Trabajo Programacion Lineal 2t1e1y
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UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI FACULTAD DE CIENCIAS JURÍDICAS EMPRESARIALES Y PEDAGÓGICAS ESCUELA PROFESIONAL DE ECONOMIA
PROGRAMACION LINIAL
DOCENTE: FLORES MANCHEGO JULIAN MANUEL ALUMNO: LUIS MIGUEL FERNANDEZ ESTEBA
MOQUEGUA – PERU 2016
INDICE
INTRODUCCION………………………………………………………………………1 DEFINICION……………………………………………………………………………1 TIPOS……………………………………………………………………………………3 CARACTERISTICAS………………………………………..…………………………3 VENTAJAS…………………………………………………………………………..…4 DESVENTAJAS………………………………………………………………………..4 EJERCICIOS……………………………………………………………………………5
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1. DEFINICION. Método para resolver problemas de máximo o mínimo condicionados en los que la función objetivo o función de rendimiento (a maximizar o minimizar) y las ecuaciones de condición o restricciones son todas ellas lineales, y en los que las variables que intervienen en los mismos no pueden tomar valores negativos. La programación lineal u optimización lineal, es un método matemático para determinar la forma de lograr el mejor resultado (por ejemplo, el máximo beneficio o el costo más bajo) de un modelo matemático dado por alguna lista de requisitos representados por relaciones lineales. En economía y finanzas, es una técnica matemática utilizada en modelos informáticos (simulación) para encontrar la mejor solución posible en la asignación de recursos limitados (energía, máquinas, materiales, dinero, personal, espacio, tiempo, etc) para lograr el máximo beneficio o costo mínimo. Sin embargo, es aplicable únicamente cuando todas las relaciones son lineales, y puede acomodar solamente una clase limitada de funciones de costes. 1.1.OPTIMIZACION La humanidad hace tiempo que busca, o profesa buscar, mejores maneras de realizar las tareas cotidianas de la vida. A lo largo de la historia de la humanidad, se puede observar la larga búsqueda de fuentes más efectivas de alimentos al comienzo y luego de materiales, energía y manejo del entorno físico. Sin embargo, relativamente tarde en la historia de la humanidad, comenzaron a formularse ciertas clases de preguntas generales de manera cuantitativa, primero en palabras y después en notaciones simbólicas. Un aspecto predominante de estas preguntas generales era la búsqueda de lo "mejor" o lo "óptimo". Generalmente, los gerentes buscan simplemente lograr alguna mejora en el nivel de rendimiento, es decir, un problema de "búsqueda de objetivo". Cabe destacar que estas palabras normalmente no tienen un significado preciso Se han realizado grandes esfuerzos por describir complejas situaciones humanas y sociales. Para tener significado, esto debería escribirse en una expresión matemática que contenga una o más variables, cuyos valores deben determinarse. La pregunta que se formula, en términos generales, es qué valores deberían tener estas variables para que la expresión matemática tenga el mayor valor numérico posible (maximización) o el menor 1
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valor numérico posible (minimización). A este proceso general de maximización o minimización se lo denomina optimización.
Para comprender lo que es la Programación Lineal es importante entender los siguientes conceptos básicos: a. Variables de Decisión: Con las variables de decisión nos referimos al conjunto de variables cuya magnitud deseamos determinar resolviendo el modelo de programación lineal. b. Restricciones: Están constituidas por el conjunto de desigualdades que limitan los valores que puedan tomar las variables de decisión en la solución. c. Función Objetivo: Es la función matemática que relaciona las variables de decisión. d. Linealidad: Se refiere a que las relaciones entre las variables, tanto en la función objetivo como en las restricciones deben ser lineales. e. Desigualdades: Las desigualdades utilizadas para representar las restricciones deben ser cerradas o flexibles, es decir, menor - igual (<=) o mayor – igual (>=). No se permiten desigualdades de los tipos menorestrictamente o mayor – estrictamente, o abiertas. f. Condición de no – negatividad: En la programación lineal las variables de decisión sólo pueden tomar valores de cero a positivos. No se permiten valores negativos.
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2. TIPOS. 2.1. MODELOS DE PL. El Modelo de Programación Lineal, es una representación simbólica de la realidad que se estudia, o del problema que se va a solucionar. Se forma con expresiones de lógicas matemáticas, conteniendo términos que significan contribuciones: a la utilidad (con máximo) o al costo (con mínimo) en la Función Objetivo del modelo. Y al consumo de recursos disponibles (con desigualdades = ó = e igualdades =) en las restricciones.
METODO SIMPLEX. El Método Simplex es un método analítico de solución de problemas de programación lineal capaz de resolver modelos más complejos que los resueltos mediante el método gráfico sin restricción en el número de variables. mejorando la solución en cada paso. METODO GRAFICO El método gráfico es un procedimiento de solución de problemas de programación lineal muy limitado en cuanto al número de variables (2 si es un gráfico 2D y 3 si es 3D) pero muy rico en materia de interpretación de resultados e incluso análisis de sensibilidad. Este consiste en representar cada una de las restricciones y encontrar en la medida de lo posible el polígono (poliedro) factible, comúnmente llamado el conjunto solución o región factible, en el cual por razones trigonométricas en uno de sus vértices se encuentra la mejor respuesta (solución óptima). 3. CARACTERISTICAS.
Proporcionalidad: las variables y la función objetivo deben ser lineales.
Aditividad: Es necesario que cada variable sea aditiva respecto a la variable objetivo.
Divisibilidad: las soluciones no deben ser necesariamente números enteros. 3
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Optimalidad: La solución óptima (máximo o mínimo) debe ocurrir en uno de los
vértices del conjunto de soluciones factibles.
Se busca una combinación de recursos.
Se busca satisfacer varios criterios.
Se identifica un criterio como el objetivo.
4. VENTAJAS.
Es relativamente simple y directo
Permite comparar un alto rango de soluciones alternativas y analizar sus consecuencias requiriendo para ello pococ tiempo gerencial.
Indica al como emplear mas eficazmente sus factores seleccionándolos y distribuyéndolos adecuadamente.
Hace que el sea mas objetivo en sus decisiones al obtener todos los datos que puedan ser útiles para la formulación matemática del problema
5. DESVENTAJAS.
Cada instrucción se ejecuta hasta que la anterior se haya realizado.
Dificulta la comprensión de la lectura
No hay garantía de que dé soluciones enteras.
No necesariamente al redondear se llega a la solución óptima.
Para esto es necesario emplear la programación entera.
En algunos casos las soluciones podrían ser deficientes.
Tal es el caso de las decisiones donde las variables deben tomar un valor como 0 o 1, como las decisiones de “si” o “no”.
No permite la incertidumbre.
Es un modelo determinístico y no probabilista.
Asume que se conocen todos los coeficientes de las ecuaciones.
Existe también la programación lineal bajo incertidumbre.
Tanto la función objetivo como las restricciones están limitadas a ser lineales
Existen técnicas más avanzadas de programación no lineal
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EJERCICIOS E.1. Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L1 y L2. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para el L2; y un trabajo de máquina para L1 y de 10 minutos para L2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L1 y L2, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio. SOLUCION 1 Elección de las incógnitas. x = nº de lámparas L1 y = nº de lámparas L2 2 Función objetivo f(x, y) = 15x + 10y 3 Restricciones Pasamos los tiempos a horas 20 min = 1/3 h 30 min = 1/2 h 10 min = 1/6 h Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla: L1 L2 Tiempo Manual 1/3 1/2 100 Máquina 1/3 1/6 80 1/3x + 1/2y ≤ 100 5
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1/3x + 1/6y ≤ 80 Como el número de lámparas son números naturales, tendremos dos restricciones más: x≥0 y≥0 4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
Tenemos que representar gráficamente las restricciones. Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, trabajaremos en el primer cuadrante. Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes. Resolvemos gráficamente la inecuación: 1/3 x + 1/2 y ≤ 100; para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0). 1/3·0 + 1/2·0 ≤ 100 1/3·0 + 1/6·0 ≤ 80 La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.
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5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles. La solución óptima si es única se encuentra en un vértice del recinto. estos son las soluciones a los sistemas: 1/3x + 1/2y = 100; x = 0 (0, 200) 1/3x + 1/6y = 80; y = 0(240, 0) 1/3x + 1/2y = 100; 1/3x + 1/6y = 80(210, 60)
6 Calcular el valor de la función objetivo En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices. f(x, y) = 15x + 10y f(0, 200) = 15·0 + 10·200 = 2 000 € f(240, 0 ) = 15·240 + 10·0 = 3 600 € f(210, 60) = 15·210 + 10·60 = 3 750 €
Máximo
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La solución óptima es fabricar 210 del modelo L1 y 60 del modelo L1 para obtener un beneficio de 3 750 €. E.2. Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo, pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de cada paquete serán 6.5 y 7 €, respectivamente. ¿Cuántos paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el máximo beneficio? SOLUCION 1 Elección de las incógnitas. x = P1 y = P2 2 Función objetivo f(x, y) = 6.5x + 7y 3 Restricciones P1 P2 Disponibles Cuadernos 2 3 600 Carpetas
1 1 500
Bolígrafos 2 1 400 2x + 3y ≤ 600 x + y ≤ 500 2x + y ≤ 400 x≥0
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y≥0 4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo f(x,y) = 6.5 · 200 + 7 · 0 = 1300 € f(x,y)= 6.5 · 0 + 7 · 200 = 1 400 €
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f(x,y)= 6.5 · 150 + 7 · 100 = 1 675 €
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Máximo
La solución óptima son 150 P1 y 100 P2 con la que se obtienen 1 675 €. E.3. En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30 €. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo? 1 Elección de las incógnitas. x=X y=Y 2 Función objetivo f(x,y) = 10x + 30y 3 Restricciones X Y Mínimo A 1 5 15 B 5 1 15
x + 5y ≥ 15 5x + y ≥ 15 x≥0 y≥0
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4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
f(0, 15) = 10 · 0 + 30 · 15 = 450 11
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f(15, 0) = 10 · 15 + 30 · 0 = 150
f(5/2, 5/2) = 10 · 5/2 + 30 · 5/2 = 100 Mínimo
El coste mínimo son 100 € para X = 5/2 e Y = 5/2. E.4. Se dispone de 600 g de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes y pequeñas. Las grandes pesan 40 g y las pequeñas 30 g. Se necesitan al menos tres pastillas grandes, y al menos el doble de pequeñas que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2 € y la pequeña de 1 €. ¿Cuántas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea máximo? SOLUCION 1 Elección de las incógnitas. x = Pastillas grandes y = Pastillas pequeñas 2 Función objetivo f(x, y) = 2x + y 3 Restricciones 40x + 30y ≤ 600 x≥3 y ≥ 2x x≥0 y≥0
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4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo 13
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f(x, y) = 2 · 3 + 16 = 22 € f(x, y) = 2 · 3 + 6 = 12 € f(x, y) = 2 · 6 + 12 = 24 €
Máximo
El máximo beneficio es de 24 €, y se obtiene fabricando 6 pastillas grandes y 12 pequeñas. E.5. Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a 30 €; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 €. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B. ¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia? SOLUCION 1 Elección de las incógnitas. x = nº de lotes de A y = nº de lotes de B 2 Función objetivo f(x, y) = 30x + 50y 3 Restricciones A B Mínimo Camisas 1 3 200 Pantalones 1 1 100 x + 3y ≤ 200 x + y ≤ 100 14
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x ≥ 20 y ≥ 10 4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
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f(x, y) = 30 · 20 + 50 · 10 = 1100 € f(x, y) = 30 · 90 + 50 · 10 = 3200 € f(x, y) = 30 · 20 + 50 · 60 = 3600 € f(x, y) = 30 · 50 + 50 · 50 = 4000 €
Máximo
Con 50 lotes de cada tipo se obtiene una ganancia máxima de 4000 €. E.6. Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 1.5 m de algodón y 1 m de poliéster. El precio del pantalón se fija en 50 € y el de la chaqueta en 40 €. ¿Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que estos consigan una venta máxima? SOLUCION 1 Elección de las incógnitas. x = número de pantalones y = número de chaquetas 2 Función objetivo f(x,y)= 50x + 40y 3 Restricciones Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla: pantalones chaquetas disponible algodón 1
1,5
750
poliéster 2
1
1000
x + 1.5y ≤ 750
2x+3y≤1500 16
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2x + y ≤ 1000 Como el número de pantalones y chaquetas son números naturales, tendremos dos restricciones más: x≥0 y≥0 4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
Tenemos que representar gráficamente las restricciones. Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, trabajaremos en el primer cuadrante. Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.
Resolvemos gráficamente la inecuación: 2x + 3y ≤ 1500, para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0). 2·0 + 3·0 ≤ 1 500 Como 0 ≤ 1 500 entonces el punto (0,0) se encuentra en el semiplano donde se cumple la desigualdad. 17
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De modo análogo resolvemos 2x + y ≤ 1000. 2·0 + 0 ≤ 1 00
La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles. La solución óptima, si es única, se encuentra en un vértice del recinto. estos son las soluciones a los sistemas: 2x + 3y = 1500; x = 0 (0, 500) 2x + y = 1000; y = 0 (500, 0) 2x + 3y =1500; 2x + y = 1000 (375, 250)
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6 Calcular el valor de la función objetivo En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices. f(x, y) = 50x + 40y f(0, 500) = 50 · 0 + 40 · 500 = 20000 € f(500, 0) = 50 · 500 + 40 · 0 = 25000 € f(375, 250) = 50 · 375 + 40 · 250 = 28750 €
Máximo
La solución óptima es fabricar 375 pantalones y 250 chaquetas para obtener un beneficio de 28750.
E.7. Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones, los del tipo A con un espacio refrigerado de 20 m3 y un espacio no refrigerado de 40 m3. Los del tipo B, con igual cubicaje total, al 50% de refrigerado y no refrigerado. La contratan para el transporte de 3 000 m3 de producto que necesita refrigeración y 4 000 m3 de otro que no la necesita. El coste por kilómetro de un camión del tipo A es de 30 € y el B de 40 €. ¿Cuántos camiones de cada tipo ha de utilizar para que el coste total sea mínimo? 19
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SOLUCION 1 Elección de las incógnitas. x = camiones de tipo A y = camiones de tipo B 2 Función objetivo f(x,y) = 30x + 40y 3 Restricciones A B Total Refrigerado 20 30 3 000 No refrigerado 40 30 4 000
20x + 30y ≥ 3 000 40x + 30y ≥ 4 000 x≥0 y≥0 4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
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5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
f(0, 400/3) = 30 · 0 + 40 · 400/3 = 5 333.332
f(150, 0) = 30 · 150 + 40 · 0 = 4 500
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Como x e y han de ser números naturales redondeamos el valor de y.
f(50, 67) = 30 · 50 + 40 · 67 = 4180 Mínimo
El coste mínimo son 4 180 € para A = 50 yz B = 67.
E.8. La empresa el SAMÁN Ltda. Dedicada a la fabricación de muebles, ha ampliado su producción en dos líneas más. Por lo tanto actualmente fabrica mesas, sillas, camas y bibliotecas. Cada mesa requiere de 2 piezas rectangulares de 8 pines, y 2 piezas cuadradas de 4 pines. Cada silla requiere de 1 pieza rectangular de 8 pines y 2 piezas cuadradas de 4 pines, cada cama requiere de 1 pieza rectangular de 8 pines, 1 cuadrada de 4 pines y 2 bases trapezoidales de 2 pines y finalmente cada biblioteca requiere de 2 piezas rectangulares de 8 pines, 2 bases trapezoidales de 2 pines y 4 piezas rectangulares de 2 pines. Cada mesa cuesta producirla $10000 y se vende en $ 30000, cada silla cuesta producirla $ 8000 y se vende en $ 28000, cada cama cuesta producirla $ 20000 y se vende en $ 40000, cada biblioteca cuesta producirla $ 40000 y se vende en $ 60000. El objetivo de la fábrica es maximizar las utilidades.
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Paso 1: Modelación Mediante Programación Lineal Las variables: X1 = Cantidad de mesas a producir (unidades) X2 = Cantidad de sillas a producir (unidades) X3 = Cantidad de camas a producir (unidades) X4 = Cantidad de bibliotecas a producir (unidades) Las restricciones: 2X1 + 1X2 + 1X3 + 2X4 <= 24 2X1 + 2X2 + 1X3 <= 20 2X3 + 2X4 <= 20 4X4 <= 16
La función Objetivo: ZMAX = 20000X1 + 20000X2 + 20000X3 + 20000X4
Paso 2: Convertir Las Inecuaciones En Ecuaciones En este paso el objetivo es asignar a cada recurso una variable de Holgura, dado que todas las restricciones son "<=". 2X1 + 1X2 + 1X3 + 2X4 + 1S1 + 0S2 + 0S3 + 0S4 = 24 2X1 + 2X2 + 1X3 + 0X4 + 0S1 + 1S2 + 0S3 + 0S4 = 20 0X1 + 0X2 + 2X3 + 2X4 + 0S1 + 0S2 + 1S3 + 0S4 = 20 23
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0X1 + 0X2 + 0X3 + 4X4 + 0S1 + 0S2 + 0S3 + 1S4 = 16
De esta manera podemos apreciar una matriz identidad (n = 4), formado por las variables de holgura las cuales solo tienen coeficiente 1 en su respectivo recurso, por el ejemplo la variable de holgura "S1" solo tiene coeficiente 1 en la restricción correspondiente a el recurso 1. La función objetivo no sufre variaciones: ZMAX = 20000X1 + 20000X2 + 20000X3 + 20000X4 Paso 3: Definir La Solución Básica Inicial El Método Simplex parte de una solución básica inicial para realizar todas sus iteraciones, esta solución básica inicial se forma con las variables de coeficiente diferente de cero (0) en la matriz identidad.
1S1 = 24 1S2 = 20 1S3 = 20 1S4 = 16 Paso 4: Definir La Tabla Simplex Inicial
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Solución: (segundo término)= En esta fila se consigna el segundo término de la solución, es decir las variables, lo más adecuado es que estas se consignen de manera ordenada, tal cual como se escribieron en la definición de restricciones. Cj = La fila "Cj" hace referencia al coeficiente que tiene cada una de las variables de la fila "solución" en la función objetivo. Variable Solución = En esta columna se consigna la solución básica inicial, y a partir de esta en cada iteración se van incluyendo las variables que formarán parte de la solución final. Cb = En esta fila se consigna el valor que tiene la variable que se encuentra a su derecha "Variable solución" en la función objetivo. Zj = En esta fila se consigna la contribución total, es decir la suma de los productos entre término y Cb. Cj - Zj = En esta fila se realiza la diferencia entre la fila Cj y la fila Zj, su significado es un "Shadow price", es decir, la utilidad que se deja de recibir por cada unidad de la variable correspondiente que no forme parte de la solución. Solución inicial:
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Paso 5: Realizar Las Iteraciones Necesarias Este es el paso definitivo en la resolución por medio del Método Simplex, consiste en realizar intentos mientras el modelo va de un vértice del poliedro objetivo a otro. El procedimiento a seguir es el siguiente: 1. Evaluar que variable entrará y cual saldrá de la solución óptima: Maximizar Variable que entra
Minimizar
La más positiva de los Cj - Zj
La más negativa de los Cj - Zj
Siendo b los valores bajo la celda Siendo b los valores bajo la celda Variable que sale
solución
y
a
el
valor solución
y
a
el
valor
correspondiente a la intersección correspondiente a la intersección entre b y la variable que entra. La entre b y la variable que entra. La menos positiva de los b/a.
más positiva de los b/a.
2. El hecho de que una variable distinta forme parte de las variables solución implica una serie de cambios en el tabulado Simplex, cambios que se explicarán a continuación.
- Lo primero es no olvidar el valor del "a" correspondiente a la variables a entrar, en este caso el "a = 4".
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Se repite este procedimiento con las dos filas restantes, ahora se harán los cálculos correspondientes en el resto de las celdas.
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De esta manera se culmina la primera iteración, este paso se repetirá cuantas veces sea necesario y solo se dará por terminado el método según los siguientes criterios. Maximizar
Minimizar
Solución
Cuando todos los Cj - Zj sean <= Cuando todos los Cj - Zj sean >=
Óptima
0
0
- Continuamos con las iteraciones para lo cual tenemos que repetir los pasos anteriores.
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En esta última iteración podemos observar que se cumple con la consigna Cj - Zj <= 0, para ejercicios cuya función objetivo sea "Maximizar", por ende hemos llegado a la respuesta óptima. X1 = 3 X2 = 4 X3 = 6 X4 = 4 Con una utilidad de: $ 340000
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Sin embargo una vez finalizado el Método Simplex se debe observar una matriz identidad en el rectángulo determinado por las variables de decisión, el hecho de que en este caso no se muestre la matriz identidad significa que existe una solución óptima alterna.
La manera de llegar a la otra solución consiste en alterar el orden en que cada una de las variables entro a la solución básica, recordemos que el proceso fue decidido al azar debido a la igualdad en el Cj - Zj del tabulado inicial. Aquí les presentamos una de las maneras de llegar a la otra solución.
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Podemos observar como existe una solución óptima alternativa en la cual la combinación de variables es distinta y existe un menor consumo de recursos, dado que el hecho de que se encuentre la variable "S1" en la solución óptima con un coeficiente de "3" significa que se presenta una holgura de 3 unidades del recurso (pieza rectangular de 8 pines). X1 = 0 (Cantidad de mesas a producir = 0) X2 = 7 (Cantidad de sillas a producir = 7)
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X3 = 6 (Cantidad de camas a producir = 6) X4 = 4 (Cantidad de bibliotecas a producir = 4) S1 = 3 (Cantidad de piezas rectangulares de 8 pines sin utilizar =3) Con una utilidad de: $ 340000.
E.9. Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autobuses de 40 plazas y 10 de 50 plazas, pero sólo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 800 € y el de uno pequeño 600 €. Calcular cuántos autobuses de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo más económica posible para la escuela. 1 Elección de las incógnitas. x = autobuses pequeños y = autobuses grandes 2 Función objetivo f(x, y) = 600x + 800y 3 Restricciones 40x + 50y ≥ 400 x+y≤9 x≥0 y≥0 4 Hallar el conjunto de soluciones factibles 32
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5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo f(0, 8) = 600 · 0 + 800 · 8 = 6 400 € f(0, 9) = 600 · 0 + 800· 9 = 7 200 € f(5, 4) = 600 · 5 + 800· 4 = 6 200 €
Mínimo
El coste mínimo es de 6 200 € , y se consigue 4 autobuses grandes y 5 pequeños . 33
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E.10. Se dispone de 600 g de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes y pequeñas. Las grandes pesan 40 g y las pequeñas 30 g. Se necesitan al menos tres pastillas grandes, y al menos el doble de pequeñas que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2 € y la pequeña de 1 €. ¿Cuántas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea máximo? 1 Elección de las incógnitas. x = Pastillas grandes y = Pastillas pequeñas 2 Función objetivo f(x, y) = 2x + y 3 Restricciones 40x + 30y ≤ 600 x≥3 y ≥ 2x x≥0 y≥0
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4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo f(x, y) = 2 · 3 + 16 = 22 € f(x, y) = 2 · 3 + 6 = 12 € 35
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f(x, y) = 2 · 6 + 12 = 24 €
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Máximo
El máximo beneficio es de 24 €, y se obtiene fabricando 6 pastillas grandes y 12 pequeñas.
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BIBLIOGRAFIA
PAGINAS WEB http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingenieroindustrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/m%C3%A9todo-simplex/ http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/business-stat/opre/SpanishD.htm#rop http://www.economia48.com/spa/d/programacion-lineal/programacion-lineal.htm http://www.monografias.com/trabajos96/formulacion-modelos-programacionlineal/formulacion-modelos-programacion-lineal.shtml http://www.vitutor.com/algebra/pl/a_g.html
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DOCENTE: FLORES MANCHEGO JULIAN MANUEL ALUMNO: LUIS MIGUEL FERNANDEZ ESTEBA
MOQUEGUA – PERU 2016
INDICE
INTRODUCCION………………………………………………………………………1 DEFINICION……………………………………………………………………………1 TIPOS……………………………………………………………………………………3 CARACTERISTICAS………………………………………..…………………………3 VENTAJAS…………………………………………………………………………..…4 DESVENTAJAS………………………………………………………………………..4 EJERCICIOS……………………………………………………………………………5
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1. DEFINICION. Método para resolver problemas de máximo o mínimo condicionados en los que la función objetivo o función de rendimiento (a maximizar o minimizar) y las ecuaciones de condición o restricciones son todas ellas lineales, y en los que las variables que intervienen en los mismos no pueden tomar valores negativos. La programación lineal u optimización lineal, es un método matemático para determinar la forma de lograr el mejor resultado (por ejemplo, el máximo beneficio o el costo más bajo) de un modelo matemático dado por alguna lista de requisitos representados por relaciones lineales. En economía y finanzas, es una técnica matemática utilizada en modelos informáticos (simulación) para encontrar la mejor solución posible en la asignación de recursos limitados (energía, máquinas, materiales, dinero, personal, espacio, tiempo, etc) para lograr el máximo beneficio o costo mínimo. Sin embargo, es aplicable únicamente cuando todas las relaciones son lineales, y puede acomodar solamente una clase limitada de funciones de costes. 1.1.OPTIMIZACION La humanidad hace tiempo que busca, o profesa buscar, mejores maneras de realizar las tareas cotidianas de la vida. A lo largo de la historia de la humanidad, se puede observar la larga búsqueda de fuentes más efectivas de alimentos al comienzo y luego de materiales, energía y manejo del entorno físico. Sin embargo, relativamente tarde en la historia de la humanidad, comenzaron a formularse ciertas clases de preguntas generales de manera cuantitativa, primero en palabras y después en notaciones simbólicas. Un aspecto predominante de estas preguntas generales era la búsqueda de lo "mejor" o lo "óptimo". Generalmente, los gerentes buscan simplemente lograr alguna mejora en el nivel de rendimiento, es decir, un problema de "búsqueda de objetivo". Cabe destacar que estas palabras normalmente no tienen un significado preciso Se han realizado grandes esfuerzos por describir complejas situaciones humanas y sociales. Para tener significado, esto debería escribirse en una expresión matemática que contenga una o más variables, cuyos valores deben determinarse. La pregunta que se formula, en términos generales, es qué valores deberían tener estas variables para que la expresión matemática tenga el mayor valor numérico posible (maximización) o el menor 1
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valor numérico posible (minimización). A este proceso general de maximización o minimización se lo denomina optimización.
Para comprender lo que es la Programación Lineal es importante entender los siguientes conceptos básicos: a. Variables de Decisión: Con las variables de decisión nos referimos al conjunto de variables cuya magnitud deseamos determinar resolviendo el modelo de programación lineal. b. Restricciones: Están constituidas por el conjunto de desigualdades que limitan los valores que puedan tomar las variables de decisión en la solución. c. Función Objetivo: Es la función matemática que relaciona las variables de decisión. d. Linealidad: Se refiere a que las relaciones entre las variables, tanto en la función objetivo como en las restricciones deben ser lineales. e. Desigualdades: Las desigualdades utilizadas para representar las restricciones deben ser cerradas o flexibles, es decir, menor - igual (<=) o mayor – igual (>=). No se permiten desigualdades de los tipos menorestrictamente o mayor – estrictamente, o abiertas. f. Condición de no – negatividad: En la programación lineal las variables de decisión sólo pueden tomar valores de cero a positivos. No se permiten valores negativos.
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2. TIPOS. 2.1. MODELOS DE PL. El Modelo de Programación Lineal, es una representación simbólica de la realidad que se estudia, o del problema que se va a solucionar. Se forma con expresiones de lógicas matemáticas, conteniendo términos que significan contribuciones: a la utilidad (con máximo) o al costo (con mínimo) en la Función Objetivo del modelo. Y al consumo de recursos disponibles (con desigualdades = ó = e igualdades =) en las restricciones.
METODO SIMPLEX. El Método Simplex es un método analítico de solución de problemas de programación lineal capaz de resolver modelos más complejos que los resueltos mediante el método gráfico sin restricción en el número de variables. mejorando la solución en cada paso. METODO GRAFICO El método gráfico es un procedimiento de solución de problemas de programación lineal muy limitado en cuanto al número de variables (2 si es un gráfico 2D y 3 si es 3D) pero muy rico en materia de interpretación de resultados e incluso análisis de sensibilidad. Este consiste en representar cada una de las restricciones y encontrar en la medida de lo posible el polígono (poliedro) factible, comúnmente llamado el conjunto solución o región factible, en el cual por razones trigonométricas en uno de sus vértices se encuentra la mejor respuesta (solución óptima). 3. CARACTERISTICAS.
Proporcionalidad: las variables y la función objetivo deben ser lineales.
Aditividad: Es necesario que cada variable sea aditiva respecto a la variable objetivo.
Divisibilidad: las soluciones no deben ser necesariamente números enteros. 3
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Optimalidad: La solución óptima (máximo o mínimo) debe ocurrir en uno de los
vértices del conjunto de soluciones factibles.
Se busca una combinación de recursos.
Se busca satisfacer varios criterios.
Se identifica un criterio como el objetivo.
4. VENTAJAS.
Es relativamente simple y directo
Permite comparar un alto rango de soluciones alternativas y analizar sus consecuencias requiriendo para ello pococ tiempo gerencial.
Indica al como emplear mas eficazmente sus factores seleccionándolos y distribuyéndolos adecuadamente.
Hace que el sea mas objetivo en sus decisiones al obtener todos los datos que puedan ser útiles para la formulación matemática del problema
5. DESVENTAJAS.
Cada instrucción se ejecuta hasta que la anterior se haya realizado.
Dificulta la comprensión de la lectura
No hay garantía de que dé soluciones enteras.
No necesariamente al redondear se llega a la solución óptima.
Para esto es necesario emplear la programación entera.
En algunos casos las soluciones podrían ser deficientes.
Tal es el caso de las decisiones donde las variables deben tomar un valor como 0 o 1, como las decisiones de “si” o “no”.
No permite la incertidumbre.
Es un modelo determinístico y no probabilista.
Asume que se conocen todos los coeficientes de las ecuaciones.
Existe también la programación lineal bajo incertidumbre.
Tanto la función objetivo como las restricciones están limitadas a ser lineales
Existen técnicas más avanzadas de programación no lineal
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EJERCICIOS E.1. Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L1 y L2. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para el L2; y un trabajo de máquina para L1 y de 10 minutos para L2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L1 y L2, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio. SOLUCION 1 Elección de las incógnitas. x = nº de lámparas L1 y = nº de lámparas L2 2 Función objetivo f(x, y) = 15x + 10y 3 Restricciones Pasamos los tiempos a horas 20 min = 1/3 h 30 min = 1/2 h 10 min = 1/6 h Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla: L1 L2 Tiempo Manual 1/3 1/2 100 Máquina 1/3 1/6 80 1/3x + 1/2y ≤ 100 5
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1/3x + 1/6y ≤ 80 Como el número de lámparas son números naturales, tendremos dos restricciones más: x≥0 y≥0 4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
Tenemos que representar gráficamente las restricciones. Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, trabajaremos en el primer cuadrante. Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes. Resolvemos gráficamente la inecuación: 1/3 x + 1/2 y ≤ 100; para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0). 1/3·0 + 1/2·0 ≤ 100 1/3·0 + 1/6·0 ≤ 80 La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.
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5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles. La solución óptima si es única se encuentra en un vértice del recinto. estos son las soluciones a los sistemas: 1/3x + 1/2y = 100; x = 0 (0, 200) 1/3x + 1/6y = 80; y = 0(240, 0) 1/3x + 1/2y = 100; 1/3x + 1/6y = 80(210, 60)
6 Calcular el valor de la función objetivo En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices. f(x, y) = 15x + 10y f(0, 200) = 15·0 + 10·200 = 2 000 € f(240, 0 ) = 15·240 + 10·0 = 3 600 € f(210, 60) = 15·210 + 10·60 = 3 750 €
Máximo
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La solución óptima es fabricar 210 del modelo L1 y 60 del modelo L1 para obtener un beneficio de 3 750 €. E.2. Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo, pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de cada paquete serán 6.5 y 7 €, respectivamente. ¿Cuántos paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el máximo beneficio? SOLUCION 1 Elección de las incógnitas. x = P1 y = P2 2 Función objetivo f(x, y) = 6.5x + 7y 3 Restricciones P1 P2 Disponibles Cuadernos 2 3 600 Carpetas
1 1 500
Bolígrafos 2 1 400 2x + 3y ≤ 600 x + y ≤ 500 2x + y ≤ 400 x≥0
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y≥0 4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo f(x,y) = 6.5 · 200 + 7 · 0 = 1300 € f(x,y)= 6.5 · 0 + 7 · 200 = 1 400 €
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f(x,y)= 6.5 · 150 + 7 · 100 = 1 675 €
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Máximo
La solución óptima son 150 P1 y 100 P2 con la que se obtienen 1 675 €. E.3. En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30 €. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo? 1 Elección de las incógnitas. x=X y=Y 2 Función objetivo f(x,y) = 10x + 30y 3 Restricciones X Y Mínimo A 1 5 15 B 5 1 15
x + 5y ≥ 15 5x + y ≥ 15 x≥0 y≥0
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4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
f(0, 15) = 10 · 0 + 30 · 15 = 450 11
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f(15, 0) = 10 · 15 + 30 · 0 = 150
f(5/2, 5/2) = 10 · 5/2 + 30 · 5/2 = 100 Mínimo
El coste mínimo son 100 € para X = 5/2 e Y = 5/2. E.4. Se dispone de 600 g de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes y pequeñas. Las grandes pesan 40 g y las pequeñas 30 g. Se necesitan al menos tres pastillas grandes, y al menos el doble de pequeñas que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2 € y la pequeña de 1 €. ¿Cuántas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea máximo? SOLUCION 1 Elección de las incógnitas. x = Pastillas grandes y = Pastillas pequeñas 2 Función objetivo f(x, y) = 2x + y 3 Restricciones 40x + 30y ≤ 600 x≥3 y ≥ 2x x≥0 y≥0
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4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo 13
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f(x, y) = 2 · 3 + 16 = 22 € f(x, y) = 2 · 3 + 6 = 12 € f(x, y) = 2 · 6 + 12 = 24 €
Máximo
El máximo beneficio es de 24 €, y se obtiene fabricando 6 pastillas grandes y 12 pequeñas. E.5. Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a 30 €; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 €. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B. ¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia? SOLUCION 1 Elección de las incógnitas. x = nº de lotes de A y = nº de lotes de B 2 Función objetivo f(x, y) = 30x + 50y 3 Restricciones A B Mínimo Camisas 1 3 200 Pantalones 1 1 100 x + 3y ≤ 200 x + y ≤ 100 14
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x ≥ 20 y ≥ 10 4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
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f(x, y) = 30 · 20 + 50 · 10 = 1100 € f(x, y) = 30 · 90 + 50 · 10 = 3200 € f(x, y) = 30 · 20 + 50 · 60 = 3600 € f(x, y) = 30 · 50 + 50 · 50 = 4000 €
Máximo
Con 50 lotes de cada tipo se obtiene una ganancia máxima de 4000 €. E.6. Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 1.5 m de algodón y 1 m de poliéster. El precio del pantalón se fija en 50 € y el de la chaqueta en 40 €. ¿Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que estos consigan una venta máxima? SOLUCION 1 Elección de las incógnitas. x = número de pantalones y = número de chaquetas 2 Función objetivo f(x,y)= 50x + 40y 3 Restricciones Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla: pantalones chaquetas disponible algodón 1
1,5
750
poliéster 2
1
1000
x + 1.5y ≤ 750
2x+3y≤1500 16
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2x + y ≤ 1000 Como el número de pantalones y chaquetas son números naturales, tendremos dos restricciones más: x≥0 y≥0 4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
Tenemos que representar gráficamente las restricciones. Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, trabajaremos en el primer cuadrante. Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.
Resolvemos gráficamente la inecuación: 2x + 3y ≤ 1500, para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0). 2·0 + 3·0 ≤ 1 500 Como 0 ≤ 1 500 entonces el punto (0,0) se encuentra en el semiplano donde se cumple la desigualdad. 17
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De modo análogo resolvemos 2x + y ≤ 1000. 2·0 + 0 ≤ 1 00
La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles. La solución óptima, si es única, se encuentra en un vértice del recinto. estos son las soluciones a los sistemas: 2x + 3y = 1500; x = 0 (0, 500) 2x + y = 1000; y = 0 (500, 0) 2x + 3y =1500; 2x + y = 1000 (375, 250)
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6 Calcular el valor de la función objetivo En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices. f(x, y) = 50x + 40y f(0, 500) = 50 · 0 + 40 · 500 = 20000 € f(500, 0) = 50 · 500 + 40 · 0 = 25000 € f(375, 250) = 50 · 375 + 40 · 250 = 28750 €
Máximo
La solución óptima es fabricar 375 pantalones y 250 chaquetas para obtener un beneficio de 28750.
E.7. Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones, los del tipo A con un espacio refrigerado de 20 m3 y un espacio no refrigerado de 40 m3. Los del tipo B, con igual cubicaje total, al 50% de refrigerado y no refrigerado. La contratan para el transporte de 3 000 m3 de producto que necesita refrigeración y 4 000 m3 de otro que no la necesita. El coste por kilómetro de un camión del tipo A es de 30 € y el B de 40 €. ¿Cuántos camiones de cada tipo ha de utilizar para que el coste total sea mínimo? 19
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SOLUCION 1 Elección de las incógnitas. x = camiones de tipo A y = camiones de tipo B 2 Función objetivo f(x,y) = 30x + 40y 3 Restricciones A B Total Refrigerado 20 30 3 000 No refrigerado 40 30 4 000
20x + 30y ≥ 3 000 40x + 30y ≥ 4 000 x≥0 y≥0 4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
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5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
f(0, 400/3) = 30 · 0 + 40 · 400/3 = 5 333.332
f(150, 0) = 30 · 150 + 40 · 0 = 4 500
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Como x e y han de ser números naturales redondeamos el valor de y.
f(50, 67) = 30 · 50 + 40 · 67 = 4180 Mínimo
El coste mínimo son 4 180 € para A = 50 yz B = 67.
E.8. La empresa el SAMÁN Ltda. Dedicada a la fabricación de muebles, ha ampliado su producción en dos líneas más. Por lo tanto actualmente fabrica mesas, sillas, camas y bibliotecas. Cada mesa requiere de 2 piezas rectangulares de 8 pines, y 2 piezas cuadradas de 4 pines. Cada silla requiere de 1 pieza rectangular de 8 pines y 2 piezas cuadradas de 4 pines, cada cama requiere de 1 pieza rectangular de 8 pines, 1 cuadrada de 4 pines y 2 bases trapezoidales de 2 pines y finalmente cada biblioteca requiere de 2 piezas rectangulares de 8 pines, 2 bases trapezoidales de 2 pines y 4 piezas rectangulares de 2 pines. Cada mesa cuesta producirla $10000 y se vende en $ 30000, cada silla cuesta producirla $ 8000 y se vende en $ 28000, cada cama cuesta producirla $ 20000 y se vende en $ 40000, cada biblioteca cuesta producirla $ 40000 y se vende en $ 60000. El objetivo de la fábrica es maximizar las utilidades.
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Paso 1: Modelación Mediante Programación Lineal Las variables: X1 = Cantidad de mesas a producir (unidades) X2 = Cantidad de sillas a producir (unidades) X3 = Cantidad de camas a producir (unidades) X4 = Cantidad de bibliotecas a producir (unidades) Las restricciones: 2X1 + 1X2 + 1X3 + 2X4 <= 24 2X1 + 2X2 + 1X3 <= 20 2X3 + 2X4 <= 20 4X4 <= 16
La función Objetivo: ZMAX = 20000X1 + 20000X2 + 20000X3 + 20000X4
Paso 2: Convertir Las Inecuaciones En Ecuaciones En este paso el objetivo es asignar a cada recurso una variable de Holgura, dado que todas las restricciones son "<=". 2X1 + 1X2 + 1X3 + 2X4 + 1S1 + 0S2 + 0S3 + 0S4 = 24 2X1 + 2X2 + 1X3 + 0X4 + 0S1 + 1S2 + 0S3 + 0S4 = 20 0X1 + 0X2 + 2X3 + 2X4 + 0S1 + 0S2 + 1S3 + 0S4 = 20 23
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0X1 + 0X2 + 0X3 + 4X4 + 0S1 + 0S2 + 0S3 + 1S4 = 16
De esta manera podemos apreciar una matriz identidad (n = 4), formado por las variables de holgura las cuales solo tienen coeficiente 1 en su respectivo recurso, por el ejemplo la variable de holgura "S1" solo tiene coeficiente 1 en la restricción correspondiente a el recurso 1. La función objetivo no sufre variaciones: ZMAX = 20000X1 + 20000X2 + 20000X3 + 20000X4 Paso 3: Definir La Solución Básica Inicial El Método Simplex parte de una solución básica inicial para realizar todas sus iteraciones, esta solución básica inicial se forma con las variables de coeficiente diferente de cero (0) en la matriz identidad.
1S1 = 24 1S2 = 20 1S3 = 20 1S4 = 16 Paso 4: Definir La Tabla Simplex Inicial
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Solución: (segundo término)= En esta fila se consigna el segundo término de la solución, es decir las variables, lo más adecuado es que estas se consignen de manera ordenada, tal cual como se escribieron en la definición de restricciones. Cj = La fila "Cj" hace referencia al coeficiente que tiene cada una de las variables de la fila "solución" en la función objetivo. Variable Solución = En esta columna se consigna la solución básica inicial, y a partir de esta en cada iteración se van incluyendo las variables que formarán parte de la solución final. Cb = En esta fila se consigna el valor que tiene la variable que se encuentra a su derecha "Variable solución" en la función objetivo. Zj = En esta fila se consigna la contribución total, es decir la suma de los productos entre término y Cb. Cj - Zj = En esta fila se realiza la diferencia entre la fila Cj y la fila Zj, su significado es un "Shadow price", es decir, la utilidad que se deja de recibir por cada unidad de la variable correspondiente que no forme parte de la solución. Solución inicial:
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Paso 5: Realizar Las Iteraciones Necesarias Este es el paso definitivo en la resolución por medio del Método Simplex, consiste en realizar intentos mientras el modelo va de un vértice del poliedro objetivo a otro. El procedimiento a seguir es el siguiente: 1. Evaluar que variable entrará y cual saldrá de la solución óptima: Maximizar Variable que entra
Minimizar
La más positiva de los Cj - Zj
La más negativa de los Cj - Zj
Siendo b los valores bajo la celda Siendo b los valores bajo la celda Variable que sale
solución
y
a
el
valor solución
y
a
el
valor
correspondiente a la intersección correspondiente a la intersección entre b y la variable que entra. La entre b y la variable que entra. La menos positiva de los b/a.
más positiva de los b/a.
2. El hecho de que una variable distinta forme parte de las variables solución implica una serie de cambios en el tabulado Simplex, cambios que se explicarán a continuación.
- Lo primero es no olvidar el valor del "a" correspondiente a la variables a entrar, en este caso el "a = 4".
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Se repite este procedimiento con las dos filas restantes, ahora se harán los cálculos correspondientes en el resto de las celdas.
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De esta manera se culmina la primera iteración, este paso se repetirá cuantas veces sea necesario y solo se dará por terminado el método según los siguientes criterios. Maximizar
Minimizar
Solución
Cuando todos los Cj - Zj sean <= Cuando todos los Cj - Zj sean >=
Óptima
0
0
- Continuamos con las iteraciones para lo cual tenemos que repetir los pasos anteriores.
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En esta última iteración podemos observar que se cumple con la consigna Cj - Zj <= 0, para ejercicios cuya función objetivo sea "Maximizar", por ende hemos llegado a la respuesta óptima. X1 = 3 X2 = 4 X3 = 6 X4 = 4 Con una utilidad de: $ 340000
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Sin embargo una vez finalizado el Método Simplex se debe observar una matriz identidad en el rectángulo determinado por las variables de decisión, el hecho de que en este caso no se muestre la matriz identidad significa que existe una solución óptima alterna.
La manera de llegar a la otra solución consiste en alterar el orden en que cada una de las variables entro a la solución básica, recordemos que el proceso fue decidido al azar debido a la igualdad en el Cj - Zj del tabulado inicial. Aquí les presentamos una de las maneras de llegar a la otra solución.
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Podemos observar como existe una solución óptima alternativa en la cual la combinación de variables es distinta y existe un menor consumo de recursos, dado que el hecho de que se encuentre la variable "S1" en la solución óptima con un coeficiente de "3" significa que se presenta una holgura de 3 unidades del recurso (pieza rectangular de 8 pines). X1 = 0 (Cantidad de mesas a producir = 0) X2 = 7 (Cantidad de sillas a producir = 7)
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X3 = 6 (Cantidad de camas a producir = 6) X4 = 4 (Cantidad de bibliotecas a producir = 4) S1 = 3 (Cantidad de piezas rectangulares de 8 pines sin utilizar =3) Con una utilidad de: $ 340000.
E.9. Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autobuses de 40 plazas y 10 de 50 plazas, pero sólo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 800 € y el de uno pequeño 600 €. Calcular cuántos autobuses de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo más económica posible para la escuela. 1 Elección de las incógnitas. x = autobuses pequeños y = autobuses grandes 2 Función objetivo f(x, y) = 600x + 800y 3 Restricciones 40x + 50y ≥ 400 x+y≤9 x≥0 y≥0 4 Hallar el conjunto de soluciones factibles 32
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5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo f(0, 8) = 600 · 0 + 800 · 8 = 6 400 € f(0, 9) = 600 · 0 + 800· 9 = 7 200 € f(5, 4) = 600 · 5 + 800· 4 = 6 200 €
Mínimo
El coste mínimo es de 6 200 € , y se consigue 4 autobuses grandes y 5 pequeños . 33
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E.10. Se dispone de 600 g de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes y pequeñas. Las grandes pesan 40 g y las pequeñas 30 g. Se necesitan al menos tres pastillas grandes, y al menos el doble de pequeñas que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2 € y la pequeña de 1 €. ¿Cuántas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea máximo? 1 Elección de las incógnitas. x = Pastillas grandes y = Pastillas pequeñas 2 Función objetivo f(x, y) = 2x + y 3 Restricciones 40x + 30y ≤ 600 x≥3 y ≥ 2x x≥0 y≥0
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4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo f(x, y) = 2 · 3 + 16 = 22 € f(x, y) = 2 · 3 + 6 = 12 € 35
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f(x, y) = 2 · 6 + 12 = 24 €
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Máximo
El máximo beneficio es de 24 €, y se obtiene fabricando 6 pastillas grandes y 12 pequeñas.
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BIBLIOGRAFIA
PAGINAS WEB http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingenieroindustrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/m%C3%A9todo-simplex/ http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/business-stat/opre/SpanishD.htm#rop http://www.economia48.com/spa/d/programacion-lineal/programacion-lineal.htm http://www.monografias.com/trabajos96/formulacion-modelos-programacionlineal/formulacion-modelos-programacion-lineal.shtml http://www.vitutor.com/algebra/pl/a_g.html
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