ser más largo en los niños. Presenta síntomas parecidos a los de las gripes comunes. Ø El virus es muy contagioso y se transmite por las pequeñas gotas expulsadas al respirar, toser o estornudar. Para acabar con la epidemia, los científicos recomiendan aislar a la persona enferma y istrarle antivirales. No se conoce con certeza la respuesta del organismo ante este nuevo virus.

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Tratamiento Ø Los fármacos antivirales para la gripe común están disponibles en algunos países y tratan la enfermedad de manera eficaz. Hay dos clases de fármacos: los adamantanes (amantadina y remantadina) y los inhibidores de la neuraminidasa (oseltamivir y zanamivir). Ø Los médicos tienen que tomar decisiones basándose en las evaluaciones clínicas y epidemiológicas y en el balance daños/beneficios del tratamiento para el paciente. Para el actual brote en EE. UU. y México, las autoridades recomiendan usar oseltamivir o zanamivir para el tratamiento de la enfermedad, basándose en el perfil de susceptibilidad del virus. Ø Comercialmente los fármacos tienen el nombre de Relenza y Tamiflu. Mascarillas protectoras Ø La calidad de las mascarillas está en función de la finura del filtro. Existen dos tipos: las quirúrgicas (de higiene) y las de protección (respirador). Mascarillas quirúrgicas Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

Son de tela. Se emplean para evitar la transmisión de virus y bacterias a través de la exhalación. Cuestan entre S/. 0, 50 y S/. 1 No son demasiado eficaces para impedir la inhalación de micropartículas o microorganismos. Son descartables. Solo se pueden emplear una vez y por un tiempo limitado (máximo 10 horas). Cubren la boca y la nariz. Tienen un ajuste flojo. No deben ser compartidas.

Mascarillas de protección Ø La OMS ha recomendado el empleo de mascarillas (o respirador) N95 para prevenir la propagación de la gripe A (H1N1). Ø Bloquean el 95% de partículas que flotan en el ambiente, gracias a su filtro de protección. Ø Evitan el ingreso de bacterias y virus en el organismo. Ø Se ajustan al rostro. Ø Se usaron para prevenir la propagación de la gripe aviar y del SARS (neumonía atípica). Ø Cuestan entre S/. 6,00 y S/. 9,00. Ø Se pueden usar más de una vez, aunque esto no es recomendable. Tipos de virus Ø Hay tres tipos de la gripe: A, B y C. Los de tipo C solo causan problemas respiratorios ligeros. Ø Los virus A y B portan dos tipos de proteínas: la hemaglutinina y la neuraminidasa, bajo la forma de espículas que erizan su envoltorio. El virus H1N1 (hemaglutinina de tipo 1 y neuraminidasa de tipo 1) en el brote de la epidemia de esta nueva gripe forma parte del tipo A, y se puede dividir en numeroso subtipos.

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El cerdo, su carne y la gripe Ø La gripe A (H1N1) no se contagia a la gente mediante el consumo de cerdo si este ha sido adecuadamente procesado o cocinado. Tampoco se transmite a través de sus productos derivados. El virus se elimina a 70 °C. Ø No obstante, el cerdo es receptivo de diferentes formas de virus, que pueden combinarse y generar un virus múltiple. Es el caso del H1N1 actual, mezcla de dos cepas porcinas, una cepa aviar y una cepa humana transmisible al hombre. Ø Los productores de cerdo de Brasil, la Comisión Europea y las autoridades estadounidenses han pedido dejar de usar el término 'gripe porcina' porque se trata de un virus humano y no de una enfermedad animal. Ø El director interino del Centro de Control de Enfermedades de EE. UU. (CDC), Richard Besser, aseguró que el nombre del virus debería ser 'gripe H1N1 2009'. Ø Sin embargo, la Organización Mundial de la Salud advirtió que el nombre oficial del virus es A (H1N1) y que se le puede llamar 'nuevo H1'. Ø También se le conoce como 'gripe mexicana' o 'gripe norteamericana'. Síntomas

Encontrar el origen de este nuevo virus es clave para los científicos, dado que comprender cómo llegó a la especie humana puede conducir al desarrollo de mejores fármacos y vacunas, además de prevenir brotes futuros. Sin embargo, esto aún no se conoce.

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Biología

Guía teórica IV

Preguntas resueltas 1. Enfermedad viral transmitida por vectores mecánicos y que afecta el sistema nervioso central. (UNMSM 2009-I) A) Gripe C) Rabia E) SIDA

B) Poliomielitis D) Sarampión

Sustentación Es una enfermedad vírica sistémica contagiosa aguda que afecta al sistema nervioso existen 3 poliovirus inmunológicamente distintos que provocan la poliomielitis. El virus se multiplica en el tejido linfoide de la garganta e íleon produciendo necrosis folicular. Rpta.: B 2. La transmisión del virus del VIH no está relacionada con una de los siguientes formas: (UNMSM 2009-I) A) B) C) D) E)

A) de inicio. C) de desarrollo. E) asintomático.

B) de convalescencia. D) de incubación.

Sustentación Una enfermedad infecto contagiosa presenta 3 periodos: incubación, desarrollo y convalescencia. En el periodo de incubación, hay un tiempo entre el ingreso del patógeno al organismo y la aparición de los primeros síntomas. Rpta.: D 4. Son enfermedades de transmisión sexual, a excepción de (UNMSM 2003-I) A) sífilis. C) gonorrea. E) hepatitis A.

B) herpes genitales. D) SIDA.

Sustentación

relaciones sexuales. vía respiratoria. de la madre al hijo. uso de jeringas contaminadas. transfusión de sangre.

La hepatitis A es una enfermedad infecciosa causado por el virus de la hepatitis A y se propaga por el o en zonas higiénicas o ingestión de alimentos contaminados con el virus. Rpta.: E

Sustentación El virus de la inmunodeficiencia humana infecta a las células sanguíneos linfocitos T colaboradores y se puede transmitir por relaciones sexuales, madre a hijo, uso de afeitadores, agujas, jeringas contaminadas, transfusión sanguínea. El VIH no es transmitido por vía respiratoria. Rpta.: B 3. En una enfermedad infecciosa, el tiempo comprendido entre el ingreso del patógeno al organismo y la aparición de los primeros síntomas se denomina periodo (UNMSM 2005-II)

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5. El Plasmodium vivax es parásito de (UNFV 2001) A) las plaquetas. C) los monocitos. E) los hematíes.

B) los linfocitos. D) los reticulocitos.

Sustentación El Plasmodium vivax es transmitido por el insecto Anopheles y parasita a los glóbulos rojos (hematíes) provocando su destrucción con s de fiebre escalofríos, esplenomegalia y anemia. Rpta.: E

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Raz. Matemático

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Guía teórica IV

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Raz. Matemático

Guía teórica IV

SISTEMA CARTESIANO

25

Marco teórico Sobre la naturaleza de Planilandia (Edwin A. Abbott) Llamo a nuestro mundo Planilandia, no porque nosotros le llamemos así, sino para que os resulte más clara su naturaleza a vosotros, mis queridos lectores, que tenéis el privilegio de vivir en el espacio. Imaginad una vasta hoja de papel en la que líneas rectas, triángulos, cuadrados, pentágonos, hexágonos y otras figuras, en vez de permanecer fijas en sus lugares, se moviesen libremente, en o sobre la superficie, pero sin la capacidad de elevarse por encima ni de hundirse por debajo de ella, de una forma muy parecida a las sombras (aunque unas sombras duras y de bordes luminosos) y tendríais entonces una noción bastante correcta de mi patria y de mis compatriotas. Hace unos años, ay, debería haber dicho "mi universo", pero ahora mi mente se ha abierto a una visión más elevada de las cosas. En un país de estas características, comprenderéis inmediatamente que es imposible que pudiese haber nada de lo que vosotros llamáis género “sólido”; pero me atrevo a decir que supondréis que nosotros podríamos al menos distinguir con la vista los triángulos, los cuadrados y otras figuras, moviéndose de un lado a otro tal como las he descrito yo. Por el contrario, no podríamos ver nada de ese género, al menos no hasta el punto de distinguir una figura de otra. Nada era visible, ni podía ser visible, para nosotros, salvo líneas rectas; y demostraré enseguida la inevitabilidad de esto.

SISTEMA HELICOIDAL

Poned una moneda en el centro de una de vuestras mesas de Espacio; e inclinándonos sobre ella, miradla. Parecerá un círculo. Pero ahora, retroceded hasta el borde de la mesa, id bajando la vista gradualmente (situándonos poco a poco en la condición de los habitantes de Planilandia) y veréis que la moneda se va haciendo oval a la vista; y, por último, cuando hayáis situado la vista exactamente en el borde de la mesa (hasta convertiros realmente, como si dijésemos, en un planilandés) la moneda habrá dejado por completo de parecer ovalada y se habrá convertido, desde vuestro punto de vista, en una línea recta.

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Raz. Matemático

Guía teórica IV

Lo mismo pasaría si obraseis de modo similar con un triángulo, o un cuadrado, o cualquier otra figura recortada en cartón. En cuanto la miraseis con los ojos puestos en el borde de la mesa, veríais que dejaría de pareceros una figura y que adoptaría la apariencia de una línea recta. Cuando yo estaba en Espaciolandia oi decir que vuestros marineros tienen experiencias muy parecidas cuando atraviesan vuestros mares y avistan una isla o una costa lejana en el horizonte. Ese litoral distante puede tener bahías, promontorios, ángulos hacia dentro y hacia fuera en cantidades y dimensiones diversas; pero a distancia no veis nada de eso (salvo que se dé el caso de que vuestro Sol brille intensamente sobre ellos revelando

las proyecciones y retrocesos por medio de luces y sombras), sólo una línea gris ininterrumpida sobre el agua. Bien, pues eso es justamente lo que nosotros vemos cuando uno de nuestros conocidos triangulares o de otro tipo viene hacia nosotros en Planilandia. Como en nuestro caso no hay Sol, ni ninguna luz de ese género que pueda hacer sombras, no tenemos ninguna de esas ayudas que tenéis vosotros en Espaciolandia. Si nuestro amigo se acerca más a nosotros vemos que su línea se hace mayor; si se aleja se hace más pequeña; pero de todos modos parece una línea recta; sea un triángulo, un cuadrado, un pentágono, un hexágono, un círculo, lo que queráis... parece una línea recta y nada más.

Problemas resueltos 1. Dado el triángulo ABC de vértices

2. Halle el área del triángulo de vértices

A(3, 2), B(5, 7) y C(9,4)

A(5, 4), B(–3, –4) y C(4, –6)

halle la longitud de la base media relativa al lado AB. (CEPREUNMSM 2004) A)

35

D)

27 2

2

B)

43

E)

29 2

2

C)

31 2

(CEPREUNMSM 2005) A) 35 u2 D) 42 u2

B) 38 u2 E) 24 u2

C) 36 u2

Resolución

Resolución

2

Hallamos: AB = (5 - 3) + (7 - 2)

S = 1 | -58 - 12| = 35 u2 2

2

Rpta.: A

AB = 29 Luego: x =

29 2

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Rpta.: E

436

Raz. Matemático 3. Halle la distancia del punto P al origen de coordenadas, siendo P el punto medio del segmento AB de vértices A(–2, 3) y B(8, 5). (CEPREUNMSM 2006) A) 4 D)

B) 5 6

E)

C)

Guía teórica IV 5. Halle n en la gráfica. (CEPREVI 2007)

7

5

Resolución

A) 18/5 D) 19/7

B) 16/3 E) 17/3

C) 14/5

Resolución æ -2 + 8 3 + 5 ö ç 2 , 2 ÷ = (3, 4) è ø

Luego: x = 3 2 + 4 2 x= 5

Por propiedad de pendientes: æ x - 2 öæ 7 - 2 ö æ x - 2 öæ 5 ö ç 2 - 6 ÷ç 8 - 6 ÷ = - 1 Þ ç -4 ÷ç 2 ÷ = - 1 è øè ø è øè ø 18 \ x= 5 Rpta.: A

Rpta.: B 4. Sean AB//CD. Halle x si, además A(2, 3), B(5, 9), C(4, 6) y D(x, 12) (CEPREVI 2007) A) 5 D) 7

B) 9 E) 11

C) 13

Resolución

Igualando pendientes: 9 - 3 12 - 6 = 5- 2 x - 4 \ x= 7 Rpta.: D

SISTEMA HELICOIDAL

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Raz. Matemático

Guía teórica IV ECUACIÓN DE LA RECTA 26

Marco teórico Comencemos con un punto. Como sabemos, un punto no tiene dimensiones. Es una abstracción matemática muy utilizada en física, donde consideramos que los objetos son puntos. Pensemos en la ley de gravitación universal de Newton. Aplicada al movimiento de planetas, siempre consideramos que éstos son puntos, con toda su masa concentrada en ese punto. Una aproximación válida siempre que las distancias sean grandes comparadas con el tamaño del planeta, ya que si no, comienzan a aparecer otros efectos que no podemos explicar si únicamente fueran puntos (como las fuerzas de marea). Si tenemos dos puntos distintos, podemos trazar una recta entre ellos. Tenemos entonces la primera dimensión. Una línea no tiene alto ni ancho, sólo longitud. Si imaginamos un universo de una sola dimensión, con habitantes de una dimensión, éstos sólo podrían ir hacia delante y hacia detrás. Una vida un poco aburrida. Como veis, una simple línea en la nada (con sombra, para hacerlo más bonito... pero ni caso). Se trata de un objeto representado en una sola dimensión. Con dos dimensiones ya tenemos un plano. Al igual que se puede definir una línea mediante dos puntos, se puede definir un plano mediante tres puntos, pero vamos a hacerlo de otra manera. Dos rectas que se cortan definen un plano. O dicho de otra manera, dos universos de una dimensión que se cruzan, sólo pueden imaginarse en dos dimensiones. Pensemos en una línea que se bifurca. Volvamos a nuestros seres de una dimensión. Imaginad uno de ellos que camina por su recta hasta llegar al cruce con otra recta. Estaría ante una bifurcación, y dependiendo de por dónde siguiera, entraría en un universo completamente diferente. Pero ese ser no podría imaginarse cómo es posible. Podemos imaginar también un universo de dos dimensiones. Imaginar tres dimensiones es extremadamente sencillo, ya que estamos acostumbrados a un entorno tridimensional: longitud, anchura y altura. Pero pensad en otra forma de definir la tercera dimensión. Recordemos el universo plano de dos dimensiones. Imaginad que es una enorme cartulina, que doblamos de forma que algunos puntos de la cartulina estén en o con otros puntos de la misma. Un ser de dos dimensiones que habitara ese universo bidimensional plegado, no podría percibir esos plieges. Pero en determinados lugares, podría pasar de un punto de su universo a otro muy alejado (para él), en un instante de tiempo, ya que esos dos puntos se tocan, por estar la cartulina doblada. Volvamos ahora a los seres unidimensionales. Para ellos, la segunda dimensión sería una bifurcación en su universo lineal, de forma que

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Raz. Matemático

Guía teórica IV

podrían acceder a otro universo lineal. Pero si ese “multiverso bidimensional” se pliega sobre una tercera dimensión, los seres unidimensionales no sólo podrían ir a otros universos unidimensionales, sino a otros puntos de su mismo universo. Además, podrían trasladarse a otro. Ahora tenemos un objeto tridimensional. Hasta aquí es sencillo ... Bueno, recapitulemos para no perdernos, que a partir de ahora las cosas se complican: una dimensión, significa que puedo unir dos puntos con una línea. Una segunda dimensión, significa que mi línea se bifurca en determinados puntos. Una tercera dimensión significa que puedo plegar esas líneas. Vayamos ahora con la cuarta dimensión. Como sabéis, el tiempo es la cuarta dimensión. Según la relatividad especial, es necesario utilizar el tiempo como si fuera una coordenada más para situar un evento, de forma que vivimos en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones. Recordemos el universo plano con sus habitantes bidimensionales, y cómo perciben un objeto tridimensional que atraviese su universo. Intentemos hacer nosotros una analogía con el tiempo. Un objeto tiene existencia en cuatro dimensiones, de las que sólo percibimos 3, porque de la cuarta sólo podemos captar un instante. Pensad en una persona a lo largo de su vida, desde que es un embrión, nace, crece, envejece, hasta que muere. Si intentáis visualizar una especie de película acelerada de su vida, sería algo similar a lo que ocurría en el universo plano cuando lo atravesaba una esfera. Intentad hacer ahora lo mismo con todo lo que véis, o mejor aún, con todo el universo. Para ello, imaginemos que tomamos una instantánea del universo en un instante dado, y concentramos todo el universo tridimensional de ese instante en un sólo punto. Hagamos lo mismo, pero un minuto después. El tiempo sería una línea que une esos dos puntos del universo, en instantes de tiempo diferentes. Así que imaginad que el tiempo es una línea. El universo espacial tridimensional es un punto, y la cuarta dimensión es una línea que une esos puntos pertenecientes a distintos momentos. Cada instante que pasa (habría infinitos, pero lo he representado así para aclararlo todo) es un punto que representa la línea del tiempo. Por lo tanto, en esa dimensión existe un ‘todo’ entero que forma un punto, seguido de los demás puntos que implican los siguientes instantes. Si sois aficionados a las historias de viajes en el tiempo, el siguiente paso os resultará fácil. Si no, podéis ver Regreso al Futuro II. Veamos, supongo que todos tendréis uno o varios momentos clave en vuestra vida en la que tomasteis una decisión, y os habéis arrepentido. Os preguntáis qué habría sucedido si hubieseis hecho otra cosa, e incluso desearíais poder retroceder en el tiempo para cambiar lo ocurrido. Pues imaginad que tomasteis esa otra decisión. Que existe otro universo, otro espacio-tiempo en el que esa otra posibilidad sucedió. Si el tiempo es una línea, estaríamos ante una bifurcación. En ese instante crítico, la línea temporal se divide en dos, y cada una transcurre por rumbos separados. Pero como vimos en el ejemplo de una y dos dimensiones, para bifurcar una línea necesitamos una dimensión adicional. Esa dimensión sería la quinta. Así, podemos imaginar la quinta dimensión como una dimensión necesaria para permitir la existencia de líneas temporales diferentes. Los aficionados a los comics Marvel, reconocerán aquí esos universos alternativos, en los que una simple diferencia en el pasado, crea toda una línea temporal diferente. Es clásica la saga de Dias del fututo pasado, de la Patrulla X, que nos muestra un futuro alternativo apocalíptico, del que a veces vienen sus habitantes, o a veces, son nuestros protagonistas los que viajan a él. Resumiendo, la quinta dimensión permite bifurcaciones en la cuarta dimensión. Aquí vemos que esa dimensión ha evolucionado y ahora el cubo tiene infinitas (aunque sólo representa tres) variantes de futuro. Todo depende de las acciones que ocurran si por ejemplo vuelves en el pasado segundo 1 y cambias una cosa, el cubo comenzará a modificarse de otra forma, mostrandosé así (que no creándose, ya que de existir ya existe) otro futuro. Ahora en esa línea temporal volvamos hacia el segundo 7 y hacemos otro cambio, se mostraría así otra de las infinitas ramas que compondrían la quinta dimensión.

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Raz. Matemático

Guía teórica IV

Problemas resueltos 1. Halle la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y por el punto (5, 6). (CEPREUNMSM 1999) A) 3y = 2x C) 5x = 6y E) x = 6y

B) 6x = 5y D) 2y = 3x

3. Si el triángulo ABC es isósceles, halle la ecuación de la recta que contiene a BC. (CEPREUNMSM 2004) A) B) C) D) E)

Resolución

x + y = 20 x + 2y = 36 3x + y = 18 2x + 3y = 20 3x + 2y = 24

Resolución Se observa 6 pendiente: tg q = 5 Luego: L: y – 6 = 6 (x – 5) 5 L: 6x = 5y

BC: 3x + 2y = 24 Rpta.: E Rpta.: B

2. Halla la ecuación de la recta de la figura. (CEPREUNMSM 2006) A) B) C) D) E)

2x + 3y + 20 = 0 x – y – 20 = 0 4x – 5y + 20 = 0 4x + 5y + 10 = 0 2x – 5y – 10 = 0

A(0, 0), B(0, 6), C(6, 6) y D(6, 0), halle la ecuación de la recta que pasa por el vértice B y por el punto medio del lado CD. (CEPREUNMSM 2005) B) x + y – 12 = 0 D) x + 2y – 12 = 0

Resolución Se observa que:

Se observa que: Ø Pendiente: tgq = 4/5

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4. Si ABCD es un cuadrado de coordenadas:

A) 3x – y – 12 = 0 C) 2x + y = –12 E) x – y + 12 = 0

Resolución

Luego: y – 4 = 4/5(x – 0) Þ L: 4x – 5y + 20 = 0

Se observa que: tgb = –tga Þ pendiente: tgb = –6/4 = –3/2 Además: C tiene coordenadas: (8, 0) Luego: BC: y – 0 = –3/2(x – 8)

Rpta.: C

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Raz. Matemático mL = Luego:

Guía teórica IV Resolución

6- 3 = 1/2 0- 6

Sea L: 5x – 3y – 1 = 0. Todo punto de la recta resuelve su ecuación:

L: y – 3 = –1/2(x – 6) L: x + 2y – 12 = 0 Rpta.: D

(2, a) ® 5(2) – 3a – 1 = 0 ® a = 3 (b, 8) ® 5b – 3(8) – 1 = 0 ® b = 5 \ a +b=3+5=8 Rpta.: E

5. Si la recta L: 5x – 3y – 1 = 0 pasa por los puntos (2, a) y (b, 8), halle a + b. (CEPREUNMSM 2005) A) 10 D) 9

B) 12 E) 8

C) 6

SISTEMA HELICOIDAL

441

Raz. Matemático

Guía teórica IV FACTORIAL Y PRODUCTORIA 27

Marco teórico FÓRMULA DE STIRLING En matemáticas, la fórmula de Stirling es una aproximación para factoriales grandes. Lleva el nombre en honor de James Stirling. La aproximación se expresa como lnn! ≈n ln n – n, para n suficientemente grande, donde ln es el logaritmo natural. Definición formal n!

La fórmula de Stirling está dada por lim

n®¥

n

2p n æç n ö÷ èeø

que se reescribe frecuentemente como n ! » 2pn æç n ö÷ èeø

=1

n

n

1 –

æ ö 12n más exactamente la fórmula es como sigue n ! » 2pn ç n ÷ e èeø

1 + 1 1 – +... 3 5 7 360 n 1260 n 1680 n

donde el último término (la exponencial) tiende a 1 cuando n tiende a infinito. La lista de los denominadores es: 12, 360, 1260, 1680, 1188, 360 360, 156, 122 400, 244 188, 125 400, 5796, 1 506 960, 300, ... Desarrollando este último término también se puede reescribir la fórmula como: n ! » 2 pn æç n ö÷ èeø

n

æ ö 1 1 139 571 ç 1 + 12n + 288n 2 – 51 840n 3 – 2 488 320n 4 + ... ÷ è ø n

Una acotación de la fórmula es

n

1

1

2 pn æç n ö÷ e 12n +1 < n ! < 2 pn æç n ö÷ e 12n èeø èeø

Por ejemplo: 29! = 8841761993739701954543616000000 1

e12 × 29 +1 = 1,002869438

SACO OLIVEROS

442

Raz. Matemático

Guía teórica IV 1

e 12 ×

29

= 1,002877696... 29

29! = 2p × 29 æç 29 ö÷ 1,002877577... è e ø

Usos La fórmula resulta útil en diversas áreas como la mecánica estadística, donde aparecen ecuaciones que contienen factoriales del número de partículas. Puesto que en la materia ordinaria los sistemas macroscópicos típicos tienen en torno a N ≈ 1023 partículas la fórmula de Stirling resulta muy aproximada. Además, la fórmula aproximante de Stirling es diferenciable, lo cual permite el cálculo muy aproximado de máximos y mínimos en expresiones con factoriales.

La diferencia relativa entre (lnx!) y (xlnx – x) tiende a cero al crecer x.

SISTEMA HELICOIDAL

443

Raz. Matemático

Guía teórica IV Factorial

Para todo número natural n se llama factorial o factorial de n al producto de todos los naturales desde 1 hasta n: n! = 1 × 2 × 3 × 4 × ... × (n – 1) × n que de un modo resumido se puede expresar con el operador Productoria: n

n! = Õ k

ì1, si n = 0 ó n = 1 n !! = í în(n – 2)!!, si n ³ 2 Por ejemplo 4!! = 2 × 4 = 8 8!! = 2 × 4 × 6 × 8 = 384

Se define 0! = 1, para que la relación: n! = n·( n – 1)!

9!! = 1 × 3 × 5 × 7 × 9 = 945 Algunas identidades de los dobles factoriales:

sea también válida para n = 1. Esta relación permite definir los factoriales por recursividad. La notación n! fue popularizada por el matemático francés Christian Kramp. ìï1, si n = 0 n! = í ïî(n – 1)! n, si n ³ 1 Así tenemos los valores de los primeros 10 factoriales: 6! = 7! = 8! = 9! = 10! =

Se define el doble factorial de n como:

5!! = 1 × 3 × 5 = 15

k =1

1! = 1 2! = 2 3! = 6 4! = 24 5! = 120

Doble factorial

720 5040 40320 362880 3628800

Para valores grandes de n existe una expresión aproximada para el factorial de n, dado por la fórmula de Stirling: n n ! » 2p n æç n ö÷ èeø La ventaja de esta fórmula es que no precisa inducción y, por lo tanto, permite evaluar n! más rápidamente cuanto mayor sea n. Algunas propiedades de los factoriales son: 1. 2. 3. 4.

n! = (n – 1)!n n! = (n – 2)!(n – 1)n n! + (n + 1)! = n!( n + 2) n! + (n + 1)! + (n + 2)! = n!(n + 2)2 n! 1 5. = (n + 1)! + (n + 2)! (n + 1)(n + 3)

SACO OLIVEROS

1. n! = n!!(n – 1)!! 2. (2n)!! = 2nn! (2n + 1)! (2n + 1)! 3. (2n + 1)!! = (2n)!! = 2 n n! 4. (2n – 1)!! = (2n – 1)! = (2nn)! (2n – 2)!! 2 n ! Primorial El primorial de un número n se define como el producido de todos los números primos menores o iguales a él y se indica como n#. Así, por ejemplo, tenemos los siguientes valores: Primo Primorial de n(n #) 2

2#: 2

3

3#: 6

5

5#: 30

7

7#: 210

11 11#: 2310 13 13#: 30030 17 17#: 510510 19 19#: 9699690 23 23#: 223092870 29 29#: 6469693230 31 31#: 200560490130 37 37#: 7420738134810 41 41#: 304250263527210

444

Raz. Matemático

Guía teórica IV Productoria

Si n es un entero positivo y a1 , a2, ..., an son n números a ser multiplicados, entonces el producto de ellos se puede escribir como:

n

2.

Õ c = cn

3.

Õ(aibi) = çç Õai ÷ç ÷ç Õbi ÷÷

n

i =1 n

Õ ai = a1 · a2 · a3 · ... · an i =1

æ n

öæ n

ö

è i =1 øè i =1 ø

i =1

Y se lee:

n

“Productoria de ai desde i = 1 hasta i = n”

n

4.

La notación de productoria permite simplificar la escritura del producto de números.

æa ö

Õ çè bii ÷ø = i=n1 i =1 Õ bi i =1

5.

Propiedades de la productoria

Õ ai

n

n

i =1

i =1

Õ cai = cn Õ ai

n

1.

Õ1 = 1 i=1

Problemas resueltos 1. Halle el valor de R.

2. Reduzca N. 4

æ n çç Õ 2 N = è i=1

Õ (i + 1)

R = i=04

n

å (2i)

Õ (2i)

i =0

i =1

(CEPREUNALM 2008) A) 2 D) 8

B) 4 E) 10

öæ n 2 ö ÷ç ÷ç Õ i ÷÷ øè i=1 ø

(CEPREUNALM 2008) A) n D) (n!)2

C) 6

C) n2

B) n! E) n!!

Resolución

Resolución

Aplicando los operadores tenemos:

Aplicando el operador productoria:

4

Õ (i + 1) = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120 i =0

n veces 644 4 7444 8 2 2 2 2 (2×2×2×...×2) (1 ×2 ×3 ×...×n ) N= (2×4×6×8×...×2n)

4

n

å (2i) = 0 + 2 + 4 + 6 + 8 = 20

N=

i =0

Luego: R = 120 ® R = 6 20

2

2 ´ (1 ´ 2 ´ 3 ´ ... ´ n) 2 n ´ (n!) 2 = n (2 ´1)(2 ´ 2)(2 ´ 3) ... (2n) 2 ´ (n!) N = n!

Rpta.: C

SISTEMA HELICOIDAL

Rpta.: B

445

Raz. Matemático 3. ¿En qué cifra termina R? (CEPREVI 2008) R = 1! + 3! + 5! + 7! + 9! + ... + 234! A) 1 D) 7

B) 3 E) 9

C) 4

Hallando la última cifra de cada factorial y luego sumando: R = 1! + 3! + 5! + 7! + 9! + 11!... R = 1 + 6 + ... 0 + ... 0 + ... 0 + ... 0 +... R=7 Rpta.: D 4. Resuelva n ! + (n + 1)! = 24 . (n – 1)! + n ! 5 (CEPREUNMSM 2004) B) 3 E) 6

5. Resuelva x !! + ( x + 4)!! = 36 . ( x + 2)!! 5 (CEPREUNMSM 1998) A) 3 D) 2

Resolución

A) 2 D) 5

Guía teórica IV

B) 4 E) 1

C) 5

Resolución Reduciendo al menor doble factorial: x !! + x !!( x + 2)( x + 4) x !!1 + [( x + 2)( x + 4)] 36 = = x !!( x + 2) x !!( x + 2) 5 2 2 Þ x + 6 x + 9 = 36 Þ 5 x + 30 x + 45 = 36 x + 72 x+ 2 5

\x = 3 C) 4

Rpta.: A

Resolución Reduciendo al menor factorial: Þ

(n – 1)! n + (n – 1)! n(n + 1) (n – 1)! [n + n(n + 1) ] = (n – 1)! + (n – 1)!n (n – 1)! (n + 1) 2 Þ n + 2n = 24 \ n = 4 n +1 5

SACO OLIVEROS

Rpta.: C

446

Raz. Matemático

Guía teórica IV

ANÁLISIS COMBINATORIO

28

Marco teórico Un dado es un objeto de forma poliédrica preparado para mostrar un resultado aleatorio cuando es lanzado sobre una superficie horizontal, desde la mano o mediante un cubilete, en cuyo caso los resultados ocurren con distribución uniforme. Los posibles resultados, numéricos o de otro tipo, están marcados en cada una de las caras del poliedro y se eligen en función de la posición en la que quede el dado tras el lanzamiento; normalmente se toma el resultado marcado en la cara que queda vista hacia arriba. Es frecuente que se utilicen varios dados iguales o diferentes combinados en la misma tirada. Los dados habituales son cubos pequeños, de entre 8 y 25 mm de arista, y cuyas caras están numeradas de 1 a 6 (normalmente mediante disposiciones de puntos), de tal manera que las caras opuestas suman 7 puntos y los números 1, 2 y 3 están dispuestos en el sentido contrario al giro de las agujas del reloj.

Dados cúbicos

Zocchiedro

Los dados pueden alterarse de muchas maneras para hacer trampas en los juegos que los requieren: pueden redondearse algunas aristas, o algunas caras pueden tener una forma ligeramente distinta a un cuadrado para favorecer la aparición de ciertos resultados, etcétera. Los dados empleados en los casinos suelen ser transparentes para dificultar estas maneras de engañar. Dados no cúbicos En otros tiempos, los dados con formas no cúbicas eran empleados casi exclusivamente por adivinos y en otras prácticas ocultas, pero recientemente se han popularizado en los juegos de rol y wargames. Normalmente, son de plástico y en sus caras hay dígitos en lugar de puntos. Se suelen emplear los sólidos platónicos para fabricar dados de 4, 6, 8, 12 y 20 caras, aunque también se pueden encontrar otras formas para los dados de 10, 30, 100 y otras cantidades de caras, o incluso para los dados anteriormente mencionados.

Dados en forma de rodillo o trompo

Se describen frecuentemente por su número de caras de manera abreviada, siendo dX un dado de X caras. Por ejemplo, d6 sería un dado de 6 caras. De forma Dados en forma de poliedro regular más general, YdX supone lanzar Y dados, cada uno de los cuales tiene X caras. Para adaptar las puntuaciones disponibles a cierto baremo, se puede añadir una constante al lanzamiento, o multiplicar una tirada por otro número para evitar lanzamientos de un número excesivo de dados. Así, 1d10 + 5 significa lanzar un dado de 10 caras y al resultado sumarle 5, mientras que 2 × 3d8 significa tirar tres dados de 8 caras cada uno, y multiplicar el resultado por dos.

SISTEMA HELICOIDAL

447

Raz. Matemático

Guía teórica IV

ANÁLISIS COMBINATORIO I. Principio fundamental del análisis combinatorio Suponga que una persona tiene 2 formas de ir de una ciudad A a otra ciudad B; y una vez llegada a B, tiene 3 maneras de llegar a otra ciudad C. ¿De cuántas maneras podrá realizar el viaje de A a C pasando por B?

hasta la enésima acción que puede efectuarse de z formas diferentes, entonces el número total de formas diferentes en que puede efectuarse estas n acciones es igual a: a · b · c · ... · z Este principio también se llama principio de conteo o principio multiplicativo. Ejemplo 1 ¿De cuántas maneras diferentes podrá vestirse un joven que tiene 3 camisas diferentes, 4 pantalones y 2 pares de calzado?

Si empezó a pie, podrá tomar luego avión, carro o trasatlántico, y si empezó en bicicleta, también podrá tomar avión, carro o trasatlántico. La persona tuvo 6 formas diferentes de realizar pa,pc,pt,ba,bc,bt el viaje que son: (iniciales) 144 42444 3. (2 × 3 = 6)

Se puede representar en un diagrama de árbol:

Resolución 3 × 4 × 2 = 24 maneras diferentes Ejemplo 2 En una ciudad, los números de teléfono constan de 5 dígitos, cada uno de los cuales se llama con alguno de los 10 dígitos (0 al 9). ¿Cuántos números diferentes pueden formularse? Resolución 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 100 000 números Ejemplo 3 La agencia de publicidad PIPSA, ha obtenido la exclusividad respecto a una línea de polvos para preparar postres. A estos efectos la agencia ha decidido organizar un concurso nacional destinado a adivinar el nombre futuro de esa línea de productos. Las condiciones son:

Por lo que el principio fundamental del análisis combinatorio, puede expresarse así: Si una primera decisión, operación o acción puede efectuarse de a formas diferentes, una segunda acción puede efectuarse de b formas diferentes, una tercera acción puede efectuarse de c formas diferentes y así sucesivamente

SACO OLIVEROS

a. Los nombres que se propongan deben ser de 4 letras. b. Ninguna letra debe repetirse. c. La primera y tercera letra deben ser consonantes. d. La segunda y cuarta letra deben ser vocales. e. Si una persona propone 2 veces el mismo nombre queda descalificada.

448

Raz. Matemático ¿Cuántos nombres debe proponer una persona para estar seguro que participa en el sorteo público? (Considere 28 letras del alfabeto). Resolución 23 × 5 × 22 × 4 = 10 120 nombres diferentes ¿Por qué esos números? Porque hay 28 letras del alfabeto, 23 consonantes y 5 vocales, pero se disminuyó de 23 a 22 en la primera y tercera cifra porque una de las condiciones es que las letras no se repitan. Así como 5 y 4 en la segunda y cuarta cifras, que son las vocales. II. Permutaciones Una permutación es un conjunto ordenado de n elementos.

Guía teórica IV Ejemplo 3 En un proceso de manufactura hay seis operaciones distintas, que se indican con A, B, C, D, E y F. En general no existe una secuencia fija para las operaciones, con la salvedad de que A debe efectuarse al principio y F al final. ¿Cuántas secuencias diferentes pueden ocurrir? Resolución A 123 BCDE F

¯

P4 = 4! = 24 formas diferentes. III. Cuando se toma parte de los elementos del conjunto se tiene una variación de n elementos tomados de r en r (con n > r)

V r = (n n–!r )! n

Notación: Pn Permutación de 5 elementos

Ejemplo 1

P5 = 5!

Si n = 5 y r = 3

P5 = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

V 3 = (5 – 3)! = 2! =

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Por lo que: Pn = n!

Para el conjunto {a, b, c}, ¿cuántas permutaciones existen? Resolución abc, acb, bca, bac, cab, cba = 6 P3 = 3! = 6

5

5!

5!

5 ´ 4 ´ 3 ´ 2! = 60 2!

Hay 7 candidatos para desempeñar 3 tareas. Si todos los candidatos son igualmente eficientes, ¿de cuántas maneras se puede efectuar la asignación? Resolución 7! 7! 7 ´ 6 × 5 × 4! 7 = 210 V 3 = (7 – 3)! = 4! = 4!

Ejemplo 2 En una asamblea de accionistas, hay 6 personas que han solicitado hacer uso de la palabra. ¿En cuántos órdenes diferentes pueden hablar si es que no se ha establecido un orden de prioridades? Resolución P 6 = 6! = 720

SISTEMA HELICOIDAL

IV. Combinaciones Una combinación de n elementos tomados de r en r es un subconjunto no ordenado de r elementos (con n > r ). Dos combinaciones formadas por r elementos son distintas, si difieren al menos en un elemento.

449

Raz. Matemático Ejemplo 1

Guía teórica IV Los ingleses se pueden escoger de:

Sea el conjunto {a, b, c}. De cuántas maneras podemos seleccionar: a. Un elemento b. Dos elementos c. Tres elementos Resolución a. Existen tres formas de seleccionar un elemento: a, b, c. b. Existen tres formas de seleccionar dos elementos: ab, ac, bc. c. Existe una forma de seleccionar tres elementos: abc. Notación:

æ nö

n

Cr , çè r ÷ø

C

4 2

Conjuntamente:

C

7 4

n

Ejemplo 2 Si n = 10, r = 7

C7

10

=

10! 10! 10 ´9 ´ 8 ´7! 720 = = = = 120 7!´ (10 – 7)! 7!´ 3! 7!´ 3! 6

Ejemplo 3 El congreso anglomexicano de istración pública, debe elegir el futuro comité ejecutivo que regirá a esa institución durante el próximo año. La comisión directiva se forma con 6 integrantes y este año han sido propuestos 7 representantes mexicanos y 4 ingleses para ser electos. Se pide determinar de cuántas maneras se puede integrar la comisión si en dicha comisión debe haber 4 mexicanos y 2 ingleses. Resolución Los mexicanos se pueden escoger de: 7 7! = = 35 4 4!´ 3!

C

SACO OLIVEROS

´

C

4 2

= 35 ´ 6 = 210

Ejemplo 4 En los laboratorios “ELKO” hay 3 plazas vacantes, y de un total de 33 solicitudes de empleo sólo 14 se han considerado aceptables, en base a las entrevistas practicadas por el departamento de personal. ¿De cuántas maneras pueden asignarse las 3 plazas si todos los empleos son de la misma categoría? Resolución

Para determinar el número de combinaciones de n elementos tomando de r en r, se tiene:

Cr = r !(nn-! r)!

4! =6 2! ´ 2!

=

C

14 3

= 364

V. Permutaciones circulares Una permutación circular de n elementos es el número total de ordenamientos que se pueden realizar con ellos alrededor de una circunferencia.

Nota El orden de los elementos se toma con respecto a uno de ellos. Notación: PCn

Para determinar el número de permutaciones circulares de n elementos se tiene: PCn = (n – 1)! Ejemplo 5 amigos se sientan alrededor de una mesa circular. ¿De cuántas maneras diferentes podrán ubicarse? Resolución PC 5 = (5 – 1)! = 4! = 24

450

Raz. Matemático

Guía teórica IV

IV. Permutaciones con repetición

Ejemplo ¿Cuántas palabras distintas se puede formar con todas las letras de la palabra CARRERA?

Dados m elementos de una sola clase, n elementos de otra clase, p elementos de una tercera clase, etc. Si llamamos k = m+n+p+...., entonces el número de ordenamientos de estos k elementos tomados todos a la vez se denomina permutación con repetición.

Resolución Aquí debemos ordenar 7 elementos (siete letras de la palabra) pero, A se repite 2 veces y R se repite 3 veces, C una vez y E una vez, entonces:

Notación: k (donde: k = m + n + p + ....) P m, n, p...

Para calcular el número de permutaciones de k elementos donde m de ellos son de una clase, n de una segunda clase, p de una tercera clase, etc. se tiene: k P m, n, p,... =

P 2,7 3, 1, 1 =

7! 5040 = = 420 2! × 3! × 1! × 1! 2 × 6 × 1 × 1

k! m! · n! · p!...

Curiosidades El juego de dominó tiene un origen incierto, pero los indicios ubican su invención en China hace unos 3000 años, como una derivación de los dados cúbicos que habían sido introducidos desde India. El dominó chino consta de 21 piezas que son las posibles permutaciones que resultan al lanzar dos dados: (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 6) Cada mitad de una pieza es la representación de una cara de un dado, y los números están simbolizados con puntos. Este dominó se completa con otras once piezas, que son duplicaciones de algunas de las anteriores, con lo que suman un total de 32 fichas. A las once piezas duplicadas se les llama ‘civiles’, y a las otras, ‘militares’, una distinción muy importante en algunos juegos. Todo el juego de piezas es elaborado en madera oscura, hueso o marfil grabado. El dominó fue introducido en Italia y Francia a mediados del siglo XVIII, y llegó a Gran Bretaña a fines de ese siglo (posiblemente por medio de los prisioneros de guerra ses); rápidamente parece haberse hecho popular en posadas y tabernas, aunque con algunas variantes. La palabra dominó designa en francés una capucha blanca y negra usada en invierno por los sacerdotes cristianos. El dominó europeo consta de un menor número de fichas que el chino, y tiene una ficha sola para cada permuta-

SISTEMA HELICOIDAL

451

Raz. Matemático

Guía teórica IV

ción del tiro de dos dados (21 fichas) y 7 más que resultan de hacer las parejas del 1 al 6 con el 0 y la del doble cero (0, 0), lo que suma un total de 28 fichas. Este es el conjunto estándar o ‘doble seis’ y, como en China, se pueden jugar diversas variantes con él. Los conjuntos ‘doble doce’ (91 fichas) son populares en América y también existen los conjuntos ‘doble nueve’ (55 fichas). El dominó y sus variantes se juega en muchos países del mundo hoy en día, pero es especialmente popular en América Latina. Se necesitan cuatro jugadores y el objetivo del juego es deshacerse de las fichas. Estas se colocan al centro de la mesa cara abajo y se revuelven o, como comúnmente se dice, se hace la sopa. Se reparten 7 fichas a cada jugador, de tal forma que no se vea qué fichas le tocaron a cada uno. El jugador que tenga la ficha marcada con doble seis (6, 6) empieza el juego colocándola sobre la mesa. El jugador que está sentado a su derecha sigue en turno. Este jugador debe tirar una ficha que tenga seis en una de sus partes, y la debe colocar junto a la ficha anterior, de tal forma que queden juntos los seis de cada ficha. El orden de tiro siempre es a la derecha. En cada turno se tienen dos opciones para sacar una de las fichas (siempre se toman los valores a los extremos de la línea de fichas). Puede suceder que no se tenga ni una ficha para colocar en alguno de los extremos; en este caso el jugador pierde su turno (debe avisar a los demás jugadores que "pasa") y toca al siguiente jugador tirar. Por costumbre (ya que de esta manera se identifican más rápidamente), las fichas dobles ((1, 1),..., (6, 6), también llamadas ‘mulas’, se acomodan en forma encontrada a la línea de fichas, por ejemplo: El primer jugador que se quede sin fichas gana la partida. Se suman los puntos que queden en las fichas de los otros jugadores. Esta suma de puntos se le asignan al ganador en turno y se van acumulando las puntuaciones. El primero de los jugadores que llegue a 100 puntos gana el juego, lo que implica que se necesitan varias partidas para ganar un juego. La forma de jugar presentada anteriormente es la más sencilla. Regularmente se juega por parejas y en esta variante se alternan los integrantes de cada equipo, es decir, los de cada dupla se sientan uno frente al otro. En el juego de parejas se requiere coordinación y entendimiento; para ello se debe jugar repetidas ocasiones hasta llegar a conocer las estrategias del compañero. Cada uno trata de facilitarle el juego a su compañero, o de sabotear a quien está a su derecha, pues es el oponente.

SACO OLIVEROS

452

Raz. Matemático

Guía teórica IV

Problemas resueltos 1. Dos “zochiedros” (dados de 20 caras) se lanzan sobre una mesa. ¿Cuántos resultados posibles se pueden obtener? (CEPREVI 1998) A) 250 D) 350

B) 300 E) 450

C) 400

4. ¿Cuántas sumas diferentes puede obtener tomando los 6 primeros números primos de dos en dos? (CEPREUNAC 2005) A) 12 B) 18

C) 16 D) 14

E) 15

Resolución

Resolución Aplicando el principio de multiplicación: z1

z2

Como la suma es conmutativa, no interesa el orden de los sumandos, luego, es una combinación de 6 elementos tomados de dos en dos.

¯ ¯ N.º de resultados = 20 × 20 = 4000

C 62 =

6 ´5 = 15 1´ 2

Rpta.: E

Rpta.: C 2. ¿Cuántas palabras distintas se pueden formar con todas las letras de la palabra NÉCTAR si todas deben iniciar con N y no importa su significado? (CEPREVI 2004) A) 48 D) 720

B) 60 E) 360

C) 120

5. Se tienen 12 puntos, no colineales tres a tres. ¿Cuántos triángulos se pueden formar tomando tres puntos como vértices? (CEPREVI 2007) A) 190 D) 210

B) 180 E) 220

C) 200

Resolución

Resolución

Rpta.: C

Para formar un triángulo debemos unir tres puntos distintos en cualquier orden, por lo tanto, es una combinación de 12 puntos unidos de 3 en 3. 12 ´ 11 ´ 10 C12 = = 220 3 1´ 2´ 3 Rpta.: E

3. ¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con todas las letras de la palabra ARROLLAR sin importar su significado? (CEPREUNAC 2007)

6. ¿Cuál es el máximo número de caminos cortos que hay para ir de A hacia B pasando por N? (CEPREUNAC 2007)

La formación de nuevas palabras depende de un reordenamiento de las letras, por lo tanto, es una permutación: Þ N ÉCTAR 1 424 3 N.º de palabras= 5!=120

A) 5040 D) 960

B) 720 E) 1080

C) 480

Resolución Es una permutación con elementos repetidos. 8! N.º de palabras= = 5040 2!× 2!× 2! Rpta.: A

SISTEMA HELICOIDAL

A) 200 D) 160

B) 180 E) 320

C)240

453

Raz. Matemático Resolución Aplicamos el conteo de Tartaglia en el mapa adecuado, pasando por N y utilizando caminos cortos de A hacia B.

Rpta.: A 7. ¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con todas las letras de la palabra PORONGUITO si todas las vocales deben pemanecer juntas al igual que las consonantes entre sí? (CEPREUNAC 2007) A) 3600 D) 5400

B) 4800 E) 4280

C) 7200

Guía teórica IV 9. ¿Cuántos números pares de 4 cifras se pueden escribir en total utilizando solo cifras significativas? (CEPREVI 2007) A) 3645 D) 2916

El problema es una permutación, así tenemos:

C) 5000

_______________ N= a b c d ¬ par 1 1 1 2 2 2 2 4 3 3 3 6 M M M 8 9 __ 9 __ 9 __ __ 9 ´ 9 ´ 9 ´ 4 = 2916 Rpta.: D 10.José, María y sus cuatro pequeños se sientan a cenar con sus invitados Alex y Rosa. ¿De cuántas maneras diferentes podrán ubicarse alrededor de la mesa circular si los tímidos hijos siempre desean estar juntos? (CEPREUNAC 2007) A) 288 D) 432

Resolución

B) 4000 E) 4374

B) 384 E) 480

C) 576

Resolución

Rpta.: B 8. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden vender 7 corbatas diferentes entre sí? (UNAC 2005) A) 5040 D) 120

B) 49 E) 127

C) 42

Los hijos son puntos de referencia, por tanto: N.º de maneras de ubicarse = 4! × 4! = 24 × 24 = 576

Resolución Las corbatas se pueden vender combinándolas de 1 en 1, de 2 en 2, de 3 en 3 y así sucesivamente hasta de 7 en 7: 7

7

7

7

Rpta.: C

7

C1 + C 2 + C 3 + ... + C 7 = 2 – 1 = 127 Rpta.: E

SACO OLIVEROS

454

Raz. Matemático

Guía teórica IV ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA 29

Marco teórico CÓNICAS Las figuras que vamos a ver en adelante, todas ellas conocidas con el nombre genérico de cónicas, se pueden conocer como intersección de una superficie cónica con un plano, las diferentes posiciones de dicho plano nos determinan distintas curvas: circunferencia, elipse, hipérbola y parábola. Un poco de historia Las curvas cónicas fueron estudiadas por matemáticos de la escuela griega hace mucho tiempo. ¿Quién fue el primero en estudiar las cónicas? Una de las primeras personas en estudiar la secciones cónicas fue Manaechmus (Manecmo) de Grecia, alumno de Eudoxio, como consecuencia de su interés en el problema de construir con regla y compás un cubo de volumen doble al de cierto cubo dado, esto sucedió en el siglo IV a. C. Probablemente Manecmo encontró algunas propiedades de las secciones cónicas, como las asíntotas de la hiperbóla, aunque no existe ningún documento que lo demuestre. En el mismo siglo el geómetra Euclides escribe 4 libros sobre secciones cónicas, de las cuales ninguno se conserva en la actualidad. Según Pappus de Alejandría, Aristeo (contemporáneo de Euclides) trabajó las cónicas y las llamó: sección del cono rectángulo, sección del cono acuntángulo y sección del cono obtusángulo (parábola, elipse e hipérbola actual). Pero, al igual que ocurre en los cuatro libros de Euclides, no se conservan documentos de esos trabajos. El primer tratado escrito que se conserva sobre las secciones cónicas es debido a Apolonio de Perga en sus 8 libros Apolonio estudia las propiedades geométricas de las secciones cónicas. Las figuras que se van a estudiar, todas ellas conocidas con el nombre genérico de cónicas, se pueden obtener como intersección de una superficie cónica con un plano. Previamente a este trabajo existían estudios elementales sobre determinadas intersecciones de planos perpendiculares a las generatrices de un cono, obteniéndose elipses, parábolas e hipérbolas según que el ángulo superior del cono fuese agudo, recto u obtuso, respectivamente. Si bien no disponía de la geometría analítica todavía, Apolonio hace un tratamiento de las cónicas que se aproxima mucho a la misma. Los resultados obtenidos por Apolonio sobrevivieron sin cambios hasta que (Fermat y Descartes se pueden

SISTEMA HELICOIDAL

455

Raz. Matemático

Guía teórica IV

considerar los fundadores de la geometría analítica), retomaron el problema llegando a su casi total estudio, haciendo siempre la salvedad de que no manejaban coordenadas negativas, con las restricciones que se impone. La contribución de cada uno reside esencialmente en el reconocimiento de que una ecuación dada con dos incognitas puede considerarse como la determinación de una curva plana con respecto a un sistema de coordenadas. El estudio para deducir propiedades referentes a las curvas y a su construcción geométrica. Por otro lado Fermat deduce las ecuaciones de la recta, la circunferencia y todas las secciones cónicas. La importancia fundamental de las cónicas radica en su constante aparición en situaciones reales: Ø La primera ley de Kepler sobre el movimiento de los planetas dice que estos siguen órbitas elípticas, en uno de cuyos focos se encuentra el Sol. Es muy posible que Newton no hubiese podido descubrir su famosa ley de la gravitación universal de haber conocido ampliamente la geometría de las elipses. Ø La órbita que sigue un objeto dentro de un campo gravitacional constante es una parábola. Así la línea que describe cualquier móvil es lanzado con una cierta velocidad inicial, que no sea vertical, es una parábola. Ø Esto no es realmente exacto, ya que la gravedad no es constante: depende de la distancia del punto al centro de la Tierra. En realidad, la curva que describe el móvil (si se ignora el rozamiento del aire) es una elipse que tiene uno de sus focos en el centro de la Tierra. Ø Una cónica puede considerarse como resultado de cortar una superficie cónica con un plano; o el lugar geométrico de los puntos del plano tal que la razón de sus distancias a un punto y a una recta es constante; o bien puede darse de ella una definición específica. ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA Expresión que representa a un conjunto de puntos que equidistan de un punto fijo llamado centro.

Ecuación de la circunferencia cuyo centro es (a, b)

Ecuación simple (Centro en el origen)

x2 + y2 = r2 (x – a)2 + (y – b)2 = r2 Donde: Ø r: radio vector Ø (0, 0): centro de la circunferencia

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Observación Al desarrollar esta expresión resulta la “ecuación general de la circunferencia”.

456

Raz. Matemático

Guía teórica IV

Problemas resueltos 1. Halle las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia. (CEPREUNMSM 2007)

3. Halle la ecuación de la circunferencia de la gráfica. (CEPREUNMSM 2006)

C : x2 + y2 + 2x + 6y + 3 = 0 A) (3, 1) y 7 C) (–1, –3) y 7 E) (–3, –1) y 7

B) (1, 3) y 7 D) (3, 1) y 7

Resolución Se sabe que si: ì ïCentro: 2 2 C : x + y + Cx + Dy + E = 0 ïí ï ïRadio: î Aplicando en nuestro caso:

æ – C, – D ö ç 2 2÷ è ø C 2 + D 2 – 4E 2

A) B) C) D) E)

x2 + x2 + x2 + x2 + x2 +

y2 – 5x + 6 = 0 y2 = 16x – 10 y2 = 10x y2 – 10x + 16 = 0 y2 = 16 + 15x

Resolución De la gráfica se observa:

C = 2, D = 6 y E = 3 Centro: (–1, –3) Radio:

2 2 + 6 2 – 4(3) = 7 2

Rpta.: C

2. Halle la ecuación de la circunferencia con centro en (–2, 4) y radio igual a 2. (CEPREUNMSM 2007) A) B) C) D) E)

2

2

x + y + 4x – 8y + 16 = 0 x 2 + y2 + 2x – 4y + 8 = 0 x 2 + y2 + x – 2y + 4 = 0 x 2 + y2 – 4x + 8y + 12 = 0 x 2 + y2 – x + 2y + 8 = 0

Resolución Se sabe que: C : (x – a)2 + (y – b)2 = R2 Þ (c, b) = (–2, 4) y R = 2 Luego: (x + 2)2 + (y – 4)2 = 22 x2

y2

Þ + 4x + 4 + – 8y + 16 = 4 Þ C : x2 + y 2 + 4x – 8y + 16 = 0 Rpta.: A

SISTEMA HELICOIDAL

Luego: C: (x – a)2 + (y – b)2 = R2 C: (x – 5)2 + (y – 0)2 = 32 C: x2 – 10x + 25 + y 2 = 9 C: x2 + y2 – 10x + 16 = 0 Rpta.: D 4. Halle las coordenadas de intersección entre la circunferencia C : x2 + y2 = 25 y la recta L : 4x = 3y. (CEPREUNMSM 2004) A) B) C) D) E)

(1, 5) y (–5, 1) (2, 8) y (8, 2) (–3, 2) y (3, –2) (3, 4) y (–3, –4) (2, 3) y (3, 2)

457

Raz. Matemático

Guía teórica IV

Resolución

Resolución

Para hallar la intersección C Ç L solo resolvemos el sistema de ecuaciones:

Del gráfico se observa:

ìï x 2 + y 2 = 25 ... (a) í ... (b) ïî 4 x = 3y Así, de (b): x =

3y , en ( a): 4

2 ìïy = 4 æ 3y ö 2 ç 4 ÷ + y = 25, de donde: í è ø ïîy = –4

\ Si y = 4 Þ x = 3

üï ý Pares: (3, 4) y (–3, –4) y = –4 Þ x = –3 ïþ Rpta.: D

5. Halle la ecuación de la cicunferencia inscrita en el cuadrado de la figura. (CEPREUNMSM 2007)

A) B) C) D) E)

Luego: 2

2

2

(x – 4) + (y – 4) = (2 2) de donde:

C: x 2 + y2 + 24 = 8x + 8y

Rpta.: C

x2 + y2 + 8 = x + y x 2 + y 2 + 2 = 2x + 2y x 2 + y 2 + 24 = 8x + 8y x 2 + y 2 + 12 = 2x + 2y x 2 + y 2 + 8 = 4x + y

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458

Raz. Matemático

Guía teórica IV ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA 30

Marco teórico

ANTENA PARABÓLICA Una antena parabólica es un tipo de antena que se caracteriza por llevar un reflector parabólico. Las antenas parabólicas pueden ser usadas como antenas transmisoras o como antenas receptoras. En las antenas parabólicas transmisoras el reflector parabólico refleja la onda electromagnética generada por un dispositivo radiante que se encuentra ubicado en el foco del reflector parabólico, y los frentes de ondas que genera salen de este reflector en forma más coherente que otro tipo de antenas, mientras que en las antenas receptoras el reflector parabólico concentra la onda incidente en su foco donde también se encuentra un detector. Normalmente estas antenas en redes de microondas operan en forma full dúplex, es decir, trasmiten y reciben simultáneamente. Las características más importantes de un reflector parabólico son su ganancia y su patrón de radiación. La ganancia de una antena es la capacidad para amplificar las señales que transmite o recibe en cierta dirección. El reflector parabólico se posiciona obteniendo la mejor ganancia en la dirección en la que vienen las señales que se quieren recibir o en la que se van a transmitir y la mínima en todas aquellas direcciones que no sean de interés, por lo que los lóbulos laterales o secundarios de radiación de la antena deben ser lo más pequeños que sea posible para que no capten señales indeseables provenientes de otros satélites, de sistemas terrestres de microondas o bien para reducir el desperdicio de potencia transmitiendo en direcciones no autorizadas o innecesarias. Estrictamente, la ganancia de una antena tiene siempre un valor definido en cualquier dirección a su alrededor, pero por convención se acostumbra asociarla a la dirección de máxima radiación que es el eje del lóbulo principal de su patrón de radiación. Los factores que determinan el valor de la ganancia son: el diámetro de la antena, su concavidad, la rugosidad de su superficie, el tipo de alimentador con el que es iluminada, así como la posición y orientación geométrica del mismo. Cuanto mayor es el diámetro de una antena parabólica, mayor es su ganancia; asimismo, si su diámetro se conserva fijo, el mismo efecto anterior se obtiene mientras mayor sea la frecuencia de operación, pues eléctricamente hablando, la antena es más grande en términos de longitudes de onda.

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459

Raz. Matemático

Guía teórica IV

Para poder orientar una antena es necesario tener un montaje que permita realizar movimientos del reflector. Existen tres tipos de montajes que puede tener una antena; azimut-elevación, X–Y o ecuatorial.

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460

Raz. Matemático

Guía teórica IV

Problemas resueltos 1. Halle la ecuación de la parábola de la figura. (CEPREUNMSM 2001)

Resolución Se observa que V(0, 3), además: p = VF = 3 luego, en la ecuación: x2 = –4p(y – b) P : x2 = –4(3)(y– 3) P : x2 = –12y + 36 P : x2 + 12y = 36

A) y 2 = 8x C) y 2 = 2x E) y 2 = 12x

3. Halle el valor del parámetro y las coordenadas del vértice de la parábola cuya ecuación es

B) y2 = 16x D) y2 = 4x

P : x2 – 6x – 2y + 13 = 0 (CEPREUNMSM 2003)

Resolución De acuerdo a la gráfica, la ecuación que le corresponde es: P : y2 = 4 px

... (a)

Como el punto entonces resuelve la ecuación: P(4, 4) Þ 4 2 = (4p)(4) Þ p = 1 Luego en (a):

Rpta.: B

P : y2 = 4x

Rpta.: D

2. Si F es el foco de la parábola, halle su ecuación. (CEPREUNMSM 2002)

A) 0,5 y (3, 2) C) 2 y (3, 2) E) –0,5 y (5, –2)

B) 1,5 y (2, 3) D) –0,5 y (4, 3)

Resolución Dando forma a la ecuación: x2 – 6x – 2y + 13 = 0 x2 – 6x = 2y – 13 x2 – 6x + 32 = 2y – 13 + 9 (x – 3)2 = 2y – 4 (x – 3)2 = 2(y – 2) P : (x – 3)3 = 4 æç 1 ö÷ (y – 2) è 2ø P: P: P: P: P:

De donde: vértice: (3, 2)

parámetro: p = 1 = 0,5 2 Rpta.: A

A) x 2 + 8y = 24 C) x 2 – 12y = 18 E) x 2 + 8y = 16

B) x2 + 12y = 36 D) x2 – 6y = 30

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4. Si el foco de una parábola es el punto (0, 6) y el eje de abscisas es su directriz, halle el área del cuadrado que se construye sobre el lado recto de la parábola. (CEPREUNMSM 2002) A) 81 u2 D) 144 u2

B) 100 u2 E) 169 u2

C) 121 u2

461

Raz. Matemático

Guía teórica IV

Resolución

Resolución

Por dato:

De la gráfica se deduce el valor del parámetro y las coordenadas del vértice:

Ahora: Parámetro: p = 3 Lado recto: AB = 4p = 12 \ Área del cuadrado: A = 122 = 144 u2

Luego:

P : (x – 4)2 = 4(2)(y – 2) P : x2 – 8x + 16 = 8y – 16 P : x2 + 32 = 8x + 8y Rpta.: B

Rpta.: D 5. En la gráfica, AB es diámetro de la circunferencia y lado recto de la parábola. Si el eje de abscisas es su directriz, halle la ecuación de la parábola. (CEPREUNMSM 2001)

A) B) C) D) E)

x 2 – 32 = 8x – 4y x 2 + 32 = 8x – 4y x 2 + 20 = 5x + 4y x 2 – 20 = 8x – 5y x 2 + 12 = 6x + 4y

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Raz. Matemático

COMPARACIÓN CUANTITATIVA Y Guía teórica IV SUFICIENCIA DE DATOS 31

Marco teórico KAKURO Su origen El kakuro nació hace 25 años en un viaje desde EE. UU. a Japón. Fue McKee Kaji quien, al no saber inglés para resolver un crucigrama en dicho idioma, se dedicó a hacer sumas cruzadas. De vuelta en su país, Kaji versionó el juego y lo llamó kasan kurosu, que más tarde terminaría como kakuro. Desde 1986 se han vendido más de un millón de libros en el país nipón. ¿Cómo se juega? Tampoco hay que ser un genio matemático para pasar un rato ameno. El objetivo es colocar números del 1 al 9 en columnas de 2 a 9 celdas vacías, colocadas tanto horizontal, como verticalmente a lo largo de una cuadrícula. La suma de cada columna debe igualar al número que aparece en las celdas oscuras, que se dividen en dos. Estos números están arriba (para los problemas verticales) o a la izquierda (para los horizontales). Como en el sudoku, no se puede repetir un mismo número en una columna. Es conveniente recordar ciertas combinaciones, que se repiten a menudo. Con esto y paciencia, seguro que lo solucionas.

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Raz. Matemático

Guía teórica IV

Aquí te ponemos un pequeño reto:

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Raz. Matemático

Guía teórica IV

Problemas resueltos 1. Si x > y, compare cuantitativamente las cantidades A y B. A x+y

3. Si ABCD es un cuadrado y AED es un triángulo equilátero, compare cuantitativamente A y B.

B x–y

(CEPREPUC 2008) A) B) C) D) E)

A>B A
(CEPREPUC 2007)

Resolución Como no me indican si los valores x e y son positivos o negativos, falta información para poder comparar cuantitativamente A y B. Rpta.: D 2. Compare cuantitativamente A y B.

A) B) C) D) E)

A>B A
Resolución Trabajando en el cuadrado:

B 3729 × 45 288

A 3728 × 45 289 (CEPREPUC 2008)

A) A > B B) A < B C) A = B D) F. D. E) No use esta clave. De donde se deduce:

Resolución

a = 150° q = 30° b = 75°

Dando: a = 3728 b = 45 289 Tenemos:

A ab ab 0 0 A

Ahora comparamos:

B ? ? ? < <

A

(a + 1)(b – 1) ab – a + b – 1 b–a–1 41 560 B

a 150° 150° A Rpta.: B

SISTEMA HELICOIDAL

B ? > >

2q + b 2(30°) + 75° 135° B Rpta.: A

465

Raz. Matemático 4. "x, y Î ¢ se tiene x2 + y2 = 13. Para hallar el valor de x + y, ¿qué datos son necesarios y suficientes? (CEPREPUC 2007) I. xy = 6 II. x e y son consecutivos. A) B) C) D) E)

I es suficiente. II es suficiente. I y II, en conjunto, son suficientes. I o II, por separado, son suficientes. Se necesitan más datos.

Resolución Por datos se sabe que x2 + y2 = 13.

Guía teórica IV 5. En una granja hay 11 animales entre gallos y conejos. ¿Cuántos conejos hay? (CEPREPUC 2008) Datos: I. El total de patas es 30. II. Hay más gallos que conejos. A) B) C) D) E)

I es suficiente. II es suficiente. I y II, en conjunto, son suficientes. I o II, por separado, son suficientes. Se necesitan más datos.

Resolución

Ø Luego, analicemos el dato (I): xy = 6 Þ x2 + y2 = 13 x2 + y2 + 2xy = 13 + 2 xy (x + y)2 = 13 + 12 (x + y)2 = 25 Þ x + y = 5 Ú x + y = –5 Todavía no podemos saber el valor exacto de x + y. Ø Luego, analicemos el dato (II): II. x e y son consecutivos. Þ Con este dato podemos tantear dos números enteros tales que x2 + y 2 = 13.

Sean: a = gallos y b = conejos Se sabe que: a + b = 11 ... (a) Ø Dato I: Total de patas es 30. 2a + 4b = 30 ... (b) Con (a) y (b) se puede hallar a y b. (I) es suficiente Ø Dato II: Hay más gallos que conejos. El dato es ambiguo, no más ayuda. \ El dato I es suficiente para resolver el problema. Rpta.: A

Þ 2 2 + 3 3 = 13 Ú (–2)2 + (–3)2 = 13 Þ x + y = 5 Ú x + y = –5 Todavía no sabemos el valor exacto de x + y. Ø Ni siquiera usando los datos en simultáneo llegamos a saber el valor exacto de x + y. Rpta.: E

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Raz. Matemático

Guía teórica IV PROBABILIDADES 32

Marco teórico NOCIÓN DE PROBABILIDAD ¿Qué es probabilidad?, ¿como se puede medir?, ¿cómo se usa?, las respuestas a estas preguntas son la preocupación de este capítulo. La probabilidad estudia los fenómenos o experimentos puramente “aleatorios” o libres de determinación. En el estudio de probabilidad interesa decir las leyes del azar y los resultados que estos determinan. Históricamente la teoría de la probabilidad comenzó con el estudio en los juegos de azar, tales como los dados, las cartas, la ruleta. A GIROLAMO CARDAMO (1501-1576) médico, matemático y jugador italiano, se le atribuye la primera discusión sobre probabilidades y que presentó sus ideas en su libro Liber de ludo aleae (El libro de los juegos del azar). Cien años más tarde, los matemáticos ses Blasie de Pascal (1623-1647) y Pierre Fermat (1601-1665), retomando los planteamientos de Cardamo, elaboran una serie de leyes y principios que enriquecieron la Teoría de la probabilidad y en el año 1812, Laplace (1749-1827) con la publicación de su libro Therorie Analytique des Probabités se fijan los fundamentos de la Teoría de la probabilidad.

Niccolo Fontana "Tartaglia"

Niccolo Fontana, de Brescia (1500-1557) quedó tartamudo por un corte en el cuello producido por un soldado francés en la masacre de 1512 en la catedral de su ciudad natal. Desde entonces fue conocido como Tartaglia. Hijo de una viuda pobre (su padre había muerto en la citada masacre), estudió por sí solo: griego, latín y matemáticas. Muy pronto fue profesor de matemáticas en Venecia, luego en Brescia y de nuevo en Venecia, donde murió. Mente poderosísima, resolvió arduos problemas algebraicos (por ejemplo la ecuación cúbica). En su Tratado de 1556 se refiere, como descubrimiento propio, al triángulo aritmético y al desarrollo del binomio. Lo cierto es que en años anteriores ya eran conocidos en Occidente y de antiguo en Oriente. Curiosamente, hoy el triángulo aritmético suele llamarse “de Tartaglia” o de “Pascal”, que escribió un libro sobre el tema en 1654 (Traité du triangle aritmétique, aparecido posteriormente en 1665) en el que también se encuentra la fórmula del binomio conocida como “de Newton”. La historia de lo que comúnmente se denomina triángulo aritmético, de Tartaglia o de Pascal, es larga y curiosa. Obviamente está entrelazada con los progresos del análisis combinatorio y, sobre todo, con el del

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Raz. Matemático

Guía teórica IV

cálculo de los coeficientes del desarrollo del binomio. Euclides (300 a. C.) manejaba el caso más sencillo (el cuadrado del binomio). Hacia 1100, Omar Khayan aseguraba conocer la técnica del desarrollo para exponentes más altos. En cuanto al propio triángulo, aparece en uno de los trabajos del algebrista chino Chu Shi-kie en 1303. En Occidente se encuentra el triángulo en los libros de aritmética de Apianus (1527), Stifel (1544), etc., y en el del propio Tartaglia (1556). Con posterioridad se ocupan del tema otros autores y lo “agota” Pascal con su Tratado de 1654. En las ilustraciones de triángulos orientales, los chinos proceden del libro de Chu Shi-kie, el japonés de una obra más moderna (1781) de Murai Chuzen. Conceptos básicos La base de la teoría de la probabilidad es el concepto de suceso o experimento aleatorio. Relacionamos este suceso con la realización de cierto experimento. ¿Qué es un experimento aleatorio? Es aquel que repetido muchas veces, da resultados distintos que no se pueden prever porque dependen del azar. Ejemplos Al arrojar el dado no se puede asegurar el resultado.

Al lanzar una moneda no se puede afirmar el resultado de ser cara o sello.

Al sacar una carta al azar no se puede asegurar su valor, color, ............. Espacio muestral Es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio dado. Usualmente se designa a este conjunto con S. En la teoría de conjuntos S representa el conjunto universal.

Nota El suceso aleatorio es un subconjunto del espacio muestral S. Ejemplo Experimento se hace rodar un dado y se observa el número que aparece en la cara superior. Espacio muestral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Suceso o evento: A: obtener un número par: A = {2, 4, 6}

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Cálculo de algunos espacios muestrales 1. Experimento: Arrojar uno o más dados. (

,

2. Experimento: Arrojar una o más monedas.

,.......

(

,

)

,........,

)

3. Experimento: Arrojar m dados y w monedas. Espacio muestral:

Total de casos posibles: n(EM) = 6 m ´ 2w

4. Experimento: Extracción al azar de una urna con fichas numeradas de 1 hasta m, inclusive si la extracción es de uno o más fichas es a la vez.

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5. Experimento: Extracción al azar de una urna con fichas numeradas de 1 hasta m, inclusive si se extrae uno tras otro sin reposición.

Muchos espacios muestrales se pueden determinar fácilmente por el “diagrama del árbol”. Cada rama representa una posibilidad. 1. Experimento: Ruth se encuentra embarazada y ella va a tener trillizos. Determine el evento que a sus dos únicos hijos varones se llamen ALFREDO Y ERNESTO. Determinación del espacio muestral para el sexo de los trillizos.

Evento: Dos hijos varones. V V M

V M V

M V V

Pero para asignarles los nombres a los varones.

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Raz. Matemático

Guía teórica IV

2. Experimento: En un saco hay 3 bolas rojas, 4 blancas y 5 azules, todas del mismo tamaño y material. Si se desea hacer extracciones de tres bolas una por una, sin reposición, determine los eventos de tener la primera roja y las siguientes azules o blancas.

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3. Experimento: Se arrojan al azar dos dados normales. Determine el espacio muestral, además, el evento que el valor de sus caras superiores sumen 8.

Para calentar sesos 1. Determine el espacio muestral del experimento de extraer dos fichas al azar de una urna de 10 fichas numeradas del 1 al 10. Además, el evento que estas tengan como suma un número de dos cifras. 2. Determine el espacio muestral del experimento de extraer al azar dos bolas, una por una de una caja que contiene 3 bolas negras, 4 blancas y amarillas. Además, el evento la primera sea negra y la segunda blanca. 3. Determine el espacio muestral del experimento de arrojar 4 monedas legales. Además, el evento de tener, por lo menos, dos caras. 4. Determine el espacio muestral del experimento de un torneo de tenis, donde para obtener el triunfo se deben ganar tres sets consecutivos o alternados. Además, el evento de tener 4 sets jugados para obtener el triunfo. Intuitivamente: Se entiende por probabilidad a la comparación del suceso o evento que deseamos que ocurra con todos los posibles resultados llamado espacio muestral, en resumen: ¿Qué parte es el evento a favor del espacio muestral? El valor númerico es la medida de la probabilidad.

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Guía teórica IV

Concepto clásico de probabilidad La suposición que frecuentemente se hace para espacios muestrales finitos es que todos los resultados sean igualmente probables. De acuerdo con esto podemos enunciar el siguiente concepto: “Si un experimento tiene n resultados posibles equiprobables, y si k de estos resultados son favorables, entonces la probabilidad P es P = k . De esto se deduce que cualquier suceso A que conste de k resultados, n tenemos P(A) = k o también: n P(A) =

Número de resultados favorables A Total de resultados equiprobables

Definición axiomática de probabilidad Sea S un espacio muestral asociado a un experimento, y A cualquier suceso de S; es decir, A Ì S, se dice que P es una función de probabilidad en el espacio muestral S si se satisfacen los tres axiomas siguientes: Axioma 1:

0 ≤P(A) ≤1, Para todo suceso A de S.

Axioma 2:

P(S) = 1

Axioma 3:

Si A1, A 2, ...... es una serie de sucesos mutuamente excluyentes, entonces: P(A1 È A 2 È ....... ) = P(A1 ) + P(A2 ) + .... Þ

én ù n P ê È A i ú = S P(A i ) ë i=1 û i=1

Nota Dos sucesos cualesquiera A y B se dice que son mutuamente excluyentes, si ocurre A pero no ocurre B o ocurre B pero no ocurre A.

Observación Ø Probabilidad de un evento es igual a cero si dicho evento no será posible. Ø Probabilidad de un evento es igual a uno si dicho evento siempre ocurre.

Probabilidades complementarias Si un evento A tiene la probabilidad de que ocurra es P(A), la probabilidad de que no ocurra A es P(A') es P(A) + P(A') = 1. \ P(A') = 1 – P(A) Posibilidad - Probabilidad Probabilidad - Posibilidad

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Guía teórica IV

¿Qué relación existe entre posibilidad y probabilidad? Supongamos que la posibibilidad de un evento A que ocurra es de 3 contra 7, entonces de un total de 10 casos el número de posibilidades que ocurra el evento es 3, por lo tanto, la probabilidad de A es 0,3. Ejemplo 1 Posibilidad del evento A ......... Probabilidad de A 3 contra 7

....................................

3 10

4 contra 11

....................................

4 15

n contra m

....................................

n n+m

Ejemplo 2 Probabilidad de A .......... Posibilidad del evento A 2 5

....................................

4 9

....................................

0,3

....................................

1

....................................

8 12

....................................

2 contra 3

Probabilidades geométricas I. Probabilidad lineal (L) Supongamos que el segmento l es parte de un segmento L. Sobre el segmento L se ha marcado un punto al azar. itiendo que la probabilidad de que un punto caiga en el segmento l es proporcional a la longitud de este segmento y no depende de su posición con respecto al segmento L. La probabilidad de incidencia del punto sobre el segmento l se determina por la igualdad:

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474

Raz. Matemático

Guía teórica IV

II. Probabilidad superficial (S) Si la figura plana (m) es parte de una figura plana M, sobre la figura M se ha marcado un punto al azar. Suponiendo que la probabilidad de que un punto caiga en la figura (m) es proporcional a la superficie de esta figura y no depende ni de su ubicación respecto a M, ni de la forma de (m), por lo tanto, se calcula: P=

Superficie m Superficie M

III. Probabilidad volumétrica (V) Análogamente se determina la probabilidad de que un punto de caída en la figura espacial v, que forma parte de la figura V:

Problemas resueltos 1. Dos sementales se distribuyen al azar en 3 corrales denominados A, B y C, pudiendo estar ambos en un corral. ¿Cuál es la probabilidad de que el corral A quede vacío? A) 1/6 D) 1/2

B) 1/9 E) 1/4

Resolución P(B) = 0,3

P(F) = 0,5

P(C) = 0,5

C) 4/9

Resolución P(E) =

A vacío

V23

+3

=

V22 + 2 3·2+3

\ P(E) = 4 9

\ P(1 sola prenda) = 0,2 Rpta.: B Rpta.: C

2. La probabilidad de que Milagros se compre una blusa es de 0,3 y de que compre una falda es de 0,5. Halle la probabilidad de que compre sólo una de dichas prendas si la probabilidad de no comprar ninguna es de 0,5. A) 0,1 D) 0,4

B) 0,2 E) 0,5

3. La probabilidad de aprobar Matemáticas es de 0,6 y la probabilidad de aprobar Lenguaje es de 0,8. ¿Cuál es la probabilidad de aprobar sólo uno de dichos cursos? A) 0,12 D) 0,44

B) 0,48 E) 0,14

C) 0,32

C) 0,3

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475

Raz. Matemático

Guía teórica IV

Resolución 5. De un grupo de 15 personas, 5 son muchachos, 6 muchachas y 4 son adultos. Se desea formar un comité de 5 personas. ¿Cuál es la probabilidad que el comité esté formado por 2 adultos, 2 muchachas y 1 muchacho?

P(M) = 0,6 P(L) = 0,8

\ P(M È L) = 0,6 + 0,8 – 2(0,6)(0,8) = 0,44 Rpta.: D 4. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar una moneda 3 veces se obtenga, como mínimo, dos caras? A) 2/3 D) 1/4

B) 3/8 E) 1/3

C) 1/2

A)

900 1001

B)

875 1001

D)

150 1001

E)

460 3003

C)

450 1001

Resolución n( W) = C15 5 =

15 ´ 14 ´ 13 ´ 12 ´ 11 ´ 10 = 3003 5 ´ 4 ´ 3 ´ 2 ´1

n(E) = C42 ´ C62 ´ C15 n(E) = 6 × 15 × 5 = 450

Resolución

P(E) = 450 = 150 3003 1001 Rpta.: D

Rpta.: C

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Raz. Matemático

Guía teórica IV

LOGARITMOS

33

Marco teórico LA LUNA Y EL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL La mayor parte de los países del mundo utiliza el sistema métrico decimal de unidades y miden las distancias en kilómetros y metros y las masas en gramos y kilogramos. Sin embargo, todavía quedan algunos países (por ejemplo, Estados Unidos) que utilizan el llamado sistema inglés en muchas tareas. En este sistema las distancias se miden en millas y yardas, y las masas en libras y onzas. Esto, que aparentemente sólo representa un inconveniente para turistas y viajeros, a veces causa problemas más graves como, por ejemplo, cuando en setiembre de 1999 se estrelló en Marte la sonda Mars Climate (el pasado 23 de setiembre de 1999 nos llegó la noticia de que la sonda espacial Mars Climate, enviada por la NASA para mantenerse en órbita marciana y estudiar el clima del planeta, se estrelló en Marte y quedó completamente destruida. Según fuentes de la NASA el desastre fue debido a un error en la conversión al Sistema Internacional de unidades de los datos que se habían suministrado al ordenador de abordo.). El accidente fue debido a que el software de la nave fue diseñada para trabajar en un sistema de unidades y los datos de navegación se le proporcionaron en el otro sistema. La NASA no quiere volver a tener ese problema y ha decidido que en sus próximas misiones a la Luna sólo se trabaje con unidades del sistema métrico decimal. La conversión al sistema métrico facilitará que los posibles y futuros hábitats humanos y los vehículos colocados en la Luna por las diferentes agencias espaciales sean más compatibles y toda la información será fácilmente intercambiable. Aparentemente la NASA lleva utilizando desde 1990 el sistema métrico, sin embargo el sistema inglés persiste en gran parte de la industria aeroespacial de los Estados Unidos y se sigue utilizando en muchas misiones. En definitiva, La Luna ya es métrica.

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477

Raz. Matemático

Guía teórica IV LOGARITMOS

Definición Dado un número real b (b > 0 Ù b ≠ 1), el logaritmo de un número x (x > 0) en la base b es el exponente y al que debe elevarse b, de manera que se cumpla b y = x.

9. (logbm)(log mb) = 1 10. alogb m = mlog b a Cologaritmo colog bm = log b 1 = – log b m m

Notación

Antilogaritmo

logb x = y Û b y = x

antilog bm = b m

Propiedades

Logaritmos naturales Llamados también logaritmos neperianos , o según Euler, logaritmos hiperbólicos. Son aquellos logaritmos cuya base es el número trascendental e (épsilon o número de Euler), cuyo valor se puede aproximar a: e=2,71828182. Se les denota del siguiente modo: “lnx”, y se lee: “logaritmo natural de x” o “logaritmo neperiano de x”

1. logb 1 = 0 2. logb b=1 3. logb(mn) = log bm + logbn logb m = logb m – log b n n 5. logb (m x) = xlogb m 4.

6. log

x

b

x

m = log b m = log z

7. b logb m = m

z b

ln x <> logex

m

8. Cambio de una base b a una base a: loga m logb m = loga b

Problemas resueltos æ x 2y 3 ö 1. Si log 4y = 2, además log 4 ç ÷ = 5 , halle è 16 ø |x|. (UNFV 2004) A) 1 D) 2

B) 1/2 E) 4

C)

Resolución

2

æ x 2y 3 ö x 2y 3 log 4 ç = 4 5 .....(b) ÷ =5 Þ 16 è 16 ø 5 5 2 (a) en (b): x2 = 4 ´316 = 4 ´2 43 = 4 y (4 )

Si x2 = 4 Þ x = ±2 \|x| = 2

2

log4 y = 2 Þ y = 4 .......... (a)

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Rpta.: D

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Raz. Matemático x 2. Si 3log x - log 32 = 2log æç ö÷, halle x. è 2ø (UNFV 2001) A) 2 D) 16

B) 4 E) 32

–3 –2 \ x = 10 Ú x = 10

2

Rpta.: B

æ x3 ö æ x2 ö x3 x2 log ç ÷ = log ç ÷ Þ = 32 4 è 32 ø è 4 ø

\x = 8 Rpta.: C

5. Si log2 = 4m y log3 = 8n, calcule R = log 4 24 (CEPREUNMSM 2000) A) 3m + n C) 3m + 4n E) 3m + 2n

3. Reduzca E = log12 – log15 – log8 (CEPREVI 2007) B) 1 E) 1/2

log2x + 6 = cologx5

Þ logx = –3 Ú logx = –2

xö ÷ 2ø

x log x3 - log 32 = log æç ö÷ è 2ø

A) 2 D) 2

Resolución

C) 8

Resolución 3log x - log 32 = 2log æç è

Guía teórica IV

B) m + n D) 2m + 3n

Resolución

C) –1

R = log 4 24 = log 241/4

Resolución

1 1 log 24 = (log 23 ´ 3) 4 4 1 R = (3log 2 + log 3) 4 1 R = (3 ´ 4m + 8n ) 4 \ R = 3m + 2n R=

E = log12 - log15 - log 8 = log

12 - log 8 15

12 / 15 ö æ 12 ö = log æ 1 ö E = log æç ÷ = log ç ÷ ç ÷ è 8 ø è 120 ø è 10 ø \ E = –1

Rpta.: E Rpta.: C

4. Halle x en log2 x + 6 = cologx5 . (CEPREUNMSM 1998) A) 10 –1 D) 10 0

B) 10 –2 E) 10 2

C) 10–4

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