3333333333333333333333 464l2f

EJERCICIOS RESUELTOS DE HIDRAULICA 1

NELAME

4. MANOMETROS 23. Determine el ángulo del tubo inclinado, si la presión en A es 2 psi mayor que en B.



Calculo de la presión en A desde el recipiente abierto, Patm=0 (



)( )

Determinando el ángulo: según la regla

(

)

24. En el manómetro de la fig. se usa para medir la diferencia de los niveles de agua en los tanques. Calcular esta diferencia, si h= 380 mm y la densidad relativa del aceite es de 0.9.

Haciendo el esquema y acotando las distanacias y ssegún la regla:

(

DR. NESTOR JAVIER LANZA MEJIA

lunes, 28 de enero de 2013

)

(

) PAGINA - 18


NELAME

el valor de H seria:

(

)

25. En el manómetro de la fig. se usa para medir la diferencia de los niveles de agua en los tanques. Calcular esta diferencia, si h= 380 mm y la densidad relativa del aceite es de 0.9, si la presión en el punto M es de 0.25 kgf/cm2.

Haciendo el esquema y acotando las distanacias y ssegún la regla:

De la geometría:

(

)

por lo tanto: (

)

Conclusión: el depósito D deberá estar por encima del depósito A una altura de 2.462 m para generar una presión 2 de 0.25 Kgf/cm . DR. NESTOR JAVIER LANZA MEJIA


PAGINA - 19


NELAME

26. Los niveles del depósito A es igual al depósito B cuando están cerrado, después a uno de ellos se le abre y actúa la presión atmosférica y el líquido desciende Δh/2. Calcular la presión P, si h=D2=2d2 (los depósitos son cilíndricos).



Cuando al depósito B se le abre actuando la presión atmosférica, el nivel del líquido manométrico en la parte derecha del manómetro en forma de U desciende una cantidad h e igual asciende en la parte izquierda del manómetro en forma de U, tal como se muestra en la figura.

Según la regla: [ DR. NESTOR JAVIER LANZA MEJIA

(

)]

(

)

(

)


(

) PAGINA - 20




NELAME

Según la ley de conservación de la materia, V1 = V2, o sea, que el volumen desplazado en el depósito es igual al volumen desplazado en el manómetro: ( )



La presión P seria: (

)

(

)

27. El depósito está lleno de agua y mide 5 pies de longitud. La lectura del manómetro conectado al depósito es de 7 psi. Determine : a) la altura h en la columna de agua abierta, b) la presión manométrica que actúa sobre la superficie inferior AB del depósito, y c) la presión absoluta del aire en la parte superior del mismo si la presión atmosférica local es de 14.7 psi (abs).



Conversión de unidades

a. La altura h en la columna de agua abierta. Según la regla: ( ) b. La presión manométrica que actúa sobre la superficie inferior AB del depósito Según la regla: ( ) c.

La presión absoluta del aire en la parte superior del mismo si la presión atmosférica local es de 14.7 psi (abs).

Según la regla:



PAGINA - 21


( )

(

NELAME

)

28. El menisco entre el aceite y el agua se encuentra en la posición mostrada, cuando P1= P2. Calcular la diferencia de presión (P1 – P2) que hará que el menisco ascienda 50 mm. Haga el esquema resultante.



Calculando la densidad del aceite, cuando P2=P1.

Según la regla: ( 

)

Calculando la diferencia de presión cuando el menisco ascienda 50mmm, haciendo un esquema resultante:

El volumen en recipiente de 50mm de diámetro ascenderá una altura H produciendo un volumen V1 (igual pasaría en el otro recipiente, lo único que el nivel descendería la misma altura) que sería igual al volumen en el tubo manométrico que asciende una altura h=500mm produciendo un volumen V2, donde estos volúmenes son iguales, por lo tanto: (

)

(

)

(

) (

)

Según la regla:



PAGINA - 22


(

)(

NELAME

)

29. Calcular h en la figura. ¿Cuál sería el valor si los espacios llenos de aire en la figura estuvieran llenos de agua?



Calculo de h, cuando en el tubo manométrico tiene aire:

Según la regla:

( 

)

Calculo de h, cuando el tubo manométrico tiene totalmente de agua:

Según la regla: (

)

30. Un manómetro de agua y mercurio tiene una diferencia manométrica de 500 mm (diferencia en elevación de los meniscos). Determine la diferencia de presión en mica. Haga el esquema.



La diferencia de presión entre los recipientes es:



PAGINA - 23


NELAME

Según la regla: (

)

31. Dos recipientes pequeños están conectados a un manómetro de tubo en U que contiene mercurio (densidad relativa 13.56) y los tubos de conexión están llenos de alcohol (densidad relativa 0.82). El recipiente que se encuentra a mayor presión está a una elevación de 2 m menor que la del otro. ¿Cuál es la diferencia de presión entre los recipientes cuando la diferencia estable en el nivel de los meniscos del mercurio es de 225 mm? ¿Cuál es la diferencia en carga de altura piezometrica? Si se usara un manómetro en U invertido conteniendo un líquido de densidad relativa 0.74 en lugar del anterior, ¿Cuál sería la lectura del manómetro para la misma diferencia de presión? Haga el esquema.



La diferencia de presión entre los recipientes es:

Según la regla:

(

) (





)(

( )(

)

(

)

)

La diferencia en carga de altura piezometrica (tomando como referencia el recipiente A) (

)

(

(

)

(

(

)

)

(

)

(

)

(

)(

)

)

Cuál sería la lectura manométrica Δh, el tubo es invertido, el esquema seria: (


)


PAGINA - 24


NELAME

32. Despreciando el peso del recipiente encuentre a) la fuerza que tiende a levantar la tapa circular CD, b) la carga compresiva en la pared del tubo en A-A y c) encuentre la fuerza del aceite en la superficie superior CD, si el nivel del líquido en el tubo abierto se reduce 1 pie.

a) Calculando la fuerza que tiende a levantar la tapa circular CD: 

La presión que se ejerce en la tapa CD:

Según la regla: (

) 2

La presión seria: PCD= (2.4) (62.4)=149.8 lb/pie , la fuerza que se ejerce en la tapa seria: (


)[ ( ) ]


PAGINA - 25


NELAME

33. En la figura se muestra un manómetro que se utiliza para indicar la diferencia de presión entre dos puntos de un tubo. Calcule (PA– PB).



Haciendo un esquema del manómetro diferencial:

Según la regla:

( ) (


)


PAGINA - 26


NELAME

34. La tubería y la conexión B están llenas de aceite de densidad relativa 0.9 bajo presión. Determine la elevación del punto A en pies. El líquido manométrico es de mercurio.



Determinando la presión en B, según el manómetro:

Según la regla:

( )

(

)

Como el líquido que se conduce es aceite a presión esta lectura piezometrica, hay que convertirla a columna de aceite, o sea:

Expresando la presión en el punto A, como columna de aceite: ( 

)

Determinación de la elevación del punto a en pies, se debe aplicar la ecuación de Bernoulli en las secciones A y B, donde la carga de velocidad en la tubería son iguales: Datum en B.



PAGINA - 27


NELAME

35. Predecir la lectura del manómetro después de que se haya colocado sobre el platillo un peso de 1 N. Suponer que no hay fuga ni fricción entre el embolo y el cilindro.



Calculo de la presión que genera el peso del platillo correspondiente a la lectura manométrica de 75mm de mercurio.

Según la regla: (

)(

)(

(

)

)(

)(

)

Cuando se le aplica un peso de 1 N al platillo habrá un volumen generado en el depósito de aceite que descenderá una altura H, de forma semejante sucede en el manómetro de forma de U, en la derecha descenderá una altura h y en la parte izquierda ascenderá la misma altura h. ambos volúmenes son iguales por la transmisión de la presión, por lo tanto la relación de estas alturas es: ( ⁄ )

(

⁄

)

La presión que genera 1 N en el platillo seria: (

)

El esquema que genera seria, colocar en el platillo:



PAGINA - 28


NELAME

Según la regla: (

)(

)(

(

)

)(

)(

)

La lectura del manómetro después de que se haya colocado sobre el platillo el peso de 1 N será: 2(1.7)+75= 78.4 mm.

36. En el aire del recipiente de la izquierda de la fig., está a una presión de -200mm de mercurio. Para las condiciones mostrada determinar la cota del líquido manométrico en la parte derecha en el punto A.

Según la regla: (


)(

)(

)

(

)(


)(

)

(

)(

)

PAGINA - 29




NELAME

Realizando la conversión:

37. En la fig. A contiene agua y el fluido manométrico tiene una densidad relativa de 2.94. Cuando el menisco izquierdo esta en cero en la escala para PA = 100 mmca. Encuentre la lectura en el menisco derecho para PA = 8 KPa sin ningún ajuste del tubo en U, o de la escala. Haga todos los esquemas.



La lectura del manómetro cuando



La lectura del manómetro cuando PA=8 KPa. Haciendo la lectura cuando desplaza una altura x en el lado izquierdo por la condición de , y se eleva la misma

, según la regla:

altura x en el lado derecho. El esquema seria:

Según la regla: ( (

) )

(

(

) )

La lectura seria: hA +x= 0.238+0.15=0.388m.



PAGINA - 30


NELAME

5. FUERZA HIDROSTATICA EN SUPERFICIE PLANA

38. Calcular la magnitud y la posición del empuje hidrostático sobre la compuerta circular mostrada en la figura.

a. Determinación de la altura de agua sobre la compuerta circular, haciendo una equivalencia de presiones en altura de agua, tenemos: 2

Para la presión de 3 kgf/cm , la altura de agua sería de 30 mca. 2

Para la altura de 2m de aceite con un peso específico de 900 kgf/cm seria: ( ) La altura H, resultante sería: 30 mca + 1.8 mca + 4.75 mca =36.55 mca hasta la superficie del agua.

b. Calculo de la fuerza hidrostática: ( c.

)(

)

(

)

Ubicación de la fuerza hidrostática desde la superficie del agua: (


)(


)

PAGINA - 31


NELAME

39. Una compuerta circular de 1.2m de diámetro en el lado vertical de un depósito se cierra por medio de un disco circular que ajusta apenas en la abertura y esta pivoteado sobre un eje que pasa a través de su diámetro horizontal. Si el nivel del agua en el depósito se hallara arriba de la parte superior del disco, Calcúlese el momento de volteo sobre el eje requerido para mantener vertical al disco. Haga el esquema.



La fuerza hidrostática:



Su punto de aplicación: hcg = ycg por que la pared esta vertical.



El valor del momento de volteo seria: (

)(

(

)

)(

)

(

)

40. Determine la fuerza que se necesita emplear para elevar la compuerta mostrada, con los siguientes datos: W= 300 kgf (peso de la compuerta), si el ancho de la compuerta es de 1.5 m, h= 4m, L= 2m y µ=0.10 (coeficiente de fricción).



La fuerza hidrostática: (

) (



(

(

) )(

)( )

)( )( )

La fuerza F para levantar la compuerta:

(


)


PAGINA - 32


NELAME

41. Sobre un lado de un muro rectangular de 5.0m de alto, el agua llega a 4.40m de altura, suponiendo que el peso volumétrico de la mampostería es de 2200 kgf/m3 y que no hay fuga debajo de la presa, (a) ¿Cuál debe ser el largo de la base con un metro de ancho para que la resultante de la reacción del piso sobre el muro intercepte a este a una distancia L/3 del paramento seco? (b) suponiendo que el muro puede girar alrededor del eje formando por la intersección del paramento seco con la base, sin romperse la mampostería. ¿Cuál es el coeficiente de seguridad contra el volcamiento bajo las condiciones anteriores? (c) ¿Cuál es la variación de las fatigas de compresión del paramento seco al paramento mojado? Haga el esquema. a) Haciendo el esquema y considerando un metro de ancho Suponiendo una ancho de un metro, volumen del muro seria (

)(

)

(

)

El peso del muro seria (

)(

)

b) Determinando la fuerza hidrostática y su punto de aplicación La fuerza hidrostática: (

)(

)(

)

Su punto de aplicación ( )( (

)(

) )

Para que haya un equilibrio, los momentos de los pares restaurador y volcador deberán ser iguales; para eliminar dos fuerzas se tomara momento con respecto al punto M, situados a un tercer de B, desde el paramento seco, podemos obtener el largo del muro como:

(

( )

)(

)( )

√

El peso de la mampostería seria: (

)

El momento par restaurador seria: (

)(

)

El momento máximo que se puede obtener para el par restaurador es cuando R n pasa por S y es igual a:

(

)(

)

c) El coeficiente de seguridad contra el volcamiento seria:



PAGINA - 33


NELAME

Cuando no hay almacenamiento, el muro esta sujeto a dos fuerzas únicamente, que son su peso propio W, y la reacción normal debido a la cimentación Rn, ambas fuerzas son de igual intensidad, colineales y opuestas y están en equilibrio. Cuando empieza a haber almacenamiento, empieza el empuje del agua contra el muro y empieza a aparecer el empuje hidrostático que tiende a dos cosas: 1. A volcar el muro alrededor del eje S formado por la intersección del paramento seco y la base, y 2. A hacerlo deslizar sobre el plano de cimentación E-S. Si el muro permanece en equilibrio quiere decir que los efectos de estas tendencias han sido nulos, el primero por un deslizamiento paralelamente de la reacción normal Rn hacia aguas abajo, y el segundo por la aparición de una fuerza horizontal Rt, como una reacción tangencial, de igual intensidad que el empuje hidrostático. Este sistema de fuerza está en equilibrio. El fenómeno también se puede interpretar de la siguiente manera: El empuje hidrostático origina un esfuerzo cortante y además un desplazamiento del peso W paralelamente así mismo y hacia aguas abajo. Se puede agregar dos fuerzas iguales a W, colineales y de sentido contrarios que por estar en equilibrio no afectan el sistema de fuerza y en cambio se pueden hacer algunas consideraciones. Las fuerzas W 1 y W 2 se harán pasar por el centro O de la base. W 1 produce un esfuerzo de compresión en toda la sección, el par W 2, W produce una flexión.

y

El momento del par de flexión seria: (

)(

)

Según la fórmula de la escuadría, la distancia de la fibra más fatigada es la extrema, situada a una distancia y=L/2 del eje neutro, esta fatiga vale: (

)( (

)(

) ) 2

La fibra del paramento seco y mojado tendrá respectivamente una compresión y una tensión de 11000 kgf/m .



PAGINA - 34


NELAME

Por otra parte, la carga W 1 produce una fatiga uniforme de compresión que es: (

)(

)

El resultado de la compresión de los dos efectos, el momento flexionante y el de la carga W 1 es un triángulo, por 2 lo tanto la fatiga en el paramento mojado es nulo y la fatiga del paramento seco es de 22000 kgf/m .

En la práctica los muros de retención de agua, tienen generalmente una sección trapecial de esfuerzos. 42. En la figura la compuerta AB tiene su eje de giro en B y su anchura es de 1.20m. Que fuerza vertical debe aplicarse en su centro de gravedad necesaria para mantener la compuerta en equilibrio.



La fuerza hidrostática:



PAGINA - 35


(



)(

(

)(

)(

)(

)

)(

)

)(

)

)

Su punto de aplicación: ( (



NELAME

Haciendo un diagrama de fuerza y aplicando momento en el giro B. (

)

(

)

(

)

43. Determínese el momento con respecto al punto A que se requiere para mantener la compuerta mostrada en la figura. Ancho de la compuerta es de 4 ft.



PAGINA - 36




NELAME

La fuerza hidrostática: ( )( ) (



)( )(

)

Su punto de aplicación: ( )( ) ( )(



)

Haciendo un diagrama de fuerza y aplicando momento en el giro A: (

)[

(

)]

44. Si la figura representa un aliviadero automático de presa AOB. El ángulo AOB es rígido; OA = 150 cm.; OB = 180 cm. La hoja OA tiene un peso de 3000 Kgf. y la hoja OB tiene un peso de 3600 kgf. La dimensión normal al dibujo es de 4 m. Despréciese el rozamiento en O y B. W es un contrapeso cuyo centro de gravedad se encuentra a una distancia de 165 cm. de O. El aliviadero esta en equilibrio cuando el nivel de agua se encuentra como en la figura. Calcular: a) Fuerza debida a la presión de agua sobre OA, b) Centro de presión sobre OA (distancia desde O), Fuerza de presión sobre la hoja OB, d) Valor del contrapeso.



PAGINA - 37


a. Fuerza hidrostática presión en OA (

)(

)( )(

debida

a

NELAME

la

)

Su punto de aplicación: ( )(

)

( )(

)

b. Distancia des el centro de presión al punto O:

c. Fuerza de presión sobre OB (

)(

)( )(

)

Su punto de aplicación: ( )( ( )(

) )

La distancia del centro de presión al punto O:

d. Valor del contrapeso, W Construyendo el diagrama de cuerpo libre, aplicando sumatoria de momento con respecto al punto o. tenemos. ( )∑ (

)

(


)

(

)

(

)

(

)


PAGINA - 38


NELAME

45. En el paramento mojado de un muro rectangular de mampostería de 3 m de espesor y de 5 m de altura, el 3 agua llega a 4.40 m de altura. Suponiendo que el peso volumétrico de la mampostería es de 2200 kgf/m y que no hay fugas bajo la presa. ¿Dónde interseca la base la reacción total y cuál es el factor de seguridad contra el volcamiento y cuál es el factor de seguridad contra el deslizamiento, si el coeficiente de fricción entre el piso y el muro es de 0.57? Haga el esquema. a) Haciendo el esquema y considerando un metro de ancho

b) Determinando la fuerza hidrostática y su punto de aplicación La fuerza hidrostática:

(

)(

)(

)

Su punto de aplicación ( )( (

)(

) )

c) Idealizando el sistema de fuerza



PAGINA - 39


NELAME

Tomando momento en el punto M con el objeto de anular los momentos que pueden producir la fuerzas R t y Rn, tenemos ( )( ) ( ) ( )( )( )( )( ) Podemos hacer el siguiente analice:  

Cuando no existe almacenamiento de agua, la línea de acción del peso W, pasaría por el centro de gravedad del muro igual a la fuerza normal Rn. Cuando empieza a subir el agua, empieza aparecer el empuje hidrostático y paralelamente con ello suceden dos cosas; aparece la fuerza tangencial R t igual a la fuerza hidrostática y por otra parte se desplaza Rn a 0.43 m hacia la derecha (punto M), del tal manera que el momento del par F hid*Rt es contrarrestado por el momento de par W*Rn.

El momento máximo del par W*Rn (momento de restauración) se obtiene cuando R n se ha desplazo lo máximo posible, es decir pasa por S y es igual a ( )

(

)(

)

El momento de volcamiento seria ( )

(

)(

)

d) El coeficiente de seguridad contra el volcamiento

La reacción máxima Rt que puede oponerse al deslizamiento del muro es (

)(

)

Y la fuerza actual que tiende a producir deslizamiento es F hid= 9680 kgf e) El coeficiente de seguridad contra el deslizamiento



PAGINA - 40


NELAME

6. FUERZA HIDROSTATICA EN SUPERCIFIE CURVAS 46. La compuerta de la figura tiene un radio de 30.5m y L=6.10m de longitud. ¿Qué valores tienen las reacciones en el eje de O debida a la acción del agua, Si H= 2.13m?



Determinando la componente horizontal de la Fuerza Hidrostática, haciendo un esquema:

( 

)(

)(

)(

)




)(

)

)(

)

Determinando la componente vertical de la Fuerza Hidrostática, haciendo un esquema y determinando el volumen de cuerpo de presión:

Los segmentos son: OB = 3.05m, OD = (3.05 - 2.13) = 0.92m. Por Pitágoras obtenemos el segmento ) ( ) √( , y el ángulo ( ) . El volumen del cuerpo de presión seria: (


)

(


)

(

)

PAGINA - 41


(

) (

)

( (



) ( )(

(

) )(

NELAME

)(

)(

)

)

Los centroides de cada área específica seria: (

Para un cuarto de círculo:

)

(

Para un sector circular: α = radianes,

) (

(

⁄ ) ⁄ )

Haciendo momento con respecto al eje OA, para obtener su punto de aplicación. (

)(

)

(

)(

)

(

⁄ )

(

)[( ⁄ )(

)]

Construyendo el diagrama de cuerpo libre, aplicando momento con respecto al punto O. 

La reacción horizontal : Fh = Rh = 135.75 KN



La reacción vertical: Fv = Rv = 1583.43 NK



La reacción del momento: ∑ (

)(

)

(

)(

)

El signo del momento de Mo, implica que su dirección es contraria la cual se propuso.



PAGINA - 42


NELAME

47. El cilindro mostrado tiene 3.05m de longitud y 2.44 m de diámetro. Si se supone que en A el ajuste no deja pasar el agua y que el cilindro no puede girar. ¿Qué peso debe tener el cilindro para impedir sus movimientos hacia arriba, si el coeficiente de fricción es de 0.150?



Calculo de la fuerza horizontal: (

)(

)(

)(

)(

)

Su punto de aplicación: (


)


PAGINA - 43




Calculo de la fuerza vertical: (

)(

Su punto de aplicación:



NELAME

)( (

)

)

Determinando la fuerza de fricción: Determinando la fuerza normal al desplazamiento vertical del cilindro: ∑

La fuerza de fricción debido al desplazamiento: ( 

)(

)

Haciendo un diagrama de cuerpo libre y suma de fuerzas verticales:

(


)

(

)


PAGINA - 44


NELAME

48. El cuarto de cilindro AB tiene 3m de longitud, calcular la magnitud, dirección y localización de la fuerza resultante debida al agua sobre AB. Si h = 2.4m y r = 1.5m.



Calculo de la fuerza horizontal: (

)(

)(

)(

)(

)




)(

)

)(

)


)(

)(

)

Su punto de aplicación: (


)(

)(

⁄ )

(

)

( )(


)

PAGINA - 45




Magnitud:



Dirección:

√(

) (



(

NELAME

)

)

Ubicación:

49. La compuerta pesa 300 Lb/pie, su centro de gravedad está a 1.5 pie de la cara vertical y 2 pie arriba de la cara horizontal. Tiene su gozne en O. Encuentre h para que la compuerta disponga de la posición mostrada.

Asumiendo un ancho unitario (1 pie), obtenemos el peso de la compuerta de W = 300 lbs y su posición esta 1.5 pie de la cara vertical. 

2

Calculo de la fuerza hidrostática horizontal: ρ = 1.94 slug/pie, g = 32.2 pie/s . (

)(

)

[ ]

su punto de aplicación:



PAGINA - 46







NELAME

)(

[ ]

)

Aplicando momento en O, ∑ ( )

(

)

(

)

La resolución se hizo por métodos numéricos, Newton – Rawson, también se puede determinar por el método de tanteo (prueba y error).



PAGINA - 47


NELAME

50. Calcúlese la fuerza F requerida para mantener la compuerta de la figura en posición cerrada, si R= 2 pie. El ancho de la compuerta es de 4 pie.



3

Calculo de la presión PB: γ agua = 62.4 lb/pie .

La presión en B, Según la regla ( 

)(

)( )

(

)( )

(

)(

)( )

Calculo de la fuerza hidrostática horizontal: (

)( )( )

(

)(

)(

)( )( )

Otra forma de calcular esta fuerza seria, convirtiendo la P B en columna de agua, así como el peso de la columna del líquido dr=0.90. Calculo de la columna del líquido para la presión PB: (

)(

)

Por lo tanto obtendremos una columna de líquido (dr=0.90) de 2.22 pie. (

)(

)(

)( )( )

De forma esquemática:

su punto de aplicación: ( )( ) ( DR. NESTOR JAVIER LANZA MEJIA


)( )( ) PAGINA - 48


NELAME

El brazo de la fuerza horizontal con respecto al punto B seria de (1.49-0.22)= 1.27 pie 

Calculo de la fuerza vertical:

El volumen del cuerpo de presión seria: (

)(

)(

(

)

)(

( ) (

)

)

Su punto de aplicación seria el centro de gravedad del cuerpo de presión:(tomando momento con respecto al eje CE) (

)(

)( (



)(

)

( )( )

) [

( )(

(

)

]

)

Calculo de la fuerza F: (tomando momento con respecto al punto B) ∑ ( )

(

)

(

)

51. Determine las fuerzas horizontal y vertical, debidas a la acción del agua sobre el cilindro de 1.8 m de diámetro por un metro de longitud.



3

Calculo de la fuerza hidrostática horizontal: γ agua = 1000 kgf/m .

Fuerza ejercida en el segmento CDA:



PAGINA - 49


(

)(

)(

NELAME

)(

)

Fuerza ejercida en el segmento AB:

(

)(

)(

)(

)

Fuerza hidrostática horizontal resultante es fuerza ejercida sobre CDA menos fuerza ejercida sobre AB, con un sentido de izquierda a derecha, o sea:



Calculo de la fuerza vertical:

El volumen del cuerpo de presión seria:



PAGINA - 50


(


)(

)(

)

(

(

)(

) (

)

(

NELAME

)(

)(

)

)


PAGINA - 51


NELAME

7. FLOTACION

52. Determine el momento en el punto O, producido por una esfera de radio de un metro y densidad relativa de 3.0 sumergida en agua.

a) Del diagrama del cuerpo libre producido por la flotación, tenemos:

( (

)(

)[

( ) ](

)

)

La fuerza Fv tiene sentido contrario al tomado en el DCL. b) Del diagrama del cuerpo libre del sistema de fuerza, tenemos:

(

)

53. En un recipiente lleno de agua y aceite, densidad relativa del aceite es de 0.9, se sumerge totalmente un pedazo de cera (densidad de la cera de 0.96). ¿Determine que parte del volumen de la cera está sumergida en el agua y cual parte quedaría en el aceite? Haga el esquema. 

Haciendo un esquema.



PAGINA - 52


NELAME

El volumen de la cera seria: ( ) Del principio de Arquímedes: ( ) Despejando de la ec. 1, el volumen del aceite e introduciéndolo en la ec. 2, obtenemos: (

(

)

)

(

)

La fracción de la cera que está sumergida en el agua es: (

)

(

)

( (

) )

o sea, que Vagua sumergido (parte de la cera sumergido en el agua) es el 60% del volumen de la cera y el 40% quedara en el aceite.

54. Un cilindro de madera de 600 mm de diámetro parcialmente sumergido con densidad relativa de 0.50 tiene fijo un cilindro de concreto totalmente sumergido de 600 mm de largo del mismo diámetro, con densidad relativa de 2.5. Determine la longitud del cilindro de madera para que el sistema flote en equilibrio estable con su eje en posición vertical. Haga el esquema. 

Haciendo el esquema:



El sistema debe flotar si:



PAGINA - 53


NELAME

la fuerza de Arquímedes seria: (

)

(

)

(

) (

)

Las fuerzas correspondientes a los pesos de los cilindros:

(

)

(

)(

)

(

)

(

)(

)

(

) (

[ ] )

Calculando el valor de x:

Se observa que el calado esta en dependencia de la longitud del cilindro, donde hay que verificar si con este calado se tendrá un sistema estable, el cual deberá cumplir:

El centro de gravedad del cilindro de madera y del concreto: (momento con respecto al Datum) (

)

(

)( (

)

(

)

)

( (

) ( ) (

)( )(

)(

)

)

El centro de flotación del cilindro de madera y concreto: (momento con respecto al Datum) (

)

El momento de inercia de la sección transversal: (

)

El radio metacéntrico seria: (

) (

)

Sustituyendo el valor de x=f(L) y verificando la estabilidad: [(

)

(

)]

Utilizando métodos numéricos, obtendremos L ≥ 4.71 m.

55. Un flotador cubico de 120 cm de lado pesa 180 kgf y se ancla mediante un bloque de cemento que pesa 680 kgf en el aire. El flotador está sumergido 23 cm cuando la cadena que la une al bloque de cemento esta tensa. ¿Qué subida de nivel de agua hará separarse del fondo al bloque de cemento? El peso específico del 3 cemento es de 2400 kgf/cm . Haga el esquema. 




PAGINA - 54


NELAME

Por el principio de Arquímedes resulta que el peso del flotador cubico y el bloque de cemento será igual a la fuerza de empuje producida por el flotador cubico y el bloque de cemento, o sea: (

) (

)

Los volúmenes desalojados correspondientes a del flotador y del bloque son: (

)(

)(

)

Sustituyendo, obtenemos (

): [

(

)

]

56. El orificio redondo en el fondo del depósito va tapado con una bola cuyo peso es igual a G y de radio r. ¿Cuál es la fuerza necesaria aplicarse a la bola para elevarla?, si H = 4r, √



Para determinar la fuerza necesaria debemos construir los cuerpos de presión.



PAGINA - 55


NELAME

Según el cuerpo de presión, la fuerza de presión sobre la esfera de arriba – abajo es igual al peso del líquido en el volumen del cilindro de diámetro √ y de altura de 3r, o sea, VEFGH menos el peso del líquido en el volumen del casquete esférico de altura r/2, o sea VGKH, como se muestra en la figura.

Según el cuerpo de presión, la fuerza de presión sobre la esfera de abajo – arriba es igual al peso de la faja esférica de altura r, o sea, VGCDH menos el peso del cilindro de la misma altura y de diámetro √ , o sea VGCDH, como se muestra en la figura.



Calculo de los volúmenes de cuerpo de presión:

Volumen del cilindro: [ √ ] ( (

Volumen del casquete esférico:

)

)⁄ (

⁄ )

⁄

(⁄ ) (

)

Volumen del casquete esférico lateral: [ 

(

( √ ) ( ))]

Calculo de las fuerzas: (


)


PAGINA - 56


NELAME

Aplicando sumatoria de las fuerzas verticales que es igual a la fuerza necesaria para levantar la bola: (

)

57. Determinar el contenido de impurezas de roca de una pepita de oro, si se ha establecido que el peso de esta 3 3 en el aire es de 9.65 N y en el agua es de 9.15 N. La densidad del oro puro es de 19.3 x 10 kg/m . 

Haciendo un esquema:



Definiendo la densidad de la pepita:



Del principio de Arquímedes:

la densidad de la pepita seria: (

)(

)

( (


)( )

) (


) PAGINA - 57


NELAME

Comprobando la densidad de la pepita con la densidad del oro puro se deduce que la pepita no tiene impureza, ya que ambas son iguales numéricamente.

58. Una masa cilíndrica M de 1 m de diámetro y una compuerta rectangular de 2m de ancho como se muestra en la figura. La compuerta se debe abrir cuando el nivel h del agua desciende por debajo de 2.5 m. determinar el valor necesario para M. ignorar la fricción en la articulación.

Del análisis gráfico se desprende que en el sistema se involucran varias fuerzas como es las fuerzas hidrostáticas y la fuerza de Arquímedes, para un mejor análisis se hará el análisis en dos diagrama de cuerpo libre. 

Calculo de la fuerza hidrostática sobre la compuerta (



) ( ) ( )( )

Su punto de ubicación

Primer diagrama de cuerpo libre, aplicando momento en el apoyo, tenemos: ( )∑

(

( )

)(

)

Del segundo diagrama de cuerpo libre, sumatoria de fuerzas verticales ( )∑ (

) (

)

Despejando el peso W: (


) (

)


PAGINA - 58


NELAME

Para cuando h=2.5 m, el valor de la masa seria m= 123.97 kg.



PAGINA - 59


NELAME

8. FLUIDOS IDEAL 59. Determinar el caudal a través del medidor Venturi que se muestra en la figura. Existen condiciones ideales.

Aplicando Bernoulli entre la sección (1-1) y (2-2)

( )

De la ecuación de continuidad, tenemos:

[(

( ) ]

(

√

)( )( (

)

)

De la ecuación del caudal.

(

)[ (

) ]

⁄

60. De la boquilla que se muestra en la figura sale agua sin efectos viscosos. Determine el caudal y la altura h a que puede fluir el agua. Si los diámetros de la boquilla y de la tubería son 5 mm y 100 mm respectivamente. Se ubica un manómetro que marca una presión de 86 KPa a una distancia de la boquilla de 80 cm.



PAGINA - 60


NELAME

Aplicando Bernoulli entre las secciones (1-1) y (2-2): Datum en (1-1)

( )

De la ecuación de continuidad, tenemos:

√

(

)( (

) )

El caudal seria: (

)[ (

)]

Aplicando Bernoulli entre las secciones (2-2) y (3-3): Datum en (2-2)

( (

) )

61. Si la bomba de la figura desarrolla 5 CV sobre el flujo, ¿Cuál es el caudal? Diagrámese la línea de carga total.

Aplicando Bernoulli entre 1 y 2: (Datum en el eje de la tubería) DR. NESTOR JAVIER LANZA MEJIA


PAGINA - 61


NELAME

Despejando la diferencia de presiones: (

)

(

(

)

(

( )(

⁄

)

)

)

De la potencia de la bomba:

Del manómetro diferencial: (la densidad relativa del mercurio es (13.6)

(

)

(

)

Sustituyendo los valores anteriores en la Ec. 1:

3

Resolviendo para el caudal, Q = 0.03297 m /s. El diagrama de la línea de carga total deberá graficarla el estudiante.

62. Calcular el régimen de flujo a través de esta tubería y boquilla. Calcular la presión en los puntos A, B, C y D.

a) Aplicando Bernoulli entre el nivel del agua del depósito y la descarga en la boquilla (Datum en A)

Por lo tanto:



PAGINA - 62


NELAME

b) a través de la ecuación de continuidad, calculara la carga de velocidad de la tubería.

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

c) cálculo de las presiones. Aplicando Bernoulli entre el nivel del agua del depósito y en cada punto donde se quiere calcular la presión (Datum en A), donde VA= VB= VC= VD por tener el mismo diámetro. ( 

para el punto A: (



)

para el punto B: (



)

para el punto C: (



)

)

en el punto D:

(

)

3

63. Se bombea aceite con densidad relativa de 0.92, a 0.0053 m /s, por medio de una bomba centrifuga, desde un tanque de abastecimiento hasta un tanque ubicado arriba del tanque. Los manómetros colocados en las 2 2 tuberías de succión (punto S) y descarga (punto D) indican una presión de -35 KN/m y 550 NN/m respectivamente, cuando la distancia vertical entre los puntos de medición es de 10 m. Si los diámetros de las tuberías de succión y descarga son de 5 cm y 76 cm respectivamente, calcule la potencia suministrada por la bomba, suponiendo un 75% de eficiencia total de la bomba. Haga el esquema. Haciendo el esquema del problema.

Aplicando Bernoulli entre S y D:



PAGINA - 63


NELAME

Despejando la altura de la bomba: (

)

[

(

)(

)

(

)(

)

]

[

(

) )

(

(

) ] )

(

La potencia de la bomba: (

)(

)(

)(

( (

⁄

)

)

)

64. Cuanta potencia debe suministrar la bomba para mantener las lecturas de 250 mm de vació de mercurio y de 3 275 KPa en los medidores 1 y 2, respectivamente, mientras se suministra un caudal de 0.15 m /s de agua. Si H= 3 m, los diámetros de succión y de descarga son 200 mm y 150 mm respectivamente.

Aplicando Bernoulli entre las secciones 1 y 2, tenemos: (Datum en la sección 1) (

)

(

)

(

)

Conversiones de presiones: (

)(

)(

)(

(

)

)

Calculando la altura de la bomba con la ec. 1: [

(

)(

)

(

)(

)

]

[

(

(

)

)(

)

) (

)

]

La potencia de la bomba. (

)( (


)


PAGINA - 64


NELAME

65. Si cada medidor muestra la misma lectura para un caudal de 28 lps, ¿Cuál es el diámetro de la contracción?, si el diámetro de la tubería de descarga es de 75 mm

Aplicando Bernoulli entre las secciones 1 y 2, tenemos: (

)

(

) (

( √


)

) (

(

)

)


PAGINA - 65


NELAME

9. DARCY WEISBACH - PERDIDAS POR FRICCION

66. Se suministra agua a una fábrica por una tubería de hierro fundido (ε=0.0046 cm) de 3.5 km de longitud y de 300 mm de diámetro desde un deposito elevado. La cota del terreno en el sitio del depósito es de 130 m. La distancia del nivel del agua en el depósito es de 17 m. La cota del terreno en la fábrica es de 110 m. El agua a tener una presión de 25 mca en la fábrica. Calcular: a) ¿Qué altura deberá tener el nivel de agua en el depósito para asegurar en la fábrica un caudal de 100 lps en las mismas condiciones anteriores? ( = 1 x 10-6 2 cm /s). Haciendo un esquema del sistema a resolver, tenemos:

SISTEMA POR GRAVEDAD

a) Determinando el caudal en el tramo: Aplicando Bernoulli entre D y F, tenemos:

Dónde:

(

)

(

)

Introduciendo los valores en la Ec. 1, tenemos:

Despejando el caudal: √ El número de Reynolds: (

)(

)

Para la solución de esta ecuación Ec. 2 se tendría que hacer a través de un proceso de iteraciones, donde se supondría un valor del coeficiente de fricción para el tramo de λ=0.030, después se obtiene un valor para el caudal y con este se calculara el número de Reynolds para el tramo y de la misma forma el coeficiente de fricción



PAGINA - 66


NELAME

corregido. La determinación del caudal en el tramo se obtendría cuando el coeficiente de fricción del tramo de forma consecutiva sea prácticamente igual.

Para los cálculos de las iteraciones se pueden tabular: LAMBDA

Q

R

10D/E

500D/E

TIPO

0.0300

0.0579

2.46E+05

6.52E+04

3.26E+06

TRANSICION

0.0158

0.0796

3.38E+05

6.52E+04

3.26E+06

TRANSICION

0.0151

0.0815

3.46E+05

6.52E+04

3.26E+06

TRANSICION

0.0150

0.0816

3.46E+05

6.52E+04

3.26E+06

TRANSICION

0.0150

0.0816

3.47E+05

6.52E+04

3.26E+06

TRANSICION

3

El caudal seria de Q= 0.0816 m /s = 81.6 lps. b) ¿Qué altura deberá tener el nivel de agua en el depósito para asegurar en la fábrica con un caudal de 100 lps en las mismas condiciones anteriores? Aplicando Bernoulli entre D y F, tenemos:

Calculando las pérdidas con el nuevo caudal Q = 100 lps. R

10D/E

500D/E

TIPO

LAMBDA

L(m)

hp(m)

4.24E+05

6.52E+04

3.26E+06

TRANSICION

0.0146

3500.00

17.42

La altura del nivel de agua en el depósito seria: (

)

67. Una bomba cercana a un depósito de elevación de superficie 30 m, bombea agua a través de una tubería de 150 mm y de 450 m de longitud y descarga en la elevación 60 m a través de una tobera de 50 mm de diámetro. ¿Calcúlese la potencia necesaria en la bomba para mantener una presión de 345 KPa detrás de la tobera?, y diagrámese con precisión de 0.1 m la línea de energía, tomando λ = 0.020. Haciendo el esquema del problema:

a) Determinando la potencia de la bomba:



PAGINA - 67


NELAME

Aplicando Bernoulli entre A y C: (

)(

)

(

)

(

)

Despejando la altura de la bomba:

Aplicando Bernoulli entre A y D: (

)

(

)

Despejando la altura de la bomba e igualándola con la Ec. 1:

3

Obtenemos un caudal = 0.0172 m /s, una altura de HB = 98.115 m y una PB = 22.50 CV = 16.25 Kwatt. b) Construyendo el diagrama de la línea de energía con precisión de 0.1 m Calculando la línea de energía en los puntos D, C y B (punto de descarga de la bomba) Para el punto D: (

(

)

(

) )

Para el punto C: (

(

)

(

)(

)

(

) )

Para el punto B (sección de descarga de la bomba) (

(

)

(

)(

)

(

) )

( (

)

)

Para el punto B (sección de succión de la bomba) (

)

(

)

Graficando la línea de energía.



PAGINA - 68


NELAME

LINEA DE ENERGIA HIDRAULICA

68. La bomba BC transporta agua hasta el depósito F y en la figura se muestra la línea Piezometrica. Determínese: a) la potencia suministrada por la bomba BC, b) la potencia extraída por la turbina DE y, c) la 2 cota de la superficie libre mantenida en el depósito F. (ε=0.0046 cm, = 1.0x10-6 m /s).

a) Calculo del coeficiente de fricción según la ecuación de Colebrook. (

√

⁄ √

)

Las pérdidas son conocidas por diferencia de alturas Piezometrica en el tramo DE, podemos usar la siguiente expresión que se correlaciona con la ecuación de Colebrook:

√

√


√ (

)

( (

)

(

)

)


PAGINA - 69


NELAME

Determinando el valor del coeficiente de fricción:

√

[

(

⁄

)

]

b) De la ecuación de Darcy Weisbach, despejando el caudal: √

√

( (

)

(

)

)

⁄

c) La potencia de la bomba: HB= (110-29)=81 m (

)(

)( (

)

)

d) La potencia de la turbina: HT= (105-99)= 6 m (

)(

)( ) (

)

e) La cota del depósito F: se aplica Bernoulli entre el punto E y el depósito F.

69. En el sistema mostrado de tubos, calcular H de manera que Q= 12 lps para los siguientes datos: L1=L3=50 m, 2 L2=200 m, D= 100 mm, (ε=0.2 mm, = 0.01 cm /s).

Aplicando Bernoulli entre D y C: Datum en C, y


por tener el mismo diámetro.


PAGINA - 70


NELAME

Determinando las pérdidas entre D y C: 

Numero de Reynolds: (

( )(

) )

Chequeando el intervalo para clasificar el flujo.

El régimen se clasifica como flujo en transición, por lo tanto el coeficiente de fricción se calcula como: (

)

(

) ( (

)

)

Por lo tanto la carga piezometrica en el punto D:

(

Aplicando Bernoulli entre A y D, si

) (

(

)

)

TRAZADO DE LA LINEA PIEZOMETRICA

(

Aplicando Bernoulli entre B y D, si

( DR. NESTOR JAVIER LANZA MEJIA

) (

)

) lunes, 28 de enero de 2013

PAGINA - 71


NELAME

Igualando las Ec.1 y la Ec. 2, tenemos:

√ ( √

Si Q = Q1 + Q2

) , despejando el Q2, tenemos:

( √

)

( √

)

Para la solución de esta ecuación se tendría que hacer a través de un proceso de iteraciones, donde se supondría valores de los coeficientes de fricción para ambos tramos de λ=0.030, después se obtiene un valor para cada caudal y con este se calcularían los números de Reynolds para cada tramo y de la misma forma los coeficientes de fricción corregidos. La determinación de los caudales en cada tramo se obtendría cuando los coeficientes de fricción de los tramos de forma consecutivas sean prácticamente iguales. Para los cálculos de las iteraciones se pueden tabular: Lambda 1

Lambda 2

Q2

Q1

R2

R1

0.030

0.030

0.004

0.008

5.1E 4

1.02 E 5

0.0249

0.0264

0.0039

0.0081

4.9 E 4

1.03 E 5

0.0249

0.0265

0.0039

0.0081

Los caudales son: Q1 = 8.1 lps y Q2 = 3.9 lps y la distancia H = 2.245 m 70. Una bomba deberá elevar 5 lps por medio de una tubería de 4” de diámetro. La longitud del tubo de succión es de 5.20 m y la del tubo de descarga es de 317.40 m. La diferencia de nivel entre el nivel del agua de succión y la boca de la descarga de salida de la tubería es de 18.10 m. Despreciando las perdidas menores y suponiendo que la eficiencia del conjunto (motor y bomba) es de 63%. ¿Qué potencia deberá tener el motor 2 de la bomba? Dibuje la línea Piezometrica e indique sus alturas. (ε=0.0046 cm, = 1.0x10-6 m /s). Haciendo un esquema de sistema hidráulico planteado:



PAGINA - 72


NELAME

Aplicando Bernoulli entre A y B:

(

)

La carga de velocidad: (

) )

(

Las pérdidas de energía: 

Numero de Reynolds: (

( )(

) )


El régimen se clasifica como flujo en transición, por lo tanto el coeficiente de fricción se calcula como: (

)

(

) ( (

)

)

La altura de la bomba y su potencia:

(

)( (

)( )

)

71. Por una tubería vertical de 50 mm de diámetro desciende 1 lps de aceite cuya viscosidad cinemática es de 20 -6 2 x 10 m /s y su densidad relativa de 0.92. Se conecta un manómetro diferencial entre dos puntos situados a una distancia de 400 cm. El líquido manométrico tiene una densidad relativa de 1.4. No hay aire en las conexiones. Calcular la lectura del manómetro diferencial. Haciendo un esquema de sistema hidráulico planteado: donde h es la lectura del manómetro diferencial



PAGINA - 73


NELAME

Aplicando Bernoulli entre 1 y 2:

( ) Calculando las pérdidas de energía: 

Determinando el número de Reynolds. (

( )(

) )

Como el Reynolds es menor que 2300, tenemos un flujo laminar, el coeficiente de fricción se calcula como:

Las pérdidas de energía: ( (

)

( )

)

Sustituyendo la Ec. (2) en la Ec. (1), obtenemos:

( ) En la Ec. (3), la presión en el punto 2 es mayor que la presión en el punto 1, o sea:

.

Del manómetro diferencia:

Dividiendo por el peso específico del aceite:



PAGINA - 74


(

)

(

)

NELAME

( )

de la geometría del manómetro diferencial:

Sustituyendo esta última ecuación en la ecuación (4), tenemos: (

)

( )

Igualando las Ec. (3) y Ec. (5): (

)

Despejando el valor de h:

(

)

(

)

La altura h, se mediría por debajo del punto 2.

72. En tubería horizontal de 0.3 m de diámetro tiene un factor de fricción de 0.025, existe una fuga. Corriente arriba de la fuga, dos medidores de presión separados entre sí 600 m muestra una diferencia de presión de 138 KPa. Corriente debajo de la fuga dos medidores de presión separados entre sí 600 m muestra una diferencia de presión de 124 KPa. Cuánta agua por segundo se está perdiendo en el tubo. Haga el esquema.

Haciendo el esquema.

Tubería con fuga

El caudal de fuga seria:



PAGINA - 75


NELAME

Aplicando Bernoulli entre 1 y 2: (

)

Calculando el caudal en el tramo si ( √

)(

) ( (

) )

Aplicando Bernoulli entre 3 y 4: (

)

) ( ( )

)

Calculando el caudal en el tramo si

√

(

El caudal de fuga:

73. Dos depósitos, cuyos niveles difieren por 30.5 m, están conectados por medio de una tubería de 600 mm de diámetro y 3050 m de longitud. La tubería pasa sobre una loma cuya cima se encuentra 9.1 m arriba del nivel del depósito más alto, y a una distancia de 305 m de él. Determine la profundidad mínima bajo la cima a la que debe tender la tubería si se desea que la altura total en esta no sea menor que 3 m de agua , y 3 calcule la descarga en m /s ( λ= 0.0075, si la presión atmosférica es de 10.35 mca ). Haga el esquema. Haciendo un esquema del problema.




PAGINA - 76


(

3

NELAME

)

Despejando el caudal, Q= 1.12 m /s. Aplicando Bernoulli entre A y C:

( Donde

:

)

(

)

ZC - ZA = x

Despejando el valor de x: (

)

( (

)

)

La profundidad de la tubería bajo la cima seria: (9.1 - 3.5) = 5.6 m

74. Calcúlese la magnitud y dirección de la lectura del manómetro. Circula agua.

Aplicando Bernoulli entre A y B. (Datum en A)

(

)

(

)

Del manómetro diferencial, tenemos: La presión en C, se puede calcular por hidrostática relacionándola con la superficie del depósito B: (


)

(

)(

)(


)

PAGINA - 77


NELAME

Comparando las presiones en los puntos A y C, observamos:

Por lo tanto, el líquido manométrico debe ascender en el tubo en la parte de A. (como se indica en la fig.), resolviendo el manómetro a través de la regla, se obtiene:

Despejando las presiones: (

)

)

(

De la geometría de la instalación del manómetro: (

)

(

Sustituyendo la Ec. 2 en la Ec. 1, tenemos: (

(

) )

) 2

75. Determine el caudal y la potencia en CV suministrada por la bomba. Si la presión en D es de 5.6 kgf/cm , hpAB = 0.6 m,

. Dibuje la línea piezometrica y ubique el valor de la presión en cada

punto.

a. Calculo del caudal. Aplicando Bernoulli entre D y E:



PAGINA - 78


(

NELAME

)

(

(

)

)

Despejando el caudal: ⁄ b. Calculo de la altura piezometrica en C (altura de descarga de la bomba). Aplicando Bernoulli entre C y D: (Vc = VD) (

(

)

(

)

(

) (

)

) (

)

c. Calculo de la altura piezometrica en F (altura de succión positiva de la bomba). Aplicando Bernoulli entre A y F: (

(

)

)

(

)

(

) (

)

d. La potencia de la bomba. (

)

(

)(

)( (

)

)

Dibujando la línea piezometrica del sistema:



PAGINA - 79


NELAME

76. La turbina extrae del flujo 400 kw. ¿Qué régimen de flujo estará pasando a través del sistema? ¿Cuál es la potencia máxima obtenida de la turbina?, si λ=0.020

Turbina entre depósitos

a) Calculando el caudal para las condiciones dadas: ⁄

Aplicando Bernoulli entre A y B. si

De la ecuación de la potencia de la turbina, y considerado un 100% de la eficiencia: KW=1.385 CV (

)(

)

⁄

Calculando las pérdidas: (

)

Introduciendo estas ecuaciones en la Ec. 1, tenemos:

3

3

Resolviendo la ecuación cuadrática, tendremos dos caudales: Q 1 = 1.312 m /s y Q2 = 0.628 m /s b) Determinando la potencia máxima que se obtiene de la turbina para los datos dados. Despejando la altura de la turbina de la Ec. 1: [

]

Si derivamos la ecuación con respecto al caudal y lo igualamos a cero para encontrar la potencia máxima: [


]

[


]

PAGINA - 80


[

(

]

) (

[

(

[

)

NELAME

)

]

]

3

3

Donde encontramos un QMáx. = 0.99 m /s. La respuesta correcta del a) es el Q2= 0.628 m /s que es menor que QMáx. Encontrando la potencia máxima: 400 Kw = 554 CV ( (

) ⁄

)

[

( (

)

)

]

77. Un tubo de 0.90 m se divide, en la elevación 120, en tres tubos de 0.45 m. Los tubos de 0.45 m conducen a depósitos que tienen elevaciones de superficies de 90, 60 y 30, teniendo los tubos longitudes respectivas de 3 3.2, 4.8 y 6.8 Km. Cuando en el tubo de 0.90 m fluyen 1.4 m /s, ¿Cómo se dividirá el flujo? Supóngase un λ = 0.017 para todos los tubos. Haga el esquema. Haciendo el esquema del problema:

El caudal que entra al sistema de los depósitos es:

Aplicando Bernoulli entre A y los niveles de los depósitos:

⁄

⁄

Por lo tanto:



PAGINA - 81


(

NELAME

)

(

)

(

)

Introduciendo estas ecuaciones en la Ec. 1: √

√

√ 3

3

Resolviendo la ecuaciones por métodos numéricos, obtenemos: HA = 141.90 m, QB = 0.462 m /s, QC = 0.473 m /s, 3 3 QD = 0.465 m /s. Si sumamos los caudales el Q0 = 1.4 m /s.

78. La bomba debe suministrar 110 lps a la salida en el punto C con una elevación 165 m y 220 lps al depósito superior D con elevación de 150 m. Calcúlense la potencia de la bomba y el diámetro requerido del tubo EC de 300 m, si el tramo AB tiene una L=450m, D=0.6m y 0.032, tramo BE tiene L=200m, D=0.45m y 0.020 y el tramo ED tiene L=600m, D=0.3m y 0.022. El deposito A tiene una elevación de 60m.

Determinando las pérdidas de fricción en los tramos: 

Tramo ED hacia el depósito: ( (



)

)

Tramos antes (AB) y después (BE) de la bomba: ( (

(

)

(

)

) )

Aplicando Bernoulli entre los depósitos



PAGINA - 82


NELAME

Despejando la altura de carga que suministra la bomba al sistema, H B=125.09 m, la potencia de la bomba con un 100% de eficiencia seria: (

)(

)( (

) )

Aplicando Bernoulli entre el depósito inferior y el punto de desviación al depósito superior, punto E (

(

)

)

La altura carga en ese punto E, seria:

Determinando el diámetro en el tramo EC de los 300 m

(

)

(

)

Resolviendo la ecuación por métodos numéricos tenemos un diámetro calculado de D=0.262 m = 10.5 plg. En el mercado fabrican diámetros superiores de las 4 plg solo pares, o sea que tendríamos que escoger un diámetro de 10 plg o de 12 plg. Por economía se escogería el diámetro de 10 plg.

79. Una tubería que transporta aceite crudo (ρ” = 0.93) a 120 l/min está hecha de con conducto de acero de 6”, calibre 80 (ε = 0.0046 cm.). Las estaciones de bombeo están espaciadas 3.2 Km. entre sí. Si el aceite está a -1 2 10°C (μ = 1.07x10 N s. /m ), calcule (a) la caída de presión entre estaciones y (b) la potencia requerida para mantener la misma presión en la entrada de cada bomba. Haga el esquema.

Haciendo el esquema del problema:



PAGINA - 83


NELAME

a) Calculando la caída de presión entre las estaciones de bombeo: Calculando las pérdidas por fricción entre las bombas:

Aplicando Bernoulli entre B y C:

(

)(

)(

)

b) Calculando la potencia requerida para mantener la misma presión en la entrada de la bomba: (

)( (

)( ⁄

)

)

80. Los depósitos A y B con nivel de superficie constante están unidos por dos tuberías en paralelo de igual longitud de L = 8 m, diámetro d1 = 40 mm, d2 = 10 mm. ¿Determinar la diferencia de nivel H de los depósitos y los caudales Q1 y Q2 en las tuberías?, si el manómetro diferencial tiene una lectura de h= 67 mm de mercurio y los coeficientes de rugosidad de las tuberías son λ 1 = 0.02 y λ2 = 0.04 respectivamente.

a. Determinando los caudales en cada tubería. 

Resolviendo el manómetro diferencial:

Según la regla, obtenemos: (la densidad relativa del mercurio es igual a 13.6) (



)

(

)

(

)

Aplicando Bernoulli entre A y 1, (tubería 1) con Datum en 2.



PAGINA - 84


(

NELAME

)

Despejando la presión en el punto 1: ( 

)

Aplicando Bernoulli entre A y 2, (tubería 2) con Datum en 2. (

)

Despejando la presión en el punto 2: (

)

Resolviendo la diferencia de presión: hpA2 = hpA1 (

)

Donde se obtiene:

Las pérdidas de energía a la mitad de los tramos de las tuberías son iguales:

(

)

(

)

Introduciendo esta relación en la Ec. 1, obtenemos los siguientes valores para los caudales en cada tramo. Q 1 = 5.47 lps y Q2 = 0.121 lps. b. Calculando la altura H. Aplicando Bernoulli entre los niveles de los depósitos. (Escogiendo la tubería 1) ( (

)

)

La interpretación energética seria:



PAGINA - 85


NELAME

81. Determinar el caudal Q, de aceite desde el depósito A al depósito B y la diferencia de nivel H, si la lectura del manómetro diferencial h = 440 mm de mercurio. La longitud del tramo L = 10 m y su diámetro d = 20 mm y rugosidad absoluta de 0.01 mm. La densidad del aceite es de 850 kg/m3 y su viscosidad cinemática de 4.0 x -6 2 10 m /s.

Aplicando Bernoulli entre el nivel del depósito A y C. (

)

Despejando la presión: (

)

[

]

Del manómetro diferencial:

Despejando la presione en C: (


)


PAGINA - 86


NELAME

Calculando la presión en A, desde el nivel del recipiente A y aplicando la ecuación fundamental de la hidrostática: (

)

La presión en el punto C, finalmente: (

)

(

)

(

(

)

)

Igualando las Ec. 1 y 2: (

)

[

]

[

(

)

[

(

)

]

(

(

]

)

(

(

)

)

(

)

)

Despejando el caudal y calculando el número de Reynolds: √ y (

)(

)

Para la solución de la ecuación se tendría que hacer a través de un proceso de iteraciones, donde se supondría un valor del coeficiente de fricción para el tramo de λ=0.030, después se obtiene un valor para el caudal y con este se calculara el número de Reynolds para el tramo y de la misma forma el coeficiente de fricción corregido. La determinación del caudal en el tramo se obtendría cuando el coeficiente de fricción del tramo de forma consecutiva sea prácticamente igual.

LAMBDA 0.0300 0.0267 0.0273 0.0274 0.0274

Q(m3/s) 0.00123 0.00129 0.00128 0.00128 0.00128

R 1.95E+04 2.05E+04 2.03E+04 2.03E+04 2.03E+04

10D/E 2.00E+04 2.00E+04 2.00E+04 2.00E+04 2.00E+04

500D/E 1.00E+06 1.00E+06 1.00E+06 1.00E+06 1.00E+06

TIPO TUBO LISO TRANSICION TRANSICION TRANSICION TRANSICION

Q(lps) 1.23 1.29 1.28 1.28 1.28

El caudal seria Q = 1.28 lps y la carga H = 11.58 m se obtiene aplicando Bernoulli entre los niveles de los depósitos.



PAGINA - 87


NELAME

82. Desde el depósito se conduce agua a la atmosfera a través de una tubería horizontal con una longitud de L = 10 m, diámetro d = 40 mm con una carga H = 10 m, dando como resultado, que el nivel el piezómetro instalado a la mitad de la longitud de la tubería es de h = 4.5 m. ¿Determinar el caudal Q y el coeficiente de rozamiento de la tubería?

Aplicando Bernoulli entre el nivel del depósito A y la posición del piezómetro, Datum en B.

(

)

(

)

Aplicando Bernoulli entre el nivel del depósito A y la descarga en D, Datum en B.

[

]

(

(

[

)

) ]

Despejando el valor del coeficiente de fricción: [

]

Introduciendo en la Ec. 1: [

(

)

]

Resolviendo obtenemos, Q = 5.5 lps y λ = 0.0185



PAGINA - 88


NELAME

83. El sifón mostrado tiene la siguientes características geometrías: L1= 50 m; D1= 75 mm, λ1= 0.025; L2= 100 m; D2= 50 mm, λ2= 0.028; L3= 150 m; D3= 75 mm, λ3 = 0.025. a) Determinar la carga H, necesaria para que Q 2 = 3 lps, b) si h = 2 m y longitud del tramo CD de 20 m, determinar en qué punto (C o D) se presenta la mínima presión y calcular la magnitud de esta.

a) Determinando la carga H, necesaria para Q2 = 3 lps. Determinando las pérdidas en la tubería 2. ( ( Aplicando Bernoulli entre C y B: si

⁄

)

) ⁄

. Datum en B.

Aplicando Bernoulli entre C y E:

(

)

(

)

Donde Q1 = Q2 + Q3 = 3.0 + 7.07 = 10.07 lps. Aplicando Bernoulli entre A y B: ( (

)

)

b) Determinando en qué punto se presenta la mínima presión en el sifón. Aplicando Bernoulli entre A y C:

La presión en el punto C: si zC = H+h (

(

)

(

) )

Aplicando Bernoulli entre C y D: ( ( DR. NESTOR JAVIER LANZA MEJIA

)

)


PAGINA - 89


NELAME

La presión en el punto D: si zD = H+h (

(

)

) )

(

La presión mínima que se presenta en el sifón está en el punto D:

84. Determine el caudal Q de petróleo, si la presión absoluta en la sección de succión de la bomba es de 42 KPa. Cuantifique las perdidas locales como el 10% de las perdidas por fricción. Densidad del petróleo es de 750 3 2 kg/m y su = 0.01x10-6 m /s. El diámetro de la tubería es de 100 mm, L = 120 m, ε = 0.1 mm. H o = 3.8 m, la presión en el depósito es de Patm = 101 KPa.

Aplicando Bernoulli entre A y B, Datum en A.

(

)(

)

(

)(

)

(

)

(

)

Despejando el caudal:

√ Para la solución de la ecuación se tendría que hacer a través de un proceso de iteraciones, donde se supondría un valor del coeficiente de fricción para el tramo de λ=0.030, después se obtiene un valor para el caudal y con este se calculara el número de Reynolds para el tramo y de la misma forma el coeficiente de fricción corregido. La determinación del caudal en el tramo se obtendría cuando el coeficiente de fricción del tramo de forma consecutiva sea prácticamente igual. LAMBDA Q(m3/s) R 10D/E 500D/E TIPO Q(lps) DR. NESTOR JAVIER LANZA MEJIA


PAGINA - 90


NELAME

0.0300

0.01121

1.43E+07

1.00E+04

5.00E+05

TURBULENTO

11.21

0.0196

0.01380

1.76E+07

1.00E+04

5.00E+05

TURBULENTO

13.80

0.0196

0.01380

1.76E+07

1.00E+04

5.00E+05

TURBULENTO

13.80

El valor del caudal es de 13.80 lps. 3

85. Que potencia de bomba (eficiencia 85%) se requiere para una razón de flujo de 0.01 m /s en la figura. ¿A qué -6 distancia máxima del depósito de la izquierda puede colocarse la bomba?, (ε=0.0015 mm, = 1.141x10 2 m /s, D=4 cm, L=400m).

BOMBA ENTRE DEPOSITOS

Para determinar la potencia de la bomba, se aplicara Bernoulli entre los depósitos A y B:

(

)

Calculando las pérdidas por fricción: Clasificación de flujo y determinación del coeficiente de fricción: R

10D/E

500D/E

TIPO

LAMBDA

2.79E+05

2.67E+05

1.33E+07

TRANSICION

0.0142

( ( 

)

)

Por lo tanto la altura de la bomba y su potencia seria:

(

)( (

)( )

)

Para obtener la distancia máxima, se tendrá que gastar la energía inicial de la elevación de 10 m, para que el líquido recorra esta distancia y que actué la presión atmosférica y su carga de velocidad se puede despreciar. DR. NESTOR JAVIER LANZA MEJIA


PAGINA - 91


NELAME

UBICACION DE LA BOMBA

Aplicando Bernoulli entre el depósito A y la descarga en C: (

)

Despejando la Lmax= 8.75 m. Esta distancia puede ser menor para que la bomba trabaje a carga positiva. La línea piezometrica se presentaría como:

TRAZADO DE LÍNEA PIEZOMETRICA

86. A través de un tubo recto de 100 mm de diámetro y 45 m de longitud, inclinado a 15 grados con respecto a la horizontal, se bombea glicerina (densidad relativa de 1.26 y viscosidad absoluta de 0.9 Pa.s) bajo un régimen de 20 lps. La presión de medidor en el extremo más bajo (de entrada) del tubo, es de 590 KPa. ¿Calcúlese la presión en el extremo de la salida del tubo. Haga todos los esquemas.


Aplicando Bernoulli entre la sección (1-1) y (2-2): Datum en la sección (1-1) DR. NESTOR JAVIER LANZA MEJIA


PAGINA - 92


NELAME

Conversiones: (

)(

)(

)

Calculando las pérdidas por fricción: 

El número de Reynolds:

(

)( (

) )(

)

Se observa que el número de Reynolds igual a 356.51 es menor que 2000, por lo tanto el tipo de flujo es laminar, el coeficiente de fricción se calcula como:



las pérdidas por fricción serian: (

)

( (

) )

(

)

Sustituyendo estos valores en la ec. 1:

(

)(

)(

)(

)

Trazando la línea Piezometrica



PAGINA - 93


NELAME

87. Cuando el caudal de agua en tubo liso dado, es de 114 lps, el factor de fricción es de 0.060. ¿Qué factor de fricción se esperaría si el caudal aumenta a 684 lps.

a) Cuando el Q= 114 lps 

Determinando el número de Reynolds para el tipo de flujo en tubos lisos (

)

(

)

b) Determinando el factor de fricción para un caudal de 684 lps 

El número de Reynolds seria

(



)

Determinando el coeficiente de fricción para el tipo de flujo en tubos lisos

(

)

Hay una disminución del 36% del coeficiente de fricción cuando el caudal aumenta de 114 lps a 684 lps

88. Determinar el diámetro adecuado para una tubería de 305 m de longitud que transporta 57 lps de aceite, en la cual se debe vencer una carga de 13.6 m, debida a las perdidas por fricción. A la temperatura de trabajo, el 3 2 peso específico del aceite es de 900 Kgf/m y la viscosidad dinámica de 0.14646 kg s. /m . Calcular también la potencia hidráulica que la bomba debe proporcionar al fluido. Haga el esquema. Las pérdidas por fricción seria:

(

)

√

El número de Reynolds:

( (


)

)( )(


)

PAGINA - 94


NELAME

Resolviendo por iteraciones:

D(m)

R

TIPO DE FLUJO Observación

0.0300

0.1784

2.55E+02

LAMINAR

0.2509

0.2728

1.67E+02

LAMINAR

iterar

0.3837

0.2970

1.53E+02

LAMINAR

iterar

0.4177

0.3021

1.51E+02

LAMINAR

iterar

0.4249

0.3031

1.50E+02

LAMINAR

iterar

0.4263

0.3033

1.50E+02

LAMINAR

iterar

0.4266

0.3033

1.50E+02

LAMINAR

iterar

0.4267

0.3033

1.50E+02

LAMINAR

parar

0.4267

0.3034

1.50E+02

LAMINAR

parar

Por lo tanto el diámetro seria D= 0.3034 m = 30.34 cm = 11.94 plg, se propone un diámetro comercial de D= 12 plg. 55.

Determine la dirección del flujo en el tubo mostrado en la figura, así como el caudal que transporta, donde γ = 3 -2 2 800 kgf/m , μ = 0.14x10 kg seg. /m .

Determinando la carga en las secciones (1-1) y (2-2): (Datum en 2-2), donde V1=V2

a) Determinando la dirección del flujo: Como la carga H2=26.25 m > H1=22.10 m, se concluye que el flujo va del punto 2 al punto 1.

b) Determinando el caudal transportado:

(

)

√ DR. NESTOR JAVIER LANZA MEJIA


PAGINA - 95


NELAME

El número de Reynolds.

( (

) )(

√

)√

Resolviendo por iteraciones 3

Q(m /s)

R

TIPO

Q(lps)

0.0700

0.00015

9.15E+02

LAMINAR

0.154

0.0699

0.00015

9.16E+02

LAMINAR

0.154

parar

0.0699

0.00015

9.16E+02

LAMINAR

0.154

parar

Observación

Por lo tanto el caudal seria de Q= 0.154 lps

89. La instalación hidroeléctrica, con la geometría mostrada en la figura, abastece agua a una casa de máquinas 3 un caudal de 8.98 m /s. La instalación consta de una galería con acabado interior de cemento (ε = 1.5 mm) de 3.0 m de diámetro, una cámara de oscilación y una tubería de acero soldado (ε = 0.075 mm), nuevo, de 1.50 m de diámetro. Determinar: a) la carga neta sobre las maquinas, b) la potencia neta en kw que produce el sistema, si las maquinas tienen una eficiencia de un 82%, c) el nivel de la superficie del agua en la cámara de oscilación que, para las condiciones del flujo permanente, actúa como un simple tubo de presión. -6 2 ν = 1.45x10 m /s.

a) Determinando la carga neta sobre las maquinas. Aplicando Bernoulli entre el vaso y la salida de la tubería en la casa de maquina



Perdidas por fricción En la galería:

(

)

( )(

)

Clasificación de flujo y determinación del coeficiente de fricción: DR. NESTOR JAVIER LANZA MEJIA


PAGINA - 96


NELAME

CALCULO DEL COEFICIENTE DE FRICCION TIPO 2.00E+04

1.00E+06 TURBULENTO

0.0164

Las pérdidas de energía:

(

)

( ) En el tubo:

( )(

(

) )

Clasificación de flujo y determinación del coeficiente de fricción:

CALCULO DEL COEFICIENTE DE FRICCION TIPO 2.00E+05

1.00E+07 TRANSICION

0.0098


( (

)

)

La carga neta sobre las maquinas seria: (

)

b) La potencia neta del sistema: (

)(

)( )

( (

)

)(

)( (

(

)(

(

) )

)(

)

)

c) Determinando el nivel de la superficie del agua en la cámara: Aplicando Bernoulli entre el vaso y la cámara

(


) ( )


PAGINA - 97


NELAME

90. Por medio de una bomba, se extrae agua de un pozo colector y se descarga en un tanque donde el nivel del agua es de 80 m arriba del nivel del pozo. Los diámetros de las tuberías de succión y de descarga son de 100 mm y 50 mm respectivamente. Las secciones de entrada y salida de la bomba se encuentran en el mismo plano horizontal, 6 m arriba del nivel del agua del pozo. La pérdida en la tubería de succión es igual a dos veces la altura de velocidad en esa tubería y la de descarga equivale a 25 veces la altura de velocidad en esa tubería. La bomba transmite una potencia de 40 Kw, la presión en la entrada de la bomba es de - 7 mca. Calcule el caudal que pasa por la bomba. Dibuje la línea Piezometrica. Haga el esquema. Haciendo el esquema.

a) Determinando el caudal. 

Aplicando Bernoulli entre A y B (Datum en A)




( 

La altura de bomba:

)

( (

) (


)

⁄


) PAGINA - 98


NELAME

Introduciendo estos valores en la ecuación de Bernoulli:

Resolviendo la ecuación, se tiene un caudal de Q= 19.65 lps y la altura de la bomba seria:

b) Determinando las cargas Piezometricas de la bomba: 

Altura Piezometrica en la sección de succión de la bomba, aplicando Bernoulli entre A y C

( 

(

)

) (

(

)

) (

(

)

)

Altura Piezometrica de la sección de descarga de la bomba, aplicando Bernoulli entre C y D ( (

)

)

(

(

)

) (

(

)

) (

)

TRAZADO DE LA LINEA PIEZOMETRICA



PAGINA - 99


10.

NELAME

HAZEN WILLIAMS - PERDIDAS POR FRICCION

91. Un tubo horizontal de 300 mm y de 300 m de largo sale de un deposito con elevación de superficie de 60 m, en la elevación 54 m, esta línea se conecta, con contracción súbita, con un tubo de 150 mm y de 300 m de longitud que va hacia la elevación 30 m, en donde entra en un deposito con elevación de superficie 39 m. Suponiendo un C = 100. ¿Calcule el régimen de flujo a través de la línea? Haciendo un esquema del sistema planteado.

Aplicando Bernoulli entre A y B.

(

)

[ (

)

(

)

]

Despejando el caudal: ⁄

92. Una tubería de 30 cm de diámetro y de 3.2 km de largo se encuentra tendida sobre una pendiente uniforme entre dos depósitos de elevación de superficie de 150 y 120 m, respectivamente, entrando a los depósitos a 10 m debajo de las superficies. El régimen de flujo a través de la línea es inadecuado y se instala una bomba en la elevación 125 m, para aumentar la capacidad de la línea. Suponiendo un C=100, ¿Qué potencia se requerirá en la bomba para bombear 170 lps, pendiente a bajo, a través de la línea? Diagrámese con precisión las líneas Piezometrica y de carga, antes y después de la instalación de la bomba. a) Haciendo un esquema del sistema a resolver, tenemos: 

Antes de la instalación de la bomba.

P.40.- LINEA INADECUADA ENTRE DEPOSITOS

Aplicando Bernoulli entre A y B: DR. NESTOR JAVIER LANZA MEJIA


PAGINA - 100


NELAME

Calculando las pérdidas: (

)

(

)

Se observa que la energía de posición disponible por la diferencia de cotas es de 30 m y la que se necesita para vencer las resistencias hidráulicas son de 89.23 m, por lo tanto se confirma la línea es inadecuada para el flujo de 170 lps, por lo tanto es necesario la instalación de la bomba. 

Después de la instalación de la bomba

P.40.- LINEA CON BOMBA INSTALADA

Aplicando Bernoulli entre A y B, pero con la bomba instalada. ( ) La altura de la bomba necesaria: ( ) Su potencia: (

)(

)( (

)

)

b) Haciendo los diagramas de las línea Piezometrica y de carga. 

Determinando la longitud sobre la línea de la ubicación de la bomba:

Por relación de triángulo se determina la longitud sobre la línea de la ubicación de la bomba, o sea:

Las pérdidas de energía de A hasta la ubicación de la bomba: (

)

(

)

Su carga de velocidad:



PAGINA - 101


( (

NELAME

) )

Puntos

A

C

D

B

Carga(H)

150.0

105.39

164.6

120.0

hp tramo

0.0

44.61

0.0

44.61

0.0

0.29

0.29

0.0

150.0

105.1

164.3

120.0

0

1600

10

1600

L Construyendo la gráfica:

TRAZADO DE LINEAS PIEZOMETRICA Y DE CARGA

93. Un lago A, en el que la superficie libre se mantiene constante a la cota 200, esta comunicado a un recipiente B mediante una galería horizontal de 2 km de longitud y de 1.5 m de diámetro, con el eje situado a la cota 180. Del recipiente B a la misma cota de 180, parte un conducto de acero de 600 m de longitud, que descarga a la cota 0, al aire libre. Este conducto BC está constituido sucesivamente por un tramo de 200 m de longitud y 500 mm de diámetro, un tramo de 400 m de longitud y 300 m de diámetro, una boquilla tronconica de 100 mm de abertura y en la que las pérdidas de carga valen DR. NESTOR JAVIER LANZA MEJIA

⁄

, en donde V es la velocidad de salida en la


PAGINA - 102


NELAME

boquilla. Determine: a) el caudal, b) la carga utilizable, c) el nivel del agua en el recipiente B y d) las líneas de carga y piezometrica con una aproximación de 0.1 m. utilice la ecuación de Hazen – Williams (C =150). Haciendo un esquema de sistema hidráulico planteado:

a) Determinar el caudal. Aplicando Bernoulli entre A y B, obtenemos:

(

)

(

)

(

)

Donde: ( ) Aplicando Bernoulli entre B y C.

(

)

[

(

)

(

)

] ( )

Igualando las ecuaciones (1) y (2), obtenemos:

Si QAB= QBC= Qo tenemos:

⁄

Resolviendo la ecuación anterior: un valor de .

. Introduciendo este valor en la Ec. (1) se obtiene

b) La carga utilizable en los puntos A a B va ser igual a las perdidas hp AB y de B a C, a la cota ZB, o sea: (

)

El inciso d) el alumno deberá construir su gráfica.



PAGINA - 103


11.

NELAME

PERDIDAS LOCALES CON DW Y HW

94. Un aceite de densidad relativa 0.761 fluyendo desde el depósito A al depósito E, según se muestra en la 2 figura. Determine: a) el caudal en lps, b) la presión en C en kgf/cm , c) la potencia en C en CV, tomando como Datum en el punto E. Las distintas perdidas de carga están dadas por la siguiente tabla. Tramo

AB

BC

Perdidas (m)

0.80 V /2g

2

CD

2

DE

2

8.0 V /2g

2

0.5 V /2g

8.0 V /2g

a) Determinando el caudal: Aplicando Bernoulli entre A y E, obtenemos:

[ (

)

(

)

(

)

(

)

]

3

Despejando el caudal: Q=0.09013 m /s = 90.13 lps b) Determinando la presión en el punto C. 3

Aplicando Bernoulli entre A y C. (γ=1000 kgf/m ). El Datum está en el punto E. (

) (

por lo tanto:

.

c) La potencia en el punto C. (

(

)(

) )

(

) ( ⁄

) ⁄

)

La carga en el punto C seria: (CV= 0.736 Kwatt= 0.986 HP) DR. NESTOR JAVIER LANZA MEJIA


PAGINA - 104


(

)(

)(

NELAME

)

95. Se quiere trasegar agua al depósito elevado a través de una tubería vertical (d= 25 mm, L= 3 m, h= 0.5 m) debido a la presión M en el depósito inferior. Determine esta presión M, si el caudal es de 1.5 lps. El K valvula = -6 2 9.3, ε = 0.2 mm, = 1x10 m /s.

Aplicando Bernoulli entre los depósitos. (Datum en el nivel del depósito inferior)


Numero de Reynolds:

( (

) )(

)


El régimen se clasifica como flujo en turbulento, por lo tanto el coeficiente de fricción se calcula como:

( )

(

) (

( (

)

)

) ( (

) ( )

)

La presión M, en el depósito inferior, seria: DR. NESTOR JAVIER LANZA MEJIA


PAGINA - 105


NELAME

( ) PM = 14.18 (1000) (9.81) = 139.11 KPa 96. Desde el depósito A se conduce agua al depósito B a través de una tubería con una longitud total de L t= 10 m, diámetro d = 80 mm. Desde el depósito B, el agua se descarga a la atmósfera a través de una tobera de d 1 = 80 mm, el coeficiente de descarga es μ=0.82, Kcodo = 0.3, Kvalvula = 4 y λ = 0.03. Determinar la carga H en depósito A, necesaria mantener el nivel en depósito B de h = 1.5 m.

Aplicando Bernoulli entre B y D. (Datum en D)

Donde la pérdida es debida ocasionada por el flujo en el orificio, la cual se determina como:

Despejando la velocidad de salida del orificio: √

√

√

Donde: φ – el coeficiente de velocidad del flujo a través del orificio. √

√ De la ecuación de continuidad: ( √

)(

)

√

Donde ε – coeficiente de contracción de la vena contraída del área del flujo por el orificio. A – el área de la sección transversal de la tubería del flujo por el orificio. µ = φ ε - coeficiente de gasto a través del orificio Calculando el caudal: DR. NESTOR JAVIER LANZA MEJIA


PAGINA - 106


NELAME

⁄

) √

(

Aplicando Bernoulli entre A y C para determinar la carga del depósito A para que deba mantener el nivel del depósito B:

( (

) )

( (

)

(

)

)

( (

) )

97. El depósito descarga agua hacia la atmósfera a través de una tubería horizontal, en la cual se instala dos piezómetros. El diámetro de la tubería es de d = 50 mm, longitud de los tres tramos es de L = 4 m que distribuye los piezómetros. 1) Determinar la carga H en el depósito y su caudal Q, cuando la válvula está totalmente abierta, y se establece una diferencia de altura en los piezómetro de h = 3 m. ε = 0.5 mm, = 2 1.0x10-6 m /s. 2) Como varia el caudal y la diferencia de altura en los piezómetros h con las misma condiciones de carga pero Kvallvua = 30. Construir la línea de carga totales.

a) Determinando el caudal y la carga H, cuando la válvula está totalmente abierta. Aplicando Bernoulli entre B y C.

,

,

(

)

Despejando el caudal y calculando el valor del Reynolds: √

,

(

)(

)

Para la solución de la ecuación se tendría que hacer a través de un proceso de iteraciones o a través de la ecuación de Colebrook. Por Colebrook: DR. NESTOR JAVIER LANZA MEJIA


PAGINA - 107


(

√

√

√

NELAME

)

√

De las últimas ecuaciones tenemos: (

√

)(

)

(

√

)

El valor del coeficiente de fricción es de 0.0389 y su caudal:

Aplicando Bernoulli entre A y D, para determinar la carga H:

( (

) )

( (

)

)

b) Aplicando Bernoulli entre A y D, cuando la válvula esta semi cerrada.

(

)

(

)

(

)

Despejando el caudal:

√




PAGINA - 108


NELAME

LAMBDA

Q(m3/s)

R

10D/E

500D/E

TIPO

Q(lps)

0.0300

0.00444

1.13E+05

1.00E+03

5.00E+04

TURBULENTO

4.44

0.0348

0.00437

1.11E+05

1.00E+03

5.00E+04

TURBULENTO

4.37

0.0348

0.00437

1.11E+05

1.00E+03

5.00E+04

TURBULENTO

4.37

0.0348

0.00437

1.11E+05

1.00E+03

5.00E+04

TURBULENTO

4.37

0.0348

0.00437

1.11E+05

1.00E+03

5.00E+04

TURBULENTO

4.37

Resultando un caudal de Q = 4.37 lps. Aplicando Bernoulli entre B y C, para determinar la diferencia de altura de los piezómetros:

( (

) )

( (

)

)

Al estudiante deberá graficar la línea de carga totales. 98. El sistema de tubos tiene la siguiente geometría: L2 =L3= 25 m, L1 = 50 m; D2 =D3 = 50 mm; ε= 0.2 mm; H = 10 2 m, h = 7 m, = 0.01 cm /s. El caudal Q = 5 lps, en las dos tuberías que descargan. Calcular el diámetro D 1 y el coeficiente de perdida Kv de la válvula, en la tubería 3.

a) Dado que las tuberías 2 y 3, tienen caudales y geometría iguales, las características hidráulicas son las mismas :



PAGINA - 109


( (

NELAME

)

)

Haciendo un esquema.

b) Aplicando Bernoulli entre 1 y 2 (Datum en la tubería 2)

( (

) ) (

)

√

Para la solución de la ecuación se tendría que hacer a través de un proceso de iteraciones, donde se supondría un valor del coeficiente de fricción para el tramo de λ=0.030, después se obtiene un valor para el diámetro y con este se calculara el número de Reynolds para el tramo y de la misma forma el coeficiente de fricción corregido. La determinación del diámetro del tramo se obtendría cuando el coeficiente de fricción del tramo de forma consecutiva sea prácticamente igual.

El diámetro del tramo L1 es de D1=0.087 m = 87 mm para que produzca una pérdida de 2.1 m. c) Aplicando Bernoulli entre 1 y 3, Datum en 3, para calcular el coeficiente de la válvula:

Despejando el coeficiente de fricción de la válvula: DR. NESTOR JAVIER LANZA MEJIA


PAGINA - 110


NELAME

99. A través del sifón, para el cual se conoce H = 6 m necesario para entregar un caudal de Q = 50 lps con la condición que el vaccum en las secciones de la tubería no excédalos 7 m. La sección peligrosa (C-C) esta h = 4 m por encima del nivel superior, la longitud del tramo de este nivel es de L 1 = 100 m y el restante es de L2 = 1/3 60 m. (Kentrada = 5, Kvalvula = 13). ¿Determine el diámetro de la tubería d? (λ = 0.02 / d )

Aplicando Bernoulli entre A y C. Datum en A.

Si la presión en el punto C es de – 7 mca, tenemos:

(

)

Resolviendo la ecuación, tenemos: D = 0.19985 m, o sea D = 200 mm

100. Encuentre la descarga por la tubería con H = 10 m. Determine la perdida de carga H, para un caudal -6 2 de 60 lps. D = 150 mm, ε / D = 0.0017, = 1.01 x 10 m /s, Kcodo = 0.90, Kvalvula = 5, Kentrada = 0.5.



PAGINA - 111


NELAME

Aplicando Bernoulli entre la superficie del depósito y la descarga de la tubería (Datum en la descarga)

La carga de velocidad en función del caudal:

(

)

la pérdida por fricción en función del caudal: (

)

La pérdida local en función del caudal: [ (

]

)

(

)

Sustituyendo en la Ec.1.

Se encuentra una ecuación general para resolver los dos incisos del problema: (

)

a) Determinando la descarga con H = 10 m. Despejando el caudal: √




PAGINA - 112


LAMBDA 0.0300 0.0223 0.0223

Q 0.0462 0.0511 0.0511

R 3.92E+05 4.34E+05 4.34E+05

10D/E 5.88E+03 5.88E+03 5.88E+03

NELAME

500D/E 2.94E+05 2.94E+05 2.94E+05

TIPO TURBULENTO TURBULENTO TURBULENTO

3

El caudal seria de Q= 0.0511 m /s = 51.1 lps. Al estudiante deberá resolver el siguiente inciso.

101. A través del sistema mostrado fluye agua a 30 grados centígrados. Las tuberías tiene una rugosidad absoluta de 0.0046 cm. y sus longitudes son de 50 m, la del diámetro de 7.5 cm. y 30 m, la del diámetro de 15 cm. Los coeficientes de resistencias locales son: Kcodo de 7.5 = 0.40, Kcodo de 15 = 0.6, Kvalvula = 3.0, = 0.68E2 6 m /s. Determine el caudal.

Aplicando Bernoulli entre los depósitos A y B:

(

)

( )

Las pérdidas por fricción seria: (

)

(

) ( )

Las perdidas locales seria: (

( DR. NESTOR JAVIER LANZA MEJIA

)

(

)

)

(


)

(

) PAGINA - 113


NELAME

( )

Sustituyendo los resultados de las Ec. 2 y 3 en la Ec. 1:

Despejando el caudal tendríamos la siguiente ecuación en función de los coeficientes de fricción de los tramos: √ Para la solución de esta ecuación se tendría que hacer a través de un proceso de iteraciones, donde se supondría valores de los coeficientes de fricción para ambos tramos de λ=0.030, después se obtiene un valor del caudal y con este se calcularían los números de Reynolds para cada tramo y de la misma forma los coeficientes de fricción corregidos. La solución del caudal se obtendría cuando los coeficientes de fricción de los tramos de forma consecutivas sean prácticamente iguales. Cálculos de los números de Reynolds de los tramos:

(

(

)(

)

)(

)

Para los cálculos de las iteraciones se pueden tabular: Tubería de diámetro de 7.5 cm

Tubería de diámetro de 15 cm

Q

LAMBDA

R

10D/E

500D/E

TIPO

LAMBDA

R

10D/E

500D/E

TIPO

0.0116

0.0300

2.89E+05

1.63E+04

8.15E+05

TRANSICION

0.0300

1.45E+05

3.26E+04

1.63E+06

TRANSICION

0.0144

0.0188

3.61E+05

1.63E+04

8.15E+05

TRANSICION

0.0184

1.80E+05

3.26E+04

1.63E+06

TRANSICION

0.0145

0.0185

3.63E+05

1.63E+04

8.15E+05

TRANSICION

0.0178

1.81E+05

3.26E+04

1.63E+06

TRANSICION

0.0145

0.0185

3.63E+05

1.63E+04

8.15E+05

TRANSICION

0.0178

1.82E+05

3.26E+04

1.63E+06

TRANSICION

0.0145

0.0185

3.63E+05

1.63E+04

8.15E+05

TRANSICION

0.0178

1.82E+05

3.26E+04

1.63E+06

TRANSICION

3

Por lo tanto el caudal es de 0.0145 m /s = 14.5 lps.



PAGINA - 114


NELAME

102. Del recipiente cerrado A con una presión de M = 245 KPa descarga a través de una tubería horizontal de longitud de 45 m. (Kvalvula = 4, Ksalida= 0.3). Determine el diámetro d, de la tubería, si la recamara se 3 1/3 abastece de agua con 36 m con un tiempo de 30 minutos. (λ = 0.02 / d ).

2

Aplicando Bernoulli entre A y S. si el Q = 36/1800 = 0.02 m /s.

(

(

,

)

)

Las pérdidas de energía: (

(

)

(

)

)

(

)

Sustituyendo en la Ec. 1, tenemos:

Resolviendo la ecuación, tenemos un diámetro de D = 0.0802566 m, o sea D= 80.26 mm



PAGINA - 115


NELAME

103. Una bomba interconectada a dos recipientes I y II. Diámetro de los conductos: de A a B: 100 mm, de B a C: 200 mm – en B hay un cambio brusco de sección. Si la bomba debe descargar un caudal de 50 lps, determine su potencia teórica, en CV. Se pide graficar la línea de carga y la línea Piezometrica del conducto. Utilice la ecuación de HW (C=150). Kbrusco=0.80 y Kcodo=0.40.

P.31.- DOS DEPOSITOS CON BOMBA

a) Determinando la potencia de la bomba. Aplicando Bernoulli entre I y II (el Datum está en la tubería horizontal):

(

)

[

( (

(

)

(

) [ )

la altura de la bomba:

) ]

y su potencia:

(

)(

)( (

)

)

b) Las líneas de carga y piezometrica seria:

de forma genérica, para: 

la línea de carga:



la línea piezometrica:



PAGINA - 116


(

NELAME

)

Podemos tabular los resultados:

Puntos

I

A

D

E

F

G

B

H

C

H

3.000

3.000

0.126

44.296

38.547

37.721

34.846

33.194

32.997

hp tramo

0.000

0.000

2.874

0.000

5.749

0.826

2.874

1.653

0.197

0.000

0.000

2.066

2.066

2.066

2.066

2.066

2.066

0.129

3.000

3.000

-1.940

42.230

36.481

35.655

32.781

31.128

32.868

0

0

10

0

20

0

10

0

20

L

Gráficamente seria:

P. 31.- TRAZADO DE LÍNEA PIEZOMETRICA



PAGINA - 117


NELAME

104. Desde el sótano hasta el segundo piso de un edificio circula agua (viscosidad cinemática igual a 1.21 -5 2 -5 x 10 p /s) por una tubería de cobre de ¾ plg (ε/D=8 x 10 ) a un caudal de 12 gpm y sale por un grifo de 1/2 plg de diámetro. Determine la presión en el punto 1, si a) se ignoran los efectos viscoso, b) las únicas perdidas incluidas son las perdidas por fricción y c) se incluyen todas las perdidas. Dibuje la línea Piezometrica y la línea del gradiente hidráulico de los tres casos. (Kcodo=1.5, Kvalvula=10).

TUBERÍA DE CON BOQUILLA DE 0.5 PLG

Conversiones: (

)

(

, (

)

(

,

)

⁄ .

)

Las cargas de velocidades: ( (

)

(

,

)

)

(

)

a) Se ignoran los efectos viscosos (se desprecian las perdidas). El Datum se localiza en el punto 1.

La presión en el punto 1, seria: (

)

(

)

(

)

(

)

b) Las únicas perdidas incluidas son las perdidas por fricción Aplicando Bernoulli entre 1 y el punto de descarga (D): el Datum se localiza en el punto 1.


Numero de Reynolds:


( (

) )(

)


(

) PAGINA - 118

,


NELAME

El régimen se clasifica como flujo en tubos lisos, por lo tanto el coeficiente de fricción se calcula como: (

) ( (

)

)

La presión en el punto 1 seria: (

)

(

)

(

)

(

)

c) Se incluyen todas las perdidas. Aplicando Bernoulli entre 1 y el punto de descarga (D): el Datum se localiza en el punto 1.

Las perdidas locales son: (

) (

)

[( )(

)

]

La presión en el punto 1 seria: (

)

(

)

(

)

(

)

El estudiante deberá de graficar las líneas Piezometrica y la línea del gradiente hidráulico de los tres casos .



PAGINA - 119


NELAME

105. Determine el caudal que suministre la bomba al tanque. Kentrada=0.5, K90=0.40, Kexpansion=0.34, Ksalida=1.0, Pbomba=100 CV.


Donde: (

(

)

)

(

(

)

(

)(

(

⁄

)

)

(

)

)

Sustituyendo en la Ec. 1, tenemos:

Resolviendo la ecuación por tanteo o por métodos numéricos (método de Newton Rabpson), tenemos:



PAGINA - 120


NELAME

106. Una bomba de 25 CV de potencia y 75 por ciento de eficiencia, debe abastecer un caudal de 6 3 m /min. de agua, a 10 °C, (ν = 0.0131 cm2/s), a un recipiente cuyo nivel se encuentra 10 m arriba del cárcamo de bombeo. La tubería de conducción de HoFo con incrustaciones (ε = 0.76 mm), con una longitud de 100 m, tres curvas de radio R = 5D (dos de 45° con K = 0.16 y una de 90° con K = 0.25) y una válvula con K valvula = 8. Determinar el diámetro necesario en la tubería.

Aplicando Bernoulli entre el cárcamo y el recipiente: (Datum en el cárcamo) ∑ ∑

∑

Dónde:

(

)( ( (

∑

∑

(

∑

) )

(

)

)

)

[ (

)

]

Introduciendo estos valores en la ecuación primaria:

Donde el número de Reynolds: ( (


) )


PAGINA - 121


NELAME

Por iteraciones y resolviendo la ec. 1 a través de métodos numéricos, tenemos: λ 0.0300 0.0257 0.0258 0.0258

D(m) 0.2538 0.2490 0.2491 0.2491

Reynolds 5 3.83x10 5 3.90x10 5 3.90x10

10 D/ε 3 3.34x10 3 3.28x10 3 3.28x10

500 D/ε 5 1.67x10 5 1.64x10 5 1.64x10

Tipo de flujo Turbulento Turbulento Turbulento

Por lo tanto el diámetro de la tubería solicitado es de D= 0.2491 m = 24.91 cm = 9.81 plg se propone un diámetro de D= 10 plg.

107. En un muro de retención de agua a 20 grados centígrados, a una profundidad de 2.20 m se ha colocado la entrada de una tubería de concreto (ε = 0.3 mm) de 40 cm. de diámetro y de 3850 m de longitud. A la salida de la tubería se requiere un caudal de 100 lps. A qué distancia X, de la entrada hay que poner una bomba y cual deberá ser la potencia del motor de la bomba si la eficiencia del conjunto es de 67%. Kentrada=0.5.

a) Verificando si es necesaria la bomba 

Calculando las perdidas en todo el tramo de 3850 m Numero de Reynolds

( (

) )(

)

Clasificando el flujo

4

5

5

Se observa que el número de Reynolds está en el intervalo, o sea: 1.33x10 <3.18x10 <6.67x10 , por lo tanto el flujo esta en transición, el cálculo del coeficiente de fricción seria: (

)

(

)

las pérdidas por fricción serian: (

)

( (

)

)

Esto indica que las pérdidas por fricción a lo largo de toda la tubería son mayores que la energía disponible de 2.20 m, o sea, H = 2.20 m < hpfriccion =6.02 m, por lo tanto es necesaria la bomba.



PAGINA - 122


NELAME

b) Determinando la distancia X, para ubicar la bomba. La presión en la sección (A-A) se valorara como la presión atmosférica, o sea, una presión manométrica igual a cero.

(

) )

(

( (

)

(

)

)

( (

) )

c) Determinando la potencia, ya instalada la bomba

(

)( (

⁄

) )

108. Los recipientes A y B alimentan al C a través del sistema de tubos mostrados, cuya geometría es : L1 = 200 m; D1 = 200 mm, λ1 = 0.02, L2 = 100 m; D2 = 100 mm, λ2 = 0.025, L3 = 600 m; D3 = 200 mm, λ3 = 0.02. a) Calcular el caudal descargado en C para H = 16 m, si el K valvula = 12. b) Calcular cual debe ser el mínimo valor de Kvalvula, si la presión mínima absoluta en el sistema debe ser cero. La longitud horizontal del tubo 3 es igual a 160 m, cuando h = 4 m.

a) Determinado las perdidas en función de los caudales en cada tramo

(

(

(


)

)

) (

)


(

)

PAGINA - 123


NELAME

b) Aplicando Bernoulli entre las secciones A-C y B-C: (Datum en C)

Reduciendo el sistema de ecuaciones para los caudales:

Por lo tanto: (

)

Los caudales serian.

c) Aplicando Bernoulli entre las secciones E-C: (Datum en C) ∑ ( (

) )

( (

)

∑ )

( (

) )

El coeficiente de resistencia hidráulica mínimo de la válvula seria:



PAGINA - 124

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS

PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Capítulo 2 HIDROSTATICA Problema 2.1 Determinar el peso W, que puede sostenerse con una fuerza de 50 kg aplicados en el pistón que se muestra en la figura.

Si el desnivel entre el punto 1 y el punto 2 es cero o despreciable se puede considerar p1 = p2 Por definición, la presión en el punto 1 es p1 =

4F F F = = 2 A 1 π φ1 π φ12 4

y la presión en el punto 2 es p2 =

4W W W = = 2 A 2 π φ 2 π φ 22 4

Al igualar y despejar se obtiene 4F 4W = π φ12 π φ 22

φ W =  2  φ1

2

  F 

y al sustituir los valores numéricos, resulta 2

 22 cm   50 kg W =   3.8 cm  W = 1675.40 kg

22



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Problema 2.2 En el tanque de la figura tenemos tres líquidos no miscibles. Calcular las presiones absoluta y relativa en el fondo y determinar la cota de los líquidos en cada uno de los piezómetros colocados como se indica. Considerar que la presión atmosférica es 0.95 atm.

Determinación de las presiones relativas en los puntos 1, 2, 3, y 4. La presión relativa en el punto 1, superficie libre, en o con la atmósfera es = 0 kg/m2.

p1 = 0 p2 = p1 + γ1 (z1 − z2) Como γ1 = S1 γagua , al sustituir se obtiene p2 = 0 + 0.75 x 1000 (18.20 − 15.50)

= 2025 kg/m2

p3 = p2 + γ2 (Z2 − Z3) p3 = 2025 + 1 x 1000 (15.50 − 12.50)

= 5025 kg/m2

p4 = p3 + γ3 (z3 − z4) Como γ3 = ρ3 x g, al sustituir se obtiene p4 = 5025 + (183.49 x 9.81) x (12.50 − 10.00) = 9525 kg/m2 = 10330 kg/m2

Como

1 atm

Entonces

0.95 atm = X

⇒

X = 9813.5 kg/m2 23



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

La presión absoluta en el fondo (punto 4) es pabs = pman + patms

local

que al sustituir se obtiene

pabs4 = 9525 + 9813.5 = 19338.5 kg/m2 Las alturas de los piezómetros son p = γH → H =

y

las cotas de los piezometros son

p γ

H1 =

p2 2025 = = 2.70 m γ1 750

h1 = 2.70 + 15.50 = 18.20 m

H2 =

p3 5025 = = 5.03 m 1000 γ2

h2 = 5.03 + 12.50 = 17.53 m

H3 =

p4 9525 = = 5.29 m γ3 1800

h3 = 5.29 + 10.00 = 15.29 m

Problema 2.3 Calcular la presión en A, B, C y D en kg/cm2.

p1 = 0, (Por estar en o con la atmósfera) pA = p1 – γ1 h1 La presión en A es menor que la presión en 1 ya que el punto A se encuentra por encima del punto 1.

24



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

pA = 0 – 0.6 x 1000 = − 600 kg/m2 ⇒ pA = – 600 x 10-4 = − 0.06 kg/cm2 pB = p1 + γ1 h2 La presión en B es mayor que la presión en 1 ya que el punto B se encuentra por debajo del punto 1. pB = 0 + 0.6 x 1000 = 600 kg/m2 ⇒ pB = 600 x 10-4 = 0.06 kg/cm2 pC = pB (por ser aire, la presión se mantiene, aproximadamente constante en toda la cámara) pC = 0.06 kg/cm2 pD = pC + γ2 h3 pD = 600 + 0.9 x 1000 x 1.80 = 2200 kg/m2 ⇒ pD = 2200 x 10-4 = 0.22 kg/cm2

Problema 2.4 Calcular la presión absoluta y manométrica en el tanque 1 , sobre la superficie del agua. Considerar que la presión barométrica es de 710 mm de Hg.

Moviéndose a lo largo del piezómetro, de derecha a izquierda y considerando presión relativa, se obtiene hasta llegar al punto A 0 + 0,71 x 13600 – 0,61 x 1000 + 0,76 x 13600 – 0,76 x 1000 – 0,9 x 1000 = pA 25



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

pA = 9656 – 610 +10336 – 760 – 900 pA = 17722 kg/m2 (relativa o manométrica) Como

760 mmHg = 10330 kg/m2

Entonces

710 mmHg =

X

kg/m2 ⇒ X =

710 x 10330 = 9650 kg/m2. 760

Como la presión absoluta en un punto es pabs = prelativa + patmosférica , se tiene pabs = 9650 + 17722 = 27372 kg/m2

Problema 2.5 En la figura S1 = 0.86, S2 = 1, h1 = 43 cm, h2 = 21 cm,. a) Determinar la presión manométrica pA en cm de Hg. b) Si la lectura del barómetro es 750 mm de Hg. ¿Cuál es la presión absoluta en A en m de agua?

a) Moviéndose a lo largo del piezómetro de izquierda a derecha y considerando presión relativa, se obtiene hasta llegar al punto B. pA + h2 S1γ − h1 S2γ = 0 Al despejar se obtiene pA = γ (h1 S2 − h2 S1) que al sustituir resulta pA = 1000 kg/m3 (0.43 x 1.00 – 0.21 x 0.86) = 249.40 kg/m2 26



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Como

1.033 kg/cm2

Entonces

0.02494 kg/cm2 = X

= 76 cmHg ⇒ X = 1.83 cmHg.

b) Presión absoluta en m de agua pabs

=

pbar + pman

pabs

=

750 + 18.3

= 768.30 mm Hg

Como

10.33 m

= 760

Entonces

X

= 768.30 mm Hg

mm Hg ⇒ X = 10.44 m de agua

Problema 2.6 En la figura que se muestra se tienen los siguientes datos: S1 = S3 = 0.83, S2 = 13.6, h1 = 40 cm, h2 = 20 cm, h3 = 30 cm. Determinar: a) pA si pB = 0.7 kg/cm2 (manométrica) b) pB en metros de agua si, pA = 1,4 kg/cm2 (Absoluta) y una lectura barométrica de 740 mm de Hg.

a) Para una presión en pB = 0.7 kg/cm2 ⇒ pB 0.7 x 104 kg/m2 Se obtiene desde el punto A hasta el punto B, a través, del manómetro diferencial: pA + S1 γ1 h1 − S2 γ2 h2 − S3 γ3 h3 = 0.7 x 104 27



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Despejando se obtiene pA = 0.7 x 104 + γ (S2 h2 + S3 h3 − S1 h1) que al sustituir, en el sistema métrico técnico, se obtiene pA = 0.7 x 104 + 1000 (13.6 x 0.20 + 0.83 x 0.30 − 0.83 x 0.40) pA = 9637 kg/m2

b) Para pA = 1.40 kg/cm2 (absoluta) ⇒ 1.40 x 104 kg/m2 Se obtiene desde el punto B hasta el punto A, a través, del manómetro diferencial pB + γ (S3 h3 + S2 h2 − S1 h1) = pA pB = pA − γ (S3 h3 + S2 h2 − S1 h1) que al sustituir, en el sistema métrico técnico, se obtiene: pB = 1.40 x 104 − 1000 (0.83 x 0.30 + 13.6 x 0.20 − 0.83 x 0.40) pB = 1.136 x 104 kg/m2 (absoluta) ⇒ 1.136 kg/cm2 Como 760 mm Hg equivalen a 1.033 kg/cm2, se obtiene que la presión atmosférica es  740  2 patm =   1.033 = 1.005 kg/cm  760  La presión absoluta es pabs = prel + patm Despejando y sustituyendo se obtiene prel = 1.136 − 1.005 = 1.131 kg/cm2 Como 1 kg/cm2 equivalen a 10 m de agua se obtiene que la presión relativa es  10  pB(rel) =   x 0.131 = 1.31 m de agua 1

28



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Problema 2.7 Dos recipientes cuyas superficies libres se encuentran a una diferencia de altura H, contienen el mismo líquido de peso específico γ según se indica en la figura. Encuentre una expresión para calcular γ en función de γa, A, γB, B.

A través del manómetro superior, desde el punto 1 hasta el punto 2 se obtiene 0 − γ H − γ X − γA A + γ A + γ X = 0 Simplificando se obtiene − γ H − γA A + γ A = 0 A través del manómetro inferior, desde el punto 1 hasta el punto 2, se obtiene 0 + γ m + γB B − γ B − γ m − γ H = 0 Simplificando se obtiene γB B − γ B = γ H Al despejar, se obtiene el valor del desnivel H H=

γB B − γ B γ

Al sustituir el valor de H en la expresión obtenida del manómetro superior, se obtiene  γ B−γ B  − γ A A + γ A = 0 − γ B γ   Al simplificar γ=

γB B + γA A A+B

29



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Problema 2.8 Calcular el desnivel, A, que existe entre los tanques mostrados en la figura .

La presión relativa, del aire confinado, en la parte superior del tanque 1 en kg/m2, se puede determinar mediante la lectura del manómetro así p1 = γHg h = 13600 (−0.254) = −3450 kg/m2 Moviéndose a lo largo del manómetro diferencial, del tanque 1 hasta el tanque 2, se tiene: − 3450 + 1000 x 6.00 + 1.60 x 1000 x 0.60 − 0.80 x 1000 (6.60 − A) = 0 y al despejar se obtiene A = 2.22 m Problema 2.9 Los compartimentos B y C están cerrados y llenos de aire. La lectura barométrica es 1.020 kg/cm2, cuando los manómetros A y D marcan la lectura indicada. Qué valor tendrá X en el manómetro E el cual contiene mercurio (S = 13.59).

30



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Considerando presiones relativas y moviéndose desde el manómetro A hasta el manómetro D se obtiene 2.1 x 104 – 13590 X + (0.25) (13590) = 0 X = 1.80 m

Problema 2.10 El manómetro que se muestra en la figura se encuentra en equilibrio. Si la presión en A aumenta en un 50%, respecto a la inicial, determinar la nueva lectura manométrica.

Condición inicial

Condición final

Para la condición inicial, moviéndose de izquierda a derecha se obtiene: pA + (2 x 1000) 1.00 – (10 x 1000) 0.50 = 0 pA = 3000 kg/m2 Al aumentar la presión en un 50%, es decir,

50 = 0.50 se tiene para esta nueva condición: 100

Nueva presión en A = 3000 + 0.50 (3000) = 4500 kg/m2 Ahora, el líquido manométrico en la rama de la izquierda baja una distancia M, y en consecuencia, sube en la rama de la derecha la misma distancia M, debido a que el diámetro del piezómetro es constante, obteniéndose 4500 + (2 x 1000) (1.00 + M) – (0.50 + 2M) (10 x 1000) = 0 31



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

simplificando se obtiene 2000 M – 20000 M = 5000 – 2000 – 4500 – 18000 M = – 1500 M = 0.08 m La nueva lectura es la lectura inicial más dos veces la altura M así Nueva Lectura = 0.50 + 2 x 0.08 = 0.66 m Problema 2.11 Cuando el embudo está vacío y la altura de agua alcanza el punto A el desnivel del manómetro es ∆H = 150 mm. Calcular el desnivel del manómetro cuando el embudo se encuentra completamente lleno de agua.

S = 13.6

a) Para la condición inicial, moviéndose de izquierda a derecha se obtiene (13.6 x 1000) ∆H – 1000 x h = 0 Como ∆H = 150 mm = 0.150m se tiene al sustituir y despejar h = 2,04 m (desnivel inicial) b) Para la condición final el embudo se llena de agua, la presión en A no depende del tamaño del embudo, ni de la forma de este recipiente, solamente depende de la altura y del tipo del líquido. Al llenar el embudo, el líquido manómetrico baja ∆X en la rama de la derecha, y sube ∆X en la rama de la izquierda, así moviéndose de izquierda a derecha a través del piezómetro se obtiene (13.6 x 1000) (∆H + 2∆X) – 1000 (∆X + h + 3.00) = 0 32



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

al sustituir los valores obtenemos (13.6 x 1000) (0.15 + 2∆X) – 1000 (∆X + 2.04 + 3.00) = 0 ∆X = 0,1145 m. El nuevo desnivel es 2∆X + ∆H sustituyendo el valor de ∆X calculado, se obtiene El nuevo desnivel 2(0.1145) + 0.15 = 0.38 m. Problema 2.12 En el esquema que se muestra en la figura, A contiene agua y el fluido manométrico tiene una densidad relativa de 2.94. Cuando el menisco de la izquierda coincide con el cero de la escala, pA = 10 cm de agua. Determinar la lectura del menisco de la derecha para pA = 0.07 kg/cm2 (man) cuando no se ajusta el tubo a la escala.

a) Para la condición inicial, cuando la presión en A es 10 cm de agua, se obtiene moviéndose a través del manómetro, de izquierda a derecha pA + γagua hagua − ( S γagua ) h1 = 0 al sustituir los valores numéricos se obtiene 1.000 x 0.10 + 1000 x 0.60 − ( 2.94 x 1000) h1 = 0 de donde, h1 = 0.238 m b) Para la condición final, cuando la presión en A es 0.07 kg/cm2, se obtiene moviéndose a través del manómetro de izquierda a derecha p'A + γagua ( hagua + ∆H ) − (2.94 x 1000 ) ( h1 + 2 ∆H ) = 0 33



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

al sustituir los valores numéricos se obtiene 0.07 x 104 + 1000 (0.238 + ∆H) − (2.94 x 1000) (0.238 + 2 ∆H) = 0 de donde, ∆H = 0.123 m Como la escala y el tubo manométrico están fijos la nueva lectura será: Nueva lectura es 0.238 + 0.123 = 0.361 m Problema 2.13 Cuando la llave esta cerrada, el manómetro de Bourdon o de aguja indica una presión pA. Calcular la diferencia entre las ramas del manómetro un U cuando se abre la llave, suponiendo que los niveles del líquido permanece constante..

cuando la llave está cerrada, la presión en A se puede calcular como

34



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

pA = (S γagua) (− h1) pA = (0.85 x 1000) (− 0.90) = − 765.00 kg/m2 Al abrir la llave, el líquido en las ramas del manómetro se mueve. Supongamos que en la rama de la derecha el líquido baja una distancia k y en la rama de la izquierda el líquido sube una distancia k; moviéndose a través del manómetro se tiene 0 − (0.85 x 1000) (1.1 + 0.9 – k) – (1.6 x 1000) (2k) = − 765.00 de donde, k = − 0.40 m El signo negativo, del resultado obtenido a través de los cálculos, indica que ocurre lo contrario de lo asumido, es decir, el líquido en la rama de la derecha sube una distancia k y en la rama de la izquierda baja distancia k. La diferencia entre ramas es 2 k = 2(0.40) = 0.80 m Problema 2.14 Para el esquema que se muestra en la figura se pide: a) Peso del cilindro W1 si la diferencia entre las ramas de mercurio es de 7.00 cm. b) Cuánto será la diferencia entre las ramas de mercurio, considerando una densidad relativa de 13, si sobre el cilindro W1 se coloca un peso W igual a 0.535 kg.

a) Para la condición inicial p1 = (13 x 1000) x 0.07 − (0.9 x 1000) (0.53 + 0.07) p1 = 370 kg/m2 La presión producida por el émbolo de peso W1 es 35



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

W1 π 2 ⇒ W1 = p1 Φ1 A1 4 Al sustituir los valores numéricos se tiene π W1 = 370 x x 0.042 = 0.465 kg 4 p1 =

b) Para la condición final, la nueva presión producida por el émbolo es p1' =

W + W1 0.456 + 0.535 = = 796 kg / m 2 π A1 0.04 2 4

Al colocarse el peso W sobre el embolo, éste baja una distancia Y, y en consecuencia, el líquido en la rama de la derecha del manómetro sube una distancia X. Como estos volúmenes son iguales se tiene π π 0.04 2 Y = 0.012 X 4 4

⇒

Y = 0.063 X

Moviéndose a través del manómetro de izquierda a derecha se obtiene 796 + (0.90 x 1000) (0.60 − Y + X) − (13 x 1000) (2 X + 0.07) = 0 de donde, X = 0.02 m Como la diferencia de lecturas es igual a la lectura inicial más dos veces la distancia X, obtenemos Diferencia de lecturas = 0.07 + 2 x 0.02 = 0.11 m 36



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Problema 2.15 Cuando p1 = p2 el manómetro se encuentra en la posición inicial mostrada en la figura. Calcular la diferencia de presiones p1 − p2 si el menisco de la izquierda (línea entre líquidos) sube 5 cm.

Condición inicial

Condición final

a) Para la condición inicial y moviéndose de izquierda a derecha a través del manómetro se obtiene p2 + 0.50 γ1 − 0.40 x 1000 = p1 Para este caso como p1 = p2 la expresión anterior se transforma en 0.50 γ1 − 0.40 x 1000 = 0 de donde, γ1 =

400 = 800 kg/m3 0.50

b) Para la condición final, al subir el menisco de la izquierda 5 cm la superficie del líquido 1 sube en la cámara izquierda una distancia Z y baja en la cámara de la derecha una distancia Z, entonces p2 + (0.50 – 0.05 + Z) 800 + (0.05 + 0.05) 1000 – (0.40 + 0.05 – Z) 1000 = p1 p2 − p1 = (0.45 + Z) x 800 − (0.35 − Z) x 1000 Como el volumen del líquido en la rama de la izquierda entra en la cámara superior, subiendo una distancia Z, entonces estos volúmenes son iguales, es decir π π 0.05 2 Z = 0.025 2 x 0.05 ⇒ 4 4 Sustituyendo el valor de Z, se tiene

Z = 0.0125 cm

p2 − p1 = (0.45 + 0.0125) x 800 − (0.35 − 0.0125) x 1000 = 32.50 kg/m2

37



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Problema 2.16 La sección transversal de una presa es un rectángulo de 3 m. de ancho y 6 m. de alto. La profundidad del agua situada tras la presa es de 6 m. y la longitud de 150 m. a) Cuál es el momento del par que tiende a volcar la presa. b) Si el material de que está hecha la presa tiene un peso específico de 1700 kg/m3, determinar si el par estabilizador debido al peso tiene un momento mayor o menor que el debido a la acción del agua.

a) Determinación del momento al volcamiento La fuerza, según el diagrama es F =

1 γ H2 L 2

El brazo respecto a eje AA es B =

1 H 3

Luego el momento será M1 = F x B =

1 γ H3 L 6

Al sustituir se obtiene que el momento al volcamiento es

M1 =

1 3 5 x 1000 x 6 x 150 = 54 x 10 kg m 6

38



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

b) Determinación del momento estabilizador El peso de la presa es W = 3 x 6 x 150 x 1700 = 459 x 104 kg. El brazo respecto al eje AA es b =

1 3 a = = 1.50 m 2 2

Luego el momento estabilizador es M2 = W b = 459 x 104 x 1.5 = 68.85 x 105 kg m como M2 = 68.85 x 105 kg ⋅ m > M1 = 54 x 105 kg m, la presa es estable y no se produce el volcamiento. Problema 2.17 Si se considera que la compuerta, cuya sección transversal se muestra en la figura, no tiene peso, cual será la altura de agua, h, para la cual ella se abre?

La fuerza horizontal sobre la superficie vertical y su brazo son respectivamente, F1 =

1 1 γ h2 L = 1000 x h2 x L = 500 h2 L 2 2

y

b1 =

1 h 3

La fuerza vertical sobre la superficie horizontal y su brazo son respectivamente, F2 = γ x h x 1 x L = 1000 h L

y

La condición de equilibrio indica ∑ MA = 0

⇒

F1 b1 − F2 b2 = 0 39

b2 =

1 = 0.50 m 2



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1 h = 1000 h L x 0.50 3 Al despejar se obtiene 500 h2 L x

h =

3 = 1.73 m

Problema 2.18 Calcular el peso W para que la compuerta articulada en A, se mantenga en equilibrio. El ancho de la misma es de 2.00 m

La fuerza sobre la superficie vertical, según el diagrama de presiones es F1 =

1 1000 x 12 x 2 = 1000 kg 2

y su brazo respecto al eje de rotación A es b1 =

1 1 1.00 = m 3 3

La fuerza vertical, sobre la superficie horizontal es F2 = 1000 x 2 x 2

= 4000 kg

y su brazo de la fuerza vertical es: b2 =

1 2.00 = 1.00 m 2

El peso de la presa, W , es desconocido W = ? y su línea de acción respecto al eje A es bw =

2 4 2.00 = m 3 3

40



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

La condición de equilibrio (Σ M A = 0 ) es 1000 x

1 4 + 4000 x 1.00 − W x = 0 3 3

Al despejar se obtiene W = 3250 kg

Problema 2.19 a) Determinar la fuerza resultante F, debida a la acción del agua sobre la superficie plana rectangular AB de 2m de altura y 1 m de ancho que se muestra en la figura. b) Determinar su posición.

Método A (utilizando las fórmulas) a) Determinación de la fuerza F = γxhxA F = 1000 x (1.2 + 1) x (2 x 1) F = 4400 kg b) Determinación del punto de aplicación Y =

Ic g YA

+Y 41



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Y

1 x 23 12 = + (1.2 + 1) (1,2 + 1) x ( 2 x 1)

Y = 2,352 mts (a partir de la superficie) Método B (utilizando el diagrama de presiones) El volumen del prisma trapezoidal de presiones es  1200 + 3200  F=   2  

x

2x1

F = 4400 kg Si se divide el trapecio en un rectángulo y un triángulo se tiene Para el rectángulo F1 = 1200

x

2 x 1 = 2400 kg

Y para el triángulo: 1 F2 = 2000 x 2 x 1 = 2000 kg 2 El momento estático de la fuerza total F, respecto al punto A es igual al momento de las fuerzas parciales F1 y F2; es decir, F x b = F1 b1 + F2 b2 , de donde, b =

F1 b 1 + F2 b 2 F

Al sustituir resulta 2400 x 1 + 2000 x

b =

2 x 2 3

4400

b = 1.15 m La posición desde la superficie será Y = 1.20 + 1.15 = 2.35 m

42



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Problema 2.20 Una superficie triangular, con un ángulo recto, tiene un vértice en la superficie libre de un líquido como se muestra en la figura. Si la compuerta se encuentra sobre un plano vertical, hallar la fuerza sobre dicha superficie. a) Mediante la utilización de la fórmula. b) Mediante integración.

a) Mediante la utilización de la fórmula F = Pc g A La presión en el centro de gravedad de la superficie es Pc g = γ h =

2 h γ 3

El área total de la superficie es A =

b h 2

Al sustituir resulta F =

2γ h b h x 3 2

después de simplificar se obtiene F =

γ h2 b 3

b) Mediante integración dF = p dA dA = x dy 43



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Según la relación de triángulos se tiene x h−y = b h

⇒

x=

b (h − y ) h

La fuerza total será igual a la integral F=

∫

h

b ( h − y ) dy x γ ( h − y ) h

0

Simplificando, F = γ∫

h

0

b (h − y )2 dy h

de donde h

2h y 2 γ x b 2 y3  F= h y − +   h  2 3 0

Luego de evaluar entre 0 y h, se obtiene h3  γ b 3 3 h h − +   h  3  Finalmente F=

γ b h2 F= 3 Problema 2.21 Calcular la magnitud y punto de aplicación de la fuerza horizontal que actúa sobre la compuerta plana y vertical mostrada en la figura.

La fuerza F1, que actúa sobre la superficie cuadrada es 44



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F1 = γ x h x A = 1000 (1.50 + 0.60) 1.20 x 1.20 = 3024.00 kg y su punto de aplicación, respecto a la superficie del agua,

Y1

 1.2 x 1.2 3    Ic g 12   + 2.10 = 2.16 m = +Y = YA 2.10 x (1.20 x 1.20)

La fuerza F2, que actúa sobre la superficie triangular es 1   1.20  F2 = γ x h x A = 1000 1.50 + 1.20 +  x 1 x   = 1818.00 kg 3   2  y su punto de aplicación, respecto a la superficie del agua es

Y2

 1.20 x 1.20 3    Ic g 36   = +Y = + 3.03 = 3.05 m YA  1.20 x 1.20  3.03 x   2  

La fuerza total sobre la superficie compuesta es Ft = 3024 + 1818 = 4842 kg El momento estático de la fuerza Ft, respecto a la superficie del agua es igual al momento de las fuerzas parciales F1 y F2 respecto a la misma superficie Ft YT = F1 Y1 + F2 Y2 Despejando y sustituyendo se tiene YT =

3024 x 2.16 + 1818 x 3.05 4842

YT = 2.49 m Problema 2.22 El prisma rectangular hueco está en equilibrio cuando y = 0 y Z = 30 cm. a) Calcular el peso del prisma b) Si Z = 45 cm, calcular “y” para que se encuentre en equilibrio.

45



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

a) Prisma vacío

La fuerza sobre la superficie vertical y su punto de aplicación son respectivamente

F1 =

1 2 x 1000 x 0.30 x 1 = 45 kg 2

y

b1 =

1 0.30 = 0.10 m 3

La fuerza sobre la superficie horizontal y su punto de aplicación son respectivamente F2 = 300 x 2 x 1 = 600 kg

y

b2 =

2 = 1.00 m 2

La condición de equilibrio se obtiene haciendo la sumatoria de momentos en la articulación, siendo W el peso del prisma y bw, su punto de aplicación; es decir F1b1 + F2 b2 = W bw Despejando se obtiene W =

F1 b 1 + F2 b 2 bw

46



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

como bw = 1.00 m, al sustituir se obtiene 45 x 0.1 + 600 x 1 = 604.50 kg 1

W =

b) Prisma con una altura “y” de mercurio

La fuerza sobre la superficie vertical y su punto de aplicación son respectivamente 1 2

F3 =

x

1000 x 0.45 2 x 1 = 101.25 kg

y

b3 =

1 x 0.45 = 0.15 m 3

La fuerza sobre la superficie horizontal y su punto de aplicación son respectivamente F4 = 450 x 2 x 1 = 900.00 kg

y

b4 =

2 = 1.00 m 2

El peso del prisma, calculado anteriormente, y su punto de aplicación son respectivamente W = 604.50 kg

bw =

y

1 2 2

= 1.00 m

El peso del mercurio y su punto de aplicación son respectivamente W2 = y

x

2 x 1 x 13600 = 27200 y

y

bw2 = 1.00 m

La condición de equilibrio se obtiene haciendo sumatoria de momento respecto a la articulación F3

x

b3 + F4

W2 =

x

b4 = W

x

bw + W2 bw2

F3 b 3 + F4 b 4 − W b w bw 2

Al sustituir se tiene W2 =

101.25 x 0.15 + 900 x 1 − 604.50 x 1 1

= 310.69 kg ; lo que corresponde al peso del

mercurio para mantener el equilibrio. 47



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Como 27200 y = 310.69 Entonces se obtiene y = 0.011 m Problema 2.23 En la figura el prisma triangular hueco está en equilibrio cuando Y = 0 y Z = 30 cm. La línea de acción del centro de gravedad del prisma se encuentra según lo indicado. a) Determinar el peso del prisma por metro de longitud. b) Hallar el valor de “Y”, si Z = 45 cms.

a)

Prisma vacío

La fuerza sobre la superficie vertical y su punto de aplicación son respectivamente 1 1 1000 x 0.32 x 1 = 45 kg y b1 = 0.30 = 0.10 m F1 = 2 3 La fuerza sobre la superficie horizontal y su punto de aplicación son respectivamente F2 = 0.30 x 1000 x 1.20 x 1 = 360 kg

y

b2 = 48

1 1.20 = 0.60 m 2



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

La condición de equilibrio se obtiene haciendo sumatoria de momento respecto al punto a, siendo W el peso del prisma. ∑ Ma = 0 45 x 0.10 + 360 x 0.60 - W 0.90 = 0 de donde W = 245 kg b) Prisma con una altura de agua en el interior igual a Y

La fuerza sobre la superficie vertical y su línea de acción son respectivamente 1 1 F3 = 1000 x 0.452 x 1 = 101.25 kg y b3 = 0.45 = 0.15 m 2 3 La fuerza sobre la superficie horizontal y su línea de acción son respectivamente 1 y b2 = 1.20 = 0.60 m F4 = 450 x 1.20 x 1 = 540 kg 2 El peso total del agua, en el interior del prisma, se puede calcular como W2 y W3. Por relación de triángulos X 1.2 0 = Y 0.9

⇒

X=

4 Y 3

El peso W3 y su línea de acción son, respectivamente W3 =

1 4 Y Y x 1 x 1000 2 3

y

b3 =

2 4 8 Y = Y 3 3 9

El peso W2 y su línea de acción son respectivamente 4 4  1  W2 = (1.20 Y) Y x 1 x 1000 y b2 = 1.20 − Y  3 3  2  La condición de equilibrio se obtiene haciendo sumatoria de momentos respecto al punto a. ∑ Ma = 0 49



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

   4 4  4 1  2 2  8 Y  Y 1000    Y +  1 .20 − Y    + 245 x 0.90 − 540 x 0.60 − 101.25 x 0.15 = 0  Y 1000  Y +  1.20 9 3 3 3  2         3

de donde se obtiene, Y = 0.167 m Problema 2.24 a) Hallar el módulo y la línea de acción de la fuerza a cada lado de la compuerta que se muestra en la figura. b) Determinar F para abrir la compuerta si ésta es homogénea y pesa 3000 kg. El ancho de la compuerta es de 1.80 m.

La longitud L, de la compuerta es L = 1.80 2 + 2.40 2 = 3.00 m Determinación la fuerza producida por el líquido de la izquierda

50



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

La altura desde el centro de gravedad de la compuerta hasta la superficie del líquido, donde la presión es 0, es  1.80  + 0.60 + 1.20  = 2.20 m h1 =   2  El área real de la compuerta es A = L x ancho = 3.00 x 1.80 Entonces la fuerza es F1 = γ h 1 A = 864 x 2.70 x (1.80 x 3.00) F1 = 12597 kg

Determinación de la línea de acción de la fuerza producida por el líquido de la izquierda Esta línea se encuentra a Y1 desde el punto O Y1 =

I cg Y1 A

+ Y1

Por relación de triángulos 1.80 3.60 = 3.00 Yo Y 1 = Y0 −

Y1

⇒

Yo = 6 m

L 3.00 = 6.00 − = 4.50 m 2 2

1.80 x 3.00 3 I cg 12 = +Y1 = + 4.50 = 4.67 m 4.50 x 1.80 x 3.00 Y 1A

51



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación la fuerza producida por el líquido de la derecha.

La altura desde el centro de gravedad de la compuerta hasta la superficie del líquido, donde la presión es 0, es h2 =

1.80 + 0.60 = 1.50 m 2

F2 = γ h 2 A = 864 x 1.50 x 1.80 x 3.00 F2 = 6998 kg Determinación de la línea de acción de la fuerza producida por el liquido de la derecha Esta línea de acción se encuentra a Y desde el punto O Y1 =

I cg Y1 A

+ Y1

Por relación de triángulos 1.80 0.60 = 3.00 X

Y2 = X +

⇒

X = 1.00 m

L 3.00 = 1.00 + = 2.50 m 2 2 52



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Y2

1.80 x 3.00 3 12 = + (2.50) = 2.80 m (2.50) x (1.80 x 3.00)

Los brazos de cada una de las fuerzas se encuentran indicados en la figura siguiente

Mediante la condición de equilibrio tenemos 12597 x 1.67 + 3000 x 1.20 − 6998 x 1.80 − F x 2.40 = 0 F =

21036 + 3600 − 1259 6 24

F = 5017 kg

Problema 2.25 ¿Cuál será el valor del contrapeso W para que la compuerta de la figura se mantenga en la forma mostrada? Las hojas OA y OB, rectangulares de 4,00 m de ancho, forman en O un ángulo rígido de 90o y pesan 3000 kg y 3600 kg, respectivamente.

53



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación de las presiones en los puntos A, O, B, con el fin de dibujar los diagramas de presiones pA = 0 p0 = pA + γ h1 = 0 + 1000 (1.50 cos 300) = 1300 kg/m2 pB = p0 + γ h1 = 1300 + 1000 (1.80 sen 300) = 2200 kg/m2

Determinación de la fuerza La fuerza sobre la cara AO, de 4 m de ancho se puede calcular según el diagrama de presiones como

54



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

F1 =

1 x 1300 x 1.50 x 4 = 3897 kg 2

La fuerza sobre la cara OB, de 4 m de ancho se puede calcular, en dos partes, según el diagrama de presiones como F2 = 1300 x 1,80 x 4 = 9353 kg F3 =

1 x 900 1.50 x 4 = 3240 kg 2

El peso P1 de la hoja OA es P1 = 3600 kg El peso P1 de la hoja OB es P2 = 3000 kg Consideremos W el peso necesario para mantener el equilibrio Determinación de los brazos de cada una de las fuerzas calculadas anteriormente b1 =

1 x 1.50 = 0.50 m 3

b2 =

1 x 1.80 = 0.90 m 2

b3 =

2 x 1.80 = 1.20 m 3

b4 = (1.80 - 0.15) cos 300 = 1.43 m b5 = 0.90 cos 300 = 0.78 m b6 = 0.75 cos 600 = 0.38 m

La condición de equilibrio indica que la sumatoria de momentos respecto al eje O es ∑Mo = F1 b1 − F2 b2 − F3 b3 + P1 b5 + P2 b6 + W b4 = 0

Al sustituir ∑Mo = 3897

x

0.50 − 9353

x

0.90 − 3240

x

1.20 + 3600

x

0.78 + 3000 x 0.38 + W x 1.43 = 0

de donde W =

−1948.50 + 8417.70 + 3888 − 2808 − 1140 1.43

= 4481.96 kg

55



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Problema 2.26 Calcular la fuerza de compresión a que está sometida la barra AD, por la acción del agua sobre la compuerta triangular equilátera ABC.

Determinación de las distancias H y L 2.00 2.00 ⇒ H = ⇒ H = 2.31 m H sen 60 o 2 . 31 2.31 ⇒ L = ⇒ L = 2.67 m sen 60o = L sen 60 o Determinación de las fuerzas producidas por el agua sobre la compuerta sen 60o =

2  1   F = γ h A = 1000  0.5 + 2   2.67 x 2.31  3  2   F = 5654 kg Determinación del punto de aplicación, Y de la fuerza La distancia M, imaginaria, indicada en la figura es M cos 300 = 0.50

⇒

M =

0.50 = 0.58 m cos 30 0

El momento de inercia del triángulo respecto al eje centroidal es Icg

L H3 = 36 56



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

La distancia Y es Y = 0.58 +

2 2.31 = 2.12 m 3

La distancia Y es Y =

Ic g YA

+Y

Al sustituir se obtiene 2.67 x 2.313 36 + 2.12 = 2.26 m Y =  2.67 x 2.31  2.12   2   El brazo respecto al eje horizontal B C es b = (2.31 + 0.58) − 2.26 = 0.63 m Según la condición de equilibrio F x b − Fc x 2.31 = 0 Al despejar se obtiene Fc =

5654 x 0 . 63 = 1542 Kg 2 . 31

Problema 2.27 En el depósito mostrado en la figura se pide: a) Fuerza horizontal sobre la superficie AB b) Punto de aplicación de la resultante respecto al punto B. El ancho de la superficie AB es de 1.00 m.

57



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación de las presiones en los puntos A, 1, 2, B, para dibujar los diagramas de presiones pA = 0.10 x 13600

= 1360 kg/m2

p1 =

= 1360 kg/m2

p2 = 360 + 2.2 x 780

= 3076 kg/m2

pB = 3076 + 0.9 x 1000 = 3976 kg/m2

Determinación de las fuerzas La fuerza en la zona A−1, de la presión constante, en forma de prisma rectangular es F1 = 1360 (1.00 x 1.00)

= 1360.00 kg

La fuerza en la zona 1−2, de la presión variable, en forma de prisma trapezoidal es F2 =

1360 + 307 6 2

x

2.20 x 1.00

= 4879.60 kg

La fuerza en la zona 2−B, de la presión variable, en forma de prisma trapezoidal es

F3 =

307 6 + 39 7 6 2

x

0.90 x 1.00

= 3173.40 kg 58



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

La fuerza total FH es FH = F1 + F2 + F3

⇒

FH = 1360 + 4879.6 + 3173.40 = 9413 kg

Determinación de los brazos respecto al punto B b1 = 0.90 + 2.20 +

1. 00 = 3.60 m 2

El centro de gravedad de un trapecio respecto a la base mayor es Xc g =

h a  1+  3 a + b 

Entonces, al sustituir se obtienen los brazos b2 = 0.90 +

b3 =

2.20 3

  1360 1 +  = 1.86 m 1360 + 3076  

y

 0.9 0  307 6 1+ = 0.43 m  3  39 7 6 + 307 6 

El momento producido por la fuerza total FH, respecto al punto B es igual a la suma de los momentos parciales de las fuerzas F1, F2 y F3, es decir,

FH x b = F1 x b1 + F2 x b2 + F3 x b3 b =

1360 x 3.60 + 4879.60 x 1.86 + 3173.40 x 0.43 9413

⇒

b = 1.63 m

Problema 2.28 Calcular la altura, h necesaria para mantener en equilibrio la compuerta circular ,de 1.00 m de diámetro que se muestra en la figura.

59



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación de la fuerza F1, producida por el agua y su punto de aplicación

F1 = γ hc g A F1 = 1000 x 3.5 x

π x 1.002 = 2750 kg 4

Como Ic g = Yc p =

πd 4 3.14 x 1.00 4 = = 0.05 m 64 64 Ic g YA

+Y

60



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Yc p =

0.05 π 4

2

x 1.00 x

+ 3.50 = 0.02 + 3.50 = 3.52 m 3.5

El brazo respecto a la articulación es b1 = Yc p − 3.00 = 0.52 m Determinación de la fuerza F2 producida por el aire y su punto de aplicación Como la presión en la cámara de aire es constante, la fuerza F2 se determina como π  F2 = (13.6 x 1000) (h)  1.00 2  4  1 b2 = 1.00 = 0.50 m 2 La condición de equilibrio indica F2 b2 − F1 b1 = 0 π  (13.6 x 1000) (h)  1.00 2  x 0.50 − 2752 x 0.52 = 0 4  Al despejar resulta h = 0.25 m Problema 2.29 Determinar el momento que hay que aplicar en "O" para mantener la compuerta cerrada. El ancho de la compuerta rectangular es de 1.80 m.

61



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación de las presiones en los puntos A y O, con el fin de dibujar los diagramas de presiones

pA = 0.30 x (5 x 1000) – (0.60 + 0.30) x 1000 =

600 kg/m2

= – 600 kg/m2

p0 = 600 – 1000 x 1.20

La longitud de la compuerta es Sen 450 =

1.20 L

⇒

L = 1.70 m

El punto de corte o de presión cero ocurre, por simetría en L / 2 = 0.85 m Entonces la fuerza se puede determinar a través de la cuña o diagrama de presiones como F1 = F2 =

1 600 2

x

0,85 x 1,80 = 459 kg

El momento estático de las fuerzas F1 y F2 respecto al punto O es

62



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

M = F1 b1 + F2 b2 Al sustituir resulta M = 459

x

(

1 2 0,85 + 0,85) − 459 ( x 0,85) = 520 kg . m 3 3

Problema 2.30 Calcular el volumen mínimo de un bloque de concreto (γ = 2400 kg/m3) que pueda mantener la compuerta circular en la posición que se muestra en la figura. (El bloque está sumergido en agua)

Determinación de la fuerza F1 y su punto de aplicación F1 = Pcg A = γ h A = 1000 x 1.20 x Y =

Ic g YX A

π 4

x

1.802

+Y

Como el momento de inercia es

63

⇒

F1 = 3051 kg



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

πd 4 3.14 x (1.80) 4 = = 0.515 m 64 64

Ic g =

entonces Y =

0,515 + 1.20 = 0.17 + 1.20 = 1.37 m π 2 1.20 x x 1.80 4

El brazo respecto al eje de rotación es b1 = (0.30 + 1.80 + 0.60) − 1.37 m = 1.33 m

Según la condición de equilibrio F1 b1 − F2 b2 = 0 ⇒ F2 =

F1 b 1 b2

Al sustituir se obtiene 3051 x 1.33 = 1230 kg 3.30

F2 =

Si la tensión del cable es 1230 kg, según la sumatoria de fuerzas verticales, E + F2 − W = 0 Donde E es el empuje que experimenta el cuerpo sumergido, E = γ liq x Vsumergido γ liq

x

Vsumergido + 1230 − W = 0

1000 x Vsumergido + 1230 − 2400 x Vsumergido = 0 Vsumergido (2400 - 1000) = 1230 Vsumergido =

12 30 = 0.878 m3 14 00

64



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Problema 2.31 Calcular Fh , FV , y FR por metro de ancho debido a la acción del agua sobre el muro de retención parabólico que se muestra en la figura. El vértice de la parábola se encuentra en el punto A y es simétrica respecto al eje Y.

La fuerza vertical es igual al peso del volumen de líquido sobre la superficie curva el cual es igual al área entre la superficie curva, la superficie del agua y el eje Y multiplicada por el ancho y por el peso específico del líquido. La ecuación de la parábola puede expresarse como y = K x2 Esta se debe satisfacer para el punto B, de coordenadas (2.50; 3.00); es decir, 3.00 ⇒ K = = 0.48 3.0 = K x 2.502 ( 2.50)2 de donde, a ecuación de la parábola y = 0.48 x2 El área descrita anteriormente se puede calcular mediante integración como dA = dy x Y dy 0.48

dA =

A =

∫

3

0

1/ 2

1  Y    dy = 0.481/ 2  0.48 

∫

3 1/ 2

y

dy

0

65



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Al integrar se obtiene A =

1

(0.48 )1/ 2

3

 2 Y 3/ 2   2 x 3 3/ 2  1 2 =    = 5.00 m 1/ 2  3 3   0 ( 0.48 )  

Entonces la fuerza vertical es FV = 5.00 x 1.00 x 1000 = 5000 kg. La fuerza horizontal es igual a la fuerza que actúa sobre la proyección vertical de la superficie; es decir, FH = γ h A FH = 1000 x 1.5 x 3 x 1 = 4500 kg. La resultante de la fuerza horizontal y vertical es R =

4500 2 + 5000 2

R = 6727 kg.

Problema 2.32 La compuerta ABC de la figura es de forma parabólica (A es el vértice de la parábola) y puede girar alrededor de A. Si su centro de gravedad está en B, ¿Qué peso W debe tener la compuerta para que esté en equilibrio en la forma que se muestra? Ancho = 1.00 m

La fuerza vertical es igual al peso del volumen de líquido desalojado por la compuerta el cual es igual al área entre la superficie curva, la superficie imaginaria del líquido y el eje y, multiplicada por ancho de la compuerta y por el peso específico del líquido. La ecuación de la parábola puede expresarse como 66



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

x = K1 y2 La cual se debe satisfacer para el punto D, de coordenadas (0.60; 1.20)

Es decir, 0.6 = K1 x 1.202 K1 =

0.6 = 0.4167 120 . 2

de donde, la ecuación de la parábola es x = 0.4167 y2 El área descrita anteriormente se puede calcular mediante integración como dA = x dy

1.20

A = ∫0

(0.4167 y ) dy 2

0.4167 x 1.20 3 = 0.24 m2 3 Entonces la fuerza vertical es A =

FV = 0.24 x 1.00 x 0.80 x 1000 = 192 kg La fuerza vertical actúa en el centro de gravedad del área determinada anteriormente el cual se determina como

67



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

X cg A =

∫

1.20

x 0

x dy 2

Al sustituir y despejar el valor Xcg, se obtiene

X cg =

∫

1.20 0

0.4167 y 2 0.4167 y dy 2 = 0.18 m 0.24 2

La fuerza horizontal y su brazo respecto al punto A son respectivamente FH =

1 2

x

800 x 1.202 x 1.00 = 576 kg

y

bH =

1 x 1.20 = 0.40 m 3

Según la condición de equilibrio W x 0.45 − X cg FV − FH bH = 0 Al sustituir y despejar se obtiene

W=

0.18 x 192 + 0.40 x 576 = 588.80 kg 0.45

Problema 2.33 Para la compuerta radial que se muestra en la figura determinar: a) La fuerza horizontal y su línea de acción. b) La fuerza vertical y su línea de acción. c) La fuerza F, necesaria para abrir la compuerta, despreciando su peso. d) El momento respecto a un eje normal al papel y que pasa por el punto O

68



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación de la fuerza horizontal y su línea de acción

FH = γ x h x A = 1000 x 4 x 4 = 16000 kg 2 x 23 1 12 Y = Y + I cg = 4.00 + = 4 + = 4.08 m 12 4.00 x (2.00 x 2.00) Y A

Determinación de la fuerza vertical y su línea de acción La fuerza vertical es igual al peso del volumen de líquido desalojado por la compuerta. Con la finalidad de simplificar los cálculos esta fuerza se divide en dos partes siendo las fuerzas y los brazos respectivamente FV1 = 3 x 2 x 2 x 1000 = 12000 kg

y

b1 = 1.00 m

π 42 FV2 = 4 4

y

b2 =

x

2 x 1000 = 6280 kg

4 r 4 x 2.00 = = 0.848 m 3π 3π

Determinación de la fuerza F, necesaria para abrir la compuerta La condición de equilibrio indica que el momento respecto al punto O es cero; así,

∑M o = 0 12000 x 1.00 + 6280 x 0.848 − 16000 x 1.08 + 2 x F = 0 69



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Al despejar se obtiene 2.56 = 1.28 ≅ 0 kg 2 Es decir, no se necesita fuerza para abrir la compuerta.

F =

Determinación del momento respecto al punto O

∑ Mo = 0

(Por el paso anterior)

Problema 2.34 Calcular la magnitud, dirección y punto de aplicación de la fuerza ejercida sobre el área AB debido a la acción del agua, sobre un cuarto de cilindro circular con una longitud, normal al plano del dibujo, de 2.44 m.

Determinación de la fuerza horizontal producida por el líquido sobre la proyección vertical de la superficie

70



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1.52   FH = γ hcg Ap = 1000 x  3.05 +  2   Determinación del punto de aplicación Y = Y +

x

1.52 x 2.44 = 14310 kg.

I cg

1.52  2.44 x 1.52 3  =  3.05 +  + YA  2  12 x 2.44 x 1.52 x (3.05 + 1.52)

Y = 3.81 + 0.0459 = 3.8559 m

 π x 1.52 2 FV = FV(ACDO) + FV(AOB) = 1000 x 3.05 x 2.44 x 1.52 + 1000 x 2.44 x  4  FV = 11309 + 4424 = 15733 kg

   

Los punto de aplicación de las fuerza verticales son El de la fuerza FV(ACDO) es El de la fuerza FV(AOB) es

1.52 = 0.76 m 2 4 x 1.52 4 r = 0.645 m = 3π 3π

El momento producido por la fuerza vertical total es igual al la sumatoria de los momentos producidos por cada una de las fuerzas verticales FV Xc = EV(ACDO) x 0.76 + EV(AOB) x 0.645 Xc = FT =

11309 x 0.76 + 4424 x 0.645 = 0.728 m 15733

14130 2 + 157332 = 21146 kg

Determinación de la dirección y sentido de la fuerza tangφ =

FH 14130 = 0.898 m = Fv 15733

φ = 41o 56’

con el eje vertical y sentido hacia la derecha.

Problema 2.35 El deposito cilíndrico de la figura, de 2 m. de diámetro, está lleno hasta la mitad de aceite de peso específico relativo 0,80 y el resto con aire a una presión de 0,1 kg/cm2. Determinar: a) La fuerza contra la tapa superior y su punto de aplicación b) La fuerza contra el fondo y su punto de aplicación c) Hacer un diagrama de presiones contra la pared lateral d) La tensión horizontal máxima que debe resistir un anillo de 1 cm de pared lateral. e) Si el depósito está asentado directamente sobre el terreno, calcular la fatiga de éste, siendo el peso propio del tanque de 1.5 Ton.

71



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación de la fuerza contra la tapa superior y su punto de aplicación F1 = paire A1 = 0.1 x 10 4 x

π 2.00 2 = 3140 kg 4

Debido a que la presión es constante en la tapa, la fuerza actúa en el centro de gravedad de la misma. Determinación de la fuerza contra la tapa inferior y su punto de aplicación F2 = 3140 + γaceite h A1 = 3140 + 0.80 x 1000 x1.00 x

π 2.00 2 = 5625 kg. 4

Esta fuerza está aplicada el centro de gravedad del fondo, según lo explicado anteriormente Diagrama de presiones contra la pared lateral pA = 0.1 x 104

= 1000 kg/m2

pB = 0.1 x 104

= 1000 kg/m2

pC = 1000 + 800 x 1

= 1800 kg/m2

Determinación de la fuerza horizontal máxima absorbida por las paredes laterales

72



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Al observar un corte del cilindro se tiene

T = pmáx D L Al despejar y sustituir se obtiene T = 1800

2.00 0.01 = 18 kg 2

Determinación de la fatiga del terreno

σterr. =

FV 5652 − 3140 + 1500 = = 1278 kg/m2 π A1 2.00 2 4

⇒

σterr. = 0.1278 kg/cm2

Problema 2.36 En el muro de retención de agua de mar mostrado en la figura cuál es el momento respecto al punto A por la acción exclusiva del agua de mar (γ = 1025 kg/m3)?

73



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

La fuerza vertical es igual al peso del volumen de líquido sobre la superficie curva, el cual es igual al área entre la superficie curva, la superficie del líquido y el eje Y, multiplicada por el ancho de la compuerta y por el peso específico del líquido. La ecuación de la parábola puede expresarse como y = K x2 La cual debe satisfacerse para el punto de coordenadas (2.50; 3.00); es decir, 3.00 = K x 2.502

⇒ K = 0.48

de donde, la ecuación de la parábola es y = 0.48 x2 El área descrita anteriormente se pude calcular mediante integración como dA = (3 − y) dx 2.5

A= ∫

2.5 0

 0.48 x 3  (3 - 0.48 x ) dx = 3 x  3 0  2

= 5.00 m2

FV = 5.00 x 1025 = 5125 kg La fuerza vertical actúa en el centro de gravedad del área determinada anteriormente. Este de acuerdo a la siguiente figura

74



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

como Xcg A =

∫

2.5

(3 - 0.48 x 2 ) x dx 0 2.5

Xcg

 3 x 2 0.48 x 4    2 4 0  = 5.00

= 0.94 m

La fuerza vertical actúa a una distancia b2 según lo indicado en la siguiente figura

b2 = 5.00 − 0.94 = 4.06 m Determinación de la fuerza horizontal FH =

1 1 γ H2 L = 1025 x 3.002 x 1.00 = 4612.5 kg 2 2

La fuerza horizontal actúa a una distancia b1 según lo indicado en la figura anterior b1 = 1.00 +

1 x 3.00 = 2.00 m 3

El momento respecto al punto A es Ma = 4612.50 x 2 − 5125 x 4.06 = −11582.50 kg m Problema 2.37 Calcular, mediante integración, la fuerza F necesaria para mantener la compuerta de la figura en la posición indicada. Considerar que el ancho de la compuerta es de 1.20 m.

75



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación de la presión en el punto O po + 0.80 x 800 x 0.50 + 1000 x 0.60 − 4000 x 1.50 = 0 po = 5000 kg/m2 La presión p1, a una altura h, medida verticalmente desde el punto O es p1 = 5000 + γ h = 5000 + γ 0.50 (1 - cos α) El diferencial de fuerza que actúa sobre el diferencial de área es dF1 = [5000 + γ x 0.50 x (1 - cos α)] x 0.50 x dα x 1.20 El diferencial de momento, respecto al punto O es dM = dF1 x b Al sustituir se obtiene dM = [5000 + γ 0.50 (1 - cos α)] 0.50 x 1.20 dα (0.50 senα)

El momento total se obtiene al integrar ente 0 y

π 2

76



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

M = 0.30

∫

π/ 2

[5000

+ γ 0.50 (1 - cosα) ] sen α dα

0

π/ 2

M = 0.3 x

∫ 5000 sen α dα + γ 0.50 sen α dα - γ 0.50 senα cos α dα 0

Como sen α cos α =

sen 2 α 2

entonces se tiene:

γ 0.50  π/ 2 π/ 2 M = 0.30  - 5000 [cos α ]0 - γ 0.50 [cos α ]0 ∫ 2 

π/2 0

 sen 2α dα  

Como d (cos 2 α) = - 2 sen 2α dα entonces

γ 0.50  [cos 2 α ]0π/ 2  M = 0.30  5000 + γ 0.50 + 4   γ 0.50   M = 0.30  5000 + γ 0.50 + ( − 1 - 1) 4   γ 0.50   M = 0.30  5000 + γ 0.50  2   800 x 0.50   M = 0.30  5000 + 800 x 0.50  2   M = 0.30

{ 5200 }

= 1560 kg m

Para que la compuerta se encuentre cerrada, el momento producido por la fuerza externa F, respecto al punto O debe ser igual al producido por la acción del agua, determinado anteriormente; así, F x 0.50 = 1560 de donde, F =

1560 = 3120 kg. 0.50 77



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Problema 2.38 El cilindro de la figura, de 2.00 m de diámetro pesa 2500 kg. y tiene una longitud de 1.50 m. Determinar las reacciones en A y B despreciando el rozamiento.

Esquemas de fuerzas

Determinación de la fuerza horizontal producida por la acción del aceite. FH =

1 1 2 0.8 x 1000 x 2.002 x 1.50 = 2400 kg γh L = 2 2

La condición de equilibrio horizontal indica que FH

−

RA = 0

⇒

RA = FH = 2400 kg

Determinación de la fuerza vertical producida por el aceite FV = FV2 - FV1 78



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

La fuerza vertical en la zona BD es hacia arriba e igual al peso del volumen de agua desplazada, es decir, el área ABCDE multiplicada por la longitud del cilindro y por el peso específico del líquido; así, FV2 = γ ABCDE L La fuerza vertical en la zona CD es hacia abajo e igual al peso del volumen de agua que se wncuentra sobre la superficie, es decir, el área ADEC multiplicada por la longitud del cilindro y por peso específico del líquido; así, FV1 = γ ADEC x L La fuerza vertical resultante es FV = γ L (ABCED - ADEC) y hacia arriba simplificando se obtiene FV = γ L ABCD y al sustituir los valores numéricos resulta

 π 1.00 2 FV = 800 x 1.5 x  2 

  = 1885 kg  

La condición de equilibrio vertical indica que FV + RB = W RB = W − FV RB = 2500 − 1885 = 615 kg

Problema 2.39 El cilindro de la figura de 2.40 m de diámetro, pesa 250 kg y reposa sobre el fondo de un depósito de 1.00 m de longitud; si se vierte agua y aceite en la parte izquierda y derecha respectivamente, hallar los módulos de las componentes de las fuerza horizontal y vertical que mantienen el cilindro justamente en o en el depósito.

79



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Esquemas de fuerzas

Determinación de las fuerzas horizontales FH(BC) =

1 1 γ H2 L = 1000 x 0.602 x 1.00 = 180 kg 2 2

FH(BA) =

1 1 γ H12 L = 750 x 1.202 x 1.00 = 540 kg 2 2

La condición de equilibrio horizontal indica que RH + FH(CB) − FH(BA) = 0 de donde, RH = FH(BA) − FH(CB) = 540 − 180 = 360 kg Determinación de las fuerzas verticales La fuerza vertical producida por el agua es igual al peso del volumen desalojado; es decir, el área CDB multiplicada por la longitud y el peso específico 80



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

FV(BC) = (Area (COB) − Area (COD)) L γ  0.6  π  = ⇒ 60º Angulo (COB) = arc cos   12 .  3

La distancia CD es igual a

1.20 2 − 0.60 2 = 1.04 m

1.04 x 0.6  1 FV(CB) =  π 1.20 2 −  x 1.00 x 1000 2 6  FV(CB) = 331 kg La fuerza vertical producida por el aceite es igual al peso del volumen desalojado; es decir, el área ABO multiplicada por la longitud y el peso específico 1  FV(BA) =  π 1.20 2  1.00 x 0.75 x 1000 = 848 kg 4  La condición de equilibrio vertical indica que Rv = FV(CB) + FV(BA) − W Rv = 331 + 848 − 250 = 929 kg

Problema 2.40 Hallar las fuerzas horizontales y verticales sobre la compuerta radial de 1.00 m. de ancho que se muestra en la figura y el momento que ellas producen respecto al eje de giro A.

81



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación de la altura H H   2 sen 45 =   ⇒ H = 5.00 x 2 sen 45° = 7.07 m. 5.00 Determinación de la fuerza vertical producida por el agua sobre la compuerta. FV = Peso del volumen de agua desalojado por la compuerta Fv = [Area(ABDC) − Area(ABC)] 1000 γ  H  H    2 πr  2   1.00 FV = γ  −  4  2     Al sustituir resulta  3.14 x 5 2 7.07 x 3.54   − FV = 1000   4 2   FV = 1000 (19.63 − 12.51) = 7120 kg Determinación de la fuerza horizontal producida por el agua sobre la compuerta 1 FH = γ H2 L 2 1 2 FH = x 1000 x 7.07 x 1.00 = 24992 kg 2 Determinación de los puntos de aplicación La fuerza vertical se encuentra aplicada en el centro de gravedad del volumen desalojado, el cual se calcula mediante (Sen α )3 4r Xcg = 3 (2 α − Sen 2α )

(

)

3

4x5 Sen 45 0 Xcg = 3  π 0   2 − Sen  2 x 45      4

82



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Xcg = 4.13 m (desde el centro) La fuerza horizontal se encuentra aplicada a

2 H desde la superficie; es decir, 3

2 x 7.07 = 4.71 m 3

Y =

Determinación del momento respecto al punto A H  = FH  Y −  − Fv Xcg 2 

∑ MA

∑ MA = ∑ MA

24992 x (4.71 − 3.535) − 7120 x 4.13

≈ 0 kg m

Problema 2.41 Calcular el mínimo valor de γ para que la válvula cónica mostrada en la figura, mantenga el agua en el tanque A con una altura H igual a 5 m.

Determinación del peso W de la válvula cónica W = γ

W =

1 π 2 x 2.00 x 2.00 3 4

2 γπ 3

Esquema de las fuerzas verticales producidas por el agua 83



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación de la fuerza vertical producida por el agua FV = FV1 + FV2 FV = 1000

1 π π 1.002 x 1.00 + 1000 1.002 x 5.00 3 4 4

La condición de equilibrio vertical indica que FV1 + FV2 = W 2  1 5 +  γ π = 1000 π x   12 4  3  1 + 15  2  γ = 1000 x   12  3

γ = 1000 x

3  16   x 2  12 

γ = 2000 kg/m3

Problema 2.42 Calcular la fuerza vertical que actúa sobre la bóveda semiesfera mostrada en la figura, si la presión en A es de 0.60 kg/cm2 y la densidad relativa del liquido 1.60.

84



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

La altura H imaginaria donde la presión es cero es pA 0.6 x 10 4 = 3.75 m H= = γ 1.6 x 10 3 El volumen desalojado por la semiesfera se muestra en la siguiente figura

Este volumen es igual al volumen del cilindro menos el volumen de la semiesfera El volumen de una esfera es V =

4 π r 3, por lo tanto el volumen desalojado es 3

π 1 4 2 x 1.20 x 3.75 − π x 0.603 = 4.24 − 0.45 = 3.79 m3 4 2 3

La fuerza vertical es el volumen desalojado multiplicado por el peso específico del líquido, es decir, FV = 3.79 x (1.60 x 1000) = 6064 kg y actúa hacia arriba

Problema 2.43 Calcular en el esquema de la figura a) Fuerza horizontal producida por H2O. b) Fuerza vertical producida por H2O. c) Fuerza horizontal producida por C Cl4. d) Fuerza vertical producida por C Cl4. e) El valor de F para que la compuerta no se abra.

85



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Esquemas de las fuerzas sobre la compuerta en o con el H2O

Determinación de las fuerzas horizontales y sus puntos de aplicación 2 300 x 0.3 FH1 = x 1.00 = 45 kg y b1 = x 0.30 = 0.20 m desde A 3 2 1 y b2 = x 0.30 = 0.15 m desde A FH2 = 600 x 0.3 x 1.00 = 180 kg 2 La fuerza horizontal total es FH = FH1 + FH2 = 225 kg 86



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación de las fuerzas verticales y sus puntos de aplicación 1 FV1 = 0.60 x 0.30 x 1000 x 1.00 = 180 kg y b3 = x 0.30 = 0.15 desde A 2 2 π   0.30 2  x1.00 x 1000 = 19.4 kg y b4 = FV2 =  0.30 2 − 3 4  

x

0.30 = 0.23 desde A (4 - π )

La fuerza vertical total es FV = FV1 + FV2 = 199.40 kg Esquemas de las fuerzas sobre la compuerta en o con el C Cl4

Sustitución de la capa de H 2 O por una altura de C Cl 4 de tal manera que la presión en la interface de los dos líquidos sea la misma p 900 = = 0.56 m γ 1600 Determinación de las fuerzas horizontales y sus puntos de aplicación

p = 0.9 x 1000 = 900 kg / m2

⇒

FH3 = 900 x 0.30 x 1.00 = 270 kg

y

480 x 0.3 x 1.00 = 72 kg 2

y

FH4 =

y=

0.30 + 0.30 = 0.45 m desde A 2 2 b6 = x 0.30 = 0.50 m desde A 3

b5 =

La fuerza horizontal total es FH = 270 + 72 = 342 kg Determinación de las fuerzas verticales y sus puntos de aplicación FV3 = 0.56 x 0.30 x 1600 x 1.00 = 268 kg FV4 =

π x 0.3 2 4

x

1600 x 1.00

= 113 kg

y y

FV = 268 + 113 = 381 kg 87

0.30 = 0.15 m desde A 2 4 0.3 b8 = x = 0.13 m desde A 3 π

b7 =



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

La condición de equilibrio indica que la sumatoria de momentos respecto a la articulación debe ser cero, es decir, ∑MA = 0 − FH1 b1 − FH2 b2 − FV1 b3 − FV2 b4 − FH3 b5 − FH4 b6 + FV3 b7 + FV4 b8 + 0.60 F = 0 − 45 x 0.20 −180 x 0.15 −180 x 0.15 − 19.4 x 0.23 − 270 x 0.45 − 72 x 0.50 + 268 x 0.15 + 113 x 0.13 + 0.60 −FX = 0

F = 267 kg.

Problema 2.44 Calcular la magnitud y dirección de la fuerza horizontal y de la fuerza vertical producida por el agua sobre el tapón cónico mostrado en la figura.

La fuerza horizontal, que actúa en el anillo AB, es hacia la derecha e igual en magnitud a la fuerza horizontal que actúa sobre el anillo BC pero actúa hacia la izquierda por lo tanto se anulan. La fuerza que actúa en la zona central (AA) de la base del cono es F = γ hA FH = 1000 x 2.70 x FH = 1716 kg

π x (0.90)2 4

La fuerza vertical total es igual a la fuerza producida en la zona inferior del cono menos la fuerza producida en la zona superior del cono; es decir, igual al peso del volumen del sumergido; así, FV = Peso volumen sumergido o desplazado FV = γ VS

1 π  1 π 1.80 2 x 1.20 0.90 2 x 0.60  FV = 1000 x  3 4  3 4 FV = 890 kg 88



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Problema 2.45 Cuántos kilogramos de concreto, Wc, de peso específico γc = 2400 kg / m3, deben unirse a una pieza de madera que tiene un volumen de 0.1 m3 y una densidad relativa de 0.65, para que el conjunto se hunda en el agua.

Por encontrarse el conjunto en equilibrio, la sumatoria de fuerzas verticales indica que Wm + Wc = Em + Ec Determinación del peso de la pieza de madera γm =

Wm Vm

⇒

Wm = γm Vm

Determinación del volumen de concreto γc =

Wc Vc

⇒

Vc =

Wc γc

Determinación del empuje de la pieza de madera Em = V m γ Determinación del empuje del concreto Ec = Vc γ Al sustituir en la ecuación de equilibrio se obtiene γm Vm + Wc = Vm γ +

Wc γ γc

y al sustituir los valores numéricos 0.65 x 1000 x 0.1 + Wc = 0.10 x 1000 +

Wc 1000 2400

Al despejar Wc = 60 kgs.

Problema 2.46 Una pieza de densidad relativa 0.6 tiene sección cuadrada de 8 cm. de lado y 1.50 m. de longitud. Determinar cuántos kilogramos de plomo de peso específico 12000 kg/m3 deben unirse a uno de los extremos de la pieza para que flote verticalmente con 30 cm. fuera del agua salada, de peso específico 1040 kg/m3.

89



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Por encontrarse, el conjunto, en equilibrio, la sumatoria de fuerzas verticales indica que Wm + Wp = Ep + Em Al sustituir los valores numéricos obtenemos 600 x 0.08 x 0.08 x1.50 + Vp x 12000 = Vp 1040 + 1040 x 1.20 x 0.08 x 0.08 de donde, Vp =

2.23 = 0.000203 m3 10960

Entonces el peso necesario es Peso de plomo (Wp) = 0.000203 x 12000 = 2436 kg.

Problema 2.47 Un cuerpo que tiene un volumen de 170 dm3 requiere una fuerza de 27 kg. para mantenerlo sumergido en agua. Si para mantenerlo sumergido en otro líquido se necesita una fuerza de 16 kg, determinar la densidad relativa de este último líquido

El esquema de las fuerzas actuantes en ambos líquidos se muestra en la siguiente figura 90



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Cuando el cuerpo está sumergido en agua, la sumatoria de fuerzas verticales indica que F1 + W = E1 27 + W = 1000 x170 x 10 – 3 de donde, W = 143 kg. Cuando el cuerpo se encuentra sumergido en el líquido de peso específico γ la sumatoria de fuerzas verticales indica que 16 + 143 = γ x170 x 10 – 3 de donde, γ = 935 kg/m3 La densidad relativa del líquido es S=

935 = 0.935 1000

Problema 2.48 Qué longitud debe tener un tablón de madera de 7.5 cm x 30 cm de sección transversal y densidad relativa 0.50 para que en agua salada soporte un peso de 45 kg. Suponer que el peso específico del agua salada es de 1025 kg / m3.

91



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Por encontrarse, el conjunto, en equilibrio, la sumatoria de fuerzas verticales indica que E = W1 + W2 0.075 x 0.30 x L x 1025 = 45 + 0.075 x 0.30 x L x 500 23.05 L = 45 + 11.25 L 11.81 x L = 45 de donde, L =

45 = 381 . m. 11.81

Problema 2.49 Un hidrómetro pesa 2.2 gr y el extremo superior es un vástago cilíndrico de 0.28 cm de diámetro. Cuál será la diferencia entre las longitudes de sumergencia del vástago cuando flota en aceite de densidad relativa 0.780 y en alcohol de densidad relativa 0.821.

Cuando el hidrómetro se encuentra sumergido en aceite la sumatoria de fuerzas verticales indica que W = E1 2.2 x 10-3 = 0.821 x V1 de donde, 92



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

V1 =

2.2 x 10 - 3 = 2.6797 x 10- 6 m3 821

Cuando el hidrómetro se encuentra sumergido en alcohol la sumatoria de fuerzas verticales indica que W = E2 2.2 x 10-3 = 0.780 x 1000 (V1 + ∆V) 2.2 x 10 - 3 = 0.780 x 1000 (2.6797 x 10- 6 +

π (0.28 x 10- 2 ) 2 ∆h) 4

de donde  2.2 x 10 − 3    - 2.6797 x 10 - 6   780   ∆h = = 0.0228 m π -2 2 (0.28 x 10 ) 4 ∆h = 2.28 cm

Problema 2.50 Un bloque cúbico de madera de 10 cm. de arista y de densidad relativa 0.5 flota en un recipiente con agua. Se vierte en el recipiente aceite de densidad relativa 0.8 hasta que la superficie superior de la capa de aceite se encuentre 4 cm. por debajo de la cara superior del bloque. Determinar: a) El espesor de la capa de aceite. b) La presión en la cara inferior.

Determinación del espesor de la capa de aceite

93



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

La sumatoria de fuerzas verticales indica que el peso del bloque de madera es igual al empuje producido por el agua más el producido por el aceite; así, W = E W = γac Vac + γag Vag 0.5 x 1000 x 0.10 x 0.10 x 0.10 = 0.8 x 1000 x d x 0.10 x 0.10 + 1000 x (0.06 − d) x 0.10 x 0.10 Al despejar se obtiene d = 0.05 m ⇒ d = 5 cm Determinación del la presión en la cara inferior P = γac hac + γag hag p = 0.8 x 1000 x 0.05 + 1000 x 0.01 p = 50 kg/m2

Problema 2.51 Sobre un paralelepípedo de madera, hay un cuerpo de densidad relativa 4, y de un volumen igual al 2 % del volumen del paralelepípedo; el conjunto flota en agua de mar de densidad 1.03, de forma tal que el 85.0 % de su volumen está sumergido. Si quitamos el cuerpo que está sobre la madera, que tanto por ciento del volumen permanece sumergido.

Por encontrarse el conjunto en equilibrio, la sumatoria de fuerzas verticales indica que E = W1 + W2 85 2 1.03 x 1000 V = γm V + 4 x 1000 V 100 100 Al despejar se obtiene γm = 800 kg / m3 Al quitar el cuerpo que está sobre la madera se tiene la nueva condición de equilibrio, que es E’ = W1 P 1.03 V = 800 V 100 P = 77.6 %

94



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Problema 2.52 Una esfera de 120 cm de diámetro flota en agua salada de peso específico 1025 kg/m3, con la mitad de ella sumergida. Determinar el mínimo peso de concreto, de peso específico 2400 kg/m3, utilizado como anclaje, para sumergir completamente la esfera.

Esquema de las fuerzas que actúan sobre la esfera para las dos condiciones

Para el primer caso, la esfera se encuentra sumergida hasta la mitad y la condición de equilibrio indica que W1 = E1 W1 = 1025 x

1 4 π x 0.60 3 2 3

W1 = 464 kg Para el segundo caso, la esfera se encuentra completamente sumergida por la acción del anclaje de concreto y las condiciones de equilibrio indica que W1 + W2 = E1 + E2 464 + 2400 Vc = 1025 Vc +

4 π x 0.60 3 x 1025 3

Al despejar se obtiene Vc = 0.337 m3 95



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

siendo el peso necesario igual a W2 = 0.337 x 2400 = 809 kg.

Problema 2.53 Un cilindro hueco de 1.00 m. de diámetro y 1.50 m. de altura pesa 400 kg. Calcular el peso de plomo, de peso específico 11200 kg/m3, que debe unirse al fondo por su parte exterior para que el cilindro flote verticalmente con 1.00 m del mismo sumergido en agua. Cuál sería el peso del plomo si este es encuentra colocado en la parte interior del cilindro.

Esquema de las fuerzas que actúan cuando el plomo está unido al fondo por la parte exterior

Cuando el plomo se encuentra en la parte exterior, la condición de equilibrio indica que. Wc + W2 = Ec + Epl 400 + 11200 x Vpl - 1 = 1000 x Vpl + 1000

π 1.002 x 1.00 4

El volumen de plomo para la condición 1 es Vpl - 1 = 0.0377 m3 Por lo tanto el el peso necesario de plomo es W2 = 11200 x 0.0377 = 422.70 kg 96



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Esquema de las fuerzas que actúan cuando el plomo está unido al fondo por la parte interior

Cuando el plomo está en la parte exterior, la condición de equilibrio indica, que Wc + W3 = Ec π 1.00 2 x 1.00 4 y al despejar se obtiene

400 + W3 = 1000

W3 = 385 kg.

Problema 2.54 En un recipiente cilíndrico se tiene agua a 4 º C hasta cierto nivel. Se hace flotar libremente un cuerpo de peso específico desconocido γc, con lo cual el nivel libre sube 17 cm sobre su posición inicial; si se sumerge completamente el mismo cuerpo, el nivel del agua sube 3 cm más. Determinar cuanto vale γc

Determinación los volúmenes El volumen EFGH es igual al volumen ABCD más el volumen sumergido, cuando el cuerpo flota libremente; es decir, 97



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

VEFGH = VABCD + Vs1 π 2 π D (H + 0.17) = H D2 + Vs1 4 4 π π π D2 H + D2 0.17 = D2 H + Vs1 4 4 4 π 2 Vs1 = D 0.17 4

El volumen IJKL es igual al volumen ABCD más el volumen total del cuerpo, cuando el cuerpo flota libremente; es decir, VIJKL = VABCD + Vt π π D2 (H + 0.20) = H D2 + Vt 4 4 π Vt = D2 0.20 4 Cuando el cuerpo flota libremente la condición de equilibrio indica que E = W γag Vs1 = γc Vt 1000 D2

π π 0.17 = γc D2 0.20 4 4

de donde, γc = 850 kg/m3

Problema 2.55 Calcular el peso de concreto, Wc, necesario, para mantener la viga mostrada en la figura en posición horizontal

98



_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Esquema de las fuerzas

La condición de equilibrio indica que la sumatoria de momentos respecto a la articulación debe ser cero para que la viga se encuentre en posición horizontal; es decir, ∑MA = 0 WV x 3.00 + WC x 6.00 − EV x 3.00 − EC x 6.00 = 0 como γc =

Wc Vc

⇒

Vc =

Wc γc

Al sustituir se obtiene (800 x 6.00 x 0.15 x 0.15) x3.00 + WC x 6.00 − (1000 x6.00 x 0.15 x 0.15) x 3.00 −

1000 Wc x6.00 = 0 2400

Al despejar se obtiene Wc = 23.14 kg

Problema 2.56 Un bloque cúbico de concreto de densidad relativa 2.4 y de 0.40 m de arista se une al

vértice de un cono de 1.00 m de diámetro y 2.00 m de altura. Si el peso específico es de 600 kg/m3. Cuál será la profundidad sumergida del cono si el conjunto flota en agua.

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