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UNIMINUTO Investigación de Operaciones William Jiménez

CADENAS DE MARKOV A. Ejemplos 1. Un equipo de Investigación de mercado lleva a cabo una encuesta controlada para determinar las preferencias de la población con respecto a ciertas pastas dentales. La muestra consta de 200 personas, a cada una de las cuales se le solicita probar dos marcas de dentífricos por varios meses. Con base en las respuestas, el equipo de investigación compila las estadísticas siguientes acerca de las preferencias detectadas. De los que utilizan la marca A en cualquier mes, 70% continúa utilizándola el mes siguiente, mientras que 30% cambia a la marca B; de los que utilizaban la marca B en cualquier mes, 80% continúan haciéndolo, mientras que 20% cambia a la marca A. Supóngase que cuando se comienza la investigación, 120 personas emplean la marca A mientras que 80 prefieren la marca B. ¿Cuántas personas estarán utilizando cada marca un mes después?¿Y tres meses más tarde?¿para el n-ésimo mes? 2. Supongamos que el clima de cierta ciudad es lluvioso o despejado. Como resultado de un amplio registro, se ha determinado que la probabilidad de que se dé un día lluvioso después de un día despejado es , y la probabilidad de que se tenga un día lluvioso después de otro día lluvioso es . Sea D el estado de un día despejado y R el día lluvioso. a. Ordenar los datos de una matriz de transición. b. Hallar los valores y vectores propios de la matriz de transición para el proceso estocástico. c. Resolver cuando , e interpretar. 3. Una empresa dedicada a la investigación de mercados está analizando un grupo de consumidores de café, que compran una lata de café cada semana. Se ha determinado que 50% de las personas que actualmente utilizan la marca A, la comprarán de nuevo la próxima semana, 25% cambiará a la marca B y 25% preferirá alguna otra. De las personas que ahora consumen la marca B, 30% la comprará otra vez la próxima semana, 60% optará por la marca A y 10% cambiará a otra. De los consumidores que actualmente compran otra marca, 30% adquirirá de nuevo otra marca la próxima semana, 40% escogerá la marca A y 30% cambiará a la marca B. La probabilidad de que una persona que consume la marca A cambie a la marca B es 0.25; la probabilidad de que una persona que consume la marca B la siga comprando es 0.3, y así sucesivamente. Determinar la probabilidad de que le sistema se encuentre en cualquiera de los n estados en el futuro. 4. Para el ejemplo dos supóngase un vector de estado actual ⃗ 5.

(

). Determinar el vector de estado en el día

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B. Ejemplos 1. The Land of Oz is blessed by many things, but not by good weather. They never have two nice days in a row. If they have a nice day, they are just as likely to have snow as rain the next day. If they have snow or rain, they have an even chance of having the same the next day. If there is a chance from snow or rain, only half of the time is this a change to a nice day. With this information form a Markov Chain. 2. Considerando el clima en Land of Oz. ¿Cuál será el estado de la cadena después de un determinado número de días desde ahora? 3. The Land of Oz tiene una probabilidad o estado inicial de ⃗⃗ estados después de tres días desde ahora.

(

). Determinar la probabilidad de los

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EJERCICIOS.

1. Un psicólogo del comportamiento pone todos los días una rata en una jaula con dos puertas, A y B. La rata puede pasar por la puerta A, y recibe un choque eléctrico, o por la puerta B, y obtiene cierto alimento. Se registra la puerta por la que pasa la rata. Al inicio del experimento, un lunes, la rata tiene la misma probabilidad de pasar por la puerta A que por la puerta B. Después de pasar por la puerta A y recibir un choque, la probabilidad de seguir pasando por la misma puerta al día siguiente es 0.3. Después de pasar por la puerta B y recibir alimento, la probabilidad de pasar por la misma puerta al día siguiente es 0.6. a. Representar los datos en una matriz de transición para el proceso de Markov b. ¿Cuál es la probabilidad de que la rata continúe pasando por la puerta A el jueves (tercer día del experimento)? c. ¿Cuál es el vector de estado estacionario el día viernes? 2. El departamento de suscripciones de una revista envía una carta a una enorme lista de correos, invitando a suscribirse. Algunos de quienes recibieron la carta ya estaban suscritos y otros no. De esta lista de correo, 60% de las personas ya suscritas se suscribirán de nuevo, mientras que 25% de los no suscritos lo harán. a. Escribir la matriz de transición para este proceso de Markov b. Determinar los eigenvalores y eigenvectores del matriz de transición. c. A partir de lo obtenido en el literal b, hallar .

3. Un estudio a determinado que la ocupación de un niño, cuando sea adulto, depende de la ocupación de su padre y está dada por la siguiente matriz de transición, donde

[

].

a. ¿Cuál es la probabilidad de que el nieto de un profesionista sea profesionista? b. A lo largo, ¿qué característica tendrá la matriz de transición de un proceso de Markov?