Anualidades Constantes A Plazo Fijo 131x2s

INTRODUCCIÓN

La presente investigación es realizada con el ánimo de conocer las herramientas matemáticas para toma de decisiones en las actividades financieras de una empresa.

En el capítulo uno se aborda las generalidades de la matemática financiera y sus diferentes campos de acción, tomando como base las generalidades matemáticas.

En el capítulo dos, trata de las anualidades como tema central, abordándolo de forma específica

El capítulo tres se hace mención de la clasificación de las anualidades, esto para conocerlas, con sus diferencias, y como pueden desarrollarse.

El prontuario de formulas se puede ver en el capitulo cuatro, seguido del capítulo cinco donde se desarrollan diez casos prácticos de anualidades.

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CAPITULO I 1.1

CARACTERÍSTICAS DE LA MATEMÁTICA

La matemáticas posee varias características que la hacen diferir de otras disciplinas. 

La primera es que es muy difícil de describir o definir su materia de estudio. Es claro cuales la materia de estudio de la Astronomía y de la, Biología, pero no de la Teoría algebraica. Esto se debe fundamentalmente a que los objetos de estudio son conceptos abstractos definidos que a menudo van encadenados a otros conceptos previamente definidos. Su descripción se reduce a definiciones formales que requieren de conexiones neuronales, las cuales requieren de cierto tiempo para realizarse. Esto, aunado a una madurez matemática o entrenamiento matemático le permite al ser humano asimilar una buena cantidad de ideas abstractas. Por ejemplo, trate usted de explicarle a su sobrinita preguntona qué es la adición, o de qué se trata la Geometría Analítica, o qué es un anillo. Requerirá, después de muchas explicaciones intuitivas, establecer definiciones formales y tiempo, mucho tiempo.



La segunda característica es que posee una lógica perfecta. La Matemática de Euclides es tan válida hoy como en la época de Euclides. Esto contrasta con otras teorías, como la de la tierra plana, la del flogisto o la del éter.

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La tercera es lo conclusivo de la Matemática, esto es, las diferentes disciplinas toman conclusiones con base en las manipulaciones matemáticas.

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La cuarta es su independencia, esto es, no requiere de equipos costosos a diferencia de las ciencias experimentales. Basta a veces con lápiz y papel, o ni siquiera esto. Arquímedes dibujaba sobre la arena. Leray escribió su matemática siendo prisionero de guerra. A pesar de los regímenes políticos de toda índole, la Matemática continúa evolucionando. Es interesante observar que sus bibliotecas son menos grandes que las de otras disciplinas.

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1.2

QUÉ SIGNIFICA LA PALABRA MATEMÁTICA

Según Arrigo Coen, Mathema significa erudición, manthánein es el infinitivo de aprender, el radical mendh significa en pasivo, ciencia, saber. Luego, es lo relativo al aprendizaje. Así que en sentido implícito, Matemática significa: «lo digno de ser aprendido».

1.3

QUÉ ES LA MATEMÁTICA

No existe una definición de lo que es la Matemática. Sin embargo, se dice que es una colección de ideas y técnicas para resolver problemas que provienen de cualquier disciplina, incluyendo a la Matemática misma.

1.4

ALGUNOS PROBLEMAS MATEMÁTICOS

Recuerden el famoso último teorema de Fermat (el cual sucede al de la ecuación pitagórica x2 + y2 = z2) que dice que la ecuación xn + yn = zn nunca tiene soluciones enteras positivas para cualquier entero positivo n mayor que 2. Excepto para n = 2, estas ecuaciones no tienen una interpretación geométrica. Aparentemente este problema no pareciera tener mucha importancia, sin embargo ha tenido una influencia enorme en el desarrollo de la Matemática. Fermat dijo que tenía una demostración pero que no tenía espacio para escribirla. Por más de 300 años, este problema, aparentemente sencillo, ha sido el motivo de grandes esfuerzos de muchos matemáticos y es precisamente de estos esfuerzos que se han creado nuevas técnicas y conceptos, los cuales tienen influencia en muchas áreas de la Matemática. El problema de los cuatro colores afirma que solamente se requieren 4 colores para iluminar o colorear cualquier mapa del globo terrestre con la condición de que dos países adyacentes deban tener colores diferentes. La solución positiva, más de cien años después, fue obtenida mediante el uso de la computadora, teniendo un impacto muy pequeño en la Matemática. Fue el primer problema no trivial solucionado por la computadora. En la Matemática, si un problema se resuelve mediante métodos estándar, el problema pierde mucho de su interés. Si no se resuelve mediante los métodos conocidos por mucho tiempo, se convierte en un problema clásico. Un buen problema es aquel que da lugar a nuevas técnicas con gran aplicabilidad a otras áreas. 3

Las ideas nuevas que constituyen los pasos para obtener la solución de algún problema constituyen el progreso de la Matemática. Los matemáticos sabemos apreciar las técnicas ingeniosas.

1.5

CÓMO SE DA LA INNOVACIÓN EN LA MATEMÁTICA

A diferencia de otras disciplinas científicas, en la Matemática la creación de nuevos métodos o técnicas constituye la innovación, la cual es vital para el progreso de la Matemática. No se requiere del descubrimiento de antiguos documentos manuscritos, ni del trabajo experimental o de la introducción de nueva tecnología. La innovación se da, entre otras cosas, por la creación de nuevas técnicas. Por ejemplo, cuando Galois se dio cuenta al trabajar en el problema de la insolubilidad de la ecuación polinomial general de grado al menos 5 que la clave estaba en las simetrías de las cinco soluciones de la ecuación, proveyó los fundamentos de la teoría general de la simetría, la cual es una de las ramas más profundas y de amplio espectro de toda la Matemática, llamada Teoría de Grupos. También hay innovación interna al tratar de dar cohesión a una teoría matemática, al realizar preguntas adecuadas, las cuales requieren de mucha intuición y compenetración. También puede venir de problemas de otras disciplinas. Se puede decir que hay progreso matemático cuando existe una aplicación continua de métodos usuales intercalados espectacularmente con nuevos conceptos y problemas.

1.6

LA NATURALEZA DE LAS MATEMÁTICAS

Las matemáticas dependen tanto de la lógica como de la creatividad, y están regidas por diversos propósitos prácticos y por su interés intrínseco. Para algunas personas, y no sólo para los matemáticos profesionales, la esencia de esta disciplina se encuentra en su belleza y en su reto intelectual Para otros, incluidos muchos científicos e ingenieros, su valor principal estriba en la forma en que se aplican a su propio trabajo. Ya que las matemáticas juegan ese papel central en la cultura moderna, es indispensable una comprensión básica de ellas en la 4

formación científica. Para lograr esto, debe percatarse de que las matemáticas forman parte del quehacer científico, comprender la naturaleza del pensamiento matemático y familiarizarse con las ideas y habilidades de esta disciplina.

1.7

PAUTAS Y RELACIONES

Las matemáticas son la ciencia de las pautas y las relaciones. Como disciplina teórica, exploran las posibles relaciones entre abstracciones, sin importar si éstas tienen homólogos en el mundo real. Las abstracciones pueden ser cualquier cosa, desde secuencias de números hasta figuras geométricas o series de ecuaciones. Si se propone, por ejemplo, "¿forma una pauta el intervalo entre números primos?" como pregunta teórica, los matemáticos se interesarán sólo en encontrar la pauta o probar que ésta no existe, pero no en buscar la utilidad que podría tener tal conocimiento. Cuando se deriva, por ejemplo, una expresión para el cambio en el área de cualquier cuerpo regular cuando su volumen se aproxima a cero, los matemáticos no manifiestan interés en la concordancia entre los cuerpos geométricos y los objetos físicos del mundo real.

Una línea fundamental de investigación en las matemáticas teóricas es identificar en cada campo de estudio un pequeño conjunto de ideas y reglas básicas a partir de las cuales puedan deducirse, por lógica, todas las demás ideas y reglas de interés en ese campo. Los matemáticos, como otros científicos, gozan en particular cuando descubren que partes de esa ciencia sin relación previa pueden ser derivables entre si o a partir de una teoría más general. Parte del sentido de belleza que muchas personas han percibido en esta ciencia no radica en hallar la más grande perfección o complejidad, sino al contrario, en encontrar un gran ahorro y sencillez en la representación y la comprobación. A medida que las matemáticas avanzan, se han encontrado más y más relaciones entre partes que

se habían desarrollado por separado por ejemplo, entre las representaciones simbólicas del álgebra y las representaciones espaciales de la geometría. Estas 5

interconexiones hacen posible que surjan intuiciones que deben desarrollarse en las diversas partes de la disciplina; juntas, fortalecen la creencia en la exactitud y unidad esencial de toda la estructura.

Las matemáticas son también una ciencia aplicada. Muchos matemáticos dedican sus energías a resolver problemas que se originan en el mundo de la experiencia. De igual manera, buscan pautas y relaciones; en el proceso utilizan técnicas similares a las que se emplean en esta ciencia puramente teórica. La diferencia es en gran medida de propósito. En contraste con las matemáticas teóricas, las aplicadas, en los ejemplos anteriores, podrían estudiar la pauta del intervalo de los números primos para desarrollar un nuevo sistema para codificar información numérica, más que como un problema abstracto. También podrían abordar el problema sobre el área/volumen como un paso en la concepción de un modelo para el estudio del comportamiento del cristal.

Los resultados de las matemáticas teóricas y aplicadas con frecuencia influyen entre sí. A menudo los descubrimientos de los matemáticos teóricos tienen un valor práctico no previsto algunas veces décadas después. Por ejemplo, el estudio de las propiedades matemáticas de acontecimientos que ocurren al azar condujo al conocimiento que más tarde hizo posible mejorar el diseño de los experimentos en las ciencias naturales y sociales. Por el contrario, al tratar de solucionar el problema del cobro justo a los s del teléfono de larga distancia, los especialistas hicieron importantes descubrimientos sobre las matemáticas de redes complejas. Las matemáticas teóricas, a diferencia de otras ciencias, no están restringidas por el mundo real, pero a la larga contribuyen a entenderlo mejor.

1.8

MATEMÁTICAS, CIENCIA Y TECNOLOGÍA

Debido a su abstracción, las matemáticas son universales en un sentido en que no lo son otros campos del pensamiento humano. Tienen aplicaciones útiles en los 6

negocios, la industria, la música, la historia, la política, los deportes, la medicina, la agricultura, la ingeniería y las ciencias naturales y sociales. Es muy amplia la relación entre las matemáticas y los otros campos de la ciencia básica y aplicada. Ello obedece a varias razones, incluidas las siguientes: 

La relación entre la ciencia y las matemáticas tiene una larga historia, que data de muchos siglos. La ciencia le ofrece a las matemáticas problemas interesantes para investigar, y éstas le brindan a aquélla herramientas poderosas para el análisis de datos. Con frecuencia, los modelos abstractos que han sido estudiados por los matemáticos, por el puro interés que despiertan han resultado ser muy útiles para la ciencia tiempo después. La ciencia y las matemáticas están tratando de descubrir pautas y relaciones generales, y en este caso ambas son parte del mismo quehacer.



Las matemáticas son el principal lenguaje de la ciencia. El lenguaje simbólico matemático ha resultado ser en extremo valioso para expresar las ideas científicas sin ambigüedad. La declaración a = F/m no es sólo una manera abreviada de decir que la aceleración de un objeto depende de la fuerza que se le aplique y de su masa; sino que es un enunciado preciso de la relación cuantitativa entre esas variables. Más importante aún, las matemáticas proporcionan la gramática de la ciencia las reglas para el análisis riguroso de ideas científicas y datos.



Las matemáticas y la ciencia tienen muchas características en común. Estas incluyen la creencia en un orden comprensible; una interacción de imaginación y lógica rigurosa; ideales de honestidad y franqueza; la importancia decisiva de la crítica de los compañeros; el valor atribuido a ser el primero en hacer un descubrimiento clave; abarcar el ámbito internacional; e incluso, con el desarrollo de poderosas computadoras electrónicas, ser capaz de utilizar la tecnología para abrir nuevos campos de investigación.



Las matemáticas y la tecnología también han desarrollado una relación productiva mutua. Las matemáticas de las relaciones y cadenas lógicas, por ejemplo, han contribuido considerablemente al diseño del hardware computacional y a las 7

técnicas de programación. Las matemáticas también ayudan de manera importante a la ingeniería, como en la descripción de sistemas complejos cuyo comportamiento puede ser simulado por la computadora. En tales simulaciones, pueden variarse las características del diseño y las condiciones de operación como un medio para encontrar diseños óptimos. Por su parte, la tecnología computacional ha abierto áreas totalmente nuevas en las matemáticas, aun en la misma naturaleza de la comprobación, y también continúa ayudando a resolver problemas anteriormente atemorizantes.

1.9

LA INVESTIGACIÓN MATEMÁTICA

El uso de las matemáticas para expresar ideas o resolver problemas comprende por lo menos tres fases: 1. representar de manera abstracta algunos aspectos de las cosas; 2. manejar las abstracciones mediante reglas de lógica para hallar nuevas relaciones entre ellas, y 3. ver si las nuevas relaciones indican algo útil sobre las cosas originales.

1.9.1 Abstracción y representación simbólica El pensamiento matemático comienza con frecuencia con el proceso de abstracción esto es, observar una similitud entre dos o más acontecimientos u objetos. Los aspectos que tienen en común, ya sea concretos o hipotéticos, se pueden representar por símbolos como los números, letras, otros signos, diagramas, construcciones geométricas o incluso palabras. Todos los números son abstracciones que representan el tamaño de conjuntos de cosas y sucesos, o el orden de los elementos en una serie. El círculo como concepto es una abstracción derivada de caras humanas, flores, ruedas, u olas pequeñas que se expanden; la letra A puede ser una abstracción para el área de objetos de cualquier forma, para la aceleración de todos los objetos móviles o para aquellos que tienen una propiedad específica; el símbolo + representa un proceso de adición, aun cuando uno se encuentre sumando manzanas o naranjas, horas o millas por hora. Y las abstracciones no se hacen sólo a partir de objetos o procesos concretos; también pueden realizarse con base en otras abstracciones, como las clases de números (los números pares, por ejemplo). 8

Tal abstracción permite a los matemáticos concentrarse en ciertas características de los objetos, además de que les evita la necesidad de guardar continuamente otras en su mente. En lo que a las matemáticas se refiere, no importa si un triángulo representa el área de un velero o la convergencia de dos líneas visuales sobre una estrella; los matemáticos pueden trabajar con ambos conceptos de igual manera. El ahorro de esfuerzo resultante es muy útil siempre y cuando al hacer la abstracción se ponga cuidado en no soslayar las características que juegan un papel importante en la determinación de los resultados de los sucesos que se están estudiando.

1.9.2 Manipulación de los enunciados matemáticos Una vez que se han hecho las abstracciones y se han seleccionado las representaciones simbólicas de ellas, los símbolos se pueden combinar y recombinar de diversas maneras de acuerdo con reglas definidas con exactitud. En ocasiones, eso se lleva a cabo teniendo en mente un objetivo fijo; en otras, se hace en el contexto de un experimento o prueba para ver lo que sucede. A veces, una manipulación apropiada se puede identificar fácilmente a partir del significado intuitivo de las palabras y símbolos de que se compone; en otras ocasiones, una serie útil de manipulaciones se tiene que resolver por tanteo.

Es común que el conjunto de símbolos se combine en enunciados que expresan ideas o proposiciones. Por ejemplo, el símbolo A para el área de cualquier cuadrado se puede combinar con la letra s que representa la longitud del lado del cuadrado, para formar la expresión A = s2. Esta ecuación específica de qué manera se relaciona el área con el lado y también implica que no depende de nada mas. Las reglas del álgebra común se pueden utilizar, entonces, para descubrir que si se duplica la longitud de los lados de un cuadrado, el área de éste se cuadruplica. En sí, este conocimiento hace posible que se descubra lo que le sucede al área de un cuadrado sin importar cuánto varíe la longitud de sus lados y, por el contrario, cómo cualquier cambio en el área afecta a los lados. 9

El discernimiento matemático en las relaciones abstractas ha aumentado a lo largo de miles de años y todavía sigue ampliándose y en ocasiones se revisa. Aunque las matemáticas comenzaron en la experiencia concreta de contar y medir, han evolucionado a través de muchas etapas de abstracción y ahora dependen mucho más de la lógica interna que de la demostración mecánica. Entonces, en cierto sentido, la manipulación de las abstracciones es casi un juego:

comenzar

con

algunas reglas básicas, después hacer cualquier

movimiento que las cumpla el cual incluye la invención de reglas adicionales y encontrar nuevas relaciones entre las antiguas. La prueba para validar las ideas nuevas consiste en que sean congruentes y se relacionen lógicamente con las demás.

1.9.3 Aplicación Los procesos matemáticos pueden llevar a un tipo de modelo de una cosa, a partir de los cuales se obtendrían profundizaciones de la cosa misma. Cualquier relación matemática que se obtenga por medio de la manipulación de enunciados abstractos puede o no transmitir algo verdadero sobre el objeto que se está modelando. Por ejemplo, si a dos tazas de agua se agregan otras tres, y la operación matemática abstracta 2 + 3 = 5 se utiliza para calcular el total, la respuesta correcta es cinco tazas de agua. No obstante, si a dos tazas de azúcar se añaden tres tazas de té caliente y se realiza la misma operación, cinco es una respuesta incorrecta, pues esa suma da por resultado sólo un poco más de cuatro tazas de té muy dulce. La simple suma de volúmenes es apropiada para la primera situación, pero no para la segunda lo que podría haberse predicho sólo conociendo algo sobre las diferencias físicas en los dos casos. Así, para utilizar e interpretar bien las matemáticas, es necesario estar interesado en algo más que la validez matemática de las operaciones abstractas, así como tomar en consideración qué tan bien se corresponden con las propiedades de las cosas que representan. 10

Algunas veces, el sentido común es suficiente para decidir silos resultados de las matemáticas son apropiados. Por ejemplo, para calcular la estatura de una joven cuando tenga 20 años si en la actualidad mide 1.63 m y crece a una tasa de 2.54 cm por año, el sentido común sugiere rechazar la respuesta simple de "tasa por tiempo" de 2.13 m como muy improbable, y dirigirse a algún otro modelo

matemático, como las curvas que aproximan valores restrictivos. Sin embargo, en ocasiones, puede ser difícil saber qué tan correctos son los resultados matemáticos por ejemplo, al tratar de predecir los precios en la bolsa de valores, o los terremotos.

Con frecuencia, sucede que una sesión de razonamiento matemático no produce conclusiones satisfactorias; entonces se intenta efectuar cambios en la manera en que se hizo la representación o en las mismas operaciones. De hecho, se dan saltos entre pasos hacia adelante y hacia atrás y no hay reglas que determinen cómo se debe proceder. El proceso avanza típicamente a empujones, con muchas vueltas erróneas y callejones sin salida. Este proceso continúa hasta que los resultados son suficientemente buenos.

Pero, ¿qué grado de exactitud es el suficiente? La respuesta depende de la forma en que se vaya a utilizar el resultado, las consecuencias del error, y el posible costo de modelar y estimar una respuesta más precisa. Por ejemplo, un error de 1% al calcular la cantidad de azúcar en una receta para pastel podría ser insignificante, pero un grado de error similar en el cálculo de la trayectoria de una sonda espacial podría resultar desastroso. Sin embargo, la importancia de la pregunta "suficiente" ha llevado al desarrollo de procesos matemáticos para estimar qué tan lejos podrían llegar los resultados y cuánto cálculo se requeriría para obtener el grado de precisión deseado.

11

1.10 DEFINICIÓN DE MATEMÁTICA FINANCIERA

La Matemática Financiera es una derivación de la matemática aplicada que estudia el valor del dinero en el tiempo, combinando el capital, la tasa y el tiempo

para obtener un rendimiento o interés, a través de métodos de evaluación que permiten tomar decisiones de inversión. Llamada también análisis de inversiones, istración de inversiones o ingeniería económica.

En este texto debe comprenderse las Matemáticas financieras como: Conjunto de herramientas matemáticas, las cuales permiten analizar cuantitativamente la viabilidad o factibilidad económica y financiera de los proyectos de inversión.

Es la parte de las matemáticas que se ocupa del estudio y valoración de los capitales financieros, así como de su variación a lo largo del tiempo por efecto de las operaciones financieras que con ellos puedan realizarse.

El capital financiero, es el valor monetario que posee en un momento determinado una persona natural o jurídica, expresado precisamente, en términos de dinero. Macroeconómicamente hablando, es la fusión de los recursos monetarios del sector agrícola, industrial, comercial y de servicios. En este orden de ideas, todos los recursos monetarios terminan llegando a las instituciones financieras, las cuales los utilizan a su vez para fomentar e impulsar las diversas actividades económicas mediante las diversas formas de crédito; pero para también, invertir en otras empresas que al final de cuentas, marcan el dinamismo económico y financiero de un país.

Las operaciones financieras, son toda acción encaminada a sustituir un capital o varios por otro y otros equivalentes en diferentes momentos del tiempo aplicando una determinada ley financiera (cálculo matemático) en un determinado punto de referencia (fecha de pago, tiempos, etc.). 12

Por ejemplo: un depósito que da intereses, es un cambio del capital depositado al principio de la operación, por el capital incrementado al final de la operación gracias a los intereses. Un préstamo es un intercambio entre dos partes donde el prestamista le entrega al prestatario una cantidad determinada de dinero (en una o varias veces) con el objetivo de recibir de este otra cantidad por concepto de intereses y devolución del capital (amortización) también en una o varía entregas.

En conclusión, las Matemáticas Financieras ayudarán a comprender el valor del dinero en el tiempo para con ello conocer aspectos como: 

El valor presente del dinero.



El valor futuro del dinero.



El costo de adquirir dinero.



El beneficio de captar dinero a una tasa de interés.



La pérdida del poder adquisitivo del dinero (Inflación).



Tasa de interés real.



Rentabilidad de un proyecto de inversión (Factibilidad).

1.11 Reseña histórica y evolución de las matemáticas Las matemáticas han sido aplicadas a muchas áreas de las finanzas a través de los años. No hay mucha información acerca de la historia de las matemáticas financieras, ni de cuál era el problema que se intentaba solucionar con ellas, lo que se cree es que se dieron como un desarrollo involuntario, pero necesario, que complementaba algunas transacciones comerciales o determinados pagos, por ejemplo los que habían de realizar los aldeanos a sus señores feudales en la época del feudalismo en Europa. Las matemáticas financieras aparecieron inicialmente con los intereses, se cree que "alguien" se dio cuenta que si otro le debía dinero o vacas o cabras o lo que fuera, él debía recibir una compensación por el tiempo que esta persona tardara en cancelar la deuda.

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En la segunda mitad del siglo XX hemos asistido a una notable evolución de la economía financiera, que sólo ha sido posible mediante la aplicación sistemática y con intensidad creciente del pensamiento matemático. Una vez más, las matemáticas han permitido formular con rigor los principios de otra ciencia, y han proporcionado un método de análisis que conduce al establecimiento de propiedades y relaciones que, lejos de ser triviales, incorporan un alto nivel de complejidad, son fáciles de contrastar desde el punto de vista empírico y tienen aplicación práctica inmediata.

La prueba más clara de lo anterior se encuentra en la teoría de los mercados financieros, los planteamientos de Markowitz, Sharpe, Fama, Black, Scholes y Merton, entre otros muchos, cambiaron radicalmente los análisis que se hacían hasta entonces. Este nuevo enfoque, que coincide con el nacimiento de la teoría de los mercados eficientes, permite que disciplinas como la teoría de la optimización, el cálculo de probabilidades, el cálculo estocástico, la teoría de ecuaciones diferenciales y en derivadas parciales, etc., pasen a ser de vital importancia en el estudio de problemas de valoración de activos financieros, selección

de

inversiones

o

equilibrio

en

los

mercados

de

capitales.

Otro paso importante se da cuando Ross introduce el concepto de arbitraje, verdadera piedra angular en el estudio de la valoración de activos y el equilibrio de mercados. Fueron numerosos economistas y matemáticos los que consiguieron extender este concepto y caracterizar la ausencia de arbitraje a través de la existencia de funciones lineales de valoración neutral al riesgo o la teoría de la martingala. Vemos que disciplinas como el análisis funcional o la teoría de la medida pasan a jugar un papel esencial para probar resultados fundamentales de la economía financiera. Un mundo como el financiero, en constante crecimiento y evolución, está generando problemas que tienen cada vez mayor complejidad. Hoy nos encontramos ante cuestiones que tienen un gran contenido matemático y del máximo interés para las instituciones financieras, quienes se encuentran ante una 14

competitividad muy intensa, un mercado con márgenes cada vez menores y un mundo sin fronteras. Temas como la gestión y medición de riesgos, el riesgo de crédito, la valoración de nuevos activos o la valoración de nuevos derivados con subyacente no negociable (temperaturas, catástrofes naturales, sequías), no almacenable (electricidad) o al menos no financiero(mercancías) presenta cada vez más dificultades matemáticas.

Finalmente, la teoría de mercados financieros está motivando el desarrollo de otras partes de la economía financiera (finanzas empresariales, gestión de tesorería, mercados emergentes etc.) en las que también hay un alto contenido en formulación y razonamiento matemático. Por consiguiente, desde el análisis funcional hasta el cálculo de probabilidades, todas las ramas que constituyen la matemática han jugado un papel esencial en el proceso de desarrollo de la economía financiera. (Jiménez Guerra, 2000, Conferencia aniversario matemático)

1.12 IMPORTANCIA DE LAS MATEMATICAS FINANCIERAS Las organizaciones y personas deben analizar factores económicos y no económicos, así como también factores tangibles e intangibles en cada una de las decisiones que se toman para invertir el dinero en las diferentes opciones que se presentan; es así como la importancia de las matemáticas financieras permite tomar las decisiones ya que cada una de ellas afecta lo que se realiza en un futuro.

1.13 Conceptos Básicos

1.13.1 Factibilidad Económica La factibilidad económica de un proyecto de inversión tiene que ver con la bondad de invertir recursos económicos en una alternativa de inversión, sin importar la fuente de estos recursos. En esta fase de la evaluación, se analiza la decisión de inversión independiente del dueño del proyecto, se enfatiza únicamente en los recursos comprometidos en la empresa, excluyendo el origen de estos. 15

1.13.2 Factibilidad Financiera En la factibilidad financiera del proyecto de inversión se evalúa el retorno para los dueños. En esta fase del proyecto lo que interesa es determinar si la inversión efectuada exclusivamente por el dueño, obtiene la rentabilidad esperada por él.

1.13.1.3

Factibilidad Económica versus Factibilidad Financiera

En el ámbito de la evaluación de proyecto es de vital importancia comprender que a cada decisión de inversión, corresponde una decisión de financiación. Con la condición fundamental de que la rentabilidad de la inversión, debe satisfacer la estructura financiera de la empresa. La decisión de inversión, como ya se

menciono, tiene que ver con la estructura operativa de la empresa y con una de las funciones de la istración financiera que es definir donde invertir. Para poder tomar la decisión de invertir hay necesidad de definir los indicadores de gestión financiera que permitan establecer si la empresa cumple con su objetivo financiero básico y si los proyectos de inversión que enfrenta cotidianamente la acercan a su meta. La decisión de financiación, otra de las decisiones fundamentales de la istración, tienen que ver con la estructura financiera de la empresa o proyecto, esta estructura se refiere a los dueños de los recursos (deuda o recursos propios), la cual tiene un costo que se denomina el costo de capital promedio ponderado. Al evaluar la estructura financiera del proyecto, interesa

diseñar

indicadores

financieros

que

permitan

identificar

si

los

inversionistas o dueños de la empresa están alcanzando la meta financiera, la cual en empresas que tengan ánimo de lucro, es ganar más dinero ahora y en el futuro.

1.13.1.4

Valor Económico Agregado

Solamente, cuando la rentabilidad de la inversión supere el costo de capital promedio ponderado, se generara valor económico para los propietarios de la

16

empresa. Únicamente en este evento los inversionistas están satisfaciendo sus expectativas y alcanzando sus objetivos financieros.

1.13.1.5

Proyecto de Inversión

Oportunidad de efectuar desembolsos de dinero con las expectativas de obtener retornos o flujos de efectivo (rendimientos), en condiciones de riesgo. Cualquier criterio o indicador financiero es adecuado para evaluar proyectos de inversión, siempre y cuando este criterio permita determinar que los flujos de efectivo cumplan con las siguientes condiciones: Recuperación de las inversiones,

recuperar o cubrir los gastos operacionales y además obtener una rentabilidad deseada por los dueños del proyecto, de acuerdo a los niveles del riesgo de este. El riesgo del proyecto se describe como la posibilidad de que un resultado esperado no se produzca. Cuanto más alto sea el nivel de riesgo, tanto mayor será la tasa de rendimiento y viceversa, de este nivel de riesgo se desprende la naturaleza subjetiva de este tipo de estimaciones.

1.13.2 Relaciones de la matemática financiera con otras disciplinas La matemática financiera, Es una rama de la matemática aplicada que estudia el valor del dinero en el tiempo, al combinar elementos fundamentales (capital, tasa, tiempo) para conseguir un rendimiento o interés, al brindarle herramientas y métodos que permitan tomar la decisión más correcta a la hora de una inversión.

Contabilidad: Es el proceso mediante el cual se identifica, mide, registra y comunica la información económica de una organización o empresa, con el fin de que las personas interesadas puedan evaluar la situación de la entidad. Relación: Suministra en momentos precisos o determinados, información razonada, en base a registros técnicos, de las operaciones realizadas por un ente privado publico, que permitan tomar la decisión mas acertada en el momento de realizar una inversión.

17

Derecho: Es el conjunto de leyes, preceptos y reglas, a los que están sometidos los hombres que viven en toda sociedad civil. El derecho posee diferentes ramas por lo que se relaciona de diversas maneras con las matemáticas financieras. 

Derecho Mercantil: es el conjunto de leyes relativas al comercio y a las transacciones realizadas en los negocios.



Relación: En sus leyes se encuentran artículos que regulan las ventas, los instrumentos financieros, transportes terrestres y marítimos, seguros, corretaje, garantías y embarque de mercancías; que representan instrumentos esenciales en las finanzas.



Derecho Civil: es el conjunto de normas e instituciones destinadas a la protección y defensa de la persona y de los fines que son propios de ésta.

Relación: Regula la propiedad de los bienes, la forma en que se pueden adquirir, los contratos de compra y venta, disposiciones sobre hipotecas, prestamos a interés; que representa el campo de estudio de las matemáticas financieras, es decir, todas las transacciones económicas que estudia esta disciplinas.

Economía: Es una ciencia social que estudia los procesos de producción, distribución, comercialización y consumo de bienes y servicios; es decir, estudia la riqueza para satisfacer necesidades humanas. Relación: esta disciplina brinda la posibilidad de determinar los mercados en los cuales, un negocio o empresa, podría obtener mayores beneficios económicos.

Ciencia política: es una disciplina que estudia el estudio sistemático del gobierno en su sentido más amplio. Abarca el origen de los regímenes políticos, sus estructuras, funciones e instituciones, las formas en que los gobiernos identifican y resuelven problemas socioeconómicos y las interacciones entre grupos e 18

individuos importantes en el establecimiento, mantenimiento y cambio de los gobiernos.

Relación: Las ciencias políticas estudian y resuelven problemas económicos que tengan que ver con la sociedad, donde existen empresas e instituciones en manos de los gobiernos. Las matemáticas financieras auxilian a esta disciplina en la toma de decisiones en cuento a inversiones, presupuestos, ajuste económico y negociaciones que beneficien a toda la población.

Ingeniería: Es él termino que se aplica a la profesión en la que el conocimiento de las matemáticas y la física, alcanzado con estudio, experiencia y practica, se aplica a la utilización eficaz de los materiales y las fuerzas de la naturaleza.

Relación: Esta disciplina controla costos de producción en el proceso fabril, en el cual influye de una manera directa la determinación del costo y depreciación de los equipos industriales de producción.

Informática: es el campo de la ingeniería y de la física aplicada relativo al diseño y aplicación

de

dispositivos,

por

lo

general

circuitos

electrónicos,

cuyo

funcionamiento depende del flujo de electrones para la generación, transmisión, recepción y almacenamiento de información.

Relación: Esta disciplina ayuda a ahorrar tiempo y a optimizar procedimientos manuales que estén relacionados con movimientos económicos, inversiones y negociaciones.

Finanzas: Es el termino aplicado a la compra-venta de instrumentos legales cuyos propietarios tienen ciertos derechos para percibir, en el futuro, una determinada cantidad monetaria.

19

Relación: esta disciplina trabaja con activos financieros o títulos valores e incluyen bonos, acciones y prestamos otorgados por instituciones financieras, que forman parte de los elementos fundamentales de las matemáticas financieras.

Sociología: es la ciencia que estudia el desarrollo, la estructura y la función de la sociedad. Esta analiza las formas en que las estructuras sociales, las instituciones y los problemas de índole social influyen en la sociedad.

Relación: la sociedad posee empresas que necesitan el buen manejo o una buena istración de los recursos tanto humano como material. La matemática financiera trabaja con inversiones y le proporciona a la sociología las herramientas necesarias para que esas empresas produzcan más y mejores beneficios económicos que permitan una mejor calidad de vida de la sociedad.

1.14 INTERÉS Cuando se utiliza un bien que no es de propiedad, generalmente se debe pagar un dinero por el uso, es así como el interés se define como la renta o rédito que hay que pagar por el uso del dinero prestado, es el rendimiento que se al invertir de manera productiva. El interés se simboliza con l, se mide por el incremento entre la suma original invertida en préstamo y el monto final pagado.

1.15 TASAS DE INTERES Mide el valor de los intereses en los porcentajes para un periodo de tiempo determinado; es el valor que se fija en la unidad de tiempo a cada cien unidades que se invierten o se toman como préstamo. La tasa de interés puede depender de la oferta monetaria, las necesidades, la inflación, las políticas de gobierno. La unidad de tiempo más usada para expresar las tasas de interés es el año.

1.16 EQUIVALENCIA

20

Es de gran importancia ya que en los problemas financieros lo que se busca es la equivalencia financiera o equilibrio ingresos o egresos. La conjugación del valor de dinero en el tiempo y la tasa de interés permite desarrollar el concepto de equivalencia, el cual, significa que diferentes sumas de dinero en tiempos diferentes pueden tener igual valor económico.

1.17 DIAGRAMA DE TIEMPO Es conocido como diagrama económico o diagrama de flujo de caja. Es una de las Herramientas más útiles para la definición, interpretación y análisis de los problemas financieros. Visualiza el comportamiento del dinero a medida que transcurren los periodos de tiempo.

1.18 INTERÉS SIMPLE Es aquel que se paga al final de cada periodo, el capital prestado o invertido no varía y por la misma razón la cantidad recibida por interés siempre va a ser la misma. No se capitalizan los intereses.

1.19 INTERÉS COMPUESTO Es un sistema que capitaliza los intereses hace que el valor que se paga por intereses se incremente mes a mes. Es aplicado en el sistema financiero se utiliza en todos los créditos que hacen los bancos, el capital cambia de cada periodo ya que los intereses se adicionan al capital para formar un nuevo capital denominado monto y sobre este volver a calcular los intereses.

1.20 Renta En el lenguaje corriente, renta es una sucesión de cobros y pagos periódicos, que tiene el carácter de rendimiento de un capital. En matemáticas financieras, el concepto de renta es muy amplio y corresponde a un conjunto de prestaciones se le llama PLAZO o término de la renta, y llamaremos Periodo al espacio de tiempo que hay entre dos prestaciones consecutivas. 21

1.20.1 Elementos de una renta En tratamiento de las rentas en matemáticas financieras será el de calcular el valor de la misma en un momento determinado del tiempo. Podremos calcular el valor actual de la renta, el valor final o realizar una valoración en un momento intermedio. Para calcular el valor final utilizaremos la ley de capitalización compuesta. Para el cálculo del valor actual utilizaremos la ley del descuento compuesto racional (o matemático). Y para calcular un valor intermedio habremos de utilizar ambas leyes.

1.20.2 Clasificación de las rentas

Ciertas o aleatorias: se conoce la cuantía

de

la

prestación

y

el

de

la

momento del vencimiento. Según la naturaleza de sus términos Aleatorias: prestación

la o

vencimiento

cuantía el

momento

dependen

de

del un

proceso aleatorio.

Discretas:

los

periodos

están

definidos temporalmente (año, mes, día, etc.) Según por el periodo de maduración Continuas: los periodos tienen una duración

infinitesimal,

y

están

definidos por una función. 22

Constantes: todos sus términos son del mismo importe. Según cuantía de sus términos Variables: los términos van variando. Esta variación puede ser siguiendo una progresión geométrica, aritmética, variables según polinomio, etc. Plegables: los términos coinciden con el momento inicial de cada periodo. Según vencimiento de sus términos Pospagables:

los

términos

coinciden con el momento final de cada uno de los periodos.

Temporal:

Con

duración

finita,

determinada. Según la duración de la renta Perpetua: Tiene duración ilimitada.

Diferida: la valoración se realiza antes del origen o inicio de la renta

Inmediata: El momento de la Según el momento de su valoración

valoración coincide con el origen o inicio de la renta.

Anticipada: la valoración se realiza después de terminada la renta. 23

Hay que añadir que las rentas tendrán una característica de cada tipo de clasificación. Por tanto, se puede dar un gran número de combinaciones a estudia con las rentas. (Martínez Carrasco, 2010, p. 99 – 101)

CAPITULO II

2 Definición de anualidad Una anualidad es un conjunto de pagos iguales hechos a intervalos iguales de tiempo. El termino anualidad parece significar que los pagos se hacen anualmente. En el sentido estricto de la expresión, esto no es necesariamente asi. En matemáticas financieras, anualidad significa pagos hechos a intervalos iguales de tiempo, que pueden ser anuales, trimestrales, mensuales, quincenales, diarios, etc. El estudio de las anualidades es de mucha importancia en finanzas, entre otras razones, porque es el sistema de amortización más común en los créditos comerciales, bancarios y de vivienda. Este sistema de pagos permite que el financiador, cada vez que recibe el pago de la cuota, recupere parte del capital prestado. (Meza Orozco, 2008, p. 207)

Antes de entrar de lleno a estudiar las anualidades, es necesario definir algunos términos generales.

La palabra anualidad da la idea de períodos anuales; sin embargo son anualidades siempre y cuando sean períodos regulares, no importando que sean anuales o no (Períodos menores o mayores a un año). Por ejemplo:

Una anualidad cuyos pagos periódicos se realizan al final de cada año y de Q. 500.00 cada uno. 24

- 1 año -

- 1 año -

500

- 1 año -

500

- 1 año -

500

500

Una anualidad cuyos pagos periódicos de Q. 150.00 se realizan al final de cada 6 meses.

- 6 meses -

- 6 meses 150

- 6 meses 150

- 6 meses 150

150

Una anualidad cuyos pagos periódicos de Q. 2,500.00 se realizan al final de cada 2 años.

- 2 años -

- 2 años 2,500

- 2 años 2,500

- 2 años 2,500

2,500

En todos los casos anteriores se cumplen las condiciones de las anualidades, pagos de igual valor por períodos regulares, no necesariamente de un año, en los últimos dos casos. En algunas ocasiones, se debe tener cuidado de diferenciar más de una anualidad en una serie de pagos por ejemplo:

Dos anualidades en las que los pagos se están haciendo al final de cada 1.5 años, pero sus valores no son los mismos, y entonces hay una anualidad para los pagos de Q. 800.00 y otra para los pagos de Q. 5,800.00 25

- 1.5 años -

- 1.5 años -

- 1.5 años -

800

800

- 1.5 años 2,800

1

2,800

2

Dos anualidades en las que todos los pagos son de Q. 800.00 cada uno, pero una es pagadera cada 6 meses y la otra cada año.

- 6 meses -

- 6 meses -

800

- 6 meses -

800

800

1

2.1

OTRAS DEFINICIONES IMPORTANTES

2.1.1

Intervalo o Período de Pago

- 1 año -

- 1 año -

800

800

2

Es el tiempo que transcurre entre un pago y otro de la anualidad. Existen anualidades con períodos de pago iguales a un año, menores de un año y con períodos de pago mayores a un año.

26

2.1.2

Plazo de la Anualidad

Es el tiempo que transcurre desde el inicio del primer período de pago y el final del último período de pago de la anualidad.

2.1.3

Renta

Es el pago periódico de la anualidad.

2.2

PRINCIPALES APLICACIONES DE LAS ANUALIDADES

Las anualidades son utilizadas en distintas operaciones financieras por ejemplo:

los

pagos mensuales de alquiler, arrendamiento financiero, los pagos de sueldos y salarios, las amortizaciones de las viviendas compradas a plazos, las amortizaciones de créditos otorgados, las compras al crédito de vehículos mediante amortizaciones iguales cada cierto tiempo, entre otros.

2.3

ÉPOCAS DE VALUACIÓN DE LAS ANUALIDADES

Dependiendo lo que se desea conocer de la anualidad se valúa al inicio o al final del plazo. Si se desea conocer el valor actual se debe realizar la valuación al inicio del plazo. Si lo que se quiere conocer es su monto, la valuación debe realizarse al final de la serie de pagos. También puede valuarse en períodos intermedios y determinar montos si se quiere conocer lo acumulado hasta esa fecha o valores actuales si se desea conocer lo que está pendiente de amortizar a esa fecha. Por ejemplo: Cuando la valuación se realiza al inicio y al final de la anualidad.

Valor Actual

Monto

A

S

Inicio

Final

27

Cuando la valuación se realiza en períodos intermedios. Si se quiere conocer lo acumulado a la fecha de valuación se determina el monto de los pagos efectuados.

Fecha deSValuación

Inicio

Acumulación Parcial

Cuando la valuación se realiza en períodos intermedios. Si se quiere conocer lo que está pendiente de amortizar a la fecha de valuación, se determina el valor actual de los pagos que aún no se han hecho.

Valor Actual

A

Saldo pendiente de amortizar

2.4

Final

OBJETO DE CÁLCULO DE LAS ANUALIDADES

Básicamente se utilizan para crear fondos, mediante la acumulación de los pagos y/o amortizar deudas, mediante los abonos periódicos por valores iguales o cuotas niveladas.

2.5

ELEMENTOS QUE CONFORMAN LAS ANUALIDADES

ELEMENTO

SÍMBOLO

Monto

S

Valor Actual

A

Renta

R

Tiempo

n

No. de pagos en el año

P

Tasa efectiva de interés

i

Tasa nominal de interés

j

28

2.6

No. de capitalizaciones en el año

m

Período de diferimiento

y

ANUALIDADES CIERTAS O A PLAZO FIJO

Son aquellas en las cuales se conoce cuando se inician y cuando finalizan los pagos y si tienen plazo indefinido o a perpetuidad.

2.7 En función de la época de pago de cada renta

2.7.1 Vencidas u ordinarias Cuando la renta se efectúa al final de cada período de pago. Por ejemplo los pagos mensuales vencidos, los pagos cada final de año, los pagos al final de cada semestre, etc. R

2.7.1.1

R

R

R

Anticipadas o inmediatas

Cuando la renta se efectúa al inicio de cada período de pago. Por ejemplo los pagos mensuales anticipados, los pagos al inicio de cada año, al inicio de cada semestre, etc.

R

R

R

R

29

2.7.1.2

Diferidas

Cuando la serie de pagos no se inicia de inmediato, sino que se deja pasar un período sin que se efectúe amortización alguna.

Estas anualidades diferidas

pueden ser a su vez, diferidas vencidas o diferidas anticipadas.

Diferidas vencidas En estos períodos no se hacen pagos. Período de diferimiento

R

R

Diferidas anticipadas En estos períodos no se hacen pagos. Período de diferimiento

R

R

El período de diferimiento deberá aplicarse únicamente a las fórmulas del valor actual o sus derivadas y no así para las del monto.

2.7.2 Atendiendo la periodicidad de los pagos y la frecuencia de las capitalizaciones de interés

2.7.2.1

Un pago de renta en el año y tasa de interés efectiva

2.7.2.2

Un pago de renta en el año y tasa de interés nominal

2.7.2.3

Varios pagos en el año y tasa de interés efectiva.

2.7.2.4

Varios pagos en el año y tasa de interés nominal.

2.7.2.5

Pagos por períodos mayores de un año y tasa de interés efectiva. 30

2.7.2.6

Pagos por períodos mayores de un año y tasa de interés nominal.

2.7.3 Atendiendo la variabilidad de los pagos de renta

2.7.3.1

Constantes

Son constantes cuando el valor de la renta siempre es el mismo.

2.7.3.2

Variables

Cuando el valor de la renta varía atendiendo leyes matemáticas, por lo que pueden ser en progresión aritmética y en progresión geométrica, en ambos casos pueden presentarse de forma creciente o decreciente.

2.8 ANUALIDADES A PLAZO INDEFINIDO

2.8.1 Rentas perpetuas Es una serie de pagos cuyo plazo es indeterminado o sea que el tiempo es infinito, por lo tanto el capital permanece invariable por un tipo infinito y los pagos de renta se toman de los intereses generados en un determinado tiempo. En este tipo de anualidades no se puede determinar el monto por desconocerse el tiempo de finalización de la serie de pagos.

2.8.2 Costo capitalizado Se le denomina así a la inversión necesaria para adquirir un activo y al mismo tiempo estar en condición de reemplazarlo cada determinado período de años en forma indefinida o sea que es igual al costo inicial del activo más el valor actual de infinito número de renovaciones.

Para interpretar los resultados de dos

alternativas a elegir se deberá considerar la que presente el menor costo capitalizado.

2.8.3 Costos equivalentes 31

Consiste en determinar el precio el precio que se puede pagar por un bien que debe ser reemplazado cada período de años de manera que dicho desembolso en períodos infinitamente largos sea equivalente al de otro bien que tenga la misma utilidad pero con un costo inicial y de reemplazo diferentes.

2.8.4 Límite de gastos para alargar la vida útil de un activo Constituye un indicador financiero que determina el límite de gastos que puede adicionarse para prolongar la vida útil de un activo en comparación con el costo de preposición de un activo similar cuya vida útil está relacionada con el número de años que se puede prolongar dicho activo.

Es aquella erogación que

justificadamente se puede hacer para prolongar la vida útil de un activo sin alterar su costo capitalizado. Nos permite determinar financieramente cuándo conviene prolongar la vida de un activo en vez de sustituirlo.

2.9 ANUALIDADES CONTINGENTES O EVENTUALES Son aquellas cuyo inicio o finalización depende de un suceso cuya realización no puede fijarse con certeza, como por ejemplo la supervivencia o la muerte de una persona. Se aplica en las rentas vitalicias y los seguros de vida.

2.9.1 Rentas vitalicias Serie de pagos que me efectúan durante el tiempo que la persona beneficiaria se encuentre con vida para recibirlos. Con la muerte del rentista finaliza la obligación de pagar las rentas.

2.9.2 Dote pura Toma este nombre una cantidad de dinero que se pagará al cabo de “n” años a una persona de edad actual “x” a condición, de que esté entonces con vida.

Se trata de un capital cuyo pago es un evento aleatorio porque está condicionado a que la persona de edad “x” cumpla “x +n” años para recibirlo, por tanto el precio justo está dado por la esperanza matemática o depósito que el individuo en 32

cuestión debe efectuar hoy para recibirlo sólo si se encuentra con vida a la edad “x + n”.

2.9.3 Seguros de vida Los pagos de la prima del seguro se realizan si el asegurado se encuentra con vida para hacerlos, y al ocurrir su muerte se hace efectivo el pago de la suma asegurada.

33

CAPITULO III 3.1 ANUALIDADES

Simbología Monto

=

S

Valor Actual

=

A

Renta

=

R

Tiempo

=

n

No. de pagos en el año

=

P

Tasa efectiva de interés

=

i

Tasa nominal de interés

=

j

No. de capitalizaciones en el año

=

m

Período de diferimiento

=

y

3.1.1

Monto FACTOR DE ANTICIPACIÓN

mn (1 + j/m) S =

-

1 m/p

R

(1+j/m)

m/p 3.1.2

(1 + j/m) Valor actual

-

1 FACTORES DE

- mn 1 A =

-

ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO

(1 + j/m)

R m/p

m/p (1 + j/m)

-

1

(1+j/m)

- my ( 1 + j / m)

34

3.1.3

Renta en función del monto FACTOR DE ANTICIPACIÓN

m/p S { (1 + j/m) R

1} - m/p

=

(1+j/m)

mn 3.1.4

+ j/m) del - valor1 actual Renta en(1función FACTORES DE

m/p A { (1 + j/m) R

ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO

- 1}

= - m/p

-mn 3.1.5

1 - ( 1 + j/m) Tiempo en función del monto

(1+j/m)

my ( 1 + j / m)

* FACTOR DE ANTICIPACIÓN

m/p S { (1 + j/m) -

1}

Log

m/p

+ 1 (1+j/m)

R* n = 3.1.6

Tiempo en función del valor actual m Log (1 + j/m) * * FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO

1

m/p

m/p A { (1 + j/m) -

1}

(1+j/m)

- my ( 1 + j / m)

Log 1 R** n=

35

m Log ( 1 + j / m)

3.2 ANUALIDADES PAGADERAS CADA “K” AÑOS

Simbología Monto

=

S

Valor Actual

=

A

Renta

=

W

Tiempo

=

n

No. de años para cada pago

=

k

Tasa nominal de interés

=

j

No. de capitalizaciones en el año

=

m

Período de diferimiento

=

y

3.2.1

Monto FACTOR DE ANTICIPACIÓN

mn (1 + j/m) S =

-

1 mk

W

(1+j/m)

mk 3.2.2

(1 + j/m) Valor actual

-

1

FACTORES DE

- mn 1 A =

-

ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO

(1 + j/m)

W mk

mk (1 + j/m) 3.2.3

-

1

( 1 + j / m)

Renta en función del monto FACTOR DE ANTICIPACIÓN

mk (1 + j/m) W

(1+j/m)

- my

=

-

1 - mk

S

(1+j/m)

mn (1 + j/m)

-

1

36

3.2.4

Renta en función del valor actual FACTORES DE

mk (1 + j/m) W

=

-

ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO

1

A - mk

-mn 3.2.5

(1+j/m)

1 - ( 1 + j/m) Tiempo en función del monto

my ( 1 + j / m)

* FACTOR DE ANTICIPACIÓN

mk S { (1 + j/m) -

1}

Log

mk

+ 1 (1+j/m)

W* n =

3.2.6

Tiempo en función del valor actual m Log (1 + j/m) * * FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO

1

mk

mk A { (1 + j/m) -

(1+j/m)

1}

- my ( 1 + j / m)

Log 1 W** n= 3.3 ANUALIDADES VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA Simbología m Log ( 1 + j / m) Monto

=

S

Valor Actual

=

A

Primer pago

=

B

37

Diferencia

=

d

Tiempo

=

n

No. de pagos en un año

=

p

Tasa nominal de interés

=

j

No. de capitalizaciones en el año

=

m

Período de diferimiento

=

y

3.3.1

Factor del monto (FM) mn (1 + j/m) - 1

S p ┐n j(m)

= m/p

3.3.2

+ j/m) (FVA) - 1 Factor del valor(1actual - mn 1

A p ┐n j(m)

-

(1 + j/m)

= m/p

(1 + j/m) 1 3.4 ANUALIDADES VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA CRECIENTES En las siguientes fórmulas para que se conviertan en “Decrecientes” se le cambia de signo a la diferencia “d”. 3.4.1

Monto FACTOR DE ANTICIPACIÓN S p ┐n j(m)

- np m/p

S = B S p ┐n j(m) + d

(1+j/m)

m/p 3.4.2

Valor actual

(1 + j/m)

-

1

38

FACTORES DE

- mn Ap ┐n j(m) -

np (1 + j/m)

ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO

A = B Ap ┐n j(m) +d m/p

m/p

- my

(1+j/m) ( 1 + j / m) (1 + j/m) 1 En las siguientes fórmulas el factor del monto aparecerá con las iniciales “FM” y el factor del valor actual con las iniciales (FVA). 3.4.3

Primer pago en función del monto FACTOR DE ANTICIPACIÓN

FM - np m/p (1+j/m)

m/p S - d B 3.4.4

(1 + j/m)

-

1

Se coloca como denominador de S. = Primer pago en función del valor actual FM FACTORES DE

- mn FVA - np (1 + j/m)

ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO

m/p

m/p A -d B 3.4.5

(1 + j/m)

-

1

(1+j/m)

- my ( 1 + j / m)

= Diferencia en función del monto Se colocan como denominador de A. FACTOR DE ANTICIPACIÓN

FVA S

-

B (FM) m/p

FM d

-

np

(1+j/m)

= m/p (1 + j/m) - 1

Se coloca como denominador de S. 39

3.4.6

Diferencia en función del valor actual FACTORES DE

A

-

ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO

B (FVA)

m/p

-mn d

=

(1+j/m)

FVA - np (1+j/m)

- my ( 1 + j / m)

3.5 ANUALIDADES VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA CRECIENTES Se colocan como denominador de A. Simbología m/p (1 + j/m) - 1

Monto

=

S

Valor Actual

=

A

Primer pago

=

B

Razón

=

r

Tiempo

=

n

No. de pagos en un año

=

p

Tasa nominal de interés

=

j

No. de capitalizaciones en el año

=

m

Período de diferimiento

=

y

3.5.1

Monto np mn (r) - ( 1 + j/m)

S

=

B

m/p m/p

Si

m=p

FACTOR DE ANTICIPACIÓN

y

(1+j/m)

r - ( 1 + j/m) r = (1 + j/m), no es aplicable esta fórmula, en su lugar se aplica la

siguiente:

FACTOR DE ANTICIPACIÓN

mn - 1 S

=

B n p ( 1 + j/m)

m/p (1+j/m) 40

3.5.2

Valor actual

np (r) A

=

FACTORES DE

-mn (1 + j/m)

-

1

B m/p

Si

ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO

m=p

y

m/p

- my

( 1 +esta j / mfórmula, ) ( 1lugar + j / m) en su se aplica la r r -= (1(1++j/m), j/m) no es aplicable

siguiente:

FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO

-1 S

=

B n p ( 1 + j/m) m/p

3.5.3

Primer pago partiendo del monto m/p - ( 1 + j/m)

r B

=

S

m=p

( 1 + j / m)

FACTOR DE ANTICIPACIÓN

- m/p np

Si

(1+j/m)

- my

y

mn

(1+j/m)

(r) - ( 1 + j/m) r = (1 + j/m), no es aplicable esta fórmula, en su lugar se aplica la

siguiente:

FACTOR DE ANTICIPACIÓN

S B

- m/p

= mn – 1

(1+j/m)

n p ( 1 + j/m)

41

3.5.4

Primer pago partiendo del valor actual

r B

=

ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO

S np

-mn

(r) - ( 1 + j/m)

Si

FACTORES DE

m/p - ( 1 + j/m)

m=p

y

- m/p -1

(1+j/m)

my ( 1 + j / m)

r = (1 + j/m), no es aplicable esta fórmula, en su lugar se aplica la

siguiente:

FACTORES DE

A B

ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO

( 1 + j/m)

= - m/p

np

(1+j/m)

my ( 1 + j / m)

3.6 ANUALIDADES A PLAZO INDEFINIDO – RENTAS PERPETUAS

Simbología Valor Actual

=

A

Renta para períodos menores a un año

=

R

Renta para períodos mayores a un año

=

W

Tiempo

=

n

No. de pagos en un año

=

p

Períodos de pago mayores de 1 año

=

k

Tasa nominal de interés

=

j

No. de capitalizaciones en el año

=

m

Período de diferimiento

=

y

42

3.6.1

Valor actual

3.6.1.1 Pagadera cada “k” años FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO

W A =

mk

mk

( 1 +de j / un m )año 3.6.1.2 Pagadera(1anualmente + j/m) - o en1períodos menores

- my ( 1 + j / m)

FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO

R A =

m/p

m/p 3.6.2

Rentas (1 + j/m)

-

1

(1+j/m)

- my ( 1 + j / m)

3.6.2.1 Pagadera cada “k” años

FACTORES DE

mk W

=

A [ ( 1 + j/m )

ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO

-1] - mk

( 1 +de j/m 3.6.2.2 Pagadera anualmente o en períodos menores un)año

my ( 1 + j / m)

FACTORES DE

m/p R

=

A [ ( 1 + j/m )

ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO

-1] - m/p (1+j/m)

my ( 1 + j / m)

43

3.6.3

Tasa de interés

3.6.3.1 Pagaderas cada “k” años

1/mk j

=

m [(W/A +1)] -1

3.6.3.2 Pagadera anualmente o en períodos menores de un año

p/m j

=

m [(R/A +1)

-1 ]

3.7 ANUALIDADES A PLAZO INDEFINIDO - COSTO CAPITALIZADO

Simbología Costo capitalizado

=

C

Costo de reemplazo

=

W

Costo inicial del activo

=

F

No. de años de vida útil

=

k

Tasa de interés

=

j

Número de capitalizaciones

=

m

3.7.1

Costo inicial y de reemplazo diferentes

W C

=

F

W

+

F mk (1 + j/m)

=

C

mk

-

1

(1 + j/m)

-

1

44

3.7.2

Costo inicial y de reemplazo iguales

F C

- mk

=

F

=

C

[ 1 - ( 1 + j/m)

]

-mk 1

-

(1 + j/m)

3.8 ANUALIDADES A PLAZO INDEFINIDO - COSTOS EQUIVALENTES

Simbología Costo equivalente del bien que desea obtener

=

F’

Costo inicial y de reemplazo del bien base

=

F

Vida útil estimada del bien base

=

k

Vida útil del bien que se quiere adquirir o comparar su costo

=

t

Tasa de interés

=

j

Número de capitalizaciones al año

=

m

-mt 1 F’

=

-

(1 + j/m)

F -mk

1 - (1 + j/m) 3.9 LÍMITE DE GASTOS PARA ALARGAR LA VIDA ÚTIL DE UN ACTIVO Simbología Valor de la mejora o cantidad máxima a invertir

=

x

Costo inicial del activo

=

F

Vida útil del activo

=

k

Años que se puede prolongar la vida útil de un activo

=

b

Tasa de interés

=

j

Número de capitalizaciones

=

m

45

-mb 1 x

=

-

(1 + j/m)

F -mk (1 + j/m)

3.10

-

1

RENTAS VITALICIAS

Simbología Valor actual de una renta vitalicia

=

Ax

Edad de la persona que adquiere la renta vitalicia

=

x

Período de diferimiento

=

m

Plazo temporal de una renta vitalicia

=

n

Renta o cantidad a recibir en forma anual

=

R

Valor actual de una dote pura

=

nEx

Cantidad de la dote

=

k

Edad actual de la persona

=

x

Nx + 1 Ax

=

R Dx m Ax

R

=

Nx

+ m

+

1

Dx 3.11

DOTE PURA

Simbología

46

Tiempo o plazo para recibir la dote

=

n

Edad de la persona asegurada

=

x

Plazo del seguro

=

n

Gastos fijos – Quetzales

=

k

Gastos variables – Porcentaje

=

h

Cantidad asegurada

=

K

Dx + n nEx

=

K Dx nEx

K

=

Dx + n

Dx 3.12

SEGURO DE VIDA

Simbología

PT

Px

+

K

1

-

h

=

47

CAPITULO IV

4.1 EJEMPLO No. 1 - ANUALIDADES EN GENERAL Hace 3 años el señor Culebro Delgado recibió un préstamo, con el compromiso de cancelarlo en 5 años, mediante pagos mensuales de Q.300.00 cada uno, dicho préstamo se concedió con una tasa de interés del 10% anual, capitalizable semestralmente; el día de hoy le han notificado al Sr. Delgado que la nueva tasa de interés vigente, por el saldo del préstamo, será el 12 % anual, capitalizable trimestralmente. ¿Cuál debe ser la nueva renta considerando que el plazo del préstamo no se modifica y cuál es el valor del préstamo original?

1

2

3

4

5

HOY

DATOS R

=

Q. 300.00 (vencidas)

n

=

5

p

=

12

j

=

0.10

m

=

2

- mn 1 A =

-

- 10

(1 + j/m)

1

R

A = m/p (1 + j/m)

-

(1 + 0.05)

300 2/12

-

1

(1 + 0.05)

-

1 48

A

=

Q. 14, 185.94 PRÉSTAMO ORIGINAL

DATOS R

=

Q. 300.00 (vencidas)

n

=

2

p

=

12

j

=

0.10

m

=

2

- mn 1 A =

-

-4

(1 + j/m)

1

R

A =

(1 + 0.05)

300

m/p A

-

2/12

(1 + j/m)VALOR 1 (1 + 0.05) =Q. 6, 514.42 INSOLUTO PARA CALCULAR LA

- NUEVA 1 RENTA

DATOS A

=

Q. 6,514.42

n

=

2

p

=

12

j

=

0.12

m

=

4 m/p A { (1 + j/m)

R

4/12

- 1}

=

6514.42 { (1 + 0.03)

- 1}

R = -mn 1

-

( 1 + j/m)

-8 1

-

( 1 + 0.03) 49

R

=

Q. 306.29

LAS NUEVAS RENTAS

4.2 EJEMPLO No. 2 - ANUALIDADES EN GENERAL

Una lotificadora ofrece lotes con un enganche fraccionado de Q. 7,000.00, pagando Q. 2,000.00 el día de hoy y la diferencia dentro de 2 años, luego se efectuarán 180 mensualidades de Q. 840.00 cada una pagaderas al final de cada mes, se considera en la operación el 16% anual de interés capitalizable semestralmente. ¿Cuál será el precio de contado de cada lote?

HOY

2,000

5,000

180 / 12 = 15 años

17 años

DATOS n

=

15 años

R

=

Q. 840.00 (vencidas)

j

=

0.16

m

=

2

p

=

12

y

=

2 años de diferimiento

50

FACTOR

- mn 1 A =

-

DE DIFERIMIENTO

(1 + j/m)

R - my

m/p (1 + j/m) 1 A =

-

( 1FACTOR + j / m)

- 30 1

-

DE DIFERIMIENTO

(1 + 0.08)

840 -4

2/12 A

=

(840) (69.76456641) (1 + 0.08) 1 (0.735029852)

A

=

Q.

( 1 + 0.08)

43, 074.40

DATOS DEL RESTO DEL ENGANCHE (Q. 5,000.00) S

=

Q. 5,000.00

j

=

0.16

m

=

2

n

=

2

- mn P

P

=

S

=

ENGANCHE

(1 + j/m )

Q.

-4 P

=

5000

(1 + 0.08 )

3,675.15 Q.

2,000.00 +

A

43,074.40

P

3,675.15 Q.

48,749.55

PRECIO DE CONTADO DE CADA LOTE

51

4.3 EJEMPLO No. 3 - ANUALIDADES EN GENERAL Un préstamo recibido hace 7 años fue cancelado mediante pagos de Q. 600.00 al final de cada mes, y se sabe que el mismo devengó intereses del 8% anual capitalizable semestralmente durante los primeros 3 años y por el resto del tiempo el banco cobró una tasa de interés del 10% anual capitalizable semestralmente. ¿Cuál fue el valor original de dicho préstamo? 7 años

HOY

1

2

3

1

DATOS No. 1

2

3

DATOS No. 2

j

=

0.08

j

=

0.10

R

=

Q. 600.00

R

=

600.00

m

=

2

m

=

2

p

=

12

p

=

12

n

=

2

n

=

4

y

=

3

- mn 1 A =

4

-

FACTOR DE DIFERIMIENTO

(1 + j/m)

R - my

m/p (1 + j/m)

-

1

( 1 + j / m) 52

-6 1 A1 =

-

(1.04) A1

600

=

Q.

19,183.82

2/12 (1.04) 1 A2 =

-

-

1 -8

(1.05)

FACTOR DE DIFERIMIENTO

600 -6

2/12 A2

=

(1.05) 1 Q. 18,768.16

A1

Q. 19,183.82

A2

Q. 18,768.16

( 1.08)

+

Q. 37,951.98 VALOR ORIGINAL DEL PRÉSTAMO 4.4 EJEMPLO No. 4

-

ANUALIDAD VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA

DECRECIENTE ANTICIPADA

Un estudiante inició el día de hoy una serie de depósitos semestrales para comprar un vehículo al final de cinco años, y para tal efecto depositó la cantidad de Q. 6,000.00 y los siguientes depósitos disminuyen en Q. 500.00 cada uno de su inmediato anterior; la institución bancaria le reconoce una tasa de interés del 10% anual, capitalizable semestralmente. ¿Cuánto podrá acumular al final de dicho plazo?

HOY

6000

5000

53

DATOS B

=

Q. 6,000.00

d

=

Q. 500

p

=

2

j

=

0.10

m

=

2

n

=

5

mn

10

(1 + j/m) - 1 S p ┐n j(m)

(1.05) S p ┐n j(m)

= m/p

S p ┐n j(m)

=

-

1

= 2/2

12.57789254 (1 + j/m) - 1

(1.05) - 1

FACTOR DE ANTICIPACIÓN S p ┐n j(m)

- np m/p

S = B S p ┐n j(m) - d

(1+j/m)

m/p (1 + j/m)

-

1 FACTOR DE ANTICIPACIÓN

12.57789254

- 10

S = 6000(12.57789254) -500 ( 1.05 ) S

=

Q.

- ACUMULADO 1 52,172.85(1.05) MONTO AL FINAL DEL PLAZO

54

4.5 EJEMPLO No. 5

-

ANUALIDAD VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA

CRECIENTE VENCIDA La empresa “Ganadores, S. A.”, terminó el día de hoy de cancelar un préstamo obtenido hace 5 años, por Q. 50,000.00, el cual fue cancelado mediante pagos al final de cada seis meses, variables en progresión aritmética, se sabe que el primer pago fue por Q. 6,000.00 y que la financiera le aplicó una tasa de interés del 20 % anual, capitalizable semestralmente. Se desea saber ¿en qué cantidad variaron los pagos periódicos?

HOY

A = 50,000

6000

DATOS n

=

5

A

=

Q. 50,000.00

p

=

2

B

=

Q. 6,000.00

j

=

0.20

m

=

2

- mn 1 A p ┐n j(m)

-

- 10

(1 + j/m)

1 A p ┐n j(m)

=

-

(1.10)

=

m/p A p ┐n j(m)

=

(16.144567106 + j/m) -

1

(1.10)

-

1

55

A

-

B (FVA)

-mn d

=

FVA - np (1+j/m)

m/p 50,000 - 6,000 (6.144567106) (1 + j/m) - 1 -10 d d

= =

6.144567106

Q.

- 10 (1.10)

573.69 CANTIDAD EN LA QUE AUMENTARON LOS PAGOS PERIÒDICOS (1.10) - 1

4.6 EJEMPLO No. 6

-

ANUALIDAD VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

CRECIENTE VENCIDA Un activo fijo será cancelado en 4 años mediante pagos semestrales vencidos que aumentan cada uno de su inmediato anterior un 15%, el primero de estos será por Q. 15,000.00, se aplica una tasa de interés del 18% anual capitalizable trimestralmente. ¿Cuál es el valor original del activo fijo?

B = 15,000

DATOS n

=

4

p

=

2

r

=

1.15 56

B

=

Q. 15,000.00

j

=

0.18

m

=

4

np (r) A

=

-mn (1 + j/m)

-

1

B m/p r

-

(1 + j/m) 8

(1.15) A

-16

(1.045)

-

1

= 15000 2

A

=

Q.

1.15 132,624.31

-

(1.045) VALOR ORIGINAL DEL ACTIVO

4.7 EJEMPLO No. 7 - RENTA PERPETUA VENCIDA Una empresa depositó cierta cantidad de dinero para que al final de cada año se le entregue a una asociación Q. 10,000.00. Considerando que la financiera aplica una tasa de interés del 18% anual, capitalizable trimestralmente. ¿Qué cantidad de dinero depositó la empresa para que la asociación reciba los

Q. 10,000.00 a perpetuidad?

DATOS R

=

Q. 10,000.00

p

=

1

j

=

0.18

m

=

4

57

R A = m/p (1 + j/m) 10,000

1

A = 4 A

=

(1.045) 1 Q. 51,943.03

ES LA CANTIDAD DE DINERO QUE DEPOSITÓ LA EMPRESA.

4.8 EJEMPLO No. 8 - COSTO CAPITALIZADO

Una empresa tiene las siguientes ofertas de maquinaria: Una máquina que tiene un costo inicial de Q. 25,000.00 y debe reemplazarse cada 8 años por otra cuyo costo es de Q. 30,000.00. Una máquina que tiene un costo inicial de Q. 28,000.00 y debe reemplazarse cada 10 años por otra a un costo de Q. 30,000.00.

Considerando una tasa de interés del 10% anual, capitalizable trimestralmente. ¿Cuál de las dos alternativas es la más conveniente desde el punto de vista financiero? DATOS No. 1

DATOS No. 2

F

=

Q. 25,000.00

F

=

Q. 28,000.00

k

=

8

k

=

10

W

=

Q. 30,000.00

W

=

Q. 30,000.00

j

=

0.10

j

=

0.10

m

=

4

m

=

4 58

W C

=

F

+ mk (1 + j/m)

-

1

30,000 C1 =

C1

=

Q.

49, 921.97

C2

=

Q.

45,803.48

25,000 + 32 (1.25)

-

1

30,000 C2 =

28,000 + 40

(1.25) - ES LA 1 MÁS CONVENIENTE PUESTO QUE EL COSTO LA SEGUNDA ALTERNATIVA CAPITALIZADO ES MENOR QUE EL PRIMERO. 4.9 EJEMPLO No. 9 - COSTOS EQUIVALENTES Una constructora tiene equipo con un costo de Q. 100,000.00, debe ser reemplazado cada 10 años al mismo costo. Un fabricante ofrece otro equipo con un costo inicial y de reemplazo de Q. 125,000.00, debe ser reemplazado cada 12 años. El gerente de la constructora desea saber ¿cuál de los 2 equipos resulta más económico y cuánto puede pagar por el segundo para que su costo resulte equivalente al del primero? Considere el 18% anual de interés capitalizable trimestralmente. DATOS No. 1

DATOS No. 2

F

=

Q. 100,000.00

k

=

j m

F

=

Q. 125,000.00

10

k

=

12

=

0.18

j

=

0.18

=

4

m

= 59

F C

= -mk 1

-

(1 + j/m)

100,000 C1 = C1

=

Q. 1

-

120,762.55 -40 (1.045)

125,000 C2

=

Q.

142,190.51

C2 = -48 DATOS

1

-

(1.045)

F

=

Q. 100,000.00

k

=

10

t

=

12

j

=

0.18

m

=

4

-mt 1 F’

=

-

(1 + j/m)

F -mk 1

-

(1 + j/m) 60

-48 1 F’

-

(1.045)

= 100,000 -40

F’

Q. 1

=

- (1.045) 106,162.63

PARA QUE EL COSTO DEL SEGUNDO SEA

EQUIVALENTE AL DEL PRIMERO.

4.10

EJEMPLO No. 10 - LÍMITE DE GASTOS PARA ALARGAR LA VIDA ÚTIL DE

UN ACTIVO Una empresa posee cierto equipo que tiene un costo de Q. 50,000.00, y debe reemplazarse cada 10 años, el proveedor de dicho equipo ofrece cambiarle ciertos componentes para alargarle la vida útil en 4 años más.

¿Hasta qué cantidad se podrá

pagar por el cambio de componentes considerando una tasa de interés del 12% anual, capitalizable trimestralmente? DATOS F

=

Q. 50,000.00

k

=

10

b

=

4

j

=

0.12

m

=

4

-mb 1 x

=

-

(1 + j/m)

F -mk (1 + j/m)

-

1 61

-16 1 x

-

(1.03)

= 50,000 - 40

x

=

Q.( 1.038,329.50 ) -

ES 1 LO MÁS QUE SE PUEDE PAGAR POR EL

CAMBIO DE COMPONENTES

62

CONCLUSIONES

1. Las anualidades son fondos para crear, mediante la acumulación de los pagos y/o amortizar deudas, mediante los abonos periódicos por valores iguales o cuotas niveladas.

2. Las anualidades son utilizadas en el mercado financiero guatemalteco. Al realizar un análisis al mercado local, se puede visualizar una serie de productos que estas entidades ofertan a

potenciales compradores. Existen muchas opciones para

aplicar anualidades, dígase, por ejemplo recomendar a una empresa, la mejora de un activo, y esta será beneficiosa, financieramente hablando.

63

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

Meza Orozco, Jhonny de Jesus Matematicas Financieras aplicadas 3ra Edición, Bogota, Ecoe Ediciones 2008 (207 - 208)

Martinez Carrasco, Rafael Domingo Productos financieros basicos 1ra edición San Vicente Alicante, Editoria Club Universitario, 2010 (99 - 101)

Jimenez Guerra, Pedro Matematica y economia Financiera Conferencia, Año mundial de la matematica, 2000

http://laberintos.itam.mx/PDF/num11/243

http://home.galileo.edu/~tutor03540/Matem%E1ticas%20financieras%20PUBLICA CION.doc

64