Unidad Repaso Control 2 1h6n23

Asignatura: Control II Clave : AEF-1010 Carrera : Ingeniería Eléctrica y Electrónica Unidad 1. Respuesta a la Frecuencia 1.1 Introducción a la respuesta a la frecuencia. 1.2 Uso de los fasores para determinar la respuesta a una frecuencia de un sistema. 1.3 Gráficas rectangulares y polares. 1.4 Respuesta a la frecuencia a partir de polos y ceros. 1.5 Gráfica logarítmica de Bode. 1.6 Margen de fase y margen de ganancia. 1.7 Estabilidad utilizando el criterio de Nyquist. Unidad 2. Compensación 2.1 Introducción a la compensación de sistemas automáticos de control 2.2 Compensadores en adelanto de fase usando el método de lugar geométrico de las raíces 2.3 Compensadores en adelanto de fase usando el método de respuesta a la frecuencia 2.4 Compensadores en atraso de fase usando el método de lugar geométrico de las raíces 2.5 Compensadores en atraso de fase usando el método de respuesta a la frecuencia 2.6 Compensadores en atraso - adelanto usando el método de lugar geométrico de las raíces 2.7 Compensadores en atraso - adelanto usando el método de respuesta a la frecuencia

Unidad 3. El método de espacio de estado 3.2 Representación de sistemas físicos mediante variables de estado. 3.3 Relación entre la función de transferencia y el modelo de estado. 3.4 Transformaciones de semejanza. 3.5 Solución de la ecuación de estado lineal e invariante en el tiempo. 3.6 Compensación. 3.7 Estabilidad, controlabilidad y observabilidad FUENTES DE INFORMACIÓN 1. Ogata, Katsuhiko, Ingeniería de control moderna, Cuarta Edición, Ed. Prentice Hall, 2003 2. Diestefano, Joseph J., Stubberud, Allen R. e Williams, Ivan J., and Control Systems, 2nd. Edition, Ed. Mc. Graw Hill, 1995. 3. Kuo, Benjamín C., Automatic Control Systems, 9th. Ed. John Wiley & Sons, 2009. 4. Dorf, Richard C., Modern Control systems, 11th. Edition, Ed. Pearson-Prentice Hal, 2008. 5. Umez Eronini, Eronini, Dinámica de sistemas y control, Ed. Thomson Learning, 2001. 6. D’azzo, J. J. y Houpis, C. H., Linear control system analysis & design, Ed. Mc. Graw Hill, última edición. 7. Nise, Norman S., Sistemas de control para ingeniería, Ed CECSA, última edición. 8. Rohrs, Melsa, Schlutz, Sistemas de control lineal, Ed. Mc. Graw Hill, última edición. 9. Karni, Shlomo, Analysis of electrical networks, Ed. John Wiley & Sons, última edición. 10. Bolton, William, Ingeniería de control, Segunda edición, Ed. Alfaomega, 2001 11. Phillips & Harbor, control systems, Ed. Prentice Hall, última edición. 12. Etter, Delores M., Solución de problemas de ingeniería con MatLab, Ed. Mc. Graw Hill, última edición

13. Ogata, Katsuhiko, Problemas de ingeniería de control usando MatLab, Ed. Prentice Hall, última edición. 14. Gomariz, S., Biel, D., et al, Teoría de control, Ed. Alfaomega, última edición. 15. Kailath, Thomas, Linear systems, Ed. Prentice Hall, última edición. 16. Lindner, Douglas, Introducción a las señales y sistemas, Ed. Mc. Graw Hill, última edición. 17. Creus Solé Antonio, Simulación y control de procesos por ordenador, Ed. AlfaOmega, 2ª. Edición, 2007. 18. Hernandez Gaviño, Ricardo, Introducción a los sistemas de control: conceptos, aplicaciones y simulación con Matlab, primera edición, Ed. Pearson, México, 2010. 19. Kart J. Aström y Tore Hägglund, Control PID avanzado, Ed. Prentice Hall, España, 2009. 20. Lewis, Paul H. y Yang Chang, Sistemas de control en ingeniería, Ed. Prentice Hall, 1999. 21. Bolzer, Paolo, Fundamentos de control automático, Ed. Mc. Graw Hill, 2009. 22. Smith, Carlos A. y Corripio, Armando B., “Control automático de procesos. Teoría y práctica”, Ed. Limusa. 23. Barrientos, Antonio, Matía, Fernando, Sanz, Ricardo y Gamboa, Ernesto, Control de sistemas continuos “Problemas resueltos”, Ed. Mc. Graw Hill. 24. Grantham, Walter J. y Vincent, Thomas L., Sistemas de control moderno “Análisis y diseño”, Ed. Limusa. 25. Rodríguez Ávila, Jesús E., Introducción a la ingeniería de control automático, última edición, Ed. Mc. Graw Hill. 26. Ogata, Katsuhiko, Dinámica de sistemas, última edición, Ed. Prentice Hall.

ASIGNATURA : CONTROL II CARRERA :INGENIERÍA ELECTRÓNICA CLAVE ASIGNATURA: ECC-0406

UNIDAD I: COMPENDIO DE CONOCIMIENTOS DE CONTROL NECESARIOS PARA DESARROLLAR CON ÉXITO LOS CONTENIDOS DE CONTROL II 1.1.- Introducción. Se puede describir la ingeniería como la aplicación de la ciencia y la tecnología en la solución de problemas. Debido al gran desarrollo que ha experimentado la ciencia y la tecnología en los últimos años, actualmente se requiere mayor creatividad, criterio, intuición y habilidad para integrar problemas de ingeniería que se presentan en el devenir cotidiano de las sociedades. La teoría de control trata los problemas relacionados con los “sistemas dinámicos”; y se enfoca en un aspecto especifico de su formulación, esto es, la especificación del sistema por medio de un “modelo físico”.

El análisis y diseño de un sistema de control se hace resolviendo los modelos matemáticos o modelos del sistema construidos a partir de un modelo físico. La teoría de control clásica proporciona, generalmente, buenos resultados para sistemas de control de una sola entrada y una sola salida; sin embargo, no puede manejar los sistemas con más de una entrada y una salida. El análisis y diseño de este tipo de sistemas se hace aplicando la “Teoría de Control Moderna”. La teoría de control clásica utiliza extensamente el concepto de “Función de Transferencia”, el análisis y el diseño se realiza en el dominio de S y/o el dominio de la frecuencia. La teoría de control moderna, que esta basada en el concepto de “variable de estado”, utiliza extensamente el análisis vectorial-matricial, el análisis y el diseño se realiza en el dominio del tiempo.

Por diseño de un sistema de control, se entiende en encontrar uno que cumpla una tarea especificada. Dada una planta industrial, se recomienda seguir los siguientes pasos en el diseño del sistema de control correspondiente: 1. Definir el sistema y sus componentes (sensores y actuadores apropiados). 2. Construir modelos matemáticos, diseñar un controlador de tal forma que el sistema de lazo cerrado satisfaga las especificaciones dadas. 3. Simular el modelo en una PC para verificar el comportamiento del sistema resultante en respuesta a diversas señales y perturbaciones. Generalmente, la configuración inicial del sistema no resulta satisfactoria, por lo que, se debe rediseñar el sistema y completar el análisis correspondiente. Este proceso de rediseño y análisis se repite hasta obtener un sistema satisfactorio. 4. Construir un prototipo del sistema físico. El prototipo es un sistema físico que representa el modelo matemático con exactitud razonable. Una vez construido el prototipo, se somete a pruebas para verificar si es satisfactorio o no; si lo es, el diseño esta completo y si no lo es, el prototipo debe modificarse y aplicarle pruebas de nuevo. Este proceso continua hasta que el prototipo resulte completamente satisfactorio.

1.2.- DEFINICIONES:

SISTEMA: Un sistema es un conjunto, arreglo o colección de cosas unidas o relacionadas de tal manera que forman una entidad o un todo. Un sistema es un ordenamiento de componentes físicos, unidos o relacionados de tal manera que forman y/o actúan como una unidad completa. CONTROL: Usualmente, esta palabra se toma en el sentido de regular, dirigir o mandar. Control significa medir el valor de la variable controlada del sistema, y aplicar al sistema la variable manipulada para corregir o limitar la desviación del valor medido, respecto al valor deseado.

SISTEMA DE CONTROL: Un sistema de control, es un ordenamiento de componentes físicos unidos o relacionados de tal manera que mandan, dirigen o regulan al mismo sistema o a otro. Es una interconexión de componentes que forman una configuración del sistema que proporcionará una respuesta deseada. Un sistema de control esta formado por subsistemas y procesos (o plantas) unidos con el fin de controlar las salidas de los procesos.

Por ejemplo, la planta puede ser un horno o un sistema de aire acondicionado, donde la variable de salida es la temperatura. El controlador de un sistema de calefacción consta de válvulas de combustible y del sistema eléctrico que opera las válvulas. Los sistemas de control de interés para propósitos de análisis o de diseño incluyen los que son fabricados, los que existen en la naturaleza y los sistemas de control que contienen componentes fabricados y naturales. La base para el análisis de un sistema es el

fundamento proporcionado por la Teoría de los Sistemas Lineales, que supone una relación entre causa y efecto para sus componentes. Por tanto, un componente o proceso a ser controlado, puede representarse mediante un diagrama de bloque (Fig. 1.1).

Fig. 1.1. Representación por medio de bloques de la relación entrada-salida en cada componente de un sistema de control

La relación entrada-salida, representa la relación entre causa y efecto del proceso, que a su vez representa un procesamiento de la señal de entrada para proporcionar una señal de salida. La entrada es el estímulo, la excitación o el mandato aplicado a un sistema de control, usualmente desde una fuente de energía externa, para producir, generalmente, una respuesta específica del sistema de control. La entrada también se le conoce como referencia. La salida es la respuesta real que se obtiene de un sistema de control, que puede ser o no igual a la respuesta implícita especificada por la entrada.

VARIABLE CONTROLADA: La variable controlada es la cantidad o condición que se mide y controla, normalmente la variable controlada es la salida del sistema. VARIABLE MANIPULADA: La variable manipulada es la cantidad o condición modificada por el controlador, a fin de afectar la variable controlada.

Los sistemas de control pueden ser de lazo abierto o de lazo cerrado:

Sistemas de Control de Lazo Abierto. Es un sistema de control que utiliza un dispositivo de actuación para controlar el proceso directamente sin emplear realimentación. Es un sistema de control en el que la acción de control es independiente de la salida

Fig. 1.2. Máquina de escribir electrónica

Fig. 1.3. Sistema de control básico en lazo abierto

Ventajas fundamentales de los sistemas de control en lazo abierto:  Construcción simple y facilidad de mantenimiento  Menos costosos que el correspondiente sistema en lazo cerrado  No hay problemas de estabilidad  Convenientes cuando la salida es difícil de medir o cuando medir la salida de manera precisa no es económicamente viable.

Desventajas fundamentales de los sistemas de control en lazo abierto  Las perturbaciones y los cambios en la calibración originan errores, y la salida puede ser diferente de lo que se desea  Para mantener la calidad requerida en la salida, es necesaria la recalibración de vez en cuando.

Sistemas de Control de Lazo Cerrado, comúnmente conocidos como Sistemas de Control Retroalimentados.  Es un sistema que utiliza una medida de la señal de salida, y la realimentación de esta señal para compararla con la salida deseada (referencia u orden).  Es un sistema en el que la acción de control depende, de alguna manera, de la salida.  En un sistema de control en lazo cerrado, la salida y otras variables del sistema influyen en el control del sistema.

Fig. 1.3. Control de lazo cerrado del nivel de un tanque, manual y automático

Fig. 1.4. Sistema de control de posición, aplicado a una antena

Fig. 1.6. Sistema de control básico en lazo cerrado

SENSOR. El sensor, o elemento de medición, es un dispositivo que convierte la variable de salida en otra variable manejable, como un desplazamiento, una presión o un voltaje, que puede usarse para comparar la salida con la señal de entrada de referencia.

CONTROLADOR AUTOMÁTICO. Un controlador automático compara el valor real de la salida de una planta con la entrada de referencia (el valor deseado), determina la desviación y produce una señal de control que reduce la desviación a cero o a un valor pequeño. La manera en la que el controlador produce la señal de control, se denomina “acción de control”. La salida de un controlador se alimenta a un actuador, como un motor o una válvula neumática, un motor hidráulico o un motor eléctrico.

ACTUADOR. El actuador es un dispositivo de potencia que produce la entrada para la planta de acuerdo con la señal de control, a fin de que la señal de salida se aproxime a la señal de entrada de referencia.

Retroalimentación: La retroalimentación es la característica de los Sistemas de Control de Lazo Cerrado (SCLC) que los distingue de los Sistemas de Control de Lazo Abierto (SCLA), y es la propiedad de un SCLC que permite que la salida se compare con la entrada del sistema, de tal manera, que la acción de control apropiada se puede formar como alguna función de la entrada y la salida. La salida de un sistema en lazo abierto se ve corrompida no sólo por señales que se suman a las señales de comando, sino también por perturbaciones de la salida. Un sistema de control en lazo abierto no puede compensar ninguna perturbación que se sume a la señal de actuación del controlador o a la señal de salida.

CARACTERÍSTICAS DE UN SCLC: 1. Un sistema de control de lazo cerrado compensa las perturbaciones que se presenten durante su funcionamiento, lo que hace que tengan una mayor precisión que los sistemas en lazo abierto, aun cuando son menos sensibles al ruido, a perturbaciones y a cambios en el entorno. 2. La respuesta transitoria y error en estado estable se pueden controlar en forma más cómoda y con mayor flexibilidad, en algunas aplicaciones con un sencillo ajuste de la ganancia y otras con rediseño del controlador. 3. Los SCLC son más complejos y costosos que los SCLA. 4. La retroalimentación puede mejorar la estabilidad o serle dañina, sino se aplica adecuadamente.

El ingeniero de Sistemas de Control debe considerar el punto intermedio entre la sencillez y bajo costo de un SCLA, y la precisión y más alto costo de un SCLC.

Dependiendo del propósito de la clasificación, los SCLC se pueden clasificar de diversas formas: 1.- De acuerdo con el método de análisis y diseño, se clasifican en lineales y no lineales, variantes con el tiempo o invariantes con el tiempo. En realidad, los sistemas lineales no existen debido a que todos los sistemas físicos son no lineales en algún grado. Los sistemas de control retroalimentados son modelos ideales fabricados por el analista para simplificar el análisis y diseño. 2.- De acuerdo con los tipos de señales usados en el sistema, se clasifican en sistemas continuos y discretos, o sistemas modulados y no modulados. 3.- De acuerdo con su propósito principal; por ejemplo: un sistema de control de posición, un sistema de control de velocidad. Existen muchas formas de identificar un sistema de control de acuerdo con alguna función especial del sistema. En general, se controlan variables como la temperatura en los sistemas térmicos, la potencia y la velocidad en los sistemas mecánicos, voltaje, corriente o frecuencia en los sistemas eléctricos.

1.3. MODELADO MATEMÁTICO DE SISTEMAS FÍSICOS. El primer paso en el análisis y diseño de un sistema de control, consiste en encontrar su modelo matemático. Se debe de tener en cuenta siempre, que el deducir un modelo matemático razonable es la parte mas importante de todo el análisis. Una vez obtenido el modelo matemático de un sistema, se pueden utilizar diversas herramientas analíticas de computación para completar el análisis y lograr los resultados deseados. Para poder establecer un modelo matemático de un proceso controlado, primero se debe definir el conjunto de variables que describen las características dinámicas de dicho proceso. Por ejemplo, en el caso de un motor utilizado para fines de control se pueden identificar como variables del sistema el voltaje aplicado, la corriente en el embobinado de armadura, el par desarrollado en el eje del motor, el desplazamiento angular y la velocidad del rotor.

Estas variables están interrelacionadas por medio de leyes físicas establecidas, que conllevan a ecuaciones matemáticas que describen la dinámica del motor. Las leyes físicas que gobiernan los principios de operación de los sistemas reales pueden resultar bastante complejas, por lo que una representación realista del sistema puede conducir a ecuaciones no lineales y/o variantes en el tiempo difíciles de resolver. Por razones prácticas, cuando sea posible, se hacen suposiciones y aproximaciones a los sistemas físicos, de tal forma que estos sistemas puedan ser estudiados utilizando la Teoría de Sistemas Lineales.

Función de Transferencia La forma clásica de modelar un sistema lineal, es utilizando lo que se conoce como función de transferencia. La función de transferencia de un sistema lineal se define como la relación entre la transformada de Laplace de la salida (función respuesta y(t)) y la transformada de Laplace de la entrada (función de excitación u(t)):

Y S  GS   U S 

Ec. 1.1

Como en la práctica, la relación entrada-salida de un sistema lineal invariante en el tiempo se describe, frecuentemente, mediante una ecuación diferencial, es conveniente obtener la función de transferencia directamente de la ecuación diferencial.

Para un sistema lineal cualesquiera, su ecuación diferencial descriptiva es: d n yt  d n1 yt  dyt  d mut  d m1ut  dut    an  a  ...  a  a y t  b  b  ...  b  b0ut  n 1 1 0 m m1 1 dt n dt n1 dt dt m dt m1 dt

Para obtener la función de transferencia del sistema, se toma la transformada de Laplace en ambos lados de la ecuación descriptiva y se suponen condiciones iniciales igual a cero.

U (S ) bm S m  bm1S m1      b1S  b0 FT (s)  GS    Y (S ) an S n  an1S n1      a1S  a0

Ec. 1.3.

Ejemplo: Dado un sistema descrito con la siguiente ecuación diferencial d3 y d2y dy d3x d2x dx  3  5  y   4  6  8x dt dt dt 3 dt 2 dt 3 dt 2

encuentre la función de transferencia del sistema

Y(s) X(s)

Diagramas de Bloques Un diagrama de bloques, es una representación gráfica y abreviada de la relación causa-efecto entre la entrada y la salida de un sistema físico, y proporciona un método útil y conveniente para caracterizar las relaciones funcionales entre diversos componentes de un sistema de control. Los diagramas de bloques consisten en bloques operacionales y unidireccionales que representan la función de transferencia de las variables de interés.

Por ejemplo, la relación entre el desplazamiento angular θ(s) y el voltaje de entrada Vc(s) de un motor de cc controlado por campo se muestra con claridad mediante el siguiente diagrama de bloques

Fig. 2.1. Diagrama de bloques de un motor de cc controlado por campo

La mayoría de los sistemas de control están compuestos de más de un subsistema; por tanto, un sistema complejo puede ser representado como la unión gráfica de pequeños subsistemas en un diagrama de bloques. Ejemplo, el sistema de control de posición aplicado a una antena que se muestra en la Fig. 2.2.

KS1

+

-

KA

+

-

KP La s  R a

+

-

1 J Ms  DMs 2

N1 N2

Kbs N1 N2 J Cs 2  DCs

KS2

Fig. 2.2. Sistema de control de posición, aplicado a una antena

Cuando se interconectan los subsistemas de un sistema de control, deben agregarse algunos elementos esquemáticos más al diagrama de bloques. Estos nuevos elementos son los puntos suma y puntos de unión o derivación. Si se tienen conexiones, por ejemplo, en serie, en paralelo y de retroalimentación, en un diagrama de bloques, éstas se pueden simplificar siguiendo reglas algebraicas sencillas:

Fig. 2.3. Conexión en serie Fig. 2.4. Conexión en paralelo

Fig. 2.5. Sistema con retroalimentación negativa

Fig. 2.6. Sistema con retroalimentación positiva

En las siguientes figuras se muestran diagramas de bloques equivalentes, que se obtienen al mover bloques a la izquierda y derecha más allá de los puntos suma y puntos de derivación.

Modelo matemático de sistemas mecánicos simples. Traslación

Rotacional

En un acoplamiento con engranes, se cumplen las siguientes relaciones: r1θ1 = r2θ2 θ1N1 = θ2N2 T1θ1 = T2θ2

r1  2 N1 T1    r2 1 N 2 T2

x  r

Sistema mecánico acoplado con engranes

Para la primera sección

d 2 1 (t ) d 1 (t )  T1 (t )  J 1  d  T 1 1 (t ) 2 dt dt

Para la segunda sección

N2  d 2 2 (t ) d 2 (t ) T2 (t )  T1 (t )  J 2  d  K 2 (t ) 2 2 N1 dt dt d 21 (t ) d1 (t ) T1 (t )  T1 (t )  J1  d1 2 dt dt 

Como

1 

N2 2 N1

N2  d 21 (t ) d1 (t )   T2 (t )  T1 (t )  J1  d1  2 N1  dt dt 

, se tiene: 2

2

 N 2  d 2 2 (t )  N 2  d 2 (t ) N2 T2 (t )  T1 (t )  J1    d1   N1 dt  N1   N1  dt 2

2

 N 2  d  2 (t )  N 2  d 2 (t ) N2 d 2 2 (t ) d 2 (t ) T1 (t )  J1    d1    J2  d  K 2 (t ) 2 2 N1 dt dt dt  N1   N1  dt 2

2 2 2     d (t )     N2 N2 d  2 (t ) N2 2     T1 (t )    J1  J 2   d  d  K 2 (t ) 1 2 2   N1  N1   dt  N1   dt

N2 d 2 2 (t ) d 2 (t ) T1 (t )  J b  K 2 (t ) N1 dt dt 2

donde:

N  J   2  J 1  J 2  N1  2

N  b   2  d1  d 2  N1 





N2 T1 ( s)  JS 2  bS  K  2 ( s) N1 N2  2 ( s) N2 1 N1 G( s)   2  T1 ( s) JS  bS  K JN1 S 2  b S  K J J

Para el sistema rotacional que se muestra en la siguiente figura, encuentre la función de transferencia

K1

Modelo matemático de Sistemas Eléctricos: Aplicando transformada de Laplace. VC (s)  LSI(s)  RI(s) 

CSV(s) LCS2 RCS  1 1 1  CSV(s)  VC (s)  I(s)  V(s) CS CS  LCS2 RCS  1 VC (s) 1   Ec.4 V(s) LCS2 RCS  1 I(s) 

di 1  Ri   idt  v(t ) dt C 1 VC(t )   idt C L

Modelo matemático del circuito

1 I(s) CS

Modelo matemático de sistemas electromecánicos (máquinas eléctricas).

1. Motor de corriente directa. Un motor de corriente directa se puede controlar ya sea por armadura o por campo.

a). Control por armadura.

El flujo magnético desarrollado por el campo esta dado por:

m  kcic (t ).............ec.1

Ra = Resistencia de la armadura La = Inductancia de la armadura Ia (t) = Corriente en la armadura Ic (t) = Corriente de campo e (t) = fuerza contraelectromotriz Rc = Resistencia de campo Lc = Inductancia de campo T = par desarrollado por el motor J = Momento de inercia equivalente del motor y la carga b = Coeficiente de fricción viscosa equivalente m = Flujo magnético producido por el campo  = velocidad angular  = Aceleración angular θ = Desplazamiento angular

El flujo magnético desarrollado por el campo esta dado por:

m  kcic (t ).............ec.1 El par desarrollado por el motor esta dado por:

T (t )  k1m (t )ia (t )  k1kcic (t )ia (t ) Considerando ic (t) = constante, se tiene:

T (t )  k pia (t )....................ec.2 donde: kp = k1kcIc Cuando la armadura esta girando se induce en ella un voltaje, conocida como “fuerza electromotriz”. Este voltaje depende de la velocidad angular

d (t ) e(t )  k p  k F .....................ec.3 dt

Del circuito de armadura se obtiene la siguiente relación:

Va (t )  La

dia (t )  Raia (t )  e(t ).............ec.4 dt

Como el par desarrollado por el motor se aplica a la carga, se tiene:

d T (t )  J  b  k pia (t )................ec.5 dt Suponiendo que todas las condiciones iniciales sea cero y aplicando la transformada de Laplace a las ec. 2,3,4 y5, se obtiene:

T ( s)  k p I a (s)................................................ec.6 E ( s)  k F  (s)................................................ec.7 Va (s)  La S  Ra I a ( s)  E ( s).......................ec.8 T ( s)  JS  b (s)........................................ec.9

De las ecuaciones 6 y 9 se obtiene: JS  b (s).......................................ec.10 kp De las ecuaciones 7 y 8, se obtiene: I a ( s) 

I a ( s) 

Va (s)  k F  (s) ..................................ec.11 La S  Ra

De ecuaciones 10 y 11, se obtiene:

Va (s)  kF(s)k p  La S  Ra JS  b(s) kF k p(s)  La S  Ra JS  b(s)  k pVa (s)  ( s)

kp  ..................................ec.12 Va (s) La S  Ra JS  b  k F k p

b) Control por Campo

T (t )  k1m (t )ia (t )  k1kcia (t )ic (t ) Como en este caso ia(t) es constante, se tiene:

T t   k pic t 

Ec. 1

donde: kp= k1 kca La expresión para el circuito del campo es: Vc  Rcc(t )  Lc

dc(t ) ...............................................ec.2 dt

T (t )  J

dw(t )  Bw(t )..............................................ec.3 dt

Considerando condiciones iniciales igual a cero y aplicar la transformada de Laplace a las ecuaciones 1,2 y 3, se obtiene: T (s)  KpIc(s)  JS  B w(s) Vc(s)  LcS  RcIc(s) JS  Bw(s)  Vc(s) Ic(s)  Kp LcS  Rc

 ( s)

kp  Vc (s) La s  Ra JS  b  k F k p

2. Generador de corriente directa

Vs(t)

Vc(t) = Voltaje aplicado al circuito de campo VS(t) = Voltaje en las terminales de salida del generador Φm(t) = Flujo magnético

El flujo magnético esta dado por:

m (t )  Kcic (t )

Ec. 1

La ecuación del circuito de campo es: Vc (t )  Lc

dic (t )  Rcic (t ) dt

Ec. 2

ZL

La rotación de la armadura dentro del campo magnético, genera un voltaje en el circuito de la armadura, similar a como se produce la fuerza contraelectromotriz en el motor:

VG (t )  k1m (t )(t )  k2m (t )  k2kcic (t )

VG (t )  kGic (t )

Ec. 3

donde: kG = k2kc Si el generador opera sin carga, las ecuaciones anteriores son suficientes para el análisis. Sin embargo, en la practica los generadores alimentan cargas y como consecuencia iS(t)≠0 , lo que da lugar a otra incógnita.

VG (t )  RaiS (t )  La

diS (t )  VS (t ) dt

Ec. 4

Considerando condiciones iniciales igual a cero transformada de Laplace a las Ec. 1,2,3 y 4, se tiene:

y

aplicando

m ( s )  k c I c ( s ) Vc ( s)  Rc  Lc S I c ( s)  I c ( s) 

Vc ( s) Rc  Lc S

 V ( s)  VG ( s)  kG I c ( s)  kG  c   Rc  Lc S 

VG  Ra  La S I S ( s)  VS ( s) 

kGVc (s) Rc  Lc S

Ec. 5

En vació VS (s) = VG (s) e IS = 0

donde:

kG  G ,se conoce como factor de ganancia del generador. Rc

Con carga:

VS (t ) V ( s)  I S ( s)  S ZL Z L (s) Ra  La S  VS (s)  VS (s)  kGVc (s) Z L ( s) Rc  Lc S iS (t ) 

 Ra  La S  Z L ( s)  kGVc ( s) V ( s )    S Z ( s ) Rc  Lc S L   VS ( s) kG Z L ( s )  Vc ( s) Ra  La S  Z L ( s)Rc  Lc S 

θL (s)

Problema: Encuentre la función de transferencia G(s)  E (s) para el motor y carga que se ilustra en la siguiente figura. La curva de par velocidad está dada por Tm=-8ωm+200 cuando el voltaje de entrada es de 100 volts a

El motor, cuyas características de par contra velocidad que se muestra en la siguiente figura, mueve la carga que se ve en el diagrama. Algunos de los engranes tienen inercia. Encuentre la función de transferencia G(s)  θ2 (s) E a (s)

G(s) 

θ2 (s) E a (s)



0.0833 ss  0.75

1.4. ESTABILIDAD. Criterio de Estabilidad de Routh-Hurwitz. Lugar de las Raíces.

ESTABILIDAD. Condiciones de Estabilidad; Criterio de Estabilidad de Routh-Hurwitz; Lugar de las Raíces. CONDICIONES DE ESTABILIDAD. En la Fig. 5.1, se muestra el diagrama a bloques de un sistema retroalimentado cualesquiera:

Fig. 5.1. Diagrama de bloques de un Sistema Retroalimentado donde:

V(s) señal de entrada; E(s) señal de error; S(s) señal de salida; R(s) Señal de retroalimentación; G(s) Función de Transferencia de lazo directo; H(s) Función de Transferencia de retroalimentación

La Función de Transferencia de lazo cerrado, esta dada por la siguiente expresión: FT (s) 

S ( s) G(s)  V (s) 1  G(s) H (s)

Ec. 5.1

donde: G(s) H(s), es la Función de Transferencia de lazo abierto. Generalmente, la Ec. 5.1 tiene la siguiente estructura:

S (s) a m S m  a m1 S m1  a m2 S m2      a1 S  a0 FT (s)   V (s) bn S n  bn1 S n1  a n2 S n2      b1 S  b0

Ec. 5.2

donde n > m En función de sus polos y ceros, la Ec. 5.2 se puede escribir como sigue: FT (s) 

S (s) am (S  c1 )( S  c2 )( S  c3 )    (S  cm )  V ( s) bn (S  p1 )( S  p2 )( S  p3 )    (S  pn )

Ec. 5.3

Suponiendo que la entrada V(s) tiene la siguiente estructura: d k s k  d k 1s k 1  d k 2 s k 2      d1s  d0 d k (s  ce1 )( S  ce 2 )( s  ce3 )    (s  cek ) V ( s)   eq s q  eq 1s q 1  eq 2 s q 2      e1s  e0 eq (s  pe1 )( s  pe 2 )( s  pe3 )    (s  peq )

Ec. 5.4

Por tanto, la salida esta dada por: S (s)  FT (s)V (s) 

am d k (s  c1 )(s  c2 )    (s  cm )(s  ce1 )(s  ce 2 )    (s  cek ) bneq (s  p1 )(s  p2 )    (s  pn )(s  pe1 )(s  pe 2 )    (s  peq )

donde: p1 , p2 , p3 , … , pn pe1 , pe2 , pe3 , … , peq c1 , c2 , c3 , … , cm ce1 , ce2 , ce3 , … , cek

son los polos de FT(s) son los polos de V(s) son los ceros de FT(s) son los ceros de la señal de entrada.

Descomponiendo en fracciones parciales, se tiene:

Ec. 5.5

Aeq An Ae1 Ae 2 A1 A2 S ( s)           s  p1 s  p2 s  pn s  pe1 s  pe 2 s  peq

Ec. 5.6

Al aplicar Transformada Inversa de Laplace, se obtiene:

S (t )  A1e p1t  A2e p2t      An e pn t  Ae1e pe1t  Ae2 e pe 2t      Aeq e

peq t

Ec. 5.7

De la Ec. 5.7, se observa que la señal de salida de un sistema estará acotada, es decir, tendrá una magnitud finita, únicamente si todos los coeficientes de los exponentes tienen “parte real negativa”. En caso de que aparezcan coeficientes de los exponentes puramente imaginarios, la salida presenta oscilaciones permanentes. Por tanto, se puede concluir que un sistema es estable si su salida se mantiene acotada para cualquier valor de tiempo; un sistema con oscilaciones permanentes, se dice que tiene estabilidad limitada, pues aunque su salida esta acotada nunca llega a establecerse en un valor definido.

Los coeficientes de los exponentes de la Ec.5.7, son los polos de la Ec. 5.5, la cual contiene los polos de la FT y los polos de la señal de entrada. Para investigar la “estabilidad” de un sistema, únicamente se toman en cuenta los polos del sistema, es decir, las raíces del denominador de la Función de Transferencia, puesto que que si los polos de la señal de entrada llegaran a indicar inestabilidad, significa que la entrada misma es inestable y como consecuencia ya no tendría sentido investigar si el sistema es o no estable. Por tanto, se puede concluir que una condición necesaria y suficiente para que un sistema sea estable, es que todos los polos de su Función de Transferencia tengan “parte real negativa”. En la Fig. 5.2, se muestra la región de estabilidad en el plano complejo. Los polos de la Función de Transferencia se encuentren igualando a cero el denominador de dicha Función.

1  G( s) H ( s)  0

Ec. 5.8

CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ PARA DETERMINAR LA SISTEMA

Plano complejo

Estabilidad

PR<0

Estabilidad Limitada

Para obtener información acerca de la estabilidad de un sistema de lazo cerrado, sin necesidad de determinar sus polos, se puede aplicar el método conocido como “Criterio de estabilidad de RouthHurwitz”. La aplicación de este método permite conocer cuantos polos del sistema se encuentran en el semiplano izquierdo, en el semiplano derecho y sobre el eje jω; pero, no es posible encontrar las coordenadas de dichos polos. El método consta de dos pasos:

ESTABILIDAD DE UN

Inestabilidad

PR>0

PR=0

Fig. 5.2. Región de estabilidad en el plano complejo

1. 2.

Generar una tabla de datos, llamado arreglo de Routh Interpretar el arreglo de Routh.

Si el denominador de la Función de Transferencia de lazo cerrado de un sistema cualesquiera esta dado por la siguiente expresión:

D(s)  an s n  an1s n1  an2 s n2      a1s  a0 El arreglo de Routh, se obtiene como sigue:

Ec. 5.9

sn

an

s n 1

an 1

s n2

an an  2 a an  3 b11   n 1 an 1

s n 3

an 1 an 3 b b12 b21   11 b11

s n4

b11 b12 b b22 b31   21 b21

b11 b13 b b23 b32   21  b21

s n 5

b21 b22 b b32 b41   31 b31

b21 b23 b b33 b42   31  b31

an 2 an 3

 a2

an  4 an 5

 a1

an an  4 a an  5 b12   n 1 an 1

b22

0

an a0 a 0  b1m1   n 1 an 1

an 1 an 5 b b13   11  b11

b2 m1

b3m 2  

b4 m2



s0

a0

bn 31 bn 32 b bn 22 bn 11   n  21 bn  21

Ec.5.10

an 1 0 b 0   11 0 b11 b11 b21

b1m1 0 b21

b11 0 b 0   21 0 b31

b1m

an 0 a 0   n 1 0 an 1

b2 m  0

b3m1  0

b4 m1  0

b3m  0

El criterio de Routh-Hurwitz expresa que el número de raíces, del polinomio dado por la Ec. 5.9, que esta en el semiplano derecho es igual al número de cambios de signo de la primera columna. Como ejemplo, encuentre cuántas raíces del polinomio D(s)  s 4  6s3  11s 2  6s  200 están en el semiplano derecho. s4

1

11

200

s3

6

6

0

s2

s1

s0

1 11 1 200 6 6 6 0 b11    10 b12    200 6 6 6 6 10 200 b21    114 0 10 10 200  114 0 b31    200  114

0

Como en la primera columna hay dos cambios de signo, el sistema tiene dos polos en el semiplano derecho y como consecuencia, el sistema es inestable.

En el proceso de aplicación del criterio de Routh-Hurwitz, se pueden presentar dos casos especiales: 1. Que el arreglote Routh contenga un cero únicamente en la primera columna de un renglón.. 2. Que el arreglo de Routh contenga ceros en todo un renglón. 1. El primer caso, se ilustra resolviendo el siguiente problema: D(s)  s5  2s 4  3s3  6s 2  5s  3

s5

1

3

5

s4

2

6

3

s3

s2

s1

1 3 1 5 2 6 2 3 7 b11   0 b12    0 2 2 2 2 6 2 3 7  2  6  7 b    0  3 0 b21   22 10   7  2 6  7 3 42  49  6 2  b31    6  7 12  14



6  7

s0

3

 42  49  6 2 0 12   14 b41   3 42  49  6 2 12  14

Cuando aparece un cero en la primera columna de un renglón, se sustituye el cero por un pequeño número , y se completa la tabla. • Para  > 0, hay cambio de signo del renglón s3 al renglón s2 y del renglón s2 al renglón s1. • Para  < 0, hay cambio de signo del renglón s4 al renglón s3, y del renglón s3 al renglón s2. De lo anterior, se observa que tanto para  > 0 como para  < 0 el número de cambios de signo en la primera columna es el mismo, es decir, se obtiene el mismo resultado en ambos casos. Para el problema que se esta resolviendo, el número de cambio de signo en la primera columna es 2, por lo tanto, el sistema tiene 2 polos en el semiplano derecho, y como consecuencia es “inestable”. Se puede utilizar otro método para resolver el caso 1, el cual consiste en encontrar un polinomio que tiene las raíces reciprocas de D(s). Es posible que el arreglo de Routh para el número de polinomio no tenga un cero en la primera columna.

El procedimiento para encontrar el polinomio que tiene las raíces reciprocas de un polinomio D(s), es el siguiente:

D( s)  an s n  an1s n1  an2 s n2      a1s  a0  0 Si se hace

s

1 d

, entonces d tendrá raíces que son el reciproco de s.

n

1 1    a n 1   d  d  Factorizando

1   d 

Ec. 5.11

n

,

n 1

1  a n2   d 

n2

1      an    a0  0 d 

se tiene: n 1 2 (1n ) n 1  1 1 1 1   a0     0   1  an1    an2        a1    d   d  d  d   d  

1  an1d  an2 d 2      a1d n1  a0 d n  0

Por lo tanto, se tiene:

P(s)  a0 s n  a1s n1  a2 s n2      an2 s 2  an1s  1  0

Ec. 5.12

Entonces el polinomio con raíces reciprocas es un polinomio con los coeficientes escritos en orden inverso. Para el ejemplo anterior, D(s)  s5  2s 4  3s3  6s 2  5s  3 , se encuentra que el polinomio con raíces reciprocas es:

P(s)  3s5  5s 4  6s3  3s 2  2s 1 Como en la primera columna se tiene dos cambios de signo, el polinomio original D(s) tiene dos polos en el semiplano derecho, por tanto, es inestable. Este resultado es igual al que se obtuvo con el método de sustituir el cero por un número pequeño .

El arreglo de Routh, es el siguiente: s5

3

6

2

s4

5

3

1

s3

s2

s1

s0

b11  

3 5

6 3 5

 4.2

b12  

3 5

2 1 5

 1.4

5 3 5 1 4.2 1.4 4.2 0 b21    1.33 b22   1 4.2 4.2 4.2 1.4 4.2 0 1.33 1 1.33 0 b31    1.75 b32   0 1.33 4.2 1.33 1  1.75 0 b41   1  1.75

0

2. El segundo caso especial, se ilustra resolviendo el problema siguiente:

D(s)  s5  7s 4  6s3  42s 2  8s  56

Ec. 5.13

El arreglo de Routh correspondiente, es el siguiente: s5

1

s4

7, 1

s

3

s2

s1

s0

6 42, 6

1 6 1 8 7 42 7 56 b11    0,1 b12    0, 3 7 7 1 6 1 8 1 3 1 0 b21    3 b22   8 1 1 1 3 1 0 3 8 3 0 1 b31    b32   0 3 3 3 3 8 1 0 3 b41   8 1 3

8 56, 8

0

Cuando aparece un renglón de ceros (renglón s3, en el ejemplo), no se puede continuar con la indagación de si el sistema es estable o no. Para continuar, se debe utilizar el siguiente procedimiento:

1. Regresar al renglón situado inmediatamente arriba del renglón de ceros, y utilizando los términos de ese renglón formar un polinomio auxiliar. Los términos del polinomio auxiliar se forman con los coeficientes del renglón marcado y potencias de s, empezando con la potencia de s de la primer columna de dicho renglón y se continua saltando una potencia de s y otra no. Para el ejemplo que se esta resolviendo, se tiene:





7s 4  42s 2  56  7 s 4  6s 2  8  0 P(s)  s 4  6s 2  8

Ec. 5.14

2. El polinomio que se obtiene en el paso uno, se deriva con respecto a s.



dP( s)  4s 3  12 s  4 s 3  3s ds



3. El renglón de ceros se sustituye con los coeficientes del polinomio que se obtiene al hacer la derivación, y se continúa con el procedimiento hasta completar el arreglo de Routh.

En el arreglo de Routh, aparece todo un renglón de ceros cuando un “polinomio par” es un factor del polinomio original. Los polinomios pares solo tienen raíces que son simétricas alrededor del origen. Algunas de estas raíces podrían estar sobre el eje jω; por tanto, si no se tiene un renglón de ceros posiblemente no se tengan raíces jω. El renglón previo al renglón de ceros contiene el polinomio que es un factor del polinomio original. Si en el arreglo de Routh, no existen cambios de signo desde este renglón hasta el renglón s0 , el polinomio par no tiene raíces en el semiplano derecho y como consecuencia no tiene raíces en el semiplano izquierdo debido al requerimiento de simetría, y en este caso el polinomio par debe tener sus raíces sobre el eje jω. Como para el ejemplo que se esta trabajando no existe cambio de signo desde elreglón s4 hasta el renglón s0 , el polinomio par dado por la Ec. 5.13 no tiene raíces en el semiplano derecho y, debido a la condición de simetría, tampoco en el semiplano izquierdo, entonces sus 4 raíces están sobre el eje jω. Además, como no hay cambio de signo del renglón s5 al renglón s4 , el sistema no tiene polos en el semiplano derecho. Entonces, el sistema tiene un polo en el semiplano izquierdo y 4 polos sobre el eje jω.

1.5. PROBLEMAS DE DISEÑO DE ESTABILIDAD. 1. Para el sistema con retroalimentación unitaria, cuya Función de k (S  20) Transferencia de laso directo es G(s)  S (S  2)(S  3) , encuentre los valores de k para que el sistema sea estable. Solución: Primeramente se obtiene la función de transferencia de lazo cerrado: FT (s) 

G( s ) G( s ) ks  20k   3 1  G(s) H (s) 1  G(s) s  5s 2  (6  k )s  20k

Luego se obtiene el arreglo de Routh para D(s) = s3 + 5s2 + (6 + k) s + 20k = 0. s3

1

6k

s2

5

20 k

s1

s0

6k 20 k b11    6  3k 5 5 20 k 6  3k 0 b21    20 k 6  3k 1 5

1 0 5 0 b12   0 5 5 0 6  3k 0 b22   0 6  3k

Como k debe ser positiva, el termino 6-3k es el único que puede ser positivo, negativo o cero, dependiendo del valor que tome k. Por tanto, para que el sistema sea estable se debe cumplir lo siguiente: 6-3k > 0 , es decir , k debe estar en el rango 0 < k < 2. 2. Determine si el siguiente sistema puede ser estable o no.

S ( s) k Solución: La función de transferencia de este sistema es: . Por tanto, la  E ( s) s salida en función del tiempo esta dada por la siguiente expresión:

s(t )  k  e(t )dt • Si e(t) = A, se tiene:

s(t )  k  Adt  kAt

Se observa que la salida s(t)  ∞ cuando t  ∞, por tanto, el sistema es inestable.

• Si e(t) =

Ae-2t

, se obtiene:

s(t )  k  Ae  2t dt  

kA  2t e 2

En este caso, se observa que s(t)  0 cuando t  ∞, por tanto, el sistema es estable. De los resultados anteriores, se observa que el sistema depende fuertemente de la señal de entrada debido a que su propio polo no esta bien definido; por tanto, no se puede considerar a este sistema como estable. Sin embargo, este mismo sistema se puede convertir en estable si se le aplica una simple retroalimentación.

k G( s) k s FT ( s)    k 1  G( s) H ( s) s  k 1 s

Para este caso, la . Haciendo D(s) = s + k = 0, se tiene que s = -k. Como k > 0, el polo del sistema es real negativo, y en consecuencia el sistema es estable.

Del resultado anterior, se puede concluir que uno de los efectos de la retroalimentación negativa es que aumenta la estabilidad de un sistema.

3. Demostrar que todos los sistemas de primer orden son estables. Solución: Como la función de transferencia de un sistema de primer orden 1 cualesquiera, es: FT (s)  sk 1 , se obtiene que: D( s)  s  1  0, s  .  Como τ > 0, el polo del sistema es real negativo, por tanto, “todos los sistemas de primer orden son estables”.

En base a los ejercicios anteriores, podría pensarse que determinar la estabilidad de un sistema a partir de su ecuación característica (denominador de FT(s) = 0 ), es relativamente sencillo; Sin embargo, esto no es cierto para sistemas mas complejos, ya que para estos no es fácil encontrar las raíces de su ecuación característica.

4. Determine para que rango de valores de k es estable el sistema que tiene las siguientes funciones de T. k S  8S  6 5 H ( s)  S 2

G( s) 

2

Solución: La función de transferencia de lazo cerrado del sistema esta dado por la siguiente expresión: k G( s) k ( s  2) s 2  8s  6 FT ( s)    5k 1  G( s) H ( s) 1  ( s  2)( s 2  8s  6)  5k ( s  2)( s 2  8s  6)

Ec . 1

La ecuación característica es: D(s)  (s  2)(s 2  8s  6)  5k  s3 10s 2  22s  12  5k  0

Ec . 2

Encontrar las raíces de esta última expresión no es tan simple. Como todos los coeficientes de la Ec. 2 son reales positivos, se tiene dos posibles resultados:

a) Que las 3 raíces sean reales b) Que una raíz sea real y las otras dos sean complejas conjugadas. En el límite de estabilidad, se puede obtener una raíz igual a cero o posiblemente dos raíces complejas conjugadas con parte real igual a 0. • Para que una de las raíces sea real igual a cero, se debe cumplir lo siguiente: D(s) = s (s2 + 10s +22) + 12 + 5k = 0

12 + 5k = 0  k  

12 5

como en la practica k > 0, lo anterior no es posible; por tanto, la única posibilidad es que se tengan dos raíces imaginarias conjugadas. La condición para que las raíces sean imaginarias, es que en D(s) aparezca un factor de la forma (s2 + b), con b > 0. Entonces, D(s) se puede escribir como sigue: D(s) = C (s2 + b) (s + p1 )

donde: p1 es el polo real C es el coeficiente de s3 , que en este caso C = 1

D(s) = C ( s2 + b) (s – p1) = s3 – p1 s2 + bs – bp1

Ec. 3

Comparando Ecs. 2 y 3, se obtiene que: -P1 = 10, P1 = -10 b = 22

 bp1  12 5  22(10)  12 220  12 208 k   5 5 5  bp1  12  5k ,

D(s)  (s 2  22 ) (s  10 )  0 s1  10 s2  j 22 s3   j 22

k

Estas raíces, se representan gráficamente en la Fig. 5.3.

Para k = 41.6, el sistema tiene estabilidad limitada, y en este caso el sistema presenta oscilaciones permanente en su salida. El sistema es estable para k < 41.6. De los resultados del análisis anterior, se puede deducir un método para estabilizar un sistema inestable, que consiste en disminuir la ganancia estática k de la función de transferencia de lazo directo. Sin embargo, esto no siempre es conveniente debido a que al disminuir k se pierde precisión en el sistema.

1.6. MÉTODO DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAICES

Introducción. La estabilidad relativa y el comportamiento transitorio de un sistema están directamente relacionados con la localización en el plano complejo de las raíces de la ecuación característica de lazo cerrado. Para conseguir el comportamiento deseado de la repuesta en lazo cerrado de un sistema retroalimentado, se puede ajustar uno o más de sus parámetros. Por tanto, vale la pena determinar como se desplazan, en el plano S, las raíces de la ecuación característica de un sistema dado, a medida que varían sus parámetros. El método del lugar de las raíces fue establecido por Evans en 1948, y consiste en un método gráfico para dibujar la posición de las raíces en el plano S a medida que varía un parámetro del sistema. La técnica del lugar geométrico de las raíces proporciona al ingeniero una medida de la sensibilidad de las raíces del sistema para una variación en el parámetro seleccionado, y se puede usar con gran ventaja con el criterio de Routh-Hurwitz.

En la Fig. 5.10, se muestra en diagrama de bloques de un sistema retroalimentado cualesquiera

E(s)

S(s)

R(s)

Fig. 5.10. Sistema retroalimentado

Función de transferencia de lazo directo: Función de transferencia de lazo abierto:

FTLD (s)  KG(s)  K

N G ( s) DG (s)

FTLA ( s)  KG( s) H ( s)  K

Ec . 1

NG ( s) N H ( s) DG ( s) DH ( s)

Ec . 2

Función de transferencia de lazo cerrado: N G ( s) DG ( s) KDH ( s) N G ( s) KG( s) FTLC ( s)    N ( s) N H ( s) 1  KG( s) H ( s) DG ( s) DH ( s)  KN G ( s) N H ( s) 1 K G DG ( s) DH ( s) K

Ec . 3

DG (s) DH (s)  0

Ecuación característica de lazo abierto: Ecuación característica de lazo cerrado:

Ec . 4

DG (s)DH (s)  KNG (s) N H (s)  0

Ec . 5

De las Ecs. 4 y 5, se observa que es más complicado encontrar los polos de lazo cerrado que los polos de lazo abierto. Como KG(s)H(s) proviene de subsistemas de primero y segundo orden, en general, es posible conocer sus polos, mismos que son independientes de los valores de K. Para encontrar los polos de lazo cerrado es necesario factorizar la expresión [DG(s)DH(s)+KNG(s)NH(s)], y además estos dependen de las variaciones de K. Como ejemplo, considérese el sistema: FTLA (s)  KG(s) H (s) 

FTLC (s) 

K s  3s  1 ss  2s  4

G( s ) 

s  1 ss  2 ,

ss  2s  4  0 ,

H ( s) 



s  3 s  4

p1  0 , p2  2 , p3  4

KG(s) K s  1s  4 K s  1s  4   3 1  KG(s) H (s) ss  2s  4  K s  1s  3 s  6  K s 2  8  4K s  3K

Ecuación característica de LC:

s 3  6  K s 2  8  4K s  3K  0

De esta última expresión, se observa que para encontrar los polos de lazo cerrado se debe realizar una factorización, además, dichos polos dependen de los valores que tome K DEFINICIÓN DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES (LGR). Para establecer una definición del LGR, considérese el sistema dado por el siguiente diagrama de bloques:

K2

FTLC ( s) 

K1 K 2 s  2s  6 KG( s) K s  2s  6  2  2 2 1  KG( s) H ( s) 1  K s  8  8K s  25  12 K s  8s  25  K1 K 2 s  8s  12





donde: K=K1K2

Ecuación característica: s  4 

4K  9 1 K

s2 

81  K  25  12 K 25  12 K s  s 2  8s  0 1 K 1 K 1 K

p 2  4 

p1  4 

4K  9 1 K 4K  9 1 K

Ec. 1 Ec. 2

De las Ecs. 1 y 2, se observa que los polos dependen de K: Para Para Para Para Para Para Para

K=0, p1=-4+j3, p2=-4-j3 K=9/4, p1=p2=-4 K=1, p1=-4+j1.58, p2=-4-j1.58 K=2, p1=-4+j0.577, p2=-4-j0.577 K=4, p1=-2.8167, p2=-5.183 K=100, p1=-2.0324, p2=-5.9675 K=∞, p1=-2, p2=-6

De estos resultados, se observa que 0 ≤ K < 9/4 , los polos son complejos. Para 9/4 ≤ K < ∞ , los polos son reales negativos. Este comportamiento se muestra en la Fig. 5.12

La representación geométrica de la trayectoria de los polos en lazo cerrado cuando varía K, es lo que se conoce como Lugar Geométrico de las Raíces. Como en los sistemas prácticos K es mayor que cero, el análisis del LGR se limita para K ≥ 0.

Para 9/4 <∞, los polos son reales negativos diferentes y como consecuencia el sistema es sobreamortiguado. Para K=9/4, los polos son reales negativos iguales y por tanto el sistema es críticamente amortiguado. Para 0≤K<9/4, los polos son complejos conjugados y el sistema es subamortiguado. Como el tiempo de asentamiento es inversamente proporcional a la parte real de los polos complejos (en este caso, PR=-4= cte.), el tiempo de asentamiento es el mismo para cualquier valor de K en el intervalo 0≤K<9/4. También, se observa que conforme aumenta K en este intervalo de valores disminuye la “frecuencia de oscilación amortiguada”, la cual es igual a la parte imaginaria de los polos complejos, y como consecuencia aumenta el tiempo pico. tA  

tp 



ln 0.02 1   2

n

 n 1  

2





 , d

4

n

,

0    0.9

s    jd

Ec.

Ejemplo 2: Bosqueje el LGR del sistema con retroalimentación unitaria y cuya F. 2) de T. de lazo directo es: G( s)  s K( s4 s  13 2

Polos y ceros para F. de T. de lazo abierto: c=-2, p1=-2+j3, p2=-2-j3 FTLC ( s) 

K ( s  2) s 2  K  4s  2 K  13 p1  

Para

Polos y ceros para F. de T. lazo cerrado: c=-2,

4 K 1  2 2

K  6K  6 ,

K=0, K=1, K=4, K=5, K=6, K=10, K=50, K=100, K=1000,

p1=-2+j3, p2=-2-j3 p1=-2.5+j2.958, p2=-2.5-j2.958 p1=-4+j2.236, p2=-4-j2.236 p1=-4.5+j1.6583, p2=-4.5-j1.6583 p1 = p2=-5 p1=-3, p2=-11 p1=-2.18, p2=-51.819 Ec. p1=-2.09, p2=-101.909 p1=-2.009, p2=-1001.991

p2  

4 K 1  2 2

K  6K  6

>> N=[0 1 2]; >> D=[1 4 13]; >> rlocus(N,D) >> V=[-6 6 -6 6]; axis(V); axis(square) >> title('Fig. 5.13. Lugar G. de las raízes de G(s)= K(s + 2)/(s^2+4s+13)')

Para valores grandes de K: p1 = -2+K/2+K/2=-2 p2 = -2K/2-K/2 ≈ -K

La representación geométrica de la trayectoria de los polos en lazo cerrado para 0 ≤ K ≤ ∞ , se muestra en la Fig. 5.13.

PROPIEDADES DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES De la

FTLC (s) 

KG(s) 1  KG(s) H (s) s 2

, se tiene que la ecuación característica esta dada por :

KG( s) H ( s)  1  0



KG( s) H ( s)   1

Ec. 5.30

Como KG(s)H(s) es una cantidad compleja, se puede expresar por medio de su magnitud y su fase, es decir: KG( s) H ( s)   1  1(2n  1)180

Ec. 5.31

donde: n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …

De la Ec. 5.31, se deduce que un valor de s es un polo de lazo cerrado si: KG(s) H (s)  K G(s) H (s)  1

KG( s) H ( s)  (2n  1)180

K 

1 G( s) H ( s)

Ec. 5.32

Ec. 5.33

Punto de prueba

Fig. 5.14. investigación de si el punto de prueba pertenece o no al LGR

De la Fig. 5.14, se observa que α1+ α2=360° y θ=180° . Por tanto: α1+ α2+ θ = 360+180 = 3(180)

Como el resultado anterior es un múltiplo impar de 180°, el punto de prueba pertenece al LGR. El valor de K para este punto, se obtiene como sigue: K

 longitudes de los polos 1 1    longitudes de los ceros G( s) H ( s)  longitudes de los ceros  longitudes de los polos

K

Ec. 5.34

 

10 10  10 1

De este ejemplo, se observa que la suma de las contribuciones angulares de los polos complejos conjugados es: α1 + α2 =360° ; por lo que, el efecto neto de los polos complejos conjugados es cero en puntos de prueba sobre el eje real. REGLAS PARA CONSTRUIR EL LGR Del análisis de los ejemplos anteriores, se pueden establecer las siguientes cinco reglas básicas que permiten bosquejar la gráfica del LGR de un sistema de control:

1.- Número de ramas. El número de ramas del LGR es igual al número de polos en lazo cerrado, considerando que una rama es la trayectoria que recorre un polo con las variaciones de K. 2.- Simetría. El LGR es simétrico alrededor del eje real. 3.- Determinar los segmentos del LGR sobre el eje real para K>0. El LGR existe a la izquierda de un número impar de polos y/o ceros finitos en lazo abierto. 4.- Puntos de inicio y de terminación. El LGR empieza en los polos finitos e infinitos de G(s)H(s) y termina en los ceros finitos e infinitos de lazo abierto. 5.- Determinar las asíntotas. El LGR se aproxima a líneas rectas (asíntotas) cuando se acerca al infinito. La ecuación de las asíntotas está dada por la intersección con el eje real αI y el ángulo θI :

I 

polosfinitos  cerosfinit os1 N m

Ec. 5.35

I 

2n  1180 N m

Ec. 5.36

donde: N es el número de polos m es el número de ceros n= 0, 1, 2, …, |N-m|-1

El número de asíntotas es: NA = N-m. La ecuación de las asíntotas está dada por la siguiente expresión:

z  ( I  r cos I )  jrsen I donde : r x 2  y 2

Ejemplo 1. Trace la gráfica del LGR y sus asíntotas para un sistema con retroalimentación unitaria y cuya F. de T. de lazo directo es: G( s ) 

K s  1 ss  2s  3s  4

Ec. 5.36

1. Como tiene cuatro polos, el LGR tiene cuatro ramas 2. Encontrar las asíntotas. polos de lazo abierto finitos: 0, -2, -3, -4; ceros de lazo abierto finitos: -1; N = 4 y m = 1; N-m = 4-1 = 3 I 

0  2  3  4   1   8  2.666 3

para n  0 :  I 1 

3

180  60 , 3

para n  1 :  I 2 

3  180 , 3

para n  2 :  I 3 

5  300 3

3. La regla 4 dice que el LGR empieza en los polos y termina en los ceros de lazo abierto Ejemplo 2.

G( s ) 

K s  2s  4s  6

1. Como tiene tres polos, el LGR tiene tres ramas 2. Encontrar las asíntotas. polos de lazo abierto finitos: -2, -4, -6; no tiene ceros de lazo abierto finitos: N = 3 y m = 0; N-m = 3 I 

 2  4  6  0  4 3

para n  0 :  I 1 

180 3 5  60 , para n  1 :  I 2   180 , para n  2 :  I 3   300 3 3 3

>> N =[1]; >> D=conv([1 6 8],[1 6]); >> x =-10:0.1:10; >> y =-10:0.1:10; >> r=sqrt(x.^2 + y.^2); >> y1=(0.5.*r-4)+j*0.866.*r; >> y2=(0.5*r-4)-j*0.866*r; >> y3=(-r-4) +j*0; >> rlocus(N,D) >> V=[-10 10 -10 10]; axis(V) >> hold on >> plot(y1) >> plot(y2) >> plot(y3)

Aun cuando las cinco reglas anteriores permiten trazar rápidamente el LGR de un sistema, se pueden encontrar otros puntos que ayuden a obtener una gráfica más aproximada a la real. 6.- Determinar puntos de ruptura o puntos silla. Los puntos donde el LGR sale del eje real, se les conoce como puntos silla de salida; los puntos donde el LGR regresa al eje real, se les nombra puntos silla de entrada. En el punto silla de salida o de entrada, las ramas del LGR forman un ángulo de π/N , donde N es el número de polos de lazo cerrado que llegan o salen del punto silla, con el eje real. Un método para encontrar los puntos silla consiste en maximizar y minimizar K(s) utilizando cálculo diferencial. De la Ec. 5.30, se tiene:

K ( s)  

1 G( s ) H ( s )

Ec. 5.37

Representando con α los puntos del eje real del LGR donde los puntos de entrada y salida podrían existir, se tiene: K ( )  

1 G( ) H ( )

Ec. 5.38

Ejemplo 1. Encuentre los puntos silla para el LGR del sistema cuya F. de T. de lazo abierto es: KG(s) H (s) 

K ( )  

K s  2 K s  2  2 s  2s  2 s  1  j s  1  j 

K 

1

 s  2 s  1  j s  1  j 

s  1  j s  1  j  s  2

  1  j   1  j     2  2  2   2  2

Derivar Ec. 1 respecto α:   2  2 ,





   22  2   2  2  2  dK ( )   0 d   22  

punto de salida 1  0.5857 ,

punto de enrada  2  3.4142

1. Como tiene cuatro polos, el LGR tiene cuatro ramas 2. Encontrar las asíntotas. Polos : p1=-1+j , p2=-1-j ; ceros : c1=-2 , c2=∞ . entonces, N=2 y m=1; N-m=2-1=1 y Esto significa que no hay asíntotas

I 

 1  j  1  j  (2)  2  2  0 1 1

Ecuación característica de lazo cerrado: s 2  2  K s  2  2K  0 p1   s

2 K 1  2 2

2 K 1  2 2

Ec. 5.37

K 2  4K  4 ,

4  4 K  K 2  8  8K  

p2   2 K 1  2 2

2 K 1  2 2

K 2  4K  4

K 2  4K  4

En los puntos silla de salida o de entrada, los polos tienen el mismo valor. Por tanto, el valor de K en los puntos silla se puede encontrar como sigue: p1  p 2

 

2 K 1 2 K 1  K 2  4K  4    K 2  4K  4  2 2 2 2

K 2  4K  4  0 

K  2

Se toma el valor positivo:

1 16  16 2



p1  p 2  

K 2  4K  4  0

K1  4.82844 , K 2  0.8284

2 K 1  K 2  4 K  4  3.4142 2 2

Ejemplo 2:

G( s ) 

K ( s)  

K ss  1s  2

1  ss  1s  2  K ( )   3  3s 2  2s 1 ss  1s  2

dK ( )  3 2  6  2  0  3 2  6  2  0  1  0.422649 ,  2  1.57735 d

para  1  0.422649 , K  0.3849 para  2  1.57735 , K  0.3849

Por tanto, se tiene punto silla de salida en α=-0.4226497 1. Como el sistema tiene tres polos, el LGR tiene cuatro ramas 2. Encontrar las asíntotas. polos de lazo abierto finitos: 0, -1, -2; no tiene ceros finitos. N = 3 y m = 0; N-m = 3. I 

0  1  2  0   3  1

para n  0 :  I 1 

3

180  60 , 3

3

para n  1 :  I 2 

3  180 , 3

para n  2 :  I 3 

5  300 3

Los puntos silla de salida y entrada, también se pueden encontrar utilizando la siguiente relación: m

1   a 1   c a

N

1  b 1   pb

Ec. 5.39

donde: ca y pb son el negativo de los ceros y polos finitos de G(s)H(s) Para el ejemplo 1, se tiene: 1 1 1 2  1    2   2   1  j   1  j   2  2

  2  4  2  0  1  3.4242 ,  2  0.5857

7.-Intersección del LGR con el eje imaginario. La intersección del LGR con el eje jω, son puntos que separan el funcionamiento estable del funcionamiento inestable del sistema. El valor de ω en el cruce, representa la frecuencia de oscilación; mientras que, el valor de ganancia K, correspondiente, representa el valor límite de K para la estabilidad del sistema. Estos puntos se encuentran aplicando el criterio de estabilidad de Routh.

K

Ejemplo 1: Para el sistema G(s)  ss  3s  2s  2 con retroalimentación unitaria, encuentre los puntos en los que el LGR intersecta al eje jω y el intervalo de valores de K donde el sistema es estable. 2

Ecuación característica de lazo cerrado:

El arreglo de Routh, es el siguiente:

s 4  5s 3 8s 2  6 s  K  0

s4

1

8

K

s3

5

6

0

s2

s1

s0

1 8 1 K 5 6 5 0 34 b11    b12   K 0 5 5 5 5 6 5 0 34 34 K 0 25 K  6(34) 5 5 b21    b22   0 0 34 34 4.2 5 34 34 K 0 5 5 25 K  6(34) 25 K  6(34)  0  0 34 34 b31    K b32   0 0 25 K  6(34) 25 K  6(34)   34 34

Cuando aparece un renglón completo de ceros, es cuando se tiene la posibilidad de tener raíces puramente imaginarias. Para este caso, el único renglón que proporciona la posibilidad de tener raíces imaginarias es el renglón s1 , por tanto, se tiene: 6(34)  25 K 0 3

El polinomio auxiliar es:



K

6(34)  8.16 25

34 2 6(34) s  0 5 25



5s 2  6  0



sj

6   j1.0954 5

En estos puntos, el LGR cruza el eje jω . El sistema es estable para ≤K<8.16 8.- Ángulo de salida de los polos y ángulo de llegada a los ceros. El LGR inicia en los polos y termina en los ceros de lazo abierto. Para trazar con mayor precisión el LGR, es importante encontrar el ángulo de salida de cada polo complejo. El procedimiento para esto, se ilustra con el siguiente ejemplo: G( s) 

K ( s  3) s  4 s 2  4s  8





Es la F. de T. de lazo directo de un sistema con retroalimentación unitaria

α2

α1

θ1

α3

z1

>> N =[1 3]; >> D=conv([1 4],[1 4 8]); >> rlocus(N,D) >> V = [-6 6 -6 6]; axis(V) >> z = -0.5+3*j; >> hold on >> plot(z,'*')

Ceros y polos de la abierto: c1 = -3 p1 = -4 p2 = -2 + j2 p3 = -2 - j2

Asíntotas: N = 3 y m = 1; N-m = 3-1 = 2 I 

(4  2  j 2  2  j 2)   3  8  3 5     2.5 2 2 2

para n  0 :  I 1 

 2

 90 ,

para n  1 :  I 2 

3  270 2

Se considera un punto de prueba muy cercano a un polo complejo. La suma de los ángulos trazados desde todos los polos y ceros finitos hasta este punto de prueba, es un multiplo impar de 180°.

Para el polo p2 . Considerando que el punto z1 casi coincide con el polo p2 , el ángulo de salida α2 , del LGR en el polo p2 , se obtiene como sigue: 1  1   2   3  2k  1  1  inv tg

2  45 , 2

 2  1  1   3  2k  1



 3  90 ,

1  inv tg

2  63.4349  1

 2  63.4349   45  90  180  251.56  108.44

Para el polo p3 . Considerando que el punto z2 casi coincide con el polo p3 , el ángulo de salida γ3 , del LGR en el polo p3 , se obtiene como sigue: 1   1   2   3    1  315 ,



 2  270 ,

 3  1   1   2   1  296.565

 3  296.565  315  270  180  468.435



 3  108.435  251.565

NOTA: Para encontrar el ángulo de llegada para los ceros complejos, se procede igual que para los polos complejos.

>> N=[1 9]; >> D=conv([1 0],[1 4 11]); >> rlocus(N,D) >> V=[-12 12 -12 12]; axis(V) >> title('Lugar geometrico de las raices de G(s)=K(s+9)/s(s^2+4s+11)')

>> N=[1 1]; >> D=conv([1 2 2],[1 2 5]); >> r=rlocus(N,D); >> plot(r, '.') >> V=[-4 4 -4 4]; axis(V) >> grid >> title('Lugar de las raices de G(s)H(s)=[K(s+1)]/[(s^2+2s+2)(s^ 2+2s+5)]') >> xlabel('Eje real') >> ylabel('Eje imaginario')

N=[1 1]; >> D=conv([1 2 2],[1 2 5]); >> K1=0:0.2:20; >> K2=20:0.05:30; >> K3=30:3:1000; >> K=[K1 K2 K3]; >> r=rlocus(N,D,K); >> plot(r, '.') >> V=[-4 4 -4 4]; axis(V) >> grid

Lugar de las raíces con ζ y ωn constantes De la Fig. 5.15, se observa que: cos 

n  n

Por tanto, las líneas, con factor de amortiguamiento relativo ζ constante, son radiales que pasan por el origen con ángulo

ωn

ωd

θ ζ=ζωn

   inv cos( ) ; el cual se mide respecto al eje real negativo

Fig. 5.15. Gráfica de un polo complejo

Por ejemplo, un ζ = 0.5 requiere que los polos complejos se encuentren sobre una línea que pase por el origen con un ángulo de ± 60° . El factor de amortiguamiento relativo ζ , determina la localización angular de los polos, mientras que, la distancia del polo al origen se determina mediante la frecuencia natural no amortiguada ωn . El lugar de las raíces para ωn = cte Son círculos. Para dibujar con MATLAB las líneas con ζ = cte y los círculos con ωn = cte , se utiliza la función sgrid. Ejemplo 1.Sistema con retroalimentación unitaria con F. de T. de lazo directo G( s) 

K s( s  6s  13) 2

En la siguiente figura, se muestra la grafica del LGR conjuntamente con las gráficas para ζ = 0.5, 0.707 y ωn = 2, 3, 4.

Lugar de las raices con factor de amortiguamiento relativo de 0.5, 0.707; y circulos de frecuencia 4no amortiguada de 2, 3 y 4 4 0.5

>> N=[0 0 0 1]; >> D=[1 6 13 0]; >> V=[-4 4 -4 4]; axis(V); axis('square'); >> rlocus(N,D) >> sgrid([0.5,0.707],[2,3,4]); >> axis(V) >> [K,r]=rlocfind(N,D) Select a point in the graphics window

3

3

0.707

2

2

selected_point = -1.4286 + 1.4037i

K = 12.6199 r = -3.1397 -1.4302 + 1.4050i -1.4302 - 1.4050i

Eje imaginaria

1

0

-1

-2

-3

2 0.707

3 0.5

-4 -4

-3

-2

-1

40

1

2

3

4

Eje real

Localización del valor de la ganancia K en un punto arbitrario en el LGR. Para esto, se utiliza la función de MATLAB rlocfind(N,D) .

Ejemplo1. Sistema con retroalimentación unitaria con F. de T. de lazo directo G( s) 

K s( s  4s  6.25) 2

Dibuje el LGR, y determine los polos en lazo cerrado que tienen un ζ = 0.5. Hallar el valor de K en ese punto Grafica del lugar de las raices con factor de amortiguamiento relativo de 0.5 6 0.5

>> N=[0 0 0 1]; >> D=[1 4 6.25 0]; >> V=[-4 2 -3 3]; axis('square'); axis(V); >> rlocus(N,D) >> sgrid([0.5],[]) >> [K,r]=rlocfind(N,D) Select a point in the graphics window

K = 5.9893 r = -2.4458 -0.7771 + 1.3583i -0.7771 - 1.3583i

2 Eje imaginario

selected_point = -0.7795 + 1.3602i

4

0

-2

-4

0.5 -6 -8

-6

-4

-2 Eje real

0

2

Ejemplo2. Sistema con retroalimentación unitaria con F. de T. de lazo directo G( s) 

K s  6s  11s  6 3

2

Dibuje el LGR, y determine los polos en lazo cerrado que tienen un ζ = 0.5. Hallar el valor de K en ese punto >> N=[0 0 0 1]; >> D=[1 6 11 6]; >> V=[-4 2 -3 3]; axis('square'); axis(V); >> rlocus(N,D) >> sgrid([0.8],[]) >> [K,r]=rlocfind(N,D)

selected_point = -1.1832 + 0.8851i

K = 2.1999

0.8 4 3 2 Eje imaginario

Selected a point in the graphics window

Lugar de las raices para factor de amortigumiento relativo de 0.8 5

1 0 -1 -2 -3 -4

r = -3.5542 -1.2229 + 0.9009i -1.2229 - 0.9009i

0.8 -5 -8

-6

-4

-2 Eje real

0

2

1.7. ANÁLISIS DE ERROR. Los errores que pueden presentarse en un Sistema de Control, se debe a una gran variedad de factores, por ejemplo: 1. Los cambios en la entrada de referencia provocan errores inevitables en el período transitorio; también pueden provocar errores en el estado estacionario. 2. Las imperfecciones en los componentes del sistema, tales como la fricción estática, juego o bamboleo, la deriva del amplificador, el envejecimiento o el deterioro, provocan errores en el régimen permanente.

Sin embargo, no se analizara los errores producidos por las imperfecciones de los componentes del sistema, sino que, se estudiará un tipo de error en régimen permanente provocado por la incapacidad del sistema de responder ante determinados tipos de entradas.

CLASE DE UN SISTEMA, ERROR Y CONSTANTE DE ERROR EN ESTADO DE REGIMEN PERMANENTE

1. Clase de un Sistema. Se define como clase o tipo de sistema, al número de integraciones puras que presenta dicho sistema en su trayectoria de lazo directo. Cabe hacer notar que cada integración en el tiempo representa una división por s en el dominio de Laplace, de tal forma que un sistema clase n tendrá un factor 1/sn en su función de transferencia de lazo abierto GH(s). 2. El análisis del error, determina la magnitud y característica de la señal de error en un sistema retroalimentado. En la Fig. 1.33, se muestra el diagrama de bloques de un sistema retroalimentado cualesquiera.

E(s)

R(s)

S(s)

Re (s)

Fig. 6.1 Sistema retroalimentado

De la Fig. 6.1, se observa que: S(s) = E(s) G(s) FT ( s) 

S ( s) G( s ) E ( s)G( s)   R( s) 1  G( s ) H ( s ) R( s)

E ( s) 

R( s) 1  GH ( s)

donde: R(s) es la referencia o entrada E(s) es la señal de error G(s) es la F. de T. de lazo directo H(s) es la F. de T. de retroalimentación.

Ec. 6.1

De esta ultima expresión, se observa que el error depende tanto de las características de G(s) y H(s) como de la señal de entrada. En el análisis de error, las señales mas utilizadas son:

r (t )  Au (t )

1) Función escalón 2) Función rampa

r (t )  At

3) Función parabólica

r (t ) 





1 2 t A

R( s )  R( s ) 



t 0

Ec. 6.2

s 0

Para la expresión de error dada por la Ec.6.1, se tiene: sR(s) S 0 1  GH ( s)

erp  ess  lim sE (s)  lim s 0

sR(s) s 0 1  GH ( s)

erp  lim

A s2

R( s ) 

Para encontrar el error en régimen permanente, se aplica el teorema del valor final.

f ()  lim  f (t )  lim sF s 

A s

Ec. 6.3

A s3

Para un sistema de clase n, GH(s) esta dado por:

k (s  c1 )(s  c2 )(s  c3 )      (s  cm ) GH (s)  n s (s  p1 )(s  p2 )(s  p3 )      (s  pg ) 1.- Si la entrada es un escalón erp  lim

s 0

A   R( s)  s 

lim A sA A s 0   s1  GH (s) lim 1  lim GH (s) 1  lim GH (s) s 0

s 0

, se tiene: Ec erp 

s 0

Ec. 6.4

A 1  lim GH ( s) s 0

2.- Si la entrada es una función rampa erp  lim

s 0

A  R ( s )   s 2 

, se tiene:

lim A sA A s 0   2 s 1  GH ( s) lim S  lim SGH ( s) lim SGH ( s) s 0

erp 

A lim sGH ( s) s 0

s 0

s 0

Ec. 6.6

Ec. 6.5

3.- Si la entrada es una función parabólica R( s )  lim A sA s 0 erp  lim 3  2 s 0 s 1  GH ( s ) lim s  lim s 2GH ( s) s 0

A s3

erp 

, se tiene: A lim s 2GH ( s) s 0

s 0

Para un sistema de clase cero, se tiene: erp 

A 1 k p

De Ec. 6.5,

lim GH ( s)  k p

De Ec. 6.6,

lim sGH ( s)  0

erp

lim s 2GH (s)  0

erp 

De Ec. 7,

s 0

s 0

s 0

A   0 A  0

Ec. 6.8

Ec. 6.9

Ec. 6.10

Ec. 6.7

Para un sistema de clase uno, se tiene: A 0 1 

De Ec. 5,

lim GH ( s)  

erp 

De Ec. 6,

lim sGH ( s)  kV

erp 

A kV

Ec. 6.12

De Ec. 7,

lim s 2 GH (s)  0

erp 

A  0

Ec. 6.13

s 0

s 0

s 0

Ec. 6.11

Para un sistema de clase dos, se tiene: lim GH ( s)  

De Ec. 5, De Ec. 6, De Ec. 7,

s 0

lim sGH ( s)   s 0

lim s 2GH (s)  ka s 0

erp 

A 0 1 

Ec. 6.11

A 0 

Ec. 6.12

erp  erp 

A ka

Ec. 6.13

De los resultados anteriores, se concluye que: un sistema de clase cero sigue a A una entrada escalón con un error permanente de magnitud , mientras 1 k p

que, un sistema de clase 1 o mayor puede seguir sin error permanente a una entrada escalón; un sistema de clase uno responde a una entrada rampa con A error de estado estable de , mientras que sistemas de clase dos o mayor kV

responden a la entrada rampa sin ningún error de régimen permanente; un sistema de clase dos responde a una entrada parabólica con un error permanente de A , mientras que sistemas de clase tres o mayor responden a la entrada ka

parabólica con error permanente igual a cero.

lim GH (s) , s 0

lim sGH (s) , s 0

lim s 2GH (s) s 0

kP , kV , y ka , se conocen como constantes de error de régimen permanente. Individualmente, reciben el nombre de: Constante de error de posición

k p  lím GH (s)

Ec. 6.14

Constante de error de velocidad

kV  lim sGH (s)

Ec. 6.15

Constante de error de aceleración

ka  lim s 2GH (s)

s 0

s 0

s 0

Ec. 6.16

Puesto que la constante de error estático aparece en el denominador de la expresión para calcular el error en régimen permanente, el valor del error disminuye a medida que aumenta la constante de error estático.

Para que el error no dependa de la amplitud A de la entrada, se define los siguientes coeficientes de error: 1. Coeficiente de error de posición A e 1 1  kP  rp   A A 1  kP



1 1  kP

Ec. 6.17

2. Coeficiente de error de velocidad CV A e k 1 CV  rp  V  A A kV

CV 

1 kV

Ec. 6.18

1. Coeficiente de error de posición A e k 1 Ca  rp  a  A A ka

1 Ca  ka

Ec. 6.19

ERROR EN ESTADO ESTABLE PARA SISTEMAS CON PERTURBACIONES Los sistemas de control con retroalimentación se emplean para compensar perturbaciones o entradas no deseadas que ingresan a un sistema. La ventaja de usar retroalimentación, es que, cualesquiera que sean estas perturbaciones el sistema se puede diseñar para seguir la entrada con un error pequeño o error cero. En la Fig. 6.2, se muestra el diagrama de bloques de un sistema de control retroalimentado con una perturbación P(s).

R(s) G1(s)

G2(s)

Re(s)

Fig. 6.2. Diagrama de bloques de un Sistema con perturbación

De la Fig. 6.2, se observa que: S ( s)  E ( s)G1 ( s)  P( s)G2 ( s)  G1 ( s)G2 ( s) E ( s)  G2 ( s) P( s) E ( s)  R( s)  R( s)  R( s)  H ( s) S ( s)  R( s)  H ( s)G1 ( s)G2 ( s) E ( s)  G2 ( s) P( s) 1  G1G2 H (s)E (s)  R(s)  G2 H (s) P(s)

E ( s) 

1 G2 H ( s) R( s )  P( s ) 1  G1G2 H ( s) 1  G1G2 H ( s)

Ec. 6.20

Para encontrar el valor del error en régimen permanente, se aplica el Teorema del Valor final a la Ec. 6.20: sR(s) sG H ( s) P(s)  lim 2 s 0 1  G G H ( s ) s 0 1  G G H ( s ) 1 2 1 2

erp  lim sE (s)  lim s 0

Ec. 6.21

El primer término de esta ultima expresión, representa el error de régimen permanente debido a R(s); mientras que, el segundo término representa el error en estado estable debido a la perturbación P(s).

EJEMPLOS:

1.

a) Encuentre el valor en estado estable de e(t) cuando n(t)=0 y r(t)=tu(t). Encuentre las en los valores de α y K para que la solución sea válida. b) Encuentre el valor en estado estable de y(t) cuando r(t)=0 y n(t)=u(t) 2. Cual es la Función de Transferencia del motor de Corriente Directa controlado por armadura y regulando posición.

donde: ZA es la impedancia eléctrica de la armadura KP es la constante de par Zm es la impedancia mecánica KF es coeficiente de fuerza contraelectromotriz

Z a ( s)  sLa  Ra Z M  sJ  f

Fuerza contraelectromotriz e(t), depende del flujo magnético y de la velocidad angular: e(t )  K

f

d (t )  Ec.1 dt

Puesto que: Фm = cte.

Par motor T(t), depende del flujo magnético y de la corriente de armadura. T (t )  K P  a (t )  Ec.2 Circuito eléctrico de Armadura. Va (t )  La d a (t )  Ra  a (t )  e(t )  Ec.3 dt

Como el par generado al motor se aplica a la carga se tiene: d 2 (t ) d (t ) T (t )  J  f  Ec.4 2 dt dt

E ( s )  K f s ( s ) T ( s)  K P I a ( s) Va ( s )  La sI a ( s )  Ra I a ( s )  E ( s ) T ( s )  Js 2 ( s )  fs ( s )  K P I a ( s )

 ( s) Va (s)



KP KP  La s  Ra  Js 2  fs  K P K f s s La s  Ra Js  f   K P K f







El sistema es de 3er orden, clase uno. Para una entrada Rampa

Va ( s) 

A s2

, se tiene:

sA A  s 0 s 2 1  GH ( s) lim sGH (s)

erp  lim

s 0

En este caso:

GH (s) 

KP K f sJs  f La s  Ra 

lim sGH ( s)  s 0

KP K f K Ra f



KV 

1 K



CALCULO DE GANANCIA. Durante el proceso de diseño de un sistema de control, generalmente, se especifican al inicio los coeficientes de error que deberá cumplir dicho sistema. En base a tales coeficientes, se determina el valor necesario que debe tener la ganancia del sistema.

3. Sea el siguiente sistema regulador de velocidad.

con 250 volts aplicados en la armadura, el motor gira a 1, 750 rpm y tiene una fuerza contraelectromotriz de 236 volts, Ra = 0.5. El generador tacométrico produce 150 volts con 1500 rpm. ¿Cuánto debe valer la ganancia del amplificador de potencia, si se requiere que el coeficiente de error correspondiente valga 2%?

Diagrama de bloques del motor: KM

Las+Ra

Va(s)

KF

KM (Las+Ra)(Js+f)

KF

VR ( s )  K F  ( s )



KF 

KM La s  Ra  Js  f   ( s)  KM KF Va ( s ) 1 La s  Ra Js  f

 ( s) Va ( s )





VR ( s ) 236V V   0.135  ( s) 1750 rpm rpm KM La s  Ra  Js  f

KM

 Ra f

 a s

 1 m s  1 

KM KF Ra f





KM KF

KM Ra f

 a s

 1 m s  1 

KM KF Ra f

Para encontrar KM , se hace s = 0 en la Función de Transferencia de lazo directo: 1750 rpm K M  14V Ra f

KM / Ra f



Ra f 14V V   0.008 K M 1750 rpm rpm

Ganancia estática del sistema motor (lazo cerrado): Cm 

KM Ra f  K F K M



R f  K F K M Ra f 1 V V V  a   K F  0.008  0.135  0.143 Cm KM KM rpm rpm rpm

C m  6.99 rpmVolts 

1750 rpm , 250V

Para el tacómetro, se tiene: K T 

C m  7 rpmV

150V  0.1 V rpm 1500 rpm

En la siguiente figura, se muestra el diagrama de bloques del sistema completo

KM (Las+Ra)(Js+f) + KFKM ) VRe

G( s) 

KS K AKM  ( La s  Ra )( Js  f )  K F K M

KS K AKM Ra f ( a s  1)( m s  1) 

0.085 K S K A K M 

KF KM Ra f

,

H ( s)  K R K T  (0.085)(0.1)  0.0085 V rpm

Ra f

GH ( s) 

( a s  1)( m s  1) 

KF KM Ra f

Como el sistema es de segundo orden y de clase cero, la referencia o entrada para encontrar el error de estado estable es de tipo escalón. 

1  0.02 , 0.02 K P  0.02  1 1 KP



KP 

1  0.02  49 0.02

Ganancia estática global. 0.0085 K S K A K M  K P  lím GH ( s)  s 0

KA 

Ra f K K 1 F M Ra f



0.0085 K S K A K M   0.0085 K Ra f  K F K M

S

KA

KM  0.0085 K S K A C m Ra f  K F K M

KP 49   82..3529 V V 0.0085 K S Cm 0.0085(10)(7)

En las condiciones de funcionamiento descritos, se tiene: VS

VS 

Va=250volts

Va 250 volts   3.035Volts K A 82.3529

Salida del Tacómetro

 V  1750 rpm  175 rpm VT  K T    0.1 rpm  

Voltaje de retroalimentación: VRe  K RVT  0.085175 volts   14.875 volts

 VR  VRe  14.875 volts

VSA  VS  3.035 volts

VD VSA  0 R R



VD  VSA  3.035 volts

 VR VD      0 , 10  Ref  VR    VD , 10 Ref  10VR  VD   R R 10 R   (10VR  VD ) 148 .75  3.035 Ref    15.1785 volts 10 10 Ref

Como el motor es cd, en régimen permanente XL = 0. Por tanto, la corriente en el circuito eléctrico de la armadura es: Ia 

Va  VR 250  236   28 Amps Ra 0.5

Va  250 volts  E  236 volts        1750 rpm     Ra  0.5   150 volts    1500 rpm C P  2% K S  10 K R  0.085

Motor

Tacómetro

I a  28 Amps VRe  14.875 volts Ref  15.1785 volts VSA  3.035 volts C m  7 rpm V K A  82.3529

Para un sistema de clase n, GH(s) esta dado por: GH ( s) 

k ( s  c1 )( s  c2 )( s  c3 )      ( s  cm ) s n ( s  p1 )( s  p2 )( s  p3 )      ( s  pg )

1.- Si la entrada es un escalón

A   R( s)  s 

, se tiene:

lim A sA A s 0 erp  lim   s 0 s1  GH ( s) lim 1  lim GH (s) 1  lim GH (s) s 0

erp 

s 0

s 0

A 1  lim GH ( s)

Ec. 6.5

s 0

2.- Si la entrada es una función rampa

A   R( s)  s 2 

, se tiene:

lim A sA A s 0 erp  lim 2   s 0 s 1  GH ( s) lim S  lim SGH (s) lim SGH (s) s 0

s 0

s 0

Ec. 6.4