Vectores.doc 1y66p

VECTORES 1. Si a xb  2iˆ  4 ˆj  2kˆ, encuentre un vector paralelo a éste de modo que tenga un módulo de 10 unidades. 2. En la figura se muestra un cubo de arista b = 2 unidades en el cual hay un vector R que es la resultante de la suma de los vectores A y B. a) Encuentre ya sea las componentes rectangulares o las expresiones vectoriales de A y R. b) Determine el vector B. c) Aplicando producto escalar encuentre el ángulo entre los vectores Ay R. Rpta: a) 2(i+j-k), 2j-k, b)-2i +k, c) cos-1(0, 7746) 3. En la figura se tiene un paralelepípedo de lados 8u, 4u y 15u con los vectores fuerza A y B. Las magnitudes de los vectores son: A = 170 u, B = 120u. Encontrar: a) Los vectores A y B b) El producto escalar A.B c) El producto vectorial A x B Rpta. a) A=9,73(8i -4j + 15k); B= 6,87 (8i + 4j-15k) b) A.B = -11,8x103 c) AxB = 66,8(240j + 64k) 4. Se tienen los vectores A = - 3i + 2j – k, B = 3j + 5k y C = 2i – 4k. Encontrar: a) El vector P = (A. B) C + A y el ángulo que hace con el eje +X. b) El vector Q = (B. C) A - B y el ángulo que hace con el eje +Z. c) El ángulo entre los vectores P y Q. Rpta: a) P = - i + 2j – 5k;  = 100,5 b) Q = 60i - 43j + 15 k ; = 78,5  c)  =122,4 5. Dados dos vectores A y B. Si A = -5i + 3j – 8k y B = 4i –8j + k. Encuentre: a) El vector unitario perpendicular a ambos vectores. b) Hallar el ángulo que forman los vectores A y B. Rpta: a) –0,84 i – 0,37 j + 0,38 k b) 125,77 6. La figura muestra los vectores A, B, C, D, y E, si las magnitudes de los vectores A y C son A = 15 u, C = 10 u y  = 37º. Encuentre: a. Las componentes de los vectores A y C b. La suma R =A + B + C + D + E; c. El ángulo que forma el vector R con el vector A Rpta: a) A =-12i + 9j, C = 10 i b) R= -4i + 18j c) 40, 45º 



P y Q es un vector 7. La suma de dos  vectores    4 i 16 j  5 k . Halle: sabe que 3 P  2Q   a) Los vectores P y Q

    R  3 i  2 j 5k

, además se

b) El ángulo que forman dichos vectores.       Rpta: a) 2 i  4 j  3k ; i  2 j  2k ). b) 90 

8. En la figura se muestra el vector A cuyo modulo es 50N y que sigue la dirección de la diagonal mostrada. Halle: a) Un vector unitario en la dirección del vector  A



b) Exprese el vector A en componentes rectangulares.  c) El ángulo que forma el vector A con el  vector B .  d) El vector A x B . Rpta. a) 0, 54i+0, 71j-0,45k. b) 27,0i+35,5j-22,5k. c) 32,9°. d) 135j+216k 9. Dado los puntos A(3,4,5)m, B(5,2,0)m y C(-4,5,3)m en el espacio, determinar: a) Los vectores posición de los puntos A, B y C. b) El ángulo formado por los vectores OA y OB. c) La distancia del punto A a la línea de acción del vector OB. Rpta. a) (3i + 4j + 5k) m, b) (5i + 2j) m, c) (-4i + 5j +3k) m. b) 53º 10. Una fuerza F de módulo 4 6 tiene su origen en el punto C y tiene la dirección de la recta CD cuyas coordenadas son C ( 2, 4 , -1 ) y D ( 3, 2, -2 ).Halle:  a) La expresión de la fuerza F en componentes rectangulares. b) El vector torque con respecto al punto A (1,2,0 ) c) El ángulo entre el vector torque y la recta AB de coordenadas A (1,2,0) y B (3,1,3). Rpta. a) (4i-8j-4k)N. b) -16(i+k) Nm 11. Dado los vectores : A =2 i + 3 j + b k y B = 3 i – 5 j + 3 k , si se sabe que A y B son perpendiculares: a) Hallar b b) Calcular un vector unitario perpendicular a los vectores A y B. c) Determinar los ángulos que hace este vector unitario con cada uno de los ejes coordenados. Rpta. a) 3, b) 0,779i + 0,0974j – 0,617k, c) 38,8°, 84,4° y 128° 12. Las magnitudes de los vectores A y B son respectivamente 3 y 4 unidades. El ángulo entre ellos es de 60. y a) Cual es la magnitud del vector S = A + B A b) Cual es el ángulo entre el vector S y A c) Hallar un vector unitario perpendicular al vector A. Ver figura. B 60  Rpta. a) 6,08 b) 34,7° c)  k

x

13. La figura muestra un paralelepípedo rectangular de lados a=6cm, b=3cm y c=6cm. Determinar: uuur uuur a) Los vectores AG y DF b) El ángulo formado por las diagonales AG y DF c) Un vector unitario perpendicular al plano ODBF0.       Rpta. a)  3i  6 j  6k y 6i  3 j  6k , b) 38,9°, c) 

2  1  i  j 5 5

14. En la figura se muestra un cubo de arista a = 2m en el cual se encuentra el vector A, a lo largo de una diagonal. Calcular: a) El vector A en términos de i, j y k. b) Los ángulos entre el vector A y los ejes coordenados. c) Un vector unitario perpendicular al plano que contiene al vector A y al eje z. ( Use el producto vectorial )    Rpta. a)  2i  2 j  2k b) 125°, 125°, 54,7°   c) 

i

2



j 2

15. Respecto a la u figura mostrada, uur uu ur uuuu r determinar: a) Los vectores AC , BC y CM uuur b) El ángulo formado por los vectores AC y uuur BC c) Un vector unitario perpendicular al plano ABC. Nota: M es punto medio de BC Rpta. a) AC= – 2i +4k, BC = – 3j +4k, CM= 1,5j –2 b) 44,3° 

16. En la figura se muestra el vector d , que une los puntos A y B. Si un vector fuerza, de módulo F = 112 N, se aplica al punto A conla Z misma dirección y sentido que el vector d , determinar las expresiones cartesianas de : B  a) El vector dy el ángulo que éste hace con el eje Y.  b) El vector F 6m  d c) El vector torque de la fuerza F con respecto al Y 0 origen O. 5m Rpta. a) (-5i-8j+6k) m y 136º. b) (-50,1i-80,1j+60,1k) N A 8m c) (481i-301j)Nm. X 17. Respecto a la figura uuur mostrada, uuur uuudeterminar: u r a) Los vectores AC , BC y CM

uuur b) El ángulo formado por los vectores AC y uuur BC c) Un vector unitario perpendicular al plano ABC. Nota: M es punto medio de BC Rpta. a) (-2i + 4k), (-3j + 4k) y 1,5j – 2k) b) 44,3º, c) (0,77i + 0,51j + 0,38k) m 18. a) b) c) d)

Se muestra un paralelepípedo rectangular y los vectores A, B y C. Halle: Las expresiones en componentes rectangulares de los vectores A, B y C.     La resultante R  A  B  C El ángulo  entre los vectores A y B. El torque con respecto al origen O de un vector fuerza de modulo F = 100N y que tiene la dirección del vector C. Rpta. a) A = 6i + 5k, B = 6i + 8j, C = 6i – 8j + 5k b) R = 6i + 10k, c) 62, 6°, d) 358i -268j Nm 19. En el paralelepípedo mostrado se muestra un vector fuerza de modulo F=130N y que sigue la dirección OC. Halle: a) La expresión en componentes rectangulares de la fuerza F. (2p) b) La proyección vectorial de F en la dirección del vector OB. (2p) c) El torque de F con respecto al punto A. (1p) Rpta. a) (40i + 120j + 30k) N b) (40i + 30k) N c) (-360i + 120j) Nm 20.

Se tienen dos vectores conocidos:A = 2 i – j + 2 k B = - 2 i + 3 j – k. Encontrar: a) Un tercer vector C, tal que se cumpla la relación: A - B + 2 C = 0 ( 1 punto ) b) El ángulo entre los vectores A y B. c) El ángulo entre los vectores B y C. Rpta. a) C = -2i + 2j-1,5k. b) 143° c) 16,3 °

21.

uu r uu r La figura muestra un cubo de 2m de lado. Las fuerzas F1 y F2 actúan en los puntos P y Q. Determinar: uu r uu r a) El ángulo entre las fuerzas F1 y F2 (1 pto) b) Los vectores posición de los puntos P y Q. (1 pto) c) El torque o momento resultante de las fuerzas

uu r uu r F1 y F2 respecto del punto 0. Rpta. a) 113°, b) (2i +2j +2k) m y (2i + 2j) m, c) (-2i -2j -12k) Nm 22.

Se tienen dos vectores conocidos: A=3i –6j+4k B=-4i+5j–3k Encontrar: a) Un tercer vector C, tal que se cumpla la relación: A - B + 2 C = 0 b) El ángulo entre los vectores A y B. c) El producto vectorial A X B. Rpta. a) –3,5i +5,5j –3,5k b) 168 c) –2i –7j –9k 23.



La figura muestra dos vectores A y B el módulo del vector A es A = 500 u y el ángulo  = 37º. Si la suma de estos dos vectores es   R  900 j . Encuentre :  a) El vector B .   b) El ángulo que hace el vector R con el vector B

Rpta. a) -400i +600j; b) 33,7°

A  2i  3 j  4k 24. Dado los vectores y a) El vector R = (A.B) (A – B) b) El ángulo entre los vectores A y B. c) El ángulo entre los vectores R y A. d) El producto vectorial AxB. Rpta. a) 8i + 40j + 8k. b) 66° . c) 41° d) 17i -2j – 7k

B  i  2 j  3k

, encontrar:

25. Tres cubos iguales de lados a = 6,50 cm están situados en la forma indicada en la figura. a) Los vectores OA y OB b) El ángulo formado por estos vectores c) Un vector unitario perpendicular a OB y al eje X Rpta. a) 2aj + 2aj y ai + 2aj + 2ak, b) 19,5° c) (j – k)/21/2

  26. La figura muestra un cubo de arista a = 2 m y los vectores A y B de B  8 3 m, módulos y A 2m respectivamente.  Determinar.  a) Los vectores A y B   b) El ángulo formado  entre los vectores A y B c) El producto A  B

Rpta. a) (–i + k) y 8(i +j – k), b) 145°, c) -8i – 8k





27. La figura muestra un cubo de 2 m de arista y los vectores A y B de B  3 m, respectivamente. módulos A  5 2 m y Hallar.   a) Los vectores A y B   b) El ángulo formado por los vectores y A B   c) El producto A  B Rpta. a) 5i – 5k y -i –j +k , b) 145, c)

-5i – 5k

28. En la figura mostrada, los módulos de los vectores son A = 10u, F = 20 u y el ángulo  = 37°. Encuentre:   a) Los vectores A y F      b) El vector R  A  B  C  D   c) El ángulo que forma el vector R con F Rpta. a) (-6i+8j) u; (16i+12j) u; b) (20i+40j) u; c) 26,6˚

















29. Los vectores A  m i  2 j  10k y B  4m i  8 j  2m k son perpendiculares  entre si. Además se sabe que el ángulo que forma el vector A con el eje positivo de las x es menor que  70°. Determinar:  a) Los vectores A y B   b) Un vector de modulo 3 14 que sea paralelo al vector A  B   c) Un vector unitario paralelo al vector A  B         Rpta. a) A  4i  2 j  10k , B  16i  8 j  8k     b) D  6i  3i  9 j  c) u 

  i 2 j 5





30. La figura muestra un cubo de arista a = 2,00 m y los vectores A y B de módulos a  1,50 m y B  35,0 m, respectivamente. Determinar:   a) Los vectores A y B   b) El ángulo formado por los vectores A y B   c) El producto A  B Rpta. a) b) c)

A = 1,06(i-k); B= 20,2(-i-j+k) 145o -21,4(i+k)

31. En el paralelepípedo de la fig. se muestra un vector fuerza de modulo F = 943,4 N y que sigue la dirección AQ . Halle: a) La expresión en componentes rectangulares de un ˆ que tenga la dirección de AQ vector unitario u  b) La expresión vectorial de  F. c) El ángulo entre el vector F y el vector AD . Aplique el producto escalar.  d) El torque de F con respecto al punto O. Rpta. a) 0,424i+0,848j- 0,318k b) 400i+800j-300j N; c) 32,0; d) -2400i +1200j Nm 32. El cubo de la figura tiene 2m de arista; sobre él se muestran dos vectores A y B. Halle: a) La expresión en componentes rectangulares de los dos vectores.    b) El vector suma: S  A  B , también en componentes rectangulares.   c) El vector producto vectorial: A x B , también en componentes rectangulares. d) El ángulo que forman los vectores S con A. Rpta. a) A = -2i+2j; B 0 -2i-2j-2k, b) -4i-2k, c)-4i+4j+8k, d)50,8o 





33. La figura muestra los vectores A , B y C . Determinar el vector     ˆ . i , ˆ j y k S  A  B  C en términos de los vectores unitarios ˆ

Rpta. 6i – 10j







34. Las fuerzas F1 , F2 y F3 se muestran en la figura, donde el módulo de las tres fuerzas igual a 80 41 N. Determinar: a) La fuerza resultante. b) El ángulo que forma la fuerza resultante con el eje +Z. c) El torque resultante respecto al punto B. Rpta. a) (240 i + 1140j +320k)N; b) 74,6 ; c) (-2920i + 2190j - 1232 k) Nm

35. La figura muestra un paralelepípedo rectangular de lados a = 6,50 cm, b=3,20 cm y c=6,80 cm. Determinar: a) Los vectores AC y CE b) El ángulo formado por las diagonales AC y CE

c) Un vector unitario perpendicular al plano ACGEA.

Rpta. a) (-3,20i +6,50j) cm; (3,20i -6,50j -6,80k) cm; b) 137; c) -0,897i – 0,442j 36. En la figura se muestra un paralelepípedo rectangular, en el cual hay un vector   que es resultante de la resta de los vectores a - b . Halle: a) Las expresiones en componentes rectangulares de los vectores   a y d .  b) El vector b .   c) La suma de a  b   d) Calcule el ángulo entre los vectores a y d aplicando el producto escalar e) Vector unitario perpendicular al plano formado por a y b: Rpta. a) 4i – 6j; 4i-6j+8k; b) -8k; c) 4i-6j-8k; d) 48,0˚ ; e) 0,832i +0,555 j

 d,

ur ur ur ur 37. La figura muestra los vectores A , B , C , D y ur ur ur E , en donde los módulos de lo vectores C y D son 20N y 10Nurrespectivamente. Determinar: ur a) Los vectores C y D en función de los vectores r r unitarios i y j . ur b) El vector resultante R en función de los vectores r r unitarios i y j . ur ur c) El ángulo entre los vectores C y R . Rpta. a) (18,1i+8,45j) N; (-6,02i+7,99j) N; b) (24,2i + 32,9j) N; c) 28,7° ur ur ur ur ur ur 38. La figura muestra los vectores A, B, C , D y E . Si los módulos de los vectores A ur y D son respectivamente 20N y 40N. ur ur a) Hallar los vectores A y D en función de los r r vectores unitarios i y j . b) uDetermine r ur ur el ur vector ur urresultante R  A  B  C  D  E en función de los r r vectores unitarios i y j . ur ur c) El ángulo formado por el vector R y D . d) El producto vectorial A XR . Rpta. a) (-16i+12j)N; (24i-32j)N; b) (16i-40j) N; c) 15°

39. En la figura se muestra a los vectores . a) Determinar las expresiones de los 3 vectores en función de sus componentes en los ejes X, Y y Z. b) Efectuar: ( x ). c) Hallar el ángulo formado por ( + ) y ( - ).} Rpta. A) -3i+5j-2k; -2i+5j+4k; 2i+2j-4k, b) -112; c) 105

40.

La fuerza resultante de las 4 fuerzas concurrentes que actúan sobre la argolla es = 800 N. Determine: a) El ángulo que especifica la dirección de la fuerza de 900N. b) El modulo de la fuerza Rpta. a) 26,3°; b) 408 N

41.

El paralelpipedo mostrado, tiene dimensiones a = 3,5 cm, b = 4,2 cm y c= 12 cm. Se aplica una fuerza de 30N en el punto B. Halle: a) El vector unitario en la dirección de F y la expresión vectorial de F, en términos de los vectores i, j, k. b) El ángulo que forma el vector F con el vector BA. c) El vector perpendicular formado por los vectores F y BA. Rpta. a) (0,318i + 0,265j + -0,909k); 9,54i + 7,95j – 27,3k); b) 15, 4˚; c) (-95,4i -0,18j -33,4k) 42. a) b) c)

La figura muestra gráficamente cuatro vectores ubicados en el plano XY. Expresar cada vector en el plano XY en función de los vectores unitarios i, j.       R  ( A  B ) C  ( B  D) Encontrar el vector :   El ángulo entre los vectores R y D

Rpta. a) 12j; 16i; -9,0i+10,7j; 10,7i+9,0j; b) 144k; 90° 43.

En la figura se muestra un prisma de bases rectangulares paralelas de lados ab = fg = 6,00 m y oa = ef = 4,00 m ,lado af = bg = 12,0 m y ángulo

formado con el eje Z, β= 35˚. La cara ocde se encuentra en el plano YZ. Determine: a) Los vectores

y

b) El ángulo que forma el vector

con el eje Z

c) Un vector perpendicular a la cara oafe. Rpta. a) (6,88j+9,83k) y (-4,00i +6,88j + 9,83k) ; b) 38,7°; c) (-39,3j + 27,5k)

44. a) b) c)









P y Q es un vector S  5 i La suma de dos vectores      2 P  4 Q   2 i  16 j  28 k . Halle: se sabe que:   Los vectores P y Q El ángulo que forman dichos vectores   El producto vectorial P  Q

   j 2k

, además

Rpta.a) (3i-2j+6k) y (2i+3j-4k); b) 130º; c) (-10i+24j+13k) 45.

En la estructura mostrada, determinar: a) Los vectores b) El ángulo formado por dichos vectores c) Un vector unitario perpendicular a dichos vectores

Rpta. a) (-4,5j) m y (-4,5i +4,5j +30k) m; b) 98,4° c) 0,989i + 0,148 k

46.

En los vértices P y R de un paralelepípedo rectangular Se aplican las fuerzas F1 y F2 en las direcciones y sentidos mostrados en la figura. Las magnitudes de F1 y F2 son respectivamente 50N y 100N. Si el vértice Q tiene como coordenadas ( 1 , 4 , 3 ) m Hallar:

a) Las fuerzas F1 y F2 en términos de los vectores unitarios i , j , k. b) El ángulo que forman las diagonales mostradas en líneas interrumpidas. c) El torque (τ= rXF) de F1 y F2 con respecto al punto O. z

F1

Q

P O x

y R

F2

Rpta. a) (9,8i -39,2j+29,4k) N y (19,6i +78,4j -58,8k) N; b) 157˚; c) (118i -39,2j) Nm y (235i +58,8j) Nm 47.

Los puntos O(0;0;0), A(1;0;0), B(0;2;0) y C(0;0;3) son los vértices de un tetraedro, como se muestra en la figura. Determine:

a) Los vectores

y

, en función de los vectores unitarios

. b) El vector

.

c) El ángulo entre los vectores

y

.

Rpta. a) (-i+2j); (-i+3k); b) (-i+6j-6k); c) 81,9 ˚ 48. Dados los vectores a = 2 i - 5 j - k y b = 6 i - 10 j - 3 k Determinar: a) El vector unitario del vector 3 a - b b) El producto escalar a.b c) El producto vectorial b x a d) El producto escalar [a x b ] . [ b x 2a ] e) Si a y b tienen el mismo origen hallar el vector proyección de a sobre b Rpta. a) –j; b) 65; c) (-5i-10k); d) 250 ; (2,69i -4,48j – 1,34k) 49. En el paralelepípedo de la figura de lados a = 3,00 m, b = 3,00 ur ur m ur y ur c = 6,00 m, se muestranur los vectores A, B, C y D . Si el módulo del vector D es 20,0 m. Determinar: ur ur ur ur ur a) El vector R  A  B  C  D . ur ur b) Un vector unitario  al plano formado por C y D ur ur ur r r r c) El vector Q  2i  2 j  ak , tal que R  Q . Rpta. a) (14,2i +14,2j + 16,3k) m; b) (i-j)/1,41; c) (2i + 2j -3,48k) m 50. Dados los vectores A = -i + 3j +5k y B = 2i + 3j – k. Obtenga el ángulo entre el vector A y un vector perpendicular al plano que contiene a los vectores A y B. (1,0 pto) Rpta.90° z

ur A x

ur B ur

C

y

51. Responda y/o complete, según corresponda: Si la arista del cubo de la figura mide 5 unidades. Halle la expresión de los vectores mostrados en función de los vectores unitarios cartesianos y el ángulo entre los vectores . Rpta.(-5i-5k); (-5i-5j); (-5i+5k); 60° 52. El paralelepípedo mostrado en la figura tiene dimensiones a= 4 cm, b = 3 cm y c= 4 cm. Las Fuerzas F y G de 10 N y 20N respectivamente siguen las direcciones mostradas en la figura. Encuentre a) Las expresiones vectoriales de F y G en términos de los vectores unitarios en las direcciones x, y , z. b) El ángulo que forman F y G. c) Un vector perpendicular al plano formado por F y G. Rpta. a) F= (7i + 7k) N; G = (-12,4i + 9,4j -12,4k) N; b) 29, 8°; c) 65, 8(-i+k) 53. Con los siguientes vectores,

y

. se pide

a) El ángulo formado por ellos b) La componente del vector F con respecto al vector G c) Un vector de 10 m de longitud que sea perpendicular a los dos vectores Rpta. a) 44, 5°; b) 2, 94 m; c) 5,55i – 8,32k