Vectores En El Plano Cartesiano 5q93o

VECTORES EN EL PLANO CARTESIANO A un vector lo representamos gráficamente mediante un segmento orientado. El módulo de un vector es su medida. Decimos que dos vectores tienen la misma dirección cuando están incluidos en la misma recta o en rectas paralelas. El sentido de un vector se indica gráficamente con la punta de la flecha. Dos vectores que tienen la misma dirección pueden tener el mismo sentido o sentidos opuestos. Dos vectores son opuestos cuando tienen la misma dirección, el mismo módulo y sentidos opuestos. Dos vectores son equipolentes si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido. Para trabajar con vectores en el plano cartesiano, se elige como representante de todos los vectores equipolentes al que tiene origen en el punto (0;0) y se lo asocia a un par ordenado cuyas componentes son las coordenadas de su extremo. 1) Observen la figura. y v1

v4 v2

x v6

v3 v5

a) Completen el siguiente cuadro como el ejemplo.  v1  v2

Origen Extremo Vector Representante con origen en (0;0) (2;2) (7;3) (7-2 ; 3-2) = (5;1)

Módulo 5 2 +12 = 26

 v3

 v4

 v5  v6

b) Mencionen en cada caso un par de vectores que cumplan las condiciones pedidas. I. Tienen la misma dirección y el mismo sentido. ___________ _________________ __ II. Tienen la misma dirección y distinto sentido. _______________________________ III. Tienen el mismo módulo y distinta dirección. _______________________________ IV. Son opuestos. _______________________________ OPERACIONES CON VECTORES

Suma y Resta de Vectores. Gráficamente, la suma de dos vectores puede hallarse mediante la Ley del Paralelogramo.   v +u

y  v

 u

x  −v

  u −v

Algebraicamente, para sumar dos vectores sumamos los pares ordenados componente a componente.  v = ( 3;4 )

 u = ( 5;1)

  v +u = ( 3 + 5 ; 4 +1) = ( 8;5)

Para restar dos vectores, al primero de ellos le sumamos el vector opuesto al segundo vector.   u −v = ( 5 − 3 ; 1 − 4 ) = ( 2;−3) 





2) Consideren los vectores v = ( 4;1), u = ( 6;3) y w = ( 2;7 ) . a. Resuelvan algebraicamente las siguientes operaciones.      I. v + w III. ( u − v ) + w       w −v −u II. u + v + w IV.    b. Representen los vectores v , u y w en el plano cartesiano, resuelvan las operaciones anteriores gráficamente y verifiquen los resultados que obtuvieron. c. Calculen. 



I. v +u   II. v +u

III. IV.

  w −v   w −v





3) A Carlos le dieron para resolver, de tarea, sumas y restas con los vectores v = (3;1) y w = ( 0;4 ) . Las resolvió y obtuvo los resultados que ven en las figuras. Revísenlos e indiquen en cuáles de ellos las respuestas no son correctas, luego realicen, en el mismo gráfico, la respuesta correcta. a) b) c) d) y y y y   v +w

  −( w −v )

x

x   v −w

Producto de un Vector por un Número Real

x   w −v

x





El producto de un vector v (no nulo), por un número real k es otro vector kv , cuyas componentes se  obtienen multiplicando por k las componentes de v . Ejemplos:  v = (6;−3)  4 . v = 4 . (6;−3) = ( 24 ;−12 ) 3   9 − . v =  − 9;  2 2 

y 3 2

−

9 6  3v

x

3 6 9 12 15 18 21 24  -3 v -6  -9 4v -12

-12 -9 -6 -3



 

3  2

1 3

 



4) Calculen los productos indicados. Consideren: u =  7;−  ; v =  ;5  y w = ( 3;2 ) . 

a. 4 . u =   b. 6 . ( w + u ) =   c. 8 . ( u −w) = d.

2   [ ( v − u ) + w] = 3

Producto Escalar de Vectores

    El producto escalar de dos vectores v = ( x1 ; y1 ) y w = ( x 2 ; y 2 ) lo simbolizamos v ∧ w y se define de la siguiente forma:   v ∧ w = x1 . x 2 + y1 . y 2

Ejemplo:     v = ( 2;3) y w = ( 4;−5) , v ∧ w = 2 . 4 + 3 . ( −5) = −7

  ˆ que forman, Otra forma de hallar el producto escalar entre los vectores v y w , conociendo el ángulo α es:   v ∧ w = cos

ˆ . α

  v . w

ˆ de la fórmula anterior, podemos calcular α ˆ , cuando no lo conocemos. Despejando cos α cos

  v ∧w  v . w

ˆ = α

  5) Calculen el producto escalar v ∧ w con los datos que se indican en cada caso.     ˆ = 45 º w = 6 α w = (1;4 ) a. v = (1;5) c. v = ( 4;−1)     ˆ = 210 º ˆ =90 º α α b. v = w = 3 d. v = 4 . w

El Vector Velocidad En un programa de entrenamiento para bomberos voluntarios, policías e integrantes de Defensa Civil de una comunidad se organiza un simulacro de incendio forestal en un campo cercano a un aeródromo. El

objetivo es demostrar cómo proceden desde el aire para sofocar el siniestro, protegiendo de esta manera a los habitantes de la zona. La demostración comienza cuando un avión, que se mueve horizontalmente a 150m/seg y en condiciones climáticas favorables, deja caer agua para humedecer el suelo y así evitar la propagación de las llamas. El instructor explica que la velocidad del agua, en sentido vertical, debida a la gravedad, es variable con en tiempo t, expresado en segundos, de acuerdo con la fórmula: 9,8 . t m/seg. 6) El vector velocidad del agua surge como la suma de dos vectores: uno en dirección horizontal, (150;0), y otro en dirección vertical, (0;-9.8 t). a) Hallen gráficamente el vector velocidad resultante al cabo de 10 segundos. b) Calculen analíticamente el módulo del vector velocidad resultante. c) Determinen gráfica y analíticamente el ángulo que forma el vector resultante con la componente horizontal. d) Indiquen cuántos metros antes hay que arrojar el agua desde el avión para que cumpla el objetivo, si llega al suelo 10 segundos después.